Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм
Вивчаються умови експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному систем лінійних стохастичних систем Ito. Доведено, що достатньою умовою експоненціальної дихотомії є існування квадратичної форми, похідна від якої в силу системи від'ємно означена. Також доведено обернену теорему....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164975 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм / А.П. Креневич, О.М. Станжицький // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 543–553. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164975 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649752020-02-12T01:26:55Z Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм Креневич, А.П. Статті Вивчаються умови експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному систем лінійних стохастичних систем Ito. Доведено, що достатньою умовою експоненціальної дихотомії є існування квадратичної форми, похідна від якої в силу системи від'ємно означена. Також доведено обернену теорему. We study conditions for the mean-square exponential dichotomy of linear Itô stochastic systems. We prove that a sufficient condition for exponential dichotomy is the existence of a quadratic form whose derivative along the solutions of a system is negative definite. The converse theorem is also proved. 2006 Article Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм / А.П. Креневич, О.М. Станжицький // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 543–553. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164975 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Креневич, А.П. Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються умови експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному систем лінійних стохастичних систем Ito. Доведено, що достатньою умовою експоненціальної дихотомії є існування квадратичної форми, похідна від якої в силу системи від'ємно означена. Також доведено обернену теорему. |
| format |
Article |
| author |
Креневич, А.П. |
| author_facet |
Креневич, А.П. |
| author_sort |
Креневич, А.П. |
| title |
Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм |
| title_short |
Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм |
| title_full |
Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм |
| title_fullStr |
Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм |
| title_full_unstemmed |
Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм |
| title_sort |
дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164975 |
| citation_txt |
Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм / А.П. Креневич, О.М. Станжицький // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 543–553. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT krenevičap doslídžennâeksponencíalʹnoídihotomíílíníjnihstohastičnihsistemítozvipadkovimipočatkovimidanimizadopomogoûkvadratičnihform |
| first_indexed |
2025-07-14T17:43:23Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:43:23Z |
| _version_ |
1837645172425359360 |
| fulltext |
УДК 517.9
О. М. Станжицький, А. П. Креневич (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДОСЛIДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОЇ ДИХОТОМIЇ
ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ IТО
З ВИПАДКОВИМИ ПОЧАТКОВИМИ ДАНИМИ
ЗА ДОПОМОГОЮ КВАДРАТИЧНИХ ФОРМ
The conditions of exponential dichotomy in mean square of linear stochastic Ito systems are considered.
We prove that a sufficient condition for the exponential dichotomy is the existence of a quadratic form
whose derivative is negatively defined by virtue of a system. We also prove the converse theorem.
Вивчаються умови експоненцiальної дихотомiї в середньому квадратичному систем лiнiйних сто-
хастичних систем Iто. Доведено, що достатньою умовою експоненцiальної дихотомiї є iснування
квадратичної форми, похiдна вiд якої в силу системи вiд’ємно означена. Також доведено обернену
теорему.
1. Вступ. Предметом вивчення даної статтi є питання якiсної теорiї стохастичних
диференцiальних рiвнянь Iто, в якiй важливим є поняття експоненцiальної дихо-
томiї, оскiльки воно мiстить дослiдження як стiйкостi систем, так i необмеженого
росту розв’язкiв.
У роботi [1] дослiдження експоненцiальної дихотомiї лiнiйних стохастичних
систем Iто пов’язували з iснуванням обмежених у середньому квадратичному на
додатнiй пiвосi розв’язкiв неоднорiдної системи. Отриманi результати мають пе-
реважно теоретичний характер i, взагалi кажучи, не достатньо ефективнi для прак-
тичної перевiрки дихотомiї.
Як вiдомо (див. [2]), у випадку систем звичайних диференцiальних рiвнянь зi
скiнченновимiрним простором початкових даних питання дихотомiї еквiвалентне
iснуванню квадратичної форми, похiдна вiд якої в силу системи є вiд’ємно озна-
ченою. В роботi [3] наведено умови дихотомiї стохастичних систем у термiнах
квадратичних форм. Цi умови є зручними з практичної точки зору, оскiльки мето-
ди побудови квадратичних форм, що задовольняють певнi умови в силу системи,
для стохастичних систем типу Iто досить добре розробленi. Але слiд зауважити,
що в [3] питання дихотомiї розглянуто для систем з детермiнованими початковими
даними iз скiнченновимiрного простору.
Таким чином, постало питання дихотомiї лiнiйних систем iз випадковими по-
чатковими даними з простору iнтегровних iз квадратом випадкових функцiй. Як
показано в [4], для систем звичайних диференцiальних рiвнянь нескiнченної роз-
мiрностi iснування квадратичної форми, похiдна вiд якої в силу системи є вiд’ємно
означеною, не гарантує дихотомiї. Тому в данiй роботi наведено умови експо-
ненцiальної дихотомiї в термiнах квадратичних форм для систем стохастичних
диференцiальних рiвнянь iз випадковими початковими даними в дещо вужчому
сенсi й отримано умови, при яких система експоненцiально дихотомiчна в сенсi
означення, введеного в [1].
Також у роботi отримано обернений результат, а саме, якщо система експо-
ненцiально дихотомiчна в середньому квадратичному на додатнiй пiвосi, то iснує
квадратична форма, похiдна вiд якої в силу системи є вiд’ємно означеною.
Слiд зауважити, що перелiченi вище проблеми розглядались у роботах [5, 6]
для систем стохастичних диференцiальних рiвнянь iз перiодичними коефiцiєнтами.
c© О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, А. П. КРЕНЕВИЧ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4 543
544 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, А. П. КРЕНЕВИЧ
2. Постановка задачi. Розглянемо систему лiнiйних стохастичних диферен-
цiальних рiвнянь Iто
dx = A(t)xdt +
m∑
i=1
Bi(t)xdWi(t), (1)
де t ≥ 0, x ∈ Rn, A(t), Bi(t) — детермiнованi, неперервнi по t i обмеженi на
додатнiй пiвосi матрицi; Wi(t), i = 1, . . . ,m, — незалежнi в сукупностi вiнеровi
процеси, заданi на ймовiрнiсному просторi (Ω, F, P ); {Ft, t ≥ 0} — потiк σ-алгебр,
таких, що згаданi вище вiнеровi процеси узгодженi з даним потоком та не залежать
вiд F0. L2(s) — простiр обмежених у середньому квадратичному Fs-вимiрних
випадкових величин iз нормою ‖x(s)‖ ≡
√
M |x(s)|2 при кожному фiксованому
s ≤ t, L2 ≡ L2(0).
Тодi, як вiдомо (див., наприклад, [7, с. 230]), для будь-якого xs ∈ L2(s) систе-
ма (1) має єдиний сильний розв’язок задачi Кошi x(t, xs) (x(s, xs) = xs), визначе-
ний при t ≥ s ≥ 0, Ft-вимiрний i такий, що має при t ≥ s ≥ 0 скiнченний другий
момент. Легко переконатися, що цей розв’язок є лiнiйним по xs. Тим самим за
допомогою (1) визначено сiм’ю лiнiйних операторiв {U(t, s), t ≥ s ≥ 0} таких,
що Fs-вимiрному випадковому вектору xs при t ≥ s ставлять у вiдповiднiсть Ft-
вимiрний випадковий вектор x(t, xs). За аналогiєю iз звичайними диференцiаль-
ними рiвняннями оператор U(t, s) будемо називати матрицантом системи (1). При
цьому U(t) ≡ U(t, 0).
Наступне означення експоненцiальної дихотомiї є бiльш слабким, нiж означення
дихотомiї, введене в [7, с. 296].
Означення 1. Систему (1) будемо називати експоненцiально дихотомiчною
в середньому квадратичному на пiвосi, якщо для довiльного s ≥ 0 простiр L2(s)
розкладається в пряму суму пiдпросторiв L2(s) = L−2 (s) + L+
2 (s), причому:
а) для розв’язкiв y(t, xs
1) = U(t, s)xs
1 системи (1), що виходять у момент t = s
з пiдпростору L−2 (s) (xs
1 ∈ L−2 (s)), справедливою є оцiнка
M|y(t, xs
1)|2 ≤ K exp{−γ(t− τ)}M|y(τ, xs
1)|2, t ≥ τ ≥ s; (2)
b) для розв’язкiв z(t, xs
2) = U(t, s)xs
2 системи (1), що виходять у момент t = s
з пiдпростору L+
2 (s) (xs
2 ∈ L+
2 (s)), справджується оцiнка
M|z(t, xs
2)|2 ≥ K1 exp{γ1(t− τ)}M|z(τ, xs
2)|2, t ≥ τ ≥ t(xs
2) ≥ s. (3)
Тут K, K1, γ, γ1 — деякi додатнi не залежнi вiд τ, xs
1, xs
2 сталi.
Зауваження 1. Якщо в оцiнцi (3) t(xs
2) = s для всiх xs
2 ∈ L+
2 (s), то означен-
ня 1 рiвносильне означенню експоненцiальної дихотомiї з [7, с. 296].
У роботi у термiнах квадратичних форм вивчаються умови експоненцiальної
дихотомiї.
3. Основнi результати. Експоненцiальну дихотомiю системи (1) будемо ви-
вчати за допомогою знакозмiнних форм вигляду V (t, x) = 〈S(t)x, x〉, де S(t) —
симетрична обмежена при t ≥ 0 матриця. Функцiю V (t, x) будемо називати функ-
цiєю Ляпунова системи (1).
Наведена нижче теорема є узагальненням вiдомого результату з [2, с. 3] для
систем звичайних диференцiальних рiвнянь.
Теорема 1. Нехай iснує симетрична, неперервно диференцiйовна i обмежена
при t ≥ 0 матриця S ≡ S(t) така, що матриця
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОЇ ДИХОТОМIЇ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 545
S∗ ≡ dS
dt
+ AT S + SA +
m∑
i=1
BT
i SBi
є вiд’ємно означеною при t ≥ 0. Тодi система (1) експоненцiально дихотомiч-
на в середньому квадратичному на додатнiй пiвосi в сенсi означення 1. Якщо
простiр L+
2 (s) — скiнченновимiрний, то система експоненцiально дихотомiчна в
сенсi означення з [7, с. 296].
Зауваження 2. Вiд’ємна означенiсть матрицi S∗(t) означає iснування такої
сталої N > 0, що квадратична форма 〈S∗(t)x, x〉 задовольняє для всiх t ≥ 0,
x ∈ Rn нерiвнiсть
〈S∗(t)x, x〉 ≤ −N |x|2.
Доведення. Розглянемо матрицант U(t, s) системи (1) (U(s, s) = E — одинична
матриця). Як вiдомо [7, c. 230], такий матрицант завжди iснує при t ≥ s, має
другий момент, його визначник iз iмовiрнiстю 1 вiдмiнний вiд нуля i розв’язок
системи (1) з початковими даними x(s, xs) = xs можна подати у виглядi
x(t, xs) = U(t, s)xs. (4)
Без обмежень загальностi доведемо, що простiр L2 розкладається в пряму суму
пiдпросторiв, для яких виконуються оцiнки (2), (3). Далi, проводячи аналогiчнi
мiркування, можна показати, що кожен iз просторiв L2(s) розкладається в пряму
суму пiдпросторiв iз вiдповiдними оцiнками.
Розглянемо квадратичний функцiонал
〈Stx, x〉 ≡ M〈S(t)x(t, x), x(t, x)〉 = M〈S(t)U(t)x, U(t)x〉 =
= M〈U−1(t)S(t)U(t)x, x〉. (5)
Тут x(t, x) — розв’язок системи (1) з початковою умовою x(0, x) = x (x ∈ L2).
Вираз (5) має змiст, оскiльки другi моменти розв’язкiв системи (1) iснують. Вира-
жаючи для довiльних t ≥ s ≥ 0 рiзницю
〈S(t)x(t, x), x(t, x)〉 − 〈S(s)x(s, x), x(s, x)〉
за формулою Iто, одержуємо
〈S(t)x(t, x), x(t, x)〉 − 〈S(s)x(s, x), x(s, x)〉 =
=
t∫
s
LV (τ, x(τ, x))dτ +
m∑
i=1
t∫
s
(
Bi(τ)x,
∂V (τ, x(τ, x))
∂x
)
dWi(τ). (6)
Тут V (t, x(t, x)) = 〈S(t)x(t, x), x(t, x)〉, а L — твiрний оператор марковського про-
цесу як розв’язку системи (1), який згiдно з [8, с. 109] має вигляд
LV =
∂V
∂t
+
(
A(t)x,
∂
∂x
)
V +
1
2
m∑
i=1
(
Bi(s)x,
∂
∂x
)2
V .
Iз його вигляду та умов теореми випливає, що LV є вiд’ємно означеною квадра-
тичною формою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
546 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, А. П. КРЕНЕВИЧ
Зауважимо, що на пiдставi [8, с. 205] точка x = 0 є недосяжною для процесу
x(t, x) при x 6= 0, а тому, взявши в останнiй формулi вiд обох частин математичне
сподiвання, згiдно з умовами теореми одержимо
〈Stx, x〉 < 〈Ssx, x〉 (7)
для t ≥ s ≥ 0, x 6= 0.
Покажемо тепер, що для точок x ∈ L2 таких, що 〈Stx, x〉 ≥ 0, при t ≥ 0
справджується оцiнка (2), а для точок x ∈ L2 таких, що 〈Stx, x〉 ≤ 0, при t ≥ 0
виконується оцiнка (3).
Для одержання оцiнки (2) покладемо
Vε(t) ≡ 〈Stx, x〉+ εM|x(t, x)|2,
вважаючи ε досить малою додатною сталою. Враховуючи, що математичне сподiван-
ня вiд iнтеграла Iто дорiвнює нулю (див. [9]), iз (6) отримуємо
M(〈S(t)x(t, x), x(t, x)〉 − 〈S(s)x(s, x), x(s, x)〉) =
t∫
s
M{LV (τ, x(τ, x))}dτ .
Диференцiюючи останню рiвнiсть по t, маємо
d
dt
〈Stx, x〉 = M{LV (τ, x(τ, x))} ≤ −N M|x(t, x)|2.
Тут N — деяка додатна стала. Остання нерiвнiсть випливає з того, що квадратична
форма LV є вiд’ємно означеною.
Очевидно, що
L|x|2 = 2〈A(t)x, x〉+
1
2
m,n∑
i,j=1
(b(i)
j1 x1 + . . . + b
(i)
jnxn)2
— квадратична форма з деякою обмеженою матрицею C(t), що виражається че-
рез матрицi A(t), Bi(t) та транспонованi до них. (Iндекс (i) означає належнiсть
елемента матрицi Bi.) Тому
|L|x|2| = |〈C(t)x, x〉| ≤ D|x|2,
де D = max
t≥0
||C(t)||.
Отже,
Vε(t)− Vε(s) =
t∫
s
(LV (τ, x(τ, x)) + εML|x(τ, x)|2)dτ.
Звiдси маємо
dVε(t)
dt
≤ −(N − εD) M|x(t, x)|2 = −N1 M|x(t, x)|2. (8)
Оскiльки, окрiм того,
Vε(t) ≤ (C1 + ε)M|x(t, x)|2, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОЇ ДИХОТОМIЇ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 547
де C1 = max
t≥0
||S(t)||, а
M|x(t, x)|2 ≤ (Stx, x) + εM|x(t, x)|2
ε
=
Vε(t)
ε
, (10)
то iз нерiвностi (8) одержуємо
dVε(t)
dt
≤ −N1 M|x(t, x)|2 ≤ −N1
C1 + ε
Vε(t) = −γVε(t).
Iнтегруючи останню нерiвнiсть в межах [s, t], отримуємо
Vε(t) ≤ Vε(s) exp{−γ(t− s)}
при t ≥ s, або з урахуванням нерiвностей (9), (10)
M|x(t, x)|2 ≤ Vε(t)
ε
≤ Vε(s) exp{−γ(t− s)} ≤
≤
(
1 +
C1
ε
)
exp{−γ(t− s)}M|x(s, x)|2.
Остання нерiвнiсть i є нерiвнiстю (2), в якiй K = 1 +
C1
ε
.
Нехай тепер x ∈ L2 таке, що 〈Stx, x〉 ≤ 0 при t ≥ 0. Покажемо, що для таких
x виконується оцiнка (3). Для цього розглянемо функцiю
V 1
ε (t) ≡ (Stx, x) + εM|x(t, x)|2,
вважаючи знову ε досить малою додатною сталою.
Оскiльки за умовами теореми квадратична форма −LV (t, x) є додатно означе-
ною, то аналогiчно попередньому одержуємо
dV 1
ε (t)
dt
≥ N M|x(t, x)|2 + εM〈C(t)x, x〉 ≥
≥ (N − εD)M|x(t, x)|2 ≥ N1
C1 + ε
V 1
ε (t) = γV 1
ε (t).
Iнтегруючи останню нерiвнiсть, отримуємо оцiнку
V 1
ε (t) ≥ V 1
ε (s) exp{γ(t− s)}
при t ≥ s, з якої з урахуванням нерiвностей
V 1
ε (t) ≥ εM|x(t, x)|2
i (9) остаточно маємо
M|x(t, x)|2 ≥ V 1
ε (t)
C1 + ε
≥ V 1
ε (s)
C1 + ε
exp{γ(t− s)} ≥
≥ εM|x(s, x)|2
C1 + ε
exp{γ(t− s)} =
1
C1
ε
+ 1
M|x(s, x)|2 exp{γ(t− s)} =
= K1 exp{γ(t− s)}M|x(s, x)|2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
548 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, А. П. КРЕНЕВИЧ
при t ≥ s ≥ 0. Останнє спiввiдношення i є оцiнкою (3), що фiгурує в означеннi
експоненцiальної дихотомiї.
Покажемо нарештi, що простiр L2 розкладається в пряму суму пiдпросторiв L−2
та L+
2 . За L−2 вiзьмемо множину всiх початкових значень x ∈ L2 розв’язкiв системи
(1) таких, що вираз M|x(t, x)|2 обмежений при t ≥ 0. Враховуючи розв’язок (4)
системи (1), легко переконатися, що дана множина є лiнiйним пiдпростором у L2.
Для всiх точок цього пiдпростору виконується нерiвнiсть 〈Stx, x〉 ≥ 0. Справдi,
в протилежному випадку iснувала б точка t0 ≥ 0 така, що 〈Stx, x〉 < 0. Тодi
з нерiвностi (7) випливала б оцiнка 〈Stx, x〉 < 0 для t ≥ t0. З неї на пiдставi
доведеного вище випливала б нерiвнiсть (3) для t ≥ t0, що суперечить обмеженостi
розв’язкiв, що починаються в L−2 .
Отже, для будь-якого x ∈ L−2 виконується нерiвнiсть 〈Stx, x〉 ≥ 0, t ≥ 0, а тому
з доведеного вище випливає, що для будь-якого x ∈ L−2 справжується оцiнка (2).
Нехай виконується L+
2 = (L−2 )⊥ — ортогональне доповнення до L−2 . Для всiх
x ∈ L+
2 виконується нерiвнiсть 〈Stx, x〉 ≤ 0 при t ≥ t(x). Справдi, в протилежному
випадку для деякого ненульового x ∈ L+
2 вираз 〈Stx, x〉 був би додатним для всiх
t ≥ 0. Ця умова веде до виконання для розв’язку x(t, x) (x(0, x) = x ∈ L+
2 ) оцiн-
ки (2), звiдки випливає обмеженiсть M|x(t, x)|2. Останнє означає, що x ∈ L−2 . Але
пiдпростори перетинаються тiльки по нульовому вектору. Отримана суперечнiсть
i доводить, що для кожного x ∈ L+
2 iснує скiнченний момент часу t(x) такий, що
при t ≥ t(x) 〈Stx, x〉 < 0. Тому, проводячи викладки, аналогiчнi наведеним вище,
можна показати, що при t ≥ s ≥ t(x) для x ∈ L+
2 справджується оцiнка типу (3).
Припустимо, що простiр L+
2 є скiнченновимiрним. Покажемо виконання оцiнки
(3) i для 0 ≤ s ≤ t ≤ t(x).
Для цього спочатку доведемо, що момент часу t(x) можна вибрати єдиним для
всiх x ∈ L+
2 .
Припустимо, що це не так. Тодi можна вказати послiдовнiсть чисел tn →∞ i
послiдовнiсть xn ∈ L+
2 такi, що 〈Stn
xn, xn〉 > 0. Розглянемо послiдовнiсть yn =
=
xn√
M|xn|2
. Очевидно, що 〈Stn
yn, yn〉 > 0, a M|yn|2 = 1.
З того, що L+
2 — пiдпростiр, випливає, що yn ∈ L+
2 для довiльного нату-
рального n. Тодi згiдно з викладеним вище для кожного yn iснує скiнченний
момент часу t(yn) такий, що 〈St(yn)yn, yn〉 = 0. Враховуючи припущення про
скiнченновимiрнiсть пiдпростору L+
2 , з yn можна видiлити збiжну пiдпослiдов-
нiсть. Без втрати загальностi будемо вважати, що сама yn є збiжною. Позначимо
y0 = lim
n→∞
yn. Iз замкненостi пiдпростору L+
2 випливає, що y0 ∈ L+
2 . За викладе-
ним вище для y0 iснує скiнченний момент часу T > 0 такий, що 〈Sty0, y0〉 ≤ 0 при
t ≥ T. Тому розв’язок системи допускає оцiнку
M|x(t, y0)|2 ≥ K1 exp{γ(t− T )}M|x(T, y0)|2.
Виберемо t1 з умови, що
K1 exp{γ(t1 − T )} = 2.
Iз неперервної залежностi в середньому квадратичному вiд початкових даних i того,
що yn → y0, n →∞, для довiльного ε > 0 на вiдрiзку [0, t1] можна вказати номер
p такий, що при n ≥ p виконується нерiвнiсть
sup
t∈[0,t1]
M|x(t, y0)− x(t, yn)|2 < ε. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОЇ ДИХОТОМIЇ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 549
Будемо вважати p таким великим, що tn > t1 при n ≥ p. Останнє означає, що
〈St1yn, yn〉 > 0 при n ≥ p. Тому при T ≤ t ≤ t1 для розв’язку x(t, yn) виконується
оцiнка
M|x(t, yn)|2 ≤ K exp{−γ(t− T )}M|x(T, yn)|2.
Зазначимо, що K1 =
1
K
.
Увiвши норму
‖x(t, y0)‖2 =
√
M|x(t, y0)|2,
iз (11) отримаємо
‖x(t1, y0)− x(t1, yn)‖2 < ε1/2. (12)
Але
‖x(t1, y0)− x(t1, yn)‖2 ≥ ‖x(t1, y0)‖2 − ‖x(t1, yn)‖2 ≥
≥ K
1/2
1 exp
{γ
2
(t1 − T )
}
‖x(T, yn)‖2−
−K1/2 exp
{
−γ
2
(t1 − T )
}
‖x(T, yn)‖2 ≥
≥ 2
1
2 ‖x(T, y0)‖2 −
1
2
1
2
‖x(T, yn)‖2 ≥
≥ 2
1
2 ‖x(T, y0)‖2 −
1
2
1
2
‖x(T, y0)‖2 −
ε1/2
21/2
.
Остання нерiвнiсть суперечить (12). Це доводить iснування скiнченного моменту
T0 > 0 такого, що при t ≥ T0 виконується нерiвнiсть
〈Stx, x〉 ≤ 0
для x ∈ L+
2 , з якої випливає виконання нерiвностi (3) при s ≥ T0.
Доведемо її виконання для всiх s ≥ 0.
Нехай
dx̃ = Ã(t)x̃dt (13)
— система других моментiв, що вiдповiдає системi (1) з початковою умовою
x̃(0, x̃0) = x̃0, де |x̃0| = M|x0|2. Тодi серед розв’язкiв системи (13) будуть зна-
ходитись другi моменти розв’язкiв системи (1).
Нехай Ũ(t) — матриця Кошi системи (13) з початковою умовою Ũ(0) = E (E —
одинична матриця).
Оскiльки вектор-стовпчики матрицi Ũ(t) — лiнiйно незалежнi розв’язки систе-
ми (13), то iснує неперервний оператор Ũ−1(t). Тодi
1 = ‖Ũ(t)Ũ(t)−1‖ ≤ ‖Ũ(t)‖‖Ũ(t)−1‖.
Звiдси випливає
1
‖Ũ(t)−1‖
≤ ‖Ũ(t)‖ < ∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
550 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, А. П. КРЕНЕВИЧ
для t ∈ [0, T0]. А тому маємо
1
‖Ũ(t)−1‖
≥ A
при t ∈ [0, T0] (A ≥ 0 — деяка стала). Далi, аналогiчно [7, c. 242] легко отримати
|x̃(t, x̃0)| ≤ n M|x(t, x0)|2. Тодi
|x̃(t, x̃0)| = |Ũ(t)x̃0| =
‖Ũ−1(t)‖|Ũ(t)x̃0|
‖Ũ−1(t)‖
≥ |x̃0|
‖Ũ−1(t)‖
.
Отже,
M|x(t, x0)|2 ≥ A M|x0|2.
Тому
M|x(t, x0)|2 ≥ A M|x0|2
exp{γt}
exp{γt}
≥ A M|x0|2
exp{γt}
exp{γT0}
= B M|x0|2 exp{γt} (14)
при t ∈ [0, T0].
Iз лiнiйностi системи (1), використовуючи нерiвнiсть Гронуолла – Беллмана, при
s ≥ 0 можна отримати оцiнку
M|x(s, x0)|2 ≤ A1 exp{αs}M|x0|2
(α > 0, A1 > 0 — константи, не залежнi вiд s, x0), з якої на пiдставi нерiвностi (14)
легко одержуємо нерiвнiсть типу (3), дiйсну при s ≤ T0. Враховуючи її виконання
при s ≥ T0, можна гарантувати iснування константи K2 > 0, не залежної вiд s, x0
i такої, що при t ≥ s ≥ 0 виконується нерiвнiсть
M|x(t, x0)|2 ≥ K2 exp{γ1(t− s)}M|x(s, x0)|2.
Далi, проводячи аналогiчнi мiркування, можна довести, що для довiльного s ≥ 0
простiр L2(s) розкладається в пряму суму пiдпросторiв L−2 (s) та L+
2 (s) = (L−2 (s))⊥
таких, що для розв’язкiв, якi в них починаються, виконуються вiдповiдно оцiнки (2)
та (3).
Теорему 1 доведено.
Для випадку системи звичайних диференцiальних рiвнянь дихотомiя системи
гарантує iснування квадратичної форми, похiдна в силу системи вiд якої є вiд’ємно
означеною. Даний результат вдалось перенести на випадок системи стохастичних
диференцiальних рiвнянь Iто у випадку, коли матрицi A та Bi, i = 1, . . . ,m, —
сталi.
Розглянемо систему лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто
dx = Axdt +
m∑
i=1
BixdWi(t), (15)
де A та Bi, i = 1, . . . ,m, — сталi невипадковi матрицi.
Теорема 2. Нехай система (15) експоненцiально дихотомiчна в середньому
квадратичному на додатнiй пiвосi в сенсi означення 1. Тодi iснує неперервно
диференцiйовна по t квадратична форма V (t, x) щодо x така, що LV (t, x) є
вiд’ємно означеною при t ≥ 0 квадратичною формою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОЇ ДИХОТОМIЇ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 551
Зауваження 3. L — твiрний оператор марковського процесу, що описується
системою (15).
Доведення. Нехай система (15) експоненцiально дихотомiчна в середньому
квадратичному на додатнiй пiвосi. Тодi в кожен момент чаcу t ≥ 0 простiр L2(t)
розкладається в пряму суму пiдпросторiв L−2 (t) та L+
2 (t) i iснують проектори
P−(t) та P+(t) вiдповiдно на пiдпростори L−2 (t) та L+
2 (t), причому розв’язки, якi
починаються в пiдпросторi L−2 (t), експоненцiально спадають до нуля, а тi, що
починаються в L+
2 (t), експоненцiально зростають до нескiнченностi, починаючи
з деякого моменту. Оскiльки Rn є пiдпростором у L2(t), з викладеного вище
випливає, що простiр Rn у кожен момент часу також розкладається в пряму суму
пiдпросторiв R−(t) та R+(t).
Для доведення теореми зазначимо, що система (15) описує однорiдний марков-
ський процес, а тому з теореми 11 з [10, с. 226] випливає, що пiдпростiр R−(0)
— iнварiантний, тобто для довiльного t ≥ 0 R−(t) = R−(0). Тодi для довiльного
t ≥ 0 R+(t) = R+(0). Позначимо R− ≡ R−(0) i R+ ≡ R+(0).
Нехай P− та P+ — проектори вiдповiдно на пiдпростори R− та R+. Квадратичну
форму V (t, x) будемо шукати у виглядi
V (t, x) =
∞∫
t
M|U(s, t)P−x|2ds−
t∫
0
M|(P+x)T Ũ(t, s)|2ds, (16)
де x ∈ Rn — невипадковий вектор, U(s, t), s ≥ t, — матрицант системи (15), Ũ(t, s),
s ≤ t, — матрицант упередженого рiвняння (див. [7, с. 236]), побудованого за рiв-
нянням (15).
Позначимо y ≡ P−x, z ≡ P+x. З нерiвностi
M|U(s, t)P−x|2 = M|x(s, y)|2 ≤ K exp{−γ(s− t)}M|y|2
для s ≥ t випливає, що перший iнтеграл у (16) iснує i є скiнченним.
Покажемо, що дана квадратична форма неперервно диференцiйовна по t. Для
цього досить довести, що пiдiнтегральнi функцiї будуть неперервнi по s та дифе-
ренцiйовнi по t.
Розглянемо перший iнтеграл у спiввiдношеннi (16). Для доведення неперерв-
ностi розглянемо вираз
M|U(s, t)P−(t)x− U(s0, t)P−(t)x|2 =
= M
∣∣∣∣∣
s∫
t
(
A(τ)x(τ, x)dτ +
m∑
i=1
Bi(τ)x(τ, x)dWi(τ)
)
−
−
s0∫
t
(
A(τ)x(τ, x)dτ +
m∑
i=1
Bi(τ)x(τ, x)dWi(τ)
)∣∣∣∣∣
2
=
= M
∣∣∣∣∣
s∫
s0
(
A(τ)x(τ, x)dτ +
m∑
i=1
Bi(τ)x(τ, x)dWi(τ)
)∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 2M
∣∣∣∣∣
s∫
s0
A(τ)x(τ, x)dτ
∣∣∣∣∣
2
+ 2M
∣∣∣∣∣
s∫
s0
m∑
i=1
Bi(τ)x(τ, x)dWi(τ)
∣∣∣∣∣
2
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
552 О. М. СТАНЖИЦЬКИЙ, А. П. КРЕНЕВИЧ
≤
(
(s− s0) max
τ∈[s0,s]
‖A(τ)‖+ 2
m∑
i=1
max
τ∈[s0,s]
||Bi(τ)||
) s∫
s0
M|x(τ, x)|2dτ ≤
≤ |x|2L(s− s0 + 1)
s∫
s0
M|x(τ, x)|2dτ .
Оскiльки пiдiнтегральний вираз є неперервним по τ, то останнiй вираз прямує до
нуля, як тiльки s → s0. Диференцiйовнiсть по t випливає з леми 6.2 з [8, с. 230].
Неперервнiсть по s та диференцiйовнiсть по t для другого iнтеграла в (16)
отримуємо аналогiчним чином, використовуючи вигляд упередженого диферен-
цiального рiвняння.
Оскiльки функцiя V (t, x) як квадратична форма має похiднi Vt, Vx, Vxx, то з [8,
с. 109] випливає, що iснує LV (t, x), яка є деякою квадратичною формою, причому
LV (t, x) =
d
dt
MV (t, x(t)).
Для знаходження LV розглянемо функцiю
VT (t, x) =
t+T∫
t
M|x(s, y)|2ds−
t∫
0
M|x̃(s, z)|2ds,
де x(s, y) — розв’язок рiвняння (15), причому x(t, y) = y, а x̃(s, z) — розв’язок
вiдповiдного до (15) упередженого рiвняння, такого, що x̃(t, z) = z.
Очевидно, що для всiх t, x VT (t, x) → V (t, x), T →∞.
Диференцiюючи VT по t в силу системи (1), отримуємо
LVT (t, x) =
d
dt
MVT (t, x(t)) = M|x(t + T, y)|2 −M|x(t, y)|2+
+
t+T∫
t
LtM|x(s, y)|2ds−M|x̃(t, z)|2 −
t∫
0
L̃tM|x̃(s, z)|2ds,
де Lt — твiрний оператор марковського процесу для диференцiального рiвнян-
ня (15), L̃t — твiрний оператор марковського процесу для диференцiального рiв-
няння упередженого типу.
Далi,
LtM|x(s, y)|2 =
d
dt
M|x(s, y, t)|2 =
= lim
∆t→∞
1
∆t
{
M|x(s, x(t + ∆t, y, t), t + ∆t)|2 −M|x(s, y, t)|2
}
=
= lim
∆t→∞
1
∆t
{
M|U(s, t + ∆t)U(t + ∆t, t)y|2 −M|U(s, t)y|2
}
=
= lim
∆t→∞
1
∆t
{
M|U(s, t)y|2 −M|U(s, t)y|2
}
= 0.
Тут x(s, y, t) — розв’язок, що в момент часу t виходить iз точки y.
Проводячи аналогiчнi мiркування для упередженого диференцiального рiвнян-
ня, можемо показати, що L̃tM|x̃(s, z)|2 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОЇ ДИХОТОМIЇ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 553
Таким чином, маємо
LVT (t, x) = M
∣∣x(t + T, y)
∣∣2 −M
(
|y|2 + |z|2
)
.
Iз нерiвностi M|x(t + T, y)|2 ≤ K exp (−γT )M|y|2 випливає, що вираз M|x(t +
+ T, y)|2 рiвномiрно прямує до нуля, якщо T → ∞. Отже,
d
dt
MVT (t, x(t)) рiв-
номiрно збiгається при T →∞, i тодi можна зробити граничний перехiд
lim
T→∞
d
dt
MVT (t, x(t)) =
d
dt
lim
T→∞
MVT (t, x(t)) = LV (t, x) =
= lim
T→∞
M
∣∣x(t + T, y)
∣∣2 −M
(
|y|2 + |z|2
)
= −|x|2.
А це й доводить, що квадратична форма LV (t, x) є вiд’ємно означеною.
Теорему 2 доведено.
1. Станжицький О. М., Креневич А. П. Експоненцiальна дихотомiя лiнiйних стохастичних систем
Iто // Вiсн. Київ ун-ту. Сер. мат., мех. – 2003. – Вип. 9-10. – С. 132 – 138.
2. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных
систем с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 272 с.
3. Станжицький О. М. Дослiдження експоненцiальної дихотомiї стохастичних систем Iто за
допомогою квадратичних форм // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 11. – С. 1545 – 1555.
4. Massera J. L., Schaffer J. J. Linear differential equations and functional analisis, III. Lyapunov
second method in case of conditional stability // Ann. math. – 1959. – 69, № 3. – P. 535 – 574.
5. Царьков Е. Ф., Энгельсон Л. Я. Функционал Ляпунова для периодических линейных
диференциально-функциональных уравнений // Топологические пространства и их отобра-
жения. – Рига: Латв. ун-т, 1881. – С. 117 – 136.
6. Царьков Е. Ф., Янсон В. А. О построении функции Ляпунова для линейных стохастических
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. АН УССР. – 1982.
– № 3. – С. 19 – 21.
7. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига:
Зинатне, 1989. – 421 с.
8. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем диференциальных уравнений при случайных возму-
щениях их параметров. – М.: Наука, 1969. – 368 с.
9. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.
– Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с.
10. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравне-
ний. – Киев: Наук. думка, 1987. – 328 с.
Одержано 27.07.2004,
пiсля доопрацювання — 11.07.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
|