Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу
Получено декомпозиционное представление нормы функций многих переменных из пространств BΩp,θ(Rd) и установлены точные по порядку оценки приближений функций из единичных шаров этих пространств целыми функциями экспоненциального типа в пространстве Lq(Rd)....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165304 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу / В.В. Миронюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 244–258. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165304 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653042020-02-14T01:26:23Z Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу Миронюк, В.В. Статті Получено декомпозиционное представление нормы функций многих переменных из пространств BΩp,θ(Rd) и установлены точные по порядку оценки приближений функций из единичных шаров этих пространств целыми функциями экспоненциального типа в пространстве Lq(Rd). We obtain the decomposition representation of the norm of functions of many variables from the spaces BΩp,θ(Rd) and establish the exact order estimates for the approximations of functions from the unit balls of these spaces by entire functions of exponential type in the space Lq(Rd). 2014 Article Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу / В.В. Миронюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 244–258. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165304 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Миронюк, В.В. Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу Український математичний журнал |
| description |
Получено декомпозиционное представление нормы функций многих переменных из пространств BΩp,θ(Rd) и установлены точные по порядку оценки приближений функций из единичных шаров этих пространств целыми функциями экспоненциального типа в пространстве Lq(Rd). |
| format |
Article |
| author |
Миронюк, В.В. |
| author_facet |
Миронюк, В.В. |
| author_sort |
Миронюк, В.В. |
| title |
Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу |
| title_short |
Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу |
| title_full |
Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу |
| title_fullStr |
Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу |
| title_full_unstemmed |
Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу |
| title_sort |
наближення функцій багатьох змінних із класів bωp,θ(rd) цілими функціями експоненціального типу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165304 |
| citation_txt |
Наближення функцій багатьох змінних із класів BΩp,θ(Rd) цілими функціями експоненціального типу / В.В. Миронюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 244–258. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mironûkvv nabližennâfunkcíjbagatʹohzmínnihízklasívbōpthrdcílimifunkcíâmieksponencíalʹnogotipu |
| first_indexed |
2025-07-14T18:18:25Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:18:25Z |
| _version_ |
1837647377223122944 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Миронюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(R
d)
ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНОГО ТИПУ
We obtain the decomposition representation of the norm of functions of many variables from the spaces BΩ
p,θ(Rd) and
establish the exact order estimates for the approximations of functions from the unit balls of these spaces by entire functions
of exponential type in the space Lq(Rd).
Получено декомпозиционное представление нормы функций многих переменных из пространств BΩ
p,θ(Rd) и уста-
новлены точные по порядку оценки приближений функций из единичных шаров этих пространств целыми функци-
ями экспоненциального типа в пространстве Lq(Rd).
Дану роботу присвячено дослiдженню наближення iзотропних класiв BΩ
p,θ(Rd) функцiй бага-
тьох змiнних у просторi Lq(Rd), 1 < q < ∞. В якостi апарату наближення використовуються
цiлi функцiї експоненцiального типу. При цьому суттєве значення має так звана декомпозицiйна
теорема, яку доведено в другому пунктi роботи.
1. Означення класiв функцiй та апроксимативних характеристик. Нехай Rd, d >
> 1, позначає d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i Lq(Rd) — простiр
вимiрних i сумовних у степенi q, 1 6 q <∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞),
функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd). Норма у цьому просторi визначається таким чином:
‖f‖q =
∫
Rd
|f(x) |qdx
1/q
=
∫
Rd
|f(x) |qdx1 . . . dxd
1/q
, 1 6 q <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈Rd
∣∣f(x)
∣∣.
Для f ∈ Lq(Rd) i h ∈ Rd позначимо
∆hf(x) = f(x+ h)− f(x)
i означимо кратну рiзницю порядку l ∈ N функцiї f у точцi x з кроком h згiдно з формулою
∆l
hf(x) = ∆h∆l−1
h f(x), ∆0
hf(x) = f(x).
Кратну рiзницю ∆l
hf(x) також можна записати у виглядi
∆l
hf(x) =
l∑
j=0
(−1)j+lCjl f(x+ jh),
де Cjl — бiномiальнi коефiцiєнти.
Вiдштовхуючись вiд кратної рiзницi ∆l
hf, означимо модуль неперервностi l-го порядку
функцiї f ∈ Lq(Rd), який будемо позначати Ωl(f, t)q, згiдно з формулою
Ωl(f, t)q = sup
|h|6t
∥∥∆l
hf
∥∥
q
,
c© В. В. МИРОНЮК, 2014
244 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 245
де |h| =
√
h2
1 + . . .+ h2
d — евклiдова норма вектора h.
Нехай Ω(t) — функцiя типу модуля неперервностi порядку l, тобто Ω(t) задовольняє такi
умови:
1) Ω(0) = 0, Ω(t) > 0 для t > 0;
2) Ω(t) є неперервною на R+;
3) Ω(t) є неспадною на R+;
4) для всiх n ∈ Z+ Ω(nt) 6 CnlΩ(t), де C > 0 не залежить вiд n i t.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl додатковим умовам, якi опишемо в термiнах двох понять,
уведених С. Н. Бернштейном [1]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞), майже зростає, якщо iснує стала C1 > 0 така, що
ϕ(τ1) 6 C1ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 6 τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞), майже спадає, якщо iснує стала C2 > 0 така, що
ϕ(τ1) > C2ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2.
Будемо вважати, що Ω задовольняє умови (S) та (Sl), якi в лiтературi називають умовами
Барi – Стєчкiна [2]. Це означає наступне:
I) функцiя Ω задовольняє умову (S) з α > 0, якщо
Ω(τ)
τα
майже зростає при τ > 0;
II) функцiя Ω задовольняє умову (Sl), якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що
Ω(τ)
τγ
майже спадає
при τ > 0.
У випадку, коли для Ω виконується умова (S), будемо говорити, що Ω належить множинi
Sα, а якщо виконується умова (Sl), — множинi Sl. Покладемо також Φα, l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Зазначимо, що функцiї Ω ∈ Φα, l, α < l, можуть мати, наприклад, вигляд
Ω(t) =
t
r
(
log+
2
1
t
)β
, t > 0,
0, t = 0,
де log+
2 t = max{1, log2 t}, α < r < l, a β — фiксоване дiйсне число.
Для 1 6 p, θ 6∞ i заданої функцiї Ω типу модуля неперервностi порядку l простiрBΩ
p,θ(Rd)
визначається таким чином:
BΩ
p,θ(Rd) =
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖BΩ
p,θ(Rd) := ‖f‖p + |f |BΩ
p,θ
<∞
}
,
де
|f |BΩ
p,θ
=
+∞∫
0
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
1/θ
, 1 6 θ <∞,
sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
Простiр BΩ
p,θ(Rd) — лiнiйний нормований простiр iз нормою
‖f‖BΩ
p,θ(Rd) = ‖f‖p + |f |BΩ
p,θ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
246 В. В. МИРОНЮК
Якщо Ω(t) = tr, 0 < r < l, то простори BΩ
p,θ(Rd) збiгаються з просторами О. В. Бєсова
Br
p,θ(Rd) [3] i, зокрема, при θ = ∞ та Ω(t) = tr Br
p,∞(Rd) ≡ Hr
p(Rd), де Hr
p(Rd) — простори,
введенi С. М. Нiкольським [4]. Таким чином, простори BΩ
p,θ(Rd) є узагальненням (за гладкiсним
параметром) вiдомих просторiв Нiкольського – Бєсова.
Далi, якщо не стверджується iнше, пiд поняттям „класиBΩ
p,θ(Rd)” будемо розумiти одиничнi
кулi у просторi BΩ
p,θ(Rd), тобто клас BΩ
p,θ(Rd) :=
{
f ∈ Lp(Rd) : ‖f‖BΩ
p,θ(Rd) 6 1
}
.
Для того щоб визначити апроксимативнi характеристики, якi будуть дослiджуватись у ро-
ботi, нагадаємо поняття перетворення Фур’є функцiї f ∈ Lp(Rd), а також цiлої функцiї експо-
ненцiального типу.
Нехай S = S(Rd) — простiр Л. Шварца основних нескiнченно диференцiйовних на Rd
комплекснозначних функцiй ϕ, що спадають на нескiнченностi разом зi своїми похiдними
швидше за будь-який степiнь |x|−1 (див., наприклад, [5], гл. 2). Через S′ позначимо простiр
лiнiйних неперервних функцiоналiв на S. Зазначимо, що елементами простору S′ є узагальненi
функцiї. Якщо f ∈ S′ i ϕ ∈ S, то 〈f, ϕ〉 позначає значення f на ϕ.
Перетворення Фур’є Fϕ : S → S визначається за формулою
(Fϕ)(λ) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(t)e−i(λ,t)dt ≡ ϕ̃(λ),
де λ = (λ1, . . . , λd), t = (t1, . . . , td) i (λ, t) =
∑d
j=1 λjtj — скалярний добуток в Rd векторiв λ
i t.
Обернене перетворення Фур’є F−1ϕ : S → S задається таким чином:
(F−1ϕ)(t) =
1
(2π)d/2
∫
Rd
ϕ(λ)ei(λ,t)dλ ≡ ϕ̂(t).
Перетворення Фур’є узагальненої функцiї f ∈ S′ (для нього ми зберiгаємо те ж позначення)
визначається згiдно з формулою
〈Ff, ϕ〉 = 〈f,Fϕ〉 (або 〈f̃ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̃〉),
де ϕ ∈ S.
Обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї f ∈ S′ також позначимо через F−1f.
Визначається воно аналогiчно до прямого перетворення Фур’є за правилом
〈F−1f, ϕ〉 = 〈f,F−1ϕ〉 (або 〈f̂ , ϕ〉 = 〈f, ϕ̂〉).
Зазначимо, що кожна функцiя f ∈ Lp(Rd), 1 6 p 6 ∞, визначає лiнiйний неперервний
функцiонал на S
〈f, ϕ〉 =
∫
Rd
f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S,
i, як наслiдок, у цьому сенсi є елементом S′. Тому перетворення Фур’є функцiї f ∈ Lp(Rd),
1 6 p 6∞, можна розглядати, як перетворення Фур’є узагальненої функцiї 〈f, ϕ〉.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 247
Носiєм узагальненої функцiї f будемо називати замикання N такої множини точок N ⊂ Rd,
що для довiльної ϕ ∈ S, яка дорiвнює нулю в N, виконується рiвнiсть 〈f, ϕ〉 = 0. Носiй узагаль-
неної функцiї f позначатимемо через supp f. Також говоритимемо, що функцiя f зосереджена
у множинi G, якщо supp f ⊆ G.
Функцiю
g = gν(z) = gν1,...,νd(z1, . . . , zd),
де ν = (ν1, . . . , νd) ∈ Rd+ — невiд’ємний вектор, називають цiлою функцiєю експоненцiального
типу степенiв ν1, . . . , νd по змiнних z1, . . . , zd вiдповiдно (див., наприклад, [6, с. 118]), якщо
вона має такi властивостi:
1) є цiлою функцiєю за всiма змiнними, тобто розкладається у кратний степеневий ряд
g(z) =
∑
k∈Zd+
akz
k =
∑
kj∈Z+
j=1,d
ak1,...,kdz
k1
1 . . . zkdd
зi сталими коефiцiєнтами ak = ak1,...,kd , який абсолютно збiгається для всiх комплексних
z = (z1, . . . , zd);
2) для будь-якого ε > 0 iснує додатне число Cε таке, що для всiх комплексних z =
= (z1, . . . , zd) виконується нерiвнiсть
|g(z)| 6 Cε exp
d∑
j=1
(νj + ε)|zj |.
Далi, нехай A2s =
{
λ : −2s 6 λj 6 2s, j = 1, d
}
, s ∈ Z+; χA — характеристична функцiя
множини A; Dm, m ∈ N, — ядро Дiрiхле вигляду
Dm(x) =
d∏
j=1
sinmxj
xj
.
Тодi для f ∈ Lp(Rd), 1 < p <∞, покладемо
S2s [f,x] =
1
πd
∫
Rd
f(t)D2s(x− t)dt,
f(0) = S20 [f ], f(s) = S2s [f ]− S2s−1 [f ], якщо s ∈ N.
Зазначимо, що у термiнах перетворень Фур’є функцiю S2s [f ] можна записати таким чином:
S2s [f ] = F−1 (χA2s
Ff) .
Дiйсно, оскiльки справджується рiвнiсть (див., наприклад, [6, с. 359])
χA2s
=
(
2
π
)d/2
FD2s ,
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
248 В. В. МИРОНЮК
F−1 (χA2s
Ff) =
(
2
π
)d/2
F−1 (Ff · FD2s) =
(
2
π
)d/2
F−1
(
F(f ∗D2s)
)
=
=
(
2
π
)d/2
〈f ∗D2s , ϕ〉 =
〈
1
πd
∫
Rd
f(t)D2s(x− t)dt, ϕ
〉
=
〈
S2s [f ], ϕ
〉
.
Зауважимо також, що f(s) — цiлi функцiї експоненцiального типу степенiв 2s по кожнiй
змiннiй, якi належать Lp(Rd), 1 < p <∞ (див., наприклад, [7]), причому перетворення Фур’є
f(s) зосереджене в
{
λ : 2s−1 6 maxj=1,d |λj | 6 2s
}
i збiгається там з f̃ . Крiм того, в сенсi
збiжностi у метрицi простору Lp(Rd), 1 < p <∞, справджується рiвнiсть
f =
∞∑
s=0
f(s).
Тепер визначимо апроксимативнi характеристики, якi будуть дослiджуватись у роботi.
Для f ∈ Lq(Rd), 1 < q <∞, розглянемо частинну суму порядку n вигляду
Sn(f) =
n∑
s=0
f(s)
i позначимо
En(f)q =
∥∥f − Sn(f)
∥∥
q
.
Якщо K ⊂ Lq(Rd) — деякий функцiональний клас, то
En(K)q = sup
f∈K
En(f)q. (1)
Нехай далi
Gq(A2n) =
{
g ∈ Lq(Rd) : suppFg ⊆ A2n
}
, n ∈ Z+,
— множина цiлих функцiй експоненцiального типу, якi належать Lq(Rd) i носiй перетворення
Фур’є яких мiститься в A2n . Тодi для f ∈ Lq(Rd) покладемо
En(f)q = inf
g∈Gq(A2n )
‖f − g‖q.
Дана величина називається найкращим наближенням функцiї f у метрицi простору Lq(Rd)
функцiями з Gq(A2n). Вiдповiдно, для функцiонального класу K ⊂ Lq(Rd) покладемо
En(K)q = sup
f∈K
En(f)q. (2)
Зауважимо, що при 1 < q <∞ має мiсце спiввiдношення (див., наприклад, [8])
En(f)q � En(f)q. (3)
Тут i далi запис A � B означає, що iснують додатнi сталi C3 та C4, якi не залежать вiд одного
iстотного по контексту параметра у величинах A та B (наприклад, у спiввiдношеннi (3) — вiд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 249
функцiї f ) i такi, що C3A 6 B 6 C4A. Якщо тiльки B 6 C4A (B > C3A), то пишемо B � A
(B � A).
2. Декомпозицiйне зображення норми функцiй iз просторiв BΩ
p,θ(R
d). В цьому пунктi
встановимо еквiвалентне з точнiстю до абсолютних сталих зображення норми функцiй iз прос-
торiв BΩ
p,θ(Rd). Таке зображення, яке в математичнiй лiтературi називають декомпозицiйним,
буде використовуватися при дослiдженнi апроксимативних характеристик.
При доведеннi основного результату нам будуть потрiбнi два допомiжнi твердження.
Теорема A (див., наприклад, [6, с. 138]). Нехай g — цiла функцiя експоненцiального типу
степенiв 2s по кожнiй змiннiй, яка належить простору Lp(Rd), 1 6 p 6∞. Тодi виконується
нерiвнiсть ∥∥∥∥∥ ∂‖α‖1g(x)
∂xα1
1 . . . ∂xαdd
∥∥∥∥∥
p
6 2s‖α‖1‖g‖p , (4)
де α = (α1, . . . , αd) ∈ Zd+, ‖α‖1 = α1 + . . .+ αd.
Нерiвнiсть (4) називають нерiвнiстю Бернштейна для цiлих функцiй експоненцiального
типу.
Лема A (див., наприклад, [6, с. 131, 221]). Для функцiї f ∈ Lp(Rd), 1 6 p 6∞, має мiсце
порядкова нерiвнiсть
Es(f)p � Ωl(f, 2
−s)p , l ∈ N.
Зауважимо, що з означення просторiвBΩ
p,θ(Rd) випливає, що для f ∈ BΩ
p,θ(Rd) Ωl(f, 2
−s)p →
→ 0 i, отже, за лемою A Es(f)p → 0 при s→∞.
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 1 6 p 6 ∞ i Ω ∈ Φα, l, α > 0, l ∈ N. Функцiя f належить простору
BΩ
p,θ(Rd), 1 6 θ 6∞, тодi i тiльки тодi, коли вона зображується збiжним у метрицi Lp(Rd)
рядом
f =
∞∑
s=0
Qs, (5)
де Qs — цiлi функцiї експоненцiального типу степенiв не вище 2s по кожнiй змiннiй, для яких
виконуються умови( ∞∑
s=0
Ω−θ(2−s)‖Qs‖θp
)1/θ
<∞, якщо 1 6 θ <∞, (6)
i
sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
<∞, якщо θ =∞. (7)
Бiльше того, мають мiсце спiввiдношення
‖f‖BΩ
p,θ(Rd) �
( ∞∑
s=0
Ω−θ(2−s)‖Qs‖θp
)1/θ
при 1 6 θ <∞ (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
250 В. В. МИРОНЮК
i
‖f‖BΩ
p,θ(Rd) � sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
при θ =∞. (9)
Якщо ж, крiм цього, частиннi суми n-го порядку ряду (5) реалiзують найкраще наближення
En(f)p (або принаймнi його порядок), то
‖f‖BΩ
p,θ(Rd) �
( ∞∑
s=0
Ω−θ(2−s)‖Qs‖θp
)1/θ
при 1 6 θ <∞ (10)
i
‖f‖BΩ
p,θ(Rd) � sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
при θ =∞. (11)
Доведення. Необхiднiсть. Нехай f належить простору BΩ
p,θ(Rd) i цiла функцiя gs екс-
поненцiального типу степенiв не вище 2s по кожнiй змiннiй реалiзує найкраще наближення
Es(f)p. Покладемо
Q0 = g0, Qs = gs − gs−1, s = 1, 2, . . . .
Зрозумiло, що тодi Qs — цiлi функцiї експоненцiального типу степенiв не вище 2s по кожнiй
змiннiй, причому в сенсi збiжностi у метрицi простору Lp(Rd) справджується рiвнiсть
f =
∞∑
s=0
Qs.
Встановимо далi нерiвностi (6) та (7). Враховуючи лему A, отримуємо
‖Q0‖p = ‖g0 − f + f‖p 6 ‖g0 − f‖p + ‖f‖p � ‖f‖p ,
‖Qs‖p = ‖gs − gs−1‖p 6 ‖gs − f‖p + ‖f − gs−1‖p � Es−1(f)p �
� Ωl(f, 2
−s+1)p � Ωl(f, t)p , t ∈ (2−s; 2−s+1), s ∈ N.
Звiдси, беручи до уваги нерiвнiсть (a+ b)η 6 2η(aη + bη), де a > 0, b > 0, η > 0, маємо
( ∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
�
‖Q0‖θp +
∞∑
s=1
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ 2−s+1∫
2−s
dt
t
1/θ
�
�
‖f‖θp +
∞∑
s=1
2−s+1∫
2−s
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
1/θ
�
� ‖f‖p +
∞∫
0
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
1/θ
= ‖f‖BΩ
p,θ(Rd) <∞, 1 6 θ <∞, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 251
i
sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
� ‖f‖p + sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
= ‖f‖BΩ
p,∞(Rd) <∞, θ =∞. (13)
Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Достатньо показати справедливiсть спiввiдношень (8) та (9).
Нехай спочатку 1 6 θ <∞. Тодi за допомогою елементарних перетворень можемо записати
1∫
0
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
= ln 2
∞∫
0
(
Ωl(f, 2
−u)p
Ω(2−u)
)θ
du =
= ln 2
∞∑
N=0
N+1∫
N
(
Ωl(f, 2
−u)p
Ω(2−u)
)θ
du�
∞∑
N=0
(
Ωl(f, 2
−N )p
Ω(2−N )
)θ
. (14)
Далi, оскiльки
f =
∞∑
s=0
Qs,
то
Ωl
(
f, 2−N
)
p
6
∞∑
s=0
Ωl
(
Qs, 2
−N)
p
. (15)
Зауважимо, що за допомогою методу математичної iндукцiї по l можна отримати рiвнiсть
∆l
hQs(x) =
1∫
0
. . .
1∫
0
(
h
∂
∂x
)l
Qs
(
x+
l∑
j=1
tjh
)
dt1 . . . dtl, (16)
де h = (h1, . . . , hd) ∈ Rd, h
∂
∂x
= h1
∂
∂x1
+ . . .+ hd
∂
∂xd
.
Застосовуючи послiдовно спiввiдношення (16), узагальнену нерiвнiсть Мiнковського (див.,
наприклад, [6, с. 32]) та нерiвнiсть Бернштейна (4), маємо
Ωl
(
Qs, 2
−N)
p
= sup
|h|62−N
‖∆l
hQs‖p =
= sup
|h|62−N
∥∥∥∥∥∥
1∫
0
. . .
1∫
0
(
h
∂
∂x
)l
Qs
(
x+
l∑
j=1
tjh
)
dt1 . . . dtl
∥∥∥∥∥∥
p
6
6 sup
|h|62−N
1∫
0
. . .
1∫
0
∥∥∥∥∥
(
h
∂
∂x
)l
Qs
(
x+
l∑
j=1
tjh
)∥∥∥∥∥
p
dt1 . . . dtl �
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
252 В. В. МИРОНЮК
� sup
|h|62−N
∑
‖α‖1=l
|h1|α1 . . . |hd|αd
1∫
0
. . .
1∫
0
∥∥∥∥∥∥∥∥
∂‖α‖1Qs
(
x+
∑l
j=1
tjh
)
∂xα1
1 . . . ∂xαdd
∥∥∥∥∥∥∥∥
p
dt1 . . . dtl 6
6
∑
‖α‖1=l
2−N‖α‖1
∥∥∥∥∥ ∂‖α‖1Qs(x)
∂xα1
1 . . . ∂xαdd
∥∥∥∥∥
p
6
6
∑
‖α‖1=l
2(s−N)‖α‖1‖Qs‖p � 2(s−N)l‖Qs‖p , s 6 N, (17)
де α = (α1, . . . , αd) ∈ Zd+, ‖α‖1 = α1 + . . .+ αd.
Якщо s > N, то
Ωl(Qs, 2
−N )p � ‖Qs‖p . (18)
Тепер, беручи до уваги (15), (17) та (18), отримуємо
∞∑
N=0
(
Ωl(f, 2
−N )p
Ω(2−N )
)θ
�
�
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( N∑
s=0
2(s−N)l‖Qs‖p +
∞∑
s=N+1
‖Qs‖p
)θ
�
�
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( N∑
s=0
2(s−N)l‖Qs‖p
)θ
+
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( ∞∑
s=N+1
‖Qs‖p
)θ
=
= I1 + I2. (19)
Оцiнимо далi кожен iз отриманих доданкiв у (19). Виберемо β > 0 i γ > 0 таким чином,
щоб γ + β < l. Тодi згiдно з нерiвнiстю Гельдера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1)
будемо мати
I1 =
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( N∑
s=0
2(s−N)β2(s−N)(l−β)‖Qs‖p
)θ
6
6
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( N∑
s=0
2(s−N)βθ′
)θ/θ′ ( N∑
s=0
2(s−N)(l−β)θ‖Qs‖θp
)θ/θ
�
�
∞∑
N=0
N∑
s=0
(
2(s−N)(l−β)
Ω(2−N )
)θ
‖Qs‖θp =
∞∑
s=0
∞∑
N=s
(
2(s−N)(l−β)
Ω(2−N )
)θ
‖Qs‖θp, (20)
де
1
θ
+
1
θ′
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 253
Далi, згiдно з умовою (Sl), можемо записати
1
Ω(2−N )
� 2(N−s)γ
Ω(2−s)
, N > s,
i тому, вiдповiдно до (20),
I1 �
∞∑
s=0
∞∑
N=s
(
2(s−N)(l−β)
Ω(2−N )
)θ
‖Qs‖θp �
∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ
. (21)
Тепер перейдемо до оцiнювання величини I2. Нехай 0 < δ < α. Тодi знову, використовуючи
нерiвнiсть Гельдера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1), будемо мати
I2 =
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( ∞∑
s=N+1
2(N−s)δ2(s−N)δ‖Qs‖p
)θ
6
6
∞∑
N=0
(
1
Ω(2−N )
)θ( ∞∑
s=N+1
2(N−s)δθ′
)θ/θ′( ∞∑
s=N+1
2(s−N)δθ‖Qs‖θp
)θ/θ
�
�
∞∑
N=0
∞∑
s=N+1
(
2(s−N)δ
Ω(2−N )
)θ
‖Qs‖θp =
∞∑
s=1
s−1∑
N=0
(
2(s−N)δ
Ω(2−N )
)θ
‖Qs‖θp, (22)
де
1
θ
+
1
θ′
= 1.
Далi, згiдно з умовою (S) з α > 0, можемо записати
1
Ω(2−N )
� 2(N−s)α
Ω(2−s)
, N < s,
i тому, вiдповiдно до (22),
I2 �
∞∑
s=1
s−1∑
N=0
(
2(s−N)δ
Ω(2−N )
)θ
‖Qs‖θp �
∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ
. (23)
Отже, враховуючи (14), (19), (21) та (23), отримуємо
1∫
0
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
�
∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ
. (24)
Для подальших мiркувань оцiнимо зверху ‖f‖p та
∫ ∞
1
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
.
Використовуючи нерiвнiсть Гельдера (з вiдповiдною модифiкацiєю при θ = 1) та умову (S)
з α > 0, маємо
‖f‖p 6
∞∑
s=0
‖Qs‖p �
( ∞∑
s=0
Ωθ′(2−s)
)1/θ′ ( ∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
254 В. В. МИРОНЮК
�
( ∞∑
s=0
2−sαθ
′
)1/θ′ ( ∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
�
( ∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
. (25)
Беручи до уваги нерiвнiсть Ωl(f, t)p � ‖f‖p, умову (S) з α > 0 та спiввiдношення (25),
одержуємо
∞∫
1
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
�
∞∫
1
(
‖f‖p
Ω(t)
)θ dt
t
�
∞∫
1
‖f‖θp
tαθ+1
dt�
∞∑
s=0
(
‖Qs‖p
Ω(2−s)
)θ
. (26)
Таким чином, iз (24) – (26) випливає (8).
Нехай тепер θ =∞. Тодi, мiркуючи, як i у випадку 1 6 θ <∞, отримуємо
‖f‖p 6
∞∑
s=0
‖Qs‖p � sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
∞∑
s=0
Ω(2−s)� sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
, (27)
sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
� sup
j∈Z+
Ωl(f, 2
−j)p
Ω(2−j)
+ sup
t>1
Ωl(f, t)p
Ω(t)
�
� sup
j∈Z+
∑∞
s=0
Ωl(Qs, 2
−j)p
Ω(2−j)
+ sup
t>1
‖f‖p
Ω(t)
�
� sup
j∈Z+
j∑
s=0
2(s−j)l‖Qs‖p
Ω(2−j)
+
∞∑
s=j+1
‖Qs‖p
Ω(2−j)
+ sup
t>1
‖f‖p
tαθ+1
�
� sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
sup
j∈Z+
j∑
s=0
2(s−j)lΩ(2−s)
Ω(2−j)
+
∞∑
s=j+1
Ω(2−s)
Ω(2−j)
+ 1
� sup
s∈Z+
‖Qs‖p
Ω(2−s)
. (28)
З (28) та (27) випливає (9) i, таким чином, достатнiсть доведено.
У випадку, коли частиннi суми n-го порядку ряду (5) реалiзують найкраще наближення
En(f)p (або принаймнi його порядок), використовуючи лему A, одержуємо
‖Q0‖p = ‖Q0 − f + f‖p 6 ‖Q0 − f‖p + ‖f‖p � ‖f‖p,
‖Qn‖p =
∥∥∥∥∥
n∑
s=0
Qs −
n−1∑
s=0
Qs
∥∥∥∥∥
p
6
∥∥∥∥∥
n∑
s=0
Qs − f
∥∥∥∥∥
p
+
∥∥∥∥∥ f −
n−1∑
s=0
Qs
∥∥∥∥∥
p
�
� En−1(f)p � Ωl(f, 2
−n+1)p � Ωl(f, t)p, t ∈ (2−n; 2−n+1), n ∈ N.
Але тодi, як показано вище, виконуються порядковi нерiвностi (12) та (13), i тому, беручи до
уваги (8) та (9), отримуємо (10) та (11) вiдповiдно.
Теорему доведено.
Сформулюємо наслiдок з доведеної теореми, який буде використано при доведеннi твер-
дження наступного пункту.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 255
Наслiдок. Нехай 1 < p < ∞ i Ω ∈ Φα, l, α > 0, l ∈ N. Функцiя f належить простору
BΩ
p,θ(Rd), 1 6 θ <∞, тодi i тiльки тодi, коли( ∞∑
s=0
Ω−θ(2−s)‖f(s)‖θp
)1/θ
<∞,
причому
‖f‖BΩ
p,θ(Rd) �
( ∞∑
s=0
Ω−θ(2−s)‖f(s)‖θp
)1/θ
. (29)
Вiдповiдно функцiя f належить простору BΩ
p,∞(Rd) тодi i тiльки тодi, коли
sup
s∈Z+
‖f(s)‖p
Ω(2−s)
<∞,
причому
‖f‖BΩ
p,∞(Rd) � sup
s∈Z+
‖f(s)‖p
Ω(2−s)
.
Зауваження. 1. У випадку Ω(t) = tr, r > 0, тобто для просторiв Br
p,θ(Rd), теорема 1 i
наслiдок були отриманi у роботi [8] (зокрема, при d = 1 — також у [9]).
2. У роботi [10] було встановлено порядковi оцiнки (10) та (11) при умовi, що Qs — де-
якi цiлi функцiї експоненцiального сферичного типу степенiв 2s по кожнiй змiннiй. Також в
одновимiрному випадку (d = 1) наслiдок ранiше було встановлено у статтi [11].
3. Наближення функцiй iз класiв BΩ
p,θ(R
d) цiлими функцiями експоненцiального ти-
пу. В цьому пунктi, з використанням сформульованого вище наслiдку, встановимо точнi за
порядком оцiнки величин En
(
BΩ
p,θ(Rd)
)
q
i En
(
BΩ
p,θ(Rd)
)
q
у випадку 1 < p 6 q <∞.
Перш нiж перейти до формулювання та доведення основного результату, наведемо допомiж-
не твердження.
Теорема Б (див., наприклад, [6, c. 150]). Якщо 1 6 p 6 q 6 ∞, то для цiлої функцiї
експоненцiального типу gν ∈ Lp(Rd), ν = (ν1, . . . , νd), має мiсце нерiвнiсть
‖gν‖q 6 2d
d∏
j=1
νj
1
p−
1
q
‖gν‖p. (30)
Нерiвнiсть (30) називають нерiвнiстю рiзних метрик Нiкольського.
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай 1 < p 6 q < ∞ i Ω ∈ Φα,l, α > d
(
1
p
− 1
q
)
, l ∈ N. Тодi при 1 6 θ 6 ∞
справджуються порядковi оцiнки
En
(
BΩ
p,θ(Rd)
)
q
� En
(
BΩ
p,θ(Rd)
)
q
� Ω(2−n)2
nd
(
1
p−
1
q
)
. (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
256 В. В. МИРОНЮК
Доведення. Спочатку встановимо в (31) оцiнки зверху.
Внаслiдок вкладення BΩ
p,θ(Rd) ⊂ HΩ
p (Rd), 1 6 θ < ∞, яке безпосередньо випливає iз
наслiдку теореми 1, та спiввiдношення (3) нам достатньо отримати оцiнку зверху для величини
En
(
HΩ
p (Rd)
)
q
.
Оскiльки для f ∈ HΩ
p (Rd), згiдно з наслiдком, виконується спiввiдношення ‖f(s)‖p �
� Ω(2−s), то, використовуючи послiдовно нерiвнiсть Мiнковського, нерiвнiсть рiзних метрик
Нiкольського (30) та умову (S) з α > d
(
1
p
− 1
q
)
, отримуємо
∥∥f − Sn(f)
∥∥
q
=
∥∥∥ ∞∑
s=n+1
f(s)
∥∥∥
q
6
∞∑
s=n+1
‖f(s)‖q �
�
∞∑
s=n+1
2
sd
(
1
p−
1
q
)
‖f(s)‖p 6
∞∑
s=n+1
Ω(2−s)2
sd
(
1
p−
1
q
)
=
=
∞∑
s=n+1
Ω(2−s)
2−αs
2
−
(
α−d
(
1
p−
1
q
))
s � Ω(2−n)
2−αn
∞∑
s=n+1
2
−
(
α−d
(
1
p−
1
q
))
s �
� Ω(2−n)2
nd
(
1
p−
1
q
)
.
Оцiнки зверху в (31) встановлено.
Тепер перейдемо до встановлення оцiнок знизу. Оскiльки має мiсце вкладення BΩ
p,1(Rd) ⊂
⊂ BΩ
p,θ(Rd), 1 < θ 6 ∞, яке безпосередньо випливає з наслiдку теореми 1, то з урахуван-
ням (3) достатньо отримати оцiнку знизу для величини En
(
BΩ
p,1(Rd)
)
q
. З цiєю метою для
k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd+ розглянемо функцiю
Hk(x) =
d∏
j=1
Hkj (xj),
де
Hkj (xj) =
√
2
π
(
2 sin
xj
2
cos
2kj + 1
2
xj
)
x−1
j .
Тодi, як зазначено у [12], для перетворення Фур’є функцiї Hk має мiсце спiввiдношення
FHk(x) = χk(x) =
d∏
j=1
χkj (xj),
де
χkj (xj) =
1, kj < |xj | < kj + 1,
1
2
, |xj | = kj або |xj | = kj + 1,
0 − в iнших випадках,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IЗ КЛАСIВ BΩ
p,θ(Rd) ЦIЛИМИ ФУНКЦIЯМИ . . . 257
χ0(xj) =
1, |xj | < 1,
1
2
, |xj | = 1,
0, |xj | > 1.
Вiдповiдно, для оберненого перетворення будемо мати
F−1χk(x) = Hk(x).
Далi покладемо
Fn(x) =
2n+1−1∑
k1=2n
. . .
2n+1−1∑
kd=2n
Hk(x).
У роботi [13] показано, що справджується порядкова оцiнка ‖Fn‖p � 2
nd
(
1−1
p
)
, тому згiдно з
(29)
‖Fn‖BΩ
p,1(Rd) �
∞∑
s=0
Ω−1(2−s)
∥∥(Fn)(s)
∥∥
p
� Ω−1(2−(n+1))‖Fn+1‖p � Ω−1(2−n)2
nd
(
1−1
p
)
. (32)
Звiдси, враховуючи (32), отримуємо, що функцiя
f(x) = C5Ω(2−n)2
nd
(
1
p−1
)
Fn(x)
з деякою сталою C5 > 0 належить класу BΩ
p,1(Rd).
Тепер, оскiльки Sn(f) = 0, то
En
(
BΩ
p,1(Rd)
)
q
> En(f)q =
∥∥f − Sn(f)
∥∥
q
= ‖f‖q �
� Ω(2−n)2
nd
(
1
p−1
)
‖Fn‖q � Ω(2−n)2
nd
(
1
p−1
)
2
nd
(
1−1
q
)
= Ω(2−n)2
nd
(
1
p−
1
q
)
.
Оцiнки знизу в (31) встановлено.
Теорему доведено.
Зауваження. 3. При Ω(t) = tr i вiдповiдних умовах на параметри p, q та r точнi за
порядком оцiнки величин En
(
Br
p,θ(Rd)
)
q
i En
(
Br
p,θ(Rd)
)
q
одержано у роботi [13].
4. Точнi за порядком оцiнки аналогiв величин (1) та (2) для iзотропних класiв Нiкольського –
БєсоваBr
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних та їх узагальненьBΩ
p,θ встановлено у роботах
[14] та [15] вiдповiдно.
1. Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931–1953): Собр. соч. – М.: Изд-во АН СССР, 1954. – 2. –
626 с.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
3. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолже-
ния // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 81.
4. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
258 В. В. МИРОНЮК
5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 c.
6. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
7. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений
классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1969. – 105. – С. 89 – 167.
8. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B
(r)
p,θ и их соотношение с пространствами Соболева
L
(r)
p // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. – С. 1127 – 1152.
9. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
10. Liu Yongping, Xu Cuiqiao. The infinite-dimensional widths and optimal recovery of generalized Besov classes // J.
Complexity. – 2002. – 18. – P. 815 – 832.
11. Стасюк С. А., Янченко С. Я. Найкраще наближення класiв BΩ
p,θ функцiй багатьох змiнних у просторi
Lp(Rd) // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. –
5, № 1. – С. 367 – 384.
12. Wang Heping, Sun Yongsheng. Approximation of multivariate functions with certain mixed smoothness by entire
functions // Northeast. Math. J. – 1995. – 11(4). – P. 454 – 466.
13. Янченко С. Я. Наближення функцiй з класiв Бєсова цiлими функцiями у просторi Lq(Rd) // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 380 – 391.
14. Романюк А. С. Приближение изотропных классов Br
p,θ периодических функций многих переменных в прос-
транстве Lq // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2008. – 5, № 1. – С. 263 – 278.
15. Стасюк С. А. Наближення класiв Bω
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами зi спектром в
кубiчних областях // Мат. студ. – 2011. – 35, № 1. – С. 66 – 73.
Одержано 18.03.13,
пiсля доопрацювання — 11.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|