Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь
Установлены условия корректности задачи с многоточечными условиями по временной переменной и некоторыми краевыми условиями по пространственным координатам для одного класса параболических уравнений с оператором Бесселя по одной из пространственных переменных в ограниченной области. Построено решение...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165336 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь/ Б.Й. Пташник, // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 3. — С. 418-429. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165336 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653362020-02-14T01:28:37Z Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. Статті Установлены условия корректности задачи с многоточечными условиями по временной переменной и некоторыми краевыми условиями по пространственным координатам для одного класса параболических уравнений с оператором Бесселя по одной из пространственных переменных в ограниченной области. Построено решение задачи в виде ряда по системе ортогональных функций. Доказана метрическая теорема об оценках снизу малых знаменателей, которые возникли при построении решения. We establish conditions for the well-posedness of a problem with multipoint conditions in the time variable and some boundary conditions in the space coordinates posed for one class of parabolic equations with Bessel operator in one of the space variables in a bounded domain. The solution of the problem is constructed in the form of a series in a system of orthogonal functions. We prove a metric theorem on the lower bounds of small denominators appearing in the solution of the problem. 2013 Article Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь/ Б.Й. Пташник, // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 3. — С. 418-429. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165336 517.95+511.2 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь Український математичний журнал |
| description |
Установлены условия корректности задачи с многоточечными условиями по временной переменной и некоторыми краевыми условиями по пространственным координатам для одного класса параболических уравнений с оператором Бесселя по одной из пространственных переменных в ограниченной области. Построено решение задачи в виде ряда по системе ортогональных функций. Доказана метрическая теорема об оценках снизу малых знаменателей, которые возникли при построении решения. |
| format |
Article |
| author |
Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. |
| author_facet |
Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. |
| author_sort |
Пташник, Б.Й. |
| title |
Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь |
| title_short |
Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь |
| title_full |
Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь |
| title_fullStr |
Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь |
| title_sort |
багатоточкова задача для b-параболічних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165336 |
| citation_txt |
Багатоточкова задача для B-параболічних рівнянь/ Б.Й. Пташник, // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 3. — С. 418-429. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT ptašnikbj bagatotočkovazadačadlâbparabolíčnihrívnânʹ AT timkívír bagatotočkovazadačadlâbparabolíčnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-14T18:20:27Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:20:27Z |
| _version_ |
1837647504438460416 |
| fulltext |
УДК 517.95+511.2
Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв),
I. Р. Тимкiв (Iвано-Франк. нац. техн. ун-т нафти i газу)
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ*
We establish conditions for the well-posedness of a problem for one class of parabolic equations with the Bessel operator
in one of the space variables in a bounded domain with multipoint conditions in the time variable and some boundary
conditions in the space coordinates. A solution of the problem is constructed in the form of a series in a system of orthogonal
functions. We prove a metric theorem on lower bounds for the small denominators appearing in the solution of the problem.
Установлены условия корректности задачи с многоточечными условиями по временной переменной и некоторыми
краевыми условиями по пространственным координатам для одного класса параболических уравнений с оператором
Бесселя по одной из пространственных переменных в ограниченной области. Построено решение задачи в виде
ряда по системе ортогональных функций. Доказана метрическая теорема об оценках снизу малых знаменателей,
которые возникли при построении решения.
1. Вступ. Еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя за просторовими координатами описують
деякi дифузiйнi процеси, явища тепломасопереносу, зустрiчаються в задачах гiдродинамiки,
кристалографiї [1 – 3]. У згаданих працях, а також в роботi [4] для таких рiвнянь вивчались
задача Кошi та мiшанi задачi. Задачi з iнтегральними умовами для лiнiйних та нелiнiйних пара-
болiчних рiвнянь другого порядку з оператором Бесселя (B-параболiчних рiвнянь) вивчались у
працях [5 – 7]. Нелокальнi багатоточковi задачi для B-параболiчного рiвняння другого порядку
вивчено у роботi [8], а для систем B-параболiчних рiвнянь — у працi [2].
У данiй статтi дослiджено коректну розв’язнiсть задачi з локальними багатоточковими умо-
вами за часом для параболiчного рiвняння з оператором Бесселя за однiєю з просторових
змiнних в обмеженiй областi, що є декартовим добутком (p − 1)-вимiрного тора (p ≥ 2) i
прямокутника. Результати роботи частково анонсовано у [9].
Багатоточковi задачi для регулярних гiперболiчних, параболiчних та безтипних рiвнянь
дослiджувались у багатьох роботах, зокрема в [10 – 14], де встановлено, що такi задачi є, взагалi,
некоректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих знаменникiв,
для розв’язання якої природним виявився метричний пiдхiд.
Далi використовуватимемо такi позначення: ~b = (b1, . . . , bp) ∈ Np, p ≥ 2, — заданий вектор,
b — найменше спiльне кратне чисел b1, . . . , bp, qj := b/bj , j ∈ {1, . . . , p}; x = (x1, . . . , xp) :=
:= (x′, xp), x
′ ∈ Ω, де Ω — (p − 1)-вимiрний тор (R/2πZ)p−1, xp ∈ [0, `], Q = Ω × (0, `),
D = {(t, x) ∈ Rp+1 : 0 < t < T, x ∈ Q}; s = (s1, . . . , sp) := (s′, sp) ∈ Zp+, |s|∗ =
∑p−1
j=1
sjqj +
+ 2spqp, |s′| = s1 + . . . + sp−1, |s| = |s′| + sp; k = (k1, . . . , kp) := (k′, kp), k
′ ∈ Zp−1, kp ∈ N,
|k′| = |k1|+ . . .+ |kp−1|, (k′, x′) = k1x1 + . . .+ kp−1xp−1; ST = {~t = (t1, . . . , tn) ∈ [0, T ]n : 0 ≤
≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ T}; Γ(r), r > 0, — гамма-функцiя; Cmn , 1 ≤ m ≤ n, — кiлькiсть
комбiнацiй з n елементiв по m; mesRnA — мiра Лебега в Rn множини A ⊂ Rn.
2. Постановка задачi. В областi D розглянемо задачу
∂nu(t, x)
∂tn
+
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s
∂s0+|s
′|Bspν u(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp−1
p−1
= f(t, x), (t, x) ∈ D, (1)
*Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект № 41.1/004).
c© Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ, 2013
418 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 419
u(tj , x) = ϕj(x), j ∈ {1, . . . , n}, ~t ∈ ST , x ∈ Q, (2)
|u(t, x)|xp=0
∣∣<∞, ∂2m+1u(t, x)
∂x2m+1
p
∣∣∣∣
xp=0
= 0, m ∈ {0, 1, . . . , nbp − 2}, t ∈ [0, T ],
Bqνu(t, x)
∣∣
xp=`
= 0, q ∈ {0, 1, . . . , nbp − 1}, t ∈ [0, T ],
(3)
деAs0,s ∈ C; Bν =
∂2
∂x2p
+
2ν + 1
xp
∂
∂xp
— оператор Бесселя порядку ν, ν ≥ −1
2
, Bqνu = Bν(Bq−1ν u),
q ∈ {1, . . . , nbp}, B0νu = u. Вигляд областi D накладає умови 2π-перiодичностi за змiнними
x1, . . . , xp−1 на шуканий розв’язок та функцiї f(t, x) i ϕj(x), j ∈ {1, . . . , n}.
Припустимо, що рiвняння (1) є
−→
2b-параболiчним (див. [15; 2, с. 11]) в областi D, тобто для
довiльного η ∈ Rp ξ-коренi рiвняння
ξn +
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(iη1)
s1 . . . (iηp−1)
sp−1(iηp)
2spξs0 = 0 (4)
справджують нерiвностi
Re ξr(η) ≤ −δ(η2b11 + . . .+ η
2bp
p ), δ > 0, r ∈ {1, . . . , n}. (5)
Вiдомо [16], що задача
BνJ(xp) + λJ(xp) = 0, |J(0)| <∞, J(`) = 0,
має повну ортогональну в ваговому просторi L2((0, `);x
2ν+1
p ) систему власних функцiй{
jν
(√
λkpxp
)
, kp ∈ N
}
i множину власних значень Λ := {λkp = (σkp/`)
2, kp ∈ N}, де
jν
(√
λkpxp
)
=
∞∑
r=0
(−1)rΓ(ν + 1)
Γ(ν + 1 + r)Γ(r + 1)
√
λkpxp
2
2r
— нормована функцiя Бесселя, а σkp , kp ∈ N, — σ-коренi рiвняння jν(σ`) = 0; при цьому
справедливими є оцiнки
C1k
2
p ≤ λkp ≤ C2k
2
p, 0 < C1 < C2, kp ∈ N. (6)
Очевидно, що система функцiй
{
exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
, k ∈ Zp−1 × N
}
є повною i ортого-
нальною у ваговому просторi L2(Q;x2ν+1
p ). Нехай
f(t, x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
fk(t) exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
,
ϕj(x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
ϕjk exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
, j ∈ {1, . . . , n},
де
fk(t) = P(λkp)
∫
Q
f(t, x) exp (−(ik′, x′))jν
(√
λkpxp
)
x2ν+1
p dx,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
420 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
ϕjk = P(λkp)
∫
Q
ϕj(x) exp (−(ik′, x′))jν
(√
λkpxp
)
x2ν+1
p dx, j ∈ {1, . . . , n},
P(λkp) = (2π)−p+1
`∫
0
x2ν+1
p j2ν
(√
λkpxp
)
dxp
−2 .
Позначимо W = Zp−1 × Λ, λk = (k′, λkp) ∈ W; ‖λk‖2
~b = k2b11 + . . . + k
2bp−1
p−1 + (λkp)bp ;
wλk(α; γ; 2~b) = (1 + ‖λk‖2
~b)α exp (γ‖λk‖2
~b), α, γ ∈ R; C(m,~2bm)(D), m ∈ N, — простiр визна-
чених i неперервних в D функцiй v(t, x) (2π-перiодичних по x1, . . . , xp−1), для яких iснують
неперервнi похiднi
∂s0+|s|v(t, x)
∂ts0∂xs11 · · · ∂x
sp
p
, де 2bs0 + s1q1 + . . .+ spqp ≤ 2bm, з нормою
‖v;C(m,~2bm)(D)‖ =
∑
2bs0+s1q1+...+spqp≤2bm
max
(t,x)∈D
∣∣∣∣∣ ∂s0+|s|v(t, x)
∂ts0∂xs11 . . . ∂x
sp
p
∣∣∣∣∣ ;
Eγ
α, ~2b
— простiр функцiй ϕ(x) =
∑
|k′|≥0
∑∞
kp=1
ϕk exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
, для яких є скiн-
ченною норма
‖ϕ;Eγ
α, ~2b
‖ =
√∑
|k′|≥0
∑
kp∈N
|ϕk|2w2
λk
(α; γ; 2~b ) ;
Cm([0, T ];Eγ
α, ~2b
) — простiр визначених в D функцiй v(t, x) таких, що для кожного фiксованого
t ∈ [0, T ] похiднi ∂qv(t, x)/∂tq, q ∈ {0, 1, . . . ,m}, належать простору Eγ
α, ~2b
i є неперервними
по t в нормi цього простору,∥∥∥v;Cm([0, T ];Eγ
α, ~2b
)
∥∥∥ =
m∑
q=0
max
0≤t≤T
∥∥∂qv(t, ·)/∂tq;Eγ
~α, ~2b
∥∥.
3. Єдинiсть розв’язку задачi. Розв’язок задачi (1) – (3) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
uk(t) exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
. (7)
Кожна функцiя uk(t), k ∈ Zp−1 × N, є, вiдповiдно, розв’язком багатоточкової задачi
dnuk(t)
dtn
+
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(ik1)
s1 . . . (ikp−1)
sp−1(−λkp)sp
ds0uk(t)
dts0
= fk(t), (8)
uk(tj) = ϕjk, j ∈ {1, . . . , n}, ~t ∈ ST . (9)
Розглянемо вiдповiдну до (8), (9) однорiдну задачу
dnuk(t)
dtn
+
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(ik1)
s1 . . . (ikp−1)
sp−1(−λkp)sp
ds0uk(t)
dts0
= 0, (10)
uk(tj) = 0, j ∈ {1, . . . , n}, ~t ∈ ST . (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 421
Запишемо для (10) характеристичне рiвняння
µn +
n−1∑
s0=0
∑
2bs0+|s|∗=2bn
As0,s(ik1)
s1 . . . (ikp−1)
sp−1(−λkp)spµs0 = 0. (12)
Позначимо через µ1(λk), . . . , µl(k)(λk) рiзнi коренi рiвняння (12) з кратностями n1(k), . . .
. . . , nl(k)(k) вiдповiдно, n1(k) + . . . + nl(k)(k) = n. Для цих коренiв справджуються оцiнки
[17, с. 102]
|µq(λk)| ≤ C3(1 + ‖λk‖2
~b), λk ∈ W, q ∈ {1, . . . , l(k)}, (13)
де C3 = 2 maxm∈{1,...,n}
{
maxs,|s|∗=2bm{|An−m,s|1/m}
}
. Зауважимо, що при ηr = kr, r ∈
∈ {1, . . . , p − 1}, ηp =
√
λkp рiвняння (4) збiгається з рiвнянням (12). Тому, враховуючи (5),
отримуємо
Reµq(λk) ≤ −δ‖λk‖2
~b, λk ∈ W, q ∈ {1, . . . , l(k)}. (14)
Враховуючи, що |Reµq(λk)| ≤ |µq(λk)|, q ∈ {1, . . . , l(k)}, на пiдставi оцiнок (13) отримує-
мо, що величина γ0 = supλk∈W maxq∈{1,...,l(k)}
{
|Reµq(λk)|/(1 + ‖λk‖2
~b)
}
є скiнченною. Тому
справджуються оцiнки
| exp (µq(λk)t)| = exp
(
− |Reµq(λk)|t
(1 + ‖λk‖2~b)
(1 + ‖λk‖2
~b)
)
≥ C4 exp (−γ0T‖λk‖2
~b), t ∈ [0, T ],
(15)
де λk ∈ W, q ∈ {1, . . . , l(k)}, C4 = exp (−γ0T ).
Для побудови фундаментальної системи розв’язкiв рiвняння (10) використаємо подiленi
рiзницi функцiї exp (µt), µ ∈ C, t ∈ R.
Означення . НехайM = (µ1, . . . , µ1︸ ︷︷ ︸
n1
, . . . , µl, . . . , µl︸ ︷︷ ︸
nl
) — набiр комплексних чисел. Подiленою
рiзницею порядку χ = n1+. . .+nl, яка вiдповiдає наборуM, функцiї ψ(µ, t) комплексної змiнної
µ, де t — дiйсний параметр, називають функцiю (див. [18, с. 228])
RM (ψ(µ, t)) =
l∑
j=1
1
(nj − 1)!
(
∂
∂µ
)nj−1
ψ(µ, t)
l∏
i=1,i 6=j
(µ− µi)−ni
∣∣∣∣∣∣
µ=µj
. (16)
Якщо функцiя ψ(µ, t) аналiтична в опуклiй областi V ⊂ C, що мiстить точки µ1, . . . , µl, то
справедливою є формула (в якiй ζ0 = 1, ζl = 0)
RM (ψ(µ, t)) =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζl−2∫
0
l∏
j=1
(ζj−1 − ζj)nj−1
(nj − 1)!
∂χ−1ψ(µ, t)
∂µχ−1
∣∣∣∣∣
µ=µ1+
l∑
j=2
(µj−µj−1)ζj−1
dζl−1 . . . dζ1.
(17)
Нехай
Mqrq(k) =
µ1(λk), . . . , µ1(λk)︸ ︷︷ ︸
n1(k)
, . . . , µq−1(λk), . . . , µq−1(λk)︸ ︷︷ ︸
nq−1(k)
, µq(λk), . . . , µq(λk)︸ ︷︷ ︸
rq
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
422 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {1, . . . , l(k)},
— набори, складенi з коренiв рiвняння (12), χqrq(k) = rq + n1(k) + . . . + nq−1(k). Побудуємо
систему функцiй{
uk,q,rq(t) := RMqrq (k)
(exp (µt)), rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {1, . . . , l(k)}
}
, (18)
кожна з яких є подiленою рiзницею порядку χqrq(k) функцiї exp (µt), що вiдповiдає набору
Mqrq(k). На пiдставi формул (17), (18) знаходимо
uk,1,r1(t) = tr1−1 exp (µ1(λk)t)/(r1 − 1)!, r1 ∈ {1, . . . , n1(k)}, (19)
uk,q,rq(t) =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζq−2∫
0
φ(ζ1, . . . , ζq−1)t
χqrq (k)−1×
× exp
µ1(λk) +
q∑
j=2
(µj(λk)− µj−1(λk))ζj−1
t
dζq−1 . . . dζ1, q ∈ {2, . . . , l(k)}, (20)
де rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, t ∈ [0, T ], а φ(ζ1, . . . , ζq−1) визначається формулою
φ(ζ1, . . . , ζq−1) =
(1− ζ1)n1(k)−1
(n1(k)− 1)!
q−1∏
j=2
(ζj−1 − ζj)nj(k)−1
(nj(k)− 1)!
ζ
rq−1
q−1
(rq − 1)!
. (21)
У формулi (21) точка (ζ1, . . . , ζq−1) належить симплексу Sq =
{
(ζ1, . . . , ζq−1) ∈ [0, 1]q−1 : 0 ≤
≤ ζq−1 ≤ ζq−2 ≤ . . . ≤ ζ1 ≤ 1
}
. Звiдки випливає, що φ(ζ1, . . . , ζq−1) ≥ 0.
Безпосередньою перевiркою можна показати, що сукупнiсть функцiй (19), (20) утворює
фундаментальну систему розв’язкiв рiвняння (10).
Характеристичний визначник задачi (8), (9) є таким:
∆(λk,~t ) = det
∥∥uk,q,rq(tj)
∥∥q∈{1,...,l(k)}
j∈{1,...,n}, rq∈{1,...,nq(k)}. (22)
На пiдставi (16), (18) знаходимо
uk,q,rq(t) =
q−1∑
j=1
1
(nj(k)− 1)!
(
∂
∂µ
)nj(k)−1
×
×
exp (µt)
q−1∏
i=1,i 6=j
(µ− µi(λk))−ni(k)(µ− µq(λk))−rq
∣∣∣∣∣∣
µ=µj(λk)
+
+
1
(rq − 1)!
(
∂
∂µ
)rq−1 (
exp (µt)
q−1∏
i=1
(µ− µi(λk))−ni(k)
)∣∣∣∣∣
µ=µq(λk)
, t ∈ [0, T ], (23)
де rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {1, . . . , l(k)}. Враховуючи формули (22), (23), отримуємо
∆(λk,~t ) =
∏
1≤i<j≤l(k)
(µj(λk)− µi(λk))−ni(k)nj(k) det
∥∥∥∥∥ t
rq−1
j exp (µq(λk)tj)
(rq − 1)!
∥∥∥∥∥
q∈{1,...,l(k)}
j∈{1,...,n}, rq=1,nq(k)
.
(24)
Вiдомо [19], що задача (10), (11) має лише тривiальний розв’язок тодi i тiльки тодi, коли
∆(λk,~t ) 6= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 423
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1) – (3) у просторi C(n, ~2bn)(D) необхiдно i
достатньо, щоб виконувалась умова
det
∥∥∥trq−1j exp (µq(λk)tj)/(rq − 1)!
∥∥∥q∈{1,...,l(k)}
j∈{1,...,n}, rq∈{1,...,nq(k)}
6= 0 ∀λk ∈ W. (25)
Доведення. Необхiднiсть. Якщо при деякому λk0 ∈ W умова (25) не виконується, то
∆(λk0 ,~t ) = 0, i однорiдна задача, що вiдповiдає задачi (1) – (3), має нетривiальнi розв’язки
u(t, x) = uk0(t) exp (ik
′0, x′)jν
(√
λk0pxp
)
, де uk0(t) — нетривiальний розв’язок задачi (10),
(11) при λk = λk0 . Тому розв’язок задачi (1) – (3), якщо вiн iснує, не буде єдиним.
Достатнiсть встановлюється за схемою доведення теореми 5.3 з [10] (гл. 2).
4. Iснування розв’язку задачi. Далi вважатимемо, що виконується умова (25). Тодi для
кожного λk ∈ W iснує розв’язок задачi (8), (9), який зображується формулою
uk(t) =
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
n∑
j=1
∆j,q,rq(λk,~t )
∆(λk,~t )
ϕjkuk,q,rq(t) +
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ, (26)
де ∆j,q,rq(λk,~t ) — алгебраїчне доповнення елемента uk,q,rq(tj) у визначнику ∆(λk,~t ), а G(t, τ ;
λk) — функцiя Грiна [19] задачi (10), (11), яка визначена у квадратi K = {(t, τ) : 0 ≤ t ≤ T,
0 ≤ τ ≤ T} i в областi Kj = {(t, τ) : 0 ≤ t ≤ T, tj < τ < tj+1}, j ∈ {0, 1, . . . , n}, t0 = 0,
tn+1 = T, збiгається, вiдповiдно, з функцiєю
Gj(t, τ ;λk) =
sgn(t− τ)
2
uk,l(k),nl(k)(t− τ) +
j∑
m=1
(−1)m+1Fm(t, τ ;λk)−
−
n∑
m=j+1
(−1)m+1Fm(t, τ ;λk), j ∈ {0, 1, . . . , n}, (27)
Fm(t, τ ;λk) =
1
2
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
∆m,q,rq(λk,~t )
∆(λk,~t )
×
×uk,q,rq(t)uk,l(k),nl(k)(tm − τ), m ∈ {1, . . . , n}. (28)
При τ = tj , j ∈ {0, 1, . . . , n}, доозначуємо функцiю G(t, τ ;λk) за неперервнiстю по τ справа,
а при τ = T — за неперервнiстю злiва.
На основi формул (7), (26) формальний розв’язок задачi (1) – (3) зображується рядом
u(t, x) =
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
n∑
j=1
∆j,q,rq(λk,~t )
∆(λk,~t )
ϕjkuk,q,rq(t) +
+
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ
exp (ik′, x′)jν
(√
λkpxp
)
. (29)
Збiжнiсть ряду (29), взагалi, пов’язана з проблемою малих знаменникiв, оскiльки вели-
чина |∆(λk,~t )|, будучи вiдмiнною вiд нуля, може набувати як завгодно малих значень для
нескiнченної кiлькостi λk ∈ W.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
424 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
Теорема 2. Нехай справджується умова (25) та iснують сталi ω ∈ R i θ > 0 такi, що
для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ W виконується нерiвнiсть
|∆(λk,~t )| ≥ (1 + ‖λk‖2
~b)−ω exp (−θ‖λk‖2
~b). (30)
Якщо f ∈ C
(
[0, T ];Eγ1
α0, ~2b
)
, ϕj ∈ Eγ2
α0, ~2b
, j ∈ {1, . . . , n}, де α0 = α + n + ω, γ1 = γ +
+ γ0T + |θ− (n− 1)δt1|, γ2 = γ + θ− (n− 1)δt1, то iснує розв’язок задачi (1) – (3) з простору
Cn
(
[0, T ];Eγ
α, ~2b
)
, який зображується рядом (29) i неперервно залежить вiд функцiй f(t, x)
та ϕj(x), j ∈ {1, . . . , n}.
Доведення. Iз формули (26) на пiдставi елементарної нерiвностi (|a1| + . . . + |an|)2 ≤
≤ n(|a1|2 + . . .+ |an|2) одержуємо
∥∥u;Cn([0, T ];Eγ
α, ~2b
)
∥∥ =
n∑
s0=0
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
max
0≤t≤T
|u(s0)k (t)|2w2
λk
(α; γ; 2~b)
1/2
≤
≤
n∑
s0=0
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
2n2
l(k)∑
q=1
nq(k)∑
rq=1
n∑
j=1
|∆j,q,rq(λk,~t )|2
|∆(λk,~t )|2
|ϕjk|2 max
0≤t≤T
|u(s0)k,q,rq
(t)|2+
+2 max
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ d
s0
dts0
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
w2
λk
(α; γ; 2~b)
1/2
. (31)
Оцiнимо тепер зверху модулi величин ∆j,q,rq(λk,~t ), u
(s0)
k,q,rq
(t) i
ds0
dts0
∫ T
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ,
якi входять у (31). На пiдставi (19), (20) отримуємо формули
u
(s0)
k,1,r1
(t) =
s0∑
j=0
Cjs0
(tr1−1)(j)
(r1 − 1)!
(µ1(λk))
s0−j exp (µ1(λk)t), r1 ∈ {1, . . . , n1(k)}, (32)
u
(s0)
k,q,rq
(t) =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζq−2∫
0
φ(ζ1, . . . , ζq−1)
s0∑
j=0
Cjs0(tχqrq (k)−1)(j)×
×
(
µs0−j exp (µt)
)∣∣∣∣
µ=µ1(λk)+
∑q
j=2(µj(λk)−µj−1(λk))ζj−1
dζq−1 . . . dζ1, q ∈ {2, . . . , l(k)}, (33)
в яких s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, t ∈ [0, T ]. Враховуючи оцiнки (13), (14), отри-
муємо, що для довiльної точки (ζ1, . . . , ζq−1), q ∈ {2, . . . , l(k)}, симплекса Sq справджуються
нерiвностi∣∣∣∣∣∣µ1(λk) +
q∑
j=2
(µj(λk)− µj−1(λk))ζj−1
∣∣∣∣∣∣ ≤ |µ1(λk)|(1− ζ1) + |µ2(λk)|(ζ1 − ζ2) + . . .
. . .+ |µq−1(λk)|(ζq−2 − ζq−1) + |µq(λk)|ζq−1 ≤ C3(1 + ‖λk‖2
~b), q ∈ {2, . . . , l(k)}, (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 425
Reµ1(λk) +
q∑
j=2
(Reµj(λk)− Reµj−1(λk))ζj−1 ≤ −δ‖λk‖2
~b, q ∈ {2, . . . , l(k)}. (35)
На пiдставi формул (21), (33) та оцiнок (34), (35) маємо
max
0≤t≤T
|u(s0)k,q,rq
(t)| ≤ (χqrq(k)− 1)!C5Φwλk(n; 0; 2~b), (36)
де rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {2, . . . , l(k)}, s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, C5 = (2n − 1) ×
×maxj∈{0,1,...,n−1}{T j(C3)
n−j}, а
Φ =
1∫
0
ζ1∫
0
. . .
ζq−2∫
0
φ(ζ1, . . . , ζq−1)dζq−1 . . . dζ1. (37)
Iнтегруючи в (37) частинами по кожнiй змiннiй, отримуємо
Φ = ((χqrq(k)− 1)!)−1. (38)
Iз (36) – (38) одержуємо
max
0≤t≤T
|u(s0)k,q,rq
(t)| ≤ C5wλk(n; 0; 2~b), rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, q ∈ {2, . . . , l(k)}, s0 ∈ {0, 1, . . . , n}.
(39)
Iз формул (32) на пiдставi оцiнок (13), (14) знаходимо
max
0≤t≤T
|u(s0)k,1,r1
(t)| ≤ C6wλk(n; 0; 2~b), r1 ∈ {1, . . . , n1(k)}, s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, (40)
де C6 = (2n − 1) maxj∈{0,1,...,n−1}{(C3)
n−jT j/j!}. Оскiльки ∆j,q,rq(λk,~t ), j ∈ {1, . . . , n}, q ∈
∈ {1, . . . , l(k)}, rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, є алгебраїчним доповненням елемента uk,q,rq(tj) у визнач-
нику ∆(λk,~t ), то, враховуючи оцiнки (39), (40), одержуємо
|∆j,q,rq(λk)| ≤ C7wλk(0;−(n− 1)δt1; 2~b), (41)
де j ∈ {1, . . . , n}, q ∈ {1, . . . , l(k)}, rq ∈ {1, . . . , nq(k)}, C7 = (n − 1)!(C5)
n−1. Згiдно з
означенням та властивостями функцiї Грiна багатоточкової задачi (10), (11) (див. [19]) маємо
ds0
dts0
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ =
n∑
j=0
tj+1∫
tj
∂s0Gj(t, τ ;λk)
∂ts0
fk(τ)dτ + δs0nfk(t), s0 ∈ {0, 1, . . . , n},
(42)
де δs0n — символ Кронекера. Iз формул (27), (28), (42) на пiдставi оцiнок (15), (30), (39) – (41)
знаходимо
max
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ d
s0
dts0
T∫
0
G(t, τ ;λk)fk(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C8fkwλk(n+ ω; γ0T + |θ − (n− 1)δt1|; 2~b), (43)
де s0 ∈ {0, 1, . . . , n}, fk = max0≤t≤T |fk(t)|, C8 = (n+ 1)TC5(1 + (C4)
−1C5C7)/2 + 1. Врахо-
вуючи оцiнки (30), (39) – (41), (43), iз (31) отримуємо
∥∥u;Cn([0, T ];Eγ
α, ~2b
)
∥∥ ≤ C9
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
f
2
kw
2
λk
(α+ n+ ω; γ + γ0T + |θ − (n− 1)δt1|; 2~b)
1/2 +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
426 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
+C10
n∑
j=1
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
|ϕjk|2w2
λk
(α+ n+ ω; γ + θ − (n− 1)δt1; 2~b)
1/2 ≤
≤ C11
∥∥f ;C([0, T ];Eγ1
α0, ~2b
)
∥∥+
n∑
j=1
∥∥ϕj ;Eγ2
α0, ~2b
)
∥∥ ,
де C9 =
√
2(n + 1)C8, C10 =
√
2n3(n + 1)C5C7, C11 = max{C9;C10}. Iз останньої нерiвностi
випливає доведення теореми.
5. Оцiнки знизу малих знаменникiв. Дослiдимо питання про можливiсть виконання
нерiвностi (30). Для цього нам знадобиться наступна лема, доведена у [12].
Лема 1. Нехай для квазiмногочлена y(t) =
∑m
i=1
pi(t) exp (zit), в якому всi zi ∈ C,
i ∈ {1, . . . ,m}, є рiзними, pi(t) — многочлен з комплексними коефiцiєнтами степеня ni − 1,
ni ∈ N, i ∈ {1, . . . ,m}, справджується умова
|y(n)(t) + a1y
(n−1)(t) + . . .+ any(t)| ≥ δ1 > 0 ∀t ∈ [a, c],
де ai, i ∈ {1, . . . , n}, — деякi комплекснi числа. Тодi для довiльного ε ∈ (0, ε1), ε1 = δ1/((2n +
+ 2)An), A = 1 + maxi∈{1,...,n} |ai|1/i,
mesR{t ∈ [a, c] : |y(t)| < ε} ≤ C12N(ε/δ1)
1/n,
N = 1 + max
i∈{1,...,m}
{|zi|}, C12 = C12(n, c− a, n1, . . . , nm).
Позначимо b̃ = min
j∈{1,...,p}
{bj}; mr(k) := n1(k) + . . .+ nr(k), r ∈ {1, . . . , l(k)}, m0(k) := 0,
Zq(λk) := 1, q ∈ {1, . . . , n1(k)},
Zq(λk) := (µj(λk)− µ1(λk))n1(k) . . . (µj(λk)− µj−1(λk))nj−1(k), q ∈ {n1(k) + 1, . . . , n},
(44)
gq(t, λk) := exp (µj(λk)t)t
q−mj−1(k)−1/(q −mj−1(k)− 1)!, q ∈ {1, . . . , n}, (45)
Pq(β, λk) :=
j−1∏
s=1
(β − µs(λk))ns(k)(β − µj(λk))q−mj−1(k), q ∈ {1, . . . , n}. (46)
У рiвностях (44) – (46) iндекс j := j(q) однозначно визначається з умови mj−1(k) < q ≤
≤ mj(k); H(λk,~t ) = det
∥∥gr(tj , λk)∥∥r∈{1,...,n}j∈{1,...,n}, ~τq = (t1, . . . , tq), q ∈ {1, . . . , n}, причому ~τn = ~t,
Hq(λk, ~τq ) = det
∥∥gr(tj , λk)∥∥r∈{1,...,q}j∈{1,...,q}.
Теорема 3. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в Rn) векторiв ~t ∈ [0, T ]n нерiвнiсть (30)
виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ W при ω > n(n−1)(1+p/b̃)/2
i θ = nγ0T.
Доведення. Згiдно з лемою Бореля – Кантеллi [20, c. 13], для доведення теореми досить
показати, що при ω = n(n− 1)(1 + p/(2b̃))/2 + e , e > 0, i θ = nγ0T ряд∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
mesRnW θ
ω (λk), (47)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 427
де W θ
ω(λk) = {~t ∈ [0, T ]n : |∆(λk,~t )| < (1+‖λk‖2
~b)−ω exp (−θ‖λk‖2
~b)}, є збiжним. Розглянемо
множини
V (λk) = {~t ∈ [0, T ]n : |H(λk,~t )| < ρn(λk)},
Vq(λk) = {~t ∈ [0, T ]n : |Hq(λk, ~τq )| < ρq(λk), |Hq−1(λk, ~τq−1 )| ≥ ρq−1(λk)}, q ∈ {2, . . . , n},
де
ρq(λk) = wλk(−q(q−1)(1+p/(2b̃))/2−e(q−1)/(n−1);−qγ0T ; 2~b)
q∏
j=1
|Zj(λk)|, q ∈ {1, . . . , n}.
Iз (24), (44) випливає, що ∆(λk,~t ) = H(λk,~t )
∏n
j=1
Z−1j (λk), λk ∈ W. Тому ряд (47)
збiгається тодi i тiльки тодi, коли збiжним є ряд∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
mesRnV (λk). (48)
Встановимо збiжнiсть ряду (48). Зауважимо, що
V (λk) ⊂
n⋃
q=2
Vq(λk), λk ∈ W. (49)
На пiдставi (49) та адитивностi мiри Лебега маємо
mesRnV (λk) ≤
n∑
q=2
mesRnVq(λk). (50)
Згiдно з теоремою Фубiнi [21, с. 119]
mesRnVq(λk) =
∫
[0,T ]n−1
mesRVq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn)dt1 . . . dtq−1dtq+1 . . . dtn, (51)
де Vq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn) = {tq ∈ [0, T ] : ~t ∈ Vq(λk)}, q ∈ {2, . . . , n}.
Для оцiнки зверху мiри Лебега множин Vq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn), q ∈ {2, . . . , n}, λk ∈
∈ W, застосуємо лему 1. Зауважимо, що функцiя Hq(λk, ~τq), q ∈ {2, . . . , n}, як функцiя змiнної
tq (при фiксованих t1, . . . , tq−1), є квазiмногочленом, модулi показникiв експонент якого не
перевищують C3T (1 + ‖λk‖2
~b); крiм того, з розвинення визначника Hq(λk, ~τq), q ∈ {2, . . . , n},
за елементами останнього рядка та (46) випливають рiвностi
Pq−1(∂/∂tq, λk)Hq(λk, ~τq ) = exp (µj(λk)tq)Hq−1(λk, ~τq−1 )Zq(λk), q ∈ {2, . . . , n}, (52)
де iндекс j := j(q) однозначно визначається з умови mj−1(k) < q ≤ mj(k).
Якщо ~t ∈ Vq(λk), q ∈ {2, . . . , n}, то з формул (52), на пiдставi оцiнок (15) та означення
множин Vq(λk), отримуємо∣∣Pq−1(∂/∂tq, λk)Hq(λk, ~τq )
∣∣ ≥ ρ1(λk)ρq−1(λk)|Zq(λk)| ∀tq ∈ [0, T ], q ∈ {2, . . . , n}. (53)
Очевидно, що для кожного q ∈ {2, . . . , n} степiнь многочлена Pq−1(β, λk) за змiнною β до-
рiвнює q − 1, а модуль коефiцiєнта при βq−j−1, j ∈ {0, 1, . . . , q − 1}, в цьому многочленi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
428 Б. Й. ПТАШНИК, I. Р. ТИМКIВ
не перевищує C13(1 + ‖λk‖2
~b)j , де C13 = C13(n,C3). Тому на пiдставi леми 1 з оцiнок (53)
отримуємо
mesRVq(λk; t1, . . . , tq−1, tq+1, . . . , tn) ≤ C14(1 + ‖λk‖2
~b) q−1
√
ρq(λk)
ρ1(λk)ρq−1(λk)|Zq(λk)|
≤
≤ C14(1 + ‖λk‖2
~b)−p/(2b̃)−ẽ, q ∈ {2, . . . , n}, (54)
де C14 = C14(n, T, γ0), ẽ = e/(n− 1)2. На пiдставi (50), (51) i (54) маємо
mesRnV (λk) ≤
n∑
q=2
mesRnVq(λk) ≤ (n− 1)C14T
n−1(1 + ‖λk‖2
~b)−p/(2b̃)−ẽ. (55)
Оскiльки, згiдно з оцiнками (6), (1 + ‖λk‖2
~b)−1 ≤ (C1)
−bp(1 + ‖k‖2~b)−1 ≤ C15(1 + |k|)−2b̃, де
C15 = C15(C1, p), то на пiдставi (55) одержуємо∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
mesRnV (λk) ≤ C16
∑
|k′|≥0
∞∑
kp=1
(1 + |k|)−(p+2b̃ẽ) <∞,
де C16 = (n− 1)C14C15T
n−1.
Теорему доведено.
З теорем 2, 3 випливає таке твердження.
Теорема 4. Нехай справджується умова (25), f ∈ C
(
[0, T ];Eγ1
α0, ~2b
)
, ϕj ∈ Eγ2
α0, ~2b
, j ∈
∈ {1, . . . , n}, де α0 > α+n+n(n−1)(1+p/(2b̃))/2, γ1 = γ+(n+1)γ0T−(n−1)δt1, γ2 = γ1−γ0T.
Для майже всiх (щодо мiри Лебега в Rn) векторiв ~t ∈ [0, T ]n iснує єдиний розв’язок задачi (1) –
(3) з простору Cn
(
[0, T ];Eγ
α, ~2b
)
, який зображується рядом (29) i неперервно залежить вiд
функцiй f(t, x) та ϕj(t, x), j ∈ {1, . . . , n}.
Зауваження. У деяких випадках нерiвнiсть (30) справджується для довiльного вектора
~t ∈ ST . Покажемо це на прикладi задачi з умовами (2), (3) для рiвняння(
∂
∂t
+
p−1∑
r=1
(−1)br
∂2br
∂x2brr
+ (−1)bpBbpν
)n
u(t, x) = 0, (t, x) ∈ D. (56)
У випадку задачi (2), (3), (56) вiдповiдний визначник ∆(λk,~t ) визначається формулою
∆(λk,~t ) =
n−1∏
r=1
(r!)−1
∏
1≤q<r≤n
(tr − tq) exp
(
−(t1 + . . .+ tn)‖λk‖2
~b
)
. (57)
Легко бачити, що для визначника (57) нерiвнiсть (30) справджується для всiх векторiв λk ∈ W
i довiльного ~t ∈ ST при ω = 0 i θ = nT.
Результати роботи можна поширити на системи B-параболiчних рiвнянь вигляду (1).
1. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука, 1978. – 463 с.
2. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
3. Конаков П. К., Веревочкин Т. Е. Тепломассообмен при получении монокристаллов. – М.: Металлургия, 1971. –
387 с.
4. Городецький В. В., Ленюк О. М. Двоточкова задача для одного класу еволюцiйних рiвнянь // Мат. ст. – 2007. –
28, № 2. – С. 175 – 182.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
БАГАТОТОЧКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ B-ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 429
5. Mesloub S. On a singular two dimensional nonlinear evolution equation with nonlocal conditions // Nonlinear Anal.:
Theory, Methods and Appl. – 2008. – 68, № 9. – P. 2594 – 2607.
6. Bouziani A. On thee-point boundary value problem with a weighted integral condition for a classe of singular parabolic
equations // Abstr and Appl. Anal. – 2002. – 7, № 10. – P. 517 – 530.
7. Denche M., Marhoune A. L. A thee-point boundary value problem with an integral condition for parabolic equations
with the Bessel operators // Appl. Math. Lett. – 2000. – 13. – P. 85 – 89.
8. Лавренчук В. П. Деякi нелокальнi задачi для параболiчного рiвняння другого порядку з оператором Бесселя //
Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями: Зб. наук. праць. – Чернiвцi, 1990. – С. 111 – 119.
9. Тимкiв I. Р. Багатоточкова задача для 2 ~B-параболiчного рiвняння // Третя мiжн. конф. молодих вчених, при-
свячена Я. Б. Лопатинському „Диференцiальнi рiвняння та їх застосування” (Львiв, 3 – 6 жовтня 2010 р.): Тез.
доп. – Донецьк, 2010. – С. 89 – 91.
10. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
11. Пташник Б. Й., Галун К. С. Багатоточкова задача для факторизованих гiперболiчно-параболiчних операторiв
// Доп. НАН України. – 2009. – № 11. – С. 33 – 38.
12. Пташник Б.Й., Симотюк М. М. Багатоточкова задача для неiзотропних диференцiальних рiвнянь iз частинними
похiдними зi сталими коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 2. – С. 241 – 254.
13. Пташник Б. Й., Тимкiв I. Р. Багатоточкова задача для параболiчного рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами в
цилiндричнiй областi // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2011. – 54, № 1. – С. 15 – 26.
14. Силюга Л. П. Багатоточкова задача для параболiчних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами // Мат. методи та
фiз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 4. – С. 42 – 48.
15. Эйдельман С. Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133, № 1. – С. 40 – 43.
16. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – 6,
№ 2(42). – С. 102 – 143.
17. Фаддєєв Д. К., Сомiнський I. С. Збiрник задач з вищої алгебри. – Київ: Вища шк., 1971. – 316 с.
18. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
19. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разло-
жении произвольных функций в ряды. – Петроград, 1917. – xiv+308 с.
20. Спринжук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 143 с.
21. Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. – Киев: Вища шк., 1989. – 152 с.
Одержано 06.07.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 3
|