Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності
Рассмотрена эволюционная задача со свободной границей для стационарной линейной системы теории упругости, возникающая при исследовании тонких пленочных покрытий в микроэлектронных устройствах. Доказана ее разрешимость на произвольном интервале времени при условии, что начальные данные достаточно бли...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165171 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності / М.В. Краснощок // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 494-511. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165171 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1651712020-02-13T01:25:52Z Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності Краснощок, М.В. Статті Рассмотрена эволюционная задача со свободной границей для стационарной линейной системы теории упругости, возникающая при исследовании тонких пленочных покрытий в микроэлектронных устройствах. Доказана ее разрешимость на произвольном интервале времени при условии, что начальные данные достаточно близки к стационарному решению. We consider an evolution free-boundary problem for a stationary linear system of the theory of elasticity encountered in the investigation of solid thin films in microelectronic devices. Its solvability is proved on an arbitrary time interval under the condition that the initial data are sufficiently close to the stationary solution. 2013 Article Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності / М.В. Краснощок // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 494-511. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165171 517.946 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Краснощок, М.В. Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності Український математичний журнал |
| description |
Рассмотрена эволюционная задача со свободной границей для стационарной линейной системы теории упругости, возникающая при исследовании тонких пленочных покрытий в микроэлектронных устройствах. Доказана ее разрешимость на произвольном интервале времени при условии, что начальные данные достаточно близки к стационарному решению. |
| format |
Article |
| author |
Краснощок, М.В. |
| author_facet |
Краснощок, М.В. |
| author_sort |
Краснощок, М.В. |
| title |
Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності |
| title_short |
Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності |
| title_full |
Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності |
| title_fullStr |
Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності |
| title_full_unstemmed |
Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності |
| title_sort |
еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165171 |
| citation_txt |
Еволюційна задача з вільною межею для стаціонарної системи теорії пружності / М.В. Краснощок // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 494-511. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT krasnoŝokmv evolûcíjnazadačazvílʹnoûmežeûdlâstacíonarnoísistemiteoríípružností |
| first_indexed |
2025-07-14T18:00:23Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:00:23Z |
| _version_ |
1837646242245509120 |
| fulltext |
УДК 517.946
М. В. Краснощок (Iн-т прикл. математики i механiки НАН України, Донецьк)
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ
ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI
We consider an evolution free-boundary problem for a stationary linear system of the theory of elasticity that arises in the
investigation of solid thin films in microelectronic devices. We prove its solvability on an arbitrary time interval under the
condition that the initial data are sufficiently close to the stationary solution.
Рассмотрена эволюционная задача со свободной границей для стационарной линейной системы теории упруго-
сти, возникающая при исследовании тонких пленочных покрытий в микроэлектронных устройствах. Доказана ее
разрешимость на произвольном интервале времени при условии, что начальные данные достаточно близки к ста-
ционарному решению.
Вступ. У данiй роботi розглянуто еволюцiйну задачу з вiльною межею для стацiонарної лi-
нiйної системи теорiї пружностi, що виникає при дослiдженнi тонких плiвкових покриттiв у
мiкроелектронних приладах (див. [1], а також [2, 3]). Зазначимо, що у роботi [1] побудова-
но розв’язок лiнеаризованої однорiдної задачi у модельному випадку, коли початкова товщина
покриття має вигляд h0(x1) = h0 + a cos(ωx1), де h0, a, ω — заданi сталi. Нижче вивчено
вихiдну задачу в точнiй постановцi, з урахуванням додаткової iнтегральної умови, яка гарантує
єдинiсть розв’язку. Доведено iснування розв’язку даної задачi на довiльному вiдрiзку часу у
вiповiдних класах Соболєва. Вiдносно початкового положення вiльної межi ми припускаємо,
що h0 — достатньо гладка перiодична (з перiодом 2π) функцiя, до того ж рiзниця мiж h0(x1)
та її середньою величиною h0 =
1
2π
∫ 2π
0
h0(x1)dx1 у вiдповiднiй нормi є „достатньо малою”.
Еволюцiйнi задачi з вiльними межами для елiптичних рiвнянь та систем дослiджувались,
наприклад, у роботах [4 – 10] (див. також бiблiографiю в [11]). У данiй роботi, як i в [10], будемо
припускати перiодичнiсть вiльної межi i використовувати метод вiдокремлення змiнних.
Стаття складається зi вступу i п’яти пунктiв. У першому пунктi наведено постановку задачi,
у другому введено основнi функцiональнi простори i сформульовано основний результат. Третiй
пункт мiстить деякi допомiжнi твердження, зокрема щодо зведення задачi з вiльною межею до
задачi у фiксованiй областi. У четвертому пунктi дослiджується вiдповiдна лiнiйна задача.
П’ятий пункт присвячено доведенню основного результату даної роботи — теореми 1.
1. Постановка задачi. Будемо вважати, що пiдсумовування за повторюваними iндексами
i, j, k проводиться вiд 1 до 2. Для довiльних тензорiв другого рангу a i b позначимо через
a · b = aijbij їх скалярний добуток.
Нагадаємо, що за умов плоскої деформацiї, перемiщення u = (u1, u2) компоненти тензорiв
деформацiї ε i напружень σ пов’язанi спiввiдношеннями
εij =
1
2
(∂jui + ∂jui), σij =
E
1 + ν
(
εij +
ν
1− 2ν
∂kuk δij
)
, (1)
де δij — символи Кронекера, ν ∈ (0, 1/2) — коефiцiєнт Пуассона, E > 0 — модуль Юнга.
Нагадаємо також, що стан рiвноваги смуги Ω = {x ∈ R2 : 0 < x2 < h0}, на яку вздовж осi Ox1
дiє розтяжне зусилля σ0 > 0, верхня межа якої Γ = {x ∈ R2 : x2 = h0} вiльна вiд навантаження,
c© М. В. КРАСНОЩОК, 2013
494 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 495
а нижня Σ = {x ∈ R2 : x2 = 0} спирається без тертя на недеформовну основу, можна описати
за допомогою вiдповiдно тензорiв напружень i деформацiй
σ0 =
(
σ0 0
0 0
)
, ε0 =
1 + ν
E
(
(1− ν)σ0 0
0 −νσ0
)
.
Розглянемо далi еволюцiю криволiнiйної смуги Q(t) = {x ∈ R2 : 0 < x2 < h(x1, t)},
товщина якої h(x1, t) буде знаходитись iз рiвняння поверхневої дифузiї, що описує фазовий
перехiд „пара-пружне тiло” (див. [1]). Позначимо через γ(t) = {x ∈ R2 : x2 = h(x1, t)} вiльну
межу, через κ =
hx1x1
(1 + h2
x1)3/2
її кривизну, через n =
(
− hx1
(1 + h2
x1)1/2
,
1
(1 + h2
x1)1/2
)
одиничну
зовнiшню нормаль до γ(t), через Vn =
ht√
1 + h2
x1
швидкiсть руху вiльної межi у напрямку
нормалi n i через ∆γ(t) оператор Лапласа – Бельтрамi на γ(t). Як вже зазначалося, початкова
функцiя h0(x1) є перiодичною за змiнною x1 з перiодом 2π. Як наслiдок вважатимемо, що всi
функцiї, що розглядаються, мають ту саму властивiсть, i називатимемо їх перiодичними. Нехай
Π = {x ∈ R2 : 0 < x1 < 2π} i для довiльної множини G ∈ R2 G′ = G ∩Π.
Розглянемо наступну задачу: знайти перiодичну функцiю h(x1, t), вiдповiдну вiльну межу
γ(t) та перiодичну вектор-функцiю u(x, t) в областi Q(t) = {x ∈ R2 : 0 < x2 < h(x1, t)} так,
щоб виконувались умови
∂jσij = 0, x ∈ Q(t), t ∈ (0, T ), i = 1, 2,
(σij + σ0
ij)nj = 0, x ∈ γ(t), t ∈ (0, T ), i = 1, 2,
σ12 = 0, u2 = 0, x ∈ Σ, t ∈ (0, T ),∫
Q′(t)
u1(x, t)dx = 0, t ∈ (0, T ),
(2)
Vn = ∆γ(t)
(
−α0κ + α1U
0
)
, x ∈ γ(t), t ∈ (0, T ), h(x1, 0) = h0(x1), (3)
де α0, α1 — додатнi сталi, U0 =
1
2
(σ + σ0) · (ε+ ε0).
З рiвняння (3) видно, що
∫ 2π
0
h(x1, t)dx1 =
∫ 2π
0
h0(x1)dx1. Позначимо через % = h − h0
вiдхилення вiльної межi γ(t) вiд Γ. Далi невiдомi σ, ε, h можна розглядати як збурення „базового
стану” σ0, ε0, h0. Зазначимо також, що набiр функцiй u = 0, h = h0 (% = 0) є стацiонарним
розв’язком задачi (2), (3).
Зауваження 1. Безпосереднiми обчисленнями неважко перевiрити, що U0 = U+σ0∂1u1+
+
1
2
σ0
11ε
0
11, де U =
1
2
σε. Отже, умову (3) можна замiнити на еквiвалентну:
Vn = ∆γ(t) (−α0κ + α1U + α1σ0∂1u1) , x ∈ γ(t), t ∈ (0, T ). (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
496 М. В. КРАСНОЩОК
Зауваження 2. Позначимо через < лiнiйний простiр жорстких перемiщень v в R2 : v1 =
= a1 + bx2, v2 = a2 − bx1, де a1, a2, b — довiльнi сталi. Неважко перевiрити, що ∂jσij(v) = 0,
i = 1, 2, для всiх v ∈ <. Якщо компоненти вектора v є перiодичними, то b = 0. З умов v2|Σ = 0
i
∫
Q′(t)
v1dx = 0 випливає вiдповiдно, що a2 = 0 i a1 = 0, тобто v = 0. Таким чином, однорiдна
(при σ0
ij = 0, i, j = 1, 2) задача (2) для заданої кривої γ(t) має лише тривiальний розв’язок.
Зазначимо також, що завдяки перiодичностi функцiї h (див. також [12, с. 49]) буде виконано
умови узгодження
∫
γ′(t)
σ0
ijnj(t)ds = 0, i = 1, 2, оскiльки
∫
γ′(t)
n1ds =
∫ 2π
0
hx1(x1, t)dx1 = 0.
Зауваження 3. Для оператора Лапласа – Бельтрамi ∆Γ використовуватимемо два еквiвалент-
них зображення
∆γ(t)f(x1, t) = ∆
(1)
γ(t)f(x1, t) =
1
(1 + h2
x1)1/2
(
fx1
(1 + h2
x1)1/2
)
x1
,
∆γ(t)f(x, t) = ∆
(2)
γ(t)f(x1, t) =
2∑
i,j=1
τiτj∂i∂jf − κ
2∑
i=1
ni∂if,
(5)
де τ =
(
1
(1 + h2
x1)1/2
,
hx1
(1 + h2
x1)1/2
)
— дотична до γ(t).
2. Основний результат. Визначимо спочатку основнi функцiональнi простори. Для довiль-
них перiодичних функцiй f(x1, t), F (x, t) позначимо вiдповiдно через
f̂(m, t) =
1
2π
2π∫
0
f(x1, t) exp(−imx1)dx1, F̂ (m,x2, t) =
1
2π
2π∫
0
F (x, t) exp(−imx1)dx1
їх коефiцiєнти Фур’є.
Далi скрiзь q — натуральне число. Визначимо простори P q+1/2(Γ), P q+1/2(ΓT ), як замикан-
ня перiодичних нескiнченно диференцiйовних функцiй за нормами
‖f‖P q+1/2(Γ) ≡ |f |q+1/2,Γ =
(∑
m∈Z
(1 + |m|2q+1)|f̂(m)|2
)1/2
, q ≥ 0,
‖f‖P q+1/2(ΓT ) ≡ |f |q+1/2,ΓT
=
∑
0≤i≤2
T∫
0
|∂itf(·, t)|2q+1/2−4i,Γdt
1/2
, q ≥ 8,
вiдповiдно. Простiр P q+1/2(ΣT ) визначаємо аналогiчним чином.
Позначимо
|F |0,Q′
T
=
T∫
0
dt
∫
Q′
|F (x, t)|2dx
1/2
i введемо простiр перiодичних функцiй P q(QT ), q ≥ 9, iз скiнченною нормою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 497
‖F‖P q(QT ) ≡ |F |q,QT
=
∑
0≤i≤2
∑
0≤4i+|k|≤q
|∂it∂
k1
1 ∂k22 F |20,Q′
T
1/2
.
Нехай % належить P q−1/2(ΓT ) i функцiя %̃(y, t) ∈ P q(ΩT ) така, що %̃|Γ = % (див. нижче
лему 2). Введемо функцiю χ ∈ C∞(R1) таку, що
χ(y2) =
{
1 при y2 ≥ h0/2,
0 при y2 ≤ h0/4.
Визначимо замiну координат x = Y%(y, t):
x1 = y1, x2 = y2 + χ(y2)%̃(y, t),
яка для кожного t ∈ [0, T ] виконує взаємно однозначне перетворення областi Ω на Q(t) (див.
нижче лему 3). Визначник матрицi Якобi даного перетворення позначимо через J = 1+(χ%̃)y2 .
Зберiгаючи за функцiями u1(x, t), u2(x, t) у нових змiнних y1, y2 тi самi позначення, маємо
∂u
∂x1
=
∂u
∂y1
+ a1
∂u
∂y2
≡ ∂̃1u,
∂u
∂x2
= a2
∂u
∂y2
≡ ∂̃2u,
(6)
де a1 = − (χ%̃)y1
1 + (χ%̃)y2
, a2 =
1
1 + (χ%̃)y2
.
Компоненти деформацiй та напружень у нових змiнних набирають вигляду (пор. з (1))
εij =
1
2
(∂̃jui + ∂̃iuj), ϑij =
E
1 + ν
(
εij +
ν
1− 2ν
∂̃kukδij
)
. (7)
Позначимо I[f ](t) =
∫
Ω′
f(y, t)dy. На пiдставi (5) – (7) задачу (2), (4) можна сформулювати
так: знайти перiодичнi u, % такi, що
∂̃jϑij = 0, (y, t) ∈ QT , i = 1, 2, (8)
ϑ12 − ∂1%ϑ11 = σ0∂1%, ϑ22 − ∂1%ϑ21 = 0, (y, t) ∈ ΓT ,
ϑ12 = 0, u2 = 0, (y, t) ∈ ΣT ,
%t
(1 + %2
y1)1/2
= −α0∆
(1)
Γ κ + α1∆̃
(2)
Γ Ũ + α1σ0∆̃
(2)
Γ ∂̃1u1, (y, t) ∈ ΓT ,
I[Ju1] = 0, t ∈ (0, T ), %(y1, 0) = %0(y1) ≡ h0(y1)− h0,
(9)
де ∆̃
(2)
Γ =
∑2
i,j=1
τiτj ∂̃i∂̃j − κ
∑2
i=1
ni∂̃i, Ũ =
1
2
ϑijεij .
Основним результатом даної статтi є наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
498 М. В. КРАСНОЩОК
Теорема 1. Нехай q ≥ 8. Для довiльного T > 0 iснує стала δ0 = δ0(T, q) така, що для
довiльної початкової функцiї %0,
|%0|q+2+1/2,Γ ≤ δ0(T, q), (10)
iснує єдиний розв’язок u ∈ P q+5(ΩT ), % ∈ P q+4+1/2(ΓT ) задачi (8), (9).
Зауважимо також, що, як промiжний результат, одержано достатню умову стiйкостi (в сенсi
роботи [1]) стацiонарного розв’язку u = 0, h = h0 (див. нижче умову (31)).
3. Допомiжнi твердження. Наступнi три леми потрiбнi для побудови невиродженої замiни
координат Y%.
Позначимо через H3,1(R2 × R1) простiр функцiй iз скiнченною нормою
‖w‖23 ≡
∫
R1
dt
∫
R2
|w(x, t)|2 + |∂tw(x, t)|2 +
∑
k1+k2≤3
|∂k11 ∂k22 w(x, t)|2
dx.
Лема 1. Якщо w належить H3,1(R2×R1), то w належить C(R2×R1) i справджується
оцiнка
sup
R2×R1
|w| ≤ C‖w‖3.
Доведення. Використаємо той самий пiдхiд, що i при доведеннi леми 5.1 роботи [13]. Для
перетворення Фур’є
ŵ(ξ, τ) =
1
(2π)3/2
∫
R1
dt
∫
R2
w(x, t)exp(ixξ + itτ)dx
на пiдставi формули Парсеваля виконується нерiвнiсть ‖ŵ‖3 ≤ C ′‖w‖3, де
‖ŵ‖3 =
∫
R1
dτ
∫
R2
|ŵ(ξ, τ)|2(1 + |ξ|3 + |τ |)2dξ.
Позначимо ψ(ξ, τ) = 1 + |ξ|3 + |τ |. Очевидно, ψ−1 ∈ L2(R2 × R1). На пiдставi нерiвностi
Гельдера функцiя ŵ = (ŵψ) · ψ−1 належить до L1(R2 × R1). Останнє означає, що функцiя
w(x, t) є обмеженою i неперервною. Отже,
sup
R2×R1
|w| ≤ ‖ŵ‖L1(R2×R1) ≤ C ′′‖ŵ‖3 ≤ C ′C ′′‖w‖3 ≤ C‖w‖3.
Лему доведено.
За аналогiєю з H3,1(R2 × R1) введемо простiр H3,1(Ω′T ) з нормою ‖w‖3,Ω′
T
.
Наслiдок 1. Якщо w належитьH3,1(Ω′T ),то w належить C(Ω
′
T ) i справджується оцiнка
sup
Ω′
T
|w| ≤ C1(h0, T )‖w‖3,Ω′
T
. (11)
Лема 2 (продовження функцiй). Нехай f належить P q−1/2(ΓT ), q ≥ 9, тодi iснує функцiя
f̃ ∈ P q(QT ) така, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 499
f̃ |Γ = f, ∂2f̃ |Γ = 0, |f̃ |q,QT
≤ C2(q, h0, T )|f |q−1/2,ΓT
.
Для доведення даної леми достатньо, наприклад, як i в роботi [10], покласти
f̃(x, t) =
∑
m∈Z
(1 + (h0 − x2)2m2)−1/2f̂m(t) exp(imx1).
Нехай далi функцiя %̃ ∈ P q(ΩT ) є продовженням функцiї % ∈ P q−1/2(ΓT ), що задовольняє
умови леми 2.
Лема 3 (замiна координат). Iснує δ∗ = δ∗(h
0, T, C1(h0, T )), q ≥ 8, таке, що при
|%|q+1/2,QT
≤ δ∗ замiна x = Y%(y, t) для кожного t ∈ [0, T ] взаємно однозначно вiдображає
область Ω на Q(t).
Доведення. Iз вигляду Y% видно, що достатньо вiдшукати таке значення параметра δ∗, що
%̃(y, t) ≤ h0/2 i J(y, t) = 1 + ∂2(χ(y2)%̃(y, t)) ≥ 1/2 при (y, t) ∈ ΩT . Оскiльки (див. наслiдок 1)
sup
ΩT
|∂2(χ%̃)| ≤ Cχ(sup
ΩT
|%̃|+ sup
ΩT
|∂2%̃|) ≤ 2C1(h0, T )Cχ|%̃|q,ΩT
, де cχ = max{1, sup
(0,h0)
|χ′|},
обидвi умови буде виконано, якщо
|%|q−1/2,QT
≤ δ∗ ≡
1
C2(q, h0, T )
min
{
h0
2
,
1
4C1(h0, T )Cχ
}
.
Лему доведено.
Наступнi три леми є необхiдними для оцiнки норм нелiнiйних членiв при доведеннi теоре-
ми 1.
Лема 4 (мультиплiкативна властивiсть норм). 1. Нехай u, v належaть P q(ΩT ), q ≥ 8,тодi
uv належить P q(ΩT ) i має мiсце оцiнка
|uv|q,ΩT
≤ C3(q, h0, T )|u|q,ΩT
|v|q,ΩT
. (12)
2. Нехай u, v належaть P q−1/2(ΓT ), q ≥ 9, тодi uv належить P q−1/2(ΓT ) i має мiсце
оцiнка
|uv|q−1/2,ΓT
≤ C4(q, h0, T )|u|q−1/2,ΓT
|v|q−1/2,ΓT
. (13)
Доведення. 1. Маємо
|uv|2q,ΩT
≤
∑
0≤i≤2
∑
|k|≤q−4i
|∂it∂
k1
1 ∂k22 (uv)|20,Ω′
T
≤
≤ c(q)
∑
0≤i≤2
∑
|k|≤q−4i
i∑
j=0
∑
|l|≤|k|
|∂jt ∂
l1
1 ∂
l2
2 u · ∂
i−j
t ∂k1−l11 ∂k2−l22 v|20,Ω′
T
.
Розiб’ємо останнiй вираз на двi групи доданкiв: до першої групи вiднесемо члени, у яких
4j+ |l| ≤ q−4, а до другої — всi iншi. Легко бачити, що у другiй групi для вiдповiдних iндексiв,
за якими проводиться пiдсумовування, маємо нерiвнiсть 4(i − j) + |k − l| ≤ 4. Застосовуючи
оцiнку (11) у першiй групi до похiдних u i у другiй — до похiдних v, отримуємо оцiнку (12).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
500 М. В. КРАСНОЩОК
2. Згiдно з лемою 2 можна побудувати функцiї ũ ∈ P q(ΩT ), ṽ ∈ P q(ΩT ) такi, що ũ|Γ = u,
ṽ|Γ = v i до того ж
|ũ|q,ΩT
|ṽ|q,ΩT
≤ (C2(q, h0, T ))2|u|q−1/2,ΓT
|v|q−1/2,ΓT
.
З iншого боку, застосовуючи оцiнку (12) та теорему про слiди до добутку ũṽ (тут ми викорис-
товуємо пiдхiд, запропонований у роботi [7]), маємо
|ũ|q,ΩT
|ṽ|q,ΩT
≥ 1
C3(q, h0, T )
|ũṽ|q,ΩT
≥ C(q)
C3(q, h0, T )
|uv|q−1/2,ΓT
.
З двох останнiх нерiвностей випливає оцiнка (13).
Лему доведено.
Лема 5. Нехай
u ∈ P q(ΩT ), q ≥ 8, sup ΩT
|u| ≤ 1/2, |u|q,ΩT
≤ 1
2C3(q, h0, T )
,
тодi (1− u)−l належить P q(ΩT ) i виконується нерiвнiсть
|1− (1− u)−l|q,ΩT
≤ C5(l, q, h0, T )|u|q,ΩT .
Для доведення даної леми необхiдно використати розвинення функцiї (1 − u)−l у ряд
Тейлора, до кожного члена якого застосовано оцiнку (12).
Лема 6. Нехай u належить P q−1/2(ΓT ), q ≥ 9, supΩT
|u| ≤ 1/2, |u|q−1/2,ΓT
≤ 1
2C4(q, h0, T )
,
тодi (1− u)−l належить P q−1/2(ΓT ) i виконується нерiвнiсть
|1− (1− u)−l|q−1/2,ΓT
≤ C6(l, q, h0, T )|u|q−1/2,ΓT .
Доведення даної леми є комбiнацiєю пiдходiв доведення твердження 2 леми 4 i леми 5.
Леми 5 i 6 потрiбнi для оцiнки норм членiв вигляду (1 + (∂1%)2)−l.
Лема 7. Нехайw належитьH2(Ω′), w(0, x2) = w(2π, x2) при x2 ∈ (0, h0),функцiї σij(w),
ϑij(w) обчислюються вiдповiдно за формулами (1) i (7), тодi мають мiсце спiввiдношення∫
Ω′
∂jσ1j(w)dx =
∫
Γ′
σ12(w)ds−
∫
Σ′
σ12(w)ds, (14)
∫
Ω′
J∂̃jϑ1j(w)dx =
∫
Γ′
(−∂1%ϑ11(u) + ϑ12(u))ds−
∫
Σ′
ϑ12(u)ds. (15)
Якщо, додатково, w2|Σ = 0 i I[w1] = 0, то виконується нерiвнiсть Корна
‖w‖2H1(Ω′) ≤ C(h0)
∫
Ω′
σ(w) · ε(w) dx. (16)
Формула (14) є звичайною формулою iнтегрування частинами, а (15) безпосередньо випли-
ває з властивостей функцiй a1, a2, J, зокрема того, що ∂1J + ∂2(a1J) = 0 (пор. з формулою
(3.11) з роботи [9]). Нерiвнiсть (16) є наслiдком теореми 2.5 iз монографiї [12] i зауваження 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 501
Зауваження 4. Зважаючи на формулу (15), у подальшому розглядi замiсть (8) розгляда-
тимемо еквiвалентну систему
J
2∑
j=1
∂̃jϑij = 0, (x, t) ∈ QT , i = 1, 2. (17)
4. Лiнiйна задача. Розглянемо таку задачу для знаходження невiдомих u = (u1, u2) i r :
2∑
j=1
∂jσij(u) = fi, (x, t) ∈ QT , i = 1, 2,
σ12(u)− σ0∂1r = φ1, σ22(u) = φ2, (x, t) ∈ ΓT ,
σ12(u) = φ3, u2 = 0, (x, t) ∈ ΣT , I[u1](t) = φ(t), t ∈ (0, T ),
rt = −α0∂
4
1r + α1∂
3
1u1 + φ4, (x, t) ∈ ΓT , r(y1, 0) = r0(y1).
(18)
Введемо простiр Wq,T = P q+4+1/2(ΓT )× P q+5(ΩT )× P q+5(ΩT ) з нормою
Nq,T (r, u) = |r|q+4+1/2,ΓT
+ |rt|q+1/2,ΓT
+ |u|q+5,ΩT
.
Позначимо також
Fq,T (f, φ) =
2∑
i=1
|fi|q+3,ΩT
+
2∑
i=1
|φi|q+3+1/2,ΓT
+ |φ3|q+3+1/2,ΣT
+ |φ4|q+1/2,ΓT
+ |φ|H2(0,T ).
Теорема 2. Нехай виконано такi умови:
H1) r0 ∈ P q+2+1/2(Γ), fi ∈ P q+3(QT ), φi ∈ P q+3+1/2(ΓT ), i = 1, 2,
φ3 ∈ P q+3+1/2(ΣT ), φ4 ∈ P q+1/2(ΓT ), φ ∈ H2(0, T );
H2)
∫
Q′
f1(y, t)dy =
∫
Γ′
φ1(y, t)ds−
∫
Σ′
φ3(y, t)ds, t ∈ [0, T ].
Тодi iснує єдиний розв’язок (r, u) ∈ Wq,T задачi (18) i справджується оцiнка
Nq,T (r, u) ≤ C7(q, T )
(
Fq,T (f, φ) + |r0|q+2+1/2,Γ
)
. (19)
Доведення. Для розв’язання задачi (18) використаємо метод Фур’є. Позначимо через r̂(m, t),
ûk(m, y2, t), m ∈ Z, k = 1, 2, невiдомi коефiцiєнти Фур’є, а також
Lk(∂1, ∂2)u = ∂jσkj(u), σ̂12[û(m)] =
E
2(1 + ν)
(∂2û1(m) + imû2(m)) ,
σ̂22[ûm] =
E
1 + ν
(
∂2û2(m) +
ν
1− 2ν
(imû1(m) + ∂2û2(m))
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
502 М. В. КРАСНОЩОК
Отже, задача (18) зводиться до наступної задачi для системи звичайних диференцiальних рiв-
нянь:
Lk(im, ∂2)û(m) = f̂k(m), 0 < y2 < h0, k = 1, 2, (20)
σ̂12[û(m)] = σ0im∂1r̂(m) + φ̂1(m), σ̂22[ûm] = φ̂2(m), y2 = h0,
σ̂12[û(m)] = φ̂3(m), û2(m) = 0, y2 = 0,
r̂t(m) = −α0m
4r̂(m)− α1σ0im
3û1(m) + φ̂4(m), y2 = 0,
h0∫
0
û1(0, y2, t)dy2 = 2πφ(t), t ∈ (0, T ), r̂(m, 0) = r̂0(m).
(21)
У свою чергу умова узгодження H2 набирає вигляду
h0∫
0
f̂1(0, y2, t)dy2 = φ̂1(0, t)− φ̂3(0, t), t ∈ [0, T ]. (22)
Далi наша мета полягає в тому, щоб звести неоднорiдну задачу (20), (21) до аналогiчної
задачi з f̂k(m) = 0, k = 1, 2, φ̂i(m) = 0, i = 1, 2, 3 (див. нижче задачу (26), яка мiстить в
собi основну iнформацiю про лiнеаризовану задачу i диктує вибiр функцiональних просторiв).
Оскiльки iнтегральна умова в (21) i умова узгодження (22) стосуються лише випадку m = 0,
спочатку ми знаходимо ûk(0, y2, t) i r̂(0, t), а потiм послiдовно „знiмаємо” правi частини f̂k(m),
k = 1, 2, i φ̂i(m), i = 1, 2, 3, при m 6= 0.
При m = 0 маємо
û1(0, y2, t) =
2π
h0
φ(t)− 1
H
h0∫
0
û1,0(z, t)dz + û1,0(y2, t),
де
û1,0(y2, t) =
2(1 + ν)
E
−
y2∫
0
zf̂1(0, z, t)dz + y2
φ̂1(0, t)−
h0∫
y2
f̂1(0, z, t)dz
,
û2(0, y2, t) =
(1 + ν)(1− 2ν)
E(1− ν)
−
y2∫
0
zf̂2(0, z, t)dz + y2
φ̂2(0, t)−
h0∫
y2
f̂2(0, z, t)dz
,
(23)
r̂(0, t) = r̂0(0) +
t∫
0
φ̂4(m, s)ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 503
При m 6= 0 спочатку побудуємо функцiю ûf (m, y2, t) = (ûf1(m, y2, t), û
f
2(m, y2, t), яка
задовольняє систему (20) та умову ûf2(m, 0, t) = 0. Загальний розв’язок однорiдної системи
(20) можна записати у виглядi
ŵ1(m, y2) =
i|m|
m
[(
−c1 +
(
y2 −
3− 4ν
|m|
)
c2
)
e−|m|y2 +
(
c3 −
(
y2 +
3− 4ν
|m|
)
c4
)
e|m|y2
]
,
ŵ2(m, y2) = (c1 − y2c2)e−|m|y2 + (c3 − y2c4)e|m|y2 .
Використовуючи метод варiацiї довiльних сталих, одержуємо
(
λ =
1 + ν
4E(1− ν)
)
:
ûf1(m, y2, t) =
= −λ
y2∫
0
(
(ζ − y2)
(
im
|m|
f̂2(m, ζ, t) + f̂1(m, ζ, t)
)
+
3− 4ν
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
e|m|(ζ−y2)dζ+
+
h0∫
y2
(
(ζ − y2)
(
im
|m|
f̂2(m, ζ, t)− f̂1(m, ζ, t)
)
+
3− 4ν
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
e−|m|(ζ−y2)dζ
+
+λ
im
|m|
− h0∫
0
(ζ − y2)(f̂2(m, ζ, t) +
im
|m|
f̂1(m, ζ, t))+
+
3− 4ν
|m|
f̂2(m, ζ, t) +
3− 4ν
m
(
f̂2(m, ζ, t) +
im
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
e−|m|(ζ+y2)dζ
,
ûf2(m, y2, t) =
= λ
y2∫
0
(
(ζ − y2)
(
f̂2(m, ζ, t)− im
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
− 3− 4ν
|m|
f̂2(m, ζ, t)
)
e|m|(ζ−y2)dζ−
−
h0∫
y2
(
(ζ − y2)
(
f̂2(m, ζ, t) +
im
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
+
3− 4ν
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
e−|m|(ζ−y2)dζ
+
+λ
h0∫
0
(
(ζ − y2)
(
f̂2(m, ζ, t) +
im
|m|
f̂1(m, ζ, t)
)
+
3− 4ν
|m|
f̂2(m, ζ, t)
)
e−|m|(ζ+y2)dζ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
504 М. В. КРАСНОЩОК
Тепер шукаємо розв’язок задачi (20), (21) у виглядi ûi(m) = ûfi (m)+ûbi(m)+ûri (m), i = 1, 2,
де функцiї ûbi(m) знаходяться iз спiввiдношень
Lk(im, ∂2)ûb(m) = 0, 0 < y2 < h0, k = 1, 2, (24)
σ̂12[ûb(m)] = ψ̂1,m(t) ≡ φ̂1(m, t)− σ12[ûfi (m)],
σ̂22[ûb(m)] = ψ̂2(m, t) ≡ φ̂2(m, t)− σ̂12[ûf (m)], y2 = h0,
σ̂12[ûb(m)] = ψ̂3(m, t) ≡ φ̂3(m, t)− σ̂12[ûf (m)], ûb2(m) = 0, y2 = 0,
(25)
а функцiї ûri (m), r̂(m) задовольняють наступнi умови:
Lk(im, ∂2)ûr(m) = 0, 0 < y2 < h0, k = 1, 2,
σ̂12[ûr(m)] = σ0imr̂(m), σ̂22[ûr(m)] = 0, y2 = h0,
σ̂12[ûr(m)] = 0, ûr2(m) = 0, y2 = 0,
r̂t(m) = −α0m
4r̂(m)− α1σ0im
3ûr1(m) + ψ̂4(m, t), y2 = 0, rm(0) = r0,m,
(26)
де ψ̂4(m, t) = φ̂4(m, t)− α1im
3σ0û
f
1(m)− α1im
3σ0û
b
1(m).
Розв’язок задачi (24), (25) шукатимемо у виглядi ûb(m) = ΦX, де X = (X1, X2, X3)T —
невiдомий вектор i
Φ =
im
|m|
ch(|m|y2) sh(|m|y2)
im
|m|
(y2sh(|m|y2) +
3− 4ν
|m|
ch(|m|y2) y2ch(|m|y2)
im
|m|
(y2ch(|m|y2) +
3− 4ν
|m|
sh(|m|y2) y2sh(|m|y2).
T
.
Зазначимо, що ûb(m)|y2=0 = 0 при довiльному виборi X. Пiдставляючи даний вираз у граничнi
умови (25), одержуємо алгебраїчну систему AX = Ψ, де
Ψ =
1
2µ
(ψ̂1(m, t), ψ̂2(m, t), ψ̂3(m, t))T, µ =
E
2(1 + ν)
.
Виконуючи вiдповiднi обчислення, отримуємо (M = |m|h0)
A =
i|m|sh(M) im(h0ch(M) +
2(1− ν)
|m|
sh(M) im(h0sh(M) +
2(1− ν)
|m|
ch(M))
|m|ch(M) Msh(M) + (1− 2ν)ch(M)) Msh(M) + (1− 2ν)ch(M))
0 0 2(1− ν)
im
|m|
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 505
A−1 =
i(Msh(M) + (1− 2ν)ch(M))
m(ch(M)sh(M) +M)
− i|m|ch(M)
m(ch(M)sh(M) +M)
0
Mch(M) + 2(1− ν)sh(M))
|m|(ch(M)sh(M) +M)
− sh(M)
(ch(M)sh(M) +M)
0
i(M2 − 2(1− ν)(1− 2ν)
2m(1− ν)(ch(M)sh(M) +M)
i|m|(ch2(M) + 1− 2ν)
2m(1− ν)(ch(M)sh(M) +M)
im
2m(1− ν)
T
,
Отже, функцiя ûb(m) визначається за формулою
ûb(m) = BΨ, B = ΦA−1. (27)
Зазначимо, що, наприклад, якщо ψ2 = ψ3 = 0, то
ûb1(m, y2, t) =
1 + ν
E
(
|m|(y2 − h0)sh(|m|y2)ch(|m|h0) + |m|h0sh(|m|(y2 − h0))
|m| [h0|m|+ ch(|m|h0)sh(|m|h0)]
+
+
2(1− ν)ch(|m|y2)ch(|m|h0)
|m| [h0|m|+ ch(|m|h0)sh(|m|h0)]
)
ψ̂1(m, t). (28)
Вiдповiдно, функцiя ûr(m) визначається за формулою
ûr(m) = BF, де F = (imσ0r̂(m, t), 0, 0)T. (29)
Враховуючи формули (27) – (29), для знаходження r̂(m, t) одержуємо задачу Кошi
r̂t(m, t) = −α0m
4r̂(m, t) + |m|3 2α1(1− ν2)σ2
0ch2(|m|h0)
E(h0|m|+ sh(|m|h0)ch(|m|h0))
r̂(m, t) + ψ̂4(m, t),
r̂(m, 0) = r̂0(m).
Таким чином,
rm(t) = r0,me
−Mm|m|4t +
t∫
0
e−Mm|m|4(t−s)ψ̂4(m, s)ds, (30)
де
Mm = α0 −
2α1(1− ν2)σ2
0h
0
E
ch2(|m|h0)
|m|h0(h0|m|+ sh(|m|h0)ch(|m|h0))
, m 6= 0.
Враховуючи останнє спiввiдношення в (23) i той факт, що ψ4,0 = φ4,0, можемо вважати, що
зображення (30) має мiсце для всiх m (покладемо, наприклад,M0 = 1).
Позначимо d∗ = supM∈[h0,+∞)
ch2(M)
M(M + sh(M)ch(M))
. Легко бачити, що
Mm > 0 для всiх m ∈ Z, якщо α0 −
2α1(1− ν2)σ2
0h
0
E
d∗ > 0, (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
506 М. В. КРАСНОЩОК
i тодi стацiонарний розв’язок буде стiйким у сенсi роботи [1]. Але, взагалi кажучи, за рахунок
вибору достатньо великих значень σ2
0, значенняMm при деяких m може бути вiд’ємним, тому
далi будемо розмiрковувати таким чином. З огляду на те, щоMm → α0 при |m| → ∞, величина
K∗ = max
m∈Z
{α0
2
−Mm
}
є обмеженою зверху, i exp(−Mm|m|4t) ≤ exp(K∗T )exp
(
−α0
2
|m|4t
)
для всiхm ∈ Z, t ∈ [0, T ].
Отже, маємо
T∫
0
|r(·, t)|2q+4+1/2,Γdt ≤ 2exp(2K∗T )
∑
m∈Z
T∫
0
exp(−α0|m|4t)dt(1 +m2)q+4+1/2|r̂0(m)|2+
+(1 +m2)q+4+1/2
T∫
0
t∫
0
exp(−α0|m|4(t− s))ψ̂4(m, s)ds
2
dt
= 2exp(2K∗T )(I1 + I2).
Оцiнимо, наприклад, доданок I2. На пiдставi нерiвностi Гельдера та замiни порядку iнтег-
рування отримуємо
T∫
0
t∫
0
exp(−α0|m|4(t− s))ψ̂4(m, s)ds
2
dt ≤
≤ max
m6=0
{(
T,
1
α0|m|4
)} T∫
0
ds
T∫
s
exp(−α0|m|4(t− s))|ψ̂4(m, s)|2dt ≤
≤
(
max
m 6=0
{(
T,
1
α0|m|4
)})2
T∫
0
|ψ̂4(m, s)|2ds.
Отже,
I2 ≤
∑
m∈Z
(
max
m 6=0
{(
T,
1
α0|m|4
)})2
(1 +m2)q+4+1/2
T∫
0
|ψ̂4(m, s)|2ds ≤ C(α0, T )|ψ4|q+1/2,ΓT
i остаточно
T∫
0
|r(·, t)|2q+4+1/2,Γdt ≤ C(α0, T,K∗)(|r0|q+2+1/2,Γ + |ψ4|q+1/2,ΓT
).
Використовуючи аналогiчнi мiркування, можна оцiнити вiдповiднi норми похiдних rt i rtt.
Таким чином, справджується оцiнка
|r|q+4+1/2,ΓT
≤ C1(α0, T,K∗)
(
|r0|q+2+1/2,Γ + |ψ4|q+1/2,ΓT
)
. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 507
Перейдемо до оцiнок норм перемiщень. Визначимо спочатку ufb(y, t), як вектор-функцiю з
коефiцiєнтами Фур’є ûfbk (0, y2, t) = ûk(0, y2, t) i ûfbk (m, y2, t) = ûfk(m, y2, t) + ûbk(m, y2, t) при
m 6= 0, k = 1, 2. Має мiсце оцiнка
|ufb|q+5,ΩT
≤ C2(q, T )Fq,T (f, φ). (33)
Розглянемо лише два типових iнтеграла
I1 = m4
h0∫
0
ζ∫
0
e|m|(z−ζ)
f1,m(z, t)
|m|
dz
2
dζ, I2 =
h0∫
0
(|m|(y2 − h0))2sh2(|m|y2)
|m|2sh2(|m|h0)
dy2,
що виникають при оцiнюваннi членiв, що вiдповiдають ûfk(m, y2, t) i ûbk(m, y2, t), m 6= 0.
Послiдовно застосовуючи замiну y2 = ζ − z, нерiвностi Мiнковського та Гельдера, маємо
I1 ≤ m4
h0∫
0
h0∫
y2
e−2|m|y2 |f1,m(x2 − y2, t)|2
|m|2
dx2
1/2
dy2
2
≤
≤ m4
h0∫
0
e−|m|y2
|m|
dy2
2
h0∫
0
|f1,m(z, t)|2dz ≤ C
h0∫
0
|f1,m(z, t)|2dz.
Для другого iнтеграла I2 одержуємо (z = |m|y2, M = |m|h0)
I2 =
1
|m|3
M∫
0
(z −M)2sh2z
sh2M
dz =
1
|m|3
M∫
0
(z −M)2e2z(1− 2e−2z + e−4z)
e2M (1− 2e−2M + e−4M )
dz ≤
≤ C(h0)
|m|3
M∫
0
(z −M)2e2(z−M)dz ≤ C(h0)
|m|3
∞∫
0
ζ2e−2ζdz.
З оцiнок (32), (33) випливає, що
|r|q+4+1/2,ΓT
≤ C3(α0, T,K∗)
(
|r0|q+2+1/2,Γ + Fq,T (f, φ)
)
. (34)
Визначимо далi вектор-функцiю ur(y, t) з коефiцiєнтами Фур’є ûrk(m, y2, t) при m 6= 0 i
ûrk(0, y2, t) = 0, k = 1, 2. Аналогiчно до (33) отримуємо нерiвнiсть
|ur|q+5,ΩT
≤ C4(q, T )|r|q+4+1/2,ΓT
. (35)
Враховуючи (33) – (35), бачимо, що
|u|q+5,ΩT
+ |r|q+4+1/2,ΓT
≤ C5(α0, T,K∗)
(
|r0|q+2+1/2,Γ + Fq,T (f, φ)
)
. (36)
Нарештi, з рiвняння rt = −α0∂
4
1r + α1∂
3
1u1 + φ4 у (18) за допомогою (36) оцiнимо норму
|rt|q+1/2,ΓT
i дiстанемо нерiвнiсть (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
508 М. В. КРАСНОЩОК
Для доведення єдиностi розв’язку задачi (18) використаємо наступнi мiркування. Нехай
набiр функцiй ρ ∈ P q+4+1/2(ΓT ), w ∈ P q+5(ΩT ) є нетривiальним розв’язком вiдповiдної
однорiдної задачi з нульовою початковою умовою:
2∑
j=1
∂jσij(w) = 0, (x, t) ∈ QT , i = 1, 2,
σ12(w)− σ0∂1ρ = 0, σ22(w) = 0, (x, t) ∈ ΓT , (37)
σ12(w) = 0, w2 = 0, (x, t) ∈ ΣT , I[w1](t) = 0, t ∈ (0, T ),
ρt = −α0∂
4
1ρ+ α1∂
3
1u1, (x, t) ∈ ΓT , ρ(y1, 0) = 0. (38)
Зокрема, з рiвняння (38) видно, що коефiцiєнти Фур’є ρ̂(m, t), ŵ1(m, 0, t) задовольняють сис-
тему
ρ̂t(m, 1) = −α0m
4ρ̂(m, t)− α1σ0im
3ŵ1(m, 0, t), ρm(0) = 0, m ∈ Z. (39)
На пiдставi нерiвностi Корна (16) можна стверджувати, що спiввiдношення (4) встановлюють
взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж функцiями ρ i w. Iншими словами коефiцiєнти Фур’є
функцiї w можна визначити за допомогою формул (29) i пiдставити в (39), причому одержана
система
ρ̂t(m, 1) = −Mmm
4ρ̂(m, t), ρm(0) = 0, m ∈ Z,
i система (39) є еквiвалентними. Очевидно, що ρ̂(m, t) = 0 для всiх m ∈ Z i t ∈ (0, T ). Звiдси
одержуємо, що ρ ≡ 0 i, як наслiдок, w ≡ 0.
Теорему 2 доведено.
5. Iснування нерухомої точки. Повернемося до задачi (17) (див. зауваження 4 в пунктi 3),
(9). Залишаючи в лiвих частинах члени, лiнiйнi вiдносно %, u, записуємо її у виглядi
∂jσij(u) = fi(%̃, u), (x, t) ∈ QT , i = 1, 2,
σ12(u)− σ0∂1% = φ1(%̃, u), σ22(u) = φ2(%̃, u), (x, t) ∈ ΓT ,
σ12(u) = φ3(%̃, u), u2 = 0, (x, t) ∈ ΣT ,
%t + α0∂
4
1%− α1σ0∂
3
1u1 = φ4(%̃, u), (x, t) ∈ ΓT ,
I [u] = φ(%̃, u), t ∈ (0, T ),
%(y1, 0) = %0(y1),
(40)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 509
fi(%̃, u) = ∂jσij(u)− J∂̃jϑij(u), i = 1, 2,
φi(%̃, u) = σi2(u)− ϑi2(u) + ∂1%ϑi1(u), i = 1, 2,
φ3(%̃, u) = σ12(u)− ϑ12(u),
φ4(%̃, u) = α0∂
4
1%− α1σ0∂
3
1u1−
−(1 + (∂1%)2)1/2
(
α0∆
(1)
Γ κ − α1σ0∆̃
(2)
Γ ∂̃1u1 − α1∆̃
(2)
Γ Ũ
)
,
φ(%̃, u) = I [u(1− J)] .
(41)
Нехай δ ∈ (0, δ∗) (див. лему 3), δ0 > 0, %0 ∈ P q+2+1/2(Γ), |%0|q+2+1/2,Γ ≤ δ0. Значен-
ня параметрiв δ, δ0 буде уточнюватися нижче. Розглянемо далi замкнену за нормою в Wq,T
множину
Kδ = {(%, u) : Nq,T (%, u) ≤ δ, %|t=0 = %0} .
Лема 8. Нехай δ ≥ 4δ0, тодi множина Kδ є непорожньою.
Доведення. Розглянемо задачу Кошi: знайти ρ ∈ P q+4+1/2(ΓT ) таку, що
∂tρ+ ∂4
x1ρ = 0, ρ(x1, 0) = %0(x1).
Для коефiцiєнтiв Фур’є маємо спiввiдношення ρ̂(m, t) = exp(−m4t)%̂0(m). Нагадаємо, що h0
вибрано таким чином, що %̂0(0) = 0. Одержуємо наступнi нерiвностi:
|ρ|2q+4+1/2,ΓT
=
2∑
i=0
T∫
0
|∂itρ(·, t)|q+4+1/2−4i,Γdt ≤
≤
∑
m∈Z
2∑
i=0
(1 +m2)q+4+1/2−4im8i
T∫
0
|exp(−2m4t)dt|%̂0(m)|2 ≤
≤ 1
2
∑
m∈Z
(
(1 +m2)q+4+1/2m−4 + 2(1 +m2)q+2+1/2
)
|%̂0(m)|2 ≤ 2|%0|2q+2+1/2,Γ.
Аналогiчно |ρt|2q+1/2,ΓT
≤ 2|%0|2q+2+1/2,Γ.
Таким чином, якщо δ ≥ 4δ0, то множина Kδ мiстить принаймнi один елемент (ρ, 0).
Лему доведено.
Позначимо Li(u) =
∑2
j=1 ∂jσij(u),
A(%, u) = [L1(%, u),L2(%, u), (σ12(u)− σ0∂1%)|Γ, σ22(u)|Γ, σ12(u)|Σ, u2|Σ,
(%t + γ0∂
4
1%− γ1∂
3
1u1)|Γ, I [u] , %|t=0
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
510 М. В. КРАСНОЩОК
G(%̃, u) = [f1(%̃, u), f2(%̃, u), φ1(%̃, u), φ2(%̃, u), φ3(%̃, u), 0, φ4(%̃, u), φ(%̃, u), 0],
H = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, %0].
Отже, задача (40), (41) в операторнiй формi набирає вигляду A(r, u) = G(%̃, u) +H. Визначимо
вiдображення Y, яке ставить у вiдповiднiсть елементу (%, u) ∈ Kδ розв’язок задачi A(r, v) =
= G(%̃, u) +H. Спочатку необхiдно перевiрити, що ми маємо можливiсть використати теорему
2. Iз лем 4 – 6 видно, що задовольняються вимоги H1 на регулярнiсть правих частин, а з леми
7 випливає (див. формули (14), (15)), що буде виконано також умову узгодження H2.
Покажемо, що iснує достатньо мале значення параметра δ0 таке, що для довiльної початкової
функцiї %0 ∈ P q+2+1/2(Γ): |%0|q+2+1/2,Γ ≤ δ0 можна вибрати δ ≥ 4δ0 так, що оператор Y є
оператором стиску i вiдображає множину Kδ в себе.
На пiдставi лем 4 – 6 отримуємо наступний результат.
Лема 9. Нехай δ належить (0, δ∗), тодi iснують сталi C8, C9, якi залежать вiд T, δ∗,
такi, що для довiльних елементiв (%, u), (%, u) ∈ Kδ, виконуються нерiвностi
2∑
i=1
|fi(%̃, u)|q+3,ΩT
+
2∑
i=1
|φi(%̃, u)|q+3+1/2,ΓT
+ |φ3(%̃, u)|q+3+1/2,ΣT
+
+|φ4(%̃, u)|q+1/2,ΓT
+ |φ(%̃, u)|H2(0,T ) ≤ C8(Nq,T (%, u))2, (42)
2∑
i=1
|fi(%̃, u)− fi(%̃′, u′)|q+3,ΩT
+
2∑
i=1
|φi(%̃, u)− φi(%̃′, u′)|q+3+1/2,ΓT
+
+|φ3(%̃, u)− φ3(%̃′, u′)|q+3+1/2,ΣT
+ |φ4(%̃, u)− φ4(%̃′, u′)|q+1/2,ΓT
+
+|φ(%̃, u)− φ(%̃′, u′)|H2(0,T ) ≤ C9δNq,T (%− %′, u− u′). (43)
Безпосередньо з оцiнки (19) та леми 9 випливають нерiвностi
Nq,T (Y(%, u)) ≤ C10(T, δ∗)
(
(Nq,T (%, u))2 + |%0|q+2+1/2,Γ
)
, (44)
Nq,T
(
Y(%, u)− Y(%′, u′)
)
≤ C11(T, δ∗)δNq,T (%− %′, u− u′), (45)
де C10 = C7C8, C11 = C7C9.
Отже, оператор Y є оператором стиску, якщо 1) δ ≤ 1
2C11
, i вiдображає множину Kδ в себе,
якщо C10(δ2 + δ0) ≤ δ. Остання нерiвнiсть виконується, якщо, наприклад, маємо 2а) δ ≤ 1
4C10
та 2б) δ0 ≤
δ
4C10
. За лемою 8 необхiдно також, щоб 3) δ0 ≤ δ/4. Покажемо тепер, що сукупнiсть
умов 1, 2а, 2б, 3 є сумiсною. Спочатку виберемо δ ∈ (0, δ∗) за умовами 1 та 2а:
δ = min
{
1
4C11
,
1
8C10
,
δ∗
2
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ЕВОЛЮЦIЙНА ЗАДАЧА З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ ДЛЯ СТАЦIОНАРНОЇ СИСТЕМИ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 511
а потiм δ0, що задовольняє умови 2б та 3:
δ0 =
1
8 max{C10, 1}
min
{
1
4C11
,
1
8C10
,
δ∗
2
}
.
Пiсля зазначеного вибору параметрiв δ0, δ теорема 1 випливає з принципу стисливих вiдобра-
жень (див., наприклад, [14, c. 390]).
1. Yang F. Stress-induced instability of an elastic layer // Mech. Mater. – 2006. – 38. – P. 111 – 118.
2. Tekalign W. T., Spencer B. J. Evolution equation for a thi epitaxial film on a deformable substrate // J. Appl. Phys. –
2004. – 96. – P. 5505 – 5512.
3. Barett J. W., Garcke H., Nürnberg R. Finite element approximation of a phase field for surface diffusion of a voids in
a stresed solid // Math. Comput. – 2005. – 75. – P. 7 – 41.
4. Базалий Б. В. Задача Стефана для уравнения Лапласа с учетом кривизны свободной границы // Укр. мат. журн.
– 1997. – 49, № 10. – С. 1299 – 1315.
5. Фролова Е. В. Квазистационарное приближение для задачи Стефана // Проблемы мат. анализа.– 2005. – 31. –
С. 167 – 179.
6. Antontsev S. N., Gonçalves C. R., Meirmanov A. M. Exact estimates for the classical solutions to the free boundary
problem in the Hele – Shaw cell // Adv. Different. Equat.– 2003. – 8. – P. 1259 – 1280.
7. Friedman A., Reitich F. Nonlinear stability of a quasi-static Stefan problem with surface tension: a continuation
approach // Ann. Scuola norm. Pisa. – 2001. – 30. – P. 341 – 403.
8. Friedman A., Reitich F. Quasi-static motion of a capillary drop. I. The two-dimensional case // J. Different. Equat. –
2002. – 178. – P. 212 – 263.
9. Günter M., Prokert G. A justification for the thin film approximation of Stokes flow with surface tension // J. Different.
Equat.. – 2008. – 245. – P. 2802 – 2845.
10. Bum Ja Jin. Estimates of the solutions of the elastic system in a moving domain with free upper interface // Nonlinear
Anal. – 2002. – 51. – P. 1009 – 1029.
11. Бокало М. М., Дмитришин Ю. Б. Нелiнiйна динамiчна крайова задач без початкової умови для квазiлiнiйних
елiптичних рiвнянь // Нелинейные граничные задачи. – 2007. – 17. – P. 1 – 19.
12. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих
сред. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 311 с.
13. Beale T. Large-time regularity of viscous surface waves // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1984. – 84. – P. 304 – 352.
14. Треногин В. А. Функциональный анализ. – M.: Наука, 1980. – 496 с.
Одержано 22.09.11,
пiсля доопрацювання — 04.01.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|