Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки
Знайдено розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння другого порядку з аналiтичними в околi фуксової нульової точки коефiцiєнтами. Цей розв’язок виражено через гiпергеометричнi функцiї та введенi у цiй роботi гiпергеометричнi функцiї дробового порядку....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165244 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки / В.Е. Круглов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 10. — С. 1381-1393. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165244 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1652442020-02-13T01:26:58Z Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки Круглов, В.Е. Статті Знайдено розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння другого порядку з аналiтичними в околi фуксової нульової точки коефiцiєнтами. Цей розв’язок виражено через гiпергеометричнi функцiї та введенi у цiй роботi гiпергеометричнi функцiї дробового порядку. We obtain the solution of a second-order linear differential equation with coefficients analytic in the vicinity of a Fuchsian zero point. This solution is expressed via the hypergeometric functions and fractional-order hypergeometric functions introduced in the paper. 2012 Article Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки / В.Е. Круглов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 10. — С. 1381-1393. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165244 517.925.4 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Круглов, В.Е. Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки Український математичний журнал |
| description |
Знайдено розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння другого порядку з аналiтичними в околi фуксової нульової точки коефiцiєнтами. Цей розв’язок виражено через гiпергеометричнi функцiї та введенi у цiй роботi гiпергеометричнi функцiї дробового порядку. |
| format |
Article |
| author |
Круглов, В.Е. |
| author_facet |
Круглов, В.Е. |
| author_sort |
Круглов, В.Е. |
| title |
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки |
| title_short |
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки |
| title_full |
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки |
| title_fullStr |
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки |
| title_full_unstemmed |
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки |
| title_sort |
решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165244 |
| citation_txt |
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами, аналитичными в окрестности фуксовой нулевой точки / В.Е. Круглов // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 10. — С. 1381-1393. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kruglovve rešenielinejnogodifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdkaskoéfficientamianalitičnymivokrestnostifuksovojnulevojtočki |
| first_indexed |
2025-07-14T18:13:59Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:13:59Z |
| _version_ |
1837647098024034304 |
| fulltext |
УДК 517.925.4
В. Е. Круглов (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С КОЭФФИЦИЕНТАМИ,
АНАЛИТИЧНЫМИ В ОКРЕСТНОСТИ ФУКСОВОЙ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ
We obtain a solution of a second-order differential equation with coefficients analytic near a Fuchsian zero point. This
solution is expressed via the hypergeometric functions and the fractional-order hypergeometric functions introduced in this
paper.
Знайдено розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння другого порядку з аналiтичними в околi фуксової нульової
точки коефiцiєнтами. Цей розв’язок виражено через гiпергеометричнi функцiї та введенi у цiй роботi гiпергеомет-
ричнi функцiї дробового порядку.
1. Введение. В монографии [1] в комплексной плоскости изучалось уравнение типа Фукса
n∑
i=0
tiPi (t)u(i) = 0, Pn(t) ≡ 1, (1)
где Pi (t) — аналитические функции в окрестности нулевой точки, и решение (Фробениу-
са) этого уравнения было построено в виде обобщенного степенного ряда, указана область
абсолютной сходимости ряда и найдены коэффициенты lm этого ряда, выраженные через опре-
делители m-го порядка, как решение бесконечной линейной системы уравнений относительно
lm, что делает невозможным получение какой-либо конструктивной информации о самом ряде.
Для случая n = 2 уравнение (1) изучалось также в монографии [2].
В данной работе в комплексной плоскости изучается уравнение
t2P1 (t)u′′ + tP2 (t)u′ + P3 (t)u = 0, (2)
где функции Pi(t) аналитичны в окрестности фуксовой нулевой точки и для них справедливы
в этой окрестности разложения
Pi (t) = ai0 + ai1t+ ai2t
2 + . . . , ai0 6= 0, i = 1, 3. (3)
Решение уравнения (2) в окрестности фуксовой точки t = 0 будем искать в виде обобщен-
ного степенного ряда (решение Фробениуса)
u (t) = tρ(l0 + l1t+ l2t
2 + . . .), l0 6= 0. (4)
Известно [1], что этот ряд абсолютно сходится в кольце 0 < |t| < R, где R — расстояние от
точки t = 0 до ближайшей особой точки дифференциального уравнения (2).
В данной работе получены явные формулы для коэффициентов lm ряда (4), которые вы-
ражены через коэффициенты заданных рядов (3). Кроме того, с помощью найденных формул
для коэффициентов lm выполнена в области сходимости ряда (4) перегруппировка его членов,
что позволило представить ряд (4) как линейную комбинацию гипергеометрических рядов и
введенных в этой работе гипергеометрических рядов дробного порядка.
c© В. Е. КРУГЛОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10 1381
1382 В. Е. КРУГЛОВ
Данная работа завершает цикл работ [3 – 6], объединенных единой идеологией конструктив-
ного построения решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с нулевой
фуксовой точкой.
Приведенная ниже идеология нахождения решения уравнения (2) легко переносится на
случай дифференциального уравнения (1).
В последнее время возобновился интерес к изучению линейных дифференциальных урав-
нений сведением их к линейным разностным уравнениям. В книге [7] приведено достаточно
много теоретических и прикладных примеров из этой области.
2. Идеология построения решения. Подставляя u(t) в уравнение (2) и обнуливая коэффи-
циенты при степенях t, получаем разностное уравнение
α
(0)
0 = a10ρ(ρ− 1) + a20ρ+ a30 = 0, (5)
lk =
(
α
(1)
k−1lk−1 + α
(2)
k−2lk−2 + . . .+ α
(k)
0 l0
)
/
(
−α(0)
k
)
, k = 1, 2, . . . , (6)
где
α(j)
s = (ρ+ s)(ρ+ s− 1)a1j + (ρ+ s)a2j + a3j , j, s = 0, 1, . . . . (7)
Назовем эти числа элементами ранга j.
Из уравнения (5) находим два корня ρ1 и ρ2, и пусть Reρ1 ≥ Reρ2. В дальнейшем в
формулах (7) полагаем ρ = ρ1.
Покажем сначала, что для любых значений ρ1 и ρ2 числа α(0)
k 6= 0, k = 1, 2, . . . . Это следует
из уравнения (5) и равенства ρ1 + ρ2 = 1− a20/a10, так как
α
(0)
k = ka10
(
2ρ1 − 1 +
a20
a10
+ k
)
= ka10(ρ1 − ρ2 + k) 6= 0. (8)
При решении разностного уравнения (6) будем использовать естественное пошаговое его
решение, т. е. на каждом очередном шаге использования уравнения (6) будем учитывать реше-
ния, найденные на предыдущих шагах. При таком подходе в построении решения уравнения (6)
используются, как легко заметить из (6), дроби α(j)
i /
(
−α(0)
i+j
)
. В дальнейшем для упрощения
записи, что не влияет на изложение, вместо дроби α(j)
i /
(
−α(0)
i+j
)
будем использовать элемент
α
(j)
i , а в итоговом результате вместо элемента α(j)
i запишем дробь α(j)
i /
(
−α(0)
i+j
)
. Поэтому
уравнение (6) представим в более удобной форме с сохранением предыдущих обозначений:
lk = lk−1α
(1)
k−1 + lk−2α
(2)
k−2 + . . .+ l0α
(k)
0 , k = 1, 2, . . . . (9)
Случай, когда разность ρ1 − ρ2 равна целому неотрицательному числу, в этой работе не
рассматривается.
3. Первичная информация о lk. Алгоритм решения уравнения (9) аналогичен приведен-
ному в [4] алгоритму решения линейного разностного уравнения конечного порядка.
Определим сначала тот набор элементов α
(j)
q , j = 1, 2, . . . , q = 0, 1, 2, . . . , из которых
конструируются коэффициенты lk, k = 1, 2, . . . , ряда (4). Из уравнения (9) при l0 = 1 получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1383
l1 = α
(1)
0 , l2 = l1α
(1)
1 + l0α
(2)
0 = α
(1)
0 α
(1)
1 + α
(2)
0 ,
l3 = l2α
(1)
2 + l1α
(2)
1 + l0α
(3)
0 = α
(1)
0 α
(1)
1 α
(1)
2 + α
(2)
0 α
(1)
2 + α
(1)
0 α
(2)
1 + α
(3)
0 .
(10)
Отсюда видно, что для нахождения l1, l2, l3 используются наборы элементов соответственно
J1 =
(
α
(1)
0
)
, J2 =
(
α
(1)
0 , α
(1)
1 ;α
(2)
0
)
, J3 =
(
α
(1)
0 , α
(1)
1 , α
(1)
2 ;α
(2)
0 , α
(2)
1 ;α
(3)
0
)
.
Таким образом, становится очевидным, что при нахождении коэффициента lk используется
набор элементов
Jk =
(
α
(1)
0 , . . . , α
(1)
k−1;α
(2)
0 , . . . , α
(2)
k−2; . . . ;α
(s)
0 , . . . , α
(s)
k−s; . . . . ;α
(k−1)
0 , α
(k−1)
1 ;α
(k)
0
)
, (11)
так как из уравнения (9) вытекает, что каждый следующий k-й шаг рекурсии добавляет к
предыдущему набору элементов Jk−1 элементы α
(1)
k−1, α
(2)
k−2, . . . , α
(k−1)
1 , α
(k)
0 .
В наборе элементов (11) элементы с нулевым нижним индексом назовем начальными
элементами набора, а элементы, у которых сумма ранга элемента и его нижнего индекса
совпадает с индексом k набора Jk, — концевыми элементами набора (это элементы α
(1)
k−1,
α
(2)
k−2, . . . , α
(k−1)
1 ). Элемент α(k)
0 является одновременно и начальным, и концевым.
Цепью, составленной из элементов набора Jk, назовем произведение максимально воз-
можного количества элементов из этого набора, при этом для любых двух последовательных
множителей из этого произведения справедливо правило умножения
. . . α
(j)
i α
(j1)
i+j . . . , j, j1 = 1, 2, . . . . (12)
Правило умножения элементов в цепи, как и следующая лемма, легко проверяются индук-
цией с использованием уравнения (9).
Лемма 1. Любая цепь, составленная из элементов набора Jk, k = 1, 2, . . . , начинается
с любого из начальных элементов этого набора и оканчивается одним из концевых элементов
этого набора.
Элемент α(k)
0 также образует цепь.
Порядком цепи назовем сумму рангов всех элементов, составляющих эту цепь.
Лемма 2. Порядок каждой цепи, составленной из элементов набора Jk, равен k.
Доказательство. Пусть α(j1)
0 — какой-либо начальный элемент набора Jk. Тогда, согласно
определению цепи и лемме 1, структура цепи такова:
α
(j1)
0 α
(j2)
j1
α
(j3)
j1+j2
. . . α
(jm)
j1+j2+...+jm−1
, (13)
где α(jm)
j1+j2+...+jm−1
— концевой элемент цепи. Но согласно определению концевого элемента
цепи получаем j1 + . . .+ jm−1 + jm = k, что и завершает доказательство.
Замечание 1. α
(k)
0 — цепь порядка k.
Из формулы (9) вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Коэффициент lk, k = 1, 2, . . . , ряда (4) является суммой всех цепей порядка
k, составленных из элементов набора Jk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1384 В. Е. КРУГЛОВ
Таким образом, можно сделать вывод, что с учетом структуры цепи (13) решение уравне-
ния (6) состоит из суммы дробей
(−1)m
α
(j1)
0 α
(j2)
j1
. . . α
(jm)
j1+...+jm−1
α
(0)
j1
α
(0)
j1+j2
. . . α
(0)
k
, j1 = 1, k,
j1 + . . .+ jm = k, 1 ≤ m ≤ k − j1 + 1, k = 1, 2, . . . .
(14)
4. Некоторые комбинаторные формулы, касающиеся коэффициента lk. Обозначим
через rk количество цепей порядка k, составленных из элементов набора Jk, что равносильно
количеству слагаемых, из которых состоит коэффициент lk ряда (4).
Лемма 3.
rk = 2k−1. (15)
Доказательство проведем индукцией по k . Из (10) следует, что r1 = 1, r2 = 2, r3 = 22.
Пусть равенство (15) справедливо для k = s, т. е. rs = 2s−1. Покажем, что для k = s+ 1 число
rs+1 = 2s.
Используем формулу (9) для k = s+ 1 :
ls+1 = lsα
(1)
s + ls−1α
(2)
s−1 + . . .+ l0α
(s+1)
0 .
Коэффициент lm состоит из rm = 2m−1, m = 1, s, слагаемых. Следовательно, коэффициент
ls+1 состоит из rs+1 = rs + . . .+ r1 + 1 = 2s−1 + 2s−2 + 20 + 1 = 2s слагаемых.
Лемма доказана.
Поскольку среди множества цепей порядка k содержатся цепи α(1)
0 α
(1)
1 . . . α
(1)
k−1 и α(k)
0 , воз-
никает задача нахождения числа цепей k-го порядка, состоящих из m, 1 ≤ m ≤ k, множителей.
Из множества цепей порядка k выделим подмножество, в котором каждая из цепей состоит
из m множителей и которые исчерпываются x1 элементами ранга один, x2 элементами ранга
два и т. д., xk элементами ранга k, т. е.
x1 + x2 + . . .+ xk = m, xi ≥ 0, i = 1, k.
Подсчет количества цепей в этом подмножестве, согласно известной [8, с. 38] комбинаторной
задаче о перестановках с повторениями, приводит к формуле
m!
x1!x2! . . . xk!
, xi ≥ 0, i = 1, k.
Порядок каждой цепи из этого подмножества равен
x1 + 2x2 + . . .+ kxk = k.
Таким образом, сумма
Qm,k =
∑
x1+x2+...+xk=m
x1+2x2+...+kxk=k
m!
x1!x2! . . . xk!
, xi ≥ 0, i = 1, k,
— это количество цепей порядка k, каждая из которых состоит из m множителей.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1385
Согласно лемме 3
k∑
m=1
Qm,k = 2k−1.
В дальнейшем нам понадобится формула [8, с. 34]
Cmn + Cmn−1 + . . .+ Cmm = Cm+1
n+1 . (16)
Лемма 4.
Qm,k = Cm−1k−1 . (17)
Доказательство. Среди цепей порядка k содержится по одной цепи α
(1)
0 α
(1)
1 . . . α
(1)
k−1 и
α
(k)
0 , что соответствует значениям m = k и m = 1, или
Q1,k = C0
k−1, Qk,k = Ck−1k−1 .
Из формул (10) получаем следующее:
При k = 1 коэффициент l1 = α
(1)
0 . Одна цепь с одним множителем, т. е. m = 1, и всех таких
цепей C0
0 .
При k = 2 m = 1, 2. Коэффициент l2 — это сумма одной цепи с двумя множителями, а
именно, α(1)
0 α
(1)
1 , т. е. Q2,2 = C1
1 , и одной цепи с одним множителем, а именно, α(2)
0 , т. е.
Q1,2 = C0
1 .
При k = 3 m = 1, 2, 3. Коэффициент l3 — это сумма одной цепи с тремя множителями, а
именно, α(1)
0 α
(1)
1 α
(1)
2 , т. е. Q3,3 = C2
2 , двух цепей с двумя множителями, т. е. Q2,3 = C1
2 , и одной
цепи с одним множителем, т. е. Q1,3 = C0
2 .
Доказательство проведем индукцией по k. Пусть утверждение леммы верно для k = n, т. е.
количество цепей порядка n, состоящих из m, m = 1, n, множителей, равно Qm,n = Cm−1n−1 .
Значит, утверждение леммы верно для любого k, 1 ≤ k ≤ n.
Покажем, что утверждение леммы верно для k = n+ 1. Из (9) следует (l0 = 1)
ln+1 = lnα
(1)
n + ln−1α
(2)
n−1 + . . .+ ln−sα
(s+1)
n−s + . . .+ l2α
(n−1)
2 + l1α
(n)
1 + α
(n+1)
0 .
Умножение на α(s+1)
n−s каждой цепи порядка n − s, s = 0, n, из которых состоит коэффициент
ln−s, увеличивает на единицу количество множителей в этой цепи и на s + 1 ее порядок.
Поэтому:
1) коэффициент ln+1 содержит одну цепь порядка n+ 1, состоящую из m = n+ 1 множи-
телей, а именно, α(1)
0 α
(1)
1 . . . α
(1)
n , т. е. Qn+1,n+1 = Cnn = Cm−1k−1 ;
2) поскольку коэффициенты ln и ln−1 содержат соответственноQn−1,n = Cn−2n−1 иQn−1,n−1 =
= Cn−2n−2 цепей, состоящих из n−1 множителей, количество цепей, содержащихся в коэффициен-
те ln+1 и состоящих из n множителей, равно
Qn−1,n +Qn−1,n−1 = Cn−2n−1 + Cn−2n−2 = n = Cn−1n = Qn,n+1;
3) так как коэффициенты ln, ln−1, ln−2 содержат соответственноQn−2,n = Cn−3n−1 , Qn−2,n−1 =
= Cn−3n−2 и Qn−2,n−2 = Cn−3n−3 цепей, состоящих из n− 2 множителей, количество цепей, содер-
жащихся в коэффициенте ln+1 и состоящих из n− 1 множителей, равно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1386 В. Е. КРУГЛОВ
Qn−2,n +Qn−2,n−1 +Qn−2,n−2 = Cn−3n−1 + Cn−3n−2 + Cn−3n−3 = Cn−2n = Qn−1,n+1;
4) продолжая этот процесс, получаем, что так как коэффициенты ln, ln−1, . . . , ln−s, s =
= 0, n− 1, содержат соответственно Qn−s,n, Qn−s,n−1, . . . , Qn−s,n−s цепей, состоящих из n−s
множителей, количество цепей, содержащихся в коэффициенте ln+1 и состоящих из n− s+ 1
множителей, согласно формуле (16) равно
Qn−s,n+Qn−s,n−1 + . . .+Qn−s,n−s = Cn−s−1n−1 +Cn−s−1n−2 + . . .+Cn−s−1n−s−1 = Cn−sn = Qn−s+1,n+1.
Лемма доказана.
Замечание 2. Формула (17) равносильна следующей:∑
x1+x2+...+xk=m
x1+2x2+...+kxk=k
1
x1!x2! . . . xk!
=
1
m!
Cm−1k−1 .
Это известная формула [9, с. 450] (формула 111), [10, с. 182] (формула 5.144), и в лемме 4
приведено новое доказательство этой формулы.
Пример. Пусть k = 6. Построим все цепи, из которых состоит коэффициент l6 :
J6 =
(
α
(1)
0 , α
(1)
1 , α
(1)
2 , α
(1)
3 , α
(1)
4 , α
(1)
5 ;α
(2)
0 , α
(2)
1 , α
(2)
2 , α
(2)
3 , α
(2)
4 ;α
(3)
0 , α
(3)
1 , α
(3)
2 , α
(3)
3 ;
α
(4)
0 , α
(4)
1 , α
(4)
2 ;α
(5)
0 , α
(5)
1 ;α
(6)
0
)
.
Q1,6 = C0
5 = 1 — цепь α(6)
0 .
Q2,6 = C1
5 = 5 — цепи порядка 6, состоящие из двух множителей:
α
(1)
0 α
(5)
1 , α
(5)
0 α
(1)
5 , α
(2)
0 α
(4)
2 , α
(4)
0 α
(2)
4 , α
(3)
0 α
(3)
3 .
Q3,6 = C2
5 = 10 — цепи порядка 6, состоящие из трех множителей:
α
(4)
0 α
(1)
4 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(4)
1 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(1)
1 α
(4)
2 , α
(3)
0 α
(2)
3 α
(1)
5 ;
α
(3)
0 α
(1)
3 α
(2)
4 , α
(1)
0 α
(3)
1 α
(2)
4 , α
(1)
0 α
(2)
1 α
(3)
3 , α
(2)
0 α
(3)
2 α
(1)
5 , α
(2)
0 α
(2)
2 α
(2)
4 .
Q4,6 = C3
5 = 10 — цепи порядка 6, состоящие из четырех множителей:
α
(2)
0 α
(2)
2 α
(1)
4 α
(1)
5 , α
(2)
0 α
(1)
2 α
(2)
3 α
(1)
5 , α
(2)
0 α
(1)
2 α
(1)
3 α
(2)
4 , α
(1)
0 α
(2)
1 α
(2)
3 α
(1)
5 ,
α
(1)
0 α
(2)
1 α
(1)
3 α
(2)
4 , α
(1)
0 α
(1)
1 α
(2)
2 α
(2)
4 , α
(3)
0 α
(1)
3 α
(1)
4 α
(1)
5 ,
α
(1)
0 α
(3)
1 α
(1)
4 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(1)
1 α
(3)
2 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(1)
1 α
(1)
2 α
(3)
3 .
Q5,6 = C4
5 = 5 — цепи порядка 6, состоящие из пяти множителей:
α
(2)
0 α
(1)
2 α
(1)
3 α
(1)
4 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(2)
1 α
(1)
3 α
(1)
4 α
(1)
5 ,
α
(1)
0 α
(1)
1 α
(2)
2 α
(1)
4 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(1)
1 α
(1)
2 α
(2)
3 α
(1)
5 , α
(1)
0 α
(1)
1 α
(1)
2 α
(1)
3 α
(2)
4 .
Q6,6 = C5
5 = 1 — цепи порядка 6, состоящие из шести множителей:
α
(1)
0 α
(1)
1 α
(1)
2 α
(1)
3 α
(1)
4 α
(1)
5 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1387
5. Представление lk через коэффициенты функций (3). Рассмотрим сначала простейшие
случаи. Пусть m = k, тогда x1 = k, x2 = . . . = xk = 0. В этом случае, согласно формуле (14),
получаем дробь
(−1)k
α
(1)
0 α
(1)
1 . . . α
(1)
k−1
α
(0)
1 α
(0)
2 . . . α
(0)
k
. (18)
Пусть m = 1, тогда x1 = . . . = xk−1 = 0 и получаем дробь
α
(k)
0
α
(0)
k
=
α
(k)
0 α
(0)
1 α
(0)
2 . . . α
(0)
k−1
α
(0)
1 α
(0)
2 . . . α
(0)
k−1α
(0)
k
. (19)
Рассмотрим, как образец, случай, когда среди цепей порядка k есть цепи, состоящие из xj
множителей ранга j и xi множителей ранга i, xj + xi = m; jxj + ixi = k. Не ограничивая
общности, рассмотрим следующую цепь:
α
(j)
0 α
(j)
j . . . α
(j)
(xj−1)jα
(i)
jxj
α
(i)
jxj+i
. . . α
(i)
jxj+(xi−1)i. (20)
Поскольку jxj + (xi−1)i = k− i, элемент α(i)
jxj+(xi−1)i является концевым для элементов ранга
i в наборе Jk.
Выполняя всевозможные перестановки элементов в этой цепи, что должно быть согласо-
вано с правилом умножения (12), получаем все множество цепей порядка k, состоящих из xi
элементов ранга i и xj элементов ранга j
(
их количество равно
m!
(x1!x2!)
)
.
В частности, можно получить цепь
α
(i)
0 α
(i)
i . . . α
(i)
(xi−1)iα
(j)
ixi
α
(j)
ixi+j
. . . α
(j)
ixi+(xj−1)j .
Так как ixi+(xj−1)j = k−j, элемент α(j)
ixi+(xj−1)j является концевым для элементов ранга
j в наборе Jk.
Если воспользоваться формулой (14) и учесть все цепи, полученные из цепи (20) переста-
новкой ее элементов, то коэффициент lk из уравнения (6) содержит
m!
(x1!x2!)
дробей вида
(−1)m
α
(j)
0 α
(j)
j . . . α
(j)
(xj−1)jα
(i)
jxj
α
(i)
jxj+i
. . . α
(i)
jxj+(xi−1)i
α
(0)
j α
(0)
2j . . . α
(0)
jxj
α
(0)
jxj+i
α
(0)
jxj+2i . . . α
(0)
jxj+ixi
+ . . .
. . .+ (−1)m
α
(i)
0 α
(i)
i . . . α
(i)
(xi−1)iα
(j)
ixi
α
(j)
ixi+j
. . . α
(j)
ixi+(xj−1)j
α
(0)
i α
(0)
2i . . . α
(0)
ixi
α
(0)
ixi+j
α
(0)
ixi+2j . . . α
(0)
ixi+jxj
. (21)
Приведем теперь каждую дробь из этой суммы к общему знаменателю α
(0)
1 α
(0)
2 . . . α
(0)
k .
Это равносильно тому, что числитель и знаменатель каждой дроби из (21) домножится на
недостающие до общего знаменателя элементы нулевого ранга. Для приведенных в явном виде
дробей из (21) числитель имеет следующую структуру:
α
(j)
0 α
(0)
1 . . . α
(0)
j−1α
(j)
j α
(0)
j+1 . . . α
(0)
2j−1α
(j)
2j α
(0)
2j+1 . . . α
(j)
(xj−1)jα
(0)
(xj−1)j+1 . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1388 В. Е. КРУГЛОВ
. . . α
(0)
jxj−1α
(i)
jxj
. . . α
(0)
k−i+1 . . . α
(0)
k−1,
α
(i)
0 α
(0)
1 . . . α
(0)
i−1α
(i)
i α
(0)
i+1 . . . α
(0)
2i−1α
(i)
2i α
(0)
2j+1 . . . α
(i)
(xi−1)iα
(0)
(xi−1)i+1 . . .
. . . α
(0)
ixi−1α
(i)
ixi
. . . α
(i)
k−j . . . α
(0)
k−j+1 . . . α
(0)
k−1.
Таким образом, в числителе получаем произведение k элементов ранга i, j и 0 таких, что
нижние индексы этих элементов не повторяются и образуют возрастающую последователь-
ность 0, 1, . . . , k − 1; при этом число элементов ранга 0 в числителе равно k − m. Анало-
гичная ситуация имеет место для любой дроби из (21), приведенной к общему знаменателю
α
(0)
1 α
(0)
2 . . . α
(0)
k .
Технически теперь несложно перенести все приведенные выше рассуждения на цепи, со-
стоящие из x1 элементов ранга один, x2 элементов ранга два и т. д., xk элементов ранга k,
x1 + . . .+xk = m, x1 +2x2 + . . .+kxk = k, xi ≥ 0. В результате все дроби, из которых состоит
коэффициент lk из уравнения (6), будут приведены к общему знаменателю, а числитель каждой
дроби будет состоять из произведения k элементов с рангами из последовательности 0, 1, . . . , k
и таких, что нижние индексы этих элементов образуют возрастающую последовательность
0, 1, . . . , k − 1; при этом число элементов нулевого ранга равно k −m.
Подставляя теперь в эти цепи вместо элементов α(j)
s их соответствующие выражения из
(7) и перемножая их, получаем сумму слагаемых, явный вид каждого из которых можно легко
получить. Структура этой суммы такова:
(ρ1 − 1)ρ21 . . . (ρ1 + k − 2)2(ρ1 + k − 1)ax111a
x2
12 . . . a
xk
1ka
k−m
10 +
+ρ1(ρ+ 1) . . . (ρ1 + k − 1)ax121a
x2
22 . . . a
xk
2ka
k−m
20 + ax131a
x2
32 . . . a
xk
3ka
k−m
30 + (. . .), (22)
где в первые три слагаемые входят числа a11, a12, . . . , a1k; a21, a22, . . . , a2k; a31, a32, . . . , a3k с
наибольшими показателями; круглые скобки (. . .) — это сумма оставшихся слагаемых, каждое
из которых содержит степени этих же чисел, но с меньшими показателями, и сумма которых
равна k.
Учитывая равенство (8), упрощаем общий знаменатель:
α
(0)
1 α
(0)
2 . . . α
(0)
k = k!αk10(ρ1 − ρ2 + 1) . . . (ρ1 − ρ2 + k) = k!αk10
Γ(ρ1 − ρ2 + k + 1)
Γ(ρ1 − ρ2)
, (23)
где Γ — гамма-функция.
Таким образом, учитывая (22) и (23), получаем
lk =
Γ(ρ1 − ρ2)
k!ak10Γ(ρ1 − ρ2 + k + 1)
{
k∑
m=1
(−1)m
∑ m!
x1! . . . xk!
×
×
[
(ρ1 − 1)ρ21 . . . (ρ1 + k − 2)2(ρ1 + k − 1)ax111a
x2
12 . . . a
xk
1ka
k−m
10 +
+ρ1(ρ+ 1) . . . (ρ1 + k − 1)ax121a
x2
22 . . . a
xk
2ka
k−m
20 + ax131a
x2
32 . . . a
xk
3ka
k−m
30 + (. . .)
]}
, (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1389
где суммирование ведется по всем xi ≥ 0 таким, что x1+ . . .+xk = m, x1+2x2+ . . .+kxk = k;
количество слагаемых в фигурных скобках определяется леммами 3 и 4; в квадратных скобках
записано выражение (22).
6. Классификация цепей. Для приведения ряда (4) к более наглядному виду проведем
классификацию цепей, из которых состоит коэффициент lk, k = 1, 2, . . . , из (9).
Базовой цепью назовем такую цепь, у которой два последних элемента имеют разные
ранги, а все предыдущие элементы цепи могут иметь любой ненулевой ранг, т. е. это такая
цепь, которая оканчивается произведением . . . α
(j)
i α
(j1)
i+j , j 6= j1, элемент α(j1)
i+j — это концевой
элемент ранга j1 из набора Jk, i+ j+ j1 = k. Тогда небазовая цепь — это такая цепь, у которой,
по крайней мере, два последних элемента имеют одинаковые ранги.
С базовой цепью . . . α
(j)
i α
(j1)
i+j , j 6= j1, свяжем расширенный класс цепей, а именно:
. . . α
(j)
i α
(j1)
i+j ; . . . α
(j)
i α
(j1)
i+jα
(j1)
i+j+j1
; . . . ; . . . α
(j)
i α
(j1)
i+jα
(j1)
i+j+j1
α
(j1)
i+j+2j1
; . . . . (25)
С начальным элементом α
(j)
0 , j = 1, 2, . . . , свяжем расширенный класс цепей
α
(j)
0 , α
(j)
0 α
(j)
j , α
(j)
0 α
(j)
j α
(j)
2j , . . . , α
(j)
0 α
(j)
j α
(j)
2j . . . α
(j)
sj . . . . (26)
Поскольку среди цепей порядка k, k = 1, 2, . . . , сумма которых определяет коэффициент lk
из (9), нет одинаковых, множество этих цепей разобьем на две группы: к одной отнесем все
базовые цепи, а к другой — все оставшиеся небазовые цепи.
Пусть α
(j)
i — некоторый концевой элемент ранга j в наборе элементов Jk, i + j = k.
Множество базовых цепей, которые оканчиваются этим элементом, назовем пучком базовых
цепей, порожденных элементом α
(j)
i . Количество таких пучков совпадает с количеством кон-
цевых элементов в наборе Jk. Согласно (25), каждая базовая цепь, оканчивающаяся на α(j)
i ,
порождает расширенный класс цепей. Таким образом, концевой элемент α(j)
i порождает как
пучок базовых цепей порядка k, так и пучок расширенных классов цепей, среди которых нет
одинаковых расширенных классов цепей.
Пусть теперь цепь порядка k с концевым элементом α
(j)
i , i + j = k, является небазовой.
Тогда отбрасываем от ее конца элементы одного и того же ранга j до тех пор, пока отбрасывае-
мый элемент впервые „встретится” с элементом другого ранга или „превратится” в начальный
элемент цепи. Сохраняя эту пару разноранговых элементов, получаем уже базовую цепь по-
рядка q < k. Эта базовая цепь порождает расширенный класс цепей, которому принадлежит
рассматриваемая небазовая цепь порядка k. Если же в результате операции отбрасывания при-
ходим к начальному элементу α(j)
0 , то этот элемент порождает расширенный класс цепей (26),
которому принадлежит данная небазовая цепь.
Таким образом, каждая цепь порядка k, k = 1, 2, . . . , принадлежит одному и только одному
расширенному классу цепей.
Изучим подробнее цепи, из которых состоит сумма lmα
(s)
m , s = 1, 2, . . . . Это цепи порядка
m + s, и пусть m < s. Тогда каждая цепь порядка m + s, входящая в сумму lmα
(s)
m , является
базовой. Действительно, каждая цепь порядка m, сумма которых определяет lm, оканчивается
одним из концевых элементов α(1)
m−1, . . . , α
(m−1)
1 , α
(m)
0 , и так как m < s, любая цепь из суммы
lmα
(s)
m оканчивается одной из пар α(i)
m−iα
(s)
m , i = 1,m, m < s, что определяет базовость цепи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1390 В. Е. КРУГЛОВ
Следовательно, все базовые цепи порядка k = m+ s, m < s, из которых состоит сумма lmα
(s)
m ,
образуют пучок базовых цепей, порожденный элементом α
(s)
m . Назовем его пучком основных
базовых цепей. Пучок основных базовых цепей, порожденный элементом α
(k)
0 , k = 1, 2, . . . ,
состоит из одной цепи, а именно, α(k)
0 .
Перечислим все пучки основных базовых цепей:
l0α
(1)
0 ;
l0α
(2)
0 , l1α
(2)
1 ;
l0α
(3)
0 , l1α
(3)
1 , l2α
(3)
2 ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l0α
(k)
0 , l1α
(k)
1 , l2α
(k)
2 , . . . , lk−1α
(k)
k−1;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
(27)
Этим пучкам основных базовых цепей соответствуют пучки расширенных классов цепей
lqα
(k)
q , lqα
(k)
q α
(k)
q+k, lqα
(k)
q α
(k)
q+kα
(k)
q+2k, . . . ,
q = 0, k − 1, k = 1, 2, . . . , l0 = 1, l1 = α
(1)
0 .
(28)
Пусть m ≥ s. Тогда среди концевых элементов α(1)
m−1, α
(2)
m−2, . . . , α
(m)
0 всегда есть элемент
ранга s. Поэтому среди цепей, составляющих сумму lmα
(s)
m , есть небазовые, а именно, те,
которые оканчиваются произведением α
(s)
m−sα
(s)
m , а все остальные цепи из суммы lmα
(s)
m —
базовые.
Обозначим через lm,s, s = 1, 2, . . . , m > s, сумму всех цепей порядка k = m + s, которые
в качестве концевого элемента не содержат элемент α(s)
m−s. Тогда lm,sα
(s)
m — пучок базовых
цепей порядка k = m + s, порожденный элементом α
(s)
m . Этому пучку соответствует пучок
расширенных классов цепей
lk−s,sα
(s)
k−s, lk−s,sα
(s)
k−sα
(s)
k , lk−s,sα
(s)
k−sα
(s)
k α
(s)
k+s, . . . . (29)
Поскольку m > s, то k ≥ 2s, и, следовательно, s = 1,
[
k
2
]
.
7. Преобразование ряда (4). В силу абсолютной сходимости в кольце 0 < |t| < R сте-
пенного ряда из формулы (4) члены этого ряда можно произвольно перегруппировать, что не
изменит область абсолютной сходимости нового степенного ряда. Напомним, что коэффициент
lk из формулы (4) состоит из суммы цепей порядка k, и этот порядок совпадает с показа-
телем степени t. Так как каждая цепь порядка k ≥ 1 принадлежит одному и только одному
расширенному классу цепей, это означает, что каждое слагаемое, принадлежащее lk, можно
отнести к одному и только к одному расширенному классу цепей. В свою очередь это означа-
ет, что все члены ряда из формулы (4) перегруппируются относительно только расширенных
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1391
классов цепей, и теперь достаточно только записать те степенные ряды, которые определяются
множеством всех расширенных классов цепей.
Положим l0 = 1 и учтем дробь (14). Расширенный класс цепей, порожденный начальным
элементом α
(k)
0 (см. (28) при q = 0), определяет функцию
F (t) = −α
(k)
0
α
(0)
k
tk +
α
(k)
0 α
(k)
k
α
(0)
k α
(0)
2k
t2k + . . .+ (−1)r
α
(k)
0 . . . α
(k)
(r−1)k
α
(0)
k . . . α
(0)
rk
trk + . . . . (30)
Введем функции
Fk+q/k (t) = − α
(k)
q
α
(0)
q+k
tk +
α
(k)
q α
(k)
q+k
α
(0)
q+kα
(0)
q+2k
t2k + . . .
· · ·+ (−1)r
α
(k)
q . . . α
(k)
q+(r−1)k
α
(0)
q+k . . . α
(0)
q+rk
trk + . . . , q = 0, k − 1. (31)
При q = 0 функции (31) совпадают с функциями (30), смысл индекса q/k будет пояснен
ниже.
Следовательно, пучки расширенных классов цепей (28), порожденные элементами αkq , опре-
деляют функции
lqt
qFk+q/k (t) , k = 1, n q = 0, k − 1. (32)
Пучок расширенных классов цепей (29) определяет функции
lk−s,s
−α(s)
k−s
α
(0)
k
tk + . . .+ (−1)r+1
α
(s)
k−sα
(s)
k . . . α
(s)
k+(r−1)s
α
(0)
k α
(0)
k+s . . . α
(0)
k+rs
tk+rs + . . .
, s = 1, [k/2]. (33)
Введем функции
F
(n)
k+q/k (t) = − α
(k)
q
α
(0)
q+k
tk + . . .+ (−1)n
α
(k)
q . . . α
(k)
q+(n−1)k
α
(0)
q+k . . . α
(0)
q+nk
tnk. (34)
Преобразуем квадратную скобку в (33). Положим k = s(j + 1) + p, p = 0, s− 1, j = [k/s]− 1.
Тогда
[. . .] =
= tp
− α
(s)
p+sj
α
(0)
p+s(j+1)
ts(j+1) + . . .+ (−1)r+1
α
(s)
p+sjα
(s)
p+s(j+1) . . . α
(s)
p+s(j+r)
α
(0)
p+s(j+1)α
(0)
p+s(j+2) . . . α
(0)
p+s(j+r+1)
ts(j+r+1) + . . .
=
= (−1)j−1
α
(0)
p+s . . . α
(0)
p+sj
α
(s)
p . . . α
(s)
p+s(j−1)
tp
(−1)j
α
(s)
p . . . α
(s)
p+s(j−1)α
(s)
p+sj
α
(0)
p+s . . . α
(0)
p+sjα
(0)
p+s(j+1)
ts(j+1) + . . .
=
= tpR(j, p, s)
[
Fs+p/s (t)− F (j)
s+p/s (t)
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1392 В. Е. КРУГЛОВ
где
R(j, p, s) = (−1)j−1
α
(0)
p+s . . . α
(0)
p+sj
α
(s)
p . . . α
(s)
p+s(j−1)
. (35)
Тогда формула (33) примет вид
lk−s,st
pR (j, p, s)
[
Fs+p/s (t)− F (j)
s+p/s (t)
]
, s = 1,
[
k
2
]
, p = 0, s− 1, j =
[
k
s
]
− 1. (36)
Объединяя формулы (31), (35), (36), получаем решение уравнения (2):
u (t) = tρ
1 +
∞∑
k=1
k−1∑
q=0
tqlqFk+q/k (t) +
+
[k/2]∑
s=1
lk−s,s
s−1∑
p=0
R (j, p, s)
(
Fs+p/s (t)− F (j)
s+p/s (t)
), (37)
где j = [k/s]− 1.
8. Представление решения u (t) через гипергеометрические функции и подобные им.
Запишем функции Fk+q/k(t) в ином виде, воспользовавшись разложением на множители чисел
α
(k)
m из (7).
Пусть α(k)
m = a1k
(
m+ ν
(k)
1
)(
m+ ν
(k)
2
)
, k = 1, 2, . . . , а α(0)
m = a10m(σ + m), где σ =
= a20/a10 + 2ρ − 1 (см. (8)). Тогда общий член ряда Fk(t) из (30) преобразуется следующим
образом:
(−1)r α
(k)
0 α
(k)
k . . . α
(k)
(r−1)k
α
(0)
k α
(0)
2rk . . . α
(0)
rk
trk =
(−1)r
(
ν
(k)
1
k
)
r
(
ν
(k)
2
k
)
r
(1)r (σ/k + 1)r
ar1k
ar10
trk,
где (a)r = a (a+ 1) . . . (a+ r − 1) , (1)r = r!.
Следовательно, Fk (t) = F
(
ν
(k)
1
/
k,
ν
(k)
2
/
k;σ/k + 1;−a1k/a10t
k
)
− 1, где F — гипергеомет-
рическая функция.
Переобозначим стандартную гипергеометрическую функцию:
F (a1, a2; b1; t) =
∞∑
m=0
(a1)m (a2)m
(1)m (b1)m
tm ≡ F (a1, a2; 1, b1; t).
Введем функцию
Fq/k (a1, a2; 1, b1; t) = F (a1 + q/k, a2 + q/k; 1 + q/k, b1 + q/k; t) =
=
∞∑
m=0
(a1 + q/k)m (a2 + q/k)m
(1 + q/k)m (b1 + q/k)m
tm
и назовем ее гипергеометрической функцией дробного порядка q/k. Тогда для q = 1, k − 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1393
Fk+q/k (t) = Fq/k
(
ν
(k)
1
/
k,
ν
(k)
2
/
k; 1, σ/k + 1;−a1k/a10t
k
)
− 1 =
=
∞∑
m=1
(−1)m
(
q + ν
(k)
1
)
. . .
[
q + ν
(k)
1 + (m− 1) k
] (
q + ν
(k)
2
)
. . .
[
q + ν
(k)
2 + (m− 1) k
]
am1k
(q + k) . . . (q +mk) (σ + q + k) . . . (σ + q +mk) am10
tmk.
9. Замечание. Отметим теперь изменения, которые произойдут в приведенных выше рас-
суждениях, если в окрестности фуксовой нулевой точки рассмотреть уравнение (1) при условии,
что функция Pn(t) = an0 +an1t+ . . . , an0 6= 0 является аналитической функцией в окрестности
нуля.
Если решение уравнения (1) находить в виде ряда (4), то относительно его коэффициентов
получим такое же линейное разностное уравнение (6), но при этом
α(j)
s = a0j+(ρ+s)a1j+(ρ+s)(ρ+s−1)a2j+. . .+(ρ+s) . . . (ρ+s−n+1)anj , j, s = 0, 1, 2, . . . .
Уравнение α(0)
0 = 0 определяет n значений параметра ρ.
Структура формул (30), (31), (35) и (36) не изменится, но вместо гипергеометрических
функций в п. 9 появятся обобщенные гипергеометрические функции, а получение аналогов
формул (22) – (24) обусловлено лишь техническими трудностями.
1. Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Харьков: ОНТИ, 1939. – 719 с.
2. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950. –
436 с.
3. Круглов В. Е. Решение уравнения типа Пуанкаре – Перрона второго порядка и сводящихся к нему дифферен-
циальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – C. 900 – 917.
4. Круглов В. Е. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения конечного
порядка // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 6. – C. 777 – 794.
5. Kruglov V. E. Solution of the linear differential equation of n-th order with four singular points // Ann. Univ. sci.
budapest. – 2010. – 32. – P. 23 – 35.
6. Круглов В. Е. Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с полиномиальными коэф-
фициентами и фуксовой нулевой точкой // Дифференц. уравнения. – 2011. – 47, № 1. – C. 21 – 28.
7. Славянов С. Ю., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. – СПб.:
Невский диалект, 2002. – 312 с.
8. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328 с.
9. Kaucky J. Kombinatorike identity. – Bratislava: Veda, 1975. – 475 p.
10. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. – Новосибирск: Наука, 1977.
– 285 c.
Получено 30.05.11,
после доработки — 02.07.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|