Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу

Знайдено стаціонарну міру для процесу, що описується диференціальним рівнянням із фазовим простором на відрізку [V₀,V₁] та сталими значеннями векторного поля, які залежать від керуючого напівмарковського процесу зі скінченною множиною станів....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2006
Автор: Погоруй, А.О.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164966
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу / А.О. Погоруй // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 381–387. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-164966
record_format dspace
spelling irk-123456789-1649662020-02-12T01:29:32Z Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу Погоруй, А.О. Статті Знайдено стаціонарну міру для процесу, що описується диференціальним рівнянням із фазовим простором на відрізку [V₀,V₁] та сталими значеннями векторного поля, які залежать від керуючого напівмарковського процесу зі скінченною множиною станів. We determine a stationary measure for a process defined by a differential equation with phase space on the segment [V₀,V₁] and constant values of a vector field that depend on a controlling semi-Markov process with finite set of states. 2006 Article Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу / А.О. Погоруй // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 381–387. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164966 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Погоруй, А.О.
Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
Український математичний журнал
description Знайдено стаціонарну міру для процесу, що описується диференціальним рівнянням із фазовим простором на відрізку [V₀,V₁] та сталими значеннями векторного поля, які залежать від керуючого напівмарковського процесу зі скінченною множиною станів.
format Article
author Погоруй, А.О.
author_facet Погоруй, А.О.
author_sort Погоруй, А.О.
title Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
title_short Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
title_full Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
title_fullStr Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
title_full_unstemmed Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
title_sort стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2006
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164966
citation_txt Стаціонарний розподіл процесу випадкової напівмарковської еволюції з затримуючими екранами у випадку балансу / А.О. Погоруй // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 381–387. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT pogorujao stacíonarnijrozpodílprocesuvipadkovoínapívmarkovsʹkoíevolûcíízzatrimuûčimiekranamiuvipadkubalansu
first_indexed 2025-07-14T17:42:56Z
last_indexed 2025-07-14T17:42:56Z
_version_ 1837645144828936192
fulltext UDK 519.21 A. O. Pohoruj (Ûytomyr. ped. un-t) STACIONARNYJ ROZPODIL PROCESU VYPADKOVO} NAPIVMARKOVS|KO} EVOLGCI} Z ZATRYMUGÇYMY EKRANAMY U VYPADKU BALANSU A stationary measure is obtained for a process given by a differential equation with phase space on the interval [ V0 , V1 ] and stable values of a vector field that depend on the controlling semi-Markov process with a finite set of states. Znajdeno stacionarnu miru dlq procesu, wo opysu[t\sq dyferencial\nym rivnqnnqm iz fazovym prostorom na vidrizku [ V0 , V1 ] ta stalymy znaçennqmy vektornoho polq, qki zaleΩat\ vid ke- rugçoho napivmarkovs\koho procesu zi skinçennog mnoΩynog staniv. U zadaçax nadijnosti pry obçyslenni stacionarnyx pokaznykiv efektyvnosti ta nadijnosti system vynyka[ problema znaxodΩennq stacionarnyx rozpodiliv pro- cesiv, wo modelggt\ ci systemy [1 – 3] (rozd. 3, 4). Dlq doslidΩennq bahato- faznyx system iz nakopyçuvaçamy v qkosti modelggçyx vykorystovugt\sq sto- xastyçni procesy perenosu z zatrymugçymy ekranamy v markovs\komu çy napiv- markovs\komu seredovywi [2, 3]. U vypadku napivmarkovs\koho kerugçoho pro- cesu doslidΩu[t\sq stacionarnyj rozpodil vidpovidnoho trykomponentnoho markovs\koho procesu, perßa komponenta qkoho [ çasovog (ças, projdenyj ke- rugçym procesom z momentu ostann\o] zminy stanu), druha vidpovida[ stanu ke- rugçoho procesu i tretq [ prostorovog, wo opysu[ napovnenist\ nakopyçuvaçiv. ZnaxodΩennq stacionarnoho rozpodilu v napivmarkovs\komu vypadku [ netryvi- al\nog zadaçeg navit\ dlq najprostißoho vypadku al\ternuval\noho kerugço- ho procesu [3]. U danij roboti rezul\tat, otrymanyj u [3] dlq odnofazno] systemy, uzahal\- ng[t\sq na dovil\nyj skinçennyj fazovyj prostir kerugçoho procesu u vypadku balansu. Rozhlqnemo rivnqnnq d t dt ν( ) = C ( κ ( t ), ν ( t ) ), (1) de κ ( t ) — napivmarkovs\kyj proces iz fazovym prostorom G = X ∪ Y , X = { x1 , x2 , … , xn }, Y = { y1 , y2 , … , ym }, matryceg perexidnyx imovirnostej vkladenoho v κ ( t ) lancgha Markova kl , l ∈ N, P = p Gαβ α β, , ∈{ }, pαβ = P κ α κl l+{ = /1 = = β} i çasom τα perebuvannq u stani α ∈ G, wo ma[ zahal\nu funkcig roz- podilu Fα ( t ). Vidomo [5] (hl. 3), [6], wo rivnqnnq (1) opysu[ stoxastyçnyj proces perenosu v napivmarkovs\komu seredovywi. Prypuska[mo vykonannq umovy U1 ) isnugt\ wil\nist\ fα ( t ) = dF t dt α ( ) ta momenty mα = 0 ∞ ∫ t f t dtα ( ) , mα ( )2 = 0 2 ∞ ∫ t f t dtα ( ) ∀ α ∈ G. Nexaj V0 , V1 , ai , bj ∈ R, V0 < V1 , ai > 0, bj > 0, i = 1, n, j = 1, m , i funkciq z pravo] çastyny (1) zadovol\nq[ umovy: dlq xi ∈ X, i = 1, n, C ( xi , ν ) = b V V V i , , , , 0 1 10 ≤ < =    ν ν © A. O. POHORUJ, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 381 382 A. O. POHORUJ dlq yj ∈ Y, j = 1, m , C ( yj , ν ) = − < ≤ =    a V V V j , , , . 0 1 00 ν ν Vvedemo na fazovomu prostori Z = [ 0, ∞ ) × G × [ V0 , V1 ] trykomponentnyj proces ξ ( t ) = ( τ ( t ), κ ( t ), ν ( t ) ), de τ ( t ) = t – sup : ( ) ( )u t t u≤ ≠{ }κ κ . Naßa meta polqha[ v znaxodΩenni stacionarnoho rozpodilu procesu ξ ( t ). Proces ξ ( t ) — markovs\kyj i joho infinitezymal\nyj operator ma[ vyhlqd [3, 4] A ϕ ( τ, α, ν ) = ∂ ∂τ ϕ τ α ν( , , ) + + rα τ ϕ α ν ϕ τ α ν( ) ( , , ) ( , , )P 0 −[ ] + C( , ) ( , , )α ν ∂ ∂ν ϕ τ α ν z hranyçnymy umovamy ′ϕ ττ( , , )x V0 = ′ϕ ττ( , , )y V1 = 0, x ∈ X, y ∈ Y, de rα τ( ) = f F α α τ τ ( ) ( )1 − , Pϕ α ν( , , )0 = β αβ ϕ β ν ∈ ∑ G p ( , , )0 . Qkwo proces ξ ( t ) ma[ stacionarnu miru ρ ( ⋅ ), to dlq bud\-qko] funkci] ϕ ( ⋅ ) z oblasti vyznaçennq operatora A Z A z dz∫ ϕ ρ( ) ( ) = 0. (2) Nadali prypuska[mo vykonannq umovy: U2 ) isnu[ wil\nist\ ρ ( τ, α, ν ) stacionarnoho rozpodilu procesu ξ ( t ), pry- çomu isnugt\ skriz\ ∂ρ τ α ν ∂τ ( , , ) , ∂ρ τ α ν ∂ν ( , , ) i lim ( , , )τ τ α ν→+∞ . Analiz vlastyvostej procesu ξ ( t ) pokazu[, wo v toçkax ( τ, x, V1 ), x ∈ X, ta ( τ, x, V0 ), y ∈ Y, fazovoho prostoru Z znaxodqt\sq synhulqrni komponenty stacionarno] miry. Budemo poznaçaty ]x çerez ρ [ τ, x, V0 ], ρ [ τ, y, V1 ]. Zminggçy v (2) porqdok intehruvannq, otrymu[mo vyrazy dlq A * ρ = 0, de A * — sprqΩenyj do A operator, a same, dlq nesynhulqrno] çastyny miry C( , ) ( , , )α ν ∂ ∂ν ρ τ α ν + rα τ ρ τ α ν( ) ( , , ) + ∂ ∂τ ρ τ α ν( , , ) = 0, (3) ρ ( ∞, α, ν ) = 0, α ∈ G, β β βατ ρ τ β ν τ ∈ ∞ ∑ ∫ G r d p 0 ( ) ( , , ) = ρ ( 0, α, ν ), α ∈ G, (4) i dlq synhulqrnyx komponent ρ [ ∞, x, V1 ] = 0, x ∈ X, ρ [ ∞, y, V0 ] = 0, y ∈ Y, d d x V d τ ρ τ τ, , 1[ ] + rx ( )τ ρ [ τ, x, V1 ] – bx ρ ( τ, x, V1 – ) = 0, (5) d d y V d τ ρ τ τ, , 0[ ] + ry ( τ ) ρ [ τ, y, V0 ] – ay ρ ( τ, y, V0 + ) = 0, (6) de ρ ( τ, x, V1 – ) = lim ( , , )ν ρ τ ν↑V x 1 , ρ ( τ, x, V0 + ) = lim ( , , )ν ρ τ ν↓V x 0 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 STACIONARNYJ ROZPODIL PROCESU VYPADKOVO} NAPIVMARKOVS|KO} … 383 Dali, y Y y yzr y V d p ∈ ∞ ∑ ∫ [ ] 0 0( ) , ,τ ρ τ τ = ρ [ 0, z, V0 ], z ∈ Y, x X x xzr x V d p ∈ ∞ ∑ ∫ [ ] 0 0( ) , ,τ ρ τ τ = ρ [ 0, z, V0 ], z ∈ X, (7) y Y y yxr y V d p ∈ ∞ ∑ ∫ [ ] 0 0( ) , ,τ ρ τ τ = b x V dx 0 0 ∞ ∫ +( )ρ τ τ, , , x ∈ X, x X x xyr x V d p ∈ ∞ ∑ ∫ [ ] 0 1( ) , ,τ ρ τ τ = a y V dy 0 1 ∞ ∫ −( )ρ τ τ, , , y ∈ Y. Rozv’qzugçy rivnqnnq (3), znaxodymo ρ ( τ, x, ν ) = f b ex x r s dsx( ) ( ) ν τ τ − ∫− 0 , x ∈ X, ρ ( τ, y, ν ) = f a ey y r s dsx( ) ( ) ν τ τ + ∫− 0 , y ∈ Y. Vypadok balansu xarakteryzu[t\sq nezaleΩnistg nesynhulqrno] çastyny staci- onarnoho rozpodilu ρ ( ⋅ ) vid ν. U takomu vypadku funkci] f bx x( )ν τ− = cx , f ay y( )ν τ+ = cy — konstanty. Todi z uraxuvannqm toho, wo e r s ds− ∫ α τ ( ) 0 = 1 – Fα ( τ ), rozv’qzok rivnqnnq (3) ma[ vyhlqd ρ ( τ, α, ν ) = cα (1 – Fα ( τ ) ), α ∈ G. (8) Oskil\ky vykonu[t\sq umova U1 , to ∂ρ τ α ν ∂τ ( , , ) = – cα fα ( τ ), lim ( , , )τ τ α ν→+∞ = = 0. Vraxovugçy nezaleΩnist\ ρ ( τ, α, ν ) vid ν, perekonu[mos\, wo rozv’qzok (8) povnistg vidpovida[ umovi U2 . Pidstavlqgçy cg rivnist\ v (4), otrymu[mo α α αβ ∈ ∑ G c p = cβ . (9) Dali prypuska[mo, wo vykonu[t\sq umova U3 ) vkladenyj u proces κ ( t ) lancgh Markova nezvidnyj, erhodyçnyj i ma[ stacionarnyj rozpodil ρα , α ∈ G. Todi rozv’qzok (9) nabyra[ vyhlqdu cα = c ρα , α ∈ G, (10) zvidky 0 ∞ ∫ ρ τ α ν τ( , , )d = c F dρ τ τα α 0 1 ∞ ∫ −( )( ) = c ρα mα , α ∈ G. Rozv’qzugçy (5), (6), z uraxuvannqm (8), (10) otrymu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 384 A. O. POHORUJ ρ [ τ, x, V1 ] = c F b x V x x x x ρ τ τ ρ σρ 1 0 1−( ) + [ ]    ( ) , , , (11) ρ [ τ, y, V0 ] = c F a y V y y y y ρ τ τ ρ σρ 1 0 0−( ) + [ ]    ( ) , , . Pidstavlqgçy (11) v (7), znaxodymo x X x x x xzb m p ∈ ∑ ρ + x X xzx V p ∈ ∑ [ ]ρ 0 1, , = ρ [ 0, z, V1 ], z ∈ X, y Y y y y yza m p ∈ ∑ ρ + y Y yzy V p ∈ ∑ [ ]ρ 0 0, , = ρ [ 0, y, V0 ], z ∈ Y, y Y y y y yxa m p ∈ ∑ ρ + y Y yxy V p ∈ ∑ [ ]ρ 0 0, , = b mx x xρ , x ∈ X, x X x x x xyb m p ∈ ∑ ρ + x X xyx V p ∈ ∑ [ ]ρ 0 1, , = a my y yρ , y ∈ Y. Poznaçymo PX = p x z Xxz , , ∈{ }, PY = p y z Xyz , , ∈{ }, GX = ( I – PX ) – 1 = g xxz{ , , z X∈ }, G Y = ( I – PY ) – 1 = g y z Yyz , , ∈{ } . Matryci GX , GY magt\ znaçennq potencialiv [7] (hl. 1, § 6). Rozv’qzugçy dva perßyx rivnqnnq (7), ma[mo ρ [ 0, z, V0 ] = x X x x x k X xk kzb m p g ∈ ∈ ∑ ∑ρ , z ∈ X, ρ [ 0, z, V1 ] = y Y y y y k Y yk kza m p g ∈ ∈ ∑ ∑ρ , z ∈ Y. Pidstavlqgçy ci formuly v dva ostannix rivnqnnq (7), otrymu[mo umovu U4 ) magt\ misce spivvidnoßennq x X x x x xyb m p ∈ ∑ ρ + x X x x x k X xk z X kz zyb m p g p ∈ ∈ ∈ ∑ ∑ ∑ρ = b my y yρ , y ∈ Y, y Y y y y yxa m p ∈ ∑ ρ + y Y y y y k Y yk z Y kz zxa m p g p ∈ ∈ ∈ ∑ ∑ ∑ρ = b mx x xρ , x ∈ X. OtΩe, dovedeno taku teoremu. Teorema. Qkwo vykonugt\sq umovy U1 – U4 , to stacionarnyj rozpodil ρ ( ⋅ ) procesu ξ ( t ) ma[ vyhlqd: dlq wil\nostej ρ ( τ , x , ν ) = c Fx xρ τ1 −( )( ) , x ∈ X, ρ ( τ, y, ν ) = c Fy yρ τ1 −( )( ) , y ∈ Y, dlq atomiv ρ [ τ, x, V0 ] = c F b x V cx x x x ρ τ τ ρ ρ 1 0 0−( ) + [ ]    ( ) , , , ρ [ τ, y, V1 ] = c F a y V cy y y y ρ τ τ ρ ρ 1 0 1−( ) + [ ]    ( ) , , , de ρ [ 0, z, V0 ] = x X x x x k X xk kzb m p g ∈ ∈ ∑ ∑ρ , z ∈ X, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 STACIONARNYJ ROZPODIL PROCESU VYPADKOVO} NAPIVMARKOVS|KO} … 385 ρ [ 0, z, V1 ] = y Y y y y k Y yk kza m p g ∈ ∈ ∑ ∑ρ , z ∈ Y, a c znaxodyt\sq z umovy Z dz∫ ρ( ) = 1. Teper pokaΩemo, wo za dodatkovyx umov, navedenyx nyΩçe, znajdena stacio- narna mira [ [dynog, tobto ne isnu[ inßoho stacionarnoho rozpodilu, dlq qkoho umovu U2 ne vykonano i qkyj by zadovol\nqv rivnqnnq (2). U danyj ças u teori] vypadkovyx procesiv dobre vidomyj metod kaplinha (sklegvannq), qkyj ßyroko vykorystovu[t\sq pry doslidΩenni markovs\kyx ta blyz\kyx do nyx procesiv [8, 9]. A same, ma[ misce taka lema. Lema. Qkwo proces Markova ζ ( t ) z fazovym prostorom Ψ zadovol\nq[ umovu C) isnugt\ T > 0, γ > 0 ta proces Markova � θ( )t = ( θ1 ( t ), θ2 ( t ) ) na fazo- vomu prostori Ψ 2 taki, wo: a) obydvi komponenty procesu � θ( )t magt\ odnakovyj rozpodil z procesom ζ ( t ); b) dlq bud\-qkyx x, y P θ θ θ θ1 2 1 20 0( ) ( ) ( ) , ( )T T x y= = ={ }/ ≥ γ, to proces ζ ( t ) ma[ ne bil\ße odnoho stacionarnoho rozpodilu. PokaΩemo qk moΩna zastosuvaty metod kaplinha u danomu vypadku. I. Prypustymo, wo κ ( t ) — markovs\kyj proces, tobto zamist\ trykompo- nentnoho procesu ξ ( t ) = ( τ ( t ), κ ( t ), ν ( t ) ) moΩemo rozhlqdaty dvokomponentnyj ξ( )t = ( κ ( t ), ν ( t ) ). Bez vtraty zahal\nosti prypuska[mo, wo pα β = = P κ α κ βl l+ = ={ }/1 ≥ δ > 0 ∀ α, β ∈ G. Nexaj ′κ l i ′′κ l , l ≥ 1, — dva ne- zaleΩnyx lancghy Markova z spil\nym fazovym prostorom G, matryceg pere- xidnyx imovirnostej P = { pα β , α , β ∈ G } i odnoçasnymy strybkamy. Todi ne- vaΩko perekonatys\, wo P ′ = ′′= ′ = ′′ ={ }/κ α κ α κ α κ β1 0 1 0 0 0, , ≥ δ 2 > 0 ∀ α0 , α, β ∈ G, tobto pislq perßoho strybka procesy ′κ l i ′′κ l , l ≥ 1, sklegt\sq z imovirnistg ne menßog za δ 2 > 0. Rozhlqnemo dva nezaleΩnyx markovs\kyx procesy κ ′ ( t ), κ ′′ ( t ) z vkladenymy lancghamy ′κ l i ′′κ l vidpovidno i z inten- syvnostqmy perebuvannq u stanax takymy Ω, qk u κ ( t ). Dali, do deqkoho momen- tu T0 > 0 z imovirnistg ne menßog za δ1 = λ λ 0 0T se ds∫ − vidbudet\sq strybok procesu κ ( t ), de λ = minα αλ∈G ( λα — intensyvnist\ perebuvannq κ ( t ) v α ∈ G ). OtΩe, do momentu t0 procesy κ ′ ( t ), κ ′′ ( t ) sklegt\sq z imovirnistg ne menßog za δ1 δ 2 > 0. Poznaçymo νmin = min ( , ),i j G i ja b∈ , T = 2 1 0V V− νmin . Z imovirnistg δ2 = = λ λ T se ds 0 ∞ −∫ pislq momentu T0 ne vidbudet\sq strybkiv i, otΩe, za odnakovyx κ ′ ( t ), κ ′′ ( t ) çerez ças ne bil\ßyj za T sklegt\sq v atomi komponenty ν ′ ( t ), ν ′′ ( t ), de ν ′ ( t ) zadovol\nq[ rivnqnnq (1), kerovane procesom κ ′ ( t ), a ν ′′ ( t ) — procesom κ ′′ ( t ). OtΩe, z imovirnistg ne menßog za δ2 δ1 δ 2 > 0 do momentu T + + T0 sklegt\sq procesy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 386 A. O. POHORUJ ′ξ ( )t = ( κ ′ ( t ), ν ′ ( t ) ) ta ′′ξ ( )t = ( κ ′′ ( t ), ν ′′ ( t ) ). II. Rozhlqnemo vypadok, koly κ ( t ) — napivmarkovs\kyj proces. Rozhlqnemo nezaleΩni procesy ξ ′ ( t ) = ( τ ′ ( t ), κ ′ ( t ), ν ′ ( t ) ), ξ ′′ ( t ) = ( τ ′′ ( t ), κ ′′ ( t ), ν ′′ ( t ) ), de κ ′ ( t ), κ ′′ ( t ) — nezaleΩni napivmarkovs\ki procesy z vkladenymy lancghamy ′κ l i ′′κ l vidpovidno i z intensyvnostqmy perebuvannq u stanax takymy Ω, qk u κ ( t ); ν ′ ( t ) zadovol\nq[ rivnqnnq (1), kerovane procesom κ ′ ( t ), a ν ′′ ( t ) — procesom κ ′′ ( t ). Spoçatku pokaΩemo, wo za pevno] umovy moΩna skle]ty ( τ ′ ( t ), κ ′ ( t ) ) ta ( τ ′′ ( t ), κ ′′ ( t ) ). Poznaçymo µ t, x ( d s ) = P τ τ κ∈ = ={ }/ds t x, i budemo prypuskaty isnuvannq neperervno] wil\nosti pt, x ( s ) > 0, tobto µ t, x ( d s ) = pt, x ( s ) d s. Nexaj vykonu[t\- sq umova: dlq deqkoho T0 > 0 inf min ( ), ( ) ( , ), ( , ) , , ,t x t x t t T T t x t xp s p s ds 1 1 2 2 1 2 0 0 1 1 2 2 0≤ ∫ ( ) = δ3 > 0, (12) inf , , , t x t x Tµ 0 0[ ]( ) = δ4 > 0. Z uraxuvannqm (12) iz kaplinhovo] lemy [8, 9] vyplyva[, wo ( τ ′ ( t ), κ ′ ( t ) ) ta ( τ ′′ ( t ), κ ′′ ( t ) ) moΩna skle]ty do momentu T0 z imovirnistg ne menßog za δ3 δ4 δ 2 , a dali analohiçno markovs\komu vypadku çeka[mo do sklejky kompo- nent ν ′ ( t ) i ν ′′ ( t ) v atomi. Qkwo max ( t1 , t2 ) > T0 , to z imovirnistg ne menßog za δ5 = 0 1 0 1 21 1 2 ∞ ∫ + + − +( ) +F t T t F t t f t t dtx x x( ) ( ) ( ) v moment strybka κ ′′ ( t ) ma[mo τ ′′ = 0, τ ′ ≤ T0 i moΩna z uraxuvannqm (12) sko- rystatys\ kaplinhovog lemog. Dlq praktyçnoho zastosuvannq, napryklad pry obçyslenni stacionarnoho ko- efici[nta hotovnosti systemy, neobxidno znaty funkcig ρ α ν( , ) , wo dorivng[ çastci çasu, provedenoho dvokomponentnym procesom ζ ( t ) = ( κ ( t ), ν ( t ) ) u stani ( α, ν ) [3]. Cq funkciq znaxodyt\sq tak: ρ α ν( , ) = 0 ∞ ∫ ρ τ α ν τ( , , )d = c ρα mα , α ∈ G, ρ x V, 1[ ] = 0 1 ∞ ∫ [ ]ρ τ τ, ,x V d = = c b m b m p g z X z z z z X z z z k X zk kx 1 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ∑ ∑ ∑+     ρ ρ( ) , x ∈ X, ρ y V, 0[ ] = 0 0 ∞ ∫ [ ]ρ τ τ, ,y V d = = c b m a m p g z Y z z z z Y z z z k Y zk ky 1 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ∑ ∑ ∑+     ρ ρ( ) , y ∈ Y, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 STACIONARNYJ ROZPODIL PROCESU VYPADKOVO} NAPIVMARKOVS|KO} … 387 de c = β β β β β β β βρ ρ ρ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑+ +   G G x X z X z z z k X zk kxb m b m b m p g 1 2 2 2 + + y Y z Y z z z k Y zk kya m p g ∈ ∈ ∈ − ∑ ∑ ∑   ρ 2 1 . Na zaverßennq vyslovlgg podqku O. M. Kulyku, qkyj u pryvatnij besidi naviv meni sxemu dovedennq odynyçnosti stacionarnoho rozpodilu za dopomohog meto- du kaplinha. 1. Korolgk V. S., Turbyn A. F. Process¥ markovskoho vosstanovlenyq v zadaçax nadeΩnosty system. – Kyev: Nauk. dumka, 1982. – 234 s. 2. Pohoruj A. A., Turbyn A. F. Ocenka stacyonarnoj πffektyvnosty proyzvodstvennoj lynyy s dvumq nenadeΩn¥my ahrehatamy // Kybernetyka y systemn¥j analyz. – 2002. – # 6. – S.S35 – 42. 3. Turbyn A. F., Pohoruj A. A. Rasçet stacyonarn¥x pokazatelej πffektyvnosty system up- ravlenyq zapasamy s obratnoj svqz\g // Yntellektualyzacyq system obrabotky ynformacy- onn¥x soobwenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1995. – S. 191 – 204. 4. Korlat A. N., Kuznecov V. N., Novykov M. M., Turbyn A. F. Polumarkovskye modely vossta- navlyvaem¥x system y system massovoho obsluΩyvanyq. – Kyßynev: Ítyynca, 1991. – 276 s. 5. Korolgk V. S., Svywuk A. V. Polumarkovskye sluçajn¥e πvolgcyy. – Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 256 s. 6. Korolgk V. S. Stoxastyçni modeli system. – Ky]v: Lybid\, 1993. – 134 s. 7. Korolgk V. S., Turbyn A. F. Matematyçeskye osnov¥ fazovoho ukrupnenyq sloΩn¥x system. – Kyev: Nauk. dumka, 1978. – 220 s. 8. Veretennikov A. Yu. Coupling method for Markov chains under integral Doeblin type condition // Theory Stochast. Processes. – 2002. – 8(24), # 3 – 4. – P. 383 – 391. 9. Lindvall T. Lectures on the coupling method. – New York: Dover Publ., 1992. – 257 p. OderΩano 28.05.2003, pislq doopracgvannq — 22.07.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3