Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения
Запропоновано процедуру регуляризацiї множини рiвнянь збуреного руху з неточними значеннями параметрiв. На основi принципу порiвняння встановлено умови iснування розв’язкiв як регуляризованої, так i вихiдної системи....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164990 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 273-295. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164990 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649902020-02-12T01:29:35Z Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Статті Запропоновано процедуру регуляризацiї множини рiвнянь збуреного руху з неточними значеннями параметрiв. На основi принципу порiвняння встановлено умови iснування розв’язкiв як регуляризованої, так i вихiдної системи. We propose a regularization procedure for a set of equations of perturbed motion with uncertain values of the parameters. We use the comparison principle to establish conditions for the existence of solutions of the original and regularized systems. 2013 Article Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 273-295. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164990 517.36 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения Український математичний журнал |
| description |
Запропоновано процедуру регуляризацiї множини рiвнянь збуреного руху з неточними значеннями параметрiв. На основi принципу порiвняння встановлено умови iснування розв’язкiв як регуляризованої, так i вихiдної системи. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения |
| title_short |
Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения |
| title_full |
Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения |
| title_fullStr |
Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения |
| title_full_unstemmed |
Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения |
| title_sort |
существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164990 |
| citation_txt |
Существование, единственность и оценки решений множества уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 273-295. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa suŝestvovanieedinstvennostʹiocenkirešenijmnožestvauravnenijvozmuŝennogodviženiâ AT martynûkčernienkoûa suŝestvovanieedinstvennostʹiocenkirešenijmnožestvauravnenijvozmuŝennogodviženiâ |
| first_indexed |
2025-07-14T17:44:09Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:44:09Z |
| _version_ |
1837645220880056320 |
| fulltext |
УДК 517.36
А. А. Мартынюк, Ю. А. Мартынюк-Черниенко (Ин-т механики НАН Украины, Киев)
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
We propose a regularization procedure for a set of equations of perturbed motion with uncertain values of parameters. Using
the comparison principle, we establish conditions for the existence of solutions of the original system and the regularized
system.
Запропоновано процедуру регуляризацiї множини рiвнянь збуреного руху з неточними значеннями параметрiв. На
основi принципу порiвняння встановлено умови iснування розв’язкiв як регуляризованої, так i вихiдної системи.
1. Введение. Построение теории траекторий динамических систем восходит к классическим
работам А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. Понятие фазового пространства, введенное В. Гиббсом,
позволяет рассматривать движение механической системы, как движение изображающей точки
в некотором n-мерном пространстве конфигураций или, что то же самое, в фазовом простран-
стве с заданной метрикой. Сложные механические и электрофизические системы, рассматрива-
емые в последнее время, потребовали некоторого развития „инструментария” моделирования
процессов в такого рода системах. Как известно, основным требованием к математической
модели процесса является адекватное описание функционирования рассматриваемой системы.
Один из подходов, разрабатываемых для такого рода систем, основан на рассмотрении систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями. Одним из
факторов, порождающих многозначность правой части, является неточность в определении
параметров системы. Учет этих обстоятельств приводит к необходимости изучения множе-
ства (пучков) траекторий системы уравнений возмущенного движения. К общим требованиям,
предъявляемым к множеству систем уравнений, относятся ее замкнутость и непротиворечи-
вость, а также корректность относительно входящих параметров. Построение такой теории
находится на начальном этапе развития, и здесь имеется много открытых для исследования
проблем.
В данной статье рассматриваются семейства уравнений возмущенного движения физиче-
ских систем, параметры которых заданы неточно. Проводится процедура регуляризации семей-
ства уравнений с неточными значениями параметров с последующим применением принципа
сравнения в интегральной или дифференциальной форме с целью анализа решений как исход-
ного, так и промежуточных семейств уравнений возмущенного движения.
2. Регуляризация семейства неточных уравнений. Пусть Kc(Rn) — семейство всех непу-
стых компактных и выпуклых подмножеств пространства Rn, I ⊂ R+ — конечный интервал
изменения t и X(t) — множество состояний системы, определяемое формулой
X(t) = {X : DHX = F(t,X ,α), X(t0) = X0, X0 ∈ Kc(Rn), α ∈ I}.
Здесь X(t) ∈ Kc(Rn) при всех t ∈ I, F ∈C(I×Kc(Rn)×I,Kc(Rn)) — многозначное отображение,
DHX — производная Хукухары множества состояний X(t) системы в момент времени t ∈ I,
α ∈ I — параметр неточности отображения F, I — компактное множество в пространстве Rd .
Рассмотрим семейство уравнений возмущенного движения
c© А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2 273
274 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
DHX = F(t,X ,α), X(t0) = X0 ∈ Kc(Rn), (1)
и вычислим граничные отображения
Fm(t, ·) = co
⋂
α∈I
F(t, ·,α),
FM(t, ·) = co
⋃
α∈I
F(t, ·,α).
Будем предполагать, что Fm(t, ·) и FM(t, ·) принадлежат пространству Kc(Rn).
Наряду с системой (1) будем рассматривать семейства уравнений
DHY = Fm(t,Y ), Y (t0) = Y0 ∈ Kc(Rn), (2)
и
DHV = FM(t,V ), V (t0) =V0 ∈ Kc(Rn). (3)
Семейство уравнений
DHW = Fβ (t,W ), W (t0) =W0 ∈ Kc(Rn), (4)
где
Fβ (t, ·) = Fm(t, ·)β +FM(t, ·)(1−β ), β ∈ [0,1],
будем называть регуляризованным семейством уравнений неточного семейства уравнений (1).
Замечание 1. Если отображение F(t,X ,α) разрывно по X при некоторых α ∈ I, то се-
мейство уравнений (1) может быть регуляризовано по Филиппову [10] следующим образом.
Пусть область G ⊂ Kc(Rn) разделена гладкой гиперповерхностью Σ на области σ− и σ+
так, что G = σ−∪Σ∪σ+. Области σ− и σ+ определяются выражениями
σ−∗= {(X ,α) ∈ G×I : H(X(t),α)< 0},
σ+∗= {(X ,α) ∈ G×I : H(X(t),α)> 0},
Σ∗= {(X ,α) ∈ G×I : H(X(t),α) = 0},
где H(X(t),α) — уравнение гиперповерхности Σ. Далее определим отображения
F−m (t,X) = lim
X∗∈σ−
X∗→X
Fm(t,X∗),
F+
M (t,X) = lim
X∗∈σ+
X∗→X
FM(t,X∗), X ∈ Σ.
Неточное семейство уравнений (1) является регуляризованным по Филиппову, если отображе-
ние Φβ (t,X) определяется формулой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 275
Φβ (t,X) =
F−m (t,X) при X ∈ σ−,
F−m (t,X)β +F+
M (t,X)(1−β ) при X ∈ Σ,
F+
M (t,X) при ∈ σ+.
При этом наряду с семейством уравнений (1) рассматривается дифференциальное включение
DHX ∈Φβ (t,X), X(t0) = X0 ∈ Kc(Rn),
где Φβ : R+×Kc(Rn)→ 2R
n
.
Целью настоящей статьи является получение оценки расстояния между решениями Y (t) и
V (t) семейств уравнений (2), (3), ограничивающими снизу и сверху множество решений X(t)
семейства уравнений (1).
3. О вилке для множества решений уравнения (1). Для решения указанной задачи при-
меняются интегральные и дифференциальные неравенства, составляющие основу принципа
сравнения в качественной теории уравнений (см., например, [4, 5]).
Определение 1. Многозначное отображение Y (t) : J → Kc(Rn), J ⊂ I (V (t) : J →
→ Kc(Rn)), является решением задачи (2) ((3)), если оно непрерывно дифференцируемо на
J и удовлетворяет уравнению (2) ((3)) при всех t ∈ J.
Поскольку отображения Y (t) и V (t) непрерывно дифференцируемые,
Y (t) = Y0 +
t∫
t0
DHY (s)ds, t ∈ J, (5)
V (t) =V0 +
t∫
t0
DHV (s)ds, t ∈ J. (6)
Поэтому, учитывая (2), (3), получаем
Y (t) = Y0 +
t∫
t0
Fm(s,Y (s))ds, t ∈ J, (7)
V (t) =V0 +
t∫
t0
FM(s,V (s))ds, t ∈ J. (8)
В соотношениях (5) – (8) интеграл понимается в смысле Хукухары (см. [3]).
Теорема 1. Предположим, что для уравнений (2), (3) выполняются следующие условия:
1) Fm ∈C(I×Kc(Rn),Kc(Rn)), FM ∈C(I×Kc(Rn),Kc(Rn)) и существует монотонная неубы-
вающая по w функция g(t,w), g ∈C(I×R+,R), такая, что
D[Fm(t,y),F(t,X)]+D[F(t,X),FM(t,V )]≤ g(t,D[Y,X ]+D[X ,V ])
при всех Y,X ,V ∈ Kc(Rn) и всех t ∈ I;
2) существует максимальное решение r(t, t0,w0) скалярного уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
276 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
dw
dt
= g(t,w), w(t0) = w0 ≥ 0,
на I;
3) начальные условия (t0,Y0), (t0,V0) для множества решений Y (t), V (t) уравнений (2), (3)
таковы, что D[Y0,X0]+D[X0,V0]≤ w0.
Тогда при всех t ∈ J ⊂ I справедлива оценка
D[Y (t),V (t)]≤ r(t, t0,w0). (9)
Доказательство. Обозначим m(t) = D[Y (t),X(t)] +D[X(t),V (t)] и выберем (X0,Y0,V0) ∈
∈ Kc(Rn) так, что
m(t0) = D[Y0,X0]+D[X0,V0]≤ w0.
Учитывая свойства расстояния Хаусдорфа (см. [3, 6]), получаем следующую последователь-
ность оценок:
m(t) = D
Y0 +
t∫
t0
Fm(t,Y (t))dt, X0 +
t∫
t0
F(t,X(t))dt
+
+D
X0 +
t∫
t0
F(t,X(t))dt, V0 +
t∫
t0
FM(t,V (t))dt
≤
≤ D
t∫
t0
Fm(t,Y (t))dt,
t∫
t0
F(t,X(t))dt
+D[Y0,X0]+
+D
t∫
t0
F(t,X(t))dt,
t∫
t0
FM(t,V (t))dt
+D[X0,V0]≤
≤
t∫
t0
D [Fm(t,Y (t)), F(t,X(t))]dt +D[Y0,X0]+
+
t∫
t0
D [F(t,X(t)), FM(t,V (t))]dt +D[X0,V0].
Отсюда находим
m(t)≤ m(t0)+
t∫
t0
{D [Fm(t,Y (t)), F(t,X(t))]+D [F(t,X(t)), FM(t,V (t))]}dt ≤
≤ m(t0)+
t∫
t0
g(s,D [Y (s), X(s)]+D [X(s), V (s)])ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 277
= m(t0)+
t∫
t0
g(s,m(s))ds, t ∈ J. (10)
Из оценки (10) и теоремы 1.6.1 [5] следует, что
m(t)≤ r(t, t0,w0) при всех t ∈ J.
Далее, учитывая, что
D [Y (t),V (t)]≤ D [Y (t),X(t)]+D [X(t),V (t)] ,
получаем оценку (9). Оценка (9) образует вилку для множества решений X(t) уравнения (1) на
основе уравнений (2), (3), так как
Fm(t,X)≤ F(t,X ,α)≤ FM(t,X)
при всех (t,X) ∈ I×Kc(Rn) и α ∈ I.
Далее исследуем задачу об оценке расстояния между множествами решений семейства
уравнений (1) и (4). Напомним, что для уравнения (4) справедливо соотношение
Wβ (t) =W0 +
t∫
t0
Fβ (t,W (s))ds, t ∈ J,
при всех β ∈ [0,1].
Теорема 2. Предположим, что для уравнений (1), (4) выполняются следующие условия:
1) Fβ ∈ C(I × Kc(Rn),Kc(Rn)), F ∈ C(I × Kc(Rn)× I,Kc(Rn)) и существует монотонно
неубывающая функция g1(t,w), g1 ∈C(I×R+,R), такая, что
D[F(t,X ,α),Fβ (t,W )]≤ g1(t,D[X ,W ])
при всех (t,Y,W ) ∈ I×Kc(Rn)×Kc(Rn) и при любом α ∈ I и β ∈ [0,1];
2) существует максимальное решение r(t, t0,w0) скалярного уравнения
dw
dt
= g1(t,w), w(t0) = w0 ≥ 0;
3) начальные условия (t0,X0), (t0,W0) для множества решений X(t) и Wβ (t) уравнений (1),
(4) таковы, что D[X0,W0]≤ w0.
Тогда при всех t ∈ J и β ∈ [0,1] справедлива оценка
D[X(t),Wβ (t)]≤ r(t, t0,w0). (11)
Доказательство. Полагая m(t) = D[X(t),Wβ (t)] и проводя вычисления, аналогичные тако-
вым при доказательстве теоремы 1, получаем оценку (11).
Замечание 2. Условие монотонности функций g(t,w) и g1(t,w) в теоремах 1, 2 может
быть ослаблено, если использовать теоремы сравнения для дифференциальных неравенств.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
278 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Теорема 3. Предположим, что для уравнений (1), (4) выполняются следующие условия:
1) в условии 1 теоремы 2 функция g1(t,w) ∈C(I×R+,R) такова, что
limsup
{
(D[X +hF(t,X ,α),W +hFβ (t,W )]−D[X ,W ])h−1 : h→ 0+
}
≤
≤ g1(t,D[X ,W ])
при всех t ∈ I, α ∈ I и β ∈ [0,1];
2) условия 2, 3 теоремы 2 выполняются при всех t ∈ J и β ∈ [0,1].
Тогда оценка (11) справедлива при всех t ∈ J и β ∈ [0,1].
Доказательство. Пусть m(t) = D[X(t),W (t)] и D[X0,W0] ≤ w0. Для сколь угодно малого
h> 0 существуют разности Хукухары X(t+h)−X(t) и W (t+h)−W (t) при всех t ∈ J и β ∈ [0,1],
поэтому
m(t +h)−m(t) = D[X(t +h),W (t +h)]−D[X(t),W (t)]≤
≤ D[X(t +h),X(t)+hF(t,X(t),α)]+D[W (t)+hFβ (t,W (t)),W (t +h)]+
+D[X(t)+hF(t,X ,α),W (t)+hFβ (t,W (t))]−D[X(t),W (t)]
при любом значении β ∈ [0,1]. Отсюда находим
D+m(t) = lim
h→0+
sup
1
h
[m(t +h)−m(t)]≤
≤ lim
h→0+
sup
{
D[X(t)+hF(t,X ,α),W (t)+hFβ (t,W (t))]−D[X(t),W (t)]
}
+
+ lim
h→0+
sup
1
h
D
[
X(t +h)−X(t)
h
,F(t,X ,α)
]
+
+ lim
h→0+
sup
1
h
D
[
Fβ (t,W (t)),
W (t +h)−W (t)
h
]
≤
≤ g1(t,D[X ,W ]) = g1(t,m(t)) (12)
при всех t ∈ J, β ∈ [0,1]. Применяя к оценке (12) теорему 1.5.1 из монографии [5], получаем
оценку (11).
Далее будем рассматривать уравнение (4) и множество Θ0 ∈ Kc(Rn), для которого при всех
t ≥ t0 имеет место соотношение F(t,Θ0,α) = Θ0 при всех α ∈ I.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть для уравнения (4) выполняются следующие условия:
1) Fβ (t,W ) ∈C(R+×Kc(Rn),Kc(Rn)) при всех β ∈ [0,1];
2) существует функция g(t,u) ∈C(R+×R+,R), монотонно возрастающая по u и такая,
что
a) D[Fβ (t,W ),Θ0]≤ g(t,D[W,Θ0]) при всех β ∈ [0,1]
или
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 279
б) lim
h→0+
sup
1
h
{
D[W +hFβ (t,W ),Θ0]−D[X ,Θ0]
}
≤ g1(t,D[W,Θ0]), где функция g1(t, ·) удовле-
творяет условиям теоремы 3;
3) максимальное решение ri(t, t0,w0), i = 1,2, задач
dw
dt
= g(t,w),w(t0) = w0 ≥ 0, (13)
dv
dt
= g1(t,v),v(t0) = v0 ≥ 0,
существует при всех t ≥ t0.
Тогда при начальных условиях D[W0,Θ0]≤min{w0,v0}= u0 выполняется оценка
D[Wβ (t),Θ0]≤ r(t, t0,u0)
при всех t ≥ t0 и β ∈ [0,1], где r(t, t0,u0) = max{r1(t, t0,w0),r2(t, t0,v0)}.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
Следствие 1. Пусть в теореме 4 функция
g(t,D[W,Θ0]) = λ (t)D[W,Θ0], λ (t)≥ 0.
Тогда
D[Wβ (t),Θ0]≤ D[W (t0),Θ0]exp
t∫
t0
λ (s)ds
(14)
при всех t ≥ t0 и β ∈ [0,1].
Оценка (14) следует из того, что для решения r(t, t0,w0) уравнения (13) выполняется нера-
венство
r(t, t0,w0)≤ r(t0)exp
t∫
t0
λ (s)ds
, t ≥ t0.
Если в оценке (14) λ (t) = λ = const > 0, то
D[Wβ (t),Θ0]≤ D[W (t0),Θ0]e−λ (t−t0)
при всех t ≥ t0 и β ∈ [0,1].
Если I = [0,∞), то нетрудно видеть, что limt→∞ D[Wβ (t),Θ0] = 0 и, следовательно, множество
решений семейства уравнений (4) стремится к стационарному решению Θ0 ∈ Kc(Rn).
4. Условия существования множества решений. Рассмотрим задачу о существовании и
единственности решения семейства уравнений (4) при условиях более слабых, чем условие
Липшица.
Введем обозначения B(W0,a)= {W ∈Kc(Rn) : D[W,W0]≤ a}, T= I×B(W0,a), Tc = I× [0,2a].
Справедливо следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
280 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Теорема 5. Пусть выполняются следующие условия:
1) при всех β ∈ [0,1] Fβ (t,W ) ∈C(T,Kc(Rn)) и D[Fβ (t,W ),Θ0]≤M0, где M0 = M0(β )> 0;
2) существует функция g(t,w) ∈C(Tc,R+), g(t,w)≤M1 на Tc и g(t,0) = 0, не убывающая
по w, такая, что уравнение движения
dw
dt
= g(t,w), w(t0) = 0, (15)
имеет нулевое решение на I;
3) для любых (t,W ) ∈ T справедлива оценка
D[Fβ (t,W ),Fβ (t,V )]≤ g(t,D[W,V ])
при всех β ∈ [0,1].
Тогда последовательные приближения
Wn+1(t) =W0 +
t∫
t0
Fβ (s,Wn(s))ds, n = 0,1,2, . . . , (16)
существуют на I0 = I ∩ [t0, t0 +η ], где η = min{I,a/M}, M = max
{
minβ∈[0,1] M0(β ),M1
}
, как
непрерывные функции, и равномерно сходятся к решению W (t) задачи (4) при всех β ∈ [0,1].
Доказательство. При любом n = 0,1,2, . . . для элементов последовательности (16) имеем
оценку
D[Wn+1(t),W0] = D
W0 +
t∫
t0
Fβ (s,Wn(s))ds,W0
=
= D
t∫
t0
Fβ (s,Wn(s))ds,Θ0
≤ t∫
t0
D
[
Fβ (s,Wn(s)),Θ0
]
ds≤
≤M0(β )(t− t0)≤M0(β )I ≤ a
при всех β ∈ [0,1]. Отсюда следует, что последовательность (16) корректно определена на
I0 ⊆ I.
Для начальной задачи (15) последовательные приближения {wn(t)} определим так:
w0(t) = M(t− t0),
wn+1(t) =
t∫
t0
g(s,wn(s))ds
при всех n = 0,1,2, . . . для значений t ∈ I0. Из условия 2 теоремы следует, что
0≤ wn+1(t)≤ wn(t) при всех t ∈ I0. (17)
Из условия (17) и того, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 281∣∣∣∣dwn
dt
∣∣∣∣≤ g(t,wn−1(t))≤M1,
в силу теоремы Асколи – Арцела следует предельное соотношение limn→∞ wn(t) = w(t) равно-
мерно по t ∈ I0. Функция w(t) является решением задачи (15) и w(t)≡ 0 при всех t ∈ I0.
Нетрудно видеть, что
D[W1(t),W0]≤
t∫
t0
D[Fβ (s,W0),Θ0]ds≤M(t− t0) = w0(t).
Пусть для некоторого k > 1 выполняется оценка
D[Wk(t),Wk−1(t)]≤ wk−1(t)
при всех t ∈ I0. Поскольку
D[Wk+1(t),Wk(t)]≤
t∫
t0
D[Fβ (s,Wk(s)),Fβ (s,Wk−1(s))]ds,
при всех β ∈ [0,1] получаем
D[Wk+1(t),Wk(t)]≤
t∫
t0
g(s,D[Wk(s),Wk−1(s)])ds≤
≤
t∫
t0
g(s,wk−1(s))ds = wk(t).
Отсюда по индукции следует неравенство
D[Wn+1(t),Wn(t)]≤ wn(t), t ∈ I0,
при всех n = 0,1,2, . . . .
Пусть u(t) = D[Wn+1(t),Wn(t)], t ∈ I0. Тогда
D+u(t)≤ g(t,D[Wn(t),Wn−1(t)])≤ g(t,wn−1(t)) при всех t ∈ I0.
Далее, пусть n≤ m и v(t) = D[Wn(t),Wm(t)]. Учитывая последовательность (16), получаем
D+v(t)≤ D[DHWn(t),DHWm(t)] = D[Fβ (t,Wn−1(t)),Fβ (t,Wm−1(t))]≤
≤ D[Fβ (t,Wn(t)),Fβ (t,Wn−1(t))]+D[Fβ (t,Wn(t)),Fβ (t,Wm(t))]+
+D[Fβ (t,Wm(t)),Fβ (t,Wm−1(t))]≤ g(t,wn−1(t))+g(t,wm−1(t))+
+g(t,D[Wn(t),Wm(t)])≤ g(t,v(t))+2g(t,wn−1(t)), t ∈ I0,
при любых значениях β ∈ [0,1]. Здесь учтено то, что g(t,w) — невозрастающая функция,
wm−1 ≤ wn−1, n ≤ m, и последовательность wn(t) убывает. Из принципа сравнения следует
оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
282 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
v(t)≤ Rn(t) при всех t ∈ I0,
где Rn(t) — максимальное решение скалярного уравнения
drn
dt
= g(t,rn)+2g(t,wn−1(t)), rn(t0) = 0,
при всех n= 0,1,2, . . . . Поскольку при n→∞ 2g(t,wn−1(t))→ 0 равномерно по t на I0, Rn(t)→ 0
при n→∞ равномерно по t на I0. Отсюда следует равномерная сходимость последовательности
Wn(t) к W (t) при любых β ∈ [0,1].
Далее понадобится следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть
Fβ ∈C(I0×Kc(Rn),Kc(Rn)) и Gβ (t,r) =
⋃
D[W,W0]≤r
(D[Fβ (t,W ),Θ0]).
Предположим, что максимальное решение R∗(t, t0,0) = maxβ∈[0,1](r∗β (t, t0,0)) семейства урав-
нений
dw
dt
= Gβ (t,w), w(t0) = 0, (18)
существует при всех t ∈ I0.
Тогда для решения W (t) семейства уравнений (4) справедлива оценка
D[W (t),W0]≤ R∗(t, t0,0) при всех t ∈ I0.
Доказательство. Обозначим m(t) = D[W (t),W0] и вычислим D+m(t):
D+m(t) = D[DHW (t),Θ0] = D[Fβ (t,W ),Θ0]≤
≤
⋃
D[W,W0]≤r
(D[Fβ (t,W ),Θ0]) = Gβ (t,r).
Из принципа сравнения для уравнения (18) следует, что
D[W (t),W0]≤ max
β∈[0,1]
r∗
β
(t, t0,0) = R∗(t, t0,0).
Лемма 1 доказана.
Замечание 3. При выполнении условий 1 – 3 теоремы 5 и при существовании решения
w(t, t0,w0) уравнения сравнения (13), непрерывного относительно (t0,w0), решение W (t) се-
мейства систем (4) является непрерывным относительно (t0,w0). При доказательстве этого
утверждения применяется лемма 1 и принцип сравнения для скалярного уравнения.
5. Основные оценки монотонной итеративной техники. В метрическом пространстве
(Kc(Rn),D) введем частичное упорядочение. Пусть K(K0) — подмножество Kc(Rn) такое, что
для любого u ∈ X , X ∈ Kc(Rn), выполняется условие ui ≥ 0 (ui > 0) при i = 1,2, . . . ,n. При этом
K будет конусом в Kc(Rn), а K0 — его внутренностью.
Определение 2 [6]. Для любых U и V ∈ Kc(Rn) будем писать U ≥ V (U > V ), если суще-
ствует Z ∈ Kc(Rn) такое, что U =V +Z.
Аналогично определяется упорядочение U ≤V (U <V ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 283
Определение 3 [6]. Пусть отображение R(t) = maxβ∈[0,1] Rβ (t) является решением мно-
жества уравнений (4). Будем говорить, что R(t) — максимальное решение для множества
W (t) решений уравнений (4), если для любого t ∈ I0 справедлива оценка
W (t)≤ R(t).
Аналогично определяется минимальное решение множества уравнений (4).
Теорема 6. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом β ∈ [0,1] отображение Fβ (t,W ) принадлежит C(R+×Kc(Rn),Kc(Rn)) и при
(W,V ) ∈ Kc(Rn) Fβ (t,W )≤ Fβ (t,V ) при всех t ∈ R+;
2) при любых W,V ∈C1(R+,Kc(Rn)) справедливы оценки
DHW < Fβ (t,W ) и DHV ≥ Fβ (t,V )
при всех t ∈ R+ и β ∈ [0,1];
3) W (t0)<V (t0).
Тогда при всех t ≥ t0 справедлива оценка
min
β∈[0,1]
Wβ (t)< max
β∈[0,1]
Vβ (t).
Доказательство. Предположим, что при выполнении условий 1 – 3 теоремы 6 существует
пара (t∗,β ∗) ∈ I0× [0,1] такая, что при условии 3 справедливо равенство Wβ ∗(t∗) = Vβ ∗(t∗).
Тогда для t0 < t < t∗ и [0,β ∗)⊂ [0,1] верна оценка Wβ (t)≤Vβ (t). В силу условия 1 теоремы 6
получаем
DHW (t∗)< Fβ ∗(t,W )≤ Fβ ∗(t,V )≤ DHV (t∗).
Отсюда имеем
DH(Vβ ∗(t)−Wβ ∗(t))> 0 при всех t ∈ [t0, t∗].
Поскольку Vβ ∗(t)−Wβ ∗(t) — неубывающая функция на [t0, t∗],
(Vβ ∗(t)−Wβ ∗(t))> (Vβ ∗(t0)−Wβ ∗(t0))> 0
и, следовательно, Wβ ∗(t∗)<Vβ ∗(t∗). Это противоречит предположению о существовании пары
(t∗,β ∗), для которой справедливо равенство Wβ ∗(t∗) =Vβ ∗(t∗).
Теорема 6 доказана.
Приведем утверждение, в котором условие 2 теоремы 6 является нестрогим.
Теорема 7. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом β ∈ [0,1] отображение Fβ (t,W ) принадлежит C(R+×Kc(Rn),Kc(Rn)), при
(W,V ) ∈ Kc(Rn) имеет место неравенство Fβ (t,W )≤ Fβ (t,V ) при всех t ∈ R+ и
DHW ≤ Fβ (t,W ), DHV ≥ Fβ (t,V );
2) для любых X ,Y ∈ Kc(Rn) таких, что X ≥ Y, справедлива оценка
Fβ (t,X)≤ Fβ (t,Y )+L(X−Y )
для любого β ∈ [0,1] и t ∈ R+, где L > 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
284 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
3) W (t0)≤V (t0).
Тогда при всех t ≥ t0 верна оценка
min
β∈[0,1]
Wβ (t)< max
β∈[0,1]
Vβ (t).
Доказательство. Рассмотрим множество Ṽ = V +βe2Lt , где β ∈ [0,1], L = const > 0. По-
скольку W (t0)≤V (t0)< Ṽ (t0), достаточно показать, что
Wβ (t)< Ṽβ (t) при всех t > t0
и при любом β ∈ [0,1].
Пусть существует пара (t∗,β ∗)∈R+× [0,1] такая, что при условии W (t0)< Ṽ (t0) справедли-
во равенство Wβ ∗(t∗) = Ṽβ ∗(t∗). Тогда для t0 < t < t∗ и [0,β ∗)⊂ [0,1] верна оценка Wβ (t)<Vβ (t).
Из условия 1 теоремы 7 следует, что
DHW (t∗)≤ Fβ ∗(t
∗,W (t∗))≤ Fβ ∗(t
∗,Ṽ (t∗))≤ Fβ ∗(t
∗,V (t∗))+L(Ṽ −V )≤
≤ DHV (t∗)+Lβe2Lt∗ ≤ DHV (t∗)+2Lβe2Lt∗ = DHṼ (t∗).
Отсюда имеем
DH(Vβ ∗(t)−Ṽβ ∗(t))> 0 при всех t ∈ [t0, t∗].
Поскольку функция Wβ ∗(t)−Ṽβ ∗(t) не убывает на [t0, t∗],
(Wβ ∗(t)−Ṽβ ∗(t))> (Wβ ∗(t0)−Ṽβ ∗(t0))> 0,
и отсюда следует, что
W̃β ∗(t
∗)<Vβ ∗(t
∗).
Это неравенство противоречит предположению о существовании пары (t∗,β ∗), для которой
Wβ ∗(t∗) = Ṽβ ∗(t∗).
Теорема 7 доказана.
Следствие 2. Пусть при любом β ∈ [0,1] отображение Fβ (t,W ) = σ , σ ∈C(R+,KC(Rn)),
и выполняются неравенства
DHW ≤ σ и DHV ≥ σ при всех t ≥ t0.
Тогда при выполнении условия 3 теоремы 7 справедлива оценка W (t)≤V (t) при всех t ≥ t0.
6. Итеративная техника для регуляризованного семейства уравнений. Множество урав-
нений (1) содержит параметр неточности α ∈ I, и по этой причине непосредственное примене-
ние монотонной итеративной техники для оценки решений, предложенной в монографии [6],
не представляется возможным. Преобразуем множество уравнений (1) к виду
DHX = Fβ (t,X)+G(t,X ,α),
X(0) = X0, X0 ∈ Kc(Rn),
(19)
где Fβ (t,X) = Fm(t,X)β +FM(t,X)(1−β ), G(t,X ,α)⊇ F(t,X ,α)−Fβ (t,X) при всех α ∈ I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 285
Далее будем предполагать, что Fβ ∈ C(I×Kc(Rn),Kc(Rn)) при всех β ∈ [0,1] и G ∈ C(I×
×Kc(Rn)×I,Kc(Rn)), где I ⊂ [0,T ].
Для множества уравнений (19) представляет интерес исследование пар нижних и верхних
решений при β ∈ [0,1] и при любых α ∈ I.
Определение 4 [6]. Пусть V,W принадлежат C1(I,Kc(Rn)). Множества V, W называ-
ются:
а) естественным нижним и верхним решением семейства уравнений (19), если
DHV ≤ Fβ (t,V )+G(t,V,α),
DHW ≥ Fβ (t,W )+G(t,W,α)
(20)
при всех β ∈ [0,1], любых α ∈ I и t ∈ I;
б) связанной парой нижнего и верхнего решений семейства уравнений (19) типа I, если
DHV ≤ Fβ (t,V )+G(t,W,α),
DHW ≥ Fβ (t,W )+G(t,V,α)
(21)
при всех β ∈ [0,1], любых α ∈ I и t ∈ I;
в) связанной парой нижнего и верхнего решений семейства уравнений (19) типа II, если
DHV ≤ Fβ (t,W )+G(t,V,α),
DHW ≥ Fβ (t,V )+G(t,W,α)
(22)
при всех β ∈ [0,1], любых α ∈ I и t ∈ I;
г) связанной парой нижнего и верхнего решений семейства уравнений (19) типа III, если
DHV ≤ Fβ (t,W )+G(t,W,α),
DHW ≥ Fβ (t,V )+G(t,V,α)
при всех β ∈ [0,1], любых α ∈ I и t ∈ I.
Заметим, что если V (t) ≤W (t) при всех t ∈ I, отображение Fβ (t,X) при всех β ∈ [0,1] не
убывает по X при любом t ∈ I и отображение G1(t,Y ) не возрастает по Y при любом t ∈ I, то
пары нижних и верхних решений, определенные в случаях а) и г), редуцируют к определению
б). Отсюда следует, что достаточно рассмотреть случаи, определяемые неравенствами (21) и
(22).
Теорема 8. Предположим, что:
1) существует пара верхних и нижних решений, удовлетворяющая неравенствам (21), и,
кроме того, Vβ (t)<Wβ (t) при всех t ∈ I;
2) при любом β ∈ [0,1] отображение Fβ принадлежит C(I×Kc(Rn),Kc(Rn)) и Fβ не убы-
вает по X при каждом t ∈ I;
3) при любом α ∈ I отображение G принадлежит C(I×Kc(Rn)×I,Kc(Rn)) и G(t,Y,α) не
возрастает по Y при любом t ∈ I;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
286 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
4) отображения Fβ и G отображают ограниченные множества в ограниченные множе-
ства в Kc(Rn) при любых β ∈ [0,1] и α ∈ I.
Тогда существуют монотонные последовательности {Vn(t)} и {Wn(t)} в Kc(Rn) такие,
что Vn(t)→ P(t) и Wn(t)→ Q(t) при n→ ∞, пара (P(t), Q(t)) является парой минимального и
максимального решений для семейства уравнений (19) и при этом
DHP(t) = Fβ (t,P)+G(t,Q,α),
DHQ(t) = Fβ (t,Q)+G(t,P,α)
при любом β ∈ [0,1] и всех α ∈ I.
Доказательство. Пусть β ∈ [0,1] и α ∈ I. Рассмотрим пару отображений (Vn+1(t),Wn+1(t)),
разрешающую при n≥ 0 семейства уравнений
DHVn+1 = Fβ (t,Vn)+G(t,Wn,α),
DHWn+1 = Fβ (t,Wn)+G(t,Vn,α)
при начальных условиях
Vn+1(0) =U0 ∈ Kc(Rn),
Wn+1(0) =U0 ∈ Kc(Rn),
где V0 ≤U0 ≤W0.
Докажем последовательность неравенств
V0 ≤V1 ≤V2 ≤ . . .≤Vn ≤Wn ≤ . . .≤W2 ≤W1 ≤W0
при всех t ∈ I и β ∈ [0,1], α ∈ I. Из условий 1, 2 теоремы 8 при V0 ≤W0 получаем
DHV0 ≤ Fβ (t,V0)+G(t,W0,α), (23)
а из соотношения (29) при n = 0 следует
DHV1 = Fβ (t,V0)+G(t,W0,α). (24)
Из неравенства (23), согласно теореме 7, имеем V0 ≤V1 при всех t ∈ I и β ∈ [0,1].
Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что W1 ≤W0 при всех t ∈ I и β ∈ [0,1].
Далее докажем, что V1 ≤W1 при всех t ∈ I. Рассмотрим семейство уравнений
DHV1 = Fβ (t,V0)+G(t,W0), (25)
DHW1 = Fβ (t,W0)+G(t,V0), (26)
V1(0) =W1(0) =U0.
В силу условий 2, 3 теоремы 8 из (25), (26) получаем неравенства
DHV1 ≤ Fβ (t,W0)+G(t,W0,α),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 287
DHW1 ≥ Fβ (t,W0)+G(t,W0,α),
из которых по теореме 7 следует, что V1 ≤W1 при всех t ∈ I и β ∈ [0,1]. Таким образом,
V0 ≤V1 ≤W1 ≤W0
при всех t ∈ I.
Рассуждения, аналогичные приведенным, позволяют установить неравенствa
Vj ≤Vj+1 ≤Wj+1 ≤Wj, j > 1, (27)
при любых t ∈ I, β ∈ [0,1]. Из оценки (27) следует, что последовательности {Vn}, {Wn} равно-
мерно ограничены на I при любом β ∈ [0,1]. Из того, что
D[Vn(t),Vn(s)]≤M1‖t− s‖ для любого s < t, (t,s) ∈ I,
и
D[Wn(t),Wn(s)]≤M2‖t− s‖ для любого s < t, (t,s) ∈ I,
где
M1 = D[Fβ (τ,Vn−1(τ)+G(τ,Wn−1(τ),α)),Θ0],
M2 = D[Fβ (τ,Wn−1(τ)+G(τ,Vn−1(τ),α)),Θ0],
согласно теореме Арцела – Асколи следует, что
{Vn}→ P(t) и {Wn}→ Q(t) при n→ ∞
и
V0 ≤ P(t)≤Wβ (t)≤ Q(t)≤W0 (28)
при всех β ∈ [0,1], т. е. пара (P(t),Q(t)) является минимальным и максимальным решением
для семейства уравнений (19).
Теорема 8 доказана.
Поскольку отображение G(t,X) является мажорантой для разности F(t,X ,α)−Fβ (t,X) при
любом α ∈ I, представляет интерес рассмотреть некоторые свойства G(t,X) в контексте тео-
ремы 8.
Остановимся на некоторых следствиях из теоремы 8.
Следствие 3. Если в совокупности уравнений (19) отображение G(t,X ,α) ≡ 0, то (19)
обращается в совокупность уравнений (4) и при дополнительном условии о неубывании функ-
ции Fβ (t,X) по X оценка (28) остается в силе.
Следствие 4. Пусть в совокупности уравнений (19) отображение G(t,X ,α)≡ 0 и Fβ (t,X)
не является отображением, не убывающим по X при всех t ∈ I и β ∈ [0,1]. Если существует
постоянная M > 0 такая, что отображение F̃β (t,X) = MX +Fβ (t,X) является не убывающим
по X при всех t ∈ I и β ∈ [0,1], то для совокупности начальных задач
DHU +MU = F̃β (t,U), U(0) =U0,
справедлива оценка вида (28).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
288 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Следствие 5. Пусть в системе (19) G(t,Y,α) является не возрастающей по Y и Fβ (t,X)
не является монотонной при всех t ∈ I и β ∈ [0,1]. Если существует постоянная M > 0
такая, что F̃β (t,X) = MX +F(t,X) — неубывающее отображение при всех β ∈ [0,1], то для
совокупности начальных задач
DHU +MU = F̃β (t,U)+G(t,U,α), U(0) =U0,
справедливо утверждение теоремы 8.
Следствие 6. Пусть в совокупности уравнений (19) Fβ (t,X) (не убывающая по X при всех
t) и G(t,X) не являются монотонными. Если существуют постоянная M > 0 и отображение
G̃(t,X) такие, что
G(t,X ,α) = MX + G̃(t,X),
а
G̃(t,X ,) = G(t,X ,α)−MX
не возрастает по X , то для совокупности начальных задач
DHŨ = F0
β
(t,Ũ)+ G̃(t,Ũ), Ũ(0) =U0,
где F0
β
(t,Ũ) = Fβ (t,ŨeMt)e−Mt , G̃(t,Ũ) = G(t,ŨeMt)e−Mt , справедливо утверждение теоремы 8.
Далее рассмотрим итеративную технику для семейства уравнений (19) в случае пары ре-
шений типа II, удовлетворяющей уравнениям (22).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 9. Пусть выполняются условия 2 – 4 теоремы 8. Тогда для любого решения Xβ (t)
семейства уравнений (19) такого, что V0 ≤ Xβ (t)≤W0 при всех t ∈ I и β ∈ [0,1], существуют
последовательности {Vn}, {Wn} такие, что
V0 ≤V2 ≤ . . .≤V2n ≤ Xβ (t)≤V2n+1 ≤ . . .≤V3 ≤V1,
W1 ≤W3 ≤ . . .≤V2n+1 ≤ Xβ (t)≤W2n ≤ . . .≤W2 ≤W0
при всех t ∈ I и β ∈ [0,1] при условии, что V0 ≤ V2 и W2 ≤W0 на I. При этом совокупности
итерационных схем
DHVn+1 = Fβ (t,Wn)+G(t,Vn,α), Vn+1(0) = X0,
DHWn+1 = Fβ (t,Vn)+G(t,Wn,α), Wn+1(0) = X0,
порождают монотонные последовательности {V2n}, {V2n+1}, {W2n}, {W2n+1} ∈ Kc(Rn), схо-
дящиеся к множествам P(t), Q(t), P∗(t), Q∗(t) ∈ Kc(Rn) соответственно и удовлетворяющие
совокупности уравнений
DHQ = Fβ (t,Q
∗)+G(t,P(t),α), Q(0) = X0,
DHP = Fβ (t,P
∗)+G(t,Q(t),α), P(0) = X0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 289
DHQ∗ = Fβ (t,Q)+G(t,P∗,α), Q∗(0) = X0,
DHP∗ = Fβ (t,P)+G(t,Q∗,α), P∗(0) = X0,
при всех t ∈ I и β ∈ [0,1].
Доказательство. Определим V0 и W0 соотношениями
R0 +V0 = Z и W0 = Z +R0,
где R0 = (R01, . . . ,R0n) ∈ Kc(Rn) и Z(t) — решение семейства уравнений
DHZ = Fβ (t,Θ)+G(t,Θ,α), Z(0) = X0.
Здесь Θ ∈ Kc(Rn) и V0 ≤ Θ ≤W0, β ∈ [0,1]. Вследствие монотонности отображений Fβ и G
справедлива оценка
DHV0 = DHZ = Fβ (t,Θ)+G(t,Θ,α)≤ Fβ (t,W0)+G(t,V0,α),
V0(0) = Z(0)−R0 < Z(0) = X0.
Аналогично получаем неравенство для W0:
DHW0 ≥ Fβ (t,V0)+G(t,W0,α), W0(0)≥ X0.
Поэтому пара (V0,W0) ∈ Kc(Rn) является парой нижних и верхних решений для задачи (19) на
I при всех β ∈ [0,1] и α ∈ I.
Пусть Xβ (t) — любое решение совокупности систем (19), такое, что V0 ≤ Xβ (t) ≤W0 при
всех t ∈ I и β ∈ [0,1]. Покажем, что
V0 ≤V2 ≤ Xβ (t)≤V3 ≤V1,
W1 ≤W3 ≤ Xβ (t)≤W2 ≤W0
при всех t ∈ I и β ∈ [0,1]. Учитывая монотонность отображений Fβ и G при всех t ∈ I и β ∈ [0,1],
а также то, что V0 ≤ Xβ (t)≤W0, имеем
DHW = Fβ (t,W )+G(t,W,α)≤ Fβ (t,W0)+G(t,V0,α), W (0) = X0,
DHV1 = Fβ (t,W0)+G(t,V0,α), V1(0) = X0,
при всех t ∈ I и β ∈ [0,1]. Отсюда следует, что Xβ (t) ≤ V1 на I при β ∈ [0,1]. Аналогично
W1≤Wβ (t) на I при β ∈ [0,1]. Чтобы показать, что V2≤Xβ (t) на I при β ∈ [0,1], рассматриваются
совокупность начальных задач
DHV2 = Fβ (t,W1)+G(t,V1,α), V2(0) = X0,
и неравенство
DHX = Fβ (t,X)+G(t,X ,α)≥ Fβ (t,W1)+G(t,V1,α), X(0) = X0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
290 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
которое приводит к оценке V2 ≤ Xβ (t) на I при всех β ∈ [0,1]. Повторяя рассуждения, анало-
гичные предыдущим, нетрудно показать, что
V2 ≤ Xβ (t)
и
Xβ (t)≤W2 при всех t ∈ I и β ∈ [0,1].
Продолжая этот процесс для n > 2, получаем
V2n−4 ≤V2n−2 ≤ Xβ (t)≤V2n−1 ≤V2n−2,
W2n−3 ≤W2n−1 ≤ Xβ (t)≤W2n−2 ≤W2n−4
при всех t ∈ I и β ∈ [0,1].
Поскольку Vn,Wn ∈ Kc(Rn) при всех n = 0,1,2, . . . , как и в теореме 8, находим, что
lim
n→∞
V2n = P(t), lim
n→∞
V2n+1 = Q(t),
lim
n→∞
W2n+1 = P∗(t), lim
n→∞
W2n = Q∗(t)
существуют в Kc(Rn) равномерно по t ∈ I при всех β ∈ [0,1] и имеют место соотношения для
множеств P(t), Q(t), P∗(t), Q∗(t), указанные в теореме 9. Кроме того, нетрудно видеть, что
P(t)≤ Xβ (t)≤ Q(t) и P∗(t)≤ Xβ (t)≤ Q∗(t) при всех t ∈ I и β ∈ [0,1].
Теорема 9 доказана.
7. Условия глобального существования решений. Вернемся к семейству уравнений (4)
и исследуем вопрос о существовании решений Wβ (t) при всех t ≥ t0 и β ∈ [0,1].
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 10. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом β ∈ [0,1] отображения Fβ ∈C(R+×Kc(Rn),Kc(Rn)) и семейство начальных
задач
DHW = Fβ (t,W ), W (t0) =W0,
имеют локальное решение для любых начальных значений (t0,W0) ∈ R+×Kc(Rn);
2) существует функция g(t,w), g ∈C(R+×R+,R), не убывающая по w и такая, что
D[Fβ (t,W ),Θ0]≤ g(t,D[W,Θ0])
при всех β ∈ [0,1] и (t,W ) ∈ R+×Kc(Rn);
3) максимальное решение r(t, t0,w0) уравнения сравнения
dw
dt
= g(t,w), w(t0) = w0 ≥ 0,
существует при всех t ≥ t0.
Тогда максимальным интервалом существования семейства решений Wβ (t) при любом
β ∈ [0,1] с начальными значениями D[W0,Θ0]≤ w0 является [t0,w).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 291
Доказательство. Пусть β ∈ [0,1] и Wβ (t) =W (t, t0,W0) — любое решение семейства урав-
нений (19) с начальными условиями D[W0,Θ0] = w0, которое существует на интервале [t0,a),
t0 < a < ∞, где величина a не может быть увеличена. Согласно условиям 2, 3 теоремы 10 и
принципу сравнения (cм. [6]), для m(t) = D[Wβ (t),Θ0] получаем оценку
m(t)≤ r(t, t0,D[W0,Θ0]), t0 ≤ t < a.
Пусть (t1, t2) ∈ (t0,β ), t1 < t2. Тогда
D[Wβ (t1),Wβ (t2)] = D
W0 +
t1∫
t0
Fβ (s,W (s))ds, W0 +
t2∫
t0
Fβ (s,W (s))ds
=
= D
t2∫
t1
Fβ (s,W (s))ds,Θ0
≤ t2∫
t1
D
[
Fβ (s,W (s)),Θ0
]
ds≤
≤
t2∫
t1
g(s,D [W (s),Θ0])ds. (29)
Из неравенства (29) имеем
D[Wβ (t1),Wβ (t2)]≤
t2∫
t1
g(s,r(s, t0,w0))ds = r(t2, t0,w0)− r(t1, t0,w0)
при всех β ∈ [0,1]. По условию 3 теоремы 10 существует limt→a− = r(t, t0,w0) и является
конечным. Если в пределе понимать t → a− как t1, t2 → a−, то согласно критерию Коши о
сходимости limt→a−Wβ (t, t0,w0) существует при всех β ∈ [0,1].
Пусть
Wβ (a, t0,w0) = lim
t→a−
Wβ (t, t0,w0).
Рассмотрим начальную задачу
DHW = Fβ (t,W ),
W (a) =Wβ (a, t0,w0).
(30)
Согласно условию 1 теоремы семейство начальных задач (30) имеет локальное решение и,
следовательно, решение Wβ (t, t0,w0) может быть продолжено за границу a. Это противоречит
сделанному выше предположению.
Теорема 10 доказана.
8. Об оценке приближенного решения множества уравнений. Семейство уравнений (4)
является некоторым приближением множества уравнений (1). Представляет интерес вопрос
об оценке погрешности приближения решений X(t) системы (1) множеством Wβ (t) решений
уравнений (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
292 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Определение 5 [6, 3]. Семейство функций Wβ (t) ∈C(R+,Kc(Rn)) является ε-приближен-
ным решением множества уравнений (1), если при заданном ε > 0 существует β ∗ ∈ [0,1]
такое, что
D[X(t),Wβ ∗(t)]≤ ε (31)
при всех t ≥ t0.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 11. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом β ∈ [0,1] отображения Fβ принадлежат C(R+×Kc(Rn),Kc(Rn)) и при всех
α ∈ I отображение F принадлежит C(R+×Kc(Rn)×I,Kc(Rn));
2) существует функция gβ (t,w) ∈C(R+×R+,R) такая, что
D[Fβ (t,W ),F(t,X ,α)]≤ gβ (t,D[W,X ])
при всех β ∈ [0,1] и любом α ∈ I;
3) существует максимальное решение r(t, t0,w0) семейства начальных задач
dw
dt
= gβ (t,w), w(t0) = w0,
при всех t ≥ t0;
4) существует хотя бы одно значение β ∗ ∈ [0,1], при котором 0 < r(t, t0,w0)< ε при всех
t ≥ t0.
Тогда Wβ ∗(t) является ε-приближенным решением начальной задачи (1), как только
D[W0,X0]≤ w0.
Доказательство. При выполнении условий 1 – 3 теоремы 11 в силу теоремы 2 имеем
оценку
D[X(t),Wβ (t)]≤ r(t, t0,w0)
при всех t ≥ t0, β ∈ [0,1]. При выполнении условия 4 теоремы 11 находим, что Wβ ∗(t) принад-
лежит Kc(Rn) и является ε-приближенным решением задачи (1) в смысле определения 4.
Замечание 4. Оценка (31) в определении 4 отличается от традиционной в определениях
ε-приближенного решения (см. [6, 3]) тем, что в данном случае приближенным решением для
множества уравнений (1) является семейство функций Wβ (t), которое, в свою очередь, является
точным решением для регуляризованного уравнения (4).
9. Эйлеровы решения для регуляризованного уравнения (4). Рассмотрим начальную
задачу для семейства уравнений
DHW = Fβ (t,W ), W (t0) =W0, (32)
где W ∈ Kc(Rn) и Fβ ∈C(I×Kc(Rn),Kc(Rn)) при всех β ∈ [0,1]. Интервал [t0, t0 + d] разделим
на отрезки
T= [t0, t1, . . . , tN = t0 +d]
и рассмотрим на интервале [t0, t1] начальную задачу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 293
DHW = Fβ (t0,W0), W (t0) =W0 ∈ Kc(Rn),
при всех β ∈ [0,1]. Эта задача имеет решение W (t) = W (t, t0,w0) при всех t ∈ [t0, t1]. В точке
t = t1 вычислим W (t1) =W1 и рассмотрим задачу
DHW = Fβ (t1,W1), W1(t1) =W1 ∈ Kc(Rn),
для которой W (t) = W (t, t1,W1) будет решением при всех t ∈ [t1, t2]. Продолжая этот процесс,
получаем решение W (t) на интервале [t0, t0 +d].
Пусть diamT= max{ti− ti−1 : 1≤ i≤ N} — диаметр эйлерового прямоугольника.
Определение 6. Многозначное отображение W (t) является эйлеровым решением семей-
ства уравнений (32), если последовательность решений уравнений на T равномерно сходится
при diamT→ 0 при N→ ∞ при всех β ∈ [0,1].
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 12. Пусть выполняются следующие условия:
1) при любом β ∈ [0,1] семейство многозначных отображений Fβ принадлежит C(I ×
×Kc(Rn),Kc(Rn)) и существует функция gβ (t,w), не убывающая по w и такая, что
D[Fβ (t,W ),Θ0]≤ gβ (t,D[W,Θ0])
при всех (t,W ) ∈ I×Kc(Rn);
2) максимальное решение r(t, t0,w0) семейства уравнений
dw
dt
= gβ (t,w), w(t0) = w0,
существует на [t0, t0 +d].
Тогда:
а) существует, по крайней мере, одно семейство отображений Wβ (t), являющееся эйле-
ровым решением семейства уравнений (32);
б) любое эйлерово решение Wβ (t) семейств уравнений (32) удовлетворяет оценке
D[Wβ (t),W0]≤ r(t, t0,w0)−w0
при всех t ∈ [t0, t0 +d] и β ∈ [0,1], как только w0 = D[W0,Θ0].
Доказательство. В точках ti ∈ T обозначим значения Wβ (t) так: W0,W1, . . . ,WN , т. е.
Wβ (ti) =Wi, i = 0,1, . . . ,N−1. На любом интервале (ti, ti+1) имеем
D[DHWβ (t),Θ0]
∣∣
T = D[Fβ (ti,Wi),Θ0]≤ gβ (ti,D[Wi,Θ0]) (33)
в силу условия 1 теоремы 12. Поэтому
D[W1(t),W0] = D
W0 +
t∫
t0
Fβ (t0,W0)ds,W0
= D
t∫
t0
Fβ (t0,W0)ds,Θ0
≤
≤
t∫
t0
D
[
Fβ (t0,W0),Θ0
]
ds≤
t∫
t0
gβ (t0,D[t0,W0])ds≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
294 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
≤
t∫
t0
gβ (s,r(s))ds = r(t, t0,D[W0,Θ0])−D[W0,Θ0]≤
≤ r(t0 +d, t0,D[W0,Θ0])−D[W0,Θ0] = Φ = const > 0
при всех t ∈ [t0, t1] и β ∈ [0,1]. Продолжая этот процесс, нетрудно получить оценку
D[Wi(t),W0]≤ r(t0 +d, t0,D[W0,Θ0])−D[W0,Θ0] = Φ
на [ti, ti+1]. Отсюда следует, что D[Wβ (t),Θ0]
∣∣
T ≤ Φ при всех t ∈ [t0, t0 + d] и β ∈ [0,1]. Кроме
того, из оценки (33) находим
D[DHWβ (t),Θ0]
∣∣
T ≤ gβ (t0 +d,r(t0 +d)) =
=
dr
dt
(t0 +d,D[W0,Θ0]) = ψ = const > 0.
Далее, для t0 ≤ s≤ t ≤ t0 +d имеем
D[Wβ (t),Wβ (s)]
∣∣
T ≤
t∫
t0
D
[
Fβ (τ,W (τ)),Θ0
]∣∣
Tdτ +
s∫
t0
D
[
Fβ (τ,W (τ)),Θ0
]∣∣
Tdτ ≤
≤
t∫
t0
gβ (τ,r(τ))dτ +
s∫
t0
gβ (τ,r(τ))dτ =
t∫
s
gβ (τ,r(τ))dτ =
= r(t)− r(s) = r′(σ)|t− s| ≤ ψ|t− s|
при всех β ∈ [0,1] для некоторого s ≤ σ ≤ t. Отсюда следует, что {Wβ (t)}
∣∣
T удовлетворяет
условию Липшица с постоянной ψ при всех t ∈ [t0, t0 +d].
Пусть разделение отрезка [t0, t0 +d] такое, что diamT→ 0 при N→ ∞. Тогда любая „дуга”
Wβ (t) на (ti, ti+1), i = 1,2, . . . ,N, удовлетворяет условиям
Wβ (t0)
∣∣
T =W0, D[Wβ (t),W0]
∣∣
T ≤Φ
и
D[DHWβ ,Θ0]
∣∣
T ≤ ψ при t ∈ [t0, t0 +d]
при всех β ∈ [0,1]. Отсюда следует, что семейство дуг {Wβ (t)}
∣∣
T является непрерывным и
равномерно ограниченным и поэтому в силу теоремы Асколи – Арцела существует подпосле-
довательность, которая равномерно сходится к многозначному отображению Wβ (t) на [t0, t0+d]
и является абсолютно непрерывной на [t0, t0 +d].
Теорема 12 доказана.
10. Комментарии и библиография. Семейство уравнений вида (1) с неточными значе-
ниями параметров рассматривалось во многих работах (см. [1, 8] и приведенную в них биб-
лиографию). В работах [2, 3] установлены условия существования решений множества систем
дифференциальных уравнений в случае отсутствия в правой части параметра неточности α ∈ I.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ МНОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ . . . 295
В основу этой статьи положены результаты работ [6, 7] и их развитие. В пункте 2 приведена
процедура регуляризации семейства уравнений возмущенного движения и сформулированы за-
дачи исследования. В пункте 3 рассмотрена задача о вилке Чаплыгина для множества решений
семейства уравнений и установлены оценки расстояния между верхним и нижним решениями
регуляризованных уравнений. В пункте 4 установлены условия существования решений регу-
ляризованного семейства уравнений. В пункте 5 приведены некоторые оценки для множества
решений, которые применяются далее при разработке монотонной итеративной техники для
регуляризованного семейства уравнений. В пункте 6 изложены результаты разработки итера-
тивной техники для системы (1) путем применения регуляризованного семейства уравнений
(4). В пункте 7 приведена теорема о глобальном существовании решений семейства уравнений
(4). В пункте 8 исследуется задача об оценке приближенного решения семейства уравнений
(4). В пункте 9 обсуждается задача о существовании эйлеровых решений для семейства ре-
гуляризованных уравнений и устанавливаются некоторые их оценки. Полученные результаты
могут оказаться полезными при исследовании некоторых моделей динамического поведения
пучков заряженных частиц (см. [11] и приведенную в ней библиографию).
1. Мартынюк-Черниенко Ю. А. Неточные динамические системы: устойчивость и управление движением. – Киев:
Феникс, 2009.
2. Pinto B. L., De Blasi A. J., Ievorlino F. Uniquenees and existence theorems for differential equations with convex-
valued solutions // Boll. Unione mat. ital. – 1970. – 3. – P. 47 – 54.
3. Плотников А. В., Скрыпник Н. В. Дифференциальные уравнения с „четкой” и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 2009. – 191 с.
4. Walter W. Differential and integral inequalities. – Berlin: Springer, 1970. – 352 p.
5. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А. А. Устойчивость движения: метод сравнения. – Киев: Наук. думка,
1991. – 248 с.
6. Lakshmikantham V., Bhaskar T. G., Devi J. V. Theory of set differential equations in metric spaces. – Cambridge:
Cambridge Sci. Publ., 2006. – 202 p.
7. Мартынюк А. А., Мартынюк-Черниенко Ю. А. Анализ множества уравнений нелинейной динамики: оценки
решений и принцип сравнения // Дифференц. уравнения. – 2012. – 10. – С. 1395 – 1403.
8. Martynyuk A. A., Martynyuk-Chernienko Yu. A. Uncertain dynamical systems: stability and motion control. – Boca
Raton: CRC Press Taylor and Francis Group, 2012. – 296 p.
9. Мартынюк А. А., Мартынюк-Черниенко Ю. А. Устойчивость движения нелинейных систем с нечеткой харак-
теристикой параметров // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 1. – С. 50 – 70.
10. Filippov A. F. Differential equations with discontinuous Righand right-hand sides. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1988. – 304 p.
11. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных
пучков. – СПб: Изд. СПб. ун-та, 1998. – 274 с.
Получено 16.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|