Напівретракції тріоїдів
Определяется и изучается понятие полуретракции триоида. Приведены примеры левых, правых и симметрических полуретракций триоидов. Построены новые теоретико-триоидные конструкции, для которых охарактеризованы некоторые симметрические полуретракции....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165301 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напівретракції тріоїдів / А.В. Жучок // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 195–207 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165301 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653012020-02-14T01:26:18Z Напівретракції тріоїдів Жучок, А.В. Статті Определяется и изучается понятие полуретракции триоида. Приведены примеры левых, правых и симметрических полуретракций триоидов. Построены новые теоретико-триоидные конструкции, для которых охарактеризованы некоторые симметрические полуретракции. We introduce and study the notion of semiretraction of trioid. Examples of left, right, and symmetric semiretractions of trioids are given. We also present new theoretical trioid constructions for which some symmetric semiretractions are characterized. 2014 Article Напівретракції тріоїдів / А.В. Жучок // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 195–207 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165301 512.579 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Жучок, А.В. Напівретракції тріоїдів Український математичний журнал |
| description |
Определяется и изучается понятие полуретракции триоида. Приведены примеры левых, правых и симметрических полуретракций триоидов. Построены новые теоретико-триоидные конструкции, для которых охарактеризованы некоторые симметрические полуретракции. |
| format |
Article |
| author |
Жучок, А.В. |
| author_facet |
Жучок, А.В. |
| author_sort |
Жучок, А.В. |
| title |
Напівретракції тріоїдів |
| title_short |
Напівретракції тріоїдів |
| title_full |
Напівретракції тріоїдів |
| title_fullStr |
Напівретракції тріоїдів |
| title_full_unstemmed |
Напівретракції тріоїдів |
| title_sort |
напівретракції тріоїдів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165301 |
| citation_txt |
Напівретракції тріоїдів / А.В. Жучок // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 195–207 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT žučokav napívretrakcíítríoídív |
| first_indexed |
2025-07-14T18:18:12Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:18:12Z |
| _version_ |
1837647363608412160 |
| fulltext |
УДК 512.579
А. В. Жучок (Луган. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ
We introduce and study the notion of a semiretraction of trioid. Examples of left, right, and symmetric semiretractions
of trioids are given. We also construct new theoretical trioid constructions for which some symmetric semiretractions are
characterized.
Oпределяется и изучается понятие полуретракции триоида. Приведены примеры левых, правых и симметрических
полуретракций триоидов. Построены новые теоретико-триоидные конструкции, для которых охарактеризованы
некоторые симметрические полуретракции.
1. Вступ. Ж.-Л. Лоде та М. О. Ронко [1] побудували операди, асоцiйованi з ланцюговими моду-
лями симплексiв та полiтопiв Сташеффа. Вiдповiднi алгебри мають три операцiї та називаються
асоцiативними триалгебрами й дендриформними триалгебрами. Триалгебри дослiджувалися в
роботах рiзних авторiв (див., наприклад, [1 – 5]). Так, предметом вивчення роботи [2] є вiльна
дендриформна триалгебра на одному породжуючому елементi. Зв’язки мiж алгебрами Хопфа
та триалгебрами описано в [3]. Роботу [4] присвячено аналiзу зв’язкiв мiж триалгебрами та
3-алгебрами Лейбнiца. В останнiй роботi побудовано унiверсальну обгортуючу алгебру для
3-алгебри Лейбнiца. Зв’язки мiж операторами Рота – Бакстера та дендриформними дiалгебра-
ми та дендриформними триалгебрами охарактеризовано в [5]. Трiоїдом є множина з трьома
бiнарними асоцiативними операцiями, якi задовольняють тi ж самi аксiоми, що й триалгебра.
Таким чином, триалгебра є лiнiйним аналогом трiоїда. Це поняття було введено Ж.-Л. Лоде i
M. O. Ронко [1]. Якщо операцiї трiоїда збiгаються, то вiн перетворюється в напiвгрупу. Якщо
двi певнi операцiї трiоїда збiгаються, то вiн перетворюється в дiмоноїд. Дiмоноїди були введе-
нi Ж.-Л. Лоде [6] для вивчення властивостей алгебр Лейбнiца та вивчалися в роботах автора
(див., наприклад, [7 – 9]). З iншого боку, будь-який трiоїд є дiмоноїдом з бiнарною асоцiативною
операцiєю, яка задовольняє п’ять додаткових аксiом. Першим результатом про трiоїди є опис
Ж.-Л. Лоде i M. O. Ронко [1] вiльного трiоїда, породженого заданою множиною. Трiоїди вивча-
лися також у [10 – 12]. Поняття трiоїда в наш час є маловивченим i потребує рiзноманiтних
дослiджень. Природною у цьому напрямку є задача поширення результатiв теорiї напiвгруп
та теорiї дiмоноїдiв на трiоїди. При цьому результати, отриманi для трiоїдiв, можуть бути
застосованi й до триалгебр.
Поняття напiвретракцiї, яке було введено В. М. Усенком [13], є ефективним при описi
конгруенцiй на напiвгрупах. Деякi застосування технiки напiвретракцiй напiвгруп наведено в
[14 – 17]. У [18] технiку В. М. Усенка напiвретракцiй моноїдiв поширено на випадок дiмоноїдiв.
У цiй статтi визначається i вивчається поняття напiвретракцiї трiоїда, наводяться деякi
застосування напiвретракцiй до вивчення конгруенцiй на трiоїдах.
Роботу структуровано таким чином. У другому пунктi наведено основнi поняття, якi ви-
користовуються в роботi. У третьому пунктi дослiджено загальнi властивостi напiвретракцiй
трiоїдiв. У четвертому пунктi наведено однобiчнi напiвретракцiї довiльних трiоїдiв з деякими
додатковими умовами та вiльних трiоїдiв рангу 1. У п’ятому пунктi отримано опис симетричних
напiвретракцiй деяких трiоїдiв, зокрема вiльних трiоїдiв рангу 1, з характеризацiєю вiдповiд-
c© А. В. ЖУЧОК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2 195
196 А. В. ЖУЧОК
них мутацiй. У шостому пунктi розглянуто питання про можливiсть узагальнення конструкцiї
дiмоноїда Рiса [18] на випадок трiоїда. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування трi-
оїдiв Рiса. Наведено приклади трiоїда Рiса та алгебри, що узагальнює дiмоноїд Рiса, але не
є трiоїдом. Для трiоїдiв Рiса побудовано один клас симетричних напiвретракцiй. У сьомому
пунктi розглянуто питання про можливiсть узагальнення конструкцiї дiмоноїда з деформова-
ними множеннями [18] на випадок трiоїда. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування
трiоїдiв з деформованими множеннями. Наведено приклади трiоїда з деформованими множен-
нями та алгебри, що узагальнює дiмоноїд з деформованими множеннями, але не є трiоїдом.
Для трiоїдiв з деформованими множеннями охарактеризовано симетричнi напiвретракцiї.
2. Основнi поняття. Наведемо основнi поняття, якi будемо використовувати в цiй роботi.
Непорожня множина T з трьома бiнарними асоцiативними операцiями a, ` та ⊥, якi задо-
вольняють такi аксiоми:
(T1) (x a y) a z = x a (y ` z),
(T2) (x ` y) a z = x ` (y a z),
(T3) (x a y) ` z = x ` (y ` z),
(T4) (x a y) a z = x a (y ⊥ z),
(T5) (x ⊥ y) a z = x ⊥ (y a z),
(T6) (x a y) ⊥ z = x ⊥ (y ` z),
(T7) (x ` y) ⊥ z = x ` (y ⊥ z),
(T8) (x ⊥ y) ` z = x ` (y ` z)
для всiх x, y, z ∈ T, називається трiоїдом.
Щоб навести еквiвалентне означення трiоїда, нагадаємо означення дiмоноїда.
Непорожня множина T з двома бiнарними асоцiативними операцiями a та `, якi задо-
вольняють аксiоми (T1) – (T3), називається дiмоноїдом [6 – 9]. Дiмоноїд (T,a,`) з бiнарною
асоцiативною операцiєю ⊥, яка задовольняє аксiоми (T4) – (T8), називається трiоїдом.
Приклади трiоїдiв можна знайти в [1, 10 – 12].
Вiдображення f трiоїда T1 у трiоїд T2 називається гомоморфiзмом, якщо
(x a y)f = xf a yf,
(x ` y)f = xf ` yf,
(x ⊥ y)f = xf ⊥ yf
для всiх x, y ∈ T1. Якщо f є також бiєкцiєю, то f — iзоморфiзм.
Пiдмножина A трiоїда (T,a,`,⊥) називається пiдтрiоїдом, якщо для будь-яких a, b ∈ T з
a, b ∈ A випливає a a b, a ` b, a ⊥ b ∈ A.
Нехай (T,a,`,⊥) — довiльний трiоїд. Якщо операцiї ` та ⊥ або a та ⊥ трiоїда (T,a,`,⊥)
збiгаються, то вiн перетворюється в дiмоноїд. Таким чином, кожний дiмоноїд можна розглядати
як трiоїд. Приклади дiмоноїдiв розглядалися в [6 – 9].
Якщо операцiї a, ` та ⊥ трiоїда (T,a,`,⊥) збiгаються, то вiн перетворюється в напiвгрупу.
Отже, кожну напiвгрупу можна розглядати як трiоїд.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ 197
3. Загальнi властивостi напiвретракцiй. У цьому пунктi ми введемо поняття лiвої (пра-
вої, симетричної) напiвретракцiї трiоїда та дослiдимо загальнi властивостi введених понять.
3.1. Перетворення τ трiоїда (T,a,`,⊥) називатимемо лiвою напiвретракцiєю, якщо
(x a y)τ = (xτ a y)τ, (1)
(x ` y)τ = (xτ ` y)τ, (2)
(x ⊥ y)τ = (xτ ⊥ y)τ (3)
при будь-яких x, y ∈ T . Якщо замiсть (1) – (3) виконуються тотожностi
(x a y)τ = (x a yτ)τ, (4)
(x ` y)τ = (x ` yτ)τ, (5)
(x ⊥ y)τ = (x ⊥ yτ)τ, (6)
то будемо говорити про праву напiвретракцiю.
Якщо для перетворення τ трiоїда (T,a,`,⊥) виконуються тотожностi (1) − (6), то пере-
творення τ називатимемо (симетричною) напiвретракцiєю трiоїда (T,a,`,⊥).
Для будь-якого перетворення τ трiоїда (T,a,`,⊥) покладемо
∇τ = {(x, y) ∈ T × T |xτ = yτ}.
Наступнi чотири леми доводяться аналогiчно вiдповiдним лемам iз пп. 1.1 – 1.4 роботи [18].
Лема. Iдемпотентне перетворення τ трiоїда (T,a,`,⊥) є його лiвою напiвретракцiєю
тодi й лише тодi, коли вiдношення ∇τ його рiвнозначностi є правою конгруенцiєю на цьому
трiоїдi.
3.2. У двоїстий спосiб отримуємо таку лему.
Лема. Iдемпотентне перетворення τ трiоїда (T,a,`,⊥) є його правою напiвретракцiєю
тодi й лише тодi, коли вiдношення ∇τ його рiвнозначностi є лiвою конгруенцiєю на цьому
трiоїдi.
3.3. Має мiсце така лема.
Лема. Для кожної правої конгруенцiї ω на трiоїдi (T,a,`,⊥) iснує його лiва напiвретрак-
цiя τ така, що ∇τ = ω.
3.4. У двоїстий спосiб отримуємо таку лему.
Лема. Для кожної лiвої конгруенцiї ω на трiоїдi (T,a,`,⊥) iснує його права напiвретрак-
цiя τ така, що ∇τ = ω.
3.5. Нехай τ — симетрична напiвретракцiя трiоїда T = (T,a,`,⊥) (див. п. 3.1). На множинi
Im τ визначимо операцiї aτ , `τ та ⊥τ за правилами
xaτy = (xay)τ, x`τy = (x`y)τ, x⊥τy = (x⊥y)τ
для всiх x, y ∈ Im τ . Алгебру (Im τ,aτ ,`τ ,⊥τ ) позначимо через T
τ
.
Лема. T
τ
є трiоїдом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
198 А. В. ЖУЧОК
Доведення. При будь-яких x, y, z ∈ Im τ маємо
(x⊥τy)⊥τz = (x⊥y)τ⊥τz = ((x⊥y)τ⊥z)τ = ((x⊥y)⊥z)τ =
= (x⊥(y⊥z))τ = (x⊥(y⊥z)τ)τ = x⊥τ (y⊥z)τ = x⊥τ (y⊥τz),
(xa τy)a τz = ((xay)τaz)τ = ((xay)az)τ =
= (x a (y⊥z))τ = (xa(y⊥z)τ)τ = xa τ (y⊥z)τ = xa τ (y⊥τz),
(x⊥τy)a τz = ((x⊥y)τaz)τ = ((x⊥y)az)τ =
= (x⊥(yaz))τ = (x⊥(yaz)τ)τ = x⊥τ (yaz)τ = x⊥τ (ya τz),
(xa τy)⊥τz = ((xay)τ⊥z)τ = ((xay)⊥z)τ =
= (x⊥(y`z))τ = (x⊥(y`z)τ)τ = x⊥τ (y`z)τ = x⊥τ (y`τz),
(x`τy)⊥τz = ((x`y)τ⊥z)τ = ((x`y)⊥z)τ =
= (x`(y⊥z))τ = (x`(y⊥z)τ)τ = x`τ (y⊥z)τ = x`τ (y⊥τz),
(x⊥τy)`τz = ((x⊥y)τ`z)τ = ((x⊥y)`z)τ =
= (x`(y`z))τ = (x`(y`z)τ)τ = x`τ (y`z)τ = x`τ (y`τz)
згiдно з тотожностями (1) – (6), асоцiативнiстю операцiї⊥ та аксiомами трiоїда T . Отже, аксiоми
(T4) – (T8) трiоїда та асоцiативнiсть операцiї ⊥τ виконуються. Справедливiсть аксiом (T1) – (T3)
та асоцiативнiсть операцiй aτ , `τ випливають з п. 3.1 роботи [18]. Таким чином, T
τ
— трiоїд.
Лему доведено.
Трiоїд T
τ
називатимемо τ -мутацiєю трiоїда T . Легко бачити, що вiдображення
τ# : T → T
τ
: x 7→ xτ# = xτ
є гомоморфiзмом трiоїдiв.
3.6. Загальну характеристику симетричних напiвретракцiй дає таке твердження.
Твердження. Для iдемпотентного перетворення π трiоїда (T,a,`,⊥) еквiвалентними є
такi твердження:
1) π є симетричною напiвретракцiєю;
2) π є лiвою напiвретракцiєю, а вiдношення∇π її рiвнозначностi — конгруенцiєю на трiоїдi
(T,a,`,⊥);
3) π є правою напiвретракцiєю, а вiдношення ∇π її рiвнозначностi — конгруенцiєю на
трiоїдi (T,a,`,⊥);
4) для всiх x, y ∈ T виконуються тотожностi
(xay)π = (xπayπ)π,
(x`y)π = (xπ`yπ)π,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ 199
(x⊥y)π = (xπ⊥yπ)π.
Доведення є аналогiчним доведенню твердження з п. 3.2 роботи [18].
Таким чином, задача опису конгруенцiй на трiоїдах заданого класу зводиться до опису
напiвретракцiй цих трiоїдiв. Тобто, знаючи дiю напiвретракцiї на трiоїдi, ми можемо побуду-
вати єдину конгруенцiю, що їй вiдповiдає, i навпаки, знаючи будову конгруенцiї на трiоїдi,
можна задати клас напiвретракцiй, вiдношення рiвнозначностi за якими збiгаються з заданою
конгруенцiєю.
4. Лiвi та правi напiвретракцiї. У цьому пунктi ми наведемо лiвi (правi) напiвретракцiї
довiльних трiоїдiв, якi мiстять принаймнi один iдемпотент вiдносно операцiї ` (a), а також
вiльних трiоїдiв рангу 1.
4.1. Один iз прикладiв лiвих напiвретракцiй виникає при розглядi внутрiшнiх лiвих зсувiв
трiоїдiв.
Нехай (T,a,`,⊥) — довiльний трiоїд. Перетворення λa, a ∈ T, трiоїда (T,a,`,⊥) назвемо
внутрiшнiм лiвим зсувом (T,a,`,⊥), якщо xλa = a ` x для всiх x ∈ T .
Твердження. Якщо a ∈ T та a ` a = a, то внутрiшнiй лiвий зсув λa трiоїда (T,a,`,⊥)
є лiвою напiвретракцiєю. При цьому Imλa — пiдтрiоїд трiоїда (T,a,`,⊥).
Доведення. Згiдно з твердженням iз п. 2.2 [18] для λa виконуються умови (1), (2). Покажемо,
що для λa має мiсце й умова (3).
Для будь-яких x, y ∈ T маємо
(x ⊥ y)λa = a ` (x ⊥ y) = a ` (a ` (x ⊥ y)) =
= a ` ((a ` x) ⊥ y) = a ` (xλa ⊥ y) = (xλa ⊥ y)λa
завдяки умовi a ` a = a, асоцiативностi операцiї ` та аксiомi (T7) трiоїда.
Отже, λa є лiвою напiвретракцiєю.
Згiдно з твердженням iз п. 2.2 [18] множина Imλa є замкненою вiдносно операцiй a та `.
Покажемо, що вона є замкненою й вiдносно операцiї ⊥.
Зрозумiло, що Imλa = a ` T . Вiзьмемо елементи a ` x, a ` y ∈ Imλa, для яких отримаємо
((a ` x) ⊥ (a ` y))λa = a ` ((a ` x) ⊥ (a ` y)) =
= (a ` (a ` x)) ⊥ (a ` y) = (a ` x) ⊥ (a ` y)
завдяки аксiомi (T7) трiоїда, асоцiативностi операцiї ` та умовi a ` a = a. Звiдси випливає, що
Imλa є замкненою вiдносно операцiї ⊥. Таким чином, Imλa− пiдтрiоїд трiоїда (T,a,`,⊥).
Твердження доведено.
4.2. Нехай (T,a,`,⊥) — довiльний трiоїд. Перетворення ρa, a ∈ T, трiоїда (T,a,`,⊥)
назвемо внутрiшнiм правим зсувом (T,a,`,⊥), якщо xρa = x a a для всiх x ∈ T .
У двоїстий спосiб (див. п. 4.1) доводиться таке твердження.
Твердження. Якщо a ∈ T та a a a = a, то внутрiшнiй правий зсув ρa трiоїда (T,a,`,⊥)
є правою напiвретракцiєю. При цьому Im ρa — пiдтрiоїд трiоїда (T,a,`,⊥).
4.3. Нехай P ∗ — вiльна напiвгрупа на двохелементнiй множинi X = {x, x̄}, P ⊂ P ∗−
напiвгрупа, яка мiстить слова, до запису яких елемент x̄ входить принаймнi один раз. Нехай
далi w — довiльне слово з P . Через w̃ позначимо слово, отримане з w замiною всiх лiтер x̄ на
x. Зрозумiло, що w̃ ∈ P ∗\P .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
200 А. В. ЖУЧОК
На множинi P визначимо операцiї a,` та ⊥ за правилами
wau = wũ, w`u = w̃u, w⊥u = wu
для всiх w, u ∈ P . З твердження 1.9 [1] випливає, що (P,a,`,⊥) — вiльний трiоїд рангу 1.
Позначимо його через Frt (X).
У [1] показано, що вiльна триалгебра над векторним простором цiлком визначається вiльною
триалгеброю з одним породжуючим елементом, а опис останньої зводиться до опису вiльного
трiоїда рангу 1.
Нехай w ∈ Frt(X). Через −→w (←−w ) позначатимемо початкове (кiнцеве) слово мiнiмальної
довжини слова w, яке закiнчується (починається) лiтерою x̄.
Нехай
π : Frt(X)→ Frt(X) : w 7→ −→w .
Твердження. Перетворення π є правою напiвретракцiєю вiльного трiоїда Frt(X).
Доведення. Дiйсно, для довiльних w, u ∈ Frt(X) отримуємо
(w a u)π = (wũ)π = −→w = (w−̃→u )π = (w a −→u )π = (w a uπ)π,
(w ` u)π = (w̃u)π = w̃−→u = (w̃−→u )π = (w ` −→u )π = (w ` uπ)π,
(w ⊥ u)π = (wu)π = −→w = (w−→u )π = (w ⊥ −→u )π = (w ⊥ uπ)π,
звiдки, за означенням, π є правою напiвретракцiєю.
Нарештi, покажемо, що π не є лiвою напiвретракцiєю:
(w ` u)π = (w̃u)π = w̃−→u 6= −̃→w−→u = (−̃→wu)π = (−→w ` u)π = (wπ ` u)π.
Твердження доведено.
4.4. Нехай
π′ : Frt(X)→ Frt(X) : w 7→ ←−w .
У двоїстий спосiб (див. п. 4.3) доводиться таке твердження.
Твердження. Перетворення π′ є лiвою напiвретракцiєю вiльного трiоїда Frt(X).
5. Симетричнi напiвретракцiї. У цьому пунктi ми встановимо необхiднi та достатнi умо-
ви, за якими iдемпотентне перетворення τ трiоїда T⊥lr є його напiвретракцiєю, та охарактери-
зуємо в цьому випадку вiдповiдну τ -мутацiю. Крiм цього, побудуємо напiвретракцiю вiльного
трiоїда рангу 1 та опишемо вiдповiдну мутацiю.
5.1. Нехай (T,⊥) — довiльна напiвгрупа. Визначимо на T операцiї a та ` за правилами
x a y = x, x ` y = y
для всiх x, y ∈ T . Згiдно з твердженням 10 [12] (T,a,`,⊥) є трiоїдом.
Трiоїд (T,a,`,⊥) будемо позначати через T⊥lr .
Зазначимо, що якщо операцiї довiльного трiоїда збiгаються, то з означення лiвої (правої, си-
метричної) напiвретракцiї трiоїда (див. п. 3.1) отримуємо означення лiвої (правої, симетричної)
напiвретракцiї напiвгрупи (див. [15]).
У позначеннях п. 3.5 має мiсце така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ 201
Теорема. Iдемпотентне перетворення τ трiоїда T⊥lr є його напiвретракцiєю тодi й тiль-
ки тодi, коли τ є iдемпотентною напiвретракцiєю напiвгрупи (T,⊥). При цьому (T⊥lr )τ =
= (Im τ)⊥τ
lr .
Доведення. Необхiднiсть випливає з означення напiвретракцiї трiоїда.
Достатнiсть. Нехай τ — iдемпотентна напiвретракцiя напiвгрупи (T,⊥). Для всiх x, y ∈ T
маємо
(xay) τ = xτ = xτ2 = (xτayτ) τ,
(x`y) τ = yτ = yτ2 = (xτ`yτ) τ.
Отже, згiдно з твердженням iз п. 3.6 τ — iдемпотентна напiвретракцiя трiоїда T⊥lr . Неважко
перевiрити, що τ -мутацiя
(
T⊥lr
)τ
трiоїда T⊥lr збiгається з трiоїдом (Im τ)⊥τ
lr .
Теорему доведено.
5.2. Як звичайно, через N позначатимемо множину натуральних чисел.
Нехай w ∈ Frt(X) (див. п. 4.3). Через c (w) позначимо множину елементiв з X , якi входять
до запису слова w. Визначимо перетворення α множини P , поклавши wα — слово, отримане з
w видаленням усiх лiтер x, якщо x ∈ c (w), та wα = w — в iншому випадку. Наприклад, якщо
w = xx̄x̄xx̄, то wα = x̄x̄x̄.
У позначеннях пп. 3.5, 5.1 має мiсце така теорема.
Теорема. Перетворення α є напiвретракцiєю вiльного трiоїда Frt(X). При цьому
Frt (X)α ∼= N+
lr .
Доведення. Неважко побачити, що α2 = α та α — ендоморфiзм напiвгрупи (P,⊥). Для всiх
w, u ∈ Frt(X) маємо
(wau)α = (wũ)α = wα = (wα)α =
=
(
wα
∼
uα
)
α = (wα a uα)α,
(w`u)α = (w̃u)α = uα = (uα)α =
=
( ∼
wαuα
)
α = (wα`uα)α,
(wu)α = (w⊥u)α = wα⊥uα =
= (wu)α2 = (wα⊥uα)α.
Отже, згiдно з твердженням iз п. 3.6 α — напiвретракцiя Frt (X).
Зрозумiло, що Imα = {x̄n|n ∈ N}. Визначимо вiдображення
θ : Frt (X)α → N+
lr : x̄n 7→ n.
Покажемо, що θ — iзоморфiзм. Для довiльних елементiв x̄n, x̄κ ∈ Frt (X)α маємо
(x̄n) θ = n, (x̄κ) θ = κ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
202 А. В. ЖУЧОК
(x̄naαx̄κ) θ = (x̄nax̄κ)αθ =
= (x̄nxκ)αθ = x̄nθ = n = n a k = x̄nθ a x̄kθ,
(x̄n`αx̄κ)θ = (x̄n`x̄κ)αθ = (xnx̄κ)αθ =
= x̄κθ = κ = n`κ = x̄nθ`x̄κθ,
(x̄n⊥αx̄κ)θ = (x̄n⊥x̄κ)αθ = (x̄n+κ)αθ =
= x̄n+κθ = n+ κ = x̄nθ + x̄κθ.
Таким чином,
(x̄naαx̄κ) θ = x̄nθax̄κθ,
(x̄n`αx̄κ) θ = x̄nθ`x̄κθ,
(x̄n⊥αx̄κ) θ = x̄nθ + x̄κθ
для всiх x̄n, x̄κ ∈ Frt (X)α, тобто θ — гомоморфiзм. Неважко побачити, що θ — бiєктивне
вiдображення. Таким чином, θ — iзоморфiзм.
Теорему доведено.
6. Трiоїд Рiса. У цьому пунктi ми розглянемо питання про можливiсть узагальнення кон-
струкцiї дiмоноїда Рiса [18] на випадок трiоїда. Знайдемо необхiднi та достатнi умови iснування
трiоїдiв Рiса. Наведемо приклади трiоїда Рiса та алгебри, що узагальнює дiмоноїд Рiса, але не
є трiоїдом. Для трiоїдiв Рiса побудуємо один клас симетричних напiвретракцiй.
6.1. Нехай T = (T,a,`,⊥) — довiльний трiоїд, I,J — довiльнi непорожнi множини, для
яких визначено вiдображення
p : J × I → T : (j, i) 7→ (j, i)p = pji.
Визначимо на множинi T ′ = I × T × J операцiї за правилами
(i, g, j)a′(k, h, l) = (i, gapjkah, l),
(i, g, j)`′(k, h, l) = (i, g`pjk`h, l),
(i, g, j)⊥′(k, h, l) = (i, g⊥pjk⊥h, l)
для всiх (i, g, j), (k, h, l) ∈ T ′. Алгебру (T ′,a′,`′,⊥′) позначимо через M(I, T ,J ; p).
Якщо замiсть (T,a,`,⊥) взяти дiмоноїд (T,a,`) (див. п. 2), то алгебра (T ′,a′,`′) стає дi-
моноїдом Рiса, який уперше був побудований у [18]. Дiмоноїд Рiса є узагальненням напiвгрупи
Рiса матричного типу над структурною напiвгрупою [19].
Природним є питання про можливiсть узагальнення дiмоноїда Рiса на випадок трiоїда. На-
ступне твердження дає необхiднi та достатнi умови, за якими алгебра M(I, T ,J ; p) є трiоїдом.
Теорема. Алгебра M(I, T ,J ; p) є трiоїдом тодi й лише тодi, коли вона задовольняє аксi-
ому (T6) трiоїда.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ 203
Доведення. Необхiднiсть є очевидною.
Доведемо достатнiсть. Нехай M
(
I, T ,J ; p
)
задовольняє аксiому (T6). Згiдно з [19] опе-
рацiї a′,`′ та ⊥′ є асоцiативними. Той факт, що M(I, T ,J ; p) задовольняє аксiоми (T1) – (T3),
випливає з леми з п. 3.3 роботи [18].
Нехай (i, a, j) , (k, b, t) , (m, c, n) — довiльнi елементи алгебри M(I, T ,J ; p). Тодi(
(i, a, j)a′ (k, b, t)
)
a′ (m, c, n) = (i, aapjkab, t)a′ (m, c, n) =
= (i, (aapjkab)aptmac, n) = (i, ((aapjk)ab)aptm⊥c, n) =
= (i, (aapjk)a (b⊥ (ptm⊥c)) , n) = (i, aapjka(b⊥ptm⊥c), n) =
= (i, a, j)a′ (k, b⊥ptm⊥c, n) = (i, a, j)a′
(
(k, b, t)⊥′ (m, c, n)
)
,(
(i, a, j)⊥′ (k, b, t)
)
a′ (m, c, n) = (i, a⊥pjk⊥b, t)a′ (m, c, n) =
= (i, (a⊥pjk⊥b)aptmac, n) = (i, ((a⊥pjk)⊥b)aptmac, n) =
= (i, (a⊥pjk)⊥ (ba (ptmac)) , n) = (i, a⊥pjk⊥(baptmac), n) =
= (i, a, j)⊥′ (k, baptmac, n) = (i, a, j)⊥′
(
(k, b, t)a′ (m, c, n)
)
,(
(i, a, j)`′ (k, b, t)
)
⊥′ (m, c, n) = (i, a`pjk`b, t)⊥′ (m, c, n) =
= (i, (a`pjk`b)⊥ptm⊥c, n) = (i, ((a`pjk)`b)⊥ptm⊥c, n) =
= (i, (a`pjk)` (b⊥ (ptm⊥c)) , n) = (i, a`pjk` (b⊥ptm⊥c) , n) =
= (i, a, j)`′ (k, b⊥ptm⊥c, n) = (i, a, j)`′
(
(k, b, t)⊥′ (m, c, n)
)
,(
(i, a, j)⊥′ (k, b, t)
)
`′ (m, c, n) = (i, a⊥pjk⊥b, t)`′ (m, c, n) =
= (i, (a⊥pjk⊥b)`ptm`c, n) = (i, ((a⊥pjk)⊥b)`ptm`c, n) =
= (i, (a⊥pjk)` (b`ptm`c) , n) = (i, a`pjk`b`ptm`c, n) =
= (i, a, j)`′ (k, b`ptm`c, n) = (i, a, j)`′
(
(k, b, t)`′ (m, c, n)
)
згiдно з аксiомами трiоїда T та асоцiативнiстю операцiй a, `, ⊥. Це означає, що M
(
I, T ,J ; p
)
задовольняє аксiоми (T4), (T5), (T7), (T8).
Оскiльки алгебра M
(
I, T ,J ; p
)
задовольняє аксiоми (T1) – (T8), то вона є трiоїдом.
Теорему доведено.
6.2. З останньої теореми отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок. Алгебра M
(
I, T ,J ; p
)
задовольняє аксiоми (T1) – (T5), (T7), (T8) трiоїда.
6.3. Використавши позначення з п. 5.1, покажемо, що iснують алгебри M
(
I, T ,J ; p
)
, якi
є трiоїдами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
204 А. В. ЖУЧОК
Твердження. Нехай T — непорожня множина, g ∈ T та
p : T × T → T : (j, i) 7→ (j, i)p = pji = g.
Тодi алгебра M
(
T, T⊥lr , T ; p
)
є трiоїдом.
Доведення. Для всiх (i, a, j) , (k, b, t) , (m, c, n) ∈M
(
T, T⊥lr , T ; p
)
маємо(
(i, a, j)a′ (k, b, t)
)
⊥′ (m, c, n) = (i, aapjkab, t)⊥′ (m, c, n) =
= (i, a, t)⊥′ (m, c, n) = (i, a⊥ptm⊥c, n) = (i, a⊥g⊥c, n) =
= (i, a⊥pjk⊥c, n) = (i, a, j)⊥′ (k, c, n) =
= (i, a, j)⊥′(k, b ` ptm ` c, n) = (i, a, j)⊥′
(
(k, b, t)`′ (m, c, n)) .
Це означає, що M
(
T, T⊥lr , T ; p
)
задовольняє аксiому (T6). Звiдси за теоремою з п. 6.1
M
(
T, T⊥lr , T ; p
)
є трiоїдом.
Твердження доведено.
Кожний трiоїд M
(
I, T ,J ; p
)
називатимемо трiоїдом Рiса. Зауважимо, що трiоїд Рiса уза-
гальнює дiмоноїд Рiса [18] та напiвгрупу Рiса матричного типу над структурною напiвгрупою
[19].
6.4. Як i ранiше, через N будемо позначати множину натуральних чисел.
Наступне твердження дає приклад алгебри M
(
I, T ,J ; p
)
, яка не є трiоїдом.
Твердження. Нехай
p : N× N→ N : (j, i) 7→ (j, i) p = pji = j + i.
Тодi алгебра M
(
N,N+
lr,N; p
)
не є трiоїдом.
Доведення. Для довiльних (i, g, j), (k, h, l), (m, c, n) ∈ M(N,N+
lr,N; p) таких, що l + m 6=
6= j + k, маємо
((i, g, j)a′(k, h, l))⊥′(m, c, n) = (i, gapjkah, l)⊥′(m, c, n) =
= (i, g, l)⊥′(m, c, n) = (i, g + plm + c, n) = (i, g + l +m+ c, n),
(i, g, j)⊥′((k, h, l) `′ (m, c, n)) = (i, g, j)⊥′(k, h ` plm ` c, n) =
= (i, g, j)⊥′(k, c, n) = (i, g + pjk + c, n) = (i, g + j + k + c, n).
Оскiльки l +m 6= j + k, то (i, g + l +m+ c, n) 6= (i, g + j + k + c, n).
Отже, аксiома (T6) трiоїда не виконується для M(N,N+
lr,N; p). Звiдси M(N,N+
lr,N; p) не є
трiоїдом.
Твердження доведено.
6.5. Побудуємо один клас симетричних напiвретракцiй трiоїдiв Рiса.
Нехай T = (T,a,`,⊥) — деякий трiоїд, M(I, T ,J ; p) — трiоїд Рiса (див. п. 6.3), τ —
iдемпотентна напiвретракцiя трiоїда T , α та β — такi iдемпотенти симетричних напiвгруп =(I)
та, вiдповiдно, =(J ), що виконується умова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ 205
pji = pjβ iα, j ∈ J , i ∈ I.
Визначимо перетворення σ[α;β]
τ трiоїда M(I, T ,J ; p), поклавши
(i, a, j)σ[α;β]
τ = (iα, aτ, jβ)
для всiх (i, a, j) ∈M(I, T ,J ; p).
Аналогiчно теоремi з п. 3.4 [18] доводиться наступна теорема.
Теорема. Будь-яке перетворення σ[α;β]
τ трiоїда Рiса M(I, T ,J ; p) є напiвретракцiєю.
7. Трiоїд з деформованими множеннями. У цьому пунктi ми розглянемо питання про
можливiсть узагальнення конструкцiї дiмоноїда з деформованими множеннями [18] на випадок
трiоїда. Встановимо необхiднi та достатнi умови iснування трiоїдiв з деформованими множен-
нями. Наведемо приклади трiоїда з деформованими множеннями та алгебри, що узагальнює
дiмоноїд з деформованими множеннями, але не є трiоїдом. Для трiоїдiв з деформованими
множеннями охарактеризуємо симетричнi напiвретракцiї.
7.1. Нехай (T,a,`,⊥) — довiльний трiоїд, a — довiльний, але фiксований елемент iз T . На
множинi T визначимо операцiї aa,`a та ⊥a за правилами
x aa y = x a a a y, x `a y = x ` a ` y, x⊥ay = x⊥a⊥y
для всiх x, y ∈ T . Алгебру (T,aa,`a,⊥a) позначимо через T aa,`,⊥.
Якщо замiсть (T,a,`,⊥) взяти дiмоноїд (T,a,`) (див. п. 2), то алгебра (T,aa,`a) стає
дiмоноїдом з деформованими множеннями, який уперше був побудований у [18]. Дiмоноїд з
деформованими множеннями є узагальненням напiвгрупи з деформованим множенням [20].
Природним є питання про можливiсть узагальнення дiмоноїда з деформованими множення-
ми на випадок трiоїда. Наступне твердження дає необхiднi та достатнi умови, за якими алгебра
T aa,`,⊥ є трiоїдом.
Теорема. Алгебра T aa,`,⊥ є трiоїдом тодi й лише тодi, коли вона задовольняє аксiому (T6)
трiоїда.
Доведення. Необхiднiсть є очевидною.
Доведемо достатнiсть. Нехай T aa,`,⊥ задовольняє аксiому (T6). Згiдно з [20] операцiї aa,`a
та ⊥a є асоцiативними. Той факт, що T aa,`,⊥ задовольняє аксiоми (T1) – (T3), випливає з леми з
п. 3.5 роботи [18].
Нехай x, y, z ∈ T aa,`,⊥. Тодi
(xaay)aaz = xaaayaaaz = (((xaa)ay)aa)az =
= ((xaa)a (y⊥a))az = (xaa)a (y⊥a⊥z) =
= xaaa (y⊥az) = xaa (y⊥az) ,
(x⊥ay)aaz = (x⊥a⊥y)aaaz =
= ((x⊥a)⊥y)a(aaz) = (x⊥a)⊥ (ya(aaz)) =
= x⊥a⊥ (yaaaz) = x⊥a (yaaz) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
206 А. В. ЖУЧОК
(x`ay)⊥az = (x`a`y)⊥a⊥z = ((x`a)`y)⊥ (a⊥z) =
= (x`a)` (y⊥a⊥z) = x`a` (y⊥az) = x`a (y⊥az) ,
(x⊥ay)`az = (x⊥a⊥y)`a`z =
= ((x⊥a)⊥y)`(a`z) = (x⊥a)` (y`a`z) =
= x` (a`y`a`z) = x`a ` (y`a`z) = x`a (y`az)
згiдно з аксiомами трiоїда (T,a,`,⊥) та асоцiативнiстю операцiй a,`,⊥. Таким чином, аксiоми
(T4), (T5), (T7), (T8) виконуються для T aa,`,⊥.
Оскiльки алгебра T aa,`,⊥ задовольняє аксiоми (T1) – (T8), то вона є трiоїдом.
Теорему доведено.
7.2. З останньої теореми отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок. Алгебра T aa,`,⊥ задовольняє аксiоми (T1) – (T5), (T7), (T8) трiоїда.
7.3. Наступне твердження дає приклад алгебри T aa,`,⊥, яка є трiоїдом.
Твердження. Нехай T⊥lr = (T,a,`,⊥) (див. п. 5.1) та a ∈ T . Тодi алгебра (T,aa,`a,⊥a)
є трiоїдом.
Доведення. Для всiх x, y, z ∈ T маємо
(xaay)⊥az = (xaaay)⊥a⊥z = x⊥a⊥z =
= x⊥a⊥ (y`a`z) = x⊥a⊥ (y`az) = x⊥a (y`az) .
Це означає, що (T,aa,`a,⊥a) задовольняє аксiому (T6). Звiдси за теоремою з п. 7.1
(T,aa,`a,⊥a) є трiоїдом.
Твердження доведено.
Кожний трiоїд T aa,`,⊥ називатимемо трiоїдом з деформованими множеннями. Зауважимо,
що трiоїд з деформованими множеннями узагальнює дiмоноїд з деформованими множеннями
[18] та напiвгрупу з деформованим множенням [20].
7.4. Наведемо приклад алгебри T aa,`,⊥, яка не є трiоїдом.
Твердження. Нехай Frt(X) — вiльний трiоїд рангу 1 (див. п. 4.3), x̄ ∈ X . Тодi алгебра
(Frt(X),ax̄,`x̄,⊥x̄) не є трiоїдом.
Доведення. Для елемента x̄ ∈ X маємо
(x̄ ax̄ x̄)⊥x̄x̄ = (x̄ a x̄ a x̄)⊥x̄⊥x̄ = x̄xx⊥x̄⊥x̄ = x̄xxx̄x̄,
x̄⊥x̄(x̄ `x̄ x̄) = x̄⊥x̄⊥(x̄ ` x̄ ` x̄) = x̄x̄xxx̄.
Оскiльки x̄xxx̄x̄ 6= x̄x̄xxx̄, то (x̄ ax̄ x̄)⊥x̄x̄ 6= x̄⊥x̄(x̄ `x̄ x̄), тобто аксiома (T6) трiоїда не
виконується для (Frt(X),ax̄,`x̄,⊥x̄). Звiдси (Frt(X),ax̄,`x̄,⊥x̄) не є трiоїдом.
Твердження доведено.
7.5. Аналогiчно твердженню з п. 3.6 [18] доводиться наступне твердження.
Твердження. Нехай T aa,`,⊥ — довiльний трiоїд з деформованими множеннями. Якщо iдем-
потентне перетворення τ множини T є напiвретракцiєю трiоїда (T,a,`,⊥), то воно є напiв-
ретракцiєю i трiоїда T aa,`,⊥.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАПIВРЕТРАКЦIЇ ТРIОЇДIВ 207
1. Loday J.-L., Ronco M. O. Trialgebras and families of polytopes // Contemp. Math. – 2004. – 346. – P. 369 – 398.
2. Novelli J.-C., Thibon J.-Y. Construction of dendriform trialgebras // C. r. Acad. sci. A. – 2006. – 6. – P. 365 – 369.
3. Novelli J.-C., Thibon J.-Y. Polynomial realizations of some trialgebras // Formal Power Series and Algebraic
Combinatorics. Series Formelles et Combinatoire Algébrique. San Diego, California. – 2006 // arXiv:math/0605061v1.
4. Casas J. M. Trialgebras and Leibniz 3-algebras // Bol. Soc. mat. mexic. – 2006. – 12, № 2. – P. 165 – 178.
5. Ebrahimi-Fard K. Loday-type algebras and the Rota – Baxter relation // Lett. Math. Phys. – 2002. – 61, № 2. –
P. 139 – 147.
6. Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and related operads: Lect. Notes Math. – Berlin: Springer-Verlag, 2001. – 1763. –
P. 7 – 66.
7. Жучок А. В. Дiалгебри // Математика та її застосування: Працi Iн-ту математики НАН України. – 2011. – 87. –
256 c.
8. Жучок А. В. Димоноиды // Алгебра и логика. – 2011. – 50, № 4. – C. 471 – 496.
9. Жучок А. В. Вiльнi дiмоноїди // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 2. – C. 165 – 175.
10. Жучок А. В. Вiльнi трiоїди // Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. – 2010. – Вип. 4. – C. 23 – 26.
11. Zhuchok A. V. Tribands of subtrioids // Proc. Inst. Appl. Math. and Mech. – 2010. – 21. – P. 98 – 106.
12. Жучок А. В. Некоторые конгруэнции на триоидах // Фундам. и прикл. математика. – 2011/2012. – 17, № 3. –
С. 39 – 49.
13. Усенко В. М. Напiвретракцiї моноїдiв // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2000. –
5. – С. 155 – 164.
14. Жучок А. В. Свободные полугруппы идемпотентов // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. – 2003. – 19, № 4. –
С. 55 – 58.
15. Жучок А. В. Напiвретракцiї вiльних моноїдiв // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. –
2005. – Вып. 11. – C. 81 – 88.
16. Жучок А. В. Вiльнi нормальнi напiвгрупи iдемпотентiв // Труды Ин-та прикл. математики и механики. – 2006. –
Вып. 12. – С. 57 – 62.
17. Усенко В. М. Напiвретракцiї та симетричнi зображення // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. – 2002. –
Вип. 1. – С. 81 – 85.
18. Жучок А. В. Напiвретракцiї дiмоноїдiв // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2008. –
17. – C. 42 – 50.
19. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. – М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 185 с. ; Т. 2. – 422 с.
20. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960. – 592 c.
Одержано 22.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|