Аналоги просторів типу S частково парних функцій

Построены аналоги пространств типа S, элементы которых являются четными функциями относительно части компонент своих аргументов. Получена формула представления степени оператора Бесселя через соответствующие степени дифференциального оператора, позволяющая установить связь между этими пространствами...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Літовченко, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165172
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аналоги просторів типу S частково парних функцій / В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 512-521. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165172
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1651722020-02-15T01:25:51Z Аналоги просторів типу S частково парних функцій Літовченко, В.А. Статті Построены аналоги пространств типа S, элементы которых являются четными функциями относительно части компонент своих аргументов. Получена формула представления степени оператора Бесселя через соответствующие степени дифференциального оператора, позволяющая установить связь между этими пространствами в терминах преобразования Фурье – Бесселя и выяснить некоторые основные свойства типовых операций над их элементами. We construct analogs of S-type spaces whose elements are functions even in certain parts of components of their arguments. We deduce a formula expressing the power of a Bessel operator via the corresponding powers of differential operators. The proposed formula enables us to establish the relationship between these spaces in terms of the Fourier–Bessel transformation and to clarify some basic properties of typical operations over their elements. 2013 Article Аналоги просторів типу S частково парних функцій / В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 512-521. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165172 517.982.2 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Літовченко, В.А. Аналоги просторів типу S частково парних функцій Український математичний журнал
description	Построены аналоги пространств типа S, элементы которых являются четными функциями относительно части компонент своих аргументов. Получена формула представления степени оператора Бесселя через соответствующие степени дифференциального оператора, позволяющая установить связь между этими пространствами в терминах преобразования Фурье – Бесселя и выяснить некоторые основные свойства типовых операций над их элементами.
format	Article
author	Літовченко, В.А.
author_facet	Літовченко, В.А.
author_sort	Літовченко, В.А.
title	Аналоги просторів типу S частково парних функцій
title_short	Аналоги просторів типу S частково парних функцій
title_full	Аналоги просторів типу S частково парних функцій
title_fullStr	Аналоги просторів типу S частково парних функцій
title_full_unstemmed	Аналоги просторів типу S частково парних функцій
title_sort	аналоги просторів типу s частково парних функцій
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165172
citation_txt	Аналоги просторів типу S частково парних функцій / В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 512-521. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT lítovčenkova analogiprostorívtipusčastkovoparnihfunkcíj
first_indexed	2025-07-14T18:00:27Z
last_indexed	2025-07-14T18:00:27Z
_version_	1837646246493290496
fulltext	УДК 517.982.2 В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т) АНАЛОГИ ПРОСТОРIВ ТИПУ S ЧАСТКОВО ПАРНИХ ФУНКЦIЙ We construct analogs of S-type spaces whose elements are functions that are even in a part of components of their arguments. We obtain a formula that expresses a power of a Bessel operator via the corresponding powers of a differential operator. This formula enables us to establish a relation between these spaces in terms of the Fourier – Bessel transformation and to clarify some basic properties of typical operations on their elements. Построены аналоги пространств типа S, элементы которых являются четными функциями относительно части компонент своих аргументов. Получена формула представления степени оператора Бесселя через соответствующие степени дифференциального оператора, позволяющая установить связь между этими пространствами в терминах преобразования Фурье – Бесселя и выяснить некоторые основные свойства типовых операций над их элементами. Вступ. Простори типу S I. М. Гельфанда i Г. Є. Шилова [1] є природним середовищем до- слiдження задачi Кошi як для класичних систем рiвнянь iз частинними похiдними, так i для еволюцiйних псевдодиференцiальних рiвнянь i систем iз степеневими символами псевдодифе- ренцiювання. Використання цих просторiв дозволило встановити коректну розв’язнiсть задачi Кошi для таких систем, iстотно розширити клас початкових даних, з якими ця задача має глад- кi розв’язки, описати максимальнi класи розв’язкiв параболiчних систем з характерними для фундаментального розв’язку властивостями тощо [2 – 6]. У цiй статтi проведено адаптацiю просторiв типу S до дослiдження симетричних i частково симетричних процесiв, математичний опис яких мiстить степенi оператора Бесселя. Простори r S ~β ~α i ( r S ~β ~α )′ . Нехай N — множина всiх натуральних чисел, Nm := {1, . . . ,m}; Rm i Cm — вiдповiдно дiйсний i комплексний простори розмiрностi m ≥ 1; Zm+ — множина всiх m- вимiрних мультиiндексiв, R := R1, C := C1; Z+ := Z1 +; C∞(Rm) — простiр усiх нескiнченно диференцiйовних на Rm функцiй; i — уявна одиниця, (·, ·) — скалярний добуток у просторi Rm, ‖x‖ := (x, x)1/2 для x ∈ Rm; \|x + iy\| := (x2 + y2)1/2, якщо {x, y} ⊂ R; zl := zl11 . . . zlmm , \|z\|l := \|z1\|l1 . . . \|zm\|lm , \|z\|l∗ := \|z1\|l1+. . .+\|zm\|lm , \|l\|∗ := \|l1\|+. . .+\|lm\|, якщо z := (z1, . . . , zm) ∈ ∈ Cm i l := (l1, . . . , lm) ∈ Zm+ ; запис x0ξ, де 0 — деяке вiдношення, означає, що це вiдношення виконується для всiх вiдповiдних координат точок {x, ξ} ⊂ Rm. Зафiксуємо довiльно n з N, r ∈ Nn ∪ {0} та r-вимiрний вектор ν ′, координати якого νj > −1/2, j ∈ Nr, i покладемо Rn+,r := {x ∈ Rn : xj ≥ 0, j ∈ Nr}. Крiм цього, нехай ξ′ := (ξ1, . . . , ξr), ξ ′′ := (ξr+1, . . . , ξn) для ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Cn, тобто ξ = (ξ′; ξ′′). Цi позначення будемо використовувати i для iнших аналогiчних точок i векторiв. Нехай далi r S ~β ~α — сукупнiсть усiх функцiй ϕ̌(x) := ϕ(x′2;x′′), ϕ(x) ∈ C∞(Rn), для кожної з яких ∃{a1, a2, A1, A2, c} ⊂ (0; +∞) ∀q ∈ Zn+ ∀x ∈ Rn : ∣∣Dq′ x′∂ q′′ x′′ϕ̌(x) ∣∣ ≤ cA\|q′\|∗1 A \|q′′\|∗ 2 qq ~β Γ(γ′ + q′) e− ( a1\|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) , (1) де c© В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2013 512 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 АНАЛОГИ ПРОСТОРIВ ТИПУ S ЧАСТКОВО ПАРНИХ ФУНКЦIЙ 513 Dq′ x′ := r∏ j=1 ( 1 xj ∂xj )qj , ∂q ′′ x′′ := n∏ j=r+1 ∂ qj xj , ∂xj := ∂ ∂xj , Γ(γ′ + q′) := r∏ j=1 Γ(γj + qj), γj := νj + 1 2 , j ∈ Nr, а Γ(·) — гамма-функцiя; ~α i ~β — фiксованi n-вимiрнi вектори з додатними координатами такi, що ~α′+ ~β′ = ~2′, ~α′′+ ~β′′ ≥ ~1′′ ( тут ~2 := (2, . . . , 2), ~1 := (1, . . . , 1), а 1/~α′ := ~1′/~α′ i 1/~α′′ := ~1′′/~α′′ ) . Позначимо через r S ~β;Â1,Â2 ~α;â1,â2 , âj > 0, Âj > 0, j ∈ N2, сукупнiсть усiх функцiй ϕ̌ з r S ~β ~α, для яких нерiвнiсть (1) виконується при всiх Aj ≥ Â i aj ≤ âj . Якщо для ϕ̌ ∈ r S ~β;Â1,Â2 ~α;â1,â2 покласти ‖ϕ̌‖δρ := sup x∈Rn,q∈Zn+  ∣∣Dq′ x′∂ q′′ x′′ϕ̌(x) ∣∣Γ(γ′ + q′)e(1−ρ) ( a1\|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) (Â1 + δ)\|q′\|∗(Â2 + δ)\|q′′\|∗qq~β , {δ, ρ} ⊂ {1/j, j ≥ 2}, то, мiркуючи, як у випадку просторiв S ~β ~α [1], неважко переконатися, що з цiєю системою пiвнорм простiр r S ~β;Â1,Â2 ~α;â1,â2 є повним досконалим злiченно-нормованим, крiм цього, r S ~β ~α = ⋃ Âj ,â −1 j ≥1 r S ~β;Â1,Â2 ~α;â1,â2 , причому послiдовнiсть {ϕ̌j , j ≥ 1} ⊂ r S ~β ~α збiгається до ϕ̌ ∈ r S ~β ~α у цьому просторi ( позначатимемо ϕ̌j r S ~β ~α−→ j→∞ ϕ̌ ) тодi i тiльки тодi, коли: a) послiдовнiсть є правильно збiжною на Rn (тобто для кожного q ∈ Zn+ послiдовнiсть Dq′ x′∂ q′′ x′′ϕ̌j(x) збiгається до Dq′ x′∂ q′′ x′′ϕ̌(x) рiвномiрно щодо x на кожному компактi з Rn); б) вона є обмеженою в r S ~β ~α : ∃{a1, a2, A1, A2, c} ⊂ (0; +∞) ∀q ∈ Zn+ ∀x ∈ Rn ∀j ≥ 1 : ∣∣Dq′ x′∂ q′′ x′′ϕ̌j(x) ∣∣ ≤ cA\|q′\|∗1 A \|q′′\|∗ 2 qq ~β Γ(γ′ + q′) e− ( a1\|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) . Безпосередньо переконуємось, що у просторi r S ~β ~α визначенi й неперервнi операцiї диференцiю- вання Dq′ x′∂ q′′ x′′ , q ∈ Zn+, додавання та множення на функцiю µ̌(x) := µ(x′2;x′′), µ(·) ∈ C∞(Rn), таку, що ∀δ ∈ (0; 1) ∃{cδ, Aδ} ⊂ (0; +∞) ∀q ∈ Zn+ ∀x ∈ Rn : ∣∣Dq′ x′∂ q′′ x′′ µ̌(x) ∣∣ ≤ cδ A\|q\|∗δ qq ~β Γ(γ′ + q′) eδ ( \|x′2\|1/~α ′ ∗ +\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) (2) (цю умову задовольняє, наприклад, кожен елемент з r S ~β ~α). Звiдси, враховуючи рiвнiсть ∂2 xη(x2) = (Dx + x2D2 x)η(x2) ( ∀η(·) ∈ C∞(R) ) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 514 В. А. ЛIТОВЧЕНКО як наслiдок одержуємо, що комбiнована операцiя диференцiювання Bq′ ν′,x′∂ q′′ x′′ :=  r∏ j=1 B qj νj ,xj  ∂q ′′ x′′ , q ∈ Zn+, де Bνj ,xj := ∂2 xj + 2νj + 1 xj ∂xj — оператор Бесселя порядку νj , який дiє за змiнною xj , також є визначеною i неперервною у просторi r S ~β ~α. Через FB i F−1 B позначимо оператори прямого та оберненого перетворення Фур’є – Бесселя: FB[ϕ̌](σ) := ∫ Rn+,r ϕ̌(x) ( r∏ l=1 Jνl(σlxl)x 2νl+1 l ) ei(x ′′,σ′′)dx, σ ∈ Rn+r, F−1 B [ψ̌](x) := cν′ ∫ Rn+,r ψ̌(σ) ( r∏ l=1 Jνl(σlxl)σ 2νl+1 l ) e−i(x ′′,σ′′)dσ, x ∈ Rn+r ( тут cν′ := (2π)r−n ∏r j=1 ( 22νjΓ2(νj + 1) )−1 , а Jνl(·) — нормована функцiя Бесселя νl-го порядку ) . Теорема 1. Iснують додатнi сталi cj i δj , j ∈ N2, такi, що для всiх {a1, a2} ⊂ (0; 1] i {A1, A2} ⊂ [1; +∞) FB : r S ~β;A1,A2 ~α;a1,a2 −→ r S ~α;c1a −α0 1 ,c2a −α0 2 ~β;δ1(a α0 1 A−1 1 )β0 ,δ2A −β0 2 , α0 := max j∈Nn αj , β0 := ( min j∈Nn βj )−1 . Доведення. Насамперед зазначимо, що рiвнiсть [7] Jp(λξ) = 2√ π Γ(p+ 1) Γ(p+ 1/2) π/2∫ 0 cos2p θ cos(λξ sin θ)dθ, p > −1 2 , {λ, ξ} ⊂ [0; +∞), (3) дозволяє продовжити Jp(·) парним способом на R, причому це продовження є елементом простору C∞(R). Тому функцiя FB[ϕ̌](σ) ( ∀ϕ̌ ∈ r S ~β ~α ) також продовжується за змiнною σ′ на Rr парно i FB[ϕ̌](·) ∈ C∞(Rn). Отже, FB[ϕ̌](σ) ≡ ψ(σ′2;σ′′), де ψ(·) ∈ C∞(Rn). Використовуючи спiввiдношення [7] ∂λJp(λξ) = −1 2 λξ2 Γ(p+ 1) Γ(p+ 2) Jp+1(λξ), Bp,ξJp(λξ) = −λ2Jp(λξ), (4) для всiх {k, q} ⊂ Zn+ i σj ∈ R \ {0}, j ∈ Nn, одержуємо Dq′ σ′∂ q′′ σ′′FB[ϕ̌](σ) = ( r∏ l=1 Γ(νl + 1) Γ(νl + 1 + ql) ) (−1)\|q ′+k′\|∗i\|q ′′+k′′\|∗ 2\|q′\|∗σ′2k′σ′′k′′ ∫ Rn+,r ϕ̌(x)x′′q ′′× × ( r∏ l=1 Bkl νl+ql,xl Jνl+ql(σlxl)x 2(νl+ql)+1 l ) ∂k ′′ x′′e i(x′′,σ′′)dx. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 АНАЛОГИ ПРОСТОРIВ ТИПУ S ЧАСТКОВО ПАРНИХ ФУНКЦIЙ 515 Звiдси шляхом iнтегрування частинами отримуємо∣∣∣Dq′ σ′∂ q′′ σ′′FB[ϕ̌](σ) ∣∣∣ ≤ ( r∏ l=1 Γ(νl + 1) Γ(νl + 1 + ql) )( \|σ′2\|k′ \|σ′′\|k′′ )−1 ∫ Rn+,r ∣∣∣Bk′ ν′+q′,x′∂ k′′ x′′ ( ϕ̌(x)x′′q ′′)∣∣∣× × ( r∏ l=1 ∣∣Jνl+ql(σlxl)∣∣x2(νl+ql)+1 l ) dx. (5) Далi, беручи до уваги зображення Bp,xη(x2) = 4(y∂2 y + (p+ 1)∂y)η(y) ∣∣∣ y=x2 , p > −1 2 , x ∈ R, згiдно з методом математичної iндукцiї переконуємось у правильностi рiвностi Bk p,xη(x2) = 4k yk∂2k y + k∑ j=1 Cjk ( j∏ l=1 (p+ 1 + k − l) ) yk−j∂2k−j y  η(y) ∣∣∣ y=x2 , p > −1 2 , x ∈ R, k ∈ N, η(·) ∈ C∞(R) (тут Cjk — бiномiальний коефiцiєнт), з якої, враховуючи, що 2∂yη(y) ∣∣ y=x2 = Dxη(x2), (6) приходимо до формули Bk p,xη(x2) = k∑ j=0 Cjk2 j ( j∏ l=1 (p+ 1 + k − l) ) x2(k−j)D2k−j x η(x2), p > −1 2 , x ∈ R, k ∈ N, η(·) ∈ C∞(R)( тут ∏0 l=1 (p+ 1 + k − l) := 1 ) . Скористаємось цiєю формулою для оцiнки виразу ∣∣∣Bk′ ν′+q′,x′∂ k′′ x′′ ϕ̌(x) ∣∣∣. Оскiльки ϕ̌ ∈ r S ~β;A1,A2 ~α;a1,a2 i l∏ j=1 (p+ q + 1 + k − j) ≤ ([ p+ 3 2 ] + q + k ) !([ p+ 3 2 ] + q + k − l ) ! ≤ 2[p+3/2]+q+kl!, p > −1 2 , {k, q} ⊂ N, l ≤ k (тут [·] — цiла частина числа), а також sup z>0 { zke−z 1/q } = (q e )kq kkq, k ∈ N, q > 0, (7) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 516 В. А. ЛIТОВЧЕНКО то ∣∣∣Bk′ ν′+q′,x′∂ k′′ x′′ ϕ̌(x) ∣∣∣ ≤ r∏ j=1 kj∑ lj=0 C lj kj 2lj  lj∏ l0=1 (νj + qj + 1 + kj − l0) x 2(kj−lj) j ∣∣∣D2kj−lj xj ∂k ′′ x′′ ϕ̌(x) ∣∣∣ ≤ ≤ c ( 2 ( 2 a1 )\|~α′\|∗)\|k′\|∗ A \|k′\|∗ 1 A \|k′′\|∗ 2 k′′k ′′~β′′e− ( a1 2 \|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) × ×  r∏ j=1 kj∑ lj=0 C lj kj  lj∏ l0=1 ( νj + qj + 1 + kj − l0 )× × ( Γ ( γj + 1 + 2kj − lj ))−1 (2kj − lj)βj(2kj−lj) sup zj>0 { z kj−lj j e−z 1/αj j } ≤ ≤ c1 (( c~α′ 2 a1 )\|~α′\|∗ 22+2\|~β′\|∗ )\|k′\|∗ × ×A\|k ′\|∗ 1 A \|k′′\|∗ 2 2\|q ′\|∗k′′k ′′~β′′e− ( a1 2 \|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) × ×  r∏ j=1 kj∑ lj=0 C lj kj k lj+β(2kj−lj)+αj(kj−lj) j × ( Γ ( γj + 1 + 2kj − lj ))−1 , {k, q} ⊂ Zn+, x ∈ Rn, де c~α′ := max { 1; \|~α′\|∗/e } , а c1 — додатна стала, не залежна вiд k, q i x. Звiдси, використовуючи нерiвностi Γ(γ + 1 + l) ≥ l!Γ(γ + 1), γ > 0, l ∈ Z+, 1 (2k − l)! = (2k)! (2k − l)!l! l! (2k)! ≤ 22k kl (2k)! , 0 ≤ l ≤ k, k ∈ N, для всiх {k, q} ⊂ Zn+ i x ∈ Rn отримуємо оцiнку∣∣∣Bk′ ν′+q′,x′∂ k′′ x′′ ϕ̌(x) ∣∣∣ ≤ c22\|q ′\|∗A \|k′\|∗ 0 A \|k′′\|∗ 2 kk ~βe− ( a1 2 \|x ′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) , A0 := A1 ( 2c~α′a −1 1 )\|~α′\|∗ 25+2\|~β′\|∗ , (8) в якiй додатна стала c2 не залежить вiд k, q та x (за умови, що ~α′ + ~β′ = ~2′). У свою чергу оцiнка (8) забезпечує iснування сталої c > 0 такої, що∣∣∣Bk′ ν′+q′,x′∂ k′′ x′′ (ϕ̌(x)x′′q ′′ ) ∣∣∣ ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 АНАЛОГИ ПРОСТОРIВ ТИПУ S ЧАСТКОВО ПАРНИХ ФУНКЦIЙ 517 ≤ c ( 2 ( 2c~α′′a −1 2 )\|~α′′\|∗)\|q′′\|∗ A \|k′\|∗ 0 (2A2)\|k ′′\|∗kk ~βq′′q ′′~α′′e− 1 2 ( a1\|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) ( ∀{k, q} ⊂ Zn+ ∀x ∈ Rn ) при ~α′ + ~β′ = ~2′ i ~α′′ + ~β′′ ≥ ~1′′ ( тут c~α′′ := max{1; \|~α′′\|∗/e} ) . З огляду на оцiнку ∣∣Jp+l(λξ)∣∣ ≤ c(p) Γ(p+ l + 1) Γ(p+ l + 1/2) , l ∈ Z+, p > −1 2 , {λ, ξ} ⊂ R, (9) яка стає очевидною безпосередньо iз зображення (3) (тут c(p) — додатна величина, залежна лише вiд p), та на рiвнiсть inf l>0 {(a z )l llq } = e−((ae)−1z) 1/q , {a, q, z} ⊂ (0; +∞), iз (5) i (7) для всiх {q, k} ⊂ Zn+, σj ∈ R \ {0}, j ∈ Nn, спочатку дiстанемо ∣∣∣Dq′ σ′∂ q′′ σ′′FB[ϕ̌](σ) ∣∣∣ ≤ c1 A \|k′\|∗ 0 (2A2)\|k ′′\|∗kk ~β Γ(γ′ + q′)\|σ′2\|k′ \|σ′′\|k′′ 2\|q\|∗ ( 22a−1 1 )\|~α′\|∗\|q′\|∗(2a−1 2 c~α′′ )\|~α′′\|∗\|q′′\|∗qq~α× × sup z′>~0′ { \|z′\|γ′+q′e−\|z′\| 1/~α′ ∗ } ∫ Rn+,r e− 1 4 ( a1\|x′2\|1/~α ′ ∗ +a2\|x′′\|1/~α ′′ ∗ ) dx ≤ ≤ c2 B \|q′\|∗ 1 B \|q′′\|∗ 2 Γ(γ′ + q′) qq~α A \|k′\|∗ 0 (2A2)\|k ′′\|∗ \|σ′2\|k′ \|σ′′\|k′′ kk ~β, B1 := 2(23ea−1 1 c~α′) \|~α′\|∗ , B2 := 2(2a−1 2 c~α′′) \|~α′′\|∗ , а вiдтак i∣∣∣Dq′ σ′∂ q′′ σ′′FB[ϕ̌](σ) ∣∣∣ ≤ c2 B \|q′\|∗ 1 B \|q′′\|∗ 2 Γ(γ′ + q′) qq~α inf k′∈Zr+ { A \|k′\|∗ 0 \|σ′2\|k′ k′k ′~β′ } inf k′′∈Zn−r+ { (2A2)\|k ′′\|∗ \|σ′′\|k′′ k′′k ′′~β′′ } ≤ ≤ c2 B \|q′\|∗ 1 B \|q′′\|∗ 2 Γ(γ′ + q′) qq~αe − ( (A0e)−β0 \|σ′2\|1/ ~β′ ∗ +(2A2e)−β0 \|σ′′\|1/ ~β′′ ∗ ) . Теорему доведено. Враховуючи критерiй збiжностi у просторi r S ~β ~α та властивiсть оборотностi перетворення Фур’є – Бесселя, безпосередньо з теореми 1 одержуємо такий наслiдок. Наслiдок. Правильними є такi топологiчнi рiвностi: FB [ r S ~β ~α ] = r S ~α ~β , F−1 B [ r S ~β ~α ] = r S ~α ~β . При цьому оператори FB i F−1 B є неперервними та взаємно однозначними вiдображеннями в цих просторах. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 518 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Символом T hx,ν′ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, породжений комбiно- ваною операцiєю диференцiювання Bν′,x′∂x′′ : ( T hx,ν′ϕ ) (x) := bν′ ∫ [0;π]r ϕ ( ηh1x1 (ξ1), . . . , ηhrxr (ξr), µ hr+1 xr+1 , . . . , µhnxn ) r∏ j=1 sin2νj ξj  dξ′, {x, h} ⊂ Rn, r 6= 0;( T hx,ν′ϕ ) (x) := ϕ(x− h), {x, h} ⊂ Rn, r = 0, де η hj xj (ξj) := √ x2 j + h2 j − 2xjhj cos ξj , µ hj xj := xj − hj , bν′ := r∏ j=1 Γ ( γj + 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ(γj) , а [0;π]r := [0;π]× . . .× [0;π] ⊂ Rr. Наступнi допомiжнi твердження характеризують властивостi T hx,ν′ . Лема 1. Оператор T hx,ν′ є визначеним i неперервним у просторi r S ~β ~α. Доведення. Насамперед зазначимо, що при кожному фiксованому ξ з Rn функцiя Mξ(σ) := ( r∏ l=1 Jνl(σlξl) ) e±i(σ ′′,ξ′′), σ ∈ Rn, є мультиплiкатором у кожному просторi r S ~β ~α. Справдi, згiдно iз спiввiдношеннями (4) i (9) маємо∣∣∣Dq′ σ′∂ q′′ σ′′Mξ(σ) ∣∣∣ ≤ ( r∏ l=1 Γ(νl + 1) Γ(νl + 1 + ql) ∣∣Jνl+ql(σlξl)∣∣ ) \|ξ′2\|q′ \|ξ′′\|q′′ ≤ ≤ c \|ξ ′2\|q′ \|ξ′′\|q′′ Γ(γ′ + q′) , q ∈ Zn+, {σ, ξ} ⊂ Rn. Отже, для Mξ(·), ξ ∈ Rn, виконується оцiнка (2). Використовуючи тепер властивостi оператора T ξx,ν′ (див. [7]), одержуємо FB[T ξx,ν′ϕ̌](·) = Mξ(·)FB[ϕ̌](·) (∀ϕ ∈ r S ~β ~α). (10) Звiдси на пiдставi наслiдку приходимо до рiвностi T ξx,ν′ϕ̌(x) = F−1 B [ Mξ(σ)FB[ϕ̌](σ) ] (x; ξ), {x, ξ} ⊂ Rn, з якої i випливає твердження леми 1. Лему доведено. Лема 2. Нехай ϕ належить r S ~β ~α i ψ̌ξ(x) := T ξx,ν′ϕ̌(x), {x, ξ} ⊂ Rn. Тодi для кожного k ∈ Zn+ iснує Dk′ ξ′ ∂ k′′ ξ′′ ψ̌ξ(·) у розумiннi топологiї простору r S ~β ~α. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 АНАЛОГИ ПРОСТОРIВ ТИПУ S ЧАСТКОВО ПАРНИХ ФУНКЦIЙ 519 Доведення. Спочатку доведемо iснування похiдної Dξj ψ̌ξ(·) за топологiєю r S ~β ~α, тобто пере- конаємось у виконаннi граничного спiввiдношення ψ ∆j ξ (x) := 2 ∆j { T ξ̃+∆j x,ν′ − T ξ x,ν′ } ψ̌ξ(x) r S ~β ~α−→ ∆j→0 Dξj ψ̌ξ(x), j ∈ Nr, {x, ξ} ⊂ Rn, де ξ̃ + ∆j := ( ξ1, . . . , ξj−1, √ ξ2 j + ∆j , ξj+1, . . . , ξn ) (тут враховано рiвнiсть (6)). Для цього, з огляду на неперервнiсть операторiв FB i F−1 B (див. наслiдок), достатньо довести, що Φ ∆j ξ (·) := FB [ ψ ∆j ξ (x)−Dξj ψ̌ξ(x) ] (·) r S~α~β−→ ∆j→0 0. (11) Згiдно з критерiєм збiжностi у просторi r S~α~β , спiввiдношення (11) виконуватиметься, якщо: 1) сiм’я функцiй Φ ∆j ξ (·) правильно збiгається на Rn при ∆j → 0; 2) ця сiм’я є обмеженою у просторi r S~α~β при досить малих \|∆j \|. Встановимо твердження 1. З огляду на рiвнiсть (10) одержуємо FB [ ψ ∆j ξ (x) ] (ζ) = = 2  Jνj (√ zj + ∆j ) − Jνj (√ zj ) ∆j  M̃ϕ(ξ; ζ), ∆j := ζ2 j∆j , zj := ξ2 j ζ 2 j , {ξ, ζ} ⊂ Rn, де M̃ϕ(ξ; ζ) := ζ2 j ( j−1∏ l=1 Jνl(ξlζl) )( n∏ l=r+1 Jνl(ξlζl) ) ei(ξ ′′,ζ′′)FB[ϕ̌](ζ). Звiдси, використовуючи рiвнiсть 2 Jp (√ z + ∆ ) − Jp( √ z ) ∆ = −1 2 Γ(p+ 1) Γ(p+ 2) Jp+1( √ z + θ∆), θ ∈ (0; 1), p > −1 2 , z ≥ 0, \|∆\| > 0, яку одержуємо безпосередньо з (4) i теореми Лагранжа „про скiнченнi прирости”, приходимо до зображення FB [ ψ ∆j ξ (x) ] (ζ) = −1 2 Γ(νj + 1) Γ(νj + 2) Jνj+1 (√ ξ2 j + θj∆jζj ) M̃ϕ(ξ; ζ), {ξ, ζ} ⊂ Rn, θj ∈ (0; 1). Аналогiчним способом переконуємось у тому, що FB [ Dξj ψ̌ξ(x) ] (ζ) = −1 2 Γ(νj + 1) Γ(νj + 2) Jνj+1 (√ ξ2 j ζj ) M̃ϕ(ξ; ζ), {ξ, ζ} ⊂ Rn. (12) Таким чином, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 520 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Φ ∆j ξ (ζ) = −1 2 Γ(νj + 1) Γ(νj + 2) ( Jνj+1 (√ ξ2 j + θj∆jζj ) − Jνj+1 (√ ξ2 j ζj )) M̃ϕ(ξ; ζ) = = θj∆j Γ(νj + 1) Γ(νj + 3) Jνj+2 (√ ξ2 j + θ′j∆jζj ) M̃ ′ϕ(ξ; ζ), (13) M̃ ′ϕ(ξ; ζ) := ζ2 j M̃ϕ(ξ; ζ), {ξ, ζ} ⊂ Rn, {θj , θ′j} ⊂ (0; 1). Враховуючи тепер належнiсть M̃ ′ϕ(ξ; ·) до простору r S~α~β , а також те, що∣∣∣Dkj ζj Jνj+2 (√ ξ2 j + θ′j∆jζj )∣∣∣ = = ∣∣∣∣(− 1 2 (ξ2 j + θ′j∆j) )kj Γ(νj + 3) Γ(νj + 3 + kj) Jνj+kj+2 (√ ξ2 j + θ′j∆jζj )∣∣∣∣ ≤ ≤ c(νj + 2) ( ξ2 j + 1 )kj Γ(νj + 3) Γ(νj + kj + 5/2) , \|θ′j∆j \| ≤ 1, {ξj , ζj} ⊂ R, kj ∈ Z+ (14) (див. (4) i (9)), з (19) одержуємо твердження 1. Твердження 2 стає очевидним, якщо зважити на зображення (13), належнiсть M̃ ′ϕ(ξ; ·) до r S~α~β (при кожному фiксованому ξ з Rn) та оцiнку (14). Отже, встановлено iснування похiдної Dξj ψ̌ξ(·) у сенсi топологiї простору r S~α~β . Зазначимо, що у r S ~β ~α визначено операцiюDk′ ξ′ ∂ k′′ ξ′′ , тому функцiя ηξ(·) := Dξj ψ̌(·) є елементом простору r S ~β ~α; крiм цього, безпосередньо з (12) знаходимо ηξ(x) = −1 2 Γ(νj + 1) Γ(νj + 2) F−1 B [ Jνj+1(ξjζj)M̃ϕ(ξ; ζ) ] (ξ;x), {ξ, x} ⊂ Rn, j ∈ Nr. Звiдси приходимо до висновку, що для доведення iснування похiдної Dξj∂ξlψ̌ξ(·) у розумiннi збiжностi у просторi r S ~β ~α ( при j ∈ Nr, l ∈ {r + 1, . . . , n} ) досить встановити граничне спiв- вiдношення 1 ∆l { η ξ̃+∆l (·)− ηξ(·) } r S ~β ~α−→ ∆l→0 0 (тут ξ̃ + ∆l := (ξ1, . . . , ξl−1, ξl + ∆l, ξl+1, . . . , ξn)), яке, очевидно, рiвносильне такому: 1 ∆l { ei∆lζl − 1 } Jνj+1(ξjζj)M̃ϕ(ξ; ζ) r S~α~β−→ ∆l→0 0. (15) В тому, що спiввiдношення (15) справджується, переконуємось, як у випадку (11). Продовжуючи цей процес за iндукцiєю, приходимо до твердження леми 2. Лему доведено. Згортку двох функцiй ϕ i ψ з простору r S ~β ~α означимо формулою ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4 АНАЛОГИ ПРОСТОРIВ ТИПУ S ЧАСТКОВО ПАРНИХ ФУНКЦIЙ 521 (ϕ ∗ ψ)(x) := ∫ Rn+,r ( T ξx,ν′ϕ(x) ) ψ(ξ) ( r∏ j=1 ξ 2νj+1 j ) dξ, x ∈ Rn. Традицiйним способом переконуємось, що для зазначених функцiй ϕ i ψ правильною є рiвнiсть FB [ ϕ ∗ ψ ] (·) = FB[ϕ](·)FB[ψ](·). Через r S ~β ~α ′ позначимо простiр, топологiчно спряжений з r S ~β ~α; елементи цього простору називатимемо узагальненими функцiями. Оскiльки у r S ~β ~α визначено неперервний оператор комбiнованого зсуву T ξx,ν′ (див. лему 1), то згортку узагальненої функцiї f ∈ r S ~β ~α ′ з елементом ϕ ∈ r S ~β ~α задамо формулою (f ∗ ϕ)(x) = 〈 f, T ξx,ν′ϕ(x) 〉 , x ∈ Rn. Безпосередньо з леми 2 одержуємо таке твердження. Теорема 2. Нехай f належить r S ~β ~α ′ , тодi для кожного ϕ ∈ r S ~β ~α вiдповiдна згортка (f ∗ ϕ)(·) належить C∞(Rn). 1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1958. – 274 с. 2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с. 3. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 283 с. 4. Кашпировский А. И. Граничные значения некоторых классов однородных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1981. – 18 с. 5. Городецький В. В. Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу. – Чернiвцi: Рута, 1998. – 225 с. 6. Лiтовченко В. А. Коректна розв’язнiсть задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних систем у просторах нескiнченно диференцiйовних функцiй: Автореф. дис. . . . д-ра фiз.-мат. наук. – Київ, 2009. – 32 с. 7. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – 6, вып. 2(242). – С. 102 – 143. Одержано 13.04.11, пiсля доопрацювання — 05.02.13 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4

Аналоги просторів типу S частково парних функцій

Репозитарії

Схожі ресурси