Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ
Нехай L0(Tm) — множина періодичних вимірних дiйснозначних функцій m змінних, ψ:R1+ → R1+ — модуль неперервності. Досліджується зв'язок між модулями неперервності функцій з Lψ(Tm) і відповідними K-функціоналами, а також отримано достатні умови для вкладення Hωψ(Tm) в Lq(Tm),q∈(0;1]...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165309 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ / Т.А. Агошкова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 291–301. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165309 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653092020-02-14T01:26:24Z Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ Агошкова, Т.А. Статті Нехай L0(Tm) — множина періодичних вимірних дiйснозначних функцій m змінних, ψ:R1+ → R1+ — модуль неперервності. Досліджується зв'язок між модулями неперервності функцій з Lψ(Tm) і відповідними K-функціоналами, а також отримано достатні умови для вкладення Hωψ(Tm) в Lq(Tm),q∈(0;1] Let L0(Tm) be the set of periodic measurable real-valued functions of m variables, let ψ:R1+ → R1+ be the continuity modulus, and let. The relationship between the modulus of continuity of functions from Lψ(Tm) and the corresponding K-functionals is analyzed and sufficient conditions for the imbedding of the classes of functions Hωψ(Tm) into Lq(Tm),q∈(0;1], are obtained. 2014 Article Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ / Т.А. Агошкова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 291–301. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165309 517.5 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Агошкова, Т.А. Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ Український математичний журнал |
| description |
Нехай L0(Tm) — множина періодичних вимірних дiйснозначних функцій m змінних, ψ:R1+ → R1+ — модуль неперервності.
Досліджується зв'язок між модулями неперервності функцій з Lψ(Tm) і відповідними K-функціоналами, а також отримано достатні умови для вкладення Hωψ(Tm) в Lq(Tm),q∈(0;1] |
| format |
Article |
| author |
Агошкова, Т.А. |
| author_facet |
Агошкова, Т.А. |
| author_sort |
Агошкова, Т.А. |
| title |
Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ |
| title_short |
Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ |
| title_full |
Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ |
| title_fullStr |
Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ |
| title_full_unstemmed |
Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ |
| title_sort |
теоремы вложения в метрических пространствах lψ |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165309 |
| citation_txt |
Теоремы вложения в метрических пространствах Lψ / Т.А. Агошкова // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 291–301. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT agoškovata teoremyvloženiâvmetričeskihprostranstvahlps |
| first_indexed |
2025-07-14T18:18:45Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:18:45Z |
| _version_ |
1837647397615828992 |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. А. Агошкова (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Lψ
Let L0 (T
m) be a set of periodic measurable real-valued functions of m variables, let ψ : R1
+ → R1
+ be the continuity
modulus, and let Lψ(Tm) =
{
f ∈ L0(T
m) : ‖f‖ψ :=
∫
Tm
ψ
(
|f(x)|
)
dx <∞
}
. The relationship between the modulus
of continuity of functions from Lψ(T
m) and the corresponding K-functionals is analyzed, and sufficient conditions for the
embedding of classes of functions Hωψ(Tm) into Lq(Tm), q ∈ (0; 1], are obtained.
Нехай L0 (T
m) — множина перiодичних вимiрних дiйснозначних функцiй m змiнних, ψ : R1
+ → R1
+ — модуль
неперервностi, Lψ(Tm) =
{
f ∈ L0(T
m) : ‖f‖ψ :=
∫
Tm
ψ
(
|f(x)|
)
dx <∞
}
. Дослiджується зв’язок мiж модулями
неперервностi функцiй з Lψ(Tm) i вiдповiднимиK-функцiоналами, а також отримано достатнi умови для вкладення
класiв функцiй Hωψ(Tm) в Lq(Tm), q ∈ (0; 1].
1. Введение. Пусть f(x), x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm, m ∈ N, — действительнозначные функции,
имеющие период 1 по каждой переменной; Tm = [0, 1)m — основной тор периодов; L0 ≡
≡ L0(Tm) — множество всех таких функций, которые почти всюду на Tm конечны и измеримы;
Ω — класс функций ψ : R1
+ → R1
+, являющихся модулем непрерывности, т. е. ψ — непрерывная
неубывающая функция, ψ(0) = 0, ψ(x+ y) ≤ ψ(x) + ψ(y) для всех x, y ∈ R1
+.
Обозначим через Lψ ≡ Lψ(Tm) метрическое пространство:
Lψ =
f ∈ L0(Tm) : ‖f‖ψ :=
∫
Tm
ψ
(
|f(x)|
)
dx <∞
.
В случае ψ(t) = tp, 0 < p ≤ 1, получаем пространства Lp(Tm).
Определим для t = (t1, . . . , tm) ∈ Rm разностные формы
Mt f(x) = ft(x)− f(x), где ft(x) = f(x1 + t1, . . . , xm + tm),
Mtiei f(x) = ftiei(x)− f(x), где ftiei(x) = f(x + tiei)
и соответствующие полный и частные модули непрерывности функции f в пространстве Lψ
при h ∈ R1
+ :
ω(f, h)ψ = sup
‖t‖∞≤h
‖ Mt f‖ψ, где ‖t‖∞ := max
1≤i≤m
|ti|,
ωi(f, h)ψ = sup
|ti|≤h
‖ Mtiei f‖ψ, i = 1, . . . ,m,
где ei — m-мерный вектор, i-я координата которого равна 1, а остальные координаты — нули.
Для заданного модуля непрерывности ω(h) через Hωψ ≡ Hωψ(Tm) обозначим класс функций
Hωψ =
{
f ∈ Lψ(Tm) : ∃A ≥ 0 ω(f, h)ψ ≤ Aω(h) ∀h > 0
}
,
c© Т. А. АГОШКОВА, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3 291
292 Т. А. АГОШКОВА
где A — константа, не зависящая от функции f. В случае ω(t) = tα, α ∈ (0, 1], получаем
липшицевый класс функций Λαψ ≡ Λαψ(Tm).
Пусть β(t), t ∈ (0,∞), — произвольная строго положительная всюду конечная функция. Ее
функцией растяжения [1, c. 75] называют функцию Mβ(s), s ∈ (0,∞),
Mβ(s) = sup
0<t<∞
β(st)
β(t)
.
Общие свойства Mβ см. в [1, c. 76]. В случае, когда ψ ∈ Ω, для функции Mψ существует число
γψ (называемое нижним показателем растяжения функции) такое, что:
1) γψ ∈ [0, 1];
2) Mψ(s) ≥ sγψ ∀s ∈ (0, 1];
3) для любого ε > 0 при 0 < s < 1 с некоторой константой Cε
Mψ(s) ≤ Cεsγψ−ε. (1)
Для f ∈ Lψ и h > 0 определим K-функционал следующим образом:
K
(
f, h;Lψ,Λ
1
ψ
)
:= inf
f1+f2=f
(
‖f1‖ψ + h‖f2‖Λ1
ψ
)
,
где ‖f‖Λ1
ψ
:= sups>0
ω(f, s)ψ
s
.
В п. 2 проведено исследование в многомерном случае связи между модулями непрерывнос-
ти в Lψ(Tm) и соответствующими K-функционалами с использованием приближения интер-
поляционными сплайнами нулевого порядка с плавающими узлами. Этот метод доказательства
будет использоваться при исследовании связи между модулями непрерывности в Lψ(Tm) и
L1(Tm), а также в Lψ(Tm) и Lq(Tm), q ∈ (0; 1], в п. 3. Ранее эта идея была использована в [2].
В одномерном случае в шкале пространств Lp при 0 < p < 1 для 1-периодических функций
в [3] получены необходимые и достаточные условия для вложенияHωp ⊂ Lq(0; 1), где 0 < p < 1,
p < q <
p
1− p
.
Важным результатом здесь является неравенство
ω(f, h)q ≤ Cp,q
h∫
0
(
ω(f, x)p
x
)q/p
dx, 0 < h <
1
3
. (2)
В шкале пространств Lψ в одномерном случае для 1-периодических функций С. А. Пичугов
в [2] исследовал задачу о вложении классов функций из Lψ в L1. В результате были получены
достаточное условие вложения Hωψ ⊂ L1(0; 1) и соотношение, аналогичное (2), для функций из
Lψ, γψ > 0 :
ψ
(
ω(f, h)1
h
)
≤ Cψ,h
1∫
0
Mψ(t)
t
ω(f, ht)ψ
ht
dt, 0 < h ≤ 1
2
.
Для классов Λαp эти результаты дают те же теоремы вложения, что и в [3].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Lψ 293
В п. 3 (теорема 2) проведено исследование вложения классов Hωψ в L1 для функций многих
переменных. Полученная теорема для функций одной переменной совпадает с результатами
С. А. Пичугова [2] о вложении классовHωψ в L1. Рассмотрен и более общий случай для функций
многих переменных о вложении классов Hωψ в Lq, 0 < q ≤ 1 (теорема 3). Для функций одной
переменной эта теорема вложения для классов Λαp совпадает с теоремой Э. А. Стороженко [3].
2. K-функционалы и модули непрерывности в Lψ (Tm). Пусть ω(f, h)ψ — наименьшая
выпуклая вверх мажоранта функции ω(f, h)ψ. Заметим, что [1, с. 70] выполняется двойное
неравенство
ω(f, h)ψ ≤ ω(f, h)ψ ≤ 2ω(f, h)ψ. (3)
Теорема 1. Для любой ψ ∈ Ω и любой функции f ∈ Lψ (Tm) при всех h ∈
(
0,
1
2
]
имеют
место неравенства
1
2
ω(f, 2h)ψ ≤ K
(
f, h;Lψ,Λ
1
ψ
)
≤ (m+ 1) ω(f, 2h)ψ. (4)
Доказательство. Левое неравенство в (4) является простым следствием определений. Для
произвольного h > 0
ω(f, 2h)ψ ≤ 2‖f‖ψ, ω(g, 2h)ψ ≤ ‖g‖Λ1
ψ
· 2h, g ∈ Λ1
ψ,
тогда для произвольного g ∈ Λ1
ψ
ω(f, 2h)ψ ≤ ω(f − g, 2h)ψ + ω(g, 2h)ψ ≤ 2‖f − g‖ψ + ‖g‖Λ1
ψ
· 2h,
поэтому
ω(f, 2h)ψ ≤ 2 inf
g∈Λ1
ψ
(
‖f − g‖ψ + h‖g‖Λ1
ψ
)
= 2K
(
f, h;Lψ,Λ
1
ψ
)
.
Поскольку K (f, h) — выпуклая вверх функция аргумента h, то
ω(f, 2h)ψ ≤ 2K
(
f, h;Lψ,Λ
1
ψ
)
.
Докажем правое неравенство в (4) при h =
1
n
, n ∈ N.
Построим специальные сплайн-функции. На каждой из m координатных осей отрезок [0, 1]
разбиваем на отрезки равной длины с помощью n равноотстоящих точек вида
s
n
, s = 0, 1, . . . , n− 1.
С их помощью получаем разбиение (ранга n) основного периода Tm на nm кубов Πj1,...,jm;n
вида
Πj1,...,jm;n =
{
x ∈ Tm :
ji
n
≤ xi <
ji + 1
n
, i = 1, . . . , n
}
,
где ji = 0, 1, . . . , n− 1.
При доказательстве правого неравенства в (4) достаточно ограничиться всюду плотным
множеством непрерывных функций в Lψ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
294 Т. А. АГОШКОВА
Снимем значения с непрерывной функции f в узловой точке
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)
каждого m-
мерного параллелепипеда Πj1,...,jm;n и определим кусочно-постоянную функцию Sn(f, x) :
Sn(f, x) := f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)
χΠj1,...,jm;n
(x), ji = 0, . . . , n− 1, i = 1, . . . ,m, (5)
где χΠj1,...,jm;n
(x) =
{
1, x ∈ Πj1,...,jm;n,
0, x ∈ Πj1,...,jm;n.
Покажем, что Sn(f) принадлежит Λ1
ψ. Пусть h ≤ 1
n
, i = 1, . . . ,m, тогда
∥∥ Mhei Sn(f)
∥∥
ψ
=
n−1∑
j1,...,jm=0
j1+1
n∫
j1
n
. . .
ji+1
n∫
ji+1
n
−h
. . .
jm+1
n∫
jm
n
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
dx1 . . . dxm =
= h
1
nm−1
n−1∑
j1,...,jm=0
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
,
а значит, при h ≤ 1
n
ωi
(
Sn(f), h
)
ψ
= h
1
nm−1
n−1∑
j1,...,jm=0
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
. (6)
Если h >
1
n
, то h можно представить в виде h =
k
n
+ h′, где h′ <
1
n
, k = 1, . . . , n − 1. Тогда,
учитывая (6), получаем
ωi
(
Sn(f), h
)
ψ
= ωi
(
Sn(f),
k
n
+ h′
)
ψ
≤ kωi
(
Sn(f),
1
n
)
ψ
+ ωi
(
Sn(f), h′
)
ψ
≤
≤
(
k
1
nm
+ h′
1
nm−1
) n−1∑
j1,...,jm=0
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
=
= h
1
nm−1
n−1∑
j1,...,jm=0
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
, i = 1, . . . ,m. (7)
Из (7) следует, что
ω
(
Sn(f), h
)
ψ
≤
m∑
i=1
ωi
(
Sn(f), h
)
ψ
≤
≤ h 1
nm−1
m∑
i=1
n∑
j1,...,jm=1
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
f
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
= Ah, (8)
где A — константа, не зависящая от h.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Lψ 295
Для непрерывной функции f
K
(
f,
1
n
;Lψ,Λ
1
ψ
)
=
∫
Tm
K
(
ft,
1
n
;Lψ,Λ
1
ψ
)
dt ≤
∫
Tm
(∥∥ft − Sn(ft)
∥∥
ψ
+
1
n
∥∥Sn(ft)
∥∥
Λ1
ψ
)
dt. (9)
Рассмотрим первое слагаемое в (9):∫
Tm
∥∥ft − Sn(ft)
∥∥
ψ
dt =
=
∫
Tm
n−1∑
j1,...,jm=0
j1+1
n∫
j1
n
. . .
jm+1
n∫
jm
n
ψ
(∣∣∣∣ft(x1, . . . , xm)− ft
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
dx1 . . . dxmdt =
=
∫
Tm
n−1∑
j1,...,jm=0
1
n∫
0
. . .
1
n∫
0
ψ
(∣∣∣∣ft
(
x1 +
j1
n
, . . . , xm +
jm
n
)
− ft
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
dx1 . . . dxmdt =
=
n−1∑
j1,...,jm=0
∫
[0, 1
n)
m
‖ Mx f‖ψdx = nm
∫
[0, 1
n)
m
‖ Mx f‖ψdx ≤
≤ nm ω
(
f,
1
n
)
ψ
1
nm
= ω
(
f,
1
n
)
ψ
. (10)
Для почти всех t, учитывая (8), получаем оценку второго слагаемого в (9):
‖Sn(ft)‖Λ1
ψ
= sup
h>0
ω (Sn(ft), h)ψ
h
≤ 1
nm−1
m∑
i=1
n∑
j1,...,jm=1
ψ
(∣∣∣∣M 1
n
ei
ft
(
j1
n
, . . . ,
jm
n
)∣∣∣∣
)
,
поэтому ∫
Tm
∥∥Sn(ft)
∥∥
Λ1
ψ
dt ≤ 1
nm−1
nm
m∑
i=1
∥∥ M 1
n
ei
f
∥∥
ψ
≤ n
m∑
i=1
ωi
(
f,
1
n
)
ψ
≤
≤ n ·m · ω
(
f,
1
n
)
ψ
. (11)
Теперь из (9) – (11) следует, что
K
(
f,
1
n
;Lψ,Λ
1
ψ
)
≤ ω
(
f,
1
n
)
ψ
+
1
n
n ·mω
(
f,
1
n
)
ψ
= (m+ 1)ω
(
f,
1
n
)
ψ
. (12)
Для произвольного h ∈
(
0,
1
2
]
найдем n ∈ N такое, что
1
2n
≤ h <
1
2n−1
. Тогда, учиты-
вая (12), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
296 Т. А. АГОШКОВА
K
(
f, h;Lψ,Λ
1
ψ
)
≤ K
(
f,
1
2n−1
;Lψ,Λ
1
ψ
)
≤ (m+ 1)ω
(
f,
1
2n−1
)
ψ
≤ (m+ 1)ω (f, 2h)ψ .
Теорема 1 доказана.
3. Связь между модулями непрерывности в Lψ (Tm) и L1 (T
m).
Теорема 2. Пусть γψ > 0 и функция f ∈ Lψ (Tm) такая, что конечен интеграл
1∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, t1/m
)
ψ
t
dt <∞. (13)
Тогда f принадлежит L1(Tm) и для всех h ∈
(
0,
1
2
]
выполняется неравенство
ψ
(
ω(f, h)1
h
)
≤ C
hm−1∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, (ht)1/m
)
ψ
ht
dt, (14)
где константа C зависит от ψ, f, m.
Условие γψ > 0 является существенным, потому что при γψ = 0 получаем Mψ (t) ≡ 1,
t ∈ (0, 1], и (13) невозможно ни для какого нетривиального модуля непрерывности.
Доказательство. Используем связь между модулями непрерывности и K-функционалами
[4] в L1 :
ω(f, h)1 � K
(
f, h;L1,Λ
1
1
)
= inf
f1+f2=f
(∥∥f1
∥∥
1
+ h
∥∥f2
∥∥
Λ1
1
)
, (15)
где � обозначает двустороннее неравенство с положительными константами, не зависящими
от f и h.
Для оценки сверху K-функционала будем использовать аппроксимацию интерполяцион-
ными сплайнами нулевого порядка, определенными в (5) при n = 2k :
S2k(f) = S2k(f, x) := f
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)
χΠ
j1,...,jm;2k
(x), (16)
где ji = 0, 1, . . . , 2k − 1, i = 1, . . . ,m.
Поскольку ω(f, h)1 = ω(ft, h)1, из (15) следует, что
ψ
(
ω(f, h)1
h
)
=
∫
Tm
ψ
(
ω (ft, h)1
h
)
dt ≤ C1
∫
Tm
ψ
(
1
h
K
(
ft, h;L1,Λ
1
1
))
dt ≤
≤ C1
∫
Tm
ψ
(
1
h
∥∥f1,t
∥∥
1
+
∥∥f2,t
∥∥
Λ1
1
)
dt, f1,t + f2,t = ft. (17)
В качестве функций f1,t и f2,t будем выбирать сплайны вида (16). Отметим, что если
функции f и g эквивалентны, то сплайны S2k(ft) и S2k(gt) совпадают при почти всех t. Поэтому
их использование в (17) является корректным.
Пусть h имеет вид h =
1
2n
, n ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Lψ 297
Положим в (17)
f2,t := S2n(ft, x).
Имеет место равенство
ft = S2n(ft) +
∑
k>n
(
S2k(ft)− S2k−1(ft)
)
,
поэтому
f1,t =
∑
k>n
(
S2k(ft)− S2k−1(ft)
)
.
Тогда
∥∥S2k(ft)− S2k−1(ft)
∥∥
1
=
2k−1∑
j1,...,jm=0
∫
Π
j1,...,jm;2k
∣∣S2k(ft, x)− S2k−1(ft, x)
∣∣dx ≤
≤ 1
2mk
2k−1∑
j1,...,jm=0
∣∣∣∣M 1
2k
e ft
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)∣∣∣∣ ,
где e — m-мерный вектор, каждая координата которого равна 1.
Имеем
ψ
(
1
h
‖f1,t‖1
)
= ψ
(
2n
∥∥∑
k>n
S2k(ft)− S2k−1(ft)
∥∥
1
)
≤
∑
k>n
ψ
(
2n
∥∥S2k(ft)− S2k−1(ft)
∥∥
1
)
≤
≤
∑
k>n
ψ
2n−mk
2k−1∑
j1,...,jm=0
∣∣∣∣M 1
2k
e ft
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)∣∣∣∣
≤
≤
∑
k>n
Mψ
(
2n−mk
) 2k−1∑
j1,...,jm=0
ψ
(∣∣∣∣M 1
2k
e ft
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)∣∣∣∣
).
На последнем этапе использовано неравенство ψ(st) ≤ Mψ(s)ψ(t), вытекающее из определе-
ния функции растяжения Mψ(s). Тогда
∫
Tm
ψ (2n‖f1,t‖1) dt ≤
∑
k>n
Mψ
(
2n−mk
) 2k−1∑
j1,...,jm=0
∫
Tm
ψ
(∣∣∣∣M 1
2k
e ft
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)∣∣∣∣
)
dt
=
=
∑
k>n
Mψ
(
2n−mk
) 2k−1∑
j1,...,jm=0
∥∥ M 1
2k
e
f
∥∥
ψ
=
∑
k>n
(
2mkMψ
(
2n−mk
)∥∥ M 1
2k
e
f
∥∥
ψ
)
≤
≤
∑
k>n
(
2mkMψ
(
2n−mk
)
ω
(
f,
1
2k
)
ψ
)
. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
298 Т. А. АГОШКОВА
Далее,
‖f2,t‖Λ1
1
= sup
s>0
ω(f2,t; s)1
s
≤ sup
s>0
∑m
i=1
ωi(f2,t; s)1
s
. (19)
Проводя аналогичные рассуждения, как в (6) и (7), получаем
ωi(f2,t; s)1 ≤ s
1
2n(m−1)
2n−1∑
j1,...,jm=0
∣∣∣∣M 1
2n
ei
ft
(
j1
2n
, . . . ,
jm
2n
)∣∣∣∣ при s > 0. (20)
Из (19), (20) следует, что для почти всех t
‖f2,t‖Λ1
1
≤ 1
2n(m−1)
m∑
i=1
2n−1∑
j1,...,jm=0
∣∣∣∣M 1
2n
ei
ft
(
j1
2n
, . . . ,
jm
2n
)∣∣∣∣ .
Поэтому∫
Tm
ψ
(
‖f2,t‖Λ1
1
)
dt ≤
∫
Tm
Mψ
(
1
2n(m−1)
) m∑
i=1
2n−1∑
j1,...,jm=0
ψ
(∣∣∣∣M 1
2n
ei
ft
(
j1
2n
, . . . ,
jm
2n
)∣∣∣∣
)
dt ≤
≤ 2nmMψ
(
1
2n(m−1)
) m∑
i=1
∥∥ M 1
2n
ei
f
∥∥
ψ
≤ 2nmMψ
(
1
2n(m−1)
) m∑
i=1
ωi
(
f,
1
2n
)
ψ
≤
≤ 2nmmMψ
(
1
2n(m−1)
)
ω
(
f,
1
2n
)
ψ
. (21)
Функция растяжения Mψ(t) при γψ > 0 является модулем непрерывности. Пусть Mψ(t) —
наименьшая выпуклая вверх мажоранта функции Mψ(t). Тогда справедливы соответствующие
неравенства (3).
Из (17), (18), (21), учитывая (3) для h =
1
2n
, n ∈ N, получаем
ψ
(
2nω
(
f,
1
2n
)
1
)
≤ C1
∫
Tm
ψ (2n‖f1,t‖1) dt +
∫
Tm
ψ (‖f2,t‖1) dt
≤
≤ C1
(∑
k>n
2mkMψ
(
2n−mk
)
ω
(
f,
1
2k
)
ψ
+ 2nmmMψ
(
1
2n(m−1)
)
ω
(
f,
1
2n
)
ψ
)
≤
≤ C1m
∑
k≥n
Mψ
(
2n
1
2mk
) ω
(
f,
1
2k
)
ψ
1
2mk
= C1m
∑
k≥n
Mψ
(
2n
1
2mk
)
1
2mk
ω
(
f,
1
2k
)
ψ
1
2k
1
2k
≤
≤ C1m
∑
k≥n
Mψ
(
2n
1
2mk
)
1
2mk
ω
(
f,
1
2k
)
ψ
1
2k
1
2k
≤ C2
1
2n∫
0
Mψ (2nym)
ym
ω (f, y)ψ
y
dy =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Lψ 299
= C2
2n(1−m)∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, (2−nt)
1
m
)
ψ
2−nt
dt.
Последний интеграл конечен по условию (13), следовательно, неравенство (14) доказано для
h =
1
2n
, n ∈ N.
Для произвольного h ∈
(
0,
1
2
]
найдем n ∈ N такое, что
1
2n
≤ h < 1
2n−1
. Тогда
ψ
(
ω(f, h)1
h
)
≤ ψ
(
ω(f, 2−(n−1))1
2−n
)
≤ ψ
(
2
ω(f, 2−n)1
2−n
)
≤Mψ(2)ψ
(
ω(f, 2−n)1
2−n
)
≤
≤ C2Mψ(2)
2n(1−m)∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, (2−nt)1/m
)
ψ
2−nt
dt ≤ 2C2Mψ(2)
hm−1∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, (ht)1/m
)
ψ
ht
dt.
Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Пусть γψ > 0, функция f принадлежит Λαψ(Tm) и α ∈ (0, 1] такое, что
γψ +
α
m
> 1. Тогда f принадлежит L1(Tm) и для любого h ∈
(
0,
1
2
]
и всех положительных ε
таких, что γψ +
α
m
− ε > 1, выполняется неравенство
ψ
(
ω(f, h)1
h
)
≤ Chα−m+(m−1)(γψ−ε),
где константа C зависит от ψ, f, m, α, ε.
Доказательство. Проверим выполнение условия (13). Применяя свойство (1) функции
растяжения Mψ, получаем
1∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, t1/m
)
ψ
t
dt ≤ C1
1∫
0
tγψ−ε−2+
α
mdt.
Последний интеграл конечен, когда γψ +
α
m
− ε > 1, а это возможно при достаточно малых
ε > 0.
Тогда по теореме 2 f принадлежит L1(Tm) и для любого h ∈
(
0,
1
2
]
имеем
ψ
(
ω(f, h)1
h
)
≤ C
hm−1∫
0
Mψ (t)
t
ω
(
f, (ht)1/m
)
ψ
ht
dt ≤ C2h
α
m−1
hm−1∫
0
Mψ (t) t
α
m−2dt ≤
≤ C2h
α
m−1
hm−1∫
0
Cεt
γψ−εt
α
m−2dt = C3h
α
m−1
hm−1∫
0
tγψ+
α
m−2−εdt = C4h
α−m+(m−1)(γψ−ε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
300 Т. А. АГОШКОВА
Для формулировки более общего случая вложений классов функций Hωψ(Tm) в Lq(Tm),
q ∈ (0; 1], нам понадобится следующее определение.
Функцию ϕ(t) на полуоси [0,∞) называют квазивогнутой [1, с. 70], если:
1) ϕ(0) = 0;
2) ϕ(t) положительна и возрастает при t > 0;
3)
ϕ(t)
t
убывает при t > 0.
В частности, для наименьшей вогнутой мажоранты ϕ(t) квазивогнутой функции ϕ(t) вы-
полняются неравенства (3).
Теорема 3. Пусть ψ
(
x1/q
)
— квазивогнутая функция, q ∈ (0; 1], γψ > 0 и для f ∈ Lψ (Tm)
конечен интеграл
1∫
0
Mψ
(
t1/q
)
t
ω
(
f, t1/m
)
ψ
t
dt <∞. (22)
Тогда f принадлежит Lq(T
m) и для всех h ∈
(
0,
1
2
]
выполняется неравенство
ψ
((
ω(f, h)q
h
)1/q
)
≤ C
hm−1∫
0
Mψ
(
t1/q
)
t
ω
(
f, (ht)1/m
)
ψ
ht
dt, (23)
где константа C зависит от ψ, f, m, q.
Доказательство. Пусть Φ(x) = ψ
(
x1/q
)
, x ∈ R1
+. Учитывая (14), получаем
ψ
((
ω(f, h)q
h
)1/q
)
= Φ
(
ω(f, h)q
h
)
≤ C1
∫
Tm
Φ
(
1
h
‖f1,t‖q + ‖f2,t‖Λ1
q
)
dt, f1,t + f2,t = ft.
В качестве f1,t и f2,t рассмотрим функции, используемые при доказательстве теоремы 2.
Пусть Φ(x) — наименьшая выпуклая вверх мажоранта функции Φ(x). Тогда Φ(x) полуад-
дитивна (см., например, [5, c. 111]).
Как и в теореме 2, проводя аналогичные вычисления при h =
1
2n
, n ∈ N, а также учитывая
неравенства (3) и полуаддитивность функции Φ(x), имеем∫
Tm
Φ
(
2n‖f1,t‖q
)
dt ≤
∫
Tm
∑
k>n
2k−1∑
j1,...,jm=0
Φ
[
2n−mk
∣∣∣∣M 1
2k
e ft
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)∣∣∣∣q
]
dt ≤
≤ 2
∫
Tm
∑
k>n
2k−1∑
j1,...,jm=0
ψ
[
2
n−mk
q
∣∣∣∣M 1
2k
e ft
(
j1
2k
, . . . ,
jm
2k
)∣∣∣∣
]
dt ≤
≤ 2
∑
k>n
2mkMψ
(
2
n−mk
q
)
ω
(
f,
1
2k
)
ψ
,
∫
Tm
Φ
(
‖f2,t‖Λ1
q
)
dt ≤ 2m · 2nmMψ
(
2
n(1−m)
q
)
ω
(
f,
1
2n
)
ψ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Lψ 301
Следовательно, получаем неравенство вида (23) при h =
1
2n
, n ∈ N,
ψ
((
ω(f, 2−n)q
2−n
)1/q
)
≤ C1
2n(1−m)∫
0
Mψ
(
t1/q
)
t
ω
(
f, (2−nt)1/m
)
ψ
2−nt
dt,
где последний интеграл конечен по условию (22).
Для произвольного h =
(
0,
1
2n
]
найдем n ∈ N такое, что
1
2n
≤ h < 1
2n−1
. Тогда
ψ
((
ω(f, h)q
h
)1/q
)
≤ ψ
((
ω(f, 2 · 2−n)q
2−n
)1/q
)
≤ ψ
(
21/q
(
ω(f, 2−n)q
2−n
)1/q
)
≤
≤Mψ
(
21/q
)
ψ
((
ω(f, 2−n)q
2−n
)1/q
)
≤Mψ
(
21/q
)
C1
2n(1−m)∫
0
Mψ
(
t1/q
)
t
ω
(
f, (2−nt)1/m
)
ψ
2−nt
dt ≤
≤ C2
hm−1∫
0
Mψ
(
t1/q
)
t
ω
(
f, (ht)1/m
)
ψ
ht
dt.
Теорема 3 доказана.
Следствие 2. Пусть ψ
(
x1/q
)
— квазивогнутая функция, q ∈ (0; 1), γψ > 0, f принадле-
жит Λαψ(Tm) и α ∈ (0, 1] такое, что
γψ
q
+
α
m
> 1. Тогда f принадлежит Lq(T
m) и для любого
h ∈
(
0,
1
2
]
и всех положительных ε таких, что
γψ − ε
q
+
α
m
> 1, выполняется неравенство
ψ
((
ω(f, h)q
h
)1/q
)
≤ Chα−m+(m−1)
γψ−ε
q ,
где константа C зависит от ψ, f, m, α, ε, q.
Автор выражает благодарность С. А. Пичугову, под руководством которого выполнена эта
работа.
1. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
2. Пичугов C. А. Гладкость функций в метрических пространствах Lψ // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 9. –
С. 1214 – 1232.
3. Стороженко Э. А. О некоторых теоремах вложения // Мат. заметки. – 1976. – 19, № 2. – С. 187 – 200.
4. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. – New York: Acad. Press, 1988. – 469 p.
5. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
Получено 24.11.12,
после доработки — 08.12.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|