Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів
На основании теоремы Коши доказано существование голоморфных по времени решений нерелятивистских уравнений Дарвина движения точечных зарядов.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165335 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 546-554. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165335 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653352020-02-14T01:27:10Z Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів Скрипник, В.І. Статті На основании теоремы Коши доказано существование голоморфных по времени решений нерелятивистских уравнений Дарвина движения точечных зарядов. The existence of holomorphic (in time) solutions of the nonrelativistic Darwin equations of motion of point charges is proved with the help of the Cauchy theorem. 2013 Article Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 546-554. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165335 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Скрипник, В.І. Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів Український математичний журнал |
| description |
На основании теоремы Коши доказано существование голоморфных по времени решений нерелятивистских уравнений Дарвина движения точечных зарядов. |
| format |
Article |
| author |
Скрипник, В.І. |
| author_facet |
Скрипник, В.І. |
| author_sort |
Скрипник, В.І. |
| title |
Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів |
| title_short |
Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів |
| title_full |
Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів |
| title_fullStr |
Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів |
| title_full_unstemmed |
Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів |
| title_sort |
про голоморфні розв'язки рівнянь руху дарвіна точкових зарядів |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165335 |
| citation_txt |
Про голоморфні розв'язки рівнянь руху Дарвіна точкових зарядів / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 4. — С. 546-554. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT skripnikví progolomorfnírozvâzkirívnânʹruhudarvínatočkovihzarâdív |
| first_indexed |
2025-07-14T18:20:22Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:20:22Z |
| _version_ |
1837647500368936960 |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ
РIВНЯНЬ РУХУ ДАРВIНА ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ
The existence of holomorphic (in time) solutions of the nonrelativistic Darwin equations of motion of point charges is
proved with the help of the Cauchy theorem.
На основании теоремы Коши доказано существование голоморфных по времени решений нерелятивистских урав-
нений Дарвина движения точечных зарядов.
Будемо розглядати лагранжеву нерелятивiстську динамiку Дарвiна
d
dt
∂L(t)
∂vj
=
∂L(t)
∂xj
, j ∈ (n) = (1, . . . , n),
n нерелятивiстських точкових зарядiв, що характеризуються координатами xj = (x1j , x
2
j , x
3
j ) ∈
∈ R3, швидкостями
dxj
dt
= ẋj = vj = (v1j , v
2
j , v
3
j ) ∈ R3, залежними вiд часу t, та лагранжiаном
L(t), залежним вiд x(n)(t) = (x1(t), . . . , xn(t)):
L(t) = L1(t)− U(x(n)),
U(x(n)) =
1
2
n∑
j 6=k=1
ekej |xk(t)− xj(t)|−1,
L1(t) =
n∑
j=1
mj
2
|vj(t)|2 +
n∑
j 6=k=1
ekej(2c)
−2[(vj(t), vk(t))|xk(t)− xj(t)|−1+
+|xk(t)− xj(t)|−3(vj(t), xk(t)− xj(t))(vk(t), xk(t)− xj(t))],
де (xk, xk) = |xk|2 = (x1k)
2 + (x2k)
2 + (x3k)
2 та mj , ej , — вiдповiдно маси та заряди точкових
зарядiв (заряджених частинок). Енергiя зарядiв H = L1(t) + U(x(n)) зберiгається у часi (див.
роздiл 41 в [1]).
Очевидно, що
L1(t) =
1
2
n∑
j,k=1
3∑
α,β
Kj,α;k,β(x(n))v
α
j v
β
k ,
де
Kj,α;k,β(x(n)) = mjδj,kδα,β + (1− δj,k)(2c2)−1ejek[δα,β|xk(t)− xj(t)|−1+
+|xk(t)− xj(t)|−3(xαj (t)− xαk (t))(xβk(t)− xβj (t))], xαj , v
α
j ∈ R,
та δa,b — символ Кронекера.
c© В. I. СКРИПНИК, 2013
546 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ РУХУ ДАРВIНА ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 547
Рiвняння нерелятивiстської динамiки Дарвiна, як i у випадку релятивiстської динамiки,
виводяться формально [2] з лагранжiана для електромагнiтних потенцiалiв та швидкостей
точкових зарядiв фундаментальної моделi Максвелла – Лоренца з допомогою розкладу елект-
ромагнiтних потенцiалiв за степенями оберненої швидкостi свiтла, яка є малим параметром.
Цей лагранжiан так само розкладається за степенями оберненої швидкостi свiтла. Його ну-
льове наближення збiгається з кулонiвським лагранжiаном. Доданок з першим степенем c−1
збiгається з часовою похiдною повного заряду системи i є нулем. Доданок з c−2 збiгається з
лагранжiаном Дарвiна, що породжує сили, залежнi вiд швидкостей, i є аналогом гравiтацiйного
лагражiана, наведеного в [3]. Цi сили ускладнюють рiвняння руху та асоцiйований гамiльтонiан
для зарядiв:
−∂L(t)
∂xαj
+
d
dt
∂L(t)
∂vαj
=
3∑
β=1
n∑
k=1
Kj,α;k,β(x(n))v̇
β
k −Gj,α(x(n); v(n)) = 0, j ∈ (n), (1)
Gj,α(x(n); v(n)) =
∂L(t)
∂xαj
−
(
d
dt
∂L(t)
∂vαj
)
(x(n); v(n)), x(n) = (x1, . . . , xn). (1′)
Слiд зазначити, що другий доданок у правiй частинi останньої рiвностi не мiстить приско-
рення зарядiв. Нехтуючи доданками, що залежать вiд вищих степенiв c−1, у спiввiдношеннi
мiж iмпульсами та швидкостями частинок, тобто використовуючи їх звичайне спiввiдношення,
отримуємо наближений (апроксимований) гамiльтонiан Дарвiна, наведений у [2]. Зауважимо,
що математично строгий вивiд наближення Дарвiна з перенормованими масами зарядiв, за-
пропонований у [4], справджується на довгому промiжку часу, на якому немає зiткнень мiж
зарядами. При цьому використовується процедура регуляризацiї рiвнянь руху (початковi вiд-
станi мiж зарядами повиннi бути великими).
У статтi автора [5] доведено iснування голоморфних за часом розв’язкiв рiвнянь руху, по-
роджених апроксимованим гамiльтонiаном Дарвiна. У данiй статтi ми отримаємо подiбний
результат для рiвнянь Дарвiна (1). Радiус круга голоморфностi отриманих розв’язкiв швидко
зменшується зi збiльшенням числа зарядiв, i водночас початковi вiдстанi мiж зарядами мо-
жуть бути малими (масштаб визначається швидкiстю свiтла), але такими, що не допускають
зiткнення мiж ними.
При доведеннi будемо використовувати комплекснi координати, швидкостi зарядiв та по-
значення
[n] = n,
[
n
k
l
]
= n+ 1, k < l, n+ 1, k, l ∈ Z+, m+ = max
j
mj , ē = max
j
ej ,
Dn(r; ξ) = {xj : |xj − ξj |0 ≤ r, xj , ξj ∈ C, j = 1, . . . , n}, (x, y) =
n∑
j=1
xy∗j ,
|x|2 = (x, x), (x, y)∗ = (x, y∗), |x|2∗ = (x, x∗),
де зiрочка у верхньому iндексi означає комплексне спряження. Якщо змiннi мають верхнiй
iндекс, то скалярний добуток буде мiстити додаткову суму по ньому та |xj |0 = maxs |xsj |.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
548 В. I. СКРИПНИК
Основним результатом статтi є теореми 1, 3.
Теорема 1. Нехай {al, bl ∈ R3 : |aj − al| ≥ r1, j, l = 1, . . . , n}, |bj |0 ≤ r2 та
R∗(c
2r1) =
n∏
l=1
m3
l −
3n−2∑
s=0
∑
jk 6=jl
s∏
l=1
m
[
jl
3
]
((3n− s)!)r′3n−s > 0,
де пiдсумовування у другiй сумi проводиться за iндексами jk ∈ (3n), k = 1, . . . , s, r′ =
= (c2r1)
−1κ∗ē
2, κ∗ =
√
κ2(1 + κ0κ2), κ
−1
2 = (1 − 2
√
3κ)2 − 24κ2 > 0, κ0 = 2κ + 1. Тодi iснує
розв’язок (xj(t); vj(t)) ∈ R6n рiвняння Дарвiна (1) для початкових даних (xj(t0) = aj , vj(t0) =
= bj , t0 ≥ 0) такий, що
(xj(t); vj(t)) ∈ D3n(r; a)×D3n(r; b) = D6n(r; a, b), r = κr1, (2)
та xj(t), vj(t) є голоморфними функцiями t в диску |t − t0| < T = r((6n + 1)M)−1, M =
= max(M ′M ′′n(3n)!, κr1 + r2),
M ′ = (max(m+, r
′)3n−1R−1∗ (c2r1), M ′′ = ē2r−21 [η0 + c−2η1(κr1 + r2)
2],
де ηj — додатнi полiноми
√
κ2, κ, що не залежать вiд c.
Зауваження 1. Для розв’язкiв (1) виконується нерiвнiсть
|xj(t)− xl(t)|0 ≥ |aj − al|0 − |xj(t)− aj |0 − |xl(t)− al|0 ≥ (1− 2κ)r1.
Це означає, що зiткнень мiж частинками немає при κ <
1
2
. Умова обмеженостi κ2 є бiльш
сильною: κ <
1
2
√
3(1 +
√
2)
.
Ця теорема випливає з теореми Кошi [6] про iснування голоморфних розв’язкiв n-вимiрних
звичайних диференцiальних рiвнянь з голоморфним векторним полем пiсля редукцiї рiвнянь
Дарвiна (1) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Теорема Кошi формулюється та-
ким чином.
Теорема 2. Нехай система n-вимiрних звичайних диференцiальних рiвнянь
ẋj(t) = fj(x(n)), j = 1, . . . , n, x(n) ∈ Rn, t ≥ t0, (3)
визначається функцiями fj , якi є голоморфними функцiями змiнних xj в Dn(r; ξ) та рiвномiрно
обмеженi: |fj | ≤M. Тодi розв’язок xj(t) (3) для початкових даних ξj = xj(t0) є голоморфною
функцiєю t у диску |t− t0| < T = r((n+ 1)M)−1 та належить Dn(r; ξ).
Зауваження 2. Ця теорема справджується, якщо fj в (3) є голоморфними функцiями
t, x(n) [7]. Можна сподiватись на ослаблення залежностi T вiд n в теоремi 2, використавши
бiльш сильний варiант теореми Кошi з [8], в якому залежнiсть T вiд n виражається тiльки
через залежнiсть евклiдiвської норми f(n) вiд n.
Сформулюємо теорему — аналог об’єднання теорем 3.1 та 3.3 з [5], яка є наслiдком теореми
1 i в якiй ми накладемо умови на початковi значення координат та iмпульсiв ak, bk з допомогою
умов на потенцiальнi енергiї в початковий момент U+, U− вiдповiдно зарядiв одного та рiзних
знакiв (U = U+ − U−), а також зафiксуємо значення енергiї H. При цьому ми виразимо r1, r2
через сталi C, |h| такi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ РУХУ ДАРВIНА ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 549
max (U+(a(n)), U
−(a(n))) ≤ C, H = h ∈ R. (3′)
Теорема 3 є аналогом твердження, доведеного в роздiлi 5 монографiї [6].
Теорема 3. Нехай e− = min es,m− = minms i виконується та ж умова на R∗, що i в
теоремi 1.
I. Якщо виконується перша умова (3′) i r1 =
e2−
C
, то висновок теореми 1 є справедливим.
II. Якщо виконуються обидвi умови в (3′) та
1
2m−
>
nē2C
2c2e2−
, то висновок теореми 1 є
справедливим при r1 =
e2−
C
, r2 =
√
R+, R+ = (|h|+ C)
(
1
2m−
− nē2C
2c2e2−
)−1
.
Доведення цiєї теореми легко випливає з мiркувань роздiлу 3 в [5]. Ми наведемо його в
кiнцi статтi.
Застосування теореми Кошi до рiвнянь Дарвiна вимагає перенумерування змiнних з допо-
могою вiдображення (n) × (3) → (3n) : (j, α) → 3(j − 1) + α. Тодi в лагранжiанi та рiвняннi
руху необхiдно виконати замiни
ej → e′j = e[ j
3
], mj → m′j = m[ j
3
], xj → x′j = x
[j]3
[ j
3
]
, vj → v′j = v
[j]3
[ j
3
]
,
де
[j]l = l
(
j
l
−
[
j
l
]
+ 1
)
, [nl + k]l = k, k ≤ l.
Таким чином, рiвняння (1) перетворюється у рiвняння
3n∑
k=1
Kj,k(x
′
(3n))v̇
′
k = Gj(x
′
(3n); v
′
(3n)), j ∈ (3n), (4)
ẋ′j = v′j , v̇′j =
3n∑
k=1
K
(−1)
j,k (x′(3n))Gk(x
′
(3n); v
′
(3n)) = Vj(x
′
(3n); v
′
(3n)), (5)
де матриця K(−1)
j,k є оберненою до матрицi Kj,k. При цьому нескладно ототожнити рiвняння (3)
та (5). Очевидно, що
Kj,k(x
′
(3n)) = m′jδj,k + (1− δ[ j
3
],[ k
3
])K
′
j,k(x
′
(3n)).
Для застосування теореми Кошi необхiдно довести, що K
(−1)
j,k є голоморфною функцiєю
(x′, v′)(3n) в областi D6n(r; a, b), визначеною в теоремi 1. Це ми зробимо з допомогою леми 1,
для формулювання якої необхiдно ввести наступнi норми:
|G|D = max
j,α
sup
(x,v)(n)∈D6n(r;a,b)
|Gj,α(x(n); v(n))| = max
j
sup
(x′,v′)(3n)∈D6n(r;a,b)
|Gj(x′(3n); v
′
(3n))|,
|K|D = max
j,α;k,β
sup
x(n)∈D3n(r;a)
|Kj,α;k,β(x(n))| = max
j,k
sup
x′
(3n)
∈D3n(r;a)
|Kj,k(x
′
(3n))|,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
550 В. I. СКРИПНИК
|K ′|D = max
j 6=k
sup
x′
(n)
∈D3n(r;a)
|Kj,k(x
′
(3n))| = max
j,α;k,β;j 6=k
sup
x(n)∈D3n(r;a)
|Kj,α;k,β(x(n))|.
Легко бачити, що
|K|D = max(m+, |K ′|D), |V |D ≤ 3n|G|D|K(−1)|D, (6)
де |K−1|D, |V |D визначаються так само, як |K|D.
Лема 1. Нехай (xj ; vj) ∈ D6n(r; a, b) та для a, b виконуються умови теореми 1, тодi
|K−1|D ≤ (3n− 1)!M ′, |G|D ≤ nM ′′.
Kj,α;k,β(x(n)), Gj,α(x(n); v(n)) є голоморфними функцiями в D6n(r; a, b), тому лема 1 до-
водить, що Vj в (5) є голоморфними функцiями в D6n(r; a, b), якщо R∗(c2r1) > 0. Нерiвнiсть
для VD в (6) та лема 1 доводять теорему 1, оскiльки перша частина векторного поля рiвняння
Дарвiна ẋj = vj рiвномiрно обмежена зверху r + r2.
Для доведення леми 1 необхiдно знайти явний вигляд функцiй у рiвняннi Дарвiна (1):
∂L(t)
∂xj
= ej
n∑
k=1,k 6=j
ek
{
xj − xk
|xj − xk|3
[1− (2c2)−1(vj(t), vk(t))]−
−3(2c2)−1|xk(t)− xj(t)|−5(xj(t)− xk(t))(vj(t), xk(t)− xj(t))(vk(t), xk(t)− xj(t))−
−(2c2)−1|xk(t)− xj(t)|−3[vj(t)(vk(t), xk(t)− xj(t)) + vk(t)(vj(t), xk(t)− xj(t))]
}
,
∂L(t)
∂vj
= mjvj + (2c2)−1ej
n∑
k=1,k 6=j
ek{vk(t)|xk(t)− xj(t)|−1+
+|xk(t)− xj(t)|−3(xk(t)− xj(t)(vk(t), xk(t)− xj(t))},
d
dt
∂L(t)
∂vj
= mj v̇j + (2c2)−1ej
n∑
k=1,k 6=j
ek{v̇k(t)|xk(t)− xj(t)|−1+
+vk(t)|xk(t)− xj(t)|−3(vj(t)− vk(t), xk(t)− xj(t))+
+|xk(t)− xj(t)|−3[(xk(t)− xj(t))(v̇k(t), xk(t)− xj(t)) +
+(vk(t)− vj(t))(vk(t), xk(t)− xj(t)) + (xk(t)− xj(t))(vk(t), vk(t)− vj(t))]+
+3|xk(t)− xj(t)|−5(xj(t)− xk(t))(vj(t)− vk(t), xj(t)− xk(t))(vk(t), xk(t)− xj(t))}.
Доведення леми 1. Вiдомо [9], що
K
(−1)
j,k (x′(3n)) = (−1)j+k(DetK)−1(DetK−j,k)(x
′
(3n)),
де K−j,k — матриця K з викресленими j-м стовпчиком та k-м рядком. Крiм того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ РУХУ ДАРВIНА ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 551
DetK =
∑
σ∈π0
(3n)
(−1)|σ|
3n∏
j=1
Kj,σj =
3n−2∑
s=0
∑
jk 6=jl
s∏
l=1
m′jl
∑
σ∈π′
(3n)\j(s)
(−1)|σ|
3n−s∏
j′=1
Kj′,σj′ .
Тут π0(3n) — множина перестановок множини (3n), π′(3n)\j(s)
= π′(3n)\(j1,...,js) — множина пере-
становок, яка змiнює всi елементи множини (3n)\j(s), та |σ| — парнiсть перестановки (кiлькiсть
iнверсiй), тобто кiлькiсть пар, у яких на першому мiсцi розташованi елементи σj, а на другому
— j′, j, j′ ∈ (n) та σj > j′ . Очевидно, що виконуються нерiвностi
DetK ≥
3n∏
l=1
m′l −
3n−2∑
s=0
∑
jk 6=jl
s∏
l=1
m′jl((3n− s)!)|K
′|3n−sD , (6′)
DetK ≤ (3n)!|K|3nD , (7)
|DetK−j,k(x
′
(3n))| ≤ (3n− 1)!|K|3n−1D . (8)
У комплексних змiнних маємо
Kj,α;k,β(x(n)) = (2c2)−1ejek[δα,β|xk(t)− xj(t)|−1∗ +
+|xk(t)− xj(t)|−3∗ (xαj (t)− xαk (t))(xβk(t)− xβj (t))], j 6= k, xαj ∈ C.
Виконуються наступнi нерiвностi:
|xk − xl|0 ≤ |xk − ak|0 + |xl − al|0 + |ak − al| ≤ 2κr1 + |ak − al| ≤ κ0|ak − al|, κ0 = 2κ+ 1,
(9)
|xk − xl| ≤
√
3|xk − xl|0 ≤ κ1|ak − al|, κ1 =
√
3(2κ+ 1). (10)
Поклaдемо xk − ak + al − xl = xk,l. Тодi, беручи до уваги рiвнiсть |x|2 = |x2|, x ∈ C, легко
бачити, що
1
2
|xk,l|2 ≤ |xk − ak|2 + |xl − al|2 ≤
≤ 3|xk − ak|20 + 3|xl − al|20 ≤ 6κ2r21 ≤ 6κ2|ak − al|2.
Таким чином, ми отримуємо уточнену нерiвнiсть у формулi (16) iз роздiлу 5.I в [8] (незначна
вiдмiннiсть у виразi для κ2 в [5] пояснюється вiдсутнiстю коефiцiєнта
1
2
перед |xk,l|2 в останнiй
нерiвностi):
||xk − xl|2∗| ≥ |ak − al|2 − 2|ak − al||xk,l| − |xk,l|2 ≥ κ−12 |ak − al|
2. (11)
Нерiвностi (9) – (11) вiдiграють важливу роль у доведеннi леми 1.
Враховуючи, що ||xj − xk|3∗| = |(|xj − xk|2∗)
3
2 | = ||xj − xk|2∗|
3
2 , отримуємо
|xj − xk|20
||xj − xk|3∗|
≤ κ20κ
3
2
2 |ak − aj |
−1 ≤ κ0κ
3
2
2 r
−1
1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
552 В. I. СКРИПНИК
Далi, враховуючи рiвностi ||xj − xk|∗| = |(|xj − xk|2∗)
1
2 | = ||xj − xk|2∗|
1
2 , одержуємо
1
||xj − xk|∗|
≤ κ
1
2
2 |ak − aj |
−1 ≤ κ
1
2
2 r
−1
1 . (12)
Отже,
|K ′|D ≤ (2c2)−1ē2
√
κ2(1 + κ0κ2)r
−1
1 = (2c2r1)
−1κ∗ē
2. (13)
В комплексних змiнних маємо
∂L(t)
∂xj
= ej
n∑
k=1,k 6=j
ek
{
xj − xk
|xj − xk|3∗
[1− (2c2)−1(vj(t), vk(t))∗]−
−(2c2)−13|xk(t)− xj(t)|−5∗ (xj(t)− xk(t))(vj(t), xk(t)− xj(t))∗(vk(t), xk(t)− xj(t))∗−
−(2c2)−1|xk(t)− xj(t)|−3∗ [vj(t)(vk(t), xk(t)− xj(t))∗ + vk(t)(vj(t), xk(t)− xj(t))∗]
}
.
Для оцiнювання другого та третього доданкiв у правiй частинi останньої рiвностi застосуємо
оцiнки з урахуванням умов теореми 1 для b:
|vk|0 ≤ r + r2, |(vj , vk)∗| ≤ |vj ||vk| = |vj − bj + bj ||vk − bk + bk| ≤ 3(r + r2)
2,
|(vk, xj − xk)∗| ≤ |vk||xj − xk| ≤
√
3κ1(r + r2)|aj − ak|.
(14)
Враховуючи (9), (11) та ||xj − xk|l∗| = |(|xj − xk|2∗)
l
2 | = ||xj − xk|2∗|
l
2 , l = 3, 5, отримуємо
1
||xj − xk|3∗|
≤ κ
3
2
2 |ak − aj |
−3,
|xj − xk|0
||xj − xk|3∗|
≤ κ0κ
3
2
2 |ak − aj |
−2 ≤ κ0κ
3
2
2 r
−2
1 , (15)
|xj − xk|0
||xj − xk|5∗|
≤ κ0κ
5
2
2 |ak − aj |
−4. (16)
З чотирьох останнiх нерiвностей та умов теореми 1 для a дiстаємо∣∣∣∣∂L(t)
∂xj
∣∣∣∣
0
≤ nē2κ0κ
3
2
2 r
−2
1 [2 + (2c2)−1(9κ1κ2 + 3 + 2
√
3κ1κ
−1
0 )(κr1 + r2)
2]. (17)
Далi (
d
dt
∂L(t)
∂vj
)
(x(n); v(n)) =
= (2c2)−1ej
n∑
k=1,k 6=j
ek{|xk(t)− xj(t)|−3∗ [vk(t)(vj(t)− vk(t), xk(t)− xj(t))∗+
+(vk(t)− vj(t))(vk(t), xk(t)− xj(t))∗ + (xk(t)− xj(t))(vk(t), vk(t)− vj(t))∗]+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ РУХУ ДАРВIНА ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 553
+3|xk(t)− xj(t)|−5(xj(t)− xk(t))(vj(t)− vk(t), xj(t)− xk(t))∗(vk(t), xk(t)− xj(t))∗}.
З нерiвностей (9), (11) та умов теореми 1 для b випливають нерiвностi
|(vj(t)− vk(t), xk(t)− xj(t))∗| ≤ 2
√
3κ1(r + r2)|aj − ak|,
1
||xj − xk|3∗|
≤ κ
3
2
2 |ak − aj |
−3,
|vk|0 ≤ r + r2, |vj(t)− vk(t)|0 ≤ 2(r + r2),
|(vk(t), vk(t)− vj(t))∗| ≤ (|(vk, vk)∗|+ |(vk, vj)∗| ≤ 6(r + r2)
2.
Отже, з них, (14) – (16) та умов теореми 1 для a виводимо нерiвнiсть∣∣∣∣( d
dt
∂L(t)
∂vj
)
(x(n); v(n))
∣∣∣∣
0
≤ nc−2ē2(κr1 + r2)
2r−21 κ
3
2
2 [
√
3κ1 + κ0 + 3κ0κ
2
1κ2]. (18)
Додаючи (17) та (18), отримуємо
|G|D ≤ nē2r−21 [η0 + c−2η1(κr1 + r2)
2], (19)
η0 = 2κ0κ
3
2
2 , η1 = κ0κ
3
2
2 (5 + 4
√
3κ1 + 9κ1κ2 + 6κ0κ
2
1κ2).
Нерiвнiсть (19) доводить другу нерiвнiсть леми 1; (6′) та (13) доводять, що DetK ≥ R∗(cr1),
а перша формула в (6) та (8) доводять першу нерiвнiсть леми 1.
Доведення теореми 3. Пункт I виводиться з простої нерiвностi. Дiйсно, нехай ρ =
= min1≤j<k≤n |aj − ak|. Тодi для пари, для якої цей мiнiмум досягається, виконується не-
рiвнiсть
e2−
ρ
≤ |ejek|
|aj − ak|
≤ max (U+, U−) ≤ C.
Це означає, що r1 =
ee−
C
.
Доведемо тепер пункт II. З нерiвностi Шварца випливає, що другий доданок у квадратних
дужках у виразi для L1 не перевищує
|xk − xj |−3|vj ||vk|||xk − xj |2 ≤ |xk − xj |−1|vj ||vk|.
Така ж нерiвнiсть виконується i для першого доданка. Отже, з рiвностi H = L1 + U = h, (3′)
та нерiвностi для ak отримуємо
|h| ≥ 1
2m−
n∑
j=1
|bj |2 − C −
ē2C
2c2e2−
n∑
j=1
|bj |
2
.
Застосовуючи нерiвнiсть Шварца до другої суми, маємо
|h|+ C ≥
(
1
2m−
− nē2C
2c2e2−
) n∑
j=1
|bj |2.
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
554 В. I. СКРИПНИК
n∑
j=1
|bj |2 ≤ R+,
а це i доводить нерiвнiсть |bj |0 ≤ |bj | ≤
√
R+ i теорему.
Теорема 3 дає надiю, що можна довести те ж саме твердження, що i твердження 3.1 з [5]:
Нехай T < t1, де число T визначене в теоремi 1 i при t = t1 хоча б одна компонента розв’язку
рiвняння руху Дарвiна є неголоморфною, а при t < t1 — голоморфною. Тодi
lim
t→t1
min
1≤j<k≤n
|xj(t)− xk(t)| = 0.
Доведення цього твердження з [5] є недостатнiм для динамiки Дарвiна через наявнiсть
умови R∗ > 0.
1. Wittaker E. T. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. – Cambridge: Univ. Press, 1927
(рос. переклад: Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. – М.; Л.: 1937. – 500 c.).
2. Ландау Л., Лифшиц Е. Теория поля. – М., 1967. – 460 с.
3. Treder H.-J. Die relativitat der Tragheit. – Berlin: Acad. Verlag, 1972.
4. Kunze M., Spohn H. Slow motion of charges interacting through the Maxwell field // arXiv: math-phys/0001002v1,
3 January.
5. Скрипник В. I. Про голоморфнi розв’язки гамiльтонових рiвнянь руху точкових зарядiв // Укр. мат. журн. –
2011. – 63, № 2. – С. 270 – 280.
6. Зiгель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. – М.; Ижевск, 2001. – 384 c. (англ. переклад: Siegel C.,
Moser J. Lectures on celestial mechanics. – Berlin etc.: Springer, 1971).
7. Голубев В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. – М., 1950. – 436 с.
8. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М., 1958. – 474 c.
9. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 416 с.
Одержано 06.03.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 4
|