Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом
В области, являющейся декартовым произведением отрезка [0,T] и пространства Rᴾ , исследована задача с интегральными условиями по временной координате для гиперболических по Гордингу уравнений с постоянными коэффициентами в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены кр...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164991 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом / А.М. Кузь, Б.Й. Пташник // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 252-265. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164991 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649912020-02-12T01:29:19Z Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом Кузь, А.М. Пташник, Б.Й. Статті В области, являющейся декартовым произведением отрезка [0,T] и пространства Rᴾ , исследована задача с интегральными условиями по временной координате для гиперболических по Гордингу уравнений с постоянными коэффициентами в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены критерий единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли при построении решения задачи, использован метрический подход. In a domain specified in the form of a Cartesian product of a segment [0, T] and the space Rᴾ, we study a problem with integral conditions with respect to the time variable for Gårding hyperbolic equations with constant coefficients in the class of functions almost periodic in the space variables. A criterion for the unique solvability of this problem and sufficient conditions for the existence of its solution are established in different function spaces. To solve the problem of small denominators arising in the construction of solutions of the posed problem, we use the metric approach. 2013 Article Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом / А.М. Кузь, Б.Й. Пташник // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 252-265. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164991 517.946 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кузь, А.М. Пташник, Б.Й. Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом Український математичний журнал |
| description |
В области, являющейся декартовым произведением отрезка [0,T] и пространства Rᴾ , исследована задача с интегральными условиями по временной координате для гиперболических по Гордингу уравнений с постоянными коэффициентами в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены критерий единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли при построении решения задачи, использован метрический подход. |
| format |
Article |
| author |
Кузь, А.М. Пташник, Б.Й. |
| author_facet |
Кузь, А.М. Пташник, Б.Й. |
| author_sort |
Кузь, А.М. |
| title |
Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом |
| title_short |
Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом |
| title_full |
Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом |
| title_fullStr |
Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом |
| title_full_unstemmed |
Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом |
| title_sort |
задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за гордінгом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164991 |
| citation_txt |
Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордінгом / А.М. Кузь, Б.Й. Пташник // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 252-265. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kuzʹam zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlârívnânʹgíperbolíčnihzagordíngom AT ptašnikbj zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlârívnânʹgíperbolíčnihzagordíngom |
| first_indexed |
2025-07-14T17:44:12Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:44:12Z |
| _version_ |
1837645224326725632 |
| fulltext |
УДК 517.946
А. М. Кузь, Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ,
ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ
In a domain that is the Cartesian product of an interval [0, T ] and the space Rp, we investigate a problem for Gårding
hyperbolic equations having constant coefficients with integral conditions with respect to the time variable in a class of
functions almost periodic in the space variables. A criterion for the uniqueness and sufficient conditions for the existence
of a solution of the problem in different functional spaces are established. To solve the problem of small denominators that
arises in the solution of the problem, the metric approach is used.
В области, являющейся декартовым произведением отрезка [0, T ] и пространства Rp, исследована задача с ин-
тегральными условиями по временной координате для гиперболических по Гордингу уравнений с постоянными
коэффициентами в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Найдены критерий
единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения зада-
чи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые возникли при построении решения задачи, использован
метрический подход.
1. Вступ. Математичне моделювання багатьох фiзичних та бiологiчних процесiв призводить
до задач з iнтегральними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними. Такi умови викорис-
товують, зокрема, у випадках, коли межа областi є недоступною для проведення вимiрювань
або коли неможливо безпосередньо знайти певнi фiзичнi величини, однак вiдомi їхнi середнi
значення.
Задачi з iнтегральними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними вивчались у рiзних
аспектах у багатьох працях (див., наприклад, [1 – 12]). Такi задачi є умовно коректними, а їх
розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих знаменникiв [8]. У статтi [10] у
класi функцiй, майже перiодичних за просторовими змiнними, дослiджено задачу з умовами у
виглядi послiдовних моментiв за часом вiд шуканої функцiї для гiперболiчного за Петровським
рiвняння зi сталими дiйсними коефiцiєнтами, однорiдного за порядком диференцiювання. Вста-
новлено метричнi оцiнки знизу малих знаменникiв, якi виникли при побудовi розв’язку задачi.
У працi [5] у класi перiодичних за просторовими змiнними функцiй дослiджено задачу з
iнтегральними умовами у виглядi послiдовних моментiв вiд шуканої функцiї для безтипного
рiвняння високого порядку з молодшими членами зi сталими коефiцiєнтами. Встановлено кла-
сичну коректнiсть задачi для майже всiх (щодо мiри Гаусдорфа на прямiй) значень верхньої
межi iнтегрування. В роботi [2] дослiджено коректнiсть задачi у просторах Соболєва скiнчен-
ного порядку перiодичних по x функцiй з умовами
T∫
0
(
b11(τ) b12(τ)
b21(τ) b22(τ)
)(
u(τ, ·)
∂u(τ, ·)/∂t
)
dτ =
(
ϕ1
ϕ2
)
для гiперболiчного рiвняння
∂2u
∂t2
− a2(t)∆u = 0 в областi
{
(t, x) : t ∈ (0, T ), x ∈ Ωp
}
, де
Ωp = (R/2πZ)p — p-вимiрний тор.
У данiй працi, що є розвитком [6], дослiджено однозначну розв’язнiсть задачi iз загальнi-
шими умовами за часовою координатою (частинним випадком яких є умови типу Дiрiхле або
c© А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК, 2013
252 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 253
iнтегральнi умови у виглядi моментiв довiльного порядку вiд шуканої функцiї) у класi май-
же перiодичних за просторовими змiнними функцiй для гiперболiчного за Гордiнгом рiвняння
високого порядку зi сталими комплексними коефiцiєнтами.
2. Основнi позначення. Zp+ — множина точок з Rp, p > 1, з цiлими невiд’ємними
координатами;
x = (x1, . . . , xp) ∈ Rp, dx = dx1 . . . dxp;
k = (k1, . . . , kp) ∈ Zp, ‖k‖ =
√
k2
1 + . . .+ k2
p, |k| = |k1|+ . . .+ |kp|;
s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |s| = s1 + . . .+ sp;
ŝ = (s0, s1, . . . , sp) ∈ Zp+1
+ , |ŝ| = s0 + s1 + . . .+ sp;
µk = (µk1 , . . . , µkp) ∈ Rp, ‖µk‖ =
√
µ2
k1
+ . . .+ µ2
kp
, |µk| = |µk1 |+ . . .+ |µkp |;
(µk, x) = µk1x1 + . . .+ µkpxp; Dp = (0, T )× Rp, Πp
H = [0, H]p;
Cmn — кiлькiсть усiх комбiнацiй з n елементiв по m; [a] i {a} — цiла i дробова частини числа
a ∈ R; Sq — симетрична група всiх перестановок перших q натуральних чисел; ρω — число
iнверсiй у перестановцi ω = (i1, . . . , iq) ∈ Sq; J2n — множина всiх векторiв J = (j1, . . . , j2n),
jq ∈ {0, 1}, q ∈ {1, . . . , 2n}; Cj , j = 1, 2, . . . , — додатнi сталi, якi не залежать вiд k та µk.
3. Функцiональнi простори. ChB(D
p
) — простiр функцiй u(t, x), якi є h разiв неперервно
диференцiйовними в D
p
за всiма змiнними i майже перiодичними [13, 14] по x рiвномiрно
по t ∈ [0, T ] iз нормою
∥∥u;ChB(D
p
)
∥∥ =
∑
06|ŝ|6h
max
t∈[0,T ]
sup
x∈Rp
∣∣∣∣∣ ∂|ŝ|u(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp
p
∣∣∣∣∣ ; ChB(Rp) —
простiр функцiй iз ChB(D
p
), якi не залежать вiд t; TB — простiр скiнченних тригонометрич-
них полiномiв v(x) =
∑
|k|6N
vk exp(iµk, x) з комплексними коефiцiєнтами, у якому збiжнiсть
визначається таким чином: vq
TB−−−→
q→∞
v, якщо, починаючи з деякого номера, степенi всiх по-
лiномiв vq, q ∈ N, не перевищують деякого фiксованого числа N i vqk −−−→
q→∞
vk при кож-
ному k ∈ Zp; Wα, β
B , α, β ∈ R, — простiр, отриманий шляхом поповнення простору TB
за нормою [15]
∥∥v;Wα, β
B
∥∥ =
(∑
k∈Zp
|vk|2
(
1 + |µk|
)2α
exp
(
2β|µk|
))1/2
; Ch
(
[0, T ],Wα, β
B
)
—
простiр функцiй u(t, x) таких, що для довiльного фiксованого t ∈ [0, T ] похiднi dju(t, ·)/dtj ,
j ∈ {0, 1, . . . , h}, належать простору Wα, β
B i є неперервними по t ∈ [0, T ] у нормi цього
простору,
∥∥∥u;Ch
(
[0, T ],Wα, β
B
)∥∥∥ =
∑n
j=0
max
t∈[0,T ]
∥∥∥dju(t, ·)/dtj ;Wα, β
B
∥∥∥ ; T ′B — простiр усiх ан-
тилiнiйних неперервних функцiоналiв над TB. Послiдовнiсть fq ∈ T ′B збiгається до f ∈ T ′B,
якщо 〈fq, v〉 −−−→
q→∞
〈f, v〉 для довiльного v ∈ TB
(
〈f, v〉 позначає дiю функцiонала f ∈ T ′B на
елемент v ∈ TB
)
. Елементи простору T ′B будемо називати узагальненими майже перiодичними
функцiями. Простiр TB неперервно вкладається у T ′B таким чином: якщо w ∈ TB, то елемент
fw ∈ T ′B, який вiдповiдає елементовi w, визначається так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
254 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
〈fw, v〉 = lim
H→∞
1
Hp
∫
Πp
H
w(x)v(x)dx ∀v ∈ TB.
Для довiльної функцiї f ∈ T ′B нерiвнiсть 〈f, exp(iµ, x)〉 6= 0 справджується не бiльше нiж для
злiченної кiлькостi векторiв µ ∈ Rp. Сукупнiсть векторiв {µk, k ∈ Zp}, для яких
〈f, exp(iµk, x)〉 6= 0, називається спектром узагальненої майже перiодичної функцiї f, а ряд∑
k∈Zp
fk exp(iµk, x), де fk = 〈f, exp(iµk, x)〉, — рядом Фур’є цiєї функцiї. Ch
(
[0, T ], TB
)(
Ch([0, T ], T ′B)
)
— простiр функцiй u(t, x), якi є h разiв неперервно диференцiйовними в D
p
за змiнною t i для довiльного фiксованого t ∈ [0, T ] похiднi dju(t, ·)/dtj , j ∈ {0, 1, . . . , h},
належать простору TB (T ′B) .
Теорема 1. Для довiльної узагальненої майже перiодичної функцiї f її ряд Фур’є збiгаєть-
ся до f у просторi T ′B. Навпаки, послiдовнiсть частинних сум будь-якого тригонометричного
ряду
∑
k∈Zp
ak exp(iµk, x), ak ∈ C, збiгається у T ′B до деякого елемента f ∈ T ′B i цей ряд
збiгається з рядом Фур’є для f.
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 6.2 у [16] (§6).
Наслiдок 1. Простiр TB є щiльним у T ′B.
4. Постановка задачi. В областi Dp розглядаємо задачу
L[u] :=
∑
|ŝ|62n
Aŝ
∂|ŝ|u(t, x)
∂ts0∂xs11 · · · ∂x
sp
p
= 0, n > 1, (1)
Uj [u] := αj
∂2(j−1)u
∂t2(j−1)
∣∣∣∣∣
t=0
+ βj
T∫
0
trju(t, x)dt = ϕj(x),
Un+j [u] := αn+j
∂2(j−1)u
∂t2(j−1)
∣∣∣∣∣
t=T
+ βn+j
T∫
0
trn+ju(t, x)dt = ϕn+j(x),
j ∈ {1, . . . , n}, (2)
де Aŝ ∈ C, A(2n,0,...,0) = 1; αj , βj ∈ R, α2
j + β2
j 6= 0, rj ∈ Z+, j ∈ {1, . . . , 2n}, rq > rs, q > s,
r = r1 + . . . + r2n. Вважаємо, що оператор L є гiперболiчним за Гордiнгом [17, c. 148], тобто
для всiх ξ = (ξ1, . . . , ξp) ∈ Rp
Re λj(ξ) 6 C0, j ∈ {1, . . . , 2n}, (3)
де λj(ξ) — коренi рiвняння ∑
|ŝ|62n
Aŝ(iξ1)s1 . . . (iξp)
spλs0 = 0, (4)
C0 ∈ R — деяка стала, а функцiї ϕj(x), j ∈ {1, . . . , 2n}, є майже перiодичними iз заданим
спектром Mp := {µk, k ∈ Zp}, µ−k = −µk,
d2|k|σ 6 |µk| 6 d1|k|σ, d1, d2, σ > 0. (5)
Кожна з функцiй ϕj(x) розвивається в ряд Фур’є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 255
ϕj(x) =
∑
µk∈Mp
ϕjk exp(iµk, x), (6)
ϕjk = lim
H→∞
1
Hp
∫
Πp
H
ϕj(x) exp(−iµk, x)dx, µk ∈Mp.
Далi нам знадобляться наступнi твердження.
Лема 1. Якщо функцiя v належить ChB(Rp) i має спектр Mp, то для її коефiцiєнтiв
Фур’є справджуються оцiнки
|vk| 6 (2p)h(h+ 1)
∥∥v;ChB(Rp)
∥∥(
1 + |µk|
)h , µk ∈Mp. (7)
Доведення проводиться за схемою доведення леми 1 у [6].
Лема 2. Для довiльних xq, yq ∈ C, q ∈ {1, . . . , n}, справджується рiвнiсть
n∏
q=1
(xq + yq) =
1∑
j1=0
. . .
1∑
jn=0
n∏
q=1
x
jq
q
n∏
s=1
y1−js
s .
Доведення проводиться методом математичної iндукцiї.
5. Єдинiсть розв’язку задачi. Майже перiодичний по x зi спектромMp розв’язок задачi (1),
(2) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
µk∈Mp
uk(t) exp(iµk, x). (8)
Пiдставляючи ряди (6), (8) у рiвняння (1) та умови (2), отримуємо для знаходження кожного з
коефiцiєнтiв uk(t), вiдповiдно, таку задачу:
l[uk] :=
∑
|ŝ|62n
Aŝ(iµk1)s1 . . . (iµkp)spu
(s0)
k (t) = 0, (9)
Uj [uk] := αj
d2(j−1)uk(0)
dt2(j−1)
+ βj
T∫
0
trjuk(t)dt = ϕjk,
Un+j [uk] := αn+j
d2(j−1)uk(T )
dt2(j−1)
+ βn+j
T∫
0
trn+juk(t)dt = ϕn+j,k,
j ∈ {1, . . . , n}. (10)
Нехай λlk := λl(µk), l ∈ {1, . . . ,m}, — рiзнi коренi рiвняння (4) при ξ = µk, µk ∈ Mp, iз
кратностями nl вiдповiдно, n1 + . . .+ nm = 2n. Для спрощення викладок вважаємо, що числа
m i nl не залежать вiд µk i λl(µk) 6= 0, µk ∈Mp, l ∈ {1, . . . ,m}.
Для коренiв λlk справджуються такi оцiнки [18]:
|λlk| 6 C1
(
1 + |µk|
)
, C1 = (2n)p max
|ŝ|62n
{Aŝ}, l ∈ {1, . . . ,m}, µk ∈Mp. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
256 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Iз (11) випливає, що стала C2 := −min
{
0, infµk∈Mp minl∈{1,...,m}
{
Reλlk/
(
1 + |µk|
)}}
iснує i
є скiнченною, причому
Reλlk > −C2
(
1 + |µk|
)
, l ∈ {1, . . . ,m}, µk ∈Mp. (12)
Нехай fqk := fq(µk, t), q ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈ Mp, — нормальна фундаментальна система
розв’язкiв рiвняння (9). Для кожного µk ∈ Mp характеристичний визначник задачi (9), (10) є
таким:
∆(µk, T ) := det ‖Uj [fqk]‖2nq,j=1 =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α1f1(µk, 0) + β1I11 . . . α1f2n(µk, 0) + β1I2n,1
. . . . . . . . .
αnf
(2(n−1))
1 (µk, 0) + βnI1n . . . αnf
(2(n−1))
2n (µk, 0) + βnI2n,n
αn+1f1(µk, T ) + βn+1I1,n+1 . . . αn+1f2n(µk, T ) + βn+1I2n,n+1
. . . . . . . . .
α2nf
(2(n−1))
1 (µk, T ) + β2nI1,2n . . . α2nf
(2(n−1))
2n (µk, T ) + β2nI2n,2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, (13)
де
Iqj := Iqj(µk, T ) =
T∫
0
trjfq(µk, t)dt, q, j ∈ {1, . . . , 2n}. (14)
Задача (9), (10) не може мати двох рiзних розв’язкiв тодi i лише тодi, коли ∆(µk, T ) 6= 0 [20].
Теорема 2. Для того щоб задача (1), (2) мала не бiльше одного майже перiодичного по x
iз спектром Mp розв’язку у просторi C2n
(
[0, T ], TB
)(
C2n([0, T ], T ′B)
)
, необхiдно i достатньо,
щоб виконувалась умова
∆(µk, T ) 6= 0 ∀µk ∈Mp. (15)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 1 у [6].
6. Iснування розв’язку задачi. Далi вважатимемо, що виконується умова (15). Тодi для
кожного µk ∈Mp iснує єдиний розв’язок задачi (9), (10), який зображується формулою
uk(t) =
2n∑
q,j=1
∆jq(µk, T )
∆(µk, T )
ϕjkfq(µk, t), (16)
де ∆jq(µk, T ) — алгебраїчне доповнення у визначнику ∆(µk, T ) елемента j-го рядка та q-го
стовпця. На пiдставi формул (8) i (16) формальний розв’язок задачi (1), (2) зображується рядом
u(t, x) =
∑
µk∈Mp
2n∑
q,j=1
∆jq(µk, T )
∆(µk, T )
ϕjkfq(µk, t)
exp(iµk, x). (17)
Iз (17) та теорем 1, 2 випливає наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 257
Теорема 3. Нехай справджується умова (15). Якщо функцiї ϕj(x) належать TB (T ′B) ,
то iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2) iз простору C2n
(
[0, T ], TB
)(
C2n([0, T ], T ′B)
)
, який
зображується формулою (17).
В iнших випадках питання iснування розв’язку задачi (1), (2) пов’язане з проблемою малих
знаменникiв, оскiльки вираз |∆(µk, T )|, будучи вiдмiнним вiд нуля, може набувати як завгодно
малих значень для нескiнченної кiлькостi векторiв µk ∈Mp.
Позначимо
C3 = 4nC1 max
{
1, exp(C0T )
}
, C4 = max
16j62n
{
max
{
C3|αj |, |βj |C3T
rj+1(rj + 1)−1
}}
.
Лема 3. Для алгебраїчних доповнень елементiв визначника ∆(µk, T ) справджуються
оцiнки ∣∣∆jl(µk, T )
∣∣ 6 C5
(
1 + |µk|
)4n2−n+l
, j, l ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈Mp, (18)
де C5 = (2n− 1)! (C4)2n−1.
Доведення. Для кожної з функцiй fq(µk, t), враховуючи (3), (11) та лему 12.7.7 у [19],
отримуємо такi оцiнки:
max
t∈[0,T ]
∣∣∣∣ dj−1
dtj−1
fq(µk, t)
∣∣∣∣ 6 C3
(
1 + |µk|
)2n+j−q
, (19)
j ∈ {1, . . . , 2n+ 1}, q ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈Mp.
Для елементiв
Uj [fqk] =
αjf
(2(j−1))
q (µk, 0) + βjIqj , j ∈ {1, . . . , n},
αjf
(2(j−n−1))
q (µk, T ) + βjIqj , j ∈ {n+ 1, . . . , 2n},
q ∈ {1, . . . , 2n},
визначника ∆(µk, T ) на пiдставi (14) та (19) отримуємо
|Uj [fqk]| 6 |αj ||f (2(j−1))
q (µk, 0)|+ |βj ||Iqj | 6
6 |αj |+ |βj |C3T
rj+1(rj + 1)−1(1 + |µk|)2n+1−q 6
6 C4(1 + |µk|)2n+1−q, j ∈ {1, . . . , n}, q ∈ {1, . . . , 2n}, (20)
|Uj [fqk]| 6 |αj ||f (2(j−n−1))
q (µk, T )|+ |βj ||Iqj | 6
6 C3(1 + |µk|)2n+1−q
(
|αj |(1 + |µk|)2(j−n−1) + |βj |T rj+1(rj + 1)−1
)
6
6 C4(1 + |µk|)4n−1−q, j ∈ {n+ 1, . . . , 2n}, q ∈ {1, . . . , 2n}. (21)
Для алгебраїчних доповнень визначника ∆(µk, T ) справджуються формули [21]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
258 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
∆jl(µk, T ) =
∑
ω∈S2n−1
(−1)ρω
2n∏
q=1
q 6=l,iq 6=j
Uiq [fqk], j, l ∈ {1, . . . , 2n}. (22)
На пiдставi формул (20) – (22) отримуємо
∣∣∆jl(µk, T )
∣∣ 6 ∑
ω∈S2n−1
2n∏
q=1
q 6=l,iq 6=j
∣∣Uiq [fqk]
∣∣ 6 (2n− 1)!
2n∏
q=1
q 6=l
∣∣Uq[fqk]∣∣ 6
6 (2n− 1)!(C4)2n−1
(
1 + |µk|
)4n2−n+l
= C5
(
1 + |µk|
)4n2−n+l
, j, l ∈ {1, . . . , 2n}.
З отриманих нерiвностей випливає доведення леми.
Теорема 4. Нехай справджується умова (15) та iснують сталi η > 0 i θ > 0 такi, що
для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈Mp виконується нерiвнiсть∣∣∆(µk, T )
∣∣ > (1 + |µk|
)−η
exp
(
− θ|µk|
)
. (23)
Якщо функцiї ϕj(x) належать W 4n2+n+η+α+1, β+θ
B , j ∈ {1, . . . , 2n}, то iснує розв’язок за-
дачi (1), (2) iз простору C2n
(
[0, T ],Wα, β
B
)
, який зображується формулою (17) i неперервно
залежить вiд функцiй ϕj(x), j ∈ {1, . . . , 2n}.
Доведення. На пiдставi формули (8) отримуємо
∥∥∥u;C2n
(
[0, T ],Wα, β
B
)∥∥∥ =
2n∑
l=0
max
t∈[0,T ]
∑
µk∈Mp
|u(l)
k (t)|2
(
1 + |µk|
)2α
exp
(
2β|µk|
)1/2
, (24)
де uk(t) визначенi формулами (16). Враховуючи (16), (19), (23) i лему 3, отримуємо такi оцiнки:
max
t∈[0,T ]
∣∣∣u(l)
k (t)
∣∣∣ 6 C3
2n∑
q,j=1
|∆jq(µk, T )|
|∆(µk, T )|
|ϕjk|
(
1 + |µk|
)2n+l+1−q
6
6 C6
2n∑
j=1
|ϕjk|
(
1 + |µk|
)4n2−n+l+η+1
exp
(
θ|µk|
)
, l ∈ {0, 1, . . . , 2n}, µk ∈Mp, (25)
де C6 = 2nC3C5. На пiдставi (24) та оцiнок (25) дiстаємо оцiнку∥∥∥u;C2n([0, T ],Wα, β
B )
∥∥∥ 6
6 (2n+ 1)C6
2n∑
j=1
∑
µk∈Mp
|ϕjk|2
(
1 + |µk|
)2(4n2+n+η+α+1)
exp
(
2(β + θ)|µk|
)1/2
=
= (2n+ 1)C6
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;W 4n2+n+α+η+1, β+θ
B
∥∥∥.
З отриманої нерiвностi випливає доведення теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 259
7. Метричнi оцiнки малих знаменникiв. Вияснимо можливiсть виконання нерiвностi (23),
використавши методику роботи [4]. Позначимо n̄j = n1 + . . .+ nj−1, j ∈ {2, . . . ,m+ 1};
ζq = q − 1− n̄l, θq = l, q ∈ {1, . . . , 2n}, (26)
де l := l(q) однозначно визначається з нерiвностi n̄l < q ≤ n̄l+1.
Функцiї
uqk := uqk(t) = tζq exp(λθq ,kt), q ∈ {1, . . . , 2n}, (27)
де ζq, θq визначенi формулами (26), утворюють фундаментальну систему розв’язкiв рiвнян-
ня (9).
Для фундаментальної системи (27) характеристичний визначник
∆̃(µk, T ) := det
∥∥Uj [uqk]∥∥2n
q,j=1
, µk ∈Mp,
задачi (9), (10) має вигляд
∆̃(µk, T ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α1P
0
1 (0) + β1Ĩ11 . . . α1P
0
2n(0) + β1Ĩ2n,1
. . . . . . . . .
αnP
2(n−1)
1 (0) + βnĨ1n . . . αnP
2(n−1)
2n (0) + βnĨ2n,n
αn+1P
0
1 (T ) + βn+1Ĩ1,n+1 . . . αn+1P
0
2n(T ) + βn+1Ĩ2n,n+1
. . . . . . . . .
α2nP
2(n−1)
1 (T ) + β2nĨ1,2n . . . α2nP
2(n−1)
2n (T ) + β2nĨ2n,2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, (28)
де
P hq (t) :=
dh
dth
uqk(t) = exp(λθq ,kt)
min{h,ζq}∑
j=0
Cjh
ζq!
(ζq − j)!
λh−jθq ,k
tζq−j , (29)
h ∈
{
0, 2, . . . , 2(n− 1)
}
, q ∈ {1, . . . , 2n},
Ĩqj := Ĩqj(λθq ,k, T ) =
T∫
0
trj+ζq exp(λθq ,kt)dt =
= Qqj(λθq ,k, T ) exp(λθq ,kT )−Qqj(λθq ,k, 0), q, j ∈ {1, . . . , 2n}, (30)
Qqj(λθq ,k, t) =
rj+ζq+1∑
h=1
(−1)h+1(rj + ζq)!
(rj + ζq − h+ 1)!
trj+ζq−h+1
(λθq ,k)
h
, q, j ∈ {1, . . . , 2n}. (31)
Визначники ∆̃(µk, T ) i ∆(µk, T ) пов’язанi спiввiдношенням
∆̃(µk, T ) = W (µk)∆(µk, T ), (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
260 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
в якому
W (µk) =
m∏
j=1
nj−1∏
q=1
q!
∏
m≥j>l≥1
(
λj(µk)− λl(µk)
)njnl (33)
є значенням вронскiана системи функцiй (27) при t = 0. Позначимо
Λ = (λ1k, . . . , λ1k︸ ︷︷ ︸
n1
, . . . , λmk, . . . , λmk︸ ︷︷ ︸
nm
) = (λθ1,k, . . . , λθ2n,k),
Λω = (λθi1 ,k, . . . , λθi2n ,k), (J,Λω) = j1λθi1 ,k + . . .+ j2nλθi2n ,k, ω ∈ S2n, J ∈ J2n.
(34)
Для кожного µk ∈Mp визначник (28) обчислюється за формулою [21]
∆̃(µk, T ) =
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
2n∏
q=1
(
αqviq + βq Ĩiq ,q
)
,
viq =
P
2(q−1)
iq
(0), q ∈ {1, . . . , n},
P
2(q−n−1)
iq
(T ), q ∈ {n+ 1, . . . , 2n}.
(35)
Врахувавши (30) та лему 2, запишемо рiвнiсть (35) таким чином:
∆̃(µk, T ) =
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
2n∏
q=1
(
βqQiq ,q(λθiq ,k, T ) exp(λθiq ,kT ) +
(
αqviq − βqQiq ,q(λθiq ,k, 0)
))
=
=
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
1∑
j1=0
. . .
1∑
j2n=0
∆1(ω, J, T )∆2(ω, J, T )
, (36)
де
∆1(ω, J, T ) =
2n∏
q=1
β
jq
q Q
jq
iq ,q
(λθiq ,k, T ) exp(jqλθiq ,kT ), (37)
∆2(ω, J, T ) =
2n∏
s=1
(
αsvis − βsQis,s(λθis ,k, 0)
)1−js . (38)
На пiдставi формул (29), (31), (35) i (38) зобразимо ∆2(ω, J, T ) у виглядi
∆2(ω, J, T ) = P1(ω, J, T ) exp
(
2n∑
s=n+1
(1− js)λθis ,kT
)
+ P2(ω, J), (39)
де P1(ω, J, T ) — многочлен за змiнною T з комплексними коефiцiєнтами, degP1(ω, J, T ) 6
6
1
2
∑m
q=1
nq(nq − 1), а доданок P2(ω, J) не залежить вiд T. Позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 261
β(J) =
2n∏
q=1
β
jq
q , QJ(Λω, T ) =
2n∏
q=1
Q
jq
iq ,q
(λθiq ,k, T ). (40)
На пiдставi формул (36), (37) i (39) отримуємо
∆̃(µk, T ) =
∑
ω∈S2n
(−1)ρω
1∑
j1=0
. . .
1∑
j2n=0
QJ(Λω, T ) exp
(
(J,Λω)T
), (41)
де QJ(Λω, T ), J ∈ J2n, ω ∈ S2n, — многочлени за змiнною T з комплексними коефiцiєнтами,
причому
deg QJ(Λω, T ) 6 deg QJ(Λω, T ) + deg P1(J, T ). (42)
З (31) випливає, що degQiq ,q(λlk, T ) = rq + ζiq , q ∈ {1, . . . , 2n}, звiдки, враховуючи (40),
отримуємо
degQJ(Λω, T ) =
2n∑
q=1
jqdegQiq ,q(λlk, T ) =
2n∑
q=1
jq(rq + ζiq) 6
6
2n∑
q=1
(rq + ζiq) =
2n∑
q=1
rq +
m∑
l=1
nl−1∑
q=1
q = r +
1
2
m∑
l=1
nl(nl − 1), J ∈ J2n, ω ∈ S2n, (43)
де r = r1 + . . .+ r2n. З нерiвностей (42), (43) випливає, що
deg QJ(Λω, T ) 6 r +
m∑
l=1
nl(nl − 1), J ∈ J2n, ω ∈ S2n. (44)
Для кожного µk ∈ Mp розглянемо функцiю ∆(µk, τ), що визначена на iнтервалi (0,∞)
формулою (13), в якiй T потрiбно замiнити на τ. З формул (32), (41) та нерiвностей (44)
випливає, що ∆(µk, τ) є квазiмногочленом
∆(µk, τ) =
1
W (µk)
∑
J∈J2n
exp
(
(J,Λ)τ
)
FJ(τ), (45)
в якому FJ(τ) — многочлени з комплексними коефiцiєнтами степеня NJ − 1, де NJ 6 1 +
+r+
∑m
l=1
nl(nl−1), а кiлькiсть доданкiв iз рiзними експонентами не перевищує 4n. З форму-
ли (45) випливає, що функцiя ∆(µk, τ) є аналiтичною на iнтервалi τ ∈ (0,∞). Продовжимо її
аналiтично на R i отриману функцiю позначимоD := D(µk, τ). ЧерезE
(
D, ε, [0, H]
)
позначимо
множину тих τ ∈ [0, H], для яких виконується нерiвнiсть |D(µk, τ)| 6 ε. За теоремою 2.1 iз [4]
для кожного µk ∈Mp
mesRE
(
D, ε, [0, H]
)
6 C7B(µk)
(
4εΨ(µk)
G(µk)
)1/(N−1)
, C7 := C7(N,H),
де
N :=
∑
J∈J2n
NJ 6 4n
(
1 + r +
m∑
l=1
nl(nl − 1)
)
, (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
262 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
B(µk) := 1 + max
J∈J2n
∣∣(J,Λ)
∣∣, µk ∈Mp, (47)
Ψ(µk) := max
τ∈[0,H]
exp
(
−
(
min
J∈J2n
Re(J,Λ)
)
τ
)
, µk ∈Mp, (48)
G(µk) := max
16j64n
{∣∣∣∣∣
(
∂
∂τ
)j−1
D(µk, τ)
∣∣∣∣∣
τ=0
∣∣∣∣∣ (B(µk)
)−j}
, µk ∈Mp. (49)
Враховуючи (11), (34) i (47), маємо
B(µk) 6 1 +
m∑
l=1
nl|λlk| 6 C8
(
1 + |µk|
)
, (50)
де C8 = mC1 max16l6m{nl}. На пiдставi (12), (34) i (48) отримуємо
Ψ(µk) 6 exp(2nC2H
(
|µk|+ 1)
)
. (51)
Оцiнимо тепер знизу G(µk). Нехай η0 ∈ N таке, що
∂qD(µk, τ)
∂τ q
∣∣∣∣
τ=0
=
0, q < η0,
C9 6= 0, q = η0,
∀µk ∈Mp. (52)
Враховуючи (49), (50) та (52), одержуємо
G(µk) =
∣∣∣∣( ∂
∂τ
)η0
D(µk, τ)
∣∣∣∣
τ=0
∣∣∣∣∣(B(µk)
)−η0 > C10
(
1 + |µk|
)−η0 , (53)
де C10 = C9(C8)−η0 .
Iснування такого натурального числа η0, що справджуються умови (52), для частинного
випадку задачi (1), (2) стверджує наступна лема.
Лема 4. Якщо в умовах (2) αj = 0, j ∈ {1, . . . , 2n}, то умови (52) виконуються при
η0 = r + (2n+ 1)n i
C9 =
2n−1∏
q=1
(q!)−1
∏
2n≥j>l≥1
(rj − rl)(n− l)∏2n
j, l=1
(rj + l)
.
Доведення проводиться за схемою доведення леми 3.1 iз [4].
Теорема 5. Нехай справджуються умови (52). Для майже всiх (щодо мiри Лебега в R)
чисел T > 0 нерiвнiсть (23) виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈Mp,
коли θ = 2nC2T, а η > η0 + (p/σ + 1)
(
4n
(
1 + r +
∑m
l=1
nl(nl − 1)
)
− 1
)
.
Доведення. Розiб’ємо iнтервал [0,∞) на вiдрiзки Iq := [(q − 1)T, qT ], q ∈ N. Нехай
εη,θ(µk) =
(
1 + |µk|
)−η
exp
(
−θ|µk|
)
, Aη,θ(Iq, µk) = E
(
D(µk, τ), εη,θ(µk), Iq
)
, µk ∈Mp.
Згiдно з теоремою 2.1 iз [4], враховуючи (5), (46), (50), (51) та (53), отримуємо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 263
mesRAη,θ(I1, µk) 6 C11
(
1 + |µk|
)(4(1 + |µk|)−η exp(−θ|µk|) exp(2nC2T |µk|)
(1 + |µk|)−η0
)1/(N−1)
=
= 41/(N−1)C11
(
1 + |µk|
)η0−η
N−1 +1
6 41/(N−1)C11d2|k|
(η0−η
N−1 +1
)
σ
= C12|k|
−
(η−η0
N−1−1
)
σ
.
Позначимо z =
(
η − η0
N − 1
− 1
)
σ. Оскiльки z >
(
(p/σ + 1)− 1
)
σ > p, то ряд
∑
k∈Zp
|k|−z збi-
гається, а отже, збiжним є i ряд
∑
k∈Zp
mesRAη,θ(I1, µk). Тодi за лемою Бореля – Кантеллi [22]
мiра тих τ ∈ I1, якi потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин Aη,θ(I1, µk), дорiвнює ну-
лю. Аналогiчно, виконавши замiну змiнної τ = τ̄ + (q − 1)T, τ̄ ∈ I1, переконаємося, що
мiра тих τ ∈ Iq, q ∈ N, якi потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин Aη,θ(Iq, µk), до-
рiвнює нулю. Враховуючи, що iнтервал [0,∞) є об’єднанням злiченної кiлькостi iнтервалiв
Iq, q ∈ N, отримуємо, що нерiвнiсть |D(µk, τ)| > εη,θ(µk) виконується для майже всiх (що-
до мiри Лебега в R) чисел τ > 0 та для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв
µk ∈ Mp. Оскiльки D(µk, τ) = ∆(µk, τ) на iнтервалi (0,∞), то нерiвнiсть
∣∣∆(µk, T )
∣∣ > (1 +
+ |µk|
)−η
exp
(
−θ|µk|
)
виконується для майже всiх (щодо мiри Лебега в R) чисел T > 0 та
для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ Mp, звiдки випливає доведення
теореми.
Наслiдок 2. Нехай для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈Mp вико-
нуються нерiвностi
Reλl(µk) > −κ ln |µk|, l ∈ {1, . . . ,m}, (54)
де κ > 0 — деяка стала, що не залежить вiд µk. Тодi нерiвнiсть (23) виконується для майже
всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 та для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв
µk ∈Mp, при θ = 0 i
η > η0 + 2nκT + (p/σ + 1)
(
4n(1 + r +
m∑
l=1
nl
(
nl − 1)
)
− 1
)
, (55)
де η0 — стала, визначена умовами (52).
Доведення. На пiдставi (48), (54) отримуємо
Ψ(µk) 6 (1 + |µk|) exp(2nκT ). (56)
Покладемо εη,θ(µk) =
(
1 + |µk|
)−η
. Тодi, враховуючи (5), (46), (50), (53) та (56), одержуємо
оцiнку
mesRAη,θ(I1, µk) 6 C13
(
1 + |µk|
) (
4(1 + |µk|)−η+η0
)1/(N−1)
=
= 41/(N−1)C13
(
1 + |µk|
)η0−η
N−1 +1
6 41/(N−1)C13d2|k|
(η0−η
N−1 +1
)
σ
= C14|k|
−
(η−η0
N−1−1
)
σ
,
де η справджує нерiвнiсть (55). Оскiльки
(
η − η0
N − 1
− 1
)
σ > p, то ряд
∑
k∈Zp
|k|−z збiжний,
а отже, збiжним є i ряд
∑
k∈Zp
mesRAη,θ(I1, µk). Зi збiжностi ряду
∑
k∈Zp
mesRAη,θ(I1, µk)
випливає наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
264 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Теорема 6. Нехай виконуються умови (15) i (54), а ϕj(x) ∈ C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp), j ∈
∈ {1, . . . , 2n}, де η справджує нерiвнiсть (55). Тодi iснує розв’язок задачi (1), (2) iз простору
C2n
B (D
p
), який зображується формулою (17) i неперервно залежить вiд функцiй ϕj(x), j ∈
∈ {1, . . . , 2n}.
Доведення. На пiдставi формул (17) i (19) отримуємо
∥∥u;C2n
B (D
p
)
∥∥ 6
∑
|k|>0
C15
2n∑
q,j=1
|∆jq(µk, T )|
|∆(µk, T )|
|ϕjk|(1 + |µk|)4n+1−q
, (57)
де C15 = (2n)!C3. За умов теореми на пiдставi леми 1 виконуються оцiнки
|ϕjk| 6 C16
∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥
(1 + |µk|)[η+p/σ]+4n2+3n+2
, j ∈ {1, . . . , 2n}, µk ∈Mp, (58)
де C16 = (2p)[η+p/σ]+4n2+3n+2
(
[η + p/σ] + 4n2 + 3n + 2
)
. З оцiнок (5), (57), (58), леми 3 та
наслiдку 2 одержуємо
∥∥u;C2n
B (D
p
)
∥∥ 6 C17
∑
|k|>0
(
1 + |µk|
)η−1−[η+p/σ]
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥∥
6
6 C18
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥∥
∑
|k|>0
(
1 + |k|
)−z
, (59)
де C18 = C17d2, а z = p +
(
1 − {η + p/σ}
)
σ. Оскiльки z > p, то ряд
∑
|k|>0
(
1 + |k|
)−z
є
збiжним. Позначимо його суму через Sz. Тодi з (59) отримаємо
∥∥u;C2n
B (D
p
)
∥∥ 6 C18Sz
2n∑
j=1
∥∥∥ϕj ;C [η+p/σ]+4n2+3n+2
B (Rp)
∥∥∥. (60)
З оцiнки (60) випливає доведення теореми.
8. Виcновки. Результати можна поширити на випадок, коли розв’язок задачi (1), (2) шу-
кається у класi функцiй, квазiперiодичних по x [6, 23], а також на гiперболiчнi за Гордiнгом
системи рiвнянь
L[~u] :=
∑
|ŝ|62n
Aŝ
∂|ŝ|~u(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp
p
= 0, (t, x) ∈ Dp,
де Aŝ — матрицi розмiру m×m зi сталими комплексними коефiцiєнтами,
~u(t, x) = col
(
u1(t, x), . . . , um(t, x)
)
.
1. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с нелинейными интегральными условиями для гиперболического уравне-
ния // Вестн. Сам. гос. ун-та. – 2009. – № 1(18). – C. 26 – 32.
2. Iлькiв В. С., Магеровська Т. В. Задача з iнтегральними умовами для рiвняння з частинними похiдними другого
порядку // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2008. – № 625. – C. 12 – 19.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ РIВНЯНЬ, ГIПЕРБОЛIЧНИХ ЗА ГОРДIНГОМ 265
3. Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения
Кортевега – де Фриза // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. – 2011. – Вып. 8, № 17.
– C. 52 – 61.
4. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Дiофантовi наближення характеристичного визначника iнтегральної задачi
для лiнiйного рiвняння з частинними похiдними // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Сер. Математика. – 2004. –
Вип. 228. – C. 74 – 85.
5. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Iнтегральна задача для лiнiйних рiвнянь з частинними похiдними // Мат. студ.
– 2007. – 28, № 2. – C. 115 – 141.
6. Кузь А. М., Пташник Б. Й. Задача з iнтегральними умовами для рiвняння Клейна – Гордона у класi функцiй,
майже перiодичних за просторовими змiнними // Прикл. пробл. механiки i математики. – 2010. – Вип. 8. –
C. 41 – 53.
7. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Диффе-
ренц. уравнения. – 2004. – 40, № 7. – C. 887 – 892.
8. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
9. Симотюк М. М., Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними
зi сталими коефiцiєнтами // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 4. – C. 98 – 107.
10. Штабалюк П. I. Про майже перiодичнi розв’язки однiєї задачi з нелокальними умовами // Вiсн. держ. ун-ту
„Львiв. полiтехнiка”. Диференц. рiвняння та їх застосування. – 1995. – № 286. – C. 153 –165 .
11. Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary value problems for some partial differential
equations // Bull. Georg. Nat. Acad. Sci. – 2011. – 5, № 1. – P. 31 – 37.
12. Mesluob S., Bouziani A. Mixed problem with integral conditions for a certain class of hyperbolic equations // J. Appl.
Math. – 2001. – № 3. – P. 107 – 116.
13. Гутер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. В. Элементы теории функций. – М.: Физматгиз, 1963. – 244 с.
14. Besicovitch A. S. Almost periodic functions. – Cambridge: Dover Publ., Inc., 1954. – 180 p.
15. Шубин М. А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производны-
ми // Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 2. – C. 3 – 47.
16. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
17. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне-
ний. – М.: Физматгиз, 1958. – Вып. 3. – 274 с.
18. Фаддєєв Д. К., Сомiнський I. С. Збiрник задач з вищої алгебри. -– Київ: Вища шк., 1971. – 316 с.
19. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов: в 4 т. — М.: Мир, 1986. — Т. 2. — 456 с.
20. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разло-
жении произвольных функций в ряды. – Петроград, 1917. – 308+xiv c.
21. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 272 с.
22. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 143 с.
23. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 с.
Одержано 09.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|