O вычислении интегралов по сферическим областям

Для обчислення інтегралів no сферичних областях побудовано кубатурні формули, що містять менше вузлів порівняно з відомими.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Шамсиев, Э.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Короткі повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165166
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	O вычислении интегралов по сферическим областям / Э.А. Шамсиев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 6. — С. 859–864. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165166
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1651662020-02-14T01:28:15Z O вычислении интегралов по сферическим областям Шамсиев, Э.А. Короткі повідомлення Для обчислення інтегралів no сферичних областях побудовано кубатурні формули, що містять менше вузлів порівняно з відомими. We construct cubature formulas for the computation of integrals over spherical domains containing less nodes as compared with known ones. 2006 Article O вычислении интегралов по сферическим областям / Э.А. Шамсиев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 6. — С. 859–864. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165166 519.644 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Шамсиев, Э.А. O вычислении интегралов по сферическим областям Український математичний журнал
description	Для обчислення інтегралів no сферичних областях побудовано кубатурні формули, що містять менше вузлів порівняно з відомими.
format	Article
author	Шамсиев, Э.А.
author_facet	Шамсиев, Э.А.
author_sort	Шамсиев, Э.А.
title	O вычислении интегралов по сферическим областям
title_short	O вычислении интегралов по сферическим областям
title_full	O вычислении интегралов по сферическим областям
title_fullStr	O вычислении интегралов по сферическим областям
title_full_unstemmed	O вычислении интегралов по сферическим областям
title_sort	o вычислении интегралов по сферическим областям
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165166
citation_txt	O вычислении интегралов по сферическим областям / Э.А. Шамсиев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 6. — С. 859–864. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT šamsievéa ovyčisleniiintegralovposferičeskimoblastâm
first_indexed	2025-07-14T18:00:02Z
last_indexed	2025-07-14T18:00:02Z
_version_	1837646220908036096
fulltext	UDK 519.644 ∏. A. Íamsyev (Taßkent. un-t, Uzbekystan) O VÁÇYSLENYY YNTEHRALOV PO SFERYÇESKYM OBLASTQM We construct cubature formulas for the computation of integrals over spherical domains containing less knots than the known ones. Dlq obçyslennq intehraliv po sferyçnyx oblastqx pobudovano kubaturni formuly, wo mistqt\ menße vuzliv porivnqno z vidomymy. S. L. Sobolev¥m [1] b¥l razrabotan metod postroenyq kubaturn¥x formul dlq dvumernoj sfer¥, ynvaryantn¥x otnosytel\no hrupp vrawenyj pravyl\n¥x mnohohrannykov. H. N. Salyxov [2] dokazal vozmoΩnost\ postroenyq ynvary- antn¥x kubaturn¥x formul dlq mnohomernoj sfer¥ y osuwestvyl realyzacyg metoda dlq sfer¥ çet¥rex- y pqtymernoho prostranstva. V. Y. Lebedev [3 – 5] predloΩyl metod postroenyq kubaturn¥x formul typa Haussa – Markova dlq dvumernoj sfer¥, ynvaryantn¥x otnosytel\no hrupp¥ oktaπdra. Za sçet udaç- noho podbora ynvaryantn¥x mnohoçlenov emu udalos\ voznykagwug systemu nelynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj dlq opredelenyq parametrov kubatur- noj formul¥ razbyt\ na neskol\ko pooçeredno standartno reßaem¥x samosto- qtel\n¥x podsystem. Analohyçnug rabotu dlq hrupp¥ ykosaπdra v¥polnyl S.<Y. Konqev [6, 7]. Y. P. M¥sovskyx [8] sformulyroval teoremu S. L. Sobole- va ob ynvaryantnoj kubaturnoj formule dlq sluçaq proyzvol\noj koneçnoj ortohonal\noj hrupp¥, sobral y systematyzyroval dann¥e yz teoryy ynvary- antov, neobxodym¥e dlq postroenyq kubaturn¥x formul, postroyl kubaturn¥e formul¥ dlq razlyçn¥x oblastej, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp, poroΩ- denn¥x otraΩenyqmy, y ustanovyl nyΩnye hranyc¥ dlq çysla uzlov kubatur- n¥x formul. A. K. Ponomarenko [9, 10] y S. B. Stoqnova [11] postroyly ynva- ryantn¥e kubaturn¥e formul¥ dlq hyperßara y hyperoktaπdra, ymegwye al- hebrayçeskug stepen\ toçnosty do odynnadcaty y soderΩawye v rqde sluçaev naymen\ßee çyslo uzlov v klasse rassmatryvaem¥x formul. Vo vsex v¥ßeupo- mqnut¥x rabotax yspol\zovan¥ hrupp¥ preobrazovanyj pravyl\n¥x mnohohran- nykov y postroen¥ kubaturn¥e formul¥ fyksyrovannoj alhebrayçeskoj ste- peny toçnosty. M. V. Noskov [12] pry postroenyy kubaturnoj formul¥ dlq pe- ryodyçeskyx funkcyj prymenyl apparat teoryy ynvaryantn¥x kubaturn¥x formul. Pry πtom on yspol\zoval hruppu, poluçaemug dekartov¥m proyzvede- nyem n hrupp preobrazovanyj pravyl\noho m-uhol\nyka. V dannoj rabote ana- lohyçn¥e hrupp¥ preobrazovanyj prymenqgtsq dlq v¥çyslenyq yntehralov po sferyçeskym oblastqm. Takov¥my qvlqgtsq vse evklydovo prostranstvo Rn , sfera Sn –1 = { x ∈ Rn \| x1 2 + x2 2 + … + xn 2 = 1 }, ßar Bn = { x ∈ Rn \| x1 2 + x2 2 + … … + xn 2 ≤ 1 }. Snaçala postroym kubaturn¥e formul¥ dlq sfer¥. Pry πtom budem razly- çat\ sfer¥ çetnoj y neçetnoj razmernosty. 1. Pust\ S2n –1 — edynyçnaq sfera 2n-mernoho evklydova prostranstva R2n , n ≥ 2. Opredelym uslovyq, pry v¥polnenyy kotor¥x suwestvuet kubaturnaq formula ( 2m – 1 )-j alhebrayçeskoj stepeny toçnosty, ymegwaq vyd I ( f ) ≅ S ( f ), (1) hde I ( f ) =df f x dS S n ( ) − ∫ 2 1 , © ∏. A. ÍAMSYEV, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 859 860 ∏. A. ÍAMSYEV S ( f ) =df π … ( ) … == − … … … =− − −∑∑ ∑ n n k k k N l k k k n k k k i i i i i i m m D D D f d n n n n n1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 210 1 1 2 1 1, , , ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , d f t t t i l m k k k i i i k k k nn n n ( … … ) −− − =   ( − )( − )… ( − ) ( − )π1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 21 2 1 1, , , , , , , ( ) ( ) ( ) cos , ( − )( − )… ( − ) ( − )π − −1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1t t t i l mk k k n n ( ) ( ) ( ) sin , t t t i l mk k k n n2 2 1 2 2 1 21 1 2( ) ( ) ( ) cos( − )… ( − ) ( − )π − − , t t t i l mk k k n n2 2 1 2 2 1 21 1 2( ) ( ) ( ) sin( − )… ( − ) ( − )π − − , … … , t t t i l mk S k S k n S S S n− − − −( − )… ( − ) ( − )π 1 1 1 11 1 2( ) ( ) ( ) cos , t t t i l mk S k S k n S S S n− − − −( − )… ( − ) ( − )π 1 1 1 11 1 2( ) ( ) ( ) sin , … … , t i l m t i l mk n n k n n n n− − − −( − )π ( − )π  1 1 1 12 2( ) ( )cos , sin , Dk j j ( ) y tk j j ( ) opredelqgtsq kak parametr¥ kvadraturnoj formul¥ Haussa yly Haussa – Markova dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom ( 1 – t ) j – 1 , j = 1, 2, … , n – 1: ( − ) ( ) ≅ ( )− = ∫ ∑1 1 0 1 1 t t dt D tj k j k j k N j j j ϕ ϕ( ) ( ) . (2) Teorema 1. Pust\ (2) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa s N = p uzlamy. Tohda pry m = 2p kubaturnaq formula (1) ymeet ( 4p – 1 )-g alheb- rayçeskug stepen\ toçnosty. Teorema 2. Pust\ (2) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa – Markova s N = p + 1 uzlom pry t j 1 ( ) = 0 y tp j +1 ( ) = 1. Tohda pry m = 2p kubaturnaq formula (1) ymeet ( 4p – 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty. Teorema 3. Pust\ (2) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa – Markova s N = p + 1 uzlom pry t j 1 ( ) = 0 yly tp j +1 ( ) = 1. Tohda pry m = 2p + 1 kubatur- naq formula (1) ymeet ( 4p + 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty. Dokazatel\stvo. PokaΩem, çto formula (1) toçna dlq proyzvol\noho od- noçlena x x x n n 1 2 2 1 2 2α α α… ( α1 + … + α2n ≤ 2m – 1 ). V sluçae, kohda xotq b¥ odyn yz αi , i = 1, 2, … , 2n, qvlqetsq neçetn¥m çyslom, yntehral ot odnoçlena raven nulg. Nulevoe znaçenye daet takΩe kubaturnaq summa, tak kak pry v¥çyslenyy znaçenyq odnoçlena po kaΩdoj peremennoj poluçaem kvadraturnug formulu prqmouhol\nykov s 2m uzlamy. Poπtomu poloΩym αi = 2βi , i = 1, 2, … , 2n. Tohda I x x x nn n n n( … ) = +    +    … +    ( + +… + + )1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2β β β β β β β β β Γ Γ Γ Γ , hde Γ ( λ ) = t e dt t dtλ λ λ − − ∞ −∞ ∫ ∫=     1 0 1 0 1 ln ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 O VÁÇYSLENYY YNTEHRALOV PO SFERYÇESKYM OBLASTQM 861 — hamma-funkcyq ∏jlera. Podstavym v kubaturnug summu odnoçlen x x x n n 1 2 2 2 2 21 2β β β… : S x x x D t tn k k k k k k N n n ( … ) = ( − ) + + … − ∑1 2 2 2 2 2 1 1 11 2 1 1 1 2 1 3 4 1 2 1 1β β β β β β β( ) ( ) ( ) , , , × × D t t D t tk k k k k k2 2 1 2 3 4 2 5 6 3 3 1 2 3 4 5 6 3 7 82 2 2 3 3 31 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( − ) ( − )+ + + + + + + + + +β β β β β β β β β β β β β β … … D t tk n k n k n n n n n n n − − − − −− − +…+ − +( − ) 1 1 1 2 2 1 2 1 21 1 1 1( ) ( ) ( )β β β β × × π ( − )π ( − )π … == ∑∑ n n i i i m lm i l m i l m n cos sin , , , 2 1 2 1 10 1 1 2 1 2 2 2β β … … cos sin 2 22 1 22 2β βn n i l m i l m n n− ( − )π ( − )π = = Γ Γ Γ ( + + ) ( + + ) ( + + + + ) β β β β β β β β 3 4 1 2 1 2 3 4 1 1 2 Γ Γ Γ ( + + + + ) ( + + ) ( + + + + + + ) β β β β β β β β β β β β 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 3 × × Γ Γ Γ ( +… + + ) ( + + ) ( +… + + ) β β β β β β 1 6 7 8 1 8 3 1 4 … … Γ Γ Γ ( +… + + − ) ( + + ) ( +… + + ) − −β β β β β β 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1n n n n n n × × 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 4 2 2 1 2 Γ Γ Γ Γ Γ Γ β β β β β β β β β +    + +    +    + +    … +    + +    − n n n = = 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 Γ Γ Γ β β β β β +    … +    ( + … + ) n n n . Pry v¥çyslenyqx yspol\zovana formula [13, s. 181] x x dxλ µ λ µ λ µ − −( − ) = ( ) ( ) ( + )∫ 1 1 0 1 1 Γ Γ Γ . Teorem¥ dokazan¥. Postroenn¥e kubaturn¥e formul¥ pry bolee prostoj konstrukcyy soder- Ωat v 2n – 1 raza men\ße uzlov, çem formul¥ analohyçnoj alhebrayçeskoj ste- peny toçnosty, poluçaem¥e metodom povtornoho prymenenyq kvadraturn¥x formul [8, s. 119 – 123]. Pryvedem znaçenyq parametrov kubaturnoj formul¥ (1) pry n = 2: f x dS m D f t i l m t i l m S k k N i i m l k k( ) ≅ π   − ( − )π − ( − )π∫ ∑ ∑∑ = ==3 1 1 1 2 1 1 2 2 1 0 10 1 1 11 2 1 2( ) , cos , sin , t i l m t i l mk k1 1 2 22 2cos , sin ( − )π ( − )π   , hde Dk1 1( ) y tk1 — parametr¥ kubaturnoj formul¥ Haussa yly Haussa – Markova dlq otrezka [ 0, 1 ] s postoqnn¥m vesom ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 862 ∏. A. ÍAMSYEV ϕ ϕ( ) ≅ ( )∫ ∑ = t dt D tk k k N 0 1 1 1 1 1 . Teorema 4. Ne suwestvuet kubaturnoj formul¥ vyda (1), alhebrayçeskaq stepen\ toçnosty kotoroj b¥la b¥ v¥ße çem 2m – 1. Dokazatel\stvo. Kubaturnaq formula (1) ynvaryantna otnosytel\no hrupp¥ G [8, s. 129], kotoraq poluçaetsq prqm¥m proyzvedenyem n hrupp pre- obrazovanyj pravyl\noho m-uhol\nyka v sebq. Oboznaçym πty hrupp¥ çerez G i , i = 1, 2, … , n. Hruppa Gi ymeet sledug- wye osy symmetryy [14]: ηk = x k m x k mi i2 1 2− π − π sin cos = 0, k = 0, 1, 2, … , m – 1. PeremnoΩaq lev¥e çasty πtyx uravnenyj y vozvodq v kvadrat poluçennoe v¥raΩenye, poluçaem mnohoçlen P x xi i 2 2 1 2( )− , stepeny 2m. ∏tot mnohoçlen neotrycatelen v S2n – 1 , y poπtomu yntehral ot neho po πtoj oblasty poloΩyte- len. S druhoj storon¥, podstavlqq P x xi i 2 2 1 2( )− , v kubaturnug formulu (1), poluçaem nulevoe znaçenye, tak kak uzlamy kubaturnoj formul¥ qvlqgtsq verßyn¥ y seredyn¥ reber pravyl\noho m-uhol\nyka, leΩawye na osqx sym- metryy. Poπtomu skol\ b¥ ne uvelyçyvaly çyslo toçek v postroennoj formu- le, ona ne budet davat\ toçnoe znaçenye mnohoçlena P x xi i 2 2 1 2( )− , . Teorema dokazana. 2. Perejdem teper\ k sfere ( 2n + 1 )-mernoho prostranstva. Budem yzuçat\ kubaturnug formulu vyda f x dS m A D D D S n n k m k k k k N l k k k n n n n ( ) ≅ π …∫ ∑ ∑∑ = +    … == − − − 2 1 2 1 1 2 12 1 1 2 10 1 1 2 1 , , , ( ) ( ) ( ) × × [ −( )( … … ) … = −∑ f dk k k k i i i k i i i m n n n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 τ τ, , , , , , , , , , , + + f dk k k k i i i k n n1 1 2 1 1 2− −( )]( … … )−τ τ, , , , , , , , , (3) hde Ak y τk — parametr¥ kvadraturnoj formul¥ Haussa yly Haussa – Markova dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom ( − ) −1 1 1 2t tn / : ( − ) ( ) ≅ ( )− = +    ∫ ∑1 1 0 1 1 1 2 t t t dt An k k k m ϕ ϕ τ . (4) Zdes\ m +    1 2 — celaq çast\ m + 1 2 . Teorema 5. Pust\ m = 2p y (4) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa s p uzlamy. Tohda pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥ 1 yly 2 kubaturnaq for- mula (3) ymeet ( 4p – 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty. Teorema 6. Pust\ m = 2p + 1 y (4) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Ha- ussa – Markova s p + 1 uzlom pry τ1 = 0. Tohda pry v¥polnenyy uslovyj teo- rem¥ 3 kubaturnaq formula (3) ymeet ( 4p + 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty. Dokazatel\stvo. Podstavym v kubaturnug summu odnoçlen x x x xn n n n 1 2 2 2 2 2 2 1 21 2 2 2 1β β β β… + + : ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 O VÁÇYSLENYY YNTEHRALOV PO SFERYÇESKYM OBLASTQM 863 π ( − ) …+…+ = +    … == −+ − −∑ ∑∑ n n k k k m k k k k N l k k k n m A D D Dn n n n 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 10 1 1 2 1τ τβ β β , , , ( ) ( ) ( ) × × ( )… … + +…+ … = −∑ d k k k i i i i i i m n n n n 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 , , , , , , , , , , β β β = = Γ Γ Γ ( + +… + ) +    + +… + + +    + + n n n n n n β β β β β β 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 Γ Γ Γ β β β β +    … +    ( + +… + + ) n nn n = = 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 Γ Γ Γ β β β β β +    … +    + + +… + +    + + n nn . To Ωe samoe znaçenye poluçaem, esly budem v¥çyslqt\ yntehral x x x dSn S n n 1 2 2 2 2 1 21 2 2 1 2 β β β… + +∫ . Teorema dokazana. Kubaturnaq formula (3) takΩe soderΩyt prymerno v 2n – 1 raza men\ße uzlov, çem formul¥, poluçaem¥e metodom povtornoho prymenenyq kvaraturn¥x formul. Formula (3) ynvaryantna otnosytel\no hrupp¥, kotoraq poluçaetsq yz hrupp¥ G v R2n + 1 dobavlenyem preobrazovanyq x2n + 1 → – x2n + 1 . Teorema 7. Ne suwestvuet kubaturnoj formul¥ vyda (3), alhebrayçeskaq stepen\ toçnosty kotoroj b¥la b¥ v¥ße çem 2m – 1. Teorema dokaz¥vaetsq analohyçno teoreme 4. 3. Yspol\zuq metodyku rabot¥ [15], netrudno poluçyt\ sledugwug kuba- turnug formulu ( 2m – 1 )-j alhebrayçeskoj stepeny toçnosty dlq ßara B2n : f x dx C f C f x B s s x s m n ( ) ≅ ( ) + ( )∫ ∑ = = − − 2 0 1 2 1 θ θ σ ∆ + + π … = … == −∑ ∑∑ − − n n j j k k k N l k k k n m T D D D n n 1 10 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 σ , , , ( ) ( ) ( ) × × f a dj k k k i i i i i i m n n n ( )( … … ) … = −∑ 1 2 1 1 2 1 2 1 , , , , , , , , , , , (5) hde θ = ( 0, 0, … , 0 ), ∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ +… + ∂ ∂ 2 1 2 2 2 2 2 2x x xn , Tj = 1 2 2b E j m j− σ , aj = bj , Ej y bj — parametr¥ kvadraturnoj formul¥ typa Haussa dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom τ σn m+ − −2 1 , τ ϕ τ τ ϕσ σ n m j j j d E b+ − − = ( ) ≅ ( )∫ ∑2 1 0 1 1 , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 864 ∏. A. ÍAMSYEV Cs = π ( ) + −       + − = ∑ n j j s m j sn n s E b Γ ∆1 2 1 σ σ : , C0 = π ( ) −       − = ∑ n j j m jn n E b Γ 1 2 1 σ σ , ∆s = 22s ⋅ s! n ( n + 1 ) ( n + 2 ) … ( n + s – 1 ), s! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 … s, σ ≤ m 2     , m 2     — celaq çast\ m 2 . Kubaturnaq formula (5) pry σ = m 2     proyzvodn¥x ne soderΩyt. V πtom sluçae çyslo ee uzlov takΩe v 2n – 1 raza men\ße, çem çyslo uzlov kubaturnoj formul¥ analohyçnoj alhebrayçeskoj stepeny toçnosty, poluçaemoj metodom povtornoho prymenenyq kvadraturn¥x formul [8, s. 123 – 128]. Yspol\zuq formul¥ (1) y (3), moΩno poluçyt\ y druhye kubaturn¥e formul¥ dlq ßara y prostranstva. 1. Sobolev S. L. O formulax mexanyçeskyx kubatur na poverxnosty sfer¥ // Syb. mat. Ωurn. – 1962. – 3, # 5. – S. 769 – 791. 2. Salyxov H. N. Kubaturn¥e formul¥ dlq mnohomern¥x sfer. – Taßkent: Fan, 1985. – 104<s. 3. Lebedev V. Y. O kvadraturax na sfere nayv¥sßej alhebrayçeskoj stepeny toçnosty // Teoryq kubaturn¥x formul y pryloΩenyq funkcyonal\noho analyza k nekotor¥m zadaçam matematyçeskoj fyzyky. – Novosybyrsk, 1973. – S. 31 – 35. 4. Lebedev V. Y. Kvadraturn¥e formul¥ dlq sfer¥ 25 – 29-ho porqdka toçnosty // Syb. mat. Ωurn. – 1977. – 18, # 1. – S. 132 – 142. 5. Lebedev V. Y., Lajkov D. N. Kubaturn¥e formul¥ dlq sfer¥ haussova typa porqdkov 65, 71, 77, 83, 89, 95 y 101 // Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ V meΩdunar. sem.-sovew. (Krasnoqrsk, 13 – 18 sent. 1999 h.). – S. 106 – 118. 6. Konqev S. Y. Kvadraturn¥e formul¥ na sfere, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp¥ ykosaπdra // Vopros¥ v¥çyslyt. y prykl. matematyky. – 1975. – V¥p. 32. – S. 69 – 76. 7. Konqev S. Y. Kvadratur¥ typa Haussa dlq sfer¥, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp¥ ykosaπdra s ynversyej // Mat. zametky. – 1979. – 25, # 4. – S. 629 – 634. 8. M¥sovskyx Y. P. Ynterpolqcyonn¥e kubaturn¥e formul¥. – M.: Nauka, 1981. – 336 s. 9. Ponomarenko A. K. Try kubaturn¥e formul¥ devqtoj stepeny toçnosty dlq hyperoktaπdra // Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ V meΩdunar. sem.-sovew. (Krasno- qrsk, 13 – 18 sent. 1999 h.). – S. 150 – 158. 10. Ponomarenko A. K. Dve kubaturn¥e formul¥ // Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ VII meΩdunar. sem.-sovew. (Krasnoqrsk, 18 – 23 avh. 2003 h.). – S. 133 – 138. 11. Stoyanova S. B. Invariant cubature formula of the seventh degree of accuracy for the hypersphere // Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ V meΩdunar. sem.-sovew. (Krasnoqrsk, 13 – 18 sent. 1999 h.). – S. 285 – 290. 12. Noskov M. V. Kubaturn¥e formul¥ dlq pryblyΩennoho yntehryrovanyq peryodyçeskyx funkcyj // Kubaturn¥e formul¥ y funkcyonal\n¥e uravnenyq. (Metod¥ v¥çyslenyj. V¥p. 14). – L.: Yzd-vo Lenynhrad. un-ta, 1985. – S. 15 – 24. 13. Dvajt H. H. Tablyc¥ yntehralov y druhye matematyçeskye formul¥. – M.: Nauka, 1977. – 228 s. 14. Yhnatenko V. F. O ploskyx alhebrayçeskyx kryv¥x s osqmy symmetryy // Ukr. heom. sb. – 1978. – V¥p. 21. – S. 31 – 33. 15. Íamsyev ∏. A. Ob ynvaryantn¥x kubaturn¥x formulax, soderΩawyx proyzvodn¥e // Çyslennoe yntehryrovanye y smeΩn¥e vopros¥. – Taßkent: Fan, 1990. – S. 77 – 85. Poluçeno 20.04.2005, posle dorabotky — 14.11.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6

O вычислении интегралов по сферическим областям

Institution

Ähnliche Einträge