Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве
У гільбертовому просторі побудовано інтерполяційне наближення полінома Тейлора для диференційовних операторів. За допомогою цього наближення отримано оцінки точності для аналітичних операторів, які підсилюють відомі раніше результати, та операторів, що мають скінченну кількість похідних Фреше....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164997 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве / Т.Н. Поповичева, В.В. Хлобыстов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 554–563. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-164997 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1649972020-02-12T01:28:52Z Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве Поповичева, Т.Н. Хлобыстов, В.В. Статті У гільбертовому просторі побудовано інтерполяційне наближення полінома Тейлора для диференційовних операторів. За допомогою цього наближення отримано оцінки точності для аналітичних операторів, які підсилюють відомі раніше результати, та операторів, що мають скінченну кількість похідних Фреше. In a Hilbert space, we construct an interpolation approximation of the Taylor polynomial for differentiable operators. By using this approximation, we obtain estimates of accuracy for analytic operators that strengthen previously known results and for operators containing finitely many Fréchet derivatives. 2006 Article Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве / Т.Н. Поповичева, В.В. Хлобыстов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 554–563. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164997 517.988 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Поповичева, Т.Н. Хлобыстов, В.В. Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве Український математичний журнал |
| description |
У гільбертовому просторі побудовано інтерполяційне наближення полінома Тейлора для диференційовних операторів. За допомогою цього наближення отримано оцінки точності для аналітичних операторів, які підсилюють відомі раніше результати, та операторів, що мають скінченну кількість похідних Фреше. |
| format |
Article |
| author |
Поповичева, Т.Н. Хлобыстов, В.В. |
| author_facet |
Поповичева, Т.Н. Хлобыстов, В.В. |
| author_sort |
Поповичева, Т.Н. |
| title |
Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве |
| title_short |
Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве |
| title_full |
Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве |
| title_fullStr |
Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве |
| title_sort |
об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164997 |
| citation_txt |
Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве / Т.Н. Поповичева, В.В. Хлобыстов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 554–563. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT popovičevatn obinterpolâcionnompribliženiidifferenciruemyhoperatorovvgilʹbertovomprostranstve AT hlobystovvv obinterpolâcionnompribliženiidifferenciruemyhoperatorovvgilʹbertovomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-14T17:44:33Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:44:33Z |
| _version_ |
1837645246436999168 |
| fulltext |
УДК 517.988
В. В. Хлобыстов (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Т. Н. Поповичева (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко)
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
In the Hilbert space, we construct an interpolation approximation of the Taylor polynomial for differen-
tiable operators. With the help of this approximation, we obtain estimates of the accuracy for analytic
operators that strengthen previously known results and operators containing a finite number of Frechet
derivatives.
У гiльбертовому просторi побудовано iнтерполяцiйне наближення полiнома Тейлора для диферен-
цiйовних операторiв. За допомогою цього наближення отримано оцiнки точностi для аналiтичних
операторiв, якi пiдсилюють вiдомi ранiше результати, та операторiв, що мають скiнченну кiлькiсть
похiдних Фреше.
Данная статья продолжает направление работ [1 – 8] по построению и исследова-
нию точности интерполяционных операторных приближений в гильбертовых про-
странствах. Ранее в [4] рассматривались задачи построения операторного полино-
ма типа Лагранжа на специальным образом выбранном множестве узлов L(m) и
анализа точности интерполирования полиномиальных и целых операторов. В этой
статье авторами предлагается интерполяция типа Эрмита, которая, как будет по-
казано далее, эквивалентна лагранжевой интерполяции на множестве узлов L(m)
для полиномиальных операторов, а в случае бесконечно дифференцируемых непо-
линомиальных операторов позволяет усилить результаты о сходимости интерполя-
ционных процессов (случай аналитических по Гато операторов) и получить оцен-
ки точности приближений (случай конечного числа высших производных Фреше
оператора), что невозможно было осуществить прежде с помощью лагранжевой
интерполяции.
Пусть X, Y –– гильбертовы пространства (X — сепарабельное), F : X → Y —
оператор, аналитический по Гато в пространстве X . Тогда F (x) можно представить
в виде
F (x) = Tn(x) + Rn(x), (1)
Tn(x) = F (0) +
1
1!
F ′(0)x +
1
2!
F ′′(0)x2 + ... +
1
n!
F (n)(0)xn, (2)
Rn(x) =
1
(n + 1)!
F (n+1)(0)xn+1 +
1
(n + 2)!
F (n+2)(0)xn+2 + . . . ∀x ∈ X, (3)
где Tn(x) — полином Тейлора n-й степени для оператора F (x), F (k)(0)xk, k =
= 0, 1, 2, . . . , — дифференциал Гато k-го порядка оператора F в нуле. Пусть
e1, e2, . . . , em — первые m элементов ортонормального базиса пространства X ,
m ≥ n,
F (k)(0)eik
. . . ei1 , ij = 1,m, j = 1, k, k = 0, n,
— дифференциал Гато k-го порядка для F в нуле по направлениям ei1 , . . . , eik
.
Рассмотрим оператор
c© В. В. ХЛОБЫСТОВ, Т. Н. ПОПОВИЧЕВА, 2006
554 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ ... 555
Tm,n(x) =
n∑
k=0
m∑
i1,...,ik=1
1
k!
F (k)(0)eik
. . . ei1(x, ei1) . . . (x, eik
), (4)
где (·, ·) — скалярное произведение в X . Нетрудно видеть, что данный оператор-
ный полином удовлетворяет интерполяционным условиям типа Эрмита
T (k)
m,n(0)eik
. . . ei1 = F (k)(0)eik
. . . ei1 , k = 0, n, (5)
и является приближением для полинома Tn(x) в (2).
Для последующего изложения введем меру µ на X (гауссову) следующим об-
разом. Пусть {ei}∞i=1 — ортонормальный базис в X , B : X → X — линейный
оператор
Bx =
∞∑
i=1
qi(x, ei)ei, q ∈ (0, 1). (6)
Можно показать, что B — положительный самосопряженный вполне непрерыв-
ный оператор [9], для которого ei — собственные элементы, qi — собственные
значения, при этом TrB =
∑∞
i=1
qi =
q
1− q
и, следовательно, B — ядерный опе-
ратор [10]. Известно, что гауссова мера µ однозначно определяется своим средним
mµ и корреляционным оператором B, а ϕ(x) = exp
[
−1
2
(Bx, x)
]
является харак-
теристическим функционалом гауссовой меры µ на X с нулевым средним mµ и
корреляционным оператором B. Пусть Y — гильбертово пространство со скаляр-
ным произведением (·, ·)Y , H — гильбертово пространство аналитических по Гато
операторов F : X → Y со скалярным произведением [7]
(P,Q)H =
=
∞∑
k=0
∫
X
. . .
∫
X
(
1
k!
P (k)(0)hk . . . h1,
1
k!
Q(k)(0)hk . . . h1
)
Y
µ(dhk) . . . µ(dh1)
и нормой
‖P‖H = (P, P )
1
2
H =
=
∞∑
k=0
∫
X
. . .
∫
X
∥∥∥∥ 1
k!
P (k)(0)hk . . . h1
∥∥∥∥2
Y
µ(dhk) . . . µ(dh1)
1
2
, (7)
где P,Q ∈ H, P (k)(0)hk . . . h1 — дифференциал Гато k-го порядка оператора P
в нуле по направлениям h1, . . . , hk ∈ X , µ — гауссова мера на X , которая была
введена выше. Исследуем сходимость интерполяционного процесса (4) к оператору
F (x) при увеличении числа узлов и степени интерполяции.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть F (x) — аналитический по Гато оператор в X. Тогда если
последовательность
∥∥F (k)(0)
∥∥ , k = 1, 2, . . . , невозрастающая или
‖F (k+1)(0)‖
‖F (k)(0)‖
=
= O(ks), 0 ≤ s < 1, k →∞, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
556 В. В. ХЛОБЫСТОВ, Т. Н. ПОПОВИЧЕВА
lim
m→∞
n→∞
‖F − Tm,n‖H = 0, (8)
т. е. имеет место сходимость интерполяционного процесса Tm,n к F в метри-
ке H .
Доказательство. В предположении, что
1
k!
F (k)(0)vk . . . v1 = Lk(v1, . . . , vk), (9)
где Lk(v1, . . . , vk) — k-линейная непрерывная симметричная операторная форма
(вопросы симметризации рассмотрены в [11]), полином Tn(x) в (2) представим в
виде
Tn(x) = L0 + L1x + . . . + Lnxn.
Здесь L0 ∈ Y, а операторная степень Lkxk = Lk(x, . . . , x) : X → Y получена из
Lk(v1, . . . , vk) при v1 = . . . = vk = x, k = 1, n. На основании (2), (4) с учетом (9)
интерполянт типа Эрмита Tm,n(x) можно представить полиномом Tn(x) с заменой
аргумента отрезком его ряда Фурье по ортонормальному базису ei, i = 1, 2, . . . .
Действительно,
Tm,n(x) = L0 + L1
( m∑
i1=1
(x, ei1)ei1
)
+
+L2
( m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(x, ei2)ei2
)
+ . . .
. . . + Ln
( m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(x, ei2)ei2 , . . . ,
m∑
in=1
(x, ein)ein
)
=
= L0 +
m∑
i1=1
(x, ei1)L1(ei1) +
m∑
i1,i2=1
(x, ei1)(x, ei2)L2(ei1 , ei2)+ . . .
. . . +
m∑
i1,i2,...,in=1
(x, ei1)(x, ei2) . . . (x, ein
)Ln(ei1 , ei2 , . . . , ein
) =
= L0 +
m∑
i1=1
(x, ei1)F
′(0)ei1+
+
m∑
i1,i2=1
(x, ei1)(x, ei2)
1
2!
F ′′(0)ei2ei1 + . . .
. . . +
m∑
i1,i2,...,in=1
(x, ei1)(x, ei2) . . . (x, ein)
1
n!
F (n)(0)ein . . . ei2ei1 =
=
n∑
k=0
m∑
i1,i2,...,ik=1
(x, ei1)(x, ei2) . . . (x, eik
)
1
k!
F (k)(0)eik
. . . ei2ei1 .
Из (1) следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ ... 557
‖F − Tm,n‖H ≤ ‖Tn − Tm,n‖H + ‖Rn‖H . (10)
Применяя преобразования, аналогичные преобразованиям в [3], имеем
Tn(x)− Tm,n(x) =
n∑
k=0
[
Lkxk − Lk
(
m∑
i=1
(x, ei)ei
)k]
=
=
n∑
k=0
[
Lk
(
x−
m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 , x, . . . , x
)
+
+Lk
(
m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 , x−
m∑
i2=1
(x, ei2)ei2 , x, . . . , x
)
+ . . .
. . . + Lk
(
m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(x, ei2)ei2 , . . .
. . . ,
m∑
ik−1=1
(x, eik−1)eik−1 , x−
m∑
ik=1
(x, eik
)eik
)]
. (11)
Исходя из определения нормы в метрике H и равенства (11), а также используя
при этом формулу
∫
X
‖vk‖2
µ(dvk) = TrB [12], получаем
‖Tn − Tm,n‖2
H =
n∑
k=0
∫
X
. . .
∫
X
∥∥∥∥∥Lk
(
v1 −
m∑
i1=1
(v1, ei1)ei1 , v2, . . . , vk
)
+
+Lk
(
m∑
i1=1
(v1, ei1)ei1 , v2 −
m∑
i2=1
(v2, ei2)ei2 , v3, . . . , vk
)
+ . . .
. . . + Lk
(
m∑
i1=1
(v1, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(v2, ei2)ei2 , . . .
. . . ,
m∑
ik−1=1
(vk−1, eik−1)eik−1 , vk −
m∑
ik=1
(vk, eik
)eik
)∥∥∥∥∥
2
Y
µ(dvk) . . . µ(dv2)µ(dv1) ≤
≤
n∑
k=0
k
∫
X
. . .
∫
X
∥∥∥∥∥Lk
(
v1 −
m∑
i1=1
(v1, ei1)ei1 , v2, . . . , vk
)∥∥∥∥∥
2
Y
+
+
∥∥∥∥∥Lk
(
m∑
i1=1
(v1, ei1)ei1 , v2 −
m∑
i2=1
(v2, ei2)ei2 , v3, . . . , vk
)∥∥∥∥∥
2
Y
+ . . .
. . . +
∥∥∥∥∥Lk
(
m∑
i1=1
(v1, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(v2, ei2)ei2 , . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
558 В. В. ХЛОБЫСТОВ, Т. Н. ПОПОВИЧЕВА
. . . ,
m∑
ik−1=1
(vk−1, eik−1)eik−1 , vk −
m∑
ik=1
(vk, eik
)eik
)∥∥∥∥∥
2
Y
µ(dvk) . . . µ(dv2)µ(dv1) <
<
n∑
k=1
k2‖Lk‖2(TrB)k−1
∞∑
i=m+1
qi =
n∑
k=1
k2‖Lk‖2(TrB)kqm =
=
n∑
k=1
(
‖F (k)(0)‖
(k − 1)!
)2
(TrB)kqm, q ∈ (0, 1), 0! = 1.
Здесь ‖Lk‖ =
1
k!
∥∥∥F (k)(0)
∥∥∥ — традиционная норма k-линейного оператора.
Окончательно получаем
‖Tn − Tm,n‖H <
n∑
k=1
(∥∥F (k)(0)
∥∥
(k − 1)!
)2
(TrB)k
qm
1
2
, q ∈ (0, 1). (12)
Далее, учитывая (3), (9), а также (7), имеем
Rn(x) =
∞∑
k=n+1
1
k!
F (k)(0)xk =
∞∑
k=n+1
Lkxk,
‖Rn‖2
H =
∞∑
k=n+1
‖Lk‖2
H .
(13)
Принимая во внимание, что
∫
X
‖v‖2
µ(dv) = TrB, оцениваем k-е слагаемое в пра-
вой части (13):
‖Lk‖2
H =
∫
X
. . .
∫
X
‖Lk(v1, v2, . . . , vk)‖2
Y µ(dvk) . . . µ(dv2)µ(dv1) ≤
≤
∫
X
. . .
∫
X
‖Lk‖2 ‖v1‖2 ‖v2‖2
. . . ‖vk‖2
µ(dvk) . . . µ(dv2)µ(dv1) =
= ‖Lk‖2
∫
X
‖v1‖2
µ(dv1)
∫
X
‖v2‖2
µ(dv2) . . .
∫
X
‖vk‖2
µ(dvk) =
= ‖Lk‖2 (TrB)k =
(∥∥F (k)(0)
∥∥
k!
)2
(TrB)k
. (14)
На основании (13), (14) получаем
‖Rn‖H ≤
∞∑
k=n+1
(∥∥F (k)(0)
∥∥
k!
)2
(TrB)k
1
2
. (15)
Подставляя (12), (15) в (10), приходим к неравенству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ ... 559
‖F − Tm,n‖H <
n∑
k=1
(∥∥F (k)(0)
∥∥
(k − 1)!
)2
(TrB)k
qm
1
2
+
+
∞∑
k=n+1
(∥∥F (k)(0)
∥∥
k!
)2
(TrB)k
1
2
, (16)
где q ∈ (0, 1), а ‖·‖H вычисляется континуальным интегралом (7) по гауссовой
мере µ.
Перейдем в неравенстве (16) к пределу:
lim
m→∞
n→∞
‖F − Tm,n‖H ≤
≤ lim
m→∞
n→∞
n∑
k=1
(∥∥F (k)(0)
∥∥
(k − 1)!
)2
(TrB)kqm
] 1
2
+
+
∞∑
k=n+1
(
‖F (k)(0)‖
k!
)2
(TrB)k
1
2
, q ∈ (0, 1). (17)
Поскольку в условиях теоремы ряд
∑∞
k=1
(
‖F (k)(0)‖
k!
)2
(TrB)k сходится, предел
правой части неравенства (17), как нетрудно видеть, равен нулю.
Теорема доказана.
Ранее в [4] рассмотрен аналог теоремы 1 о сходимости интерполяционного про-
цесса Лагранжа минимальной нормы к целому оператору на специальным образом
выбранной последовательности узлов L(m). При этом для обеспечения сходимо-
сти интерполяционного процесса требовалось намного жестче условие в сравнении
с условием теоремы 1.
Отметим, что Tn(x) — операторный полином n-й степени наилучшего прибли-
жения к аналитическому по Гато оператору F на множестве непрерывных опера-
торных полиномов n-й степени в метрике пространства H [7].
Замечание 1. Имеет место сходимость Tm,n к Tn в метрике H , т. е.
‖Tn − Tm,n‖H −→
m→∞
0,
что непосредственно следует из оценки (12). Кроме того, для любого ε > 0 можно
выбрать метрику H такую, что неравенство
‖Tn − Tm,n‖H < ε
выполняется при фиксированном m, т. е. оператор Tn можно приблизить опе-
ратором Tm,n с заданной точностью в метрике H, выбирая ее соответствующим
образом. Действительно, из неравенства (12) следует, что для заданного ε > 0
можно взять такое q из интервала (0, 1), при котором ‖Tn − Tm,n‖H < ε. Выбрав
q, мы тем самым определяем оператор B в (6), соответственно гауссову меру µ и,
следовательно, метрику H .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
560 В. В. ХЛОБЫСТОВ, Т. Н. ПОПОВИЧЕВА
В случае ограниченности норм ‖F (k)(0)‖, k = 1, 2, . . . , путем несложных пре-
образований в правой части неравенства (16) приходим к следующему результату.
Теорема 2. Пусть оператор F — аналитический по Гато в X и ‖F (k)(0)‖ ≤
≤ M = const, k = 1, 2, . . . . Тогда
|F − Tm,n‖H < q
m
2 M(TrB)
1
2 S
1
2
n + Mr
1
2
n , (18)
где q ∈ (0, 1), Sn =
∑n
k=1
(TrB)k−1
((k − 1)!)2
< eTr B , rn =
(TrB)n+1
(n + 1)!
eθ Tr B , 0 < θ < 1.
Замечание 2. Нетрудно видеть, что для аналитического по Гато оператора в
условиях теоремы 2 имеет место сходимость интерполяционного процесса Tm,n к
F в метрике H .
Пусть теперь X — сепарабельное гильбертово пространство, Y — линейное
нормированное пространство, а F : X → Y — оператор, n + 1 раз дифференци-
руемый по Фреше в X . Согласно [11] для F (x) имеет место формула Тейлора с
остаточным членом Rn(x) в интегральной форме
F (x) = Tn(x) + Rn(x),
Tn(x) = F (0) +
1
1!
F ′(0)x +
1
2!
F ′′(0)x2 + . . . +
1
n!
F (n)(0)xn,
Rn(x) =
1
n!
1∫
0
(1− t)nF (n+1)(tx)xn+1dt, x ∈ X, (19)
где F (k)(0)xk — дифференциал Фреше k-го порядка оператора F (x) в нуле. Пусть,
как и ранее, e1, e2, . . . , em — первые m элементов ортонормального базиса про-
странства X ,
F (k)(0)eik
. . . ei1 , ij = 1,m, j = 1, k, k = 0, n,
— дифференциал Фреше k-го порядка оператора F (x) в нуле при приращениях
ei1 , . . . , eik
, Tm,n(x) — приближение к Tn(x), заданное формулой (4) и удовлетво-
ряющее интерполяционным условиям типа Эрмита (5). Приведем оценку точности
приближения оператора F (x) полиномом Tm,n(x) в метрике пространства Y .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть F (x) — оператор, n+1 раз дифференцируемый по Фреше
в X. Тогда имеет место оценка
‖F (x)− Tm,n(x)‖Y ≤ εm(x)Sn(x) + o(εm) + ‖Rn(x)‖Y , (20)
где
Sn(x) =
n∑
k=1
‖F (k)(0)‖
(k − 1)!
‖x‖k−1 < M exp(‖x‖),
M = max
1≤k≤n
{∥∥F (k)(0)
∥∥} ,
ε2
m(x) =
∥∥∥∥∥x−
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥
2
=
∞∑
i=m+1
(x, ei)2, ‖x‖2 = (x, x),
а Rn(x) определяется формулой (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ ... 561
Доказательство. Как и прежде, будем считать, что
1
k!
F (k)(0)vk . . . v1 = Lk(v1, . . . , vk), k = 1, n, (21)
где F (k)(0)vk . . . v1 — дифференциал Фреше k-го порядка для оператора F в ну-
ле при приращениях v1, . . . , vk, а k-линейная непрерывная операторная форма
Lk(v1, . . . , vk) симметрична. Следовательно, Tn(x) можно представить в виде
Tn(x) = L0 + L1x + L2x
2 + . . . + Lnxn,
где L0 ∈ Y, Lkxk = Lk(x, x, . . . , x) : X → Y, k = 1, n — k-я операторная сте-
пень, полученная из Lk(v1, v2, . . . , vk) : Xk → Y при v1 = v2 = . . . = vk = x.
Аналогично предыдущему случаю на основании интерполяционных условий (5)
с учетом (21) можно построить полином Tm,n(x), являющийся приближением к
Tn(x) в метрике пространства Y . Тогда
‖F (x)− Tm,n(x)‖Y ≤ ‖Tn(x)− Tm,n(x)‖Y + ‖Rn(x)‖Y . (22)
Согласно [3] находим
‖Tn(x)− Tm,n(x)‖Y ≤
∥∥∥∥∥L1x− L1
(
m∑
i1=1
(x, ei1)ei1
)∥∥∥∥∥
Y
+
+
∥∥∥∥∥L2x
2 − L2
(
m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(x, ei2)ei2
)∥∥∥∥∥
Y
+ . . .
. . . +
∥∥∥∥∥Lnxn − Ln
(
m∑
i1=1
(x, ei1)ei1 ,
m∑
i2=1
(x, ei2)ei2 , . . . ,
m∑
in=1
(x, ein
)ein
)∥∥∥∥∥
Y
. (23)
Далее, используя технику оценивания из работы [3], получаем∥∥∥∥∥Lkxk − Lk
(
m∑
i=1
(x, ei)ei, . . . ,
m∑
i=1
(x, ei)ei
)∥∥∥∥∥
Y
≤
≤ ‖Lk‖
∥∥∥∥∥x−
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥×
×
‖x‖k−1 +
∥∥∥∥∥
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥ ‖x‖k−2 + . . . +
∥∥∥∥∥
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥
k−1
.
Принимая во внимание (21), имеем
‖Lk‖
∥∥∥∥∥x−
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥×
×
‖x‖k−1 +
∥∥∥∥∥
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥ ‖x‖k−2 + . . . +
∥∥∥∥∥
m∑
i=1
(x, ei)ei
∥∥∥∥∥
k−1
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
562 В. В. ХЛОБЫСТОВ, Т. Н. ПОПОВИЧЕВА
≤ ‖Lk‖ εm(x)
[
‖x‖k−1 + (‖x‖+ εm(x)) ‖x‖k−2 + . . . + (‖x‖+ εm(x))k−1
]
=
= εm(x)
∥∥F (k)(0)
∥∥
(k − 1)!
‖x‖k−1 + o(εm).
Следовательно, ∥∥∥∥∥Lkxk − Lk
(
m∑
i=1
(x, ei)ei, . . . ,
m∑
i=1
(x, ei)ei
)∥∥∥∥∥
Y
≤
≤ εm(x)
‖F (k)(0)‖
(k − 1)!
‖x‖k−1 + o(εm). (24)
Подставляя (24) в (23), получаем
‖Tn(x)− Tm,n(x)‖Y ≤ εm(x)
n∑
k=1
‖F (k)(0)‖
(k − 1)!
‖x‖k−1 + o(εm). (25)
На основании (22), (25) приходим к неравенству (20).
Теорема доказана.
Замечание 3. Имеет место сходимость Tm,n к Tn, т. е.
‖Tn(x)− Tm,n(x)‖Y −→
m→∞
0 ∀x ∈ X.
Действительно, поскольку {ei}∞i=1 — ортонормальный базис пространства X ,
то εm(x) −→
m→∞
0 ∀x ∈ X, и сходимость Tm,n к Tn в метрике пространства Y при
m →∞ непосредственно следует из оценки (25).
Отметим, что по сложности и информативности конструкции интерполяция
типа Эрмита (4) занимает промежуточное место между интерполяционными опе-
раторными полиномами Лагранжа [3, 7] и Ньютона [6, 7]. Для построения интерпо-
ляционной формулы лагранжевого типа необходима информация лишь о значениях
оператора в узлах. Построение интерполянта типа Эрмита (4) требует знания про-
изводных высших порядков оператора по направлениям ортонормального базиса,
а конструкция операторного интерполянта Ньютона содержит разделенные разно-
сти высших порядков, которые могут быть заданы в виде кратных интегралов от
операторных дифференциалов соответствующих порядков по направлениям, опре-
деляемым линейным оператором, зависящим от скалярного аргумента [6, 7]. С
другой стороны, интерполяционная формула типа Ньютона имеет свойство сохра-
нения полинома той же степени, тогда как в случае лагранжевой [4] и эрмитовой
(4) интерполяции данное свойство имеет место лишь в асимптотике. Кроме того, в
отличие от интерполяции Лагранжа, в случае интерполяции типа Эрмита (4) можно
получить оценку точности интерполяционного процесса для операторов, имеющих
конечное число высших производных Фреше.
В заключение отметим эквивалентность интерполяционной лагранжевой ин-
формации на множестве L(m) в [4] и типа Эрмита (5) в случае, когда интерполиру-
емый оператор является полиномом. Известно [4], что тогда значения операторных
форм этого полинома
Lk(e1, e2, . . . , ek) =
1
k!
F (k)(0)ek . . . e2e1, k = 0, 1, 2, . . . , n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ ... 563
однозначно определяются через значения оператора в узлах множества L(m) ли-
нейным преобразованием. Следовательно, матрица перехода от значений опера-
тора на множестве L(m) к значениям Lk(e1, e2, . . . , ek) невырождена, а значит, и
обратное утверждение также имеет место. Кроме того, из результатов этой ра-
боты следует, что в конечномерных пространствах приближение будет точным на
полиномах соответствующей степени, а в бесконечномерных — асимптотически
точным.
1. Макаров В. Л., Демкiв I. I., Михальчук Б. Р. Iнтегральний ланцюговий дрiб — аналог формули
Тейлора // Допов. НАН України. – 2004. – № 11. – С. 25 – 31.
2. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В. Эрмитова интерполяция операторов в гильбертовых прос-
транствах // Докл. РАН. – 1992. – 327, № 2. – С. 183 – 186.
3. Хлобыстов В. В., Кашпур Е. Ф. К задаче интерполирования полиномиальных операторов //
Кибернетика и системный анализ. – 1996. – № 3. – С. 106 – 108.
4. Хлобыстов В. В. К вопросу о сходимости интерполяционных процессов в гильбертовом
пространстве // Там же. – 2000. – № 6. – С. 166 – 172.
5. Хлобыстов В. В., Кашпур Е. Ф. Анализ точности интерполирования целых операторов в
гильбертовом пространстве при возмущенных узловых значениях // Укр. мат. журн. – 2003. –
55, № 7. – С. 953 – 960.
6. Егоров А. Д., Соболевский П. Н., Янович Л. А. Приближенные методы вычисления контину-
альных интегралов. – Минск: Наука и техника, 1985. – 310 с.
7. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В., Янович Л. А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук.
думка, 2000. – 407 с.
8. Filipsson L. Kergin interpolation in Banach spaces // J. Approxim. Theory. – 2004. – 127. –
P. 108 – 123.
9. Хлобистов В. В., Поповiчєва Т. М. Про двостороннi оцiнки норми операторного полiнома в
гiльбертовому просторi // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. наук. – 2004. – № 2. – С. 356 – 361.
10. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. –
М.: Наука, 1966. – 543 с.
11. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
12. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3 т. – М.: Наука, 1971. – Т. 1. –
664 с.
Получено 28.01.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
|