Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних

Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Lq за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, що підпорядковані деяким умовам....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Стасюк, С.А., Федуник, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165124
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних / С.А. Стасюк, О.В. Федуник // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 692–704. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165124
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1651242020-02-12T01:30:16Z Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних Стасюк, С.А. Федуник, О.В. Статті Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Lq за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, що підпорядковані деяким умовам. We obtain exact order estimates for the approximation of the classes BΩp,θ of periodic functions of many variables in the space Lq by using operators of orthogonal projection and linear operators satisfying certain conditions. 2006 Article Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних / С.А. Стасюк, О.В. Федуник // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 692–704. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165124 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Стасюк, С.А. Федуник, О.В. Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних Український математичний журнал
description	Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних Функцій багатьох змінних у просторі Lq за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, що підпорядковані деяким умовам.
format	Article
author	Стасюк, С.А. Федуник, О.В.
author_facet	Стасюк, С.А. Федуник, О.В.
author_sort	Стасюк, С.А.
title	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних
title_short	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних
title_full	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних
title_fullStr	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних
title_full_unstemmed	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних
title_sort	апроксимативні характеристики класів bωp,θ періодичних функцій багатьох змінних
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165124
citation_txt	Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних / С.А. Стасюк, О.В. Федуник // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 692–704. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT stasûksa aproksimativníharakteristikiklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT fedunikov aproksimativníharakteristikiklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih
first_indexed	2025-07-14T17:56:42Z
last_indexed	2025-07-14T17:56:42Z
_version_	1837646011478048768
fulltext	УДК 517.5 С. А. Стасюк, О. В. Федуник (Iн-т математики НАН України, Київ) АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ Exact order estimates are obtained for the approximation of the classes BΩ p,θ of periodic multivariable functions in the space Lq by using operators of orthogonal projection and linear operators subjected to certain conditions. Одержано точнi за порядком оцiнки наближення класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq за допомогою операторiв ортогонального проектування, а також лiнiйних операторiв, що пiдпорядкованi деяким умовам. Нехай Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумовних у степенi p на кубi πd = ∏d j=1[0; 2π] функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd), у якому норма визначається рiвностями ‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p = ( (2π)−d ∫ πd \|f(x)\|pdx )1 p , 1 ≤ p < ∞, ‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup x∈πd \|f(x)\|. Далi скрiзь будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(πd) виконується додаткова умова 2π∫ 0 f(x)dxj = 0, j = 1, d. Для f ∈ Lp(πd) введемо мiшаний модуль неперервностi порядку l Ωl(f, t)p = sup \|hj \|≤tj j=1,d ‖∆l hf(x)‖p, де ∆l hf(x) = ∆l hd . . .∆l h1 f(x) = ∆l hd (. . . (∆l h1 f(x))) — мiшана l-та рiзниця з кро- ком hj за змiнною xj i ∆l hj f(x) = l∑ n=0 (−1)l−nCn l f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd). Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного модуля неперерв- ностi порядку l, яка задовольняє такi умови: 1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0, ∏d j=1 tj = 0; 2) Ω(t) зростає по кожнiй змiннiй; 3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ (∏d j=1 mj )l Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d; 4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d . Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє також умови (S), (Sl), якi називають умовами Барi – Стєчкiна [1]. Це означає наступне. c© С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК, 2006 692 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ... 693 Функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо ϕ(τ)/τα майже зростає при деякому α > 0, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що ϕ(τ1) τα 1 ≤ C1 ϕ(τ2) τα 2 , 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1. Функцiя ϕ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо ϕ(τ)/τγ майже спадає при деякому 0 < γ < l, тобто iснує така не залежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що ϕ(τ1) τγ 1 ≥ C2 ϕ(τ2) τγ 2 , 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1. Будемо говорити, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t) задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i 6= j. Означимо деякi порядковi спiввiдношення, якi будемо використовувати далi. Функцiї µ(n) i ν(n) будемо називати функцiями однакового порядку i писати µ(n) � ν(n), якщо для будь-якого n ∈ N виконується нерiвнiсть C3µ(n) ≤ ν(n) ≤ ≤ C4µ(n), де сталi C3,C4 > 0 можуть залежати лише вiд параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй вимiрюється похибка наближення, та розмiрностi d простору Rd. Якщо ж µ(n) ≤ C5ν(n) або µ(n) ≥ C6ν(n), то позначимо µ(n) � � ν(n) i µ(n) � ν(n) вiдповiдно. У подальшому формулювання отриманих результатiв будуть мiстити порядкове спiввiдношення M � 2nnd−1, M, n ∈ N, яке будемо розумiти таким чином, що iснують сталi 0 < C7 < C8 такi, що виконуються нерiвностi C72nnd−1 ≤ M ≤ C82nnd−1. Зазначимо, що з огляду на останню подвiйну нерiвнiсть можемо записати по- рядковi спiввiдношення n � log M, 2n � M logd−1 M . Означимо тепер класи функцiй BΩ p,θ, якi було розглянуто в роботi [2]. Нехай s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z, j = 1, d. Позначимо ρ(s) = { k : 2sj−1 ≤ \|kj \| < 2sj , j = 1, d } , δs(f, x) = ∑ k∈ρ(s) f̂(k)ei(k,x), де f̂(k) = (2π)−d ∫ πd f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f, (k, x) = = k1x1 + . . . + kdxd. Для 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i заданої функцiї Ω(t) типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1 – 4, клас BΩ p,θ визначається таким чином: BΩ p,θ := { f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ p,θ ≤ 1 } , де ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 694 С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК ‖f‖BΩ p,θ =  ∫ πd ( Ωl(f, t)p Ω(t) )θ d∏ j=1 dtj tj  1 θ , 1 ≤ θ < ∞, (1) ‖f‖BΩ p,∞ = sup t>0 Ωl(f, t)p Ω(t) . У роботi [2] для 1 < p < ∞ i заданої функцiї Ω(t) типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1 – 4, (S) i (Sl), встановлено, що ‖f‖BΩ p,θ � {∑ s ‖δs(f, x)‖θ pΩ(2−s)−θ } 1 θ , 1 ≤ θ < ∞, (2) ‖f‖BΩ p,∞ � sup s ‖δs(f, x)‖p Ω(2−s) , (3) де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d. Нижче ми покажемо, що для норм функцiй iз класу BΩ p,θ можна записати зо- браження, аналогiчнi (2) i (3) у випадках p = 1 i p = ∞, дещо видозмiнивши при цьому „блоки” δs(f, x). Нехай Vn(t) — ядро Валле Пуссена порядку 2n− 1, тобто Vn(t) = 1 + 2 n∑ k=1 cos kt + 2 2n−1∑ k=n+1 ( 1− k − n n ) cos kt. Кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у вiдповiднiсть полiном As(x) = d∏ j=1 ( V2sj (xj)− V2sj−1(xj) ) i для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, через As(f, x) позначимо згортку As(f, x) = f(x) ∗As(x). Має мiсце така теорема. Теорема 1. Нехай Ω(t) — функцiя типу мiшаного модуля неперервностi по- рядку l, що задовольняє умову (S) з деяким α > 0, а також умову (Sl). Функцiя f ∈ BΩ p,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, тодi i лише тодi, коли{∑ s>0 ‖As(f, x)‖θ p Ω(2−s)−θ } 1 θ < ∞, 1 ≤ θ < ∞, i в цьому випадку ‖f‖BΩ p,θ � {∑ s>0 ‖As(f, x)‖θ p Ω(2−s)−θ } 1 θ . (4) Зазначимо, що при доведеннi теореми будемо використовувати деякi iдеї з ро- боти [2]. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ... 695 Доведення. Встановимо для ‖f‖BΩ p,θ оцiнку зверху. В [2] показано, що ‖f‖θ BΩ p,θ � ∑ k≥0 ( Ωl(f, 2−k)p )θ Ω(2−k)−θ, (5) де k = (k1, . . . , kd), 2−k = (2−k1 , . . . , 2−kd), kj ∈ Z+, j = 1, d. Враховуючи, що (див., наприклад, [3, с. 304]) f(x) = ∑ s>0 As(f, x), одержує- мо Ωl(f, 2−k)p = sup \|h\|≤2−k ‖∆l hf(x)‖p ≤ ∑ s>0 sup \|h\|≤2−k ‖∆l hAs(f, x)‖p. (6) Для проведення подальших мiркувань розглянемо два випадки. Якщо \|hj \| ≤ 2−sj , то використаємо для оцiнки ‖∆l hj As(f, x)‖p нерiвнiсть (див., наприклад, [3, с. 166]) ‖∆l hj g(x)‖p ≤ \|hj \|l ∥∥∥∥ ∂lg ∂xl j ∥∥∥∥ p та нерiвнiсть Бернштейна для тригонометричних полiномiв. Тодi ‖∆l hj As(f, x)‖p ≤ \|hj \|l ∥∥∥∥∥ ∂l ∂xl j As(f, x) ∥∥∥∥∥ p � \|hj \|l2sj l‖As(f, x)‖p. (7) Якщо ж \|hj \| > 2−sj , то, використовуючи для оцiнки ‖∆l hj As(f, x)‖p нерiвнiсть Мiнковського, маємо ‖∆l hj As(f, x)‖p � ‖As(f, x)‖p. (8) Беручи до уваги (7) та (8), робимо висновок, що ‖∆l hAs(f, x)‖p � ‖As(f, x)‖p d∏ j=1 min{1, \|hj \|l2sj l}, а sup \|h\|≤2−k ‖∆l hAs(f, x)‖p � ‖As(f, x)‖p d∏ j=1 min{1, 2l(sj−kj)}. (9) Далi, враховуючи (6), (9) та використовуючи тi ж самi мiркування, що i в [2], доводимо, що∑ k≥0 ( Ωl(f, 2−k)p )θ Ω(2−k)−θ � ∑ s>0 ‖As(f, x)‖θ p Ω(2−s)−θ. (10) Об’єднуючи (5) i (10), одержуємо для (4) оцiнку зверху. Оцiнка знизу встановлюється аналогiчно роботi [2], iз замiною δs(f, x) на As(f, x). Перейдемо до встановлення оцiнки знизу. Оскiльки Ω(t), Ωl(f, t)p задовольня- ють умови 1 – 4, (S) та (Sl), то при 0 < t1 < t2 < 2t1 мають мiсце спiввiдношення Ω(t1) � Ω(t2), Ωl(f, t1)p � Ωl(f, t2)p. (11) У роботi [4] встановлено, що при 1 ≤ p ≤ ∞ виконується нерiвнiсть ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 696 С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК ‖As(f, x)‖p � Ωl(f, 2−s)p. (12) Виходячи з (1) i враховуючи (11) та (12), одержуємо ‖f‖BΩ p,θ >  1∫ 0 . . . 1∫ 0 ( Ωl(f, t)p Ω(t) )θ d∏ j=1 dtj tj  1 θ � � (∑ s>0 (Ωl(f, 2−s)p)θ Ω(2−s)−θ ) 1 θ � (∑ s>0 ‖As(f, x)‖θ p Ω(2−s)−θ ) 1 θ . Оцiнку знизу встановлено, а отже, теорему доведено. Зауважимо, що при θ = ∞ клас BΩ p,θ збiгається з класом HΩ p , для якого в [5] встановлено спiввiдношення ‖f‖BΩ p,∞ � sup s ‖As(f, x)‖p Ω(2−s) . (4′) Далi в роботi будемо розглядати класи BΩ p,θ, якi визначаються функцiєю типу мiшаного модуля неперервностi порядку l деякого спецiального вигляду Ω(t) = ω  d∏ j=1 tj  , (13) де ω(τ) — задана функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови (S) i (Sl). Легко переконатися, що для Ω(t) вигляду (13) виконуються властивостi 1 – 4 функцiї типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, а також умови (S) i (Sl), i тому зберiгаються наведенi вище зображення норм функцiй класу BΩ p,θ. У данiй роботi з використанням теореми 1 встановлюються точнi за порядком оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ p,θ у просторi Lq для деяких значень параметрiв p i q. Щоб навести означення цього поняття, введемо деякi позначення. Нехай {ui}M i=1 — ортонормована система функцiй ui ∈ L∞(πd). Кожнiй функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть апарат наближення вигляду∑M i=1 (f, ui)ui, тобто ортогональну проекцiю функцiї f на пiдпростiр, що поро- джений системою функцiй {ui}M i=1. Тодi для функцiонального класу F з Lq(πd) величина d⊥M (F,Lq) = inf {ui}M i=1 sup f∈F ∥∥∥∥∥f(x)− M∑ i=1 (f, ui)ui(x) ∥∥∥∥∥ q (14) називається ортопроекцiйним поперечником цього класу в просторi Lq(πd). Поняття ортопроекцiйного поперечника ввiв В. М. Темляков [6]. Крiм ортопро- екцiйних поперечникiв будемо дослiджувати величини dB M (F,Lq), також введенi В. М. Темляковим [6], якi визначаються таким чином: dB M (F,Lq) = inf G∈LM (B)q sup f∈F∩D(G) ‖f(x)−Gf(x)‖q . (15) Тут LM (B)q — множина лiнiйних операторiв, якi задовольняють умови: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ... 697 а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi тригонометричнi полi- номи, а їх область значень мiститься в пiдпросторi розмiрностi M простору Lq(πd); б) iснує число B ≥ 1 таке, що для всiх векторiв k = (k1, . . . , kd) виконується нерiвнiсть ∥∥Gei(k,x) ∥∥ 2 ≤ B. Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонального проектування на простори розмiрностi M, а також оператори, якi задаються на ортонормованiй системi функцiй за допомогою мультиплiкатора, який визначається послiдовнiстю {λm} такою, що \|λm\| ≤ 1 для всiх m. Iз (14) i (15) видно, що величини d⊥M (F,Lq) i dB M (F,Lq) пов’язанi мiж собою нерiвнiстю dB M (F,Lq) ≤ d⊥M (F,Lq). (16) На даний час вiдомо багато робiт, в яких дослiджувались ортопроекцiйнi попе- речники тих чи iнших класiв функцiй. Так, у роботах [7, 8] вивчались величини (14), (15) для класiв функцiй багатьох змiнних W r p,α, Hr p . Дослiдження ортопроек- цiйних поперечникiв класiв функцiй багатьох змiнних Br p,θ проводились у робо- тах [9, 10], де можна ознайомитись з детальнiшою бiблiографiєю. При доведеннi результатiв будемо користуватися наступною теоремою. Теорема А (Лiттлвуда – Пелi, див., наприклад, [3, с. 55]). Нехай p ∈ (1,∞). Тодi iснують додатнi числа C9, C10 такi, що для кожної функцiї f ∈ Lp(πd) виконується спiввiдношення C9‖f‖p ≤ ∥∥∥∥∥∥ (∑ s \|δs(f, x)\|2 ) 1 2 ∥∥∥∥∥∥ p ≤ C10‖f‖p. Теорема А є узагальненням на багатовимiрний випадок вiдомої теореми Лiттл- вуда – Пелi (див. [11, т. 2], гл. 15). При встановленнi оцiнок зверху в теоремах 2 i 3 за апарати наближення будемо брати частиннi суми ряду Фур’є з „номерами” гармонiк iз множини Qn SQn (f, x) = ∑ (s,1)<n δs(f, x), де Qn = ⋃ (s,1)<n ρ(s) — схiдчастий гiперболiчний хрест, i розглядати величини EQn (BΩ p,θ)q = sup f∈BΩ p,θ ‖f(x)− SQn (f, x)‖q. Перейдемо до викладу отриманих результатiв. Теорема 2. Нехай 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, p ≥ 2, (q, p) 6= (∞,∞) i Ω(t) = ω(t1 . . . td), де ω(τ) задовольняє умову (S) з деяким α > 0 та умову (Sl). Тодi при 1 ≤ θ ≤ ∞ має мiсце порядкова рiвнiсть d⊥M (BΩ p,θ, Lq) � dB M (BΩ p,θ, Lq) � ω(2−n)n(d−1)( 1 2− 1 θ )+ , (17) де M � 2nnd−1, a+ = max{a, 0}. Зауважимо, що внаслiдок нерiвностi (16) для доведення теореми достатньо оцiнити знизу величину dB M ( BΩ p,θ, Lq ) i, вiдповiдно, зверху величину d⊥M ( BΩ p,θ, Lq ) . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 698 С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК Доведення. Оцiнка зверху в (17) випливає iз вiдомих результатiв. Справ- дi, нехай M є заданим. Пiдберемо n iз спiввiдношення M � 2nnd−1. Для 1 < q ≤ p < ∞, p ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ розглянемо наближення класу BΩ p,θ схiдчасто- гiперболiчними сумами Фур’є SQn (f, x) у метрицi Lq. Тодi, використовуючи оцiнки EQn(BΩ p,θ)p [2] та нерiвнiсть d⊥M (BΩ p,θ, Lq) � EQn(BΩ p,θ)q ≤ EQn(BΩ p,θ)p, одержуємо шукану оцiнку зверху для d⊥M (BΩ p,θ, Lq), а отже, i для dB M (BΩ p,θ, Lq). У випадку q = 1 або p = ∞ проведемо аналогiчнi наведеним вище мiркування, додатково використавши нерiвнiсть ‖ · ‖1 < ‖ · ‖q, 1 < q < ∞, або вкладення BΩ ∞,θ ⊂ BΩ p,θ, 2 ≤ p < ∞. Перейдемо до встановлення в (17) оцiнки знизу. Зазначимо, що оскiльки отри- мана оцiнка зверху не залежить вiд параметрiв p i q, то для доведення оцiнки знизу для величини dB M (BΩ p,θ, Lq) достатньо розглянути випадок p = ∞, q = 1. Доведення розiб’ємо на три частини. Нехай спочатку 2 ≤ θ < ∞. У цьому випадку використаємо допомiжне твер- дження, для формулювання якого введемо деякi позначення. Покладемо Sn = { s : (s, 1) = n, sj − парнi числа, j = 1, d } , ρ+(s) = { k : k = (k1, . . . , kd), 2sj−1 ≤ kj < 2sj , j = 1, d } , Qn = ⋃ s∈Sn ρ+(s), \|Qn\| — кiлькiсть елементiв множини Qn. Для вектора m = (m1, . . . ,md) (mj , j = 1, d, — цiлi невiд’ємнi числа) через RT (m) позначимо множину дiйсних тригонометричних полiномiв виду t(x) = ∑ \|kj \|≤mj t̂(k)ei(k,x). Нехай k sj j = 2sj−1 + 2sj−2 i T (Qn) = t(x) = ∑ s∈Sn ts(x)ei(ks,x), ts ∈ RT (2s−2)  . Для g ∈ T (Qn) позначимо δs(g, x) = ∑ k∈ρ+(s) ĝ(k)ei(k,x). При таких позначеннях має мiсце наступне твердження. Лема 1 [7]. Нехай M ≤ \|Qn\| 4 . Тодi для довiльного простору Φ ⊂ L1(πd), розмiрнiсть якого не перевищує M, знайдеться функцiя g ∈ T (Qn) така, що ‖δs(g, x)‖∞ ≤ \|Sn\|− 1 2 , s ∈ Sn, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ... 699 ‖g‖2 ≥ C11 > 0, i для будь-якого ϕ ∈ Φ виконується умова (g, ϕ) = 0. Отже, нехай M є заданим. Розглянемо деякий лiнiйний оператор G iз LM (B)1, для якого dim G(BΩ ∞,θ∩T (Qn)) ≤ M. Пiдберемо парне n iз умови \|Qn−2\| < 4M ≤ ≤ \|Qn\|. Тодi dim G(T (Qn)) ≤ M, i оскiльки M ≤ \|Qn\| 4 , то розмiрнiсть простору Ψ ⊂ T (Qn) такого, що G(Ψ) = 0, буде бiльшою за M. Крiм того, внаслiдок леми 1 знайдеться функцiя g ∈ Ψ така, що ‖δs(g, x)‖∞ ≤ \|Sn\|− 1 2 , s ∈ Sn, i ‖g‖2 ≥ C11 > 0. Розглянемо функцiю f1(x) = C12ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ g(x), C12 > 0, i оцiнимо ‖f1‖BΩ ∞,θ , 2 ≤ θ < ∞. Використовуючи зображення (4) при p = ∞, для f1 маємо ‖f1‖BΩ ∞,θ � (∑ s ω−θ(2−(s,1))‖As(f1, x)‖θ ∞ ) 1 θ � � ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ ∑ s∈Sn ω−θ(2−(s,1))‖δs(g, x)‖θ ∞  1 θ � � ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ \|Sn\|− 1 2 ω−1(2−n) ∑ s∈Sn 1  1 θ � n− d−1 θ n d−1 θ = 1. Iз одержаного робимо висновок, що функцiя f1 iз вiдповiдною сталою C12 > 0 належить класу BΩ ∞,θ, 2 ≤ θ < ∞. Тепер оцiнимо ‖f1(x)−Gf1(x)‖1 . Зазначимо, що оскiльки g ∈ Ψ i G(Ψ) = 0, то ‖g(x)−Gg(x)‖1 = ‖g‖1. (18) Для того щоб оцiнити знизу ‖g‖1, скористаємось нерiвнiстю [11, т. 1, c. 330] ‖g‖2 ≤ ‖g‖ 1 3 1 ‖g‖ 2 3 4 , внаслiдок якої ‖g‖1 ≥ ‖g‖32‖g‖−2 4 . (19) Таким чином, оскiльки згiдно з лемою 1 ‖g‖2 ≥ C11 > 0, то для одержання шуканої оцiнки знизу для ‖g‖1 залишається вiдповiдним чином оцiнити знизу ‖g‖−2 4 . З огляду на те, що g ∈ Ψ ⊂ T (Qn), на пiдставi теореми Лiттлвуда – Пелi i нерiвностi Мiнковського будемо мати ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 700 С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК 0 < ‖g‖4 � ∥∥∥∥∥∥∥ ∑ s∈Sn \|δs(g, x)\|2 1 2 ∥∥∥∥∥∥∥ 4 � ∑ s∈Sn ‖δs(g, x)‖24 1 2 ≤ ≤ ∑ s∈Sn ‖δs(g, x)‖2∞ 1 2 ≤ \|Sn\|− 1 2 ∑ s∈Sn 1 1 2 = \|Sn\|− 1 2 \|Sn\| 1 2 = 1. Звiдси ‖g‖−1 4 ≥ C13, тому, враховуючи (19), отримуємо оцiнку ‖g‖1 ≥ C14. (20) Отже, iз (18) i (20) маємо ‖g(x)−Gg(x)‖1 ≥ C14 i внаслiдок вибору функцiї f1 одержуємо шукану оцiнку знизу у випадку 2 ≤ ≤ θ < ∞: ‖f1(x)−Gf1(x)‖1 = C12ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ ‖g(x)−Gg(x)‖1 � � ω(2−n)n(d−1)( 1 2− 1 θ ). Для встановлення вiдповiдної оцiнки знизу величини dB M (BΩ ∞,θ, L1) у випадку 1 ≤ θ < 2 також використаємо допомiжне твердження. Через Sn i Q̃n позначимо множини Sn = { s : (s, 1) = n, sj ∈ N, j = 1, d } , Q̃n = ⋃ s∈Sn ρ(s). Має мiсце наступна лема. Лема 2 [7]. Нехай G ∈ LM (B)1 i число n таке, що C15(B, d)\|Q̃n−1\| < M < < C16(B, d)\|Q̃n\|. Тодi iснують вектор k0 = (k0 1, . . . , k 0 d) ∈ Q̃n i стала C17(d) > 0 такi, що ∥∥∥ei(k0,x) −Gei(k0,x) ∥∥∥ 1 ≥ C17(d). Розглянемо функцiю f2(x) = ω(2−n)ei(k0,x). Використовуючи (4), легко пере- конатись, що f2 належить класу BΩ ∞,θ. Тодi згiдно з лемою 2 для f2 маємо ‖f2(x)−Gf2(x)‖1 = ω(2−n) ∥∥∥ei(k0,x) −Gei(k0,x) ∥∥∥ 1 � ω(2−n). Нехай тепер θ = ∞. У цьому випадку знову скористаємося допомiжним твер- дженням. Лема 3 [7]. Нехай G ∈ LM (B)1. Тодi iснують число n i множина S1 n ⊂ Sn такi, що \|Q̃n\| < C18(B, d)M, \|S1 n\| ≥ \|Sn\| 2 i в кожному ρ(s), s ∈ S1 n, знайдуться вектори ks ∈ ρ(s) такi, що для функцiї g1(x) = ∑ s∈S1 n ei(ks,x) i деякого вектора y∗ має мiсце оцiнка ‖g1(x + y∗)−Gg1(x + y∗)‖1 � (log M) d−1 2 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ... 701 Розглянемо функцiю f3(x) = ω(2−n)g1(x). З огляду на зображення (4′) легко переконатись, що f3 належить класу BΩ ∞,∞. Для того щоб оцiнити ‖f3(x + y∗)−Gf3(x + y∗)‖1, використаємо лему 3. Тодi ‖f3(x + y∗)−Gf3(x + y∗)‖1 = ω(2−n)‖g1(x + y∗)−Gg1(x + y∗)‖1 � � ω(2−n)(log M) d−1 2 � ω(2−n)n d−1 2 . Оцiнки знизу величини dB M (BΩ ∞,θ, L1) при 1 ≤ θ ≤ ∞ встановлено, а отже, теоре- му 2 доведено. Теорема 2′. Нехай p ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω(t) = ω(t1 . . . td), де ω(τ) задовольняє умову (S) з деяким α > 0 та умову (Sl). Тодi EQn (BΩ p,θ)1 � ω(2−n)n(d−1)( 1 2− 1 θ )+ , (21) де a+ = max{a, 0}. Оцiнка зверху в (21) випливає на основi нерiвностi EQn (BΩ p,θ)1 ≤ EQn (BΩ p,θ)q з оцiнки наближення класiв BΩ p,θ схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є SQn (f, x) у метрицi Lq при 1 < q ≤ p < ∞, p ≥ 2 [12], а оцiнка знизу — з теореми 1 при умовi M � 2nnd−1 внаслiдок нерiвностi d⊥M (BΩ p,θ, L1) � EQn (BΩ p,θ)1. Наслiдок 1. При θ = ∞ iз теореми 2 у випадку 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, p ≥ 2, (q, p) 6= (∞,∞) отримуємо оцiнку d⊥M (HΩ p , Lq) � dB M (HΩ p , Lq) � ω(2−n)n d−1 2 , де M � 2nnd−1. Зауваження 1. Точнi за порядком оцiнки величин d⊥M (F,Lq) i dB M (F,Lq), якщо p i q задовольняють умови теореми 1, для класiв F = Hr p встановив В. М. Тем- ляков [7], а у випадку, коли роль F вiдiграють класи Br p,θ, — А. С. Романюк [9]. Теорема 3. Нехай 1 ≤ q ≤ p ≤ 2, (q, p) 6= (1, 1) i Ω(t) = ω(t1 . . . td), де ω(τ) задовольняє умову (S) з деяким α > 0 та умову (Sl). Тодi при 1 ≤ θ ≤ ∞ має мiсце порядкова рiвнiсть d⊥M (BΩ p,θ, Lq) � dB M (BΩ p,θ, Lq) � ω(2−n)n(d−1)( 1 p− 1 θ )+ , (22) де M � 2nnd−1, a+ = max{a, 0}. Доведення. Оцiнка зверху у спiввiдношеннi (22) випливає iз результату на- ближення функцiй класу BΩ p,θ схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є SQn(f, x) у метрицi Lp [2] на основi нерiвностi EQn (BΩ p,θ)q ≤ EQn (BΩ p,θ)p, q ≤ p . Переходячи до встановлення вiдповiдної оцiнки знизу в (22) для dB M (BΩ p,θ, Lq), зазначимо, що її достатньо встановити для випадку q = 1, 1 < p ≤ 2. Нехай спочатку 1 ≤ θ < p. У цьому випадку оцiнка знизу величини dB M (BΩ p,θ, L1) встановлюється за допомогою тих самих мiркувань, що i при доведеннi оцiнки зни- зу в теоремi 2 у випадку 1 ≤ θ < 2. Розглянемо тепер випадок p ≤ θ ≤ ∞. Введемо деякi позначення та сформу- люємо твердження, яке будемо використовувати у подальших мiркуваннях. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 702 С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК Як i в теоремi 2, через Sn i Q̃n позначимо множини Sn = { s : (s, 1) = n, sj ∈ N, j = 1, d } , Q̃n = ⋃ s∈Sn ρ(s), а також покладемо S̃n = { s ∈ Sn : sj ≥ n 2d , j = 1, d } . Оскiльки \|Sn\| � nd−1, то легко переконатись, що i \|S̃n\| � nd−1. Нехай Kn означає ядро Фейєра порядку n, тобто Kn(t) = 1 + 2 n∑ k=1 ( 1− k n + 1 ) cos kt. Через ks позначимо вектор ks = (ks1 1 , . . . , ksd d ), де k sj j = { 2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2, 1, sj = 1, j = 1, d. Далi, розiб’ємо куб πd на nd−1 кубiв з довжиною ребра 2π \|S̃n\| 1 d i встановимо взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж множиною S̃n i утвореною множиною кубiв. При цьому через xs ∈ πd позначимо центр куба, що вiдповiдає вектору s ∈ S̃n, i покладемо u = 2[(1− 1 d ) log2 n]. При таких позначеннях має мiсце наступне твердження. Лема 4 [7]. Нехай G ∈ LM (B)1. Тодi iснують число n i множина S2 n ⊂ S̃n такi, що \|Q̃n\| < C19(B, d)M, \|S2 n\| ≥ \|S̃n\| 2 i в кожному ρ(s), s ∈ S2 n, знайдуться куби з центрами в ks i довжинами ребер 2u такi, що для функцiї g2(x) = ∑ s∈S2 n ei(ks,x) d∏ j=1 Ku(xj − xs j) i деякого вектора y∗ має мiсце оцiнка ‖g2(x + y∗)−Gg2(x + y∗)‖1 � logd−1 M. Перейдемо безпосередньо до встановлення оцiнки знизу величини dB M (BΩ p,θ, L1). Розглянемо для цього функцiї f4(x) = ω(2−n)n− d−1 θ g2(x), 2 ≤ θ < ∞, f5(x) = ω(2−n)g2(x), θ = ∞, i оцiнимо ‖f4‖BΩ p,θ , 2 ≤ θ < ∞, та ‖f5‖BΩ p,∞ , використавши (4) i (4′) вiдповiдно. Враховуючи, що внаслiдок вибору параметра u ‖As(g2, x)‖p � ∥∥∥∥∥∥ d∏ j=1 Ku(xj) ∥∥∥∥∥∥ p � ud(1− 1 p ) � n(d−1)(1− 1 p ) ∀s ∈ S2 n, маємо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 АПРОКСИМАТИВНI ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАСIВ BΩ p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ... 703 ‖f4‖BΩ p,θ � ω(2−n)n− d−1 θ ∑ s∈S2 n ω−θ(2−(s,1))‖As(g2, x)‖θ p 1 θ � � ω(2−n)n− d−1 θ ∑ s∈S2 n ω−θ(2−(s,1))n(d−1)(1− 1 p )θ 1 θ = = ω(2−n)n− d−1 θ ω−1(2−n)n(d−1)(1− 1 p ) ∑ s∈S2 n 1 1 θ � � n− d−1 θ n(d−1)(1− 1 p )n d−1 θ = n(d−1)(1− 1 p ), (23) ‖f5‖BΩ p,∞ � sup s ‖As(f5, x)‖p ω(2−(s,1)) = ω(2−n) sup s∈S2 n ‖As(g2, x)‖p ω(2−(s,1)) � � ω(2−n)n(d−1)(1− 1 p )ω−1(2−n) = n(d−1)(1− 1 p ). (24) Таким чином, з (23) i (24) робимо висновок, що g3(x) = C20n −(d−1)(1− 1 p )f4(x) = C20ω(2−n)n−(d−1)(1− 1 p + 1 θ )g2(x) належить класу BΩ p,θ, 2 ≤ θ < ∞, з вiдповiдною сталою C20 > 0, a g4(x) = C21n −(d−1)(1− 1 p )f5(x) = C21ω(2−n)n−(d−1)(1− 1 p )g2(x) — класу BΩ p,∞ з вiдповiдною сталою C21 > 0. Далi, згiдно з лемою 4 iснує вектор y∗ такий, що ‖g3(x + y∗)−Gg3(x + y∗)‖1 � � ω(2−n)n−(d−1)(1− 1 p + 1 θ ) ‖g2(x + y∗)−Gg2(x + y∗)‖1 � � ω(2−n)n−(d−1)(1− 1 p + 1 θ ) logd−1 M � � ω(2−n)n−(d−1)(1− 1 p + 1 θ )nd−1 = ω(2−n)n(d−1)( 1 p− 1 θ ). Як i вище, внаслiдок леми 4 ‖g4(x + y∗)−Gg4(x + y∗)‖1 � ω(2−n)n d−1 p . Теорему 3 доведено. Теорема 3′. Нехай 1 < p ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω(t) = ω(t1 . . . td), де ω(τ) задо- вольняє умову (S) з деяким α > 0 та умову (Sl). Тодi EQn (BΩ p,θ)1 � ω(2−n)n(d−1)( 1 p− 1 θ )+ , де a+ = max{a, 0}. Оцiнка зверху випливає з [2], а знизу — з теореми 3 при умовi, що M � 2nnd−1. Наслiдок 2. При θ = ∞ iз теореми 3 у випадку 1 ≤ q ≤ p ≤ 2, (q, p) 6= (1, 1) отримуємо оцiнку d⊥M (HΩ p , Lq) � dB M (HΩ p , Lq) � ω(2−n)n d−1 p , де M � 2nnd−1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 704 С. А. СТАСЮК, О. В. ФЕДУНИК Зауваження 2. У випадку 1 ≤ q ≤ p ≤ 2, (q, p) 6= (1, 1) точнi за порядком оцiнки величин d⊥M (Hr p , Lq) i dB M (Hr p , Lq) встановив В. М. Темляков [7], а величин d⊥M (Br p,θ, Lq) i dB M (Br p,θ, Lq) — А. С. Романюк [9]. Зауваження 3. Теореми 2′ i 3′ доповнюють результати робiт [2, 12, 13] по наближенню класiв BΩ p,θ схiдчасто-гiперболiчними сумами Фур’є. 1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – C. 483 – 522. 2. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 356 – 377. 3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 c. 4. Пустовойтов Н.Н. Многомерная теорема Джексона в пространстве Lp // Мат. заметки. – 1992. – 52, № 1. – C. 35 – 48. 5. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих перемен- ных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. math. – 1994. – 20. – P. 35 – 48. 6. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1982. – 267, № 2. – C. 314 – 317. 7. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – C. 138 – 168. 8. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Там же. – 1986. – 178. – C. 1 – 112. 9. Романюк А. С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Br p,θ периодических функций многих переменных в пространстве Lq . I // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 9. – C. 1224 – 1231. 10. Романюк А. С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова Br p,θ периодических функций многих переменных в пространстве Lq . II // Там же. – № 10. – C. 1402 – 1408. 11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т 1. – 615 c; Т 2. – 537 c. 12. Стасюк С. А. Найкращi наближення, колмогоровськi та тригонометричнi поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – C. 1557 – 1568. 13. Стасюк С. А. Наближення класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй метрицi // Там же. – 2002. – 54, № 11. – C. 1551 – 1559. Одержано 13.09.2005 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5

Апроксимативні характеристики класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних

Репозитарії

Схожі ресурси