Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165007 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 307-312. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165007 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1650072020-02-12T01:29:12Z Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі Слюсарчук, В.Ю. Статті Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений. We establish conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations in Banach spaces without using the H-classes of these equations. 2013 Article Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 307-312. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165007 517.925.52 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Слюсарчук, В.Ю. Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі Український математичний журнал |
| description |
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_short |
Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_full |
Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_fullStr |
Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_full_unstemmed |
Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| title_sort |
умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165007 |
| citation_txt |
Умови існування майже періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 307-312. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû umoviísnuvannâmajžeperíodičnihrozvâzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorí |
| first_indexed |
2025-07-14T17:45:07Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:45:07Z |
| _version_ |
1837645282076000256 |
| fulltext |
УДК 517.925.52
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УМОВИ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
We obtain conditions for the existence of almost periodic solutions of nonlinear almost periodic differential equations in a
Banach space without using the H-classes of these equations.
Получены условия существования почти периодических решений нелинейных почти периодических дифференци-
альных уравнений в банаховом пространстве, не использующие H-классы этих уравнений.
1. Основний об’єкт дослiджень. Нехай E — довiльний банаховий простiр iз нормою ‖ · ‖E
i L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A, що дiють iз банахового
простору X у банаховий простiр Y, з нормою ‖A‖L(X,Y ) = sup‖x‖X=1 ‖Ax‖Y . Позначимо через
C0 банаховий простiр обмежених i неперервних на R функцiй x = x(t) зi значеннями у просторi
E з нормою ‖x‖C0 = supt∈R ‖x(t)‖E , а через C1 банаховий простiр функцiй x ∈ C0, для кожної
з яких dx/dt ∈ C0, з нормою ‖x‖C1 = max
{
‖x‖C0 , ‖dx/dt‖C0
}
.
Визначимо оператор зсуву Sh ∈ L(C0, C0), h ∈ R, формулою
(Shx)(t) = x(t+ h), t ∈ R. (1)
Елемент y ∈ Ck, k = 0, 1, називається майже перiодичним (за Бохнером) (див., наприклад,
[1 – 3]), якщо замикання множини {Shy : h ∈ R} у просторi Ck є компактною пiдмножиною
цього простору.
Позначимо через B0 i B1 банаховi простори майже перiодичних елементiв просторiв C0 i
C1 з нормами ‖x‖B0 = ‖x‖C0 i ‖x‖B1 = ‖x‖C1 вiдповiдно.
Нехай Ω — область простору E, тобто вiдкрита зв’язна множина простору E, i K — множина
всiх непорожнiх зв’язних компактних пiдмножин K ⊂ Ω.
Розглянемо неперервне вiдображення f : R× Ω→ E, що задовольняє умови:
1) f(t, x) рiвномiрно неперервне по x на кожнiй множинi R×K, де K ∈ K;
2) f(t, x) майже перiодичне по t рiвномiрно по x на кожнiй множинi K ∈ K.
Як i в [3, с. 428, 429], можна показати, що для кожної множини K ∈ K
sup
t∈R, x∈K
‖f(t, x)‖E < +∞
i для довiльної послiдовностi (hk)k>1 дiйсних чисел iснує пiдпослiдовнiсть (hkl)l>1, для якої
послiдовнiсть
(
f(t+ hkl , x)
)
l>1
збiгається рiвномiрно на множинi R×K.
Вважатимемо, що послiдовнiсть
(
f(t+hkl , x)
)
l>1
збiгається рiвномiрно на кожнiй множинi
R×K, K ∈ K, i граничне вiдображення g : R× Ω→ E. що визначається спiввiдношенням
g(t, x) = lim
l→∞
f(t+ hkl , x), (2)
задовольняє умови 1 i 2. Наведена вимога виконується, якщо, наприклад, простiр E скiнчен-
новимiрний, що показано в [3, с. 429]. Зазначимо, що у подальшому ця вимога вiдiграватиме
допомiжну роль i не буде використовуватися при отриманнi основного результату.
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2 307
308 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
= f
(
t, x(t)
)
, t ∈ R. (3)
H-класом цього рiвняння називається множина всiх диференцiальних рiвнянь
dy(t)
dt
= g
(
t, y(t)
)
, t ∈ R,
права частина яких визначається за допомогою (2).
Метою статтi є встановлення умов майже перiодичностi обмежених розв’язкiв рiвняння (3)
без використання елементiв H-класу цього рiвняння. При дослiдженнi рiвняння (3) будемо
використовувати один функцiонал, визначений на множинi обмежених розв’язкiв цього рiв-
няння (множини значень цих розв’язкiв — пiдмножини компактних множин K ∈ K). Цьому
функцiоналу придiлимо увагу в п. 2.
2. Функцiонал ∆. Позначимо через N (f,K) множину всiх обмежених розв’язкiв x = x(t)
рiвняння (3), для кожного з яких замикання R(x) множини R(x) = {x(t) : t ∈ R} у просторi E
є пiдмножиною множини K ∈ K i R(x) 6= K.
Зафiксуємо довiльнi множину K ∈ K i обмежений розв’язок x∗ ∈ N (f,K) рiвняння (3)
(вважаємо, що N (f,K) 6= ∅.) Покладемо
r(x∗,K, f) = sup
{
‖x− y‖E : x ∈ R(x∗), y ∈ K
}
.
Зазначимо, що r(x∗,K, f) > 0 завдяки нерiвностi R(x) 6= K. Також зафiксуємо довiльне
число ε ∈
[
0, r(x∗,K, f)
]
. Позначимо через Ω(x∗,K, f, ε) множину всiх елементiв y ∈ C1, для
кожного з яких
x∗(t) + y(t) ∈ K
для всiх t ∈ R, ∥∥∥∥d(x∗(t) + y(t))
dt
∥∥∥∥
E
6 sup
s∈R, x∈K
‖f(s, x)‖E
для всiх t ∈ R i
inf
t∈R
∣∣‖y(t)‖E − ε
∣∣ = 0.
Розглянемо функцiонал
∆(x∗,K, f, ε) = inf
y∈Ω(x∗,K,f,ε)
sup
t∈R
∥∥∥∥d(x∗(t) + y(t))
dt
− f(t, x∗(t) + y(t))
∥∥∥∥
E
. (4)
Застосування функцiонала ∆ до дослiдження нелiнiйного майже перiодичного рiвняння (3)
та аналогiчних лiнiйних рiвнянь наведемо у наступних пунктах.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
УМОВИ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 309
3. Основна теорема.
Теорема 1. Нехай K належить множинi K. Якщо для розв’язку z ∈ N (f,K) майже
перiодичного рiвняння (3) i деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(z,K, f, ε) > 0 (5)
для всiх ε ∈ (0, δ), то цей розв’язок майже перiодичний.
Доведення. Припустимо, що розв’язок z ∈ N (f,K) рiвняння (3) не є елементом про-
стору B1 (випадок, коли z ∈ B0 i dz/dt 6∈ B0, очевидно, неможливий). Тодi iснує послi-
довнiсть
(
z (t+ hp)
)
p>1
, збiжна в кожнiй точцi t ∈ R, причому довiльна її пiдпослiдовнiсть(
z (t+ kp)
)
p>1
не збiгається рiвномiрно на R. Отже,
lim
p,q→∞
∥∥z(hp)− z(hq)∥∥E = 0 (6)
i для деяких послiдовностей (pr)r>1, (qr)r>1 i числа γ ∈ (0, δ)
sup
t∈R
∥∥z(t+ kpr)− z(t+ kqr)
∥∥
E
> γ, r > 1. (7)
Не обмежуючи загальностi, можна вважати (на пiдставi обмежень на f ), що послiдовнiсть(
f(t+ kp, x)
)
p>1
збiгається рiвномiрно на R×K. Тодi
lim
p,q→∞
sup
t∈R, x∈K
∥∥f(t+ kp, x)− f(t+ kq, x)
∥∥
E
= 0. (8)
Зафiксуємо довiльне число ε0 ∈ (0, γ]. Завдяки (6) i (7) для функцiй
yr(t) = z(t+ kpr)− z(t+ kqr), r > 1,
виконується спiввiдношення
yr ∈ Ω(Skqr z,K, f, ε0), r > 1, (9)
де Sh — оператор зсуву, визначений спiввiдношенням (1).
Покажемо, що
∆(z,K, f, ε0) = 0. (10)
На пiдставi (4), (9) i того, що
dz(t+ kpr)
dt
− f
(
t+ kpr , z(t+ kpr)
)
≡ 0, r > 1,
виконуються спiввiдношення
∆(z,K, f, ε0) = inf
y∈Ω(z,K,f,ε0)
sup
t∈R
∥∥∥∥d(z(t) + y(t))
dt
− f(t, z(t) + y(t))
∥∥∥∥
E
=
= inf
y∈Ω(Skqr
z,K,f,ε0)
sup
t∈R
∥∥∥∥d(z(t+ kqr) + y(t))
dt
− f(t+ kqr , z(t+ kqr) + y(t))
∥∥∥∥
E
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
310 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
6 sup
t∈R
∥∥∥∥d(z(t+ kqr) + yr(t))
dt
− f(t+ kqr , z(t+ kqr) + yr(t))
∥∥∥∥
E
=
= sup
t∈R
∥∥∥∥dz(t+ kpr)
dt
− f(t+ kqr , z(t+ kpr))
∥∥∥∥
E
6
6 sup
t∈R
∥∥∥∥dz(t+ kpr)
dt
− f(t+ kpr , z(t+ kpr))
∥∥∥∥
E
+
+ sup
t∈R
‖f(t+ kpr , z(t+ kpr))− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E =
= sup
t∈R
‖f(t+ kpr , z(t+ kpr))− f(t+ kqr , z(t+ kpr))‖E ,
з яких та з (8) випливає спiввiдношення (10). Це спiввiдношення суперечить (5).
Отже, припущення, що розв’язок z ∈ N (f,K) рiвняння (3) не є майже перiодичним, є
хибним.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Наведенi умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвняння (3) є
новими. У теоремi 1 (у порiвняннi з теоремою Амерiо (див., наприклад, [3, 4]) не використо-
вуються H-клас рiвняння (3) та умова вiдокремлення обмежених розв’язкiв рiвнянь H-класу
цього рiвняння i банаховий простiр E може бути нескiнченновимiрним.
4. Умови iснування обмежених розв’язкiв рiвняння (3). У теоремi 1 одна з умов — це
умова iснування для рiвняння (3) обмеженого розв’язку. Наведемо достатнi умови виконання
цiєї вимоги як для рiвняння (3), так i для бiльш загального, нiж (3), майже перiодичного
диференцiального рiвняння
dx
dt
= f(t, x) + h(t), (11)
де f(t, x) — та сама функцiя, що i в рiвняннi (3), а h — довiльний елемент простору B0.
Очевидно, що для дослiдження рiвняння (11) теорема 1 також є застосовною.
Позначимо через D множину неперервних i обмежених на R функцiй B = B(t) зi значення-
ми у просторi L(E,E), для кожної з яких оператор LB : C1 → C0, що визначається формулою
(LBx)(t) =
dx(t)
dt
−B(t)x(t), t ∈ R,
має неперервний обернений оператор L−1
B : C0 → C1.
Розглянемо замкнену кулю
B[0, r] =
{
x : ‖x‖E 6 r
}
.
Справджуються наступнi твердження.
Теорема 2 [5]. Нехай dimE < ∞ i для числа r > 0 та елемента B ∈ D виконуються
спiввiдношення
B[0, r] ⊂ Ω,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
УМОВИ IСНУВАННЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 311
sup
t∈R, ‖x‖E6r
‖f(t, x)−B(t)x‖E 6
r
‖L−1
B ‖L(C0,C0)
. (12)
Тодi рiвняння (3) має хоча б один розв’язок x ∈ C1, для якого ‖x‖C0 6 r.
Теорема 3 [6]. Нехай dimE <∞, Ω = E i для кожного числа H > 0 iснують такi число
r > 0 та елемент B ∈ D, що
sup
t∈R, ‖x‖E6r
∥∥f(t, x)−B(t)x
∥∥
E
6
r
‖L−1
B ‖L(C0,C0)
−H. (13)
Тодi для кожного h ∈ C0 (i, отже, для кожного h ∈ B0) рiвняння (11) має хоча б один
розв’язок x ∈ C1.
Зауваження 2. У спiввiдношеннях (12) i (13) ‖L−1
B ‖L(C0,C0) можна замiнити будь-яким
числом a, для якого ‖L−1
B ‖L(C0,C0) 6 a.
Бiльш загальнi твердження, нiж теореми 2 i 3, мiстяться в [5, 7, 8].
5. Випадок лiнiйного рiвняння (3). Застосуємо теорему 1 до дослiдження лiнiйних майже
перiодичних диференцiальних рiвнянь.
Розглянемо неперервнi вiдображення fi : R×E → E, i = 1, 2, що визначаються рiвностями
f1(t, x) = A(t)x+ h(t),
f2(t, x) = A(t)x,
де A(t) — неперервна i майже перiодична на R функцiя зi значеннями в L(E,E) i h ∈ C0, а
також вiдповiднi лiнiйнi диференцiальнi рiвняння
dx
dt
= A(t)x+ h(t) (14)
i
dx
dt
= A(t)x. (15)
Очевидно, що рiвняння (14), якщо h ∈ B0, i (15) — окремi випадки рiвняння (3).
Завдяки теоремi 1 справджується наступне твердження.
Теорема 4. Нехай K належить множинi K i h ∈ B0. Якщо лiнiйне рiвняння (14) має
обмежений розв’язок z ∈ N (f1,K) i для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(z,K, f1, ε) > 0
для всiх ε ∈ (0, δ), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Також має мiсце наступна теорема.
Теорема 5. Нехай K належить множинi K. Якщо лiнiйне рiвняння (15) має обмежений
розв’язок z ∈ N (f2,K) i для деякого числа δ > 0 виконується спiввiдношення
∆(z,K, f2, ε) > 0
для всiх ε ∈ (0, δ), то цей розв’язок є майже перiодичним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
312 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зауваження 3. Наведенi умови iснування майже перiодичних розв’язкiв лiнiйних рiв-
нянь (14) i (15) є новими. У порiвняннi з теоремою Фавара (див. [3, 9]) у теоремах 4 i 5 не
використовуються H-класи рiвнянь (14) i (15).
На завершення зазначимо, що знаходженню умов iснування майже перiодичних розв’язкiв
звичайних майже перiодичних диференцiальних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Вiдмi-
тимо деякi з них. Для лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi теореми про майже перiодичнi
розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [9], а для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь —
Амерiо в роботi [4]. Результати Фавара були значно покращенi Е. Мухамадiєвим [10, 11].
Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [12 – 14]. Важливi результати в цьому
напрямку також належать Б. М. Левiтану [15], Амерiо [16] та В. В. Жикову [17].
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. I Teil. Funktionen einer Variablen // Math. Ann. – 1927. – 96. –
P. 119 – 147.
2. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. II Teil. Funktionen mehrerer Variablen // Math. Ann. –
1927. – 96. – P. 383 – 409.
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
4. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
5. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Мат. сб. – 2012. – 203, № 5. – C. 135 – 160.
6. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – C. 1541 – 1556.
7. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – C. 103 – 126.
8. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв слабко
регулярними операторами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – C. 1685 – 1698.
9. Favard J. Sur les équations différentielles à coefficients presquepériodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
10. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функ-
ций // Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – C. 269 – 274.
11. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав-
нений // Мат. заметки. – 1984. – 30, № 3. – C. 443 – 460.
12. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1984. – 116(158), № 4(12). – C. 483 – 501.
13. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130(172), № 1(15). – C. 86 – 104.
14. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифферен-
циальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – C. 262 – 267.
15. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
16. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
17. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае про-
извольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – C. 121 – 126.
Одержано 19.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|