Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий
Побудовано TOBi комутативш дiаграми точних послщовностей, що пов'язують групи перешкод до перебудов i розщеплень для пари многовидiв. Обчислено групи перешкод до розщеплення i перебудов по парi многовидiв для ряду геометричних дiаграм груп, що ввдповщають задачi розщеплення вздовж однобiчного п...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165315 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий / Ю.В. Муранов, Р. Хименес // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 316–332. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165315 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653152020-02-14T01:26:30Z Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий Муранов, Ю.В. Хименес, Р. Статті Побудовано TOBi комутативш дiаграми точних послщовностей, що пов'язують групи перешкод до перебудов i розщеплень для пари многовидiв. Обчислено групи перешкод до розщеплення i перебудов по парi многовидiв для ряду геометричних дiаграм груп, що ввдповщають задачi розщеплення вздовж однобiчного пiдмноговиду корозмiрностi 1. We construct new commutative diagrams of exact sequences which relate surgery and splitting obstruction groups for pairs of manifolds. The splitting and surgery obstruction groups are computed for pairs of manifolds and various geometric diagrams of groups corresponding to the problem of splitting along a one-sided submanifold of codimension 1. 2014 Article Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий / Ю.В. Муранов, Р. Хименес // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 316–332. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165315 515.163 515.164 515.14 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Муранов, Ю.В. Хименес, Р. Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий Український математичний журнал |
| description |
Побудовано TOBi комутативш дiаграми точних послщовностей, що пов'язують групи перешкод до перебудов i розщеплень для пари многовидiв. Обчислено групи перешкод до розщеплення i перебудов по парi многовидiв для ряду геометричних дiаграм груп, що ввдповщають задачi розщеплення вздовж однобiчного пiдмноговиду корозмiрностi 1. |
| format |
Article |
| author |
Муранов, Ю.В. Хименес, Р. |
| author_facet |
Муранов, Ю.В. Хименес, Р. |
| author_sort |
Муранов, Ю.В. |
| title |
Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий |
| title_short |
Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий |
| title_full |
Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий |
| title_fullStr |
Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий |
| title_full_unstemmed |
Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий |
| title_sort |
группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165315 |
| citation_txt |
Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий / Ю.В. Муранов, Р. Хименес // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 316–332. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT muranovûv gruppyprepâtstvijkrasŝepleniûvdolʹodnostoronnihpodmnogoobrazij AT himenesr gruppyprepâtstvijkrasŝepleniûvdolʹodnostoronnihpodmnogoobrazij |
| first_indexed |
2025-07-14T18:19:09Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:19:09Z |
| _version_ |
1837647425448181760 |
| fulltext |
УДК 515.163, 515.164, 515.14
Ю. В. Муранов (Гроднен. гос. ун-т им. Янки Купалы, Беларусь),
Р. Хименес (Ин-т математики UNAM, отд-ние Оахака, Мексика)
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ
ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ*
We construct new commutative diagrams of exact sequences which relate surgery and splitting obstruction groups for
manifold pairs. We compute splitting obstruction groups and surgery obstruction groups for manifold pairs for various
geometric diagrams of groups which correspond to the problem of splitting along a one-sided submanifold of codimension 1.
Побудовано новi комутативнi дiаграми точних послiдовностей, що пов’язують групи перешкод до перебудов i роз-
щеплень для пари многовидiв. Обчислено групи перешкод до розщеплення i перебудов по парi многовидiв для ряду
геометричних дiаграм груп, що вiдповiдають задачi розщеплення вздовж однобiчного пiдмноговиду корозмiрностi 1.
1. Введение. Пусть Y n−q ⊂ Xn — пара многообразий, n = dim X, n − q = dimY. Простая
гомотопическая эквивалентность n-мерных многообразий f : Mn → Xn расщепляется вдоль
подмногообразия Y, если она гомотопна трансверсальному к Y отображению g с N = g−1(Y ),
которое является простой гомотопической эквивалентностью на подмногообразии N и его до-
полнении. Препятствие к расщеплению лежит в группе LSn−q(F ) (определение приведено
в пункте 1) препятствий к расщеплению. Группы LS∗ определены в классической моногра-
фии Уолла [20]. Группы препятствий к расщеплению тесно связаны с группами препятствий
к перестройкам и являются эффективным инструментом исследования отображений в точной
последовательности теории перестроек Браудера – Новикова – Сулливана – Уолла (см. [17, 20]).
Первая коммутативная диаграмма, связывающая группы препятствий к расщеплению и различ-
ные группы препятствий к перестройкам для пары многообразий, построена Уоллом (см. [20,
с. 264]), который обратил внимание на ее эффективность при вычислениях групп препят-
ствий. В книге [17] (§ 7) построены коммутативные диаграммы точных последовательностей,
связывающие группы препятствий к расщеплению с другими группами препятствий и струк-
турными множествами. Ряд других аналогичных коммутативных диаграмм получен в работах
[2, 7, 9, 14, 15].
В данной работе построены новые коммутативные диаграммы точных последовательнос-
тей, связывающие группы препятствий к перестройкам и расщеплениям для пары многообра-
зий, и вычислены группы препятствий к расщеплению и перестройкам по паре многообразий
для ряда геометрических диаграмм групп (см. [1]), соответствующих задаче расщепления вдоль
одностороннего подмногообразия коразмерности 1. Аналогичные результаты для односторон-
них подмногообразий получены в работах [2, 11, 13, 18].
2. Группы LS∗(Φ) и LP∗(Φ) для пары многообразий. В данной работе рассматриваются
гладкие (кусочно-линейные) многообразия и соответствующая категория расслоений (см. [20]).
Фундаментальная группа π1(X) многообразия X всегда снабжена гомоморфизмом ориентации
π1(X)→ {±1}, задаваемым первым классом Штифеля – Уитни.
Пусть Y n−q — подмногообразие коразмерности q многообразия Xn, U — трубчатая окрест-
ность подмногообразия Y в X, ∂U — граница U. Рассмотрим универсально-отталкивающий
квадрат
* Выполнена при поддержке Conacyt Grant 98697 и Conacyt Grant 98697-151338.
c© Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС, 2014
316 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 317
Φ =
π1(∂U)
α−→ π1(X \ Y )
↓ i ↓ j
π1(U)
β−→ π1(X)
=
A
α−→ C
↓ i ↓ j
B
β−→ D
(2.1)
фундаментальных групп с ориентацией. Гомоморфизм ориентации на группе π1(Y ) может
отличаться от гомоморфизма ориентации на изоморфной ей группе π1(U) (см. [17, с. 564]).
Например, он будет всегда отличаться в случае одностороннего подмногообразия (коразмерно-
сти 1). Простая гомотопическая эквивалентность f : Mn → Xn многообразий размерности n
расщепляется вдоль подмногообразия Y ⊂ X, если в гомотопическом классе отображения f
существует такое отображение g, трансверсальное Y с N = g−1(Y ), что ограничения
g|N : N → Y,
g|M\N : M \N → X \ Y
(2.2)
являются простыми гомотопическими эквивалентностями (см. [17, 20]). Препятствие к расщеп-
лению лежит в группе LSn−q(Φ), функториально зависящей от квадрата Φ фундаментальных
групп с ориентацией и размерностью n − q ( mod 4). Задача расщепления и перестроек па-
ры многообразий определена также для многообразий с границей, при этом предполагается,
что простая гомотопическая эквивалентность (нормальное отображение) уже расщеплена на
границе (см. [3, 17, 20]).
Пусть f : Mn → Xn — нормальное отображение степени 1. Тогда препятствие к сущест-
вованию нормально кобордантного ему отображения g со свойствами (2.2) лежит в группе
LPn−q(Φ), также функториально зависящей от Φ и n− q ( mod 4) (см. [17, 20]).
Рассмотрим ассоциированную пару многообразий Y n−q ⊂ U (см. [17, с. 567]), для которой
квадрат фундаментальных групп в задаче расщепления имеет вид
Ψ =
π1(∂U) −→ π1(∂U)
↓ i ↓ j
π1(U) −→ π1(U)
. (2.3)
В этом случае горизонтальные отображения в квадрате Ψ являются изоморфизмами и опреде-
лена относительная точная последовательность
→ L∗
(
π1(Y )
) i!→ L∗+q−1
(
π1(∂U)
)
→ L∗(i
!)→ L∗−1
(
π1(Y )
)
→, (2.4)
в которой i! — отображение трансфера. Группа LS∗(Ψ) обозначается через LN∗
(
π1(∂U) →
→ π1(U)
)
, и имеет место изоморфизм LP∗(Ψ) ∼= L∗+1(i!). В случае одностороннего подмного-
образия коразмерности 1 группы LN∗ называются группами Браудера – Ливси (см. [5, 6]). Точ-
ная последовательность (2.4) является гомотопической длинной точной последовательностью
корасслоения Ω-спектров (см. [3, 4, 10, 16])
L
(
π1(Y )
) i]−→ Ωq−1L
(
π1(∂U)
)
−→ L(i!), (2.5)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
318 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
πn(L(π1(Y ))) = Ln(π1(Y )), πn
(
L
(
π1(∂U)
))
= Ln
(
π1(∂U)
)
,
πn
(
L(i!)
)
= Ln(i!), πn
(
ΩL(i!)
)
= LPn(Ψ).
Отображение индуцирования, как и трансфер, реализуется на уровне спектров. Для любого
гомоморфизма групп π → G, сохраняющего ориентацию, имеет место корасслоение спектров
L(π)→ L(G)→ L(π → G), (2.6)
где
πn
(
L(π)
)
= Ln(π), πn
(
L(G)
)
= Ln(G), πn
(
L(π → G)
)
= Ln(π → G).
Гомотопическая длинная точная последовательность корасслоения (2.6) дает относительную
точную последовательность L-групп
→ L∗(π)→ L∗(G)→ L∗(π → G)→ L∗−1(π)→ . (2.7)
Вложение подмногообразия Y → U индуцирует отображения трансфера i! и i!rel, входящие
в коммутативную диаграмму
L∗(π1(Y ))
i!rel−→ L∗+q(π1(∂U)→ π1(U))
i! ↘ ↓
L∗+q−1(π1(∂U)),
(2.8)
в которой правое вертикальное отображение является граничным гомоморфизмом из отно-
сительной точной последовательности, аналогичной (2.7), для вложения π1(∂U) → π1(U).
Диаграмма (2.8) также реализуется на уровне спектров (см. [3, 4, 10, 16]), и мы получаем
гомотопически коммутативную диаграмму спектров
L(π1(Y ))
i]rel−−−−→ ΩqL(π(∂U) −→ π1(U)) −−−−→ Ω−1LN(π1(∂U) −→ π1(U)))∥∥∥ y y
L(π1(Y ))
i]−−−−→ Ωq−1L(π1(∂U)) −−−−→ Ω−1LP(Ψ)y y
Ωq−1L(π1(U)) Ωq−1L(π1(U)),
(2.9)
в которой две верхние строки и два правых столбца являются корасслоениями. Отображения в
квадрате Φ индуцируют гомотопически коммутативную диаграмму
L(π1(∂U))
α]−−−−→ L(π1(X \ Y )) −−−−→ L(α)
i]
y j]
y y
L(π1(U))
β]−−−−→ L(π1(X)) −−−−→ L(β)y y y
L(i) −−−−→ L(j) −−−−→ L(Φ),
(2.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 319
строки и столбцы которой являются корасслоениями. Диаграмма (2.10) может быть продол-
жена в горизонтальном и вертикальном направлениях бесконечными корасслоенными после-
довательностями (см. [3, 10, 12]). Группы LP∗(Φ) и LS∗(Φ) реализуются спектрами LP(Φ) и
LS(Φ) соответственно. Связь между различными спектрами в задаче расщепления описана в
следующем предложении (см. [7, 12]).
Предложение 1. Имеют место следующие гомотопически коммутативные диаграммы
спектров, строки и столбцы которых являются корасслоениями:
L(π1(Y ))
i]−−−−→ ΩqL(i) −−−−→ Ω−1LS(Ψ)∥∥∥ y y
L(π1(Y )) −−−−→ ΩqL(j) −−−−→ Ω−1LS(Φ)y y
ΩqL(Φ) ΩqL(Φ),
(2.11)
L(π1(Y ))
i]−−−−→ Ωq−1L(π1(∂U)) −−−−→ Ω−1LP(Ψ)∥∥∥ α]
y y
L(π1(Y )) −−−−→ Ωq−1L(π1(X \ Y )) −−−−→ Ω−1LP(Φ)y y
Ωq−1L(α) Ωq−1L(α),
(2.12)
где L(α) = L
(
π1(∂U) → π1(X \ Y )
)
, LS(Ψ) = LN
(
π1(∂U) → π1(U)
)
, LP(Ψ) = ΩL(i!),
L(β) = L
(
π1(U)→ π1(X)
)
.
Рассмотрим квадрат (2.1) ориентированных групп. Пусть Bw обозначает ориентирован-
ную группу π1(Y ). Группа Bw изоморфна группе B, но может иметь другую ориентацию
(см. [17, с. 564; 20, с. 133]). Следующий результат получен в [20, с. 264] (см. также [3, 14 – 16]).
Теорема 1. Имеет место коса точных последовательностей
→ Ln+1(C) −→ Ln+1(D) −→ LSn−1(Φ)
↗ ↘ ↗ ↘ ↗
Ln+2(j) LPn(Φ) Ln+1(j)
↘ ↗ ↘ ↗ ↘
→ LSn(Φ) −→ Ln(Bw) −→ Ln(C),
(2.13)
которая функториальна по отношению к отображениям квадратов фундаментальных групп,
сохраняющих ориентацию. Диаграмма (2.13) реализуется на уровне спектров.
Гомотопические длинные точные последовательности корасслоений диаграмм (2.11) и (2.12)
дают коммутативные косы точных последовательностей (см. также [16, с. 566; 20, с. 146]):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
320 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
→ Ln+1(Bw) −→ Ln+q+1(j) −→ Ln+q+1(Φ)→
↗ ↘ ↗ ↘ ↗
LSn+1(Φ) Ln+q+1(i) LSn(Φ)
↘ ↗ ↘ ↗ ↘
→ Ln+q+2(Φ) −→ LSn(Ψ) −→ Ln(Bw)→
(2.14)
→ Ln+1(Bw) −→ Ln+q(C) −→ Ln+q(α)→
↗ ↘ ↗ ↘ ↗
LPn+1(Φ) Ln+q(A) LPn(Φ)
↘ ↗ ↘ ↗ ↘
→ Ln+q+1(α) −→ LPn(Ψ) −→ Ln(Bw)→ .
(2.15)
Обозначим через Lrel(Φ) гомотопический кослой отображения L
(
π1(X)
)
−→ L(Φ), яв-
ляющегося композицией отображений из диаграммы (2.10), и пусть Lrel
n (Φ) = πn
(
Lrel(Φ)
)
.
Следующий технический результат потребуется для вычисления групп препятствий.
Предложение 2. Имеют место точные последовательности L-групп
−→ Ln(D) −→ Ln(Φ) −→ Lrel
n (Φ) −→,
−→ Ln(α) −→ Ln−1(B) −→ Lrel
n (Φ) −→,
−→ Ln(i) −→ Ln−1(C) −→ Lrel
n (Φ) −→,
(2.16)
которые реализуются корасслоениями спектров.
Доказательство следует из леммы 2 работы [12].
Теорема 2. Имеют место гомотопически коммутативные диаграммы спектров, строки
и столбцы которых являются корасслоениями:
L(π1(Y ))
i]rel−−−−→ ΩqL(i) −−−−→ Ω−1LS(Ψ)∥∥∥ y y
L(π1(Y )) −−−−→ Ωq−1L(π1(X \ Y )) −−−−→ Ω−1LP(Φ)y y
ΩqLrel(Φ) ΩqLrel(Φ),
(2.17)
Ωq+2L(Φ) −−−−→ LS(Ψ) −−−−→ LS(Φ)y y y
Ωq+1L(α) −−−−→ LP(Ψ) −−−−→ LP(Φ)y y y
Ωq+1L(β) −−−−→ ΩqL(π1(U)) −−−−→ ΩqL(π1(X)).
(2.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 321
Гомотопические длинные точные последовательности отображений диаграмм (2.17) и (2.18)
дают коммутативные диаграммы точных последовательностей
→ Ln+1(Bw) −→ Ln+q(C) −→ Lrel
n+q+1(Φ)→
↗ ↘ ↗ ↘ ↗
LPn+1(Φ) Ln+q+1(i) LPn(Φ)
↘ ↗ ↘ ↗ ↘
→ Lrel
n+q+2(Φ) −→ LSn(Ψ) −→ Ln(Bw)→,
(2.19)
y y y
−−−−→ Ln+q+2(Φ) −−−−→ LSn(Ψ) −−−−→ LSn(Φ) −−−−→y y y
−−−−→ Ln+q+1(α) −−−−→ LPn(Ψ) −−−−→ LPn(Φ) −−−−→y y y
−−−−→ Ln+q+1(β) −−−−→ Ln+q(B) −−−−→ Ln+q(D) −−−−→y y y .
(2.20)
Доказательство. Левый квадрат из (2.9) и левый квадрат из (2.10) дают гомотопически
коммутативную диаграмму
L(π1(Y ))
i]rel−−−−→ ΩqL(π(∂U) −→ π1(U)) −−−−→ ΩqL(π1(X \ Y ) −→ π1(X)))∥∥∥ y y
L(π1(Y ))
i]−−−−→ Ωq−1L(π1(∂U)) −−−−→ Ωq−1L(π1(X \ Y )),
из которой следует левый квадрат в (2.17). Верхнее горизонтальное отображение квадрата вхо-
дит в (2.11), а нижнее — в (2.12). Таким образом мы получили две верхние строки в (2.17).
Правый квадрат в (2.17) универсален, а среднее вертикальное отображение описано в предло-
жении 2. Таким образом, получаем диаграмму (2.17).
Естественное отображение квадратов Ψ → Φ и теорема 1 индуцируют правый верхний
квадрат в (2.18). Теперь диаграмма (2.18) следует из (2.11) и (2.12).
Теорема 2 доказана.
3. Группы LS∗ и LP∗ геометрических диаграмм групп. В этом пункте мы вычислим
группы LS∗, LP∗ и естественные отображения между различными группами препятствий для
широкого класса геометрических диаграмм групп. Рассмотрим следующие коммутативные диа-
граммы групп, возникающие в задаче расщепления вдоль одностороннего подмногообразия:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
322 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
Φ+
r =
Z+ α−→ Z/2r+
↓ i+ ↓ j+
Z+ β−→ Z/2r+1+
, Φ+
s,r =
Z/2s+ α−→ Z/2r+
↓ i+ ↓ j+
Z/2s+1+ β−→ Z/2r+1+
,
Φ−r =
Z+ α−→ Z/2r+
↓ i− ↓ j−
Z− β−→ Z/2r+1−
, Φ−s,r =
Z/2s+ α−→ Z/2r+
↓ i− ↓ j−
Z/2s+1− β−→ Z/2r+1−
.
(3.1)
В диаграммах (3.1) отображения i±, j± являются стандартными вложениями индекса 2 цик-
лических групп, а отображения α, β — стандартными проекциями. Ориентация левой ниж-
ней группы в этих диаграммах соответствует ориентации фундаментальной группы трубча-
той окрестности U подмногообразия Y, как в диаграмме (2.3). Ориентация фундаментальной
группы подмногообразия Y получается посредством изменения этой ориентации на проти-
воположную на образующей циклической группы. Для квадратов из (3.1) можно построить
ассоциированные квадраты в задаче расщепления, переход от квадрата Φ к квадрату Ψ, как
описано в пункте 2 (см. [20]). Мы получим следующие коммутативные квадраты:
Ψ+ =
Z+ =−→ Z+
↓ i+ ↓ i+
Z+ =−→ Z+
, Ψ+
s =
Z/2s+ =−→ Z/2s+
↓ i+ ↓ i+
Z/2s+1+ =−→ Z/2s+1+
,
Ψ− =
Z+ =−→ Z+
↓ i− ↓ i−
Z− =−→ Z−
, Ψ−s =
Z/2s+ =−→ Z/2s+
↓ i− ↓ i−
Z/2s+1− =−→ Z/2s+1−
,
(3.2)
горизонтальные отображения в которых являются изоморфизмами.
Группы Уолла всех групп из квадратов в (3.1) и L∗(1) известны (см. [19, 20]):
n = 0 1 2 3
Ln(1) = Z 0 Z2 0
Ln(Z/2+) = Z2 0 Z2 Z/2
Ln(Z/2−) = Z2 0 Z2 0
Ln(Z+) = Z Z Z2 Z2
Ln(Z−) = Z2 0 Z2 Z2
Ln(Z/2r+) = Z2 ⊕ Σr 0 Σr ⊕ Z2 Z2 (r ≥ 2)
Ln(Z/2r−) = 0 0 Z2 (Z2)2 (r ≥ 2),
(3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 323
где Σr — свободная абелева группа ранга 2r−1 − 1. Группы препятствий к расщеплению (яв-
ляющиеся группами Браудера – Ливси) для квадратов из (3.2) также известны (см. [2, 6, 13]).
Имеют место изоморфизмы
LNn(1→ Z/2+) = Ln+2(1), LNn(1→ Z/2−) = Ln(1), (3.4)
LNn(Z+ → Z±) = 0 ∀ n = 0, 1, 2, 3(mod4),
LNn(Z/2s+ → Z/2s+1±) =
0, n = 2k + 1, s ≥ 1,
Z2s−1
, n = 2k, s ≥ 1.
(3.5)
Предложение 3. Пусть s ≥ 1, s ∈ N. Имеют место следующие изоморфизмы:
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3
LPn(Ψ+) = Z Z2 Z2 Z
LPn(Ψ−) = 0 Z2 Z2 Z2
LPn(Ψ+
0 ) = Z2 Z2 Z2 Z
LPn(Ψ−0 ) = Z Z2 Z2 Z2
LPn(Ψ+
s ) = 0 Σs ⊕ Z2 Z2 Σs ⊕ Z2
LPn(Ψ−s ) = Σs ⊕ Z Z2 Σs ⊕ Z⊕ Z2 0.
Доказательство. Согласно (3.5) (см. [2]) LSn(Ψ±) = 0 ∀n. В этом случае из ком-
мутативной диаграммы (2.20) для случая Φ = Ψ± следует, что имеет место изоморфизм
LPn(Ψ±) = Ln+1(B±). Для квадратов Ψ±0 группы LP∗ известны (см., например, [8, 18]).
Напомним только, что имеет место изоморфизм LPn(Ψ−0 ) = LPn−1(Ψ+
0 ). Для вычисления
группы LP∗(Ψ
+
s ), s ≥ 1, рассмотрим строки диаграммы (2.13) для случая Φ = Ψ+
s , отобра-
жения в которой вычислены в работе [13]. Запишем эту диаграмму полностью, поскольку она
понадобится нам в дальнейшем. Пусть π = Z/2s+, G± = Z/2s+1±, s ≥ 1. Тогда получаем
диаграмму
0 0 0 (Z2)2 Z2∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
→ L1(π) −−−−→ L1(G+)
0−−−−→ LN3 −−−−→ L3(G−)
epi−−−−→ L3(π)
0−→
0
y 0
y 0
y Z2
y 0
y
→ LN0 −−−−→ L0(G−)
0−−−−→ L0(π)
mono−−−−→ L0(G+)
epi−−−−→ LN2
0−→∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
Z2s−1
0 Z2s−1+1 Z2s+1 Z2s−1
(3.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
324 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
Z2 0 0∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
0−−−−→ L3(G+)
0−−−−→ LN1 −−−−→ L1(G−)−→
Z2
y 0
y 0
y
0−−−−→ L2(G−)
0−−−−→ L2(π)
mono−−−−→ L2(G+)
epi−→∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
Z2 Z2s−1−1 ⊕ Z2 Z2s−1 ⊕ Z2,
строки которой являются цепными комплексами с изоморфными гомологиями (см. [13]), ука-
занными на диаграмме между строками. Теперь диаграммный поиск в (2.13) и (3.6) дает группы
LP∗(Ψ
+
s ). Диаграмма, аналогичная (3.6), для квадрата Ψ−s , s ≥ 1, имеет вид
0 0 0 Z2 Z2∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
→L1(π) −−−−→ L1(G−)
0−−−−→ LN3 −−−−→ L3(G+)
∼=−−−−→ L3(π)
0−→
0
y 0
y 0
y 0
y 0
y
→ LN0
mono−−−−→ L0(G+)
epi−−−−→ L0(π) −−−−→ L0(G−) −−−−→ LN2
mono−→∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
Z2s−1 Z2s+1 Z2s−1+1 0 Z2s−1
(Z2)2 0 0∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
0−−−−→ L3(G−)
0−−−−→ LN1 −−−−→ L1(G+)−→
(Z2)2
y 0
y 0
y
mono−−−−→ L2(G+) −−−−→ L2(π)
epi−−−−→ L2(G−)
0−→∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
Z2s−1 ⊕ Z2 Z2s−1−1 ⊕ Z2 Z2.
(3.7)
Теперь диаграммный поиск в (2.13) и (3.6) дает группы LP∗(Ψ
−
s ).
Предложение доказано.
Для удобства ссылок сформулируем результаты об отображениях групп Уолла, индуциро-
ванных отображениями α и β в квадратах в (3.1).
Предложение 4. 1. Индуцированное отображением α : Z+ → Z/2r+, r ≥ 1, отображение
групп Уолла α∗ : Ln(Z+)→ Ln(Z/2r+) задается следующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 325
n = 0, Z→ Z2 ⊕ Σr — мономорфизм на прямое слагаемое,
n = 1, Z→ 0 — тривиально,
n = 2, Z2 → Z2 ⊕ Σr — мономорфизм,
n = 3, Z2 → Z2 — изоморфизм.
2. Индуцированное отображением β : Z− → Z/2r−, r ≥ 2, отображение групп Уолла
β∗ : Ln(Z−)→ Ln(Z/2r−) задается следующим образом:
n = 0, Z2 → 0 — тривиально,
n = 1, 0→ 0 — тривиально,
n = 2, Z2 → Z2 — изоморфизм,
n = 3, Z2 → (Z2)2 — мономорфизм.
3. Индуцированное отображением β : Z/2s+1− → Z/2r+1−, s ≥ r ≥ 1, отображение групп
Уолла является изоморфизмом во всех размерностях.
4. Индуцированное отображением α : Z/2s+ → Z/2r+, s ≥ r ≥ 1, отображение групп Уол-
ла является эпиморфизмом во всех размерностях. В частности, имеют место изоморфизмы
L2k(α) = 0, L2k+1(α) = Σs/Σr.
Доказательство. 1. Для n = 0, 2 результат следует из функториальности, так как L0(1) =
= Z, L2(1) = Z2, и имеет место коммутативная диаграмма
L2k(1) −−−−→ L2k(Z+)∥∥∥ α∗
y
L2k(1) ←−−−− L2k(Z/2r+).
Для n = 3 результат следует из рассмотрения композиции отображений
Z2 = L3(Z+)→ L3(Z/2r+)→ L3(Z+
2 ) = Z2,
индуцированных естественными проекциями. Эта композиция является изоморфизмом соглас-
но предложению 13А.9 работы [20].
2. В размерности 2 результат следует из сохранения Арф-инварианта. В размерности 3
рассмотрим коммутативную диаграмму
Z2 = L3(Z−)
i!−−−−→ L3(Z+) = Z2
β∗
y α∗
y
(Z2)2 = L3(Z/2r−)
j!−−−−→ L3(Z/2r−1+
) = Z2,
(3.8)
в которой горизонтальные отображения являются трансферами для вложений индекса 2 из (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
326 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
Z+ i−→ Z−, Z/2r−1+ j−→ Z/2r−.
Верхнее горизонтальное отображение в (3.8) является изоморфизмом согласно [2], а правое
вертикальное отображение — изоморфизмом согласно [20], как уже упоминалось выше.
3. В размерностях 0 и 1 утверждение тривиально. В размерности 2 результат следует из
пункта 2 и сохранения Арф-инварианта. В размерности 3 группа
L3(Z/2s+1−) = L3(Zπ) = Z2 ⊕ Z2
задается расширением (см. [19])
0 −→ LY0 (Zπ → Ẑ2π) −→ L3(Zπ) −→ LY3 (Ẑ2π)/{Z2} −→ 0,
которое функториально при рассматриваемом отображении L-групп, индуцированном β. Груп-
па LY0 (Zπ → Ẑ2π) изоморфна группе LY0
(
Z[i] → Ẑ2[i]
)
= Z2. Этот изоморфизм согласован с
проекцией (образующая группы π отображается в i), согласно предложению 3.4.1 [19]. Пусть T
— образующая группы π. Группа LY3 (Ẑ2π)/{Z2} ∼= Z2 является эпиморфным образом группы
когомологий Тейта
H0
(
K1(Ẑ2π)/Y
)
∼= Z2 ⊕ Z2,
образующая которой 1 − T + T−1 переходит в образующую LY3 (Ẑ2π)/{Z2} (см. § 3.2 [19]).
Таким образом, правая группа в расширении также отображается изоморфно при отображении,
индуцированном β.
4. В размерности 1 утверждение тривиально. В размерности 3 результат следует из пункта 1.
В размерности 2 прямое слагаемое Z2 задается Арф-инвариантом. Прямое слагаемое Σr ∈
∈ L2k(Z/2s+)
(
соответственно Σs ∈ L2k(Z/2r+)
)
задается группой сигнатур (см. [13] и [19],
§ 2.2, 3.3 ), которая отображается эпиморфно при проекции α. Для группы π (равной Z/2s либо
Z/2r) прямые слагаемые Z⊕ Z ⊂ L0(π) лежат в ядре гомоморфизма (см. [19], § 1.4, 3.3 )
Ls0(Rπ) −−−−→ CLs0(Qπ)
epi
y epi
y
Ls0(R)⊕ Ls0(R)
epi−−−−→ CLs0(Q)⊕ CLs0(Q)∥∥∥ ∥∥∥
4Z⊕ 4Z (mod 2,mod 2)−−−−−−−−−→ Z2 ⊕ Z2.
(3.9)
Верхние вертикальные отображения в (3.9) задаются в рассматриваемом случае отображениями
T → ±1, где T — образующая π. Поскольку проекция α согласуется с этими отображениями,
получаем, что прямое слагаемое Z ⊕ Z ⊂ L0(Z/2s+) отображается изоморфно на прямое
слагаемое Z⊕ Z ⊂ L0(Z/2r+).
Предложение доказано.
Нам потребуется результат, который следует непосредственно из следствия 1 работы [2].
Лемма 1. 1. Относительная точная последовательность для вложения i+ : Z+ −→ Z+
индекса 2 имеет вид
L0(Z+)
∼=−→ L0(Z+)
0−→ L0(i+)
∼=−→ L3(Z+)
0−→ L3(Z+)
∼=−→ L3(i+)
0−→
0−→ L2(Z+)
∼=−→ L2(Z+)
0−→ L2(i+)
0−→ L1(Z+)
×2−→ L1(Z+)
epi−→ L1(i+)
0−→ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 327
В частности, группа Ln(i+) изоморфна Z2, Z2, 0,Z2 для n = 0, 1, 2, 3 соответственно.
2. Относительная точная последовательность для вложения i− : Z+ −→ Z− индекса 2
имеет вид
L0(Z+)
epi−→ L0(Z−)
0−→ L0(i−)
∼=−→ L3(Z+)
0−→ L3(Z−)
∼=−→ L3(i−)
0−→
0−→ L2(Z+)
∼=−→ L2(Z−)
0−→ L2(i−)
∼=−→ L1(Z+)
0−→ L1(Z−)
0−→ L1(i−)
×2−→ .
В частности, группа Ln(i−) изоморфна Z2, Z, Z, Z2 для n = 0, 1, 2, 3 соответственно.
Лемма 2. 1. Нижняя точная последовательность в (2.16) для квадрата Φ+
r , r ≥ 1, имеет
вид
L0(i+)
∼=−→ L3(Z/2r+)
0−→ Lrel
0 (Φ+
r )
∼=−→ L3(i+)
0−→ L2(Z/2r+)
∼=−→ Lrel
3 (Φ+
r )
0−→
0−→ L2(i+)
0−→ L1(Z/2r+)
0−→ Lrel
2 (Φ+
r )
∼=−→ L1(i+)
0−→ L0(Z/2r+)
∼=−→ Lrel
1 (Φ+
r )
0−→ .
Группа Lrel
n (Φ+
r ), r ≥ 1, изоморфна Z2, Σr⊕Z2, Z2, Σr⊕Z2 для n = 0, 1, 2, 3 соответственно.
2. Нижняя точная последовательность в (2.16) для квадрата Φ−r , r ≥ 1, имеет вид
L0(i−)
∼=−→ L3(Z/2r+)
0−→ Lrel
0 (Φ−r )
∼=−→ L3(i−)
0−→
0−→ L2(Z/2r+)
mono−→ Lrel
3 (Φ−r )
epi−→ L2(i−)
0−→
0−→ L1(Z/2r+)
0−→ Lrel
2 (Φ−r )
0−→ L1(i−)
Coker=Z⊕Z2⊕Σr−→ L0(Z/2r+)
epi−→ Lrel
1 (Φ−r )
0−→ .
Группа Lrel
n (Φ−r ), r ≥ 1, изоморфна Z2, Σr ⊕ Z ⊕ Z2, Z, Σr ⊕ Z ⊕ Z2 для n = 0, 1, 2, 3 соот-
ветственно.
Доказательство. Для квадрата (2.1) отображение Ln(i) → Ln−1(C) в нижней точной
последовательности в (2.16) является композицией отображений
Ln(i) −→ Ln−1(A) −→ Ln−1(C),
где первое отображение из относительной точной последовательности для вложений i описано
в лемме 1, а второе отображение, индуцированное α, — в предложении 4.
Теорема 3. Пусть s ≥ r ≥ 1, s, r ∈ N. Имеют место следующие изоморфизмы:
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3
LPn(Φ+
r ) = Z2 Σr ⊕ Z2 Z2 Σr ⊕ Z2
LPn(Φ−r ) = Z Σr ⊕ Z⊕ Z2 Z2 Σr ⊕ Z⊕ Z2
LPn(Φ+
s,r) = 0 Σr ⊕ Z2 Z2 Σr ⊕ Z2
LPn(Φ−s,r) = H Z2 H ⊕ Z2 0,
где H ∼= (Σs ⊕ Σs/Σr)⊕ Z — свободная абелева группа ранга 2s − 2r−1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
328 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму (2.19) для случая Φ = Φ±r . В
этом случае Ψ = Ψ±. Следовательно, все группы LS∗(Ψ
±) тривиальны согласно (3.5) (см. [2])
и имеет место изоморфизм LPn(Φ±r ) ∼= Lrel
n+2(Φ±r ). Теперь результат для квадратов Φ±r следует
из леммы 2. Для квадрата Φ+
s,r рассмотрим естественное отображение квадратов
Φ+
s,r → Ψ+
r , (3.10)
индуцирующее коммутативную диаграмму
Ln+1(Z/2r+) −−−−→ LPn(Φ+
s,r) −−−−→ Ln(Z/2s+1−) −−−−→ Ln+1(Z/2r+)∥∥∥ y β∗
y ∥∥∥
Ln+1(Z/2r+) −−−−→ LPn(Ψ+
r ) −−−−→ Ln(Z/2r+1−) −−−−→ Ln+1(Z/2r+),
(3.11)
строки которой являются точными последовательностями (см. также [14]). Согласно предложе-
нию 4 отображение β∗ в (3.11) является изоморфизмом во всех размерностях, следовательно,
во всех размерностях имеет место изоморфизм Ln(Φ+
s,r)→ Ln(Ψ+
r ), индуцированный отобра-
жением квадратов (3.10).
Рассмотрим точную последовательность
→ Ln+2(α)→ LPn(Ψ−s )→ LPn(Φ−s,r)→
из диаграммы (2.20) для квадрата Φ−s,r. Она имеет вид
L2(α)[= 0] −→ LP0(Ψ−s ) [= Σs ⊕ Z]
mono−→ LP0(Φ−s,r)
epi−→ L1(α) [= Σs/Σr]
0−→
0−→ LP3(Ψ−s ) [= 0] −→ LP3(Φ−s,r) −→ L0(α)[= 0] −→ LP2(Ψ−s ) [= Σs ⊕ Z⊕ Z2]
mono−→
mono−→ LP2(Φ−s,r)→ L3(α) [= Σs/Σr]
?−→ LP1(Ψ−s ) [= Z2]
epi−→ LP1(Φ−s,r)
0−→ . (3.12)
Для завершения доказательства достаточно убедиться, что группа LP1(Φ−s,r) изоморфна Z2,
следовательно, отображение, обозначаемое знаком ?, тривиально. Рассмотрим вторую точную
последовательность из (2.16). Мы получаем
Σs/Σr Z2 ? 0∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
L3(α) −−−−→ L2(Z/2s+1−) −−−−→ Lrel
3 (Φ−s,r) −−−−→ L2(α).
(3.13)
Группа Σs/Σr в (3.13) естественно отождествляется с подгруппой группы сигнатур Σs, как
следует из предложения 4. А эта группа сигнатур при отображении, индуцированном i, триви-
ально отображается в Z2 ∈ L2(Z/2s+1−), задаваемое Арф-инвариантом. Таким образом, левое
горизонтальное отображение в (3.13) тривиально и Lrel
3 (Φ−s,r) = Z2. Теперь рассмотрим точную
последовательность, входящую в (2.19):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 329
0 ? Z2 Σs ⊕ Z∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
LS1(Ψ−s ) −−−−→ LP1(Φ−s,r) −−−−→ Lrel
3 (Φ−s,r) −−−−→ LS0(Ψ−s ).
(3.14)
Поскольку правая группа в (3.14) свободна, LP1(Φ−s,r) изоморфна Z2.
Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть s ≥ r ≥ 1, s, r ∈ N. Имеют место следующие изоморфизмы:
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3
LSn(Φ+
r ) = Σr+1/Σr 0 (Σr+1/Σr)⊕ Z2 0
LSn(Φ−r ) = 0 Σr ⊕ Z⊕ Z2 0 Σr ⊕ Z⊕ Z2
LSn(Φ+
s,r) = Σr+1/Σr 0 Σr+1/Σr 0
LSn(Φ−s,r) = H 0 H 0,
где H ∼= (Σs ⊕ Σs/Σr)⊕ Z — свободная абелева группа ранга 2s − 2r−1.
Доказательство. Для квадрата Φ = Φ+
r рассмотрим точную последовательность
→ Ln+1(Φ)→ Ln(i+)
φ+n−→ Ln(j+)→ . (3.15)
Группы Ln(i+) даны в лемме 1. Из диаграммы (3.6) получаем, что имеют место изоморфизмы
Ln(j+) = (Σr+1/Σr)⊕ (Z2)2, 0, Σr+1/Σr,Z2
для n = 0, 1, 2, 3 (mod4) соответственно. Рассмотрим коммутативную диаграмму
L0(i+)
∼=−−−−→ L3(Z+) Z2
φ+0
y ∼=
yα∗
L0(j+)
epi−−−−→ L3(Z/2r+) Z2,
в которой верхнее отображение является изоморфизмом по лемме 1, а правое вертикальное
отображение — изоморфизмом по предложению 4. Следовательно, φ+
0 — мономорфизм. Рас-
смотрим коммутативную диаграмму
L3(Z+)
∼=−−−−→ L3(i+) Z2
∼=
yβ∗ φ+3
y
L3(Z/2r+1+
)
∼=−−−−→ L3(j+) Z2,
в которой верхнее отображение является изоморфизмом по лемме 1, левое вертикальное отоб-
ражение — изоморфизмом по предложению 4, а нижнее горизонтальное отображение следует
из предложения 3. Следовательно, φ+
3 — изоморфизм. Отображения φ+
2 и φ+
1 , очевидно, будут
тривиальны, так как одна из групп тривиальна. Теперь из точной последовательности (3.15)
получаем изоморфизмы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
330 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
L2k+1(Φ+
r ) = 0, L0(Φ+
r ) = Z2r−1 ⊕ Z2
и расширение
Σr+1/Σr ? Z2∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
0 −−−−→ L2(j+) −−−−→ L2(Φ+
r ) −−−−→ L1(i+) −−−−→ 0.
(3.16)
Рассмотрим часть точной последовательности для квадрата Φ = Φ+
r
0 ? Σs/Σr∥∥∥ ∥∥∥ ∥∥∥
L0(β) −−−−→ L2(Φ+
r )
mono−−−−→ L1(α),
относительные группы в которой получены в предложении 4. Следовательно, L2(Φ+
r ) является
подгруппой свободной абелевой группы, и из (3.16) следует, что L2(Φ+
r ) ∼= Σr+1/Σr. В част-
ности, последовательность (3.16) не расщепляется. Поскольку группы LSn(Ψ±) тривиальны
для любого n, из диаграммы (2.16) получаем изоморфизм
LSn(Φ+
r ) ∼= Ln+2(Φ+
r ).
Для квадрата Φ = Φ−r рассмотрим точную последовательность, аналогичную (3.15). Пусть
φ−n : Ln(i−) −→ Ln(j−) (3.17)
— отображение относительных групп из этой последовательности. Группы Ln(i−) даны в лем-
ме 1. Из диаграммы (3.7) получаем, что имеют место изоморфизмы
Ln(j−) = Z2, Σr ⊕ Z2, 0, Σr ⊕ (Z2)2
для n = 0, 1, 2, 3 (mod 4) соответственно. Аналогично предыдущему случаю получаем, что
отображение в (3.17) является изоморфизмом при n = 0, мономорфизмом при n = 3, триви-
ально при n = 2, является мономорфизмом с коядром Σr ⊕ Z2 ⊕ Z2. Следовательно,
L2k(Φ
−
r ) = 0, L2k+1(Φ−r ) = Σr ⊕ Z2 ⊕ Z2.
Далее, как и выше, имеет место изоморфизм
LSn(Φ−r ) ∼= Ln+2(Φ−r ).
Для квадрата Φ = Φ+
s,r рассмотрим точную последовательность
→ Ln(Bw)
ψ+
n−→ Ln+1(j+)→ LSn−2(Φ)→ (3.18)
из диаграммы (2.13). Группы Ln(Bw) = Ln(Z/2s+1−) даны в (3.3), а группы L∗(j+) описаны
выше в доказательстве. Отсюда непосредственно следует, что отображение ψ+
n тривиально при
n = 0, 1. При n = 2 имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
ГРУППЫ ПРЕПЯТСТВИЙ К РАСЩЕПЛЕНИЮ ВДОЛЬ ОДНОСТОРОННИХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 331
L2(Z/2s+1−)
i]−−−−−→∼= L3(i+)
∼=←−−−− L2(Z/2s+1+
) = Z2∥∥∥ y ∼=
yβ∗
L2(Z/2s+1−)
ψ+
2−−−−→ L3(j+)
∼=←−−−− L2(Z/2r+1+
) = Z2.
(3.19)
Верхнее левое горизонтальное отображение в (3.19) — трансфер, который является изомор-
физмом согласно диаграмме (3.7). Среднее и правое вертикальные отображения индуцированы
горизонтальными отображениями квадрата Ψ+
s,r. Правое вертикальное отображение является
изоморфизмом, так как сохраняет Арф-инвариант. Следовательно, отображение ψ+
2 — изомор-
физм. Теперь из (3.18) следует, что
LS0(Φ+
s,r) = Σr+1/Σr, LS1(Φ+
s,r) = 0
и имеет место точная последовательность
0→ LS3(Φ+
s,r)→ L3(Z/2s+1−)[= (Z2)2]→ L0(j+)→ LS2(Φ+
s,r)→ 0. (3.20)
При n = 3 естественное отображение квадратов Φ+
s,r → Ψ+
r индуцирует коммутативную диа-
грамму
Z2 ⊕ Z2∥∥∥
L3(Z/2s+1−)
i]−−−−−→
mono
L0(i+)
∼=
y y
L3(Z/2r+1−)
j]−−−−−→
mono
L0(j+),
(3.21)
диагональное отображение в которой есть ψ+
3 . Горизонтальные отображения в (3.21) являются
мономорфизмами, как следует из (3.6). Левое вертикальное отображение в (3.21) индуцировано
проекцией и является изоморфизмом по предложению 4. Следовательно, ψ+
3 — мономорфизм.
Теперь из (3.20) получаем
LS3(Φ+
s,r) = 0, LS2(Φ+
s,r) = Σr+1/Σr.
Для квадрата Φ = Φ−s,r рассмотрим точную последовательность
→ LPn(Φ)
ξn−→ Ln+1(D)→ LSn−1(Φ)→ (3.22)
из диаграммы (2.13), где D = Z/2r+1−. Группы LPn(Φ−s,r) получены в теореме 3, а группы
L∗(Z/2r+1−) даны в (3.3). Отсюда непосредственно следует, что отображение ξn тривиально
при n = 0, 3. При n = 1 имеет место коммутативная диаграмма
LP1(Ψ−s )
∼=−−−−→ L2(Z/2s+1−) = Z2
∼=
y ∼=
yβ∗
LP1(Φ−s,r)
ξ1−−−−→ L2(Z/2r+1−) = Z2,
(3.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
332 Ю. В. МУРАНОВ, Р. ХИМЕНЕС
в которой вертикальные отображения индуцированы отображением квадратов Ψ−s → Φ+
s,r. Все
отображения в (3.23), кроме ξ1, описаны выше. Следовательно, ξ1 — изоморфизм. Диаграмма,
аналогичная (3.23), в размерности n = 2 дает, что ξ2 является эпиморфизмом и кручение
отображается мономорфно. Теперь из (3.22) получаем
LS2k+1(Φ−s,r) = 0, LS2k(Φ
−
s,r) = H,
где H ∼= (Σs ⊕ Σs/Σr)⊕ Z — свободная абелева группа ранга 2s − 2r−1.
Теорема доказана.
1. Ахметьев П. М. Расщепления гомотопических эквивалентностей вдоль одностороннего подмногообразия
коразмерности 1 // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1987. – 51. – С. 211 – 241.
2. Ахметьев П. М., Муранов Ю. В. Препятствия к расщеплению многообразий с бесконечной фундаментальной
группой // Мат. заметки. – 1996. – 60, вып. 2. – С. 163 – 175.
3. Bak A., Muranov Yu. V. Splitting along submanifolds, and L-spectra // Sovrem. Mat. Prilozh. Topol., Anal. Smezh.
Vopr. – 2003. – № 1. – S. 3 – 18.
4. Bak A., Muranov Yu. V. Normal invariants of manifold pairs and assembly maps // Mat. Sb. – 2006. – 197, № 6. –
S. 3 – 24.
5. Browder W., Livesay G. R. Fixed point free involutions on homotopy spheres // Bull. Amer. Math. Soc. – 1967. –
73. – P. 242 – 245.
6. Cappell S. E., Shaneson J. L. Pseudo-free actions. I // Lect. Notes Math. – 1979. – 763. – P. 395 – 447.
7. Cavicchioli A., Muranov Yu. V., Spaggiari F. Relative groups in surgery theory // Bull. Belg. Math. Soc. Simon
Stevin. – 2005. – 12, № 12. – P. 109 – 113.
8. Cavicchioli A., Muranov Yu. V., Spaggiari F. Surgery on pairs of closed manifolds // Czechoslovak Math. J. – 2009. –
59, № 134. – P. 551 – 571.
9. Cencelj M., Muranov Yu. V., Repovs D. On structure sets of manifold pairs // Homology, Homotopy and Appl. –
2009. – 11. – P. 195 – 222.
10. Hambleton I., Ranicki A., Taylor L. Round L-theory // J. Pure and Appl. Algebra. – 1987. – 47. – P. 131 – 154.
11. Hegenbarth F., Muranov Yu. V., Repovš D. Browder – Livesay invariants and the example of Cappell and Shaneson //
Milan J. Math. – 2012. – 80.
12. Muranov Yu. V. Obstruction groups to splitting and quadratic extensions of antistructures // Izv. RAN. Ser. mat. –
1995. – 59. – S. 107 – 132.
13. Муранов Ю. В., Харшиладзе А. Ф. Группы Браудера – Ливси абелевых 2-групп // Мат. сб. – 1990. – 181, № 8. –
С. 1061 – 1098.
14. Muranov Yu. V., Repovš D. Obstruction groups for surgeries and splitting for a pair of manifolds // Mat. Sb. –
1997. – 188, № 3. – S. 127 – 142.
15. Muranov Yu. V., Repovš D. LS-groups and morphisms of quadratic extensions // Mat. Zametki. – 2001. – 70. –
S. 419 – 424.
16. Ranicki A. A. The total surgery obstruction // Lect. Notes Math. – 1979. – 763. – P. 275 – 316.
17. Ranicki A. A. Exact sequences in the algebraic theory of surgery // Math. Notes. – Princeton, N. J.: Princeton Univ.
Press, 1981. – 26.
18. Ruini B., Spaggiari F. On the computation of L-groups and natural maps // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. –
2002. – 72. – P. 297 – 308.
19. Wall C.T.C. Classification of Hermitian forms. VI. Group rings // Ann. Math. – 1976. – 103. – P. 1 – 80.
20. Wall C.T.C. Surgery on compact manifolds. – Second ed. – Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1999.
Получено 27.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 3
|