O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах
У плоскій області, що обмежена біквадратною кривою, розглядається проблема єдиності розв'язку задачі Діріхле для рівняння коливання струни. Показано, що ця проблема еквівалентна класичній проблемі Понселе з проективної геометрії для двох придатних еліпсів, а також проблемі розв'язності алг...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164969 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах / В.П. Бурский, А.С. Жеданов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 435–450. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164969 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649692020-02-12T01:28:34Z O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах Бурский, В.П. Жеданов, А.С. Статті У плоскій області, що обмежена біквадратною кривою, розглядається проблема єдиності розв'язку задачі Діріхле для рівняння коливання струни. Показано, що ця проблема еквівалентна класичній проблемі Понселе з проективної геометрії для двох придатних еліпсів, а також проблемі розв'язності алгебраїчного рівняння Пелля - Абеля, з якими пов'язані деякі інші задачі. In a plane domain bounded by a biquadratic curve, we consider the problem of the uniqueness of a solution of the Dirichlet problem for the string equation. We show that this problem is equivalent to the classical Poncelet problem in projective geometry for two appropriate ellipses and also to the problem of the solvability of the Pell-Abel algebraic equation; some other related problems are also considered. 2006 Article O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах / В.П. Бурский, А.С. Жеданов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 435–450. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164969 517.95 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бурский, В.П. Жеданов, А.С. O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах Український математичний журнал |
| description |
У плоскій області, що обмежена біквадратною кривою, розглядається проблема єдиності розв'язку задачі Діріхле для рівняння коливання струни. Показано, що ця проблема еквівалентна класичній проблемі Понселе з проективної геометрії для двох придатних еліпсів, а також проблемі розв'язності алгебраїчного рівняння Пелля - Абеля, з якими пов'язані деякі інші задачі. |
| format |
Article |
| author |
Бурский, В.П. Жеданов, А.С. |
| author_facet |
Бурский, В.П. Жеданов, А.С. |
| author_sort |
Бурский, В.П. |
| title |
O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах |
| title_short |
O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах |
| title_full |
O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах |
| title_fullStr |
O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах |
| title_full_unstemmed |
O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах |
| title_sort |
o задаче дирихле для уравнения колебания струны, проблеме понселе, уравнении пелля - абеля и некоторых других связанных с ними задачах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164969 |
| citation_txt |
O задаче Дирихле для уравнения колебания струны, проблеме Понселе, уравнении Пелля - Абеля и некоторых других связанных с ними задачах / В.П. Бурский, А.С. Жеданов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 435–450. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT burskijvp ozadačedirihledlâuravneniâkolebaniâstrunyproblemeponseleuravneniipellâabelâinekotoryhdrugihsvâzannyhsnimizadačah AT žedanovas ozadačedirihledlâuravneniâkolebaniâstrunyproblemeponseleuravneniipellâabelâinekotoryhdrugihsvâzannyhsnimizadačah |
| first_indexed |
2025-07-14T17:43:05Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:43:05Z |
| _version_ |
1837645153909604352 |
| fulltext |
UDK 517.95
V. P. Burskyj (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
A. S. Ûedanov (Doneck. fyz.-texn. yn-t NAN Ukrayn¥)
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ
KOLEBANYQ STRUNÁ, PROBLEME PONSELE,
URAVNENYY PELLQ – ABELQ Y NEKOTORÁX
DRUHYX SVQZANNÁX S NYMY ZADAÇAX
*
In a plane domain bounded by a bi-square curve, we consider a problem of the uniqueness of a solution
of the Dirichlet problem for the equation of string vibration. We show that this problem is equivalent to
the classical Poncelet problem in the projective geometry for two appropriate ellipses and also to the
problem of solvability of the Pell – Abel algebraic equation. Some other problems are associated with
two last-mentioned problems.
U ploskij oblasti, wo obmeΩena bikvadratnog kryvog, rozhlqda[t\sq problema [dynosti roz-
v’qzku zadaçi Dirixle dlq rivnqnnq kolyvannq struny. Pokazano, wo cq problema ekvivalentna
klasyçnij problemi Ponsele z proektyvno] heometri] dlq dvox prydatnyx elipsiv, a takoΩ prob-
lemi rozv’qznosti alhebra]çnoho rivnqnnq Pellq – Abelq, z qkymy pov’qzani deqki inßi zadaçi.
V nastoqwej rabote pokazan¥ svqzy meΩdu svojstvamy hranyçn¥x zadaç dlq
uravnenyq kolebanyq strun¥ v oblasty, ohranyçennoj bykvadratnoj kryvoj, y
nekotor¥my klassyçeskymy zadaçamy alhebr¥, heometryy y analyza, nedavno
obnaruΩenn¥e avtoramy.
1. Hranyçn¥e zadaçy. 1.1. Ystoryçeskye svedenyq. Yssledovanyq nekor-
rektn¥x hranyçn¥x zadaç vosxodqt k Û. Adamaru [1], vperv¥e zametyvßemu, çto
odnorodnaq zadaça Dyryxle dlq uravnenyq kolebanyq strun¥ v nekotorom prq-
mouhol\nyke dopuskaet netryvyal\noe reßenye. Yssledovanyq A. Hubera [2] y
zatem D. BardΩyna y R. Daffyna [3] pryvely k ustanovlenyg uslovyq naruße-
nyq edynstvennosty reßenyq odnorodnoj zadaçy Dyryxle dlq uravnenyq utt –
– uxx = 0 v prqmouhol\nyke { 0 ≤ t ≤ T; 0 ≤ x ≤ X }. Okazalos\, çto edynstven-
nost\ reßenyq takoj zadaçy v klassyçeskyx prostranstvax narußaetsq tohda y
tol\ko tohda, kohda otnoßenye T / X — racyonal\no. V πtyx rabotax yspol\zo-
valsq metod razloΩenyq reßenyq v rqd Fur\e. V rabotax B. Y. Ptaßnyka y eho
uçenykov πtod metod prymenen k yzuçenyg svojstv razlyçn¥x druhyx hranyç-
n¥x zadaç dlq uravnenyj s çastn¥my proyzvodn¥my v prqmouhol\nyke y paral-
lelepypede [4]. V rabote F. DΩona [5] yssledovalas\ problema narußenyq
edynstvennosty reßenyq odnorodnoj zadaçy Dyryxle dlq uravnenyq kolebanyq
strun¥ v obwej ploskoj ohranyçennoj oblasty, v¥pukloj otnosytel\no oboyx
semejstv xarakterystyk, v svqzy s nekotor¥m otobraΩenyem hranyc¥ oblasty v
sebq (naz¥vaem¥m xarakterystyçeskym byllyardom, sm. nyΩe), yspol\zovann¥m
ranee v ukazann¥x rabotax Û. Adamara y A. Hubera. Nablgdenyq za otmeçennoj
svqz\g prodolΩyly R. A. Aleksandrqn y eho uçenyky, oryentyruqs\ na zadaçu
S. L. Soboleva o kolebanyqx poverxnosty polosty Ωydkosty v letqwem tele [6
– 8]. V. Y. Arnol\d v rabote [9] ukazal na svqz\ ukazannoj zadaçy Dyryxle v
πllypse s problemoj mal¥x znamenatelej v kontekste vlyqnyq na hladkost\
reßenyq skorosty pryblyΩenyj nekotoroho çysla, svqzannoho s zadaçej, racy-
onal\n¥my çyslamy. Nekotor¥m voprosam πtoj tematyky posvqwen¥ yssledo-
*
EÇastyçno podderΩana Rossyjskym fondom fundamental\n¥x yssledovanyj (hrant # 03-01-
00780).
© V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4 435
436 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
vanyq G. M. Berezanskoho [10], T. Y. Zelenqka [11], M. V. Fokyna [12] y dr.
Opyßem xarakterystyçeskyj byllyard. Rassmotrym zadaçu Dyryxle dlq
uravnenyq kolebanyq strun¥
uxy = 0 v Ω, (1.1)
u | C = ϕ ∈ C
0
( C ) v C = ∂Ω (1.2)
v ploskoj oblasty, v¥pukloj otnosytel\no semejstv xarakterystyk x = const ,
y = const y ohranyçennoj zamknutoj Ωordanovoj kryvoj C. Pust\ M0 = ( x0 , y0 )
— proyzvol\naq toçka na hranyce C. Çtob¥ postroyt\ otobraΩenye I1 , pro-
vedem çerez toçku M0 prqmug x = x0 . V sylu uslovyq v¥puklosty πta xarakte-
rystyka peresekaet kryvug C y v druhoj toçke N0 . OtobraΩenye I1 po opre-
delenyg perevodyt toçku M0 v N0 = ( x0 , y1 ) s nekotor¥m y1 . Oçevydno, πto —
ynvolgcyq, t. e. I1 � I1 = idC . Ynvolgcyq I2 stroytsq analohyçno po hory-
zontal\n¥m xarakterystykam, t. e. toçku N0 otobraΩenye I2 perevodyt v toç-
ku M1 = ( x1 , y1 ). Nakonec, otobraΩenye T, kotoroe budem naz¥vat\ otobraΩe-
nyem DΩona, opredelqetsq kak kompozycyq T = I2 � I1 . Pod xarakterystyçes-
kym byllyardom ponymaetsq dyskretnaq dynamyçeskaq systema, poroΩdennaq
otobraΩenyem T. Toçka M naz¥vaetsq peryodyçeskoj peryoda N ∈ N dlq
otobraΩenyq T, esly T
N
M = M.
V rabote [5] problema narußenyq edynstvennosty reßenyq odnorodnoj za-
daçy (1.1), (1.2) yzuçalas\ v svqzy s topolohyçeskymy svojstvamy otobraΩenyq
T; dlq soxranqgweho oryentacyg otobraΩenyq T b¥lo v¥deleno çet¥re slu-
çaq povedenyq dynamyçeskoj system¥:
1) vse toçky peryodyçn¥ (tohda yx peryod¥ sovpadagt);
2) ymegtsq peryodyçeskye y neperyodyçeskye toçky;
3) net peryodyçeskyx toçek y net toçky, orbyta kotoroj { … , T
–
1
P, P,
T P, … , T
n
P, … } plotna v C ;
4) net peryodyçeskyx toçek y est\ toçka, orbyta kotoroj plotna v C (dej-
stvye hrupp¥ Z na C — tranzytyvno).
B¥lo pokazano [5], çto dlq C
2
-hladkoj hranyc¥ sluçaj 3 nevozmoΩen. Dlq
sluçaq 2 dokazano, çto na C najdetsq duha D0 takaq, çto nykakye dve yz duh
D0 , I1 D0 , T D0 , I1 T D0 , T
2
D0 , … , I1 T
n
–
1
D0 , Tn
D0 , … ne ymegt obwyx toçek.
Qsno, çto dlq analytyçeskoj hranyc¥ πto nevozmoΩno, poskol\ku T — dyf-
feomorfyzm. V sluçae 4 pokazano, çto vrawenye DanΩua – Puankare ξ [ 13]
otobraΩenyq DΩona T — yrracyonal\no, a T — topolohyçesky πkvyvalentno
povorotu okruΩnosty na uhol π ξ (t. e. suwestvuet homeomorfyzm h hranyc¥
C na edynyçnug okruΩnost\ S takoj, çto otobraΩenye h T h–
1 : S → S qvlqet-
sq povorotom na uhol π ξ ). Dokazano sledugwee dostatoçnoe uslovye edyn-
stvennosty reßenyq zadaçy (1.1), (1.2): esly mnoΩestvo peryodyçeskyx toçek
otobraΩenyq T pusto, koneçno yly sçetno, to zadaça (1.1), (1.2) ymeet ne bolee
çem odno reßenye.
1.2. Namerenyq. V dannoj rabote budem rassmatryvat\ odnorodnug zadaçu
Dyryxle
u | C = 0, C = { ( x, y ) | F ( x, y ) = 0 }, (1.3)
dlq uravnenyq kolebanyq strun¥ (1.1) v ploskoj oblasty, ohranyçennoj by-
kvadratnoj kryvoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 437
F ( x, y ) : = a x yik
i k
i k, =
∑
0
2
= 0, (1.4)
kotorug vewestvenn¥my proektyvn¥my zamenamy (sm. nyΩe (5.1)) moΩno pry-
vesty k forme ∏jlera – Bakstera [14, 15]:
F ( x, y ) = x2
y2 + 1 + a ( x2 + y2
) + 2b x y = 0 (1.5)
s vewestvenn¥my a y b, podçynenn¥my uslovyqm ohranyçennosty a > 0 y ne-
ysçezanyq ( | b | – a )
2 > 1. Poslednee uslovye razbyvaetsq na dva: b2 > ( a + 1 )
2
y b2 < ( a – 1 )
2
.
M¥ xotym dokazat\, çto zadaça (1.1), (1.3) ymeet netryvyal\noe reßenye v
prostranstve C
2
( Ω ) tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polneno sledugwee us-
lovye:
P J ) u otobraΩenyq T suwestvuet xotq b¥ odna peryodyçeskaq toçka.
V πtom sluçae vse toçky yz C okaΩutsq peryodyçeskymy y, tem sam¥m, ymeet
mesto sluçaj 1. M¥ uvydym takΩe, çto uslovye P J ) qvlqetsq neobxodym¥m y
dostatoçn¥m dlq suwestvovanyq nepostoqnnoho reßenyq zadaçy Nejmana
uν*
| ∂Ω = ψ, (1.6)
hde uν*
— proyzvodnaq po konormaly ν* , y ono ravnosyl\no uslovyg nedeter-
mynyrovannosty
∃ α ∀ N = 0, 1, … : α( ) ( )( )∫ s x s ds
C
N
= 0, α( ) ( )( )∫ s y s ds
C
N
= 0 (1.7)
sledugwej problem¥ momentov na kryvoj C :
po dann¥m çyslam µN , νN najty funkcyg α takug, çto
∀ N = 0, 1, … : α( ) ( )( )∫ s x s ds
C
N
= µN , α( ) ( )( )∫ s y s ds
C
N
= νN . (1.8)
(∏ta problema momentov prevratytsq v ob¥çnug tryhonometryçeskug, esly
poloΩyt\, çto C — edynyçnaq okruΩnost\, y zamenyt\ x ( s )
N = cosN ( s ),
y ( s )
N = sinN
( s ) na cos N s y sin N s sootvetstvenno.)
Dokazatel\stvo πtyx faktov osnovano na svqzy s yzvestnoj problemoj Pon-
sele, kotoroj posvqwen sledugwyj punkt. Otmetym, çto v rabote [16] b¥lo us-
tanovleno, çto v oblasty, ohranyçennoj bykvadratnoj kryvoj (1.4), osuwestv-
lqetsq lybo sluçaj 1, lybo sluçaj 4 pryvedennoj v¥ße klassyfykacyy po-
vedenyq dynamyçeskoj system¥, poroΩdennoj otobraΩenyem DΩona, no ne do-
kazano suwestvovanye reßenyq zadaçy (1.1), (1.3) v sluçae 1.
2. Problema Ponsele. Problema Ponsele (poryzm Ponsele) — odna yz zna-
menyt¥x problem proektyvnoj heometryy, svqzannaq so mnohymy druhymy zada-
çamy analyza y fyzyky (sm., naprymer, [14, 17, 18]).
2.1. Postanovka. YzloΩym problemu v postanovke Ponsele. Pust\ na
ploskosty ymegtsq dva πllypsa A y B, dlq prostot¥ vnaçale predpolahaem,
çto odyn ( A ) raspoloΩen vnutry druhoho ( B ), y P0 — proyzvol\naq toçka na
B. Provedem çerez toçku P0 prqmug (s druhoj toçkoj pereseçenyq, blyΩaj-
ßej po oryentacyy), kasatel\nug k πllypsu A s toçkoj kasanyq N0 . Ona pe-
reseçet πllyps B v nekotoroj toçke P1 . Yz toçky P1 provedem vtorug kasa-
tel\nug k πllypsu A y poluçym toçku P2 = U P1 . Tem sam¥m m¥ opredelyly
otobraΩenye U : B → B, kotoroe budem naz¥vat\ otobraΩenyem Ponsele. Oto-
braΩenye Ponsele poroΩdaet dyskretnug dynamyçeskug systemu yly dejstvye
hrupp¥ Z na B s orbytoj … , U–
1
P, P, P, U P, … , U
n
P, … toçky P tak Ωe,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
438 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
kak y v p. 1 dlq otobraΩenyq DΩona. Krome toho, ymeetsq dynamyçeskaq sys-
tema na πllypse A, poroΩdennaq otobraΩenyem V : A → A, orbytamy kotoroj
qvlqgtsq toçky kasanyq N– 1 , N0 , N1 , … . Teorema Ponsele utverΩdaet, çto
esly najdetsq peryodyçeskaq toçka P ∈ B otobraΩenyq U peryoda N, to y
kaΩdaq toçka na πllypse B qvlqetsq peryodyçeskoj toho Ωe peryoda N [17,
19]. Proektyvnoe preobrazovanye ploskosty ne menqet otnoßenyj yncydent-
nosty y kasanyq, poπtomu moΩno hovoryt\ ne ob πllypsax, zadann¥x pervona-
çal\no, a, naprymer, o hyperbole (s dvumq vetvqmy) y πllypse, hyperbole y pa-
rabole, y, voobwe, o dvux neperesekagwyxsq y nekasagwyxsq konykax. Proek-
tyvn¥m preobrazovanyem ploskosty moΩno pryvesty paru konyk k toj yly ynoj
kanonyçeskoj forme. Esly dve konyky peresekagtsq y yz nyx v¥delena odna,
kotoraq poroΩdaet puçok kasatel\n¥x prqm¥x, peresekagwyx vtorug, to otob-
raΩenye Ponsele opredeleno lyß\ na çasty vtoroj konyky, leΩawej snaruΩy
pervoj, poskol\ku vnutr\ pervoj konyky kasatel\n¥e ne zaxodqt. Otmetym, çto
sovremenn¥j vzhlqd na problemu Ponsele soderΩytsq v rabote [20].
2.2. Poryzm Ponsele v forme dvux okruΩnostej. ∏to naybolee yzvestnaq
forma, hde v kaçestve πllypsov yspol\zugtsq okruΩnosty. Netrudno vydet\,
çto nalyçye peryodyçeskoj toçky na okruΩnosty B peryoda N oznaçaet, çto
otrezky, soedynqgwye posledovatel\n¥e toçky orbyt¥, obrazugt N-uhol\nyk,
v kotor¥j vpysana okruΩnost\ A y vokruh kotoroho opysana okruΩnost\ B.
Zametym, çto storon¥ v takom mnohouhol\nyke mohut peresekat\sq y vpysannaq
okruΩnost\ ne obqzatel\no dolΩna kasat\sq otrezka meΩdu toçkamy y moΩet
kasat\sq prodolΩenyq takoho otrezka, a potomu moΩet peresekat\sq s opysan-
noj okruΩnost\g. Mnohouhol\nyk, u kotoroho ymegtsq y vpysannaq, y opysan-
naq okruΩnosty, naz¥vaetsq bycentryçeskym. Bycentryçeskye mnohouhol\ny-
ky — populqrn¥j obæekt yssledovanyq v heometryy. Esly oboznaçyt\ çerez R
radyus opysannoj okruΩnosty, çerez r radyus vpysannoj okruΩnosty, çerez d
rasstoqnye meΩdu yx centramy, to πty try çysla ne mohut b¥t\ proyzvol\n¥my,
y vmeste s N ony dolΩn¥ udovletvorqt\ nekotor¥m alhebrayçeskym sootno-
ßenyqm. Tak, dlq treuhol\nyka yzvestna svqz\ R2 – 2R r – d2 = 0, naz¥vaemaq
ynohda formuloj ∏jlera. Odna yz populqrn¥x form zapysy podobn¥x svqzej
daetsq v termynax dopolnytel\n¥x velyçyn
a =
1
R d+
, b =
1
R d−
, c =
1
r
.
Tak, dlq treuhol\nyka uΩe otmeçennaq svqz\ ymeet vyd a + b = c, dlq çet¥rex-
uhol\nyka — a2 + b2 = c2
, dlq pqtyuhol\nyka — 4 ( a3 + b3 + c3
) = ( a + b + c )
3
.
V obwem sluçae posledovatel\no vvodqtsq çysla
λ = 1
2 2 2 2
2 2 2+ ( − )
( − )
c a b
a b c
, ω = cosh–
1
λ,
k2 = 1 – e–
2ω, K = K ( k ) =
dt
k t t( − )( − )
∫
1 12 2 2
0
1
y zatem sootnoßenye zapys¥vaetsq s yspol\zovanyem πllyptyçeskyx funkcyj
( sc = sn / cn ) v vyde [21]
sc ,
K
N
k
c b a b c a
a b c
= − + −
( + )
2 2 2 2
. (2.1)
2.3. Namerenyq. M¥ xotym pokazat\, kak po zadann¥m dvum konykam po-
stroyt\ bykvadratnug kryvug (1.4) y pry nekotor¥x predpoloΩenyqx dokazat\,
çto uslovye P J ) dlq postroennoj kryvoj ravnosyl\no uslovyg
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 439
P P ) u otobraΩenyq Ponsele U suwestvuet xotq b¥ odna peryodyçeskaq
toçka.
Krome toho, m¥ xotym ukazat\ nekotorug ynug formu uslovyq peryodyçnosty,
zapysannug v vyde racyonal\nosty nekotoroho çysla, svqzannoho s zadaçej.
3. Uravnenye Pellq – Abelq y nekotor¥e svqzann¥e s nym problem¥.
Uravnenye Pellq
P2 – R Q2 = L (3.1)
— ßyroko yzvestnoe dyofantovo uravnenye, hde po zadannomu celomu çyslu R,
ne qvlqgwemusq toçn¥m kvadratom, nuΩno najty cel¥e P, Q, L , udovletvo-
rqgwye πtomu uravnenyg. UtverΩdaetsq, çto L. ∏jler po nedorazumenyg svq-
zal eho s Pellem, ymenem kotoroho y nazvano πto uravnenye. Na samom dele
uravnenye (3.1) yzuçaly ewe yndyjskyj matematyk Braxmahutpa za 1000 let do
πtoho (628 h.), a takΩe predßestvennyky ∏jlera, sredy kotor¥x P. Ferma.
Standartnaq teoryq uravnenyq (3.1) [22] ustanavlyvaet svqz\ s razloΩenyem v
cepnug drob\ çysla R . Takaq cepnaq drob\ peryodyçna, kak y cepnoe razlo-
Ωenye lgboj kvadratyçnoj yrracyonal\nosty, s nekotor¥m peryodom k. Toh-
da: 1) reßenyj lybo net, lybo beskoneçno mnoho; 2) pry L = 4 reßenyq vsehda
est\; 3) pry L = – 1 reßenyq suwestvugt tohda y tol\ko tohda, kohda k — çet-
noe; 4) esly P s / Qs — podxodqwaq drob\, to poloΩytel\n¥e reßenyq ymegt
vyd P = Pkn – 1 , Q = Qkn – 1 , hde n — lgboe natural\noe çyslo takoe, çto k n —
çetnoe; 5) obwee reßenye moΩno poluçyt\ yz formul¥
P Q R P Q R n+ = ±( + )0 0 ,
hde n — lgboe celoe, ( P0 , Q0 ) — reßenye s naymen\ßymy poloΩytel\n¥my
çyslamy.
Uravnenye (3.1) v kol\ce polynomov R [ t ] yly C [ t ] odnoj peremennoj s
postoqnn¥m znaçenyem L naz¥vagt uravnenyem Pellq – Abelq (vstreçagtsq
takΩe nazvanyq „uravnenye Abelq” y „uravnenye Pellq dlq polynomov”). ∏to
uravnenye poqvylos\ u Abelq pry yzuçenyy problem¥ predstavlenyq v πlemen-
tarn¥x funkcyqx pervoobraznoj
ρ( )
( )∫ t
R t
dt , hde ρ, R — polynom¥ [23]. Abel\
dokaz¥vaet, çto esly πta pervoobraznaq predstavlqetsq çerez loharyfm¥ y
racyonal\n¥e funkcyy t y R , to obqzatel\no najdutsq polynom¥ P, Q y
çyslo A takye, çto
ρ
R
dt A
P RQ
P RQ∫ = +
−
ln . (3.2)
Pry πtom stepen\ R — çetnaq: deg R = 2m, deg ρ = m – 1 y ρ / A = 2P′ / Q , a
polynom¥ P y Q udovletvorqgt uravnenyg (3.1) s L = 1. (PozΩe Û. Lyu-
vyll\ y eho posledovately pokazaly, çto esly yntehral v levoj çasty (3.2) s
nekotor¥my ρ y R v¥raΩaetsq çerez πlementarn¥e funkcyy, to pravaq çast\
dolΩna ymet\ vyd (3.2) s nekotor¥my P y Q y tem Ωe ρ, sm. [24].) Obratno,
esly polynom¥ P y Q udovletvorqgt uravnenyg (3.1) s L = 1, to ymeet mesto
ravenstvo (3.2) s ρ = 2P′ / Q y A = 1. Takym obrazom, razreßymost\ uravnenyq
Pellq – Abelq v¥stupaet v roly kryteryq yntehryruemosty abelevoho dyffe-
rencyala. Krome toho, Abel\ poluçyl druhoj kryteryj predstavymosty ynteh-
rala v (3.2), a ymenno, formula (3.2) spravedlyva tohda y tol\ko tohda, kohda
cepnoe razloΩenye funkcyy R — peryodyçno. Tem sam¥m razreßymost\
uravnenyq Pellq – Abelq v¥stupaet v kaçestve kryteryq peryodyçnosty cepno-
ho razloΩenyq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
440 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
Rassmotrym ewe odnu klassyçeskug zadaçu — zadaçu Çeb¥ßeva o naxoΩde-
nyy polynoma naymen\ßeho uklonenyq na podmnoΩestve vewestvennoj osy.
Pust\ I = [ – 1, 1 ] \
( )=
−
a bj jj
l
,
1
1∪ — systema l zamknut¥x yntervalov. NuΩno
najty polynom zadannoj stepeny n s edynyçn¥m starßym koπffycyentom,
naymenee uklonqgwyjsq ot nulq na mnoΩestve I, t. e. najty mynymum funk-
cyonala || t
n – Pn – 1 ( t ) || C ( I ) . Obwyj polynom Pn – 1 ( t ) probehaet koneçnomernoe
lynejnoe podprostranstvo, y zadaça moΩet b¥t\ ynterpretyrovana kak zadaça o
naxoΩdenyy πlementa yz koneçnomernoho podprostranstva banaxovoho pros-
transtva, blyΩajßeho k zadannomu. No poskol\ku prostranstvo C ( I ) — ne-
refleksyvno, takoj πlement ne obqzatel\no suwestvuet. Metodom, vosxodq-
wym k P. L. Çeb¥ßevu, udaetsq, odnako, dokazat\ suwestvovanye takoho myny-
mal\noho mnohoçlena [25]. Esly na mnoΩestve I polynom Pn – 1 — mynymalen,
to, vozmoΩno, on ostaetsq mynymal\n¥m y na nekotorom bolee ßyrokom zam-
knutom podmnoΩestve E ⊂ [ – 1, 1 ], naz¥vaemom n-rasßyrenyem mnoΩestva I.
Takoe podmnoΩestvo E = [ – 1, 1 ] \
( )=
− α βj jj
m
,
1
1∪ , kotoroe nel\zq rasßyryt\,
t.Ee. u kotoroho net druhyx rasßyrenyj, naz¥vaetsq n-pravyl\n¥m [26]. Esly
teper\ v¥brat\ polynom R v vyde
R = ( − ) ( − )( − )
=
−
∏t t tj j
j
m
2
1
1
1 α β ,
to razreßymost\ uravnenyq Pellq – Abelq (3.1) s neyzvestn¥my P ( t ), Q ( t ),
L = const > 0 ravnosyl\na n-pravyl\nosty mnoΩestva E, pry πtom polynom P
daet reßenye πkstremal\noj zadaçy, a çyslo L — mynymal\noe uklonenye
(mynymum norm¥) [26]. Ynteresno, çto pry πtom mnoΩestvo E predstavlqet
soboj neprer¥vn¥j spektr (kotor¥j qvlqetsq absolgtno neprer¥vn¥m y dvu-
kratn¥m) nekotoroj beskoneçnoj v obe storon¥ qkobyevoj (trexdyahonal\noj)
samosoprqΩennoj vewestvennoj peryodyçeskoj matryc¥ v l2
tohda y tol\ko
tohda, kohda mnoΩestvo E — n-pravyl\no yly kohda uravnenye Pellq – Abelq
(3.1) razreßymo (sm. ss¥lky v [26]). Zametym, çto yzvestnaq zadaça Çeb¥ßeva
stavytsq dlq sluçaq odnoho yntervala E = [ – 1, 1 ], R = ( 1 – t2
), a zadaça Axye-
zera — dlq sluçaq dvux yntervalov ( deg R = 4 ) y polynoma çetvertoj stepeny
E = [ – 1, a ] ∪ [ b, 1 ], a < b, R = ( 1 – t2
) ( t – a ) ( t – b ). Krome toho, ymeetsq ne-
skol\ko razlyçn¥x kryteryev razreßymosty uravnenyq Pellq – Abelq s poly-
nomom, sootvetstvugwym zadaçe Axyezera, sredy kotor¥x — yzvestn¥j „dyko-
obraz” Zolotareva (sm., naprymer, [27]).
3.1. Namerenyq. M¥ xotym pokazat\, kak pry nekotor¥x predpoloΩenyqx
po zadann¥m dvum konykam moΩno postroyt\ polynom çetvertoj stepeny R
takoj, çto razreßymost\ uravnenyq Pellq – Abelq budet ravnosyl\na uslovyg
peryodyçnosty P P ) problem¥ Ponsele s çetn¥m peryodom (y poπtomu uslovyg
netryvyal\noj razreßymosty hranyçnoj zadaçy (1.1), (1.3)).
4. Svqz\ meΩdu zadaçej Ponsele y zadaçej Dyryxle. Rassmotrym stan-
dartnug racyonal\nug parametryzacyg konyky [17]. Pust\ πllyps A opys¥-
vaetsq v ploskyx koordynatax ξ, η uravnenyem
A1 ξ2 + A2 η2 + A3 ξ η + A4 ξ + A5 η + A6 = 0, (4.1)
tohda suwestvugt polynom¥ E0 ( x ), E1 ( x ), E2 ( x ) stepeny deg ( Ei ( x ) ) ≤ 2 ta-
kye, çto
ξ =
E x
E x
1
0
( )
( )
, η =
E x
E x
2
0
( )
( )
. (4.2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 441
Krome toho, pust\ πllyps B opys¥vaetsq uravnenyem
B1 ξ2 + B2 η2 + B3 ξ η + B4 ξ + B5 η + B6 = 0 (4.3)
y suwestvugt druhye polynom¥ Fi ( y ) stepeny ne bol\ße 2 takye, çto
ξ =
F x
F x
1
0
( )
( )
, η =
F x
F x
2
0
( )
( )
. (4.4)
Tohda znaçenye parametra x polnost\g xarakteryzuet toçku na konyke A, a
znaçenye parametra y — na B. Kasatel\naq L1 k konyke A v toçke x1 s af-
fynn¥my koordynatamy ξ1 ( x1 ), η1 ( x1 ) opys¥vaetsq uravnenyem
( − ) = ( − )
= =
ξ ξ η η η ξ
1 1
1 1
d
dx
d
dxx x x x
. (4.5)
Çtob¥ najty toçky pereseçenyq kasatel\noj L1 s kryvoj B, nuΩno podsta-
vyt\ v ravenstvo (4.5) vmesto ξ, η yx v¥raΩenyq yz (4.4). Opuskaq v¥çyslenyq,
zapyßem okonçatel\n¥j rezul\tat: dlq zadannoj toçky x1 na konyke A toçky
y1 y y2 pereseçenyq kasatel\noj L1 s B opredelqgtsq kak dva kornq kvad-
ratnoho uravnenyq
Z ( x1 , y ) = 0, (4.6)
hde polynom Z ( x, y ) ymeet vyd
Z ( x, y ) = F0 ( y ) M0 ( x ) + F1 ( y ) M1 ( x ) + F2 ( y ) M2 ( x ), (4.7)
pryçem polynom¥ Mi ( y ) opredelqgtsq formulamy
Mi ( x ) = εikl
k l k kE x E x E x E x( )′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( ) , i, k, l = 0, 1, 2. (4.8)
Zdes\ ßtryx oznaçaet dyfferencyrovanye po x, a εi
k
l = sign ( i k l ) — standart-
n¥j antysymmetryçeskyj tenzor. Netrudno pokazat\, çto deg ( Mi ( x ) ) ≤ 2.
Krome toho, dlq zadannoj toçky s parametrom y1 na konyke B parametr¥ to-
çek x1 y x2 kasanyq kasatel\n¥x L1 , L2 k A, proxodqwyx çerez y1 , oprede-
lqgtsq kak dva kornq kvadratnoho uravnenyq Z ( x, y1 ) = 0. ∏ty korny ne mohut
b¥t\ kompleksn¥my, tak kak ony qvlqgtsq vewestvenn¥my parametramy na
ysxodn¥x vewestvenn¥x konykax. Otmetym, çto analohyçn¥e soobraΩenyq ys-
pol\zovalys\ v rabote [20]. Avtor¥ takΩe vvodqt dve ynvolgcyy I1 , I2 y kom-
pozycyg I2 I1 , kotor¥e πkvyvalentn¥ sootvetstvugwym ynvolgcyqm y otobra-
Ωenyg DΩona na nekotoroj πllyptyçeskoj kryvoj. V naßem podxode kryvaq
Z ( x, y ) = 0 zapys¥vaetsq qvno, y m¥ dokaz¥vaem suwestvovanye netryvyal\noho
reßenyq zadaçy Dyryxle v peryodyçeskom sluçae.
Takym obrazom, moΩno pryloΩyt\ T-alhorytm k naxoΩdenyg posledova-
tel\nostej toçek xn y yn na konykax A y B. Peryodyçeskye orbyt¥ problem¥
Ponsele pry πtom sootvetstvugt peryodyçeskym orbytam dynamyçeskoj
system¥ otobraΩenyq DΩona, pryçem dvyΩenye ot toçky P0 k toçke P1 kony-
ky B sootvetstvuet dvyΩenyg ot toçky M0 k toçke N0 kryvoj (1.4) po verty-
kal\noj xarakterystyke, a dvyΩenyg ot toçky P1 k sledugwej toçke P2 na B
sootvetstvuet dvyΩenye ot toçky N0 k toçke M1 po horyzontal\noj xarak-
terystyke.
Ytak, dokazana sledugwaq teorema.
Teorema 4.1. Problema Ponsele dlq dvux zadann¥x konyk udovletvorqet
uslovyg peryodyçnosty P P ) tohda y tol\ko tohda, kohda uslovyg P J ) udov-
letvorqet otobraΩenye T na sootvetstvugwej çasty kryvoj (1.4). Pry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
442 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
πtom toçkam … , T
–
1
M, M, T M, … , T
n
M, … orbyt¥ otobraΩenyq DΩona so-
otvetstvugt toçky s çetn¥my nomeramy … , U–
2
P, P, U2
P, … , U2n
P, … or-
byt¥ otobraΩenyq Ponsele.
Yz πtoj teorem¥, v çastnosty, sleduet, çto v peryodyçeskom sluçae çetnomu
peryodu 2N problem¥ Ponsele sootvetstvuet peryod N otobraΩenyq DΩona,
a neçetnomu peryodu 2N + 1 problem¥ Ponsele — takoj Ωe peryod 2N + 1
otobraΩenyq DΩona (pry odnoznaçnom sootvetstvyy çastej konyk y kryvoj).
Poskol\ku svojstvo peryodyçnosty v probleme Ponsele ynvaryantno otno-
sytel\no proektyvn¥x preobrazovanyj proskosty ( ξ, η ), moΩno reducyrovat\
konyky A y B k prostomu sluçag. Rassmotrym sledugwug vozmoΩnost\. Pe-
revedem proektyvn¥my zamenamy konyky A y B k dvum koncentryçeskym πl-
lypsam
ξ η2
1
2
2
1
2a b
+ = 1, ξ2 + η2 = 1,
yz kotor¥x A qvlqetsq edynyçnoj okruΩnost\g (vnaçale dve kvadratyçn¥e
form¥ ot trex proektyvn¥x peremenn¥x odnym lynejn¥m preobrazovanyem
pryvedem k hlavn¥m osqm, a zatem v¥berem podxodqwye affynn¥e koordynat¥
y osuwestvym rastqΩenyq). Zametym, çto ne lgbaq para konyk moΩet b¥t\ ve-
westvenn¥m proektyvn¥m preobrazovanyem svedena k πtomu sluçag; πto voz-
moΩno tol\ko dlq konyk, peresekagwyxsq v çet¥rex toçkax, yly kasagwyxsq v
dvux toçkax, yly neperesekagwyxsq vovse. Vvedem standartnug parametry-
zacyg
ξ =
2
1
1
2
a y
y+
, η =
b y
y
1
2
2
1
1
( − )
+
; ξ =
2
1 2
x
x+
, η =
1
1
2
2
−
+
x
x
konyk B y A. MoΩno proveryt\, çto v πtom sluçae kryvaq Z = 0 s polynomom
Z ( x, y ), opredelenn¥m v (4.7), zapyßetsq v forme ∏jlera – Bakstera (1.5):
x y
b
b
x y
a
b
xy2 2 1
1
2 2 1
1
1
1
1
4
1
+ + +
−
( + ) −
−
= 0. (4.9)
Uslovye ohranyçennosty a > 0 budet v¥polneno, esly budet v¥polnqt\sq
neravenstvo b1
2 < 1, a uslovye neysçezanyq v¥polnqetsq pry a1 > 1. Poπtomu
ohranyçennaq kryvaq (1.5) poluçytsq tol\ko v sluçae, kohda ymegtsq çet¥re
toçky pereseçenyq y dve svqzn¥e komponent¥ πllypsa B vne okruΩnosty A, v
kotor¥x proysxodyt process. M¥ moΩem rassmatryvat\ process Ponsele tol\-
ko v odnoj komponente, parametryzuq lyß\ ee. Zametym, çto toçky pereseçenyq
πllypsa y okruΩnosty popadagt pod rassmotrenye y perexodqt v verßyn¥
kryvoj (1.5), ravno kak y toçky na B, v kotor¥x πllypsa B kasagtsq obwye s
okruΩnost\g kasatel\n¥e (verßyn¥ — krajnye toçky kryvoj, nepodvyΩn¥e
pod dejstvyem odnoj yz ynvolgcyj I1 yly I2 ; u ohranyçennoj analytyçeskoj
kryvoj C, v¥pukloj otnosytel\no xarakterystyk, yx rovno çet¥re).
Parametr¥ ai y bi v uravnenyqx πllypsov
ξ η2
1
2
2
1
2a b
+ = 1,
ξ η2
2
2
2
2
2a b
+ = 1
moΩno y dal\ße yzmenqt\ rastqΩenyem. Naprymer, moΩno dobyt\sq ravenstva
a1 = b1 = 1, perevodq B v edynyçn¥j kruh. V πtom sluçae toçky xn yzomorfn¥
raspredelenyg spynov v peryodyçeskoj modely klassyçeskoj X Y-cepoçky [18].
Druhoj vozmoΩn¥j v¥bor a a2
2
1
2− = b b2
2
1
2− sootvetstvuet konfokal\n¥m
kvadrykam; v πtom sluçae problema Ponsele πkvyvalentna πllyptyçeskomu up-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 443
ruhomu byllyardu [15], svqzannomu so spektral\n¥my zadaçamy. Otmetym, çto
zadaça o suwestvovanyy bycentryçeskoho mnohouhol\nyka pryvodyt k neohrany-
çennoj kryvoj (1.5) s parametrom a < 0. Çtob¥ naxodyt\sq v ramkax predpolo-
Ωenyj DΩona [5], m¥ opuskaem πtot sluçaj yz rassmotrenyq, osoznavaq, odnako,
çto eho yssledovanye moΩno provesty tem Ωe sposobom.
Perexod ot otobraΩenyq Ponsele k otobraΩenyg DΩona y obratno poluçyt
ból\ßug prozraçnost\, esly rassmotret\ preobrazovanye V : ( x, y ) → ( u, v ), za-
dannoe formulamy u = x + y, v = x y. ∏to preobrazovanye perevodyt byssek-
trysu x = y v parabolu D = { ( u, v ) | v = u2
/ 4 }, pryçem levaq x ≤ y y pravaq x ≥
≥ y poluploskosty dyffeomorfno otobraΩagtsq na vneßnost\ D–
parabol¥
D y toçky, symmetryçn¥e otnosytel\no dyahonaly x = y, ymegt odyn obraz, t.
e. proysxodyt sklejka y yzhyb. Pry otobraΩenyy V puçok vertykal\n¥x prq-
m¥x x = x0 perexodyt v puçok E prqm¥x v = x u x0 0
2− , ohybagwej kotoroho
qvlqetsq parabola D. Puçok horyzontal\n¥x prqm¥x y = y0 perexodyt v tot
Ωe puçok E prqm¥x, prqm¥e x = c y y = c ymegt odyn obraz. Kryvaq ∏jlera –
Bakstera (1.5) perexodyt v kvadryku v2 + a u2 + 2 ( b – a ) v + 1 = 0 yly
( v + b – a )
2 + a u2 = ( b – a )
2 – 1. (4.10)
Yz posledneho uravnenyq vydno, çto uslovyem ohranyçennosty kryvoj (4.10)
qvlqetsq uslovye a > 0, a uslovyem neysçezanyq — uslovye ( b – a )
2 > 1. Po-
πtomu uslovyem ohranyçennosty kryvoj (1.5) qvlqetsq uslovye a > 0, poskol\-
ku V
–
1
( D ) — ohranyçennoe mnoΩestvo, kohda D — ohranyçenno. Dlq neysçe-
zanyq kryvoj (1.5) k uslovyg neysçezanyq kryvoj (4.10) ( b – a )
2 > 1 nado doba-
vyt\ uslovye nevklgçenyq kryvoj (4.10) v oblast\ D+
— vnutrennost\ parabo-
l¥ D. Rasçet¥ pokaz¥vagt, çto uslovye neysçezanyq kryvoj (1.5) pry uslovyy
a > 0 ymeet vyd ( | b | – a )
2 > 1.
Lgbaq prqmaq puçka E kasatel\na k parabole D, y esly ona peresekaet
πllyps (4.10), to otobraΩenye Ponsele, postroennoe po πllypsu y parabole,
perevodyt odnu toçku πtoho pereseçenyq v druhug, a πtu druhug — v toçku pe-
reseçenyq vtoroj kasatel\noj k parabole. Toçka, çerez kotorug proxodyt ob-
waq s paraboloj kasatel\naq, ymeet proobrazom pry otobraΩenyy V nekoto-
rug verßynu kryvoj (1.5), t. e. krajngg toçku dlq semejstv xarakterystyk —
sverxu, snyzu, sprava yly sleva, vseho hladkaq kryvaq s v¥pukloj otnosytel\no
xarakterystyk oblast\g ymeet çet¥re verßyn¥. Esly πllyps y parabola ne
peresekagtsq, to takyx obwyx kasatel\n¥x — çet¥re. Esly pereseçenye sos-
toyt yz dvux toçek, to obwyx kasatel\n¥x — dve, no kaΩdaq toçka pereseçenyq
πllypsa (4.10) s paraboloj D takΩe ymeet proobrazom pry otobraΩenyy V
nekotorug verßynu kryvoj C. Analohyçno pry pereseçenyy, sostoqwem yz çe-
t¥rex toçek, kaΩdaq yz nyx qvlqetsq obrazom nekotoroj verßyn¥.
5. Uslovye peryodyçnosty. Uravnenye kryvoj (1.4) soderΩyt 8 paramet-
rov. Proektyvn¥e preobrazovanyq kompleksnoj proektyvnoj prqmoj C P1
x →
ξ η
µ ν
1 1
1 1
x
x
+
+
, y →
ξ η
µ ν
2 2
2 2
x
x
+
+
(5.1)
ne menqgt vyda uravnenyq kryvoj (1.4) y soderΩat 6 svobodn¥x parametrov,
poπtomu kryvug (1.4) v obwem poloΩenyy takym preobrazovanyem moΩno svesty
k kryvoj v forme (1.5) ∏jlera – Bakstera [14, 15]: F ( x, y ) = x2
y2 + 1 + a ( x2 +
+ y2
) + 2b x y = 0, hde a, b — 2 ostavßyxsq svobodn¥x (kompleksn¥x) para-
metra.
V sluçae vewestvenn¥x preobrazovanyj (5.1) mohut poqvyt\sq mynus¥ pered
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
444 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
y2
y 1. NyΩe m¥ ohranyçymsq yssledovanyem sluçaq vewestvennoj kryvoj vy-
da (1.5), t. e. polahaem koπffycyent¥ a y b vewestvenn¥my. Krome toho,
ymeq v vydu svqz\ s hranyçn¥my zadaçamy v vewestvennoj ohranyçennoj oblas-
ty, budem predpolahat\, çto v¥polnen¥ uslovye ohranyçennosty a > 0 vsej
kryvoj C y uslovye neysçezanyq ( | b | – a )
2 > 1. V πtyx predpoloΩenyqx hra-
fyk kryvoj predstavlqet soboj dva ovala vo vtorom y çetvertom kvadrante pry
b < 0 y v pervom y tret\em — pry b > 0, symmetryçn¥e otnosytel\no naçala
koordynat. Pry πtom hranyçn¥e zadaçy moΩno rassmatryvat\ tol\ko v odnom
yz nyx. Pry preobrazovanyy V yz pred¥duweho punkta oba ovala perexodqt v
πllyps (4.10) yly, toçnee, v eho vneßngg po otnoßenyg k parabole D çast\.
Sluçay – 1 y – y2
v uravnenyy (1.5) trebugt yzmenenyj v sledugwyx nyΩe
formulax y budut yssledovan¥ pozΩe. V sluçae a < 0 takΩe moΩet poqvyt\sq
ohranyçenn¥j oval vozle naçala koordynat v kaçestve svqznoj komponent¥ ve-
westvennoj kryvoj vmeste s dvumq beskoneçn¥my vetvqmy, no y πtot sluçaj m¥
zdes\ ne rassmatryvaem.
Kryvaq (1.5) yhraet vaΩnug rol\ v poluçenyy teorem sloΩenyq dlq πllyp-
tyçeskyx funkcyj [28]. Ona takΩe estestvenno poqvlqetsq v podxode Bakstera
v 8-verßynnoj modely v statystyçeskoj mexanyke [14]. Sleduq [14], paramet-
ryzuem kryvug (1.5) posredstvom πllyptyçeskyx funkcyj Qkoby s nekotor¥m
kompleksn¥m parametrom t:
x = ϕ ( t ) = k t ksn ;( ) , y = ϕ ( t + η ) = k t ksn ;( + )η , (5.2)
hde parametr¥ k, η opredelqgtsq yz sootnoßenyj
k + k–
1 =
b a
a
2 21− −
, 1 2+ ( )ka ksn ;η = 0. (5.3)
Analyz πtyx sootnoßenyj na vewestvennost\ provedem nyΩe, a sejças polu-
çym formul¥ dlq otobraΩenyq DΩona. Zametym, çto kaΩdomu zadannomu x =
= k t ksn ;( ) sootvetstvugt dve toçky na C s πtym x y znaçenyqmy y, sootvet-
stvugwymy dvum znaçenyqm η: y1 = k t ksn ;( + )η y y2 = k t ksn ;( − )η vsled-
stvye symmetryy otnosytel\no perestanovky x ↔ y. ∏ty znaçenyq y1, 2 soot-
vetstvugt dvum toçkam pereseçenyq vertykal\n¥x xarakterystyk s kryvoj
(1.5), poπtomu otobraΩenyq I1 , I2 y otobraΩenye DΩona dejstvugt po pra-
vylam I1 : ( x, y2 ) → ( x, y1 ), I2 : ( x2 , y ) → ( x1 , y ), T = I2 I1 : t → t + 2η. Teper\
moΩno najty toçky orbyt¥ Mn dynamyçeskoj system¥ DΩona:
Mn = ( )( + ) ( + ( + ) )k t n k k t n ksn ; , sn ;2 2 1η η . (5.4)
Uslovye peryodyçnosty (dlq nekotoroj toçky ( I2 I1 )
N
M = M ) ymeet vyd
2η N = 4K m1 + 2i K′ m2 (5.5)
s nekotor¥my cel¥my m1 , m2, hde çetvert\-peryod¥ K, K′ moΩno najty çerez
πllyptyçeskyj yntehral LeΩandra yz p. 2: K = K ( k ), K ′ = K ( k′ ), k ′ = ( 1 –
– k2
)
1
/
2
. Zametym, çto uslovye typa (5.5) poqvylos\, naprymer, v rabote [18] pry
yzuçenyy klassyçeskyx peryodyçeskyx X Y-spynov¥x cepoçek.
Vernemsq k sootnoßenyqm (5.2), (5.3). V predpoloΩenyy a > 0 yz pervoho
ravenstva (5.3) y uslovyq neysçezanyq poluçym vewestvennost\ y poloΩytel\-
nost\ k y moΩem v¥brat\ k < 1, t. e. ymeem standartnug sytuacyg. Otmetym,
çto m¥ yspol\zovaly uslovye neysçezanyq v vyde b2 > ( a + 1 )
2
. Vtoraq eho
çast\ b2 < ( a – 1 )
2
, pryvodqwaq k sluçag k < 0, ne daet vewestvennoj kryvoj.
Yz vtoroho ravenstva (5.3) poluçym, çto sn ( η, k ) qvlqetsq çysto mnym¥m. ∏to
oznaçaet, çto η = 2m K + θ i s nekotor¥m cel¥m m y vewestvenn¥m θ (sm.
[29]). Pry πtom x dolΩno b¥t\ vewestvenn¥m, znaçyt, t = n K′ i + τ lybo t =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 445
= ( 2n + 1 ) K + i τ s nekotor¥m cel¥m n y vewestvenn¥m τ. No y takΩe dolΩ-
no b¥t\ vewestvenn¥m, znaçyt, t + η = K′ n1 i + τ1 lybo t + η = ( 2n1 + 1 ) K + i τ1 s
nekotor¥m cel¥m n1 y vewestvenn¥m τ1 . Sklad¥vaq v¥raΩenyq dlq t y η ,
poluçaem, çto vozmoΩen lyß\ varyant so vtor¥my formulamy dlq t y t + η :
τ1 = θ + τ. Ytak, m¥ v¥nuΩden¥ polahat\, çto parametr t probehaet kompleks-
n¥e znaçenyq t = ± K′ + i τ, pry πtom znaçenyq x, y v parametryzacyy (5.2) ve-
westvenn¥ pry vewestvennom τ, a znak pered K opredelqet vetv\ kryvoj.
Funkcyq ϕ teper\ prynymaet vyd ϕ ( t ) = k / dn ( τ, k′ ), a uslovye peryodyçnos-
ty (5.5) zapyßetsq v vyde ( m = m2 )
θ
′
=
K
m
N
∈ Q , (5.6)
hde çyslo θ udovletvorqet ravenstvu sc ( θ, k′ ) = 1 / ak .
V çastnosty, m¥ poluçyly, çto pry uslovyy peryodyçnosty (5.6) kaΩdaq
toçka M ∈ C qvlqetsq peryodyçeskoj toho Ωe peryoda N y nykakaq toçka ne
qvlqetsq peryodyçeskoj v protyvnom sluçae. Ytak, dokazana sledugwaq teo-
rema.
Teorema 5.1. OtobraΩenye DΩona na kryvoj (1.5) peryodyçno tohda y
tol\ko tohda, kohda v¥polneno uslovye (5.6).
Zametym, çto mynymal\noe natural\noe çyslo N so svojstvom (5.6) qvlq-
etsq peryodom otobraΩenyq DΩona T, a çyslo m xarakteryzuet çyslo cel¥x
povorotov pry otobraΩenyy T
N
.
6. Edynstvennost\ reßenyq zadaçy Dyryxle. Skonstruyruem qvnoe ne-
tryvyal\noe reßenye odnorodnoj zadaçy Dyryxle (1.1), (1.3) v oblasty, ohrany-
çennoj kryvoj (1.5), pry uslovyy peryodyçnosty P J ) v forme (5.6). Dlq πtoho
vospol\zuemsq sledugwymy faktamy. Rassmatryvaemaq symmetryçnaq otnosy-
tel\no byssektrys¥ x = y kryvaq C opys¥vaetsq parametryçesky uravnenyqmy
(5.2). Kak sleduet yz [30], dlq πllyptyçeskoho synusa spravedlyv¥ formul¥
mul\typlykatyvnosty:
sn ( 2m z ) = sn z cn z dn z S zm
1 2( )sn , sn ( ( 2m + 1 ) z ) = sn z S zm
2 2( )sn ,
hde Sm
1 ( )ζ , Sm
2 ( )ζ — semejstva racyonal\n¥x funkcyj (kompleksnoj) peremen-
noj ζ. Poπtomu funkcyq ϕ ( z ) yz pred¥duweho punkta ymeet svojstva mul\-
typlykatyvnosty:
ϕ ( m z ) = Gm ( ϕ ( z ) ) : = S zm( )( )ϕ , m = 2, 4, 6, … ,
(6.1)
ϕ ( m z ) = Rm ( ϕ ( z ) ), m = 1, 3, … ,
hde Sm ( z ), Rm ( z ) — semejstva racyonal\n¥x funkcyj.
V p. 5 m¥ vydely, çto otobraΩenye DΩona T osuwestvlqet sdvyh parametra
na 2η. Reßenye zadaçy (1.1), (1.3) budem zapys¥vat\ v vyde
un ( x, y ) = fn ( x ) + gn ( y ), n = 1, 2, … . (6.2)
Ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema 6.1. Esly v¥polneno uslovye peryodyçnosty (5.5) s nekotor¥my
cel¥my m y N, to dlq kaΩdoho natural\noho n suwestvuet netryvyal\noe
reßenye odnorodnoj zadaçy Dyryxle (1.1), (1.3) vyda (6.2), hde
fn ( x ) = G2Nn ( x ), gn ( y ) = – G2Nn ( y ), (6.3)
a Gn ( z ) — funkcyy, opredelenn¥e ravenstvom (6.1).
Dokazatel\stvo. Poskol\ku racyonal\n¥e funkcyy Rn ( z ) ne postoqnn¥,
funkcyq u ( x, y ) = fn ( x ) + gn ( y ) = G2Nn ( x ) – G2Nn ( y ) — nenulevaq v oblasty Ω y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
446 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
qvlqetsq reßenyem uravnenyq (1.1). Proverym uslovye Dyryxle u ( x, y ) = 0 na
kryvoj C. Dejstvytel\no, pry uslovyy peryodyçnosty dlq kaΩdoho t ymeem
fn ( x ( t ) ) + gn ( y ( t ) ) = G2N n ( x ( t ) ) – G2N n ( y ( t ) ) =
= ϕ ( 2n N t ) – ϕ ( 2n N t – 2n N η ) = 0,
hde yspol\zovan¥ uslovye peryodyçnosty (5.5), svojstvo mul\typlykatyvnosty
(6.1) y to, çto çyslo K — çetvert\-peryod funkcyy ϕ. Zametym ewe, çto v
sylu ohranyçennosty y hladkosty funkcyy ϕ funkcyy G2N n ( x ), G 2N n ( y ) oh-
ranyçen¥ y poπtomu hladky.
Teorema dokazana.
Napomnym teper\, çto sohlasno utverΩdenyg DΩona v neperyodyçeskom
sluçae zadaça Dyryxle (1.1), (1.3) ymeet tol\ko tryvyal\noe reßenye (sm.
pp.E1.1). Poπtomu spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 6.2. Uslovye peryodyçnosty (5.6) neobxodymo y dostatoçno dlq
needynstvennosty reßenyq zadaçy Dyryxle (1.1), (1.2).
7. Svqz\ s druhymy hranyçn¥my zadaçamy y obobwennoj problemoj mo-
mentov. V rabotax [31, 32] b¥lo poluçeno uslovye svqzy sledov reßenyq zadaçy
Koßy v ohranyçennoj oblasty dlq uravnenyq vtoroho porqdka s postoqnn¥my
kompleksn¥my koπffycyentamy, kotor¥m m¥ vospol\zuemsq. S cel\g bolee
kompaktn¥x formulyrovok vvedem vektor¥ ã1 = ( 1, 0 ), ã2 = ( 0, 1 ).
Rassmotrym pereopredelennug hranyçnug zadaçu v nekotoroj ohranyçennoj
oblasty Ω s hladkoj hranycej ∂Ω:
L u = ′′ux x1 2
= 0, (7.1)
′ ∂us Ω = γ, ′ ∂uν* Ω = κ (7.2)
v sobolevskom prostranstve Hm
( Ω ), m ≥ 3, hde ν* — vektor konormaly y pro-
yzvodnaq po konormaly ymeet vyd
∂
∂
= ( ) ∂
∂
− ( ( )) ′ ∂
∂
[ ]
ν
ν
ν
ν
*
l
k
l s
ss
1
2
,
l ( ξ ) = ξ1 ξ2 — symvol operatora L, k — kryvyzna, s — natural\n¥j parametr
na ∂Ω. Ymegt mesto sledugwye utverΩdenyq [31, 32].
UtverΩdenye 7.1. Esly funkcyq u ∈ Hm
( Ω ) pry m ≥ 3 qvlqetsq reße-
nyem zadaçy (7.2) dlq uravnenyq (7.1), to funkcyy γ ∈ H m
–
3
/
2
( ∂Ω ), κ ∈
∈ Hm
–
3
/
2
( ∂Ω ) udovletvorqgt uslovyg
∀ Q ∈ R [ z ], j = 1, 2: κ γ− (− )
( )⋅
∂
∫ ( )1
2
j jQ x s a ds
Ω
˜ = 0, (7.3)
hde x ( s ) — toçka na ∂Ω, kotoroe moΩno predstavyt\ v vyde (1.7).
Sledstvye 7.1. Dlq kaΩdoho reßenyq u ∈ Hm
( Ω ), m ≥ 2, uravnenyq (1.1)
v¥polnqetsq ravenstvo Ûukovskoho
κ ds
∂
∫
Ω
= 0. (7.4)
UtverΩdenye 7.2. Obratno, esly funkcyy γ ∈ H m
–
3
/
2
( ∂Ω ) y κ ∈
∈ Hm
–
3
/
2
( ∂Ω ) udovletvorqgt uslovyg (7.3), to suwestvuet edynstvennoe s
toçnost\g do addytyvnoj postoqnnoj reßenye y zadaçy (7.2) dlq uravnenyq
(7.1), prynadleΩawee prostranstvu H m
–
1
–
ε
( Ω ) dlq kaΩdoho ε > 0. Otobra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 447
Ωenye H m
( ∂Ω ) × H m
( ∂Ω ) / { const } � { ( γ, κ ) so svojstvom (7.4) } → u ∈
∈ Hm
–
1
–
0
( Ω ) qvlqetsq neprer¥vn¥m.
Rassmotrym teper\ zadaçu (1.7) o neopredelennosty problem¥ momentov
(1.8), kotorug zapyßem v sledugwem vyde:
na zadannoj kryvoj C suwestvuet funkcyq α ( x ) takaq, çto
∀ N ∈ Z+ , j = 1, 2: α( )( ⋅ )∫ x x a ds
C
j N˜ = 0. (7.5)
(Sootvetstvugwaq problema momentov typa (1.8) prevratytsq v ob¥çnug
tryhonometryçeskug, esly sçytat\, çto C — edynyçnaq okruΩnost\, y zame-
nyt\ x ( s )
N = cosN ( s ) y y ( s )
N = sinN
( s ) na cos N s y sin N s sootvetstvenno,
lybo vzqt\ vektor¥ ã1 = ( 1, i ), ã2 = ( 1, – i ).)
Ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema 7.1. Pust\ l ≥ k ≥ 3 y ymegtsq try nabora utverΩdenyj:
1k ) odnorodnaq problema momentov (7.5) (yly (1.7)) ymeet netryvyal\noe
reßenye α ∈ Hk
–
3
/
2
( ∂Ω );
2k ) zadaça Dyryxle u | ∂Ω = 0 dlq uravnenyq (7.1) ymeet netryvyal\noe
reßenye u ∈ Hk
( Ω );
3k ) zadaça Nejmana ′ ∂uν* Ω = 0 dlq uravnenyq (7.1) ymeet nepostoqnnoe
reßenyem u ∈ Hk
( Ω ).
Tohda 1l ) ⇒ 2l – q ), 1l ) ⇒ 3l – q ), 2l ) ⇒ 1l ), 3l ) ⇒ 1 l ), hde q = 1 + ε s lgb¥m
ε > 0.
Dokazatel\stvo. 1) ⇒ 2). Yspol\zuq paru γ = 0, κ = 2α, s pomow\g ut-
verΩdenyq 7.2 stroym reßenye u ∈ Hl
–
q
( ∂Ω ).
2) ⇒ 1). PoloΩym α = κ y prymenym utverΩdenye 7.1.
Ymplykacyy 1) ⇒ 3) y 3) ⇒ 1) analohyçn¥.
Dokazatel\stvo teorem¥ zaverßeno.
Takym obrazom, uslovye peryodyçnosty (5.6) neobxodymo y dostatoçno dlq
netryvyal\noj razreßymosty odnorodnoj zadaçy Nejmana (1.1), (1.6) y qvlqetsq
takΩe kryteryem svojstva neopredelennosty (1.7) problem¥ momentov (1.8) na
C = ∂Ω v sobolevskoj ßkale prostranstv Hk
( ∂Ω ), k ≥ 3.
8. Determynantn¥j kryteryj Kπly. Znamenyt¥j anhlyjskyj matematyk
A. Kπly dal sledugwyj zameçatel\n¥j kryteryj peryodyçnosty zadaçy Ponse-
le. Pust\ A, B — dve proyzvol\n¥e konyky, uçastvugwye v processe Ponsele,
kak v p. 2, MC y MD — 3 × 3-matryc¥, opys¥vagwye πty konyky (t. e. sootvet-
stvugwye ym kvadratyçn¥e form¥) v proektyvn¥x koordynatax x0 , x1 , x2 .
Naprymer, esly konyka A — edynyçnaq okruΩnost\ x2 + y2 = 1, a konyka B —
koncentryçeskaq okruΩnost\ radyusa R, to kvadratyçn¥my formamy dlq A, B
qvlqgtsq
x x x1
2
2
2
0
2+ − y x x R x1
2
2
2 2
0
2+ − . (8.1)
Sootvetstvugwye matryc¥ MB , MA — dyahonal\n¥: MA = diag ( 1, 1, – 1 ), MB =
= diag ( 1, 1, – R2
). V¥çyslym xarakterystyçeskyj opredelytel\
F ( z ) = det ( MB – z MA ). (8.2)
Qsno, çto F ( z ) — kubyçeskyj polynom. ∏tot polynom ynvaryanten otnosy-
tel\no preobrazovanyj podobyq B → S
–
1
MB S, A → S
–
1
MA S. Yzvestno, çto dve
kvadratyçn¥e form¥ mohut b¥t\ pryveden¥ k dyahonal\nomu vydu odnym nev¥-
roΩdenn¥m preobrazovanyem podobyq. Pry πtom korny zi , i = 1, 2, 3, polynoma
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
448 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
F ( z ) ymegt prostoj sm¥sl. Esly matryca MA pryvodytsq k dyahonal\noj
forme toΩdestvennoj matryc¥ (t. e. MA = diag ( 1, 1, – 1 ) ), to z 1 , z 2 , z 3 —
dyahonal\n¥e πlement¥ (sobstvenn¥e znaçenyq) matryc¥ MB .
Dlq poluçenyq kryteryq Kπly neobxodymo najty koπffycyent¥
razloΩenyq v rqd Tejlora kornq yz polynoma F ( z ):
F z( ) = c0 + c1 z + c2 z2 + … + cn zn + … , (8.3)
a zatem sostavyt\ yz nyx opredelytely hankeleva typa
H
c c c
c c c
c c c
p
p
p
p p p
( )1
3 4 1
4 5 2
1 2 2 1
=
…
…
… … … …
…
+
+
+ + −
, p = 2, 3, 4 … , (8.4)
H
c c c
c c c
c c c
p
p
p
p p p
( )2
2 3 1
3 4 2
1 2 2
=
…
…
… … … …
…
+
+
+ +
, p = 1, 2, 3 … . (8.5)
Kryteryj Kπly [17] utverΩdaet: orbyt¥ otobraΩenyq Ponsele peryodyçn¥
s peryodom N tohda y tol\ko tohda, kohda Hp
( )1 = 0 dlq N = 2p y Hp
( )2 = 0
dlq N = 2p + 1. Sovremennoe dokazatel\stvo kryteryq Kπly moΩno najty v
rabote [20].
Rassmotrym v kaçestve yllgstracyy prymer dvux okruΩnostej (8.1) radyu-
sov 1 y R. Oçevydno, çto v πtom sluçae
F ( z ) = ( z – 1 )
2
( z R2 – 1 ). (8.6)
Perv¥e netryvyal\n¥e tejlorovskye koπffycyent¥ kornq F z( ) sut\ c2 =
= R2
( R2 – 4 ) / 8 y c3 = R4
( R2 – 2 ) / 16. V πtom sluçae ravenstvo c2 = 0 oznaçaet
R = 2, çto sootvetstvuet trextoçeçnoj orbyte y pravyl\nomu (bycentryçesko-
mu) treuhol\nyku, a ravenstvo c3 = 0 oznaçaet R = 2 1
/
2
, çto sootvetstvuet çe-
t¥rextoçeçnoj orbyte y (bycentryçeskomu) kvadratu.
9. Svqz\ meΩdu problemoj Ponsele y uravnenyem Pellq – Abelq. Raz-
reßymost\ uravnenyq Pellq – Abelq
P ( t )
2 – R ( t ) Q ( t )
2 = L
2
(9.1)
s polynomom çetnoho porqdka, kak otmeçalos\ v p. 3, ymeet neskol\ko razlyç-
n¥x πkvyvalentn¥x formulyrovok [26]. V rabote [27] poluçen nov¥j kryteryj
razreßymosty, dann¥j v alhebrayçeskoj forme, kotor¥j m¥ sformulyruem
dlq sluçaq polynoma çetvertoho porqdka R = t
4 + d1 t
3 + … + d4 . RazloΩym ko-
ren\ R v rqd Lorana v okrestnosty beskoneçnosty:
R C tj
j
j m
= −
= −
∞
∑ (9.2)
y sostavym opredelytel\ hankeleva typa
Γk =
C C C
C C C
C C C
k
k
k k k
1 2
2 3 1
1 2 1
…
…
… … … …
…
+
+ −
, k = 1, 2, 3 … . (9.3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
O ZADAÇE DYRYXLE DLQ URAVNENYQ KOLEBANYQ STRUNÁ, … 449
Kryteryj Mal¥ßeva [27] utverΩdaet: uravnenye Pellq – Abelq (3.1) s po-
lynomom R çetvertoho porqdka ymeet reßenyqmy polynom¥ P y Q porqdkov
k + 2 y k tohda y tol\ko tohda, kohda Γk = 0.
Naße nablgdenye zaklgçaetsq v sledugwem. Pust\ λ1 — odyn yz kornej
polynoma R ( t ). Vo-perv¥x, rassmotrym uravnenye Pellq – Abelq (3.1) s poly-
nomom R çetvertoho porqdka y v¥polnym sdvyh parametra t → t + λ1 (t. e. t →
→ t̃ + λ1 ). Razreßymost\ uravnenyq Pellq – Abelq (3.1) ot πtoho ne yzmenyt-
sq. Prymenym teper\ kryteryj Mal¥ßeva k poluçennomu uravnenyg. Pust\
koπffycyent¥ Cj — koπffycyent¥ razloΩenyq v rqd Lorana kornq
R t( + )λ1 , tohda ravenstvo Γk = 0 neobxodymo y dostatoçno dlq razreßymos-
ty uravnenyq (3.1) s zadann¥my stepenqmy polynomov P , Q . Vo-vtor¥x, v
ysxodnoj postanovke v¥polnym zamenu peremennoj s = 1 / ( t – λ1 ), t = λ1 + 1 / s.
Tohda poluçym
R =
F s
s
( )
4 (9.4)
s nekotor¥m polynomom F ( s ) tret\eho porqdka, y poπtomu R = F s( ) / s
2
. Za-
metym, çto moΩno vosstanovyt\ polynom R po F obratn¥m preobrazovanyem.
RazloΩenye (8.3) kornq F s( ) daet nam razloΩenye F s( ) / s
2 = c0 / s
2 + c1 / s +
+ c2 + … + cn sn
–
2 + … , kotoroe posle obratnoj zamen¥ zapyßetsq v vyde
R t( + )λ1 = c0 t
2 + c1 t + c2 +
c
t
3 + … +
c
t
n
n−2 … .
Kak vydno, C1 = c3 , C2 = c4 , … y opredelytel\ (8.4) sovpadaet s opredelytelem
(9.3), t. e. kryteryj Kπly dlq sluçaq çetnoho peryoda s polynomom F sovpada-
et s kryteryem Mal¥ßeva dlq uravnenyq (9.1) s polynomom R. Ytak, dokazana
sledugwaq teorema.
Teorema 9.1. Uravnenye (9.1) s polynomom R çetvertoj stepeny razre-
ßymo tohda y tol\ko tohda, kohda peryodyçna s çetn¥m peryodom problema
Ponsele na konykax A y B, kotor¥e poroΩdagt po formule (8.2) polynom
F tret\ej stepeny, svqzann¥j s polynomom R formuloj (9.4).
Pust\ dan polynom çetvertoho porqdka R = t ( z1 t – 1 ) ( z2 t – 1 ) ( z3 t – 1 ), tohda
F ( z ) = z
4 R ( 1 / z ) = ( z – z1 ) ( z – z2 ) ( z – z3 ) — polynom tret\eho porqdka. Poly-
nom F = det ( B – z A ) poroΩden dvumq kvadratyçn¥my formamy s matrycamy
A = diag ( 1, 1, – 1 ), B = diag ( z1 , z2 , z3 ), postroenn¥my po kvadratyçn¥m formam
x x x1
2
2
2
0
2+ − y z x z x z x1 1
2
2 2
2
3 0
2+ + konyk x2 + y2 = 1 y z1 x2 + z2 y2 + z3 = 0.
Pust\, naprymer, – 1 < z1 / z3 < 0 y z2 / z3 < – 1. Tohda po formule (4.9) moΩno
zapysat\ uravnenye ohranyçennoj kryvoj (y tem sam¥m, postanovku zadaçy
Dyryxle (1.3)), a zatem po formulam, pryvedenn¥m v p. 5, najty çysla k, k′, K′
y θ. Sohlasno teoreme 9.1 razreßymost\ uravnenyq Pellq – Abelq (9.1) s ta-
kym polynomom R πkvyvalentna peryodyçnosty zadaçy Ponsele dlq πtyx ko-
nyk y sohlasno teoremam 4.1 y 5.1 πkvyvalentna uslovyg (5.6).
1. Hadamard J. Equations aux derivees partielles // L’Enseignment Math. – 1936. – 36. – P. 25 – 42.
2. Huber A. Erste Randwertaufgabe für geschlossene Bereiche bei der Cleichung U xy = f ( x , y ) //
Monatsh. Math. und Phys. – 1932. – 39. – P. 79 – 100.
3. Bourgin D., Duffin R. The Dirichlet problem for the vibrating string equations // Bull. Amer. Math.
Soc. – 1939. – 45. – P. 851 – 858.
4. Ptaßnyk B. Y. Nekorrektn¥e hranyçn¥e zadaçy dlq dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
çastn¥my proyzvodn¥my. – Kyev: Nauk. dumka, 1984.
5. John F. The Dirichlet problem for a hyperbolic equation // Amer. J. Math. – 1941. – 63. – P. 141 –
154.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
450 V. P. BURSKYJ, A. S. ÛEDANOV
6. Aleksandrqn R. A. O zadaçe Dyryxle dlq uravnenyq strun¥ y o polnote odnoj system¥
funkcyj v kruhe // Dokl. AN SSSR. – 1950. – 73, # 5.
7. Aleksandrqn R. A. Spektral\n¥e svojstva operatorov, poroΩdenn¥x systemamy dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj typa Soboleva // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1960. – 9. – S. 455 – 505.
8. Akopqn H. S. O polnote system¥ sobstvenn¥x vektor-polynomov lynejnoho puçka dyffe-
rencyal\n¥x operatorov v πllypsoydal\n¥x oblastqx // Dokl. AN ArmSSR. – 1988. – 86,
#E4. – S. 147 – 152.
9. Arnol\d V. Y. Mal¥e znamenately. I // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1961. – 25, # 1. – S. 21 –
86.
10. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1965.
11. Zelenqk T. Y. Yzbrann¥e vopros¥ kaçestvennoj teoryy uravnenyj s çastn¥my proyzvodn¥-
my. – Novosybyrsk: Novosyb. un-t, 1970.
12. Fokyn M. V. O synhulqrnom spektre v zadaçe S. L. Soboleva // Mat. analyz y dyfferenc.
uravnenyq. – Novosybyrsk: Novosyb. un-t, 1992. – S. 11 – 15.
13. Nytecky Z. Vvedenye v dyfferencyal\nug dynamyku. – M.: Myr, 1975.
14. Baxter R. Exactly solvable models in statistical mechanics. – London: Acad. Press, 1982.
15. Veselov A. P. Yntehryruem¥e system¥ s dyskretn¥m vremenem y raznostn¥e operator¥ //
Funkc. analyz y eho pryl. – 1988. – 22. – S. 1 – 13.
16. Francoise J. P., Ragnisco O. An iterative process on quartics and integrable symplectic maps //
Symmetries and Integrability of Difference Equations / Eds P. A. Clarkson and F. W. Nijhoff. –
Cambridge Univ. Press, 1998.
17. Berger M. Géométrie. – Paris: CEDIC, 1978.
18. Hranovskyj Q. Y., Ûedanov A. S. Yntehryruemost\ klassyçeskoj XY-cepoçky // Pys\ma v
Û∏TF. – 1986. – 44. – S. 237 – 239.
19. Poncelet J. V. Traite des proprietes projectives des figures: ouvrage utile a qui s’occupent des
applications de la geometrie descriptive et d’operations geometriques sur le terrain. – 2nd ed. –
Paris: Gauthier-Villars, 1865 – 1866. – Vols 1, 2.
20. Griffiths P., Harris J. On a Cayley’s explicit solution to Poncelet’s porism // Enseign. math. –
1978. – 24, # 2. – P. 31 – 40.
21. Kerawala S. M. Poncelet porism in two circles // Bull. Calcutta Math. Soc. – 1947. – 39. – P. 85 –
105.
22. Hel\fond A. O. Reßenye uravnenyj v cel¥x çyslax. – M.: Nauka, 1978.
23. Abel N. H. Über die Integration der Differential-Formel ρ dx R/ , wenn R und ρ ganze
Functionen sind // Z. reine und angew. Math. – 1826. – 1. – S. 185 – 231.
24. Holubev V. V. Rabot¥ P. L. Çeb¥ßeva po yntehryrovanyg alhebrayçeskyx funkcyj //
Nauçnoe nasledye P. L. Çeb¥ßeva. Matematyka. – M.; L.: Yzd-vo AN SSSR, 1945. – S. 88 –
121.
25. Axyezer N. Y. Lekcyy po teoryy approksymacyy. – M.: Nauka, 1965.
26. Sodyn L. M., Gdyckyj P. M. Funkcyy, naymenee uklonqgwyesq ot nulq na zamknut¥x
podmnoΩestvax vewestvennoj osy // Alhebra y analyz. – 1991. – 4, v¥p. 2. – S. 1 – 61.
27. Mal¥ßev V. A. Uravnenye Abelq // Tam Ωe. – 2001. – 13, v¥p. 6. – S. 1 – 55.
28. Axyezer N. Y. ∏lement¥ teoryy πllyptyçeskyx funkcyj. – M.: Nauka, 1970.
29. Bejtmen H., ∏rdejy A. V¥sßye transcendentn¥e funkcyy. ∏llyptyçeskye y avtomorfn¥e
funkcyy. Funkcyy Lame y Mat\e. – M.: Nauka, 1967.
30. Uyttekker E. T., Vatson H.N. Kurs sovremennoho analyza. – M.: Fyzmathyz, 1963. – Ç. 2. –
516 s.
31. Burskyj V. P. O kraev¥x zadaçax dlq πllyptyçeskoho uravnenyq s kompleksn¥my koπf-
fycyentamy y odnoj probleme momentov // Ukr. mat. Ωurn. – 1993. – 45, # 11. – S. 1476 –
1483.
32. Burskyj V. P. Metod¥ yssledovanyq hranyçn¥x zadaç dlq obwyx dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 2002.
Poluçeno 26.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
|