Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи

Рассматривается понятие чувствительности Ли-Йорка для действий полугрупп (динамических систем вида (X,G), где X — метрическое пространство, а G — некоторая полугруппа непрерывных отображений этого пространства в себя). Система (X,G) называется чувствительной в смысле Ли-Йорка, если существует такое...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
1. Verfasser: Рибак, О.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2013
Schriftenreihe:Український математичний журнал
Schlagworte:
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165325
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи / О.В. Рибак // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 681–688. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-165325
record_format dspace
spelling irk-123456789-1653252020-02-14T01:25:46Z Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи Рибак, О.В. Статті Рассматривается понятие чувствительности Ли-Йорка для действий полугрупп (динамических систем вида (X,G), где X — метрическое пространство, а G — некоторая полугруппа непрерывных отображений этого пространства в себя). Система (X,G) называется чувствительной в смысле Ли-Йорка, если существует такое положительное ε, что для каждой точки x∈X и любой ее открытой окрестности U есть точка y∈U, для которой выполнено следующее:1) d(g(x),g(y))>ε для бесконечно многих g∈G;2) для любого δ>0 существует h∈G, удовлетворяющее условию d(h(x),h(y))<δ.В частности, доказано, что нетривиальная топологически слабо перемешивающая система (X,G) с компактным X и абелевой G чувствительна по Ли-Йорку. We introduce and study the concept of Li–Yorke sensitivity for semigroup actions (dynamical systems of the form (X, G), where X is a metric space and G is a semigroup of continuous mappings of this space onto itself). A system (X, G) is called Li–Yorke sensitive if there exists positive ε such that, for any point x ∈ X and any open neighborhood U of this point, one can find a point y ∈ U for which the following conditions are satisfied: (i) d(g(x), g(y)) > ε for infinitely many g ∈ G, (ii) for any δ > 0; there exists h ∈ G satisfying the condition d(h(x), h(y)) < δ. In particular, it is shown that a nontrivial topologically weakly mixing system (X, G) with a compact set X and an Abelian semigroup G is Li–Yorke sensitive. 2013 Article Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи / О.В. Рибак // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 681–688. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165325 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Рибак, О.В.
Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи
Український математичний журнал
description Рассматривается понятие чувствительности Ли-Йорка для действий полугрупп (динамических систем вида (X,G), где X — метрическое пространство, а G — некоторая полугруппа непрерывных отображений этого пространства в себя). Система (X,G) называется чувствительной в смысле Ли-Йорка, если существует такое положительное ε, что для каждой точки x∈X и любой ее открытой окрестности U есть точка y∈U, для которой выполнено следующее:1) d(g(x),g(y))>ε для бесконечно многих g∈G;2) для любого δ>0 существует h∈G, удовлетворяющее условию d(h(x),h(y))<δ.В частности, доказано, что нетривиальная топологически слабо перемешивающая система (X,G) с компактным X и абелевой G чувствительна по Ли-Йорку.
format Article
author Рибак, О.В.
author_facet Рибак, О.В.
author_sort Рибак, О.В.
title Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи
title_short Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи
title_full Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи
title_fullStr Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи
title_full_unstemmed Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи
title_sort чутливість лі–йорка для дії напівгрупи
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2013
topic_facet Статті
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165325
citation_txt Чутливість Лі–Йорка для дії напівгрупи / О.В. Рибак // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 681–688. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT ribakov čutlivístʹlíjorkadlâdíínapívgrupi
first_indexed 2025-07-14T18:19:48Z
last_indexed 2025-07-14T18:19:48Z
_version_ 1837647463751614464
fulltext УДК 517.9 О. В. Рибак (Iн-т математики НАН України, Київ) ЧУТЛИВIСТЬ ЛI – ЙОРКА ДЛЯ ДIЇ НАПIВГРУПИ We introduce and study the concept of Li – Yorke sensitivity for semigroup actions (dynamical systems of the form (X,G), where X is a metric space and G is a semigroup of continuous self-mappings of this space). A system (X,G) is called Li – Yorke sensitive if there exists a positive ε such that, for any point x ∈ X and any open neighborhood U of it, there is a point y ∈ U for which the following conditions are satisfied: 1) d(g(x), g(y)) > ε for infinitely many g ∈ G; 2) for any δ > 0, there exists h ∈ G for which d(h(x), h(y)) < δ. In particular, we prove that a nontrivial topologically weakly mixing system (X,G) with a compact X and an abelian semigroup G is Li – Yorke sensitive. Рассматривается понятие чувствительности Ли – Йорка для действий полугрупп (динамических систем вида (X,G), где X — метрическое пространство, а G — некоторая полугруппа непрерывных отображений этого пространства в себя). Система (X,G) называется чувствительной в смысле Ли – Йорка, если существует такое положительное ε, что для каждой точки x ∈ X и любой ее открытой окрестности U есть точка y ∈ U, для которой выполнено следующее: 1) d(g(x), g(y)) > ε для бесконечно многих g ∈ G; 2) для любого δ > 0 существует h ∈ G, удовлетворяющее условию d(h(x), h(y)) < δ. В частности, доказано, что нетривиальная топологически слабо перемешивающая система (X,G) с компактным X и абелевой G чувствительна по Ли – Йорку. 1. Вступ. Зазвичай пiд динамiчною системою мається на увазi пара (X, f), де X — простiр iз певною метрикою d(x, y), а f — вiдображення простору X у себе, неперервне вiдносно d. Даний термiн використовується у тих випадках, коли вивчається динамiка перетворень прос- тору X при багаторазовому застосуваннi функцiї f. Iншими словами, аналiзується поведiнка послiдовностей вигляду ( x, f(x), f2(x), f3(x), . . . ) , де x — довiльна точка простору X. Тут i далi fn(x) означає f ( f(. . . f︸ ︷︷ ︸ n разiв (x) . . .) ) . Зазначимо, що функцiї, якi утворюються при повторному застосуваннi f, є елементами напiвгрупи F = { fn| n ∈ Z, n ≥ 0 } з операцiєю композицiї: fm ◦ fn = fm+n. Така точка зору пiдказує наступне узагальнення. Розглянемо довiльну напiвгрупу G. Кожному g ∈ G спiвставимо деяку неперервну функцiю fg : X → X. При цьому для будь-яких g, h ∈ G по- винна виконуватися рiвнiсть fg◦h = fg(fh). А якщо G мiстить одиничний елемент e, то також має виконуватись умова fe(x) = x. В описанiй ситуацiї можна сказати, що напiвгрупа G дiє на X. Далi замiсть fg(x) писатимемо g(x). Також для довiльних g1, g2 ∈ G замiсть g1 ◦g2 можемо писати g1g2. Вiдмiтимо, що для рiзних елементiв g, h ∈ G їхнi дiї (тобто вiдповiднi функцiї fg та fh) можуть збiгатися. Описане поняття динамiчної системи на випадок дiї напiвгрупи (групи) є одним iз централь- них в теорiї динамiчних систем. Багато тверджень, правильних у випадку звичайної системи, легко перенести на випадок дiї довiльної напiвгрупи або напiвгрупи з досить широкого класу. Наприклад, Е. Конторович i М. Мегрелiшвiлi у згаданий спосiб узагальнили теорему про те, що з транзитивностi системи та щiльностi множини її перiодичних точок випливає чутливiсть цiєї системи [6]. Доведення для випадку звичайної системи вперше було наведене в роботi [2]. Ця теорема привернула до себе велику увагу завдяки тому, що спочатку всi три згаданi властивостi вважалися незалежними i вимагалися в означеннi хаотичної системи [4]. Досить багатостороннє дослiдження з питань, присвячених чутливостi дiї групи, виконав Ф. Поло [7]. c© О. В. РИБАК, 2013 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 681 682 О. В. РИБАК У данiй статтi ми поширимо на випадок дiї напiвгрупи деякi твердження з [1], що стосу- ються чутливостi систем у сенсi Лi – Йорка, а також чутливостi взагалi. В наведених узагальнен- нях доведеться накласти певнi обмеження на дiючу напiвгрупу G. Наприклад, ми покажемо чутливiсть слабко змiшуючої системи (X,G) за Лi – Йорком у випадку, коли G є комутативною. У пунктi 2 введено певнi означення, якi є узагальненням вiдповiдних означень на випадок дiї напiвгрупи. У пунктi 3 розглянуто деякi загальнi властивостi транзитивних та чутливих систем. Нарештi, у пунктi 4 отримано основний результат статтi — доведено, що слабко змiшуюча система з абелевою напiвгрупою вiдображень чутлива за Лi – Йорком. Це є узагальненням результату з [1] щодо чутливостi Лi – Йорка слабко змiшуючих систем. 2. Основнi означення. У цьому пунктi ми наведемо деякi означення, що узагальнюють вiдповiднi означення для систем вигляду (X, f). З нижченаведених означень можна отримати класичнi, якщо в якостi дiючої напiвгрупи G взяти F = { fn| n ∈ N ∪ {0} } . Для заданого ε пару (x, y) будемо називати ε-асимптотичною, якщо iснує лише скiнченна кiлькiсть елементiв g ∈ G, для яких d ( g(x), g(y) ) > ε. Пара (x, y) називається асимптотичною, якщо вона ε-асимптотична для будь-якого ε > 0. Можна дати й iнше означення асимптотичної пари, яке також збiгається з класичним у випадку G = F. Пара (x, y) називається секвенцiально асимптотичною, якщо для будь-якої послiдовностi {gi}∞i=1, де всi gi є елементами напiвгрупи G, вiдмiнними вiд одиничного, limn→∞ d ( gn . . . g1(x), gn . . . g1(y) ) = 0. У загальному випадку асимптотична пара не обов’язково є секвенцiально асимптотичною. Але за наступних умов таке твердження є правильним. Твердження 2.1. Якщо для всiх g ∈ G, всiх k ∈ N та всiх неодиничних h1, . . . , hk ∈ G виконується hk . . . h1g 6= g, то будь-яка асимптотична пара є секвенцiально асимптотичною. Доведення цього твердження отримується безпосередньо з означень. З нього випливає, що асимптотичнi пари є секвенцiально асимптотичними у випадку, коли напiвгрупаG є вiльною або вiльною комутативною, зокрема при G = F. А у випадку скiнченнопородженої комутативної напiвгрупи G можна довести й обернене твердження: кожна секвенцiально асимптотична пара також є асимптотичною. Далi ми будемо використовувати перше означення асимптотичної пари, тому що воно зруч- нiше для наших цiлей. Пара (x, y) називається проксимальною, якщо для будь-якого δ > 0 iснує елемент g ∈ G, для якого d ( g(x), g(y) ) < δ. Через Prox(x) ми позначатимемо множину точок y ∈ X, для яких пара (x, y) є проксимальною. Пара (x, y) називається парою Лi – Йорка, якщо вона проксимальна, але не асимптотична. Для заданого ε пару (x, y) будемо називати ε-парою Лi – Йорка, якщо вона проксимальна, але не ε-асимптотична. Система (X,G) є транзитивною, якщо для будь-яких вiдкритих непорожнiх множин U, V ⊂ X iснує g ∈ G, для якого g(U) ∩ V 6= ∅. Система (X,G) є (топологiчно) слабко змiшуючою, якщо для будь-яких вiдкритих непорож- нiх множин T, U, V,W ⊂ X iснує g ∈ G, для якого g(T ) ∩ V 6= ∅ та g(U) ∩W 6= ∅. Iншими словами, (X,G) є слабко змiшуючою, якщо (X ×X,G×G) є транзитивною. Система (X,G) називається чутливою, якщо є таке ε > 0, що для будь-якої вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X iснує деяке g ∈ G, для якого diam(g(U)) > ε. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 ЧУТЛИВIСТЬ ЛI – ЙОРКА ДЛЯ ДIЇ НАПIВГРУПИ 683 Система (X,G) називається чутливою у сенсi Лi – Йорка, якщо є таке ε > 0, що для будь- якої вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X та будь-якого x ∈ U iснує таке y ∈ U, для якого пара (x, y) є ε-парою Лi – Йорка. 3. Деякi загальнi аспекти чутливостi дiї напiвгруп. Якщо задано систему (X,G), то для кожного x ∈ X має мiсце рiвно один iз наступних двох варiантiв: 1) для будь-якого ε > 0 iснує такий вiдкритий окiл U точки x, що для будь-якого g ∈ G матимемо diam ( g(U) ) < ε; 2) iснує таке ε > 0, що для будь-якого вiдкритого околу U точки x знайдеться таке g ∈ G, що diam ( g(U) ) > ε. У першому випадку точка x називається рiвномiрно неперервною, а у другому — чутливою. Як випливає з попереднiх означень, система чутлива тiльки тодi, коли кожна її точка є чутливою. Будемо казати, що точка x транзитивна, якщо її орбiта {g(x)| x ∈ G} є щiльною в X. Нас- тупне твердження iлюструє зв’язок мiж транзитивними точками i транзитивними системами. Твердження 3.1. Якщо X — компактний простiр i (X,G) — транзитивна система, то множина її транзитивних точок щiльна в X. Доведення. Якщо X — компактний простiр, то в ньому є така злiченна сiм’я вiдкритих множин {Bn}, що будь-яка вiдкрита непорожня множина U ⊂ X мiстить у собi деяку множину Bi. Для кожної множини Bi розглянемо множину Ai = ⋃ g∈G g−1(Bi). Для кожного i множина X\Ai нiде не щiльна в X, iнакше розглядувана система не була б транзитивною. За теоре- мою Бера про категорiї будь-яка вiдкрита непорожня пiдмножина компакта є множиною другої категорiї, тобто вона не може бути подана як злiченне об’єднання нiде не щiльних множин. Отже, об’єднання всiх X\Ai не мiстить нiякої вiдкритої непорожньої пiдмножини простору X, тодi перетин усiх Ai є щiльним у X, а кожна точка з цього перетину — транзитивною. Твердження 3.1 доведено. Для заданої системи (X,G) будемо позначати множину рiвномiрно неперервних точок через Eq(G), а множину транзитивних точок — через Trans(G). У статтi [1] доведено, що для транзитивної системи (X, f) може справджуватися лише один iз двох наступних випадкiв: або Eq = ∅, або Eq(f) = Trans(f). Ми узагальнимо це твердження таким чином. Будемо казати, що напiвгрупа має властивiсть скiнченного зсуву, якщо для будь-якого g ∈ G множина G\{hg| h ∈ G} є скiнченною. Окрiм випадку класичної динамiчної системи, де G = { fn| n ∈ Z, n ≥ 0 } , описану властивiсть мають напiвгрупи наступних типiв. По-перше, властивiстю скiнченного зсуву володiє будь-яка G, що є групою. По-друге, нам пiдходять напiвгрупи вигляду N×H, де H — довiльна скiнченна група. Можна побудувати й iншi варiанти. Наприклад, для довiльного p ∈ N у якостiG можна взяти напiвгрупу{ (n, 0)| n ∈ N } ∪ { (1, 1), . . . , (p, 1) } з операцiєю (m,x) ◦ (n, y) = (m + n, 0). Правильним є наступне твердження. Твердження 3.2. Якщо система (X,G) транзитивна, X — компактний простiр, G має властивiсть скiнченного зсуву та Eq(G) 6= ∅, то Eq(G) = Trans(G). Доведення. Спершу покажемо, що Eq(G) ⊆ Trans(G). Нехай x /∈ Trans(G). Тодi iснує така вiдкрита непорожня пiдмножина V простору X, що g(x) /∈ V для всiх g ∈ G. Нехай y — деяка точка множини V. Iснує ε > 0, для якого весь ε-окiл точки y належить V. Нехай W — (ε/2)- окiл y. Розглянемо довiльний вiдкритий окiл U точки x. За твердженням 3.1 iснує транзитивна точка z ∈ U. Отже, знайдеться g ∈ G, для якого g(z) ∈ W. Тодi d ( g(x), g(z) ) > ε/2, тому що g(x) /∈ V. Таким чином, будь-який окiл точки x пiд дiєю деякого g ∈ G розтягується не менше, нiж на ε/2. Тому x є чутливою, тобто x /∈ Eq(G). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 684 О. В. РИБАК Тепер доведемо, що кожна транзитивна точка є рiвномiрно неперервною. Розглянемо до- вiльне ε > 0 та деяку y ∈ Eq(G). Iснує такий вiдкритий окiл U точки y, що diam ( h(U) ) < ε для всiх h ∈ G. Нехай x ∈ Trans(G). За вибором x iснує g ∈ G, для якого g(x) ∈ U. З неперерв- ностi функцiї g випливає, що є вiдкритий окiл V точки x, для якого g(V ) ⊂ U. Для кожного елемента вигляду hg (h ∈ G) маємо diam ( hg(V ) ) = diam ( h(g(V )) ) ≤ diam ( h(U) ) < ε. За властивiстю скiнченного зсуву в G iснує лише скiнченна кiлькiсть елементiв g1, . . . , gk, якi не дорiвнюють hg для жодного h ∈ G. Нехай Vi, 1 ≤ i ≤ k, — вiдкритi околи точки x, для яких diam ( gi(Vi) ) < ε. Тодi W = V ∩ V1 ∩ . . . ∩ Vk теж є вiдкритим околом точки x. За побудовою множини W для будь-якого h ∈ G виконується нерiвнiсть diam ( h(W ) ) < ε. Отже, x ∈ Eq(G). Твердження 3.2 доведено. Якщо напiвгрупа G має метрику, яка узгоджена з дiєю G на X (тобто якщо вiдображення f(g, x) = g(x), де g ∈ G та x ∈ X, є неперервним за сукупнiстю аргументiв), то умову скiнченностi зсуву можна послабити. А саме, її можна замiнити умовою передкомпактностi зсуву: будь-яка множина вигляду G\{hg|h ∈ G} має мiститися в деякому компактi. Дiйсно, нехай G\{hg| h ∈ G} ⊂ C, де C — компакт у G. А оскiльки X — компактний простiр, C ×X також компакт. За теоремою про рiвномiрну неперервнiсть iснує таке δ > 0, що для будь-якого g ∈ C та довiльних x, y ∈ X, для яких d(x, y) < δ, виконується нерiвнiсть d ( g(x), g(y) ) < ε/2. Це означає, що останнє доведення можна поширити на випадок умови передкомпактностi зсуву, якщо в якостi вiдповiдної W взяти перетин множини V з δ-околом x. Розглянемо приклад. Нехай функцiю f : R→ Rn задано диференцiальним рiвнянням f ′(t) = = H(f(t)), де H : Rn → Rn — неперервно диференцiйовне вiдображення, яке має перiод 1 за кожною координатою. Нехай S — пiвiнтервал [0;1) з метрикою d(x, y) = min { |x − y|, 1 − −|x−y| } . Простiр S гомеоморфний колу, отже, є компактним. Позначимо через R+ напiвгрупу, елементами якої є невiд’ємнi дiйснi числа, а напiвгруповою операцiєю — додавання. Задамо дiю напiвгрупи R+ в Sn. Через {~v} позначатимемо вектор, отриманий з ~v покоординатним узяттям дробової частини. Для кожного r ∈ R+ та s ∈ Sn покладемо r(s) = { f(r) } , де f задано рiвнянням f ′(t) = H ( f(t) ) та початковою умовою f(0) = ~x, а ~x — будь-який вектор з властивiстю {~x} = s. З неперервної диференцiйовностi H випливає, що f(r) визначається однозначно та залежить вiд сукупностi параметрiв (r, ~x) неперервно. А оскiльки H(~v) має перiод 1, при заданому r значення f(r) залежить лише вiд {~x}. Тому у просторi Sn дiя R+ теж є заданою однозначно i неперервною за сукупнiстю параметрiв (r, s). Очевидно, що напiвгрупа R+ має властивiсть передкомпактного зсуву. Тому до системи (Sn,R+) можна застосувати твердження 3.2 у його модифiкованому варiантi. 4. Чутливiсть Лi – Йорка для слабко змiшуючих систем. У цьому пунктi наводиться основний результат щодо чутливостi у сенсi Лi – Йорка для слабко змiшуючих систем. Ми будемо використовувати наступну лему. Лема 4.1. Нехай (X,G) — слабко змiшуюча система, де X — компактний простiр та G — абелева напiвгрупа (тобто для всiх g, h ∈ G : gh = hg). Тодi для кожного x ∈ X iснує z ∈ X з наступною властивiстю: для будь-яких двох вiдкритих непорожнiх U, V ⊂ X i будь-якого вiдкритого околу W точки z є елемент g ∈ G, для якого одночасно виконується g(U)∩V 6= ∅ та g(x) ∈W. Доведення. Використаємо наступне твердження: якщо C — сiм’я замкнених пiдмножин компактної множини i кожний скiнченний набiр множин з C має спiльну точку, то й усi множини у C мають спiльну точку. Це твердження рiвносильне теоремi Бореля – Лебега про те, що з будь- якого покриття компакта вiдкритими множинами можна вибрати скiнченне пiдпокриття. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 ЧУТЛИВIСТЬ ЛI – ЙОРКА ДЛЯ ДIЇ НАПIВГРУПИ 685 Будемо позначати через OrbU,V (x) множину { g(x)| g ∈ G, g(U) ∩ V 6= ∅ } . Також нехай O(X) позначає сiм’ю всiх вiдкритих непорожнiх пiдмножин X. Ми покажемо, що всi множини сiм’ї { OrbU,V (x) | U, V ∈ O(X) } мають спiльну точку. Основна iдея нашого доведення аналогiчна iдеї Х. Фюрстенберга, який у роботi [5] показав, що у випадку змiшуючої системи (X, f) для будь-якого k ∈ N система (Xk, fk) є транзитивною. Розглянемо декiлька вiдкритих непорожнiх множин U1, U2, . . . , Uk та V1, V2, . . . , Vk. За озна- ченням слабко змiшуючої системи iснує g ∈ G, для якого g(U1) ∩ U2 6= ∅ i g(V1) ∩ V2 6= ∅. Нехай U12 = U1 ∩ g−1(U2) та V12 = V1 ∩ g−1(V2). (Вiдмiтимо, що iснування елемента g−1 у G не є необхiдним: через g−1(S) ми позначаємо множину всiх точок x, для яких g(x) ∈ S.) За вибором g множини U12 i V12 не порожнi. Також вони вiдкритi, бо функцiя g є неперервною. Покажемо, що OrbU12,V12(x) мiститься у перетинi множин OrbU1,V1(x) та OrbU2,V2(x). Дiйс- но, якщо h(U12) ∩ V12 6= ∅, то h(U1) ∩ V1 6= ∅ та hg−1(U2) ∩ g−1(V2) 6= ∅. До останнього спiввiдношення застосуємо дiю елемента g : ghg−1(U2) ∩ V2 6= ∅. Завдяки комутативностi G цей вираз можна переписати як h(U2) ∩ V2 6= ∅. Тому OrbU1,V1(x) ∩ OrbU2,V2(x) покриває OrbU12,V12(x). Застосовуючи цi мiркування ще кiлька разiв, отримуємо, що k⋂ i=1 OrbUi,Vi(x) ⊃ ⊃ OrbU12...k,V12...k (x) для деяких непорожнiх вiдкритих множинах U12...k та V12...k. Звiдси ви- пливає, що будь-який скiнченний перетин множин вигляду OrbU,V (x) є непорожнiм. Отже, непорожнiм буде i скiнченний перетин множин вигляду OrbU,V (x). А тому за теоремою Боре- ля – Лебега усi множини сiм’ї { OrbU,V (x) | U, V ∈ O(X) } мають спiльну точку. Очевидно, будь-яка точка z, яка належить усiм множинам згаданої сiм’ї, задовольняє вимо- ги, вказанi в умовi леми. Лему 4.1 доведено. З лема 4.1 отримуємо наступний наслiдок. Наслiдок 4.1. Нехай (X,G) — слабко змiшуюча система з абелевою напiвгрупою G. Тодi для кожного x ∈ X множина Prox(x) є щiльною в X. Доведення. Нехай x — довiльна точка, а U — довiльна вiдкрита непорожня пiдмножина X. Нехай z — така точка, що для будь-яких вiдкритих непорожнiх множин U, V ⊂ X i будь-якого вiдкритого околу W точки z iснує елемент g ∈ G, для якого g(U) ∩ V 6= ∅ та g(x) ∈ W. За лемою 4.1 згадана точка z iснує. Для кожного n ∈ N розглянемо вiдкриту кулю Bz,1/n з центром у z та радiусом 1/n. Нехай U0 — вiдкрита непорожня множина, замикання якої лежить в U. Ми побудуємо послiдовнiсть множин {Un}∞n=1 рекурентним чином. Для кожного n ∈ N нехай gn ∈ G — це такий елемент, для якого gn(x) ∈ Bz,1/n та gn(Un−1) ∩Bz,1/n 6= ∅. Тодi нехай Un = Un−1 ∩ g−1n (Bz,1/n). Маємо U0 ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ . . . , тому U0 ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ . . . є послiдовнiстю вкладених компактiв. Отже, всi Un мають деяку спiльну точку y. Зазначимо, що за вибором U0 справд- жується y ∈ U. Для кожного n ∈ N маємо gn(x) ∈ Bz,1/n та gn(y) ∈ Bz,1/n, звiдки випливає d ( gn(x), gn(y) ) < 2/n. Звiдси отримуємо, що (x, y) — проксимальна пара. Оскiльки множина U довiльна, Prox(x) є щiльною в X. Наслiдок 4.1 доведено. Позначимо через Asymε(x) множину таких точок y ∈ X, що (x, y) є ε-асимптотичною парою. Тепер доведемо промiжний результат у припущеннi злiченностi G. Теорема 4.1. Нехай X — компактний простiр, що мiстить бiльше однiєї точки, G — злiченна та абелева напiвгрупа, а (X,G) — слабко змiшуюча система. Тодi iснує таке ε > 0, що для всiх x ∈ X множина Prox(x)\Asymε(x) є щiльною в X. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 686 О. В. РИБАК Доведення. Розглянемо довiльну точку x ∈ X. Нехай (x, y) — ε-асимптотична пара. Тодi за означенням такої пари iснує скiнченна пiдмножина F ⊂ G така, що нерiвнiсть d ( g(x), g(y) ) ≤ ε виконується для всiх g ∈ G\F. Iншими словами, для будь-якого g ∈ G\F точка y належить g−1(Bg(x),ε), де Bg(x),ε — замкнена куля з центром g(x) та радiусом ε. Отже, y належить мно- жинi ⋂ g∈G\F g−1(Bg(x),ε). Ця множина є замкненою як перетин замкнених множин g−1(Bg(x),ε). Нарештi, нехай F(G) позначає сiм’ю всiх скiнченних пiдмножин G. Тодi Asymε(x) = ⋃ F∈F(G) ( ⋂ g∈G\F g−1(Bg(x),ε) ) . Вiзьмемо двi рiзнi точки a, b ∈ X. Доведемо, що для ε = d(a, b)/4 множина Prox(x)\Asymε(x) є щiльною в X для кожного x ∈ X. Розглянемо вiдкритi кулi Ba,ε та Bb,ε радiуса ε з центрами a та b вiдповiдно. За властивiстю слабкої змiшуваностi для довiльної вiдкритої непорожньої U ⊂ X є деяке g ∈ G, для якого одночасно g(U) ∩ Bx,ε 6= ∅ та g(U) ∩ By,ε 6= ∅. З цього випливає, що для кожної вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X iснує g ∈ G, для якого diam(g(U)) > 2ε. Для довiльного F ∈ F(G) через AF,ε(x) позначимо множину ⋂ g∈G\F g−1(Bg(x),ε). За побу- довою AF,ε(x) вона є замкненою. Доведемо, що кожна така множина є нiде не щiльною в X. Припустимо протилежне: нехай деяка AF,ε(x) щiльна в якiйсь вiдкритiй непорожнiй множинi V ⊂ X. Але разом з тим фактом, що AF,ε(x) є замкненою, це давало б V ⊂ AF,ε(x). Звiдси для будь-якого g /∈ F i будь-яких y, z ∈ V було б d ( g(y), g(z) ) ≤ d ( g(x), g(y) ) + d ( g(x), g(z) ) ≤ 2ε. Отже, для всiх g /∈ F ми мали б diam ( g(V ) ) ≤ 2ε. Оскiльки F є скiнченною, можна було б вибрати вiдкриту непорожню множину U ⊂ V таким чином, що б нерiвнiсть diam ( g(V ) ) ≤ 2ε виконувалася i для всiх g ∈ F. Але це суперечило б ранiше доведеному твердженню, згiдно з яким для будь-якої вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X iснує таке g ∈ G, що diam ( g(U) ) > 2ε. Тому всi множини вигляду AF,ε(x) є нiде не щiльними в X. I як ми показали вище, Asymε(x) = ⋃ F∈F(G) AF,ε(x). Аналогiчно можна показати, що X\Prox(x) = ∞⋃ n=1 ( ⋂ g∈G X\g−1(Bg(x),1/n) ) . НехайD1/n(x) позначає множину ⋂ g∈G X\g−1(Bg(x),1/n). За побудовою будь-яка множина такого вигляду є замкненою. Також усi такi множини нiде не щiльнi, iнакше одна з таких множин мiстила б деяку вiдкриту непорожню множину, з чого випливало б, що Prox(x) не щiльна в X. Але останнє суперечило б наслiдку 4.1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 ЧУТЛИВIСТЬ ЛI – ЙОРКА ДЛЯ ДIЇ НАПIВГРУПИ 687 З огляду на викладене вище можна стверджувати, що (X\Prox(x)) ∪Asymε(x) = ( ∞⋃ n=1 D1/n(x) ) ∪ ( ⋃ F∈F(G) AF,ε(x) ) . Отже, вказана множина є злiченним об’єднанням нiде не щiльних множин. Тому за теоре- мою Бера про категорiї множина (X\Prox(x)) ∪ Asymε(x) не може мiстити нiякої вiдкритої непорожньої множини. Отже, її доповнення Prox(x)\Asymε(x) є щiльним в X для кожного x ∈ X. Теорему 4.1 доведено. Насамкiнець ми можемо довести наступну теорему. Теорема 4.2. Нехай X — компактний простiр, що мiстить бiльше однiєї точки, G — абелева напiвгрупа, а (X,G) — слабко змiшуюча система. Тодi (X,G) є чутливою в сенсi Лi – Йорка. Доведення. Скористаємося вiдомим фактом, що простiр неперервних функцiй з компакта в компакт є сепарабельним вiдносно рiвномiрної метрики. Тобто можна вибрати таку злiченну пiдмножину H0 ⊂ G, що для довiльного δ > 0 i будь-якого g ∈ G iснує h ∈ H0, для якого maxx∈X d ( g(x), h(x) ) < δ. Вiзьмемо пiдмножину H0 з описаними властивостями i розглянемо напiвгрупу H, породжену всiма елементами з H0. Напiвгрупа H, як i множина H0, є злiченною. Також очевидно, система (X,H) є слабко змiшуючою. З теореми 4.1 випливає, що (X,H) чутлива за Лi – Йорком. Отже, такою є i (X,G). Теорему 4.2 доведено. 5. Заключнi зауваження. Ми показали чутливiсть у сенсi Лi – Йорка для не одноточкової слабко змiшуючої системи (X,G), припускаючи комутативнiсть G. Насправдi нам достатньо лише того факту, що система (X,G) є k-транзитивною для всiх k ∈ N, тобто для довiльного натурального k транзитивною є система (Xk, Gk). Таку властивiсть мають слабко змiшуючi системи з абелевою напiвгрупою G. З iншого боку, в роботi [3] показано, що у випадку не абе- левої напiвгрупи з її слабкої змiшуваностi не обов’язково випливає k-транзитивнiсть. Оскiльки в iнших мiсцях, потрiбних для доведення теореми 4.2, ми не використовували комутативнiсть G, цю теорему можна перенести i на випадок довiльної напiвгрупи, замiнивши слабку змiшу- ванiсть умовою, що для довiльного натурального k задана система є k-транзитивною. Також у [3] наведено результати, з яких випливає, що чутливiсть Лi – Йорка притаманна широкому класу систем (X,G), де G є групою. Зокрема, розглядаються тотально транзи- тивнi системи, тобто такi (X,G), що для будь-якої пiдгрупи H, яка має скiнченний iндекс у G, система (X,H) є транзитивною. У згаданiй роботi продемонстровано, що система (X,G) є k-транзитивною для всiх k, якщо вона тотально транзитивна (зокрема, якщо вона слабко змiшуюча) та має скрiзь щiльну множину перiодичних точок. Тут точка x називається перiо- дичною, якщо її орбiта {g(x)|g ∈ G} є скiнченною. Таким чином, для тотально транзитивних систем зi скрiзь щiльною множиною перiодичних точок можна довести аналог леми 4.1, не припускаючи абелевостi групи G. Тодi має мiсце наступна теорема. Теорема 5.1. Нехай X мiстить бiльше однiєї точки, G — група, а (X,G) — тотально транзитивна система зi скрiзь щiльною множиною перiодичних точок. Тодi система (X,G) є чутливою в сенсi Лi – Йорка. Автор висловлює подяку своєму науковому керiвнику – доктору фiзико-математичних наук, професору С. Ф. Колядi за постанову задачi та поради по написанню даної статтi. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5 688 О. В. РИБАК 1. Akin E., Kolyada S. Li – Yorke sensitivity // Nonlinearity. – 2003. – 16. – P. 1421 – 1433. 2. Banks J., Brooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney’s definition of chaos // Amer. Math. Mon. – 1992. – 99, № 4. – P. 332 – 334. 3. Cairns G., Kolganova A., Nielsen A. Topological transitivity and mixing notions for group actions // Rocky Mountain J. Math. – 2007. – 37, № 2. – P. 371 – 397. 4. Devaney R. L. An introduction to chaotic dynamical systems. – Second ed. – Reading: Addison-Wesley, 1989. 5. Furstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation // Math. Syst. Theory. – 1967. – 1. – P. 1 – 49. 6. Kontorovich E., Megrelishvili M. A note on sensitivity of semigroup actions // Semigroup Forum. – 2008. – 76, № 1. – P. 133 – 141. 7. Polo F. Sensitive dependence on initial conditions and chaotic group actions // Proc. Amer. Math. Soc. – 2010. – 138, № 8. – P. 2815 – 2826. Одержано 31.10.12 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5