Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
Встановлено асимптотичні оцінки розв'язків сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками.
Збережено в:
Дата: | 2013 |
---|---|
Автори: | , , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
Назва видання: | Український математичний журнал |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165321 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / К.А. Касымов, Д.Н. Нургабыл, А.Б. Уаисов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 629–641. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-165321 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1653212020-02-15T01:26:15Z Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных Касымов, К.А. Нургабыл, Д.Н. Уаисов, А.Б. Статті Встановлено асимптотичні оцінки розв'язків сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками. We establish asymptotic estimates for the solutions of singularly perturbed boundary-value problems with initial jumps. 2013 Article Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / К.А. Касымов, Д.Н. Нургабыл, А.Б. Уаисов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 629–641. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165321 917.926 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Статті Статті |
spellingShingle |
Статті Статті Касымов, К.А. Нургабыл, Д.Н. Уаисов, А.Б. Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных Український математичний журнал |
description |
Встановлено асимптотичні оцінки розв'язків сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками. |
format |
Article |
author |
Касымов, К.А. Нургабыл, Д.Н. Уаисов, А.Б. |
author_facet |
Касымов, К.А. Нургабыл, Д.Н. Уаисов, А.Б. |
author_sort |
Касымов, К.А. |
title |
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных |
title_short |
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных |
title_full |
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных |
title_fullStr |
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных |
title_full_unstemmed |
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных |
title_sort |
асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2013 |
topic_facet |
Статті |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165321 |
citation_txt |
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / К.А. Касымов, Д.Н. Нургабыл, А.Б. Уаисов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 629–641. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT kasymovka asimptotičeskieocenkirešeniâkraevojzadačisnačalʹnymskačkomdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmalymparametrompriproizvodnyh AT nurgabyldn asimptotičeskieocenkirešeniâkraevojzadačisnačalʹnymskačkomdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmalymparametrompriproizvodnyh AT uaisovab asimptotičeskieocenkirešeniâkraevojzadačisnačalʹnymskačkomdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmalymparametrompriproizvodnyh |
first_indexed |
2025-07-14T18:19:33Z |
last_indexed |
2025-07-14T18:19:33Z |
_version_ |
1837647448015634432 |
fulltext |
© К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ. А. Б. УАИСОВ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 629
УДК 917.926
К. А. Касымов (Ин-т математики и механики Каз. нац. ун-та, Алматы, Казахстан),
Д. Н. Нургабыл (Жетысус. гос. ун-т, Талдыкорган, Казахстан),
А. Б. Уаисов (Ин-т математики и механики Каз. нац. ун-та, Алматы, Казахстан)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ
We obtain asymptotic estimates for solutions of singularly perturbed boundary-value problems with initial jumps.
Встановлено асимптотичнi оцiнки розв’язкiв сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками.
Для довольно широкого класса сингулярно возмущенных задач были разработаны эффектив-
ные асимптотические методы, позволяющие строить равномерные приближения с любой точ-
ностью [1 – 8].
Вместе с тем для широкого класса сингулярно возмущенных краевых задач выбор надле-
жащего метода для построения решений или их асимптотических приближений без предвари-
тельного исследования оказывается весьма затруднительным. Анализ показывает, что к таким
задачам можно отнести и краевые задачи, для которых характерно наличие начального скачка.
Наиболее общие результаты в этом направлении получены в [9 – 11].
Однако в указанных работах рассматривается случай, когда малый параметр содержится
только при старшей производной. Естественно возникает вопрос о выделении новых классов
краевых задач, имеющих начальный скачок. Именно это и является целью настоящей работы.
1. Постановка задачи. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение высшего по-
рядка с малым параметром при производных
L!y! ! " ! !rAn+r (t)
dn+r y
dt n+rr=1
m
# + Ak (t)
dky
dt kk=0
n
# ! = !h(t), 0 ! t ! 1, (1)
с краевыми условиями
diy
dt i t=0
! = !!i , i = 0,!l " 1 , d
iy
dt i t=1
! = !i , i = 0,! p ! 1, (2)
где ! > 0 — малый параметр, !i , !i — постоянные, An+m (t) = 1, m + n = l + p.
В настоящей работе устанавливаются асимптотические оценки и характер роста производ-
ных решения задачи (1), (2) при ! " 0 , выделяется класс краевых задач, имеющих начальный
скачок.
Потребуем выполнения следующих условий:
10. Функции Ai (t) !Cn+m+1([0,1]) , i = 0,!n + m , h(t) !C([0,1]).
20. Функция An (t) удовлетворяет неравенству An (t) ! 0, 0 ! t ! 1.
630 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
30. Дополнительное характеристическое уравнение
µ
m + An+m!1(t)µm!1 +…+ An+1(t)µ + An (t)! = !0
имеет m различных корней µ1,… ,!µm с отрицательными вещественными частями, причем
m < l . Пусть l ! m = n1.
40. Справедливо J0 = det ! ij " 0 , где элементы ! ij = u j0
i"1( )(0) , j = 1,!n , i = 1,!l , ! l+i, j =
= u j0
(i!1)(1), j = 1,!n , i = 1,! p , составлены на основе фундаментальной системы решений u10 (t),
u20 (t),… ,!un0 (t) уравнения
L0y = 0 . (3)
Пусть W (t) — вронскиан фундаментальной системы решений уравнения (3), тогда
W (t) ! 0, t ![0,1].
50. Имеет место
!0 ! = ! "i#1
Ji
(n1)(0)
J0
+ $i#1
Jn1+i
(n1) (0)
J0i=1
p
% #
Jn1+i
(n1) (0)
J0
Wt
(i#1)(1, s)
W (s)An (s)
h(s)ds
0
1
&
i=1
n2
%
i=1
n1
% # "n1 ! ' !0 , (4)
где Jk
(n1)(0) — определитель n -го порядка, полученный из J0 заменой k строки на строку
u10
(n1)(0),!…!,!un0
(n1)(0) , определитель Wt
(q)(t, s) получается из W (s) заменой n -й строки на
строку u10
(q)(t),!u20
(q)(t),!…!,!un0
(q)(t).
2. Фундаментальная система решений. Наряду с уравнением (1) рассмотрим соответст-
вующее однородное возмущенное уравнение
L!y! = !0 . (5)
Лемма 1. Пусть выполнены условия 10 – 30. Тогда для фундаментальной системы реше-
ний !yi (t, !), i!=!1,!n + m , сингулярно возмущенного однородного уравнения (5) справедливы
следующие асимптотические при ! " 0 представления:
!yi
(q)(t, !)! = !ui0
(q)(t) + O(!), i = 1,!n, q!=!0,!n + m " 1,
!yn+r
(q) (t, s)! = ! 1
!q
exp 1
!
µr
0
t
" (x)dx
#
$
%
&
'
( un+r (t)µrq (t) +O(!)( ) , (6)
r = 1,!m, q = 0,!n + m ! 1,
где u10 (t),!u20 (t),!…!,!un0 (t) — фундаментальная система решений уравнения (3), un+r (t) ≠
≠ 0, t ![0,1].
Доказательство леммы непосредственно следует из известной теоремы Шлезингера –
Биркгофа –Нуайона (см., например, [7, с. 29 – 34]).
В качестве фундаментальной системы решений уравнения (5) возьмем
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 631
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
yi (t, !)! = ! !yi (t, !), i = 1,!…!,!n, yn+s (t, !)!! = !!n1 !yn+s (t, !), s = 1,!…!,!m , (7)
где n1 = l ! m , p = n ! n1 = n2 . Составим определитель Вронского W (t, !) системы реше-
ний (7). С учетом (6) и (7) вынесем функции !n1 exp 1
!
µi (x)dx
0
t
"
#
$
%
&
'
( , i = 1,!…!,!m , за знак
определителя W (t, !) . Тогда получим
W (t, !)! = !!" exp 1
!
µ(x)dx
s
t
#
$
%
&
'
(
) *(t, !),
где µ = µ1 +…+ µm , ! = n1m , !(t, ") = det !ij (t, ") — определитель n + m( )-го порядка, эле-
менты которого имеют вид
!ij (t, ")! = !
u j0
(i#1)(t) +O("), j = 1,…, n, i = 1,…, n + m,
1
"i#1
u j0 (t)µ j#n
i#1 +O(")( ), j = n + 1,…, n + m, i = 1,…, n + m.
$
%
&
'
&
&
Теперь исследуем асимптотическое представление определителя !(t, "). Раскладываем
!(t, ") по всем возможным минорам первых n столбцов. Все эти миноры имеют нулевой
порядок по ! . Поэтому в сумме произведений всех этих миноров на их алгебраические
дополнения доминирующим членом !(t, ") будет то произведение, в котором алгебраическое
дополнение имеет наименьший порядок по ! . В силу (6), (7) порядок главного члена элемен-
тов одного и того же столбца, занимающего с n + 1( )-й по n + m( )-ю строки, начиная с первой
строки убывает по мере роста номера строки. Следовательно, алгебраическое дополнение
главного минора n -го порядка w! (t), расположенного в левом верхнем углу, имеет наимень-
ший порядок по ! . Поэтому доминирующий член определителя !(t, ") получается умноже-
нием минора w! (t) на его алгебраическое дополнение, которое мы обозначим через D(t, !).
Тогда, используя представления (6) и (7), для !(t, ") получаем
!(t, ")! = !w" (t)D(t, ") + O
1
"#$1
%
&'
(
)* , (8)
где ! =
2n + m " 1( )m
2
. Определитель w! (t) и алгебраическое дополнение D(t, !) в первом
приближении при достаточно малых ! представимы в виде
w! (t)! = !W (t) + O(!), D(t, !)! = !("1)n(n+1)
1
!#
$(t)%(t) 1+O(!)( ), (9)
где n(n + 1) — четное число; !(t) = un+k (t)µkn (t)k=1
m" ; !(t) — определитель Вандермонда
для корней µ1,!…!,!µm , который отличен от нуля на 0 ! t ! 1, так как эти корни попарно
различны и отличны от нуля. Согласно процедуре определения функции un+1(t),!…!,!un+m (t)
также отличны от нуля на отрезке 0,1[ ]. Теперь, учитывая представления (9), из (8) имеем
632 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
!(t, ")! = ! 1
"#
W (t) $(t)%(t) 1+O(")( )! & !0 .
Тогда
W (t, !)! = ! !
"
!#
W (t) $(t)%(t) exp 1
!
! µ(x)dx
s
t
&
'
(
)
*
+
, 1+O(!)( )! - !0 . (10)
3. Функция Коши и граничные функции.
Определение 1. Функция K t, s, !( ), определенная при 0 ! t, s ! 1, называется функ-
цией Коши, если она по t удовлетворяет однородному уравнению (5) и при t = s — началь-
ным условиям
K ( j ) s, s, !( )! = !0, j = 0,!n + m " 2, K (n+m"1) s, s, !( )! = !1.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены условия 10 – 30. Тогда при достаточно малых ! функция
Коши K t, s, !( ) при 0 ! t, s ! 1 существует, единственна и выражается формулой
K (t, s, !)! = !W (t, s, !)/W (s, !), (11)
где W (t, s, !) — определитель n + m( )-го порядка, получаемый из вронскиана W (s, !) заме-
ной n + m( )-й строки фундаментальной системой решений y1(t, !) , y2 (t, !), … , yn+m (t, !)
уравнения (5).
Лемма 2. Если выполнены условия 10 – 30 , то при достаточно малых ! > 0 функция
Коши K t, s, !( ) при 0 ! s ! t ! 1 представима в виде
Kt
(q)(t, s, !)! = !!m Wt
(q)(t, s)
W (s)An (s)
+
!n"1
!q
#(q)(t, s, !)
#(s)
+ O ! +
!n
!q
#(q)(t, s, !)
#(s)
$
%&
'
()
'
(
)
$
%
& , (12)
где Wt
(q)(t, s) — определитель из (4), а !(q)(t, s, ") — определитель m-го порядка, полу-
ченный из !(s) заменой m-й строки на строку
exp 1
!
µ1(x)dx
s
t
"
#
$%
&
'(
un+1(t)µ1
q (t)
un+1(s)µ1n (s)
,!…!,!!exp 1
!
µm (x)dx
s
t
"
#
$%
&
'(
un+m (t)µmq (t)
un+m (s)µmn (s)
.
(13)
Доказательство. Из (11) определим Wt
(q)(t, s, !) . С учетом (6) и (7) вынесем за знак
определителя Wt
(q)(t, s, !) функции !n1 exp 1
!
µi (x) dx0
s
"#
$%
&
'( , i = 1,…,m . Тогда получим
Wt
(q)(t, s, !)! = !!" exp 1
!
! µ(x)dx
s
t
#
$
%
&
'
(
) *(q)(t, s, !), (14)
где !(q)(t, s, ") — определитель n + m( )-го порядка, полученный из !(s, ") заменой n + m( )-й
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 633
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
строки на строку y1
(q)(t, !),!…!,!yn(q)(t, !),!vn+1(t, s, !),!…!,!vn+m (t, s, !) , причем функции
vn+ j (t, s, !) при достаточно малых ! представимы в виде
vn+ j (t, s)! = !
1
!q
exp 1
!
µ j
s
t
" (x)dx
#
$
%
&
'
( un+ j (t)µ j
q (t) +O(!)( ) , j = 1,!m, q = 0,!n + m ) 1.
(15)
Раскладывая !(q)(t, s, ") по элементам n + m( )-й строки, получаем
!(q)(t, s, ")! = !y1
(q)(t, ")Mn+m,1(s, ") +…+ yn1
(q)(t, ")Mn+m,n1 (s, ") +
+ vn+1(t, s, !)Mn+m, n+1(s, !) +…+ vn+m (t, s, !) Mn+m, n+m (s, !) . (16)
Исследуя теперь алгебраические дополнения Mn+m, j (s, !) так же, как и при выводе фор-
мул (8) – (10), находим
Mn+m, j (s, !)! = !
("1)n+m+ j !m#(s)$(s)
!% µk (s)k=1
m&
Wnj (s) +O(!)( ) , j = 1,!…!,!n , (17)
где Wnj (s) — определитель n ! 1( )-го порядка, полученный из определителя W (s) вы-
черкиванием n -й строки и j -го столбца; !(t) — определитель Вандермонда для корней
µ1,!…!,!µm .
Аналогичным образом для Mn+m,n+ j (s, !) получаем представление
Mn+m, n+ j (s, !)! = !("1)2n+m+ j !
n+m"1#(s)W (s)
!$
%mj (s)
un+ j (s)µ j
n (s)
+O(!)
&
'
(
)
*
+ , j = 1,m , (18)
где !mj (s) — определитель m ! 1( )-го порядка, полученный из определителя Вандермонда
!(s) вычеркиванием m-й строки и j -го столбца.
С учетом (6), (7), (15), (17), (18), а также формулы An (s) = (!1)m µk (s)k=1
m"
разложе-
ние (16) примет вид
!(q)(t, s, ")! = ! "
m#(s)
"$
Wt
(q)(t, s)%(s)
An (s)
+
"n&1
"q
%(q)(t, s, ")W (s) + O " +
"n
"q
W (s)%(q)(t, s, ")
'
()
*
+,
*
+
,
'
(
) ,
(19)
где !(q)(t, s, ") — определитель m-го порядка, который получается из определителя !(s)
заменой m-й строки на строку (13).
Теперь, используя представление (19) и формулы (8), (14), из (13) при достаточно малых !
получаем искомую оценку (12).
Лемма доказана.
Определение 2. Функции !k (t, ") , k = 1, n + m , называются граничными функциями
краевой задачи (1), (2), если они удовлетворяют однородному уравнению (5) и краевым
условиям
634 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
!k
( j"1)(0, #)! = !1 при k = j , j = 1, l ,
!k
( j"1)(0, #)! = !1 при k ! j , j = 1, l , k = 1, n + m ,
(20)
!k
( j"1)(1, #)! = !1 при k = l + j , j = 1, p ,
!k
( j"1)(1, #)! = !0 при k ! l + j , j = 1, p , k = 1, n + m .
Рассмотрим определитель J(!) = det "ij , i, j = 1, n + m , где элементы
!ij ! = !y j
i"1( )(0, #), j = 1, n + m, i = 1, l ,
!ij ! = !y j
(i"l"1)(1, #), j = 1, n + m, i = l + 1, l + p ,
в силу (6) и (7) представимы в виде
!ij ! = !u j0
i"1( )(0) +O(#), j = 1, n, i = 1, l ,
!l+i, j ! = !u j0
(i"1)(1) +O(#), j = 1, n, i = 1, p ,
(21)
!i,n+ j ! = !
"n1
"i#1
un+ j,0 (0)µ j
i#1(0) +O(")( ) , j = 1,m, i = 1, l ,
!l+i,n+ j = ! !
n1
!i"1
un+ j,0 (1)µ j
i"1(1) +O(!)( ) exp 1
!
µ j (x)dx
0
1
#
$
%
&
'
(
) = o(!N ), j = 1,m, i = 1, p .
Здесь N — любое натуральное число.
Теперь с учетом (21) будем раскладывать J(!) по всем возможным минорам первых n
столбцов. Все эти миноры имеют нулевой порядок по ! . Тогда в сумме произведений всех
этих миноров на их алгебраические дополнения доминирующим членом J(!) будет то
произведение, в котором алгебраическое дополнение имеет наименьший порядок по ! .
Алгебраическое дополнение минора J0 (!) порядка n , расположенного в первых n столб-
цах и строках с номерами 1 ! k ! n1 , l + 1 ! k ! l + n2 , имеет наименьший порядок по ! , так
как в силу (6), (7) порядок элементов определителя J(!) , занимающих строки с первой по
l -ю и столбцы с n + 1( )-го по n + m( )-й, убывает по мере роста номера строки.
Следовательно, доминирующий член определителя J(!) получается умножением минора
J0 (!) на его алгебраическое дополнение D(!) , и поэтому определитель J(!) в первом при-
ближении равен произведению определителей J0 (!) и D(!):
J(!)! = !J0 (!)D(!) +O
1
!"1#1
$
%&
'
() .
Здесь !1 =
m(m " 1)
2
, определители D(!) и J0 (!) при достаточно малых ! имеют вид
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 635
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
J0 (!)! = !J0 +O(!) , D(!)! = !("1)mn2
1
!#1
$(0)%(0) +O(!)( ) , (22)
где J0 ! 0 , !(0) = s=1
m" un+s (0)µsn1 (0) и !(0) = ! µ1(0),!…!,!µm (0)( ) отличны от нуля.
Тогда для определителя J(!) с учетом (22) при достаточно малых ! на отрезке 0 ! t ! 1
имеет место представление
J(!)! = !("1)mn2 J0
!#1
$(0)%(0) 1+O(!)( )! & !0 . (23)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 10– 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 гра-
ничные функции !i (t, ") , i = 1, n + m , на отрезке [0,1] существуют, единственны и выра-
жаются формулой
!i (t, ")! = !Ji (t, ")/J("), i = 1, n + m , (24)
где Ji (t, !) — определитель, полученный из J(!) заменой i -й строки фундаментальной
системой решений yk (t, !), k = 1, n + m , уравнения (5).
Отметим, что функция Коши K t, s, !( ) и граничные функции !i (t, ") , i = 1, n + m , не
зависят от выбора фундаментальной системы решений уравнения (5).
Лемма 3. Если выполнены условия 10 – 40, то граничные функции !i (t, ") , i = 1, n + m , на
отрезке 0 ! t ! 1 имеют асимптотические при ! " 0 представления
!i
(q)(t, ")! = !
Ji
(q)(t)
J0
# "n1#q
$1
(q)(t)
$(0)
Ji
(n1)(0)
J0
+ O " + "n1#q+1
$1
(q)(t)
$(0)
%
&'
(
)*
, i = 1, n1 , (25)
!n1+m+i
(q) (t, ")! = !
Jn1+i
(q) (t)
J0
#
"n1
"q
$1
(q)(t)
$(0)
Jn1+m+i
(n1) (0)
J0
+ O " +
"n1+1
"q
$1
(q)(t)
$(0)
%
&'
(
)*
, i = 1, n2 , (26)
!n1+i
(q) (t, ")! = !"i
Jn1
(q)(t)
J0
# i
#(0)
$
"n1$1
"q
# i
(q)(t)
#(0)
+ O " +
"n1
"q
# i
(q)(t)
#(0)
%
&'
(
)*
%
&
''
(
)
**
, i = 1,m , (27)
q = 0,!n + m ! 1,
где Jk
(q)(t) — определитель n -го порядка, полученный из J0 заменой k -й строки на
строку u10
(q)(t),!u20
(q)(t),!…!,!un0
(q)(t); ! i — определитель m-го порядка, получаемый из опреде-
лителя Вандермонда !(0) заменой i -й строки на строку µ1!1(0),!…!,!µm!1(0) ; ! i
(q)(t) —
определитель m-го порядка, который получается из определителя !(0) заменой i -й
строки на строку
exp 1
!
! µ1(x)dx
0
t
"
#
$
%
&
'
(
un+1(t)µ1
q (t)
un+1(0)µ1n (0)
,!…!,!exp 1
!
! µm (x)dx
0
t
"
#
$
%
&
'
(
un+m (t)µmq (t)
un+m (0)µmn (0)
. (28)
636 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
Доказательство. Разложим определитель Ji
(q)(t, !) , i = 1, n1, q = 0, n + m ! 1, по эле-
ментам i -й строки, состоящей из фундаментальной системы решений yk
(q)(t, !) , k = 1, n + m ,
q = 0, n + m ! 1, уравнения (5):
Ji
(q)(t, !)! = ! ("1)i+ j
j=1
n
# y j
(q)(t, !)Mij (!) + ("1)i+n+ j
j=1
m
# yn+ j
(q) (t, !)Min+ j (!), i = 1, n1 . (29)
Разложим определитель Mij (!) по всем возможным минорам первых n ! 1 столбцов.
При достаточно малых ! доминирующий член определителя Mij (!) получается умножением
минора Jij (!) порядка n ! 1, расположенного в первых n ! 1 столбцах и строках с номерами
1 ! k ! n1 " 1, l ! k ! l + n2 " 1, на его алгебраическое дополнение D(!) . Тогда для определи-
теля Mij (!) в первом приближении справедливо представление
Mij (!)! = !("1)mn2 Jij (!)D(!) +O
1
!#1"1
$
%&
'
()
$
%&
'
()
,
причем минор Jij (!) в силу (6), (7) при достаточно малых ! имеет вид
Jij (!)! = !Jij +O(!) . (30)
Здесь Jij — дополнительный минор элемента u j
(i!1)(0) в определителе J0 . Тогда, исполь-
зовав (22), (30), определитель Mij (!) при достаточно малых ! можно представить в виде
Mij (!)! = !
("1)mn2
!#1
$(0)%(0) J0
Jij
J0
+O(!)
&
'(
)
*+
. (31)
Аналогично тому, как была получена оценка (31) для Mij (!), нетрудно показать, что
Mi,n+ j (!)! = !
("1)mn2 +n1"i"n2 #(0)$1 j (0)
!%1un+ j (0)µ j
n1 (0)
Ji
(n1) +O(!)( ) , i = 1, n1, j = 1,m , (32)
где Ji
(n1) — определитель n -го порядка, который получается из J0 заменой i -й строки на
строку u1
(n1)(0),!…!,!un(n1)(0) ; !1 j (0) — определитель m ! 1( )-го порядка, получаемый из
определителя Вандермонда !(0) вычеркиванием первой строки и j -го столбца.
Из разложения (29) с учетом (31) и (32) находим
Ji
(q)(t, !)! = ! ("1)
mn2 J0#(0)$(0)
!%
×
×
Ji
(q)(t)
J0
!
"n1
"q
#1
(q)(t)
#(0)
Ji
(n1)
J0
+ O " +
"n1+1
"q
#1
(q)(t)
#(0)
$
%&
'
()
'
(
)
$
%
& , i = 1, n1 . (33)
Используя (24), (23) и (33), получаем для функции !i
(q)(t, ") соотношение (25).
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 637
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
Исследуя функции !n1+m+i
(q) (t, "), !n1+i
(q) (t, ") аналогично тому, как была получена оцен-
ка (25), для функций !n1+m+i
(q) (t, "), !i
(q)(t, ") легко получаем оценки (26) и (27).
Лемма доказана.
4. Аналитическое представление и оценка решения. Рассмотрим сингулярно возму-
щенную краевую задачу (1), (2).
Теорема 3. Пусть выполняются условия 10 – 40. Тогда при достаточно малых ! > 0
решение сингулярно возмущенной краевой задачи (1), (2) на отрезке [0,1] существует,
единственно и выражается формулой
y(t, !) = "i#1$i (t, !) + %i#1$l+i (t, !)
i=1
p
&
i=1
l
& –
– !l+i (t, ")
i=1
p
# 1
"m
! Kt
( j$1)(1, s, ")h(s)
0
1
% ds + 1
"m
! K (t, s, ")h(s)
0
t
% ds . (34)
Доказательство. Решение y(t, !) краевой задачи (1), (2) будем искать в виде
y(t, !)! = ! ci"i (t, !) +
1
!m
K (t, s, !)h(s)
0
t
#
i=1
n+m
$ ds , (35)
где ci — неизвестные постоянные. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функ-
ция y(t, !) , заданная по формуле (34), является решением уравнения (1). Для определения ci
подставим (35) в краевые условия (2). Тогда с учетом краевых условий (20) однозначно по-
лучим
ci = !i"1 , i = 1, l , cl+ j ! = !! j"1 "
1
#m
! Kt
( j"1)(1, s, #)h(s)
0
1
$ ds, j = 1, p .
Подставляя их в (35), получаем (34). Единственность решения доказывается от противного.
Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть выполнены условия 10 – 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 для
решения y(t, !) краевой задачи (1), (2) и его производных на отрезке 0 ! t ! 1 справедливы
оценки
y(q)(t, !) ! " !C #i$1 + %i$1 + max0"t"1
h(t) +
i=1
n2
&
i=1
n1
&
'
(
)
)
!n$q max
0"t"1
h(t) +
+ !n1"q exp "
#t
!
$
%&
'
() *i"1 + +i"1 + max0,t,1
h(t) + *n1
i=1
n2
-
i=1
n1
-
$
%&
'
()
.
/
0
0
, q = 0, n + m " 1. (36)
Доказательство. Из формул (12), (25) – (27) в силу условий 10 – 30 имеем следующие
оценки:
638 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
Kt
(q)(t, s, !) ! " !C!m 1+ !n#1#q exp #
$(t # s)
!
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, q = 0,!n + m # 1 , (37)
!i
(q)(t, ") ! # !C 1+ "n1$q exp $
%t
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, i = 1,!n1, q = 0,!n + m $ 1 ,
!n1+m+i
(q) (t, ") ! # !C 1+ "n1$q exp $
%t
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, i = 1,!n2, q = 0,!n + m $ 1 , (38)
!n1+i
(q) (t, ") ! # !C"i 1+ "n1$1$q exp $
%t
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, i = 1,!m, q = 0,!n + m $ 1 .
Оценивая решение (34) с учетом (37), (38), получаем оценку (36).
Теорема доказана.
Теперь определим вырожденную задачу. Без каких-либо дополнительных рассуждений мы
не можем сформулировать краевые условия для невозмущенного (вырожденного) уравнения
L0y ! = !h(t), (39)
получаемого из (1) при ! = 0 . Такие дополнительные рассуждения мы можем получить из
теоремы 4. Из оценки (36) при q = 0 следует, что предельная функция для y(t, !) при
! " 0 не будет содержать !n1 ,!n1+1,!…!,!!l"1, так как коэффициенты при !i , i = 0, n1 ! 1,
и !i , i = 0, n2 ! 1, имеют порядок O(1) , а при !n1 ,!!n1+1,!…!,!!l"1 — порядок O(!) при
! " 0 . Следовательно, краевые условия для решения y(t) невозмущенного уравнения (39)
определяются с помощью краевых условий (2), содержащих !i , i = 0, n1 ! 1, и !i , i =
= 0, n2 ! 1:
diy
dt i t=0
! = !!i , i = 0,!1,!…!,!n1 " 1 , d
iy
dt i t=0
! = !!i , i = 0,!1,!…!,!n2 " 1 , (40)
где n1 = l ! m , n2 = n ! n1 = p . Ниже покажем, что уравнение (39) и краевые условия (40)
действительно определяют вырожденную задачу.
По аналогии с (11), (24) для задачи (39), (40) введем функцию Коши и граничные функции
K (t, s)! = !W (t, s)
W (s)
, !k (t)! = !
Jk (t)
J0
, k = 1,!…!,!n , (41)
где определители J0 , W (t), W (t, s) введены в пункте 1, Jk (t) — определитель из леммы 3
при q = 0 .
Очевидно, что K t, s( ) — функция Коши: L0K (t, s) = 0 при 0 ! t, s ! 1, K ( j ) s,s( ) = 0 ,
j = 0, n ! 2 , K (n!1) s,s( ) = 1, а !k (t), k = 1, n , — граничные функции краевой зада-
чи (39), (40):
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 639
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
L0!k (t)! = !0 , !k
( j )(0)! = !1 при j = k ! 1, !k
( j )(0)! = !0 при j ! k " 1, k = 1, n1,
!n1+i
( j ) (1)! = !1 при j = i ! 1, !n1+i
( j ) (1)! = !0 при j ! i " 1, i = 1, n2.
Теорема 5. Пусть выполнены условия 10 – 40. Тогда краевая задача (39), (40) на отрезке
0 ! t ! 1 имеет единственное решение
y(t)! = ! !i"1#i (t) + $i"1#n1+i (t)
i=1
n2
% " #n1+i (t)!
Kt
(i"1)(1, s)
An (s)
h(s) ds
0
1
&
i=1
n2
%
i=1
n1
% +
K (t, s)
An (s)
h(s) ds
0
t
& .
(42)
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.
Заметим, что условие 50 в силу (41), (42) примет вид !0 = "n1 # y
(n1)(0) $ 0 .
Теорема 6. Пусть выполнены условия 10 – 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 спра-
ведливы оценки
y(q)(t, !) " y (q)(t) ! # !C ! + !n1"q exp "
$t
!
%
&'
(
)* + !n+1"q%
&'
(
)*
, 0 # t # 1. (43)
Доказательство. Пусть y(t, !) " y(t) = u(t, !). Тогда из (1), (2) относительно u(t, !)
получаем задачу
L!u ! = ! f (t, !), f (t, !)! = !O(!), 0 " t " 1,
(44)
diu
dt i t=0
! = !0, i = 0,!n1 ! 1 , d
iu
dt i t=1
! = !0, i = 0,! p ! 1 ,
diu
dt i t=0
! = !!i " y (i), i = n1,!l " 1 .
Применяя теорему 4 к краевой задаче (44), получаем искомые оценки (43).
Теорема доказана.
Таким образом, из теоремы 6 непосредственно следует, что решение y(t, !) сингулярно
возмущенной задачи (1), (2) при стремлении малого параметра ! к нулю стремится к реше-
нию y(t) вырожденной задачи (39), (40):
lim
!"0
y(q)(t, !)! = !y (q)(t), 0 # t # 1, q = 0,!1,!…!,!n1 $ 1, (45)
lim
!"0
y(q)(t, !)! = !y (q)(t), 0 < t # 1, q = n1,!…!,!n1 + n2 . (46)
Заметим, что предельные переходы (46) не являются равномерными в окрестности точки
t = 0 .
5. Определение начального скачка решения. В силу теоремы 6 и предельных ра-
венств (45), (46) имеем
640 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
lim
!"0
y(q)(0, !)! = !y (q)(0), q = 0,!n1 # 1, lim
!"0
y(n1)(0, !)! = !y (n1)(0) + $ ,
(47)
y(n1+ j )(0,!)!= !O !" j( ), j = 1,!n2 + m " 1,
где ! — некоторая величина, y(t, !) — решение задачи (1), (2), y(t) — решение вырожден-
ной задачи (39), (40). В этом случае будем говорить, что задача (1), (2) имеет начальный
скачок n1-го порядка в точке t = 0 (! является величиной начального скачка решения за-
дачи (1), (2)).
Определим ! — величину скачка. Из формул (12), (25) – (27) с учетом формулы (41) и
условий 10– 40 находим следующие асимптотические представления:
Kt
( j )(1, s, !)! = !!m K ( j )(1, s)
An (s)
+O(!)
"
#$
%
&'
, j = 0, n2 ( 1, (48)
!i
(n1)(0, ")! = !!i
(n1)(0) #
$1
(n1)(t)
$(0)
!i
(n1)(0) + O("), i = 1, n1 ,
!n1+m+i
(n1) (t, ")! = !!n1+i
(n1) (0) #
$1
(n1)(0)
$(0)
!n1+m+i
(n1) (0) +O("), i = 1, n2 , (49)
!n1+i
(n1) (0, ")! = !"i#1
$ i
(n1)(0)
$(0)
+O(")
%
&'
(
)*
, i = 1,m .
Теперь из (34) в силу (48), (49) получаем
y(n1)(0, !)! = !y (n1)(0) "
#1
(n1)(0)
#(0)
y (n1)(0) " $n1 %& + O(!)'( . (50)
Если выполнены условия 10– 40, то из (53) находим формулу начального скачка
! =
"1
(n1)(0)
"(0)
#n1 $ y
(n1)(0)( ) . (51)
Выясним характер роста производных n1 + j порядков решения задачи (1), (2), в
окрестности точки t = 0 . Из (25) – (27) находим
!i
(n1+ j )(0, ")! = !# 1
" j
$1
(n1+ j )(0)
$(0)
!i
(n1)(0) +O "( )( ) , i = 1,!n1, j = 1,!m + n2 # 1 ,
!n1+m+i
(n1+ j ) (0, ")! = !# 1
" j
$1
(n+ j1)(0)
$(0)
!n1+i
(n1) (0) +O "( )( ) , i = 1,!n2, j = 1,!m + n2 # 1 , (52)
!n1+i
(n1+ j ))(0, ")! = ! "
i#1
" j
$ i
(n1+ j )(0)
$(0)
+O "( )
%
&'
(
)*
, i = 1,m, j = 1,m + n2 # 1.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 641
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
Подставляя (48), (52) в формулу (34), находим более точную оценку для y(n1+ j )(0, !),
чем (47):
y(n1+1)(0, !)! = !O 1
!
"
#$
%
&' ,!y
(n1+2)(0, !)! = !O 1
!2
"
#$
%
&' ,!…!,!y
(n+m(1)(0, !)! = !O 1
!n2 +m(1
"
#$
%
&' .
Исходя из (51) и характера роста производных, заключаем, что сингулярно возмущенная
краевая задача в окрестности точки t = 0 имеет начальный скачок n1-го порядка, что явля-
ется одной из особенностей изучаемой задачи.
Замечание. Установленный рост производных позволяет свести краевую задачу (1), (2) к
задаче Коши с начальным скачком, что в свою очередь служит основой для построения асимп-
тотических разложений некоторых сингулярно возмущенных краевых задач с начальными
скачками.
1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат. сб. – 1948. –
22 (64), № 2. – С. 193 – 204.
2. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 5. – С. 3 – 122.
3. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для квазилинейных уравнений с малым пара-
метром при старшей производной // Докл. АН СССР. – 1958. – 123, № 4. – С. 583 – 586.
4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Нау-
ка, 1974. – 503 с.
5. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колеба-
ния. – М.: Наука, 1979. – 154 с.
6. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных
систем // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. – Фрунзе: Илим, 1962. – Т. 2. – С. 21 – 39.
7. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 399 с.
8. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических урав-
нений второго порядка // Докл. АН СССР. – 1977. – 235, № 5. – С. 997 – 1000.
9. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержа-
щих малый параметр // Докл. АН СССР. – 1960. – 132, № 6. – С. 1242 – 1245.
10. Касымов К. А., Нургабыл Д. Н. Асимптотическое поведение решений линейных сингулярно возмущенных
общих разделенных краевых задач, имеющих начальный скачок // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 11. —
С. 1496 – 1508.
11. Касымов К. А., Нургабыл Д. Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с
начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2004. – 40, № 4. –
С. 597 – 607.
Получено 08.07.12
|