Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений
Встановлено умови існування зникаючих в особливій точці розв'язків різних класів систем квазілінійних диференціальних рівнянь, що виникають при дослідженні асимптотичної поведінки розв'язків істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь вищих порядків....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165001 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений / В.М. Евтухов, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 52-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1650012020-02-12T01:27:14Z Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений Евтухов, В.М. Самойленко, А.М. Короткі повідомлення Встановлено умови існування зникаючих в особливій точці розв'язків різних класів систем квазілінійних диференціальних рівнянь, що виникають при дослідженні асимптотичної поведінки розв'язків істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь вищих порядків. We establish conditions for the existence of solutions vanishing at a singular point for various classes of systems of quasilinear differential equations appearing in the investigation of the asymptotic behavior of solutions of essentially nonlinear nonautonomous differential equations of higher orders. 2010 Article Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений / В.М. Евтухов, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 52-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165001 517.925 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Евтухов, В.М. Самойленко, А.М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений Український математичний журнал |
| description |
Встановлено умови існування зникаючих в особливій точці розв'язків різних класів систем квазілінійних диференціальних рівнянь, що виникають при дослідженні асимптотичної поведінки розв'язків істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь вищих порядків. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Самойленко, А.М. |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Самойленко, А.М. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений |
| title_short |
Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений |
| title_full |
Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений |
| title_sort |
условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165001 |
| citation_txt |
Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений / В.М. Евтухов, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 1. — С. 52-80. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm usloviâsuŝestvovaniâisčezaûŝihvosobojtočkerešenijveŝestvennyhneavtonomnyhsistemkvazilinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT samojlenkoam usloviâsuŝestvovaniâisčezaûŝihvosobojtočkerešenijveŝestvennyhneavtonomnyhsistemkvazilinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-14T17:44:51Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:44:51Z |
| _version_ |
1837645265032445952 |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов (Одес. нац. ун-т),
А. М. Самойленко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
We establish conditions for the existence of solutions of various classes of systems of quasilinear differential
equations that vanish at the singular point. These classes appear in investigating the asymptotic behavior of
solutions of essentially nonlinear nonautonomous differential equations of higher orders.
Встановлено умови iснування зникаючих в особливiй точцi розв’язкiв рiзних класiв систем квазiлiнiйних
диференцiальних рiвнянь, що виникають при дослiдженнi асимптотичної поведiнки розв’язкiв iстотно
нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв.
Введениe. В [1 – 10] при изучении асимптотического поведения решений диф-
ференциальных уравнений высших порядков с нелинейностями типа Эмдена –
Фаулера и экспоненциальными нелинейностями на одном из этапов исследования
использовались результаты из работ [11, 12] о существовании исчезающих в беско-
нечности решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений с почти
постоянными коэффициентами и с почти треугольной линейной частью. Несколько
другого типа результаты использовались в работе [13] при установлении асимпто-
тических свойств решений обобщенных уравнений типа Эмдена – Фаулера. Однако
при исследовании дифференциальных уравнений с нелинейностями более сложной
структуры указанные выше результаты не эффективны. Например, в [14] для изуче-
ния асимптотического поведения решений дифференциального уравнения второго
порядка с нелинейностью, в некотором смысле близкой к экспоненциальной, воз-
никла необходимость получить новый результат о существовании исчезающих в
бесконечности решений квазилинейной системы двух дифференциальных уравне-
ний с почти постоянными коэффициентами.
Целью настоящей статьи является распространение результатов из работ [11,
12] на системы квазилинейных дифференциальных уравнений более общего вида,
частным случаем которых является система, рассмотренная в [14].
1. Основные результаты. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dyi
dx
= fi(x) +
n∑
j=1
pij(x)yj +
2∑
m=1
gim(x)Yim(x, y1, . . . , yn), i = 1, n, (1.1)
где Yi2(x, 0, . . . , 0) ≡ 0, i = 1, n, на промежутке [a, ω[, −∞ < a < ω ≤ +∞,
fi, gim, pij : [α, ω[ −→ R, i, j = 1, n, m = 1, 2, и Yim : Ωn
ab −→ R, i = 1, n,
m = 1, 2, — непрерывные функции,
Ωn
ab = [a, ω[×Rn
b , Rn
b =
{
(y1, . . . , yn) ∈ Rn : |yi| ≤ b, i = 1, n
}
. (1.2)
При этом будем предполагать, что функции Yim, i = 1, n, m = 1, 2, удовлетворяют
условиям
lim
x↑ω
Yi1(x, y1, . . . , yn) = 0, i = 1, n, равномерно по (y1, . . . , yn) ∈ Rn
b , (1.3)
c© В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО, 2010
52 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 53
lim
|y1|+...+|yn|→0
Yi2(x, y1, . . . , yn)
|y1|+ . . . + |yn|
= 0, i = 1, n, равномерно по x ∈ [a, ω[.
(1.4)
Данная система дифференциальных уравнений существенно отличается от сис-
тем, рассмотренных в работах [11, 12], не только тем, что здесь ω ≤ +∞, а наличи-
ем слагаемых (вообще говоря, нелинейных) с функциями Yi1, i = 1, n, удовлетво-
ряющими условиям (1.3). Не предполагая никаких дополнительных ограничений
на эти функции, ниже установим результаты о существовании исчезающих в ω
решений этой системы, в целом аналогичные результатам, полученным в [11, 12].
Использовав вспомогательное обозначение
Jα,x(q, p) ≡
x∫
α
q(τ) exp
x∫
τ
p(s) ds
dτ, (1.5)
введем для системы дифференциальных уравнений (1.1) вспомогательные функции
Ei(τ, x) = exp
x∫
τ
pii(s) ds
, Fi(x) = Jαi,x(fi, pii), i = 1, n,
Gim(x) = Jγim,x(|gim|, pii), i = 1, n, m = 1, 2, (1.6)
Pij(x) = Jβij ,x(|pij |, pii), i, j = 1, n, j 6= i,
где каждый из пределов интегрирования αi, γim, βij равен либо a, либо ω, при-
чем он выбирается равным ω в случае, когда соответствующий интеграл Jωa(·, ·)
сходится, и a — в противном случае.
Теорема 1.1. Пусть наряду с (1.3) и (1.4) выполняются условия
lim
x↑ω
Fi(x) = 0, i = 1, n, lim sup
x↑ω
|Gim(x)| < +∞, i = 1, n, m = 1, 2,
(1.7)
lim sup
x↑ω
|Pij(x)| = P 0
ij = const, i, j = 1, n, j 6= i, (1.8)
и постоянные B0
i , i = 1, n, определяемые, начиная с i = n, рекуррентными со-
отношениями
B0
n =
n−1∑
j=1
∣∣P 0
nj
∣∣ , B0
i =
i−1∑
j=1
∣∣P 0
ij
∣∣+ n∑
j=i+1
B0
j
∣∣P 0
ij
∣∣ , i = 1, n− 1,
удовлетворяют неравенствам
B0
i < 1, i = 1, n. (1.9)
Тогда система дифференциальных уравнений (1.1) имеет хотя бы одно решение
(yj)n
j=1 : [x0,+∞[ −→ Rn
b , x0 ∈ [a, ω[, стремящееся к нулю (0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn)
при x ↑ ω. Более того, таких решений существует k-параметрическое семейство,
если среди функций Ei(a, x), i = 1, . . . , n, имеется k функций, предел которых при
x ↑ ω равен нулю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
54 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
Доказательство. Поскольку выполняются вторая группа условий (1.7) и усло-
вия (1.8), при наличии при фиксированном i ∈ {1, . . . , n} среди пределов интегри-
рования βij , j = 1, n, и γim, m = 1, 2, хотя бы одного, равного a, имеем
lim
x↑ω
Ei(a, x) = 0. (1.10)
Поэтому в силу (1.9) для числа q ∈ (B0, 1), где B0 = max
{
B0
i : i = 1, n
}
, суще-
ствуют x′ ∈ [a, ω[ и ε02 > 0 такие, что для функций Bi, i = 1, . . . , n, определяемых
(начиная с i = n) рекуррентными соотношениями1
Bi(x) = nε02|Gi2(x)|+
i−1∑
j=1
|Pij(x)|+
n∑
j=i+1
∣∣∣Jβij ,x
(
Bj |pij |, pii
)
0
∣∣∣, i = n, 1,
выполняются неравенства
Bi(x) < q, i = 1, n, при x ∈ [x′, ω[. (1.11)
В свою очередь, для числа ε02 > 0 в силу (1.4) можно подобрать число b0 ∈ ]0, b]
так, чтобы на множестве Ωab0 выполнялись неравенства
∣∣Yi2(x, y1, . . . , n)
∣∣ < ε02
n∑
j=1
|yj |, i = 1, n. (1.12)
Далее, для каждого i ∈ {1, . . . , n} такого, что имеет место (1.10), выберем
произвольным образом постоянную c0
i 6= 0 и положим c0
i = 0, если (1.10) не
выполняется. В силу такого выбора этих постоянных и условий (1.7), (1.8) суще-
ствуют числа x′′ ∈ [x′, ω[ и ε01 такие, что для функций Ai, i = 1, n, определяемых
(начиная с i = n) рекуррентными соотношениями
Ai(x, c0
i , . . . , c
0
n) =
= |c0
i |Ei(a, x) + |Fi(x)|+ ε01|Gi1(x)|+
n∑
j=i+1
∣∣∣Jβij ,x(Aj |pij |, pii)
∣∣∣, i = 1, n,
выполняются неравенства
Ai(x, c0
i , . . . , c
0
n) < b0(1− q), i = 1, n, при x ∈ [x′′, ω[. (1.13)
Для числа ε01 > 0 подберем с учетом (1.3) число x0 ∈ [x′′, ω[ так, чтобы на
множестве Ωx0b ∣∣Yi1(x, y1, . . . , n)
∣∣ < ε01, i = 1, n. (1.14)
Теперь определим рекуррентными соотношениями (начиная с i = n) функции Ai,
Bi, i = 1, n, положив
Ai(x, c0
i , . . . , c
0
n) =
=
∣∣c0
i |Ei(a, x) + |Fi(x)
∣∣+ ε01
∣∣Gi1(x)
∣∣+ n∑
j=i+1
∣∣∣Jβij ,x(Aj |pij |, pii)
∣∣∣,
1Здесь и всюду в дальнейшем считаем, что
∑m
i=k
ai = 0 при m < k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 55
Bi(x) = nε02
∣∣Gi2(x)
∣∣+ i−1∑
j=1
∣∣P ij(x)
∣∣+ n∑
j=i+1
∣∣∣Jβij ,x(Bj |pij |, pii)
∣∣∣, i = 1, n,
где Gim, P ij — функции, полученные из Gim, Pij заменой пределов интегрирования
γim, βij соответственно на γim, βij , каждый из которых равен либо x0, либо ω,
причем он выбирается равным x0, если до этого был равен a, и остается равным
ω — в противном случае (при этом пределы интегрирования αi в функциях Fi
оставляем неизменными). Поскольку a ≤ x′ ≤ x′′ ≤ x0 < ω и выполняются
неравенства (1.11), (1.13), заведомо будут выполняться и неравенства
Ai(x, c0
i , . . . , c
0
n) < b0(1− q), Bi(x) < q, i = 1, n, при x ∈ [x0, ω[. (1.15)
Кроме того, на множестве Ωx0b0 имеют место неравенства (1.12), (1.14).
Установив эти факты, покажем, что система дифференциальных уравнений име-
ет хотя бы одно решение, определенное на промежутке [x0, ω[ и исчезающее при
x ↑ ω, причем таких решений, заданных на [x0, ω[, существует k-параметрическое
семейство, если среди функций Ei(a, x) имеется k функций, предел которых при
x ↑ ω равен нулю.
Пусть Cloc([x0, ω[ ; Rn) — пространство непрерывных вектор-функций y =
= (yi)n
i=1 : [x0, ω[ −→ Rn с топологией равномерной сходимости на замкнутых
отрезках из [x0, ω[, а S — подмножество тех из них, для которых
|yi(x)| ≤ b0, i = 1, n, при x ∈ [x0, ω[.
Выбрав произвольным образом постоянные ci, i = 1, n, удовлетворяющие не-
равенствам 0 ≤ |ci| ≤ |c0
i |, рассмотрим оператор Φ = (Φi)n
i=1 : S −→ Cloc([x0, ω[ ;
Rn), определенный (снизу вверх) рекуррентными соотношениями
Φi(y)(x) = ciEi(a, x) + Fi(x) +
i−1∑
j=1
Jβij ,x (pijyj , pii) +
+
n∑
j=i+1
Jβij ,x (pijΦj(y), pii) +
2∑
m=1
Jγim,x
(
gimY im(y), pii
)
, i = 1, n, (1.16)
где
Y im(y)(x) = Yim
(
x, y1(x), . . . , yn(x)
)
.
Приняв во внимание введенные обозначения, условия (1.12), (1.14) и (1.15),
для любого y ∈ S последовательно, начиная с i = n, получим при x ∈ [x0, ω[
следующие оценки: ∣∣Φn(y)(x)
∣∣ ≤ An(x, c0
n) + b0Bn(x) < b0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∣∣Φ1(y)(x)
∣∣ ≤ A1(x, c0
1, . . . , c
0
n) + b0B1(x) < b0.
Отсюда следует, что Φ(S) ⊂ S.
Далее, установим непрерывность оператора Φ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
56 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
Пусть yk = (yjk)n
j=1 ∈ S, k = 0, 1, . . . , и lim
k→+∞
yk(x) = y0(x) равномерно
на каждом конечном отрезке промежутка [x0, ω[. Тогда, очевидно, что и
lim
k→+∞
Y im(yk)(x) = Y im(y0)(x), i = 1, n, равномерно на любом конечном отрезке
промежутка [x0, ω[.
Покажем, что при каждом фиксированном i ∈ {1, . . . , n} для любых ε > 0 и
x∗ ∈]x0, ω[ существует натуральное число Ki такое, что∣∣Φi(yk)(x)− Φi(y0)(x)
∣∣ < ε при k > Ki и x ∈ [x0, x∗]. (1.17)
Отсюда и будет следовать, что lim
k→+∞
Φ(yk)(x) = Φ(y0)(x) равномерно на каждом
конечном отрезке промежутка [x0, ω[, т. е. оператор Φ будет непрерывным.
Доказательство будем проводить последовательно, снизу вверх, начиная с i = n.
При этом будем учитывать, что для некоторого M > 0 выполняются в силу условий
(1.7) и (1.8) неравенства ∣∣P ij(x)
∣∣ < M, i, j = 1, n,∣∣Gim(x)
∣∣ < M, i = 1, n, m = 1, 2, при x ∈ [x0, ω[.
Выберем произвольным образом ε > 0 и x∗ ∈]x0, ω[. В силу (1.16) имеем∣∣Φn(yk)(x)− Φn(y0)(x)
∣∣ ≤
≤
n−1∑
j=1
∣∣∣Jβnj ,x (|pnj ||yjk − yj0|, pnn)
∣∣∣+
+
2∑
m=1
∣∣Jγnm,x
(
|gnm|
∣∣Y nm(yk)− Y nm(y0)
∣∣ , pnn
)∣∣ .
Докажем сначала существование такого натурального Kn1(ε), что∣∣∣Jγn1,x
(
|gn1|
∣∣Y n1(yk)− Y n1(y0)
∣∣, pnn
)∣∣∣ ≤ ε
3
при k > Kn1 и x ∈ [x0, x∗].
(1.18)
При этом рассмотрим два возможных случая: γn1 = x0 и γn1 = ω.
В случае, когда γn1 = x0, выбираем, учитывая, что lim
k→+∞
Ỹn1(yk)(x) =
= Ỹn1(y0)(x) равномерно на любом конечном отрезке промежутка [x0, ω[, нату-
ральное число Kn1(ε) так, чтобы выполнялось неравенство∣∣Y n1(yk)(x)− Y n1(y0)(x)
∣∣ < ε
3 M
при k > Kn1 и x ∈ [x0, x∗].
При таком выборе Kn1 получим∣∣∣Jx0,x
(
|gn1|
∣∣Y n1(yk)− Y n1(y0)
∣∣ , pnn
) ∣∣∣ ≤
≤ ε
3 M
∣∣Gn1(x)
∣∣ ≤ ε
3
при k > Kn1 и x ∈ [x0, x∗].
Если γn1 = ω, то сначала выбираем число x1 ∈ ]x∗, ω[ настолько большим,
чтобы выполнялось неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 57
ω∫
x1
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ ≤ ε
12 ε01 M
ω∫
x∗
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ,
а затем, учитывая, что lim
k→+∞
Ỹn1(yk)(x) = Ỹn1(y0)(x) равномерно на любом конеч-
ном отрезке промежутка [x0, ω[, подбираем натуральное число Kn1(ε) так, чтобы
|Y n1(yk)(x)− Y n1(y0)(x)| < ε
6 M
при k > Kn1 и x ∈ [x0, x1].
Тогда при k > Kn1 и x ∈ [x0, x∗] с учетом неравенства (1.14) будем иметь∣∣∣Jω,x
(
|gn1|
∣∣Y n1(yk)− Y n1(y0)
∣∣, pnn
)∣∣∣ =
= En(x0, x)
x1∫
x
+
ω∫
x1
|gn1(τ)|En(τ, x0)
∣∣Y n1(yk)(τ)− Y n1(y0)(τ)
∣∣ dτ ≤
≤ En(x0, x)
ε
6 M
x1∫
x
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ + 2ε01
ω∫
x1
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ
≤
≤ ε
6 M
En(x0, x)
x1∫
x
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ +
ω∫
x∗
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ
≤
≤ ε
3 M
En(x0, x)
ω∫
x
|gn1(τ)|En(τ, x0) dτ =
=
ε
3 M
|Jω,x (|gn1|, pnn)| = ε
3 M
|Gn1(x)| < ε
3
.
Далее точно таким же образом с использованием неравенства (1.12) доказываем
существование натурального числа Kn2(ε) такого, что∣∣∣Jγn2,x
(
|gn2|
∣∣Y n1(yk)− Y n1(y0)
∣∣, pnn
)∣∣∣ < ε
3
при k > Kn2 и x ∈ [x0, x∗],
а также натуральных Kn3j(ε), j = 1, n− 1, таких, что∣∣∣Jβnj ,x (|pnj ||yjk − yj0|, pnn)
∣∣∣ < ε
3(n− 1)
,
j = 1, n− 1, при k > Kn3j и x ∈ [x0, x∗].
В силу полученных неравенств∣∣Φn(yk)(x)− Φn(y0)(x)
∣∣ < ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε при k > Kn и x ∈ [x0, x∗],
где Kn = max{Kn1,Kn2,Kn31, . . . ,Kn3n−1}. Значит, lim
k→+∞
Φn(yk)(x) =
= Φn(y0)(x) равномерно по x на любом замкнутом отрезке промежутка [x0, ω[.
Установив этот факт, выбираем опять произвольным образом числа ε > 0,
x∗ > x0 и аналогично предыдущему доказываем существование натурального чис-
ла Kn−1(ε) такого, что при k > Kn−1 и x ∈ [x0, x∗]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
58 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО∣∣Φn−1(yk)(x)− Φn−1(y0)(x)
∣∣ ≤
≤
n−2∑
j=1
∣∣∣Jβn−1j ,x (|pn−1j ||yjk − yj0|, pn−1n−1)
∣∣∣+
+
∣∣∣Jβn−1n,x
(
pn−1n
∣∣Φn(yk)− Φn(y0)
∣∣, pn−1n−1
)∣∣∣+
+
2∑
m=1
∣∣∣Jγn−1m,x
(
|gn−1m|
∣∣Y n−1m(yk)− Y n−1m(y0)
∣∣, pn−1n−1
)∣∣∣ <
<
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
= ε,
т. е. имеет место (1.17) при i = n− 1.
Продолжая этот процесс далее, приходим к выводу о справедливости приведен-
ного утверждения при всех i ∈ {1, . . . , n}. Тем самым непрерывность оператора Φ
установлена.
Пусть теперь y ∈ S. Тогда в силу (1.16)
(Φi(y)(x))′ = fi(x) +
i−1∑
j=1
pij(x)yj(x) +
n∑
j=i
pij(x)Φj(y)(x)+
+
2∑
m=1
gim(x)Y im(y)(x), i = 1, n.
Отсюда с учетом условий Φ(S) ⊂ S, (1.12) и (1.14) следует, что
∣∣(Φi(y)(x))′
∣∣ ≤ |fi(x)|+ b0
n∑
j=1
|pij(x)|+
+ε01|gi1(x)|+ nb0ε02|gi2(x)|, i = 1, n, при x ∈ [x0, ω[.
Поэтому в силу непрерывности функций fi, pij , gim : [x0, ω[ −→ R, i, j = 1, n,
m = 1, 2, для любого отрезка [x∗, x∗] ⊂ [x0, ω[ существует постоянная K > 0, не
зависящая от y, такая, что
∣∣(Φi(y)(x))′
∣∣ ≤ K при x ∈ [x∗, x∗]. Из этих неравенств
следует, что функции из множества Φ(S) являются равностепенно непрерывными
на каждом конечном отрезке промежутка [x0, ω[. Поскольку, кроме того, множество
S является замкнутым и выпуклым, в силу теоремы Шаудера – Тихонова (см. [12,
с. 9]) существует y ∈ S такое, что y = Φ(y). Данная вектор-функция y : [x0, ω[ →
→ Rn
b0
, очевидно, является решением системы уравнений (1.1).
Покажем, что это решение стремится к нулю при x ↑ ω. Допустим противное.
Тогда max
1≤i≤n
{
lim sup
x↑ω
|yi(x)|
}
= lim sup
x↑ω
|yl(x)| = c0 > 0, c0 ≤ b0), и поэтому для
некоторой возрастающей последовательности {xk}, xk ∈ [x0, ω[, сходящейся к ω,
lim
k→+∞
|yl(xk)| = c0. Учитывая два этих предельных соотношения, выбираем для
числа ε ∈ (0, c0(1− q)/(1 + q)) номер N(ε) так, чтобы∣∣yl(xk)
∣∣ > c0 − ε при k ≥ N,∣∣yi(x)
∣∣ < c0 + ε, i = 1, n, при x ∈ [xN , ω[.
(1.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 59
Далее, в соотношениях, полученных из (1.16) заменой Φi(y) на yi, i = 1, n,
каждый интеграл, у которого нижний предел интегрирования либо βij , i, j ∈
∈ {1, . . . , n}, i 6= j, либо γim, i ∈ {1, . . . , n}, m ∈ {1, 2}, равен x0, запишем в виде
суммы двух интегралов
∫ xN
x0
+
∫ x
xN
. Поскольку при их наличии в силу второй
группы условий (1.7) и условий (1.8) выполняется условие (1.10), с учетом нера-
венств |yi(x)| ≤ b0, i = 1, n, при x ∈ [x0, ω[, (1.11) и второго из неравенств (1.19)
получим
|yi(x)| ≤ Ai1(x, y1(x), . . . , yn(x)) + (c0 + ε)Bi1(x), i = 1, n, при x ∈ [xN , ω[,
(1.20)
где
Ai1(x, y1(x), . . . , yn(x)) =
= CiEi(a, x) + |Fi(x)|+
∣∣Jγ̃i1,x
(∣∣gi1||Y i1
∣∣ , pii
)∣∣+ n∑
j=i+1
∣∣∣Jβ̃ij
(Aj1|pij |, pii)
∣∣∣ ,
Bi1(x) = nε02 |Jγ̃i2,x (|gi2|, pii)|+
+
i−1∑
j=1
∣∣∣Jβ̃ij ,x (|pij |, pii)
∣∣∣+ n∑
j=i+1
∣∣∣Jβ̃ij ,x (Bj1|pij |, pii)
∣∣∣,
Ci > 0 в случае, когда выполняется условие (1.10) и Ci = 0 — в противном случае,
каждый из пределов интегрирования β̃ij , i, j = 1, n, j 6= i, и γ̃im, i = 1, n, m = 1, 2,
равен либо xN , либо ω, причем он равен xN , если до этого соответствующий ему
предел интегрирования βij или γim был равен x0.
Здесь в силу (1.3), первой группы условий (1.7) и приведенной ниже леммы 1.1
все функции Ai1, i = 1, n, при указанных значениях Ci, i = 1, n, стремятся к нулю
при x ↑ ω.
Кроме того, поскольку xN ≥ x0, а числа x0 и ε02 > 0 ранее были выбраны таким
образом, чтобы выполнялись неравенства Bi(x) < q, i = 1, n, при x ∈ [x0, ω[, тем
более будут выполняться и неравенства Bi1(x) < q, i = 1, n, при x ∈ [xN , ω[.
Поэтому из (1.20) получим
|yi(x)| < Ai1(x, y1(x), . . . , yn(x)) + (c0 + ε)q, i = 1, n, при x ∈ [xN , ω[.
(1.21)
Отсюда с учетом первого из неравенств (1.19) имеем
c0(1− q)− ε(1 + q) < Al1(xk) при k > N.
Однако это невозможно, так как здесь слева в силу выбора числа ε стоит поло-
жительное число, а правая часть неравенства стремится к нулю при k → +∞.
Полученное противоречие доказывает, что решение уравнения y = Φ(y) стремится
к нулю при x → +∞.
Наконец, заметим, что полученное решение зависит от постоянных ci, i = 1, n,
которые выбирались произвольными, но удовлетворяющими неравенствам 0 ≤
≤ |ci| ≤ |c0
i |, i = 1, n, где c0
i 6= 0 при выполнении условия (1.10) и c0
i = 0 — в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
60 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
противном случае. Значит, если среди функций Ei(a, x), i = 1, n, имеется k функ-
ций, предел которых при x ↑ ω равен нулю, то получаем, согласно установленному
выше, k-параметрическое семейство решений, определенных на промежутке [x0, ω[
и стремящихся к нулю при x ↑ ω.
Теорема доказана.
Замечание 1.1. Из доказательства теоремы ясно, что если на множестве Ωx0b0
выполняются условия (1.12), (1.14) и при некоторых q ∈]0, 1[ и c0
i ∈ R, i = 1, n,
неравенства (1.15) (вместо условий (1.7) – (1.9)), то система дифференциальных
уравнений (1.1) имеет хотя бы одно, определенное на промежутке [x0, ω[, ограни-
ченное решение, причем таких решений существует k-параметрическое семейство
в случае, когда среди постоянных c0
i , i = 1, n, имеется k постоянных, отличных от
нуля.
Замечание 1.2. Условия (1.4) заведомо выполняются, если функции Yi2, i =
= 1, n, имеют непрерывные на множестве Ωab частные производные первого по-
рядка по переменным y1, . . . , yn и
∂Yi2(y1, . . . , yn)
∂yk
−→ 0, i, k = 1, n, при |y1|+ . . .
. . . + |yn| −→ 0 равномерно по x ∈ [a, ω[.
Замечание 1.3. Для выполнения условий (1.9) достаточно, например, чтобы
P 0
ij = 0 при 1 ≤ j < i ≤ n. В этом случае все B0
i = 0, i = 1, n, и наглядно
проявляется почти треугольный вид системы (1.1).
Приведем теперь ряд утверждений о свойствах интегральных выражений ви-
да (1.5), где p, q : [a, ω[ −→ R — непрерывные функции, −∞ < a < ω ≤ +∞, и α
— либо число из промежутка [a, ω[, либо ω, которые могут быть использованы для
установления условий (1.7), (1.8) и (1.15). Некоторые из такого типа утверждений
при ω = +∞ установлены в [3, 11 – 13].
Лемма 1.1. Пусть в (1.5) функция q неотрицательна и предел интегрирова-
ния α равен a, если |Jω,a(q, p)| = +∞, и ω — в противном случае. Тогда для любых
непрерывных функций ξ1, ξ2 : [a, ω[−→ R, удовлетворяющих условиям
lim
x→ω
ξ1(x) = ξ0
1 = const, lim
x↑ω
x∫
a
ξ2(s) ds = const, (1.22)
имеет место соотношение Jα,x (q ξ1, p + ξ2) = [ξ0
1 + o(1)]Jα,x(q, p) при x ↑ ω.
Доказательство этой леммы проводится по схеме, которая была использована в
случае ω = +∞ при доказательстве предложения 6 из монографии Бурбаки [15]
(гл. V, § 3).
Лемма 1.2. Пусть
∫ ω
a
|q(x)| dx < +∞, а функция p такова, что либо
sup
x∫
τ
p(s) ds : a ≤ τ ≤ x < ω
< +∞ и lim
x↑ω
x∫
a
p(s) ds = −∞, (1.23)
либо
inf
τ∫
x
p(s) ds : a ≤ x ≤ τ < ω
> −∞. (1.24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 61
Тогда при выполнении условий (1.23) lim
x↑ω
Ja,x(q, p) = 0, а при выполнении усло-
вия (1.24) lim
x↑ω
Jω,x(q, p) = 0.
Справедливость первого утверждения этой леммы устанавливается аналогично
тому, как при ω = +∞ доказывалась лемма 6.1 из монографии [9, с. 176], а второго
— с использованием оценки
|Jω,x(q, p)| ≤ |Jω,x(|q|, p)| ≤ C
ω∫
x
|q(τ)| dτ, где C > 0.
Замечание 1.4. Одно из условий (1.23) или (1.24) заведомо выполнено в слу-
чае, когда функция p представима в виде p(x) = p0(x) + p1(x), где функции
p0, p1 : [a, ω[−→ R непрерывны,
∫ ω
a
p1(s) ds сходится (возможно, условно) и функ-
ция p0 является знакопостоянной в некоторой левой окрестности ω, т. е. существует
x0 ∈ [a, ω[ такое, что при x ∈ [x0, ω[ либо p0(x) ≤ 0, либо p0(x) ≥ 0.
Лемма 1.3. Пусть
p(x) 6= 0 и
∣∣∣∣q(x)
p(x)
∣∣∣∣ ≤ M при x ∈ [a, ω[,
где M — некоторая положительная постоянная. Пусть, кроме того, α выбрано
следующим образом:
α =
a, если p(x) < 0,
ω, если p(x) > 0.
Тогда |Jα,x(q, p)| ≤ M при x ∈ [a, ω[.
Доказательство. При указанном выборе предела интегрирования α и x ∈ [a, ω[
имеем
|Jα,x(q, p)| ≤ M |Jα,x(p, p)| = M
1− exp
x∫
α
p(s) ds
≤ M.
Лемма 1.4. Пусть в интегральном выражении (1.5) функции p и q предста-
вимы в виде
p(x) = p0(x) + p1(x), q(x) = q0(x) + q1(x), (1.25)
где pi, qi : [a, ω[ −→ R, i = 0, 1, — непрерывные функции, удовлетворяющие усло-
виям
p0(x) 6= 0,
ω∫
a
p0(s) ds = ±∞, lim
x↑ω
x∫
a
p1(s) ds = const, (1.26)
lim
x↑ω
q0(x)
p0(x)
= l0 = const,
ω∫
a
|q1(s)| ds < +∞. (1.27)
Пусть, кроме того, α выбрано следующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
62 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
α =
a, если p0(x) < 0,
ω, если p0(x) > 0.
(1.28)
Тогда lim
x↑ω
Jα,x(q, p) = −l0.
Доказательство. При указанном выборе пределов интегрирования в силу
условий на функцию p0 имеет место соотношение Jα,x(p0, p0) = −1+o(1) при x ↑
↑ ω. Поэтому, учитывая условия (1.26) и первое из условий (1.27), с использованием
леммы 1.1 получаем
Jα,x(q0, p) = Jα,x(q0, p0 + p1) = [l0 + o(1)]Jα,x(p0, p0) = −l0 + o(1) при x ↑ ω.
В силу условий (1.26)
inf
τ∫
x
p(s) ds : a ≤ x ≤ τ < ω
> −∞ при p0(x) > 0
и
sup
x∫
τ
p(s) ds : a ≤ τ ≤ x < ω
< +∞,
lim
x↑ω
x∫
a
p(s) ds = −∞ при p0(x) < 0.
Тогда в силу второго из условий (1.27) согласно лемме 1.2 имеем
Jα,x(q1, p) = o(1) при x ↑ ω.
Из установленных соотношений следует, что Jα,x(q, p) = Jα,x(q0, p)+Jα,x(q1, p) =
= −l0 + o(1) при x ↑ ω.
Лемма 1.5. Пусть функции p и q представимы в виде (1.25), где pi, qi :
[a, ω[ −→ R, i = 0, 1, — непрерывные функции, удовлетворяющие условиям (1.26),
второму из условий (1.27) и условию
lim sup
x↑ω
∣∣∣∣ q0(x)
p0(x)
∣∣∣∣ = M = const . (1.29)
Тогда если α выбрано, как в (1.28), то lim sup
x↑ω
|Jα,x(q, p)| ≤ M.
Доказательство. В силу условий (1.25), (1.26) и второго из условий (1.27) при
указанном выборе предела интегрирования α на основании леммы 1.2 имеем
lim
x↑ω
Jα,x(q1, p) = 0. (1.30)
Кроме того, с учетом леммы 1.1 находим
|Jα, x(q0, p)| ≤ |Jα, x(|q0|, p)| = |1 + δ(x)||Jα,x(|q0|, p0)|,
где δ : [a, ω[ −→ R — непрерывная функция, стремящаяся к нулю при x ↑ ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 63
Выберем теперь произвольным образом число ε > 0. Для этого ε в силу условия
(1.29) и стремления δ к нулю при x ↑ ω существует x0 ∈ [a, ω[ такое, что∣∣∣∣ q0(x)
p0(x)
∣∣∣∣ ≤ M + ε, |δ(x)| < 1 при x ∈ [x0, ω[.
Подобрав таким образом число x0, c использованием леммы 1.3 при x ∈ [x0, ω[
получим
|Jα, x(q0, p)| ≤ [1 + δ(t)]|Jω,x(|q0|, p0)| ≤ (M + ε)[1 + δ(x)] в случае p0(x) > 0
и
|Jα,x(q0, p)| ≤
[
1 + δ(x)
]Jx0, a(|q0|, p0) exp
x∫
a
p0(s) ds
+ M + ε
в случае p0(x) < 0.
Отсюда с учетом второго из условий (1.26) следует, что lim sup
x↑ω
|Jα,x(q0, p)| ≤
≤ (M + ε), и поэтому, учитывая (1.30), имеем
lim sup
x↑ω
|Jα, x(q, p)| ≤ lim sup
x↑ω
|Jα, x(q0, p)|+ lim sup
x↑ω
|Jα, x(q1, p)| ≤ (M + ε).
Значит, в силу произвольности выбора ε > 0 lim sup
x↑ω
|Jα, x(q, p)| ≤ M.
Лемма 1.6. Пусть ω = +∞ и для некоторого числа l > 0 существуют
постоянные d > 0, Q > 0 и P ≥ 0 такие, что при любом x ∈ [a,+∞[
x+l∫
x
|q(s)| ds ≤ Q (1.31)
и выполняются либо условия
x+l∫
x
p(s) ds ≤ −d, max
τ∫
x
p(s) ds : x ≤ τ ≤ x + l
≤ P, (1.32)
либо условия
x+l∫
x
p(s) ds ≥ d, min
τ∫
x
p(s) ds : x ≤ τ ≤ x + l
≥ −P. (1.33)
Тогда
|Jα, x(q, p)| ≤ QeP
(
1− e−d
)−1
при x ≥ a,
где α выбрано следующим образом:
α =
a, если выполняются условия (1.32),
+∞, если выполняются условия (1.33).
Доказательство. Предположим сначала, что выполняются условия (1.32). Тог-
да для любого фиксированного x ∈ [a,+∞[ имеет место неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
64 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
|Ja,x(q, p)| ≤
x−nl∫
a
|q(τ)|e
∫ x
τ
p(s) ds dτ +
n∑
k=1
x−(k−1)l∫
x−kl
|q(τ)|e
∫ x
τ
p(s) ds dτ, (1.34)
где n ∈ {0, 1, 2, . . .} такое, что a + nl < x ≤ a + (n + 1)l.
В силу условий (1.31) и (1.32)
x−nl∫
a
|q(τ)|e
∫ x
τ
p(s) ds dτ =
x−nl∫
a
|q(τ)|e
∫ x−nl
τ
p(s) ds+
∫ x
x−nl
p(s) ds dτ ≤
≤ eP e−nd
x−nl∫
a
|q(τ)| dτ ≤ QeP e−nd
и при любом k ∈ {1, . . . , n}
x−(k−1)l∫
x−kl
|q(τ)|e
∫ x
τ
p(s) ds dτ =
=
x−(k−1)l∫
x−kl
|q(τ)|e
∫ x−(k−1)l
τ
p(s) ds+
∫ t
x−(k−1)l
p(s) ds dτ ≤ QeP e−(k−1)d.
Поэтому из (1.34) следует, что∣∣Ja,x(q, p)
∣∣ ≤ QeP
n∑
k=0
e−kd < QeP
∞∑
k=0
e−kd = QeP
(
1− e−d
)−1
при x ≥ a.
Пусть теперь при любом x ∈ [a,+∞[ выполняются условия (1.33). Тогда
∣∣J+∞, x(q, p)
∣∣ ≤ +∞∫
x
|q(τ)|e−
∫ τ
x
p(s) ds dτ =
=
∞∑
k=0
x+(k+1)l∫
x+kl
|q(τ)|e−
∫ τ
x
p(s) ds dτ при x ≥ a.
Отсюда с учетом того, что при любом k ∈ {0, 1, . . .} в силу (1.31) и (1.33)
x+(k+1)l∫
x+kl
|q(τ)|e−
∫ τ
x
p(s) ds dτ =
=
x+(k+1)l∫
x+kl
|q(τ)|e−
∫ x+kl
x
p(s) ds−
∫ τ
x+kl
p(s) ds dτ ≤ QeP e−kd,
получаем∣∣J+∞, x(q, p)
∣∣ ≤ QeP
∞∑
k=0
e−kd = QeP (1− e−d)−1 при x ≥ a.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 65
Замечание 1.5. Одно из условий (1.32) или (1.33) заведомо выполнено, на-
пример, в случае, когда l = 2π и p(t) = ε + sin t, где ε 6= 0.
Замечание 1.6. В частном случае, когда p(t) ≡ const 6= 0, из леммы 1.6
вытекает лемма 2 из монографии [16, с. 102] (Ch. IV, § 2).
С использованием леммы 1.6 по схеме доказательства леммы 1.5 может быть
установлено также следующее утверждение.
Лемма 1.7. Пусть ω = +∞, функции p и q представимы в виде (1.25), функ-
ции pi, qi : [a,+∞[ −→ R, i = 0, 1, непрерывны, p1, q1 удовлетворяют условиям
lim
x→+∞
x∫
a
p1(s) ds = const,
+∞∫
a
|q1(s)| ds < +∞,
а p0, q0 таковы, что для некоторого числа l > 0
lim sup
x→+∞
x+l∫
x
|q0(s)| ds = Q = const
и выполняются либо условия
lim sup
x→+∞
x+l∫
x
p0(s) ds = −d,
lim sup
x→+∞
max
τ∫
x
p0(s) ds : x ≤ τ ≤ x + l
= P,
(1.35)
либо условия
lim inf
x→+∞
x+l∫
x
p0(s) ds = d,
lim inf
x→+∞
min
τ∫
x
p0(s) ds : x ≤ τ ≤ x + l
= −P,
(1.36)
где d > 0 и P ≥ 0. Тогда
lim sup
x→+∞
|Jα, x(q, p)| ≤ QeP
(
1− e−d
)−1
,
где
α =
a, если выполняются условия (1.35),
+∞, если выполняются условия (1.36).
Приведенные выше леммы позволяют с использованием теоремы 1.1 получить
удобные для применения признаки существования исчезающих в ω решений сис-
темы дифференциальных уравнений (1.1) в терминах ее коэффициентов.
Например, в силу лемм 1.2 и 1.5 из теоремы 1.1 непосредственно вытекает
следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
66 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
Теорема 1.2. Пусть функции Yim, i = 1, n, m = 1, 2, удовлетворяют усло-
виям (1.3) и (1.4), функции gim, pij , i, j = 1, n, m = 1, 2, представимы в виде
gim(x) =
2∑
ν=1
gνim(x), pij(x) =
2∑
ν=1
pνij(x), i, j = 1, n, m = 1, 2,
где gνim, pνij : [a, ω[ −→ R, ν = 1, 2, i, j = 1, n, m = 1, 2, — непрерывные функции,
и выполняются следующие условия:
1) при любом i ∈ {1, . . . , n}
ω∫
a
| fi(x) | dx < +∞,
ω∫
a
|g2im(x) | dx < +∞, m = 1, 2, (1.37)
lim
x↑ω
x∫
a
p2ii(τ) dτ = const,
ω∫
a
| p2ij(x) | dx < +∞, j 6= i, j = 1, n; (1.38)
2) для некоторого множества M ⊂ {1, . . . , n} (возможно, пустого) при любом
i ∈ M
p1ii(x) 6= 0 в некоторой левой окрестности ω,
∣∣∣∣∣∣
ω∫
a
p1ii(x) dx
∣∣∣∣∣∣ = +∞, (1.39)
lim sup
x↑ω
|g1im(x)/p1ii(x)| < +∞, m = 1, 2, (1.40)
lim sup
x↑ω
|p1ij(x)/p1ii(x)| = P 0
ij = const, j 6= i, j = 1, n, (1.41)
а при любом i ∈ {1, . . . , n} \M
g1im(x) ≡ 0, m = 1, 2, p1ij(x) ≡ 0, j = 1, n. (1.42)
Пусть, кроме того, постоянные B0
i , i = 1, n, определяемые (начиная с i = n)
рекуррентными соотношениями
B0
i =
i−1∑
j=1
∣∣P 0
ij
∣∣+ n∑
j=i+1
B0
j
∣∣P 0
ij
∣∣ , если i ∈ M,
0, если i /∈ M,
i = 1, n, (1.43)
удовлетворяют неравенствам B0
i < 1 при всех i ∈ M. Тогда система диф-
ференциальных уравнений (1.1) имеет по крайней мере одно решение (yi)n
i=1 :
[x0, ω[ −→ Rn, x0 ∈ [a, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω, причем таких ре-
шений существует k-параметрическое семейство, если среди функций p1ii, i ∈ M,
имеется k функций, которые являются отрицательными в некоторой левой ок-
рестности ω.
2. Приложения основных результатов. Теорему 1.2 можно эффективно исполь-
зовать для получения признаков существования исчезающих в точке ω решений
систем дифференциальных уравнений вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 67
dvi
dx
= hi(x)
[
qi(x) + fi(x, v1, . . . , vn)+
+
n∑
j=1
[aij + bij(x)]vj + Vi(x, v1, . . . , vn)
]
, i = 1, n, (2.1)
в которых aij ∈ R, i, j = 1, n, hi, qi, bij : [x0, ω[ −→ R, i, j = 1, n, — непрерывные
функции и fi, Vi : [x0, ω[×Rn
c −→ R, i = 1, n, — непрерывные функции, удовлетво-
ряющие условиям
lim
x→ω
fi(x, v1, . . . , vn) = 0, i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn
c , (2.2)
lim
|v1|+...+|vn|→0
Vi(x, v1, . . . , vn)
|v1|+ . . . + |vn|
= 0, i = 1, n, равномерно по x ∈ [x0, ω[,
(2.3)
где
−∞ < x0 < ω ≤ +∞, Rn
c =
{
(v1, . . . , vn) ∈ Rn : |v1|+ . . .+ |vn| ≤ c, c > 0
}
.
Прежде всего нетрудно заметить, что из теоремы 1.2 непосредственно вытекает
следующее утверждение.
Теорема 2.1. Пусть для каждого i ∈ {1, . . . , n}
ω∫
x0
|hi(x)qi(x)| dx < +∞, lim
x↑ω
x∫
x0
hi(s)bii(s) ds = const, (2.4)
ω∫
x0
|hi(x)bij(x)| dx < +∞ при j 6= i, j = 1, n, (2.5)
и для некоторого множества M ⊂ {1, . . . , n} (возможно, пустого) при любом
i ∈ M выполняются условия
aiihi(x) 6= 0 при x ∈ [x0, ω[,
ω∫
x0
hi(x) dx = ±∞, (2.6)
а при любом i ∈ {1, . . . , n} \M — условия
ω∫
x0
|hi(x)| dx < +∞. (2.7)
Пусть, кроме того, постоянные B0
i , i = 1, n, определяемые (начиная с i = n)
рекуррентными соотношениями
B0
i =
1
|aii|
i−1∑
j=1
|aij |+
n∑
j=i+1
B0
j |aij |
, если i ∈ M,
0, если i /∈ M,
i = 1, n, (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
68 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
удовлетворяют неравенствам B0
i < 1 при всех i ∈ M. Тогда система дифферен-
циальных уравнений (2.1) имеет по крайней мере одно решение (vi)n
i=1 : [x1, ω[ −→
−→ Rn, x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω, причем таких решений
существует m-параметрическое семейство, если среди функций aiihi(x), i ∈ M,
имеется m функций, которые являются отрицательными на промежутке [x0, ω[.
В следующих двух теоремах результаты из § 2 работы [12] распространяются
на системы дифференциальных уравнений (2.1).
Теорема 2.2. Пусть hi(x) ≡ h(x), i = 1, n, где h : [x0, ω[ −→ R — непрерыв-
ная функция такая, что
h(x) 6= 0 при x ∈ [x0, ω[,
ω∫
x0
h(x) dx = ±∞,
ω∫
x0
|h(x)qi(x)| dx < +∞, i = 1, n,
ω∫
x0
|h(x)bij(x)| dx < +∞, i, j = 1, n.
(2.9)
Пусть, кроме того, матрица A = (aij)n
i,j=1 не имеет собственных значений с ну-
левой действительной частью. Тогда система дифференциальных уравнений (2.1)
имеет хотя бы одно решение (vi)n
i=1 : [x1,+∞[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремяще-
еся к нулю при x ↑ ω, причем таких решений существует m-параметрическое
семейство, если среди собственных значений матрицы A имеется m собствен-
ных значений (с учетом кратных), действительные части которых имеют знак,
противоположный знаку функции h на промежутке [x0, ω[.
Теорема 2.3. Пусть hi(x) ≡ h(x), i = 1, n, h : [x0, ω[ −→ R — непрерыв-
ная функция, удовлетворяющая условиям (2.9), матрица A = (aij)n
i,j=1 имеет
собственные значения с нулевой действительной частью и r — максимальная из
степеней элементарных делителей, соответствующих этим собственным значе-
ниям. Пусть для некоторого ε > 0 вместо (2.2) и (2.3) выполняются условия
lim
x↑ω
τ r+ε(x)fi
(
x, v1/τε(x), . . . , vn/τε(x)
)
= 0, i = 1, n,
равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn
c ,
lim
|v1|+...+|vn|→0
τ r+ε(x)Vi (x, v1/τε(x), . . . , vn/τε(x))
|v1|+ . . . + |vn|
= 0, i = 1, n,
равномерно по x ∈ [x1, ω[,
где
τ(x) =
x∫
x0
|h(s)| ds, x1 ∈]x0, ω[.
Пусть, кроме того, выполняются условия
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 69
ω∫
x0
τ r+ε−1(x)|h(x)qi(x)| dx < +∞, i = 1, n,
ω∫
x0
τ r−1(x)|h(x)bij(x)| dx < +∞, i, j = 1, n.
Тогда система дифференциальных уравнений (2.1) имеет хотя бы одно реше-
ние (vi)n
i=1 : [x2, ω[ −→ Rn
c , x2 ∈ [x1, ω[, удовлетворяющее асимптотическим со-
отношениям
vi(x) = o
(
τ−ε(x)
)
, i = 1, n, при x ↑ ω,
причем таких решений существует m-параметрическое семейство, если среди
собственных значений матрицы A имеется m собственных значений (с учетом
кратных), действительные части которых имеют знак, противоположный знаку
функции h на промежутке [x0, ω[.
Доказательства этих двух теорем в части приведения системы (2.1) к почти
треугольному виду полностью повторяют доказательства теорем 2.1 и 2.2 из работы
[12], но в конце доказательств здесь, в отличие от [12], используется теорема 1.2.
Теорема 2.4. Пусть для некоторого s ∈ {1, . . . , n−1} выполняются условия:
1) при i = 1, s функции hi(x) ≡ h(x), где h : [x0, ω[ −→ R непрерывна и
такова, что наряду с (2.9)
ω∫
x0
|h(x)qi(x)| dx < +∞, i = 1, s,
ω∫
x0
|h(x)bij(x)| dx < +∞, i = 1, s, j = 1, n;
(2.10)
2) при i = s + 1, n выполняются условия (2.4) и (2.5);
3) для некоторого множества M1 ∈ {s + 1, . . . , n} (возможно, пустого) при
любом i ∈ M1 выполняются условия (2.6), а при i ∈ {s + 1, . . . , n} \ M1 — усло-
вия (2.7);
4) матрица As = (aij)s
i,j=1 не имеет собственных значений с нулевой дей-
ствительной частью и aij = 0 при i ∈ M1, j = 1, i− 1.
Тогда система дифференциальных уравнений (2.1) имеет по крайней мере одно
решение (vi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω,
причем таких решений существует (m+l)-параметрическое семейство, если среди
собственных значений (с учетом кратных) матрицы As имеется m собственных
значений, действительные части которых имеют знак, противоположный знаку
функции h на промежутке [x0, ω[, и среди функций aiihi(x), где i ∈ M1, имеется
l функций, для которых выполняется неравенство aiihi(x) < 0 при x ∈ [x0, ω[.
Доказательство. Поскольку матрица As = (aij)s
i,j=1 не имеет собственных
значений с нулевой действительной частью, то, как было показано в [12] при
доказательстве теоремы 2.1, существуют постоянная невырожденная матрица T ∈
∈ Rs×s и ограниченная вместе с обратной непрерывно дифференцируемая матрица
L : [a,+∞[ −→ Rs×s такие, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
70 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
L−1(x)T−1AsTL(x)− L−1(x)L′(x) = Ãs,
где Ãs = (ãij)s
i,j=1 — верхняя треугольная матрица, у которой на главной диагонали
расположены отличные от нуля действительные части всех собственных значений
(с учетом кратных) матрицы As, на двух первых диагоналях над главной стоят
элементы
ãii+1 =
либо 0,
либо 1,
i = 1, . . . , s− 1, ãii+2 =
либо 0,
либо 1,
i = 1, . . . , s− 2,
и все остальные элементы равны нулю. Поэтому, применяя к системе (2.1) пре-
образование v1
...
vn
=
(
TL(x) O1
O2 En−s
)ṽ1
...
ṽn
, (2.11)
где En−s — единичная матрица размерности (n− s)× (n− s), O1 и O2 — нулевые
матрицы размерностей s × (n − s) и (n − s) × s соответственно, получаем с уче-
том (2.2), (2.3), условий теоремы и вида матрицы Ãs систему дифференциальных
уравнений
dṽi
dx
= h(x)
q̃i(x) + f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn) +
i−1∑
j=1
b̃ij(x)ṽj +
s∑
j=i
[ãij + b̃ij(x)]ṽj +
+
n∑
j=s+1
[aij + bij(x)]ṽj + Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn)
, i = 1, s,
(2.12)
dṽi
dx
= hi(x)
qi(x) + f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn) +
s∑
j=1
[ãij + b̃ij(x)]ṽj+
+
n∑
j=s+1
[aij + bij(x)]ṽj + Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn)
, i = s + 1, n,
в которой функции f̃i, Ṽi : [x0, ω[×Rn
b −→ R, i = 1, n, 0 < b ≤ c, q̃i : [x0, ω[ −→
R, i = 1, s, b̃ij : [x0, ω[ −→ R, i = 1, n, j = 1, s, непрерывны и удовлетворяют
условиям
lim
x↑ω
f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn) = 0, i = 1, n, равномерно по (ṽ1, . . . , ṽn) ∈ Rn
b , (2.13)
lim
|ṽ1|+...+|ṽn|→0
Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn)
|ṽ1|+ . . . + |ṽn|
= 0, i = 1, n, равномерно по x ∈ [x0, ω[,
(2.14)
ω∫
x0
|h(x)q̃i(x)| dx < +∞, i = 1, s,
ω∫
x0
|h(x)b̃ij(x)| dx < +∞, i, j = 1, s,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 71
ω∫
x0
|hi(x)b̃ij | dx < +∞, i = s + 1, n, j = 1, s,
ãij , i = s + 1, n, j = 1, s, — вещественные постоянные, равные нулю при i ∈ M1
(функции qi, i = s + 1, n, bij , i = 1, n, j = s + 1, n, и постоянные aij , i = 1, n,
j = s + 1, n, здесь те же, что и в системе (2.1)).
Отсюда c учетом условий теоремы и структуры матрицы Ãs = (ãij)s
i,j=1 сле-
дует, что для системы дифференциальных уравнений (2.12) выполнены все усло-
вия теоремы 2.1 с множеством M = {1, . . . , s} ∪ M1. При этом все постоянные
B0
i , определяемые рекуррентными соотношениями (2.8), здесь равны нулю. По-
этому система дифференциальных уравнений (2.12) имеет хотя бы одно решение
(ṽi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn, x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω, причем таких
решений существует r-параметрическое семейство, если среди функций ãiih(x),
i = 1, s, и aiihi(x), i ∈ M1, имеется r функций, которые являются отрицательными
на промежутке [x0, ω[, что, очевидно, выполняется в случае, когда r = m + l, где
m — число собственных значений матрицы As (с учетом кратных), действитель-
ные части которых имеют знак, противоположный знаку функции h на промежутке
[x0, ω[, и l — число отрицательных на [x0, ω[ функций aiihi(x), где i ∈ M1. Всем
таким решениям системы (2.12) в силу замены (2.11) соответствуют стремящиеся
к нулю при x ↑ ω решения системы дифференциальных уравнений (2.1).
Теорема доказана.
Замечание 2.1. Принимая во внимание теорему 1.2, заметим, что теоремы
2.1, 2.2 и 2.4 остаются справедливыми и в случае, когда при каждой из функций
fi, Vi, i = 1, n, стоит множитель вида gim = cim + dim(x), m ∈ {1, 2}, где
cim — вещественная постоянная и dim : [x0, ω[ −→ R — непрерывная функция,
удовлетворяющая такому же условию, что и функция qi.
Теперь из множества систем вида (2.1) выделим следующий, наиболее часто
возникающий при изучении асимптотических свойств решений существенно нели-
нейных дифференциальных уравнений высших порядков, класс систем дифферен-
циальных уравнений
dvi
dx
= h(x)
[
qi(x) + fi(x, v1, . . . , vn) +
+
n∑
j=1
[aij + bij(x)]vj + Vi(x, v1, . . . , vn)
]
, i = 1, n− 1,
dvn
dx
= hn(x)
[
qn(x) + fn(x, v1, . . . , vn) +
+
n∑
j=1
[anj + bnj(x)]vj + Vn(x, v1, . . . , vn)
]
,
(2.15)
где функции h, hn : [x0, ω[ −→ R непрерывны, а остальные — такие же, как в (2.1).
В дальнейшем будем говорить, что выполнено условие Sn−1, если наряду с
(2.2) и (2.3) выполняются условия (2.10) при s = n − 1 и условия (2.4), (2.5) при
i = n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
72 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
В силу теоремы 2.4 для системы (2.15) справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.5. Пусть выполнено условие Sn−1 и функции h, hn таковы, что
h(x)hn(x) 6= 0 при x ∈ [x0, ω[,
ω∫
x0
h(x) dx = ±∞,
ω∫
x0
hn(x) dx = ±∞.
Пусть, кроме того, матрица An−1 = (aij)n−1
i,j=1 не имеет собственных значений с
нулевой действительной частью, ann 6= 0 и anj = 0 при j = 1, n− 1. Тогда сис-
тема дифференциальных уравнений (2.15) имеет по крайней мере одно решение
(vi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω, причем при
наличии у матрицы An−1 m собственных значений (с учетом кратных), действи-
тельные части которых имеют знак, противоположный знаку функции h на про-
межутке [x0, ω[, таких решений существует (m+1)-параметрическое семейство
в случае, когда функция annhn(x) отрицательна на [x0, ω[, и m-параметрическое
семейство — в противном случае.
В работе [17] указаны важного типа преобразования, позволяющие доводить
системы дифференциальных уравнений до почти треугольного вида. В частности,
они эффективно использовались при установлении основных результатов работ
[1 – 10].
Приведем несколько результатов для систем (2.15), которые устанавливаются с
использованием такого типа преобразований и теоремы 2.5.
Теорема 2.6. Пусть h, hn : [x0, ω[ −→ R — непрерывно дифференцируемые
функции такие, что
h(x)hn(x) 6= 0 при x ∈ [x0, ω[,
ω∫
x0
hn(x) dx = ±∞, (2.16)
lim
x↑ω
hn(x)
h(x)
= 0, lim
x↑ω
h−1
n (x)
(
hn(x)
h(x)
)′
= 0. (2.17)
Пусть выполнено условие Sn−1 и
ω∫
x0
∣∣∣∣bnn(x)
h(x)
∣∣∣∣h2
n(x) dx < +∞. (2.18)
Пусть, кроме того, матрицы An = (aij)n
i,j=1 и An−1 = (aij)n−1
i,j=1 таковы, что
det An 6= 0, а An−1 не имеет собственных значений с нулевой действительной
частью. Тогда система дифференциальных уравнений (2.15) имеет по крайней
мере одно решение (vi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю
при x ↑ ω. Более того, если матрица An−1 имеет m собственных значений
(с учетом кратных), действительные части которых имеют знак, противопо-
ложный знаку функции h на промежутке [x0, ω[, то при выполнении неравенства
h(x)(detAn)(detAn−1) > 0 у системы (2.15) существует m-параметрическое, а
при выполнении неравенства hn(x)(detAn)(detAn−1) < 0 — (m+1)-параметричес-
кое семейство исчезающих в ω решений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 73
Доказательство. Применим к системе (2.15) преобразование
vi = ṽi, i = 1, . . . , n− 1, vn = ṽn +
hn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk, (2.19)
выбрав в качестве h0
k, k = 1, n− 1, существующее в силу условия det An−1 6= 0
единственное решение системы алгебраических уравнений
n−1∑
k=1
akjhk = anj , j = 1, n− 1.
Учитывая вид этих решений, нетрудно проверить, что
ann −
n−1∑
k=1
aknh0
k =
det An
det An−1
.
При таком выборе постоянных h0
k, k = 1, n− 1, в результате преобразования (2.19)
получим систему дифференциальных уравнений
dṽi
dx
= h(x)
[
q̃i(x) + f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn)+
+
n∑
j=1
[ãij + b̃ij(x)]ṽj + Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn)
]
, i = 1, n− 1,
dṽn
dx
= hn(x)
[
q̃n(x) + f̃n(x, ṽ1, . . . , ṽn)+
+
n∑
j=1
[ãnj + b̃nj(x)]ṽj + Ṽn(x, ṽ1, . . . , ṽn)
]
,
(2.20)
в которой
q̃i(x) = qi(x), i = 1, n− 1, q̃n(x) = qn(x)−
n−1∑
k=1
h0
kqk(x),
f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn) = fi
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
hn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk
)
+
+
ainhn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk, i = 1, n− 1,
f̃n(x, ṽ1, . . . , ṽn) = fn
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
hn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk
)
+
+
annhn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk −
(
hn(x)
h(x)
)′ 1
hn(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
74 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
−
n−1∑
k=1
h0
kf̃k(x, ṽ1, . . . , ṽn), ãij = aij , i = 1, n− 1, j = 1, n,
ãnj = 0, j = 1, n− 1, ãnn =
det An
det An−1
,
b̃ij(x) = bij(x) +
h0
j bin(x)hn(x)
h(x)
, i, j = 1, n− 1, b̃in(x) = bin(x), i = 1, n− 1,
b̃nj = bnj +
h0
j bnn(x)hn(x)
h(x)
−
n−1∑
k=1
h0
k b̃kj(x), j = 1, n− 1,
b̃nn(x) = bnn(x)−
n−1∑
k=1
h0
kbkn(x),
Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn) = Vi
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
hn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk
)
, i = 1, n− 1,
Ṽn(x, ṽ1, . . . , ṽn) = Vn
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
hn(x)
h(x)
n−1∑
k=1
h0
kṽk
)
−
−
n−1∑
k=1
h0
kṼk(x, ṽ1, . . . , ṽn).
Здесь в силу (2.2), (2.3) и (2.17) выполняются условия (2.13) и (2.14). В силу
(2.16) – (2.18) и условия Sn−1
ω∫
x0
|h(x)q̃i(x)| dx < +∞,
ω∫
x0
|h(x)b̃ij(x)| dx < +∞, i = 1, n− 1, j = 1, n,
(2.21)
ω∫
x0
|hn(x)q̃n(x)| dx < +∞,
ω∫
x0
|hn(x)b̃nj(x)| dx < +∞, j = 1, n− 1, (2.22)
и
lim
x↑ω
x∫
x0
hn(τ)b̃nn(τ) dτ = const . (2.23)
Матрица Ãn−1 = (ãij)n−1
i,j=1 = An−1 и поэтому не имеет собственных значений с
нулевой действительной частью. Кроме того, ãnj = 0 при j = 1, n− 1 и ãnn 6= 0.
Значит, для системы (2.20) выполнены все условия теоремы 2.5. Согласно этой
теореме система дифференциальных уравнений (2.20) имеет по крайней мере одно
решение (ṽi)n
i=1 : [x1, ω[−→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω. Более
того, если матрица An−1 имеет m собственных значений (с учетом кратных), дей-
ствительные части которых имеют знак, противоположный знаку функции h на про-
межутке [x0, ω[, то в случае выполнения неравенства hn(x)(detAn)(detAn−1) < 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 75
при x ∈ [x0, ω] таких решений у системы (2.20) существует (m+1)-параметрическое
семейство, а в случае неравенства hn(x)(detA)(detAn−1) > 0 — m-параметричес-
кое семейство. Отсюда с учетом замены (2.19) вытекает справедливость утвержде-
ния теоремы.
Теорема 2.7. Пусть h, hn : [x0, ω[ −→ R — непрерывные функции такие, что
h(x)hn(x) 6= 0 при x ∈ [x0, ω[,
ω∫
x0
hn(x) dx = ±∞, lim
x↑ω
hn(x)
h(x)
= 0.
(2.24)
Пусть выполнено условие Sn−1 с дополнением, что
∫ ω
x0
|hn(x)bnn(x)| dx < +∞,
функции
h(x)
hn(x)
fi(x, v1, . . . , vn), i = 1, . . . , n− 1, ограничены на [x0, ω[×Rn
c (2.25)
и
lim
|v1|+...+|vn|→0
h(x)
hn(x)
Vi(x, v1, . . . , vn)
|v1|+ . . . + |vn|
= 0,
i = 1, . . . , n− 1, равномерно по x ∈ [x0, ω[. (2.26)
Пусть, кроме того, матрица An−1 = (aij)n−1
i,j=1 не имеет собственных значений с
нулевой действительной частью,
n∑
j=1
aij = 0, i = 1, n− 1,
n∑
j=1
anj 6= 0. (2.27)
Тогда система дифференциальных уравнений (2.15) имеет хотя бы одно реше-
ние (vi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω. Более
того, если матрица An−1 имеет m собственных значений (с учетом кратных),
действительные части которых имеют знак, противоположный знаку функции
h на промежутке [x0, ω[, то при выполнении неравенства hn(x)
∑n
j=1
anj > 0 у
системы (2.15) существует m-параметрическое, а при выполнении неравенства
hn(x)
∑n
j=1
anj < 0 — (m + 1)-параметрическое семейство исчезающих в ω ре-
шений.
Доказательство. Применим к системе (2.15) преобразование
vi = ṽi, i = 1, n− 1, vn = ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk, (2.28)
выбрав в качестве функций hk : [x∗,+∞[ −→ R, k = 1, n− 1, x∗ ∈ [x0, ω[, исчеза-
ющее в ω решение системы дифференциальных уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
76 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
h′k = −h(x)
[
n−1∑
i=1
(aik + bik(x))hi + hk
n−1∑
i=1
(ain + bin(x))hi
]
+
+hn(x)
[
ank + bnk(x) + (ann + bnn(x))hk
]
, k = 1, n− 1, (2.29)
существующее на основании теоремы 2.1 и замечания 2.1, так как матрица An−1
не имеет собственных значений с нулевой действительной частью, выполняются
условия Sn−1, (2.24) и первое из условий (2.26). При этом заметим, что
n−1∑
k=1
h′k(x) =
[
hn(x)(ann + bnn(x))− h(x)
n−1∑
k=1
hk(x)(akn + bkn(x))
]
×
×
(
n−1∑
k=1
hk(x)− 1
)
+ hn(x)
n∑
k=1
[ank + bnk(x)]−
−h(x)
n−1∑
i=1
hi(x)
n∑
k=1
[
aik + bik(x)
]
.
В силу этого соотношения, выбора функций hk, k = 1, n− 1, и условий (2.25) –
(2.27) в результате преобразования (2.28) получим систему дифференциальных
уравнений вида (2.20), в которой
q̃i(x) = qi(x), i = 1, n− 1, ãij = aij , i = 1, n− 1, j = 1, n,
b̃ij(x) = bij(x) + bin(x)hj(x), i, j = 1, n− 1, b̃in(x) = bin(x), i = 1, n− 1,
f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn) = fi
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
+
+ ain
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk, i = 1, n− 1,
Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn) = Vi
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
, i = 1, n− 1,
q̃n(x) = qn(x)− h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)qk(x),
f̃n(x, ṽ1, . . . , ṽn) = fn
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
−
− h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)f̃k(x, ṽ1, . . . , ṽn)−
−
[
n−1∑
i=1
hi(x)
(
n∑
k=1
ank
)](
n−1∑
k=1
hk(x)− 1
)−1
ṽn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 77
ãnj = 0, j = 1, n− 1, ãnn =
n∑
k=1
ank, b̃nj(x) = 0, j = 1, n− 1,
b̃nn(x) =
(
1
hn(x)
n−1∑
k=1
h′k(x)−
n∑
k=1
bnk(x)+
+
h(x)
hn(x)
n−1∑
i=1
hi(x)
n∑
k=1
bik(x)
)(
n−1∑
k=1
hk(x)− 1
)−1
,
Ṽn(x, ṽ1, . . . , ṽn) = Vn
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
−
− h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)Ṽk(x, ṽ1, . . . , ṽn).
Здесь в силу условия Sn−1 с дополнением, что
∫ ω
x0
|hn(x)bnn(x)| dx < +∞, стрем-
ления к нулю при x ↑ ω функций hk, k = 1, n− 1, а также условий (2.24) и
(2.25) выполняются наряду с (2.13) и (2.14) условия (2.21) – (2.23). Кроме того,
матрица Ãn−1 = (ãij)n−1
i,j=1 = An−1 не имеет собственных значений с нулевой
действительной частью, ãnj = 0 при j = 1, n− 1 и ãnn 6= 0. Тем самым пока-
зано, что для системы (2.20) выполнены все условия теоремы 2.5. Согласно этой
теореме система дифференциальных уравнений (2.20) имеет по крайней мере одно
решение (ṽi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x∗, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω,
причем в случае, когда матрица An−1 имеет m собственных значений (с уче-
том кратных), действительные части которых имеют знак, противоположный знаку
функции h на промежутке [x0, ω[, у системы (2.20) при выполнении неравенства
hn(x)
∑n
k=1
ank > 0 существует m-параметрическое семейство, а при выполне-
нии неравенства hn(x)
∑n
k=1
ank < 0 — (m+1)-параметрическое семейство таких
решений. Всем этим решениям в силу замены (2.28) соответствуют решения сис-
темы дифференциальных уравнений (2.15), стремящиеся к нулю при x ↑ ω.
Теорема доказана.
Замечание 2.2. Из доказательства данной теоремы ясно, что условия (2.25)
и (2.26) могут быть сняты в случае, когда система дифференциальных уравнений
(2.29) имеет стремящееся к нулю решение (hk)n−1
k=1 , для которого
lim sup
x↑ω
∣∣∣∣h(x)hk(x)
hn(x)
∣∣∣∣ < +∞, k = 1, n− 1.
Теорема 2.8. Пусть h, hn : [x0, ω[ −→ R — непрерывные функции такие, что
h(x)hn(x) 6= 0 при x ∈ [x0, ω[,
ω∫
x0
h(x) dx = ±∞, lim
x↑ω
h(x)
hn(x)
= 0. (2.30)
Пусть выполнено условие Sn−1, ann 6= 0 и матрицаAn−1 =
(
aij − ainanja
−1
nn
)n−1
i,j=1
не имеет собственных значений с нулевой действительной частью. Тогда систе-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
78 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
ма дифференциальных уравнений (2.15) имеет хотя бы одно решение (v)n
i=1 :
[x1, ω[ −→ Rn
c , x1 ∈ [x0, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω. Более того, если
матрица An−1 имеет m собственных значений, действительные части кото-
рых имеют знак, противоположный знаку функции h на промежутке [x0, ω[,
то при выполнении неравенства annhn(x) > 0 у системы (2.15) существует
m-параметрическое, а при выполнении неравенства annhn(x) < 0 — (m + 1)-
параметрическое семейство исчезающих в ω решений.
Доказательство. Применим к системе (2.15) преобразование (2.28), выбрав в
качестве функций hk : [x∗, ω[ −→ R, x∗ ∈ [x0, ω[, непрерывно дифференцируемое
решение системы дифференциальных уравнений (2.29), допускающее представле-
ния вида
hk(x) = −anka−1
nn + o(1), k = 1, n− 1, при x ↑ ω. (2.31)
Cуществование такого решения у этой системы легко установить, если после при-
менения дополнительного преобразования hk = −anka−1
nn + h̃k, k = 1, n− 1, вос-
пользоваться теоремой 2.1 и учесть условия (2.30), Sn−1, ann 6= 0 и замечание 2.1.
При таком выборе функций hk, k = 1, n− 1, в результате преобразования (2.28)
получим систему дифференциальных уравнений вида (2.20), в которой при i =
= 1, n− 1
q̃i(x) = qi(x), ãij = aij − ainanja
−1
nn , j = 1, n− 1, ãin = ain,
b̃ij(x) = bij(x) + bin(x)hj(x), j = 1, n− 1, b̃in(x) = bin(x),
f̃i(x, ṽ1, . . . , ṽn) = fi
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
+
+ ain
n−1∑
j=1
[
hj(x) + anja
−1
nn
]
ṽj ,
Ṽi(x, ṽ1, . . . , ṽn) = Vi
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
и
q̃n(x) = qn(x)− h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)qk(x), ãnj = 0, j = 1, n− 1, ãnn = ann,
bnj(x) = 0, j = 1, n− 1, b̃nn(x) = bnn −
h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)bkn(x),
f̃n(x, ṽ1, . . . , ṽn) = fn
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
−
− h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)f̃k(x, ṽ1, . . . , ṽn),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСЧЕЗАЮЩИХ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ РЕШЕНИЙ . . . 79
Ṽn(x, ṽ1, . . . , ṽn) = Vn
(
x, ṽ1, . . . , ṽn−1, ṽn +
n−1∑
k=1
hk(x)ṽk
)
−
− h(x)
hn(x)
n−1∑
k=1
hk(x)Ṽk(x, ṽ1, . . . , ṽn).
В силу условий Sn−1, (2.30) и (2.31) здесь наряду с (2.13) и (2.14) выполняются
условия (2.21) – (2.23). Кроме того, матрица Ãn−1 = (ãij−ainanja
−1
nn)n−1
i,j=1 = An−1
не имеет собственных значений с нулевой действительной частью, ãnj = 0 при
j = 1, n− 1 и ãnn 6= 0. Значит, для полученной системы дифференциальных
уравнений вида (2.20) выполнены все условия теоремы 2.5. На основании этой те-
оремы система (2.20) имеет по крайней мере одно решение (ṽi)n
i=1 : [x1, ω[ −→ Rn
c ,
x1 ∈ [x∗, ω[, стремящееся к нулю при x ↑ ω. Более того, если матрица An−1 имеет
m собственных значений (с учетом кратных), действительные части которых имеют
знак, противоположный знаку функции h на промежутке [x0, ω[, у системы (2.20)
при выполнении неравенства annhn(x) > 0 существует m-параметрическое семей-
ство, а при выполнении неравенства annhn(x) < 0 — (m + 1)-параметрическое
семейство таких решений. Каждому из этих решений в силу замены (2.28) со-
ответствуют решения системы дифференциальных уравнений (2.15), стремящиеся
к нулю при x ↑ ω.
Теорема доказана.
Замечание 2.3. Теоремы 2.5 – 2.8 охватывают системы дифференциальных
уравнений (2.15), содержащие два блока, соответствующие множителям h(x) и
hn(x), причем последний из них является одномерным. В работе [4] в случае, ког-
да ω = +∞, функции fi, i = 1, n, являются линейными относительно фазовых
переменных, а Vi, i = 1, n, удовлетворяют условию Липшица по этим переменным
на множестве [x0, ω[×Rn
c , приведено без доказательства утверждение о существо-
вании стремящихся к постоянному (в частности, нулевому) вектору при x → +∞
решений систем дифференциальных уравнений, содержащих четыре блока (не обя-
зательно одномерных) с различными множителями hk(x), k = 1, 4, которые непре-
рывны на [x0,+∞[ и удовлетворяют условиям
h1(x)h3(x)h4(x) 6= 0 при x ∈ [x0,+∞[,
+∞∫
x0
|hk(x)| dx = +∞, k = 1, 3, 4,
+∞∫
x0
|h2(x)| dx < +∞, h3(x) = o(h4(x)) при x → +∞.
Методика доказательства этого утверждения, по-видимому, может быть рас-
пространена и на классы систем дифференциальных уравнений, исследуемых в
настоящей работе.
1. Костин А. В. Об асимптотике пpодолжаемых pешений ypавнения типа Эмдена – Фаyлеpа // Докл.
АH СССР. – 1971. – 200, № 1. – C. 28 – 31.
2. Kостин А. В., Евтухов В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального
уравнения // Там же. – 1976. – 231, № 5. – C. 1059 – 1062.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
80 В. М. ЕВТУХОВ, А. М. САМОЙЛЕНКО
3. Евтухов В. М. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений
второго порядка // Math. Nachr. – 1984. – 15. – S. 215 – 236.
4. Костин А. В. Асимптотика пpавильных pешений нелинейных обыкновенных диффеpенциальных
ypавнений // Дифференц. ypавнения. – 1987. – 23, № 3. – C. 524 – 526.
5. Евтухов В. М. Асимптотические свойства монотонных решений одного класса нелинейных диф-
ференциальных уравнений n-го порядка // Докл. расш. зас. сем. Ин-та прикл. математики им.
И. Н. Векуа ТТУ. – 1988. – 3, № 3. – C. 62 – 65.
6. Евтухов В. М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференци-
ального уравнения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка // Докл. АН России. – 1992. – 234, № 2. –
C. 258 – 260.
7. Евтухов В. М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения
n-го порядка типа Эмдена – Фаулера // Сообщ. АН Грузии. – 1992. – 145, № 2. – C. 269 – 273.
8. Evtukhov V. M., Drik N. G. Asymptotic beavior of solutions of a second order nonlinear differential
equations // Georg. Math. J. – 1996. – 3, № 2. – P. 101 – 120.
9. Евтухов В. М., Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных урав-
нений // Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 8. – C. 1105 – 1114.
10. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений двучленных неавто-
номных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелиней-
ностью // Там же. – 2008. – 44, № 3. – C. 308 – 322.
11. Kостин А. В. К вопросу о существовании у систем обыкновенных дифференциальных уравнений
ограниченных частных решений и частных решений, стремящихся к нулю при t → +∞ // Там
же. – 1965. – 1, № 5. – C. 585 – 604.
12. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем
квазилинейных дифференциальных уравнений // Там же. – 2003. – 39, № 4. – C. 441 – 452.
13. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1990.
14. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных
дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 10. – C. 1311 – 1323.
15. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. – М.: Наука, 1965.
16. Coppel W. A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations. – Boston, Heats and Company,
1965.
17. Костин А. В. Устойчивость и асимптотика почти треугольных систем: Дис. . . . канд. физ.-мат.
наук. – Киев, 1962. – 108 с.
Получено 20.05.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 1
|