Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса

Знайдено постановки та розв'язано екстремальні задачi теорії потенціалу, які є дуальними до варіаційної задачі Гаусса, але, на відміну від останньої, завжди розв'язні. Встановлено також твердження про компактність класів розв'язків та неперервність екстремалей....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Зорий, Н.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165161
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса / Н.В. Зорий // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 6. — С. 747–764. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165161
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1651612020-02-13T01:27:34Z Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса Зорий, Н.В. Статті Знайдено постановки та розв'язано екстремальні задачi теорії потенціалу, які є дуальними до варіаційної задачі Гаусса, але, на відміну від останньої, завжди розв'язні. Встановлено також твердження про компактність класів розв'язків та неперервність екстремалей. We formulate and solve extremal problems of potential theory that are dual to the Gauss variational problem but, unlike the latter, are always solvable. Statements on the compactness of classes of solutions and the continuity of extremals are also established. 2006 Article Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса / Н.В. Зорий // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 6. — С. 747–764. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165161 517.982.26 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Зорий, Н.В. Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса Український математичний журнал
description	Знайдено постановки та розв'язано екстремальні задачi теорії потенціалу, які є дуальними до варіаційної задачі Гаусса, але, на відміну від останньої, завжди розв'язні. Встановлено також твердження про компактність класів розв'язків та неперервність екстремалей.
format	Article
author	Зорий, Н.В.
author_facet	Зорий, Н.В.
author_sort	Зорий, Н.В.
title	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса
title_short	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса
title_full	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса
title_fullStr	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса
title_full_unstemmed	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса
title_sort	экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче гаусса
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165161
citation_txt	Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса / Н.В. Зорий // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 6. — С. 747–764. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT zorijnv ékstremalʹnyezadačidualʹnyekvariacionnojzadačegaussa
first_indexed	2025-07-14T17:59:44Z
last_indexed	2025-07-14T17:59:44Z
_version_	1837646202114408448
fulltext	УДК 517.982.26 Н. В. Зорий (Ин-т математики НАН Украины, Киев) ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА We formulate and solve extremal problems of the theory of potentials which are dual to the Gauss variational problem, but in contrast to the last one, are always solvable. Statements on compactness of the classes of their solutions and continuity of extremals are also established. Знайдено постановки та розв’язано екстремальнi задачi теорiї потенцiалу, якi є дуальними до варiа- цiйної задачi Гаусса, але, на вiдмiну вiд останньої, завжди розв’язнi. Встановлено також твердження про компактнiсть класiв розв’язкiв та неперервнiсть екстремалей. Введение. Настоящая работа посвящена экстремальным задачам линейной тео- рии потенциала в локально компактном отделимом пространстве X. Необходимые сведения из теории мер и интегрирования содержатся в [1, 2] (см. также краткие обзоры в [3, 4]). Под ядром κ на X будем понимать полунепрерывную снизу функцию κ : X×X → (−∞,∞]. Следуя [3], предполагаем, что в случае некомпактного X ядро κ неотрицательно. Пусть M = M(X) — линейное пространство всех вещественнозначных мер Ра- дона на X, снабженное топологией широкой сходимости [1]. Энергия и потенциал меры ν ∈ M относительно ядра κ определяются соответственно равенствами [3] κ(ν, ν) := ∫ κ(x, y) d(ν ⊗ ν)(x, y) и κν(x) := κ(x, ν) := ∫ κ(x, y) dν(y), x ∈ X (конечно, если соответствующий интеграл определен как конечное число или±∞). Обозначим через E = Eκ(X) множество всех ν ∈ M с −∞ < κ(ν, ν) <∞. В последние десятилетия резко возрос интерес к задаче о минимуме энергии при наличии внешних полей, известной под названием вариационной задачи Гаусса (см., например, [5 – 12]). Речь идет о минимизации выражения Ff (ν) := κ(ν, ν)− 2 ∫ f dν, где f — вещественнозначная универсально измеримая функция с областью опре- деления в X, а ν пробегает заданное подмножество из E . Интерес к этой задаче обусловлен как ее очевидными физическими интерпретациями, так и многочислен- ными существенными приложениями к задачам математической физики, теории потенциала и конструктивной теории функций (см., например, [6] и приведенную в ней библиографию). Однако в недавних работах автора [7, 10, 12] было показано, что вариационная задача Гаусса, вообще говоря, неразрешима, причем этот феномен проявляется не в каких-то экзотических случаях, а при простых и естественных условиях на пара- метры задачи (в частности, для классических ядер в евклидовых пространствах). c© Н. В. ЗОРИЙ, 2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 747 748 Н. В. ЗОРИЙ В настоящей работе при весьма общих предположениях найдены постановки и решения экстремальных задач, дуальных к вариационной задаче Гаусса (в том смысле, что соответствующие экстремальные характеристики совпадают), но, в отличие от последней, уже всегда разрешимых. Пусть для заданного множества Q ⊂ X M+(Q) обозначает класс всех мер ν > 0, сосредоточенных на Q. Обозначим E+(Q) := M+(Q) ∩ E . В случае Q = X указание на множество Q в этих обозначениях будем опускать. Обозначим через S( · ) носитель меры или функции. Если Y — топологическое пространство, то пусть C0(Y) обозначает класс всех непрерывных вещественно- значных функций на Y с компактным носителем, а Φ(Y) — класс всех полунепре- рывных снизу функций ψ на Y таких, что либо ψ > 0, либо S(ψ) компактно. 1. Предварительные сведения: топологии, согласованные ядра, теорема о полноте. Всюду в настоящей работе будем считать ядро κ положительно опреде- ленным. Это, напомним, означает, что κ симметрично (т. е. κ(x, y) = κ(y, x) для всех x, y) и энергия κ(ν, ν), ν ∈ M, неотрицательна, если только определена. Тогда множество E образует предгильбертово пространство со скалярным произведением κ(ν1, ν2) := ∫ κ(x, y) d(ν1 ⊗ ν2)(x, y) и полунормой ‖ν‖ := √ κ(ν, ν) (см., например, [3]). Топология на E , задаваемая полунормой ‖ · ‖, называется сильной. (Положительно определенное) ядро κ называется строго положительно опре- деленным, если полунорма ‖ · ‖ удовлетворяет аксиомам нормы. Меры ν1, ν2 ∈ E называются эквивалентными (в E), если ‖ν1 − ν2‖ = 0. Наряду с сильной топологией часто используется так называемая E-слабая то- пология на E , задаваемая системой полунорм µ→ \|κ(µ, ν)\|, ν ∈ E . Из неравенства Коши – Буняковского \|κ(µ, ν)\| 6 ‖µ‖ ‖ν‖, µ, ν ∈ E , очевидно сле- дует, что сильная топология на E сильнее E-слабой. Многие экстремальные задачи на классах неотрицательных мер удается ре- шить для так называемых согласованных ядер, введенных в 1960 г. Фугледе. Это, по определению, ядра, для которых сильная и широкая топологии на E+ (ин- дуцированные соответственно из E и M) удовлетворяют следующему условию согласованности [3]: (C) Каждая сильно фундаментальная направленность1 в E+ сильно сходится к каждой своей широкой предельной точке. С другой стороны, недавно автором (см. [11]) была показана эффективность применения концепции согласованных ядер в экстремальных задачах на классах знакопеременных мер, что обеспечивается следующей теоремой о полноте. Пусть E+ и E− — непустые непересекающиеся замкнутые множества в X, а (E+, E−) — их упорядоченная пара (часто называемая конденсатором). Через Eq(E+, E−), где q ∈ (0,∞), обозначим совокупность всех мер ν = ν+− ν− таких, что 1 Необходимость рассмотрения направленностей [2, 13] или фильтров [14], а не последова- тельностей, обусловлена тем, что широкая топология вM, вообще говоря, не удовлетворяет первой аксиоме счетности (см., например, [3]). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 749 ν+ ∈ E+(E+), ν− ∈ E+(E−), (ν+ + ν−)(X) 6 q. Тогда Eq(E+, E−) — полуметрическое пространство с (индуцированной из E) по- луметрикой ρ(ν1, ν2) := ‖ν1 − ν2‖. Теорема 1 [11]. Пусть ядро κ согласованно и ограничено сверху на E+×E−. Тогда полуметрическое пространство Eq(E+, E−) полно2, причем каждая сильная направленность Коши в Eq(E+, E−) сильно сходится к каждой своей широкой предельной точке. Замечание 1. Важно отметить, что условие согласованности (C) эквивален- тно (см. [16]) следующему условию: (CW) Каждая сильно ограниченная и широко сходящаяся направленность в E+ E-слабо сходится к своему широкому пределу. Замечание 2. В условиях теоремы 1 каждая широкая предельная точка фи- гурирующей в ее формулировке направленности автоматически имеет конечную энергию (и поэтому утверждение о сходимости в топологии пространства E корре- ктно). Аналогичное замечание справедливо применительно к условиям (C) и (CW). Внутреннюю емкость множества в X относительно ядра κ (см. [3]) обозначим через C( · ). Говорят, что утверждение R(x), содержащее переменную точку x ∈ ∈ X, справедливо приблизительно всюду (пр. вс.) в Q, если C(N) = 0, где N — множество всех тех x ∈ Q, для которых R(x) ложно. 2. Обозначения, определения. Пусть m, p ∈ N, где m 6 p, фиксированы. Обозначим I := {1, . . . , p}, I+ := {1, . . . ,m}, I− := I \ I+, αi := { +1, если i ∈ I+, −1, если i ∈ I−. Пусть N = N(m, p) обозначает множество в M, состоящее из всех линейных комбинаций вида µ = ∑ i∈I αi µ i, где µi > 0. Два элемента из N, µ1 и µ2, будем считать тождественными в том и только в том случае, когда они равны покоординатно: µ1 ≡ µ2 ⇐⇒ µi 1 = µi 2 ∀ i ∈ I; нетождественные элементы из N будем считать различными. Тогда, очевидно, следующее соответствие взаимно однозначно: N 3 µ 7→ (µi)i∈I ∈ ∏ i∈I M+. Отметим, что так определенное отношение тождества на N сильнее, чем обычное отношение равенства, унаследованное из M. (Для обозначения последнего сохра- ним символ = .) 2 Напомним, что согласно известному контрпримеру Картана [15] все предгильбертово про- странство E не полно в сильной топологии даже в классическом случае ядра Ньютона \|x − y\|2−n в Rn, n > 3. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 750 Н. В. ЗОРИЙ ПустьA = (Ai)i∈I — упорядоченная совокупность непустых множествAi ⊂ X, i ∈ I, удовлетворяющих условию Ai ∩Aj = ∅ ∀ i ∈ I+, j ∈ I−. Обозначим M(A) := { µ ∈ N : µi ∈ M+(Ai) ∀ i ∈ I } , E(A) := M(A) ∩ E . Отметим, что унаследованное из N отношение тождества на M(A) или E(A) экви- валентно обычному отношению равенства мер в том и только в том случае, когда множества Ai, i ∈ I, попарно дизъюнктны. Всюду далее S обозначает направленное множество [13]. Для данного A = (Ai)i∈I обозначим A := (Ai )i∈I . Будем говорить, что на- правленность (µs)s∈S ⊂ M(A ) сходится к µ ∈ M(A ) A-широко, если µi s → µi широко, i ∈ I. СоответствующуюA-широкой сходимости топологию в M(A ) назовемA-широкой. Очевидно,A-широкая топология сильнее сужения широкой топологии на M(A ); они равносильны в том и только в том случае, когдаAi, i ∈ I, попарно дизъюнктны. 3. Вариационная задача Гаусса. Зафиксировав A = (Ai)i∈I , обозначим A := ⋃ i∈I Ai, A+ := ⋃ i∈I+ Ai, A− := ⋃ i∈I− Ai. Тогда, очевидно, A = A+ ∪A−, причем A+ ∩A− = ∅. Пусть, далее, a = (ai)i∈I — числовой вектор с ai > 0, i ∈ I, а g : A→ (0,∞) — непрерывная функция. Для данных κ, A, a, g и f (см. введение) рассмотрим классы мер E(A, a, g) := { µ ∈ E(A) : ∫ g dµi = ai ∀ i ∈ I } , Ef (A, a, g) := { µ ∈ E(A, a, g) : ∫ f dµ определен } и обозначим Ff (A, a, g) := inf µ∈Ef (A,a,g) Ff (µ). (Инфимум над пустым множеством, как обычно, полагаем равным +∞.) Всюду далее под вариационной задачей Гаусса будем понимать задачу миними- зацииFf (µ) в классе Ef (A, a, g); назовем ее такжеFf (A, a, g)-задачей. Ff (A, a, g)- задача называется разрешимой, если существуют минимизирующие меры λ: λ ∈ Ef (A, a, g), Ff (λ) = Ff (A, a, g). Класс всех таких λ обозначим через F sol f (A, a, g). В работах [7, 10, 12] при весьма общих предположениях на κ, g и f най- дены условия на A и a, необходимые и (или) достаточные для разрешимости ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 751 Ff (A, a, g)-задачи. В частности, доказано, что если множества Ai, i ∈ I, замкну- ты и имеют конечную внутреннюю емкость, то (при достаточно общих предпо- ложениях на другие параметры задачи) Ff (A, a, g)-задача разрешима для любого вектора a. И наоборот, если C(Aj) = ∞ для некоторого j ∈ I, то Ff (A, a, g)-задача не разрешима для всех a = (ai)i∈I с aj > Λ, где Λ — достаточное большое число. Полное описание множества всех векторов a, для которых (при фиксированных κ, A, g и f ) Ff (A, a, g)-задача не разрешима, дано в [12]. Замечание 3. Указанный феномен неразрешимости Ff (A, a, g)-задачи нео- жиданно проявляется (см. [17 – 21]) даже в простейшем случае, когда X — евкли- дово пространство Rn, n > 3, I+ и I− — одноточечные индексные множества, a1 = a2 = 1, f = 0, g = 1, а κ(x, y) — ядро Ньютона \|x− y\|2−n, Рисса \|x− y\|α−n, 0 < α < n, или Грина GD (здесь D ⊂ Rn — открытое множество, а GD — его обоб- щенная функция Грина). Отметим, что соответствующая этому случаю Ff (A, a, g)- задача является основной минимум-проблемой теории ньютоновых, риссовых или гриновых емкостей пространственных конденсаторов, построенной автором в [17 – 21] (см. также [4, 22]). Пусть E0 f (A, a, g) обозначает класс всех µ ∈ Ef (A, a, g) таких, что для каждого i ∈ I носитель S(µi) компактен и содержится в Ai. Через M0(A, a, g, f) обозначим множество всех направленностей (µs)s∈S ⊂ E0 f (A, a, g), удовлетворяющих усло- вию lim s∈S Ff (µs) = Ff (A, a, g), (1) а через M0(A, a, g, f) и M′(A, a, g, f) — совокупность всех сильных и, соответ- ственно, A-широких предельных точек всех (µs)s∈S ∈ M0(A, a, g, f). 4. Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса. Сфор- мулируем основные результаты настоящей работы. 4.1. Для каждого µ ∈ N (см. п. 2) обозначим Ψi(x, µ) := Ψi f, g(x, µ) := αi [ ai κ(x, µ)− f(x) g(x) − ∫ f dµi ] , x ∈ X, i ∈ I, (2) если, конечно, выражение в скобках определено. Пусть Γf (A, a, g) обозначает класс всех µ ∈ N ∩ E , для каждого из которых существуют bi(µ) ∈ R, i ∈ I, удовлетворяющие условиям Ψi(x, µ) > bi(µ) пр. вс. в Ai, i ∈ I, (3)∑ i∈I bi(µ) = Ff (A, a, g). (4) Используя универсальную измеримость функций Ψi( · , µ) и свойство полуад- дитивности внутренней емкости множеств (см. лемму 2.3.5 из [3] и следующие за ней следствие и замечание), можно доказать, что множество Γf (A, a, g) выпуклое. Обозначим Gf (A, a, g) := inf µ∈Γf (A,a,g) Ff (µ). Вариационную задачу о существовании и единственности меры ω со свойствами ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 752 Н. В. ЗОРИЙ ω ∈ Γf (A, a, g), Ff (ω) = Gf (A, a, g) назовем Gf (A, a, g)-задачей. Класс всех таких ω обозначим через Gsol f (A, a, g). Всюду далее будем предполагать выполненным (хотя бы) один из следующих случаев: f = κχ, где χ ∈ E , (5) или f ∣∣∣ Ai ∈ C0(Ai ), i ∈ I. (6) Кроме того, предполагаем, что ядро κ согласованно и либо m = p ( т. е. I− = ∅ ) , либо выполняется совокупность следующих условий: gmin := inf x∈A g(x) > 0, (7) sup x∈A+, y∈A− κ(x, y) <∞. (8) Теоремы 2 и 3 показывают, что в принятых условиях Gf (A, a, g)-задача дуальна к Ff (A, a, g)-задаче, но, в отличие от последней, уже всегда разрешима. Теорема 2. Справедливо тождество Gf (A, a, g) = Ff (A, a, g). (9) В теореме 3 и следствиях 1 и 2, посвященных вопросам разрешимости Gf (A, a, g)-задачи и единственности ее экстремалей, примем естественное усло- вие Gf (A, a, g) <∞. (10) Теорема 3. Gf (A, a, g)-задача разрешима. Более того, если (µs)s∈S — на- правленность из M0(A, a, g, f), то каждая мера γ ∈ M(A ), предельная к (µs)s∈S в A-широкой топологии (такие (µs)s∈S и γ существуют), является ее решением, т. е. M′(A, a, g, f) ⊂ Gsol f (A, a, g). (11) Минимизирующие в Gf (A, a, g)-задаче меры эквивалентны в E . Другими сло- вами, ‖ω1 − ω2‖ = 0 ∀ω1, ω2 ∈ Gsol f (A, a, g). (12) Следствие 1. Если, дополнительно, ядро κ строго положительно определе- но, то3 ω1 = ω2 ∀ω1, ω2 ∈ Gsol f (A, a, g). Следствие 2. Множества всех решений в Ff (A, a, g)- и Gf (A, a, g)-задачах связаны между собой следующим соотношением: F sol f (A, a, g) = Gsol f (A, a, g) ∩ E(A, a, g). (13) 3 При этом, вообще говоря, ω1 6≡ ω2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 753 4.2. В связи с теоремами 2 и 3 возникает вопрос: насколько можно сузить класс допустимых в Gf (A, a, g)-задаче мер, максимально увязав его с A, но не увеличив при этом экстремальную характеристику и сохранив утверждение о раз- решимости? Ответ на этот вопрос дает приведенная ниже теорема (см. также следующее за ней замечание). Введем в рассмотрение следующие классы мер: E(A,6 a, g) := { µ ∈ E(A) : ∫ g dµi 6 ai ∀ i ∈ I } , Γ̂f (A, a, g) := Γf (A, a, g) ∩ E(A,6 a, g). (14) Класс Γ̂f (A, a, g), будучи пересечением двух выпуклых множеств, является выпу- клым. Меняя в определениях Gf (A, a, g)-задачи и экстремальной характеристики Gf (A, a, g) класс допустимых мер Γf (A, a, g) на класс Γ̂f (A, a, g), получаем опре- деления вариационной Ĝf (A, a, g)-задачи и соответствующей ей экстремальной характеристики Ĝf (A, a, g). Пусть Ĝsol f (A, a, g) обозначает класс всех минимизи- рующих в Ĝf (A, a, g)-задаче мер ω̂. Теорема 4. Справедливы тождества Ĝf (A, a, g) = Gf (A, a, g) = Ff (A, a, g). (15) Если, дополнительно, выполняется условие Ĝf (A, a, g) <∞, (16) то класс Ĝsol f (A, a, g) не пуст, причем Ĝsol f (A, a, g) = Gsol f (A, a, g) ∩ E(A,6 a, g). (17) Замечание 4. В определении (14) класса мер, допустимых в Ĝf (A, a, g)-за- даче, нельзя, вообще говоря, опустить знак 6, не нарушив при этом утверждения о ее разрешимости. Это вытекает из следствия 2 ввиду того факта, что Ff (A, a, g)- задача, вообще говоря, не разрешима (даже для замкнутых Ai, i ∈ I). Замечание 5. Каждое из условий (10) и (16) выполняется тогда и только тогда, когда C(Ai) > 0 для всех i ∈ I. Это вытекает из тождества (15) и леммы 7 (см. п. 5). Замечание 6. Наконец, отметим, что Gf (A, a, g)- и Ĝf (A, a, g)-задачи разре- шимы даже в случае незамкнутых Ai, i ∈ I. 4.3. Пусть выполняется условие (10) и имеет место случай (5). Тогда удае- тся существенно уточнить теоремы 3 и 4 и, в частности, получить полное описание множеств Gsol f (A, a, g) и Ĝsol f (A, a, g). А именно, справедливы следующие утвер- ждения. Теорема 5. Классы Gsol f (A, a, g) и Ĝsol f (A, a, g) допускают представления Gsol f (A, a, g) = N ∩M0(A, a, g, f), (18) Ĝsol f (A, a, g) = E(A,6 a, g) ∩M0(A, a, g, f). (19) (ii) Класс Ĝsol f (A, a, g) сильно и A-широко (а поэтому и широко) компактен. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 754 Н. В. ЗОРИЙ (iii) Для каждой минимизирующей в Gf (A, a, g)- (аналогично, Ĝf (A, a, g)-зада- че) меры ω набор чисел bi(ω), i ∈ I, удовлетворяющих условиям (3) и (4) с µ ≡ ω, единствен. Если ωj , j = 1, 2, — две такие меры, то bi(ωj), j = 1, 2, связаны между собой соотношениями bi(ω1) + αi ∫ f dωi 1 = bi(ω2) + αi ∫ f dωi 2, i ∈ I. (20) 4.4. Через {K} = {K}A обозначим множество всех K = (Ki)i∈I таких, что Ki, i ∈ I, компактны иKi ⊂ Ai. На {K}A введем структуру частичного упорядоче- ния отношением ≺, где, по определению, K ≺ K′, если Ki ⊂ K ′ i, i ∈ I. Здесь K′ = = (K ′ i)i∈I . Из результатов работ [9, 10] следует, что если K пробегает направленное по отношению ≺ множество {K}A, то Ff (K, a, g), убывая, стремится к Ff (A, a, g): Ff (K, a, g) ↓ Ff (A, a, g). (21) Комбинируя (21) с тождеством (15), заключаем, что аналогичное утверждение о непрерывности справедливо для каждой из характеристик Gf ( · , a, g) и Ĝf ( · , a, g): Gf (K, a, g) ↓ Gf (A, a, g), Ĝf (K, a, g) ↓ Ĝf (A, a, g), если K ↑ A. (22) Пусть выполняется условие (16) и имеет место случай (5). Тогда утвержде- ние (22) допускает следующее существенное усиление и уточнение. Теорема 6. Зафиксируем ω̂K ∈ Ĝsol f (K, a, g), где K � K′ (K′ ∈ {K}A — достаточно большое). Тогда A-широкое предельное множество направленности (ω̂K)K�K′ непусто, и для каждого его элемента ω̂A справедливы следующие со- отношения: ω̂A ∈ Ĝsol f (A, a, g), (23) ω̂K → ω̂A сильно, Ff (ω̂K) ↓ Ff (ω̂A). (24) Кроме того, если (ω̂Ks)s∈S — поднаправленность направленности (ω̂K)K�K′ , A-широко сходящаяся к ω̂A, то bi(ω̂A) = lim s∈S bi(ω̂Ks ), i ∈ I, (25) где bi( · ), i ∈ I, — числа, однозначно определенные теоремой 5. 5. Вспомогательные утверждения. Приведенные в настоящем пункте утвер- ждения имеют вспомогательный характер и используются при доказательстве тео- рем 2 – 6. 5.1. Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [3]). Лемма 1. Если Y — локально компактное хаусдорфово пространство, то для каждого фиксированного ψ ∈ Φ(Y) отображение ν 7→ ∫ ψ dν, ν ∈ M+(Y), полунепрерывно снизу в широкой топологии. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 755 Лемма 2. Множество E(A,6 a, g) A-широко ограничено. Доказательство. Действительно, для доказательства этого утверждения до- статочно для каждого компактного множества K ⊂ Ai, i ∈ I, доказать неравенство sup µ∈E(A,6a,g) µi(K) <∞, (26) а это очевидно вследствие непрерывности и положительности функции g и со- отношений ai > ∫ g dµi > µi(K) min x∈K g(x), µ ∈ E(A,6 a, g). Лемма 2 доказана. Лемма 3. Если направленность (µs)s∈S ⊂ E(A,6 a, g) сильно ограничена, то ее A-широкое предельное множество непусто и содержится в E(A,6 a, g). Доказательство. Прежде всего, отметим, что в принятых условиях выполня- ется sup s∈S ‖µi s‖ <∞, i ∈ I. (27) Действительно, если m = p, а κ > 0, то (27) непосредственно вытекает из сильной ограниченности (µs)s∈S . В противоположном случае либо имеет место совокупность условий (7) и (8), либо m = p, а X компактно (и поэтому снова выполняется (7) и (8)). Учитывая неравенства∫ g dµi s 6 ai, i ∈ I, (28) в силу (7) находим sup s∈S µi s(X) 6 ai g −1 min <∞, i ∈ I. (29) Вследствие (8) и (29) взаимные энергии κ(µ+ s , µ − s ), s ∈ S, а поэтому и энергии ‖µ+ s ‖2, ‖µ−s ‖2, s ∈ S, ограничены сверху равномерно по s. Повторно используя оценку (29) и учитывая ограниченность снизу κ на X×X, отсюда выводим искомое соотношение (27). Согласно лемме 2, направленности (µi s)s∈S , i ∈ I, широко ограничены. По- скольку каждое широко ограниченное множество в M широко относительно ком- пактно, а M+(Ai ), i ∈ I, широко замкнуты, A-широкое предельное множество направленности (µs)s∈S непусто. Чтобы доказать, что каждый его элемент µ принадлежит классу E(A,6 a, g), достаточно применить лемму 1 к Y = Ai × Ai, ψ = κ ∣∣∣ Ai×Ai и Y = Ai, ψ = g ∣∣∣ Ai , воспользовавшись при этом соотношениями (27) и (28). Лемма 3 доказана. Лемма 4. Каждая сильно фундаментальная направленность (µs)s∈S ⊂ ⊂ E(A,6 a, g) сильно сходится к каждой своей A-широкой предельной точке. Доказательство. Поскольку сильно фундаментальная направленность силь- но сходится к каждой своей сильной предельной точке, можно, не ограничивая общности доказательства, считать (µs)s∈S сильно ограниченной. Если m = p, то утверждение леммы непосредственно вытекает из условия (C). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 756 Н. В. ЗОРИЙ Пусть теперь m 6= p; тогда выполняются соотношения (7), (8) и, следовательно, (29). Итак, (µs)s∈S ⊂ Eq(A+, A− ) для некоторого q > 0, а κ согласованно и ограничено сверху на A+ ×A−. Применяя теорему 1, получаем требуемое. Лемма 4 доказана. Лемма 5. Если (µs)s∈S ⊂ E(A,6 a, g) сильно и A-широко сходится к µ, то lim s∈S κ(µi s, µs) = κ(µi, µ), (30) lim s∈S ∫ f dµi s = ∫ f dµi, i ∈ I. (31) Доказательство. Действительно, направленность (µi s)s∈S , i ∈ I, широко схо- дится к µi и, вследствие сильной ограниченности (µs)s∈S , сильно ограничена (см. (27)). Применяя свойство (CW) (см. замечание 1), отсюда выводим µi s → µi E-слабо, i ∈ I. (32) Переходя теперь в неравенствах \|κ(µi s, µs)− κ(µi, µ)\| 6 \|κ(µi s, µs − µ)\|+ \|κ(µi s − µi, µ)\| 6 6 ‖µi s‖ ‖µs − µ‖+ \|κ(µi s − µi, µ)\|, i ∈ I, к пределу по s ∈ S, вследствие (27), (32) и сильной сходимости (µs)s∈S к µ получаем (30). В случае (5) соотношение (31) непосредственно вытекает из (32), а в слу- чае (6) — из широкой сходимости (µi s)s∈S к µi, i ∈ I. Лемма 5 доказана. 5.2. Приведем теперь ряд вспомогательных утверждений, относящихся к ва- риационной задаче Гаусса. Прежде всего, отметим, что при условиях, оговоренных в п. 4, ∫ f dµ определен для всех µ ∈ E(A) и, следовательно, Ef (A, a, g) = E(A, a, g). Если, дополнительно, f = κχ, где χ ∈ E , то имеет место представление Fκχ (µ) = ‖µ‖2 − 2κ(χ, µ) = −‖χ‖2 + ‖µ− χ‖2, µ ∈ E . (33) Лемма 6. Выполняется неравенство Ff (A, a, g) > −∞. (34) Доказательство. Действительно, в случае (5) оценка (34) очевидна вслед- ствие (33), а в случае (6) вытекает из соотношения (26) при K = S ( f ∣∣∣ Ai ) , i ∈ I. Лемма 7. Следующие соотношения равносильны: Ff (A, a, g) <∞, (35) C(Ai) > 0 ∀ i ∈ I. (36) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 757 Доказательство. В условиях настоящей работы применима лемма 5 из [10]; согласно ее утверждению, соотношение (35) справедливо тогда и только тогда, когда C ({ x ∈ Ai : αi f(x) > −∞ }) > 0 ∀ i ∈ I. (37) Эквивалентность соотношений (36) и (37) в случае (6) очевидна, а в случае (5) вытекает из конечности пр. вс. в X потенциала κχ, χ ∈ E (см. [3]). Лемма 7 доказана. Всюду далее в настоящем пункте предполагаем выполненным условие (35). Из (34) и (35) на основании результатов из [10] выводим следующее утвержде- ние. Лемма 8. Каждая направленность (µs)s∈S ∈ M0(A, a, g, f) сильно фунда- ментальна и сильно сходится к каждому ζ ∈M0(A, a, g, f). Следствие 3. M0(A, a, g, f) образует класс эквивалентности в E . Через W0 ∗ (A, a, g, f) обозначим класс всех γ ∈ E(A ), для каждого из которых существует (µs)s∈S ∈ M0(A, a, g, f), сильно и A-широко сходящаяся к γ. Очевид- но, W0 ∗ (A, a, g, f) ⊂M′(A, a, g, f) ∩M0(A, a, g, f). (38) Лемма 9. Класс W0 ∗ (A, a, g, f) не пуст, причем W0 ∗ (A, a, g, f) = M′(A, a, g, f). (39) Из каждой направленности из M0(A, a, g, f) можно выделить поднаправленность, сходящуюся сильно и A-широко к некоторому γ ∈ W0 ∗ (A, a, g, f). Доказательство. Из (21) вытекает, что экстремальная характеристика Ff (A, a, g) не изменится, если класс допустимых мер Ef (A, a, g) сузить до класса E0 f (A, a, g). Другими словами, Ff (A, a, g) = inf µ∈E0 f (A,a,g) Ff (µ). (40) Вследствие (35) и (40) класс M0(A, a, g, f) не пуст; зафиксируем произвольно его элемент (µs)s∈S . Согласно лемме 8, направленность (µs)s∈S сильно фунда- ментальна; поэтому, не ограничивая общности доказательства, будем считать ее сильно ограниченной. Применяя к (µs)s∈S леммы 3 и 4, находим, что существует ее A-широкая предельная точка γ, причем γ ∈ E(A,6 a, g) (41) и µs → γ сильно. Замечая, что класс M0(A, a, g, f) замкнут относительно перехода к поднаправленностям, в силу принятых определений получаем γ ∈ W0 ∗ (A, a, g, f). Поскольку эти рассуждения инварианты относительно выбора направленности из M0(A, a, g, f) и ее A-широкой предельной точки, из доказанного вытекает со- отношение M′(A, a, g, f) ⊂ W0 ∗ (A, a, g, f). Комбинируя его с (38), получаем (39). Лемма 9 доказана. Учитывая соотношение (41), получаем следующее утверждение. Следствие 4. W0 ∗ (A, a, g, f) ⊂ E(A,6 a, g). Справедливы следующие утверждения; их доказательства приведены в пп. 7 и 8. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 758 Н. В. ЗОРИЙ Лемма 10. Для каждого γ ∈ W0 ∗ (A, a, g, f) существует и единствен набор (конечных) чисел bi(γ), i ∈ I, удовлетворяющих соотношениям (3) и (4) с µ ≡ γ. Если γ1, γ2 ∈ W0 ∗ (A, a, g, f), то bi(γ1) и bi(γ2), i ∈ I, связаны между собой равенствами bi(γ1) + αi ∫ f dγi 1 = bi(γ2) + αi ∫ f dγi 2, i ∈ I. (42) Лемма 11. В случае (5) лемма 10 останется в силе, если в ее формулировке класс W0 ∗ (A, a, g, f) заменить на N ∩M0(A, a, g, f). 6. Потенциалы сильных предельных точек минимизирующих направ- ленностей. Пусть выполняется условие (35) или, что равносильно, (36). Из [11] вытекает следующее утверждение, дающее описание потенциалов мер ξ ∈ ∈M0(A, a, g, f). Теорема 7. Существует и единствен набор (конечных) чисел ηi, i ∈ I, таких, что для каждого ξ ∈M0(A, a, g, f) выполняется αi ai κ(x, ξ)− f(x) g(x) > ηi пр. вс. в Ai, i ∈ I, (43) 2 ∑ i∈I ηi = ‖ξ‖2 + Ff (A, a, g). (44) Справедливо представление ηi = lim s∈S αi [ κ(µi s, µs)− ∫ f dµi s ] , i ∈ I, (45) где (µs)s∈S — произвольная направленность из M0(A, a, g, f). Отметим, что в принятых условиях класс M0(A, a, g, f) не пуст (см. (38) и лемму 9). 7. Доказательство леммы 10. Зафиксируем γ ∈ W0 ∗ (A, a, g, f). Обозначим bi(γ) := ηi − αi ∫ f dγi, i ∈ I, (46) где ηi, i ∈ I, — числа, однозначно определенные теоремой 7. Вычитая из обеих частей неравенства (43), взятого при ξ = γ, величину αi ∫ f dγi, в силу опреде- ления (2) находим соотношения (3) с µ ≡ γ и только что определенными числами bi(γ), i ∈ I. Покажем, что эти числа удовлетворяют также соотношению (4). Пусть (µs)s∈S — направленность из M0(A, a, g, f), сильно и A-широко схо- дящаяся к γ. Тогда справедливы соотношения (30) и (31), взятые при µ ≡ γ. Комбинируя их с (45) и (46), находим, что числа bi(γ), i ∈ I, определенные фор- мулой (46), допускают представление bi(γ) = αi [ κ(γi, γ)− 2 ∫ f dγi ] , i ∈ I. (47) Суммируя (47) по i ∈ I, в силу (30) и (31) с µ ≡ γ получаем ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 759 ∑ i∈I bi(γ) = ∑ i∈I αi [ κ(γi, γ)− 2 ∫ f dγi ] = Ff (γ) = = lim s∈S ∑ i∈I αi [ κ(µi s, µs)− 2 ∫ f dµi s ] = lim s∈S Ff (µs), что вместе с (1) доказывает соотношение (4), а также равенство Ff (γ) = Ff (A, a, g). (48) Тем самым для каждого фиксированного γ ∈ W0 ∗ (A, a, g, f) доказано сущест- вование (конечных) чисел bi(γ), i ∈ I, удовлетворяющих соотношениям (3) и (4) с µ ≡ γ. Для доказательства их единственности достаточно доказать тождест- ва (42), где γ1, γ2 ∈ W0 ∗ (A, a, g, f), а bi(γj), i ∈ I, j = 1, 2, — произвольные (конечные) числа, удовлетворяющие соотношениям (3) и (4) с µ ≡ γj . Пользуясь соотношениями (4) и (48), взятыми соответственно при µ ≡ γj и γ ≡ γj , находим 2 ∑ i∈I [ bi(γj) + αi ∫ f dγi j ] = 2 [ Ff (A, a, g) + ∫ f dγj ] = = Ff (A, a, g) + Ff (γj) + 2 ∫ f dγj = ‖γj‖2 + Ff (A, a, g). (49) С другой стороны, вследствие (2) и (3) при µ ≡ γj имеем αi ai κ(x, γj)− f(x) g(x) > bi(γj) + αi ∫ f dγi j пр. вс. в Ai, i ∈ I. (50) Сравнивая соотношения (49) и (50) соответственно с (44) и (43), в силу утвержде- ния единственности из теоремы 7 выводим искомые тождества (42). Лемма 10 доказана. 8. Доказательство леммы 11. Зафиксируем меры ξ ∈ N ∩ M0(A, a, g, f) и γ ∈ W0 ∗ (A, a, g, f); тогда они эквивалентны в E . Применяя лемму 3.2.1 из [3], в силу условия (5) отсюда находим∫ f dξ = ∫ f dγ (51) и, следовательно, Ff (ξ) = Ff (γ). Комбинируя это равенство с (48), получаем Ff (ξ) = Ff (A, a, g). (52) Обозначим bi(ξ) := ηi − αi ∫ f dξi, i ∈ I, (53) где ηi, i ∈ I, определены теоремой 7. В силу (43) числа bi(ξ), i ∈ I, удовлетворяют соотношениям (3) с µ ≡ ξ. Покажем, что для них выполняется также тождество (4). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 760 Н. В. ЗОРИЙ Действительно, в силу утверждения единственности из леммы 10 числа bi(γ), i ∈ I, фигурирующие в ее формулировке, представимы в виде (46). Суммируя равенства (46) по i ∈ I, вследствие (51) и (53) получаем∑ i∈I bi(γ) = ∑ i∈I bi(ξ), что вместе с соотношением (4) при µ ≡ γ доказывает требуемое. Тем самым для каждого ξ ∈ N ∩M0(A, a, g, f) доказано существование (ко- нечных) чисел bi(ξ), i ∈ I, удовлетворяющих соотношениям (3) и (4) с µ ≡ ξ. Для завершения доказательства достаточно доказать тождества bi(ξ1) + αi ∫ f dξi 1 = bi(ξ2) + αi ∫ f dξi 2, i ∈ I, где ξ1, ξ2 ∈ N ∩M0(A, a, g, f), а bi(ξj), i ∈ I, j = 1, 2, — произвольные числа, удовлетворяющие соотношениям (3) и (4) с µ ≡ ξj . А их доказательство впол- не аналогично доказательству тождеств (42) (см. п. 7), но с использованием со- отношения (52) при ξ ≡ ξj вместо (48). Лемма 11 доказана. 9. Доказательство теоремы 2. Вначале предположим, что Ff (A, a, g) = ∞. Тогда не существует меры µ, принадлежащей классу Γf (A, a, g) (поскольку в этом случае условие bi(µ) ∈ R, i ∈ I, и соотношение (4) несовместимы), и поэтому Gf (A, a, g) = ∞. Теперь пусть Ff (A, a, g) < ∞. Тогда, согласно леммам 9 и 10, класс W0 ∗ (A, a, g, f) не пуст и для каждого его фиксированного элемента γ выполня- ется γ ∈ Γf (A, a, g). (54) Учитывая соотношение (48), отсюда находим Ff (A, a, g) = Ff (γ) > Gf (A, a, g). Следовательно, доказательство теоремы сводится к доказательству неравенства Ff (µ) > Ff (γ), (55) где µ ∈ Γf (A, a, g) произвольно фиксировано. Рассмотрим направленность (µs)s∈S ∈ M0(A, a, g, f), сходящуюся к γ A-ши- роко и сильно (а поэтому и E-слабо). Поскольку меры µi s, s ∈ S, i ∈ I, имеют конечную энергию и компактный носитель, на основании леммы 2.3.1 из [3] заклю- чаем, что неравенство в (3) выполняется µi s-почти всюду. Умножим его на g(x), а затем проинтегрируем полученное соотношение относительно µi s, учитывая при этом равенства ∫ g dµi s = ai, i ∈ I. В результате для каждого s ∈ S получим αi [ κ(µi s, µ)− ∫ f dµi s ] > αi ∫ f dµi + bi(µ), i ∈ I. Суммируя эти неравенства по i ∈ I, вследствие соотношений (4) и (48) находим κ(µs, µ)− ∫ f dµs > ∫ f dµ+ Ff (γ), s ∈ S. (56) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 761 Переходя в (56) к пределу по s ∈ S и принимая при этом во внимание усло- вия (5) или (6), в силу сходимости (µs)s∈S к γ в E-слабой и A-широкой топологиях получаем κ(γ, µ)− ∫ f dγ > ∫ f dµ+ Ff (γ). С помощью элементарных преобразований это неравенство можно представить в виде Ff (µ) > ‖µ− γ‖2 + Ff (γ), (57) откуда следует требуемое соотношение (55). Теорема 2 доказана. 10. Доказательство теоремы 3. Пусть выполняется условие (10). Тогда, согласно тождеству (9), Ff (A, a, g) < ∞. Используя соотношения (9), (48) и (54), для каждого фиксированного γ из (непустого) класса W0 ∗ (A, a, g, f) находим γ ∈ Γf (A, a, g) и Ff (γ) = Gf (A, a, g). Следовательно, Gf (A, a, g)-задача разрешима, причем W0 ∗ (A, a, g, f) ⊂ Gsol f (A, a, g). Подставляя в левую часть этого включения соотношение (39), выводим (11). Покажем, что минимизирующие в Gf (A, a, g)-задаче меры ω равны между со- бой с точностью до слагаемого с нулевой полунормой. Действительно4 , применяя неравенство (57) к произвольному µ ≡ ω ∈ Gsol f (A, a, g), вследствие тождеств Ff (ω) = Gf (A, a, g) = Ff (γ) получаем ‖ω− γ‖ = 0. Чтобы вывести отсюда требуемое соотношение (12), доста- точно воспользоваться неравенством треугольника в E . Теорема 3 доказана. 11. Доказательство следствия 2. Утверждение следует из определений клас- сов F sol f (A, a, g) и Gsol f (A, a, g), теоремы 2 и включения F sol f (A, a, g) ⊂ Γf (A, a, g), которое, в свою очередь, вытекает из теоремы 1 работы [9]. 12. Доказательство теоремы 4. Поскольку Γ̂f (A, a, g) ⊂ Γf (A, a, g), имеем Ĝf (A, a, g) > Gf (A, a, g). (58) При доказательстве обратного неравенства можно предположить выполненным условие (10). Тогда применимы теорема 3 и, вследствие (9), лемма 9 и следствие 4. Из этих утверждений вытекает, что класс Gsol f (A, a, g) ∩ E(A,6 a, g) не пуст. Зафиксировав его элемент ω̂, находим ω̂ ∈ Γ̂f (A, a, g) 4 Впрочем, утверждение единственности можно также доказать с помощью стандартных рас- суждений, основанных на использовании выпуклости класса Γf (A, a, g) и тождества параллело- грамма в E (см., например, доказательство леммы 6 в [9]). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 762 Н. В. ЗОРИЙ и, следовательно, Gf (A, a, g) = Ff (ω̂) > Ĝf (A, a, g). Комбинируя это соотношение с (9) и (58), получаем (15). Предположим выполненным условие (16) или, что равносильно в силу (15), условие (10). Тогда применимы только что приведенные рассуждения; на их осно- вании заключаем, что Ĝf (A, a, g)-задача разрешима, причем Gsol f (A, a, g) ∩ E(A,6 a, g) ⊂ Ĝsol f (A, a, g). Поскольку обратное включение очевидно вследствие (15), тождество (17), а вместе с ним и теорема 4, доказаны. 13. Доказательство теоремы 5. Пусть выполняются условия (5) и (10). Докажем утверждение (i). Согласно (9) и (10), Ff (A, a, g) < ∞. Применяя лемму 11, для каждого фиксированного ξ из (непустого) класса N∩M0(A, a, g, f) находим ξ ∈ Γf (A, a, g), а комбинируя (9) и (52), получаем Ff (ξ) = Gf (A, a, g). Следовательно, имеет место включение N ∩M0(A, a, g, f) ⊂ Gsol f (A, a, g). (59) Поскольку множествоM0(A, a, g, f) образует класс эквивалентности в E , в то вре- мя как Gsol f (A, a, g) содержится в некотором классе эквивалентности в E (см. со- ответственно следствие 3 и соотношение (12)), заключаем, что включение (59) возможно только в случае, когда его правая и левая части совпадают. Это дока- зывает тождество (18). Подставляя (18) в (17), получаем соотношение (19). Чтобы доказать утверждение компактности (ii), зафиксируем (ω̂s)s∈S ⊂ ⊂ Ĝsol f (A, a, g). Тогда в силу (19) (ω̂s)s∈S содержится в классе эквивалентно- сти M0(A, a, g, f), и поэтому сильно фундаментальна, а также во множестве E(A,6 a, g). Применяя леммы 3 и 4, выводим, что (ω̂s)s∈S касается в сильной и, одновременно, A-широкой топологиях некоторого ω̂, причем ω̂ ∈ E(A,6 a, g). (60) Но класс M0(A, a, g, f) сильно замкнут, поэтому ω̂ ∈M0(A, a, g, f). (61) Комбинируя (19), (60) и (61), получаем ω̂ ∈ Ĝsol f (A, a, g), что и требуется. Утверждение (iii) непосредственно следует из соотношений (18), (19) и лем- мы 11. Теорема 5 доказана. 14. Доказательство теоремы 6. Пусть выполняются условия (5) и (16). Тогда в силу (21) и (22) Ff (K, a, g) и Ĝf (K, a, g) конечны для всехK � K′, гдеK′ ∈ {K}A ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ДУАЛЬНЫЕ К ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ГАУССА 763 достаточно большое. Учитывая компактность Ki, i ∈ I, из теоремы 1 работы [10] и, соответственно, теоремы 4 выводим существование минимизирующих мер λK ∈ F sol f (K, a, g) и ω̂K ∈ Ĝsol f (K, a, g), где K � K′. Комбинируя соотношения (13) и (17), находим F sol f (K, a, g) ⊂ Ĝsol f (K, a, g). Значит, λK ∈ Ĝsol f (K, a, g) и, следовательно, ‖λK − ω̂K‖ = 0. (62) Но в силу (21) имеет место включение (λK)K�K′ ∈ M0(A, a, g, f), (63) и поэтому, согласно лемме 8, направленность (λK)K�K′ сильно фундаментальна. Учитывая (62), видим, что свойство сильной фундаментальности справедливо и для (ω̂K)K�K′ . Кроме того, (ω̂K)K�K′ содержится в E(A,6 a, g), что очевидно в силу приня- тых определений. Применяя к (ω̂K)K�K′ леммы 3 и 4, выводим, что существует ее поднаправленность (ω̂Ks)s∈S , A-широко сходящаяся к некоторому ω̂A, причем ω̂A ∈ E(A,6 a, g), (64) ω̂K → ω̂A сильно. (65) Но в силу (62) и (65) ω̂A является сильным пределом также для (λK)K�K′ , отку- да, согласно принятым определениям и соотношению (63), вытекает включение ω̂A ∈M0(A, a, g, f). Комбинируя его с включением (64), вследствие (19) получаем (23). Из соотношений (22) и (23) выводим (24). Наконец, докажем соотношение (25). Для этого достаточно доказать, что bi(ω̂A) = bi, (66) где bi — произвольная предельная точка направленности bi(ω̂Ks ), s ∈ S. Пусть bi(ω̂Kn), n ∈ N, — подпоследовательность направленности bi(ω̂Ks), s ∈ ∈ S, сходящаяся к bi. Применяя лемму 9 к соответствующей последовательности (λKn )n∈N, выводим существование ее поднаправленности (λKt )t∈T , сильно и A- широко сходящейся к некоторому λA ∈ W0 ∗ (A, a, g, f). Вследствие компактности Kt i , i ∈ I (здесь Kt = (Kt i )i∈I ), и принятых опре- делений справедливо включение λKt ∈ W0 ∗ (Kt, a, g, f). Поэтому, согласно утверж- дению единственности из леммы 10, числа bi(λKt ), i ∈ I, и, аналогично, bi(λA), i ∈ I, представимы с помощью соотношения (47), взятого при γ ≡ λKt или, со- ответственно, γ ≡ λA. Подставляя полученные таким образом равенства в соотношение (20), взятое при ω1 ≡ ω̂Kt и ω2 ≡ λKt или, соответственно, ω1 ≡ ω̂A и ω2 ≡ λA, находим bi(ω̂Kt ) = αi [ κ(λi Kt , λKt )− ∫ f dλi Kt − ∫ f dω̂i Kt ] , i ∈ I, t ∈ T, (67) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 764 Н. В. ЗОРИЙ bi(ω̂A) = αi [ κ(λi A, λA)− ∫ f dλi A − ∫ f dω̂i A ] , i ∈ I. (68) Теперь перейдем в соотношениях (67) к пределу по t ∈ T, воспользовавшись при этом сильной и A-широкой сходимостью (λKt)t∈T к λA, а (ω̂Kt)t∈T к ω̂A. Тогда на основании леммы 5 и тождеств (68) получаем bi(ω̂A) = lim t∈T bi(ω̂Kt ) = bi, i ∈ I. Соотношение (66), а вместе с ним и теорема 6 доказаны. 1. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. – М.: Наука, 1967. – 396 с. 2. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. – М.: Мир, 1969. – 1071 с. 3. Fuglede B. On the theory of potentials in locally compact spaces // Acta math. – 1960. – 103, № 3-4. – P. 139 – 215. 4. Зорий Н. В. Экстремальные задачи теории емкостей конденсаторов в локально компактных пространствах. I // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 2. – C. 168 – 189. 5. Ohtsuka M. On potentials in locally compact spaces // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A 1. – 1961. – 25, № 2. – P. 135 – 352. 6. Saff E. B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. – Berlin: Springer, 1997. – 505 p. 7. Zorii N. On the solvability of the Gauss variational problem // Comput. Methods Funct. Theory. – 2002. – 2, № 2. – P. 427 – 448. 8. Zorii N. On the constrained Gauss variational problem // Bull. Soc. Sci. Lett. Lódź. – 2003. – 40. – P. 25 – 40. 9. Зорий Н. В. Равновесные потенциалы с внешними полями // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 9. – C. 1178 – 1195. 10. Зорий Н. В. Задачи равновесия для потенциалов с внешними полями // Там же. – № 10. – C. 1315 – 1339. 11. Зорий Н. В. Теория потенциала относительно согласованных ядер: теорема о полноте, после- довательности потенциалов // Там же. – 2004. – 56, № 11. – C. 1513 – 1526. 12. Зорий Н. В. Необходимые и достаточные условия разрешимости вариационной задачи Гаусса // Там же. – 2005. – 57, № 1. – C. 60 – 83. 13. Келли Дж. Л. Общая топология. – М.: Наука, 1981. – 431 с. 14. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. – М.: Наука, 1968. – 272 с. 15. Cartan H. Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels // Bull. Soc. math. France. – 1945. – 73. – P. 74 – 106. 16. Fuglede B. Caractérisation des noyaux consistants en théorie du potentiel // Comptes Rendus. – 1962. – 255. – P. 241 – 243. 17. Зорий Н. В. Экстремальная задача о минимуме энергии для пространственных конденсаторов // Укр. мат. журн. – 1986. – 38, № 4. – C. 431 – 437. 18. Зорий Н. В. Задача о минимуме энергии для пространственных конденсаторов и ядер Рисса // Там же. – 1989. – 41, № 1. – C. 34 – 41. 19. Зорий Н. В. Одна некомпактная вариационная задача теории риссова потенциала. I; II // Там же. – 1995. – 47, № 10. – C. 1350 – 1360; 1996. – 48, № 5. – C. 603 – 613. 20. Зорий Н. В. Задача о минимуме гриновой энергии для пространственных конденсаторов // Докл. АН СССР. – 1989. – 307, № 2. – C. 265 – 269. 21. Зорий Н. В. Одна вариационная задача теории гринова потенциала. I; II // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 4. – C. 494 – 500; № 11. – C. 1475 – 1480. 22. Зорий Н. В. Экстремальные задачи теории емкостей конденсаторов в локально компактных пространствах. II; III // Там же. – 2001. – 53, № 4. – C. 466 – 488; № 6. – C. 758 – 782. Получено 24.03.2005 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6

Экстремальные задачи, дуальные к вариационной задаче Гаусса

Репозитарії

Схожі ресурси