Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского
Запропоновано варiант формули Гаусса – Остроградського на банаховому многовидi з рiвномiрним атласом.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165247 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского / Ю.В. Богданский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 10. — С. 1299-1313. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165247 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1652472020-02-13T01:26:02Z Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского Богданский, Ю.В. Статті Запропоновано варiант формули Гаусса – Остроградського на банаховому многовидi з рiвномiрним атласом. We propose a version of the Gauss–Ostrogradskii formula for a Banach manifold with uniform atlas. 2012 Article Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского / Ю.В. Богданский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 10. — С. 1299-1313. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165247 517.98+515.164.17 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Богданский, Ю.В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского Український математичний журнал |
| description |
Запропоновано варiант формули Гаусса – Остроградського на банаховому многовидi з рiвномiрним атласом. |
| format |
Article |
| author |
Богданский, Ю.В. |
| author_facet |
Богданский, Ю.В. |
| author_sort |
Богданский, Ю.В. |
| title |
Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского |
| title_short |
Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского |
| title_full |
Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского |
| title_fullStr |
Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского |
| title_full_unstemmed |
Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского |
| title_sort |
банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула гаусса - остроградского |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165247 |
| citation_txt |
Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса - Остроградского / Ю.В. Богданский // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 10. — С. 1299-1313. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanskijûv banahovymnogoobraziâsograničennojstrukturojiformulagaussaostrogradskogo |
| first_indexed |
2025-07-14T18:14:27Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:14:27Z |
| _version_ |
1837647128819662848 |
| fulltext |
УДК 517.98+515.164.17
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
И ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО
We propose a version of the Gauss – Ostrogradskii formula for a Banach manifold with uniform atlas.
Запропоновано варiант формули Гаусса – Остроградського на банаховому многовидi з рiвномiрним атласом.
В работах [1 – 7] рассмотрены различные варианты обобщения классической формулы Гаус-
са – Остроградского в бесконечномерных линейных пространствах и в пространстве конфигу-
раций. В данной работе предлагается вариант формулы Гаусса – Остроградского на банаховых
многообразиях, снабженных атласом специального класса. Полученный результат, насколько
известно автору, является новым и в случае банахова пространства, и в случае конечномерных
многообразий с произвольной борелевской мерой. Работа является принципиально улучшен-
ным вариантом ранее опубликованной статьи [8].
1. Банаховы многообразия с ограниченной структурой. Пусть M — банахово многооб-
разие класса C2 с модельным пространством E (хаусдорфово, вещественное).
Определение 1. Атлас Ω = {(Uα, ϕα)} на M назовем „ограниченным”, если существует
число K > 0 такое, что отображения склейки Fβα = ϕβ ◦ϕ−1
α для каждой пары карт атласа
удовлетворяют условию (x ∈ ϕα(Uα ∩ Uβ))⇒
(
‖F ′βα(x)‖ 6 K; ‖Fβα, , (x)‖ 6 K
)
.
Два ограниченных атласа Ω и Ω′ на M назовем „эквивалентными”, если Ω ∪ Ω′ также
является ограниченным атласом на M.
Если на M задан класс эквивалентных ограниченных атласов, то будем говорить, что на M
задана „ограниченная структура (класса C2)”.
Пусть (M1,Ω1), (M2,Ω2) — два банаховых многообразия M1, M2 класса C2 с модельными
пространствами E1, E2 и ограниченными атласами Ω1, Ω2 соответственно.
Определение 2. Морфизм f : M1 → M2 назовем „ограниченным”, если для него суще-
ствует C > 0 такое, что для любой пары карт (U,ϕ) ∈ Ω1, (V, ψ) ∈ Ω2 выполнено условие
(p ∈ U, f(p) ∈ V ) ⇒
(∥∥(ψ ◦ f ◦ ϕ−1)′(ϕ(p))
∥∥ 6 C;
∥∥(ψ ◦ f ◦ ϕ−1)′′(ϕ(p))
∥∥ 6 C
)
. Очевидным
образом определен ограниченный изоморфизм (M1,Ω1) и (M2,Ω2).
При замене ограниченных атласов Ω1 и Ω2 на эквивалентные Ω̃1 и Ω̃2 соответственно,
определяющее свойство ограниченного морфизма сохраняется. Можно говорить о категории
банаховых C2-многообразий с ограниченной структурой (класса C2). Аналогично для любого
p > 1 вводятся Cp-многообразия с ограниченной структурой и соответствующая категория.
Задание ограниченного атласа на M позволяет ввести на M метрику. Опишем схему по-
строения метрики.
Для кусочно-гладкой кривой [t1; t2] 3 t 7→ x(t) ∈ M рассматриваем всевозможные раз-
биения ∆: t1 = τ0 < τ1 < . . . < τm = t2 отрезка параметра, при которых каждая кри-
вая Γk = {x(t) | τk−1 6 t 6 τk} лежит в области определения одной из карт ϕk исход-
c© Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10 1299
1300 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
ного атласа. Каждому такому разбиению ∆ сопоставляем число l(Γ; ∆) =
∑m
k=1
l(Γk)ϕk(
здесь l(Γk)ϕ — длина представления кривой Γk в карте ϕ : l(Γk)ϕ =
∫ τk
τk−1
‖(xϕ)′(τ)‖dτ ;
xϕ(τ) = ϕ(x(τ))
)
. Ограниченность атласа приводит к корректному определению длины кривой
Γ: L(Γ) = sup∆{l(Γ; ∆)}.
Для связного многообразияM расстояние между точками x, y ∈M вводим как точную ниж-
нюю грань длин всевозможных кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. Полученная
метрика согласована с исходной топологией.
Замечание 1. Ограниченность атласа позволяет ввести в касательном пространстве TpM
к многообразию M норму, эквивалентную норме модельного пространства. Для ξ ∈ TpM
положим |||ξ|||p = supα ‖ξϕα‖, где {(Uα, ϕα)} — полный набор карт, для которых p ∈ Uα,
ξϕ ∈ E — представление касательного вектора ξ в карте ϕ. При этом имеет место свойство
„равномерного топологического изоморфизма” пространств TpM и модельного пространства
E : ‖ξϕ‖ 6 |||ξ|||p 6 K‖ξϕ‖, где K — постоянная из определения ограниченного атласа, ϕ
— карта в точке p ∈ M. Из определения ограниченного морфизма f : (M1,Ω1) → (M2,Ω2)
следует, что он является липшицевым отображением по отношению к введенной выше метрике.
Определение 3. Векторное поле класса C1 на многообразии с ограниченным атласом
(M,Ω) назовем „ограниченным”, если существует число C > 0, ограничивающее сверху глав-
ную часть Xϕ каждого локального представления векторного поля X вместе с его производ-
ной: ∀(U,ϕ) ∈ Ω ∀x ∈ ϕ(U) : ‖Xϕ(x)‖ 6 C, ‖X′ϕ(x)‖ 6 C. Данное свойство не изменится
при переходе к эквивалентному атласу. Множество ограниченных векторных полей класса C1
обозначим C1
b (M).
Условимся говорить, что функция u : M → R является функцией класса Cpb , p = 0, 1, 2;
C0
b = Cb, если u — функция класса Cp и существует такое число L, что для любой точки p ∈M
и карты (U,ϕ) в точке p выполнены неравенства
∥∥u(k)
ϕ (ϕ(p))
∥∥ 6 L для 0 6 k 6 p, где uϕ =
= u◦ϕ−1 — представление u в карте ϕ. Ясно, что множество векторных полей C1
b (M) (а также
множества функций классов Cpb , p = 0, 1, 2) не изменится при замене ограниченного атласа на
эквивалентный, а потому корректно определено заданием на M ограниченной структуры.
Определение 4. Ограниченный атлас Ω назовем „равномерным”, если существует такое
r > 0, что для любой точки p ∈M существует такая карта (U,ϕ) ∈ Ω, что ϕ(U) содержит
шар в E с центром ϕ(p) радиуса r [9, 10].
В случае, когда многообразие M имеет ограниченную структуру и среди эквивалентных
атласов, задающих эту структуру, есть, по крайней мере, один равномерный атлас, структуру
будем называть равномерной. Нетрудно проверить, что структуры ограниченно изоморфных
многообразий одновременно равномерны или нет.
В случае равномерного атласа поток Φ(t, x) ограниченного векторного поля X ∈ C1
b (M)
определен на R×M [9, c. 96]. Следовательно, данное свойство имеет место на многообразии
с равномерной структурой.
Можно доказать, что в случае равномерного атласа многообразие M оказывается полным
метрическим пространством по введенной выше метрике, а потому оно полно по метрике,
порожденной любым ограниченным атласом, эквивалентным равномерному.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1301
Замечание 2. Примеры банаховых многообразий класса C2 с равномерным атласом мож-
но получить как поверхности S совместного уровня системы функций {F1(·), . . . , Fm(·)} класса
C2, определенных на банаховом пространстве, таких, для которых семейство {F ′1(·), . . . , F ′m(·)}
имеет постоянный ранг на S и функции Fk равномерно ограничены на S вместе с вторыми
производными. Соответствующий равномерный атлас на S строится на основании теоремы о
неявной функции.
Если (M1,Ω1), (M2,Ω2) — банаховы многообразия с ограниченными атласами и модель-
ными пространствами E1 и E2, то на M1 ×M2 определен атлас Ω1 × Ω2 :=
{
(U × V, ϕ× ψ) |
(U,ϕ) ∈ Ω1; (V, ψ) ∈ Ω2
}
.Получим многообразие с ограниченным атласом (M1×M2,Ω1×Ω2) и
с модельным пространством E1+̇E2. Замена ограниченных атласов на эквивалентные Ω1 ∼ Ω̃1,
Ω2 ∼ Ω̃2 приводит к эквивалентному атласу Ω̃1 × Ω̃2 ∼ Ω1 × Ω2 на M1 ×M2. В частности,
для (M,Ω) соответствующую ограниченную структуру на M × (a; b) задаем атласом Ω× id :=
:=
{
(Uα × (a; b), ϕα × id | (Uα, ϕα) ∈ Ω
}
.
Пусть M — многообразие с ограниченной структурой.
Определение 5. Подмножество S ⊂ M назовем вложенным подмногообразием в M
коразмерности 1, если существуют многообразие N ограниченной структуры, модельным
пространством которого является подпространство E1 в E коразмерности 1, t0 > 0 и
ограниченный изоморфизм g : N × (−t0; t0)→ U ⊂M на открытое подмногообразие U в M,
при котором g(N × {0}) = S.
Мотивация данного определения такова: в конечномерной дифференциальной геометрии
данное определение для компактных вложенных подмногообразий коразмерности 1 равносиль-
но классическому.
2. Строго трансверсальные векторные поля. Пусть на многообразии M с ограниченным
атласом Ω и модельным пространством E задана область G, граница которой S = ∂G является
вложенным в M подмногообразием коразмерности 1, и g : N × (−t0; t0) → M — соответству-
ющий изоморфизм, существование которого обусловлено определением 5.
Пусть Z ∈ C1
b (M). Для каждой точки p ∈ S касательное пространство TpM наделено
предложенной выше нормой, в которой оно топологически изоморфно E. TpS — подпростран-
ство в TpM коразмерности 1 и в TpM определено расстояние d(Z(p), TpS) вектора Z(p) до
подпространства TpS.
Определение 6. Назовем векторное поле Z ∈ C1
b (M) строго трансверсальным к S, если
существует δ > 0 такое, что для каждой точки p ∈ S d(Z(p), TpS) > δ.
Замечание 3. Нетрудно установить, что условие строгой трансверсальности поля Z к S
не изменится при замене атласа Ω на эквивалентный, а потому определяется ограниченной
структурой на M.
Пусть поле Z ∈ C1
b (M) строго трансверсально к S. Для каждой точки (x, t) ∈ N × (−t0; t0)
ограниченный изоморфизм g индуцирует топологический изоморфизм dg(x, t) : T(x,t)(N ×
× (−t0; t0))→ Tg(x,t)M, а потому векторное поле W на N × (−t0; t0), g-связанное с полем Z,
наследует свойство строгой трансверсальности: W строго трансверсально к N × {0}.
Векторное поле W представимо в виде
W(x, t) = Q(x, t) + α(x, t)
∂
∂t
, (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1302 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
где Q(x, t) ∈ T(x,t)(N×{t}) для всех x ∈ N, t ∈ (−t0; t0), α — гладкая функция наN×(−t0; t0).
Из свойства равномерного топологического изоморфизма касательных пространств T(x,t)(N ×
× (−t0; t0)) и строгой трансверсальности W к N × {0} следует существование такого ε > 0,
что для всех x ∈ N имеет место неравенство |α(x, 0)| > ε. Отметим, что в силу непрерывности
функция α(x, 0) имеет наN постоянный знак. Поскольку поле W ∈ C1
b (N×(−t0; t0)), функция
α(x, t) удовлетворяет условию Липшица по t равномерно относительно x ∈ N :
∃C > 0 ∀t1, t2 ∈ (−t0, t0) ∀x ∈ N : |α(x, t1)− α(x, t2)| 6 C|t1 − t2|. (2)
Для корректности последующих построений следует предполагать, что (локальный) поток
поля Z удовлетворяет условию: существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ Ḡ, |t| < δ определено
Φtx. Строго трансверсальное к S векторное поле Z, имеющее указанное свойство, может быть
построено следующим образом с использованием определяющего S ограниченного изомор-
физма g : N × (−t0; t0) → U ⊂ M. Пусть функция a(x, t) — гладкая функция класса C1
b на
N × (−t0; t0), для которой infx∈S |a(x, 0)| > 0 и a(x, t) = 0 при |t| > δ
2
. Тогда поле Z на M
строим как g-связанное с полем W(x, t) = a(x, t)
∂
∂t
, доопределенное нулем вне U. Можно
вместо поля a(x, t)
∂
∂t
брать поле W(x, t) = Q(x, t) + a(x, t)
∂
∂t
(Q(x, t) ∈ T(x,t)(N × {t})), но
в предположении, что многообразие N имеет равномерную структуру.
С целью упрощения последующего изложения допускаем, чтоM имеет равномерную струк-
туру, а потому все поля Z ∈ C1
b (M) являются полными.
Потоки Φt векторного поля Z и Ψt поля W связаны при достаточно малых t соотношением
Φt(p) = Φt(g(y)) = g(Ψt(y)). Пусть, для определенности, α(x, 0) > ε > 0 для x ∈ N (случай
α(x, 0) 6 −ε исследуется аналогично), t ∈ (0; t0). Тогда при t <
ε
2C
в силу (2) для всех x ∈ N
выполнено неравенство α(x, t) >
ε
2
, а потому имеет место вложение⋃
06τ6t
Ψτ (N × {0}) ⊃ N ×
[
0;
ε
2
t
]
. (3)
В силу оценки α(x, t) 6 C1, имеющей место вследствие ограниченности поля W, при t ∈
∈
[
0;
t0
C1
)
имеет место вложение⋃
06τ6t
Ψτ (N × {0}) ⊂ N × [0;C1t]. (4)
Пусть ρ1, ρ2 — метрики на многообразиях N × (−t0; t0) и M соответственно, порожденные
соответствующими ограниченными атласами. Тогда существуют постоянныеK1, K2, K3 такие,
что для всех x ∈ N, t1, t2 ∈ (−t0; t0) выполнены неравенства
|t1 − t2| 6 ρ1((x, t1), (x, t2)) 6 K1|t1 − t2| (5)
(нормы в модельном пространстве E1 многообразия N и в пространстве E = E1+̇R связываем
соотношением ‖(x, t)‖E = ‖x‖E1 +|t|), а для всех y1, y2 ∈ N×(−t0; t0) выполнены неравенства
ρ2(g(y1), g(y2)) 6 K2ρ1(y1, y2), (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1303
ρ1(y1, y2) 6 K3ρ2(g(y1), g(y2)) (7)
(в силу липшицевости отображений g и g−1).
Обозначим через Aδ δ-окрестность множества A в соответствующей метрике. Тогда из (3),
(5) при t ∈
(
0,min
(
t0,
ε
2C
))
следует вложение⋃
06τ6t
Ψτ (N × {0}) ⊃ (N × {0})εt/2 ∩ (N × [0; t0)), (8)
а из (4), (5) также при достаточно малых t > 0 получаем вложение⋃
06τ6t
Ψτ (N × {0}) ⊂ (N × {0})K1C1t ∩ (N × [0; t0)). (9)
Определение 7. Будем говорить, что Z — внешнее поле по отношению к G, если поток
Φt поля Z при t > 0 удовлетворяет условию ΦtG ⊃ G.
Пусть Z — внешнее поле по отношению к G. Тогда при достаточно малых t > 0 имеют
место равенства Φt(G) \ G =
⋃
06τ<t
Φt(S) = g
( ⋃
06τ<t
Ψt(N × {0})
)
. Потому в силу (6) и (9)
получим Φt(G) \G ⊂ SK2K1C1t \G, а в силу (7) и (8) — Φt(G) \G ⊃ Sεt/(2K3) \G. Тем самым
доказано следующее предложение.
Предложение 1. Пусть на M фиксирован ограниченный атлас, Z ∈ C1
b (M) — внешнее
поле по отношению к G и строго трансверсальное к S. Тогда существуют числа a, b, δ > 0,
для которых при t ∈ (0; δ) имеют место вложения
Sat \G ⊂ Φt(G) \G ⊂ Sbt \G. (10)
Замечание 4. В условиях предложения 1 для t < 0 имеют место вложения, аналогичные
(10): существуют a, b, δ > 0, для которых при t ∈ (−δ; 0) справедливы вложения G \ S−at ⊂
⊂ G \ Φt(G) ⊂ G \ S−bt.
3. Исследование согласования меры и области. Пусть M — банахово многообразие с
равномерной структурой и µ — конечная борелевская мера на M (не обязательно неотрица-
тельная). Пусть Z ∈ C1
b (M) и Φt = ΦZ
t — поток поля Z. Дифференцируемость µ относительно
поля Z (в сильном смысле) предполагает существование для каждого борелевского множества
A ⊂ M предела ϑ(A) = limt→0
1
t
(µ(ΦtA) − µ(A)), откуда следует, что ϑ = dZµ является
борелевской мерой, абсолютно непрерывной относительно µ. При этом ρµ = ρZµ =
dϑ
dµ
назы-
вается логарифмической производной меры µ относительно поля Z или дивергенцией поля Z
(относительно меры µ).
Определение 8. Условимся говорить, что мера µ согласована с областью G, если су-
ществует векторное поле Z ∈ C1
b (M), строго трансверсальное к S = ∂G и такое, что µ
дифференцируема вдоль Z.
При этом не теряя общности можно считать, что соответствующее поле Z является внешним
по отношению к G (в противном случае следует заменить Z на −Z).
В силу предложения 1 и замечания 4 для векторного поля Z ∈ C1
b (M), внешнего по
отношению к G и строго трансверсального к S = ∂G, существует C > 0 (зависящее от выбора
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1304 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
ограниченного атласа) такое, что при достаточно малых ε > 0 имеет место вложение
Sε ⊂ ΦCε(G) \ Φ−Cε(G). (11)
Условие дифференцируемости µ относительно Z приводит к равенству
µ(ΦtG)− µ(G) = O(t), t→ 0. (12)
Поэтому в случае согласованности меры µ c областью G получим равенство
µ(Sε) = O(ε), ε→ 0 (13)
(для неотрицательных мер (13) непосредственно следует из (11) и (12), а для произвольных
мер следует использовать тот факт, что положительная и отрицательная части меры µ также
сильно дифференцируемы вдоль поля Z).
Пусть Z1,Z2 ∈ C1
b (M) и Y = Z2 − Z1 касается S. Фиксируем на M ограниченный атлас
Ω и пусть ρ — соответствующая метрика. В силу леммы 1 из [8] существует C > 0 такое, что
для каждого x ∈ G имеет место неравенство
ρ(ΦZ2
t x,ΦZ1
t ΦY
t x) 6 Ct2 (14)
(здесь ΦZ
t — поток поля Z). Поскольку ΦY
t G = G при всех t ∈ R, из (14) следует вложение
ΦZ2
t G ⊂ (ΦZ1
t G)Ct2 . (15)
По аналогии с леммой 1 из [8] доказывается следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть X — векторное поле класса C1 в области D банахова пространства
E и существует число M > 0 такое, что ‖X′(·)‖ ограничена в D числом M. Тогда для всех
x, y ∈ D имеет место неравенство ‖ΦX
t x−ΦX
t y‖ 6 eM |t|‖x− y‖ для тех достаточно малых
t, для которых определена левая часть данного неравенства.
Из леммы следует, что для любого поля Z ∈ C1
b (M) существуют такие числа C1, δ > 0,
что для всех x, y ∈ M, |t| < δ имеет место неравенство ρ(Φtx,Φty) 6 C1ρ(x, y). Потому при
малых t (|t| < δ) имеют место вложения
Φt(Sε) ⊂ (ΦtS)C1ε, Φt(Sε) ⊃ (ΦtS)ε/C1
. (16)
Для любого диффеоморфизма ϕ многообразия M границей области ϕ(G) является ϕ(S),
поэтому (ϕ(G))ε \ ϕ(G) ⊂ (ϕ(S))ε. В частности, (ΦZ1
t G)ε \ ΦZ1
t G ⊂ (ΦZ1
t S)ε. Потому при
|t| < δ из (15), (16) следует ΦZ2
t G \ΦZ1
t G ⊂ (ΦZ1
t S)Ct2 ⊂ ΦZ1
t (SCC1t2). Аналогичное вложение
получаем, меняя местами Z1 и Z2. Потому существуют константы C, δ > 0 такие, что для всех
t ∈ (−δ; δ) имеет место вложение
ΦZ1
t G∆ΦZ2
t G ⊂ ΦZ1
t (SCt2) ∪ ΦZ2
t (SCt2). (17)
Пусть мера µ дифференцируема вдоль обоих векторных полей Z1 и Z2, Φk
t — поток поля Zk,
k = 1, 2, µkt (A) = µ(Φk
tA). Из равномерной счетной аддитивности семейств мер
1
t
(µkt − µt),
k = 1, 2, и монотонной сходимости SCt2 ↘ S, |t| ↘ 0 следуют равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1305
µkt (SCt2 \ S)− µ(SCt2 \ S) = o(t), t→ 0. (18)
Поскольку µ(SCt2) = O(t2) (см. (13)), из (18) следует равенство
µ(Φk
t (SCt2)) = o(t), t→ 0. (19)
Если µ — неотрицательная мера, то из (17), (19) следует µ(ΦZ1
t G∆ΦZ2
t G) = o(t), t → 0. Для
незнакопостоянной борелевской меры с помощью разложения Жордана получаем равенство
|µ|(ΦZ1
t G∆ΦZ2
t G) = o(t), t→ 0. (20)
Тем самым получен следующий результат.
Теорема 1. Пусть G — область на многообразии с равномерной структурой, S = ∂G —
вложенное в M многообразие коразмерности 1, Z1,Z2 ∈ C1
b (M) — строго трансверсальные
к S векторные поля, поле Z1 − Z2 касается S. Пусть борелевская мера µ дифференцируема
вдоль полей Z1 и Z2. Тогда имеет место равенство (20).
Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливо равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
(µ(Φ1
tG)− µ(Φ2
tG)) = 0. (21)
Доказательство. Равенство (21) следует из неравенства
|µ(Φ1
tG)− µ(Φ2
tG)| 6 |µ|(Φ1
tG∆Φ2
tG).
4. Поверхностные меры первого типа. Пусть M — банахово многообразие с равномерной
структурой, S — вложенное в M подмногообразие коразмерности 1 и Z ∈ C1
b (M) — векторное
поле на M, строго трансверсальное к S.
Пусть f — непрерывная ограниченная функция на S. Тогда на M существуют непрерывная
ограниченная функция f̂ и δ > 0 такие, что при t ∈ (−δ; δ), x ∈ S выполнено равенство
f̂(Φtx) = f(x), где Φt — поток поля Z.
Для проверки данного утверждения достаточно перейти на многообразие N × (−t0; t0),
ограниченно изоморфное открытому в M подмногообразию U, содержащему S. Соответст-
вующая функция h = (g|N×{0})∗f ограничена и непрерывна на N × {0} : g-связанное с Z
векторное поле W строго трансверсально к N × {0}. Проведенные выше рассуждения (см.
п. 2) доказывают существование такого δ > 0, что при |t| 6 2δ, x ∈ N × {0} траектория Ψtx
векторного поля W находится внутри N × (−t0; t0).
Пусть q(t) — непрерывная и ограниченная на R функция, для которой q(t) = 1 при |t| 6 δ,
q(t) = 0 при |t| > 2δ. Определим функцию ĥ(y) на N × (−t0; t0) условием: если y = Ψt(x),
где x ∈ N × {0}; |t| < 2δ, то ĥ(y) = h(x) · q(t) и ĥ(y) = 0 — в противном случае. Тогда ĥ
— ограниченная непрерывная функция на N × (−t0; t0) и, окончательно, искомой функцией f̂
является продолженная нулем вне U функция (g−1)∗ĥ.
Проверка непрерывности построенной выше функции ĥ опирается на теорему об обратной
функции. Пусть 0 < ε < 2δ. Для любой точки x ∈ N производная Ax отображения F : N ×
× (−ε; ε) 3 〈x, t〉 7→ Ψt(〈x, 0〉) ∈ N × (−t0; t0) в точке 〈x, 0〉 является линейным оператором в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1306 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Tx = T〈x,0〉(N×(−t0; t0)), действующим по правилу Ax : Tx
j−→ E1 +̇ R 3 〈ξ, a〉 7→ j−1 ◦ i(ξ)+
+ a ·W(x, 0) ∈ Tx, где j — топологический изоморфизм, а i — каноническое вложение E1 в E.
Если поле W трансверсально к N × {0}, то для каждого x ∈ N оператор Ax является
топологическим изоморфизмом и, в силу теоремы об обратной функции, для каждой точки
x ∈ N существует окрестность точки 〈x, 0〉 ∈ N × (−t0; t0), в которой функция ĥ непрерывна.
Cтрогая трансверсальность к N × {0} поля W приводит к равномерной ограниченности
на S норм операторов A−1
x , откуда из анализа доказательства теоремы об обратной функции
(см., например, [11, c. 62 – 64]) следует существование ε > 0, для которого определенное выше
отображение F является гомеоморфизмом. Теперь уменьшая, если необходимо, значение δ > 0,
приходим к непрерывности ĥ на N × (−t0; t0).
Следует отметить, что полученное отображение f 7→ f̂ является линейным по построению.
Лемма 2. Пусть борелевская мера µ дифференцируема вдоль векторного поля Z ∈
∈ C1
b (M), u — функция на M класса Cb, постоянная на траекториях векторного поля Z
вблизи поверхности S (u(Φtx) = u(x) для x ∈ S; |t| < δ). Тогда существует
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦtG
udµ и
имеет место равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦtG
udµ =
∫
G
uρµdµ.
Доказательство. Положим µt(A) = µ(ΦtA). Тогда limt→0
1
t
(∫
ΦtG
udµ−
∫
G
udµ
)
=
= limt→0
1
t
(∫
G
udµt −
∫
G
udµ
)
=
∫
G
uρµdµ.
Пусть G — область в M, граница S которой является вложенным подмногообразием ко-
размерности 1; f — непрерывная ограниченная функция на S; векторное поле Z ∈ C1
b (M)
строго трансверсально к S и мера µ дифференцируема вдоль Z. Пусть f̂ — ограниченная
непрерывная на M функция, построенная по функции f указанной выше процедурой. Тогда в
силу леммы 2 корректно определено число:
IZ(f) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦZ
t G
f̂dµ =
∫
G
f̂ · ρµdµ. (22)
IZ является линейным функционалом на пространстве Cb(S) ограниченных непрерывных
функций на S; если fn ∈ Cb(S) и fn ↘ 0, то f̂n ·ρZµ → 0 (modµ), |f̂n ·ρZµ | 6 C|ρZµ | ∈ L1(M ;µ),
а потому в силу теоремы Лебега IZ(fn) → 0 и, как следует из схемы Даниэля, IZ порождено
на S борелевской мерой σZ (см., например, [12, c. 150]): IZ(f) =
∫
S
fdσZ.
Условимся называть меры σZ поверхностными мерами 1-го типа.
Предложение 2. Пусть векторные поля Z1,Z2 ∈ C1
b (M) строго трансверсальны к S
и Z1 − Z2 касается S. Пусть мера µ дифференцируема вдоль обоих полей Z1 и Z2. Тогда
σZ1 = σZ2 .
Доказательство. Достаточно доказать равенство
∫
S
fdσZ1 =
∫
S
fdσZ2 для ограниченных
равномерно непрерывных на S функций f. Для ограниченных и непрерывных на M функций
h имеет место неравенство
∣∣∣∣∣
∫
Φ
Z1
t G
hdµ−
∫
Φ
Z2
t G
hdµ
∣∣∣∣∣ 6 supM |h||µ|(Φ
Z1
t G∆ΦZ2
t G), откуда в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1307
силу теоремы 1 следует равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
Z1
t G
hdµ−
∫
Φ
Z2
t G
hdµ
= 0. (23)
Если f равномерно непрерывна и ограничена на S, то ее продолжение f̂ , постоянное на
траекториях строго трансверсального к S поля Z ∈ C1
b (M), также равномерно непрерывно и
ограничено в некоторой окрестности Sε поверхности S. Если f̂1 и f̂2 — два таких продолжения
(постоянные вдоль траекторий полей Z1 и Z2 соответственно), то supx∈Sε
∣∣f̂1(x)− f̂2(x)
∣∣→ 0
при ε→ 0. При этом
∣∣∣∣∣
∫
Φ
Z1
t G∆G
(
f̂1 − f̂2
)
dµ
∣∣∣∣∣ 6 |µ|(ΦZ1
t G∆G) sup
Φ
Z1
t G∆G
∣∣f̂1− f̂2
∣∣. А поскольку
|µ|(ΦZ1
t G∆G) = O(t), t → 0, приходим к равенству
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
Z1
t G
(
f̂1 − f̂2
)
dµ = 0. Последнее
равенство в сочетании с (23) доказывает предложение.
Замечание 5. 1. Если u равномерно непрерывна и ограничена в окрестности S, то, как
следует из предыдущих выкладок,
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦZ
t G
udµ =
∫
S
u|SdσZ (как и ранее, предполагаем,
что µ дифференцируема вдоль поля Z ∈ C1
b (M), строго трансверсального к S).
2. Если µ неотрицательна и Z — внешнее поле по отношению к G, то, как следует из (22),
мера σZ также неотрицательна.
Определение 9. Дифференцируемую 1-форму ω класса C1 на многообразии M с ограни-
ченным атласом Ω назовем формой класса C1
b (или „ограниченной”), если существует такое
C > 0, что для любой карты (U,ϕ) и для каждого x ∈ U для представления формы ω в карте
ϕ имеют место оценки ‖ωϕ(ϕ(x))‖ 6 C, ‖ω′ϕ(ϕ(x))‖ 6 C.
Ясно, что при ограниченном изоморфизме f многообразий M1 и M2 дифференциальные
1-формы ω на M2 и f∗ω на M1 ограничены или нет одновременно.
Пусть Z ∈ C1
b (M) строго трансверсально к S и ω — дифференциальная 1-форма на M
класса C1
b , для которой выполнены условия
∀x ∈ S : Kerω(x) = TxS; ∃δ > 0 ∀x ∈ S : ω(Z)(x) > δ. (24)
Замечание 6. Поясним существование формы ω, удовлетворяющей условиям (24). Пусть
g : N × (−t0; t0) → g(N × (−t0; t0)) = U ⊂ M — ограниченный изоморфизм, определяющий
S. Пусть W — g-связанное с Z векторное поле на N × (−t0; t0). Оно строго трансверсально
к N × {0} и представимо в виде (1), где α(x, 0) > ε > 0 или α(x, 0) 6 −ε < 0 для всех
x ∈ N. Дифференциальную 1-форму γ на N × (−t0; t0) задаем условием: представление γ в
карте ϕ × id имеет вид γϕ×id(y, t) = β(t)dt, где β(t) — гладкая функция R → R; β(t) = 1,
|t| 6 1
3
t0; β(t) = 0, |t| > 2
3
t0. Теперь ω получаем продолжением на M нулем 1-формы (g−1)∗γ,
определенной на U.
Если теперь X ∈ C1
b (M), то функция f =
ω(X)
ω(Z)
является функцией класса C1
b в окрест-
ности Sε поверхности S (существует C > 0 такое, что |f(x)| 6 C для каждого x ∈ Sε и для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1308 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
каждой карты (U,ϕ) атласа Ω для представления fϕ функции f в карте ϕ имеет место оценка(
x ∈ U ∩ Sε)⇒ (‖f ′ϕ(ϕ(x))‖ 6 C)
)
.
Следующее утверждение доказано в [8] (теорема 2).
Лемма 3. Если f — функция класса C1
b в окрестности границы S области G и Y ∈
∈ C1
b (M), то
d
dt
∣∣∣∣
t=0
µ(ΦfY
t G)−
∫
ΦY
t G
fdµ
= 0. (25)
Следствие 2. Пусть f — функция класса C1
b в окрестности границы S области G, поле
Y ∈ C1
b (M), µ — конечная борелевская мера на M. Тогда для любой функции u ∈ L1(µ) имеет
место равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦfYt G
udµ−
∫
ΦY
t G
fudµ
= 0. (26)
Доказательство. Достаточно взять новую меру ϑ = u · µ и применить лемму 3.
Пусть мера µ дифференцируема относительно векторных полей X,Z ∈ C1
b (M); Z — строго
трансверсально к S = ∂G и 1-форма ω связана с Z соотношениями (24). Тогда в некоторой
окрестности Sε поверхности S определено поле
ω(X)
ω(Z)
Z ∈ C1
b (Sε) и X − ω(X)
ω(Z)
Z касается S,
так как ω
(
X− ω(X)
ω(Z)
Z
)
= 0. Теперь из (21) и (25) следует существование
d
dt
∣∣∣
t=0
µ
(
Φ
ω(X)
ω(Z) Z
t G
)
и равенства
d
dt
∣∣∣
t=0
µ(ΦX
t G) =
d
dt
∣∣∣
t=0
µ
(
Φ
ω(X)
ω(Z) Z
t G
)
=
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
ΦZ
t G
ω(X)
ω(Z)
dµ =
∫
S
ω(X)
ω(Z)
dσZ.
Из последних равенств следует предварительный вариант формулы Гаусса – Остроградского∫
G
divµXdµ =
∫
∂G
ω(X)
ω(Z)
dσZ. (27)
5. Поверхностные меры второго типа. Формула Гаусса – Остроградского.
Лемма 4. Пусть векторные поля Z1,Z2 ∈ C1
b (M) строго трансверсальны к S, мера
µ дифференцируема вдоль Z1 и Z2 и ω — дифференциальная 1-форма на M класса C1
b , для
которой i∗ω = 0, где i — вложение S в M (т. е. для каждого x ∈ S Kerω(x) = TxS). Тогда
для каждой функции u ∈ Cb(S) имеет место равенство
∫
S
ω(Z1)udσZ2 =
∫
S
ω(Z2)udσZ1 .
Доказательство. Результат достаточно проверить для равномерно непрерывных и огра-
ниченных функций на Sε.
Пусть α — дифференциальная 1-форма, связанная с полем Z1 соотношениями (24). Тогда
функция g =
α(Z2)
α(Z1)
является функцией класса C1
b в окрестности Sε поверхности S; векторное
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1309
поле Z2 − gZ1 корректно определено в Sε и является векторным полем класса C1
b в Sε (Z2 −
− gZ1 ∈ C1
b (Sε)). Используя замечание 5 и равенства (23), (26), получаем∫
S
ω(Z1)udσZ2 =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
Z2
t G
ω(Z1)udµ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
g·Z1
t G
ω(Z1)udµ =
=
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
Φ
Z1
t G
g · ω(Z1)udµ =
∫
S
ω(Z2)udσZ1 .
Последнее равенство следует из совпадения значений функций g · ω(Z1) и ω(Z2) на S.
Определение 10. Пусть ω — дифференциальная 1-форма класса C1
b , определенная в
окрестности Sε границы S области G и i∗ω = 0, где i — вложение S в M. Пусть для
некоторого (а потому и для любого) ограниченного атласа {(Uα, ϕα)} на M существует
такое δ > 0, что для каждого x ∈ Sε и карты (U,ϕ) в точке x для представления ωϕ формы
ω в этой карте имеет место оценка ‖ωϕ(ϕ(x))‖ > δ. Такую форму назовем „фундаментальной
формой поверхности S”.
Замечание 7. Эквивалентное определение фундаментальной формы: ω — 1-форма класса
C1
b в Sε (при некотором ε > 0), для которой i∗ω = 0 и для некоторого (а потому и для
любого) строго трансверсального к S поля Z ∈ C1
b (M) функция
1
ω(Z)
является функцией
класса C1
b в Sε.
Теперь на основании п. 4 (см. замечание 6) можно сделать вывод о том, что для вложенного
в M подмногообразия S коразмерности 1 существует фундаментальная форма.
Пусть теперь область G согласована с мерой µ, ω — фундаментальная форма поверх-
ности S = ∂G и Z ∈ C1
b (M) — строго трансверсальное к S векторное поле. Положим µω :=
1
ω(Z)
∣∣∣
S
· σZ — мера на S.
Проверим корректность задания меры µω. Пусть f ∈ Cb(S); Z1,Z2 ∈ C1
b (M) строго транс-
версальны к S. Применив лемму 4, получим∫
S
f
ω(Z1)
dσZ1 =
∫
S
f
ω(Z1)ω(Z2)
ω(Z2)dσZ1 =
∫
S
f
ω(Z1)ω(Z2)
ω(Z1)dσZ2 =
∫
S
f
ω(Z2)
dσZ2 .
Определение 11. Поверхностной мерой второго типа на S, индуцированной мерой µ,
назовем меру µω =
1
ω(Z)
σZ, где Z ∈ C1
b (M) — строго трансверсальное к S векторное поле,
вдоль которого дифференцируема мера µ.
Предложение 3. Пусть ω1 и ω2 — две фундаментальные формы S, совпадающие на
S : ω1|S = ω2|S . Тогда на S совпадают соответствующие меры µω1 и µω2 .
Доказательство непосредственно следует из определения мер µω.
Определение 12. Фундаментальную форму поверхности S = ∂G назовем „внешней по
отношению к G”, если для некоторого (а потому и для любого) внешнего по отношению к G
строго трансверсального к S поля Z имеет место неравенство ω(Z) > 0 на S. Легко видеть,
что в случае неотрицательной меры µ и внешней по отношению к G формы ω мера µω также
неотрицательна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1310 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Теперь из (27) получаем формулу Гаусса – Остроградского.
Теорема 2. Пусть M — банахово C2-многообразие с равномерной структурой; G —
область в M, граница которой представляет собой вложенное в M подмногообразие кораз-
мерности 1; µ — борелевская мера наM, конечная (по крайней мере, в окрестностиGε области
G) и согласованная с областью G. Тогда для любого векторного поля X ∈ C1
b (M), вдоль кото-
рого дифференцируема мера µ, и для любой фундаментальной формы ω поверхности S имеет
место равенство ∫
G
divXdµ =
∫
S
ω(X)dµω. (28)
Замечание 8. В настоящее время существуют различные альтернативные подходы к по-
строению поверхностных мер в бесконечномерных пространствах (см. [4, 5, 13 – 15]).
6. Варианты. Дополнения. Следствия. 1. Пусть M = E — банахово пространство. В
качестве равномерного атласа возьмем атлас из одной тождественной карты.
Замкнутое подпространство E1 в E коразмерности 1 разбивает E \ E1 на два полупро-
странства E+ и E−. Существует единственный нормированный линейный функционал β на
E, принимающий положительные значения в E+ (при этом E1 = Kerβ). Поэтому для каждой
точки x ∈ S = ∂G определен единственный нормированный функционал αx ∈ E∗, для которого
Kerαx = TxS и αx(Z(x)) > 0, для любого внешнего по отношению к G трансверсального к S
поля Z.
Существование дифференциальной 1-формы ω на Sε класса C1
b , совпадающей на S с полем
функционала α, постулируем и рассматриваем как дополнительное условие гладкости поверх-
ности S. При этом форма ω является фундаментальной формой поверхности S, внешней по
отношению к G.
Тем самым условие согласования µ с G и существование гладкого продолжения поля функ-
ционала α в окрестности границы приводят к канонической процедуре построения индуциро-
ванной поверхностной меры µω на S по заданной мере µ.
2. В случае, когда многообразие M (а потому и E) сепарабельно, при построении по-
верхностных мер σZ можно отказаться от условия строгой трансверсальности поля Z по от-
ношению к S, заменив его условием простой трансверсальности и, дополнительно, условием
infp∈S |||Z(p)|||p > 0.
Действительно, пусть g : N × (−t0; t0)→ U ⊂ M — ограниченный изоморфизм, определя-
ющий вложенную поверхность S = g(N × {0}). Функции f ∈ Cb(S) соответствует функция
v = (g|N×{0})∗f ∈ Cb(N). Тогда g-связанное с Z векторное поле W трансверсально к N ×{0}.
Равномерный атлас Ω на M индуцирует равномерные атласы на S и N. Тем самым N наделя-
ется структурой полного метрического пространства.
Пусть Ψt — поток поля W. Существует δ > 0, при котором отображение h : N × [−δ; δ] 3
3 (x, t) 7→ Ψtx ∈ V ⊂ N × (−t0; t0) является непрерывной инъекцией. Тогда в силу теоре-
мы 6.8.6 из [12, с. 49] функция q на N × (−t0; t0), равная нулю вне V и заданная условием
q(Ψtx) = v(x), является ограниченной борелевской функцией. Теперь функция v̂ = (g−1)∗q
является ограниченной измеримой функцией на U, для которой v̂(ΦZ
t x) = v(x) для x ∈ S,
|t| 6 δ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1311
Осталось заметить, что лемма 2 остается справедливой и в случае, когда u — измеримая
ограниченная функция на M, постоянная на траекториях поля Z вблизи S.
3. Пусть M — банахово многообразие класса C2 с ограниченной структурой. Доказа-
тельство следующего утверждения полностью аналогично доказательству леммы 3 (см. [8],
теорема 2).
Предложение 4. Пусть векторное поле X принадлежит C1
b (M), f — функция класса C1
b
на M. Тогда для любого борелевского множества A ⊂M имеет место равенство
d
dt
∣∣∣∣
t=0
µ(ΦfX
t A)−
∫
ΦX
t A
fdµ
= 0. (29)
Следствие 3. Если µ дифференцируема вдоль поля X ∈ C1
b (M), f — функция на M класса
C1
b , то µ дифференцируема вдоль поля fX и при этом divµ(fX) = f divµX + Xf.
Доказательство. Пусть t 6= 0, A ∈ B(M), µt(B) = µ(ΦX
t B) для каждого B ∈ B(M).
Тогда
1
t
∫
ΦX
t A
fdµ−
∫
A
fdµ
=
1
t
∫
A
f(ΦX
t x)dµt −
∫
A
fdµ
=
=
1
t
∫
A
(f(ΦX
t x)− f(x))dµt +
1
t
∫
A
fdµt −
∫
A
fdµ
. (30)
Второе слагаемое в правой части равенства (30) при t → 0 стремится к
∫
A
f · ρµdµ. Для всех
x ∈ M при t → 0 имеет место сходимость ht(x) =
1
t
(f(ΦX
t x) − f(x)) → (Xf)(x) = h0(x),
причем функции ht равномерно ограничены на M. Поскольку для каждого борелевского B ⊂
⊂M µt(B)→ µ(B) при t→ 0, в силу теоремы 1.2.19 [16] limt→0
∫
A
htdµt =
∫
A
h0dµ, откуда
следуют существование
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦX
t A
fdµ и равенство
d
dt
∣∣∣
t=0
∫
ΦX
t A
fdµ =
∫
A
f divµXdµ+
∫
A
Xfdµ. (31)
Применение равенства (29) завершает доказательство следствия.
Следствие 4. Пусть G — область в M, S = ∂G — вложенное в M подмногообразие
коразмерности 1, векторное поле Z ∈ C1
b (M) строго трансверсально к S и µ дифферен-
цируема вдоль Z, u — функция класса C1
b на M. Тогда имеет место равенство („формула
интегрирования по частям”)∫
S
udσZ =
∫
G
Zudµ+
∫
G
udivµZdµ. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1312 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Доказательство. Поскольку функция u равномерно непрерывна на M, в силу замечания 5∫
S
udσZ =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
∫
ΦZ
t G
udµ, и осталось применить формулу (31).
4. Пусть модельное пространство E многообразия M класса C2 гильбертово и на M задан
риманов тензор R. Потому для каждой карты (U,ϕ) в ϕ(U) ⊂ E определено непрерывное по
норме поле самосопряженного линейного гомеоморфизма пространства E. При этом в каждом
касательном пространстве TpM индуцируется структура гильбертова пространства, а на M —
метрика.
Выделение класса ограниченных атласов в данном случае является излишним. Принад-
лежность векторного поля Z классу C1
b (M), равно как и функций классу Cpb (M), определяется
корректно. Условие вложенности в M подмногообразия S = ∂G можно заменить следующим:
существует векторное поле n ∈ C1
b (M), которое является продолжением поля внешней еди-
ничной нормали к S, т. е. для каждой точки x ∈ S выполнены условия n(x) ⊥ TxS, ‖n(x)‖ = 1
и при этом поле n является внешним по отношению к G. Если дополнительно потребовать пол-
ноту порожденной тензором R метрики, то векторные поля класса C1
b оказываются полными.
Согласование области G и меры µ определим условием: µ дифференцируема вдоль поля
n. Поле n строго трансверсально к S и для таких полей имеют место формулы типа (13),
(20), (21) (правда, здесь требуется несколько иная техника доказательства). С полем n есте-
ственным образом связана 1-форма ω, определенная равенством ω(X) = (X,n), ω является
фундаментальной формой поверхности S (в смысле определения 10). Соответствующую меру
µω обозначим через µS (от выбора n она не зависит). Теперь, если мера µ дифференцируема
вдоль поля X ∈ C1
b (M), формулу (28) можно переписать так:∫
G
divXdµ =
∫
S
(X,n)dµS . (33)
Если же M — конечномерное риманово C2-многообразие, а область G компактно вложена
в M, то для получения результата достаточно брать поля и функции класса C1(M); условие
строгой трансверсальности поля Z к S следует из условия простой трансверсальности.
5. В условиях предыдущего пункта (риманов случай) для функции u класса C2
b на M
определено векторное поле X = gradu. Пусть µ дифференцируема вдоль поля X. Положим
∆u = ∆µu = div(gradu). Тогда из (33) получим равенство∫
G
∆udµ =
∫
S
∂u
∂n
dµS .
Формула (32) (при Z = n) превращается в следующую:∫
S
udµS =
∫
G
(gradu,n) dµ+
∫
G
u · divµn dµ.
Пусть u, v — функции на M класса C2
b . В этом случае определены векторные поля gradu,
grad v ∈ C1
b (M). Пусть мера µ дифференцируема вдоль полей gradu, grad v. Тогда µ диф-
ференцируема относительно векторных полей v gradu, ugrad v и при этом div(v gradu) =
= v·∆u+(gradu,grad v), div(ugrad v) = u·∆v+(gradu,grad v) (здесь (X,Y) = R(X,Y)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
БАНАХОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И ФОРМУЛА . . . 1313
Применяя (33) к векторному полю v gradu, получаем первую формулу Грина:∫
G
v∆udµ = −
∫
G
(gradu,grad v)dµ+
∫
S
v
∂u
∂n
dµS . (34)
Применяя (33) к векторному полю ugrad v и вычитая полученное равенство из (34), получаем
вторую формулу Грина: ∫
G
(v∆u− u∆v)dµ =
∫
S
(
v
∂u
∂n
− u∂v
∂n
)
dµS .
Предложение 5 (лемма Хопфа). Пусть M — связное гильбертово многообразие с рима-
новым тензором R, f — функция на M класса C2
b , борелевская мера µ дифференцируема вдоль
поля grad f, для каждого открытого множества U ⊂ M выполнено неравенство µ(U) > 0.
Если ∆f > 0 всюду на M, то f — постоянная функция.
Доказательство. Поскольку
∫
M
∆fdµ =
∫
M
div(grad f)dµ = 0, из неравенства ∆f >
> 0 следует ∆f = 0 (mod µ) (а в силу условий предложения равенство ∆f = 0 выполнено
тождественно), ∆
(
f2
2
)
= div(f grad f) = f ·∆f+‖grad f‖2. Поэтому 0 =
∫
M
∆
(
f2
2
)
dµ =
=
∫
M
f · ∆fdµ +
∫
M
‖grad f‖2dµ =
∫
M
‖grad f‖2dµ, откуда из непрерывности ‖grad f‖
следует тождество grad f ≡ 0, а в силу связности M f ≡ const.
1. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 232 с.
2. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. – М.: Мир, 1979. – 176 с.
3. Ефимова Е. И., Угланов А. В. Формулы векторного анализа на банаховом пространстве // Докл. АН СССР. –
1983. – 271, № 6. – С. 1302 – 1306.
4. Угланов А. В. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше // Мат. сб. – 1998. – 189, № 11. – С. 139 – 157.
5. Пугачев О. В. Формула Гаусса – Остроградского в бесконечномерном пространстве // Мат. сб. – 1998. – 189,
№ 5. – С. 115 – 128.
6. Смородина Н. В. Формула Гаусса – Остроградского для пространства конфигураций // Теория вероятностей и
ее применения. – 1990. – 35, № 4. – С. 727 – 739.
7. Finkelshtein D. L., Kondratiev Yu. G., Konstantinov A. Yu., Rockner M. Gauss formula and symmetric extensions of
Laplacian on configuration spaces // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. – 2001.
– 4, № 4. – P. 489 – 509.
8. Богданський Ю. В. Бездивергентний варiант формули Гаусса – Остроградського на нескiнченновимiрних мно-
говидах // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. – 2008. – № 4. – С. 132 – 138.
9. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
10. Далецкий Ю. Л., Белопольская Я. И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. – Киев: Вища
шк., 1989. – 296 с.
11. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971. – 392 с.
12. Богачев В. И. Основы теории меры. – Москва; Ижевск: РХД, 2006. – Т. 2. – 680 с.
13. Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2000. – 262 p.
14. Bogachev V. I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces // Acta
Univ. Carolinae. Math. et Phys. – 1990. – 31, № 2. – P. 9 – 23.
15. Пугачев О. В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах // Теория вероятностей и
ее применения. – 2008. – 53, № 1. – С. 178 – 188.
16. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: РХД, 2008. – 544 с.
Получено 18.05.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|