Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного
У сепарабельному гільбертовому просторі вивчаються спектральні властивості лінійних комбінацій вольтеррового дисипативного оператора та спряженого з ним.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165327 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного / Г.М. Губреев, Е.И. Олефир, А.А. Тарасенко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 706–711. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165327 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653272020-02-14T01:25:38Z Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного Губреев, Г.М. Олефир, Е.И. Тарасенко, А.А. Короткі повідомлення У сепарабельному гільбертовому просторі вивчаються спектральні властивості лінійних комбінацій вольтеррового дисипативного оператора та спряженого з ним. We study the spectral properties of linear combinations of the Volterra dissipative operator and its adjoint operator in a separable Hilbert space. 2013 Article Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного / Г.М. Губреев, Е.И. Олефир, А.А. Тарасенко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 706–711. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165327 517.518 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Губреев, Г.М. Олефир, Е.И. Тарасенко, А.А. Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного Український математичний журнал |
| description |
У сепарабельному гільбертовому просторі вивчаються спектральні властивості лінійних комбінацій вольтеррового дисипативного оператора та спряженого з ним. |
| format |
Article |
| author |
Губреев, Г.М. Олефир, Е.И. Тарасенко, А.А. |
| author_facet |
Губреев, Г.М. Олефир, Е.И. Тарасенко, А.А. |
| author_sort |
Губреев, Г.М. |
| title |
Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| title_short |
Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| title_full |
Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| title_fullStr |
Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| title_full_unstemmed |
Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| title_sort |
линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165327 |
| citation_txt |
Линейные комбинации вольтеррова диссипативного оператора и его сопряженного / Г.М. Губреев, Е.И. Олефир, А.А. Тарасенко // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 706–711. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gubreevgm linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT olefirei linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo AT tarasenkoaa linejnyekombinaciivolʹterrovadissipativnogooperatoraiegosoprâžennogo |
| first_indexed |
2025-07-14T18:19:55Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:19:55Z |
| _version_ |
1837647471051800576 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.518
Г. М. Губреев (Полтав. нац. техн. ун-т),
Е. И. Олефир (Одес. нац. пед. ун-т),
А. А. Тарасенко (Autonomus Univ. of Hidalgo State, Mexico)
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА
ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА И ЕГО СОПРЯЖЕННОГО
We study the spectral properties of linear combinations of a Volterra dissipative operator and its adjoint in a separable
Hilbert space.
У сепарабельному гiльбертовому просторi вивчаються спектральнi властивостi лiнiйних комбiнацiй вольтеррового
дисипативного оператора та спряженого з ним.
1. Пусть B — вольтерров оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве
H. Операторы ReB :=
1
2
(B + B∗), ImB :=
1
2i
(B − B∗) играют важную роль в спектральной
теории вольтерровых операторов (теоремы Мацаева о ReB, ImB [1], фундаментальная тео-
рема о плотности спектра ReB [2] и др.). Это наблюдение явилось побудительной причиной
для изучения свойств произвольных линейных комбинаций αB + βB∗, где B — вольтерров
диссипативный (т. е. ImB ≥ 0) оператор такой, что rank ImB = n < ∞. В данной работе
сформулированы критерии полноты корневых векторов и критерии безусловной базисности
собственных векторов таких операторов. При этом использованы результаты работ [3, 4].
Чтобы исключить из рассмотрения тривиальные случаи, будем предполагать, что α+ β 6= 0,
αβ 6= 0. При изучении оператора αB + βB∗ удобно перейти к новому параметру δ := β/α и
рассматривать пропорциональный оператор
Kδ :=
1
1 + δ
B +
δ
1 + δ
B∗, δ 6= −1, δ 6= 0. (1)
В дальнейшем предполагается, что KerB = {0}. Поскольку ImB ≥ 0, rank ImB = n,
существуют векторы ϕk такие, что
(i)−1(B −B∗)h =
n∑
k=1
(h, ϕk)ϕk, h ∈ H. (2)
Напомним, что характеристической функцией оператора B называется целая внутренняя в
области C+ := {z ∈ C, Im z > 0} матрица-функция Θ(z), элементы которой определяются
равенствами [5]
Θkj(z) = δkj + iz((I − zB)−1ϕj , ϕk), 1 ≤ j, k ≤ n. (3)
Отметим, что каждая целая внутренняя в C+ матрица-функция является характеристической
для некоторого вольтеррова оператора рассматриваемого класса [5].
Из формул (1), (2) легко следует равенство
c© Г. М. ГУБРЕЕВ, Е. И. ОЛЕФИР, А. А. ТАРАСЕНКО, 2013
706 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА . . . 707
(i)−1(Kδ −K∗δ )h =
1− |δ|2
|1− δ|2
n∑
k=1
(h, ϕk)ϕk, h ∈ H, (4)
и поэтому
(1− |δ|2) ImKδ ≥ 0, |δ| 6= 1.
Заметим также, что Kδ = K∗δ , если |δ| = 1. Поскольку Kδ вполне непрерывен, в дальней-
шем случай |δ| = 1 исключаем из рассмотрения как тривиальный. Нетрудно доказать, что при
условии |δ| 6= 1 оператор Kδ вполне несамосопряжен [5] (в частности, KerKδ = {0}). Напом-
ним, что фредгольмов спектр оператора определяется равенством F (Kδ) =
{
µ−1
k : µk ∈ σ(Kδ),
µk 6= 0
}
.
Теорема 1. Фредгольмов спектр произвольного оператора Kδ, |δ| 6= 1, вида (1) беско-
нечен и совпадает с множеством корней целой функции экспоненциального типа det(δE +
+ Θ−1(z)).
В самом деле, вычисляя фредгольмову резольвенту (I − zKδ)
−1, выводим, что F (Kδ)
совпадает с множеством корней функции det Φ(z), где
Φ(z) =
1
1 + δ
(δE + Θ−1(z)), Ekj = δkj , 1 ≤ k, j ≤ n. (5)
Если предположить, что F (Kδ) конечен (пуст), то с учетом равенства [5] det Θ(z) = eiaz,
a > 0, приходим к формуле det(δΘ(z) + E) = ρ(z)eczeidz, где c, d ∈ R, ρ — некоторый
полином. Пусть для определенности |δ| < 1. Поскольку ‖Θ(z)‖ ≤ 1, z ∈ C+, в предыдущем
равенстве ρ(z) ≡ const, c = 0, d > 0. Действительно, d = 0, так как функция det(δΘ(z) + E)
внешняя в C+ [6]. Теперь воспользуемся формулой дифференцирования [1]
Sp
(
(δΘ(z) + E)δΘ′(z)
)
=
d
dz
log det(δΘ(z) + E) ≡ 0,
откуда при z = 0 заключаем, что Sp Θ′(0) = 0.Последнее невозможно, поскольку из (3) следует,
что SpΘ′(0) = i
∑n
k=1
‖ϕk‖2.
Рассмотрим задачу о полноте семейства корневых подпространств оператора Kδ. Легко
видеть, что
Kδh = B∗h+
i
1 + δ
n∑
k=1
(h, ϕk)ϕk, h ∈ H.
Из свойств оператора B следует, что Kδ является w-возмущением ранга n вольтеррова опе-
ратора B∗, которому соответствуют тривиальный матричный вес Макенхаупта w2(x) ≡ E и
целая внутренняя функция Θ(z). Соответствующие определения и доказательство этого факта
содержатся в [3]. Теперь из работы [4], посвященной изучению w-возмущений, следует, что
если выполняются два условия:
1) вес W 2(x) = Φ(x)Φ∗(x), x ∈ R, удовлетворяет матричному условию Макенхаупта, т. е.
sup
∆
‖(M(W−2))1/2(M(W 2))1/2‖ <∞, M(W±2) := |∆|−1
∫
∆
w±2(x)dx,
∆ — произвольный интервал, |∆| — его длина;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
708 Г. М. ГУБРЕЕВ, Е. И. ОЛЕФИР, А. А. ТАРАСЕНКО
2) lim sup
y→+∞
y−1 log | det Φ(iy)| = −iSp(Θ′(0)), lim sup
y→−∞
|y|−1 log |det Φ(iy)| = 0,
то семейство корневых подпространств оператора Kδ полно в пространстве H.
Из формулы (5) легко следует существование такой константы M, что ‖Φ(x)‖ ≤ M,
‖Φ−1(x)‖ ≤ M для всех x ∈ R. Это означает, что условие 1 всегда (|δ| 6= 1) выполняется.
Далее, из двух равенств условия 2 всегда имеет место одно из них (при |δ| < 1 справедливо
первое равенство, при |δ| > 1 — второе). Из теоремы Лившица [1] о полноте семейства корне-
вых подпространств диссипативного оператора следует, что условие 2 является необходимым
для полноты оператора Kδ. Таким образом, приходим к следующему результату.
Теорема 2. Пусть Kδ — произвольный оператор вида (1), Θ — характеристическая
матрица-функция оператора B. Для полноты семейства корневых подпространств операто-
ра Kδ необходимо и достаточно, чтобы
lim sup
y→+∞
y−1 log |det(δ̄E + Θ(iy))| = 0, (6)
если |δ| < 1, и
lim sup
y→+∞
y−1 log |det(δ−1E + Θ(iy))| = 0 (7)
в случае |δ| > 1.
Обозначим через {Θ} множество всех предельных значений матрицы-функции Θ(iy) при
y → +∞. Другими словами, если Θ∞ ∈ {Θ}, то существует последовательность yn → ∞
такая, что Θ∞ = limn→∞Θ(iyn). Легко видеть, что если равенство (6) не имеет места, то
число −δ̄ является общим собственным значением всех матриц Θ∞ ∈ {Θ}. Отметим, что
каждая матрица Θ∞ необратима, а параметр δ 6= 0. Поэтому может существовать не более чем
n−1 исключительных значений δ, для которых (6) не имеет места. В конце этой статьи приведен
пример, показывающий, что все указанные выше δ в самом деле могут быть исключительными
(т. е. равенство (6) для них не имеет места). Аналогично, равенство (7) может не выполняться
только для не более чем n− 1 значения параметра δ.
Следствие. Пусть rank ImB = n. Тогда существует не более n− 1 значения параметра
δ, для которых оператор Kδ может не иметь полную систему корневых подпространств.
Если существует предел limy→+∞Θ(iy), который является нильпотентной матрицей, то
множество исключительных значений δ пусто.
Приведем простую иллюстрацию к теореме 2. В пространстве L2(0, a) рассмотрим инте-
гральный оператор
(Kh)(x) =
a∫
0
k(x, t)h(t)dt, (8)
где
k(x, t) =
n∑
k=1
ϕk(x)ϕk(t), x ≥ t,
δ
n∑
k=1
ϕk(x)ϕk(t), x < t, δ 6= 0, 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА . . . 709
В этих формулах функции ϕk ∈ L2(0, a), 1 ≤ k ≤ n, линейно независимы. Назовем так
определенное ядро k(x, t) полувырожденным. Из теоремы 2 следует, что оператор (8) имеет
полную систему корневых подпространств, за исключением, быть может, не более n− 1 значе-
ния δ. Не останавливаясь на этом подробно, отметим, что можно сформулировать условия на
полувырожденное ядро, при которых множество исключительных значений δ пусто.
2. Вычислим теперь характеристическую матрицу-функцию W оператора Kδ, которая
(с учетом (4)) определяется следующим образом [5]:
Wkj(z) := δkj + iz((I − zKδ)
−1ψj , ψk), ψk =
√
aϕk, a =
1− |δ|2
|1 + δ|2
.
Предполагая, что |δ| < 1, в результате несложных преобразований получаем формулу
W (z) =
1 + δ
1 + δ̄
(Θ(z) + δ̄E)(E + δΘ(z))−1.
С другой стороны, известно, что полнота корневых векторов оператора равносильна тому, что
его характеристическая функция является матричным произведением Бляшке – Потапова [7].
Поскольку при |δ| < 1 оператор Kδ диссипативен (см. (4)), матрица W (z) является произведе-
ние Бляшке – Потапова тогда и только тогда, когда detW (z) = αB(z), z ∈ C+, α — константа
(|α| = 1), B — скалярное произведение Бляшке [7]. Таким образом, имеет место следующий
результат.
Теорема 3. Пусть Θ — произвольная целая внутренняя в области C+ матрица-функция
порядка n. Тогда для всех δ (δ 6= 0, |δ| < 1), за исключением, быть может, не более n − 1
значения δ, дробно-линейное преобразование
Π(z) := (δ̄E + Θ(z))(E + δΘ(z))−1, z ∈ C+,
является дефинитным произведением Бляшке – Потапова.
Эта теорема (для целых внутренних функций) существенно уточняет описание исключи-
тельных значений в общих теоремах о дробно-линейных преобразованиях внутренних в C+
функций. Скалярный вариант теоремы (n = 1, Θ — произвольная внутренняя функция) доказан
Фростманом [6], матричная версия (Θ — произвольная матричная внутренняя функция) уста-
новлена Гинзбургом [8]. У обоих авторов о множестве исключительных значений δ известно
лишь то, что оно имеет логарифмическую емкость нуль.
Рассмотрим теперь задачу о безусловной базисности собственных векторов произвольного
оператора Kδ. Напомним, что Λ = {λk}+∞−∞ является множеством корней функции det Φ(z), где
Φ определяется формулой (5) (фредгольмов спектр Kδ). Отметим, что корневое подпростран-
ство, соответствующее собственному числу λ−1
k , состоит только из собственных векторов тогда
и только тогда, когда Φ−1(z) в точке z = λk имеет полюс 1-го порядка. Далее, размерность
собственного подпространства Nk вычисляется по формуле
dimNk = n− rank Φ(λk).
Применим теперь основной результат о базисности работы [4] к оператору Kδ. Для этого
необходимо предварительно получить внешне-внутренние факторизации вида [9]
Φ(z) = W−(z)V−(z), z ∈ C− := {z ∈ C, Im z < 0}, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
710 Г. М. ГУБРЕЕВ, Е. И. ОЛЕФИР, А. А. ТАРАСЕНКО
в случае |δ| < 1, а также
Φ(z)Θ(z) = W+(z)V+(z), z ∈ C+, (10)
если |δ| > 1. В этих формулахW+(W−) — внешняя в области C+(C−), а V+(V−) — внутренняя в
C+(C−) матрица-функция. Нахождение указанных факторизаций опирается на теорему 3. Дей-
ствительно, учитывая (5), теорему 3 и равенство (Θ∗(z̄))−1 = Θ(z) [5], для неисключительных
δ в области C+ получаем
Φ∗(z̄) = (1 + δ̄)−1(δ̄E + (Θ∗(z̄))−1) = (1 + δ̄)−1(δ̄E + Θ(z)) = Π(z)U(z),
U(z) := (1 + δ̄)−1(E + δΘ(z)),
где Π — произведение Бляшке – Потапова, U — внешняя в C+ матрица-функция. Отсюда следует,
что в области C− имеет место факторизация (9), в которой внешний множитель W−(z) :=
:= U∗(z̄), V−(z) := Π∗(z̄) — внутренняя матрица-функция. Аналогично, если |δ| > 1 и не
является исключительным, то имеет место факторизация (10), в которой
W+(z) = (1 + δ)−1(E + (δ̄)−1Θ(z)), V+(z) = Π(z), z ∈ C+.
Предположим, что
rank Φ(λk) = n− 1, λk ∈ Λ, (11)
т. е. все собственные подпространства одномерны. Обозначим также через ck, dk векторы из
Cn, которые удовлетворяют системам уравнений
Φ(λk)ck = 0, Φ∗(λk)dk = 0, λk ∈ Λ.
Напомним также, что Θ — характеристическая функция вольтеррова оператора B. Из работы
[4] выводится следующий результат.
Теорема 4. Пусть выполняется условие (11) и δ не является исключительным значением
для оператора Kδ. Тогда в случае |δ| < 1 система собственных векторов оператора Kδ
образует безусловный базис пространства H, если
inf
λk∈Λ
|Imλk| |(Θ′(λk)ck, dk)|
‖ck‖ ‖dk‖
> 0. (12)
Если |δ| > 1, то безусловная базисность собственных векторов вытекает из условия
inf
λk∈Λ
(Imλk) |(Θ′(λk)ck, dk)|
‖Θ−1(λk)ck‖ ‖dk‖
> 0. (13)
Обратно, если при некотором a > 0 элементы матрицы e−iazΘ(z) ограничены в C+, то
сформулированные условия являются необходимыми для безусловной базисности собственных
векторов оператора Kδ.
Напомним, что в случае |δ| = 1 собственные векторы оператора Kδ образуют ортогональ-
ный базис пространства H.
Проверка условий (12), (13) сопряжена с определенными техническими трудностями. Про-
верку этих условий можно упростить, если воспользоваться теоремой Никольского – Павлова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВОЛЬТЕРРОВА ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА . . . 711
[9] о сериях Карлесона. Заметим, что неравенства (12), (13) выполняются, если последователь-
ность Λ удовлетворяет условию Карлесона [6].
Пусть вектор-функция
ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)),
n∑
k=1
|ϕk(t)|2 ≡ 1,
кусочно-постоянная на сегменте [0, a] с разрывами в точках tk = (ak)/m, k = 1, 2, . . . ,m− 1.
Обозначим через ϕk постоянный вектор такой, что ϕ(t) = ϕk, если t ∈ [tk−1, tk), 1 ≤ k ≤ m,
t0 = 0, tm = a. Рассмотрим теперь соответствующий интегральный оператор (8) с полу-
вырожденным ядром. Можно доказать, что этому оператору соответствует целая внутренняя
матрица-функция
Θ(z) = (E − ϕ∗1ϕ1 + ϕ∗1ϕ1e
(iza)/m)(E − ϕ∗2ϕ2 + ϕ∗2ϕ2e
(iza)/m) . . . (E − ϕ∗mϕm + ϕ∗mϕme
(iza)/m)
и поэтому Θ∞ является произведением матриц-ортопроекторов:
Θ∞ = (E − ϕ∗1ϕ1)(E − ϕ∗2ϕ2) . . . (E − ϕ∗mϕm).
Нетрудно видеть, что равенство (6) нарушается тогда и только тогда, когда −δ̄ является ненуле-
вым собственным числом матрицы Θ∞. Аналогично, условие (7) не имеет места тогда и только
тогда, когда −δ−1 — ненулевое собственное число Θ∞. Таким образом, если Θ∞ = 0, то мно-
жество исключительных значений δ пусто. Введем для краткости обозначения Ak = E−ϕ∗kϕk,
Bk = ϕ∗kϕk и рассмотрим многочлен
P (λ) = det(δE + (A1 + λB1)(A2 + λB2) . . . (Am + λBm)).
Теорема 5. Пусть K — интегральный оператор в пространстве L2(0, a) с полувырож-
денным кусочно-постоянным ядром, δ не является исключительным. Если многочлен P (λ)
имеет только простые корни, то семейство собственных подпространств оператора K об-
разует безусловный базис пространства L2(0, a).
Отметим, что в условиях теоремы фредгольмов спектр Λ оператора K удовлетворяет усло-
вию Карлесона. Теорема утверждает, что семейство собственных подпространств образует
базис, поскольку условие (11), вообще говоря, не имеет места.
1. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамоспряженных операторов в гильбертовом
пространстве. – М.: Наука, 1965.
2. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. –
М.: Наука, 1967.
3. Губреев Г. М., Латушкин Ю. Д. Функциональные модели несамосопряженных операторов, сильно непрерыв-
ные полугруппы и матричные веса Макенхаупта // Изв. РАН. Сер. мат. – 2011. – 75, № 2. – С. 69 – 126.
4. Губреев Г. М., Тарасенко А. А. Критерий безусловной базисности собственных векторов конечномерных
возмущений вольтерровых операторов // Функцион. анализ и его прил. – 2011. – 45, № 2. – С. 86 – 91.
5. Бродский М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. – М.: Наука, 1969.
6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984.
7. Бродский М. С„ Лившиц М. С. Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточные
системы // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, № 1. – C. 3 – 85.
8. Гинзбург Ю. П. О почти инвариантных спектральных свойствах сжатий и мультипликативных свойствах
аналитических оператор-функций // Функцион. анализ и его прил. – 1971. – 5, № 3. – С. 32 – 41.
9. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. – М.: Наука, 1980.
Получено 03.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|