Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций
Вивчається множина D∞ нескінченно диференційовних періодичних функцій у термінах узагальнених ψ¯-похідних, що визначаються парою ψ¯=(ψ₁,ψ₂) послідовностей ψ₁ i ψ₂. Зокрема, показано, що кожна функція f, яка належить множині D∞, має хоча б одну похідну, параметри якої ψ₁ i ψ₂ спадають до нуля швидше...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164988 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций / А.И. Степанец, А.С. Сердюк, А.Л. Шидлич // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1686–1708. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164988 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649882020-02-12T01:29:07Z Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций Степанец, А.И. Сердюк, А.С. Шидлич, А.Л. Статті Вивчається множина D∞ нескінченно диференційовних періодичних функцій у термінах узагальнених ψ¯-похідних, що визначаються парою ψ¯=(ψ₁,ψ₂) послідовностей ψ₁ i ψ₂. Зокрема, показано, що кожна функція f, яка належить множині D∞, має хоча б одну похідну, параметри якої ψ₁ i ψ₂ спадають до нуля швидше за будь-яку степеневу функцію, і водночас для будь-якої функції f∈D∞, відмінної від тригонометричного полінома, знайдеться пара ψ, параметри ψ₁ i ψ₂ якої мають таку саму швидкість спадання i для якої ψ¯-похідна вже не існує. Встановлено також нові критерії належності 2π-періодичних дійснозначних на дійсній осі функцій множинам аналітичних на осі та цілих функцій. The set D∞ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized ψ¯-derivatives defined by a pair ψ¯=(ψ₁,ψ₂) of sequences ψ₁ and ψ₂. In particular, we establish that every function f from the set D∞ has at least one derivative whose parameters ψ₁ and ψ₂ decrease faster than any power function. At the same time, for an arbitrary function f ∈ D∞ different from a trigonometric polynomial, there exists a pair ψ whose parameters ψ₁ and ψ₂ have the same rate of decrease and for which the ψ¯-derivative no longer exists. We also obtain new criteria for 2π-periodic functions real-valued on the real axis to belong to the set of functions analytic on the axis and to the set of entire functions. 2008 Article Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций / А.И. Степанец, А.С. Сердюк, А.Л. Шидлич // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1686–1708. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164988 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Степанец, А.И. Сердюк, А.С. Шидлич, А.Л. Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций Український математичний журнал |
| description |
Вивчається множина D∞ нескінченно диференційовних періодичних функцій у термінах узагальнених ψ¯-похідних, що визначаються парою ψ¯=(ψ₁,ψ₂) послідовностей ψ₁ i ψ₂. Зокрема, показано, що кожна функція f, яка належить множині D∞, має хоча б одну похідну, параметри якої ψ₁ i ψ₂ спадають до нуля швидше за будь-яку степеневу функцію, і водночас для будь-якої функції f∈D∞, відмінної від тригонометричного полінома, знайдеться пара ψ, параметри ψ₁ i ψ₂ якої мають таку саму швидкість спадання i для якої ψ¯-похідна вже не існує. Встановлено також нові критерії належності 2π-періодичних дійснозначних на дійсній осі функцій множинам аналітичних на осі та цілих функцій. |
| format |
Article |
| author |
Степанец, А.И. Сердюк, А.С. Шидлич, А.Л. |
| author_facet |
Степанец, А.И. Сердюк, А.С. Шидлич, А.Л. |
| author_sort |
Степанец, А.И. |
| title |
Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций |
| title_short |
Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций |
| title_full |
Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций |
| title_fullStr |
Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций |
| title_full_unstemmed |
Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций |
| title_sort |
классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164988 |
| citation_txt |
Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций / А.И. Степанец, А.С. Сердюк, А.Л. Шидлич // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1686–1708. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT stepanecai klassifikaciâbeskonečnodifferenciruemyhperiodičeskihfunkcij AT serdûkas klassifikaciâbeskonečnodifferenciruemyhperiodičeskihfunkcij AT šidličal klassifikaciâbeskonečnodifferenciruemyhperiodičeskihfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T17:44:02Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:44:02Z |
| _version_ |
1837645213901783040 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. И. Степанец , А. С. Сердюк, А. Л. Шидлич (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
The set D∞ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized ψ̄-derivatives
defined by a pair ψ̄ = (ψ1, ψ2) of sequences ψ1 and ψ2. In particular, it is established that every function
f from the set D∞ has at least one derivative whose parameters ψ1 and ψ2 decrease faster than any power
function. At the same time, for an arbitrary function f ∈ D∞ different from a trigonometric polynomial, there
exists a pair ψ whose parameters ψ1 and ψ2 have the same rate of decrease and for which the ψ̄-derivative
no longer exists. We also obtain new criteria for 2π-periodic functions real-valued on the real axis to belong
to the set of functions analytic on the axis and to the set of entire functions.
Вивчається множина D∞ нескiнченно диференцiйовних перiодичних функцiй у термiнах узагальнених
ψ̄-похiдних, що визначаються парою ψ̄ = (ψ1, ψ2) послiдовностей ψ1 i ψ2. Зокрема, показано, що
кожна функцiя f , яка належить множинiD∞, має хоча б одну похiдну, параметри якої ψ1 i ψ2 спадають
до нуля швидше за будь-яку степеневу функцiю, i водночас для будь-якої функцiї f ∈ D∞, вiдмiнної вiд
тригонометричного полiнома, знайдеться пара ψ̄, параметри ψ1 i ψ2 якої мають таку саму швидкiсть
спадання i для якої ψ̄-похiдна вже не iснує. Встановлено також новi критерiї належностi 2π-перiодичних
дiйснозначних на дiйснiй осi функцiй множинам аналiтичних на осi та цiлих функцiй.
1. Введение. Пусть L — пространство интегрируемых 2π-периодических функций
f и
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) =
∞∑
k=0
Ak(f ;x) (1)
— ряд Фурье функции f. Пусть, далее, ψ̄ = (ψ1, ψ2) — пара произвольных числовых
последовательностей таких, что ψ2(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0, k ∈ N. Если ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ2(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ2(k)
Ãk(f ;x)
)
, (2)
где Ãk(f ;x) = ak sin kx − bk cos kx, является рядом Фурье некоторой функции
ϕ ∈ L, то ϕ называют ψ̄-производной функции f и записывают ϕ(·) = Dψ̄(f ; ·) =
= f ψ̄(·).Подмножество всех функций f ∈ L, у которых существуют ψ̄-производные,
обозначают черезLψ̄. ЕслиC — пространство всех непрерывных 2π-периодических
функций, то полагают C ψ̄ = Lψ̄ ∩ C.
Заметим, что в случае, когда
ψ1(k) = k−r cos
rπ
2
, ψ2(k) = k−r sin
rπ
2
, r > 0,
ψ̄-производная совпадает с дробной производной в смысле Вейля, которая, в свою
очередь, при натуральных значениях r является обычной производной порядка r.
Наряду с множеством Lψ̄ будем также использовать множества Lψ
β̄
, которые
определяются следующим образом. Пусть f ∈ L и ряд (1) — ее ряд Фурье. Пусть,
далее, ψ = ψ(k) и β̄ = βk — произвольные фиксированные последовательности
действительных чисел. Если ряд
c© А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ, 2008
1686 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1687
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak cos
(
kx+ βk
π
2
)
+ bk sin
(
kx+ βk
π
2
))
=
=
∞∑
k=1
cosβk
π
2
ψ(k)
Ak(f ;x)−
sinβk
π
2
ψ(k)
Ãk(f ;x) (3)
является рядом Фурье некоторой суммируемой функции fψ
β̄
(·), то ее называют
(ψ, β̄)-производной функции f(·).Множество всех функций из L, имеющих (ψ, β̄)-
производные, обозначают через Lψ
β̄
. Если выполняется тождество βk ≡ β, то (ψ, β̄)-
производная обозначается через fψβ (·), а множество Lψ
β̄
— через Lψβ . Кроме того,
полагают Cψ
β̄
= C ∩ Lψ
β̄
и Cψβ = C ∩ Lψβ . Множество Cψ
β̄
при ψ(k) = qk
r
, где
q ∈ (0, 1) и r > 0, для удобства обозначим через C q,r
β̄
, а при ψ(k) = qk — через Cq
β̄
.
Если f ∈ Cq
β̄
, то ее (ψ, β̄)-производную при ψ(k) = qk будем обозначать через fq
β̄
.
Понятно, что каждая (ψ, β̄)-производная функции f ∈ L является и ψ̄-произ-
водной, если компоненти ψ1(k) и ψ2(k) подобраны согласно равенствам
ψ1(k) = ψ(k) cosβk
π
2
, ψ2(k) = ψ(k) sinβk
π
2
, (4)
и любая ψ̄-производная является (ψ, β̄)-производной, если параметры ψ(k) и βk
определить с помощью формул
ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), (5)
cosβk
π
2
=
ψ1(k)
ψ(k)
, sinβk
π
2
=
ψ2(k)
ψ(k)
. (6)
В обоих случаях выполняется равенство Lψ̄ = Lψ
β̄
.
Обобщенные ψ̄-производные ((ψ, β̄)-производные) были введены А. И. Сте-
панцом в 80-х годах прошлого века (см., например, [1 – 4]). C помощью этих
производных удается ранжировать весь спектр интегрируемых 2π-периодических
функций, начиная с функций, ряды Фурье которых могут даже расходиться, и за-
канчивая бесконечно дифференцируемыми, аналитическими и целыми функциями.
При этом оказалось, что без существенных потерь общности последовательности
ψ1 и ψ2 можно выбирать только из множества M всех положительных выпуклых
вниз убывающих к нулю последовательностей,
M =
{
λ(k) : λ(k) > 0, λ(k)− 2λ(k + 1) + λ(k + 2) ≥ 0 ∀k ∈ N lim
k→∞
λ(k) = 0
}
,
поскольку, как показано в [2, с. 1075] (предложение 8) (см. также [5] (гл. III)),
каждая функция f ∈ C (или же f ∈ L) имеет хотя бы одну ψ̄-производную f ψ̄(·),
которая содержится в C (или же в L), причем пару ψ̄ = (ψ1, ψ2) можно выбирать
так, чтобы ψ1, ψ2 ∈M. Таким образом, выполняются равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1688 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
∪
ψ1,ψ2∈M
Lψ̄ = L, ∪
ψ1,ψ2∈M
C ψ̄ = C. (7)
Если T — множество всех тригонометрических полиномов и f ∈ T, то поня-
тно, что какова бы ни была пара ψ̄, функция f имеет ψ̄-производную. Отсюда, в
частности, следует, что множество Lψ̄ не может быть пустым. Понятно также, что
∩̄
ψ
Lψ̄ = T, если ψ̄ пробегает все множество пар, для которых ψ2(k) 6= 0, k ∈ N.
Более того, выполняется равенство
∩
ψ1,ψ2∈M
Lψ̄ = T. (8)
Этот факт базируется на следующем утверждении, доказательство которого
во многом повторяет доказательство предложения 11 из [2] (см. также предложе-
ние 3.11.10 из [5, c. 157]).
Предложение 1. Для каждой отличной от тригонометрического полинома
функции f ∈ L можно указать последовательность ψ ∈M такую, что f ∈̄Lψ̄ для
любых пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N, т. е. f ψ̄ не
существует, и при этом существует бесконечно возрастающая последователь-
ность натуральных чисел {is}∞s=1, для которой
ψ(is) =
√
a2
is
+ b2is , s = 1, 2, . . . , (9)
где ak(f) и bk(f) — коэффициенты Фурье функции f.
Доказательство. Пусть функция f принадлежит множеству L. Записывая ее
ряд Фурье в виде
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) =
a0
2
+
∞∑
k=1
dk cos
(
kx− γkπ
2
)
, (10)
где
dk =
√
a2
k + b2k, cos
γkπ
2
=
ak
dk
, sin
γkπ
2
=
bk
dk
, (11)
видим, что
lim
k→∞
dk = 0.
Поэтому функция
d(t) = max
k≥t
{dk}, t ≥ 1, (12)
является кусочно-постоянной, не возрастает, и для нее справедливо равенство
lim
t→∞
d(t) = 0.
Условие f ∈̄ T равносильно тому, что d(t) > 0 ∀t ≥ 1.
Обозначим через kj , j = 1, 2, . . . , точки, занумерованные в порядке их возрас-
тания, в которых функция d(t) меняет значения. Ясно, что d(kj) = dkj . Положим
zj = (kj , dkj ) и построим функцию l(t) следующим образом. Луч l1, выходящий из
z1 в направлении, противоположном оси ординат, будем вращать против часовой
стрелки, пока на нем не окажется одна из точек zj , j > 1. Эту точку обозначим через
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1689
zj1 . Если на луче окажется сразу несколько таких точек, то через zj1 обозначим
ту, у которой наибольшая абсцисса. На промежутке [1, kj1 ] определим l(t) так,
чтобы ее график совпадал с прямой, соединяющей точки z1 и zk1 . Далее, луч l2,
выходящий из точки zj1 , направление которого совпадает с лучом l1 в последнем
положении, опять будем вращать против часовой стрелки, пока он не встретит
одну из оставшихся точек zj , j > j1. Эту точку обозначим через zj2 . Если при
этом на луче окажется несколько таких точек, то через zj2 опять обозначаем ту
из них, у которой наибольшая абсцисса. На промежутке [kj1 , kj2 ] определим l(t)
так, чтобы ее график совпадал с прямой, соединяющей точки zj1 и zj2 . Продолжая
этот процесс, построим функцию l(t) для всех t ≥ 1. Она будет характеризоваться
такими свойствами:
a) l(t) выпукла вниз и lim
t→∞
l(t) = 0;
б) l(kjs) = d(kjs) = dkjs , s = 1, 2, . . . ;
в) l(k) = d(k), k = 1, 2, . . . , если d = {dk}∞k=1 ∈M.
Поэтому, полагая ψf (k) = l(k), вследствие свойства a) заключаем, что ψf ∈M,
а в силу свойства б) для последовательности is = kjs , s = 1, 2, . . . , выполняется
равенство (9):
ψf (is) = ψf (kjs) = dkjs = dis =
√
a2
is
+ b2is , s = 1, 2, . . . .
Рассмотрим произвольную пару ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которой
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) =
= ψf (k), k = 1, 2, . . . . Соответствующий ей и функции f(·) ряд (2) можно пред-
ставить в виде
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ2
f (k)
(ak cos kx+ bk sin kx)− ψ2(k)
ψ2
f (k)
(ak sin kx− bk cos kx)
)
=
=
∞∑
k=1
1
ψf (k)
(
ψ1(k)
ψf (k)
dk cos
(
kx− γkπ
2
)
− ψ2(k)
ψf (k)
dk sin
(
kx− γkπ
2
))
=
=
∞∑
k=1
dk
ψf (k)
cos
(
kx− (γk − βk)π
2
)
, (13)
где последовательности βk определяются с помощью системы
cos
βkπ
2
=
ψ1(k)
ψf (k)
,
sin
βkπ
2
=
ψ2(k)
ψf (k)
,
(14)
a последовательности γk — с помощью равенств (11). В силу соотношения (9)
коэффициенты этого ряда не стремятся к нулю. Значит, он не может быть рядом
Фурье никакой функции из L. Следовательно, ψ̄-производной с такими параметра-
ми функция f(·) не имеет, и последовательность ψf — искомая.
Предложение 1 доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1690 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
Если для произвольной функции f ∈ L \ T через ψf = ψf (k), как и раньше,
обозначать последовательность положительных чисел, построенную в ходе дока-
зательства предложения 1, то на основании формул (4) – (6), выражающих взаимо-
связь между параметрами классов Lψ̄ и Lψ
β̄
, можем заключить, что имеет место
следующее утверждение.
Предложение 1′. Для каждой отличной от тригонометрического полинома
функции f ∈ L и для любой последовательности действительных чисел β̄ = {βk} :
а) f ∈̄Lψf
β̄
;
б) существует возрастающая последовательность натуральных чисел {is}∞s=1,
для которой
ψf (is) =
√
a2
is
(f) + b2is(f), s = 1, 2, . . . , (15)
где ak(f) и bk(f) — коэффициенты Фурье функции f.
Если же последовательность чисел dk =
√
a2
k(f) + b2k(f), k = 1, 2, . . . , прина-
длежит множеству M, то
ψf (k) = dk, k = 1, 2, . . . (16)
Оказывается, что для довольно широкого множества функций f из L \T после-
довательность ψf (k) среди всех последовательностей ψ(k), для которых f ∈̄ Lψ
β̄
∀βk ∈ R, имеет в определенном смысле „наименьшую” скорость стремления к
нулю. А именно, справедливо следующее утверждение.
Предложение 2. Для любой функции f ∈ L \ T, у которой последователь-
ность чисел dk =
√
a2
k(f) + b2k(f) принадлежит множеству M, найдется после-
довательность действительных чисел βk таких, что какова бы ни была последо-
вательность ε(k) ∈M функция f принадлежит пространству Lψf/ε
β̄
.
Доказательство. Пусть f ∈ L \ T. Определим числа βk с помощью равенств
cos
βkπ
2
=
ak
dk
,
sin
βkπ
2
=
bk
dk
,
и для произвольной последовательности ε ∈M положим ψ(k) =
ψf (k)
ε(k)
.Поскольку
последовательность d = {dk}∞k=1 принадлежит множеству M, выполняется равен-
ство (16). Поэтому
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak cos
(
kx+
βkπ
2
)
+ bk sin
(
kx+
βkπ
2
))
=
=
∞∑
k=1
dk
ψ(k)
cos kx =
∞∑
k=1
dkε(k)
ψf (k)
cos kx =
∞∑
k=1
ε(k) cos kx.
В силу того, что ε(k) ∈M, из теоремы 2 (§2 раздела 10) монографии [7] заключаем,
что ряд
∑∞
k=1
ε(k) cos kx является рядом Фурье суммируемой функции, а значит,
f ∈ Lψf/ε
β̄
.
Предложение доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1691
Заметим, что равенства (7) означают, что если пара ψ̄ = (ψ1, ψ2) пробегает мно-
жество M×M, то все множество L (или C) разбивается на подмножества (классы)
Lψ̄ (или C ψ̄). Равенство (8) означает, что при такой классификации остаются нераз-
личимыми только тригонометрические полиномы. Следует отметить, что общая
часть известных классов Соболева W r состоит из множества D∞ всех бесконечно
дифференцируемых 2π-периодических функций, поскольку, как известно, функция
f принадлежит множеству D∞ тогда и только тогда, когда ее коэффициенты Фурье
ck(f) убывают к нулю быстрее любой степенной функции:
f ∈ D∞ ⇐⇒ lim
k→∞
krck(f) = 0 ∀r > 0. (17)
Следовательно, в шкале классов W r такие функции различить нельзя.
В данной работе получены необходимые и достаточные условия того, чтобы
2π-периодическая функция f принадлежала одному из множеств D∞, A или E ,
где A — множество всех 2π-периодических действительнозначных на веществен-
ной оси функций, допускающих аналитическое продолжение на полосу |Im z| < c,
c > 0, а E — подмножество всех функций из A, допускающих аналитическое про-
должение на всю комплексную плоскость (т. е. множество всех 2π-периодических
действительнозначных на вещественной оси целых функций). Эти условия форму-
лируются в терминах ψ̄-производных, компоненты ψ1 и ψ2 которых выбираются из
множества M и позволяют классифицировать множества D∞, A и E в зависимости
от скорости убывания последовательностей ψ, определяющих эти производные.
Не умаляя общности, будем считать, что последовательности ψ(k) из множества
M являются сужениями на множество натуральных чисел некоторых положитель-
ных непрерывных выпуклых вниз функций ψ(t) непрерывного аргумента t ≥ 1,
которые убывают к нулю при t→∞. Множество всех таких функций также будем
обозначать через M:
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0 ∀t1, t2 ∈ [1,∞),
lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Для характеристики скорости убывания к нулю функций ψ из M удобно использо-
вать пару функций η(t) = η(ψ; t) и µ(t) = µ(ψ; t), которые определяются следую-
щим образом. При любом t ≥ 1
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t).
В силу строгой монотонности функции ψ значение η(t) при каждом t ≥ 1 опреде-
ляется однозначно:
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
.
Функция µ(t) задается равенством
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1692 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
.
Через M+
∞ обозначим подмножество всех функций ψ ∈M, для которых вели-
чина µ(ψ; t) монотонно и неограниченно возрастает при t→∞:
M+
∞ =
{
ψ(t) ∈M : µ(ψ; t) ↑ ∞
}
.
Заметим, что естественными представителями множества M+
∞ являются функ-
ции ts lnε(t+ e) e−αt
r
при любых α > 0, r > 0, s < 0, ε < 0.
2. Критерии принадлежности функций множеству D∞.
Теорема 1. Если f ∈ D∞, то можно указать функцию ψ из множества
M+
∞ такую, что f ∈ Cψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N.
Доказательство. Пусть функция f принадлежит множеству D∞. Записывая
ряд Фурье в виде (10) и учитывая (17), видим, что при любом r > 0
lim
k→∞
krdk = 0.
Поэтому функция
a(t) = sup
k≥t
{dkk2}, t ≥ 1, (18)
является кусочно-постоянной, не возрастает, и для нее справедливо равенство
lim
t→∞
a(t) = 0.
Убедимся, что для доказательства теоремы достаточно показать существование
функции ψ ∈M+
∞ такой, что при всех t ≥ 1 выполняется неравенство a(t) ≤ ψ(t).
Действительно, в этом случае для любых последовательностей ψ1(k) и ψ2(k) таких,
что ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), соответствующий им и функции f ряд (2) можно
представить в виде (13). Вследствие того, что ψ(k) ≥ a(k) ≥ k2dk ∀k ∈ N, этот
ряд будет сходиться абсолютно, а следовательно, будет рядом Фурье некоторой
суммируемой функции f ψ̄, т. е. f будет принадлежать множеству C ψ̄.
Таким образом, следует установить существование функции ψ ∈M+
∞, удовлет-
воряющей неравенству a(t) ≤ ψ(t).
Представим функцию a(t) при t > 1 в виде a(t) = t−r(t). Тогда
r(t) = − ln a(t)
ln t
,
и поскольку для произвольного r > 0 lim
t→∞
tra(t) = 0, при каждом r > 0 для доста-
точно больших значений t выполняется неравенство a(t)tr < 1. Отсюда следует,
что для таких t
r < − ln a(t)
ln t
= r(t),
т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1693
lim
t→∞
r(t) = +∞.
Сначала построим положительную функцию ϕ(t), t ≥ 1, вторая производная
которой ϕ′′(t) неположительна: ϕ′′(t) ≤ 0, lim
t→∞
ϕ(t) = +∞, и для которой при
всех t, больших некоторого числа b ≥ 1, выполняется неравенство ϕ(t) ≤ r(t).
Построение функции ϕ можно провести, в частности, следующим образом. По-
строим сначала кусочно-постоянную неубывающую функцию f1(t), t ≥ 1, такую,
что lim
t→∞
f1(t) = +∞ и f1(t) ≤ r(t).
Положим t0 = 1 и через t1, t1 ≥ t0 + 1, обозначим произвольное число такое,
что при всех t ≥ t1 выполняется неравенство r(t) > 0. Понятно, что это число
существует. Через t2, t2 ≥ t1 +1 обозначим произвольное число такое, что при всех
t ≥ t2 выполняется неравенство r(t) > inf
t≥t1
r(t), через t3, t3 ≥ t2 + 1, обозначим
произвольное число такое, что при всех t ≥ t3 r(x) > inf
t≥t2
r(t) и т. д.
Определим функцию f1 c помощью равенств
f1(t) =
inf
t≥1
r(t), t ∈ [1, t1),
inf
t≥tk−1
r(t), t ∈ [tk−1, tk), k = 2, 3, . . . .
Построенная функция f1(t) не убывает, для нее выполняется неравенство f1(t) ≤
≤ r(t) и lim
t→∞
f1(t) = +∞.
Далее, построим неотрицательную кусочно-линейную монотонно возрастаю-
щую к бесконечности функцию f2(t), t > 0, график которой является выпуклой
вверх кривой и при всех t ≥ t1 лежит ниже графика функции f1(t). Для этого
рассмотрим систему точек A0, A1, A2, . . . таких, что A0 = A0(0; 0), a при любом
натуральном k Ak = Ak(tk+1, f1(tk)).
Пусть r0 = r0(t) — функция, графиком которой является луч A0A1. Если
луч A0A1 лежит под графиком функции f1 при t ≥ t2, то при t ≥ 0 положим
f2(t) = r0(t), и процесс построения функции f2 будет завершен. Если же этот луч
пересекает график функции f1, то положим f2(t) = r0(t) на промежутке [0, tk0+1),
где tk0+1 = t2, и через ∆1 = [tk1 , tk1+1) обозначим полусегмент, содержащий точку
пересечения данного луча с графиком функции f1 (если же таких полусегментов
несколько, то через ∆1 = [tk1 , tk1+1) обозначим полусегмент, содержащий точку
пересечения с наименьшей абсциссой).
Через r1 = r1(t) обозначим функцию, графиком которой является луч A1Ak1 ,
Ak1 = Ak1(tk1+1, f1(tk1)), и на промежутке [tk0+1, tk1+1) положим f2(t) = r1(t).
Если луч A1Ak1 лежит под графиком функции f1, то при всех t ≥ tk1+1 по-
ложим f2(t) = r1(t), и процесс построения функции f2 будет завершен. Если же
этот луч пересекает график функции f1, то через ∆2 = [tk2 , tk2+1) обозначим по-
лусегмент, содержащий точку пересечения луча A1Ak1 с графиком функции f1 (в
случае, когда таких точек несколько, через ∆2 = [tk2 , tk2+1) обозначим полусег-
мент, который содержит точку пересечения с наименьшей абсциссой).
Через r2 = r2(t) обозначим функцию, графиком которой является луч Ak1Ak2 ,
Ak2 = Ak2(tk2+1, f1(tk2)), и на промежутке [tk1+1, tk2+1) положим f2(t) = r2(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1694 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
При продолжении этого процесса на некотором, например i-м, шаге может
оказаться, что луч Aki−1Aki лежит под графиком функции f1. В таком случае
для произвольного t ≥ tki+1 положим f2(t) = ri(t), где ri — функция, графиком
которой является луч Aki−1Aki . Если же этот луч пересекает график функции f1,
то через ∆i = [tki , tki+1) обозначим полусегмент, содержащий точку пересечения
луча Aki−1Aki с графиком функции f1 (если же таких полусегментов несколько,
то через ∆i = [tki , tki+1) обозначим полусегмент, содержащий точку пересечения
с наименьшей абсциссой).
Через ri = ri(t) обозначим функцию, графиком которой является луч Aki−1Aki ,
Aki = Aki(tki+1, f1(tki)), и на промежутке [tki , tki+1) положим f2(t) = ri(t).
В результате данного процесса будет построена неотрицательная выпуклая
вверх кусочно-линейная функция f2(t), t > 0, такая, что f(0) = 0, при всех t ≥ t1
выполняется неравенство f2(t) ≤ f1(t) ≤ r(t) и
lim
t→∞
f2(t) = +∞.
Понятно, что функцию f2(t) в окрестностях узлов tki+1 можно сгладить так,
чтобы полученная функция ϕ(t), t > 0, имела следующие свойства:
а) ϕ(0) = 0,
б) ϕ′′(t) ≤ 0 ∀t > 0,
в) lim
t→∞
ϕ(t) = +∞,
г) ϕ(t) ≤ r(t) ∀t ≥ t1.
Тогда при всех t ≥ t1 будет выполняться соотношение g(t) df= t−ϕ(t) ≥ t−r(x) =
= a(t), и поскольку
g′′(t) =
= t−ϕ(t)
(
(ϕ′(t) ln t)2 +
2ϕ(t)ϕ′(t) ln t
t
+
ϕ2(t)
t2
− ϕ′′(t) ln t− 2ϕ′(t)
t
+
ϕ(t)
t2
)
≥
≥
(
ϕ′(t) ln t− 1
t ln t
)2
− 1
t2 ln2 t
+
ϕ(t)
t2
≥ 1
t2
(
ϕ(t)− 1
ln2 t
)
,
начиная с некоторого числа b1 ≥ 1 функция g(t) будет выпуклой вниз.
Рассмотрим теперь функцию
ψ(t) = ψ(t;K) = K exp
−1
2
t∫
1
ϕ(τ)
τ
dτ
, t ≥ 1, (19)
где K > 0 — произвольная фиксированная постоянная. Понятно, что lim
t→∞
ψ(t) = 0.
Ее производная имеет вид
ψ′(t) = −1
2
K exp
−1
2
t∫
1
ϕ(τ)
τ
dτ
ϕ(t)
t
.
В силу выпуклости ϕ и того, что ϕ(0) = 0, угол наклона секущей, проходящей через
начало координат и любую точку графика функции ϕ(t), с увеличением значений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1695
аргумента t не возрастает. Отсюда вытекает, что отношение t/ϕ(t) не убывает, и
поэтому функция ψ ′(t) также является неубывающей. Таким образом, ψ ∈ M и
поскольку величина
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
2
ϕ(t)
(20)
монотонно убывает к нулю при t → ∞, вследствие теоремы 3.12.1 из моногра-
фии [5, c. 161] (см. также [6]) функция ψ принадлежит и множеству M+
∞.
Покажем, что при определенном виборе постояннойK график функции ψ(t;K)
будет находиться выше графика функции a(t), определяющейся равенством (18).
Согласно построению функции g(t) и определению характеристики η = η(g; t)
при любом t ≥ b1 имеем
t−ϕ(t) = g(t) = 2g(η(t)) = 2η(g; t)−ϕ(η(g;t)).
Поскольку
lim
t→∞
ln(1 + 1/ϕ(t))
1/ϕ(t)
= 1,
для произвольного ε ∈ (0, 1 − ln 2) существует число t∗ ≥ b1 такое, что при всех
t ≥ t∗
ϕ
(
t+
t
ϕ(t)
)
ln
(
t+
t
ϕ(t)
)
= ϕ
(
t+
t
ϕ(t)
)(
ln t+ ln
(
1 +
1
ϕ(t)
))
≥
≥ ϕ
(
t+
t
ϕ(t)
)(
ln t+
1− ε
ϕ(t)
)
≥ ϕ(t)
(
ln t+
ln 2
ϕ(t)
)
= ϕ(t) ln t+ ln 2.
Отсюда следует, что для произвольного t ≥ t∗
g
(
t+
t
ϕ(t)
)
=
(
t+
t
ϕ(t)
)−ϕ(t+ t
ϕ(t)
)
≤ 1
2
t−ϕ(t) =
1
2
g(t) = g(η(g; t)),
и поэтому
η(g; t) ≤ t+
t
ϕ(t)
, t ≥ t∗.
Поскольку в силу (20) и известного неравенства
ψ(t)
t|ψ′(t)|
≤ 2
η(ψ; t)− t
t
∀t ≥ 1, ψ ∈M (21)
(см., например, [5, c. 164; 6]), выполняется соотношение
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
2
ϕ(t)
≤ 2
η(ψ; t)− t
t
∀t ≥ 1,
при всех t ≥ t∗ имеет место неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1696 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
η(g; t) ≤ t+
t
ϕ(t)
≤ η(ψ; t). (22)
Поэтому если для некоторого числа t ≥ t∗ выполняется условие g(t) ≤ ψ(t), то
g(η(g; t)) =
1
2
g(t) ≤ 1
2
ψ(t) = ψ(η(ψ; t)) ≤ ψ(η(g; t)).
В равенстве (19) подберем число K = K0 так, чтобы при всех t ∈
[
1, η(g; t∗)
]
выполнялось неравенство ψ(t;K0) ≥ g(t). Тогда в силу (22) такое же неравенство
будет выполняться и при всех t > η(g; t∗), поэтому
a(t) ≤ g(t) ≤ ψ(t;K0), t ≥ 1.
Таким образом, функция ψ(t) = ψ(t;K0), которая определяется равенством (19)
при K = K0, принадлежит множеству M+
∞, и для нее при всех t ≥ 1 выполняется
неравенство ψ(t) ≥ a(t), т. е. ψ является искомой.
Теорема доказана.
Теорема 1 позволяет получить несколько новых критериев принадлежности
функции f множеству D∞.
Пусть M∞ — подмножество всех функций ψ ∈ M, которые убывают к нулю
быстрее любой степенной функции:
M∞ =
{
ψ ∈M : ∀r > 0 lim
t→∞
trψ(t) = 0
}
, (23)
Обозначим через Mα подмножество всех функций ψ ∈M, для которых величина
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) = ψ′(t+ 0), убывает к нулю при t→∞ :
Mα =
{
ψ(t) ∈M : lim
t→∞
α(ψ; t) = 0
}
,
через M′∞ подмножество всех функций ψ ∈ M, для которых величина µ(ψ; t)
стремится к бесконечности при t→∞:
M′∞ =
{
ψ(t) ∈M : lim
t→∞
µ(ψ; t) =∞
}
.
Если функция ψ принадлежит множеству M′∞, то вследствие (21) справедливо
соотношение
0 ≤ lim
t→∞
α(t) = lim
t→∞
ψ(t)
t|ψ′(t)|
≤ 2 lim
t→∞
η(ψ; t)− t
t
= 0,
а значит, ψ принадлежит множеству Mα.
Для произвольной функции ψ ∈M при любом t > 1 выполняется равенство
ψ(t) = ψ(1)exp
− t∫
1
dτ
τα(τ)
(см., например, [5, с. 164]). Поэтому если ψ ∈ Mα, то для произвольного r > 0 и
любого t0 такого, что 1/α(t) ≥ r + 1, t ≥ t0, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1697
lim
t→∞
trψ(t) = ψ(1) lim
t→∞
exp
r ln t−
t∫
1
dτ
τα(τ)
≤
≤ ψ(1) lim
t→∞
exp
− t∫
t0
1
τ
( 1
α(τ)
− r
)
dτ + r ln t0
≤
≤ ψ(1) lim
t→∞
e− ln t+(r+1) ln t0 = 0,
и, следовательно, ψ принадлежит множеству M∞.
Таким образом, выполняются следующие вложения:
M+
∞ ⊂M′∞ ⊂Mα ⊂M∞. (24)
Если f ∈ Cψ̄ для некоторой пары ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которой функция ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) принадлежит множеству M∞, то вследствие (23) ряд (2) можно
дифференцировать произвольное количество раз. В результате будем получать рав-
номерно сходящиеся ряды, и, следовательно, f ∈ D∞.
Отсюда в силу вложений (24) и теоремы 1 получаем такое утверждение.
Теорема 2. ПустьM — любое из множеств M+
∞, M
′
∞, M
α или M∞. Экви-
валентны следующие утверждения:
i) функция f принадлежит множеству D∞;
ii) существует функция ψ(t) из множества M такая, что f ∈ Cψ̄ для всех
пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых при каждом k ∈ N выполняется равенство ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k);
iii) f ∈ Cψ̄ для некоторой пары ψ̄ = (ψ1, ψ2) такой, что функция ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) принадлежит множествуM.
На основании теорем 1 и 2 получаем следующий аналог соотношений (7):
D∞ = ∪
ψ1, ψ2∈M∞
Cψ̄ = ∪
ψ1, ψ2∈Mα
Cψ̄ = ∪
ψ1, ψ2∈M′∞
Cψ̄ = ∪
ψ1, ψ2∈M+
∞
Cψ̄.
3. Критерии принадлежности функций множеству A.
Предложение 3. Если f ∈ A, то существует число q ∈ (0, 1) такое, что
f ∈ Cq
β̄
для произвольных последовательностей β̄ = {βk}, βk ∈ R.
Доказательство. Пусть функция f принадлежит множеству A. Как и при
доказательстве предложения 1, запишем ее ряд Фурье в виде (10). Тогда (см. § 25
работы [7]) существуют постоянные A > 0 и % ∈ (0, 1) такие, что
dk ≤ A%k, k = 1, 2, . . . . (25)
Выберем произвольное число ε ∈ (0, 1 − %) и положим q = % + ε. В таком случае
для любой последовательности действительных чисел βk ряд
∞∑
k=1
dk
qk
cos
(
kx− (γk − βk)π
2
)
(26)
сходится абсолютно, поскольку в силу соотношений (25) и выбора числа q
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1698 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
∞∑
k=1
dk
qk
cos
(
kx− (γk − βk)π
2
)
≤
∞∑
k=1
dk
qk
≤ A
∞∑
k=1
(
%
%+ ε
)k
=
A%
ε
<∞.
Таким образом, ряд (26) является рядом Фурье некоторой суммируемой функ-
ции ϕ = fq
β̄
, т. е. f ∈ Cq
β̄
, и предложение 3 доказано.
Из предложения 3 можно получить несколько критериев принадлежности функ-
ции f множеству A.
Пусть D%, % ∈ (0, 1), — множество всех последовательностей ψ = {ψk}∞k=1
положительных чисел таких, что
ψ(k + 1)
ψ(k)
≤ %, % ∈ (0, 1), k = 1, 2, . . . , (27)
Dq, q ∈ [0, 1), — множество всех последовательностей положительных чисел, удов-
летворяющих условию Даламбера:
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ [0, 1). (28)
Пусть также MK
∞ — подмножество всех функций ψ ∈M, для которых существует
постоянная K > 0 такая, что
η(ψ; t)− t ≤ K, t ≥ 1, (29)
и M∞,c — подмножество всех функций ψ ∈M, удовлетворяющих условию
lim
t→∞
(η(ψ; t)− t) = c, c ∈ [0,∞). (30)
Теорема 3. ПустьM∗ — любое из множеств ∪
%∈(0,1)
D%, ∪
q∈[0,1)
Dq, ∪
K>0
MK
∞
или ∪
c≥0
M∞,c. Эквивалентны следующие утверждения:
i) функция f принадлежит множеству A;
ii) существует число q ∈ (0, 1) такое, что f ∈ Cq
β̄
для любой последователь-
ности β̄ = βk ∈ R;
iii) существует функция ψ(t), принадлежащая множеству M∗, такая, что
f ∈ Cψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых при каждом k ∈ N выполняется
равенство ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k);
iv) f ∈ Cq
β̄
для некоторого q ∈ (0, 1) и некоторой последовательности дей-
ствительных чисел β̄ = βk;
v) f ∈ Cψ̄ для некоторой пары ψ̄ = (ψ1, ψ2) такой, что функция ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) принадлежит множествуM∗.
Доказательство. В силу предложения 2
i) ⇒ ii).
Кроме того, поскольку функция ψ(k) = qk принадлежит каждому из множеств
∪
%∈(0,1)
D%, ∪
q∈[0,1)
Dq, ∪
K>0
MK
∞ и ∪
c≥0
M∞,c, то очевидными являются следующие
импликации:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1699
ii) ⇒ iii) ⇒ v)
и
ii) ⇒ iv) ⇒ v).
Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что
v) ⇒ i). (31)
Поскольку
∪
c≥0
M∞,c ⊂ ∪
K>0
MK
∞,
импликацию (31) достаточно доказать только в случае, когда M∗ является одним
из множеств ∪
%∈(0,1)
D%, ∪
q∈[0,1)
Dq или ∪
K>0
MK
∞.
Если f ∈ Cψ̄, то ее ряд Фурье в комплексной форме запишется в виде
+∞∑
k=−∞
ck(f)eikx =
α0
2
+
∑
|k|≥1
µkγke
ikx, (32)
где
γk =
αk − iβk
2
, γ−k =
αk + iβk
2
, k ∈ N,
µk =
ψ1(k)− iψ2(k), k ≥ 1,
ψ1(|k|) + iψ2(|k|), k ≤ −1,
а αk и βk — коэффициенты Фурье функции ϕ = f ψ̄. Согласно (32)∣∣ck(f)
∣∣ =
√
ψ2
1(|k|) + ψ2
2(|k|)|γk| = ψ(|k|)|γk|, k ∈ Z. (33)
Как следует из результатов § 25 работы [7], включение f ∈ A будет доказано, если
будет установлено существование постоянных A > 0 и % ∈ (0, 1) таких, что∣∣ck(f)
∣∣ < A%|k|, k ∈ Z. (34)
Пусть сначала ψ ∈ D%, % ∈ (0, 1). Тогда в силу (27) и (33) имеем
∣∣ck(f)
∣∣ =
|k|−1∏
j=1
ψ(|j|+ 1)
ψ(|j|)
ψ(1)|γk| ≤ sup
k∈Z
|γk|%|k|−1ψ(1), k ∈ Z,
и тем самым равенство (34) доказано.
Пусть, далее, ψ ∈ Dq, q ∈ [0, 1). Полагая
εn = sup
k≥n
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣, n ∈ N,
видим, что вследствие (28) существует номер n0 такой, что εn < 1 − q для всех
n = n0, n0 + 1, . . . . Тогда, используя (33), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1700 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
∣∣ck(f)
∣∣ =
|k|−1∏
j=n0
ψ(|j|+ 1)
ψ(|j|)
ψ(n0)|γk| ≤ sup
k∈Z
|γk|ψ(n0)(q + εn0)|k|−n0 , (35)
k ∈ Z, |k| ≥ n0.
Из (35) вытекает существование постоянной A > 0 и числа % = q + εn0 , для
которых выполняется неравенство (34).
Пусть наконец ψ ∈MK
∞. В силу (21) и (29)
ψ′(t)
ψ(t)
≤ − 1
2K
, t ≥ 1.
Интегрируя последнее неравенство по промежутку [1, x], получаем
ψ(x) ≤ ψ(1)e−
x−1
2K , x ≥ 1. (36)
Из (33) и (36) следует неравенство
|ck(f)| ≤ ψ(1) sup
k∈Z
|γk|e−
|k|−1
2K , k ∈ Z,
а вместе с ним и неравенство (34) при % = e−
1
2K .
Теорема доказана.
На основании теоремы 3 получаем равенства
A = ∪
q∈(0,1), βk∈R
Cq
β̄
= ∪
ψ1,ψ2∈ ∪
%∈(0,1)
D%
Cψ̄ = ∪
ψ1,ψ2∈ ∪
q∈[0,1)
Dq
Cψ̄ =
= ∪
ψ1,ψ2∈ ∪
K>0
MK
∞
Cψ̄ = ∪
ψ1,ψ2∈ ∪
c>0
M∞, c
Cψ̄.
4. Критерии принадлежности функций множеству E.
Предложение 4. Для того чтобы 2π-периодическая действительнозначная
на вещественной оси функция f с рядом Фурье
+∞∑
k=−∞
ck(f)eikx
принадлежала множеству E , необходимо и достаточно, чтобы
lim
k→±∞
|ck(f)|eα|k| = 0 ∀α > 0. (37)
Доказательство. Необходимость. Пусть f ∈ E . Тогда в силу следствия 3.8.1
из работы [5, с. 141]
|ck(f)| = e−ϕ(k)|k|, k ∈ Z, lim
k→±∞
ϕ(k) = +∞.
Отсюда для произвольного α > 0 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1701
lim
k→±∞
|ck(f)|eα|k| = lim
k→±∞
e−|k|ϕ(k)eα|k| = lim
k→±∞
e−|k|(ϕ(x)−α) = 0.
Достаточность. Пусть для 2π-периодической действительнозначной на ве-
щественной оси функции f выполняется соотношение (37). Возьмем произвольное
число z ∈ C, z = x + iy, и покажем, что оно находится в полосе аналитичнос-
ти функции f. Выберем любое число d > |Im z|. Вследствие (37) существует
постоянная K > 0 такая, что при всех k ∈ Z выполняется неравенство
|ck(f)| ≤ Ke−d|k|.
Тогда согласно теореме 3.8.3 из монографии [5, c. 139, 140] функция f является
аналитической внутри полосы |y| < d, которая согласно выбору числа d содержит
и точку z.
Предложение доказано.
Обозначим через M+
∞, 0 множество всех функций ψ ∈M+
∞, для которых
lim
t→∞
(
η(ψ; t)− t
)
= 0. (38)
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Если f ∈ E , то можно указать функцию ψ из множества
M+
∞, 0 такую, что f ∈ Cψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N.
Доказательство. Пусть функция f принадлежит множеству E . Запишем ее ряд
Фурье в виде (10) и рассмотрим функцию a(t), определяющуюся равенством (18).
Как и при доказательстве теоремы 1, нетрудно убедиться, что для доказательства
теоремы 4 достаточно установить существование функции ψ ∈M+
∞,0, которая бы
при всех t ≥ 1 удовлетворяла неравенству a(t) ≤ ψ(t).
Представим функцию a(t), t > 1, в виде a(t) = e−ξ(t)t. Тогда
ξ(t) = − ln a(t)
t
.
Поскольку f ∈ E , вследствие предложения 4, при любом α > 0 выполняется
соотношение (37). Отсюда в силу определения функции a(t) делаем вывод, что для
произвольного α > 0 lim
t→∞
eαta(t) = 0. Поэтому при каждом α > 0 для достаточно
больших значений t выполняется неравенство eαta(t) < 1. Отсюда следует, что для
таких t
α < − ln a(t)
t
= ξ(t),
а следовательно,
lim
t→+∞
ξ(t) = +∞.
Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 1, строим положительную
функцию ϕ(t), t ≥ 0, имеющую следующие свойства:
а) ϕ(0) = 0,
б) ϕ′′(t) ≤ 0 ∀t > 0,
в) lim
t→∞
ϕ(t) = +∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1702 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
г) ϕ(t) ≤ ξ(t) при всех t, больших некоторого числа b1 ≥ 1.
В таком случае при всех t ≥ b1 будет выполняться соотношение g(t) df= e−ϕ(t)t ≥
≥ e−ξ(t)t = a(t). В силу того, что
g′′(t) = e−tϕ(t)
(
(ϕ′(t)t+ ϕ(t))2 − ϕ′′(t)− 2ϕ′(t)
)
=
= e−tϕ(t)
((
ϕ′(t)t− 1
t
)2
+ 2ϕ(t)ϕ′(t)− ϕ′′(t)t+ ϕ2(t)− 1
t2
)
≥
≥ e−tϕ(t)
((
ϕ′(t)t− 1
t
)2
+ ϕ2(t)− 1
t2
)
,
„подправим” функцию ϕ так, чтобы полученная при этом функция ϕ1(t), t ≥ 1,
оставалась положительной, ϕ′′1(t) ≤ 0, lim
t→∞
ϕ1(t) = +∞; при всех t, больших
некоторого числа b0 ≥ b1 ≥ 1, ϕ1(t) ≤ ξ(t), и при этом для всех t ≥ 1 выполнялось
неравенство ϕ1(t) ≥ 1
t
. С этой целью в случае, когда ϕ является линейной, луч
l, выходящий из точки (1; 1) в направлении оси Oy, будем вращать по часовой
стрелке до тех пор, пока он не пересечет ее график. Если же функция ϕ не является
линейной, то будем вращать по часовой стрелке луч l, пока он не коснется ее
графика. Обозначим через (b2, ϕ(b2)) в первом случае точку пересечения, а во
втором — точку касания луча l и графика функции ϕ(t). В силу свойств a) – г) такая
точка (b2, ϕ(b2)) всегда существует.
Определим ϕ1, t ≥ 1, в первом случае как функцию, графиком которой является
луч l, во втором случае как функцию, график которой при t ∈ [1, b2] совпадает
с лучем l, а при t > b2 — с графиком функции ϕ. Тогда для нее будем иметь
ϕ1(t) ≥ 0, t ≥ 1, ϕ1(t) ≥ 1
t
, ϕ′′1(t) ≤ 0, lim
t→∞
ϕ1(t) = +∞; и при всех t, больших
числа b0 = max{b1, b2}, выполняется неравенство ϕ1(t) ≤ ξ(t).
Рассмотрим функцию
ψ(t) = Ke−ϕ1(t)t, (39)
где постоянная K подобрана так, чтобы при всех t ≥ 1 выполнялось неравенство
a(t) ≤ Ke−ϕ1(t)t. Понятно, что такая постоянная существует, поскольку согласно
построению при всех t ≥ b0 справедливо соотношение e−ϕ1(t)t ≥ e−ξ(t)t = a(t).
Функция ψ(t) является положительной, убывает к нулю при t→∞ и в силу того,
что
ψ′′(t) = e−tϕ1(t)
(
(ϕ′1(t)t+ ϕ1(t))2 − ϕ′′1(t)− 2ϕ′1(t)
)
≥
≥ Ke−tϕ(t)
((
ϕ′1(t)t− 1
t
)2
+ ϕ2
1(t)− 1
t2
)
≥ 0,
является выпуклой вниз, а следовательно, принадлежит множеству M. Кроме того,
поскольку величина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1703
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
Ke−ϕ1(t)t
tKe−ϕ1(t)t(tϕ′(t) + ϕ(t))
=
1
t(tϕ′(t) + ϕ(t))
монотонно убывает к нулю при t → ∞, согласно теореме 3.12.1 из [6, c. 161] (см.
также [5]) функция ψ принадлежит множеству M+
∞.
Для завершення доказательства теоремы осталось убедиться в том, что
lim
t→∞
(η(ψ; t)− t) = 0. Поскольку ψ ∈M+
∞, в силу неравенства
K1|ψ′(t)|(η(ψ; t)− t) ≤ ψ(t) K1 > 0, K1 = const,
выполняющегося для произвольного t ≥ 1 (см., например, [5, c. 166]), имеем
η(ψ; t)− t ≤ 1
K1
ψ(t)
|ψ′(t)|
=
1
K1(tϕ′(t) + ϕ(t))
→ 0, t→∞.
Таким образом, ψ ∈M+
∞,0, т. е. функция ψ — искомая.
Теорема доказана.
Пусть, как и выше, D0 — множество всех последовательностей положительных
чисел, для которых
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= 0. (40)
Поскольку для функции ψ(t), определяющейся равенством (39), при любом нату-
ральном k имеем
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= lim
k→∞
Ke−(k+1)ϕ1(k+1)
Ke−kϕ1(k)
= lim
k→∞
e−ϕ1(k+1)+k(ϕ1(k)−ϕ1(k+1)) = 0,
последовательность ψ(k), k = 1, 2, . . . , принадлежит множествуD0. Таким образом
справедлива следующая теорема.
Теорема 4′. Если f ∈ E , то можно указать последовательность ψ из мно-
жества D0 такую, что f ∈ Cψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N.
На основании теорем 4 и 4′ можно получить следующие критерии принадлеж-
ности 2π-периодической функции множеству E .
Теорема 5. Пусть M — любое из множеств M+
∞,0 или D0. Эквивалентны
следующие утверждения:
i) f ∈ E ;
ii) существует функция ψ, принадлежащая множествуM такая, что f ∈ Cψ̄
для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых при каждом k ∈ N выполняется равенство
ψ(k) =
√
ψ2
1(t) + ψ2
2(t);
iii) f ∈ Cψ̄ для некоторой пары ψ̄ = (ψ1, ψ2) такой, что функция ψ(k) =
=
√
ψ2
1(t) + ψ2
2(t) принадлежит множествуM.
Доказательство. Импликация i) ⇒ ii) следует из теорем 4 и 4′, импликация
ii)⇒ iii) очевидна.
Убедимся в справедливости импликации iii) ⇒ i). Пусть функция f принад-
лежит множеству Cψ̄ для некоторой пары ψ̄ = (ψ1, ψ2) такой, что функция
ψ(k) =
√
ψ2
1(t) + ψ2
2(t) принадлежит множеству M. Покажем, что тогда f ∈ E .
Как следует из рассуждений § 3.8 работы [5], для этого достаточно доказать со-
отношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1704 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
lim
k→∞
lnψ−1/k(k) =∞. (41)
Пусть ψ ∈M+
∞,0 и M — произвольное положительное число. В силу (38) и (21)
для любого ε > 0 и, в частности, для ε = 1/(2M) при всех t, больших некоторого
числа tε > 1, выполняется неравенство
ψ(t)
|ψ′(t)|
≤ 2(η(ψ; t)− t) < ε,
из которого следует, что
|ψ′(t)|
ψ(t)
>
1
ε
. (42)
ПустьK0 — произвольное число, превышающее tε, для которого ψ(K0) < 1.Интег-
рируя левую и правую части неравенства (42) по промежутку [K0,K], получаем
ln
1
ψ(K)
>
1
ε
(K −K0) + ln
1
ψ(K0)
.
Отсюда заключаем, что при всех k > 2K0 имеет место соотношение
lnψ−1/k(k) =
1
k
ln
1
ψ(k)
>
k −K0
ε k
+
1
k
ln
1
ψ(K0)
>
1
ε
− 1
2ε
=
1
2ε
= M0,
а это означает, что выполняется соотношение (41), и, следовательно, f ∈ E .
Пусть теперь ψ ∈ D0. Для любого натурального n положим
εn = sup
k≥n
ψ(k + 1)
ψ(k)
.
Понятно, что ε1 ≥ ε2 ≥ . . . , и вследствие (40) для сколь угодно большого числа
M0 > 0 существует номер n0 такой, что εm < 1/e2M0 для всех m = n0, n0 +1, . . . .
Тогда для всех k > n0 таких, что ψ(n0) < 1, имеем
lnψ−1/k(k) = ln
k−1∏
j=n0
ψ(j + 1)
ψ(j)
ψ(n0)
−1/k
≥ ln
(
ψ(n0)εk−n0
n0
)−1/k
=
=
k − n0
k
ln
1
εn0
+
1
k
ln
1
ψ(n0)
> M0.
Следовательно, справедливо соотношение (41), откуда следует, что функция f при-
надлежит множеству E .
Теорема доказана.
На основании теоремы 5 получаем равенства
E = ∪
ψ1, ψ2∈M+
∞,0
Cψ̄ = ∪
ψ1, ψ2∈D0
Cψ̄.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1705
Теоремы 1 – 4 устанавливают существование для каждой бесконечно дифферен-
цируемой, аналитической или целой функции f существование функции ψ ∈ M,
имеющей определенные дополнительные свойства, зависящие от ее гладкости, та-
кой, что f ∈ Cψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k),
k ∈ N. С другой стороны, как следует из предложения 1, для любой отличной от
тригонометрического полинома функции f ∈ D∞ существует ψ ∈ M такая, что
f ∈̄Cψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k). В связи
с этим возникает вопрос: может ли при этом последовательность ψ принадлежать
таким подмножествам множества M, как M∞,Mα,M′∞,M
+
∞ и M+
∞, 0, или, напри-
мер, выбираться из множеств Dq? Два следующих утверждения вместе с цепочкой
вложений (24) дают положительный ответ на поставленный вопрос.
Теорема 6. Для произвольной функции f ∈ L \ T можно указать ψ ∈M+
∞, 0
такую, что f ∈̄Lψ̄ (т. е. f ψ̄ не существует) для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых
ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N.
Доказательство. В ходе доказательства предложения 1 для каждой 2π-перио-
дической суммируемой функции f, которая не принадлежит множеству T, была
построена функция ψf ∈ M такая, что f ∈̄Lψ̄f для всех пар последовательностей
ψ̄f = (ψ1, ψ2), для которых ψf (k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N. Поэтому для оконча-
тельного доказательства теоремы 6 достаточно установить существование функции
ψ ∈M+
∞, 0, график которой находится не выше графика функции ψf .
Построим функцию ϕ(t) ∈M такую, чтобы ее график лежал не выше графика
функции ξ(t) df= η(ψf ; t)− t и при этом выполнялось неравенство
|ϕ′(t)| ≤ 3
2
. (43)
Понятно, что в случае, когда η(ψf ; t) − t ≥ C > 0, построение функции ϕ триви-
ально. Если же lim
t→∞
(η(ψf ; t)− t) = 0, то построить функцию ϕ можно, например,
слегка модифицировав схему, использованную при доказательстве предложения 1
(см. также предложение 3.11.10 из [5, c. 157]).
Построим вспомогательную функцию l = l(t).Для этого положим z0 = (1, ξ(1)).
Луч l1, выходящий из точки z0 в направлении, противоположном оси ординат, бу-
дем вращать против часовой стрелки, пока он не коснется графика функции ξ(t).
Точку касания обозначим через z1 = (t1, y1). Если таких точек касания несколько,
то через z1 = (t1, y1) обозначим точку с наибольшей абсциссой. На промежутке
[1, t1] определим функцию l(t) так, чтобы ее график совпал с отрезком, соединяю-
щим точки z0 и z1.
Далее, луч l2, выходящий из точки z1, направление которого совпадает с нап-
равлением луча l1 в последнем положении, снова будем вращать против часовой
стрелки, пока он не коснется графика функции ξ(t). Точку касания обозначим через
z2 = (t2, y2). Если таких точек касания несколько, то через z2 = (t2, y2) обозначим
точку с наибольшей абсциссой. На промежутке [t1, t2] определим функцию l(t) так,
чтобы ее график совпал с отрезком, соединяющим точки z1 и z2.
Продолжив этот процесс, в результате построим функцию l(t), t ≥ 1, которая
будет принадлежать множеству M, такую, что l(t) ≤ ξ(t), t ≥ 1. Согласно по-
строению при всех достаточно больших t, за исключением узлов ti, выполняется
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1706 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
неравенство |l′(t)| ≤ 3
2
. Понятно, что функцию l можно изменить на конечном
промежутке таким образом, чтобы полученная при этом функция ϕ принадлежала
множеству M и при t ≥ 1 удовлетворяла неравенству (43) и условию
ϕ(t) ≤ ξ(t) = η(ψf ; t)− t. (44)
Рассмотрим функцию
ψ(t) = ψ(t;K) = K exp
−3
2
t∫
1
dτ
ϕ(τ)
, t ≥ 1, (45)
где K — произвольная положительная постоянная. Поскольку
ψ′(t) = −3
2
K exp
−3
2
t∫
1
dτ
ϕ(τ)
1
ϕ(t)
< 0, (46)
и
ψ′′(t) =
3
2
K exp
−3
2
t∫
1
dτ
ϕ(τ)
1
ϕ2(t)
(
3
2
+ ϕ′(t)
)
≥ 0,
то ψ ∈M. Величина
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
2ϕ(t)
3t
монотонно убывает к нулю при t → ∞, поэтому в силу теоремы 3.12.1 из рабо-
ты [5, c. 161] (см. также [6]) делаем вывод, что ψ ∈M+
∞.
Далее, поскольку ψ ∈M+
∞, для любого t ≥ 1
η′(ψ; t) ≤ 1 + γ(t),
где γ(t) — некоторая функция, стремящаяся к нулю при t → ∞ (см., например,
[5, c. 166]). Поэтому при всех t, больших некоторого числа t̄ ≥ 1, выполняется
соотношение
η′(ψ; t) =
ψ′(t)
2ψ′(η(ψ; t))
≤ 3
2
.
Отсюда, в силу (45), (46) и того, что
∣∣ψ′(η(ψ; t))
∣∣(η(ψ; t)− t) ≤ −
η(ψ; t)∫
t
ψ′(τ)dτ =
1
2
ψ(t), t ≥ 1
(см., например, [5, c. 164]), заключаем, что при всех t ≥ t̄
η(ψ; t)− t ≤ ψ(t)
2|ψ′(η(ψ; t))|
≤ 3
2
ψ(t)
|ψ′(t)|
= ϕ(t). (47)
Согласно построению ϕ ∈M, следовательно, lim
t→∞
η(ψ; t)− t = 0, т. е. ψ ∈M+
∞, 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ... 1707
Наконец убедимся, что при определенном выборе постоянной K график функ-
ции ψ(t;K) будет лежать под графиком функции ψf (t). Вследствие (47) и (44) при
всех t ≥ t̄ имеем
η(ψ; t) ≤ η(ψf ; t). (48)
Выберем в (45) число K = K0 так, чтобы при всех t ∈ [1, η(ψ; t̄)] выполнялось
неравенство ψ(t;K0) ≤ ψf (t). Тогда вследствие (48) такое же неравенство будет
выполняться и при всех t > η(ψ; t̄).
Следовательно, функция ψ(t) = ψ(t;K0), которая при любом t ≥ 1 определя-
ется равенством (45), где K = K0, принадлежит множеству M+
∞, и для нее при
всех t ≥ 1 выполняется неравенство ψ(t) ≤ ψf (t), т. е. ψ — искомая.
Теорема доказана.
Рассмотрим также последовательность ψ(k) значений функции ψ(t), задаю-
щейся равенством (45), в точках k = 1, 2, . . . . В силу того, что ϕ ∈M, при любом
натуральном k имеем
ψ(k + 1)
ψ(k)
= exp
−3
2
k+1∫
k
dτ
ϕ(τ)
≤ e−3/(2ϕ(k)).
Поэтому lim
k→∞
ψ(k+1)
ψ(k) = 0. Таким образом, последовательность ψ(k) значений
функции ψ в точках k = 1, 2, . . . принадлежит множеству D0 и справедлива следу-
ющая теорема.
Теорема 6′. Для произвольной функции f ∈ L \ T можно указать последо-
вательность ψ ∈ D0 такую, что f ∈̄Lψ̄ для всех пар ψ̄ = (ψ1, ψ2), для которых
ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), k ∈ N.
На основании теорем 6 и 6′ с учетом вложений (24) получаем следующие
аналоги соотношений (8):
∩
ψ1,ψ2∈M∞
Cψ̄ = ∩
ψ1,ψ2∈Mα
Cψ̄ = ∩
ψ1,ψ2∈M′∞
Cψ̄ = ∩
ψ1,ψ2∈M+
∞
Cψ̄ = T,
∩
ψ1,ψ2∈ ∪
q∈[0,1)
Dq
Cψ̄ = ∩
ψ1,ψ2∈ ∪
c>0
M∞, c
Cψ̄ = T,
∩
ψ1, ψ2∈M+
∞,0
Cψ̄ = ∩
ψ1, ψ2∈D0
Cψ̄ = T.
Таким образом, весь спектр 2π-периодических бесконечно дифференцируемых
функций можно проранжировать с помощью их ψ̄-производных, причем пары
ψ̄ = (ψ1, ψ2) достаточно выбирать так, чтобы функции ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k)
принадлежали одному из множеств M+
∞, M′∞, Mα или M∞. Для разграниче-
ния функций из A c помощью их ψ̄-производных пары ψ̄ = (ψ1, ψ2) достаточно
выбирать так, чтобы функция ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) принадлежала одному из
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1708 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛИЧ
множеств ∪
%∈(0,1)
D%, ∪
q∈[0,1)
Dq, ∪
K>0
MK
∞ или ∪
c≥0
M∞,c, а для разграничения функ-
ций из E — так, чтобы ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) принадлежала одному из множеств
M+
∞,0 или D0. Неразличимыми при такой классификации остаются только триго-
нометрические полиномы.
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Скорость сходимости рядов Фурье на классах ψ̄-интегралов // Укр. мат. журн. –
1997. – 49, № 8. – С. 1069 – 1113.
3. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье (небольшая
гладкость). I // Там же. – 1997. – 49, № 3. – С. 388 – 400.
4. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье (небольшая
гладкость). II // Там же. – 1998. – 50, № 2. – С. 274 – 291.
5. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Труды Ин-та математики НАН Украины.
– 2002. – 40, ч. I. – 427 c.
6. Степанец А. И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. – 1999. – 51,
№ 5. – C. 688 – 702.
7. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
Получено 31.10.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
|