Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях
Розглядаються Функції на замкнених орiєнтованих поверхнях роду g≥1, які окрім локальних максимумів і мінімумів мають лише одну критичну точку типу сідла. Досліджено питання про реалізацію таких функцій на поверхнях та побудовано інваріант, що їх розрізняє. Для поверхонь роду g=(n−1)/2, де n — просте...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164963 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях / О.А. Кадубовський // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 343–351. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164963 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649632020-02-12T01:29:32Z Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях Кадубовський, О.А. Статті Розглядаються Функції на замкнених орiєнтованих поверхнях роду g≥1, які окрім локальних максимумів і мінімумів мають лише одну критичну точку типу сідла. Досліджено питання про реалізацію таких функцій на поверхнях та побудовано інваріант, що їх розрізняє. Для поверхонь роду g=(n−1)/2, де n — просте число, підраховано число топологічно нееквівалентних функцій, які мають лише один максимум i один мінімум. On closed oriented surfaces of genus g≥1, we consider functions that possess only one saddle critical point in addition to local maxima and minima. We study the problem of the realization of these functions on surfaces and construct an invariant that distinguishes them. For surfaces of genus g=(n−1)/2, where n is a prime number, we calculate the number of topologically nonequivalent functions with one maximum and one minimum. 2006 Article Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях / О.А. Кадубовський // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 343–351. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164963 517.938.5+519.514.17 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кадубовський, О.А. Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються Функції на замкнених орiєнтованих поверхнях роду g≥1, які окрім локальних максимумів і мінімумів мають лише одну критичну точку типу сідла. Досліджено питання про реалізацію таких функцій на поверхнях та побудовано інваріант, що їх розрізняє. Для поверхонь роду g=(n−1)/2, де n — просте число, підраховано число топологічно нееквівалентних функцій, які мають лише один максимум i один мінімум. |
| format |
Article |
| author |
Кадубовський, О.А. |
| author_facet |
Кадубовський, О.А. |
| author_sort |
Кадубовський, О.А. |
| title |
Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях |
| title_short |
Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях |
| title_full |
Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях |
| title_fullStr |
Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях |
| title_full_unstemmed |
Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях |
| title_sort |
топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164963 |
| citation_txt |
Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях / О.А. Кадубовський // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 343–351. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kadubovsʹkijoa topologíčnaekvívalentnístʹfunkcíjnaoríêntovanihpoverhnâh |
| first_indexed |
2025-07-14T17:42:48Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:42:48Z |
| _version_ |
1837645135839494144 |
| fulltext |
УДК 517.938.5 + 519.514.17
О. А. Кадубовський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТОПОЛОГIЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ФУНКЦIЙ
НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ∗
On closed oriented surfaces of the genus g ≥ 1, we consider functions which possess only one saddle
critical point in addition to local maxima and minima. We study the problem of the realization of such
functions on surfaces and construct an invariant for the distinguishing of such functions. For surfaces of
the genus g =
n− 1
2
, where n is a prime number, we calculate the number of topologically nonequivalent
functions with one maximum and one minimum.
Розглядаються функцiї на замкнених орiєнтованих поверхнях роду g ≥ 1, якi окрiм локальних
максимумiв i мiнiмумiв мають лише одну критичну точку типу сiдла. Дослiджено питання про
реалiзацiю таких функцiй на поверхнях та побудовано iнварiант, що їх розрiзняє. Для поверхонь
роду g =
n− 1
2
, де n — просте число, пiдраховано число топологiчно нееквiвалентних функцiй, якi
мають лише один максимум i один мiнiмум.
Вступ. Нехай (N, ∂N) — гладка поверхня з краєм ∂N (∂N може бути порожнiм).
Позначимо через C∞(N) простiр нескiнченно диференцiйовних функцiй на N з
краєм ∂N = ∂−N
⋃
∂+N , всi критичнi точки яких iзольованi та лежать у вну-
трiшностi N , а на компонентах зв’язностi краю ∂−N (∂+N) функцiї з C∞(N)
набувають однакових значень a(b).
Вiдомо, що C∞(N) є простором Фреше, на якому дiє нескiнченновимiрна група
Лi зi структурою многовиду Фреше GDiff = Diff(N)×Diff+(R1), яка визначається
рiвнiстю (k, l) ◦ f = l ◦ f ◦ k−1, k ∈ Diff(N), l ∈ Diff+(R1), f ∈ C∞(N). Тут
Diff(N) — група дифеоморфiзмiв многовиду N , а Diff+(R1) складається з тих
дифеоморфiзмiв прямої R1, якi зберiгають орiєнтацiю.
Двi функцiї f i g з простору C∞(N) називають „право-лiво” еквiвалентними
[1], якщо вони належать однiй орбiтi пiд дiєю групи GDiff .
Пiдрахунок числа нееквiвалентних функцiй у такому формулюваннi є достат-
ньо складною нерозв’язаною задачею. Неважко побудувати замкнену орiєнтовану
поверхню N роду g ≥ 1, на якiй iснують гладкi функцiї з одним максимумом,
одним мiнiмумом та однiєю виродженою критичною точкою. Однак число орбiт
групи GDiff на множинi C∞(N) може виявитися нескiнченним (виникають модулi
особливостей).
Якщо ж замiсть дифеоморфiзмiв розглянути гомеоморфiзми, то задача про
класифiкацiю функцiй значно спрощується.
Двi функцiї f i g з простору C∞(N) називають топологiчно еквiвалентними,
якщо iснують гомеоморфiзми k : N → N i l : R1 → R1 (l зберiгає орiєнтацiю)
такi, що g = l ◦ f ◦ k−1.
У подальшому завжди будемо покладати, що N — орiєнтована поверхня, а
гомеоморфiзм k зберiгає орiєнтацiю.
Вiдомо [2], що функцiя f ∈ C∞(N) у деякому околi своєї iзольованої критич-
ної точки x ∈ N (яка не є локальним екстремумом), у якої топологiчний тип
∗Виконано при пiдтримцi Державного фонду фундаментальних дослiджень України (проект
№ 01.07/00132).
c© О. А. КАДУБОВСЬКИЙ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3 343
344 О. А. КАДУБОВСЬКИЙ
лiнiй рiвня при переходi через x змiнюється, неперервною замiною координат
зводиться до вигляду f = Re zn + c, n ≥ 2 (у подальшому будемо називати
її суттєво критичною), або f = Re z, якщо топологiчний тип лiнiй рiвня при
переходi через x не змiнюється. Число k суттєво критичних точок xi функцiї
f разом зi значеннями ni (показниками в зображеннi f = Re zni + ci в околах
критичних точок xi) називається топологiчним сингулярним типом функцiї f .
У роботi [3] розглянуто питання топологiчної еквiвалентностi функцiй iз класу
C∞(N), у яких число критичних точок є фiксованим, та встановлено, що iснує
скiнченне число топологiчно нееквiвалентних таких функцiй.
У данiй роботi будемо розглядати гладкi функцiї з M максимумами, m мiнi-
мумами та однiєю суттєво критичною точкою на замкненiй орiєнтованiй поверхнi
N роду g ≥ 1. У подальшому множину всiх таких функцiй будемо позначати
CM,m(N).
Встановлено (лема 1), що на будь-якiй орiєнтованiй поверхнi роду g ≥ 1 iснують
функцiї з класу CM,m(N), але точне значення числа топологiчно нееквiвалентних
таких функцiй є невiдомим. Для всiх функцiй iз класу CM,m(N) показник n у
зображеннi f = Re zn + c однаковий (лема 2).
Доведено необхiдну й достатню умови топологiчної еквiвалентностi гладких
функцiй з однiєю суттєво критичною точкою на замкненiй орiєнтованiй поверх-
нi в термiнах 2-кольорових хордових дiаграм. Встановлено, що число тополо-
гiчно нееквiвалентних функцiй iз класу CM,m(N) дорiвнює числу неiзоморфних
2-кольорових дiаграм спецiального вигляду з n = 2g−1+M+m хордами. Пiдраху-
нок числа неiзоморфних таких дiаграм у загальному випадку є достатньо складною
i нерозв’язаною задачею.
У роботi [2] встановлено початковi значення числа топологiчно нееквiвалентних
функцiй iз класу C1,1(N) для поверхонь роду g = 1, 2, 3.
У данiй роботi для поверхонь роду g =
n− 1
2
, де n — просте число, пiдраховано
точне значення числа δ∗g =
1
2g + 1
(
(2g)!
g + 1
+2g(2g−1)
)
топологiчно нееквiвалент-
них функцiй iз класу C1,1(N).
1. Означення та зауваження.
Означення 1. Конфiгурацiя (граф) на площинi, що складається з кола та n
хорд, якi сполучають 2n рiзних точок на ньому, називається хордовою дiаграмою
порядку n або, коротко, n-дiаграмою (див., наприклад, [4, 5]).
Означення 2. 2-Кольоровою хордовою дiаграмою будемо називати n-дiагра-
му, дуги кола якої розфарбовано в два кольори так, що будь-якi сусiднi дуги мають
рiзний колiр.
Всi 2-кольоровi дiаграми будуються на одиничному колi (в R2) з фiксованою
нумерацiєю за годинниковою стрiлкою 2n точок на ньому, якi є вершинами пра-
вильного 2n-кутника; дуги b1 = 1̂; 2, b2 = 3̂; 4, . . . , bn = ̂2n− 1; 2n — чорного
кольору, а w1 = 2̂; 3, w2 = 4̂; 5, . . . , wn = 2̂n; 1 — бiлого) (рис. 1).
Нехай α = (a1, c1)(a2, c2)...(an, cn) =
(
a1 c1 an cn
c1 a1 ... cn an
)
— правило спо-
лучення 2n точок такого кола n хордами. Тодi 2-кольорову дiаграму будемо позна-
чати D(α) i ототожнювати з пiдстановкою α, а множину таких дiаграм познача-
ти =n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ТОПОЛОГIЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ФУНКЦIЙ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 345
Рис. 1. D(α) : α = (1, 8)(2, 4)(3, 7)(5, 12)(6, 9)(10, 11).
Рис. 2. Розширення 2-кольорової дiаграми.
Означення 3. Дiаграми D(α) i D(β) називають iзоморфними, якщо iснує
поворот кола, який переводить одну дiаграму в iншу.
Означення 4. 2-Кольорову дiаграму, яка не мiстить хорд, що сполучають
точки з номерами однакової парностi, будемо називати O-дiаграмою.
Означення 5. b-Циклом (w-циклом) 2-кольорової дiаграми з обраним нап-
рямком на колi будемо називати послiдовнiсть хорд i чорних (бiлих) дуг, якi утво-
рюють гомеоморфний образ орiєнтованого кола.
Означення 6. Розширенням 2-кольорової O-дiаграми будемо називати двоко-
льорову орiєнтовану поверхню з краєм, яку одержуємо таким чином (рис. 2):
1) стовстимо коло дiаграми до кольорового цилiндра так, щоб його хорди нале-
жали лише одному (наприклад, ω1) з двох його граничних кiл ω1, ω2;
2) заклеїмо коло ω2 двокольоровим диском (коло з 2n секторами, якi по черзi
пофарбовано у чорний та бiлий колiр) у вiдповiдностi з кольорами;
3) вздовж кожної хорди пiдклеїмо чорно-бiлi смуги у вiдповiдностi з кольором.
Означення 7. b-Циклом (w-циклом) розширення 2-кольорової O-дiаграми бу-
демо називати чорну (бiлу) компоненту його краю.
Зауваження 1. Якщо коло 2-кольорової дiаграми (з n хордами) стягнути в
точку, то отримаємо букет n кiл, який гомотопiчно еквiвалентний розширенню
цiєї дiаграми. Тому ейлерова характеристика розширення будь-якої 2-кольорової
дiаграми з n хордами дорiвнює 1− n.
Зауваження 2. Якщо проiгнорувати колiр, то кожен чорний (бiлий) цикл
2-кольорової O-дiаграми збiгається з вiдповiдним циклом звичайної дiаграми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
346 О. А. КАДУБОВСЬКИЙ
Наслiдуючи [6], природним чином визначаємо рiд 2-кольорової O-дiаграми.
Означення 8. Родом 2-кольорової O-дiаграми будемо називати цiле число g,
яке визначається спiввiдношенням g =
1
2
(1 + n− λ), де λ — сумарне число чорних
i бiлих циклiв 2-кольорової O-дiаграми.
Означення 9. O-Дiаграму з n хордами, яка має M чорних (бiлих) i m бiлих
(чорних) циклiв, будемо позначати Dn
M,m, а множину всiх таких дiаграм — =n
M,m.
O-Дiаграми з двома циклами будемо називати дiаграмами максимального роду.
Зауваження 3. O-Дiаграми максимального роду можливi лише при непар-
них n.
2. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй iз класу CM,m(N).
Лема 1. Нехай N — замкнена орiєнтована поверхня. Тодi для будь-яких
натуральних M i m iснує гладка функцiя f : N → R1 з M максимумами, m
мiнiмумами та однiєю (виродженою) суттєво критичною точкою.
Доведення. Розглянемо на N функцiю Морса f з M максимумами, m мiнiму-
мами i деяким числом r критичних точок x1, x2, . . . , xr iндексу 1. Така функцiя
на N завжди iснує. Без втрати загальностi можна вважати, що всi критичнi точки
x1, x2, . . . , xr належать одному критичному рiвню f−1(c). Якщо це не так, то в
результатi збурень початкової функцiї Морса цього неважко досягнути.
Розглянемо критичний рiвень f−1(c) i доведемо, що лiнiя рiвня Γ = f−1(c) є
зв’язним графом, порядок кожної з r вершин якого дорiвнює чотирьом.
Для цього достатньо показати, що критичний рiвень f−1(c) є (лiнiйно) зв’язним.
Припустимо обернене, а саме, що критичний рiвень f−1(c) є об’єднанням
зв’язних компонент Γ =
⋃k
i=1 Γi, якi не перетинаються. Їх буде скiнченне число
внаслiдок скiнченностi числа критичних точок початкової функцiї Морса. Розгля-
немо ε-околи Γε
i = f−1([c− ε, c + ε]) кожної з компонент Γi.
З одного боку, M =
⋃k
i=1 Γε
i є зв’язним многовидом, оскiльки його отримано
в результатi вирiзання з поверхнi N двомiрних клiтин, що вiдповiдають дисковим
околам максимумiв i мiнiмумiв. З iншого боку, оскiльки кожен з ε-околiв Γε
i ретра-
гується на свою компоненту Γi лiнiї рiвня Γ, то внаслiдок (лiнiйної) незв’язностi
Γ =
⋃k
i=1 Γi об’єднання ε-околiв M =
⋃k
i=1 Γε
i буде незв’язним многовидом.
Отже, прийшли до суперечностi. Звiдси маємо, що критичний рiвень f−1(c)
є лiнiйно зв’язним. А оскiльки вiн мiстить r морсiвських особливостей, то Γ =
= f−1(c) є зв’язним графом, порядок кожної з r вершин якого дорiвнює чотирьом.
Виберемо кусково-гладкий шлях α : [0, 1] → f−1(c), який мiстить всi критичнi
точки x1, x2, ..., xr лiнiї рiвня f−1(c). Це завжди можливо зробити, тому що за
ранiше встановленим критичний рiвень є лiнiйно зв’язним.
Зрозумiло, що функцiя f є сталою та регулярною на компонентах краю ∂M =
= f−1(c + ε)
⋃
f−1(c− ε) зв’язного многовиду M =
⋃k
i=1 Γε
i .
Далi побудуємо вiдображення Ψ : M → M , яке задовольняє умови:
1) Ψ(α[0, 1]) є точкою p ∈ M ;
2) Ψ(M\α[0, 1]) → M\p є дифеоморфiзмом.
Вiдображення Ψ тотожне на доповненнi до малого околу критичного рiвня
f−1(c). Тодi згiдно з теоремою 2.7 [7] функцiя g = f ◦Ψ−1(p) є гладкою функцiєю,
яка вiдрiзняється вiд f тiльки в малому околi критичного рiвня f−1(c) i має в цьому
околi лише одну вироджену критичну точку. Останнє i доводить, що побудована
функцiя g задовольняє умови леми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ТОПОЛОГIЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ФУНКЦIЙ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 347
Рис. 3. Лiнiя рiвня критичного значення функцiї f та вiдповiдна їй дiаграма Df .
Лема 2. Нехай N — замкнена орiєнтована поверхня, на якiй задано гладку
функцiю f з M максимумами, m мiнiмумами та однiєю суттєво критичною то-
чкою. Тодi в деякому околi своєї суттєво критичної точки функцiя f неперервною
замiною координат зводиться до вигляду f = Re z2g−1+(m+M) + cf , де g — рiд
поверхнi, cf — деяка константа.
Доведення. З роботи [2] випливає, що функцiя f в деякому околi своєї iзо-
льованої критичної точки xf ∈ N (яка не є локальним екстремумом) неперервною
замiною координат зводиться до вигляду f = Re zn + c, n ≥ 2.
Обчислимо ейлерову характеристику даної поверхнi. Очевидно, що прообраз
виродженої критичної точки функцiї f є букетом n кiл. Вiдомо [8], що для будь-
якого локального мiнiмуму (максимуму) гладкої функцiї f : N −→ R на замкненiй
поверхнi iснує окiл, в якому f неперервною замiною координат зводиться до ви-
гляду f = x2 + y2 (f = −x2 − y2). Тодi, виконавши клiтинне розбиття, неважко
встановити, що χ(N) = 1 − n + (m + M), де 1, n, m + M — число вiдповiдно
нуль-, одно- i двовимiрних клiтин. Таким чином, n = 1− χ(N) + (m + M) або ж
n = 1− (2− 2g) + (m + M) = 2g − 1 + (m + M), де g — рiд поверхнi N .
Наслiдок 1. Для будь-якої функцiї f ∈ CM,m(N) показник n у зображеннi
f = Re zn + c є однаковим i пов’язаний iз родом поверхнi спiввiдношенням
g =
n + 1−M −m
2
.
Покажемо, що кожнiй функцiї f ∈ CM,m(N) єдиним чином ставиться у вiдпо-
вiднiсть клас iзоморфних Dn
M,m-дiаграм з n = 2g − 1 + M + m хордами.
Нехай xf ∈ N — суттєво критична точка функцiї f . Без втрати загальностi
можна вважати, що xf збiгається з початком координат. Зрозумiло, що лiнiя рiвня
критичного значення є букетом n кiл, якi перетинаються в точцi xf . Оскiльки
функцiя f в деякому околi своєї суттєво критичної точки xf має вигляд f = Re zn+
+ c, то окiл Df останньої можна вибрати таким чином, щоб вiн був дисковим
околом цiєї точки, в якiй перетинаються n вiдрiзкiв лiнiї рiвня i розбивають диск
на 2n бiлих i чорних секторiв, у внутрiшностi яких функцiя f набуває значень
вiдповiдно бiльших i менших, нiж c. Таким чином, в околi Df буде 2n послiдовно
розфарбованих чорних i бiлих секторiв (рис. 3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
348 О. А. КАДУБОВСЬКИЙ
Продовження вiдрiзкiв лiнiї рiвня визначають хорди 2-кольорової дiаграми Df ,
а колiр секторiв — колiр дуг її кола. Оскiльки N — орiєнтована поверхня, то
розширення дiаграми Df (означення 6) повинно бути орiєнтованою поверхнею з
краєм. Тому дiаграма Df є O-дiаграмою. А внаслiдок того, що функцiя f має
саме M максимумiв i m мiнiмумiв на N , розширення дiаграми Df повинно мати
M чорних (бiлих) та m бiлих (чорних) компонент краю. Тому дiаграма Df є
Dn
M,m-дiаграмою.
Зауваження 4. Якщо чорну i бiлу компоненти краю розширення дiаграми
Df заклеїти вiдповiдно чорними i бiлими дисками, то отримана поверхня (колiр не
має значення) буде гомеоморфною N .
Теорема 1. Двi функцiї f, g ∈ CM,m(N) топологiчно еквiвалентнi тодi i
лише тодi, коли iзоморфнi вiдповiднi їм 2-кольоровi дiаграми Df , Dg ∈ =n
M,m.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай функцiї f, g : N 7−→ R1 топологiчно еквiва-
лентнi. Тодi iснують гомеоморфiзми k : N → N i l : R1 → R1 (що зберiгають
орiєнтацiю) такi, що g = l ◦ f ◦ k−1. Це означає, що сiдлова точка xf вiдобража-
ється в сiдлову точку xg , кожна точка максимуму (мiнiмуму) функцiї f — в точку
максимуму (мiнiмуму) функцiї g, критичний рiвень функцiї f , що мiстить точку
xf , — в критичний рiвень функцiї g, що мiстить точку xg .
Без втрати загальностi можна вважати, що суттєво критичнi точки xf , xg цих
функцiй збiгаються. Якщо це не так, то дифеоморфiзмом, iзотопним тотожному,
цього неважко досягнути.
Виберемо окiл цiєї точки таким чином, щоб для кожної з функцiй f i g вiн
був дисковим околом Df (Dg) спiльної точки, в якiй перетинаються n вiдрiзкiв
вiдповiдної лiнiї рiвня i розбивають цей диск на 2n бiлих i чорних секторiв, у
внутрiшностi яких функцiя f (g) набуває значень бiльших або менших, нiж c.
Оскiльки поверхня N орiєнтована, то в околi Df на вiдповiдних 2n вiдрiзках
можна задати циклiчний порядок (c1, c2, . . . , c2n), тобто згiдно з обраною орiєнта-
цiєю послiдовно їх занумерувати. Внаслiдок того, що гомеоморфiзм k : N → N
зберiгає орiєнтацiю, зберiгається такий самий циклiчний порядок i на вiдрiзках в
околi k
(
Df
)
∩Dg . Це означає, що зберiгається циклiчний порядок точок на колах
дiаграм Df , Dg .
Бiльш того, оскiльки кожна точка максимуму (мiнiмуму) функцiї f вiдобража-
ється в точку максимуму (мiнiмуму) функцiї g, то це означає, що кожна чорна (бiла)
компонента краю розширення дiаграми Df переходить у чорну (бiлу) компоненту
краю розширення дiаграми Dg . З цього випливає, що кожен чорний (бiлий) цикл
дiаграми Df переходить у чорний (бiлий) цикл дiаграми Dg .
Пiдсумовуючи викладене вище, робимо висновок, що для топологiчно еквiва-
лентних функцiй f, g ∈ CM,m(N) дiаграма Dg одержується в результатi деякого
повороту дiаграми Df . Таким чином, дiаграми Df , Dg є iзоморфними.
Достатнiсть очевидна.
Наслiдок 2. Число топологiчно нееквiвалентних функцiй iз класу CM,m(N)
дорiвнює числу неiзоморфних Dn
M,m-дiаграм, де n = 2g − 1 + M + m, g — рiд
поверхнi N .
Оскiльки розширення Dn
M,m-дiаграм з n хордами є орiєнтованими поверхнями
(означення 6) з однаковою ейлеровою характеристикою (зауваження 1) i однаковим
числом компонент краю вiдповiдного кольору (M чорних i m бiлих), то розши-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ТОПОЛОГIЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ФУНКЦIЙ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 349
Рис. 4. b = (b1, b3, b6, b4, b2, b5, b7)↔ w(b) = (w1, w6, w2, w3, w7, w4, w5).
рення, що вiдповiдають неiзоморфним Dn
M,m-дiаграмам (при фiксованому n), є
гомеоморфними поверхнями з краєм.
Таким чином, число топологiчно нееквiвалентних функцiй iз класу CM,m(N)
дорiвнює числу неiзоморфних Dn
M,m-дiаграм з n = 2g − 1 + M + m хордами.
3. Число неiзоморфних O-дiаграм максимального роду. Пiдрахуємо спо-
чатку число всiх O-дiаграм максимального роду. Нагадаємо, що вони будуються
на основi кола з фiксованою нумерацiєю 2n вершин i фiксованим розфарбуванням
його дуг.
Задамо напрямок кола дiаграми, наприклад, проти годинникової стрiлки (рис. 4).
Тодi кожну O-дiаграму максимального роду можна подати у виглядi циклу довжини
n з додатковою умовою. Пояснимо це бiльш детально.
Пiд обходом чорних (бiлих) дуг bj (wj) O-дiаграми максимального роду почи-
наючи з чорної (бiлої) дуги b1 (w1) будемо розумiти послiдовнiсть чорних (бiлих)
дуг
b = (b1, bm2 , . . . , bmn) , (w = (w1, wk2 , . . . , wkn) ,
якi зустрiчаються при слiдуваннi по єдиному чорному (бiлому) її циклу (рис. 4).
Тодi кожен такий обхiд однозначно визначає хорди дiаграми, а тому i саму дiаграму,
i навпаки.
Зрозумiло, що для O-дiаграм максимального роду b i w є циклами довжини n i
належать симетричнiй групi Sn.
Неважко перевiрити, що якщо b = (1, i2, . . . , in) =
(
1 i2 ... in−1 in
i2 i3 ... in 1
)
— обхiд чорних дуг (з номерами 1, i2, . . . , in) O-дiаграми D = D(b) максимального
роду, то обхiд бiлих дуг цiєї дiаграми можна встановити по b, а саме
w = w(b) =
(
i2 i3 ... in 1
n i2 − 1 ... in−1 − 1 in − 1
)
= (j1, j2, ..., jn).
Таким чином, задача про пiдрахунок числа всiх O-дiаграм максимального роду
звелась до задачi про пiдрахунок всiх таких циклiв b довжини n, для яких w = w(b)
також є циклом довжини n. Зрозумiло, що для будь-якого циклу b довжини n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
350 О. А. КАДУБОВСЬКИЙ
b ◦ w(b) =
(
1 i2 ... in
n i2 − 1 ... in − 1
)
= (n, n− 1, ..., 1).
Неважко показати, що дана задача, в свою чергу, еквiвалентна задачi про число
зображень фiксованого циклу (з Sn) довжини n у виглядi добутку двох циклiв
(з Sn) довжини n. Остання була розглянута в роботi [9], де встановлено, що
для парних n це число дорiвнює 0, а для непарних n обчислюється за формулою
an =
2(n− 1)!
n + 1
. Таким чином, число 2-кольорових O-дiаграм максимального роду
дорiвнює
2(n− 1)!
n + 1
=
∣∣=n
1,1
∣∣.
Згiдно iз зауваженням 3 та як наслiдок з роботи [9], O-дiаграми максимального
роду можливi лише при непарних n.
Згiдно з лемою Бернсайда, використовуючи результати роботи [6], неважко
встановити, що число неiзоморфних 2-кольорових O-дiаграм максимального роду
з n хордами можна обчислити за формулою
δ∗n =
1
|Cn|
Mn +
∑
i|n, i6=n
φ
(n
i
)
Fix(ξ2i, n)
=
=
1
n
Mn +
∑
i|n,i6=n
φ
(n
i
)
p(n, 2i)
, (1)
де Mn =
∣∣=n
1,1
∣∣; Cn — група циклiчних перестановок порядку n, породжена еле-
ментом ξ2 =
(
1 2 ... 2n− 1 2n
3 4 ... 1 2
)
; φ(q) — функцiя Ейлера (число натураль-
них менших за q чисел, взаємно простих iз ним); p(n, 2i) — число 2-кольорових
O-дiаграм D(α) максимального роду, для яких циклiчна перестановка ξ2i є авто-
морфiзмом [6], тобто число таких D(α), для яких α = ξ−2i ◦ α ◦ ξ2i.
Iншими словами, p(n, 2i) — число всiх 2-кольорових O-дiаграм максимального
роду, якi самосумiщаються при поворотi на кут ω =
π
n
· 2i (за годинниковою
стрiлкою).
Обмежимося розглядом випадку, коли n є простим числом. Тодi формула (1)
набирає вигляду
δ∗n =
1
n
(
2(n− 1)!
n + 1
+ (n− 1)p(n, 2)
)
, (2)
i для пiдрахунку числа неiзоморфних 2-кольорових O-дiаграм максимального роду
достатньо обчислити величину p(n, 2).
Лема 3. Для простих n величина p(n, 2) = n− 2.
Доведення. Нехай D = D(b) — O-дiаграма максимального роду з n хордами,
b = (1, j2, . . . , jn) — обхiд чорних дуг дiаграми, а w = w(b) = (1, jn − 1, . . .) —
обхiд бiлих дуг цiєї дiаграми.
Той факт, що дiаграма D(b) самосумiщається при поворотi на кут ω =
π
n
· 2 за
годинниковою стрiлкою, означає, що якщо впорядкована пара {1, j2} ∈ b, то циклу
b належать i впорядкованi пари {2, j2 +1}, {3, j2 +2}, . . . , {j2, 2j2− 1}, . . . , {2j2−
−1, 3j2 − 2}, . . . . Зауважимо, що арифметичнi дiї виконуються за модулем n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ТОПОЛОГIЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ФУНКЦIЙ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 351
Таким чином, b має вигляд b = (1, 1+h, 1+2h, . . . , 1+(n−1)h), де h — крок,
з яким вiдбувається обхiд чорних дуг дiаграми. Справдi, оскiльки n є простим, то
при будь-якому 1 ≤ h ≤ n − 1 b є циклом довжини n, i зрозумiло, що вiдповiдна
дiаграма має єдиний чорний цикл. Але при h = n − 1 вiдповiдна дiаграма має n
бiлих циклiв.
Покажемо, що при будь-якому 1 ≤ h ≤ n − 2 вiдповiдна дiаграма є дiаграмою
максимального роду.
На пiдставi викладеного вище обхiд бiлих дуг дiаграми вiдбувається також
з деяким кроком h′. Бiльш того, оскiльки w = w(b) = (1, jn − 1, . . .), то з цього
випливає, що при кожному 1 ≤ h ≤ n−2 w = w(b) має вигляд w = (1, (n−1)h, . . .),
а тому h′ = (n − 1)h − 1. Зрозумiло, що h + h′ ≡ h + (n − 1)h − 1 ≡ nh − 1 ≡
≡ n− 1(modn). Далi, оскiльки 1 ≤ h, h′ ≤ n− 2, то з останнього спiввiдношення
випливає, що h′ = n−1−h i є взаємно простим з n. А це й означає, що вiдповiдна
дiаграма має єдиний бiлий цикл. Отже, p(n, 2) = n− 2.
Наслiдок 3. Для простих n число неiзоморфних 2-кольорових O-дiаграм
максимального роду може бути обчислене за допомогою спiввiдношення
δ∗n =
1
n
(
2(n− 1)!
n + 1
+ (n− 1)(n− 2)
)
. (3)
Наслiдок 4. На замкненiй орiєнтованiй поверхнi роду g =
n− 1
2
(n — просте
число) iснує точно δ∗n топологiчно нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(N).
Початковi значення числа топологiчно нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(N)
в залежностi вiд роду g орiєнтованої поверхнi N наведено в таблицi.
g 0 1 2 3 4 5 6
n = 2g + 1 1 3 5 7 9 11 13
δ∗n 1 1 4 30 54 990 5 263 764
1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображе-
ний. – М.: Наука, 1982. – Т. 1. – 302 с.
2. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a
cloused surface // Topology and its Apll. – 2002. – 119. – P. 257 – 267.
3. Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях // Укр. мат.
жур. – 2003. – 55, № 5. – P. 687 – 700.
4. Stoimenov A. On the number of chord diagrams // Discrete Math. – 2000. – 218, № 1-3. – P. 209 – 233.
5. Khruzin A. Enumeration of chord diagrams. – Arxiv: math. CO/0008209. – 10 p.
6. Cori R., Marcus M. Counting non-isomorphic chord diagrams // Theor. Comput. Sci. – 1998. – 204.
– P. 55 – 73.
7. Takens F. The minimal number of critical points of a function on a compact manifold and the
Lusternik – Sehnirelman category // Invent. math. – 1968. – 6. – P. 197 – 244.
8. Dancer E. N. Degenerate critical points, homotopy indices and Morse inequalities. II // J. reine und
angew. Math. – 1987. – 382. – S. 145 – 164.
9. Boccara G. Nombre de representations d’une permutation comme produit de deux cycles de
longueurs donnees // Discrete Math. – 1980. – 29, № 2. – P. 105 – 134.
Одержано 08.02.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
|