O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам
Для послідовностей функцій із соболевського простору, що задовольняють спеціальні інтегральні оцінки, в одному випадку встановлено лему про вибір поточково збіжних підпослідовностей, а в іншому — доведено теорему про збіжність за мірою відповідних послідовностей узагальнених похідних. Наведено засто...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164947 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам / А.А. Ковалевский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 2. — С. 168–183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164947 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649472020-02-12T01:28:53Z O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам Ковалевский, А.А. Статті Для послідовностей функцій із соболевського простору, що задовольняють спеціальні інтегральні оцінки, в одному випадку встановлено лему про вибір поточково збіжних підпослідовностей, а в іншому — доведено теорему про збіжність за мірою відповідних послідовностей узагальнених похідних. Наведено застосування цих результатів до питання про існування ентропійних розв'язків нелінійних рівнянь із виродженою коерцитивністю і L¹-даними. For sequences of functions from a Sobolev space satisfying special integral estimates, we, in one case, establish a lemma on the choice of pointwise convergent subsequences and, in a different case, prove a theorem on convergence of the corresponding sequences of generalized derivatives in measure. These results are applied to the problem of existence of the entropy solutions of nonlinear equations with degenerate coercivity and L¹-data. 2006 Article O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам / А.А. Ковалевский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 2. — С. 168–183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164947 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Ковалевский, А.А. O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам Український математичний журнал |
| description |
Для послідовностей функцій із соболевського простору, що задовольняють спеціальні інтегральні оцінки, в одному випадку встановлено лему про вибір поточково збіжних підпослідовностей, а в іншому — доведено теорему про збіжність за мірою відповідних послідовностей узагальнених похідних. Наведено застосування цих результатів до питання про існування ентропійних розв'язків нелінійних рівнянь із виродженою коерцитивністю і L¹-даними. |
| format |
Article |
| author |
Ковалевский, А.А. |
| author_facet |
Ковалевский, А.А. |
| author_sort |
Ковалевский, А.А. |
| title |
O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам |
| title_short |
O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам |
| title_full |
O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам |
| title_fullStr |
O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам |
| title_full_unstemmed |
O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам |
| title_sort |
o сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164947 |
| citation_txt |
O сходимости функций из соболевского пространства, удовлетворяющих специальным интегральным оценкам / А.А. Ковалевский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 2. — С. 168–183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevskijaa oshodimostifunkcijizsobolevskogoprostranstvaudovletvorâûŝihspecialʹnymintegralʹnymocenkam |
| first_indexed |
2025-07-14T17:41:55Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:41:55Z |
| _version_ |
1837645080764088320 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. А. Ковалевский (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ
ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ СПЕЦИАЛЬНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОЦЕНКАМ
We consider sequences of functions in a Sobolev space which satisfy special integral estimates. For such
sequences, in one case, we establish a lemma on the choice of pointwise convergent subsequences and,
in other case, we prove a theorem on the convergence in measure of the corresponding sequences of
generalized derivatives. We present the application of these results to the question of existence of entropy
solutions of nonlinear equations with degenerate coercitivity and L1-data.
Для послiдовностей функцiй iз соболевського простору, що задовольняють спецiальнi iнтегральнi
оцiнки, в одному випадку встановлено лему про вибiр поточково збiжних пiдпослiдовностей, а
в iншому — доведено теорему про збiжнiсть за мiрою вiдповiдних послiдовностей узагальнених
похiдних. Наведено застосування цих результатiв до питання про iснування ентропiйних розв’язкiв
нелiнiйних рiвнянь iз виродженою коерцитивнiстю i L1-даними.
Введение. В настоящей работе рассматриваются последовательности функций из
соболевского пространства
◦
W 1,p(Ω), удовлетворяющие специальным интеграль-
ным оценкам. Для таких последовательностей в одном случае устанавливается
лемма о выборе поточечно сходящихся подпоследовательностей, а в другом — до-
казывается теорема о сходимости по мере соответствующих последовательностей
обобщенных производных. Эти результаты тесно связаны с известным подходом
(см., например, [1]) к разрешимости нелинейных эллиптических уравнений второго
порядка с L1-данными. Реализация этого подхода в различных случаях, зависящих
от условий на коэффициенты уравнений, приводит к основным ситуациям, обоб-
щением которых являются предлагаемые результаты. Таким образом, полученные
утверждения, с одной стороны, имеют определенный самостоятельный интерес, а
с другой — позволяют упростить доказательство теорем существования решений
нелинейных задач с L1-данными в рамках упомянутого выше подхода.
Работа состоит из четырех пунктов. В п. 1 даются некоторые сведения о
функциональном множестве
◦
T 1,p(Ω), используемом в дальнейшем изложении. Во
втором пункте для последовательности функций uj ∈
◦
W 1,p(Ω) с определенным по-
ведением интегралов функций |∇uj |p по множествам {|uj | < k}, k ≥ 1, устанавли-
вается лемма о выборе подпоследовательности, поточечно сходящейся к некоторо-
му элементу множества
◦
T 1,p(Ω) и связанной с этим элементом еще одним важным
свойством сходимости. В п. 3 для последовательности {uj} ⊂
◦
W 1,p(Ω), сходящей-
ся по мере к функции из
◦
T 1,p(Ω) и связанной с этой функцией посредством неко-
торого семейства предельных интегральных оценок, доказывается сходимость по
мере соответствующих последовательностей обобщенных производных. Наконец,
в четвертом пункте дается приложение полученных результатов к доказательству
существования энтропийных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений
второго порядка с вырождающейся коэрцитивностью и L1-данными.
c© А. А. КОВАЛЕВСКИЙ, 2006
168 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 169
1. Множество функций
◦
T 1,p(Ω). Пусть n ∈ N, n ≥ 2, Ω — ограниченное
открытое множество в Rn и p ∈ (1, n). Кроме того, пусть для любого k > 0 Tk —
функция на R такая, что
Tk(s) =
s, если |s| ≤ k,
k sign s, если |s| > k.
Известно, что если λ ≥ 1, u ∈
◦
W 1,λ(Ω) и k > 0, то Tk(u) ∈
◦
W 1,λ(Ω) и для
любого i ∈ {1, . . . , n} имеем
DiTk(u) = Diu · 1{|u|<k} п. в. на Ω. (1)
Через
◦
T 1,p(Ω) обозначим множество всех функций u : Ω → R таких, что для
любого k > 0 Tk(u) ∈
◦
W 1,p(Ω).
Заметим, что элементы множества
◦
T 1,p(Ω) являются измеримыми функциями.
Действительно, если u ∈
◦
T 1,p(Ω), то измеримость функции u следует из измеримо-
сти функций Tk(u), k ∈ N, и поточечной сходимости последовательности {Tk(u)}
к u.
Очевидно, что
◦
W 1,p(Ω) ⊂
◦
T 1,p(Ω). (2)
Вместе с тем множество
◦
T 1,p(Ω) содержит функции, не принадлежащие L1(Ω).
Следовательно, множество
◦
T 1,p(Ω) шире пространства
◦
W 1,p(Ω).
Для произвольных u : Ω → R и x ∈ Ω положим k(u, x) = min {l ∈ N : |u(x)| ≤
≤ l}.
Определение 1. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω) и i ∈ {1, . . . , n}. Тогда δiu — функция на
Ω такая, что для любого x ∈ Ω
δiu(x) = DiTk(u,x)(u)(x). (3)
Предложение 1. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω) и i ∈ {1, . . . , n}. Тогда для любого k > 0
имеем
DiTk(u) = δiu · 1{|u|<k} п. в. на Ω. (4)
Из предложения 1 следует, что если u ∈
◦
T 1,p(Ω), то для любого i ∈ {1, . . . , n}
имеем DiTk(u) → δiu п. в. на Ω. Отсюда заключаем, что если u ∈
◦
T 1,p(Ω), то
функции δiu, i = 1, . . . , n, измеримы.
Заметим еще, что из (1), (2) и предложения 1 следует, что если u ∈
◦
W 1,p(Ω),
то для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем δiu = Diu п. в. на Ω.
Определение 2. Если u ∈
◦
T 1,p(Ω), то δu — отображение Ω в Rn такое, что
для любых x ∈ Ω и i ∈ {1, . . . , n} (δu(x))i = δiu(x).
Приведем теперь один общий результат о суммируемости функций u : Ω → R,
для которых имеется квалифицированная оценка мер множеств {|u| ≥ k}, k ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
170 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
Этот результат понадобится для установления свойств суммируемости элементов
множества
◦
T 1,p(Ω), удовлетворяющих некоторому семейству интегральных оце-
нок.
Лемма 1. Пусть u — измеримая функция на Ω, M > 0, γ > 0 и для любого
k ∈ N
meas {|u| ≥ k} ≤ Mk−γ . (5)
Тогда для любого λ ∈ (0, γ) имеем u ∈ Lλ(Ω) и∫
Ω
|u|λdx ≤ 2γ+(γ+λ)/(γ−λ)M + meas Ω.
Лемма 2. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω), M ≥ 1, 0 < θ < p и для любого k ≥ 1
выполняется неравенство ∫
{|u|<k}
|δu|pdx ≤ Mkθ. (6)
Тогда для любого k ≥ 1 имеем
meas {|u| ≥ k} ≤ c0M
n/(n−p)k−n(p−θ)/(n−p), (7)
meas {|δu| ≥ k} ≤ (c0 + 1)Mn/(n−θ)k−n(p−θ)/(n−θ), (8)
где c0 — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Из лемм 1 и 2 вытекает такой результат.
Лемма 3. Пусть u ∈
◦
T 1,p(Ω), M ≥ 1, 0 < θ < p и для любого k ≥ 1
выполняется неравенство ∫
{|u|<k}
|δu|pdx ≤ Mkθ.
Кроме того, пусть 0 < λ < n(p− θ)/(n− θ). Тогда∫
Ω
|u|λ(n−θ)/(n−p)dx ≤ C1M
n/(n−p) ,
∫
Ω
|δu|λdx ≤ C2M
n/(n−θ) ,
где C1, C2 – положительные постоянные, зависящие только от n, p, meas Ω, θ и λ.
Замечание 1. Множество
◦
T 1,p(Ω) и некоторые более широкие множества функ-
ций были введены в работе [1]. Равенство вида (4) используется в [1] для опре-
деления градиента элементов функционального класса, содержащего множество
◦
T 1,p(Ω). Непосредственное определение функций δiu для u ∈
◦
T 1,p(Ω) равен-
ством (3) и доказательство предложения 1 даны в [2]. Лемма 1 по существу
доказана в [3]. По поводу аналогичных результатов, в которых вместо (5) исполь-
зуются более точные оценки, см. [4, 5]. В случае θ = 1 неравенства (7) и (8)
при условии (6) установлены в [1]. Способ доказательства леммы 2 аналогичен
изложенному в [1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 171
2. Лемма о выборе.
Лемма 4. Пусть M ≥ 1, 0 < θ < p, {uj} ⊂
◦
W 1,p(Ω) и для любых k ≥ 1 и
j ∈ N выполняется неравенство∫
{|uj |<k}
|∇uj |pdx ≤ Mkθ. (9)
Тогда существуют возрастающая последовательность {jl} ⊂ N и функция u ∈
∈
◦
T 1,p(Ω) такие, что
ujl
→ u п. в. на Ω, (10)
Tk(ujl
) → Tk(u) слабо в
◦
W 1,p(Ω) ∀k > 0. (11)
Доказательство. Пусть k > 0 и j ∈ N. Имеем Tk(uj) ∈
◦
W 1,p(Ω). Тогда,
используя (9), получаем
‖Tk(uj)‖p
◦
W 1,p(Ω)
≤ kp meas Ω + n
∫
{|uj |<k}
|∇uj |pdx ≤ (nM + meas Ω) (k + 1)p.
Следовательно, для любого k > 0 последовательность {Tk(uj)} ограничена в
◦
W 1,p(Ω). Тогда существуют возрастающая последовательность {j′m} ⊂ N и после-
довательность {wk} ⊂
◦
W 1,p(Ω) такие, что для любого k ∈ N имеем Tk(uj′m) → wk
слабо в
◦
W 1,p(Ω). Отсюда следует, что для любого k ∈ N
Tk(uj′m) → wk сильно в L1(Ω). (12)
Далее, в силу леммы 2 для любых k ≥ 1 u j ∈ N имеем
meas {|uj | ≥ k} ≤ c0 Mn/(n−p)k−n(p−θ)/(n−p). (13)
Зафиксируем теперь t > 0 и ε > 0, и пусть k ∈ N, причем
c0 Mn/(n−p)k−n(p−θ)/(n−p) ≤ ε
4
. (14)
В силу (12) существует m0 ∈ N такое, что для любого m ∈ N, m ≥ m0,∫
Ω
|Tk(uj′m)− wk| dx ≤ εt
4
. (15)
Зафиксируем m, l ∈ N, m, l ≥ m0. Ясно, что
meas {|uj′m − uj′l
| ≥ t} ≤
≤ meas {|uj′m | ≥ k}+ meas {|uj′l
| ≥ k}+ meas {|Tk(uj′m)− Tk(uj′l
)| ≥ t}. (16)
В силу (13) и (14) имеем
meas {|uj′m | ≥ k}+ meas {|uj′l
| ≥ k} ≤ ε
2
. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
172 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
Кроме того, используя (15), получаем
meas {|Tk(uj′m)− Tk(uj′l
)| ≥ t} ≤ 1
t
∫
Ω
|Tk(uj′m)− Tk(uj′l
)|dx ≤ ε
2
.
Отсюда и из (16), (17) следует, что meas {|uj′m − uj′l
| ≥ t} ≤ ε.
Значит, последовательность {uj′m} фундаментальна по мере, а тогда в силу
теоремы Ф. Рисса существует измеримая функция u : Ω → R такая, что uj′m → u
по мере. Следовательно, существует возрастающая последовательность {jl} ⊂ N,
для которой справедливо утверждение (10).
Далее, пусть k > 0. Поскольку последовательность {Tk(uj)} ограничена в
◦
W 1,p(Ω) и в силу (10) Tk(ujl
) → Tk(u) сильно в Lp(Ω), то Tk(u) ∈
◦
W 1,p(Ω) и
Tk(ujl
) → Tk(u) слабо в
◦
W 1,p(Ω). Следовательно, u ∈
◦
T 1,p(Ω) и справедливо
утверждение (11).
Лемма доказана.
Замечание 2. Основные идеи доказательства леммы 4 содержатся в [1] (теоре-
ма 6.1).
3. Теорема о сходимости производных. Сначала докажем следующее простое
утверждение.
Лемма 5. Пусть µ ∈ L1(Ω), µ > 0 п. в. на Ω и Ej — такая последовательность
измеримых множеств в Ω, что
lim
j→∞
∫
Ej
µdx = 0. (18)
Тогда
lim
j→∞
meas Ej = 0. (19)
Доказательство. Для любого t > 0 положим Gt = {µ ≤ t}. Покажем, что
lim
t→0
meas Gt = 0. (20)
Действительно, предположим, что семейство meas Gt, t > 0, не сходится к нулю
при t → 0. Тогда найдутся ε0 > 0 и убывающая последовательность {ti}, ti → 0,
такие, что
meas Gti ≥ ε0 ∀ i ∈ N. (21)
Положим G =
∞⋂
i=1
Gti
. Поскольку для любого i ∈ N Gti+1 ⊂ Gti
, то meas Gti
→
→ meas G. Отсюда и из (21) следует, что meas G > 0. Далее, так как µ > 0 п. в.
на Ω, существует измеримое множество E ⊂ Ω меры нуль такое, что для любого
x ∈ Ω \ E µ(x) > 0. Тогда µ(x) > 0 для x ∈ G \ E. С другой стороны, в силу
определения множеств G и Gti
для любого i ∈ N µ(x) ≤ ti, x ∈ Gti
. Отсюда,
учитывая, что ti → 0, приходим к неравенству µ(x) ≤ 0, x ∈ G. Полученное
противоречие доказывает, что (20) выполняется.
Зафиксируем теперь произвольное ε > 0. В силу (20) существует t > 0 такое,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 173
meas Gt ≤
ε
2
. (22)
В силу (18) существует j0 ∈ N такое, что для любого j ∈ N, j ≥ j0,∫
Ej
µdx ≤ εt
2
. (23)
Зафиксируем j ∈ N, j ≥ j0. Ясно, что
meas Ej = meas (Ej ∩ {µ ≤ t}) + meas (Ej ∩ {µ > t}) ≤
≤ meas Gt + meas (Ej ∩ {µ > t}). (24)
Учитывая, что µ > 0 п. в. на Ω, получаем∫
Ej
µdx ≥
∫
Ej∩{µ>t}
µdx ≥ t meas (Ej ∩ {µ > t}).
Отсюда и из (22) – (24) следует, что
meas Ej ≤ meas Gt +
1
t
∫
Ej
µdx ≤ ε.
Теперь можно сделать вывод, что (19) выполняется.
Лемма доказана.
Перейдем к результатам о сходимости производных для функций из
◦
W 1,p(Ω).
Теорема 1. Пусть Φ — функция Каратеодори на Ω×R×Rn×Rn и выполняются
условия:
i) для любого k > 0 существуют c̃k > 0 и g̃k ∈ L1(Ω), g̃k ≥ 0 на Ω, такие,
что для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R, |s| ≤ k, и ξ, ξ′ ∈ Rn
0 ≤ Φ(x, s, ξ, ξ′) ≤ c̃k(|ξ|p + |ξ′|p) + g̃k(x);
ii) для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R и ξ, ξ′ ∈ Rn, ξ 6= ξ′,
Φ(x, s, ξ, ξ′) > 0.
Пусть, далее, {uj} ⊂
◦
W 1,p(Ω), u ∈
◦
T 1,p(Ω), uj → u по мере,
lim
m→∞
sup
j∈N
meas {|uj | ≥ m} = 0, (25)
lim
m→∞
sup
j∈N
meas {|∇uj | ≥ m} = 0. (26)
Пусть, наконец, существуют функции ν1, ν2 : (0,+∞) → (0,+∞) такие, что
ν2(s) → 0 при s → 0 и для любых m ≥ 1 и k ∈ (0, ν1(m)]
lim
j→∞
∫
{|uj |<m,|u|<m,|uj−u|<k}
Φ(x, uj ,∇uj , δu) dx ≤ ν2(k). (27)
Тогда для любого i ∈ {1, . . . , n} Diuj → δiu по мере.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
174 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
Доказательство. Пусть для любого x ∈ Ω Φx — функция на R×Rn×Rn такая,
что для любой тройки (s, ξ, ξ′) ∈ R × Rn × Rn имеем Φx(s, ξ, ξ′) = Φ(x, s, ξ, ξ′).
Поскольку Φ — функция Каратеодори на Ω×R×Rn×Rn и выполняется условие ii),
существует измеримое множество E ⊂ Ω меры нуль такое, что: для любого x ∈
∈ Ω \ E функция Φx непрерывна на R × Rn × Rn; для любых x ∈ Ω \ E, s ∈
∈ R, ξ, ξ′ ∈ Rn, ξ 6= ξ′, имеем Φx(s, ξ, ξ′) > 0.
Положим для любых t > 0 и m > t
Gt,m =
{
(s, ξ, ξ′) ∈ R× Rn × Rn : |s| ≤ m, |ξ| ≤ m, |ξ′| ≤ m, |ξ − ξ′| ≥ t
}
.
Очевидно, что для любых t > 0 и m > t множество Gt,m непусто, замкнуто и
ограничено.
Пусть для произвольных t > 0 и m > t µt,m — функция на Ω такая, что
µt,m(x) =
min
Gt,m
Φx , если x ∈ Ω \ E,
0, если x ∈ E.
Зафиксируем t > 0 и m > t. Нетрудно убедиться в том, что
µt,m > 0 на Ω \ E. (28)
Кроме того, в силу условия i) имеем
µt,m ≤ 2c̃mmp + g̃m п. в. на Ω. (29)
Докажем, что функция µt,m измерима. Пусть R — множество всех (s, ξ, ξ′) ∈ R×
×Rn × Rn таких, что s рационально и для любого i ∈ {1, . . . , n} ξi и ξ′i рацио-
нальны. Положим G
(0)
t,m = Gt,m ∩ R. Имеем G
(0)
t,m 6= ∅ и G
(0)
t,m плотно в Gt,m.
Действительно, пусть (s, ξ, ξ′) ∈ Gt,m и ε > 0. Предположим, что |ξ − ξ′| > t.
Тогда, взяв λ такое, что
max
(
1− ε
2m
,
t
|ξ − ξ′|
)
< λ < 1,
и положив s1 = λs, η = λξ, η′ = λξ′, получим неравенства
|s1| < m, |η| < m, |η′| < m, |η − η′| > t, (30)
|s1 − s|2 + |η − ξ|2 + |η′ − ξ′|2 < ε2. (31)
Предположим теперь, что |ξ| < m и |ξ′| < m. Тогда, взяв λ1 и λ такие, что
max (|ξ|, |ξ′|) < λ1 < m, 1 < λ < min
(
2,
m
λ1
, 1 +
ε
2m
)
,
и положив s1 = (2 − λ)s, η = λξ, η′ = λξ′, снова получим неравенства (30) и
(31). Осталось рассмотреть следующий случай: |ξ− ξ′| = t и выполняется хотя бы
одно из равенств |ξ| = m и |ξ′| = m. Пусть, для определенности, |ξ| = m. Тогда
m2− t2 = |ξ|2− |ξ− ξ′|2 = 2(ξ, ξ′)− |ξ′|2. Отсюда, учитывая, что m > t, получаем
(ξ, ξ′) > 0. Это же неравенство имеем при |ξ′| = m. Следовательно, существует
j ∈ {1, . . . , n} такое, что ξjξ
′
j > 0. Возьмем λ такое, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 175
0 < λ < min
(
1,
|ξj |
2
,
|ξ′j |
2
,
ε
2m
,
ε
4
)
,
и пусть s1 = (1− λ)s, η, η′ ∈ Rn, причем
ηj = ξj − λ
[
2(1−sign ξj)/2 sign ξj −min(0, sign (ξj − ξ′j))
]
,
η′j = ξ′j − λ
[
2(1+sign ξ′j)/2 sign ξ′j + min(0, sign (ξj − ξ′j))
]
,
а для любого i ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, имеем ηi = ξi, η′i = ξ′i. Тогда выполняются
неравенства (30) и (31). Итак, в любом случае существует тройка (s1, η, η′) ∈
∈ R× Rn × Rn такая, что имеют место неравенства (30) и (31). Пусть теперь s —
рациональное число такое, что |s − s1| < min (m − |s1|, ε/2), и пусть ξ, ξ
′ ∈ Rn,
причем для любого i ∈ {1, . . . , n} ξi, ξ
′
i — рациональные числа и
|ξi − ηi| <
1
2n
min (m− |η|, |η − η′| − t, ε),
|ξ′i − η′i| <
1
2n
min (m− |η′|, |η − η′| − t, ε).
Тогда, используя (31), получаем, что (s, ξ, ξ
′
) ∈ G
(0)
t,m и |s−s|2+|ξ−ξ|2+|ξ′−ξ′|2 <
< 4ε2. Таким образом, приходим к выводу, что множество G
(0)
t,m плотно в Gt,m.
Далее, зафиксируем произвольное λ ∈ R. Покажем, что
{x ∈ Ω \ E : µt,m(x) < λ} =
⋃
(s,ξ,ξ′)∈G
(0)
t,m
{x ∈ Ω \ E : Φ(x, s, ξ, ξ′) < λ}. (32)
Действительно, пусть y принадлежит левой части равенства (32). Имеем y ∈ Ω\E и
µt,m(y) < λ. Тогда в силу определения функции µt,m существует тройка (s, ξ, ξ′) ∈
∈ Gt,m такая, что Φy(s, ξ, ξ′) < λ. Следовательно, вследствие непрерывности
функции Φy на R × Rn × Rn существует ε > 0 такое, что для любой трой-
ки (s̃, ξ̃, ξ̃′) ∈ R × Rn × Rn, удовлетворяющей неравенству |s̃ − s|2 + |ξ̃ − ξ|2 +
+ |ξ̃′ − ξ′|2 < ε2, выполняется неравенство Φy(s̃, ξ̃, ξ̃′) < λ. Тогда в силу плот-
ности множества G
(0)
t,m в Gt,m найдется тройка (s1, η, η′) ∈ G
(0)
t,m, для которой
Φy(s1, η, η′) < λ. Последнее неравенство с учетом определения функции Φy озна-
чает, что Φ(y, s1, η, η′) < λ. Следовательно, точка y принадлежит правой части ра-
венства (32). Обратно, пусть y принадлежит правой части равенства (32). Следова-
тельно, существует тройка (s, ξ, ξ′) ∈ Gt,m такая, что y ∈ Ω \E и Φ(y, s, ξ, ξ′) < λ.
Тогда в силу определения функции µt,m имеем µt,m(y) ≤ Φ(y, s, ξ, ξ′) < λ. Отсюда
вытекает, что y принадлежит левой части равенства (32). Проведенные рассужде-
ния доказывают, что равенство (32) справедливо.
Поскольку Φ — функция Каратеодори на Ω× R× Rn × Rn, для любой тройки
(s, ξ, ξ′) ∈ R× Rn × Rn множество {Φ(·, s, ξ, ξ′) < λ} измеримо. Отсюда следует,
что для любой тройки (s, ξ, ξ′) ∈ G
(0)
t,m множество {x ∈ Ω \ E : Φ(x, s, ξ, ξ′) < λ}
измеримо. Тогда, учитывая, что множество G
(0)
t,m счетно, из равенства (32) выводим,
что множество {µt,m < λ} измеримо и, значит, функция µt,m измерима.
Теперь, учитывая (28) и (29), заключаем, что для любых t > 0 и m > t функция
µt,m суммируема на Ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
176 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
Далее, покажем, что
lim
m→∞
meas {|u| ≥ m} = 0, (33)
lim
m→∞
meas {|δ u| ≥ m} = 0. (34)
Действительно, пусть τ > 0. Поскольку uj → u по мере, то существует l ∈ N
такое, что
meas {|ul − u| ≥ τ} ≤ τ
2
. (35)
Кроме того, в силу (25) существует m0 > 0 такое, что для любого m ≥ m0
meas {|ul| ≥ m} ≤ τ
2
. (36)
Зафиксируем m ≥ 2 max(τ,m0). В силу (36) имеем
meas
{
|ul| ≥
m
2
}
≤ τ
2
. (37)
Положим G′ = {|u| ≥ m, |ul − u| < τ}. Ясно, что
{|u| ≥ m} ⊂ {|ul − u| ≥ τ} ∪G′. (38)
Для x ∈ G′ имеем m ≤ |u(x)| ≤ |ul(x)−u(x)|+ |ul(x)| < τ + |ul(x)| ≤ m
2
+ |ul(x)|.
Тогда x ∈
{
|ul| ≥
m
2
}
и, следовательно, G′ ⊂
{
|ul| ≥
m
2
}
. Отсюда и из (38)
вытекает, что meas {|u| ≥ m} ≤ meas {|ul − u| ≥ τ} + meas
{
|ul| ≥
m
2
}
. Это
неравенство, а также (35), (37) позволяют заключить, что meas {|u| ≥ m} ≤ τ .
Следовательно, (33) выполняется.
Перейдем к доказательству свойства (34). Пусть τ > 0. В силу (33) существует
k > 0 такое, что
meas {|u| ≥ k} ≤ τ
2
. (39)
Зафиксируем произвольное m такое, что
m >
2
τ
∫
Ω
|∇Tk(u)|dx, (40)
и положим G′′ = {|u| < k, |δu| ≥ m}. Предположим, что meas G′′ > 0. Тогда, учи-
тывая предложение 1, получаем, что m ≤ |∇Tk(u)| п. в. на G′′ и, следовательно,
m meas G′′ ≤
∫
Ω
|∇Tk(u)|dx. (41)
Очевидно, что это неравенство выполняется и в случае, когда meas G′′ = 0. Из
(40) и (41) следует, что
meas G′′ ≤ τ
2
. (42)
Используя (39) и (42), получаем meas {|δu| ≥ m} ≤ meas {|u| ≥ k}+ meas G′′ ≤ τ.
Следовательно, (34) выполняется.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 177
Далее, зафиксируем t > 0 и ε > 0. В силу (25), (26), (33) и (34) существует
m > max(1, t) такое, что
sup
j∈N
meas{|uj | ≥ m} ≤ ε, sup
j∈N
meas{|∇uj | ≥ m} ≤ ε, (43)
meas{|u| ≥ m} ≤ ε, meas{|δu| ≥ m} ≤ ε. (44)
Для любых k, j ∈ N положим
E(k, j) =
=
{
|uj | ≤ m, |u| ≤ m, |∇uj | ≤ m, |δu| ≤ m, |uj − u| < 1
k
, |∇uj − δu| ≥ t
}
.
Пусть k, j ∈ N и x ∈ E(k, j) \ E. Имеем |uj(x)| ≤ m, |∇uj(x)| ≤
≤ m, |δu(x)| ≤ m, |∇uj(x)−δu(x)| ≥ t и, следовательно, (uj(x), ∇uj(x), δu(x)) ∈
∈ Gt,m. Тогда в силу определения функций µt,m и Φx имеем µt,m(x) ≤ Φ(x, uj(x),
∇uj(x), δu(x)).
Теперь можно заключить, что для любых k, j ∈ N∫
E(k,j)
µt,m dx ≤
∫
E(k,j)
Φ(x, uj ,∇uj , δu)dx. (45)
Кроме того, так как согласно условию i) для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R
и ξ, ξ′ ∈ Rn выполняется неравенство Φ(x, s, ξ, ξ′) ≥ 0, то в силу условия (27)
существует последовательность {jk} ⊂ N такая, что для любых k ∈ N, k ≥ 1
ν1(m)
,
и j ∈ N, j ≥ jk, имеем ∫
E(k,j)
Φ(x, uj ,∇uj , δu)dx ≤ 2ν2
(
1
k
)
. (46)
Из (45) и (46) следует, что для любых k ∈ N, k ≥ 1
ν1(m)
, и j ∈ N, j ≥ jk,
∫
E(k,j)
µt,m dx ≤ 2ν2
(
1
k
)
. (47)
Покажем, что
sup
j≥jk
meas E(k, j) → 0 при k →∞. (48)
Действительно, предположим, что утверждение (48) неверно. Тогда существуют
τ > 0 и возрастающая последовательность {kl} ⊂ N ∩
[
1
ν1(m)
,+∞
)
такие, что
для любого l ∈ N имеем sup
j≥jkl
meas E(kl, j) ≥ τ . Отсюда следует, что для любого
l ∈ N найдется sl ∈ N, sl ≥ jkl
, такое, что
meas E(kl, sl) ≥
τ
2
. (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
178 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
В силу (47) для любого l ∈ N имеем∫
E(kl,sl)
µt,m dx ≤ 2ν2
(
1
kl
)
и, следовательно,
lim
l→∞
∫
E(kl,sl)
µt,mdx = 0.
Тогда, учитывая, что µt,m ∈ L1(Ω) и µt,m > 0 п. в. на Ω, и используя лемму 5,
получаем lim
l→∞
meas E(kl, sl) = 0, что противоречит (49). Полученное противоречие
доказывает, что утверждение (48) является справедливым.
Из этого утверждения следует, что существует k ∈ N такое, что
sup
j≥jk
meas E(k, j) ≤ ε. (50)
В силу сходимости {uj} к u по мере найдется j′k ∈ N такое, что для любого
j ∈ N, j ≥ j′k,
meas
{
|uj − u| ≥ 1
k
}
≤ ε. (51)
Зафиксируем теперь j ∈ N, j ≥ max(jk, j′k). Ясно, что
meas {|∇uj − δu| ≥ t} ≤
≤ meas {|uj | > m}+ meas {|u| > m}+ meas {|∇uj | > m} +
+ meas {|δu| > m}+ meas
{
|uj − u| ≥ 1
k
}
+ meas E(k, j).
Отсюда и из неравенств (43), (44), (50) и (51) выводим, что meas {|∇uj − δu| ≥
≥ t} ≤ 6ε. Следовательно, для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем Diuj → δiu по мере.
Теорема доказана.
Замечание 3. При доказательстве теоремы 1 использованы некоторые идеи
работ [1, 3].
Следствие 1. Пусть 0 < p̃ < np/(n − p), c̃ > 0, g̃ ∈ L1(Ω), g̃ ≥ 0 на Ω, и Φ
— функция Каратеодори на Ω × R × Rn × Rn. Кроме того, пусть выполняются
следующие условия:
i) для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R и ξ, ξ′ ∈ Rn
0 ≤ Φ(x, s, ξ, ξ′) ≤ c̃(|s|p̃ + |ξ|p + |ξ′|p) + g̃(x);
ii) для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R и ξ, ξ′ ∈ Rn, ξ 6= ξ′,
Φ(x, s, ξ, ξ′) > 0.
Пусть, далее, {uj} ⊂
◦
W 1,p(Ω), u ∈
◦
W 1,p(Ω), uj → u слабо в
◦
W 1,p(Ω) и существу-
ет k0 > 0 такое, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 179
lim
j→∞
∫
{|uj−u|<k0}
Φ(x, uj ,∇uj ,∇u) dx = 0. (52)
Тогда для любого i ∈ {1, . . . , n} Diuj → Diu по мере.
Доказательство. Очевидно, что функция Φ удовлетворяет условиям i) и ii)
теоремы 1. В силу слабой сходимости {uj} к u в
◦
W 1,p(Ω) uj → u сильно в L1(Ω)
и, следовательно, uj → u по мере.
Покажем, что последовательность {uj} и функция u удовлетворяют услови-
ям (25) – (27).
Поскольку uj → u слабо в
◦
W 1,p(Ω), последовательность {uj} ограничена в
◦
W 1,p(Ω). Тогда существует M > 0 такое, что для любого j ∈ N имеем∫
Ω
|uj |dx ≤ M,
∫
Ω
|∇uj |dx ≤ M. (53)
В силу неравенства Чебышева для любых m > 0 и j ∈ N
meas {|uj | ≥ m} ≤ 1
m
∫
Ω
|uj |dx.
Отсюда, учитывая первое из неравенств (53), получаем (25). Аналогично, исполь-
зуя неравенство Чебышева для функций |∇uj | и второе из неравенств (53), уста-
навливаем (26).
Далее, пусть ν1, ν2 : (0,+∞) → (0,+∞) — функции такие, что для любого
s ∈ (0,+∞) ν1(s) = k0, ν2(s) = s. Тогда, учитывая, что для почти всех x ∈ Ω и
любых s ∈ R и ξ, ξ′ ∈ Rn имеем Φ(x, s, ξ, ξ′) ≥ 0, из (52) выводим, что для любых
m ≥ 1 и k ∈ (0, ν1(m)]
lim
j→∞
∫
{|uj |<m,|u|<m,|uj−u|<k}
Φ(x, uj ,∇uj ,∇u) dx < ν2(k).
Следовательно, условие (27) выполняется.
Теперь в силу теоремы 1 для любого i ∈ {1, . . . , n} Diuj → Diu по мере.
Следствие доказано.
4. Приложение к нелинейным уравнениям с L1-данными. Пусть для лю-
бого i ∈ {1, . . . , n} ai — функция Каратеодори на Ω×R×Rn. Будем предполагать,
что для любого k > 0 существуют ck > 0 и gk ∈ L1(Ω), gk ≥ 0 на Ω, такие, что
для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R, |s| ≤ k, и ξ ∈ Rn выполняется неравенство
n∑
i=1
|ai(x, s, ξ)|p/(p−1) ≤ ck|ξ|p + gk(x). (54)
Кроме того, будем считать, что существуют p1 ∈ [0, p− 1) и c1 > 0 такие, что для
почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R и ξ ∈ Rn имеет место неравенство
n∑
i=1
ai(x, s, ξ)ξi ≥
c1|ξ|p
(1 + |s|)p1
. (55)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
180 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
Наконец, будем предполагать, что для почти всех x ∈ Ω и любых s ∈ R и ξ,
ξ′ ∈ Rn, ξ 6= ξ′,
n∑
i=1
[ai(x, s, ξ)− ai(x, s, ξ′)](ξi − ξ′i) > 0. (56)
Пусть f ∈ L1(Ω). Будем рассматривать следующую задачу Дирихле:
−
n∑
i=1
∂
∂xi
ai(x, u,∇u) = f в Ω, (57)
u = 0 на ∂Ω. (58)
Заметим, что если u ∈
◦
T 1,p(Ω), ϕ ∈
◦
W 1,p(Ω) ∩ L∞(Ω), k > 0 и i ∈ {1, . . . , n},
то функция ai(x, u, δu)(δiu − δiϕ) суммируема на множестве {|u − ϕ| < k}. Это
следует из предложения 1 и неравенства (54).
Определение 3. Энтропийным решением задачи (57), (58) будем называть
функцию u ∈
◦
T 1,p(Ω) такую, что для любых ϕ ∈ C∞
0 (Ω) и k > 0 выполняется
неравенство∫
{|u−ϕ|<k}
{ n∑
i=1
ai(x, u, δu)(δiu− δiϕ)
}
dx ≤
∫
Ω
f Tk(u− ϕ) dx.
Теорема 2. Существует энтропийное решение задачи (57), (58).
Доказательство. Используя неравенства (54) – (56), следствие 1, теорему 2.7
из [6] (гл. 2) и лемму В.1 из [7] (гл. 2), устанавливаем: если j ∈ N, то существует
функция uj ∈
◦
W 1,p(Ω) ∩ L∞(Ω) такая, что для любой функции ϕ ∈
◦
W 1,p(Ω)∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, Tj(uj),∇uj) Diϕ
}
dx =
∫
Ω
Tj(f) ϕ dx. (59)
Пусть k ≥ 1 и j ∈ N. Полагая в (59) ϕ = Tk(uj) и используя (1) и (55),
получаем ∫
{|uj |<k}
|∇uj |p dx ≤
{
2p1
c1
‖f‖L1(Ω)
}
k1+p1 . (60)
Отсюда и из леммы 4 следует, что существуют возрастающая последовательность
{jl} ⊂ N и функция u ∈
◦
T 1,p(Ω) такие, что
ujl
→ u п. в. на Ω. (61)
Покажем, что
Diujl
→ δiu по мере ∀ i ∈ {1, . . . , n}. (62)
Для этого воспользуемся теоремой 1. В силу (61) ujl
→ u по мере, а в силу (60) и
леммы 2 справедливы равенства (25) и (26). Пусть Φ — функция на Ω×R×Rn×Rn
такая, что для любой четверки (x, s, ξ, ξ′) ∈ Ω× R× Rn × Rn
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 181
Φ(x, s, ξ, ξ′) =
n∑
i=1
[ai(x, s, ξ)− ai(x, s, ξ′)
]
(ξi − ξ′i).
Очевидно, что Φ — функция Каратеодори. Кроме того, из (54) и (56) вытекает, что
выполняются условия i) и ii) теоремы 1.
Далее, пусть z ∈ C1(R), причем 0 ≤ z ≤ 1 на R, z = 1 на [−1, 1] и z = 0 на
R \ (−2, 2). Положим c = max
R
|z′|.
Зафиксируем m ≥ 1 и k > 0. Пусть zm — функция на R такая, что для любого
s ∈ R zm(s) = z
( s
m
)
. Имеем zm ∈ C1(R), 0 ≤ zm ≤ 1 на R, zm = 1 на [−m,m],
zm = 0 на R \ (−2m, 2m) и |z′m| ≤
c
m
на R.
Для любого j ∈ N положим wj = T2m(uj)− T2m(u).
Пусть теперь j ∈ N, j ≥ 2m. Положим ϕj = zm(uj) zm(u)Tk(wj). Тогда
ϕj ∈
◦
W
1,p
(Ω) и для любого i ∈ {1, . . . , n}
Diϕj = zm(uj)zm(u)DiTk(wj) + z′m(uj)zm(u)Tk(wj)Diuj+
+zm(uj)z′m(u)Tk(wj)DiT2m(u) п. в. на Ω. (63)
В силу (59) ∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, Tj(uj),∇uj)Diϕj
}
dx =
∫
Ω
Tj(f)ϕj dx.
Используя последнее равенство, (63), свойства функции zm и (54), (60) и (61),
получаем∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, Tj(uj),∇uj) DiTk(wj)
}
zm(uj)zm(u) dx ≤ σ(m)k,
где σ(m) — положительная постоянная, зависящая только от n, p, c1, c, ‖f‖L1(Ω)
и m.
Отсюда, воспользовавшись предложением 1, неравенством (56), свойствами
функции zm и определением функции Φ, выводим, что для любого j ∈ N, j ≥ 2m,∫
{|uj |<m,|u|<m,|uj−u|<k}
Φ(x, uj ,∇uj , δu) dx ≤ σ(m)k−
−
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, uj ,∇T2m(u))DiTk(wj)
}
zm(uj)zm(u) dx. (64)
Заметим, что в силу (54), (61) и свойств функции zm∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, ujl
,∇T2m(u))DiTk(wjl
)
}
zm(ujl
)zm(u) dx → 0 при l →∞ .
Учитывая это, из (64) получаем
lim
l→∞
∫
{|ujl
|<m,|u|<m,|ujl
−u|<k}
Φ(x, ujl
,∇ujl
, δu) dx ≤ σ(m)k. (65)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
182 А. А. КОВАЛЕВСКИЙ
Итак, если m ≥ 1 и k > 0, то выполняется неравенство (65).
Пусть теперь ν1 : (0,+∞) → (0,+∞), причем ν1(s) = [σ(s)]−2 для любого
s ≥ 1, и пусть ν2 : (0, +∞) → (0,+∞), ν2(s) = s1/2 для любого s ∈ (0,+∞).
Тогда в силу (65) для любых m ≥ 1 и k ∈ (0, ν1(m)] левая часть неравенства (65)
не превышает ν2(k).
Таким образом, функция Φ и последовательность {ujl
} удовлетворяют всем
условиям теоремы 1, из которой выводим, что утверждение (62) является справед-
ливым.
Далее, зафиксируем произвольные ϕ ∈ C∞
0 (Ω) и k > 0. Пусть τ — неубываю-
щая функция из C1(R) такая, что τ(s) = s, если s ≤ −1, и τ(s) = 0, если s ≥ 0.
Пусть еще для любого m ∈ N τm — функция на R такая, что для любого s ∈ R
τm(s) =
[
1
m
τ(m(|s| − k)) + k
]
sign s.
Зафиксируем произвольное m ∈ N, m >
1
k
, и возьмем j ∈ N. Тогда τm(uj −
−ϕ) ∈
◦
W 1,p(Ω). Тогда в силу (59)∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, Tj(uj),∇uj)Di(uj − ϕ)
}
τ ′m(uj − ϕ) dx =
∫
Ω
Tj(f) τm(uj − ϕ) dx.
Из этого равенства, используя (54), (55), (60) – (62) и лемму Фату, имеем∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, u, δu)δiu
}
τ ′m(u− ϕ) dx ≤
≤
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, u, δu) Diϕ
}
τ ′m(u− ϕ) dx +
∫
Ω
f τm(u− ϕ) dx.
Отсюда, переходя к пределу при m →∞, получаем неравенство∫
{|u−ϕ|<k}
{ n∑
i=1
ai(x, u, δu)(δiu− δiϕ)
}
dx ≤
∫
Ω
f Tk(u− ϕ) dx.
Это позволяет заключить, что u — энтропийное решение задачи (57), (58).
Теорема доказана.
Замечание 4. Соображение использовать неравенство (54), допускающее произ-
вольный рост коэффициентов уравнения (57) по u, инспирировано работой [8], где
рассматривалось аналогичное неравенство для коэффициентов параболического
уравнения с L1-данными. В случае, когда коэффициенты уравнения (57) могут
иметь рост не выше порядка p − 1 по u, имеют рост порядка p − 1 по ∇u и
удовлетворяют неравенствам (55) и (56), существование энтропийного решения
задачи (57), (58) установлено в [9].
Замечание 5. Из определения 3, неравенства (55) и леммы 3 следует, что если
u — энтропийное решение задачи (57), (58), то:
1) для любого λ, 0 < λ < n
p− 1− p1
n− p
, функция |u|λ суммируема на Ω;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
О СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ СОБОЛЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВА . . . 183
2) для любого λ, 0 < λ < n
p− 1− p1
n− 1− p1
, функция |δu|λ суммируема на Ω.
Такие же свойства суммируемости имеют энтропийные решения в случае, рас-
смотренном в [9].
Замечание 6. Отметим, что результаты, аналогичные изложенным в пунктах 2
и 3, могут быть получены для функциональных пространств и множеств, под-
ходящих для исследования некоторых классов нелинейных уравнений высокого
порядка с L1-данными. Здесь имеются в виду уравнения высокого порядка, ко-
эффициенты которых удовлетворяют условию усиленной эллиптичности (условию
Скрыпника [10]). Вопросы существования решений таких уравнений с L1-правыми
частями изучались в [3, 11].
1. Bénilan Ph., Boccardo L., Gallouët T., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J. L. An L1-theory of
existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations // Ann. Scuola norm. super.
Pisa. Cl. Sci. Ser. IV. – 1995. – 22, № 2. – P. 241 – 273.
2. Kovalevsky A. A. On a strict condition of limit summability of solutions of nonlinear elliptic equations
with L1-right-hand sides. – Donetsk, 2003. – 50 p. – (Preprint / NAS Ukraine. Inst. Appl. Math. and
Mech.; № 2003.01).
3. Ковалевский А. А. Энтропийные решения задачи Дирихле для одного класса нелинейных
эллиптических уравнений четвертого порядка с L1-правыми частями // Изв. РАН. Сер. мат. –
2001. – 65, № 2. – С. 27 – 80.
4. Ковалевский А. А. О суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с пра-
выми частями из логарифмических классов // Мат. заметки. – 2003. – 74, № 5. – С. 676 – 685.
5. Kovalevsky A. A. On general conditions for limit summability of solutions of nonlinear elliptic
equations with L1-data. – Donetsk, 2004. – 15 p. – (Preprint / NAS Ukraine. Inst. Appl. Math. and
Mech.; № 2004.03).
6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
7. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. –
М.: Мир, 1983. – 256 с.
8. Blanchard D., Murat F., Redwane H. Existence et unicité de la solution renormalisée d’un problème
parabolique non linéaire assez général // C. r. Acad. sci. Ser. I. – 1999. – 329. – P. 575 – 580.
9. Alvino A., Boccardo L., Ferone V., Orsina L., Trombetti G. Existence results for nonlinear elliptic
equations with degenerate coercivity // Ann. mat. pura ed appl. Ser. IV. – 2003. – 182. – P. 53 – 79.
10. Скрыпник И. В. О квазилинейных эллиптических уравнениях высшего порядка с непрерыв-
ными обобщенными решениями // Дифференц. уравнения. – 1978. – 14, № 6. – C. 1104 – 1118.
11. Kovalevsky A. A. Entropy solutions of Dirichlet problem for a class of nonlinear elliptic high-order
equations with L1-data // Нелинейные граничные задачи. – 2002. – 12. – С. 119 – 127.
Получено 30.09.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
|