Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування
Проведено класифікацію лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної, нееквівалентних відносно лінійних перетворень, у випадку двовимірного векторного поля. Одержані результати застосовано до дослідження симетрійних властивостей систем нелінійних рівнянь параболічного та гіперболічного т...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165381 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування / Л.М. Блажко, Т.О. Жадан, М.І. Сєров // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 8. — С. 1128–1145. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165381 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653812020-02-14T01:27:16Z Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування Блажко, Л.М. Жадан, Т.О. Сєров, М.І. Статті Проведено класифікацію лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної, нееквівалентних відносно лінійних перетворень, у випадку двовимірного векторного поля. Одержані результати застосовано до дослідження симетрійних властивостей систем нелінійних рівнянь параболічного та гіперболічного типів. We present the classification of linear representations of the Galilei, Poincaré, and conformal algebras nonequivalent under linear transformations in the case of a two-dimensional vector field. The obtained results are applied to the investigation of the symmetry properties of systems of nonlinear parabolic and hyperbolic equations. 2006 Article Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування / Л.М. Блажко, Т.О. Жадан, М.І. Сєров // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 8. — С. 1128–1145. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165381 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Блажко, Л.М. Жадан, Т.О. Сєров, М.І. Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування Український математичний журнал |
| description |
Проведено класифікацію лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної, нееквівалентних відносно лінійних перетворень, у випадку двовимірного векторного поля. Одержані результати застосовано до дослідження симетрійних властивостей систем нелінійних рівнянь параболічного та гіперболічного типів. |
| format |
Article |
| author |
Блажко, Л.М. Жадан, Т.О. Сєров, М.І. |
| author_facet |
Блажко, Л.М. Жадан, Т.О. Сєров, М.І. |
| author_sort |
Блажко, Л.М. |
| title |
Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування |
| title_short |
Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування |
| title_full |
Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування |
| title_fullStr |
Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування |
| title_full_unstemmed |
Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування |
| title_sort |
класифікація лінійних зображень алгебр галілея, пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165381 |
| citation_txt |
Класифікація лінійних зображень алгебр Галілея, Пуанкаре та конформної у випадку двовимірного векторного поля та їх застосування / Л.М. Блажко, Т.О. Жадан, М.І. Сєров // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 8. — С. 1128–1145. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT blažkolm klasifíkacíâlíníjnihzobraženʹalgebrgalíleâpuankaretakonformnoíuvipadkudvovimírnogovektornogopolâtaíhzastosuvannâ AT žadanto klasifíkacíâlíníjnihzobraženʹalgebrgalíleâpuankaretakonformnoíuvipadkudvovimírnogovektornogopolâtaíhzastosuvannâ AT sêrovmí klasifíkacíâlíníjnihzobraženʹalgebrgalíleâpuankaretakonformnoíuvipadkudvovimírnogovektornogopolâtaíhzastosuvannâ |
| first_indexed |
2025-07-14T18:22:56Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:22:56Z |
| _version_ |
1837647661066354688 |
| fulltext |
UDK 517.9
M. I. S[rov, T. O. Ûadan, L. M. BlaΩko (Poltav. nac. texn. un-t)
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN|
ALHEBR HALILEQ, PUANKARE TA KONFORMNO}
U VYPADKU DVOVYMIRNOHO VEKTORNOHO POLQ
TA }X ZASTOSUVANNQ
We classify linear representations of the Galilei, Poincaré, and conformal algebras nonequivalent with
respect to linear transformations in the case of two-dimensional vector field. The results obtained are
used when investigating symmetry properties of systems of nonlinear equations of the parabolic and
hyperbolic types.
Provedeno klasyfikacig linijnyx zobraΩen\ alhebr Halileq, Puankare ta konformno], neekvi-
valentnyx vidnosno linijnyx peretvoren\, u vypadku dvovymirnoho vektornoho polq. OderΩani
rezul\taty zastosovano do doslidΩennq symetrijnyx vlastyvostej system nelinijnyx rivnqn\
paraboliçnoho ta hiperboliçnoho typiv.
1. Vstup. Pry doslidΩenni symetrijnyx vlastyvostej rivnqn\ ta system riv-
nqn\ matematyçno] fizyky
S x u u u
n
, , , ,
1
…
= 0,
de x Rn∈ — nezaleΩni zminni, u u x Rm= ∈( ) — nevidomi funkci], u
k
— sukup-
nist\ usix poxidnyx funkcij u porqdku k, vynyka[ zadaça klasyfikaci] zobra-
Ωen\ ]x alhebr invariantnosti.
Postavymo zadaçu: opysaty neekvivalentni linijni zobraΩennq alhebr Hali-
leq, Puankare ta konformno], vidnosno qkyx rivnqnnq paraboliçnoho ta hiper-
boliçnoho typiv [ invariantnymy u vypadku U R∈ 2.
U robotax [1 – 5] pry doslidΩenni symetrijnyx vlastyvostej linijnyx hiper-
boliçnyx ta paraboliçnyx rivnqn\ opysano deqki zobraΩennq cyx alhebr. Opy-
ßemo ci neekvivalentni zobraΩennq pry umovi, wo poçatkova systema dopuska[
linijni peretvorennq ekvivalentnosti
W = KU + L , (1)
de K — nevyrodΩena stala matrycq rozmirnosti 2 × 2, L — stala matrycq roz-
mirnosti 2 × 1, W W x= ( ) — novi nevidomi funkci]. Bil\ß detal\no pro pere-
tvorennq ekvivalentnosti dyv. u robotax [6 – 8].
Bazysni elementy alhebry Halileq AG (1, 1)
∂0 = ∂
∂x0
, ∂1 = ∂
∂x1
, G = x S0 1 1∂ + , (2)
dopovneni operatorom masßtabnyx peretvoren\
D = 2 0 0 1 1 2x x S∂ ∂+ + ,
pry umovi
[ ],S S1 2 = – S1 (3)
utvorggt\ rozßyrenu alhebru Halileq
AG1 1 1( , ) = 〈 〉∂ ∂0 1, , ,G D . (4)
Elementy ci[] alhebry, dopovneni operatorom proektyvnyx peretvoren\
Π = x x x x S x S S0
2
0 0 1 1 0 2 1 1 3∂ ∂+ + + + ,
© M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO, 2006
1128 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1129
pry umovax (3) ta
[ ],S S1 3 = 0, [ ],S S2 3 = 2 3S (5)
utvorggt\ uzahal\nenu alhebru Halileq
AG2 1 1( , ) = 〈 〉∂ ∂0 1, , , ,G D Π . (6)
Analohiçno, qkwo bazysni operatory alhebry Halileq AG̃( , )1 1 z operatorom
masy T1
∂0 = ∂
∂x0
, ∂1 = ∂
∂x1
, G = x x T T0 1 1 1 2∂ + + , T1 (7)
dopovnyty operatorom masßtabnyx peretvoren\
D = 2 0 0 1 1 3x x T∂ ∂+ +
pry umovax
[ ],T T1 2 = 0 (8)
ta
[ ],T T1 3 = 0, [ ],T T2 3 = – T2 , (9)
to oderΩymo rozßyrenu alhebru Halileq z operatorom masy:
AG̃ ( , )1 1 1 = 〈 〉∂ ∂0 1 1, , , ,G T D . (10)
Elementy alhebry (10), dopovneni operatorom proektyvnyx peretvoren\
Π = x x x x T x T
x
T T0
2
0 0 1 1 0 3 1 2
1
2
1 42
∂ ∂+ + + + + ,
pry umovax (8), (9), a takoΩ
[ ],T T1 4 = 0, [ ],T T2 4 = 0, [ ],T T3 4 = 2 4T (11)
utvorggt\ uzahal\nenu alhebru Halileq z operatorom masy:
AG̃ ( , )2 1 1 = 〈 〉∂ ∂0 1 1, , , , ,G T D Π . (12)
Analohiçno dopovng[mo bazysni elementy alhebry Puankare AP( , )1 1
∂0 = ∂
∂x0
, ∂1 = ∂
∂x1
, J01 = x x Q1 0 0 1 1∂ ∂+ + (13)
operatorom masßtabnyx peretvoren\
D = x x Q0 0 1 1 2∂ ∂+ +
i oderΩu[mo pry umovi
[ ],Q Q1 2 = 0 (14)
rozßyrenu alhebru Puankare
AP1 1 1( , ) = 〈 〉∂ ∂0 1 01, , ,J D . (15)
Operatory ci[] alhebry, dopovneni operatoramy konformnyx peretvoren\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1130 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
K0 = 2 20
2
0 1 1 3x D x x Q Q− + +∂ ,
K1 = 2 21
2
1 0 1 4x D x x Q Q+ + +∂ ,
pry umovax (14) ta
[ ],Q Q1 3 = Q4 , [ ],Q Q2 3 = Q3, [ ],Q Q3 4 = 0,
(16)
[ ],Q Q1 4 = Q3, [ ],Q Q2 4 = Q4
utvorggt\ konformnu alhebru
AC( , )1 1 = 〈 〉∂ ∂0 1 01 0 1, , , , ,J D K K . (17)
Tut Qa , Ta , Sa — operatory vyhlqdu
Qa = ( )α β ∂abc
b
ac u
u c+ , (18)
Ta = ( )m u nabc
b
ac uc+ ∂ , (19)
Sd = ( )p u sdbc
b
dc uc+ ∂ , (20)
a = 1 4, , d = 1 3, , b c, ,= 1 2, αabc , βac , mabc, nac , pdbc i sdc — stali.
ZauvaΩennq. Vkazani alhebry [ najbil\ß zahal\nymy v klasi alhebr (2), (4),
(6), (7), (10), (12), (13), (15), (17) z operatoramy vyhlqdu
Qa = ( )( ) ( )α β ∂abc b ac
u
x u x c+ , Ta = ( )( ) ( )m x u n xabc b ac
uc+ ∂ ,
Sd = ( )( ) ( )p x u s xdbc b dc
uc+ ∂ ,
z dovil\nymy funkciqmy αabc x( ), βac x( ) , m xabc( ), n xac( ) , p xdbc( ), s xdc( ) ,
a = 1 4, , d = 1 3, , b c, ,= 1 2. U c\omu moΩna perekonatysq, vymahagçy vyko-
nannq komutacijnyx spivvidnoßen\ miΩ operatoramy vidpovidnyx alhebr.
2. Klasyfikaciq linijnyx zobraΩen\ alhebr Halileq, Puankare ta kon-
formno] u vypadku dvovymirnoho vektornoho polq. Provedemo klasyfika-
cig alhebr, opysanyx u vstupi, ta navedemo ]x zobraΩennq.
U roboti [9] opysano neekvivalentni linijni zobraΩennq alhebry Halileq (2).
Pry c\omu oderΩano 6 neekvivalentnyx zobraΩen\ operatora S1:
I. S
u1 1= ∂ .
II. S k m u
u u1 1 1
2
1 2= +∂ ∂ .
III. S k u
u u1 1
1
1 2= +∂ ∂ .
IV. S u k u
u u1
1
1
2
1 2= +∂ ∂ .
V. S k I m u
u1 1 1
2
1= + ∂ .
VI. S k I m J1 1 1= + .
Tut I u u
u u
= +1 2
1 2∂ ∂ , J u u
u u
= −1 2
2 1∂ ∂ , k1, m1 — dovil\ni stali.
Danyj rezul\tat budemo vykorystovuvaty pry provedenni klasyfikaci] linijnyx
zobraΩen\ alhebr (4), (6), (7), (10), (12), (13), (15), (17).
Teorema>1. Z toçnistg do peretvoren\ ekvivalentnosti (1) isnugt\ 6
neekvivalentnyx zobraΩen\ rozßyreno] alhebry Halileq (4), qki zadagt\sq
operatoramy S1 , S2 , navedenymy v tabl.N1, de ki — dovil\ni stali.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1131
TablycqN1
# z / p S1 S2
1 ∂
u1 − +u k
u u
1
21 2∂ ∂
2 ∂
u1 − +u k u
u u
1
2
2
1 2∂ ∂ , k2 0 1≠ ; –
3 ∂
u1 k u I
u2
2
1∂ −
4 k u
u u1
1
1 2∂ ∂+ − −u u
u u
1 2
1 22∂ ∂
5 u
u
1
2∂ k I u
u2
2
2− ∂
6 k u
u1
2
1∂ k I u
u2
2
2+ ∂
Dovedennq. Rozhlqnemo detal\no perßyj vypadok, koly S
u1 1= ∂ . Vyko-
rystovugçy formuly (3) ta (20), znaxodymo
∂ ∂
u ab
b
a u
p u s a1 2 2, ( )+[ ] = p a ua2 1∂ = – ∂
u1 ,
zvidky oderΩu[mo p211 1= − , p221 0= . OtΩe, operator S2 ma[ vyhlqd
S2 = ( ) ( )− + + + +u p u s p u s
u u
1
212
2
21 222
2
221 2∂ ∂ . (21)
Oskil\ky formula (21) mistyt\ dovil\ni stali, to vona opysu[ deqkyj klas
operatoriv S2 . Znajdemo vsi neekvivalentni zobraΩennq danoho operatora vid-
nosno peretvoren\ (1), vymahagçy pry c\omu invariantnist\ operatora S
u1 1= ∂
∂
vidnosno cyx peretvoren\.
Oskil\ky pislq zaminy (1)
∂
∂ua = k
wba b
∂
∂
,
to z rivnosti
k
wb b1
∂
∂
= ∂
∂w1
ma[mo k11 1= , k21 0= .
Takym çynom, linijni nevyrodΩeni peretvorennq, vidnosno qkyx operator S1
[ invariantnym, u danomu vypadku magt\ vyhlqd
w u k u l1 1
12
2
1= + + ,
(22)
w k u l2
22
2
2= + , k22 0≠ ,
pryçomu ∂ ∂
u w1 1= , ∂ ∂ ∂
u w w
k k2 1 212 22= + .
Teper podi[mo peretvorennqmy (22) na operator S2 . OderΩymo
S2 = − +
+ +( )w
k
p k p w1
22
212 12 222
21 1( ) –
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1132 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
–
l
k
p k p l s k s
w
2
22
212 12 222 1 21 12 221 1+ +( ) + + +
( ) ∂ +
+ p w k s l p
w222
2
22 22 2 222 2+ −[ ]∂ . (23)
Vyberemo stali k12, k22 , l1 i l2 takym çynom, wob maksymal\no sprostyty
operator (23). Ce moΩlyvo za umov
p k p212 12 2221 0+ + =( ) ,
− + +( ) + + + =l
k
p k p l s k s2
22
212 12 222 1 21 12 221 0( ) , (24)
k s l p22 22 2 222 0− = .
Oçevydno, wo druhu rivnist\ u (24) moΩna zadovol\nyty pry dovil\nyx zna-
çennqx stalyx pabc i sab. Dlq toho wob vykonuvalys\ perßa ta tretq rivnosti,
neobxidno vybyraty znaçennq stalyx kab , la , vraxovugçy odnu z umov:
1) p222 1 0≠ − ; , s22 0≠ ,
2) p222 0= , s22 0≠ ,
3) p222 1= − , s22 0≠ ,
koΩna z qkyx pryvodyt\ vidpovidno do takyx neekvivalentnyx kanoniçnyx
zobraΩen\ operatora S2 :
1) S u k u
u u2
1
2
2
1 2= − +∂ ∂ , k2 0 1≠ −; ,
2) S u k
u u2
1
21 2= − +∂ ∂ ,
3) S k u I
u2 2
2
1= −∂ .
Ci zobraΩennq vidpovidagt\ zobraΩennqm 1 – 3 z tabl.N1.
Analohiçno dopovng[mo alhebru (2) operatorom dilataci] D dlq p.NII – VI.
Pry c\omu dlq operatoriv p.NIII oderΩu[mo dva neekvivalentnyx vidnosno pere-
tvoren\ (1) kanoniçnyx zobraΩennq operatora S2 , wo vidpovidagt\ zobraΩen-
nqm 4, 5 iz tabl.N1; dlq operatoriv p.NV isnu[ [dyne kanoniçne zobraΩennq ope-
ratora S2 , wo vidpovida[ zobraΩenng 6 iz tabl.N1. U vypadkax p.NII, IV, VI
umova (3) ne vykonu[t\sq dlq Ωodnyx zobraΩen\ operatora S2 .
Teoremu dovedeno.
Teorema>2. Z toçnistg do peretvoren\ ekvivalentnosti (1) isnugt\ 8
neekvivalentnyx zobraΩen\ uzahal\neno] alhebry Halileq (6), qki zadagt\sq
operatoramy S1, S2 , S3, navedenymy v tabl.N2, de m1 , ki — dovil\ni stali.
TablycqN2
# z / p S1 S2 S3
1 ∂
u1 − +u k
u u
1
21 2∂ ∂ 0
2 ∂
u1 − +u k u
u u
1
2
2
1 2∂ ∂ , k2 0 1≠ ; – 0
3 ∂
u1 − +u u
u u
1 2
1 2∂ ∂ k u
u3
2
1∂
4 ∂
u1 k u I
u2
2
1∂ − 0
5 k m u
u u1 1
1
1 2∂ ∂+ − −u u
u u
1 2
1 22∂ ∂ k
u3 2∂
6 u
u
1
2∂ k I u
u2
2
2− ∂ 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1133
Zakinçennq tabl. 2
# z / p S1 S2 S3
7 k u
u1
2
1∂ k I u
u2
2
2+ ∂ 0
8 k u
u1
2
1∂ − −2 1 2
1 2u u
u u
∂ ∂ k
u3 1∂
Dovedennq. Rozhlqnemo detal\no zobraΩennq alhebry Halileq (4), wo vid-
povida[ zobraΩenng 1 iz tabl.N1:
S1 = ∂
u1 , S2 = – u k
u u
1
21 2∂ ∂+ .
Dopovnymo operatory ci[] alhebry operatorom proektyvnyx peretvoren\ Π ta-
kym çynom, wob vykonuvalys\ umovy (5):
[ ],S S1 3 = ∂ ∂
u ab
b
a u
p u s a1 3 3, ( )+[ ] = p a ua3 1∂ = 0,
zvidky p a3 1 0= . OtΩe, operator S3 ma[ vyhlqd
S3 = ( )p u sa a ua3 2
2
3+ ∂ .
Komutugçy joho z S2 :
[ ],S S2 3 = − + +[ ]u k p u s
u u a a ua
1
2 3 2
2
31 2∂ ∂ ∂, ( ) =
= k p p u sa u ua2 3 2 312
2
31 1∂ ∂+ +( ) = 2 3 2
2
3( )p u sa a ua+ ∂ ,
oderΩu[mo systemu rivnqn\
k p p u s2 312 312
2
31+ + = 2 312
2
31( )p u s+ ,
k p2 322 = 2 322
2
32( )p u s+ ,
rozv’qzkom qko] [ takyj nabir stalyx: p ab3 0= , s a3 0= . Takym çynom, ma[mo
S
u1 1= ∂ , S u k
u u2
1
21 2= − +∂ ∂ , S3 0= ,
wo vidpovida[ zobraΩennqm 1 iz tabl.N2. Digçy analohiçnym çynom, oderΩu[mo
reßtu zobraΩen\ uzahal\neno] alhebry Halileq (6).
Teoremu dovedeno.
Pry klasyfikaci] zobraΩen\ alhebry Halileq z operatorom masy (7) potrebu-
gt\ utoçnennq operatory T1 i T2 , pry klasyfikaci] alhebry Puankare (13) —
operator Q1 . Dlq operatoriv T1 i Q1 vykorysta[mo klasyfikacig zobraΩen\
I – VI, tobto
T1 = Q1 = S1 . (25)
Rozhlqnemo alhebru Halileq z operatorom masy (7) ta rozßyrenu alhebru
Puankare (15). Dlq toho wob operatory utvorgvaly alhebru, neobxidno vyko-
nannq komutacijnyx spivvidnoßen\, z qkyx utoçng[mo vyhlqd operatora T2 dlq
alhebry (7) i operatora Q2 dlq alhebry (15).
Umovy komutuvannq dlq alhebry (7) magt\ vyhlqd (8), a dlq alhebry (15) za-
dagt\sq formulog (14). Vraxovugçy (25), oderΩu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1134 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
T2 = Q2 . (26)
Teorema>3. Z toçnistg do peretvoren\ ekvivalentnosti (1) isnugt\ 6 ne-
ekvivalentnyx zobraΩen\ alhebry Halileq z operatorom masy (7) ta rozßyre-
no] alhebry Puankare (15), qki zadagt\sq operatoramy Q 1 i Q 2 , navedenymy
v tabl.N3, de ki , mi — dovil\ni stali.
TablycqN3
# z / p Q1 Q2
1 ∂
u1 k m u
u u2 2
2
2 1∂ ∂+
2 k m u
u u1 1
2
1 2∂ ∂+ k m u
u u2 2
2
1 2∂ ∂+
3 k u
u u1
1
1 2∂ ∂+ k m k u
u u u2 2 1
1
2 1 2∂ ∂ ∂+ +( )
4 k u m u
u u1
1
1
2
1 2∂ ∂+ k u m u
u u2
1
2
2
1 2∂ ∂+
5 k I m u
u1 1
2
1+ ∂ k I m u
u2 2
2
1+ ∂
6 k I m J1 1+ k I m J2 2+
Dovedennq. Vraxovugçy (25), (26), budemo dovodyty teoremu dlq alhebr (7)
i (15) odnoçasno.
Rozhlqnemo zobraΩennq Q
u1 1= ∂ . Zapyßemo komutacijni spivvidnoßennq
(14) dlq operatoriv alhebr (7), (15):
[ ],Q Q1 2 = ∂ α β ∂
u ab
b
a u
u a1 2 2, ( )+[ ] = α ∂2 1a ua = 0, a = 1 2, .
Zvidsy oderΩymo α2 1 0a = . OtΩe, operator Q2 ma[ vyhlqd
Q2 = ( )α β ∂2 2
2
2a a u
u a+ .
Znajdemo zobraΩennq operatora Q2 , neekvivalentni vidnosno peretvoren\
(1), vymahagçy pry c\omu invariantnist\ vidnosno cyx peretvoren\ operatora
Q
u1 1= ∂ . Z dovedennq teoremyN1 vidomo, wo operator Q1 [ invariantnym vid-
nosno nevyrodΩenyx peretvoren\ (22). Zastosovugçy ci peretvorennq do opera-
tora Q2 , znaxodymo
Q2 = 1
22
212 12 222
2
21
2
22
212 12 222 12 22 1
k
k w
l
k
k k
w
( ) ( )α α β α α β+ + − + +
∂ +
+ α β α ∂222
2
22 22 222 2 2w k l
w
+ −[ ] . (27)
U zaleΩnosti vid toho, çy vykonu[t\sq umova α222 0= , oderΩu[mo dva kano-
niçnyx neekvivalentnyx zobraΩennq operatora Q2 :
1) Q2 = k m u
u u2 2
2
1 2∂ ∂+ ,
2) Q2 = k m u
u u2 2
2
2 1∂ ∂+ ,
z qkyx perßyj razom z operatorom Q1 [ çastynnym vypadkom operatoriv 2 z
tabl.N3 pry k1 1= , m1 0= , a druhyj razom z operatorom Q1 vidpovida[ opera-
toram, navedenym u perßomu rqdku tabl.N3.
Reßtu vypadkiv oderΩu[mo analohiçno.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1135
Teorema>4. Z toçnistg do peretvoren\ ekvivalentnosti (1) isnugt\ 10 ne-
ekvivalentnyx zobraΩen\ rozßyreno] alhebry Halileq z operatorom masy (10)
za umov (25), (26), qki zadagt\sq operatoramy Q1, Q2 , T3, navedenymy v
tabl.N4, de ki , mi — dovil\ni stali.
TablycqN4
# z / p Q1 Q2 T3
1 ∂
u1 0 k m u
u u3 3
2
2 1∂ ∂+
2 ∂
u1 k u
u2
2
1∂ k u
u u3
2
1 2∂ ∂+
3 ∂
u1 k
u2 2∂ k u
u u3
2
1 2∂ ∂−
4 k m u
u u1 1
2
1 2∂ ∂+ 0 k m u
u u3 3
2
1 2∂ ∂+
5 k u
u u1
1
1 2∂ ∂+ 0 k k u m
u u u3 1
1
31 2 2( )∂ ∂ ∂+ +
6 k u
u1
1
1∂ k
u2 2∂ k u u
u u3
1 2
1 2∂ ∂+
7 I k u
u2
2
1∂ k I u
u3
2
2+ ∂
8 k u m u
u u1
1
1
2
1 2∂ ∂+ 0 k u m u
u u3
1
3
2
1 2∂ ∂+
9 k I m u
u1 1
2
1+ ∂ 0 k I m u
u3 3
2
1+ ∂
10 k I m J1 1+ 0 k I m J3 3+
Dovedennq. Rozhlqnemo detal\no zobraΩennq alhebry Halileq (7), wo vid-
povida[ zobraΩenngN1 iz tabl.N3. Cg alhebru rozßyrg[mo operatorom D, vyma-
hagçy vykonannq komutacijnyx spivvidnoßen\ (9) ta vraxovugçy umovy (25),
(26). V rezul\tati ma[mo
[ ],Q T1 3 = ∂ ∂
u ab
b
a u
m u n a1 3 3, ( )+[ ] = m a ua3 1∂ = 0,
zvidky m a3 1 0= ,
[ ],Q T2 3 = k m u m u n
u u a a ua2 2
2
3 2
2
32 1∂ ∂ ∂+ +[ ], ( ) =
= k m m m u na u ua2 3 2 2 322
2
32 1∂ ∂− +( ) = – k m u
u u2 2
2
2 1∂ ∂− .
Zvidsy, v svog çerhu, oderΩu[mo systemu
k m m m u n2 312 2 322
2
32− +( ) = – m u2
2,
k m2 322 = – k2,
rozv’qzkom qko] budut\ try riznyx nabory stalyx, qkym vidpovidagt\ operatory
Qa , a = 1 2, , T3:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1136 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
k2 = m2 = 0,
(28)
Q
u1 1= ∂ , Q2 = 0, T3 = m u na a ua3 2
2
3+( )∂ ,
k2 = 0, n32 = 0, m322 = 1,
(29)
Q
u1 1= ∂ , Q2 = k u
u2
2
1∂ , T3 = m u n u
u u312
2
31
2
1 2+( ) +∂ ∂ ,
m2 = 0, m312 = 0, m322 = – 1,
(30)
Q
u1 1= ∂ , Q2 = k
u2 2∂ , T3 = n u n
u u31
2
321 2∂ ∂− −( ) .
U koΩnomu z vypadkiv (28) – (30) operator T3 mistyt\ dovil\ni stali, tobto
formuly (28) – (30) zadagt\ deqki klasy operatoriv. Znajdemo vsi neekviva-
lentni zobraΩennq cyx operatoriv vidnosno peretvoren\ (1), vymahagçy pry c\o-
mu, wob operatory Q1 ta Q2 buly invariantnymy vidnosno danyx peretvoren\.
Iz teoremyN1 vyplyva[, wo peretvorennq, vidnosno qkyx operator Q1 [ invari-
antnym, magt\ vyhlqd (22). Vymahagçy invariantnist\ operatora Q2 vidnosno
peretvoren\ (22), dlq koΩnoho z tr\ox vypadkiv oderΩu[mo vidpovidno peretvo-
rennq invariantnosti operatoriv Q1 i Q2 :
1) w1 = u k u l1
12
2
1+ + , w2 = k u l22
2
2+ ,
2) w1 = u k u l1
12
2
1+ + , w2 = u2,
3) w1 = u l1
1+ , w2 = u l2
2+ .
Digçy danymy peretvorennqmy na operator T3, znaxodymo zobraΩennq al-
hebry (10). Namahagçys\ maksymal\no sprostyty vyhlqd operatora T3, mirku[-
mo, qk i pry dovedenni teoremyN1. Pislq vyboru pevnym çynom stalyx dlq vypad-
ku (28) vynykagt\ try riznyx pidvypadky. Takym çynom, oderΩymo p’qt\ neekvi-
valentnyx kanoniçnyx zobraΩen\ operatoriv Q1, Q2 , T3, zadanyx formulamy
Q1 = ∂
u1 , Q2 = 0, T3 = k u
u3
2
2∂ , (31)
Q1 = ∂
u1 , Q2 = 0, T3 = k m u
u u3 3
2
1 2∂ ∂+ , (32)
Q1 = ∂
u1 , Q2 = 0, T3 = k m u
u u3 3
2
2 1∂ ∂+ , (33)
Q1 = ∂
u1 , Q2 = k u
u2
2
1∂ , T3 = k u
u u3
2
1 2∂ ∂+ , (34)
Q1 = ∂
u1 , Q2 = k
u2 2∂ , T3 = k u
u u3
2
1 2∂ ∂− , (35)
z qkyx (31), (32) [ çastynnymy vypadkamy zobraΩen\N4 z tabl.N4, a (33) – (35) zbi-
hagt\sq z zobraΩennqmy 1 – 3 z dano] tablyci.
Reßtu vypadkiv oderΩu[mo analohiçno.
Teoremu dovedeno.
Teorema>5. Z toçnistg do peretvoren\ ekvivalentnosti (1) ta za umov
(25), (26) isnugt\ 16 neekvivalentnyx zobraΩen\ uzahal\neno] alhebry Halileq
z operatorom masy (12), wo zadagt\sq operatoramy, navedenymy v tabl.N5,
de ki , mi — dovil\ni stali.
TablycqN5
# z / p Q1 Q2 T3 T4
1 ∂
u1 0 k m u
u u3 3
2
2 1∂ ∂+ 0
2 ∂
u1 0 k u
u u3
2
1 22∂ ∂− k
u4 2∂
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1137
Zakinçennq tabl. 5
# z / p Q1 Q2 T3 T4
3 ∂
u1 0 k u
u u3
2
1 22∂ ∂+ k u
u4
2
1∂
4 ∂
u1 k u
u2
2
1∂ k u
u u3
2
1 2∂ ∂+ 0
5 ∂
u1 k
u2 2∂ k u
u u3
2
1 2∂ ∂− 0
6 u
u
2
2∂ 0 − +2 1
3
2
1 2u k u
u u
∂ ∂ k
u4 1∂
7 k m u
u u1 1
2
1 2∂ ∂+ 0 k m u
u u3 3
2
1 2∂ ∂+ 0
8 u
u
1
2∂ 0 − +2 3
1
2I k u
u
∂ k
u4 2∂
9 k u
u u1
1
1 2∂ ∂+ 0 k k u k
u u u3 1
1
31 2 2( )∂ ∂ ∂+ + 0
10 k u
u1
1
1∂ k
u2 2∂ k u u
u u3
1 2
1 2∂ ∂+ 0
11 I k u
u2
2
1∂ k I u
u3
2
2+ ∂ 0
12 k u m u
u u1
1
1
2
1 2∂ ∂+ 0 k u m u
u u1
1
3
2
1 2∂ ∂+ 0
13 I 0 k I u
u3
22 2− ∂ k u
u4
1
2∂
14 I 0 k I u
u3
22 2+ ∂ k u
u4
2
1∂
15 k I m u
u1 1
2
1+ ∂ 0 k I m u
u3 3
2
1+ ∂ 0
16 k I m J1 1+ 0 k I m J3 3+ 0
Dovedennq. Rozhlqnemo zobraΩennq rozßyreno] alhebry Halileq z opera-
torom masy (10), wo vidpovida[ navedenomu u perßomu rqdku tabl.N4. Cg alheb-
ru (z uraxuvannqm umov (25), (26)) rozßyrg[mo operatorom proektyvnyx pere-
tvoren\ Π, vymahagçy vykonannq komutacijnyx spivvidnoßen\ (11):
[ ],Q T1 4 = ∂ ∂
u ab
b
a u
m u n a1 4 4, +( )[ ] = m a ua4 1∂ = 0,
zvidky znaxodymo m a4 1 0= . Todi operator T4 ma[ vyhlqd
T4 = m u na a ua4 2
2
4+( )∂ ,
[ ],Q T2 4 = 0,
[ ],T T3 4 = k m u m u n
u u a a ua3 3
2
4 2
2
42 1∂ ∂ ∂+ +( )[ ]; =
= k m m m u na u ua3 4 2 3 422
2
42 1∂ ∂− +( ) = 2 4 2
2
4m u na a ua+( )∂ .
Zvidsy oderΩu[mo systemu
k m m m u n m u n3 412 3 422
2
42 412
2
412− + = +( ) ( ) ,
k m m u n3 422 422
2
422= +( ),
rozv’qzkom qko] [ m nab a4 4 0= = .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1138 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
Takym çynom, ma[mo perße neekvivalentne zobraΩennq alhebry (12):
Q
u1 1= ∂ , Q2 0= , T k m u
u u3 3 3
2
2 1= +∂ ∂ , T4 0= ,
wo vidpovida[ navedenomu u perßomu rqdku tabl.N5.
Reßtu zobraΩen\ otrymu[mo analohiçno.
Teoremu dovedeno.
Teorema>6. Z toçnistg do peretvoren\ ekvivalentnosti (1) isnugt\ 16
neekvivalentnyx zobraΩen\ konformno] alhebry (17), qki zadagt\sq operato-
ramy Q1, Q2 , Q3, Q4 , navedenymy v tabl.N6, de ki , mi — dovil\ni stali.
TablycqN6
# z / p Q1 Q2 Q3 Q4
1 ∂
u1 k u m
u u2
2
21 2∂ ∂+ 0 0
2 k u
u u1
1
1 2∂ ∂+ k
u2 2∂ + 0 0
+ m k u
u u2 1
1
1 2( )∂ ∂+
3 u
u
1
2∂ k I m u
u2 2
1
2+ ∂ 0 0
4 k m u
u u1 1
2
1 2∂ ∂+ k m u
u u2 2
2
1 2∂ ∂+ 0 0
5 k u
u u1
2
1 2∂ ∂+ k u
u u2
2
1 2∂ ∂− k
u3 2∂ − k
u3 2∂
6 u k u
u u
1
1
2
1 2∂ ∂+ k u m u
u u2
1
2
2
1 2∂ ∂+ 0 0
7 I – I k m
u u3 31 2∂ ∂+ − +( )k m
u u3 31 2∂ ∂
8 ( )k u
u1
11 1+ ∂ + k I u
u2
2
2− ∂ k u
u3
1
2∂ k u
u3
1
2∂
+ k u
u1
2
2∂
9 ( )k u
u1
11 1+ ∂ + k I u
u2
2
2+ ∂ k u
u3
2
1∂ – k u
u3
2
1∂
+ k u
u1
2
2∂
10 u k u
u u
1
1
2
1 2∂ ∂+ − +u k u
u u
1
2
2
1 2∂ ∂ k
u3 1∂ – k
u3 1∂
11 u I
u
2
2∂ + − −I u
u
2
2∂ k m u
u u3 3
1
1 2∂ ∂+ − +( )k m u
u u3 3
1
1 2∂ ∂
12 u I
u
2
2∂ + −u
u
1
1∂ ( )k u m
u3
2
3 1+ ∂ ( )k u m
u3
2
3 1− ∂
13 u
u
1
1∂ u k
u u
1
21 2∂ ∂+ k u
u3
1
2∂ k u
u3
1
2∂
14 I k u
u
+ 1
2
1∂ − +I k u
u2
2
1∂ k
u3 1∂ – k
u3 1∂
15 k I1 k I m u
u2 2
2
1+ ∂ 0 0
16 k I m J1 1+ k I m J2 2+ 0 0
Dovedennq. Rozhlqnemo zobraΩennq rozßyreno] alhebry Puankare (15), wo
vidpovida[ navedenomu u perßomu rqdku tabl.N1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1139
Elementy ci[] alhebry dopovnymo operatoramy konformnyx peretvoren\, vy-
mahagçy vykonannq umov komutuvannq (16), tobto
[ ],Q Q1 3 = ∂ α β ∂
u bc
c
b u
u b1 3 3, +( )[ ] = α ∂3 1b ub .
Todi operator Q4 ma[ vyhlqd
Q4 = α ∂3 1b ub ,
[ ],Q Q1 4 = ∂ α ∂
u b ub1 3 1,[ ] = 0.
OtΩe,
Q3 = 0,
tobto
Q ubc
b
c uc3 3 3 0= +( ) =α β ∂ .
Zvidsy α β3 3 0bc c= = , tobto
Q3 0= , Q4 0= ,
[ ],Q Q2 3 0= , [ ],Q Q2 4 0= , [ ],Q Q3 4 0= .
Takym çynom, ma[mo perße neekvivalentne zobraΩennq alhebry (4):
Q
u1 1= ∂ , Q k u m
u u2 2
2
21 2= +∂ ∂ , Q3 0= , Q4 0= ,
qke navedene v perßomu rqdku tabl.N6.
Reßtu zobraΩen\ otrymu[mo analohiçno.
Teoremu dovedeno.
OtΩe, qk vyplyva[ z teorem 1 – 6, isnugt\ 10 neekvivalentnyx linijnyx
zobraΩen\ uzahal\neno] alhebry Halileq (6), 16 neekvivalentnyx linijnyx zob-
raΩen\ uzahal\neno] alhebry Halileq z operatorom masy (12) ta 16 neekviva-
lentnyx zobraΩen\ konformno] alhebry (17). Tomu, doslidΩugçy symetrijni
vlastyvosti rivnqn\ ta system paraboliçnoho typu, qk kanoniçni, moΩemo vyko-
rystovuvaty zobraΩennq, navedeni v tabl.N2 taN5, a pry doslidΩenni symetrij-
nyx vlastyvostej system xvyl\ovyx rivnqn\ — zobraΩennq, podani v tabl.N6 (za
umovy, wo poçatkovi systemy rivnqn\ dopuskagt\ linijni peretvorennq ekviva-
lentnosti (1)).
3. Systemy kvazilinijnyx xvyl\ovyx rivnqn\, invariantni vidnosno
konformno] alhebry. Navedemo pryklad zastosuvannq oderΩano] klasyfikaci]
linijnyx zobraΩen\ konformno] alhebry u vypadku U R∈ 2
dlq doslidΩennq
symetrijnyx vlastyvostej systemy xvyl\ovyx kvazilinijnyx rivnqn\.
Rozhlqnemo systemu kvazilinijnyx xvyl\ovyx rivnqn\
U F U= ( )∂ , (36)
de
U
u
u
=
1
2
, F U F F( ) ,( )= 0 1 , F
F F
F F
α
α α
α α
=
11 12
21 22
,
α = 0 1; , ∂ ∂ ∂= ( ),0 1 ,
= −∂ ∂00 11.
PokaΩemo, wo vona dopuska[ linijni peretvorennq ekvivalentnosti (1). Pid-
stavyvßy U K W L= −−1( ), znajdene z (1), u systemu (36), oderΩymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1140 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
K W F K W L K W− − −= −1 1 1( )( ) ∂
abo
W F W W= ˜ ( )∂ ,
de
˜ ( ) ( )( )F W KF K W L K= −− −1 1, tobto (1) [ peretvorennqmy ekvivalentnosti
dlq systemy (36).
Teorema>7. Systema (36) invariantna vidnosno komformno] alhebry (17)
todi i til\ky todi, koly vona ekvivalentna z toçnistg do peretvoren\ (1) od-
nij iz nastupnyx system:
u e u u u u u ua u a a= − + −{ }− 1 2
0
1
1
1 2
0
2
1
2Ψ Φ( ) ( )( ) ( ) , (37)
pryçomu Q
u1 1= ∂ , Q
u2 1= ∂ , Q Q3 4 0= = ;
u e u u e u ua
a
u
a
u= + + −α β
1 2
0
1
1
1
0
2
1
2( ) ( ), (38)
pryçomu Q
u u1 1 2= −∂ ∂ , Q
u u2 1 2= − −∂ ∂ , Q Q3 4 0= = ;
u u
u
u u u u u1
2
1 0
1
1
1
0
2
1
2 1 2= + − +
−( )( ) ( ) ( )Φ ,
(39)
u u
u
u u u u
u
u u u2
2
1
2
1
0
1
1
1
2
1
1
0
2
1
22=
+ − +( ) +Φ Φ( ) ( )( ) ( ),
pryçomu Q u
u1
2
2= ∂ , Q u
u2
2
2= − ∂ , Q u
u3
1
2= ∂ , Q u
u4
1
2= − ∂ ;
u u u u1 1
0
2
1
2= +Φ( )( ),
(40)
u u u u2 2
0
2
1
24= − +( ),
pryçomu Q u
u1
2
2= ∂ , Q u
u2
2
2= − ∂ , Q
u3 2= ∂ , Q
u4 2= − ∂ ;
u u u u1 1
0
1
1
1= +α ( ),
(41)
u2 0= ,
pryçomu Q u
u1
1
1= ∂ , Q u
u u2
1
1 2= − +∂ γ∂ , Q
u3
4
1= −
α
∂ , Q
u4
4
1=
α
∂ , α ≠ 0 ;
u e u u u uu1
1 0
1
1
1
2 0
2
1
21
= + + +α α( ) ( ),
(42)
u e u u e u u uu u2
3
2
0
1
1
1
4
2
0
2
1
21 1
4= + + − +α α( ) ( )( ) ,
pryçomu Q u
u u1
2
1 2= +∂ ∂ , Q u
u u2
2
1 2= − −∂ ∂ , Q
u3 2= ∂ , Q
u4 2= − ∂ ;
u u u u u u u u u u u1 2 2 1
0
1
1
1 2 2 1
0
2
1
2= − + + + − +α α β α β( )( ) ( ( ) ) ( )ln ln ,
(43)
u u u u u u2 2 2 1
0
2
1
2= − +α( )( )ln ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1141
pryçomu Q I u
u1
2
1= + ∂ , Q I u
u2
2
1= − − ∂ , Q
u3
4
1=
α
∂ , Q
u4
4
1= −
α
∂ , α ≠ 0 ;
u u u u u u u u1
1
2 1
0
1
1
1
2
2
0
2
1
24= − + + +( )( ) ( )α α ,
(44)
u u u u u2
3
2 1
0
2
1
24= − +( )( )α ,
pryçomu Q I1 = , Q I2 = − , Q
u3 1= ∂ , Q
u4 1= −∂ . Tut Φ
a, Ψ
a, Φ — dovil\ni
hladki funkci]; α, β, αa , βa — dovil\ni stali.
Dovedennq. Budemo vykorystovuvaty alhorytm S.NLiNN(dyv., napryklad, [10
– 12]). Infinitezymal\nyj operator alhebry invariantnosti systemy (36) ma[ vy-
hlqd
X x u x ua
ua= +ξ ∂ η ∂µ
µ( , ) ( , ) . (45)
Z umovy invariantnosti systemy (36) vidnosno operatora (45) oderΩymo systemu
vyznaçal\nyx rivnqn\
ξ ξ1
0
0
1= , ξ ξ0
0
1
1= , (46)
η
u u
a
b c = 0 , (47)
B C MΦ Φ= + 2 , (48)
η ηα
αb ab aF = , (49)
de B a
ua= η ∂ , Φ =t F F F F F F F F( ), , , , , , ,110 111 120 121 210 211 220 221 ,
C =
− −
− −
−
−
−
−
−
ξ ξ η η
ξ ξ η η
η ξ η
η ξ η
η ξ η
η ξ η
η η
0
0
1
0 2 1
0
1
0
0 2 1
1
0
0 1
1
0
1 1
2
0
1 2
2
0
1 2
2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
u u
u u
u u
u u
u u
u u
u
A
A
D
D
uu
u u
2
1 2
1
0
0
1
0
2 1
0
1
0
0
0
0 0 0 0
−
− −
ξ ξ
η η ξ ξ
,
M t
u u u u u u u u
= − − −( )η η η η η η η η
0
1
1
1
0
1
1
1
0
2
1
2
0
2
1
2
1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , , , ,
A
u u
= − + −ξ η η0
0 1 2
1 2 , D
u u
= − − +ξ η η0
0 1 2
1 2 .
Vykorysta[mo zobraΩennq konformno] alhebry (17), navedeni v tabl.N6, dlq
vyznaçennq nelinijnostej F, pry qkyx systema (36) invariantna vidnosno ci[]
alhebry.
Zapyßemo ξµ i ηa
dlq koΩnoho naboru operatoriv konformno] alhebry z
tabl.N6 i pidstavymo ]x u systemu vyznaçal\nyx rivnqn\ (46) – (49). Pry c\omu
rivnqnnq (46), (47) vykonugt\sq totoΩno. Vyhlqd funkcij F ta koordynaty
operatora X vyznaçymo, rozv’qzugçy rivnqnnq (48), (49).
Dlq prykladu rozhlqnemo detal\no çetvertyj vypadok.
Rozv’qzugçy systemu (48), utoçng[mo vyhlqd operatoriv Qa , pry c\omu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1142 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
k1 1= , m1 0= ,
k2 1= , m2 0= .
Zapyßemo oderΩani bazysni operatory konformno] alhebry:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂0 1 01 1 0 0 1 1, , J x x
u
= + + , D x x
u
= + +0 0 1 1 1∂ ∂ ∂ ,
K x D x x
u0 0
2
0 12 2 1= − +∂ ∂ , K x D x x
u1 1
2
1 02 2 1= + +∂ ∂ .
Todi koordynaty operatora X vyznaçagt\sq za formulamy
ξµ µ µ µν
ν
µ= − + + + +b x bx a x c x d2 2( ) ,
η1
01 0 1 1 02= + + + −c a bx b x b x( ),
η2 0= ,
de bµ , a, cµν, dµ — dovil\ni stali. Pry c\omu funkci] Fabα , α = 0 1, , magt\
vyhlqd
F e uab u ab0 1 21
= − Φ ( ),
F e uab u ab1 1 21
= − − Φ ( ) .
OderΩani z rivnqnnq (48) funkci] Fabα
peretvorggt\ (49) v totoΩni rivnosti.
OtΩe, systemu vyznaçal\nyx rivnqn\ (46) – (49) rozv’qzano.
Reßtu vypadkiv rozhlqda[mo analohiçno.
Teoremu dovedeno.
4. Systemy nelinijnyx rivnqn\ dyfuzi]-konvekci], invariantni vidnosno
uzhal\neno] alhebry Halileq z operatorom masy. Navedemo pryklad
zastosuvannq oderΩano] klasyfikaci] linijnyx zobraΩen\ uzahal\neno] alhebry
Halileq z operatorom masy u vypadku U R∈ 2
dlq doslidΩennq symetrijnyx
vlastyvostej systemy dyfuzi]-konvekci].
Rozhlqnemo systemu rivnqn\ dyfuzi]-konvekci]
U U F U U0 11 1= +Λ ( ) , (50)
de U R∈ 2, x x x= ( , )0 1 , Λ — stala matrycq rozmirnosti 2 × 2; F — matrycq
rozmirnosti 2 × 2, elementamy qko] [ funkci] F Uab( ) , a b, ,= 1 2.
Systema rivnqn\ (50) pry konkretnyx nelinijnostqx znaxodyt\ ßyroke za-
stosuvannq pry opysi vidpovidnyx fizyçnyx procesiv. Prote povnyj analiz sy-
metrijnyx vlastyvostej dano] systemy do c\oho çasu ne provedeno. U çastynno-
mu vypadku, koly matrycq F U( ) ma[ vyhlqd
u F
F u
1 12
21 2
,
u roboti [13] provedeno klasyfikacig ]] symetrijnyx vlastyvostej u klasi ope-
ratoriv Li.
Systema rivnqn\ (50) dopuska[ linijni peretvorennq ekvivalentnosti (1). Do-
vedennq c\oho faktu analohiçne dovedenng, provedenomu v p.N3 dlq systemy
kvazilinijnyx xvyl\ovyx rivnqn\ (36).
Postavymo zadaçu: provesty klasyfikacig nelinijnostej Fab
ta dovil\nyx
stalyx λab , pry qkyx systema (50) invariantna vidnosno alhebry (12).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1143
Teorema>8. Systema rivnqn\ dyfuzi]-konvekci] (50) invariantna vidnosno
uzahal\neno] alhebry Halileq z operatorom masy (12) todi i til\ky todi, koly
vona ekvivalentna (z toçnistg do peretvoren\ (1)) odnij iz nastupnyx system:
u u l u u0
1
1 11
1
1
1
1
2= +λ ,
(51)
u u l u u0
2
2 11
2
2
2
1
2= +λ ,
pryçomu
Q u
u1
1
11
2
1= −
λ
∂ , Q
l u2
2
1
2= − ∂ , T
l
l
u u
u u3
1
2
1 21
2
1 2= − −
−∂ ∂ , T4 0= ;
u n u l u n
0
1
1 11
1
1
1
1= + ∂ ω ,
(52)
u n u l u n
0
2
2 11
2
2
2
1= + ∂ ω ,
pryçomu
Q
n n
n u n u
u u1
1 2
2
1
1
21
2
1 2= − +( )∂ ∂ , Q2 0= , T I3
1
2
= − , T4 0= ,
ω = ( )
( )
u
u
n
n
2
1
2
1
, n
n n
=
−
2
2 1
, n n1 2≠ ;
u nu n u u lu e0
1
11
1 2
11
2 1 2
12= + + +( )λ ∂ ω ,
(53)
u nu u e0
2
11
2 2
1= + λ ∂ ω ,
pryçomu
Q
n
I u
u1
21
2
1= − + ∂ , Q2 0= , T I3
1
2
= − , T4 0= ,
ω = +1 2
1
2
2
n
u
u
uln , n ≠ 0,
de λa , la , na , λ, l, n — dovil\ni stali.
Dovedennq. Budemo vykorystovuvaty alhorytm S. Li (dyv., napryklad, [10
– 12]). Infinitezymal\nyj operator alhebry invariantnosti systemy (50) ma[ vy-
hlqd (45). Z umovy invariantnosti systemy (50) vidnosno operatora (45) oderΩu-
[mo systemu vyznaçal\nyx rivnqn\ dlq znaxodΩennq koordynat operatora X ta
nelinijnostej F
ab
:
ξ ξµ0
1 0= =
ua , (54)
λ ηda u u
a
b c = 0, (55)
η λ η η0 11 1 0a
ab
b ab bF− − = , (56)
λ η λ η λ ξ ξbc u
a
ab u
b
acb c− + −( ) =2 01
1
0
0 , (57)
η η η ξ ξ λ η δ ξ λ ξb
u
ac
u
b ab
u
a bc ac
ab u
b
ac acF F F Fb c b c+ − + −( ) + + − =0
0
1
1
1 0
1
11
12 0. (58)
Tut µ = 0 1; , a b c, , ;= 1 2 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1144 M. I. S{ROV, T. O. ÛADAN, L. M. BLAÛKO
ZobraΩennq uzahal\neno] alhebry Halileq z operatorom masy (12) podano v
tabl.N5. Rozhlqnemo detal\no zobraΩennq 12 z ci[] tablyci. Bazysni operatory
alhebry (12) u danomu vypadku magt\ vyhlqd
∂0 , ∂1, G x x k u m u
u u
= + +( )0 1 1 1
1
1
2
1 2∂ ∂ ∂ ,
Q k u m u
u u1 1
1
1
2
1 2= +∂ ∂ ,
D x x k u m u
u u
= + + +2 0 0 1 1 3
1
3
2
1 2∂ ∂ ∂ ∂ ,
Π = + + +
+ +
x x x k x k
x
u m x m
x
u
u u0
2
0 0 1 1 3 0 1
1
2
1
3 0 1
1
2
2
2 2
1 2∂ ∂ ∂ ∂ .
Vykorystovugçy zahal\nyj vyhlqd operatoriv alhebry, zapyßemo koordynaty
operatora X (45):
ξ0
0
2
0 02= + +ax bx d ,
ξ1
0 1 1 0 1= + + +ax x bx gx d ,
(59)
η1
3 0 1
1
2
3 1 1 1
1
2
= +
+ + +
a k x k
x
bk gk x ck u ,
η2
3 0 1
1
2
3 1 1 1
2
2
= +
+ + +
a m x m
x
bm gm x cm u ,
de a, b, g, c, dµ — dovil\ni stali.
Dlq znaxodΩennq funkcij F
ab
pidstavlq[mo (59) u systemu vyznaçal\nyx
rivnqn\ (54) – (58). Pry c\omu rivnqnnq (54), (55) systemy peretvorggt\sq na
totoΩnosti. Rozv’qzugçy systemu (58), znaxodymo vyhlqd nelinijnostej
F =
−
−
l
n
n
l u
u
l
n
n
u
u
l
n n
n n
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1 2
ω ω
ω ω
(60)
ta matrycg
Λ =
n
n
1
2
0
0
, (61)
de
n
k1
1
1
2
= − , n
m2
1
1
2
= − , ω = ( )
( )
u
u
n
n
2
1
2
1
, n n1 2≠ .
Systema (56) utoçng[ stali, wo vxodqt\ do operatoriv alhebry:
k3 = m3 = –
1
2
,
a rivnqnnq systemy (57) pry pidstanovci v nyx znajdenyx znaçen\ stalyx λab ta
koordynat operatora X zadovol\nqgt\sq totoΩno.
OtΩe, systemu vyznaçal\nyx rivnqn\ rozv’qzano i znajdeno funkci] (60) ta
stali (61), pry qkyx systema (50) invariantna vidnosno uzahal\neno] alhebry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
KLASYFIKACIQ LINIJNYX ZOBRAÛEN| ALHEBR HALILEQ … 1145
Halileq z operatorom masy (12). Slid zaznaçyty, wo pry n n1 2= systema vyzna-
çal\nyx rivnqn\ [ nesumisnog.
Reßtu vypadkiv rozhlqda[mo analohiçno. Pry c\omu operatory 10 z tabl.N5
pryvodqt\ do systemy (51) za takyx znaçen\ stalyx:
k1
1
1
2
= −
λ
, k
l2
2
1= − , k
l
l3
1
2
1
2
= − +
,
a operatory 15 z ci[] Ω tablyci — do systemy (53) pry
k
n1
1
2
= − , m1 1= , k3
1
2
= − , m3 0= .
Dlq reßty operatoriv iz tabl.N5 systema vyznaçal\nyx rivnqn\ (54) – (58) [ nesu-
misnog.
Teoremu dovedeno.
1. Fushchych W., Cherniha R. Galilei-invariant systems of nonlinear of evolution equations // J. Phys.
A: Math. and Gen. – 1995. – P. 5569 – 5579.
2. Rideau G.,Winternitz P. Evolution equations invariant under two-dimensional space-time Schoding
group // J. Math. Phys. – 1993. – P. 558 – 569.
3. Cherniha R. M., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction diffusion
systems: II // J. Phys. A: Math. and Gen. – 2003. – P. 405 – 425.
4. Cherniha R., Serov M. Nonlinear systems of the Burgers-type equations: Lie and Q-conditional
symmetries, ansatze and solutions // J. Math. Anal. and Appl. – 2003. – P. 305 – 328.
5. Nikitin A. G., Wiltshire R. J. Math. Phys. – 2001. – P. 1666 – 1688.
6. Lahno V. I., Spiçak S. V., Stohnij V. I. Symetrijnyj analiz rivnqn\ evolgcijnoho typu // Pr.
In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2002. – 45. – 360 s.
7. Axatov Y. Í., Hazyzov R. K., Ybrahymov N. X. Hruppov¥e svojstva y toçn¥e reßenyq
uravnenyj nelynejnoj fyl\tracyy // Çyslenn¥e metod¥ reßenyq zadaç fyl\tracyy
mnohofaznoj nesΩymaemoj Ωydkosty. – Novosybyrsk, 1987. – S. 24 – 27.
8. Axatov Y. Í., Hazyzov R. K., Ybrahymov N. X. Nelokal\n¥e symmetryy. ∏vrystyçeskyj
podxod // Ytohy nauky y texnyky. Sovrem. probl. matematyky. Novejßye dostyΩenyq /
VYNYTY. – 1989. – 34. – S. 3 – 83.
9. Hl[ba A. V. Symetrijni vlastyvosti i toçni rozv’qzky nelinijnyx halilej-invariantnyx
rivnqn\: Dys. … kand. fiz.-mat. nauk. – Ky]v, 2003. – 120Ns.
10. Fushchych W., Shtelen W., Serov M. Symmetry analysis and exact solutions of equations of
nonlinear mathematical physics. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. – 334 p.
11. Ovsqnnykov L. V. Hruppovoj analyz dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1978. –
400Ns.
12. Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. – Berlin: Springer, 1993. – 513 p.
13. S[rov M. I., Çerniha R. M. Symetri] Li, Q-umovni symetri] ta toçni rozv’qzky systemy neli-
nijnyx rivnqn\ dyfuzi]-konvekci] // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 10. – S. 1340 – 1355.
OderΩano 17.02.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
|