Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами
Розглядаються вказані рівняння, що мають постійні коефіцієнти i містять доданок, заданий інтегралом за випадковою мірою. На випадкову міру накладено лише умову сигма-адитивності за ймовірністю. Наведено розв'язки цих рівнянь, для кожного такого рівняння доведено збіг розв'язків, що задовол...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164987 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами / В.Н. Радченко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1675–1685. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164987 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649872020-02-12T01:29:01Z Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами Радченко, В.Н. Статті Розглядаються вказані рівняння, що мають постійні коефіцієнти i містять доданок, заданий інтегралом за випадковою мірою. На випадкову міру накладено лише умову сигма-адитивності за ймовірністю. Наведено розв'язки цих рівнянь, для кожного такого рівняння доведено збіг розв'язків, що задовольняють певні додаткові умови. We consider the heat conduction equation and the wave equation having constant coefficients and also a term given by an integral with respect to a stochastic measure. Only the condition of sigma-additivity in probability is imposed on the stochastic measure. Solutions of the considered equations are presented and, for every such equation, the coincidence of the solutions satisfying some additional conditions is proved. 2008 Article Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами / В.Н. Радченко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1675–1685. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164987 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Радченко, В.Н. Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються вказані рівняння, що мають постійні коефіцієнти i містять доданок, заданий інтегралом за випадковою мірою. На випадкову міру накладено лише умову сигма-адитивності за ймовірністю. Наведено розв'язки цих рівнянь, для кожного такого рівняння доведено збіг розв'язків, що задовольняють певні додаткові умови. |
| format |
Article |
| author |
Радченко, В.Н. |
| author_facet |
Радченко, В.Н. |
| author_sort |
Радченко, В.Н. |
| title |
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами |
| title_short |
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами |
| title_full |
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами |
| title_fullStr |
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами |
| title_full_unstemmed |
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами |
| title_sort |
уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164987 |
| citation_txt |
Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами / В.Н. Радченко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1675–1685. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT radčenkovn uravnenieteploprovodnostiivolnovoeuravneniesobŝimislučajnymimerami |
| first_indexed |
2025-07-14T17:43:59Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:43:59Z |
| _version_ |
1837645210707820544 |
| fulltext |
UDK 519.21
V. N. Radçenko (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
URAVNENYE TEPLOPROVODNOSTY Y VOLNOVOE
URAVNENYE S OBWYMY SLUÇAJNÁMY MERAMY
We consider the heat conduction equation and the wave equation having constant coefficients and also a
term given by an integral with respect to a stochastic measure. Only the condition of sigma-additivity in
probability is imposed on the stochastic measure. Solutions of the considered equations are presented
and, for every such equation, the coincidence of the solutions satisfying some additional conditions is
proved.
Rozhlqdagt\sq vkazani rivnqnnq, wo magt\ postijni koefici[nty i mistqt\ dodanok, zadanyj in-
tehralom za vypadkovog mirog. Na vypadkovu miru nakladeno lyße umovu syhma-adytyvnosti za
jmovirnistg. Navedeno rozv’qzky cyx rivnqn\, dlq koΩnoho takoho rivnqnnq dovedeno zbih roz-
v’qzkiv, wo zadovol\nqgt\ pevni dodatkovi umovy.
1. Vvedenye. Cel\ dannoj rabot¥ — reßenye zadaç Koßy vyda
∂
∂
V
t
t = a Vx t
2∆ + f µ̇ , t > 0, Vt t=+0 = ν̇, x
d∈R , (1)
∂
∂
2
2
V
t
t = a
V
x
t2
2
2
∂
∂
+ f µ̇σ , t > 0,
∂
∂
V
t
t
t=+0
= ζ̇σ , Vt t=+0 = ν̇σ , x ∈R ,
(2)
hde f µ̇ y ν̇ — obobwenn¥e sluçajn¥e funkcyy (o. s. f.), poroΩdenn¥e slu-
çajn¥my meramy, µ̇σ
, ζ̇σ
y ν̇σ
— o. s. f., poroΩdenn¥e σ-koneçn¥my sluçaj-
n¥my meramy. Toçn¥e opredelenyq πtyx ponqtyj, a takΩe uravnenyj v (1), (2)
dan¥ nyΩe.
Budet pryveden qvn¥j vyd o. s. f. — reßenyj (1) y (2), dokazano sovpadenye
reßenyj uravnenyq, udovletvorqgwyx dopolnytel\nomu uslovyg. V kaçestve
vspomohatel\n¥x utverΩdenyj budut poluçen¥ nekotor¥e svojstva o. s. f.
Stoxastyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq v çastn¥x proyzvodn¥x
(SDUÇP) opys¥vagt razlyçn¥e process¥ v fyzyçeskyx y byolohyçeskyx mode-
lqx pry nalyçyy sluçajn¥x vozdejstvyj (sm., naprymer, [1, 2]).
Ponqtye o. s. f. kak lynejnoho neprer¥vnoho otobraΩenyq yz klassov fun-
kcyj v mnoΩestvo sluçajn¥x velyçyn yspol\zovano v [3] (hl. III). V dal\nej-
ßem o. s. f. yspol\zovalys\ dlq reßenyq SDUÇP. Takye uravnenyq mohut po-
nymat\sq po-raznomu, s razlyçn¥my sposobamy soedynenyq stoxastyçeskyx sos-
tavlqgwyx, proyzvodn¥x po vremeny y po prostranstvenn¥m peremenn¥m (pod-
robnee sm. [4]). Dlq naxoΩdenyq obobwennoho reßenyq (neyzvestnoj o. s. f.)
uravnenye zapys¥valos\ v yntehral\noj (slaboj forme) s nalyçyem osnovnoj
funkcyy yz sootvetstvugweho prostranstva y nekotoroho stoxastyçeskoho yn-
tehrala.
V rabote [5] (hl. 4) rassmotren¥ parabolyçeskye SDUÇP, hde v yntehral\noj
zapysy v kaçestve stoxastyçeskoj çasty yspol\zovan yntehral Yto po otrezku
vremeny, a po prostranstvenn¥m peremenn¥m proyzvodn¥e bralys\ v ob¥çnom
sm¥sle. Analohyçn¥e uravnenyq v oblastqx yzuçen¥ v [6].
V stat\e [7] postroen stoxastyçeskyj yntehral po martynhal\noj mere
M At ( ) , A d⊂ R , t ≥ 0. Uravnenye, zapysannoe v slaboj forme, soderΩalo yn-
tehral po M dx dt( , ) , a yskom¥my obæektamy b¥ly o. s. f., opredelenn¥e na os-
novn¥x funkcyqx Ívarca v Rd +1
. Obobwenye πtoho yntehrala s prymenenyq-
my k reßenyg volnovoho uravnenyq v mnohomernom sluçae pryveden¥ v [8 – 10].
V [11] yssledugtsq SDUÇP, v kotor¥x stoxastyçeskoj sostavlqgwej qv-
lqetsq bel¥j ßum, proyzvedenyq sluçajn¥x velyçyn (znaçenyj sluçajn¥x
funkcyj) berutsq v sm¥sle Vyka, a vse πty sluçajn¥e velyçyn¥ dolΩn¥ pry-
© V. N. RADÇENKO, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12 1675
1676 V. N. RADÇENKO
nadleΩat\ specyal\n¥m obrazom opredelenn¥m prostranstvam Kondrat\eva.
Stoxastyçeskyj yntehral rassmatryvaetsq v obobwennom sm¥sle Skoroxoda po
vynerovskomu processu.
V [12] (hl. 2) rassmotren¥ SDUÇP kak operatorn¥e uravnenyq, a znaçenyq
o.Ds. f. prynadleΩat nekotoromu hyl\bertovomu prostranstvu.
Vo vsex ukazann¥x rabotax yntehrator yly znaçenyq o. s. f. dolΩn¥ ymet\
vtoroj moment, a vo mnohyx sluçaqx ewe y dopolnytel\noe svojstvo martyn-
hal\nosty. V dannoj stat\e takye uslovyq ne nalahagtsq, rassmatryvagtsq yn-
tehral¥ ot dejstvytel\n¥x funkcyj po obwym sluçajn¥m meram y pokazano
kak çerez takye yntehral¥ zapys¥vaetsq reßenye dlq kaΩdoj yz zadaç (1) y (2).
V p.D2 dannoj rabot¥ pryveden¥ osnovn¥e opredelenyq, v p.D3 poluçen¥
nuΩn¥e nam svojstva o.s.f., v p.D4 rassmotreno reßenye uravnenyq (1), a v p. 5
— uravnenyq (2).
2. Osnovn¥e opredelenyq. Pust\ D = D ( )Rd
— mnoΩestvo vsex besko-
neçno dyfferencyruem¥x funkcyj ϕ : Rd → R, d ≥ 1, s kompaktn¥m nosyte-
lem. Sxodymost\ v D opredelqem standartn¥m obrazom — dlq posledovatel\-
nosty funkcyj yx nosytely ravnomerno ohranyçen¥, a proyzvodn¥e lgboho po-
rqdka ravnomerno sxodqtsq.
Opredelenye 1. Obobwennoj sluçajnoj funkcyej (o. s. f.) naz¥vaetsq ly-
nejnoe neprer¥vnoe otobraΩenye ξ : D → L0 .
MnoΩestvo vsex o. s. f. budem otobraΩat\ çerez
′D
r
= ′D
r
d( )R . Proyzvod-
naq Dβξ o. s. f. ξ takΩe opredelqetsq ob¥çn¥m obrazom:
Dβξ ϕ,( ) = (– ) ,1 1β β βξ ϕ+…+ ( )d D , β = ( , , )β β1 … d , βi ∈N ∪ 0{ }. (3)
Pust\ ( , , )Ω F P — polnoe veroqtnostnoe prostranstvo. Çerez L0 = L0(Ω,
F, P) oboznaçym mnoΩestvo vsex sluçajn¥x velyçyn (toçnee hovorq, yx klas-
sov P-πkvyvalentnosty). Sxodymost\ v L0 oznaçaet sxodymost\ po veroqt-
nosty.
Çerez B = B( )Rd
budem oboznaçat\ σ-alhebru borelevskyx podmno-
ΩestvDD Rd
.
Opredelenye 2. Sluçajnoj meroj naz¥vaetsq σ-addytyvnoe otobraΩenye
µ : B → L0 .
Otmetym, çto m¥ ne nalahaem na µ trebovanyj neotrycatel\nosty yly
suwestvovanyq momentov, v πtom sm¥sle takye sluçajn¥e mer¥ moΩno nazvat\
obwymy. Vsgdu dalee µ budet oboznaçat\ sluçajnug meru.
Pryvedem nekotor¥e prymer¥. Esly X t( ) , 0 ≤ t ≤ T, qvlqetsq neprer¥vn¥m
kvadratyçno yntehryruem¥m martynhalom (naprymer, vynerovskym processom),
to µ( )A =
0
T
AI t∫ ( ) dX t( ) budet sluçajnoj meroj na B( )R . Analohyçn¥m ob-
razom opredelqet sluçajnug meru drobnoe brounovskoe dvyΩenye B tH ( ) pry
znaçenyy parametra Xarsta H > 1 / 2 (πto sleduet yz neravenstva (1.5) [13]).
Druhye prymer¥, a takΩe uslovyq toho, çto znaçenyq sluçajnoho processa s
nezavysym¥my pryrawenyqmy poroΩdagt sluçajnug meru, moΩno najty v [14]
(hl. 7, 8).
V rabote [15] rassmotren¥ sluçajn¥e mer¥ na proyzvol\n¥x σ-alhebrax,
postroen y yzuçen yntehral vyda
A
f d∫ µ , hde f — yzmerymaq dejstvytel\naq
funkcyq. Eho konstrukcyq pryvodytsq standartno s yspol\zovanyem prybly-
Ωenyq prost¥my funkcyqmy. (Analohyçnoe postroenye v¥polneno v [14]
(hl.D7), sm. takΩe [16].) V çastnosty, lgbaq ohranyçennaq yzmerymaq funkcyq
f budet yntehryruemoj po lgboj mere µ. Dlq πtoho yntehrala ymeet mesto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
URAVNENYE TEPLOPROVODNOSTY Y VOLNOVOE URAVNENYE S OBWYMY … 1677
analoh teorem¥ Lebeha o maΩoryruemoj sxodymosty (sm. sledstvye 1.2 [15] yly
predloΩenye 7.1.1 [14]).
Dlq sluçajnoj mer¥ λ opredelym o. s. f. λ̇ po pravylu
˙ ,λ ϕ( ) =
Rd
x d x∫ ϕ λ( ) ( ) , ϕ ∈D (4)
(dlq obosnovanyq neprer¥vnosty dostatoçno yspol\zovat\ analoh teorem¥ Le-
beha).
Oboznaçym B j = B ∩ x j≤{ }.
Opredelenye 3. σ-Koneçnoj sluçajnoj meroj naz¥vaetsq otobraΩenye µσ :
j j=
∞
1∪ B → L0 takoe, çto µ( )A = µσ A( ∩ x j≤{ }) qvlqetsq sluçajnoj me-
roj dlq kaΩdoho j ≥ 1.
Prymeramy σ -koneçnoj sluçajnoj mer¥ mohut sluΩyt\ µσ( )A =
=
0
∞
∫ I t dX tA( ) ( ), A ∈
j j=
∞
1∪ B , dlq kvadratyçno yntehryruemoho martynhala
X t( ) , t ≥ 0, y analohyçn¥j yntehral po B tH ( ) pry H > 1 / 2. Yntehryrovanye
dejstvytel\n¥x funkcyj po σ-koneçn¥m sluçajn¥m meram rassmotreno v
[15]D(hl. 2).
Esly λ — σ-koneçnaq sluçajnaq mera, to (4) takΩe zadaet o. s. f. Dlq fy-
nytnoj ϕ soderΩawyjsq v (4) yntehral faktyçesky beretsq po sluçajnoj me-
re.
Pust\ S = S ( )Rd
— prostranstvo Ívarca b¥stro ub¥vagwyx funkcyj
(mnoΩestvo beskoneçno dyfferencyruem¥x funkcyj ϕ : Rd → R takyx, çto
x α Dβ ϕ( )x stremytsq k nulg pry x → ∞ dlq lgb¥x α ∈N , β ∈ N( ∪
∪ 0{ })d
). Sxodymost\ v S rassmatryvaetsq v standartnom sm¥sle (sm., napry-
mer, [17], § II.8).
Po analohyy s opredelenyem 1 y teoryej ob¥çn¥x (dejstvytel\n¥x) obob-
wenn¥x funkcyj vvedem sledugwee opredelenye.
Opredelenye 4. Obobwennoj sluçajnoj funkcyej medlennoho rosta
(o.+s.+f. m. r.) naz¥vaetsq lynejnoe neprer¥vnoe otobraΩenye ξ : S → L0 .
MnoΩestvo vsex o. s. f. m. r. budem oboznaçat\ çerez
′S
r
= ′S
r
d( )R . Proyz-
vodn¥e πlementov
′S
r
takΩe opredelqem po pravylu (3).
Dlq proyzvol\noj sluçajnoj mer¥ λ y ϕ ∈S ravenstvo (4) zadaet o. s. f.
m. r.
Proyzvodnaq po t ot sluçajnoho processa (t. De. ot L0-znaçnoj funkcyy na
0, +∞[ ) yly 0, +∞( ) ) v πtoj rabote rassmatryvaetsq v sm¥sle sxodymosty po
veroqtnosty, a ymenno, dlq processa η( )t poloΩym
d
dt
tη( ) = p lim
( ) – ( )
∆
∆
∆t
t t t
t→
+
0
η η
, t > 0. (5)
Otmetym, çto dlq dannoj proyzvodnoj yz uslovyj
d
dt
tη( ) = 0 p. n., t > 0, p lim ( )
∆ t
t
→+0
η = η( )0
ne sleduet, çto η( )t = η( )0 p. n., t ≥ 0. V kaçestve sootvetstvugweho prymera
moΩno vzqt\ odnorodn¥j process Puassona na 0 1,[ ].
Dalee m¥ poluçym nekotor¥e vspomohatel\n¥e utverΩdenyq, a zatem ras-
smotrym reßenye nekotor¥x uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x s o. s. f. y
o.Ds.Df. m. r.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1678 V. N. RADÇENKO
3. Svojstva obobwenn¥x sluçajn¥x funkcyj. Sledugwee utverΩdenye
ymeet yzvestn¥j analoh dlq dejstvytel\n¥x obobwenn¥x funkcyj.
Lemma 1. Pust\ ξk =
′S
r
, k ≥ 1, takov¥, çto dlq kaΩdoj ϕ ∈S budet
( , )ξ ϕk →P 0, k → ∞. Pust\ ϕk → 0 v S. Tohda ( , )ξ ϕk k →P 0, k → ∞.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto dlq nekotoroho ε0 > 0 pry vsex k ≥
≥ 1 v¥polnqgtsq neravenstva ( , )ξ ϕk k > ε0 (yspol\zuem polunormu, metry-
zugwug sxodymost\ po veroqtnosty). Poßahovo stroym posledovatel\nost\
kn , n ≥ 1, udovletvorqgwug sledugwym uslovyqm:
sup ( )
, ,x n
k
d
d
n
x D x
∈ ≤ +…+ ≤R 0 1α β β
α βϕ ≤ 2–n
, (6)
( , )ξ ϕk kj n
≤
ε0
3 2⋅ n , 1 ≤ j ≤ n – 1,
( , )ξ ϕk kn j
≤
ε0
3 1( – )n
, 1 ≤ j ≤ n – 1
(pry v¥bore k1 yspol\zuem lyß\ uslovye (6)). Rassmotrym ϕ( )x =
n kn
x=
∞∑ 1
ϕ ( ).
Yz uslovyj (6) ymeem, çto ϕ ∈S . Dlq kaΩdoho n ≥ 2
( , )ξ ϕkn
= lim ,
r
k
j
r
kn j→∞ =
∑
ξ ϕ
1
≥
≥ lim ( , ) – ( , ) – ( , )
–
r
k k
j
n
k k
j n
r
k kn n n j n j→∞ = = +
∑ ∑
ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ
1
1
1
≥
≥ ε0 – ( – )
( – )
n
n
1
3 1
0ε –
j n
j
= +
∞
∑ ⋅1
0
3 2
ε
≥
ε0
3
.
∏to protyvoreçyt tomu, çto ( , )ξ ϕkn
→P 0, n → ∞.
Lemma dokazana.
TakΩe budem yspol\zovat\ proyzvodnug v prostranstve S. Dlq funkcyy
ϕt : ( , )0 +∞ → S poloΩym
∂ϕ
∂
t
t
= lim
–
∆
∆
∆t
t t t
t→
+
0
ϕ ϕ
, t > 0,
hde predel beretsq v S.
Pust\ otobraΩenye Vt : ( , )0 +∞ → ′S
r
takovo, çto dlq lgboj funkcyy ϕ ∈
∈ S process η( )t = ( , )Vt ϕ , t > 0, ymeet proyzvodnug v sm¥sle (5). Tohda budem
oboznaçat\
∂
∂
ϕV
t
t ,
= d
dt
Vt( , )ϕ , ϕ ∈S .
Tak opredelennaq ∂ ∂V tt / budet o. s. f. m. r. Ee neprer¥vnost\ moΩno dokazat\
analohyçno teoreme III.32 [18], yspol\zuq teoremu o ravnomernoj ohranyçennos-
ty dlq lynejn¥x prostranstv, kotor¥e ne qvlqgtsq sçetn¥m obæedynenyem
zamknut¥x neplotn¥x podmnoΩestv (sm., naprymer, teoremu II.1.1 [19]). Tohda
S (y suΩenye D na kompakt — yspol\zuem πto nyΩe) budet takym prostranst-
vom, poskol\ku qvlqetsq poln¥m metryçeskym.
Lemma 2. Pust\ dlq otobraΩenyq Vt : ( , )0 +∞ →
′S
r
suwestvuet ∂ ∂V tt / ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
URAVNENYE TEPLOPROVODNOSTY Y VOLNOVOE URAVNENYE S OBWYMY … 1679
a dlq ϕt : ( , )0 +∞ → S opredelena ∂ϕ ∂t t/ pry nekotorom t > 0. Tohda su-
westvuet sledugwaq proyzvodnaq v sm¥sle (5):
d
dt
Vt t( , )ϕ =
∂
∂
ϕV
t
t
t,
+ V
tt
t,
∂ϕ
∂
, t > 0. (7)
Dokazatel\stvo. Yspol\zuq opredelenye (5) y suwestvovanye ukazann¥x
proyzvodn¥x, ymeem
p lim
–
,
∆
∆
∆t
t t t
t
V V
t→
+
0
ϕ =
∂
∂
ϕV
t
t
t,
, p lim ,
–
∆
∆
∆t
t
t t tV
t→
+
0
ϕ ϕ
= V
tt
t,
∂ϕ
∂
.
Po lemmeD1
p lim
–
, –
∆
∆
∆∆t
t t t
t t t
V V
t→
+
+
0
ϕ ϕ = 0.
Ostaetsq sloΩyt\ zapysann¥e ravenstva.
Lemma dokazana.
Sootvetstvugwye utverΩdenyq ymegt mesto y dlq prostranstv D y ′D r , v
kotor¥x ∂ϕ ∂t t/ y ∂ ∂V tt / opredelqgtsq tak Ωe, y ∂ ∂V tt / budet o. s. f.
Lemma 3. Pust\ ξk r∈ ′D , k ≥ 1, takov¥, çto dlq kaΩdoj ϕ ∈D budet
( , )ξ ϕk →P 0, k → ∞. Pust\ ϕk → 0 v D. Tohda ( , )ξ ϕk k →P 0, k → ∞.
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu lemm¥D1, lyß\ vmesto (6) ys-
pol\zuetsq uslovye
sup ( )
,x K n
k
d
n
D x
∈ ≤ +…+ ≤0 1β β
βϕ ≤ 2–n
(zdes\ K d⊂ R — kompakt takoj, çto k k∪ suppϕ � K).
Lemma 4. Pust\ dlq otobraΩenyq Vt : ( , )0 +∞ → ′D r suwestvuet ∂ ∂V tt / ,
a dlq ϕt : ( , )0 +∞ → D opredelena ∂ϕ ∂t t/ , t > 0. Tohda v¥polnqetsq (7).
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu lemm¥D2, lyß\ vmesto lem-
m¥D1 yspol\zuetsq ss¥lka na lemmuD3.
Pryvedem takΩe sledugwyj fakt o dyfferencyrovanyy yntehrala po pa-
rametru.
Lemma 5. Pust\ λ — sluçajnaq mera, funkcyq h t x( , ) : ( , )0 +∞ × Rd →
→ R dlq kaΩdoho fyksyrovannoho t ∈ ( , )0 +∞ yntehryruema po λ. Pust\
dlq vsex x, t suwestvuet
∂
∂t
h t x( , ) y
∂
∂t
h t x( , ) ≤ g x( ), g yntehryruema po
λ. Tohda dlq processa
η( )t =
Rd
h t x d x∫ ( , ) ( )λ , t ∈ ( , )0 +∞ ,
suwestvuet proyzvodnaq v sm¥sle ravenstva (5):
d
dt
tη( ) =
Rd t
h t x d x∫ ∂
∂
λ( , ) ( ) .
Dokazatel\stvo. Ymeem
p lim
( ) – ( )
∆
∆
∆t
t t t
t→
+
0
η η
=
p lim
( , ) – ( , )
( )
∆
∆
∆t d
h t t x h t x
t
d x
→ ∫ +
0
R
λ =
=
Rd t
h t t x h t x
t
d x∫ →
+
lim
( , ) – ( , )
( )
∆
∆
∆0
λ =
Rd t
h t x d x∫ ∂
∂
λ( , ) ( ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1680 V. N. RADÇENKO
Perexod k predelu v yntehrale sleduet yz analoha teorem¥ Lebeha, tak kak
h t t x h t x
t
( , ) – ( , )+ ∆
∆
≤ g x( ).
Lemma dokazana.
4. Reßenye uravnenyq teploprovodnosty so sluçajnoj meroj v pravoj
çasty. Pust\ a ∈R , a > 0, f = f t x( , ) — neprer¥vnaq po t, ohranyçennaq,
yzmerymaq, dejstvytel\naq funkcyq na ( , )0 +∞ × Rd
, µ y ν — sluçajn¥e
mer¥. Budem rassmatryvat\ f µ̇ = f t x( , ) ˙ ( )µ x , kotoraq dlq kaΩdoho t > 0
qvlqetsq o. s. f. yz ′Sr = ′Sr
d( )R , opredelennoj po pravylu
( ˙ , )f µ ϕ =
Rd
f t x x d x∫ ( , ) ( ) ( )ϕ µ , ϕ ∈S . (8)
O. s. f. ν̇ opredelqetsq analohyçn¥m obrazom po ravenstvu (4).
Rassmotrym zadaçu Koßy (1) otnosytel\no neyzvestnoho processa ( )Vt t>0 ,
kotor¥j dlq kaΩdoho t prynymaet znaçenyq v mnoΩestve ′Sr = ′Sr
d( )R , d ≥ 1.
Uravnenye (1) dlq neyzvestnoho V prynymaet vyd
d
dt
Vt( , )ϕ = a Vt x
2( , )∆ ϕ +
Rd
f t x x d x∫ ( , ) ( ) ( )ϕ µ , t > 0, (9)
p lim ( , )
t
tV
→+0
ϕ =
Rd
x d x∫ ϕ ν( ) ( ), ϕ ∈S . (10)
Proyzvodnaq po t ot sluçajnoho processa v levoj çasty (9) rassmatryvaetsq v
sm¥sle (5), ∆x =
k
d
kx=∑ 1
2 2∂ ∂/ .
M¥ budem yspol\zovat\ fundamental\noe reßenye klassyçeskoho uravnenyq
teploprovodnosty
E( , )t x = ( )– /
–
4 2 2 4
2
2
a t ed
x
a tπ , t > 0, x
d∈R .
Napomnym, çto
Rd
t x dx∫ E( , ) = 1, t > 0, E( , )t x → δ( )x v ′S , t → + 0 (11)
(sm., naprymer, § 16.1 [17]; sxodymost\ tam otmeçena v ′D , no m¥ moΩem ys-
pol\zovat\ plotnost\ D v S). S pomow\g ravenstva
∂
∂
E
t
– a x
2 ∆ E = 0, t > 0, (12)
lehko proveryt\, çto
Rd
t s x y y dy∫ E( – , – ) ( )ϕ = ϕ( )x +
a du u s x y y dy
s
t
y
d
2 ∫ ∫
R
E( – , – ) ( )∆ ϕ ,
ϕ ∈S , t > s, x d∈R . (13)
Teorema 1. Process ( )Vt t>0 so znaçenyqmy v ′Sr , zadann¥j ravenstvom
( , )Vt ϕ =
R Rd d
d x f s x ds t s x y y dy
t
∫ ∫ ∫µ ϕ( ) ( , ) ( – , – ) ( )
,0
E +
+
R Rd d
d x t x y y dy∫ ∫ν ϕ( ) ( , – ) ( )E , ϕ ∈S , (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
URAVNENYE TEPLOPROVODNOSTY Y VOLNOVOE URAVNENYE S OBWYMY … 1681
budet reßenyem zadaçy (9), (10).
Dokazatel\stvo. Yz (11), ukazannoj ohranyçennosty f y ϕ, analoha teo-
rem¥ Lebeha lehko poluçaem suwestvovanye soderΩawyxsq v (14) yntehralov y
to, çto
R Rd d
d x f s x ds t s x y y dy
t
∫ ∫ ∫µ ϕ( ) ( , ) ( – , – ) ( )
,0
E →P 0,
R Rd d
d x t x y y dy∫ ∫ν ϕ( ) ( , – ) ( )E →P
Rd
x d x∫ ϕ ν( ) ( ) , t → + 0.
Poπtomu (10) v¥polnqetsq.
Yspol\zuq (13) y (14), ymeem
( , )Vt ϕ =
Rd
x d x f s x ds
t
∫ ∫ϕ µ( ) ( ) ( , )
,0
+
+ a d x f s x ds du u s x y y dy
d dt s
t
y
2
0R R
∫ ∫ ∫ ∫µ ϕ( ) ( , ) ( – , – ) ( )
,
E ∆ +
+
Rd
x d x∫ ϕ ν( ) ( ) +
a d x du u x y y dy
d d
t
y
2
0R R
∫ ∫ ∫ν ϕ( ) ( , – ) ( )E ∆ .
Otsgda, yspol\zuq lemmuD5 y (11), ohranyçennost\ ∆yϕ y f, ukazannug nepre-
r¥vnost\ f, lehko poluçaem
d
dt
Vt( , )ϕ =
Rd
f t x x d x∫ ( , ) ( ) ( )ϕ µ +
+ a d x
t
f s x ds du u s x y y dy
d dt s
t
y
2
0R R
∫ ∫ ∫ ∫µ ∂
∂
ϕ( ) ( , ) ( – , – ) ( )
,
E ∆ +
+
a d x t x y y dy
d d
y
2
R R
∫ ∫ν ϕ( ) ( , – ) ( )E ∆ =
Rd
f t x x d x∫ ( , ) ( ) ( )ϕ µ +
+ a d x f s x ds t s x y y dy
d dt
y
2
0R R
∫ ∫ ∫µ ϕ( ) ( , ) ( – , – ) ( )
,
E ∆ +
+
a d x t x y y dy
d d
y
2
R R
∫ ∫ν ϕ( ) ( , – ) ( )E ∆ ,
çto sootvetstvuet (9).
Teorema dokazana.
Dalee m¥ pokaΩem, çto reßenyq uravnenyq, udovletvorqgwye nekotoromu
dopolnytel\nomu uslovyg, sovpadagt.
Teorema 2. Pust\ V ( )1
y V ( )2
— dva takyx reßenyq zadaçy (9), (10), çto
dlq U = V ( )1 – V ( )2
, lgboho ϕ ∈S y
ψ t s x, ( ) =
Rd
t s x y y dy∫ E( – , – ) ( )ϕ , 0 < s < t,
yz uslovyq
d
ds
Us t s( , ),ψ = 0 p. n., 0 < s < t,
sleduet
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1682 V. N. RADÇENKO
( , ),Us t sψ = p lim ( , ),
s
s t sU
→+0
ψ p. n., 0 < s < t.
Tohda dlq vsex ϕ ∈S budet
Vt
( ),1 ϕ( ) = Vt
( ),2 ϕ( ) p. n.
Dokazatel\stvo. Dlq dannoj funkcyy U
d
dt
Ut( , )ϕ = a Ut x
2 ( , )∆ ϕ , t > 0, (15)
p lim ( , )
t
tU
→+0
ϕ = 0, ϕ ∈S . (16)
Ymeem ψ t s, ∈ S ( )Rd
, poskol\ku po peremenn¥m ( , )x y E( – , – )t s x y ϕ( )y ∈
∈ S ( )R2d
. ∏lementarn¥my v¥çyslenyqmy s uçetom (12) poluçaem
a x t s
2 ∆ ψ , +
∂ψ
∂
t s
s
, = 0. (17)
Yspol\zuq lemmuD2, (15) y (17), ymeem
d
ds
Us t s( , ),ψ =
∂
∂
ψU
s
s
t s, ,
+ U
ss
t s, ,∂ψ
∂
=
= a Us x t s
2( , ),∆ ψ + U
ss
t s, ,∂ψ
∂
= U a
ss x t s
t s, ,
,2∆ ψ
∂ψ
∂
+
= 0.
Sohlasno uslovyg, naloΩennomu v teoreme na U, dlq vsex 0 < s < t
( , ),Us t sψ = p lim ( , ),
s
s t sU
→+0
ψ = 0 p. n.
Dalee, ustremlqq t → s + 0, yz (11) poluçaem sxodymost\ ψ t s, → ϕ v S, y dlq
proyzvol\noj ϕ ∈S ymeem ( , )Us ϕ = 0 p. n.
Teorema dokazana.
V¥bor prostranstva S v kaçestve osnovn¥x funkcyj v dannom punkte b¥l
obuslovlen vozmoΩnost\g dokazatel\stva sovpadenyq reßenyj ymenno v ′Sr .
Poluçenn¥e v [15] (hl. 1) predel\n¥e teorem¥ dlq yntehralov dagt vozmoΩ-
nost\ zapys¥vat\ uslovyq neprer¥vnoj zavysymosty po veroqtnosty poluçenno-
ho reßenyq (14) ot f, µ, ν. Pryvedem takye utverΩdenyq.
Sledstvye 1. Pust\ f t xn( )( , ): ( , )0 +∞ × Rd → R , n ≥ 1, — ohranyçenn¥e
yzmerym¥e funkcyy, neprer¥vn¥e po t pry kaΩdom fyksyrovannom x
d∈R ,
dlq nekotoroj yntehryruemoj po µ funkcyy g : Rd → R budet f t xn( )( , ) ≤
≤ g x( ) y
∀ >t 0 , x d∈R : f t xn( )( , ) → f t x( , ), n → ∞.
Pust\ V n( )
— reßenye (14) zadaçy (9), (10) pry f = f n( )
. Tohda
∀ >t 0 , ϕ ∈S : Vt
n( ), ϕ( ) →P Vt , ϕ( ), n → ∞,
hde Vt , ϕ( ) opredelqetsq ravenstvom (14).
Dokazatel\stvo. UtverΩdenye sleduet neposredstvenno yz analoha teo-
rem¥ Lebeha [15] (sledstvye 1.2).
Sledstvye 2. Pust\ µ( )n
, ν( )n
, n ≥ 1, — sluçajn¥e mer¥, dlq nekotoro-
ho c > 0 budet f t x( , ) ≤ c y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
URAVNENYE TEPLOPROVODNOSTY Y VOLNOVOE URAVNENYE S OBWYMY … 1683
∀ ∈A B : µ( )( )n A →P µ( )A , ν( )( )n A →P ν( )A , n → ∞,
sup ( )( )
n
n Aµ < + ∞ p. n., sup ( )( )
n
n Aν < + ∞ p. n.
Pust\ V n( )
— reßenye (14) zadaçy (9), (10) pry µ = µ( )n
, ν = ν( )n
. Tohda
∀ >t 0 , ϕ ∈S : Vt
n( ), ϕ( ) →P Vt , ϕ( ), n → ∞,
hde Vt , ϕ( ) opredelqetsq ravenstvom (14).
Dokazatel\stvo. UtverΩdenye neposredstvenno sleduet yz sledstvyq 1.5
[15], ravnomernaq yntehryruemost\ po µ( )n
, ν( )n , n ≥ 1 , v sm¥sle opredelenyq
1.8 [15] — yz ohranyçennosty sootvetstvugwyx funkcyj. (TakΩe moΩno ys-
pol\zovat\ sledstvye 1 [20].)
5. Reßenye volnovoho uravnenyq so sluçajnoj meroj v pravoj çasty
(sluçaj d = 1). V dannom punkte rassmatryvaetsq razmernost\ d = 1, ostagt-
sq v syle uslovyq na a y f yz p.D4. Pust\ µσ
, ζσ
y νσ
— σ-koneçn¥e slu-
çajn¥e mer¥. Rassmatryvaem zadaçu Koßy (2) otnosytel\no neyzvestnoho pro-
cessa ( )Vt t>0 , kotor¥j dlq kaΩdoho t prynymaet znaçenyq v mnoΩestve ′Dr =
= ′Dr
d( )R . Zdes\ o. s. f. ν̇σ
y ζ̇σ
opredelqgtsq po pravylu (4), f µ̇σ
— po (3)
s zamenoj µ na µσ
.
Uravnenye (2) dlq neyzvestnoho V prynymaet vyd
d
dt
Vt
2
2 ( , )ϕ = a V
d
dx
t
2
2
2,
ϕ
+
R
∫ f t x x d x( , ) ( ) ( )ϕ µσ
, t > 0, (18)
p lim ( , )
t
t
d
dt
V
→+0
ϕ =
R
∫ ϕ ζσ( ) ( )x d x , (19)
p lim ( , )
t
tV
→+0
ϕ =
R
∫ ϕ νσ( ) ( )x d x , ϕ ∈D . (20)
Proyzvodn¥e po t zdes\ takΩe rassmatryvagtsq v sm¥sle (5).
Teorema 3. Process ( )Vt t>0 so znaçenyqmy v ′Dr , zadann¥j ravenstvom
( , )Vt ϕ = 1
2
0
a
d x f s x ds u du
t x a t s
x a t s
R
∫ ∫ ∫
+
µ ϕσ( ) ( , ) ( )
, – ( – )
( – )
+
+
1
2a
d x u du
x at
x at
R
∫ ∫
+
ζ ϕσ( ) ( )
–
+ 1
2 R
∫ +(ϕ( )x at +
+ ϕ νσ( – ) ( )x at d x) , t > 0, ϕ ∈D , (21)
budet reßenyem zadaçy (18) – (20).
Dokazatel\stvo. V¥polnenye (18) – (20) dlq (21) proverqetsq neposredst-
vennoj podstanovkoj s yspol\zovanyem analoha teorem¥ Lebeha, lemm¥D5, ohra-
nyçennosty f y fynytnosty ϕ.
Dalee m¥ snova pokaΩem, çto reßenyq uravnenyq, udovletvorqgwye neko-
toromu dopolnytel\nomu uslovyg, sovpadagt.
Teorema 4. Pust\ V ( )1
y V ( )2
— dva takyx reßenyq zadaçy (18) – (20),
çto dlq U = V ( )1 – V ( )2
, lgboj ϕ ∈D y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1684 V. N. RADÇENKO
φt s x, ( ) = 1
2a
u du
x a t s
x a t s
– ( – )
( – )
( )
+
∫ ϕ , 0 < s < t,
yz uslovyq
d
ds
U
s
U
ss
t s s
t s, – ,,
,
∂φ
∂
∂
∂
φ
= 0 p. n., 0 < s < t,
sleduet
U
ss
t s, ,∂φ
∂
–
∂
∂
φU
s
s
t s, ,
= p lim , – ,,
,
s
s
t s s
t sU
s
U
s→+
0
∂φ
∂
∂
∂
φ .
Tohda dlq vsex ϕ ∈D budet
Vt
( ),1 ϕ( ) = Vt
( ),2 ϕ( ) p. n.
Dokazatel\stvo. Ukazann¥j process U udovletvorqet uslovyqm
d
dt
Ut
2
2 , ϕ( ) = a U
d
dx
t
2
2
2,
ϕ
, t > 0, (22)
p lim ,
t
t
d
dt
U
→+
( )
0
ϕ = 0, p lim ,
t
tU
→+
( )
0
ϕ = 0, ϕ ∈D . (23)
Po peremennoj x budet φt s, ∈D y
∂ φ
∂
2
2
t s
x
, = a
x
t s2
2
2
∂ φ
∂
,
, φt s, → 0,
∂φ
∂
t s
s
, → (– )ϕ v D, t → s + 0.
Yspol\zuq lemmuD4 y (22), ymeem
d
ds
U
s
U
ss
t s s
t s, – ,,
,
∂φ
∂
∂
∂
φ
= 0 p. n., 0 < s < t.
Yz uslovyq teorem¥ poluçaem
U
ss
t s, ,∂φ
∂
–
∂
∂
φU
s
s
t s, ,
= p lim , – ,,
,
s
s
t s s
t sU
s
U
s→+
0
∂φ
∂
∂
∂
φ = 0.
Dalee, ustremlqq zdes\ t → s + 0, ymeem ( , )Us ϕ = 0, çto y daet sovpadenye re-
ßenyj.
Teorema dokazana.
Teorem¥ 2.3 y 2.5 [15] dagt vozmoΩnost\ zapys¥vat\ uslovyq neprer¥vnoj
zavysymosty po veroqtnosty reßenyq (21) ot f, µσ
, ζσ
, νσ
.
Lehko vydet\, çto v sluçae, kohda µσ
, ζσ
y νσ
budut sluçajn¥my meramy
na B, process ( )Vt t>0 , zadann¥j ravenstvom (21), opredelen dlq vsex ϕ ∈S y
dlq kaΩdoho t > 0 budet o. s. f. m. r. Povtorqq dokazatel\stva teorem 3 y 4 s
zamenoj D na S, moΩno pokazat\, çto takoj process ( )Vt t>0 udovletvorqet
ravenstvam (18) – (20) dlq vsex ϕ ∈S , y m¥ budem ymet\ sovpadenye reßenyj
dannoj zadaçy pry ukazann¥x v¥ße uslovyqx.
1. Klqckyn V. Y. Stoxastyçeskye uravnenyq hlazamy fyzyka. – M.: Fyzmatlyt, 2001. – 528 s.
2. Sturm A. On convergence of population processes in random enviroments to the stochastic heat
equation with colored noise // Electron. J. Probab. – 2003. – 8, # 6. – P. 1 – 39.
3. Hel\fand Y. M., Vylenkyn N. Q. Obobwenn¥e funkcyy // Nekotor¥e prymenenyq harmony-
çeskoho analyza. Osnawenn¥e hyl\bertov¥ prostranstva. – M.: Fyzmathyz, 1961. – V¥p. 4. –
472 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
URAVNENYE TEPLOPROVODNOSTY Y VOLNOVOE URAVNENYE S OBWYMY … 1685
4. Pardoux E. Stochastic partial differential equations. A review // Bull. sci. math. Sér. 2e . – 1993. –
117. – P. 29 – 47.
5. Rozovskyj B. L. ∏volgcyonn¥e stoxastyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1983. – 208 s.
6. Kim K.-H. Stochastic partial differential equations with variable coefficients in C1 domains //
Stochast. Process. and Appl. – 2004. – 112. – P. 261 – 283.
7. Walsh J. B. An introduction to stochastic partial differential equations // Lect. Notes Math. – 1984.
– 1180. – P. 236 – 434.
8. Dalang R. C. Extending martingale measure stochastic integral with applications to spatially
homogeneous SPDE’s // Electron. J. Probab. – 1999. – 4, # 6. – P. 1 – 29.
9. Dalang R. C., Mueller C. Some non-linear S.P.D.E.’s that are second order in time // Ibid. – 2003.
– 8, # 1. – P. 1 – 21.
10. Conus D., Dalang R. C. The non-linear stochastic wave equation in high dimensions // Ibid. –
2008. – 13, # 22. – P. 629 – 670.
11. Holden H., Øksendal B., Ubøe J., Zhang T. Stochastic partial differential equations. A modelling,
white noise functional approach. – Boston: Birkhäuser, 1996. – 230 p.
12. Rozanov G. A. Sluçajn¥e polq y stoxastyçeskye uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. –
M.: Fyzmatlyt, 1995. – 252 s.
13. Memin J., Mishura Yu., Valkeila E. Inequalities for the moments of Wiener integrals with respect
to a fractional Brownian motion // Statist. Probab. Lett. – 2001. – 51. – P. 197 – 206.
14. Kwapień S., Woycziński W. A. Random series and stochastic integrals: single and multiple. –
Boston: Birkhäuser, 1992. – 360 p.
15. Radçenko V. N. Yntehral¥ po obwym sluçajn¥m meram // Tr. Yn-ta matematyky NAN Uk-
rayn¥. – 1999. – 27. – 196 s.
16. Radçenko V. N. Yntehral¥ po sluçajn¥m meram y sluçajn¥e lynejn¥e funkcyonal¥ //
Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1991. – 36, # 3. – S. 594 – 596.
17. Vladymyrov V. S. Uravnenyq matematyçeskoj fyzyky. – M.: Nauka, 1971. – 512 s.
18. Kyryllov A. A., Hvyßyany A. D. Teorem¥ y zadaçy funkcyonal\noho analyza. – M.: Nauka,
1979. – 382 s.
19. Yosyda K. Funkcyonal\n¥j analyz: Per. s anhl. – M.: Myr, 1967. – 624 s.
20. Radçenko V. N. O sxodymosty yntehralov po L0-znaçn¥m meram // Mat. zametky. – 1993. –
53, # 5. – S. 102 – 106.
Poluçeno 17.05.07,
posle dorabotky – 22.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
|