Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана
Досліджується поведінка тотальної маси розв'язку задачі Неймана для широкого класу вироджених параболічних рівнянь з демпфіруванням у просторах із некомпактною межею. Знайдено нові критичні показники в досліджуваній задачі....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164948 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана / А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 2. — С. 272–282. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164948 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649482020-02-12T01:28:57Z Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана Тедеев, А.Ф. Статті Досліджується поведінка тотальної маси розв'язку задачі Неймана для широкого класу вироджених параболічних рівнянь з демпфіруванням у просторах із некомпактною межею. Знайдено нові критичні показники в досліджуваній задачі. We study the behavior of the total mass of the solution of Neumann problem for a broad class of degenerate parabolic equations with damping in spaces with noncompact boundary. New critical indices for the investigated problem are determined. 2006 Article Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана / А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 2. — С. 272–282. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164948 517.946 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Тедеев, А.Ф. Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана Український математичний журнал |
| description |
Досліджується поведінка тотальної маси розв'язку задачі Неймана для широкого класу вироджених параболічних рівнянь з демпфіруванням у просторах із некомпактною межею. Знайдено нові критичні показники в досліджуваній задачі. |
| format |
Article |
| author |
Тедеев, А.Ф. |
| author_facet |
Тедеев, А.Ф. |
| author_sort |
Тедеев, А.Ф. |
| title |
Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана |
| title_short |
Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана |
| title_full |
Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана |
| title_fullStr |
Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана |
| title_full_unstemmed |
Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана |
| title_sort |
начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. задача неймана |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164948 |
| citation_txt |
Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с демпфированием. Задача Неймана / А.Ф. Тедеев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 2. — С. 272–282. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT tedeevaf načalʹnokraevyezadačidlâkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâparaboličeskihuravnenijsdempfirovaniemzadačanejmana |
| first_indexed |
2025-07-14T17:41:58Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:41:58Z |
| _version_ |
1837645083824881664 |
| fulltext |
UDK 517.946
A. F. Tedeev (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck)
NAÇAL|NO-KRAEVÁE ZADAÇY DLQ KVAZYLYNEJNÁX
VÁROÛDAGWYXSQ PARABOLYÇESKYX URAVNENYJ
S DEMPFYROVANYEM. ZADAÇA NEJMANA*
We investigate the behaviour of the total mass of a solution of the Neumann problem for a wide class of
degenerate parabolic equations with damping in a space with a noncompact boundary. We find new
critical indexes in the problem considered.
DoslidΩu[t\sq povedinka total\no] masy rozv’qzku zadaçi Nejmana dlq ßyrokoho klasu vyrod-
Ωenyx paraboliçnyx rivnqn\ z dempfiruvannqm u prostorax iz nekompaktnog meΩeg. Znajdeno
novi krytyçni pokaznyky v doslidΩuvanij zadaçi.
1. Vvedenye. V dannoj rabote rassmatryvaetsq zadaça Nejmana
ut =
i
N
i
m
x
q
x
u Du u a x Du
i
=
− −∑ ∂
∂ ( ) −
1
1 1λ ν( ) , ( x, t ) ∈ Ω × ( 0, ∞ ), (1.1)
i
N
m
x iu Du u n
i
=
− −∑
1
1 1λ = 0, ( x, t ) ∈ ∂ Ω × ( 0, ∞ ), (1.2)
u ( x, 0 ) = u0 ( x ), x ∈ Ω, (1.3)
hde Ω ⊂ R
N, N ≥ 2, — neohranyçennaq oblast\ s dostatoçno hladkoj nekom-
paktnoj hranycej, n = ( n i ) —7vneßnqq normal\ k ∂ Ω, Du = u ux xN1
, ,…( ). V
dal\nejßem predpolahaem, çto a ( x ) y u0 ( x ) — neotrycatel\n¥e yzmerym¥e
funkcyy, pryçem u0 ∈ L1 ( Ω ), t. e. u0 ymeet koneçnug massu. Krome toho,
m + λ – 2 ≥ 0, λ > 0, 1 < q < λ + 1, ν q > m + λ – 1. (1.4)
Budem predpolahat\ takΩe dopolnytel\n¥e uslovyq na dann¥e zadaçy. Uravne-
nye ut = ∆u Du uq p− + δ , δ > 0, b¥lo vperv¥e yssledovano v rabote ·1‚ s
cel\g yzuçenyq vlyqnyq çlena − Du q
(yly, ynaçe, dempfyrovanyq) na
problemu suwestvovanyq yly nesuwestvovanyq hlobal\n¥x po vremeny reßenyj
zadaçy Dyryxle. Podrobn¥j analyz rezul\tatov v πtom napravlenyy moΩno
najty v obzornoj rabote ·2‚. Otmetym takΩe nedavnyj cykl rabot ·3 – 6‚, hde
ymegtsq dal\nejßye ss¥lky.
Cel\g dannoj rabot¥ qvlqetsq naxoΩdenye uslovyj na q, pry kotor¥x
massa reßenyq (1.1) – (1.3) u t( , ) ,⋅ 1 Ω ≡ u t L( , ) ( )⋅
1 Ω stremytsq k nulg pry t →
→ ∞. Otmetym, çto esly a ( x ) ≡ 0 , to dlq poçty vsex t > 0 u t( , ) ,⋅ 1 Ω ≡
≡ u0 1, Ω y, sledovatel\no, massa ne stremytsq k nulg pry t → ∞. Odnako, kak
v¥qsnylos\, daΩe nalyçye syl\noho stoka, t. e. dempfyrovanyq, v (1.1) ne vseh-
da harantyruet stremlenye k nulg mass¥ reßenyq (1.1) – (1.3). V sluçae a ( x ) ≡
≡ const, Ω = R
N
(zadaça Koßy) zadaça (1.1), (1.3) yssledovalas\ v rabote ·7‚, hde
dan otvet na vopros: pry kakyx uslovyqx na parametr¥ zadaçy massa reßenyq
stremytsq k nulg? A ymenno, najden krytyçeskyj pokazatel\ q* =
= N m N( ) ( )/+ − + +( ) +λ λ ν1 1 1 . ∏to oznaçaet, çto v sluçae q ≤ q*
u t RN( , ) ,⋅ 1 → 0 pry t → ∞, a v sluçae q > q* u t RN( , ) ,⋅ 1 > c > 0 pry dosta-
toçno bol\ßyx t > t0
. Krome toho, naprymer, esly supp u0 < ∞, to pry dosta-
toçno bol\ßyx znaçenyqx t dokazan¥ sledugwye ocenky:
*7
V¥polnena pry podderΩke INTAS (hrant 03-51-5007).
© A. F. TEDEEV, 2006
272 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
NAÇAL|NO-KRAEVÁE ZADAÇY DLQ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 273
u t RN( , ) ,⋅ 1 ≤ c t
–
A pry q < q *, (1.5)
hde
A =
q q
H
N
* − +( )ν 1 , H = ( )( ) ( )λ ν λ+ − − + −1 1 2q q m ·
y
u t RN( , ) ,⋅ 1 ≤ C t q(ln )
−
−
1
1ν
pry q = q *. (1.6)
Otmetym, çto zadaça (1.1) – (1.3) s a ( x ) ≡ 0 yzuçalas\ v rabotax ·8 – 11‚, hde
b¥ly dan¥ toçn¥e ocenky u t( , ) ,⋅ ∞ Ω y heometryy nosytelq. Kombynyruq
podxod¥, yzloΩenn¥e v πtyx rabotax y rabote ·7‚, m¥7ustanavlyvaem ocenky ty-
pa (1.5) y (1.6), kotor¥e, kak πto budet vydno yz dal\nejßeho, suwestvenno zavy-
sqt ot heometryy oblasty y povedenyq a ( x ) na beskoneçnosty. Dlq formuly-
rovky osnovn¥x rezul\tatov y yx dokazatel\stv nam potrebuetsq rqd opredele-
nyj y vspomohatel\n¥x predloΩenyj. Vsgdu v dal\nejßem çerez c budem obo-
znaçat\ postoqnn¥e, zavysqwye lyß\ ot parametrov zadaçy y ne zavysqwye ot
razmera oblasty Qt .
2. Vspomohatel\n¥e utverΩdenyq y formulyrovky osnovn¥x rezul\ta-
tov. V¥delym klass¥ oblastej s nekompaktnoj hranycej, udovletvorqgwyx
uslovyqm yzoperymetryçeskoho typa. Budem sçytat\, çto naçalo koordynat
prynadleΩyt Ω. Pust\ l ( v ) = inf mes N Q− ∂( ){ }1 ∩ Ω , hde ynfymum beretsq po
vsem otkr¥t¥m mnoΩestvam Q ⊂ Ω s lypßycevoj hranycej; mesN Q = v. Bu-
dem hovoryt\, çto Ω prynadleΩyt klassu B1 ( g ), esly suwestvuet neub¥vag-
waq neprer¥vnaq dlq vsex v > 0 funkcyq g ( v ) takaq, çto
v
v
( )
( )
N N
g
− /1
ne ub¥va-
et dlq vsex v > 0. Dalee, pust\ rk ( x ) = x xk1
2 2 1 2
+…+( ) /
, 1 ≤ k ≤ N, y dlq zadan-
noho ρ > 0 Ω ( ρ ) = Ω ∩ r xk ( ) <{ }ρ , V ( ρ ) = mesN Ω ( ρ ). Oboznaçym çerez R ob-
ratnug k V ( ρ ) funkcyg. Budem hovoryt\, çto Ω prynadleΩyt klassu B2 ( g ),
esly Ω ∈ B1 ( g ) y suwestvuet postoqnnaq c0 > 0 takaq, çto
R ( v ) ≥ c
g0
v
v( )
(2.1)
dlq vsex v > 0. Lehko vydet\, çto esly Ω ∈ B1 ( g ), to spravedlyvo obratnoe k
(2.1) neravenstvo
R ( v ) ≤ N
g
v
v( )
(2.2)
dlq vsex v > 0. Krome toho, yz (2.1) y (2.2) sleduet, çto
1
N
g Vρ ρ( )( ) ≤ V ( ρ ) ≤
1
0c
g Vρ ρ( )( ) (2.3)
dlq vsex ρ > 0. V svog oçered\, yz (2.3) v¥tekaet, çto mesN Ω = ∞. Klass¥ ob-
lastej B1 ( g ), B2 ( g ) b¥ly vveden¥ v [12], hde poluçen¥ toçn¥e ocenky skoros-
ty stabylyzacyy reßenyq zadaçy Nejmana dlq lynejn¥x parabolyçeskyx urav-
nenyj vtoroho porqdka. Typyçn¥m prymerom oblastej klassa B2 ( g ) qvlqetsq
oblast\ typa paraboloyda Ω
h = x R x xN h∈ ′ <{ }: 1 , hde ′x = x xN2
2 2 1 2
+…+( ) /
,
x1 > 1, 0 ≤ h ≤ 1. V πtom sluçae (sm. [9] dlq N ≥ 2 y [12] pry N = 2 )
g ( v ) =
c N Nmin ,( )v v− /( )1 γ , γ =
h N
h N
( )
( )
−
− +
1
1 1. (2.4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
274 A. F. TEDEEV
Dalee, çtob¥ yzbeΩat\ hromozdkyx formulyrovok rezul\tatov, budem pred-
polahat\, çto a ( x ) ≡ a ( rk ( x ) ). Bolee toho, predpoloΩym, çto a ( ρ ) — rastu-
waq funkcyq dlq vsex ρ > 0. Esly a1 ( s ) — ub¥vagwaq perestanovka funkcyy
1 / a ( rk ( x ) ), to sohlasno opredelenyg
a1 ( s ) =
1
a r xk ( )
*
( )
=
1
a R s( )( ) . (2.5)
Napomnym, çto pod ub¥vagwej perestanovkoj yzmerymoj funkcyy f ( x ) pony-
maetsq sledugwee: f ( s )
* = inf ( )τ µ τ <{ }s , µ ( τ ) = mesn x f x∈ >{ }Ω: ( ) τ (sm.,
naprymer, [13]). PredpoloΩym, çto
s
a s
q
( ) vozrastaet dlq vsex s > 0. (2.6)
Vvedem teper\ ponqtye reßenyq zadaçy (1.1) – (1.3) v Q∞ = Ω × ( 0, ∞ ). Budem
hovoryt\, çto u ( x, t ) — reßenye zadaçy (1.1) – (1.3) v Q∞ , esly u ≥ 0,
u ∈ L QT∞, ( )loc ∩ C T L0 2, ; ( ),( )( )loc Ω , | D u
σ
| λ
+
1
, a ( x ) | D u
ν
|
q ∈ L QT1, ( )loc , σ =
= ( m + λ – 1 ) / λ, dlq lgboho T > 0 y dlq lgboj funkcyy η ∈ C QT0
1( )
Q
t
m q
T
u u Du Du D a Du∫∫ − + +{ }− −η η ηλ ν1 1
d x d t = 0 . (2.7)
Krome toho, u ( x, t ) → u0 pry t → 0 v L1 ( Ω ).
Vopros o suwestvovanyy reßenyq zadaçy (1.1) – (1.3) predstavlqet samostoq-
tel\n¥j ynteres y budet rassmotren v otdel\noj rabote.
PreΩde çem perejty k toçn¥m formulyrovkam osnovn¥x rezul\tatov, vve-
dem nekotor¥e oboznaçenyq. Pust\ P y ϕ — obratn¥e sootvetstvenno k
V s sm( ) + − +λ λ2 1
y s a sH m q m+ − − + −( )[ ] /λ ν λ2 1 1
( )
( )
funkcyy. Zdes\ H = ( λ +
+ 1 ) ( ν q – 1 ) – q ( m + λ – 2 ). Osnovn¥my rezul\tatamy rabot¥ qvlqgtsq sledu-
gwye teorem¥.
Teorema 2.1. Pust\ u ( x, t ) — reßenye zadaçy (1.1) – (1.3) v Q∞ , suppu0 ⊂
⊂ Ω( )ρ0 , ρ0 < ∞, Ω ∈ B2 ( g ) y v¥polnen¥ uslovyq (1.4) s m + λ – 2 > 0 y (2.6).
Tohda spravedlyv¥ ocenky
E ( t ) ≡
Ω
∫ ⋅u t dx( , ) ≤ cV t
t
a t t
q q
ϕ ϕ
ϕ
ν
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ −1 1
, (2.8)
E ( t ) ≤ c
a P
V P P
d
t
q q
q
1
1
1 1
∫
( )
( )
−
− −/
( )
( ) ( )
( )
τ
τ τ
τν
ν
, (2.9)
u t( , ) ,⋅ ∞ Ω ≤ c
t
t
m
ϕ λ λ
( )
( )+ + −
/1 1 2
(2.10)
dlq vsex t > t0 = t u m
0 0 0 1
2ρ λ, ,Ω
+ −( ) .
Teorema 2.2. Pust\ u ( x, t ) — reßenye zadaçy (1.1) – (1.3) v Ω
h × ( 0, ∞ ),
a ( x ) ≡ x1
α
, 0 ≤ α < q, suppu0 ⊂ Ωh( )ρ0 , y v¥polnen¥ uslovyq (1.4) s m + λ –
– 2 > 0,
q > q
* =
N m
N
h
h
( )+ − + + +
+
λ λ α
ν
1 1
1
, (2.11)
hde Nh = ( N – 1 ) h + 1. Tohda dlq dostatoçno bol\ßyx t > t1 = t u1 0 0 1ρ , ,Ω( )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
NAÇAL|NO-KRAEVÁE ZADAÇY DLQ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 275
E ( t ) ≥ c > 0. (2.12)
Teorema 2.3. Pust\ u ( x, t ) — reßenye zadaçy (1.1) – (1.3) v Q∞ , Ω ∈ B2 ( g )
y v¥polnen¥ uslovyq (1.4) y (2.6) s ν = σ = ( m + λ – 1 ) / λ. Tohda spravedlyva
ocenka
E ( t ) ≤ c u dx
V t
t a tt
q q q
Ω Ω\ ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )ρ
λ λ λ
ρ
ρ ρ( )
− −∫ + ( )
( )
/ /0 , (2.13)
hde ρ ( t ) dlq vsex t > 0 opredelqetsq sledugwym obrazom:
ρ ρλ λ λ λ λq m q ma( ) ( )( ) ( )+ − + + −( ) + −/2 1 2 = t q m( )( )− + − /λ λ λ1
. (2.14)
Pryvedem prymer¥. Pust\ Ω = Ω
h
, α ≡ x1
α
dlq x ≥ 1 y a ≡ 1 dlq 0 < x <
< 1, 0 ≤ α < q. Tohda yz (2.8) poluçaem
E ( t ) ≤ c t
–
Λ
, (2.15)
hde Λ =
( )( )*q q N
H
h− +ν 1
1
, H1 = H + α ( m + λ – 2 ); q
*
opredeleno v (2.11). Yz
(2.15) vydno, çto esly q < q
*
, to E ( t ) → 0, t → ∞ . V tex Ωe predpoloΩenyqx
pry q = q
*
yz (2.9) sleduet ocenka
E ( t ) ≤ c t qln ( )[ ] − −/1 1ν
. (2.16)
Dalee, ocenka (2.10) prynymaet vyd
u t( , ) ,⋅ ∞ Ω ≤ Ct q H− + + − /( )λ α1 1
. (2.17)
Yz pryvedenn¥x rezul\tatov sleduet, çto q = q
*
yhraet rol\ krytyçeskoho
pokazatelq v zadaçe (1.1) – (1.3). Kak vydno, πtot pokazatel\ zavysyt ne tol\ko
ot m, λ, ν, no y ot heometryy oblasty y funkcyy a ( x ). Zametym pry πtom, çto
esly h = 1, a ( x ) ≡ 1, to nov¥j krytyçeskyj pokazatel\ sovpadaet s poluçen-
n¥m v [7] dlq sluçaq zadaçy Koßy. Ponqtno, çto sluçaj zadaçy Koßy ne ys-
klgçaetsq yz dannoho yssledovanyq. Otmetym takΩe sledugwyj fakt: ocenky
(2.17) y (2.10) ne zavysqt ot heometryy oblasty. Toçnost\ pryvedenn¥x rezul\-
tatov podtverΩdaetsq tem, ç t o f u n k c y q u ( x, t ) =
= ( ) ( )( ) ( )t t f x t tq H q m H+ +( )− + + − − − + −( )/ /
0
1
0
11 1λ α ν λ
qvlqetsq reßenyem uravne-
nyq (1.1) s a = x α
. Pry πtom f ( r ) udovletvorqet uravnenyg
− + + − + − + −
λ α ν λ1 1
1 1
q
H
f r
q m
H
r fr( )
( )
= r
d
dr
r f f fN N m
r r
− − − − −( )( )1 1 1 1λ –
– r f r
qα ν( ) .
Dalee, teorema 2.3 spravedlyva y v nev¥roΩdennom sluçae. Naprymer, esly
m + λ – 2 = 0, to ρ ( t ) = t1 1/ +( )λ
, y esly suppu0 < ∞, to yz (2.3) sleduet
E ( t ) ≤ cV t t a tq q q1 1 1 1 1/ / / /+ − − +[ ] + − −( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λ
. (2.18)
Zametym, çto yz uslovyj (1.4) pry ν = ( m + λ – 1 ) / λ poluçaem λ < q < λ + 1.
Krytyçnost\ Ωe pokazatelq q v (2.18) opredelqetsq uslovyem stremlenyq k
nulg pry t → ∞ pravoj çasty v (2.18). Po-vydymomu, ocenka (2.18) qvlqetsq
novoj daΩe v sluçae λ = 1.
V zaklgçenye πtoho punkta pryvedem vspomohatel\noe utverΩdenye, qvlqg-
weesq çastn¥m sluçaem lemm¥ 3.1 [14].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
276 A. F. TEDEEV
Lemma 2.1. Pust\ Ω ∈ B1 ( g ) y v¥polneno uslovye:
s
a s
p
( )
vozrastaet dlq
s > 0, p > 1. Tohda ymeet mesto neravenstvo
Ω
∫ ( )a r x Du dxk
p( ) ≥ c
E
G E E
p
p p
p
p
β
β β β/ − / −( )( ) ( ) (2.19)
dlq
0 < β < p, G ( s ) =
s
g s a R s
p
( ) ( )
( )
1
, Eγ =
Ω
∫ u dxγ
.
Esly sup ( )pu x ⊂ Ω( )ρ , to oçevydn¥m sledstvyem (2.19) qvlqetsq neraven-
stvo Puankare
Ω( )ρ
∫ u d xp ≤ c
a
a Du d x
p
pρ
ρ
ρ
( )
( )Ω
∫ . (2.20)
3. Dokazatel\stvo osnovn¥x rezul\tatov. Dokazatel\stvo teore-
m¥�2.1. DokaΩem snaçala, çto
Z ( t ) = inf { r > 0 : u ( x, t ) = 0, p. v. x ∈ Ω \ Ω ( r ) } ≤ c φ ( t ). (3.1)
Rassmotrym posledovatel\nost\ rn = 2 ρ ( 1 – 2
–
n
–
1
), n = 0, 1, … , ρ > 2ρ0 .
Pust\ ζn kr x( )( ) — posledovatel\nost\ hladkyx funkcyj, udovletvorqgwyx
uslovyqm: ζn = 0 pry x ∈ Ω ( rn ), ζn ≡ 1 pry x ∈ Ω \ Ω rn( ) , hde rn =
r rn n+ +1
2
, y
| D ζn | ≤ c 2
n
ρ
–
1
. Tohda, umnoΩaq obe çasty uravnenyq (1.1) na ζλ θ
n u+1
, θ > 0, y
yntehryruq po Qt , poluçaem
yn + 1 ≡ sup
0
1
< <
+∫
τ
θ
t Un
u d x +
0
2 1
t
U
m
n
u Du d x d∫ ∫ + − +θ λ τ +
+
0
t
U
q
n
u Du d x d∫ ∫ θ ν τ ≤ c u d x d
n t
U U
m
n n
2 1
1
0
1
( )
\
λ
λ
λ θ
ρ
τ
+
+
+ + −∫ ∫ , (3.2)
hde Un = Ω \ Ω ( rn ), Un = Ω \ Ω rn( ) . Toçno tak Ωe, kak v rabote [9], dokaz¥vaet-
sq neravenstvo
yn + 1 ≤ c t y f t y
n
K
n
m K m2 1
1
1 1 1 2 1
0 0
2 11 1
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
λ
λ
θ λ λ λ λ θ
ρ
θ θ
+
+
+ + + + − + + − +/ / /+ + ( ), (3.3)
hde
f s0( ) = F
s
sN K
m
1
1 1
2 11
1( ) ( )
( ) ( )
− +
+ − +
/ /
+θ
λ θ
θ
,
K1 + θ = N ( m + λ – 2 ) + ( 1 + θ )( λ + 1 ),
F1
1( )−
— obratnaq k F1 ( s ) = s g sλ λ β λ+ + − +/( ) ( )1 1 1
funkcyq. Perepyßem (3.3) v
vyde
y
A
n
a
+1 ≤ c n2 1( )λ+
, (3.4)
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
NAÇAL|NO-KRAEVÁE ZADAÇY DLQ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 277
a = 1
2 1
1
1
+ + − +
+
−
( )( )m
K
λ λ
θ
,
A = t f t yK m a( )( ) ( ) ( )1 1 1
0 0
2 11+ + − − + − + −/ /+ ( )[ ]θ λ λ λ θθ ρ .
Nam potrebuetsq ewe odno rekurrentnoe neravenstvo. Poskol\ku yzvestno [9],
çto
Z ( t ) ≤ c P t u m
0 1
2
0,Ω
+ −( ) +[ ]λ ρ , (3.5)
to, yspol\zuq neravenstvo Puankare (2.20) s p = q, poluçaem
0
t
U
q
n
w d x d∫ ∫ τ ≤ c a a Dw d x dq
t
U
q
n
ρ ρ τ( )( )− ∫ ∫1
0
≤
≤ c
Z t
a Z t
y
q
n
( )
( )( )
, w = u q q( )ν θ+ /
. (3.6)
Takym obrazom, prymenqq k pravoj çasty (3.2) neravenstvo Hel\dera, v sylu (3.6)
naxodym
yn + 1 ≤ c u d x d
n t
U
m
n
2 1
1
0
1
( )λ
λ
λ θ
ρ
τ
+
+
+ + −∫ ∫ ≤
≤ c tV
Z t
a Z t
y
n
q m q
q m q
n
m q2 1
1
1
1
1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
λ
λ
ν λ ν θ
λ θ ν θ
λ θ ν θ
ρ
ρ
+
+
− + −( ) +
+ + − +
+ + − +[ ]
( )
/
/
/
.
(3.7)
Perepyßem neravenstvo (3.7) v vyde
y
B
n
b
+1 ≤ c n2 1( )λ+ yn , (3.8)
hde b =
ν θ
λ θ
q
m
+
+ + − 1
> 1, poskol\ku
ν q > m + λ – 1, B = tV
Z t
a Z t
q m q
q b
( )
( )
( )
( ) ( )ρ ρν λ ν θ λ[ ]
( )
− + −( ) + − −/1 1
.
Obæedynqq teper\ neravenstva (3.4) y (3.8), s uçetom neravenstva Gnha
poluçaem
y
A B
n+
−
1
1
1
1 1
ε
ε ε ≤ c
y
A
y
B
n
a
n
b
+ ++
1 1 ≤ c n2 1( )λ+ yn ,
hde ε1 =
b
b a+ −1
< 1. Sledovatel\no, v sylu yteratyvnoj lemm¥ 5.6 [15, c. 113]
zaklgçaem, çto yn → 0, n → ∞,
A y B a b( )( )
0
1− / ≤ c0 . (3.9)
Dlq ocenky y0 rassmotrym posledovatel\nost\
y
(
n
) = sup ( , )
( )0
1
< < >
+∫ ⋅
τ ρ
θτ
t r xk n
u d x +
0
2 1
t
r x
m
k n
u Du d x d∫ ∫
>
+ − +
( ) ρ
θ λ τ +
+
0
t
r x
q
k n
u Du d x d∫ ∫
>( ) ρ
θ ν τ , ρn =
ρ( )1 2
2
+ n
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
278 A. F. TEDEEV
RassuΩdaq toçno tak Ωe, kak pry dokazatel\stve (3.8), ymeem y n b( )( ) ≤
≤ c n2 1( )λ+ y
(
n
+
1
)B. Yteryruq poslednee neravenstvo, poluçaem ocenku
y0 = y
(
0
) ≤
≤ ctV
Z t
a Z t
q m q m
q q m( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )ρ ρ
λ θ ν λ
λ ν θ ν λ
( )
+ + − − + −( )
− + + − + −( )
/
/
1 1
1 1
. (3.10)
Podstavlqq (3.10) v (3.9) y uçyt¥vaq oçevydnoe neravenstvo Z ( t ) ≤ 2 ρ, pryxo-
dym k v¥vodu, çto u ≡ 0, esly ρ
H
a ( ρ )
m
+
λ
–
2 ≥ c t q m
1
1ν λ− + −( )
. ∏to y dokaz¥vaet
ocenku (3.1).
Dalee, umnoΩym obe çasty (1.1) na u
θ
y proyntehryruem rezul\tat po Ω ( ρ )
s ρ = Z ( t ). V rezul\tate poluçym
1
1
1
θ τ
ρ
θ
+ ∫ +d
d
u d x
Ω( )
= – θ
ρ
θ λ
Ω( )
∫ + − +u Du d xm 2 1 –
– c a Du d xq q q
Ω( )
( )
ρ
ν θ∫ + / ≤ – c a Du d xq q q
Ω( )
( )
ρ
ν θ∫ + /
. (3.11)
Prymenqq teper\ neravenstva Hel\dera y Puankare, poluçaem
Ω( )ρ
θ∫ +u d x1 ≤ V u d xq q q
q
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
ρ ν ν θ
ρ
ν θ
θ ν θ
− + +
+ +
/
/
∫
1
1
Ω
≤
≤ cV a a Du d xq q q q q q q
q
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
ρ ρ ρν ν θ θ ν θ
ρ
ν θ
θ ν θ
− + − + + +
+ +
/ / /
/
[ ]
∫1 1 1
1
Ω
.
Sledovatel\no, yz (3.11) ymeem
d
d
u d x
τ
ρ
θ
Ω( )
∫ +1 ≤ −
− − + − +
+ +
/
/
∫cV a u d xq q
q
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
ρ ρ ρν θ
ρ
θ
ν θ θ
1 1 1
1
Ω
.
Yntehryruq πto neravenstvo, lehko naxodym
Ω( )ρ
θ∫ +u d x1 ≤ cV a tq q
( ) ( )
( ) ( )
ρ ρ ρ
θ ν− − + −[ ] /1 1 1 1
.
Nakonec, prymenqq neravenstvo Hel\dera, s uçetom pred¥duweho neravenstva
poluçaem
Ω Z t
u t d x
( )
( , )
( )
∫ ⋅ ≤
Ω Z t
u d x V Z t
( )
( )
( )( )
( )
+
+
+∫
( )
/
/1
1 1
1θ
θ
θ θ ≤
≤ V Z t Z t a Z t t V Z tq q
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )[ ] ( )− − + − +
+/ / /1 1 1 1 1 1
1θ ν θ
θ θ ≤
≤ cV t t a t tq q
ϕ ϕ ϕ
ν
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )[ ]− − −/1 1 1 1
.
DokaΩem ocenku (2.9). Yntehryruq uravnenye (1.1) po Ω ( ρ ), ρ = Z ( t ),
poluçaem
dE t
dt
( )
= – D ( t ), (3.12)
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
NAÇAL|NO-KRAEVÁE ZADAÇY DLQ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 279
E ( t ) =
Ω( )
( , )
ρ
∫ ⋅u t d x , D ( t ) =
Ω( )ρ
ν∫ a Du d x
q
.
Prymenqq neravenstva Hel\dera y Puankare, ymeem
E ( t ) ≤
Ω( )
( )
( ) ( )( )
ρ
ν
ν
ν νρ∫
/
/−u d x Vq
q
q q
1
1 ≤ c
a
D t V
q q
q qρ
ρ
ρ
ν
ν ν
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
/
/−
1
1
. (3.13)
Poskol\ku yz (3.5) pry dostatoçno bol\ßyx t > t0 sleduet, çto Z ( t ) ≤ c P ( t ), yz
neravenstv (3.12) y (3.13) v¥tekaet
dE t
dt
( )
≤ – c
a P t
V P t P t
E tq q
q( )
( ) ( )
( )
( )
( )
−ν
ν
1 . (3.14)
Sledovatel\no, yntehryruq (3.14) ot t0 do t, poluçaem
E ( t ) ≤ c
a P
V P P
d
t
t
q q
q
0
1
1 1
∫ ( )
( )
−
− −/
( )
( ) ( )
( )
τ
τ τ
τν
ν
.
Teorema 2.1 dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 2.2. Dlq lgb¥x 0 < t1 < t ymeem
E ( t1 ) = E ( t ) +
t
t
q
x Du d x d
1
1∫ ∫
Ω
α ν τ . (3.15)
Prymenqq neravenstvo Hel\dera, poluçaem
t
t
q
x Du d x d
1
1∫ ∫
Ω
α ν τ ≤
t
t
m
q
u Du d x d
1
2 1
1
∫ ∫ + − +
+
/
Ω
θ λ
λ
τ
( )
×
×
t
t
q q m q
q
x u d x d
1
1
1 1 1 1 1
1 1
∫ ∫ + + − + − + − −( ) + −
+ − +
/ /
/
Ω
α λ λ λ ν λ θ λ
λ λ
τ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
≡
≡ J Jq q
1
1
2
1 1/ /+ + − +( ) ( ) ( )λ λ λ
, (3.16)
hde θ > 0 — dostatoçno maloe çyslo. UmnoΩaq obe çasty (1.1) na u
θ
y ynteh-
ryruq po Ω × ( t1 , t ), ymeem
J1 ≤ c
Ω
∫ + ⋅u t d x1
1
θ( , ) . (3.17)
Dalee nam potrebuetsq sledugwaq ocenka dlq Ω ∈ B1 ( g ) [8, 9]:
u t( , ) ,⋅ ∞ Ω ≤ c
t E d
t t E d
t
t
t
t m
−
−
+ −
/
/
∫
∫
1
2
1
2
2
( )
( )
τ τ
ψ τ τ
λ , (3.18)
hde ψ — obratnaq k Ψ ( z ) = z z g zm+ − +/( )λ λ2 1( ) funkcyq.
V çastnosty, esly Ω = Ω
h
, to v sylu (2.4) dlq z > 1 ψ ( z ) =
= cz m N Nh h( )+ − + +( ) /λ λ2 1
. Sledovatel\no, s uçetom toho, çto E ( t ) ≤ u0 1,Ω ∀ t >
> 0, yz (3.18) dlq t > 1 poluçaem
u t( , ) ,⋅ ∞ Ω ≤ c u tK N Kh h h
0 1
1
,Ω
λ+( ) −/ /
, (3.19)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
280 A. F. TEDEEV
hde Kh = ( m + λ – 2 ) Nh + λ + 1. Tohda
Ω
∫ + ⋅u t d x1 θ( , ) ≤ E t u t( ) ( , ) ,1 1⋅ ∞ Ω
θ ≤ cE t u tK N Kh h h( ) ,1 0 1
1
Ω
λ θ θ+( ) −/ /
. (3.20)
Otmetym ewe, çto dlq Ω = Ω
h
Z t( ) ≤ c u tm K Kh hρ λ
0 0 1
2 1+( )+ − / /
,
( )
Ω ≤
≤ 2 0 1
2 1c u tm K Kh h
,
( )
Ω
+ − / /λ ≡ ˜ ( )Z t dlq t > t0 = ρ λ
0 0 1
2K mh u ,Ω
+ −
. Sledovatel\no, dlq
t0 < t1 < t ymeem
J2 ≤ c E Z u d
t
t
q H q q
1
1 1 1∫ + + −
∞
− + −/ /⋅( ) ˜( ) ( , )( ) ( )
,
( ) ( )τ τ τ τα λ λ θ λ
Ω ≤
≤ c u E t dm H q K q
t
t
HN qN q Kh h h h
0 1
2 1 1
1
1 1
1
,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )Ω
+ − + − +( ) + −( ) − − − +( ) + −[ ]/ /∫λ α θ λ λ θ α λ λτ τ .
(3.21)
Poskol\ku q > q
*
, yntehral v pravoj çasty (3.21) sxodytsq pry θ <
<
( )( )*q q N
qN
h
h
− +ν 1
. Obæedynqq ocenky (3.15) – (3.17), (3.21), naxodym
E ( t1 ) ≤ E ( t ) + c u t E tH K q q N Kh h h*
,
( )*
( )0 1 1 1Ω
/ /− −
(3.22)
dlq vsex t1 > t0 . V¥berem teper\ t1 :
t1 = max , *
,
( )( )*
t c u H K K q q N
h h h
0 0 1
1
2 1
Ω
/ /( )
− +[ ]ν
.
Tohda yz (3.22) lehko v¥vodym ocenku 2 E ( t ) ≥ E ( t1 ) dlq vsex t > t1 . Otmetym
takΩe [7] (lemma 4.1), çto sluçaj u ( x, t1 ) ≡ 0 dlq vsex x ∈ R
N
y nekotoroho
t1 > 0 ne ymeet mesta.
Teorema 2.2 dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 2.3. Ymeem
E ( t ) =
Ω
∫ ⋅u t d x( , ) =
Ω( )
( , )
ρ
∫ ⋅u t d x +
Ω Ω\ ( )
( , )
ρ
∫ ⋅u t d x ≡ I1 + I2 . (3.23)
Sohlasno neravenstvu Hel\dera
I1 ≤
Ω( )
( )
( ) ( )( )
ρ
ν
ν
ν νρ∫
/
/−u d x Vq
q
q q
1
1
. (3.24)
Pust\ u
ν = v. Tohda, prymenqq lemmu 2.1 s β = ν
–
1 < q, p = q, poluçaem
D ( t ) ≡
Ω
∫ a D d xqv ≥ c
F t
G E t F t
q
q q
q
q
( )
( ) ( )( ) ( )ν ν ν/ /− − −( )1 1 1 , (3.25)
hde
Fq ( t ) =
Ω
∫ ⋅v( , )t d xq
, G ( s ) =
s
g s
a R s
q
( )
( )
( )( )−1
.
Napomnym, çto
s
g s( )
∼ R ( s ) dlq Ω ∈ B2 ( g ). Yz (3.25) sleduet, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
NAÇAL|NO-KRAEVÁE ZADAÇY DLQ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 281
Fq ( t ) ≤ c E t G
D t
E t
q
q
q
( )
( )
( )
( )ν
ν
ν
1
1
1
−
−
, (3.26)
hde G1 ( s ) =
s
G s
qν −
−
1
1( )
, G1
1( )−
— obratnaq k G1 funkcyq. Dalee, yntehryruq
(1.1) po Ω, ymeem
d
dt
E t( ) = – D ( t ). Takym obrazom, yz (3.23), (3.24), (3.26) polu-
çaem neravenstvo
E ( τ ) ≤ c E V G
d
d
E Eq q q
q q
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
τ ρ
τ
τ τν ν ν
ν ν
− − −
−
/
/
−
{ }1
1
1
1
+ I2 ( τ ).
(3.27)
Dlq ocenky I2 ( τ ) postupym sledugwym obrazom. Pust\ ζ ( x ) = ζ ( rk ( x ) ) —
hladkaq funkcyq, ravnaq 1 pry rk ( x ) > ρ, nulg pry rk ( x ) < ρ / 2, 0 ≤ ζ ≤ 1, 0 <
< rk < ∞. Krome toho, | D ζ | ≤ c / ρ. UmnoΩym obe çasty (1.1) na ζ
s
, s ≥ λ + 1, y
rezul\tat proyntehryruem po Ω. V rezul\tate poluçym
d
d
u d xs
τ
ζ τ
Ω
∫ ⋅( , ) +
Ω
∫ a Du d x
q sν ζ ≤
c
Du d xs q
ρ
ζ
ρ ρ
ν
Ω Ω( ) \ \ 2
1
( )
−∫ ,
ν =
m + −λ
λ
1
.
Prymenqq k pravoj çasty neravenstvo Gnha, poluçaem
d
d
u x d xs
τ
ζ τ
Ω
∫ ( , ) +
Ω
∫ a Du d x
q sν ζ ≤
≤ c
q
a Du d xq qλ ε λ ν/ ∫
Ω
+ c
q
q
a r x d x
q
q q k
q− ( )
− −
−
( )
− −
/
/
/∫λ ε
ρ
λ λ
λ
ρ ρ
λ λ
( )
( )
( )
( )
\ \
( )
Ω Ω 2
.
Polahaq c
q
qλ ε λ/ = 1 / 2, yz posledneho neravenstva ymeem
d
d
u d xs
τ
ζ τ
Ω
∫ ⋅( , ) ≤ c
V
aq q q
( )
( )( ) ( )
ρ
ρ ρλ λ λ/ /− − .
Nakonec, yntehryruq πto neravenstvo, naxodym
Ω
∫ ζ τsu x d x( , ) ≤
Ω
∫ ζsu d x0 + c
V
aq q q
τ ρ
ρ ρλ λ λ
( )
( )( ) ( )/ /− − ≡
≡ ˜ ( , )F ρ τ ≤ ˜ ( , )F tρ , t1 < τ < t. (3.28)
Dalee, otmetym, çto G1 ( s ) = s s g sN N qε0 1 1( ) ( )− −/[ ] , ε0 =
N q q
N
( )ν − +1
. Znaçyt,
G s
s
1
0
( )
ε vozrastaet. ∏to oznaçaet, çto funkcyq s G s q q q
1
1 1( ) ( ) ( )
( )− − −( ) /ν ν ν
=
= s G s sqN q q q q/ / /− − − −( )[ ]ε ν ν ν ν ε0 0
1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) takΩe vozrastaet. Takym obrazom, yz
(3.27) y (3.28) sleduet
dy
dτ
≤ −
/ −
−c E t G
y
E t
Vq
q q
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1
1
1ν
ν ντ ρ ≤
≤ − ( )− − − −/ /c E t y G Vq q q q q( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1 1
1
10 0ν ν ε ν ν ε ντ ρ , (3.29)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
282 A. F. TEDEEV
hde y ( τ ) = E ( τ ) – ˜ ( , )F tρ .
Ytak, pry t1 = σ t, σ ∈ (0, 1), yntehryruq (3.29) ot σ t do t, poluçaem
E ( t ) ≤ ≤ c E t tq q q q q q( ) ( ) ( ) ( ) ( )σ σδ ν ν ε ν ν ν ε ν− − − + − − − +/ /1 1 1 10 0 ×
× G V
q q q
1
1 1 10( )
( ) ( )
ρ
ν ν ε ν− − − +( ) /
+ ˜ ( , )F tρ , (3.30)
hde δ =
ν
ν ν
q
q N q
2
2 21+ −( )
< 1. Nakonec, yteryruq (3.30) po σ, ymeem
E ( t ) ≤ ct G Vq q− − − − −/ /( )1 1
1
1 1 1( ) ( )
( )ν ν
ρ + c ˜ ( , )F tρ .
Zameçaq teper\, çto G V1
1( )ρ −( ) ∼ V aq q q( ) ( )( ) ( )ρ ρ ρν ν/ /− − −1 1 1
y naxodq ρ yz
uslovyq
ρ ρλ λ λ λ λ( ) ( )( ) ( )( )t a tq m q m+ − + + −( ) + −/ ( )2 1 2 = t q m( )( )− + − /λ λ λ1
,
pryxodym k trebuemomu utverΩdenyg.
Teorema 2.3 dokazana.
1. Chipot M., Weissler F. B. Some blow-up results for a nonlinear parabolic equation with a gradient
term // SIAM J. Math. Anal. – 1989. – 20. – P. 886 – 907.
2. Souplet Ph. Resent results and open problems on parabolic equations with gradient nonlinearities //
J. Different. Equat. – 2001. – # 20. – P. 1 – 19.
3. Laurencot Ph., Souplet Ph. On the growth of mass for a viscous Hamilton – Jacobi equation. –
2002. – Preprint.
4. Ben-Arti M., Souplet Ph., Wessler F. B. The local theory for viscous Hamilton – Jacobi equations
in Lebesgus spaces // J. Math. Pures and Appl. – 2002. – 81. – P. 343 – 378.
5. Souplet Ph. Gradient blow-up for multidimensional nonlinear parabolic equations with general
boundary conditions. – 2002. – Preprint.
6. Benachour S., Laurencot Ph., Schmidt D., Souplet Ph. Extinction and non-extincion for viscous
Hamilton – Jacobi equations in R
N. – 2002. – Preprint.
7. Andreucci D., Tedeev A. F., Ughi M. The Cauchy problem for degenerate parabolic eqautions with
source and damping // Ukr. Math. Bull. – 2004. – 1, # 1. – P. 1 – 23.
8. Tedeev A. F. Ocenky skorosty stabylyzacyy pry t → ∞ reßenyq vtoroj smeßannoj zadaçy
dlq kvazylynejnoho parabolyçeskoho uravnenyq vtoroho porqdka // Dyfferenc. uravnenyq.
– 1991. – 27, # 10. – S. 1795 – 1806.
9. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with
noncompact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
10. Andreucci D., Tedeev A. F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems in
narrowing domains // Proc. Poy. Soc. Edinburgh A. – 1998. – 128, # 6. – P. 1163 – 1180.
11. Andreucci D., Tedeev A. F. Sharp estimates and finite speed of propagation for a Neumann
problem in domains narrowing at infinity // Adv. Different. Equat. – 2000. – 5. – P. 833 – 860.
12. Huwyn A. K. Ob ocenkax reßenyj kraev¥x zadaç dlq parabolyçeskoho uravnenyq vtoroho
porqdka // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1973. – 126. – S. 5 – 45.
13. Talenti G. Elliptic equations and rearrangements // Ann/ Scuola norm. super. Pisa. – 1976. – 4,
#73. – P. 697 – 718.
14. Andreucci D., Cirmi G. R., Leonardi S., Tedeev A. F. Large time behavior of solutions to the
Neumann problem for a quasilinear second order degenerate parabolic equations in domains with
noncompact boundary // J. Different. Equat. – 2001. – 174. – P. 253 – 288.
15. Lad¥Ωenskaq O. A., Solonnykov V. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravne-
nyq parabolyçeskoho typa. – M.: Nauka, 1967. – 736 s.
Poluçeno 10.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
|