Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией

Звернено увагу на те, що означення R-функції залежить від вибору деякої сюр'єкції. Сформульовано задачу про побудову такої функції двох змінних, яка не є R-функцією ні при якому виборі сюр'єктивиого відображення. Показано, що функція x₁x₂ − 1 має таку властивість. Доведено теорему про те,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Величко, И.Г., Стеганцева, П.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2010
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Короткі повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164998
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией / И.Г. Величко, П.Г. Стеганцева // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 270–274. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-164998
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1649982020-02-12T01:27:25Z Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией Величко, И.Г. Стеганцева, П.Г. Короткі повідомлення Звернено увагу на те, що означення R-функції залежить від вибору деякої сюр'єкції. Сформульовано задачу про побудову такої функції двох змінних, яка не є R-функцією ні при якому виборі сюр'єктивиого відображення. Показано, що функція x₁x₂ − 1 має таку властивість. Доведено теорему про те, що у випадку скінченних множин будь-яке відображення буде R- відображенням при слушному виборі сюр'єкції. We note that the definition of R-functions depends on the choice of a certain surjection and pose the problem of the construction of a function of two variables that is not an R-function for any choice of a surjective mapping. It is shown that the function x₁x₂ − 1 possesses this property. We prove a theorem according to which, in the case of finite sets, every mapping is an R-mapping for a proper choice of a surjection. 2010 Article Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией / И.Г. Величко, П.Г. Стеганцева // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 270–274. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164998 517.51+510.644 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Величко, И.Г. Стеганцева, П.Г. Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией Український математичний журнал
description	Звернено увагу на те, що означення R-функції залежить від вибору деякої сюр'єкції. Сформульовано задачу про побудову такої функції двох змінних, яка не є R-функцією ні при якому виборі сюр'єктивиого відображення. Показано, що функція x₁x₂ − 1 має таку властивість. Доведено теорему про те, що у випадку скінченних множин будь-яке відображення буде R- відображенням при слушному виборі сюр'єкції.
format	Article
author	Величко, И.Г. Стеганцева, П.Г.
author_facet	Величко, И.Г. Стеганцева, П.Г.
author_sort	Величко, И.Г.
title	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией
title_short	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией
title_full	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией
title_fullStr	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией
title_full_unstemmed	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией
title_sort	пример функции двух переменных, которая не может быть r-функцией
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164998
citation_txt	Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией / И.Г. Величко, П.Г. Стеганцева // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 270–274. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT veličkoig primerfunkciidvuhperemennyhkotoraânemožetbytʹrfunkciej AT stegancevapg primerfunkciidvuhperemennyhkotoraânemožetbytʹrfunkciej
first_indexed	2025-07-14T17:44:39Z
last_indexed	2025-07-14T17:44:39Z
_version_	1837645253266374656
fulltext	UDK 517.51+510.644 Y. H. Velyçko, P. H. Stehanceva (ZaporoΩ. nac. un-t) PRYMER FUNKCYY DVUX PEREMENNÁX, KOTORAQ NE MOÛET BÁT\| R - FUNKCYEJ We call attention to the fact that the definition of an R-function depends on the choice of some surjection. The problem of the construction of a function of two variables, that is not the R-function at any choice of the surjective mapping, is formulated. We show that the function x x1 2 1− possesses this property and prove the theorem, according to which, in the case of finite sets, any mapping should be the R-mapping under the appropriate choice of the surjection. Zverneno uvahu na te, wo oznaçennq R - funkci] zaleΩyt\ vid vyboru deqko] sgr’[kci]. Sfor- mul\ovano zadaçu pro pobudovu tako] funkci] dvox zminnyx, qka ne [ R - funkci[g ni pry qkomu vybori sgr’[ktyvnoho vidobraΩennq. Pokazano, wo funkciq x x1 2 1− ma[ taku vlastyvist\. Dovedeno teoremu pro te, wo u vypadku skinçennyx mnoΩyn bud\-qke vidobraΩennq bude R - vi- dobraΩennqm pry slußnomu vybori sgr’[kci]. Vvedenye. V poslednee vremq v razlyçn¥x pryloΩenyqx ßyroko prymenqgtsq R - funkcyy, vvedenn¥e V. L. Rvaçev¥m v 1963 h. [1]. Ony pozvolqgt dostatoçno prosto reßyt\ obratnug zadaçu analytyçeskoj heometryy — zapysat\ uravne- nye kryvoj, kotoraq ohranyçyvaet zadannug oblast\. ∏to okaz¥vaetsq polez- n¥m pry reßenyy zadaç matematyçeskoho prohrammyrovanyq, optymal\noho ras- poloΩenyq obæektov na ploskosty, teoryy ustojçyvosty, matematyçeskoj fy- zyky y dr. Naybolee polno teoryq R - funkcyj yzloΩena v fundamental\n¥x monohra- fyqx avtora metoda [2 – 4]. Otmetym takΩe rabot¥ [5 – 8], v kotor¥x reßagt- sq zadaçy mexanyky y matematyçeskoho modelyrovanyq. Poçty vse rabot¥ ob R - funkcyqx posvqwen¥ pryloΩenyqm. Matematyçes- koe obosnovanye πtoho apparata ymeetsq tol\ko v publykacyqx avtora metoda. Vmeste s tem yzuçenye samoho ponqtyq R - funkcyy qvlqetsq neobxodym¥m dlq obobwenyq rezul\tatov na nov¥e obæekt¥. V lyterature pryvodqtsq opredelenye R - funkcyy y prymer¥ R - funkcyj, no net ny odnoho prymera funkcyy, kotoraq ne qvlqetsq R - funkcyej. V dan- noj rabote pryveden prymer konkretnoj funkcyy y dokazano, çto ona ne moΩet b¥t\ R - funkcyej. Postanovka zadaçy. Napomnym opredelenye R - otobraΩenyq y R - funkcyy [2, c. 101]). Pust\ zadan¥ mnoΩestvo X , soderΩawee ne menee k > 1 πlemen- tov, y sgræektyvnoe otobraΩenye Sk : X → Bk , hde Bk = { 0, 1, … , k – 1 } . Opredelenye. OtobraΩenye f : X n → X m naz¥vaetsq R - otobraΩenyem, esly suwestvuet takaq funkcyq k - znaçnoj lohyky F B Bk n k m: → , kotoraq vmeste s f obrazuet kommutatyvnug dyahrammu X X B B n f m k n F k m S Sk n k m  → ↓ ↓  → yly, druhymy slovamy, esly © Y. H. VELYÇKO, P. H. STEHANCEVA, 2010 270 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2 PRYMER FUNKCYY DVUX PEREMENNÁX, KOTORAQ … 271 S fk m � = F Sk n� . (1) Zdes\ S X Bk n n k n: → , S x x xk n n( , , , )1 2 … = ( )( ), ( ), , ( )S x S x S xk k k n1 2 … . Pry πtom funkcyq F k - znaçnoj lohyky naz¥vaetsq soprovoΩdagwej dlq f. Esly X = R , to R - otobraΩenye naz¥vaetsq R - funkcyej. Prymer. Pust\ X = R . Zadadym sgræektyvnoe otobraΩenye S t3( ) = 0 0 1 0 2 0 , , , , , . esly esly esly t t t < = >       PokaΩem, çto funkcyq f x x( , )1 2 = x x1 2 qvlqetsq R - funkcyej. Poskol\ku f : R 2 → R 1 , to n = 2, m = 1. Funkcyg F zadadym sledugwym obrazom: X X F 1 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 1 0 1 1 1 0 1 2 Dlq dokazatel\stva toho, çto funkcyq f qvlqetsq R - funkcyej, nuΩno vzqt\ vsevozmoΩn¥e znaçenyq x1, x2 y proveryt\ v¥polnenye ravenstva (1). Esly, naprymer, x1 < 0, x2 = 0, to f x x( , )1 2 = x x1 2 = 0, S f x x3 1 2( )( , ) = 1. S druhoj storon¥, S x x3 2 1 2( , ) = ( )( ), ( )S x S x3 1 3 2 = ( , )0 1 , F S x x( )( , )3 2 1 2 = F( , )0 1 = 1. Znaçyt, dlq πtoho sluçaq ravenstvo (1) v¥polnqetsq: S f x x3 1 2( )( , ) = 1 = F S x x( )( , )3 2 1 2 . Ostal\n¥e 8 sluçaev (kaΩdaq yz peremenn¥x otrycatel\na, ravna nulg yly poloΩytel\na) proverqgtsq analohyçno. Pryvedennoe v¥ße opredelenye qvlqetsq, na samom dele, opredelenyem R - otobraΩenyq otnosytel\no zadannoj sgræekcyy Sk , kotoraq, v svog oçered\, opredelqet y çyslo k . Lehko pokazat\, çto funkcyq g x x( , )1 2 = x x1 2 1− uΩe ne budet R - funk- cyej otnosytel\no zadannoho otobraΩenyq S3 . Voz\mem x1 = 1, x2 = t > 0. Tohda S x x3 2 1 2( , ) = ( )( ), ( )S x S x3 1 3 2 = ( )( ), ( )S S t3 31 = ( , )2 2 . S druhoj storon¥, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2 272 Y. H. VELYÇKO, P. H. STEHANCEVA S g x x3 1 2( )( , ) = S t3 1 1( )⋅ − = S t3 1( )− . Znaçyt, v sylu (1), dolΩno v¥polnqt\sq ravenstvo F( , )2 2 = S t3 1( )− . Poskol\ku levaq çast\ ne zavysyt ot t , pravaq toΩe ne dolΩna zavyset\ ot t . No πto neverno: S t3 0 5= , = S3 0 5 1( , )− = S3 0 5( , )− = 0 ≠ 2 = S3 1( ) = S3 2 1( )− = S t3 2= , a znaçyt, funkcyq g x x( , )1 2 = x x1 2 1− uΩe ne budet R - funkcyej otnosytel\- no zadannoho otobraΩenyq. Ne ysklgçen tot fakt, çto ona budet R - funkcyej otnosytel\no druhoho otobraΩenyq Sk . Cel\g dannoj rabot¥ qvlqetsq postroenye prymera funkcyy dvux peremen- n¥x, kotoraq ne qvlqetsq R - funkcyej ny dlq kakoho sgræektyvnoho otobra- Ωenyq. Osnovnaq çast\. DokaΩem, çto funkcyq g x x( , )1 2 = x x1 2 1− ne qvlqetsq R - funkcyej. Esly zadannaq funkcyq g : R 2 → R 1 est\ R - funkcyq, to dolΩn¥ suwest- vovat\ natural\noe k > 1 y sgræektyvnaq funkcyq S : R 1 → B k takye, çto v¥polnqetsq ravenstvo F S x S x( )( ), ( )1 2 = S x x( )1 2 1− ∀ ∈x x R1 2, . (2) Na mnoΩestve R 1 vvedem bynarnoe otnoßenye ∼ sledugwym obrazom: x ∼ y ⇔ S x( ) = S y( ) . Lehko ubedyt\sq, çto ono qvlqetsq otnoßenyem πkvyvalentnosty. Esly x y1 1∼ ∧ x y2 2∼ , to S x x( )1 2 1− = F S x S x( )( ), ( )1 2 = F S y S y( )( ), ( )1 2 = S y y( )1 2 1− . Takym obrazom, esly g x x( , )1 2 = x x1 2 1− qvlqetsq R - funkcyej, to x y1 1∼ ∧ x y2 2∼ ⇒ ( ) ( )x x y y1 2 1 21 1− −∼ . (3) Esly x2 = y2 = t, to x y2 2∼ , y sootnoßenye (3) prynymaet vyd x y1 1∼ ⇒ ( ) ( )x t y t1 11 1− −∼ ∀ ∈t R . (4) Suwestvugt dva vozmoΩn¥x varyanta stroenyq klassa πlementov, πkvyvalent- n¥x nulg. Rassmotrym yx. 1. Suwestvuet nenulevoe çyslo x , πkvyvalentnoe nulg. V¥berem x1 = 0, y1 = x , y podstavym v (4). V rezul\tate poluçym tx − 1 ∼ – 1 ∀ ∈t R . (5) PoloΩyv v (5) t = 1/x , budem ymet\ 0 ∼ – 1. (6) Poskol\ku S — sgræekcyq y k ≥ 2, suwestvuet πlement ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2 PRYMER FUNKCYY DVUX PEREMENNÁX, KOTORAQ … 273 b � 0. (7) PoloΩyv v (5) t = ( )/b x+ 1 , poluçym b ∼ −1. Takym obrazom, b ∼ ∼−1 0 ⇒ b ∼ 0 , çto protyvoreçyt (7). Sledovatel\no, πtot varyant ne moΩet b¥t\ realyzovan. 2. Ne suwestvuet nenulev¥x çysel, πkvyvalentn¥x nulg, t. e. klass πkvy- valentnosty, soderΩawyj nul\, sostoyt yz odnoho πlementa. Poskol\ku kolyçestvo klassov πkvyvalentnosty ravno k , t. e. qvlqetsq ko- neçn¥m (v pryncype, moΩno b¥lo b¥ rassmatryvat\ y sçetnoe mnoΩestvo klas- sov), suwestvuet klass, soderΩawyj, po krajnej mere, dva razlyçn¥x nenule- v¥x πlementa a y b. PoloΩyv v (4) t = 1/a , x1 = a , y1 = b , poluçym a b∼ ⇒ a a b a ⋅ −     ⋅ −     1 1 1 1∼ ⇒ 0 1∼ b a − ⇒ b a − =1 0 ⇒ b a= . Poluçennoe protyvoreçye (po uslovyg πlement¥ a y b razlyçn¥) pokaz¥vaet, çto y πtot varyant ne moΩet realyzov¥vat\sq. Takym obrazom, sootnoßenye (4) ne moΩet v¥polnqt\sq ny pry kakom v¥bore çysla k ≥ 2 y ny pry kakom sposobe zadanyq otobraΩenyq S . Sledovatel\no, utverΩdenye o tom, çto funkcyq g x x( , )1 2 = x x1 2 1− ne moΩet b¥t\ R - funk- cyej, dokazano. Sluçaj koneçn¥x mnoΩestv. Otmetym, çto dlq lgboho koneçnoho mnoΩe- stva postroenye takoho prymera nevozmoΩno v sylu sledugwej teorem¥. Teorema. Dlq lgboho koneçnoho mnoΩestva X vsehda moΩno podobrat\ takug sgræekcyg Sk , otnosytel\no kotoroj zadannoe otobraΩenye f : X n → → X m budet R - otobraΩenyem. Dokazatel\stvo. PoloΩym k = X y v¥berem v kaçestve Sk kakug-ny- bud\ byekcyg meΩdu mnoΩestvamy X y Bk . OtobraΩenye f zapyßem çerez koordynatn¥e otobraΩenyq: f x( ) = ( )( ), ( ), , ( )f x f x f xm1 2 … , hde x = ( , , , )x x xn1 2 … , x Xi ∈ . Yskomaq funkcyq F k - znaçnoj lohyky odnoznaçno opredelqetsq svoymy koordynatn¥my funkcyqmy Fi : F b( ) = ( )( ), ( ), , ( )F b F b F bm1 2 … , hde b = ( , , , )b b bn1 2 … , b Bi k∈ . Ravenstvo (1) πkvyvalentno seryy toΩdestv F S x S x S xi k k k n( )( ), ( ), , ( )1 2 … = S f x x xk i n( )( , , , )1 2 … , i = 1, … , m . (8) Opredelym funkcyy Fi sledugwym obrazom: F b b bi n( , , , )1 2 … = S f S b S b S bk i k k k n( ( ))( ), ( ), , ( )− − −…1 1 1 2 1 , i = 1, … , m . (9) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2 274 Y. H. VELYÇKO, P. H. STEHANCEVA Poskol\ku S qvlqetsq byekcyej, pravaq çast\ (9) opredelqetsq odnoznaçno dlq vsex znaçenyj lohyçeskyx peremenn¥x, y, sledovatel\no, funkcyy Fi op- redelen¥ korrektno. V¥brann¥e funkcyy udovletvorqgt ravenstvam (8), a zna- çyt, yskom¥e sgræekcyq Sk y funkcyq lohyky F najden¥. Teorema dokazana. Zaklgçenye. V dannoj rabote postroen konkretn¥j prymer funkcyy, ko- toraq ne moΩet b¥t\ R - funkcyej ny pry kakom v¥bore sgræekcyy. Predlo- Ωenn¥j metod moΩno lehko obobwyt\ dlq dokazatel\stva toho fakta, çto funkcyy vyda ax x x bn1 2 … + pry n > 1 y ab ≠ 0 ne mohut b¥t\ R - funkcyq- my. V dal\nejßem planyruetsq poluçenye klassov funkcyj, πlement¥ koto- r¥x ne mohut b¥t\ R - funkcyqmy. Predstavlqet ynteres y poluçenye obweho kryteryq toho, qvlqetsq ly zadannaq funkcyq R - funkcyej. 1. Rvaçev V. L. Ob analytyçeskom opysanyy nekotor¥x heometryçeskyx obæektov // Dokl. AN USSR. – 1963. – 153, #T4. – S.T765 – 767. 2. Rvaçev V. L. Teoryq R - funkcyj y nekotor¥e ee pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1982. – 552 s. 3. Rvaçev V. L., Synekop N. S. Metod R - funkcyj v zadaçax teoryy upruhosty y plastyçnosty. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. – 216 s. 4. Kravçenko V. F., Rvaçev V. L. Alhebra lohyky, atomarn¥e funkcyy y vejvlet¥ v fyzyçes- kyx pryloΩenyqx. – M.: Fyzmatlyt, 2006. – 416 s. 5. Kravçenko V. F., Gryn A. V. Prymenenye teoryy R - funkcyj y vejvletov k reßenyg krae- v¥x zadaç πllyptyçeskoho typa // ∏lektromahnytn¥e voln¥ y πlektronn¥e system¥. – 2009. – # 3. – S.T4 – 39. 6. Slesarenko A. P., Safonov N. A. R - funkcyy, varyacyonno-strukturn¥j y yteracyonn¥e metod¥ v ydentyfykacyy y matematyçeskom modelyrovanyy nelynejn¥x processov teploprovodnosty v oblastqx s ystoçnykamy πnerhyy // Dop. NAN Ukra]ny. – 2007. – # 1. – S.T94 – 99. 7. Kurpa L., Pigun G., Amabili M. Nonlinear vibrations of shallow shells with complex boundary: R - functions method and experimental // J. Sound and Vibration. – 2007. – 306, Issues 3-5. – P. 580 – 600. 8. Mathieu Hursin, Shanjie Xiao, Tatjana Jevremovic. Synergism of the method of characteristic, R - functions and diffusion solution for accurate representation of 3D neutron interactions in research reactors using the AGENT code system // Ann. Nuclear Energy. – 2006. – 33, Issue 13. – P. 1116 – 1133. Poluçeno 03.07.09, posle dorabotky — 19.11.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 2

Пример функции двух переменных, которая не может быть R-функцией

Institution

Ähnliche Einträge