Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой
Для процесу Пуассона з показниково розподіленою від'ємною компонентою отримано інтегральні перетворення сумісного розподілу: моменту першого виходу з інтервалу та величини перестрибу межі в момент виходу, моменту першого входження в інтервал і значення процесу в момент входження. На показниково...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165150 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой / В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 922–953. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165150 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1651502020-02-13T01:26:52Z Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. Статті Для процесу Пуассона з показниково розподіленою від'ємною компонентою отримано інтегральні перетворення сумісного розподілу: моменту першого виходу з інтервалу та величини перестрибу межі в момент виходу, моменту першого входження в інтервал і значення процесу в момент входження. На показниково розподіленому часовому проміжку одержано розподіли сумарного часу перебування процесу в інтервалі, сумісного розподілу супремуму, інфімуму і значення процесу, сумісного розподілу числа перетинів інтервалу зверху і знизу, а також генерат-риси сумісного розподілу числа входжень в інтервал і числа перестрибів через інтервал. For a Poisson process with exponentially distributed negative component, we obtain integral transforms of the joint distribution of the time of the first exit from an interval and the value of the jump over the boundary at exit time and the joint distribution of the time of the first hit of the interval and the value of the process at this time. On the exponentially distributed time interval, we obtain distributions of the total sojourn time of the process in the interval, the joint distribution of the supremum, infimum, and value of the process, the joint distribution of the number of upward and downward crossings of the interval, and generators of the joint distribution of the number of hits of the interval and the number of jumps over the interval. 2006 Article Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой / В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 922–953. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165150 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой Український математичний журнал |
| description |
Для процесу Пуассона з показниково розподіленою від'ємною компонентою отримано інтегральні перетворення сумісного розподілу: моменту першого виходу з інтервалу та величини перестрибу межі в момент виходу, моменту першого входження в інтервал і значення процесу в момент входження. На показниково розподіленому часовому проміжку одержано розподіли сумарного часу перебування процесу в інтервалі, сумісного розподілу супремуму, інфімуму і значення процесу, сумісного розподілу числа перетинів інтервалу зверху і знизу, а також генерат-риси сумісного розподілу числа входжень в інтервал і числа перестрибів через інтервал. |
| format |
Article |
| author |
Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. |
| author_facet |
Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. |
| author_sort |
Каданков, В.Ф. |
| title |
Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой |
| title_short |
Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой |
| title_full |
Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой |
| title_fullStr |
Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой |
| title_full_unstemmed |
Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой |
| title_sort |
двухграничные задачи для процесса пуассона с показательно распределенной компонентой |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165150 |
| citation_txt |
Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно распределенной компонентой / В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 922–953. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kadankovvf dvuhgraničnyezadačidlâprocessapuassonaspokazatelʹnoraspredelennojkomponentoj AT kadankovatv dvuhgraničnyezadačidlâprocessapuassonaspokazatelʹnoraspredelennojkomponentoj |
| first_indexed |
2025-07-14T17:59:00Z |
| last_indexed |
2025-07-14T17:59:00Z |
| _version_ |
1837646156504498176 |
| fulltext |
UDK 519.21
V. F. Kadankov (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev),
T. V. Kadankova (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA
S POKAZATEL|NO RASPREDELENNOJ KOMPONENTOJ
For a Poisson process with exponentially distributed negative component, we obtain integral transforms
of joint distributions of the moment of the first exit from an interval and the value of the overjump across
the boundary at the exit moment and integral transforms of the joint distribution of the moment of the
first hit of the interval and the value of the process at this moment. On the exponentially distributed time
interval, we obtain distributions of the total sojourn time of process in the interval, the joint distribution
of the supremum, infimum, and the value of the process, and the joint distribution of the number of
upward and downward crossings of the interval. We also obtain generatrices of the joint distribution of
the number of hits of the interval and the number of overjumps across the interval.
Dlq procesu Puassona z pokaznykovo rozpodilenog vid’[mnog komponentog otrymano inteh-
ral\ni peretvorennq sumisnoho rozpodilu: momentu perßoho vyxodu z intervalu ta velyçyny pe-
restrybu meΩi v moment vyxodu, momentu perßoho vxodΩennq v interval i znaçennq procesu v
moment vxodΩennq. Na pokaznykovo rozpodilenomu çasovomu promiΩku oderΩano rozpodily su-
marnoho çasu perebuvannq procesu v intervali, sumisnoho rozpodilu supremumu, infimumu i zna-
çennq procesu, sumisnoho rozpodilu çysla peretyniv intervalu zverxu i znyzu, a takoΩ henerat-
rysy sumisnoho rozpodilu çysla vxodΩen\ v interval i çysla perestrybiv çerez interval.
Vvedenye. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — odnorodn¥j process s nezavysy-
m¥my pryrawenyqmy ·1‚ y kumulqntoj
k ( p ) =
1 1
2
1
1
2 2
2t
e p p e
px
x
dxp t pxln E − ( ) −
− ∞
∞
= − + − +
+
( )∫ξ σ α Π , (1)
Re p = 0.
Zafyksyruem B > 0 y vvedem sluçajnug velyçynu
χ ( y ) = inf { t : y + ξ ( t ) ∉ [ 0, B ] }, y ∈ [ 0, B ],
— moment pervoho v¥xoda processa y + ξ ( t ) yz yntervala [ 0, B ]. Krome toho,
vvedem sob¥tyq: AB = { ξ ( χ ( y ) ) > B } — v¥xod processa yz yntervala proyzo-
ßel çerez verxngg hranycu B; A0 = { ξ ( χ ( y ) ) < 0 } — v¥xod processa yz yn-
tervala proyzoßel çerez nyΩngg hranycu 0. Opredelym sluçajnug velyçynu
X ( y ) = ( ξ ( χ ( y ) ) – B ) IAB + ( – ξ ( χ ( y ) ) ) IA0
, P [ AB + A0 ] = 1,
— velyçynu pereskoka processa çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda yz yn-
tervala, hde IA = IA( ω ) — yndykator sob¥tyq A.
Pervaq dvuxhranyçnaq zadaça dlq processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy
y kumulqntoj obweho vyda (1) b¥la reßena Y. Y. Hyxmanom y A. V. Skoroxodom
·2, s. 450‚. Ony opredelyly sovmestnoe raspredelenye { ξ–
( t ), ξ ( t ), ξ+
( t ) }, hde
ξ+
( t ) = sup
u t
u
≤
( )ξ , ξ–
( t ) = inf
u t
u
≤
( )ξ . Dlq poluneprer¥vnoho processa s nezavysy-
m¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj
k ( p ) =
1
2
1
1
2 2
2
0
p p e
px
x
dxpxσ α− + − +
+
( )−
∞
∫ Π , Re p ≥ 0, (1′ )
sovmestnoe raspredelenye { χ ( y ), X ( y ) } razlyçn¥my metodamy yzuçaly
D. J. Emery ·3‚, E. A. Peçerskyj ·4‚, V. M. Íurenkov y V. N. Suprun ·5 – 7‚. V
© V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA, 2006
922 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 923
çastnosty, dlq opredelenyq raspredelenyj χ ( y ), { χ ( y ), X ( y ) } V. M. Íuren-
kov predloΩyl yspol\zovat\ formul¥ E. B. D¥nkyna ·8‚ (sm. ·5 – 7‚), spraved-
lyv¥e dlq lgboho odnorodnoho markovskoho processa. Prymenqq πtu ydeg,
V.RM. Íurenkov y V. N. Suprun poluçyly rezol\ventn¥e predstavlenyq dlq
preobrazovanyj Laplasa raspredelenyq χ ( y ):
E ;[ ] = ( )
( )
− ( )e A
R x
R B
s y s
s
χ
0 ,
E ;[ ] = − ( )
( )
− ( )
( )
( ) + ( )− ( ) ∫ ∫e A
R x
R B
s
R x
R B
R u du s R u dus y B s
s
s
s
s
B
s
x
χ 1
0 0
.
V πtyx formulax Rs ( x ), x ≥ 0, — rezol\venta, opredelennaq svoym preobrazo-
vanyem Laplasa
e R x dx
k p s
px
s
−
∞
( ) =
( ) −∫
0
1
, Re p > c ( s ),
hde c ( s ) > 0, s > 0, — edynstvenn¥j koren\ v pravoj poluploskosty Re p > 0
uravnenyq k ( p ) – s = 0. Dlq processa Puassona s poloΩytel\n¥my skaçkamy y
otrycatel\n¥m teçenyem rezol\ventn¥e predstavlenyq dlq preobrazovanyj
Laplasa raspredelenyq χ ( y ) b¥ly pryveden¥ V. S. Korolgkom ·9‚.
V. M. Íurenkov ·7‚ poluçym dlq poluneprer¥vnoho processa s nezavysym¥-
my pryrawenyqmy preobrazovanye Laplasa sovmestnoho raspredelenyq { χ ( y ),
ξ ( χ ( y ) ) } v termynax sovmestnoho raspredelenyq { ξ–
( t ), ξ ( t ), ξ+
( t ) } y mer¥
Π ( A ), a takΩe pryvel predel\nug teoremu dlq raspredelenyq velyçyn¥ pere-
skoka processa çerez hranycu yntervala. Yspol\zuq ydeg V. M. Íurenkova (o
prymenenyy formul E. B. D¥nkyna), avtor¥ ·10, s. 187‚ pryvodqt predstavlenye
preobrazovanyj Laplasa raspredelenyq { χ ( y ), ξ ( χ ( y ) ) } dlq odnorodnoho
processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1). V πtom predstavle-
nyy sovmestnoe raspredelenye { χ ( y ), ξ ( χ ( y ) ) } v¥raΩaetsq çerez druhoj
dvuxhranyçn¥j funkcyonal — sovmestnoe raspredelenye { ξ–
( t ), ξ ( t ), ξ+
( t ) } y
meru Π ( A ).
V rabotax ·11, 12‚ dlq opredelenyq sovmestnoho raspredelenyq { χ ( y ),
X ( y ) } processa s kumulqntoj obweho vyda (1) avtor¥ predloΩyly pryncy-
pyal\no druhug ydeg. Yx metod qvlqetsq prost¥m y estestvenn¥m y osnovan
na yspol\zovanyy sovmestn¥x raspredelenyj odnohranyçn¥x funkcyonalov
{ τ
x, Tx
}, { τx , Tx }, x ≥ 0, hde
τ
x = inf { t : ξ ( t ) > x }, Tx = ξ ( τ
x
) – x,
τx = inf { t : ξ ( t ) < – x }, Tx = – ξ ( τx ) – x
— moment y velyçyna pervoho pereskoka verxneho urovnq x processom, a takΩe
moment y velyçyna pervoho pereskoka processom nyΩneho urovnq – x. Ynteh-
ral\n¥e preobrazovanyq sovmestn¥x raspredelenyj πtyx odnohranyçn¥x funk-
cyonalov processa xoroßo yzuçen¥ y b¥ly poluçen¥ v 60-x hodax proßloho
stoletyq v rabotax B. A. Rohozyna, E. A. Peçerskoho, A. A. Borovkova, V. M. Zo-
lotareva ·13 – 16‚ y druhyx. Yspol\zovav prqmoj veroqtnostn¥j metod (formu-
lu polnoj veroqtnosty, odnorodnost\ processa po prostranstvu, svojstvo stro-
hoj markovosty processa), dlq opredelenyq preobrazovanyj Laplasa E[ − ( )e s yχ ;
X y du AB( ) ∈ ], , E ; ,[ ]− ( ) ( ) ∈e X y du As yχ
0 , sovmestn¥x raspredelenyj { χ ( y ),
X ( y ) } avtor¥ ·11, 12‚ sostavyly y reßyly systemu uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
924 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
E ; E ; ,[ ] [ ]− − ( )∈ = ( ) ∈e T du e X y du As x s y Bxτ χ
+
+
E ; , E ;[ ] [ ]− ( )
∞
− +( ) ∈ ∈∫
+
e X y d A e T dus y s BBχ τv
v v
0
0
,
E ; E ; ,[ ] [ ]− − ( )∈ = ( ) ∈e T du e X y du A
s
y
s yyτ χ
0 +
+
E ; , E ;[ ] [ ]− ( )
∞
−
+( ) ∈ ∈∫ +e X y d A e T dus y B s
B
Bχ τ
v v
v
0
.
V poluçenn¥x posle reßenyq πtoj system¥ formulax preobrazovanyq Laplasa
sovmestnoho raspredelenyq { χ ( y ), X ( y ) } v¥raΩagtsq çerez sovmestn¥e ras-
predelenyq { τ
x, Tx
}, { τx , Tx }, x ≥ 0, odnohranyçn¥x funkcyonalov, çto poz-
volqet πffektyvno reßat\ druhye dvuxhranyçn¥e zadaçy dlq processov s neza-
vysym¥my pryrawenyqmy. V çastnosty, dlq poluneprer¥vnoho processa s neza-
vysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1′ ) rqd takyx zadaç reßen v ·17 –R19‚.
V nastoqwej rabote pryvedeno reßenye rqda dvuxhranyçn¥x zadaç dlq pro-
cessa Puassona s pokazatel\no raspredelenn¥my otrycatel\n¥my skaçkamy.
Otmetym, çto v rabote ·20‚ dlq takoho klassa processov (sluçajnoho bluΩda-
nyq s heometryçesky raspredelenn¥my otrycatel\n¥my skaçkamy) opredelen¥
proyzvodqwye funkcyy raspredelenyq χ ( y ) y { ξ–
( t ), ξ ( t ), ξ+
( t ) }, a takΩe
poluçen¥ perexodn¥e y stacyonarn¥e xarakterystyky bluΩdanyq v yntervale s
dvumq otraΩagwymy hranycamy.
1. Opredelenyq y vspomohatel\n¥e rezul\tat¥. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0,
— odnorodn¥j process s nezavysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1). Bu-
dem predpolahat\, çto v¥boroçn¥e traektoryy processa neprer¥vn¥ sprava y
ξ ( 0 ) = 0. Otmetym, çto process ξ ( t ), t ≥ 0, qvlqetsq stroho markovskym y od-
norodn¥m po prostranstvu ·2‚. ∏ty svojstva processa budut neodnokratno ys-
pol\zovat\sq v dal\nejßem pry sostavlenyy uravnenyj. Pry reßenyy hranyç-
n¥x zadaç dlq processov klgçevug rol\ yhraet faktoryzacyonnoe toΩdestvo
Spycera – Rohozyna
E E Ee
s
s k p
e ep p ps s s− ( ) − ( ) − ( )=
− ( )
=
+ −ξ ν ξ ν ξ ν
, Re p = 0,
hde νs — pokazatel\no raspredelennaq s parametrom s > 0 ne zavysymaq ot
processa sluçajnaq velyçyna: P [ νs > t ] = exp { – s t }, t ≥ 0. Dlq yntehral\n¥x
preobrazovanyj bezhranyçno delym¥x sluçajn¥x velyçyn ξ±
( νs ) spravedlyv¥
sledugwye formul¥:
E exp exp E ;{ } [ ]− ( ) = − ± ( ) >
± − − ( )
∞
∫p
t
e e t dts
st p tξ ν ξξ1
1 0
0
, ± Re p ≥ 0.
V sledugwej lemme pryveden¥ analytyçeskye v¥raΩenyq dlq yntehral\n¥x
preobrazovanyj odnohranyçn¥x funkcyonalov, kotor¥e budut prymenqt\sq pry
reßenyy dvuxhranyçn¥x zadaç dlq processov.
Lemma 1. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥my
pryrawenyqmy y kumulqntoj (1). Tohda pry s > 0, x ≥ 0:
1) dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj sovmestn¥x raspredelenyj { τ
x, T x
},
{ τx , Tx } pry Re p ≥ 0 v¥polnqgtsq ravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 925
E exp E E ;[ ] [ ]− − ( ) − − ( ( )− ) +{− } = ( ) ( ) >
+ +
e pT e e xs x p p x
s
x
s sτ ξ ν ξ ν ξ ν1
,
(2)
E exp E E ;[ ] [ ]− ( ) − ( ( )+ ) −{− } = ( ) − ( ) >
− −
e pT e e xs
x
p p x
s
x s sτ ξ ν ξ ν ξ ν1
;
2) dlq sovmestn¥x raspredelenyj { ξ ( νs ), ξ±
( νs ) } spravedlyv¥ formul¥
E ; E E ;[ ] [ ]− ( ) + − ( ) − ( ) +( ) ≤ = ( ) ≤
− +
e x e e xp
s
p p
s
s s sξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν , Re p ≤ 0,
(3)
E ; E E ;[ ] [ ]− ( ) − − ( ) − ( ) −( ) ≥ − = ( ) ≥ −
+ −
e x e e xp
s
p p
s
s s sξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν , Re p ≥ 0.
Dokazatel\stvo. Ravenstva (2), (3) poluçen¥ v rabote E. A. Peçerskoho y
B. A. Rohozyna ·14‚. Pryvedem dokazatel\stvo πtyx formul s yspol\zovanyem
faktoryzacyonnoho toΩdestva Spycera – Rohozyna y prost¥x veroqtnostn¥x
rassuΩdenyj. Ustanovym formul¥ (2). Sohlasno formule polnoj veroqtnos-
ty, svojstvu strohoj markovosty processa y eho odnorodnosty po prostranstvu,
dlq vsex x ≥ 0 spravedlyvo ravenstvo
E ; E E[ ] [ ]− ( ) + − − ( ) − ( )+ +
( ) > =e x e ep
s
s p ps
x x
sξ ν τ ξ τ ξ νξ ν , Re p ≥ 0. (4)
Pryvedem takΩe sledugwee kratkoe poqsnenye. Oçevydno, çto sob¥tye
{ ξ+
( t ) > x } πkvyvalentno sob¥tyg { τ
x ≤ t }. Tohda
E ; E ; E ;[ ] [ ] [ ]− ( ) + − ( ) − ( ) − ( − )+ + +
( ) > = ≤ = ≤e t x e t e e tp t p t x p p t xx xξ ξ ξ τ ξ τξ τ τ .
Poskol\ku τ
x
— markovskyj moment, sluçajnaq velyçyna ξ+
( t – τ
x
) ne zavysyt
ot syhma-alhebr¥ �τx , poroΩdennoj sob¥tyqmy { ξ ( v ) < u } ∩ { τ
x > v }, v ≥ 0,
u ∈ R. Poπtomu, sohlasno formule polnoj veroqtnosty,
E ; E ; E[ ] [ ]− ( ) − ( − ) − ( ) − ( − )+ +
≤ = ∈∫e e t e du ep p t x p u x
t
p t ux xξ τ ξ τ ξ ξτ τ
0
, Re p ≥ 0.
Podstavlqq pravug çast\ πtoho ravenstva v pred¥duwug formulu, ymeem
E ; E ; E[ ] [ ]− ( ) + − ( ) − ( − )( ) > = ∈∫
+
e t x e du ep t p u x
t
p t uξ ξ ξξ τ
0
, Re p ≥ 0.
UmnoΩaq poslednee ravenstvo na s e–
s
t
— plotnost\ sluçajnoj velyçyn¥ νs —
y v¥polnqq v obeyx çastqx yntehryrovanye po vsem t ≥ 0, poluçaem formulu
(4). Razdelyv obe çasty formul¥ (4) na exp E exp{− } − ( ){ }+px p sξ ν , budem
ymet\ yntehral\noe preobrazovanye sovmestnoho raspredelenyq { τ
x, T x
} y
pervoe yz ravenstv (2). Prymenyv πto ravenstvo k processu – ξ ( t ), t ≥ 0, polu-
çym vtorug yz formul (2).
Ustanovym spravedlyvost\ ravenstv (3). Yspol\zuq formulu polnoj ve-
roqtnosty, odnorodnost\ processa po prostranstvu y tot fakt, çto τ
x
— mar-
kovskyj moment, v¥vodym ravenstvo
E E ; E Ee e x e ep p
s
s p ps s
x x
s− ( ) − ( ) + − − ( ) − ( )= ( ) ≤ +[ ] [ ]ξ ν ξ ν τ ξ τ ξ νξ ν , Re p = 0.
(5)
Ravenstvo (5) otobraΩaet to obstoqtel\stvo, çto pryrawenye processa na yn-
tervale [ 0, νs ] proysxodyt na traektoryqx, kotor¥e lybo ne peresekagt verx-
nyj uroven\ x (pervoe slahaemoe v pravoj çasty ravenstva), lybo peresekagt
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
926 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
eho s posledugwymy pryrawenyqmy processa na yntervale [ 0, νs ] (vtoroe
slahaemoe v pravoj çasty ravenstva). V dopolnenye k πtym poqsnenyqm
pryvedem takΩe sledugwye rassuΩdenyq. Oçevydno, çto sob¥tye { τ
x > t } πk-
vyvalentno sob¥tyg { ξ+
( t ) ≤ x }. Tohda, sohlasno formule polnoj veroqtnos-
ty, spravedlyv¥ ravenstva
E E ; E ;e e t e tp t p t x p t x− ( ) − ( ) − ( )= > + ≤[ ] [ ]ξ ξ ξτ τ =
= E ; E ;[ ] [ ]− ( ) + − ( ) − ( ( )− ( ))( ) ≤ + ≤e t x e e tp t p p t xx xξ ξ τ ξ ξ τξ τ , Re p = 0.
Poskol\ku τ
x
— markovskyj moment, pryrawenye processa ξ ( t ) – ξ ( τ
x
) =̇ ξ ( t –
– τ
x
) (symvol =̇ oznaçaet, çto sootvetstvugwye sluçajn¥e velyçyn¥ odynako-
vo raspredelen¥) ne zavysyt ot syhma-alhebr¥ � τx , poroΩdennoj sob¥tyqmy
{ ξ ( v ) < u } ∩ { τ
x > v }, v ≥ 0, u ∈ R. Poπtomu
E ; E ; E[ ] [ ]− ( ) − ( ( )− ( )) − ( ) − ( − )≤ = ∈∫e e t e du ep p t x p u x
t
p t ux xξ τ ξ ξ τ ξ ξτ τ
0
.
Podstavlqq πto v¥raΩenye v pred¥duwee ravenstvo, ymeem
E E ; E ; Ee e t x e du ep t p t p u x
t
p t u− ( ) − ( ) + − ( ) − ( − )= ( ) ≤ + ∈[ ] [ ]∫ξ ξ ξ ξξ τ
0
.
UmnoΩaq poslednee ravenstvo na s e–
s
t
— plotnost\ sluçajnoj velyçyn¥ νs —
y v¥polnqq yntehryrovanye po vsem t ≥ 0, poluçaem ravenstvo (5). Podstavlqq
v ravenstvo (5) v¥raΩenye dlq E exp[ { }]− − ( )e ps xxτ ξ τ yz formul¥ (4) y ys-
pol\zuq pry πtom faktoryzacyonnoe toΩdestvo Spycera – Rohozyna, naxodym
E ; E E ;[ ] [ ]− ( ) + − ( ) − ( ) +( ) ≤ = ( ) ≤
− +
e x e e xp
s
p p
s
s s sξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν , Re p = 0.
Poskol\ku v pravoj y levoj çastqx πtoho ravenstva soderΩatsq funkcyy, ana-
lytyçeskye pry Re p ≤ 0, ono v¥polnqetsq dlq vsex Re p ≤ 0. Takym obrazom,
m¥ poluçyly pervoe yz ravenstv (3). Prymenqq πtu formulu k sluçajnomu pro-
cessu – ξ ( t ), t ≥ 0, poluçaem vtorug yz formul (3).
Takym obrazom, dlq dokazatel\stva ravenstv (2), (3) b¥lo yspol\zovano fak-
toryzacyonnoe toΩdestvo Spycera – Rohozyna y dva oçevydn¥x veroqtnostn¥x
ravenstva (4), (5). Po mnenyg avtorov, πto naybolee πlementarn¥j sposob doka-
zatel\stva ravenstv lemm¥ dlq ukazann¥x yntehral\n¥x preobrazovanyj.
V nastoqwej rabote m¥ reßym rqd dvuxhranyçn¥x zadaç dlq çastnoho slu-
çaq odnorodnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy — processa Puassona
s pokazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj. Bol\ßynstvo
rassmotrenn¥x v stat\e dvuxhranyçn¥x funkcyonalov πtoho processa budut po-
luçen¥ kak sledstvyq sootvetstvugwyx rezul\tatov dlq odnorodn¥x proces-
sov s nezavysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1). Perejdem k opredelenyg
processa Puassona s pokazatel\noj komponentoj.
Pust\ η ∈ ( 0, ∞ ) — poloΩytel\naq sluçajnaq velyçyna, γ — pokazatel\no
raspredelennaq sluçajnaq velyçyna s parametrom λ > 0 : P [ γ > x ] = e–
λ
x
, x ≥ 0.
Vvedem sluçajnug velyçynu ξ ∈ R s funkcyej raspredelenyq
F ( x ) = a ex
λ
I{ x ≤ 0 } + ( a + ( 1 – a ) P [ η < x ] ) I{ x > 0 } , a ∈ ( 0, 1 ), λ > 0.
Opredelym neprer¥vn¥j sprava stupençat¥j process Puassona ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0,
s kumulqntoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 927
k ( p ) = c e dF x a
p
p
a exp p( − ) ( ) =
−
+ ( − )−
− ∞
∞
−∫ 1 11 2λ
ηE , c > 0, Re p = 0,
(6)
hde a1 = a c, a2 = ( 1 – a ) c. U processa ξ ( t ), t ≥ 0, çerez pokazatel\no raspre-
delenn¥e s parametrom c ynterval¥ vremeny s veroqtnost\g 1 – a proysxodqt
poloΩytel\n¥e skaçky velyçyn¥ η y s veroqtnost\g a — otrycatel\n¥e
skaçky, velyçyna kotor¥x γ pokazatel\no raspredelena s parametrom λ. ∏tot
process budem naz¥vat\ processom Puassona s pokazatel\no raspredelennoj
otrycatel\noj komponentoj.
Pervoe slahaemoe v pravoj çasty (6) — prostejßyj prymer drobno-racyo-
nal\noj funkcyy, vtoroe slahaemoe — kumulqnta monotonnoho processa Puas-
sona s poloΩytel\n¥my skaçkamy velyçyn¥ η. Yz monohrafyy A. A. Borov-
kova ·15‚ yzvestno (sm. takΩe ·10‚), çto v πtom sluçae uravnenye k ( p ) – s = 0,
s > 0, ymeet v pravoj poluploskosty Re p > 0 edynstvenn¥j koren\ c ( s ) ∈
∈ ( 0, λ ), y dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj sluçajn¥x velyçyn ξ+
( νs ),
ξ–
( νs ) spravedlyv¥ ravenstva
Ee
c s p
c s p
p s− ( )−
= ( ) −
( ) −
ξ ν
λ
λ
, Re p ≤ 0,
(7)
E ,e
c
c s
p c s R p sp s− ( )+
=
( )
− ( ) ( )( )ξ ν λ
, Re p ≥ 0,
hde
R ( p, s ) = ( [ ])+ ( − ) − ( − )− −a p p s a Ee p
1 2
11λ η , Re p ≥ 0, p ≠ c ( s ). (8)
Yz ravenstv (2) y formul (7) netrudno poluçyt\ yntehral\n¥e preobrazovanyq
sovmestn¥x raspredelenyj { τx , Tx }, { τ
x, Tx
} dlq processa Puassona s poka-
zatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj
E ; E P[ ] ( )− − ( )− −∈ = − ( ) = [ ∈ ]e T du c s e du e dus
x
xc s u sx xτ λ τλ γ ,
(9)
e e dx
p
p z c s
z c s
R p z s
R z s
px s zx x− − − ( )
∞
∫ = − + − ( )
− ( )
( + )
( )
E
,
,
τ ξ τ
0
1
1 , Re p > 0, Re z ≥ 0.
Yz pervoj yz formul (9) sleduet, çto sluçajn¥e velyçyn¥ τx , T x qvlqgtsq
nezavysym¥my y dlq vsex x ≥ 0 velyçyna pereskoka çerez nyΩngg hranycu Tx
pokazatel\no raspredelena s parametrom λ. ∏to svojstvo qvlqetsq xarakter-
noj osobennost\g processa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj otryca-
tel\noj komponentoj. Funkcyq R ( p, s ) analytyçeskaq pry Re p > c ( s ) y
lim p → ∞ R ( p, s ) = 0. Sledovatel\no ·21‚, ona predstavyma absolgtno sxodqwym-
sq yntehralom Laplasa
R ( p, s ) = e R x dxpx
s
−
∞
( )∫
0
, Re p > c ( s ). (10)
Funkcyg Rs ( x ), x ≥ 0, budem naz¥vat\ rezol\ventoj processa Puassona s
pokazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj. Pry πtom budem po-
lahat\, çto Rs ( x ) = 0 pry x < 0. Otmetym, çto Rs ( 0 ) = lim p → ∞ p R ( p, s ) = ( c +
+ s )
–
1
y sohlasno (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
928 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
P[ ]−( ) = = ( )ξ ν
λs
c s
0 , P[ ]+( ) = =
( ) +
ξ ν λ
s c s
s
s c
0 .
Yz vtoroj yz formul (7) sleduet ravenstvo
R ( p, s ) =
c s
s p c s
e p s( )
− ( )
− ( )+
λ
ξ ν1
E , Re p > c ( s ). (11)
V pravoj çasty πtoho ravenstva soderΩatsq funkcyy, kotor¥e pry Re p > c ( s )
qvlqgtsq preobrazovanyqmy Laplasa. Sledovatel\no, sovpadagt funkcyy-
oryhynal¥ levoj y pravoj çastej ravenstva (11) y
Rs ( x ) =
c s
s
e d uc s x u
s
( ) ( ) <( )( − ) +
−
∞
[ ]∫λ
ξ νP
0
, x ≥ 0. (12)
Ytak, m¥ poluçyly predstavlenye dlq rezol\vent¥ processa Puassona s
pokazatel\no raspredelennoj komponentoj. Yz predstavlenyq (12) sleduet,
çto funkcyq Rs ( x ), x ≥ 0, qvlqetsq poloΩytel\noj monotonno vozrastagwej
neprer¥vnoj funkcyej y Rs ( x ) < A ( s ) exp { x c ( s ) }, A ( s ) < ∞. Poπtomu
R x e dxs
x( ) −
∞
∫ α
0
< ∞
pry α > c ( s ). Krome toho, oçevydno, çto v okrestnosty lgboj toçky x ≥ 0
funkcyq Rs ( x ) ymeet ohranyçennug varyacyg. Sohlasno ·21, s. 68‚, spraved-
lyva formula obrawenyq
Rs ( x ) =
1
2π
( )
− ∞
+ ∞
∫i
e R p s dpxp
i
i
,
α
α
, α > c ( s ). (13)
Ravenstvo (13) opredelqet rezol\ventu processa Puassona s pokazatel\no ras-
predelennoj otrycatel\noj komponentoj. Ymenno πto opredelenye rezol\ven-
t¥ qvlqetsq πffektyvn¥m pry yssledovanyy hranyçn¥x funkcyonalov pro-
cessa, tak kak pozvolqet obrawat\ preobrazovanyq Laplasa v analytyçeskyx
v¥raΩenyqx pry reßenyy hranyçn¥x zadaç.
2. V¥xod yz yntervala. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s
nezavysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1).
Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 1 ·11‚. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s neza-
vysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1), B > 0, y ∈ [ 0, B ], x = B – y, ξ ( 0 ) =
= 0, y
χ ( y ) = inf { t : y + ξ ( t ) ∉ [ 0, B ] },
X ( y ) = ( ξ ( χ ( y ) ) – B ) IAB + ( – ξ ( χ ( y ) ) ) IA0
— moment pervoho v¥xoda processa y + ξ ( t ) yz yntervala [ 0, B ] y velyçyna
pereskoka processa çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda. Tohda dlq preobra-
zovanyj Laplasa sovmestnoho raspredelenyq { χ ( y ), X ( y ) } pry s > 0 spra-
vedlyv¥ ravenstva
E ; , , , ,[ ]− ( )
+ +
∞
+( ) ∈ = ( ) + ( ) ( )∫e X y du A f x du f x d dus y B s s sχ v v
0
K ,
(14)
E ; , , , ,[ ]− ( )
− −
∞
−( ) ∈ = ( ) + ( ) ( )∫e X y du A f y du f y d dus y s s sχ
0
0
v vK ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 929
hde
f x du e T du e T d e T dus s x s
y
s Bx
y
B
+
−
∞
− − +( ) = ∈ − ∈ ∈[ ] [ ] [ ]∫
+
, E ; E ; E ;τ τ τ
0
v
v v
,
f y du e T du e T d e T dus s
y
s x s
B
y
x
B
−
−
∞
− −
+( ) = ∈ − ∈ ∈[ ] [ ] [ ]∫ +, E ; E ; E ;
τ τ τ
0
v v
v ;
K±
=
∞
±
( )( ) = ( )∑s
n
ndu K du sv v, , ,
1
, v > 0, — rqd yz posledovatel\n¥x yteracyj;
K du s K du s±
( )
±( ) = ( )1 v v, , , , ,
K du s K dl s K l du sn n
±
( + )
∞
±
( )
±( ) = ( ) ( )∫1
0
v v, , , , , , , n ∈ N, (15)
— yteracyy qder K du s±( )v, , , kotor¥e opredelen¥ ravenstvamy
K du s e T dl e T du
s
B
s l BB
l B
+
∞
−
+
− +( ) = ∈ ∈∫ [ ] [ ]+ +
v v
v, , E ; E ;
0
τ τ
,
(16)
K du s e T dl e T dus B s
l B
B
l B
−
∞
− + −
+( ) = ∈ ∈∫ [ ] [ ]
+ +v
v v, , E ; E ;
0
τ τ
.
Ravenstva (14) pozvolqgt πffektyvno naxodyt\ yntehral\n¥e preobrazova-
nyq sovmestnoho raspredelenyq momenta v¥xoda yz yntervala y velyçyn¥ pe-
reskoka çerez hranycu dlq çastn¥x prymerov (sm. ·11‚) processov s nezavysym¥-
my pryrawenyqmy. M¥ prymenym formul¥ (14) – (16) dlq opredelenyq ynteh-
ral\noho preobrazovanyq sovmestnoho raspredelenyq momenta pervoho v¥xoda
yz yntervala y velyçyn¥ pereskoka çerez hranycu dlq processa Puassona s po-
kazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj.
Sledstvye 1. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — process Puassona s pokazatel\no
raspredelennoj komponentoj y kumulqntoj (6), B > 0, y ∈ [ 0, B ], x = B – y,
ξ ( 0 ) = 0, y
χ ( y ) = inf { t : y + ξ ( t ) ∉ [ 0, B ] },
X ( y ) = ( ξ ( χ ( y ) ) – B ) IAB + ( – ξ ( χ ( y ) ) ) IA0
— moment pervoho v¥xoda processa Puassona yz yntervala [ 0, B ] y velyçyna
pereskoka çerez hranycu v moment v¥xoda. Tohda pry s > 0:
1) dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj sovmestn¥x raspredelenyj sluçajn¥x
velyçyn { χ ( y ), X ( y ) } spravedlyv¥ ravenstva
E ; , E[ ] ( ) ( )− ( ) − ( )− − − ( ) ( ) −( ) ∈ = − ( ) − [ ] ( )e X y du A c s e du e K ss y yc s u s c sx xχ λ τ ξ τλ0
11 ,
(17)
E ; , E ;[ ] [ ]− ( ) −( ) ∈ = ∈e X y du A e T dus y B s xxχ τ –
– E ; E ;[ ] [ ]− ( ) − ++
∈e A e T dus y s BBχ τ γγ
0 ,
hde
K ( s ) = 1 − {− } − − ( ){ }+ +E exp E exps s c s TB
B Bτ τγ γ
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
930 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
E exp E exp{ } { }− − ( ) = − − ( )+ +
∞
− + +∫s c s T e s c s T duB B u u B u Bτ λ τγ γ λ
0
;
v çastnosty,
E ; E[ ] ( )− ( ) − ( ) − − ( ) ( ) −= − ( )
− [ ] ( )e A
c s
e e K ss y yc s s c sx xχ τ ξ τ
λ0
11 1 ,
(18)
E ; E E ; E[ ] [ ]− ( ) − − ( ) −= −
+
e A e e A es y B s s y sx Bχ τ χ τγ
0 ;
2) dlq preobrazovanyj Laplasa sluçajnoj velyçyn¥ χ ( y ) spravedlyv¥ re-
zol\ventn¥e predstavlenyq
E ; , ˆ ,
[ ]− ( ) − ( + )( ) ∈ = ( )
( )
e X y du A e
R x
R s
dus y u B s
B
χ λ
λ0 ,
E ; ˆ ,
[ ]− ( ) −= ( )
( )
e A e
R x
R s
s y B s
B
χ λ
λ λ0
1
,
(19)
E ; ˆ ,
ˆ ,[ ]− ( ) −= − ( )
( )
+ ( )[ ] + ( )∫e A
R x
R s
e s S s s R u dus y B s
B
B
B
x
s
χ λ
λ λ
λ λ λ1
1
0
,
0 0
x
st s
B
B
x
se y t dt
R x
R s
S s R u du∫ ∫− [ ]( ) > = ( )
( )
( ) − ( )P ˆ ,
ˆ ,χ λ
λ
λ λ ,
hde Rs ( x ), x ≥ 0, — rezol\venta (13) processa Puassona s pokazatel\no ras-
predelennoj otrycatel\noj komponentoj,
ˆ ,R s e R u duB
B
u
s( ) = ( )
∞
−∫λ λ
,
ˆ ,S s e S u duB
B
u
s( ) = ( )
∞
−∫λ λ
, Ss ( x ) =
0
x
sR u du∫ ( ) .
Dokazatel\stvo. Dlq processa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj
otrycatel\noj komponentoj ravenstva teorem¥ 1 uprowagtsq. Yspol\zuq ra-
venstvo (9) y opredelenyq (16) qder K du s±( )v, , , naxodym
K du s
c s
e e T duc s B s BB
+
− ( )( + ) − +( ) = − ( )
∈[ ]
+
v v, , E ;1
λ
τ γγ
,
K du s c s e e duc s B u s c s TB B
−
− ( ) − − − ( )( ) = − ( )( ) [ ]
+ +
v
v v
, , Eλ λ τ
.
Yspol\zuq πty ravenstva, metod matematyçeskoj yndukcyy y formulu (15), po-
luçaem posledovatel\n¥e yteracyy K du sn
±
( )( )v, , , n ∈ N, qder K du s±( )v, , :
K du s e e K s e dun s c s T s n uB B
B
−
( ) − − ( ) − − −( ) = − ( )[ ] ( )
+ +
v
v v
, , E Eτ τ λλ1 1
,
K du s e e K s e T dun c s s n s BB
B
+
( ) − ( ) − − − +( ) = − ( ) ∈( ) [ ]
+
v v, , E E ;τ τ γγ
1 1
.
Rqd¥ K±( )s duv, yz posledovatel\n¥x yteracyj K du sn
±
( )( )v, , v dannom sluçae
qvlqgtsq heometryçeskymy prohressyqmy y lehko v¥çyslqgtsq:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 931
K−
=
∞
−
( ) − − ( ) − − −( ) = ( ) = ( )∑ [ ]
+ +s
n
n s c s T s udu K du s e e K s e du
B B
Bv v
v v
, , , E E
1
1τ τ λλ ,
K+
=
∞
+
( ) − ( ) − − − +( ) = ( ) = ( ) ∈∑ [ ]
+s
n
n c s s s Bdu K du s e e K s e T duB
B
v v v, , , E E ;
1
1τ τ γγ
.
Podstavlqq najdenn¥e v¥raΩenyq dlq funkcyj K±( )s duv, v ravenstva (14),
poluçaem formul¥ (17). Yntehryruq ravenstva (17) po vsem u ≥ 0, naxodym ra-
venstva (18). Dalee, yspol\zuq opredelenye rezol\vent¥ (13) y ravenstva (9),
poluçaem rezol\ventn¥e predstavlenyq funkcyj E exp{− }s xτ , E exp{− s xτ –
– c s x( ) ( )}ξ τ :
E exp{− } = −
( )
( ) + ( )∫s
s
c s
R x s R u dux
s
x
sτ λ λ1
0
,
E exp ,{ } ( )− − ( ) ( ) = − ( ) ( )− ( )s c s e R x r c s sx x xc s
sτ ξ τ 1 ,
hde r c s s
d
dp
R p s
p c s
( )( ) = ( )−
= ( )
, , 1
. Podstavlqq najdenn¥e rezol\ventn¥e pred-
stavlenyq v formul¥ (18), naxodym rezol\ventn¥e predstavlenyq (19). Dlq ce-
loçyslennoho sluçajnoho bluΩdanyq s heometryçesky raspredelennoj otryca-
tel\noj komponentoj v rabote ·20‚ b¥ly poluçen¥ rezol\ventn¥e predstav-
lenyq, analohyçn¥e ravenstvam (19).
Sledstvye dokazano.
3. Summarnoe vremq preb¥vanyq v yntervale processa Puassona. Pust\
ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s pokazatel\no raspredelennoj
otrycatel\noj komponentoj. Vvedem sluçajnug velyçynu
σy ( t ) =
0
0
t
y u B du∫ { }+ ( ) ∈[ ]I ξ , , y ∈ R,
— summarnoe vremq preb¥vanyq processa y + ξ ( ⋅ ) v yntervale [ 0, B ] na vre-
mennom otrezke [ 0, t ]. V πtom punkte m¥ opredelym
C y aa
s
y s( ) = − ( ){ }E exp σ ν , y ∈ R, a ≥ 0,
— preobrazovanye Laplasa summarnoho vremeny preb¥vanyq processa y + ξ ( ⋅ ) v
yntervale [ 0, B ] na pokazatel\no raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ].
Dlq reßenyq πtoj zadaçy nam ponadobytsq opredelyt\ rqd vspomohatel\n¥x
funkcyj.
Pust\ y ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, τy = inf { t : y + ξ ( t ) < 0 } y σ y = σy ( τy ) — moment
pervoho v¥xoda processa y + ξ ( ⋅ ) yz verxnej poluploskosty y summarnoe vremq
preb¥vanyq processa v yntervale [ 0, B ] na vremennom otrezke [ 0, τy ]. Na so-
b¥tyy { τy = ∞ } poloΩym, po opredelenyg, σy = ∞.
Spravedlyva sledugwaq lemma.
Lemma 2. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s pokaza-
tel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6). Tohda
dlq yntehral\noho preobrazovanyq
D y s aa
s
y y( ) = − −{ }E exp τ σ , y ≥ 0, a ≥ 0,
sovmestnoho raspredelenyq { τy , σy } pry s > 0 spravedlyvo ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
932 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
D y V B y aR B y e V B ea
s
a
s
s a
c s B y
a
s s y( ) = ( − ) − ( − ) ( )[ ]+
− ( )( − ) − −1 E
τ
, y ≥ 0, (20)
hde Rs ( x ) = 0 pry x < 0, a neprer¥vnaq funkcyq V xa
s( ) , x ∈ R, opredelena
ravenstvom
V x a c s e R u dua
s
x
uc s
s a( ) = + − ( ) ( )( ) ∫ − ( )
+1
0
λ , x ≥ 0, V xa
s( ) = 1, x < 0.
(21)
Dokazatel\stvo. Dlq funkcyj D ya
s( ), y ≥ 0, sohlasno formule polnoj
veroqtnosty y svojstvu strohoj markovosty processa, spravedlyva systema
uravnenyj
D y e A e X y d A e T Ba
s s a y s a y B s( ) = + ( ) ∈ >[ ] [ ] [ ]−( + ) ( )
∞
−( + ) ( ) −∫E ; E ; , E ;χ χ τ
0
0
v v
v +
+
0 0
∞
−( + ) ( ) −∫ ∫[ ] [ ]( ) ∈ ∈ ( − )E ; , E ;e X y d A e T du D B us a y B
B
s
a
sχ τv v
v , y ∈ [ 0, B ],
D y e T B e T du D B ua
s s
y B
B
s
y B a
sy B y B( ) = > + ∈ ( − )[ ] [ ]−
−
−
−
− −∫E ; E ;
τ τ
0
, y > B.
Pervoe uravnenye πtoj system¥ otraΩaet tot fakt, çto summarnoe vremq pre-
b¥vanyq processa y + ξ ( ⋅ ), y ∈ [ 0, B ], v yntervale [ 0, B ] na vremennom otrezke
[ 0, τy ] proysxodyt na traektoryqx, kotor¥e lybo ne peresekagt verxngg hra-
nycu yntervala (pervoe slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq), lybo peresekagt
ee y zatem pereskakyvagt çerez ynterval [ 0, B ] (vtoroe slahaemoe v pravoj
çasty uravnenyq), lybo peresekagt verxngg hranycu, a zatem vozvrawagtsq v
ynterval [ 0, B ] (tret\e slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq). Po analohyçno-
mu pryncypu sostavleno y vtoroe uravnenye. Yspol\zuq pervoe yz ravenstv (9) y
ravenstva (19), yz πtoj system¥ poluçaem uravnenyq
D y e
R B y
R s a
c s E c s e Da
s B s a
B
y
s a B
a
s( ) =
( − )
( + )
+ − ( ) ( ) + ( )
− + + −( ) ( )1 1
λ λ
λ
λ
λλ λ
ˆ ,
˜ , y ∈ [ 0, B ],
(22)
D y
c s
e e c s e Da
s c s y B B c s y B
a
s( ) = − ( )
+ − ( ) ( )− ( )( − ) − − ( )( − )( )1
λ
λ λλ ˜
, y > B,
hde
D̃ e D B u dua
s
B
u
a
s( ) = ( − )∫ −λ λ
0
, E c s e Ay
s a s a y c s X y B+ −( + ) ( )− ( ) ( )( ) [ ]( ) = E ;χ
.
Esly funkcyq D̃a
s( )λ budet najdena, to tem sam¥m ravenstvamy (22) budut op-
redelen¥ funkcyy D ya
s( ), y ≥ 0. Funkcyq D̃a
s( )λ moΩet b¥t\ opredelena yz
pervoho uravnenyq system¥ (22). Dlq πtoho pryvedem neobxodym¥e v¥çyslenyq.
Oboznaçym
T z s zTx
s x x( ) = − −{ }E exp τ , x ≥ 0, Re z ≥ 0.
Yspol\zuq vtoroe yz ravenstv (9) y opredelenye rezol\vent¥ (13), ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 933
T c s e a
c s
c s c s a
R xx
s a xc s
s a
+ ( )
+( )( ) = + − ( )
( ) − ( + )
( )λ
+
+ a c s e R u du
x
c s u x
s a( )− ( ) ( )∫ − ( )( − )
+λ
0
, x ≥ 0.
Yspol\zuq posledngg formulu y ravenstva (17), (19), naxodym
E c s e V B yy
s a xc s
a
s+ ( )( )( ) = ( − ) –
–
e
c s
R B y
R s a
V B aR B y
B c s
s a
B
a
s
s a
− ( − ( ))
+
+− ( )
( − )
( + )
( ) − ( − )
λ
λ λˆ ,
, y ∈ [ 0, B ]. (23)
UmnoΩaq (23) na e B y− ( − )λ
y v¥polnqq yntehryrovanye po vsem y ∈ [ 0, B ],
ymeem
( ) ( )− ( ) ( ) = − ( ) + ( + )
( + )
∫ − ( − ) + − ( − ( ))
∨
λ λ
λ
λ λc s e E c s dy V B
R s a
R s a
e
B
B y
y
s a
a
s B
B
B c s
0
1 1
,
ˆ ,
,
(24)
hde
R s a e R u duB
B
u
s a( + ) = ( )∫ −
+
∨
λ λ,
0
.
Dalee, umnoΩaq pervoe uravnenye system¥ (22) na e B y− ( − )λ
y v¥polnqq ynteh-
ryrovanye po vsem y ∈ [ 0, B ], dlq funkcyy D̃a
s( )λ poluçaem lynejnoe urav-
nenye
˜ ,
ˆ ,
D e
R s a
R s a
a
s B B
B
( ) = ( + )
( + )
−
∨
λ
λ
λ
λ
λ1
+
+
1
1 1
λ
λ λ
λ
λ λe D V B
R s a
R s a
eB
a
s
a
s B
B
B c s− − ( − ( ))+ ( )
− ( ) + ( + )
( + )
∨
˜ ,
ˆ ,
,
yz kotoroho naxodym
D̃ e e V Ba
s B c s B
a
s( ) + = ( )− − ( ) −λ
λ λ
λ1 1 1
.
Podstavlqq πto v¥raΩenye dlq funkcyy D̃a
s( )λ v ravenstva (22) y uçyt¥vaq
pry πtom, çto Rs ( x ) = 0, V xa
s( ) = 1 pry x < 0, poluçaem ravenstvo (20).
Lemma dokazana.
Teper\ dlq y ≥ 0 opredelym funkcyg
Q y ea
s a
y s
y s( ) = >[ ]− ( )
E ;
σ ν τ ν , y ≥ 0, a ≥ 0,
— preobrazovanye Laplasa summarnoho vremeny preb¥vanyq processa y + ξ ( ⋅ ) v
yntervale [ 0, B ] na vremennom otrezke [ 0, νs ] na sob¥tyy { τy > νs }.
Spravedlyva sledugwaq lemma.
Lemma 3. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s pokaza-
tel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6). Tohda
dlq funkcyy Q ya
s ( ) , y ≥ 0, pry s > 0 spravedlyvo ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
934 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
Q y B y aR B y B D ya
s
a
s
s a a
s
a
s( ) = ( − ) − ( − ) − ( ) ( )+v v , y ≥ 0, (25)
hde Rs ( x ) = 0 pry x < 0, funkcyq D ya
s( ), y ≥ 0, opredelena formuloj (20),
a neprer¥vnaq funkcyq va
s x( ), x ∈ R, — ravenstvom
va
s
x
s ax a R u du( ) = + ( )∫ +1
0
λ , x ≥ 0, va
s x( ) = 1, x < 0. (26)
Dokazatel\stvo. Sohlasno formule polnoj veroqtnosty y tomu faktu,
çto χ ( y ), τy — markovskye moment¥, dlq funkcyj Q ya
s ( ) , y ≥ 0, spravedlyva
systema uravnenyj
Q y
s
s a
e e X y d A ea
s s a y s a y B s( ) =
+
( − ) + ( ) ∈ ( − )−( + ) ( )
∞
−( + ) ( ) −∫ [ ]1 1
0
E E ; , Eχ χ τv v +
+
0 0
∞
−( + ) ( ) −∫ ∫[ ] [ ]( ) ∈ ∈ ( − )E ; , E ;e X y d A e T du Q B us a y B
B
s
a
sχ τv v
v , y ∈ [ 0, B ],
Q y e e T du Q B ua
s s
B
s
y B a
sy B y B( ) = − + ∈ ( − )− −
−
− −∫ [ ]1
0
E E ;
τ τ
, y > B.
Try slahaem¥x, naxodqwyxsq v pravoj çasty pervoho uravnenyq system¥, otra-
Ωagt to obstoqtel\stvo, çto summarnoe vremq preb¥vanyq processa v ynter-
vale [ 0, B ] na sob¥tyy { τy > νs } proysxodyt na traektoryqx processa, koto-
r¥e lybo ne v¥xodqt yz yntervala [ 0, B ] (pervoe slahaemoe v pravoj çasty
uravnenyq), lybo v¥xodqt yz neho çerez verxngg hranycu B y ne vozvrawagtsq
v ynterval (vtoroe slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq), lybo v¥xodqt yz yn-
tervala çerez verxngg hranycu B y zatem vozvrawagtsq v ynterval [ 0, B ]
(tret\e slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq). Po analohyçnomu pryncypu sos-
tavleno y vtoroe uravnenye system¥. Yspol\zuq pervoe ravenstvo (9) y raven-
stva (19), yz πtoj system¥ poluçaem uravnenyq
Q y e
R B y
R s a
a
R B y
R s a
S s aa
s B s a
B
s a
B
B( ) = −
( − )
( + )
−
( − )
( + )
( + )− + +1
1
λ λ
λ
λ
λλ
ˆ , ˆ ,
ˆ , +
+ a S B y c s E c s Qs a y
s a
a
sλ λ λ
λ+
+( − ) + − ( ) ( ) ( ) −
( ) ( ) ˜ 1
, y ∈ [ 0, B ],
(27)
Q y
c s
e c s e Qa
s c s y B c s y B
a
s( ) = − − ( )
+ − ( ) ( )− ( )( − ) − ( )( − )( )1 1
λ
λ λ˜
, y > B,
hde funkcyq E c sy
s a+ ( )( ) = E ;[ ]−( + ) ( )− ( ) ( )e As a y c s X y Bχ
opredelena ravenstvom
(23), a
Q̃ e Q B u dua
s
B
u
a
s( ) = ( − )∫ −λ λ
0
,
ˆ ,S s a e S u duB
B
u
s a( + ) = ( )
∞
−
+∫λ λ
.
Funkcyg Q̃a
s ( )λ moΩno neposredstvenno opredelyt\ yz pervoho uravnenyq
(27), tak kak vspomohatel\n¥e v¥çyslenyq pryveden¥ pry dokazatel\stve pre-
d¥duwej lemm¥. UmnoΩaq pervoe yz uravnenyj (27) na e B y− ( − )λ
y v¥polnqq
yntehryrovanye po vsem y ∈ [ 0, B ], poluçaem lynejnoe uravnenye dlq funkcyy
Q̃a
s ( )λ :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 935
Q e
R B y
R s a
Ba
s B s a
B
a
s( ) − = − +
( − )
( + )
( )− +λ
λ λ λ
λ1 1
1 ˆ ,
v +
+ ( ) ( )− ( ) ( ) ( ) −
+λ λ
λ
c s E c s Qs a
a
s˜ ˜ 1
, (28)
hde funkcyq
˜ expE c s B y E c s dys a
B
y
s a+ +( ) { } ( )( ) = − ( − ) ( )∫
0
λ
opredelena ravenstvom (24), a funkcyq va
s x( ), x ∈ R, — ravenstvom (26). Pry
v¥çyslenyy πtoho uravnenyq takΩe yspol\zovan¥ oçevydn¥e toΩdestva
λ λ λ λˆ , ˆ ,S s a R s a S B eB B s a
B( + ) = ( + ) + ( )+
−
,
λ λ λ λ
0 0
B
u
s a
B
u
s a s a
Be S u du e R u du S B e∫ ∫−
+
−
+ +
−( ) = ( ) − ( ) .
Yspol\zuq ravenstvo (24), yz uravnenyq (28) naxodym
Q̃
B
V B
ea
s a
s
a
s
c s B( ) − = − ( )
( )
− ( )λ
λ λ
1 1v
.
Podstavlqq najdennoe v¥raΩenye dlq funkcyy Q̃a
s ( )λ v ravenstva (27) y uçy-
t¥vaq pry πtom, çto va
s x( ) = V xa
s( ) = 1 pry x < 0, poluçaem ravenstvo (25).
Lemma dokazana.
Ravenstvamy (20), (25) m¥ opredelyly vspomohatel\n¥e funkcyy D ya
s( ),
Q ya
s ( ) , y ≥ 0, y teper\ perejdem k opredelenyg yntehral\noho preobrazovanyq
raspredelenyq summarnoho vremeny preb¥vanyq processa Puassona s pokaza-
tel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj v yntervale [ 0, B ].
Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 2. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s pokaza-
tel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6), B > 0,
a ≥ 0,
σy ( t ) =
0
0
t
y u B du∫ { }+ ( ) ∈[ ]I ξ , , C y s e a t dta
s st
y( ) = − ( )
∞
−∫ { }
0
E exp σ , y ∈ R,
— summarnoe vremq preb¥vanyq processa y + ξ ( ⋅ ) v yntervale [ 0, B ] na vre-
mennom otrezke [ 0, t ] y yntehral\noe preobrazovanye raspredelenyq σy t( ).
Tohda dlq funkcyy C ya
s( ) , y ∈ R, pry s > 0 spravedlyv¥ ravenstva
C y B y aR B y D y C Ba
s
a
s
s a a
s( ) = ( − ) − ( − ) + ( ) ( )+v *
, y ≥ 0,
(29)
C y e e T du C ua
s s s y
a
sy y
(− ) = − + ∈ ( )−
∞
−∫ [ ]1
0
E E ;τ τ
, y > 0,
hde
C B
a B V B e V B c s
r c s s a c s V x ae R x dx
a
s
a
s c s B
a
s
B
a
s xc s
s a
*
,
( ) = ( ) − ( ) ( ) ( )
( ) + − ( ) ( ) − ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) −
− ( )
+∫
λ
λ
v 1
0
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
936 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
va
s
x
s ax a R u du( ) = + ( )∫ +1
0
λ , x ≥ 0, va
s x( ) = 1, x < 0,
V x a c s e R u dua
s
x
uc s
s a( ) = + − ( ) ( )( ) ∫ − ( )
+1
0
λ , x ≥ 0, V xa
s( ) = 1, x < 0.
Dokazatel\stvo. Sluçajn¥e velyçyn¥ τx , T x dlq processa Puassona s
pokazatel\no raspredelennoj komponentoj nezavysym¥ (sm. pervug yz formul
(9)), y dlq vsex x ≥ 0 velyçyna pereskoka çerez nyΩnyj uroven\ Tx ymeet
pokazatel\noe raspredelenye s parametrom λ. Poπtomu
E exp ;[ ]{− − } ∈ = ( ) −s a T du D y e duy y y a
s uτ σ λ λ
.
Tohda, sohlasno formule polnoj veroqtnosty y svojstvu strohoj markovosty
processa, dlq funkcyy C ya
s( ) , y ≥ 0, spravedlyva systema uravnenyj
C y Q y D y Ca
s
a
s
a
s
a
s( ) = ( ) + ( ) ( )˜ λ , y ≥ 0,
(30)
C̃ m m dy C ya
s s s
a
s( ) = − + ( ) ( )
∞
∫λ γ γ1
0
,
hde
C̃ e C x dxa
s x
a
s( ) = (− )
∞
−∫λ λ λ
0
— poka neyzvestnaq funkcyq, a
m e e dxs x s x
γ
λ τλ=
∞
− −∫
0
E , m dy e e T dy dxs x s xx
γ
λ τλ( ) = ∈
∞
− −∫ [ ]
0
E ; .
Podstavlqq pravug çast\ pervoho uravnenyq vo vtoroe uravnenye system¥, po-
luçaem lynejnoe uravnenye dlq funkcyy C̃a
s( )λ :
˜ ˜C m m dy Q y C m dy D ya
s s s
a
s
a
s s
a
s( ) = − + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
∞ ∞
∫ ∫λ λγ γ γ1
0 0
.
Yspol\zuq v¥raΩenyq (20), (25) dlq funkcyj D ya
s( ), Q ya
s ( ) , yz πtoho uravne-
nyq naxodym
C̃ B
a
m dy D y
a
s
a
s
s
a
s
( ) = ( ) +
− ( ) ( )
∞
∫
λ λ
γ
v
1
0
×
×
0 0 0
1
B
s
B y
s a
B
s
s a s am dy R u du m dy R B y S B∫ ∫ ∫( ) ( ) − ( ) ( − ) − ( )
−
+ + +γ γλ
, (31)
hde
S B R u dus a
B
s a+ +( ) = ( )∫
0
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 937
Podstavlqq najdennoe v¥raΩenye dlq C̃a
s( )λ v pervoe uravnenye system¥ (30),
poluçaem pervoe yz ravenstv (29). Ostalos\ opredelyt\ konstantu C B*( ) =
= C̃a
s( )λ – va
s B( ). Dlq πtoho nam ponadobqtsq sledugwye formul¥:
0
B
s
s a B
B
a
s c s Bm dy R B y R s a e R s V B e∫ ( ) ( − ) = ( + ) − ( ) ( )+
( )
γ
λλ λ λ λˆ , , ,
0 0
B
s
B y
s a s am dy R u du S B∫ ∫( ) ( ) = ( )
−
+ +γ +
+
ˆ ,
,
R s a e
R s
c s
c s B V B eB
B
a
s
a
s c s B( + ) + ( )
( )
− ( ) ( ) − ( )(( ) )( )λ λ λ λλ v ,
(32)
0 0
1
B
s yc s
B y
uc s
s a
B c sm dy e e R u du
R s
c s
e∫ ∫( ) ( ) = ( )
− ( )
( − )− ( )
−
− ( )
+
( − ( ))
γ
λλ λ
λ
,
+
+
λ
λ
λ λ λλ
− ( )
( ) − ( + )
− ( ) ( )∫ ∫− ( )
+
( − ( ))∨
c s
e R u du R s a e R s V x dx
B
uc s
s a B
c s B
B
a
s
0 0
, , ,
hde
R s a e R u duB
B
u
s a
∨
( + ) = ( )∫ −
+λ λ,
0
,
ˆ ,R s a e R u duB
B
u
s a( + ) = ( )
∞
−
+∫λ λ
.
Yntehral¥, soderΩawyesq v lev¥x çastqx formul (32), qvlqgtsq svertkamy
yzvestn¥x funkcyj y v¥çyslqgtsq s yspol\zovanyem ravenstv
0
1
∞
−∫ ( ) =
−
− − ( )
− ( )
( )
( )
e m dy
z
c s
z c s
R s
R z s
yz s
γ
λ
λ
λ λ,
,
,
R z s R z s a a z( ) = ( + ) + ( − )− −, ,1 1 λ ,
pervoe yz kotor¥x sleduet yz vtoroj yz formul (9) pry p = λ – z, a vtoroe — yz
opredelenyq (8) rezol\ventnoj funkcyy R ( p, s ). Podstavlqq v ravenstvo (31)
formul¥ (32), v¥çyslqem konstantu C B*( ):
C B
a B V B e V B c s
r c s s a c s V x ae R x dx
a
s
a
s c s B
a
s
B
a
s xc s
s a
*
,
( ) = ( ) − ( ) ( ) ( )
( ) + − ( ) ( ) − ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) −
− ( )
+∫
λ
λ
v 1
0
,
hde r c s s
d
dp
R p s
p c s
( )( ) = ( )−
= ( )
, , 1
. Vtoroe yz ravenstv (29) sleduet yz formul¥
polnoj veroqtnosty y toho fakta, çto τy
— markovskyj moment.
Teorema dokazana.
4. Moment pervoho vxoΩdenyq processa v ynterval. V πtom punkte dlq
processa s kumulqntoj (1) opredelym yntehral\noe preobrazovanye sovmestno-
ho raspredelenyq momenta pervoho vxoΩdenyq processa v ynterval [ 0, B ] y
znaçenyq processa v moment pervoho vxoΩdenyq.
Teorema 3. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — odnorodn¥j process s neza-
vysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1), B > 0, χ ( y ) =df 0 pry y ∉ [ 0, B ],
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
938 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
χ( )y = inf { t > χ ( y ) : y + ξ ( t ) ∈ [ 0, B ] },
X y y y( ) = + ( )( )ξ χ ∈ [ 0, B ], y ∈ R,
— moment pervoho vxoΩdenyq processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] y znaçenye
processa y + ξ ( ⋅ ) v moment pervoho vxoΩdenyq. Tohda dlq yntehral\noho pre-
obrazovanyq sovmestnoho raspredelenyq { }( ) ( )χ y X y, , y ∈ R, pry s > 0 spra-
vedlyv¥ ravenstva
b du s e X B du dl e B T dus B s s
l
lv v v v( ) = ( + ) ∈ = ( ) − ∈[ ] [ ]− ( + )
∞
+
−∫, E ; , E ;χ τ
0
Q +
+
0 0
∞
+
∞
− −∫ ∫( ) − ∈ ∈[ ] [ ]Qs s
l
sdl e T B d e T dulv, E ; E ;τ τ νν
ν
,
b du s e X du dl e T dus s s ll
v
v v v( ) = (− ) ∈ = ( ) ∈[ ] [ ]− (− )
∞
−
−∫, E ; , E ;χ τ
0
Q +
+
0 0
∞
−
∞
− −∫ ∫( ) − ∈ − ∈[ ] [ ]Qs s l sdl e T B d e B T du
l
v, E ; E ;τ τ
νν ν , v > 0, (33)
b y du s e X y du e X y d A b du ss y s y B( ) = ( ) ∈ = ( ) ∈ ( )[ ] [ ]− ( )
∞
− ( )∫, , E ; E ; , ,χ χ
0
v v +
+
0
0
∞
− ( )∫ [ ]( ) ∈ ( )E ; , ,e X y d A b du ss yχ v v , y ∈ [ 0, B ],
hde δ ( x ), x ∈ R, — del\ta-funkcyq,
Q± ±
( )
∈
( ) = ( − ) + ( )∑s n
n
du u du Q du sv v v, , ,δ
N
, v > 0, (34)
— rqd yz posledovatel\n¥x yteracyj Q du sn
±
( )( )v, , , n ∈ N,
Q du s Q du s±
( )
±( ) = ( )1 v v, , , , , Q du s Q dl s Q l du sn n
±
( + )
±
( )
±
∞
( ) = ( ) ( )∫1
0
v v, , , , , ,
(35)
— posledovatel\n¥e yteracyy qder Q du s±( )v, , , kotor¥e opredelen¥ raven-
stvamy
Q du s e T B dl e T B dus s ll
+
∞
− −( ) = − ∈ − ∈∫ [ ] [ ]v v
v, , E ; E ;
0
τ τ
,
(36)
Q du s e T B dl e T B dus s
l
l
−
∞
− −( ) = − ∈ − ∈∫ [ ] [ ]v
v v, , E ; E ;
0
τ τ
.
Dokazatel\stvo. Process ξ ( t ), t ≥ 0, qvlqetsq odnorodn¥m po prostran-
stvu y stroho markovskym. Tohda dlq funkcyj b du sv( ), , b du sv( ), , v > 0, soh-
lasno formule polnoj veroqtnosty, spravedlyva systema uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 939
b du s e B T du e T B dl b du ss s
l
v
v v
v v( ) = − ∈ + − ∈ ( )[ ] [ ]−
∞
−∫, E ; E ; ,τ τ
0
,
(37)
b du s e T du e T B dl b du ss s l
v
v vv v
( ) = ∈ + − ∈ ( )[ ] [ ]−
∞
−∫, E ; E ; ,τ τ
0
.
∏ta systema lynejn¥x yntehral\n¥x uravnenyj analohyçna systeme lynejn¥x
uravnenyj s dvumq neyzvestn¥my. Podstavlqq yz pravoj çasty vtoroho uravne-
nyq v¥raΩenye dlq funkcyy b du sv( ), v pervoe uravnenye, ymeem
b du s e B T du e T B dl e T dus s s llv
v v
v v( ) = − ∈ + − ∈ ∈[ ] [ ] [ ]−
∞
− −∫, E ; E ; E ;τ τ τ
0
+
+
l
s s le T B dl e T B d b du s
l
=
∞
−
=
∞
−∫ ∫[ ] [ ]− ∈ − ∈ ( )
0 0
E ; E ; ,τ
ν
τ ννv
v .
Yzmenqq v tret\em slahaemom pravoj çasty πtoho uravnenyq porqdok yntehry-
rovanyq, dlq funkcyy b du sv( ), , v > 0, poluçaem lynejnoe yntehral\noe urav-
nenye
b du s Q d s b du s e B T dusv
vv v( ) = ( ) ( ) + − ∈
∞
+
−∫ [ ], , , , E ;
0
ν ν τ +
+
0
∞
− −∫ [ ] [ ]− ∈ ∈E ; E ;e T B dl e T dus s llτ τv
v (38)
s qdrom
Q du s e T B dl e T B dus s ll
+
∞
− −( ) = − ∈ − ∈∫ [ ] [ ]v v
v, , E ; E ;
0
τ τ
, v > 0.
PokaΩem, çto pry vsex v, u > 0, s > s0 > 0 dlq πtoho qdra spravedlyva ocenka
Q du s+( )v, , ≤ λ < 1, λ = E Ee es sB
B− −0 0τ τ , s0 > 0.
Dejstvytel\no, pry s > 0 yz oçevydnoho ravenstva
M exp ; M exp ;[ ] [ ]{− } − ∈ = {− } ∈+ +s T B du s T duB Bτ τv v v v –
–
0
B
B l B ls T dl s T du∫ [ ] [ ]{− } ∈ {− } ∈− −M exp ; M exp ;τ τv v
sleduet cepoçka neravenstv
M ; M ; M M[ ] [ ] [ ] [ ]− − + − −− ∈ ≤ ∈ ≤ ≤
+ +
e T B du e T du e es s B s sB B Bτ τ τ τv v vv v
.
Analohyçn¥m obrazom ustanavlyvaem, çto
M ; M ; M M[ ] [ ] [ ] [ ]− −
+
− −− ∈ ≤ ∈ ≤ ≤+ +e T B du e T du e es s
B
s sB B Bτ τ τ τv v v
v v .
Yz πtyx dvux cepoçek neravenstv dlq qdra Q du s+( )v, , pry vsex v, u > 0, s >
> s0 > 0 poluçaem sledugwug ocenku:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
940 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
Q du s e T B dl e T B dus s ll
+
∞
− −( ) = − ∈ − ∈∫ [ ] [ ]v v
v, , E ; E ;
0
τ τ ≤
≤ E E E Ee e e es s s sB
B
B
B− − − −< = <τ τ τ τλ 0 0 1, s0 > 0.
Yspol\zuq poluçennug ocenku qdra y metod matematyçeskoj yndukcyy, netrud-
no ustanovyt\, çto dlq posledovatel\n¥x yteracyj (34) Q du sn
+
( )( )v, , qdra
Q du s+( )v, , pry vsex v, u > 0, s > s0 > 0 spravedlyva ocenka
Q du s Q dl s Q l du sn n n
+
( + )
+
( )
+
∞
+( ) = ( ) ( ) <∫1
0
1v v, , , , , , λ , n ∈ N.
Sledovatel\no, rqd yz posledovatel\n¥x yteracyj
Q du sn
n +
( )
∈ ( )∑ v, ,
N
<
< λ λ( − )−1 1
sxodytsq ravnomerno po vsem v, u > 0, s > s0 > 0. Prymenqq dlq
reßenyq lynejnoho yntehral\noho uravnenyq (38) metod posledovatel\n¥x
yteracyj ·22‚, poluçaem pervoe yz ravenstv (33). Spravedlyvost\ vtoroho yz
ravenstv (33) ustanavlyvaetsq analohyçno. Tret\e yz ravenstv (33) qvlqetsq
sledstvyem formul¥ polnoj veroqtnosty y toho fakta, çto χ ( y ) — markov-
skyj moment.
Teorema dokazana.
Pust\ teper\ ξ ( t ), t ≥ 0, — process Puassona s kumulqntoj (6). Oboznaçym
m du e e T du dxs x s xx
γ
λ τλ( ) = ∈
∞
− −∫ [ ]
0
E ; , P du e m du e duB s u( ) = ( ) +− ( )λ λλ
γ
λ, .
Sledstvye 2. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s po-
kazatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6), B > 0, χ ( y ) =df 0 pry y ∉ [ 0, B ],
χ( )y = inf { t > χ ( y ) : y + ξ ( t ) ∈ [ 0, B ] },
X y y y( ) = + ( )( )ξ χ ∈ [ 0, B ], y ∈ R,
— moment pervoho vxoΩdenyq processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] y znaçenye
processa y + ξ ( ⋅ ) v moment pervoho vxoΩdenyq. Tohda dlq yntehral\noho pre-
obrazovanyq sovmestnoho raspredelenyq { }( ) ( )χ y X y, , y ∈ R, pry s > 0 spra-
vedlyv¥ ravenstva
b du s e
c s
T s P duc sv v( ) = − ( )
( ) ( )− ( ) −, ,1 1
λ
λ ,
b du s m du e
c s
T c s T s P dus Bc s s
v v v( ) = ( ) + − ( )
( ) ( ) ( )( ) −( ), ˆ ,1 1
λ
λ , v > 0,
(39)
b y du s
c s
T s e
R B y
R s
e
c s
P duc s B y s
B
B c s
( ) = − ( )
( ) − ( − )
( ) − ( )
( )− ( )( − )
− ( − ( ))
, , ˆ ,
,1 1
λ λ λ
λ
λ
+
+
1
11
λ λ
λR B y
R s
T s P dus
B
( − )
( )
( ) − ( )( )−
ˆ ,
, , y ∈ [ 0, B ],
hde
m du e T dux
s s xx
( ) = ∈[ ]−E ;τ
,
ˆ E ;T c s e T Bx
s s c s T xx x
( ) [ ]( ) = >− − ( )τ
, x ≥ 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 941
ˆ ˆT c s e T c s dxs x
x
s
γ
λλ( ) ( )( ) = ( )
∞
−∫
0
, T s
c s
T c s es B c s( ) = − − ( )
( )( ) − ( − ( ))1 1
λ γ
λˆ
.
Dokazatel\stvo. Dlq ustanovlenyq formul (39) neobxodymo v¥çyslyt\
dlq processa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj kompo-
nentoj qdra Q dl s±( )v, , posledovatel\n¥e yteracyy
Q dl sn
±
( )( )v, , , n ∈ N, y rq-
d¥ Q±( )s dlv, . Yspol\zuq opredelenye qder (36) y formul¥ (9), naxodym
Q dl s e
c s
e e T B dlc s B s
+
− ( ) − −( ) = − ( )
− ∈[ ]v v, , E ;1
λ
λ τ γγ
,
(40)
Q dl s T c s e
c s
e dls B c s l
−
− ( − ( )) −( ) = ( ) − ( )
( )v v, , ˆ λ λ
λ
λ1 , v > 0,
hde T̂ c sx
s( )( ) = E ;[ ]− − ( ) >e T Bs c s Tx xτ v
, x ≥ 0. Yspol\zuq opredelenye posledo-
vatel\n¥x yteracyj (35) qder y metod matematyçeskoj yndukcyy, yz ravenstv
(40) ymeem
Q dl s e
c s
e T c s e T B dln c s B s n s
+
( ) − ( ) − − −( ) = − ( )
( )( ) − ∈( ) [ ]v v, , ˜ E ;1
1
λ
λ
γ
τ γγ
,
Q dl s T c s e
c s
T c s e dln s B c s s n l
−
( ) − ( − ( )) − −( ) = ( ) − ( )
( )( )( ) ( )v v, , ˆ ˜λ
γ
λ
λ
λ1
1
, n ∈ N,
hde
˜ ˆT c s e c s e T c s dxs B c s x
x
s
γ
λ λλ( ) ( ) ( )( ) = − ( ) ( )− ( − ( ))
∞
−∫
0
.
Rqd¥ Q±( )s dlv, yz posledovatel\n¥x yteracyj
Q dl sn
±
( )( )v, , (sm. (34)) v dannom
sluçae qvlqgtsq heometryçeskymy prohressyqmy y lehko v¥çyslqgtsq:
Q+
− ( ) − − −( ) = ( − ) + − ( )
( ) − ∈[ ]s c s B sdl l dl e
c s
e T s e T B dlv v v, E ;δ
λ
λ τ γγ
1 1
,
Q−
− ( − ( )) − −( ) = ( − ) + ( ) − ( )
( )( )s s B c s ldl l dl T c s e
c s
T s e dlv v v, ˆδ
λ
λλ λ1 1
, v > 0,
hde T ( s ) = 1 – T̃ c ss
γ ( )( ) . Podstavlqq v ravenstva (33) v¥çyslenn¥e v¥raΩenyq
dlq funkcyj Q±( )s dlv, y v¥raΩenyq dlq funkcyj E ; ,[ ]− ( ) ( ) ∈e X y d As y Bχ v ,
E ; ,[ ]− ( ) ( ) ∈e X y d As yχ v 0 , opredelenn¥e formulamy (17) – (19), poluçaem raven-
stva (39).
Sledstvye dokazano.
5. Çyslo vxoΩdenyj v ynterval y çyslo pereskokov çerez ynterval. V
πtom punkte dlq processa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj otryca-
tel\noj komponentoj opredelym sovmestnoe raspredelenye çysla vxoΩdenyj
processa v ynterval [ 0, B ] y çysla pereskokov processa çerez ynterval na po-
kazatel\no raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ]. Pust\ B > 0 fyksyro-
vano, B+ = ( B, ∞ ) y dlq vsex y ∈ R vvedem sluçajnug posledovatel\nost\
χ0
+( )y = 0, χn y+
+ ( )1 = inf { t > χn y+( ) : y + ξ ( t – 0 ) ∈ B+ , y + ξ ( t ) ∈ [ 0, B ] },
n ∈ N ∪ 0,
momentov vxoΩdenyq processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] çerez verxngg hra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
942 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
nycu B (yz mnoΩestva B+ ) . Na traektoryqx processa, dlq kotor¥x suwestvuet
pervoe n0 ∈ N ∪ 0 takoe, çto mnoΩestvo, soderΩaweesq v fyhurn¥x skobkax,
pusto, poloΩym, sohlasno opredelenyg, χn y+( ) = ∞ dlq vsex n ≥ n0 . Dalee,
pust\ B– = ( – ∞, 0 ) y dlq vsex y ∈ R vvedem sluçajnug posledovatel\nost\
j y0
+( ) = 0, j yn +
+ ( )1 = inf { t > j yn
+( ) : y + ξ ( t – 0 ) ∈ B+ , y + ξ ( t ) ∈ B– },
n ∈ N ∪ 0,
momentov pereskokov processa y + ξ ( ⋅ ) çerez ynterval [ 0, B ] sverxu vnyz (po-
sledovatel\nost\ momentov pr¥Ωkov processa yz mnoΩestva B+ v mnoΩestvo
B– ). Dlq vsex y ∈ R, t ≥ 0 vvedem sluçajn¥e velyçyn¥:
βt y+( ) = max { n ∈ N ∪ 0 : χn y+( ) ≤ t }, γ t y+( ) = max { n ∈ N ∪ 0 : j yn
+( ) ≤ t }
— çyslo vxoΩdenyj processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] çerez verxngg hrany-
cu B (çyslo pr¥Ωkov processa yz mnoΩestva B+ v ynterval [ 0, B ] ) na vre-
mennom otrezke [ 0, t ] y çyslo pereskokov processa çerez ynterval [ 0, B ] sver-
xu vnyz (çyslo pr¥Ωkov processa yz mnoΩestva B+ v mnoΩestvo B– ) na vre-
mennom otrezke [ 0, t ].
Teorema 4. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s pokaza-
tel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6). Tohda
pry vsex y ∈ R dlq proyzvodqwej funkcyy sovmestnoho raspredelenyq çysla
vxoΩdenyj βνs
y+ ( ) processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] sverxu y çysla pere-
skokov γ t y+( ) çerez ynterval [ 0, B ] sverxu vnyz na pokazatel\no rasprede-
lennom vremennom otrezke [ 0, νs ] pry s > 0, a , b ∈ [ 0, 1 ] spravedlyvo ra-
venstvo
E
, ˆ ,
a b
a e be
aE c s bE c s
E c ss s
y y B B
s s B y
sβ γ λ λ
ν ν
λ λ
+ +( ) ( ) − −
−= − − ( − ) −
− ( ) − ( )
( )∨
( ) ( )
( )1
1 1
1
, (41)
hde
E c s
c s
s c s T x
s
c s
e x
x
s
x x
x
xc s
( )
{ }
( ) =
− ( )
− − ( ) ≥
{− } = − ( )
<
−
( )
1 0
1 0
λ
τ
τ
λ
E exp , ,
E exp , ,
(42)
∨
( ) ( )( ) = ( )∫ −E c s e E c s dxs
B
x
x
sλ λ λ,
0
,
ˆ ,E c s e E c s dxs
B
x
x
s( ) ( )( ) = ( )
∞
−∫λ λ λ
.
V çastnosty, dlq sovmestnoho raspredelenyq { }+ +( ) ( )γ βν νs s
y y, pry vsex y ∈ R,
m, n ∈ N ∪ 0 spravedlyv¥ formul¥
P , ,[ ] ( ( ))+ +
−( ) = ( ) = = ( ) − ( )β γν νs s
y n y m B n m E c ss
B y
s1 +
+ B n m e E c s E c ss B
B y
s s( − ) ( ) − ( )[ ( ) ( )]−
−, ˆ ,1 λ λ +
+ B n m e E c s E c ss B
B y
s s( − ) ( − ) ( ) − ( )[ ( ) ( )]−
−
∨
1 1, ,λ λ ,
hde B n ms( ), = 0, pry min { n, m } < 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 943
B n m
n m
n
E c s E c ss s n s m( ) =
+
( ) ( )( ( )) ( ( ))
∨
, , ˆ ,λ λ .
Dokazatel\stvo. Vvedem sledugwye oboznaçenyq:
A a b s a bs s
B Bv v v( ) =
+ +( + ) ( + )
, , E
β γν ν
, v > 0,
A a b s a bs s
B B
v
v v( ) =
+ +( − ) ( − )
, , E
β γν ν
, v ≥ 0.
Uçyt¥vaq odnorodnost\ processa po prostranstvu, formulu polnoj veroqtnos-
ty y markovost\ sluçajn¥x momentov τx , τ
x
, dlq πtyx proyzvodqwyx funkcyj
netrudno poluçyt\ systemu uravnenyj
A a b s e e T dl A a b ss s l
v
vv v
( ) = − + ∈ ( )−
∞
−∫ [ ], , E E ; , ,1
0
τ τ
, v ≥ 0,
(43)
A a b s e a e T dl A a b ss s
l
v
v
v v( ) = − + ∈ ( )−
∞
−∫ [ ], , E E ; , ,1
0
τ τ +
+
b e T dl A a b s
B
s
l
∞
−∫ [ ]∈ ( )E ; , ,τv
v , v > 0.
Podstavlqq yz vtoroho uravnenyq system¥ v¥raΩenye dlq funkcyy A a b sv( ), , ,
v > 0, v pervoe uravnenye system¥, poluçaem lynejnoe yntehral\noe uravnenye
s dvumq qdramy
A a b s e T dl es s l
v
vv
( ) = − ∈
∞
− −∫ [ ], , E ; E1
0
τ τ +
+ a e T dl e T d A a b ss
B
s
l
l
0 0
∞
− −∫ ∫[ ] [ ]∈ ∈ ( )E ; E ; , ,τ τ
νν
v v +
+ b e T dl e T d A a b ss
B
s
l
l
0
∞
−
∞
−∫ ∫[ ] [ ]∈ ∈ ( )E ; E ; , ,τ τ
νν
v v
, v ≥ 0,
kotoroe v sluçae processa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj otryca-
tel\noj komponentoj lehko razreßaetsq. Podstavlqq v πto uravnenye v¥ra-
Ωenye dlq yntehral\noho preobrazovanyq { τx , Tx } yz ravenstva (9) y yspol\zuq
vvedennug ravenstvom (42) funkcyg, ymeem
A a b s E c s aA a b bA a bs s s
v v( ) = − ( ) − ( ) − ( )( )( )
∨
, , , ˆ ,1 1 λ λ , v ≥ 0, (44)
hde
A a b e A a b s ds
B
λ
λλ( ) = ( )∫ −∨
, , ,
0
v
v v ,
ˆ , , ,A a b e A a b s ds
B
λ
λλ( ) = ( )
∞
−∫ v
v v.
Esly m¥ opredelym funkcyy A a bs
λ ( )
∨
, ,
ˆ ,A a bs
λ ( ), to ravenstvom (44) y vtor¥m
yz ravenstv (43) budut opredelen¥ funkcyy A a b sv( ), , , A a b sv( ), , . UmnoΩaq
(44) na λ λe− v
y v¥polnqq v obeyx çastqx ravenstva yntehryrovanye po vsem
v ≥ 0, poluçaem systemu lynejn¥x uravnenyj s dvumq neyzvestn¥my funkcyq-
my
ˆ ,A a bs
λ ( ), A a bs
λ ( )
∨
, :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
944 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
ˆ , , , ˆ ,A a b e E c s aA a b bA a bs B s s s
λ
λ
λ λλ( ) = − − ( ) − ( ) − ( )− ( )( )
∨∨
1 1 ,
ˆ , ˆ , , ˆ ,A a b e E c s aA a b bA a bs B s s s
λ
λ
λ λλ( ) = − ( ) − ( ) − ( )− ( )( )
∨
1 ,
hde
∨
( ) ( )( ) = ( )∫ −E c s e E c s dxs
B
x
x
sλ λ λ,
0
,
ˆ ,E c s e E c s dxs
B
x
x
s( ) ( )( ) = ( )
∞
−∫λ λ λ
.
Reßaq πtu systemu uravnenyj, naxodym
aA a b bA a b
a e be
aE c s bE c s
s s
B B
s sλ λ
λ λ
λ λ
( ) + ( ) = − − ( − ) −
− ( ) − ( )
∨
∨
− −
( ) ( )
, ˆ ,
, ˆ ,
1
1 1
1
.
Podstavlqq pravug çast\ posledneho v¥raΩenyq v ravenstvo (44), ymeem
A a b s
a e be
aE c s bE c s
E c s
B B
s s
s
v v( ) = − − ( − ) −
− ( ) − ( )
( )
− −
∨
( ) ( )
( ), ,
, ˆ ,
1
1 1
1
λ λ
λ λ
, v ≥ 0.
Podstavlqq najdennoe v¥raΩenye dlq proyzvodqwej funkcyy A a b sv( ), , vo
vtoroe uravnenye system¥ (43), poluçaem
A a b s
a e be
aE c s bE c s
c s
e
B B
s s
c sv v( ) = − − ( − ) −
− ( ) − ( )
− ( )
− −
− ( )
∨
( ) ( )
, ,
, ˆ ,
1
1 1
1
1
λ λ
λ λ λ
, v > 0.
Uçyt¥vaq v¥raΩenye (42), yz πtyx dvux formul dlq vsex y ∈ R, a , b ∈ [ 0, 1 ]
naxodym v¥raΩenye dlq proyzvodqwej funkcyy sovmestnoho raspredelenyq
{ }+ +( ) ( )β γν νs s
y y, y ravenstvo (41). Pry mal¥x znaçenyqx parametrov a, b spra-
vedlyvo razloΩenye
1
1
0
− ( ) − ( )( ) = ( )
∨
( ) ( ) −
=
∞
∑aE c s bE c s a b B n ms s n m s
n m
λ λ, ˆ , ,
,
, (45)
hde
B n m
n m
n
E c s E c ss s n s m( ) =
+
( ) ( )( ( )) ( ( ))
∨
, , ˆ ,λ λ , n, m ∈ N ∪ 0.
Sravnyvaq v obeyx çastqx ravenstva (41) koπffycyent¥ pry a bn m
, n, m ∈ N ∪
∪ 0, y polahaq, sohlasno opredelenyg, B k ls( ), = 0 pry k, l ∈ Z = { 0, ± 1, … },
min { k, l } < 0, poluçaem sovmestnoe raspredelenye { }+ +( ) ( )β γν νs s
y y, y vtoroe
ravenstvo teorem¥.
Teorema dokazana.
Sledstvye 3. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s po-
kazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6).
Tohda dlq proyzvodqwej funkcyy raspredelenyq çysla vxoΩdenyj βνs
y+ ( ), y ∈
∈ R, processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] sverxu (yz mnoΩestva B+ ) na po-
kazatel\no raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ] pry s > 0 spravedly-
v¥ ravenstva
E ˆ , ,
a
a e
E c s aE c s
E c ss
y B
s s B y
sβ λ
ν
λ λ
+ ( ) −
−= − ( − )( − )
− ( ) − ( )
( )
( ) ( )
( )∨1
1 1
1
, a ∈ [ 0, 1 ].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 945
V çastnosty, pry vsex y ∈ R dlq raspredelenyq βνs
y+ ( ) spravedlyva formula
P ˆ ,
[ ]
( )
( )+
{ = }
−
−( ) = = − −
− ( )
( )
β
λν
λ
s
y n
e
E c s
E c sn
B
s B y
sI 0 1
1
1
+
+ I{ ∈ }
− −
−
−
− ( )
− ( )
− ( )
( )
− ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∨
n
B
s
s
s
s
s
n
B y
se
E c s
E c s
E c s
E c s
E c s
E c s
N
1
1
1
1 1
1λ
λ
λ
λ
λ
λˆ ,
,
ˆ ,
,
ˆ ,
,
hde E c ss( )( )λ, = E c ss( )( )
∨
λ, + ˆ ,E c ss( )( )λ .
Dokazatel\stvo. Polahaq v ravenstve (41) parametr b = 1, poluçaem v¥-
raΩenye dlq proyzvodqwej funkcyy sluçajnoj velyçyn¥ βνs
y+ ( ), y ∈ R, y
pervoe ravenstvo sledstvyq. Sravnyvaq v pravoj y levoj çastqx πtoho ravenstva
koπffycyent¥ pry an
, n ∈ N ∪ 0, naxodym vtoroe ravenstvo sledstvyq.
Analohyçnoe sledstvye spravedlyvo (pry a = 1 v ravenstve (41)) dlq proyz-
vodqwej funkcyy y raspredelenyq sluçajnoj velyçyn¥ γ νs
y+ ( ), y ∈ R, — çys-
la pereskokov processa Puassona çerez ynterval [ 0, B ] sverxu vnyz na pokaza-
tel\no raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ].
Sledstvye dokazano.
Teper\ opredelym sovmestnoe raspredelenye çysla vxoΩdenyj processa Pu-
assona v ynterval çerez nyΩngg hranycu y çysla pereskokov processa çerez
ynterval snyzu vverx. Pust\ B > 0 fyksyrovano. Dlq vsex y ∈ R vvedem slu-
çajnug posledovatel\nost\
χ0
−( )y = 0, χn y+
− ( )1 = inf { t > χn y−( ) : y + ξ ( t – 0 ) ∈ B– , y + ξ ( t ) ∈ [ 0, B ] },
n ∈ N ∪ 0,
momentov vxoΩdenyq processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] çerez nyΩngg hra-
nycu 0 (yz mnoΩestva B– ). Na traektoryqx processa, dlq kotor¥x suwestvuet
pervoe n0 ∈ N ∪ 0 takoe, çto mnoΩestvo, soderΩaweesq v fyhurn¥x skobkax,
pusto, poloΩym, sohlasno opredelenyg, χn y−( ) = ∞ dlq vsex n ≥ n0 . Dlq vsex
y ∈ R vvedem sluçajnug posledovatel\nost\
j y0
−( ) = 0, j yn +
− ( )1 = inf { t > j yn
−( ) : y + ξ ( t – 0 ) ∈ B– , y + ξ ( t ) ∈ B+ },
n ∈ N ∪ 0,
momentov pereskokov processa y + ξ ( ⋅ ) çerez ynterval [ 0, B ] snyzu vverx (po-
sledovatel\nost\ momentov pr¥Ωkov processa yz mnoΩestva B– v mnoΩestvo
B+ ). Dlq vsex y ∈ R, t ≥ 0 vvedem sluçajn¥e velyçyn¥
βt y−( ) = max { n ∈ N ∪ 0 : χn y−( ) ≤ t }, γ t y−( ) = max { n ∈ N ∪ 0 : j yn
−( ) ≤ t }
— çyslo vxoΩdenyj processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] çerez nyΩngg hrany-
cu 0 ( çyslo pr¥Ωkov processa yz mnoΩestva B– v ynterval [ 0, B ] ) na vre-
mennom otrezke [ 0, t ] y çyslo pereskokov processa çerez ynterval [ 0, B ] snyzu
vverx (çyslo pr¥Ωkov processa yz mnoΩestva B– v mnoΩestvo B+ ) na vremen-
nom otrezke [ 0, t ]. Oboznaçym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
946 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
m e e T B dxs x s xx
γ
λ τλ
∨
= ∈[ ]
∞
− −∫ [ ]
0
0E ; , , ˆ E ;m e e T B dxs x s xx
γ
λ τλ= >
∞
− −∫ [ ]
0
,
M c s
c s
e T Bx
s s c s T xx x
( ) [ ]( ) = − ( )
∈[ ]
∨ − − ( )1 0
λ
τE ; , ,
M e M c s dxs x
x
s( ) = ( )
∞
−∫ ( )
∨ ∨
λ λ λ
0
,
(46)
ˆ E ;M c s
c s
e T Bx
s s c s T xx x
( ) [ ]( ) = − ( )
>− − ( )1
λ
τ
,
ˆ ˆM e M c s dxs x
x
s( ) = ( )
∞
−∫ ( )λ λ λ
0
.
Teorema 5. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s pokaza-
tel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6). Tohda
pry vsex y ∈ R dlq proyzvodqwej funkcyy sovmestnoho raspredelenyq
{ }− −( ) ( )β γν νs s
y y, çysla vxoΩdenyj processa y + ξ ( ⋅ ) v ynterval [ 0, B ] snyzu y
çysla pereskokov processa y + ξ ( ⋅ ) çerez ynterval [ 0, B ] snyzu vverx na po-
kazatel\no raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ] pry s > 0, a, b ∈ [ 0, 1 ]
spravedlyv¥ ravenstva
E
ˆ
ˆa b
m am bm
aM bM
c s
es s
y y
s s s
s s
yc sβ γ γ γ γν ν
λ λ λ
− −( ) ( ) − ( )= −
− −
− ( ) − ( )
− ( )
∨
∨1
1
1 , y ≥ 0,
(47)
E ˆ
ˆ
ˆa b m am bm
aM c s bM c s
aM bM
s s
y y
y
s
y
s
y
s y
s
y
s
s s
β γν ν
λ λ
− −(− ) (− ) = − ( − − ) +
( ) + ( )
− ( ) − ( )
( ) ( )∨
∨
∨1 1
1
, y > 0,
hde my
s = my
s∨
+ m̂y
s
. V çastnosty, dlq sovmestnoho raspredelenyq { − ( )βνs
y ,
γ νs
y− ( )} pry y ≥ 0 spravedlyv¥ formul¥
P , ˜ , E[ ]− − −( ) = ( ) = = ( )( − )β γν ν
τ
s s
yy n y m B n m m es
y
s s
1 +
+ ˜ , EB n m m e Ms
y
s s sy( − ) − ( )( )−∨ ∨
1
τ λ +
+ ˜ , ˆ E ˆB n m m e Ms
y
s s sy( − ) − ( )( )−
1
τ λ , n, m ∈ N ∪ 0,
hde Ee
s y− τ
= ( )− ( ) − ( )1 c s e yc s/ λ ,
˜ , ˆB n m
n m
n
M Ms s n s m( ) =
+
( ) ( )( ) ( )∨
λ λ , B n ms( ), = 0, pry min { n, m } < 0.
Dokazatel\stvo. Vvedem sledugwye oboznaçenyq:
B a b s a bs sv v v( ) =
− −( ) ( )
, , E
β γν ν , v ≥ 0;
B a b s a bs s
v
v v( ) =
− −(− ) (− )
, , E
β γν ν , v > 0,
Dlq vvedenn¥x proyzvodqwyx funkcyj, uçyt¥vaq formulu polnoj veroqt-
nosty, odnorodnost\ processa po prostranstvu y markovost\ sluçajn¥x momen-
tov τx , τ
x
, x ≥ 0, netrudno poluçyt\ systemu uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 947
B a b s e e T dl B a b ss s
l
v
v
v v( ) = − + ∈ ( )−
∞
−∫ [ ], , E E ; , ,1
0
τ τ
, v ≥ 0,
B a b s e a e T dl B a b ss
B
s l
v
vv v
( ) = − + ∈ ( )− −∫ [ ], , E E ; , ,1
0
τ τ +
+
b e T dl B a b s
B
s l
∞
−∫ [ ]∈ ( )E ; , ,τv v
, v > 0.
Podstavlqq v πty uravnenyq v¥raΩenye dlq yntehral\noho preobrazovanyq
sovmestnoho raspredelenyq { τv , Tv } yz pervoj formul¥ (9), poluçaem
B a b s
c s
e B s
c s
ec s c sv v v( ) = − − ( )
+ ( ) − ( )
− ( ) − ( ), , ,1 1 1
λ
λ
λ
, v ≥ 0,
(48)
B a b s m a m dl B a b s b m dl B a b ss
B
s l
B
s l
v v v v( ) = − + ( ) ( ) + ( ) ( )∫ ∫
∞
, , , , , ,1
0
, v > 0,
hde
B s e B a b s dxx
x( ) = ( )
∞
−∫λ λ λ, , ,
0
, m dl e T dls s
v
vv
( ) = ∈[ ]−E ;τ
.
Esly funkcyq B s( )λ, budet opredelena, to tem sam¥m ravenstvamy (48) budut
opredelen¥ funkcyy B a b sv( ), , , B a b sv( ), , .
Sostavym uravnenye dlq funkcyy B s( )λ, . Podstavlqq vo vtoroe yz uravne-
nyj (48) v¥raΩenye dlq B a b sv( ), , yz pervoho uravnenyq, naxodym
B a b s m am bms s s
v v v v( ) = − + +∨
, , ˆ1 –
– aM c s bM c s B s aM c s bM c ss s s s
v v v v( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) − ( ) + ( ) ( ) + ( )
∨∨ ˆ , ˆλ , (49)
hde funkcyy M c ss
v( )( )
∨
, M̂ c ss
v( )( ) opredelen¥ formulamy (46). UmnoΩaq obe
çasty πtoho ravenstva na λ λe− v
y v¥polnqq v obeyx çastqx yntehryrovanye po
vsem v ≥ 0, poluçaem lynejnoe uravnenye dlq funkcyy B s( )λ, :
B s m am bm aMs s s s( ) = − + + − ( )
∨∨λ λγ γ γ, ˆ1 –
– bM B s aM bMs s sˆ , ˆ( ) + ( ) ( ) + ( )( )∨
λ λ λ λ .
Yz πtoho uravnenyq ymeem
B s
m am bm
aM bM
s s s
s s( ) = −
− −
− ( ) − ( )
∨
∨λ
λ λ
γ γ γ,
ˆ
ˆ1
1
, a, b ∈ [ 0, 1 ]. (50)
Podstavlqq pravug çast\ formul¥ (50) v pervoe yz ravenstv (48), naxodym
funkcyg
B a b s
m am bm
aM bM
c s
e
s s s
s s
c sv v( ) = −
− −
− ( ) − ( )
− ( )
− ( )
∨
∨, ,
ˆ
ˆ1
1
1γ γ γ
λ λ λ
, v ≥ 0, (51)
y pervoe yz ravenstv (47). Podstavlqq pravug çast\ formul¥ (50) v ravenstvo
(49), poluçaem v¥raΩenye dlq funkcyy B a b sv( ), , :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
948 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
E ˆ
ˆ
ˆa b m am bm
aM c s bM c s
aM bM
s s s s s
s s
s s
β γν ν
λ λ
− −(− ) (− ) = − ( − − ) + ( ) + ( )
− ( ) − ( )
( ) ( )∨
∨
∨
v v
v v v
v v1 1
1
, v > 0,
y vtoroe yz ravenstv (47). Sravnyvaq v obeyx çastqx ravenstva (51) koπffy-
cyent¥ pry a bn m
, n, m ∈ N ∪ 0, naxodym raspredelenyq sluçajn¥x velyçyn
{ }− −( ) ( )β γν νs s
v v, , v ≥ 0, y tret\e ravenstvo teorem¥.
Teorema dokazana.
Sledstvye 4. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s po-
kazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6).
Tohda dlq proyzvodqwej funkcyy raspredelenyq çysla pereskokov γ νs
y− ( ), y ∈
∈ R, processa y + ξ ( ⋅ ) çerez ynterval [ 0, B ] vnyzu vverx na pokazatel\no
raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ] pry s > 0 spravedlyv¥ ravenstva
E
ˆ
ˆb
b m
M bM
c s
es
y
s
s s
yc sγ γν
λ λ λ
− ( ) − ( )= −
( − )
− ( ) − ( )
− ( )
∨1
1
1
1 , y ≥ 0,
E ˆ
ˆ
ˆ
ˆb b m
b m
M bM
M c s bM c ss
y s
s
s s y
s
y
sγ
γ
γν
λ λ
− (− ) = − ( − ) −
( − )
− ( ) − ( )
( ) + ( )( ( ) ( ))∨
∨
1 1
1
1
, y > 0.
V çastnosty, pry y ≥ 0 dlq raspredelenyq γ νs
y− ( ) spravedlyva formula
P
ˆ
[ ]−
{ = }
− ( )( ) = = −
− ( )
− ( )
∨γ
λ λν
γ
s
y n
m
M
c s
en
s
s
yc sI 0 1
1
1 +
+ I{ ∈ }
−
− ( )
− ( )
− ( )
− ( )
( )
− ( )
− ( )
∨∨∨n
s
s
s
s
s
s
n
yc sm
M
M
M
M
M
c s
e
N
ˆ ˆγ
λ
λ
λ
λ
λ λ1
1
1 1
1
1
,
hde Ms( )λ = M̂s( )λ + Ms( )
∨
λ .
Dokazatel\stvo. Polahaq v ravenstvax (47) a = 1, poluçaem dva perv¥x
ravenstva sledstvyq. Sravnyvaq v obeyx çastqx pervoho ravenstva sledstvyq
koπffycyent¥ pry bn
, n ∈ N ∪ 0, naxodym tret\e ravenstvo sledstvyq. Po-
lahaq v ravenstvax (47) b = 1, poluçaem analohyçnoe sledstvye dlq proyzvodq-
wej funkcyy y raspredelenyq sluçajnoj velyçyn¥ βνs
y− ( ) , y ∈ R.
6. Supremum, ynfymum y znaçenye processa Puassona. V πtom punkte
dlq processa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj kompo-
nentoj opredelym sovmestnoe raspredelenye { ξ–
( νs ), ξ ( νs ), ξ+
( νs ) }. ∏to ras-
predelenye budet poluçeno kak sledstvye teorem¥, pryvedennoj v [11] dlq od-
norodnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy. Dlq πtoho nam neobxodymo
yzmenyt\ prostranstvennoe raspoloΩenye yntervala y processa, a takΩe vvesty
nov¥e oboznaçenyq.
Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥my pryrawenyq-
my y kumulqntoj (1), x, y ≥ 0, x + y = B, ξ ( 0 ) = 0,
χ = inf { t : ξ ( t ) ∉ [ – y, x ] }, X = ( ξ ( χ ) – x ) IAx + ( – ξ ( χ ) – y ) IAy
— moment pervoho v¥xoda processa ξ ( t ) yz yntervala [ – y, x ] y velyçyna pe-
reskoka çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda, hde Ax = { ξ ( χ ) > x }, A y =
= { ξ ( χ ) < – y } — sob¥tyq, na kotor¥x proysxodyt v¥xod processa yz ynterva-
la. Po sravnenyg s pred¥duwymy punktamy m¥ sdvynuly ynterval [ 0, B ] y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 949
process y + ξ ( t ) vnyz na y. V sylu odnorodnosty processa po prostranstvu yn-
tehral\noe preobrazovanye sovmestnoho raspredelenyq { χ, X } dlq processa s
kumulqntoj (1) opredeleno ravenstvamy (14), a dlq processa Puassona s kumu-
lqntoj (6) — ravenstvamy (17) – (19).
Pryvedem teoremu, kotoraq qvlqetsq klgçevoj pry yzuçenyy dannoho dvux-
hranyçnoho funkcyonala dlq odnorodn¥x processov s nezavysym¥my pryrawe-
nyqmy.
Teorema 6 [11]. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysy-
m¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1), x, y ≥ 0, x + y = B, ξ ( 0 ) = 0, y
Qs
( p ) =
−
− − + − ( )∫ [ ] [ ]− ≤ ( ) ( ) ∈ ( ) ≤ = >
y
x
up
s s s
p
se y du x e sP , , E ;ξ ν ξ ν ξ ν χ νξ ν
.
Dlq yntehral\noho preobrazovanyq sovmestnoho raspredelenyq { ξ–
( νs ), ξ ( νs ),
ξ+
( νs ) } v¥polnqetsq ravenstvo
Qs
( p ) =
U x e e e X d A U Bp
s yp p s
y p
s( ) − ∈ ( + )
∞
−∫ [ ]
0
v v vE ; ;χ , Re p ≤ 0, (52)
hde
U x e x e e xp
s p
s
p p
s
s s s( ) = ( ) ≤ = ( ) ≤[ ] [ ]− ( ) + − ( ) − ( ) +− +
E ; E E ;ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν (53)
— yntehral\noe preobrazovanye sovmestnoho raspredelenyq { ξ ( νs ), ξ +
( νs ) },
opredelennoe ravenstvom (3), a yntehral\n¥e preobrazovanyq sovmestnoho
raspredelenyq { χ, X } opredelen¥ ravenstvamy (14).
Formul¥ (52) pozvolqgt πffektyvno v¥çyslqt\ sovmestnoe raspredelenye
{ ξ–
( νs ), ξ ( νs ), ξ+
( νs ) } dlq çastn¥x prymerov (sm. takΩe [11, 19]) odnorodnoho
processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy.
Sledstvye 5. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — process Puassona s pokazatel\no
raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6), x, y ≥ 0, x + y =
= B, ξ ( 0 ) = 0. Tohda dlq sovmestnoho raspredelenyq { ξ–
( νs ), ξ ( νs ), ξ+
( νs ) }
spravedlyva formula
P inf , , sup[ ]− ≤ ( ) ( ) ≤ ( ) ≤
≤ ≤
y t u t x
t
s
ts s
ν ν
ξ ξ ν ξ =
= se
R x
R s
R d s R d sR uB s
B
u y
s
u
s s
−
+( )
( )
( ) − ( ) + ( )∫ ∫λ
λ
λˆ ,
0 0
v v v v , u ∈ [ – y, x ]. (54)
Dokazatel\stvo. Opredelym dlq processa Puassona funkcyg U xp
s ( ) , x ≥
≥ 0. Yspol\zuq formul¥ (7) dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj ξ–
( νs ), ξ+
( νs )
y ravenstvo (53), naxodym yntehral\noe preobrazovanye sovmestnoho rasprede-
lenyq { ξ ( νs ), ξ+
( νs ) }:
0
1
∞
−∫ ( ) = −
( ) −
− ( ) −
( + )e U x dx s
p
c s p
c s p
z
R p z sz x
p
s λ
, , Re z ≥ 0.
Yspol\zuq opredelenye rezol\vent¥ (13) dlq obrawenyj preobrazovanyj Lap-
lasa v pravoj çasty πtoho ravenstva, naxodym rezol\ventnoe predstavlenye
funkcyy U xp
s ( ) :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
950 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
U x s
p
c s p
e R x s p e R u dup
s xp
s
x
up
s( ) = −
( ) −
( ) − ( − ) ( )− −∫λ λ
0
, x ≥ 0.
Dalee, yz pervoho yz ravenstv (19) ymeem
E ; , ˆ ,
[ ]− − ( + )∈ = ( )
( )
e X du A e
R x
R s
dus
y
u B s
B
χ λ
λ
.
Podstavlqq v¥raΩenyq dlq funkcyj U xp
s ( ) , x ≥ 0, E ; ,[ ]− ∈e X du As
y
χ
v ra-
venstvo (52) y provodq neobxodym¥e v¥çyslenyq, naxodym
Qs
( p ) = E ;[ ]− ( ) >e p
s
sξ ν χ ν =
= s p e R u du se R x se
R x
R s
e R u du
x
up
s
xp
s
B s
B
p u y
s( − ) ( ) + ( ) + ( )
( )
( )∫ ∫− − − − ( − )λ
λ
λ
0 0
ˆ ,
.
Netrudno poluçyt\ sledugwee ravenstvo:
−
− −∫ [ ] ( )( ) ≤ > = ( ) − [ > ]
y
x
up
s s
s
s
xpe u du
p
Q p eP , Pξ ν χ ν χ ν1
. (55)
Yspol\zuq oçevydnoe toΩdestvo λ λˆ ,S sB( ) = ˆ ,R s e S BB
B
s( ) + ( )−λ λ
, yz tret\ej
yz formul (19) naxodym v¥raΩenye dlq P[ > ]χ νs :
P ˆ ,
[ > ] = ( ) + ( )
( )
( ) − ( )− ∫ ∫χ ν
λ
λλ
s s
B s
B
B
s
x
ssR x se
R x
R s
R u du s R u du
0 0
.
Podstavlqq v ravenstvo (55) najdenn¥e v¥raΩenyq dlq Qs
( p ), P[ > ]χ νs y
provodq neobxodym¥e v¥çyslenyq, ymeem
−
−
≤ ≤
∫ [ ]− ≤ ( ) ( ) ≤ ( ) ≤
y
x
pu
t
s
t
e y t u t x du
s s
P inf , , sup
ν ν
ξ ξ ν ξ =
=
−
− −
+
∫ ∫ ∫( )
( )
( ) − ( ) + ( )
y
x
pu B s
B
u y
s
u
s se se
R x
R s
R d s R d sR u duλ
λ
λˆ ,
0 0
v v v v ,
hde R us( ) = 0 pry u < 0. Poluçennaq formula — sut\ ravenstvo dvux preobra-
zovanyj Laplasa. Sledovatel\no, sovpadagt funkcyy-oryhynal¥ levoj y pra-
voj çastej πtoho ravenstva, y, takym obrazom, naxodym ravenstvo (54), hde
Rs( )v = 0 pry v < 0. Otmetym, çto dlq celoçyslennoho sluçajnoho bluΩdanyq
s heometryçesky raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj v [20] pryveden¥
rezol\ventn¥e predstavlenyq, analohyçn¥e πtym ravenstvam.
7. Pereseçenyq yntervala processom Puassona. V πtom punkte dlq pro-
cessa Puassona s pokazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj op-
redelym sovmestnoe raspredelenye çysla pereseçenyj yntervala [ – y, x ] sverxu
y snyzu na pokazatel\no raspredelennom vremennom otrezke [ 0, νs ]. ∏to ras-
predelenye budet poluçeno kak sledstvye sootvetstvugwej teorem¥ dlq odno-
rodnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy.
Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥my pryrawenyq-
my y kumulqntoj (1). V predpoloΩenyy ξ ( 0 ) = – ( v + y ), v > 0, çerez iv =
= inf { t : ξ ( t ) > x } oboznaçym moment pervoho pereseçenyq processom yntervala
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 951
[ – y, x ] snyzu, pry ξ ( 0 ) = v + x, v > 0, çerez iv = inf { t : ξ ( t ) < – y } — moment
pervoho pereseçenyq processom yntervala [ – y, x ] sverxu. Pust\ ξ ( 0 ) = 0. Vve-
dem sluçajn¥e velyçyn¥: αt
+
— çyslo pereseçenyj yntervala [ – y, x ] snyzu
vverx processom do momenta t; αt
−
— çyslo pereseçenyj yntervala [ – y, x ]
sverxu vnyz processom do momenta t.
Teorema 7 [23]. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — odnorodn¥j process s
nezavysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1), B > 0, x ∈ [ 0, B ], y = B – x.
Tohda dlq sovmestnoho raspredelenyq { }+ −α αν νs s
, çysla pereseçenyj ynterva-
la [ – y, x ] processom snyzu vverx y sverxu vnyz dlq vsex n ∈ N ∪ 0 spravedly-
v¥ ravenstva
P ,[ ]+ −= = +α αν νs s
n n 1 =
=
0 0 0
1
∞
−
∞
+
( )
∞
−
+
−∫ ∫ ∫[ ] [ ]∈ ( ) ∈ ( − )+ +
E ; , , , E ; Ee X d A K du s e T dl es x n s
u B
su B
l Bχ τ τv v ,
P ,[ ]+ −= + =α αν νs s
n n1 =
=
0 0 0
1
∞
−
∞
−
( )
∞
− + −∫ ∫ ∫[ ] [ ]∈ ( ) ∈ ( − )
+ +E ; , , , E ; Ee X d A K du s e T dl es
y
n s u B su B
l Bχ τ τ
v v ,
P[ ]+ −
{ = }= = =α αν νs s
n nI 0 –
– I{ = }
∞
− −
∞
− −∫ ∫[ ] [ ]∈ + ∈
+ +
n
s x s s
y
se X d A e e X d A eB
B
0
0 0
E ; , E E ; , Eχ τ χ τv vv
v
+
+
I{ ∈ }
∞
−
∞
+
( ) −∫ ∫[ ]∈ ( )( − )+
n
s x n s
e X d A K du s e u B
N
0 0
1E ; , , , Eχ τ
v v +
+
I{ ∈ }
∞
−
∞
−
( ) −∫ ∫[ ]∈ ( )( − )
+
n
s
y
n se X d A K du s e
u B
N
0 0
1E ; , , , Eχ τv v ,
hde K du s±
( )( )0 v, , =df
δ ( v – u ) du, a funkcyy E ; ,[ ]− ∈e X d As xχ v , E[ −e sχ ; X ∈
∈ d Ayv, ] y posledovatel\n¥e yteracyy K du sn
±
( )( )v, , , n ∈ N, q d e r K±(v ,
du, s) opredelen¥ ravenstvamy (14) – (16).
Dlq processa Puassona ravenstva (14) – (16) uprowagtsq. Oboznaçym
T s e e e e e dxs s c s T s x s c s TB
B B
B
x B x B
( ) = =− − − ( ) −
∞
− − − ( )[ ] [ ]
+ + + +
∫E E E Eτ τ τ λ τγ γ
λ
0
.
Sledstvye 6. Pust\ ξ ( t ) ∈ R, t ≥ 0, ξ ( 0 ) = 0, — process Puassona s po-
kazatel\no raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y kumulqntoj (6), B >
> 0, x ∈ [ 0, B ], y = B – x. Tohda dlq sovmestnoho raspredelenyq { }+ −α αν νs s
,
çysla pereseçenyj yntervala [ – y, x ] processom snyzu vverx y sverxu vnyz dlq
vsex n ∈ N ∪ 0 spravedlyv¥ ravenstva
P , ˆ ,
E[ ]+ − − − −= + = = − ( )
( )
( − ) ( )
+
α α
λ λν ν
τ λ τγ
s s
y
B
n n e e
R x
R s
e T s
s B s
B
s n1
1
1E ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
952 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
P , ˆ ,
E[ ] ( )+ − − −= = + = ( )
( )
− ( ) ( )
+
α α
λ λν ν
λ τγ
s s
B
n n e
R x
R s
e T s T sB s
B
s n1
1
,
P E ˆ ,
E[ ]+ −
{ = }
− − −= = = ( − ) + ( )
( )
( − ) ( )
+
α α
λ λν ν
τ λ τγ
s s
y
B
n e e
R x
R s
e T sn
s B s
B
s nI 0 1
1
1 +
+ I{ ∈ }
− − − −− ( )
( )
− ( ) ( )( )
+
n
s B s
B
s ne e
R x
R s
e T s T sy
B
N
E
τ λ τ
λ λ
γ1 1
ˆ ,
E ,
hde
ˆ ,R s e R x dxB
B
x
s( ) = ( )
∞
−∫λ λ
,
a funkcyy E exp{− }s xτ , E exp{− − }s zTx xτ , R xs( ), x ≥ 0, opredelen¥ raven-
stvamy (9), (13).
Dokazatel\stvo. Poluçym pervug formulu sledstvyq. Yz ravenstv (9) y
sledstvyq 1 dlq vsex v > 0, n ∈ N ymeem
E ;[ ∈ ] = − ( )− − ( )−( )e T du c s e dus
x
xc s uxτ λλ ,
Ee
c s
es xc sx− − ( )= − ( )
τ
λ
1 , x ≥ 0,
E ; , E ; E ; E ;[ ] [ ] [ ] [ ]− − − − +∈ = ∈ − ∈
+
e X du A e T du e A e T dus x s x s
y
s Bx Bχ τ χ τ γγ
,
K du s e e T du T sn s s B nB
B
+
( ) − − + −( ) = ∈ ( )+ +
[ ]v v, , E E ;
τ τ γγ 1
.
Podstavlqq v¥raΩenyq dlq πtyx funkcyj v pervoe ravenstvo teorem¥ 7, polu-
çaem pervoe ravenstvo sledstvyq. Spravedlyvost\ ostal\n¥x dvux formul
sledstvyq ustanavlyvaetsq analohyçno.
1. Skoroxod A. V. Sluçajn¥e process¥ s nezavysym¥my pryrawenyqmy. – M.: Nauka, 1964. –
280 s.
2. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Teoryq sluçajn¥x processov: V 2 t. – M.: Nauka, 1973. – T. 2.
– 639Rs.
3. Emery D. J. Exit problem for a spectrally positive process // Adv. Appl. Probab. – 1974. –
P. 498 – 520.
4. Peçerskyj E. A. Nekotor¥e toΩdestva, svqzann¥e s v¥xodom sluçajnoho bluΩdanyq yz ot-
rezka y yz poluyntervala // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1974. – 19, v¥p. 1. –
S.R104 – 119.
5. Suprun V. N., Íurenkov V. M. O rezol\vente processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy, ob-
r¥vagwehosq v moment v¥xoda na otrycatel\nug poluos\ // Yssledovanyq po teoryy slu-
çajn¥x processov. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1976. – S. 170 – 174.
6. Suprun V. N. Zadaça o razorenyy y rezol\venta obr¥vagwehosq procesa s nezavysym¥my
pryrawenyqmy // Ukr. mat. Ωurn. – 1976. – 28, # 1. – S. 53 – 61.
7. Íurenkov V. M. Predel\noe raspredelenye momenta v¥xoda y poloΩenyq v moment v¥xoda
yz ßyrokoho yntervala dlq processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy y skaçkamy odnoho
znaka // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1978. – 23, v¥p. 2. – S. 419 – 425.
8. D¥nkyn E. B. Markovskye process¥. – M.: Fyzmathyz, 1963. – 859 s.
9. Korolgk V. S. Hranyçn¥e zadaçy dlq sloΩn¥x puassonovskyx processov. – Kyev: Nauk.
dumka, 1975. – 240 s.
10. Bratyjçuk N. S., Husak D. V. Hranyçn¥e zadaçy dlq processov s nezavysym¥my pryrawe-
nyqmy. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. – 264 s.
11. Kadankov V. F., Kadankova T. V. O raspredelenyy momenta pervoho v¥xoda yz yntervala y
velyçyn¥ pereskoka hranyc¥ dlq processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy y sluçajn¥x
bluΩdanyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 10. – S. 1359 – 1384.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
DVUXHRANYÇNÁE ZADAÇY DLQ PROCESSA PUASSONA … 953
12. Kadankov V. F., Kadankova T. V. On the disribution of the moment of the first exit-time an
interval and the value of overjump through borders interval for the processes with independent
increments and random walks // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2005. – 13 , # 3. –
P. 219 – 244.
13. Rohozyn B. A. O raspredelenyy nekotor¥x funkcyonalov, svqzann¥x s hranyçn¥my zadaça-
my dlq processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. –
1966. – 11, v¥p. 4. – S. 656 – 670.
14. Peçerskyj E. A., Rohozyn B. A. O sovmestn¥x raspredelenyqx sluçajn¥x velyçyn, svqzan-
n¥x s fluktuacyqmy s nezavysym¥my pryrawenyqmy // Tam Ωe. – 1969. – 14, v¥p. 3. – S. 431
– 444.
15. Borovkov A. A. Veroqtnostn¥e process¥ v teoryy massovoho obsluΩyvanyq. – M.: Nauka,
1972. – 368 s.
16. Zolotarev V. M. Moment pervoho proxoΩdenyq urovnq y povedenye na beskoneçnosty odno-
ho klassa processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq.
– 1964. – 9, v¥p. 4. – S. 724 – 733.
17. Kadankov V. F., Kadankova T. V. On the disribution of duration of stay in an interval of the semi-
continuous process with independent increments // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2004. – 12,
# 4. – P. 365 – 388.
18. Kadankova T. V. On the distribution of the number of the intersections of a fixed interval by the
semi-continuous process with independent increments // Theory Stochast. Process. – 2003. – # 1 –
2. – P. 73 – 81.
19. Kadankova T. V. Pro sumisnyj rospodil supremum’a, infimum’a ta znaçennq napivnepererv-
noho procesu z nezaleΩnymy pryrostamy // Teoriq jmovirnostej i mat. statystyka. – 2004. –
70. – S. 56 – 65.
20. Kadankova T. V. Dvohranyçni zadaçi dlq vypadkovoho blukannq z heometryçno rozpodileny-
my vid’[mnymy strybkamy // Tam Ωe. – 2003. – 68. – S. 60 – 71.
21. Dytkyn V. A., Prudnykov A. P. Operacyonnoe ysçyslenye. – M.: V¥sß. ßk., 1966. – 406 s.
22. Petrovskyj Y. H. Lekcyy po teoryy yntehral\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1965. – 127 s.
23. Kadankov V. F., Kadankova T. V. Intersections of an interval by a process with independent
increments // Theory Stochast. Process. – 2005. – 11(27), # 1 – 2. – P. 54 – 68.
Poluçeno 08.07.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
|