Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных

Встановлено асимптотичні оцінки розв'язків сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2013
Автори: Касымов, К.А., Нургабыл, Д.Н., Уаисов, А.Б.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:Український математичний журнал
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165321
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / К.А. Касымов, Д.Н. Нургабыл, А.Б. Уаисов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 629–641. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165321
record_format dspace
spelling irk-123456789-1653212020-02-15T01:26:15Z Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных Касымов, К.А. Нургабыл, Д.Н. Уаисов, А.Б. Статті Встановлено асимптотичні оцінки розв'язків сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками. We establish asymptotic estimates for the solutions of singularly perturbed boundary-value problems with initial jumps. 2013 Article Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / К.А. Касымов, Д.Н. Нургабыл, А.Б. Уаисов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 629–641. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165321 917.926 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Касымов, К.А.
Нургабыл, Д.Н.
Уаисов, А.Б.
Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
Український математичний журнал
description Встановлено асимптотичні оцінки розв'язків сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками.
format Article
author Касымов, К.А.
Нургабыл, Д.Н.
Уаисов, А.Б.
author_facet Касымов, К.А.
Нургабыл, Д.Н.
Уаисов, А.Б.
author_sort Касымов, К.А.
title Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
title_short Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
title_full Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
title_fullStr Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
title_full_unstemmed Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
title_sort асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2013
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165321
citation_txt Асимптотические оценки решения краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / К.А. Касымов, Д.Н. Нургабыл, А.Б. Уаисов // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 629–641. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT kasymovka asimptotičeskieocenkirešeniâkraevojzadačisnačalʹnymskačkomdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmalymparametrompriproizvodnyh
AT nurgabyldn asimptotičeskieocenkirešeniâkraevojzadačisnačalʹnymskačkomdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmalymparametrompriproizvodnyh
AT uaisovab asimptotičeskieocenkirešeniâkraevojzadačisnačalʹnymskačkomdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmalymparametrompriproizvodnyh
first_indexed 2025-07-14T18:19:33Z
last_indexed 2025-07-14T18:19:33Z
_version_ 1837647448015634432
fulltext © К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ. А. Б. УАИСОВ, 2013 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 629 УДК 917.926 К. А. Касымов (Ин-т математики и механики Каз. нац. ун-та, Алматы, Казахстан), Д. Н. Нургабыл (Жетысус. гос. ун-т, Талдыкорган, Казахстан), А. Б. Уаисов (Ин-т математики и механики Каз. нац. ун-та, Алматы, Казахстан) АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ We obtain asymptotic estimates for solutions of singularly perturbed boundary-value problems with initial jumps. Встановлено асимптотичнi оцiнки розв’язкiв сингулярно збурених крайових задач з початковими стрибками. Для довольно широкого класса сингулярно возмущенных задач были разработаны эффектив- ные асимптотические методы, позволяющие строить равномерные приближения с любой точ- ностью [1 – 8]. Вместе с тем для широкого класса сингулярно возмущенных краевых задач выбор надле- жащего метода для построения решений или их асимптотических приближений без предвари- тельного исследования оказывается весьма затруднительным. Анализ показывает, что к таким задачам можно отнести и краевые задачи, для которых характерно наличие начального скачка. Наиболее общие результаты в этом направлении получены в [9 – 11]. Однако в указанных работах рассматривается случай, когда малый параметр содержится только при старшей производной. Естественно возникает вопрос о выделении новых классов краевых задач, имеющих начальный скачок. Именно это и является целью настоящей работы. 1. Постановка задачи. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение высшего по- рядка с малым параметром при производных L!y! ! " ! !rAn+r (t) dn+r y dt n+rr=1 m # + Ak (t) dky dt kk=0 n # ! = !h(t), 0 ! t ! 1, (1) с краевыми условиями diy dt i t=0 ! = !!i , i = 0,!l " 1 , d iy dt i t=1 ! = !i , i = 0,! p ! 1, (2) где ! > 0 — малый параметр, !i , !i — постоянные, An+m (t) = 1, m + n = l + p. В настоящей работе устанавливаются асимптотические оценки и характер роста производ- ных решения задачи (1), (2) при ! " 0 , выделяется класс краевых задач, имеющих начальный скачок. Потребуем выполнения следующих условий: 10. Функции Ai (t) !Cn+m+1([0,1]) , i = 0,!n + m , h(t) !C([0,1]). 20. Функция An (t) удовлетворяет неравенству An (t) ! 0, 0 ! t ! 1. 630 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 30. Дополнительное характеристическое уравнение µ m + An+m!1(t)µm!1 +…+ An+1(t)µ + An (t)! = !0 имеет m различных корней µ1,… ,!µm с отрицательными вещественными частями, причем m < l . Пусть l ! m = n1. 40. Справедливо J0 = det ! ij " 0 , где элементы ! ij = u j0 i"1( )(0) , j = 1,!n , i = 1,!l , ! l+i, j = = u j0 (i!1)(1), j = 1,!n , i = 1,! p , составлены на основе фундаментальной системы решений u10 (t), u20 (t),… ,!un0 (t) уравнения L0y = 0 . (3) Пусть W (t) — вронскиан фундаментальной системы решений уравнения (3), тогда W (t) ! 0, t ![0,1]. 50. Имеет место !0 ! = ! "i#1 Ji (n1)(0) J0 + $i#1 Jn1+i (n1) (0) J0i=1 p % # Jn1+i (n1) (0) J0 Wt (i#1)(1, s) W (s)An (s) h(s)ds 0 1 & i=1 n2 % i=1 n1 % # "n1 ! ' !0 , (4) где Jk (n1)(0) — определитель n -го порядка, полученный из J0 заменой k строки на строку u10 (n1)(0),!…!,!un0 (n1)(0) , определитель Wt (q)(t, s) получается из W (s) заменой n -й строки на строку u10 (q)(t),!u20 (q)(t),!…!,!un0 (q)(t). 2. Фундаментальная система решений. Наряду с уравнением (1) рассмотрим соответст- вующее однородное возмущенное уравнение L!y! = !0 . (5) Лемма 1. Пусть выполнены условия 10 – 30. Тогда для фундаментальной системы реше- ний !yi (t, !), i!=!1,!n + m , сингулярно возмущенного однородного уравнения (5) справедливы следующие асимптотические при ! " 0 представления: !yi (q)(t, !)! = !ui0 (q)(t) + O(!), i = 1,!n, q!=!0,!n + m " 1, !yn+r (q) (t, s)! = ! 1 !q exp 1 ! µr 0 t " (x)dx # $ % & ' ( un+r (t)µrq (t) +O(!)( ) , (6) r = 1,!m, q = 0,!n + m ! 1, где u10 (t),!u20 (t),!…!,!un0 (t) — фундаментальная система решений уравнения (3), un+r (t) ≠ ≠ 0, t ![0,1]. Доказательство леммы непосредственно следует из известной теоремы Шлезингера – Биркгофа –Нуайона (см., например, [7, с. 29 – 34]). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (5) возьмем АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 631 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 yi (t, !)! = ! !yi (t, !), i = 1,!…!,!n, yn+s (t, !)!! = !!n1 !yn+s (t, !), s = 1,!…!,!m , (7) где n1 = l ! m , p = n ! n1 = n2 . Составим определитель Вронского W (t, !) системы реше- ний (7). С учетом (6) и (7) вынесем функции !n1 exp 1 ! µi (x)dx 0 t " # $ % & ' ( , i = 1,!…!,!m , за знак определителя W (t, !) . Тогда получим W (t, !)! = !!" exp 1 ! µ(x)dx s t # $ % & ' ( ) *(t, !), где µ = µ1 +…+ µm , ! = n1m , !(t, ") = det !ij (t, ") — определитель n + m( )-го порядка, эле- менты которого имеют вид !ij (t, ")! = ! u j0 (i#1)(t) +O("), j = 1,…, n, i = 1,…, n + m, 1 "i#1 u j0 (t)µ j#n i#1 +O(")( ), j = n + 1,…, n + m, i = 1,…, n + m. $ % & ' & & Теперь исследуем асимптотическое представление определителя !(t, "). Раскладываем !(t, ") по всем возможным минорам первых n столбцов. Все эти миноры имеют нулевой порядок по ! . Поэтому в сумме произведений всех этих миноров на их алгебраические дополнения доминирующим членом !(t, ") будет то произведение, в котором алгебраическое дополнение имеет наименьший порядок по ! . В силу (6), (7) порядок главного члена элемен- тов одного и того же столбца, занимающего с n + 1( )-й по n + m( )-ю строки, начиная с первой строки убывает по мере роста номера строки. Следовательно, алгебраическое дополнение главного минора n -го порядка w! (t), расположенного в левом верхнем углу, имеет наимень- ший порядок по ! . Поэтому доминирующий член определителя !(t, ") получается умноже- нием минора w! (t) на его алгебраическое дополнение, которое мы обозначим через D(t, !). Тогда, используя представления (6) и (7), для !(t, ") получаем !(t, ")! = !w" (t)D(t, ") + O 1 "#$1 % &' ( )* , (8) где ! = 2n + m " 1( )m 2 . Определитель w! (t) и алгебраическое дополнение D(t, !) в первом приближении при достаточно малых ! представимы в виде w! (t)! = !W (t) + O(!), D(t, !)! = !("1)n(n+1) 1 !# $(t)%(t) 1+O(!)( ), (9) где n(n + 1) — четное число; !(t) = un+k (t)µkn (t)k=1 m" ; !(t) — определитель Вандермонда для корней µ1,!…!,!µm , который отличен от нуля на 0 ! t ! 1, так как эти корни попарно различны и отличны от нуля. Согласно процедуре определения функции un+1(t),!…!,!un+m (t) также отличны от нуля на отрезке 0,1[ ]. Теперь, учитывая представления (9), из (8) имеем 632 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 !(t, ")! = ! 1 "# W (t) $(t)%(t) 1+O(")( )! & !0 . Тогда W (t, !)! = ! ! " !# W (t) $(t)%(t) exp 1 ! ! µ(x)dx s t & ' ( ) * + , 1+O(!)( )! - !0 . (10) 3. Функция Коши и граничные функции. Определение 1. Функция K t, s, !( ), определенная при 0 ! t, s ! 1, называется функ- цией Коши, если она по t удовлетворяет однородному уравнению (5) и при t = s — началь- ным условиям K ( j ) s, s, !( )! = !0, j = 0,!n + m " 2, K (n+m"1) s, s, !( )! = !1. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполнены условия 10 – 30. Тогда при достаточно малых ! функция Коши K t, s, !( ) при 0 ! t, s ! 1 существует, единственна и выражается формулой K (t, s, !)! = !W (t, s, !)/W (s, !), (11) где W (t, s, !) — определитель n + m( )-го порядка, получаемый из вронскиана W (s, !) заме- ной n + m( )-й строки фундаментальной системой решений y1(t, !) , y2 (t, !), … , yn+m (t, !) уравнения (5). Лемма 2. Если выполнены условия 10 – 30 , то при достаточно малых ! > 0 функция Коши K t, s, !( ) при 0 ! s ! t ! 1 представима в виде Kt (q)(t, s, !)! = !!m Wt (q)(t, s) W (s)An (s) + !n"1 !q #(q)(t, s, !) #(s) + O ! + !n !q #(q)(t, s, !) #(s) $ %& ' () ' ( ) $ % & , (12) где Wt (q)(t, s) — определитель из (4), а !(q)(t, s, ") — определитель m-го порядка, полу- ченный из !(s) заменой m-й строки на строку exp 1 ! µ1(x)dx s t " # $% & '( un+1(t)µ1 q (t) un+1(s)µ1n (s) ,!…!,!!exp 1 ! µm (x)dx s t " # $% & '( un+m (t)µmq (t) un+m (s)µmn (s) . (13) Доказательство. Из (11) определим Wt (q)(t, s, !) . С учетом (6) и (7) вынесем за знак определителя Wt (q)(t, s, !) функции !n1 exp 1 ! µi (x) dx0 s "# $% & '( , i = 1,…,m . Тогда получим Wt (q)(t, s, !)! = !!" exp 1 ! ! µ(x)dx s t # $ % & ' ( ) *(q)(t, s, !), (14) где !(q)(t, s, ") — определитель n + m( )-го порядка, полученный из !(s, ") заменой n + m( )-й АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 633 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 строки на строку y1 (q)(t, !),!…!,!yn(q)(t, !),!vn+1(t, s, !),!…!,!vn+m (t, s, !) , причем функции vn+ j (t, s, !) при достаточно малых ! представимы в виде vn+ j (t, s)! = ! 1 !q exp 1 ! µ j s t " (x)dx # $ % & ' ( un+ j (t)µ j q (t) +O(!)( ) , j = 1,!m, q = 0,!n + m ) 1. (15) Раскладывая !(q)(t, s, ") по элементам n + m( )-й строки, получаем !(q)(t, s, ")! = !y1 (q)(t, ")Mn+m,1(s, ") +…+ yn1 (q)(t, ")Mn+m,n1 (s, ") + + vn+1(t, s, !)Mn+m, n+1(s, !) +…+ vn+m (t, s, !) Mn+m, n+m (s, !) . (16) Исследуя теперь алгебраические дополнения Mn+m, j (s, !) так же, как и при выводе фор- мул (8) – (10), находим Mn+m, j (s, !)! = ! ("1)n+m+ j !m#(s)$(s) !% µk (s)k=1 m& Wnj (s) +O(!)( ) , j = 1,!…!,!n , (17) где Wnj (s) — определитель n ! 1( )-го порядка, полученный из определителя W (s) вы- черкиванием n -й строки и j -го столбца; !(t) — определитель Вандермонда для корней µ1,!…!,!µm . Аналогичным образом для Mn+m,n+ j (s, !) получаем представление Mn+m, n+ j (s, !)! = !("1)2n+m+ j ! n+m"1#(s)W (s) !$ %mj (s) un+ j (s)µ j n (s) +O(!) & ' ( ) * + , j = 1,m , (18) где !mj (s) — определитель m ! 1( )-го порядка, полученный из определителя Вандермонда !(s) вычеркиванием m-й строки и j -го столбца. С учетом (6), (7), (15), (17), (18), а также формулы An (s) = (!1)m µk (s)k=1 m" разложе- ние (16) примет вид !(q)(t, s, ")! = ! " m#(s) "$ Wt (q)(t, s)%(s) An (s) + "n&1 "q %(q)(t, s, ")W (s) + O " + "n "q W (s)%(q)(t, s, ") ' () * +, * + , ' ( ) , (19) где !(q)(t, s, ") — определитель m-го порядка, который получается из определителя !(s) заменой m-й строки на строку (13). Теперь, используя представление (19) и формулы (8), (14), из (13) при достаточно малых ! получаем искомую оценку (12). Лемма доказана. Определение 2. Функции !k (t, ") , k = 1, n + m , называются граничными функциями краевой задачи (1), (2), если они удовлетворяют однородному уравнению (5) и краевым условиям 634 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 !k ( j"1)(0, #)! = !1 при k = j , j = 1, l , !k ( j"1)(0, #)! = !1 при k ! j , j = 1, l , k = 1, n + m , (20) !k ( j"1)(1, #)! = !1 при k = l + j , j = 1, p , !k ( j"1)(1, #)! = !0 при k ! l + j , j = 1, p , k = 1, n + m . Рассмотрим определитель J(!) = det "ij , i, j = 1, n + m , где элементы !ij ! = !y j i"1( )(0, #), j = 1, n + m, i = 1, l , !ij ! = !y j (i"l"1)(1, #), j = 1, n + m, i = l + 1, l + p , в силу (6) и (7) представимы в виде !ij ! = !u j0 i"1( )(0) +O(#), j = 1, n, i = 1, l , !l+i, j ! = !u j0 (i"1)(1) +O(#), j = 1, n, i = 1, p , (21) !i,n+ j ! = ! "n1 "i#1 un+ j,0 (0)µ j i#1(0) +O(")( ) , j = 1,m, i = 1, l , !l+i,n+ j = ! ! n1 !i"1 un+ j,0 (1)µ j i"1(1) +O(!)( ) exp 1 ! µ j (x)dx 0 1 # $ % & ' ( ) = o(!N ), j = 1,m, i = 1, p . Здесь N — любое натуральное число. Теперь с учетом (21) будем раскладывать J(!) по всем возможным минорам первых n столбцов. Все эти миноры имеют нулевой порядок по ! . Тогда в сумме произведений всех этих миноров на их алгебраические дополнения доминирующим членом J(!) будет то произведение, в котором алгебраическое дополнение имеет наименьший порядок по ! . Алгебраическое дополнение минора J0 (!) порядка n , расположенного в первых n столб- цах и строках с номерами 1 ! k ! n1 , l + 1 ! k ! l + n2 , имеет наименьший порядок по ! , так как в силу (6), (7) порядок элементов определителя J(!) , занимающих строки с первой по l -ю и столбцы с n + 1( )-го по n + m( )-й, убывает по мере роста номера строки. Следовательно, доминирующий член определителя J(!) получается умножением минора J0 (!) на его алгебраическое дополнение D(!) , и поэтому определитель J(!) в первом при- ближении равен произведению определителей J0 (!) и D(!): J(!)! = !J0 (!)D(!) +O 1 !"1#1 $ %& ' () . Здесь !1 = m(m " 1) 2 , определители D(!) и J0 (!) при достаточно малых ! имеют вид АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 635 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 J0 (!)! = !J0 +O(!) , D(!)! = !("1)mn2 1 !#1 $(0)%(0) +O(!)( ) , (22) где J0 ! 0 , !(0) = s=1 m" un+s (0)µsn1 (0) и !(0) = ! µ1(0),!…!,!µm (0)( ) отличны от нуля. Тогда для определителя J(!) с учетом (22) при достаточно малых ! на отрезке 0 ! t ! 1 имеет место представление J(!)! = !("1)mn2 J0 !#1 $(0)%(0) 1+O(!)( )! & !0 . (23) Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполнены условия 10– 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 гра- ничные функции !i (t, ") , i = 1, n + m , на отрезке [0,1] существуют, единственны и выра- жаются формулой !i (t, ")! = !Ji (t, ")/J("), i = 1, n + m , (24) где Ji (t, !) — определитель, полученный из J(!) заменой i -й строки фундаментальной системой решений yk (t, !), k = 1, n + m , уравнения (5). Отметим, что функция Коши K t, s, !( ) и граничные функции !i (t, ") , i = 1, n + m , не зависят от выбора фундаментальной системы решений уравнения (5). Лемма 3. Если выполнены условия 10 – 40, то граничные функции !i (t, ") , i = 1, n + m , на отрезке 0 ! t ! 1 имеют асимптотические при ! " 0 представления !i (q)(t, ")! = ! Ji (q)(t) J0 # "n1#q $1 (q)(t) $(0) Ji (n1)(0) J0 + O " + "n1#q+1 $1 (q)(t) $(0) % &' ( )* , i = 1, n1 , (25) !n1+m+i (q) (t, ")! = ! Jn1+i (q) (t) J0 # "n1 "q $1 (q)(t) $(0) Jn1+m+i (n1) (0) J0 + O " + "n1+1 "q $1 (q)(t) $(0) % &' ( )* , i = 1, n2 , (26) !n1+i (q) (t, ")! = !"i Jn1 (q)(t) J0 # i #(0) $ "n1$1 "q # i (q)(t) #(0) + O " + "n1 "q # i (q)(t) #(0) % &' ( )* % & '' ( ) ** , i = 1,m , (27) q = 0,!n + m ! 1, где Jk (q)(t) — определитель n -го порядка, полученный из J0 заменой k -й строки на строку u10 (q)(t),!u20 (q)(t),!…!,!un0 (q)(t); ! i — определитель m-го порядка, получаемый из опреде- лителя Вандермонда !(0) заменой i -й строки на строку µ1!1(0),!…!,!µm!1(0) ; ! i (q)(t) — определитель m-го порядка, который получается из определителя !(0) заменой i -й строки на строку exp 1 ! ! µ1(x)dx 0 t " # $ % & ' ( un+1(t)µ1 q (t) un+1(0)µ1n (0) ,!…!,!exp 1 ! ! µm (x)dx 0 t " # $ % & ' ( un+m (t)µmq (t) un+m (0)µmn (0) . (28) 636 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 Доказательство. Разложим определитель Ji (q)(t, !) , i = 1, n1, q = 0, n + m ! 1, по эле- ментам i -й строки, состоящей из фундаментальной системы решений yk (q)(t, !) , k = 1, n + m , q = 0, n + m ! 1, уравнения (5): Ji (q)(t, !)! = ! ("1)i+ j j=1 n # y j (q)(t, !)Mij (!) + ("1)i+n+ j j=1 m # yn+ j (q) (t, !)Min+ j (!), i = 1, n1 . (29) Разложим определитель Mij (!) по всем возможным минорам первых n ! 1 столбцов. При достаточно малых ! доминирующий член определителя Mij (!) получается умножением минора Jij (!) порядка n ! 1, расположенного в первых n ! 1 столбцах и строках с номерами 1 ! k ! n1 " 1, l ! k ! l + n2 " 1, на его алгебраическое дополнение D(!) . Тогда для определи- теля Mij (!) в первом приближении справедливо представление Mij (!)! = !("1)mn2 Jij (!)D(!) +O 1 !#1"1 $ %& ' () $ %& ' () , причем минор Jij (!) в силу (6), (7) при достаточно малых ! имеет вид Jij (!)! = !Jij +O(!) . (30) Здесь Jij — дополнительный минор элемента u j (i!1)(0) в определителе J0 . Тогда, исполь- зовав (22), (30), определитель Mij (!) при достаточно малых ! можно представить в виде Mij (!)! = ! ("1)mn2 !#1 $(0)%(0) J0 Jij J0 +O(!) & '( ) *+ . (31) Аналогично тому, как была получена оценка (31) для Mij (!), нетрудно показать, что Mi,n+ j (!)! = ! ("1)mn2 +n1"i"n2 #(0)$1 j (0) !%1un+ j (0)µ j n1 (0) Ji (n1) +O(!)( ) , i = 1, n1, j = 1,m , (32) где Ji (n1) — определитель n -го порядка, который получается из J0 заменой i -й строки на строку u1 (n1)(0),!…!,!un(n1)(0) ; !1 j (0) — определитель m ! 1( )-го порядка, получаемый из определителя Вандермонда !(0) вычеркиванием первой строки и j -го столбца. Из разложения (29) с учетом (31) и (32) находим Ji (q)(t, !)! = ! ("1) mn2 J0#(0)$(0) !% × × Ji (q)(t) J0 ! "n1 "q #1 (q)(t) #(0) Ji (n1) J0 + O " + "n1+1 "q #1 (q)(t) #(0) $ %& ' () ' ( ) $ % & , i = 1, n1 . (33) Используя (24), (23) и (33), получаем для функции !i (q)(t, ") соотношение (25). АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 637 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 Исследуя функции !n1+m+i (q) (t, "), !n1+i (q) (t, ") аналогично тому, как была получена оцен- ка (25), для функций !n1+m+i (q) (t, "), !i (q)(t, ") легко получаем оценки (26) и (27). Лемма доказана. 4. Аналитическое представление и оценка решения. Рассмотрим сингулярно возму- щенную краевую задачу (1), (2). Теорема 3. Пусть выполняются условия 10 – 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 решение сингулярно возмущенной краевой задачи (1), (2) на отрезке [0,1] существует, единственно и выражается формулой y(t, !) = "i#1$i (t, !) + %i#1$l+i (t, !) i=1 p & i=1 l & – – !l+i (t, ") i=1 p # 1 "m ! Kt ( j$1)(1, s, ")h(s) 0 1 % ds + 1 "m ! K (t, s, ")h(s) 0 t % ds . (34) Доказательство. Решение y(t, !) краевой задачи (1), (2) будем искать в виде y(t, !)! = ! ci"i (t, !) + 1 !m K (t, s, !)h(s) 0 t # i=1 n+m $ ds , (35) где ci — неизвестные постоянные. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функ- ция y(t, !) , заданная по формуле (34), является решением уравнения (1). Для определения ci подставим (35) в краевые условия (2). Тогда с учетом краевых условий (20) однозначно по- лучим ci = !i"1 , i = 1, l , cl+ j ! = !! j"1 " 1 #m ! Kt ( j"1)(1, s, #)h(s) 0 1 $ ds, j = 1, p . Подставляя их в (35), получаем (34). Единственность решения доказывается от противного. Теорема доказана. Теорема 4. Пусть выполнены условия 10 – 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 для решения y(t, !) краевой задачи (1), (2) и его производных на отрезке 0 ! t ! 1 справедливы оценки y(q)(t, !) ! " !C #i$1 + %i$1 + max0"t"1 h(t) + i=1 n2 & i=1 n1 & ' ( ) ) !n$q max 0"t"1 h(t) + + !n1"q exp " #t ! $ %& ' () *i"1 + +i"1 + max0,t,1 h(t) + *n1 i=1 n2 - i=1 n1 - $ %& ' () . / 0 0 , q = 0, n + m " 1. (36) Доказательство. Из формул (12), (25) – (27) в силу условий 10 – 30 имеем следующие оценки: 638 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 Kt (q)(t, s, !) ! " !C!m 1+ !n#1#q exp # $(t # s) ! % &' ( )* % &' ( )* , q = 0,!n + m # 1 , (37) !i (q)(t, ") ! # !C 1+ "n1$q exp $ %t " & '( ) *+ & '( ) *+ , i = 1,!n1, q = 0,!n + m $ 1 , !n1+m+i (q) (t, ") ! # !C 1+ "n1$q exp $ %t " & '( ) *+ & '( ) *+ , i = 1,!n2, q = 0,!n + m $ 1 , (38) !n1+i (q) (t, ") ! # !C"i 1+ "n1$1$q exp $ %t " & '( ) *+ & '( ) *+ , i = 1,!m, q = 0,!n + m $ 1 . Оценивая решение (34) с учетом (37), (38), получаем оценку (36). Теорема доказана. Теперь определим вырожденную задачу. Без каких-либо дополнительных рассуждений мы не можем сформулировать краевые условия для невозмущенного (вырожденного) уравнения L0y ! = !h(t), (39) получаемого из (1) при ! = 0 . Такие дополнительные рассуждения мы можем получить из теоремы 4. Из оценки (36) при q = 0 следует, что предельная функция для y(t, !) при ! " 0 не будет содержать !n1 ,!n1+1,!…!,!!l"1, так как коэффициенты при !i , i = 0, n1 ! 1, и !i , i = 0, n2 ! 1, имеют порядок O(1) , а при !n1 ,!!n1+1,!…!,!!l"1 — порядок O(!) при ! " 0 . Следовательно, краевые условия для решения y(t) невозмущенного уравнения (39) определяются с помощью краевых условий (2), содержащих !i , i = 0, n1 ! 1, и !i , i = = 0, n2 ! 1: diy dt i t=0 ! = !!i , i = 0,!1,!…!,!n1 " 1 , d iy dt i t=0 ! = !!i , i = 0,!1,!…!,!n2 " 1 , (40) где n1 = l ! m , n2 = n ! n1 = p . Ниже покажем, что уравнение (39) и краевые условия (40) действительно определяют вырожденную задачу. По аналогии с (11), (24) для задачи (39), (40) введем функцию Коши и граничные функции K (t, s)! = !W (t, s) W (s) , !k (t)! = ! Jk (t) J0 , k = 1,!…!,!n , (41) где определители J0 , W (t), W (t, s) введены в пункте 1, Jk (t) — определитель из леммы 3 при q = 0 . Очевидно, что K t, s( ) — функция Коши: L0K (t, s) = 0 при 0 ! t, s ! 1, K ( j ) s,s( ) = 0 , j = 0, n ! 2 , K (n!1) s,s( ) = 1, а !k (t), k = 1, n , — граничные функции краевой зада- чи (39), (40): АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 639 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 L0!k (t)! = !0 , !k ( j )(0)! = !1 при j = k ! 1, !k ( j )(0)! = !0 при j ! k " 1, k = 1, n1, !n1+i ( j ) (1)! = !1 при j = i ! 1, !n1+i ( j ) (1)! = !0 при j ! i " 1, i = 1, n2. Теорема 5. Пусть выполнены условия 10 – 40. Тогда краевая задача (39), (40) на отрезке 0 ! t ! 1 имеет единственное решение y(t)! = ! !i"1#i (t) + $i"1#n1+i (t) i=1 n2 % " #n1+i (t)! Kt (i"1)(1, s) An (s) h(s) ds 0 1 & i=1 n2 % i=1 n1 % + K (t, s) An (s) h(s) ds 0 t & . (42) Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3. Заметим, что условие 50 в силу (41), (42) примет вид !0 = "n1 # y (n1)(0) $ 0 . Теорема 6. Пусть выполнены условия 10 – 40. Тогда при достаточно малых ! > 0 спра- ведливы оценки y(q)(t, !) " y (q)(t) ! # !C ! + !n1"q exp " $t ! % &' ( )* + !n+1"q% &' ( )* , 0 # t # 1. (43) Доказательство. Пусть y(t, !) " y(t) = u(t, !). Тогда из (1), (2) относительно u(t, !) получаем задачу L!u ! = ! f (t, !), f (t, !)! = !O(!), 0 " t " 1, (44) diu dt i t=0 ! = !0, i = 0,!n1 ! 1 , d iu dt i t=1 ! = !0, i = 0,! p ! 1 , diu dt i t=0 ! = !!i " y (i), i = n1,!l " 1 . Применяя теорему 4 к краевой задаче (44), получаем искомые оценки (43). Теорема доказана. Таким образом, из теоремы 6 непосредственно следует, что решение y(t, !) сингулярно возмущенной задачи (1), (2) при стремлении малого параметра ! к нулю стремится к реше- нию y(t) вырожденной задачи (39), (40): lim !"0 y(q)(t, !)! = !y (q)(t), 0 # t # 1, q = 0,!1,!…!,!n1 $ 1, (45) lim !"0 y(q)(t, !)! = !y (q)(t), 0 < t # 1, q = n1,!…!,!n1 + n2 . (46) Заметим, что предельные переходы (46) не являются равномерными в окрестности точки t = 0 . 5. Определение начального скачка решения. В силу теоремы 6 и предельных ра- венств (45), (46) имеем 640 К. А. КАСЫМОВ, Д. Н. НУРГАБЫЛ, А. Б. УАИСОВ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 lim !"0 y(q)(0, !)! = !y (q)(0), q = 0,!n1 # 1, lim !"0 y(n1)(0, !)! = !y (n1)(0) + $ , (47) y(n1+ j )(0,!)!= !O !" j( ), j = 1,!n2 + m " 1, где ! — некоторая величина, y(t, !) — решение задачи (1), (2), y(t) — решение вырожден- ной задачи (39), (40). В этом случае будем говорить, что задача (1), (2) имеет начальный скачок n1-го порядка в точке t = 0 (! является величиной начального скачка решения за- дачи (1), (2)). Определим ! — величину скачка. Из формул (12), (25) – (27) с учетом формулы (41) и условий 10– 40 находим следующие асимптотические представления: Kt ( j )(1, s, !)! = !!m K ( j )(1, s) An (s) +O(!) " #$ % &' , j = 0, n2 ( 1, (48) !i (n1)(0, ")! = !!i (n1)(0) # $1 (n1)(t) $(0) !i (n1)(0) + O("), i = 1, n1 , !n1+m+i (n1) (t, ")! = !!n1+i (n1) (0) # $1 (n1)(0) $(0) !n1+m+i (n1) (0) +O("), i = 1, n2 , (49) !n1+i (n1) (0, ")! = !"i#1 $ i (n1)(0) $(0) +O(") % &' ( )* , i = 1,m . Теперь из (34) в силу (48), (49) получаем y(n1)(0, !)! = !y (n1)(0) " #1 (n1)(0) #(0) y (n1)(0) " $n1 %& + O(!)'( . (50) Если выполнены условия 10– 40, то из (53) находим формулу начального скачка ! = "1 (n1)(0) "(0) #n1 $ y (n1)(0)( ) . (51) Выясним характер роста производных n1 + j порядков решения задачи (1), (2), в окрестности точки t = 0 . Из (25) – (27) находим !i (n1+ j )(0, ")! = !# 1 " j $1 (n1+ j )(0) $(0) !i (n1)(0) +O "( )( ) , i = 1,!n1, j = 1,!m + n2 # 1 , !n1+m+i (n1+ j ) (0, ")! = !# 1 " j $1 (n+ j1)(0) $(0) !n1+i (n1) (0) +O "( )( ) , i = 1,!n2, j = 1,!m + n2 # 1 , (52) !n1+i (n1+ j ))(0, ")! = ! " i#1 " j $ i (n1+ j )(0) $(0) +O "( ) % &' ( )* , i = 1,m, j = 1,m + n2 # 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ … 641 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 Подставляя (48), (52) в формулу (34), находим более точную оценку для y(n1+ j )(0, !), чем (47): y(n1+1)(0, !)! = !O 1 ! " #$ % &' ,!y (n1+2)(0, !)! = !O 1 !2 " #$ % &' ,!…!,!y (n+m(1)(0, !)! = !O 1 !n2 +m(1 " #$ % &' . Исходя из (51) и характера роста производных, заключаем, что сингулярно возмущенная краевая задача в окрестности точки t = 0 имеет начальный скачок n1-го порядка, что явля- ется одной из особенностей изучаемой задачи. Замечание. Установленный рост производных позволяет свести краевую задачу (1), (2) к задаче Коши с начальным скачком, что в свою очередь служит основой для построения асимп- тотических разложений некоторых сингулярно возмущенных краевых задач с начальными скачками. 1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат. сб. – 1948. – 22 (64), № 2. – С. 193 – 204. 2. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциаль- ных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 5. – С. 3 – 122. 3. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для квазилинейных уравнений с малым пара- метром при старшей производной // Докл. АН СССР. – 1958. – 123, № 4. – С. 583 – 586. 4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Нау- ка, 1974. – 503 с. 5. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колеба- ния. – М.: Наука, 1979. – 154 с. 6. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. – Фрунзе: Илим, 1962. – Т. 2. – С. 21 – 39. 7. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 399 с. 8. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических урав- нений второго порядка // Докл. АН СССР. – 1977. – 235, № 5. – С. 997 – 1000. 9. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержа- щих малый параметр // Докл. АН СССР. – 1960. – 132, № 6. – С. 1242 – 1245. 10. Касымов К. А., Нургабыл Д. Н. Асимптотическое поведение решений линейных сингулярно возмущенных общих разделенных краевых задач, имеющих начальный скачок // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 11. — С. 1496 – 1508. 11. Касымов К. А., Нургабыл Д. Н. Асимптотические оценки решения сингулярно возмущенной краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2004. – 40, № 4. – С. 597 – 607. Получено 08.07.12