Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка
Розроблено новий чисельно-аналітичний алгоритм дослідження періодичних розв'язків нелінійних періодичних систем диференціальних рівнянь dx/dt=A(t)x+f(t,x) у критичному випадку. Вивчаються питання існування і наближеної побудови розв'язків, знайдено оцінки збіжності послідовних періодичних...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164971 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка / І.І. Король, М.О. Перестюк // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 472–488. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164971 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649712020-02-12T01:29:05Z Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка Король, І.І. Перестюк, М.О. Статті Розроблено новий чисельно-аналітичний алгоритм дослідження періодичних розв'язків нелінійних періодичних систем диференціальних рівнянь dx/dt=A(t)x+f(t,x) у критичному випадку. Вивчаються питання існування і наближеної побудови розв'язків, знайдено оцінки збіжності послідовних періодичних наближень. A new numerical-analytic algorithm for the investigation of periodic solutions of nonlinear periodic systems of differential equations dx/dt = A(t) x+ ƒ(t, x) in the critical case is developed. The problem of the existence of solutions and their approximate construction is studied. Estimates for the convergence of successive periodic approximations are obtained. 2006 Article Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка / І.І. Король, М.О. Перестюк // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 472–488. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164971 517.925 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Король, І.І. Перестюк, М.О. Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка Український математичний журнал |
| description |
Розроблено новий чисельно-аналітичний алгоритм дослідження періодичних розв'язків нелінійних періодичних систем диференціальних рівнянь dx/dt=A(t)x+f(t,x) у критичному випадку. Вивчаються питання існування і наближеної побудови розв'язків, знайдено оцінки збіжності послідовних періодичних наближень. |
| format |
Article |
| author |
Король, І.І. Перестюк, М.О. |
| author_facet |
Король, І.І. Перестюк, М.О. |
| author_sort |
Король, І.І. |
| title |
Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка |
| title_short |
Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка |
| title_full |
Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка |
| title_fullStr |
Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка |
| title_full_unstemmed |
Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка |
| title_sort |
ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень a. m. самойленка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164971 |
| citation_txt |
Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень A. M. Самойленка / І.І. Король, М.О. Перестюк // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 472–488. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT korolʹíí ŝerazpročiselʹnoanalítičnijmetodposlídovnihperíodičnihnabliženʹamsamojlenka AT perestûkmo ŝerazpročiselʹnoanalítičnijmetodposlídovnihperíodičnihnabliženʹamsamojlenka |
| first_indexed |
2025-07-14T17:43:11Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:43:11Z |
| _version_ |
1837645160621539328 |
| fulltext |
UDK 517.925
I. I. Korol\, M. O. Perestgk (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD
POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX
NABLYÛEN| A. M. SAMOJLENKA
A new numerical-analytic algorithm for the investigation of periodic solutions of nonlinear periodic
systems of differential equations dx dt A t x f t x/ ( ) ( , )= + in the critical case is developed. The
problems of the existence and approximate construction of the solutions are studied, formulas for the
estimation of convergence of the successive periodic approximations are obtained.
Rozrobleno novyj çysel\no-analityçnyj alhorytm doslidΩennq periodyçnyx rozv’qzkiv neli-
nijnyx periodyçnyx system dyferencial\nyx rivnqn\ dx dt A t x f t x/ ( ) ( , )= + u krytyçnomu vy-
padku. Vyvçagt\sq pytannq isnuvannq i nablyΩeno] pobudovy rozv’qzkiv, znajdeno ocinky zbiΩ-
nosti poslidovnyx periodyçnyx nablyΩen\.
Teoriq periodyçnyx krajovyx zadaç [ rozdilom teori] zvyçajnyx dyferencial\-
nyx rivnqn\, qkyj na s\ohodnißnij den\ oderΩav vsebiçnyj rozvytok. Cij tema-
tyci prysvqçeno velyku kil\kist\ robit, wo vyklykano, z odnoho boku, ]] ßyro-
kym zastosuvannqm pry vyvçenni najriznomanitnißyx texniçnyx ta inßyx pry-
rodnyx procesiv, a z inßoho — ßyrokym kolom doslidΩuvanyx pytan\, a takoΩ
skladnistg doslidΩennq, osoblyvo u vypadku nelinijnyx system. Rozrobleno
znaçnu kil\kist\ metodiv doslidΩennq periodyçnyx rozv’qzkiv system dyferen-
cial\nyx ta inßyx rivnqn\. Ne pretendugçy na povnotu, vidmitymo v c\omu pla-
ni monohrafi] M. M. Boholgbova, G. O. Mytropol\s\koho [1], A.<M. Samoj-
lenka, M. J. Ronto [2 – 4], O. A. Bojçuka, V. F. Ûuravl\ova, A.<M. Samojlenka
[5], A.<G. Luçky [6], I.<H. Malkina [7], {.<O. Hreb[nikova, G.<O. Rqbova [8],
V.<A. Qkubovyça, V.<M. StarΩyns\koho [9], qki mistqt\ takoΩ ohlqdy rezul\ta-
tiv i ßyroku bibliohrafig z rozhlqduvanyx pytan\.
Sered metodiv doslidΩennq periodyçnyx rozv’qzkiv lipßycevyx normal\nyx
system ßyroko] vidomosti nabuv çysel\no-analityçnyj metod poslidovnyx peri-
odyçnyx nablyΩen\, zaproponovanyj akademikom A.<M. Samojlenkom [10, 11].
Zhodom u bahat\ox robotax avtora metodu ta joho uçniv i poslidovnykiv vin buv
uzahal\nenyj i zastosovanyj do doslidΩennq ßyrokoho klasu zadaç. Povnyj oh-
lqd rezul\tativ z danoho naprqmku moΩna znajty v [12 – 18].
Nahada[mo korotko sut\ çysel\no-analityçnoho metodu A. M. Samojlenka.
Periodyçni z periodom T rozv’qzky tak zvano] T-systemy [2, 10, 11]
dx
dt
= f ( t, x )
bulo zaproponovano ßukaty qk hranycg x
*
( t, x0 ) = lim ( , )
m
mx t x
→∞
0 poslidovnosti
T-periodyçnyx funkcij
x t xm+1 0( , ) = x f s x s x
T
f x x d ds
t
m
T
m0
0
0
0
0
1+ −
∫ ∫( , ( , )) ( , ( , ))σ σ σ ,
qka zadovol\nq[ umovu
0
0
T
f x x d∫ ∗( , ( , ))σ σ σ = 0.
VaΩlyvog umovog wodo funkci] f ( t, x ) [ umova malosti ]] konstanty Lip-
ßycq, a same
λmax( )K T < q, (1)
de λmax( )K — najbil\ße vlasne znaçennq matryci K z umovy Lipßycq, q — de-
qka stala, znaçennq qko] postijno utoçngvalosq v robotax qk A.<M. Samojlen-
© I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK, 2006
472 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 473
ka, tak i inßyx matematykiv. Zrozumilo, wo pry bil\ßomu znaçenni q rozßyrg-
[t\sq j oblast\ zastosuvannq metodu. Analiz robit z c\oho pytannq moΩna zna-
jty v [12]. ZauvaΩymo lyße, wo v [19] bulo ostatoçno vstanovleno, wo q =
= 3,416130626392787959138 [ nepokrawuvanog ocinkog.
U danij statti çysel\no-analityçnyj metod poslidovnyx periodyçnyx nably-
Ωen\ uzahal\neno dlq vidßukannq T-periodyçnyx rozv’qzkiv T-periodyçnyx sys-
tem dyferencial\nyx rivnqn\ vyhlqdu
dx
dt
= A t x f t x( ) ( , )+ (2)
u vypadku, koly systema
dx
dt
= A t x( ) (3)
ma[ k-parametryçnu sim’g T-periodyçnyx rozv’qzkiv.
Perevahog zaproponovanoho namy alhorytmu [ te, wo umova typu (1) nakla-
da[t\sq ne na vsg pravu çastynu systemy (2), a lyße na nelinijnist\ f ( t, x ) .
1. Periodyçni rozv’qzky linijnyx periodyçnyx system. Rozhlqnemo li-
nijnu neodnoridnu T-periodyçnu systemu dyferencial\nyx rivnqn\
dx
dt
= A t x h t( ) ( )+ , (4)
tobto systemu, v qkij matrycq-funkciq A ( t ) i vektor-funkciq h ( t ) taki, wo
x, h ∈ R
n, A ( t + T ) = A ( t ) , h ( t + T ) = h ( t ) pry vsix t ∈ R . VvaΩatymemo A ( t ) i
h ( t ) neperervnymy na vsij çyslovij osi.
Poznaçymo matrycant vidpovidno] odnoridno] systemy (3) çerez Ω0
t . Pry c\o-
mu rozv’qzok x ( t, x0 ) , x ( 0, x0 ) = x0 systemy (4) moΩna zapysaty u vyhlqdi
x ( t, x0 ) = Ω Ω0 0
0
t
t
s
tx h s ds+ ∫ ( ) .
Qkwo sered ci[] sim’] rozv’qzkiv [ T-periodyçni, to ]x poçatkove znaçennq x0
vyznaça[t\sq z umovy x ( 0, x0 ) = x ( T, x0 ) , tobto z umovy
( )E xn
T− Ω0 0 =
0
T
s
T h s ds∫ Ω ( ) , (5)
de En — odynyçna n-vymirna matrycq.
Qkwo sered vlasnyx çysel matryci Ω0
T
nema[ odynyci, to systema alhebra-
]çnyx rivnqn\ (5) ma[ [dynyj rozv’qzok
x0 = ( ) ( )E h s dsn
T
T
s
T− − ∫Ω Ω0
1
0
,
i tomu poçatkova systema dyferencial\nyx rivnqn\ (4) ma[ [dynyj T-periodyç-
nyj rozv’qzok
x = x t∗( ) = Ω Ω Ω Ω0 0
1
0 0
t
n
T
T
s
T
t
s
tE h s ds h s ds( ) ( ) ( )− +− ∫ ∫ .
Qkwo Ω odynycq [ mul\typlikatorom systemy (3), to, qk vidomo [20], syste-
ma (4) ne dlq koΩno] T-periodyçno] funkci] h ( t ) ma[ T-periodyçnyj rozv’qzok.
Naqvnist\ odynyci sered vlasnyx çysel matryci Ω0
T
— ce umova isnuvannq
T-periodyçnyx rozv’qzkiv vidpovidno] odnoridno] systemy (3). Vidomo takoΩ
[20], wo qkwo systema rivnqn\ (3) ma[ k linijno nezaleΩnyx T-periodyçnyx
rozv’qzkiv ϕ1 ( t ) , ϕ2 ( t ) , … , ϕk ( t ) , to i vidpovidna sprqΩena systema rivnqn\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
474 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
dx
dt
= – A t x�( ) , (6)
de A t�( ) — transponovana wodo A ( t ) matrycq, ma[ rivno k linijno nezaleΩ-
nyx T-periodyçnyx rozv’qzkiv ψ1 ( t ) , ψ2 ( t ) , … , ψk ( t ) . U c\omu vypadku systema
rivnqn\ (4) ma[ T-periodyçni rozv’qzky (]x [ k -parametryçna sim’q) lyße dlq ta-
kyx funkcij h ( t ) , qki ortohonal\ni do vsix T-periodyçnyx rozv’qzkiv sprqΩe-
no] systemy, tobto koly
0
T
j s h s ds∫ 〈 〉ψ ( ), ( ) = 0, j = 1, k .
Takym çynom, pry 1 ≤ k ≤ n ma[mo krytyçnyj vypadok [5, 21], koly systema
(3) ma[ k linijno nezaleΩnyx T-periodyçnyx rozv’qzkiv. Dali rozhlqdatymemo
same cej vypadok.
Lema. Qkwo systema (3) ma[ k linijno nezaleΩnyx T -periodyçnyx roz-
v’qzkiv, to dlq bud\-qko] T -periodyçno] funkci] h ( t ) isnu[ funkciq H ( t ) pe-
riodu T taka, wo systema
dx
dt
= A ( t ) x + h ( t ) – H ( t ) (7)
ma[ k-parametryçnu sim’g T-periodyçnyx rozv’qzkiv.
Dovedennq. Spravdi, neobxidnog i dostatn\og umovog isnuvannq T-perio-
dyçnyx rozv’qzkiv systemy (7) [ umova
0
T
j t h t H t dt∫ 〈 − 〉ψ ( ), ( ) ( ) = 0, j = 1, 2, … , k . (8)
Çerez Ψ ( t ) poznaçymo ( n × k ) -matrycg, stovpcqmy qko] [ k linijno neza-
leΩnyx T-periodyçnyx rozv’qzkiv ψ1 ( t ) , … , ψk ( t ) sprqΩeno] do (3) systemy (6).
Pry c\omu rivnqnnq (8) zapyßet\sq tak:
0
T
s h s H s ds∫ −Ψ�( ) { ( ) ( )} = 0. (9)
Zrozumilo, wo umova (9) vykonu[t\sq, qkwo poklademo
H ( t ) = Ψ ( t ) α ,
a vektor-stovpec\ α ∈ R
k
vyznaçymo z umovy
0
T
s s ds∫ ⋅Ψ Ψ�( ) ( ) α =
0
T
s h s ds∫ Ψ�( ) ( ) . (10)
Systema alhebra]çnyx rivnqn\ (10) ma[ [dynyj rozv’qzok, tomu wo vyznaçnyk
matryci
P1 =
0
T
s s ds∫ Ψ Ψ�( ) ( )
[ vidminnym vid nulq, oskil\ky vektor-funkci] ψ1 ( t ) , … , ψk ( t ) — linijno neza-
leΩni rozv’qzky systemy rivnqn\ (6), wo j zaverßu[ dovedennq lemy.
Takym çynom, za funkcig H ( t ) potribno vzqty
H ( t ) =
Ψ Ψ( ) ( ) ( )t P s h s ds
T
1
1
0
− ∫ � ,
i todi T-periodyçni rozv’qzky systemy (7) moΩna zapysaty u vyhlqdi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 475
x ( t, x0 ) =
Ω Ω Ψ Ψ0 0
0
1
1
0
t
t
s
t
T
x h s s P h d ds+ −
∫ ∫−( ) ( ) ( ) ( )� σ σ σ , (11)
de x0 — rozv’qzky linijno] neodnoridno] alhebra]çno] systemy
( )E xn
T− Ω0 0 =
0
1
1
0
T
s
T
T
h s s P h d ds∫ ∫−
−Ω Ψ Ψ( ) ( ) ( ) ( )� σ σ σ . (12)
Poznaçymo çerez Θ ( t ) ( n × ( n – k )) -matrycg, stovpcqmy qko] [ n – k linijno
nezaleΩnyx rozv’qzkiv Θi ( t ) , i = 1, n k− , sprqΩeno] systemy (6), qki ne [ T-pe-
riodyçnymy, çerez X ( t ) deqku fundamental\nu matrycg systemy (3), a çerez
Y ( t ) taku fundamental\nu matrycg sprqΩeno] do ne] systemy (6), u qko] perßi
k stovpciv utvorg[ matrycq Ψ ( t ) , a inßi — matrycq Θ ( t ) :
Y ( t ) = ( )( ), ( )Ψ Θt t . (13)
Oskil\ky X ( t ) i Y ( t ) pov’qzani spivvidnoßennqm Y
�
( t ) X ( t ) = C , de C —
deqka stala matrycq, to dlq matrycanta systemy (3) ma[mo
Ωs
t = X ( t ) X
–
1
( s ) = ( )( ) ( )Y t Y s� �−1 =
( )( )
( )
( )
Y t
s
s
�
�
�
−
1 Ψ
Θ
. (14)
Rozhlqnemo druhyj dodanok formuly (11):
0
1
1
0
t
s
t
T
h s s P h d ds∫ ∫−
−Ω Ψ Ψ( ) ( ) ( ) ( )� σ σ σ =
=
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )Y t
s
s
h s s P h d ds
t T
�
�
�
�− −∫ ∫
−
1
0
1
1
0
Ψ
Θ
Ψ Ψ σ σ σ =
= ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )Y t
s
s
h s ds
P t
P t
P h d
t T
�
�
�
�− −∫ ∫
−
1
0
1
2
1
1
0
Ψ
Θ
Ψ σ σ σ =
=
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )Y t
s P t P s
s P t P s
h s ds
P t
P t
P s h s ds
t
t
T
�
� �
� �
�−
−
−
−∫ ∫
−
−
−
1
0
1 1
1
2 1
1
1
2
1
1Ψ Ψ
Θ Ψ
Ψ =
=
0
1 1
t
t
T
Y t U t s h s ds Y t V t s h s ds∫ ∫− −−( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )� � . (15)
Tut
P t1( ) =
0
t
s s ds∫ Ψ Ψ�( ) ( ) , P t2( ) =
0
t
s s ds∫ Θ Ψ�( ) ( ) , P T1( ) = P1
,
U ( t, s ) =
U t s
U t s
1
2
( , )
( , )
, V ( t, s ) =
V t s
V t s
1
2
( , )
( , )
,
U1 ( t, s ) = Ψ Ψ� �( ) ( ) ( )s P t P s− −
1 1
1 , U2 ( t, s ) = Θ Ψ� �( ) ( ) ( )s P t P s− −
2 1
1 ,
V1 ( t, s ) = P t P s1 1
1( ) ( )− Ψ� , V2 ( t, s ) = P t P s2 1
1( ) ( )− Ψ� .
Oskil\ky U1 ( T, s ) = 0, to pry t = T z (15) oderΩymo
0
1
1
0
T
s
T
T
h s s P h d ds∫ ∫−
−Ω Ψ Ψ( ) ( ) ( ) ( )� σ σ σ =
( )( ) ( , ) ( )Y T U T s h s ds
T� −
∫
1
0
2
0
. (16)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
476 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
PomnoΩyvßy (12) zliva na Y T�( ) i vraxuvavßy (14), (16), otryma[mo
Ψ Ψ
Θ Θ
� �
� �
( ) ( )
( ) ( )
T
T
x
−
−
0
0
0 =
0
0
2
T
U T s h s ds∫
( , ) ( ) .
Oskil\ky det Y ( T ) ≠ 0 i Ψ ( T ) = Ψ ( 0 ) , to systema (12) ekvivalentna linijnij
neodnoridnij alhebra]çnij systemi
Gx0 =
0
2
T
U T s h s ds∫ ( , ) ( ) , (17)
de G = Θ Θ� �( ) ( )T − 0 — prqmokutna (( n – k ) × n ) -matrycq, ranh qko] doriv-
ng[ n – k . Pry c\omu, zhidno z teoremog<1.1 [21], systema (17) [ sumisnog pry
dovil\nij h ( s ) , a ]] rozv’qzok — k-parametryçnym i ma[ vyhlqd
x0 = F G U T s h s ds
T
ξ + + ∫
0
2( , ) ( ) , (18)
de G
+
— [dyna ( n × ( n – k )) -matrycq, psevdoobernena po Penrouzu do matryci
G, F — fundamental\na ( n × k ) -matrycq rozv’qzkiv odnoridno] systemy Gx0 =
= 0, ξ ∈ R
k
— dovil\nyj vektor-stovpec\. Stovpci fi ∈ R
n, i = 1, k , matryci F
linijno nezaleΩni i utvorggt\ bazys qdra matryci G : Gfi = 0 . ZauvaΩymo, wo
pry c\omu
GG
+ = Ek . (19)
Pidstavlqgçy (18) v (11), ostatoçno oderΩu[mo, wo systema (7) ma[ k - para-
metryçnu sim’g T-periodyçnyx rozv’qzkiv vyhlqdu
x ( t, x0 ) = x ( t, ξ ) = Ω Ω0 0
0
2
t t
T
F G U T s h s dsξ + + ∫ ( , ) ( ) +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s h s ds Y t V t s h s ds∫ ∫− −−( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )� � .
ZauvaΩennq41. U deqkyx vypadkax matrycant zavΩdy moΩna zapysaty u qv-
nomu vyhlqdi [22]. Zokrema, qkwo systema (3) [ systemog zi stalymy koefici[n-
tamy: A ( t ) = A = const, to Ω0
t = e
At, a qkwo matrycq A ( t ) zadovol\nq[ umovu
Lappo – Danylevs\koho
A t A s ds
t
( ) ( )⋅ ∫
0
=
0
t
A s ds A t∫ ⋅( ) ( ),
to pry c\omu
Ω0
t = e A s dst ( )0∫ .
Znagçy Ω0
t , znaxodymo matrycant sprqΩeno] systemy (6): ˜( )Y t = (( ) )Ω0
1t � − .
Vydilqgçy pislq c\oho linijno nezaleΩni T-periodyçni rozv’qzky systemy (6),
za formulog (13) zapysu[mo fundamental\nu matrycg, qka i vykorystovu[t\sq
dlq podal\ßyx obçyslen\.
ZauvaΩennq42. Qkwo A ( t ) = A + B ( t ) , de B ( t ) — neperervna T-periodyç-
na matrycq, to moΩemo zamist\ systemy (3) rozhlqdaty systemu
dx
dt
= Ax
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 477
zi stalymy koefici[ntamy. Pry c\omu slid pereviryty vykonannq umov B – D
(wo navedeni v p.<2) dlq funkci]
˜( , )f t x = B ( t ) x + f ( t, x ) .
ZauvaΩennq43. Qkwo v konkretnij zadaçi matrycant systemy (3) ne vda[t\-
sq znajty v analityçnomu vyhlqdi, to, vraxovugçy, wo Ω0
t = Ω Ω Ω Ωt
t
t
t
t
t t
k k
k
− −
− …
1 2
1
1
2 1
0 ,
joho moΩna znajty nablyΩeno [22] za formulog
Ω0
t = E A t E A t E A t O tn N N n n+( )… +( ) +( ) +( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ∆ ∆ ∆ ∆2 2 1 1 ,
de ζk k kt t∈ −( , )1 , ∆tk = t tk k− −1, k = 1, N , tN = t, O t( )∆ — velyçyna porqdku
O tk( )∆ . Pry c\omu, obçyslggçy Ωt
t
k
k
−1
z toçnistg do druhoho porqdku malosti
( ∆tk vvaΩa[mo malymy perßoho porqdku ), moΩemo pryjnqty
A ( t ) ≈ const = A ( ζk ) .
2. DoslidΩennq periodyçnyx rozv’qzkiv nelinijnyx system. Rozhlqnemo
çysel\no-analityçnyj alhorytm doslidΩennq i pobudovy T-periodyçnyx roz-
v’qzkiv nelinijnyx system dyferencial\nyx rivnqn\ vyhlqdu
dx
dt
= A t x f t x( ) ( , )+ , (20)
de t ∈ R , x : R → D ⊂ R
n, f : R × D → R
n, A ( t ) = ( )( ) ,A tij i j
n
=1, A ( t ) , f ( t, x ) pe-
riodyçni po t zi spil\nym periodom T : A ( t + T ) = A ( t ) , f ( t + T, x ) = f ( t, x ) ∀ t<∈
∈ R .
Pry c\omu budemo doslidΩuvaty krytyçnyj vypadok, tobto koly
A) vidpovidna linijna odnoridna systema (3) ma[ k , 1 ≤ k ≤ n, linijno neza-
leΩnyx T-periodyçnyx rozv’qzkiv.
Krim toho, budemo vvaΩaty, wo v oblasti ( t, x )<∈ Ω = R × D , de D — de-
qka zamknena obmeΩena oblast\ v R
n, dlq systemy (20) vykonugt\sq nastupni
umovy:
B) matrycq-funkciq A ( t ) i vektor-funkciq f ( t, x ) neperervni za svo]my
zminnymy, f ( t, x ) zadovol\nq[ umovy obmeΩenosti i Lipßycq:
f t x( , ) ≤ m ( t ) , (21)
f t x f t x( , ) ( , )′ − ′′ ≤ K t x x( ) ′ − ′′ , (22)
de m ( t ) i K ( t ) — T-periodyçni vidpovidno vektor-funkciq i matrycq-funkciq z
nevid’[mnymy intehrovnymy komponentamy;
C) isnu[ neporoΩnq mnoΩyna toçok ξ ∈ D0 ⊂ R
k
taka, wo vektor-funkciq
x0 ( t, ξ ) = Ω0
t Fξ leΩyt\ v oblasti D razom iz svo]m β -okolom, de β =
= max ( )( )
[ , ]t T
Sm t
∈ 0
, S x : C ( R , R
n
) → C ( R , R
n
) — linijnyj operator:
( )( )Sx t =
0
0 2
T
t G U T s x s ds∫ +Ω ( , ) ( ) +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s x s ds Y t V t s x s ds∫ ∫− −+( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )� � ;
D) r ( Q ) < 1, de r ( Q ) — spektral\nyj radius operatora Qx = S ( Kx ) , qkyj
[ kompozyci[g operatora S z mnoΩennqm na matrycg K ( t ) zi zminnymy koefi-
ci[ntamy:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
478 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
( )( )Qx t =
0
0 2
T
t G U T s K s x s ds∫ +Ω ( , ) ( ) ( ) +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s K s x s ds Y t V t s K s x s ds∫ ∫− −+( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )� � .
Dlq x ∈ R
n
çerez x zavΩdy budemo poznaçaty modul\ vektora, tobto x =
= ( ), ,x xn1 … �
i, vidpovidno, dlq matryc\ A = ( ) ,Aij i j
n
=1, a vsi nerivnosti
rozumi[mo pokomponentno.
ZauvaΩennq44. Za teoremog Krejna – Rutmana [23], spektral\nyj radius
operatora Q dorivng[ najbil\ßomu z joho dodatnyx vlasnyx znaçen\. Vodno-
ças vin ne perevywu[ najbil\ßoho dodatnoho vlasnoho znaçennq matryci Q0 :
Q0 = max ( , ) ( )
[ , ]t T
T
t G U T s K s ds
∈
+∫
0
0
0 2Ω +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s K s ds Y t V t s K s ds∫ ∫− −+
( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )� �
.
Rozhlqnemo dvi sim’] k -parametryçnyx vidobraΩen\
Lξ x : C ( R , R
n
) → C ( R , R
n
) i L̃ xξ : C ( R , R
n
) → C ( R , R
n
),
vyznaçeni za formulamy
( )( )L x tξ = Ω Ω Θ Ω0
0
0
0
t
T
t
t
s
tF G s f s x s ds f s x s dsξ + +∫ ∫+ �( ) ( , ( )) ( , ( )) ,
( )˜ ( )L x tξ = Ω Ω0
0
0 2
t
T
tF G U T s f s x s dsξ + ∫ + ( , ) ( , ( )) +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s f s x s ds Y t V t s f s x s ds∫ ∫− −−( ) ( )( ) ( , ) ( , ( )) ( ) ( , ) ( , ( ))� �
,
i funkcional µ ( x ) : C ( R
n
) → R
k
:
µ ( x ) =
0
T
s f s x s ds∫ Ψ�( ) ( , ( )) .
Z (21) i umovy C vyplyva[, wo ( )˜ ( )L x t Dξ ∈ pry vsix ξ ∈ D0 , x ∈ C ( R , D ) ,
t<∈ R , oskil\ky
( )˜ ( ) ( , )L x t x tξ ξ− 0 =
0
0 2
T
t G U T s f s x s ds∫ +Ω ( , ) ( , ( )) +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s f s x s ds Y t V t s f s x s ds∫ ∫− −+( ) ( )( ) ( , ) ( , ( )) ( ) ( , ) ( , ( ))� �
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 479
≤
0
0 2
0
1
T
t
t
G U T s m s ds Y t U t s m s ds∫ ∫+ −+Ω ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )( )� +
+
t
T
Y t V t s m s ds∫ −( )( ) ( , ) ( )� 1
= ( Sm ) ( t ) ≤ β . (23)
ZauvaΩennq45. Vraxovugçy (15), moΩemo zapysaty
( )˜ ( )L x tξ =
Ω Ω Θ Ω0
0
0 0 2 1
1t
T
t tF G s f s x s ds G P T P xξ µ+ −∫ + + −�( ) ( , ( )) ( ) ( ) +
+
0 0
1
1
t
s
t
t
s
tf s x s ds s P ds x∫ ∫− −Ω Ω Ψ( , ( )) ( ) ( )µ . (24)
ZauvaΩennq46. Pidstavlqgçy t = 0 i t = T v (24), oderΩu[mo
( )˜ ( )L xξ 0 = F G U T s f s x s ds
T
ξ + ∫ +
0
2( , ) ( , ( )) ,
( )˜ ( )L x Tξ = Ω0
0
2
T
T
F G U T s f s x s dsξ +
∫ + ( , ) ( , ( )) +
+ ( )( ) ( , ) ( , ( ))Y T U T s f s x s ds
T
� −
∫
1
0
2
0
,
a tomu z (19) i budovy matryci F vyplyva[
Y T L x L x T�( ) ˜ ( ) ˜ ( )( ) ( )ξ ξ0 −( ) =
= Y T E F G U T s f s x s ds U T s f s x s ds
T
T
T
�( ) ( , ) ( , ( )) ( , ) ( , ( ))( )− +
−
∫ ∫
+Ω0
0
2
0
2
0
ξ =
=
0 0
0
2
0
2G
F G U T s f s x s ds U T s f s x s ds
T
T
+
−
∫ ∫
+ξ ( , ) ( , ( )) ( , ) ( , ( )) = 0. (25)
Nastupne tverdΩennq vkazu[ na zv’qzok miΩ operatorom L̃ xξ , funkciona-
lom µ ( x ) i T-periodyçnymy rozv’qzkamy systemy (20).
Teorema41. Vektor-funkciq ϕ<∈ C
1
( R , R
n
) [ T -periodyçnym rozv’qzkom
systemy (20) z poçatkovym znaçennqm
ϕ ( 0 ) = ξ̃ ≡
F G s f s s ds
T
ξ ϕ+ ∫ +
0
Θ�( ) ( , ( )) (26)
todi i til\ky todi, koly ϕ [ i rozv’qzkom operatornoho rivnqnnq
x = L̃ xξ , (27)
i nulem funkcionala µ :
µ ( ϕ ) = 0. (28)
Dovedennq. Neobxidnist\. Nexaj ϕ ( t ) — T -periodyçna funkciq taka, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
480 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
ϕ<∈ C ( R , R
n
) , ϕ ( 0 ) = ξ̃ i pry vsix t<∈ R dϕ / dt ≡ A ( t ) ϕ ( t ) + f ( t, ϕ ( t )) . Todi ϕ
[ rozv’qzkom operatornoho rivnqnnq
x = L xξ (29)
i
ϕ ( T ) = Ω Ω0
0
0T
T
s
T f s s dsϕ ϕ( ) ( , ( ))+ ∫ .
Z T-periodyçnosti ϕ ( t ) vyplyva[, wo ϕ ( 0 ) [ rozv’qzkom linijno] neodnoridno]
alhebra]çno] systemy ranhu n – k
( ) ( )En
T− Ω0 0ϕ =
0
T
s
T f s s ds∫ Ω ( , ( ))ϕ . (30)
PomnoΩyvßy (30) zliva na nevyrodΩenu matrycg Y T�( ) i vraxuvavßy, wo
Ψ Ψ( ) ( )T = 0 , oderΩymo ekvivalentnu systemu
0
0
G
ϕ ( ) =
0
0
T
T
s f s s ds
s f s s ds
∫
∫
Ψ
Θ
�
�
( ) ( , ( ))
( ) ( , ( ))
ϕ
ϕ
. (31)
Systema (31) [ sumisnog (i pry c\omu vona ma[ k -parametryçnu sim’g roz-
v’qzkiv vyhlqdu (26)) todi i til\ky todi, koly vykonu[t\sq umova µ ( ϕ ) = 0. Be-
ruçy do uvahy (24), baçymo, wo pry c\omu ( )˜ ( ) ( )( )L t L tξ ξϕ ϕ≡ tobto ϕ [ roz-
v’qzkom rivnqnnq (27), wo dovodyt\ neobxidnist\ vykonannq umov (27), (28).
Dostatnist\. Prypustymo, wo ϕ<∈ C ( R , R
n
) i vektornyj parametr ξ<∈ R
k
zadovol\nqgt\ rivnqnnq (27) i (28). Todi z (24) vydno, wo ϕ ( ⋅ ) pry t = 0 nabu-
va[ znaçennq ϕ ( 0 ) = ξ̃ i
ϕ ( t ) ≡ Ω Ω0
0
t
t
s
tF f s s ds˜ ( , ( ))ξ ϕ+ ∫ .
Dyferenciggçy ostanng totoΩnist\ po t, perekonu[mosq, wo ϕ ( ⋅ ) [ rozv’qz-
kom systemy (20), a T-periodyçnist\ ϕ vyplyva[ z (25).
Teoremu dovedeno.
Z ohlqdu na (23) i teoremu<1 baçymo, wo zahal\na sxema zaproponovanoho v
danij roboti metodu identyçna do sxemy çysel\no-analityçnoho metodu posli-
dovnyx periodyçnyx nablyΩen\ A.<M. Samojlenka [2, 4, 15]. Tak, pry vsix ξ<∈
∈ D0 operator Lξ di[ u prostori neperervnyx funkcij C ( R , D ) , operator L̃ξ
— u pidprostori T-periodyçnyx funkcij Π ( R , D ) ⊂ C ( R , D ) , a zadaça vidßu-
kannq T-periodyçnyx rozv’qzkiv rivnqnnq (29) zvodyt\sq do rivnosyl\no] zadaçi
vidßukannq rozv’qzkiv rivnqnnq (27), qki [ nulqmy funkcionala µ .
Takym çynom, vidminnist\ vid vidomyx raniße robit polqha[ u vybori operato-
riv Lξ i L̃ξ , wo dozvolq[ zastosuvaty rozroblenyj alhorytm do novoho klasu
zadaç.
Dlq znaxodΩennq rozv’qzku rivnqnnq (27) pobudu[mo rekurentnu poslidov-
nist\ T-periodyçnyx funkcij vyhlqdu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 481
xm ( t, ξ ) = x t G U T s f s x s ds
T
t
m0
0
0 2 1( , ) ( , ) ( , ( , ))ξ ξ+ ∫ +
−Ω +
+
0
1
1
1
1
t
m
t
T
mY t U t s f s x s ds Y t V t s f s x s ds∫ ∫−
−
−
−−( ) ( )( ) ( , ) ( , ( , )) ( ) ( , ) ( , ( , ))� �ξ ξ , (32)
x0 ( t, ξ ) = Ω0
t Fξ , m = 1, 2, … ,
qka zaleΩyt\ vid vektornoho parametra ξ ∈ D0 ⊂ R
k.
Beruçy do uvahy (22), z (32) oderΩu[mo
x t x tm m+ −1( , ) ( , )ξ ξ = ˜ ( , ) ( , ) ( )L x x tm mξ ξ ξ⋅ − ⋅( )( )−1 ≤
≤ Q x x tm m( , ) ( , ) ( )⋅ − ⋅( )−ξ ξ1 ≤ Q x x tm m
2
1 2− −⋅ − ⋅( )( , ) ( , ) ( )ξ ξ ≤ …
… ≤ Q x x tm
1 0( , ) ( , ) ( )⋅ − ⋅( )ξ ξ ≤ Qmβ ,
x t x tm j m+ −( , ) ( , )ξ ξ ≤
i
j
m i m ix t x t
=
−
+ + +∑ −
0
1
1( , ) ( , )ξ ξ ≤
≤
i
j
m iQ x x t
=
−
+∑ ⋅ − ⋅( )
0
1
1 0( , ) ( , ) ( )ξ ξ ≤
i
j
m iQ
=
−
+∑
0
1
β . (33)
Vnaslidok (23) operator L̃ξ vidobraΩa[ prostir Π ( R , D ) v sebe, a z umovy D
vyplyva[, wo L̃ξ [ styskugçym operatorom. OtΩe, zastosovugçy pryncyp stys-
nutyx vidobraΩen\, baçymo, wo rivnqnnq (27) ma[ v Π ( R , D ) [dynyj rozv’qzok,
qkyj pry dovil\nomu ξ ∈ D0 ⊂ R
k
zbiha[t\sq z hranyçnog funkci[g poslidov-
nosti (32): x t∗( , )ξ = lim ( , )
m
mx t
→∞
ξ . U svog çerhu, budemo ßukaty take ξ , wob
µ ξ( ( , ))x∗ ⋅ = 0.
Krim toho, E Q Q Qn
l+ + + … + + …2 = ( )E Qn − −1, a tomu, perexodqçy v (33)
do hranyci pry j → ∞ , oderΩu[mo nastupnu ocinku poxybky:
x t x tm
∗ −( , ) ( , )ξ ξ ≤ ( )E Q Qn
m− −1 β . (34)
Pidsumu[mo navedeni vywe mirkuvannq u vyhlqdi tverdΩennq.
Teorema42. Nexaj dlq systemy (20) vykonugt\sq umovy A – D. Todi:
1) pry vsix ξ ∈ D0 ⊂ R
k
operator L̃ξ ma[ neruxomu toçku x∗ ⋅( , )ξ <∈
∈ Π ( R , D ) , qka zbiha[t\sq z T-periodyçnog hranyçnog funkci[g x t∗( , )ξ po-
slidovnosti (32);
2) dlq vidxylennq poslidovnyx nablyΩen\ x tm( , )ξ vid hranyçno] funkci]
x t∗( , )ξ pry vsix natural\nyx m, ( t, ξ ) ∈ R × D0 vykonugt\sq ocinky (34);
3) funkciq x t∗( ) = x t∗ ∗( , )ξ [ T -periodyçnym rozv’qzkom systemy dyfe-
rencial\nyx rivnqn\ (20) todi i til\ky todi, koly toçka ξ = ξ
*
[ rozv’qzkom
vyznaçal\noho rivnqnnq
∆ ( ξ ) = 0, (35)
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
482 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
∆ ( ξ ) ≡ µ ξ( ( , ))x∗ ⋅ =
0
T
s f s x s ds∫ ∗Ψ�( ) ( , ( , ))ξ ; (36)
4) poçatkove znaçennq T-periodyçnoho rozv’qzku x t∗( ) vyznaça[t\sq za
formulog
x∗( )0 =
F G s f s x s ds
T
ξ∗ + ∗+ ∫
0
Θ�( ) ( , ( )) . (37)
ZauvaΩennq47. U vypadku, koly vsi rozv’qzky systemy (3) [ T -periodyçny-
my ( k = n ) , otrymu[mo
G t P t+ = = =Θ( ) ( )2 0 , F En= , Ψ( ) ( )t Y t= ,
P t Y s Y s ds
t
1
0
( ) ( ) ( )= ∫ � ,
U t s U t s E P t P Y sn( , ) ( , ) ( ) ( )( )= = − −
1 1 1
1 � , V t s V t s P t P Y s( , ) ( , ) ( ) ( )= = −
1 1 1
1 � .
Bez obmeΩennq zahal\nosti moΩemo vzqty za Y ( t ) matrycant systemy (6). U c\o-
mu vypadku ( )( )Y t t� − =1
0Ω i poslidovnist\ (32) nabyra[ vyhlqdu
xm ( t, ξ ) = x t E P t P f s x s dst
t
s m0 0 1 1
1
0
0( , ) ( ) ( , ( , ))( )ξ ξ+ − − ∫Ω Ω –
– Ω Ω0 1 1
1 0t
t
T
s mP t P f s x s ds( ) ( , ( , ))− ∫ ξ , x0 ( t, ξ ) = Ω0
t ξ , m = 1, 2, … . (38)
Qkwo Ω A = 0, to Ω0
t
nE= , P t tEn1( ) = , i z (38) oderΩu[mo klasyçnu for-
mulu çysel\no-analityçnoho metodu poslidovnyx periodyçnyx nablyΩen\ [2, 10,
11].
Pry praktyçnij realizaci] danoho alhorytmu, qk pravylo, ne vda[t\sq znajty
hranyçnu funkcig, a tomu vynyka[ potreba vstanovlennq konstruktyvnyx dos-
tatnix umov isnuvannq periodyçnyx rozv’qzkiv, tobto takyx umov, dlq perevirky
qkyx potribno znaty til\ky nablyΩennq xm ( t, ξ ) do toçnoho rozv’qzku.
Vidpovid\ na ce pytannq da[ nastupne tverdΩennq.
Teorema43. Nexaj dlq systemy (20) vykonugt\sq umovy A – D i, krim toho:
1) isnu[ opukla zamknena oblast\ ′ ⊂ ⊂D D k
0 R taka, wo pry deqkomu fik-
sovanomu natural\nomu m v oblasti ′D mistyt\sq [dyna osoblyva toçka
ξ 0m nenul\ovoho indeksu vidobraΩennq ∆m
kD( ) :ξ 0 → R :
∆m( )ξ ≡ µ ξ( ( , ))xm ⋅ =
0
T
ms f s x s ds∫ Ψ�( ) ( , ( , ))ξ ; (39)
2) na meΩi ∂ ′D oblasti ′D vykonu[t\sq nerivnist\
inf ( )
ξ ∂
ξ
∈ ′D
m∆ > Q E Q Qn
m
1
1( )− − β , (40)
de Q1 = Ψ�( ) ( )s K s ds
T
0∫ .
Todi systema (20) ma[ T-periodyçnyj rozv’qzok x x t x t= =∗ ∗ ∗( ) ( , )ξ , de
ξ∗ ∈ ′D i poçatkove znaçennq x∗( )0 vyznaça[t\sq zhidno z (37).
Dovedennq. Rozhlqnemo sim’g neperervnyx na ∂ ′D vektornyx poliv
∆ ( θ, ξ ) = ∆ ∆ ∆m m( ) ( ( ) ( ))ξ θ ξ ξ+ − , 0 ≤ θ ≤ 1,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 483
qka z’[dnu[ polq ∆ ∆( , ) ( )0 ξ ξ= m i ∆ ∆( , ) ( )1 ξ ξ= . Prypustymo, wo isnu[ θ0 <∈
∈ [ 0, 1 ] take, wo ∆ ( , )θ ξ0 = 0. Todi
∆m( )ξ = – θ ξ ξ0( ( ) ( ))∆ ∆− m . (41)
Pry c\omu z (34), (36), (39) i umovy Lipßycq (22) ma[mo
∆ ∆( ) ( )ξ ξ− m =
0
T
ms f s x s f s x s ds∫ ∗ −{ }Ψ�( ) ( , ( , )) ( , ( , ))ξ ξ ≤
≤
0
T
ms K s x s x s ds∫ ∗ −Ψ�( ) ( ) ( , ) ( , )ξ ξ ≤ Q E Q Qn
m
1
1( )− − β .
Ale todi z (41) otrymu[mo
∆m ( )ξ ≤ ∆ ∆( ) ( )ξ ξ− m ≤ Q E Q Qn
m
1
1( )− − β ,
wo supereçyt\ umovi (40). OtΩe, pry θ ∈ [ 0, 1 ] , ξ ∂∈ ′D sim’q poliv ∆ ( θ, ξ ) [
nevyrodΩenog, a tomu vektorni polq ∆ ( ξ ) i ∆m ( ξ ) homotopni. Ce oznaça[, wo
v ′D isnu[ toçka ξ
*, qka [ rozv’qzkom rivnqnnq (35), wo zaverßu[ dovedennq
teoremy.
Pryklad. Proilgstru[mo praktyçne zastosuvannq rozroblenoho alhorytmu
na prykladi. Budemo ßukaty 2π -periodyçni rozv’qzky systemy zvyçajnyx dyfe-
rencial\nyx rivnqn\
dx
dt
1 = – 2 2 3x x t+ cos( ) ,
dx
dt
2 = 2 1
16
1
161 3 1 3 2 3x x t x x t x x t+ + +sin( ) cos( ) sin( ), (42)
dx
dt
3 =
1
10
1
10
1
40
22
2
1 3x x x t t+ −sin( ) cos( )
v oblasti ( t, x ) ∈ R × D ,
D x x x x x x x= = ≤ ≤ ≤{ }( , , ) , ,1 2 3 1 2 31 1 1 .
Vydilyvßy linijnu çastynu, otryma[mo
A ( t ) =
0 2
2 0
0 0 0
−
cos( )
sin( )
t
t , f ( t, x ) =
0
1
16
1
16
1
10
1
10
1
40
2
1 3 2 3
2
2
1 3
x x t x x t
x x x t t
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
+
+ −
.
NevaΩko perekonatysq, wo vidpovidna (42) linijna odnoridna systema ma[
try linijno nezaleΩni 2π -periodyçni rozv’qzky, a matrycq
Y ( t ) =
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
sin( ) cos( )
2 2 0
2 2 0
1
t t
t t
t t
−
− −
[ fundamental\nog matryceg systemy dx / dt = – A t x�( ) . Bezposerednq pere-
virka pokazu[, wo systema (42) zadovol\nq[ umovy (21), (22) pry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
484 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
m ( t ) =
0
1
16
1
16
1
10
1
10
1
40
2
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
t t
t t
+
+ +
,
K ( t ) =
0 0 0
1
16
1
16
1
16
1
16
1
10
1
5
1
10
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
sin( ) sin( )
t t t t
t t
+
.
Pry c\omu moΩna perekonatysq, wo
β ≤
1
2
3
5
1
2
, S0 =
0 1798953 0 4831417 0 2534499
0 2229587 0 5616331 0 3085199
0 1704735 0 4936673 0 2057844
, , ,
, , ,
, , ,
i najbil\ßym vlasnym znaçennqm matryci S0 [ λ max = 0,9973169. Takym çynom,
dlq systemy (42) vykonugt\sq umovy A – D.
Poslidovni nablyΩennq do rozv’qzku systemy (42) budu[mo za formulog
(38), de
P t1( ) =
3
2
1
4
2
1
2
1
1
2
3
2
1
4
2
1 1
2
2
t
t t t
t
t
t t
t t
− −
+ −
− −
sin( ) sin ( ) cos( )
sin ( ) sin( ) sin( )
cos( ) sin( )
,
P1 =
3 0 0
0 3 0
0 0 2
π
π
π
, ξ =
ξ
ξ
ξ
1
2
3
,
f t x tm( ), ( , )ξ =
0
1
16
1
16
1
10
1
10
1
40
2
1 3 2 3
2
2
1 3
x t x t t x t x t t
x t x t x t t t
m m m m
m m m
, , , ,
, , ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , cos( ) , , sin( )
, , , sin( ) cos( )
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
+
+ −
.
Na koΩnomu kroci pobudovy nablyΩenyx rozv’qzkiv znaxodymo rozv’qzky ξ m
vyznaçal\no] alhebra]çno] systemy
∆m( )ξ = 0, (43)
qki zadagt\ poçatkove znaçennq rozv’qzku x tm +1( ) = x tm m+1( , )ξ . Pry m = 0 sys-
tema (43) ma[ vyhlqd
−
−
− +
2
2
0 1 0 3
0 3 0 3 0 2
0 3 0 2
2
0 1
2
ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
, ,
, , ,
, , ,
( )
( )
= 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 485
a ]] rozv’qzkamy [ ξ 0 1, = 0 i dovil\ni ξ 0 2, = ξ 0 3, . Pry m = 1 rozv’qzkom sys-
temy (43) [
ξ = ξ1 = ( ), , ,, ,ξ ξ ξ11 1 2 1 3 = ( ), ; , ; ,4 51077719 10 0 4999868597 0 49998626477⋅ − .
Pidstavlqgçy ce znaçennq v (32), pry m = 2 znaxodymo druhe nablyΩennq
x2 ( t ) = ( ), , ,( , ), ( , ), ( , )x t x t x t2 1 1 2 2 1 2 3 1ξ ξ ξ i, porivnggçy z toçnym rozv’qzkom
x t∗( ) = ( )( ), ( ), ( )x t x t x t1 2 3
∗ ∗ ∗ = ( ), sin( ), , cos( ), ,− 0 5 0 5 0 5t t ,
oderΩu[mo poxybku druhoho nablyΩennq:
x t x t2 1 1, ( ) ( )− ∗ ≤ 1 4 10 5, ⋅ − , x t x t2 3 2, ( ) ( )− ∗ ≤ 1 5 10 5, ⋅ − , x t x t2 3 3, ( ) ( )− ∗ ≤ 1 4 10 5, ⋅ − .
Rozv’qzugçy nablyΩenu vyznaçal\nu systemu pry m = 2, oderΩu[mo
ξ = ξ2 = ( ), , ,, ,ξ ξ ξ2 1 2 2 2 3 = ( ), ; , ; ,3 200401777 10 0 4999999023 0 49999990669⋅ − .
Vidpovidno znaxodymo tret[ nablyΩennq x3 ( t ) = ( ), , ,( , ), ( , ), ( , )x t x t x t31 2 3 2 2 3 3 2ξ ξ ξ
i joho poxybku:
x t x t31 1, ( ) ( )− ∗ ≤ 9 9 10 8, ⋅ − , x t x t3 2 2, ( ) ( )− ∗ ≤ 1 1 10 7, ⋅ − , x t x t3 3 3, ( ) ( )− ∗ ≤ 1 1 10 7, ⋅ − ,
wo svidçyt\ pro ßvydku zbiΩnist\ nablyΩenyx rozv’qzkiv do toçnoho.
3. Kvazilinijni systemy. Rozhlqnemo T-periodyçni systemy z malym nevid’-
[mnym parametrom ε vyhlqdu
dx
dt
= A t x h t f t x( ) ( ) ( , )+ + ε , (44)
de h ( t ) — neperervna T-periodyçna vektor-funkciq, A ( t ) i f ( t, x ) teΩ T-peri-
odyçni po t i v oblasti Ω zadovol\nqgt\ umovu B. Qk i raniße, budemo rozhlq-
daty krytyçnyj vypadok, koly
A1 ) porodΩugça systema (4), qka oderΩu[t\sq z (44) pry ε = 0, ma[ k -
parametryçnu sim’g T-periodyçnyx rozv’qzkiv, 1 ≤ k ≤ n .
Doslidymo dostatni umovy isnuvannq j alhorytm pobudovy T-periodyçnoho
rozv’qzku x ( t, ε ) systemy (44), qkyj pry ε = 0 peretvorg[t\sq na rozv’qzok po-
rodΩugço] systemy (4).
Za analohi[g do poperednix mirkuvan\ T -periodyçnyj rozv’qzok x ( t, ε ) sys-
temy (44) budemo ßukaty sered rozv’qzkiv operatornoho rivnqnnq
x L x= ˆ
,ξ ε , ˆ : ( , ) ( , ),L x n n
ξ ε Π ΠR R R R→ ,
de
( )ˆ ( ),L x tξ ε = Ω Ω Ω0
0 0
0 2
t
t
s
t
T
tF h s ds G U T s f s x s dsξ ε+ +
∫ ∫ +( ) ( , ) ( , ( )) +
+
0
1 1
t
t
T
Y t U t s f s x s ds Y t V t s f s x s ds∫ ∫− −−
( ) ( )( ) ( , ) ( , ( )) ( ) ( , ) ( , ( ))� � ,
qki zadovol\nqgt\ umovu (28).
Z ci[g metog rozhlqnemo poslidovnist\ T-periodyçnyx funkcij
ˆ ( , )x tm ξ = ˆ ( , ) ( , ) ( , ˆ ( , ))x t G U T s f s x s ds
T
t
m0
0
0 2 1ξ ε ξ+
∫ +
−Ω +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
486 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
+
0
1
1
1
1
t
m
t
T
mY t U t s f s x s ds Y t V t s f s x s ds∫ ∫−
−
−
−−
( ) ( )( ) ( , ) ( , ˆ ( , )) ( ) ( , ) ( , ˆ ( , ))� �ξ ξ , (45)
ˆ ( , ) ( )x t F h s dst
t
s
t
0 0
0
ξ ξ= + ∫Ω Ω , m = 1, 2, … .
Zrozumilo, wo pry dostatn\o malyx ε umovy C i D vykonugt\sq, a otΩe,
vsi navedeni vywe teoremy [ spravedlyvymy i dlq systemy (44), operatora
ˆ
,Lξ ε
ta poslidovnosti (45), a pry m ≥ 1 vidpovidni nerivnosti magt\ vyhlqd
( )ˆ ( ) ˆ ( , ),L x t x tξ ε ξ− 0 ≤ ε β , (46)
ˆ ( , ) ˆ ( , )x t x tm
∗ −ξ ξ ≤ ε ε ε β( ) ( )E Q Qn
m− −1 ,
inf ˆ ( )
ξ ∂
ξ
∈ ′D
m∆ > ε ε ε βQ E Q Qn
m
1
1( ) ( )− − , (47)
de ˆ ( , ) lim ˆ ( , )x t x t
m
m
∗
→∞
=ξ ξ ,
ˆ ( )∆ ξ ≡ µ ξ( ˆ ( , ))x ∗ ⋅ =
0
T
s f s x s ds∫ ∗Ψ�( ) ( , ˆ ( , ))ξ ,
ˆ ( )∆m ξ ≡ µ ξ( ˆ ( , ))xm ⋅ =
0
T
ms f s x s ds∫ Ψ�( ) ( , ˆ ( , ))ξ , m = 0, 1, 2, … . (48)
Krim toho, pry m = 0 ma[ misce nastupne tverdΩennq.
Teorema44. Nexaj dlq systemy (44) vykonugt\sq umovy A1 i B, a vidob-
raΩennq
ˆ ( )∆0 ξ , porodΩene (48), ma[ v oblasti ′ ⊂D D0 izol\ovanu osoblyvu
toçku ξ = ξ0 nenul\ovoho indeksu.
Todi isnu[ take ε0 , wo pry vsix 0 < ε < ε0 systema (44) ma[ T-perio-
dyçnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Pry vsix ξ ∈ ′D , t<∈ R z (46) oderΩu[mo ocinku
ˆ ( , ) ˆ ( , )x t x t∗ −ξ ξ0 ≤ ε β ,
a tomu pry m = 0 nerivnist\ (47) nabyra[ vyhlqdu
inf ˆ ( )
ξ ∂
ξ
∈ ′D
∆0 > ε βQ1 . (49)
Qkwo za ′D vzqty kolo radiusa δ z centrom u toçci ξ0 , to pry dostatn\o
malyx δ oblast\ ′D ne bude mistyty inßyx osoblyvyx toçok vidobraΩennq
ˆ ( )∆0 ξ (oskil\ky ξ0 — izol\ovana osoblyva toçka) i
inf ˆ ( )
ξ ξ δ
ξ
− =0
0∆ = η > 0.
Z ostann\o] nerivnosti vyplyva[, wo η ε β> Q1 , a tomu qkwo vybraty deqke ε0
take, wo
ε β0 1Q < η ,
to pry vsix 0 < ε < ε0 systema (44) matyme T-periodyçnyj rozv’qzok x = x ( t, ε )
takyj, wo
x( , )0 0ε ξ− < δ ,
x t x( , ) ( , )ε ε− 0 ≤ ε β .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
WE RAZ PRO ÇYSEL|NO-ANALITYÇNYJ METOD POSLIDOVNYX PERIODYÇNYX … 487
ZauvaΩennq48. Navedeni vywe mirkuvannq zalyßagt\sq pravyl\nymy, qkwo
umovu B zaminyty na umovu Karateodori:
matrycq-funkciq A ( t ) i vektor-funkciq f ( t, x ) T-periodyçni po t i dlq maj-
Ωe vsix t<∈ R neperervni;
f ( t, x ) sumovna pry vsix x ∈ D ;
dlq vsix x ′, x ″ ∈ D i majΩe vsix t<∈ R vykonugt\sq ocinky (21), (22), de kom-
ponenty vektora m ( t ) i matryci K ( t ) T-periodyçni j intehrovni pry t<∈ R .
4. Zv’qzok z raniße vidomymy rezul\tatamy. Nasampered vidmitymo vΩe
zhaduvani roboty [10, 11], v qkyx uperße bulo zaproponovano çysel\no-anali-
tyçnyj metod poslidovnyx periodyçnyx nablyΩen\ dlq doslidΩennq periodyç-
nyx rozv’qzkiv systemy dyferencial\nyx rivnqn\
dx
dt
= f ( t, x ) .
Pizniße metod bulo uspißno zastosovano dlq vyvçennq ßyrokoho klasu za-
daç [2 – 4, 12 – 18]. Vidmitymo takoΩ robotu [24], de v nekrytyçnomu vypadku
doslidΩuvalysq periodyçna krajova zadaça dlq systemy linijnyx rivnqn\
dx
dt
= A t x h t( ) ( )+ ,
a takoΩ dlq rivnqnnq druhoho porqdku
′′ +x k x2 = f t x x( , , )′ .
Blyz\kymy do dano] [ roboty [21, 25, 26]. Tak, u [25] u banaxovomu prostori
X doslidΩuvalysq T-periodyçni rozv’qzky rivnqnnq vyhlqdu
dx
dt
= Ax f t x+ ( , ) , x : R → X , (50)
de A — neobmeΩenyj operator.
U robotax [26, 27] rozhlqdalysq systemy vyhlqdu
dx
dt
= A x f t x y1 + ( , , ),
(51)
dy
dt
= A y g t x y2 + ( , , ) ,
de x, f ∈ R
n
, y, g ∈ R
s
, f ( t + T, x, y ) = f ( t, x, y ) , g ( t + T, x, y ) = g ( t, x, y ) , A1,
A2 — stali matryci vymiru vidpovidno n × n i s × s taki, wo vlasni znaçennq A1
magt\ nenul\ovu dijsnu çastynu, a matrycq A2 abo [ nul\ovog, abo ma[ çysto
uqvni vlasni znaçennq.
Nareßti, v [28] systema (20) rozhlqdalas\ u krytyçnomu vypadku pry n = 2,
tobto pry
A ( t ) =
0
0
p t
p t
( )
( )−
,
0
T
p s ds∫ ( ) = 2 π j , j ∈ Z,
i uzahal\ngvalasq na vypadok system vywyx porqdkiv, qkwo matrycq A ( t ) koso-
symetryçna i zadovol\nq[ umovu Lappo – Danylevs\koho. Pry c\omu dlq pobu-
dovy periodyçnyx rozv’qzkiv bulo vykorystano alhorytm, qkyj oderΩu[t\sq z
(32).
U danij roboti ob©runtovano novyj çysel\no-analityçnyj alhorytm intehru-
vannq periodyçnyx system nelinijnyx zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ u
krytyçnomu vypadku, koly vidpovidna odnoridna systema ma[ k periodyçnyx roz-
v’qzkiv. Pobudovano rivnomirno zbiΩnu poslidovnist\ k-parametryçnyx perio-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
488 I. I. KOROL|, M. O. PERESTGK
dyçnyx nablyΩen\, vstanovleno umovy zbiΩnosti ta ocinky poxybky. DoslidΩe-
no zv’qzok hranyçno] funkci] ci[] poslidovnosti z toçnym periodyçnym rozv’qz-
kom vyxidno] systemy.
1. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A. Asymptotyçeskye metod¥ v teoryy nelynejn¥x
kolebanyj. – M.: Nauka, 1974. – 503<s.
2. Samojlenko A. M., Ronto N. Y. Çyslenno-analytyçeskyj metod yssledovanyq peryodyçes-
kyx reßenyj. – Kyev: V¥wa ßk., 1976. – 180 s.
3. Samojlenko A. M., Ronto N. Y. Çyslenno-analytyçeskye metod¥ yssledovanyq reßenyj
kraev¥x zadaç. – Kyev: Nauk. dumka, 1985. – 224 s.
4. Samojlenko A. M., Ronto N. Y. Çyslenno-analytyçeskye metod¥ v teoryy kraev¥x zadaç
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 279 s.
5. Bojçuk A. A., Ûuravlev V. F., Samojlenko A. M. Obobwenno-obratn¥e operator¥ y nete-
rov¥ kraev¥e zadaçy. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1995. – 318 s.
6. Luçka A. G. Proekcyonno-yteratyvn¥e metod¥. – Kyev: Nauk. dumka, 1993. – 288 s.
7. Malkyn Y. H. Nekotor¥e zadaçy teoryy nelynejn¥x kolebanyj. – M.: Hostexyzdat, 1956. –
491<s.
8. Hrebenykov E. A., Rqbov G. A. Konstruktyvn¥e metod¥ analyza nelynejn¥x system. – M.:
Nauka, 1979. – 432<s.
9. Qkubovyç V. A., StarΩynskyj V. M. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq s peryodyçes-
kymy koπffycyentamy. – M.: Nauka, 1972. – 718<s.
10. Samojlenko A. M. Çyslenno-analytyçeskyj metod yssledovanyq peryodyçeskyx system
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. I // Ukr. mat. Ωurn. – 1965. – 17, # 4. –
S.<82 – 93.
11. Samojlenko A. M. Çyslenno-analytyçeskyj metod yssledovanyq peryodyçeskyx system
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. II // Tam Ωe. – 1966. – 18, # 2. – S.<50 – 59.
12. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. I // Tam Ωe. – 1998. – 50, # 1. – S.<102 – 107.
13. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. II // Tam Ωe. – # 2. – S.<225 – 243.
14. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. III // Tam Ωe. – # 7. – S.<960 – 979.
15. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. IV // Tam Ωe. – # 12. – S.<1656 – 1672.
16. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. V // Tam Ωe. – 1999. – 51, # 5. – S.<663 – 673.
17. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. VI // Tam Ωe. – # 7. – S.<960 – 971.
18. Ronto N. Y., Samojlenko A. M., Trofymçuk S. Y. Teoryq çyslenno-analytyçeskoho metoda:
dostyΩenyq y nov¥e napravlenyq razvytyq. VII // Tam Ωe. – 2000. – 52, # 1. – S.<102 – 107.
19. Samojlenko A. M. Ob odnoj posledovatel\nosty polynomov y radyuse sxodymosty ee
summ¥ Puassona – Abelq // Tam Ωe. – 2003. – 55, # 7. – S.<1119 – 1130.
20. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1967. –
472<s.
21. Bojçuk A. A. Konstruktyvn¥e metod¥ analyza kraev¥x zadaç. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. –
96 s.
22. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1988. – 552<s.
23. Krejn M. H., Rutman M. A. Lynejn¥e operator¥, ostavlqgwye ynvaryantn¥m konus v pro-
stranstve Banaxa // Uspexy mat. nauk. – 1948. – 3, v¥p. 1. – S. 3 – 95.
24. Ronto A. M. Çysel\no-analityçni metody doslidΩennq krajovyx zadaç: Avtoref. dys. …
kand. fiz.-mat. nauk. – Ky]v, 1997. – 16<s.
25. Evtuxa N. A., Zabrejko P. P. O metode A. M. Samojlenko ot¥skanyq peryodyçeskyx
reßenyj kvazylynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj v banaxovom prostranstve // Ukr.
mat. Ωurn. – 1985. – 37, # 2. – S.<162 – 168.
26. Perestgk N. A. O peryodyçeskyx reßenyqx nekotor¥x system dyfferencyal\n¥x
uravnenyj // Asymptotyçeskye y kaçestvenn¥e metod¥ v teoryy nelynejn¥x kolebanyj. –
Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1971. – S.<136 – 146.
27. Kopystyra S. M. Pro 2π-periodyçni rozv’qzky nelinijnyx system dyferencial\nyx rivnqn\
perßoho porqdku // Visn. Ky]v. un-tu. Ser. fiz.-mat. nauky. – 1997. – # 1. – S. 69 – 80.
28. Korol\ I. I. Pro periodyçni rozv’qzky odnoho klasu system dyferencial\nyx rivnqn\ // Ukr.
mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 4. – S. 483 – 495.
OderΩano 01.10.2004,
pislq doopracgvannq — 28.11.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
|