O некоторых свойствах функций Бумана
Вивчаються функцій, які введені Буманом. Знайдено точний показник гладкості цих функції та розглянуто питання про додатність їх перетворення Ханкеля.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165382 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | O некоторых свойствах функций Бумана / В.П. Заставный // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 8. — С. 1045–1067. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165382 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653822020-02-15T01:27:11Z O некоторых свойствах функций Бумана Заставный, В.П. Статті Вивчаються функцій, які введені Буманом. Знайдено точний показник гладкості цих функції та розглянуто питання про додатність їх перетворення Ханкеля. We study functions introduced by Buhmann. The exact exponent of smoothness of these functions is obtained and the problem of positivity of their Hankel transforms is analyzed. 2006 Article O некоторых свойствах функций Бумана / В.П. Заставный // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 8. — С. 1045–1067. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165382 517.518, 519213 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Заставный, В.П. O некоторых свойствах функций Бумана Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються функцій, які введені Буманом. Знайдено точний показник гладкості цих функції та розглянуто питання про додатність їх перетворення Ханкеля. |
| format |
Article |
| author |
Заставный, В.П. |
| author_facet |
Заставный, В.П. |
| author_sort |
Заставный, В.П. |
| title |
O некоторых свойствах функций Бумана |
| title_short |
O некоторых свойствах функций Бумана |
| title_full |
O некоторых свойствах функций Бумана |
| title_fullStr |
O некоторых свойствах функций Бумана |
| title_full_unstemmed |
O некоторых свойствах функций Бумана |
| title_sort |
o некоторых свойствах функций бумана |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165382 |
| citation_txt |
O некоторых свойствах функций Бумана / В.П. Заставный // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 8. — С. 1045–1067. — Бібліогр.: 38 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zastavnyjvp onekotoryhsvojstvahfunkcijbumana |
| first_indexed |
2025-07-14T18:23:00Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:23:00Z |
| _version_ |
1837647665152655360 |
| fulltext |
УДК 517.518, 519.213
В. П. Заставный (Донец. нац. ун-т)
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА
The functions introduced by Buhmann are studied. The exact exponent of the smoothness of these
functions are found and the problem of positiveness of their Hankel transform is considered.
Вивчаються функцiї, якi введенi Буманом. Знайдено точний показник гладкостi цих функцiй та
розглянуто питання про додатнiсть їх перетворення Ханкеля.
Введение. Формулировка основных результатов. Символами C, R, Z, N и
Z+ := N ∪ {0} будем обозначать соответственно множества всех комплексных,
вещественных, целых, натуральных и неотрицательных целых чисел. Открытую
правую полуплоскость в C обозначим символом C+ := {z ∈ C : Rez > 0} . Пусть
xy := x1y1 + . . .+ xmym — скалярное произведение элементов x, y ∈ Rm, m ∈ N,
а ‖x‖2 :=
√
xx — евклидова норма в Rm.
Функция f : Rm → C называется положительно определенной на Rm, если для
любых n ∈ N, {xk}n
k=1 ⊂ Rm и {ck}n
k=1 ⊂ C выполняется неравенство
n∑
k,j=1
ck c̄jf(xk − xj) ≥ 0.
Положительно определенные функции играют важную роль во многих вопросах
анализа и его приложений (см., например, [1 – 3] и приведенную в них библиогра-
фию). Для таких функций непрерывность в нуле эквивалентна непрерывности на
Rm. Согласно теореме Бохнера – Хинчина функция f является положительно опре-
деленной и непрерывной на Rm тогда и только тогда, когда f(x) =
∫
Rm
e−iux dµ(u),
где µ — неотрицательная, конечная, борелевская мера на Rm.
Для функций f, заданных на Rm, m ∈ N, преобразование Фурье определяется
по формуле
Fm(f)(x) :=
∫
Rm
f(u)e−iux du, x ∈ Rm.
Если f ∈ C(Rm) ∩ L(Rm), то положительная определенность функции f эк-
вивалентна неотрицательности ее преобразования Фурье, т. е. Fm(f)(x) ≥ 0,
x ∈ Rm, и в этом случае Fm(f) ∈ L(Rm) (см. [4], гл. I, § 1, следствие 1.26). Если
f ∈ L(Rm) и Fm(f)(x) 6= 0 при всех x ∈ Rm, то по теореме Винера линейные
комбинации сдвигов функции f плотны в L(Rm).
В теории аппроксимации и интерполяции функциями вида
∑
ξ∈Ξ
λξϕ(‖x −
−ξ‖2), где Ξ — конечная система точек из Rm, а функция ϕ(‖ · ‖2) непрерывна в
Rm и имеет компактный носитель, важную роль играют следующие два свойства
преобразования Фурье (см., например, [5 – 7]): 1) Fm(ϕ(‖ · ‖2))(u) > 0 для всех
u ∈ Rm; 2) существуют положительные константы ci, γ > 0 такие, что c1 ≤
≤ Fm
(
ϕ(‖ · ‖2)
)
(u)
(
1 + ‖u‖2
)γ ≤ c2 для всех u ∈ Rm. Нас будет интересовать
наличие этих свойств у функций ϕ = ϕδ,µ,ν,α, которые изучаются в данной работе.
Пусть δ, µ, ν ∈ C+, α ∈ C и fδ,µ,ν,α(s) := (1 − sδ)µ−1sα−2ν+1, s ∈ (0, 1).
Рассмотрим следующие четные функции, заданные на R:
c© В. П. ЗАСТАВНЫЙ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8 1045
1046 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
ϕδ,µ,ν,α(x) :=
∫ 1
|x|
(s2 − x2)ν−1fδ,µ,ν,α(s) ds, |x| < 1,
0, |x| ≥ 1.
(1)
Эти функции с точностью до множителя и параметров совпадают с функциями,
которые ввел Buhmann [6]: φδ,%,λ,α(x) ≡ 2ϕ2δ,%+1,λ+1,2α+2(x). В частных случаях
получаются известные функции: µδϕδ,µ,1,δ(x) =
(
1 − |x|δ
)µ
+
и ϕ1,µ,ν,2ν−1(x) ≡
≡ hµ,ν(x) ≡ 2ν−1Γ(ν)
µ
ψµ,ν−1(x), где функции hµ,ν ввел В. П. Заставный [7, 8],
а функции ψµ,ν−1 при µ, ν ∈ N — Wendland [9]. Если r ∈ Z+, k ∈ N, то
hr+k,r+1(x) ≡ B(r+ k, 2r+1)Ar,2k−1(x), где функции Ar,2k−1 введены Р. М. Три-
губом [3, 10 – 16] (более подробно см. работу [8]). Здесь B(α, β) :=
∫ 1
0
tα−1(1 −
−t)β−1 dt =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α+ β)
. Гладкость функций Ar,2k−1, ψµ,ν и hµ,ν изучали соответ-
ственно Р. М. Тригуб, Wendland и В. П. Заставный. При 0 < δ ≤ 1, µ ≥ 2 и
некоторых ограничениях на ν и α гладкость функций ϕδ,µ,ν,α изучал Buhmann.
В теореме 1 найден точный показатель гладкости функций ϕδ,µ,ν,α при любых
допустимых параметрах.
Теорема 1. 1. Пусть δ, µ, ν ∈ C+. Тогда:
i) ϕδ,µ,ν,α(‖ · ‖2) ∈ C(Rm) ⇐⇒ α, µ+ ν − 1 ∈ C+;
ii) ϕδ,µ,ν,α(‖ · ‖2) ∈ L∞(Rm) ⇐⇒ Reα ≥ 0, α 6= 0, Re (µ+ ν − 1) ≥ 0;
iii) если s > 0, то ϕδ,µ,ν,α(‖·‖2) ∈ Ls(Rm) ⇐⇒ sα+m, s(µ+ν−1)+1 ∈ C+.
2. Пусть δ, µ, ν, α, µ+ ν − 1 ∈ C+, r(z) := max{k ∈ Z : k < Re z} и
p :=
r(µ+ ν − 1), Re (µ+ ν − 1) ≤ Reα,
r(µ+ ν − 1), Re (µ+ ν − 1) > Reα,
α
2
− ν + 1,
δ
2
∈ N,
r(α), Re (µ+ ν − 1) > Reα,
α
2
− ν + 1 6∈ N,
min{r(α+ δ), r(µ+ ν − 1)}, Re (µ+ ν − 1) > Reα,
α
2
− ν + 1 ∈ N,
δ
2
6∈ N.
(2)
Тогда ϕδ,µ,ν,α
(
‖ · ‖2
)
∈ Cp(Rm), ϕδ,µ,ν,α
(
‖ · ‖2
)
6∈ Cp+1(Rm), ϕ(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L(R).
Теорема 2. 1. Пусть δ, µ, ν ∈ C+ и α ∈ C. Тогда ϕδ,µ,ν+1,α+2(t) =
= 2ν
∫ +∞
|t|
uϕδ,µ,ν,α(u) du, t 6= 0.
2. Пусть δ, µ, ν, α ∈ C+ и при некотором k ∈ N выполняются условия:
ϕδ,µ,ν,α ∈ C2k(R) и ν − k, α− 2k ∈ C+. Тогда
1∫
0
(1− u2)k−1ϕ
(2k)
δ,µ,ν,α(ux) du =
=
(−1)k22k−1Γ(k)Γ(ν)
Γ(ν − k)
ϕδ,µ,ν−k,α−2k(x), x ∈ R. (3)
Теорема 2 для функций hµ,ν ранее получена в [8].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1047
Для функций h, заданных на (0,+∞), при m ∈ C и t > 0 определим преобра-
зование Ханкеля1
Fm(h)(t) := t1−
m
2
+∞∫
0
h(u)u
m
2 Jm
2 −1(tu) du =
+∞∫
0
h(u)um−1jm
2 −1(tu) du, (4)
где Jλ — функция Бесселя первого рода (см. [17], § 3.1), а
jλ(x) :=
Jλ(x)
xλ
=
1
2λ
∞∑
k=0
1
Γ(k + λ+ 1)
(
−x
2
4
)k
k!
, x ∈ C, λ ∈ C. (5)
Замечание 1. Из (5) следует, что при любом λ ∈ C функция jλ является
целой функцией экспоненциального типа σ = 1. Для функций Бесселя при любом
λ ∈ C известна следующая асимптотика [17] (§ 7.21): Jλ(x) =
√
2
πx
(
cos
(
x −
− (2λ+ 1)π
4
)
+ O
(
1
x
))
, x → +∞. Отсюда непосредственно следует, что пре-
образование Fm(h)(t), m ∈ C, определено при всех t > 0, если, например,
h ∈ L
(
(0, 1), um0−1du
)
∩ L
(
(1,+∞), u
m0−1
2 du
)
, где m0 := Rem.
Замечание 2. Если (см., например, [4]) f, Fm(f) ∈ L(Rm), то
Fm(Fm(f))(−x) = (2π)mf(x) для почти всех x ∈ Rm (формула обращения).
Преобразование Фурье определено и для функций f ∈ L2(Rm). В этом случае
Fm(f) ∈ L2(Rm) и имеет место та же формула обращения. Если f, g ∈ L(Rm) или
f, g ∈ L2(Rm), то имеет место формула умножения∫
Rm
Fm(f)(x) · g(x) dx =
∫
Rm
f(x) · Fm(g)(x) dx. (6)
Замечание 3. При m ∈ N преобразование Fm связано с преобразованием
Фурье радиальных функций [4] (гл. IV, § 3):
Fm(h(‖ · ‖2))(x) = (2π)
m
2 Fm(h)(‖x‖2), x ∈ Rm. (7)
Из этого равенства и формулы обращения для преобразования Фурье сразу полу-
чаем формулу обращения для преобразования Fm, m ∈ N :
Fm(Fm(h))(t) = h(t) при почти всех t > 0, (8)
где функция h удовлетворяет одному из двух условий: 1) h,Fm(h) ∈ L
(
(0,+∞),
tm−1dt
)
или 2) h ∈ L2
(
(0,+∞), tm−1dt
)
.
L2-теория преобразования Ханкеля Fm при любом m > 0 изложена в [18, 19].
Условия, при которых равенство (8) справедливо при конкретном значении t > 0,
сформулированы в следующей теореме Ханкеля (см., например, [17] или [19]):
Пусть m ≥ 1 и h ∈ L
(
(0,+∞), t
m−1
2 dt
)
. Тогда Fm(Fm(h))(t) =
1
2
(h(t + 0) +
+ h(t − 0)) в любой точке t > 0, в окрестности которой h имеет ограниченное
изменение.
1 Мы используем для него нестандартное обозначение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1048 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
При δ, µ, α+ 1 ∈ C+ и ν ∈ C положим
Iδ,µ,ν,α(t) := t−α−1−δ(µ−1)
t∫
0
(tδ − uδ)µ−1uα−ν+ 1
2 Jν− 1
2
(u) du =
= t
1
2−ν
1∫
0
(1− xδ)µ−1xα−ν+ 1
2 Jν− 1
2
(tx) dx =
=
1∫
0
(1− xδ)µ−1xαjν− 1
2
(tx) dx, t > 0. (9)
Теорема 3. Пусть δ, µ, ν, m, α + m ∈ C+. Тогда Fm(ϕδ,µ,ν,α)(t) =
= 2ν−1Γ(ν)Iδ,µ, m−1
2 +ν,m−1+α(t). Если еще n,m−n+2ν ∈ C+,то Fm(ϕδ,µ,ν,α)(t) =
=
2
n−m
2 Γ(ν)
Γ ((m− n)/2 + ν)
Fn(ϕδ,µ, m−n
2 +ν,m−n+α)(t).
В силу теоремы 3 и равенства (7) результаты о положительности преобразова-
ния Фурье Fm(ϕδ,µ,ν,α(‖ · ‖2))(u) мы формулируем в терминах функции Iδ,µ,ν,α.
О положительности функции Iδ,µ,ν,α(t) известны следующие результаты:
1) I1,2ν,ν,2ν−1(t) > 0 при всех ν > 0 и t > 0 (Askey и Pollard [20]);
2) I1,ν,ν,2ν−1(t) > 0 и I1,ν+1,ν−1,2ν−2(t) > 0 при всех ν > 1 и t > 0 (Fields и
Ismail [21]);
3) I1,λ+1,α+ 1
2 ,λ+α+ 1
2
(t) > 0 при всех α >
1
2
, 0 ≤ λ ≤ α − 1
2
и t > 0 (Askey и
Gasper [22]; случай λ = 0 рассмотрел Makai [23]);
4) I1,µ,ν,2ν−1(t) > 0 при всех µ ≥ 1, 0 < ν ≤ 1, (µ, ν) 6= (1, 1) и t > 0
(Moak [24]);
5) I2, µ+ν+1
2 , µ−ν+1
2 ,1(t) > 0 при всех t > 0, если выполнено одно из двух
условий: i) µ =
1
2
, |ν| < 1
2
; ii) µ >
1
2
, |ν| ≤ µ (Steinig [25]);
6) I2,λ+1,α+ 1
2 ,µ+α(t) > 0 при всех t > 0, если выполнено одно из четырех
условий: i) λ = α − 1
2
> −1, α > µ, α + µ > −1; ii) µ = λ +
1
2
> 0, α > λ +
1
2
;
iii) α > −1, λ > −1
2
, µ = 0; iv) 2λ = α + µ − 1, α > µ, α + µ > −1 (Gasper [26];
случай λ = 0 в iii) рассмотрел Cooke [27]);
7) I2− 1
µ ,µ,1,2− 1
µ
(t) ≥ 0 при всех t > 0, если
µ+ 1
2
∈ N (Gneiting, Konis и
Richards [28]);
8) I 1
2 ,1, 3
2 , 3
2
(t) ≥ 0 при всех t > 0 (О. Ю. Пасенченко [29]).
Теорема 4. I. Пусть δ, µ, α+ 1 > 0, ν ∈ R и Iδ,µ,ν,α(t) ≥ 0 при t > 0. Тогда:
1) Iδ,µ+τ,ν,α(t) > 0 и Iδ,µ+ε,ν,α−δε(t) > 0 при всех τ > 0, ε ∈ (0, α+1
δ ) и t > 0;
2) если дополнительно ν +
1
2
> 0, то Iδ,µ,ν+τ,α(t) > 0 при всех τ > 0 и t > 0;
3) если дополнительно α + 1 ≥ δ, то Iε,µ,ν,α−δ+ε(t) > 0 при всех ε ∈ (0, δ) и
t > 0;
4) если дополнительно µ > 1, то Iε,µ,ν,α(t) > 0 при всех ε ∈ (0, δ) и t > 0;
5) если дополнительно µ ≤ 1, то Iε,τ,ν,α(t) > 0 при всех ε > 0, τ > 1 и t > 0.
II. 1. Пусть δ, µ, ε, ν − 2ε, α − 2ε + 1 > 0 и Iδ,µ,ν,α(t) ≥ 0, t > 0. Тогда
Iδ,µ,ν−ε,α−2ε(t) > 0, t > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1049
2. Пусть k ∈ N, δ, µ, ν − k +
1
2
, α − 2k + 1 > 0 и Iδ,µ,ν,α(t) ≥ 0 при t > 0.
Тогда Iδ,µ,ν−k,α−2k(t) > 0 при всех t > 0.
Утверждения 1 и 2 в теореме 4(I) при ν +
1
2
> 0, δ = 1 и δ = 2 доказал
Gasper [26]. В случае ν = 1, α = δ утверждение 3 доказал Kuttner [30]. В случае
2ν − 1 ∈ N, α = 2ν − 2 + δ утверждение 3 доказал Голубов [31]. Из теоремы 4 (I)
получаются результаты работ Misiewicz, Richards [32] и Buhmann [6].
Теорема 5. Пусть δ, µ, ν +
1
2
, α + 1 > 0. Тогда неравенство Iδ,µ,ν,α(t) ≥ 0
не может выполняться при всех t > 0 в следующих случаях:
1) µ+ ν < α+ 1;
2) µ+ ν = α+ 1 и
Γ ((α+ 1)/2)
Γ (ν − α/2) Γ(µ)
<
1√
π
(
δ
2
)µ−1
;
3) α = 2ν и выполняется одно из следующих условий:
i) µ > 1, δ < 2, µ < ν + 1 + δ;
ii) µ > 1, δ < 2, µ = ν + 1 + δ и
Γ ((α+ 1 + δ)/2)
Γ (1− δ/2) Γ(µ− 1)
<
1√
π
(
δ
2
)µ−2
;
iii) µ > 1, δ ≥ 2;
iv) µ ≤ 1;
4) α > 2ν.
Случай 2 в теореме 5 рассмотрел Moak [24] при δ = 1, µ = ν < 1, α = 2ν − 1.
Случай 1 при α = 2ν + δ− 2 и 2ν − 1 ∈ N рассмотрели Голубов [31] и Kuttner [30]
(ν = 1). Они рассмотрели также случай α = 2ν + δ − 2 и 2ν − 1 ∈ N, µ > 1, δ ≥ 2
(при δ = 2 это частный случай 3 (iii), а при δ > 2 — частный случай 4).
Теорема 6. Пусть δ, µ, ν +
1
2
, α + 1 > 0 и Iδ,µ,ν,α(t) > 0 при всех t > 0.
Тогда:
1) если выполнено одно из двух условий:
i) α < 2ν, µ+ ν > α+ 1;
ii) α < 2ν, µ+ ν = α+ 1 и
Γ ((α+ 1)/2)
Γ (ν − α/2) Γ(µ)
>
1√
π
(
δ
2
)µ−1
, то существуют
константы ci > 0, зависящие только от δ, µ, ν и α, такие, что при t > 0
выполняется неравенство c1 ≤ Iδ,µ,ν,α(t)(1 + t)α+1 ≤ c2.
2) если выполнено одно из двух условий:
i) α = 2ν, µ > 1, δ < 2, µ+ ν > α+ 1 + δ;
ii) α = 2ν, µ > 1, δ < 2, µ + ν = α + 1 + δ и
Γ ((α+ 1 + δ)/2)
Γ (1− δ/2) Γ(µ− 1)
>
>
1√
π
(
δ
2
)µ−2
, то существуют константы ci > 0, зависящие только от δ, µ, ν и
α,такие, что при t > 0 выполняется неравенство c1 ≤ Iδ,µ,ν,α(t)(1+t)α+1+δ ≤ c2.
В частных случаях теорема 6 была доказана в [5 – 8, 10].
1. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть ϕ(x) := c − γx2, где c и γ — вещественные константы.
Предположим, что на некотором интервале (a, b) функция g имеет производную
порядка n ∈ N. Тогда при всех x ∈ R : ϕ(x) ∈ (a, b) справедливы равенства2
2 Здесь и далее символами [x] и {x} обозначены соответственно целая и дробная части числа
x ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1050 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
dn
dxn
{g(ϕ(x))} =
[n
2 ]∑
p=0
αn,p g
(n−p)(ϕ(x))γn−pxn−2p, (10)
dn
dxn
{
(s2 − x2)ρ
}
=
[n
2 ]∑
p=0
αn,p
Γ(ρ+ 1)
Γ(ρ+ 1− n+ p)
(s2 − x2)ρ−n+pxn−2p, (11)
где
αn,p =
(−1)n−p n!
p! (n− 2p)!
· 2n−2p, 0 ≤ p ≤
[n
2
]
. (12)
Доказательство. Равенство (10) легко доказывается индукцией по n ∈ N, если
воспользоваться формулой для производной сложной функции. Равенство (11)
следует из (10) при ϕ(x) = s2 − x2 и g(t) := tρ. Равенства (12) получаются из
(10) при ϕ(x) = −x2, g(t) := et и хорошо известного равенства для многочленов
Эрмита Hn (см. [33], гл. V, § 1, равенство (24)):
(−1)nHn(x) = e−x2 dn
dxn
{
e−x2}
=
[n
2 ]∑
p=0
(−1)n−p n!
p! (n− 2p)!
· (2x)n−2p.
Лемма доказана.
Для δ, µ, ν ∈ C+ и 0 < |x| < q < 1 определим функции
ψδ,µ,ν,α(q, x) :=
1∫
q
(s2 − x2)ν−1fδ,µ,ν,α(s) ds,
hδ,µ,ν,α(q, x) :=
q∫
|x|
(s2 − x2)ν−1fδ,µ,ν,α(s) ds.
(13)
Очевидно, имеет место тождество
ϕδ,µ,ν,α(x) = ψδ,µ,ν,α(q, x) + hδ,µ,ν,α(q, x), 0 < |x| < q < 1. (14)
Определим следующие дифференциальные операторы:
D0f := f, D1(f)(s) := (f(s)s−1)′, Dk+1 := D1(Dk), k ∈ Z+.
Применяя несколько раз формулу интегрирования по частям, получаем, что при
любых 0 < |x| < q < 1 и k ∈ Z+ справедливо равенство
hδ,µ,ν,α(q, x) =
k∑
p=0
(−1)p(q2 − x2)ν+p
2p+1
Γ(ν)
Γ(ν + p+ 1)
Dp(fδ,µ,ν,α)(q)q−1+
+
(−1)k+1Γ(ν)
2k+1Γ(ν + k + 1)
Hk
δ,µ,ν,α(q, x), (15)
где
Hk
δ,µ,ν,α(q, x) :=
q∫
|x|
(s2 − x2)ν+kDk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ds. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1051
Лемма 2. Пусть k, n ∈ Z+, Re ν + k > n и 0 < |x| < q < 1. Тогда
dn
dxn
{
Hk
δ,µ,ν,α(q, x)
}
=
q∫
|x|
dn
dxn
{
(s2 − x2)ν+k
}
Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ds. (17)
Доказательство. Продифференцируем равенство (16) n раз по x. Поскольку
Re ν + k > n, внеинтегральные члены исчезнут. Равенство (17) доказано.
Лемма 3. 1. Пусть k ∈ Z+. Тогда Dk+1(f)(s) ≡ 0 ⇐⇒ f — нечетный
алгебраический полином степени не больше 2k + 1.
2. При любых k ∈ Z+ и s ∈ (0, 1) справедливо равенство
Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) =
∞∑
p=0
(−1)p Γ(µ)
Γ(µ− p)
2k+1Γ(α/2− ν + δp/2 + 1)
Γ(α/2− ν + δp/2− k)
sα−2ν+δp−2k−1
p!
.
(18)
3. Пусть k ∈ Z+ и Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) 6≡ 0. Тогда Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ∼ Asβ ,
s → +0, где A, β ∈ C и A 6= 0. Кроме того, для любого q ∈ (0, 1) выполняется
условие
sup
0<s≤q
∣∣(s−βDk+1(fδ,µ,ν,α)(s)−A)s−δ
∣∣ < +∞. (19)
4. i) При s→ +0 имеет место соотношение
Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ∼
∼
2k+1Γ(α/2− ν + 1)
Γ(α/2− ν − k)
sα−2ν−2k−1,
α
2
− ν 6∈ Z+, k ∈ Z+;
(1− µ)2k+1Γ(α/2− ν + δ/2 + 1)
Γ(α/2− ν + δ/2− k)
sα−2ν−2k−1+δ,
α
2
− ν ∈ Z+,
δ
2
6∈ N, µ 6= 1, k ≥ α
2
− ν;
(−1)m+1Γ(µ)
Γ(µ−m− 1)
2k+1Γ(α/2− ν + δ(m+ 1)/2 + 1)
Γ(δ/2)(m+ 1)!
sδ−1,
α
2
− ν ∈ Z+,
δ
2
∈ N, µ 6∈ N, k =
α
2
− ν +
δm
2
, m ∈ Z+.
(20)
ii) Пусть выполнено одно из двух условий:
α
2
− ν ∈ Z+, µ = 1 или
α
2
− ν ∈ Z+,
µ ∈ N,
δ
2
∈ N. Тогда Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ≡ 0 при всех k ≥ α
2
− ν +
δ
2
(µ− 1).
iii) Пусть
α
2
− ν ∈ Z+, µ 6∈ N,
δ
2
∈ N. Тогда Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) 6≡ 0 при всех
k ∈ Z+.
Доказательство. Утверждение 1 леммы 3 легко доказывается индукцией по
k ∈ Z+. Докажем утверждение 2. К правой части равенства
fδ,µ,ν,α(s) =
∞∑
p=0
(−1)p Γ(µ)
Γ(µ− p)
sα−2ν+1+δp
p!
, 0 < |s| < 1, (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1052 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
применим оператор Dk+1 и теорему о почленном дифференцировании ряда. Сле-
дует только учесть, что ряд в правой части равенства (21) сходится равномерно
в любом кольце {s ∈ C: 0 < q1 ≤ |s| ≤ q2 < 1} и равенства Dk+1(sβ)(s) =
= sβ−2k−2
∏k
j=0
(β − 2j − 1), k ∈ Z+. Утверждения 3 и 4 следуют из утвержде-
ний 1 и 2.
Лемма 4. Пусть q > 0 и
H(x) :=
q∫
x
F (s, x)G(s) ds, 0 < x < q. (22)
Предположим, что при некоторых значениях A,B, βi ∈ C, β2, β5 ∈ C+, функции
G и F удовлетворяют условиям:
i) sup0<s<q |(G(s)s−β1 −A)s−β2 | < +∞;
ii) F (tx, x) = xβ3f(t), 0 < x < q, t > 1 и supt>1 |(f(t)t−β4 −B)tβ5 | < +∞.
Пусть γ := β1 + β4. Тогда:
1) если Re γ < −1, то H(x) = xβ1+β3+1
[
A
∫ +∞
1
f(t)tβ1 dt+ o(1)
]
, x→ +0;
2) если Re γ > −1, то H(x) = xβ3−β4
[
B
∫ q
0
G(s)sβ4 ds+ o(1)
]
, x→ +0;
3) если γ = −1, то H(x) = xβ1+β3+1
[
−AB lnx+O(1)
]
, x→ +0;
4) если Re γ = −1, γ 6= −1, то
H(x) = xβ3−β4
Axγ+1
+∞∫
1
(f(t)t−β4 −B)tγ dt− B
γ + 1
+
+
ABqγ+1
γ + 1
+B
q∫
0
sγ(G(s)s−β1 −A) ds+ o(1)
, x→ +0.
Доказательство. Пусть g(s) := G(s)s−β1 . В интеграле (22) выполним замену
переменной s = tx, t ∈
[
1,
q
x
]
. Тогда
H(x) = xβ1+β3+1I(x), I(x) =
∫ q
x
1
f(t)tβ1g(xt) dt. (23)
1. Рассмотрим случай Re γ < −1. Имеем
I(x) = A
q
x∫
1
f(t)tβ1 dt+
q
x∫
1
f(t)tβ1(g(xt)−A) dt = A
+∞∫
1
f(t)tβ1 dt+o(1), x→ +0.
2. Рассмотрим случай Re γ > −1. Интеграл в (23) разобьем на два: I(x) =
= I1(x) + I2(x), где
I1(x) := B
q
x∫
1
g(xt)tγ dt = Bx−γ−1
q∫
0
g(s)sγ ds−
x∫
0
g(s)sγ ds
=
= Bx−γ−1
q∫
0
g(s)sγ ds+O
(
xRe γ+1
) , x→ +0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1053
и
I2(x) :=
q
x∫
1
(f(t)−Btβ4)g(xt)tβ1 dt = O
q
x∫
1
tRe (γ−β5) dt
, x→ +0.
Тогда H(x) = xβ3−β4
[
B
∫ q
0
sγg(s) ds+ α(x)
]
, где при x→ +0
α(x) =
O(xβ5), Re γ + 1 > Reβ5,
O(xγ+1), Re γ + 1 < Reβ5,
O(xγ+1 lnx), Re γ + 1 = Reβ5,
т. е. в любом случае α(x) = o(1), x→ +0.
3. Рассмотрим случай γ = −1. В (23)
I(x) = B
q
x∫
1
t−1g(xt) dt+
q
x∫
1
(f(t)−Btβ4)g(xt)tβ1 dt =
= AB
q
x∫
1
t−1 dt+B
q
x∫
1
t−1(g(xt)−A) dt+
q
x∫
1
(f(t)−Btβ4)g(xt)tβ1 dt =
= −AB lnx+O(1), x→ +0.
4. Рассмотрим случай Re γ = −1, γ 6= −1. Интеграл в (23) разобьем на два:
I(x) = I1(x) + I2(x), где
I1(x) := B
q
x∫
1
g(xt)tγ dt =
= Bx−γ−1
A q∫
x
sγ ds+
q∫
0
(g(s)−A)sγ ds−
x∫
0
(g(s)−A)sγ ds
=
= Bx−γ−1
A
γ + 1
(qγ+1 − xγ+1) +
q∫
0
(g(s)−A)sγ ds+ o(1)
, x→ +0,
и
I2(x) :=
q
x∫
1
(f(t)−Btβ4)g(xt)tβ1 dt =
= A
q
x∫
1
(f(t)−Btβ4)tβ1 dt+
q
x∫
1
(f(t)−Btβ4)(g(xt)−A)tβ1 dt =
= A
+∞∫
1
(f(t)−Btβ4)tβ1 dt+ o(1), x→ +0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1054 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
Складывая I1(x) и I2(x), получаем нужное равенство.
Лемма 4 доказана.
Для n ∈ Z+, ρ ∈ C определим функцию
Fn, ρ(t) :=
[n/2]∑
p=0
Bρ
n,p(t
2 − 1)ρ−n+p,
Bρ
n,p :=
(−1)n−p n! 2n−2p
p! (n− 2p)!
Γ(ρ+ 1)
Γ(ρ+ 1− n+ p)
.
(24)
Очевидно,
Fn, ρ(t) = (t2 − 1)ρ−n(Bρ
n,0 + o(1)), t→ 1,
Fn, ρ(t)t−2ρ+n+2{n
2 } = Bρ
n,[n
2 ] +O(t−2), t→ +∞.
(25)
Лемма 5. Пусть n ∈ Z+, ρ ∈ C и Re ρ > n − 1. Тогда при всех z ∈ C:
Re z > −2
{n
2
}
справедливо равенство
+∞∫
1
Fn, ρ(t)t−2ρ+n−1−z dt =
(−1)n
√
π
2z−n
Γ(z) Γ(ρ+ 1)
Γ ((z − n+ 1)/2) Γ (ρ+ 1 + (z − n)/2)
.
(26)
Доказательство. Выражения в левой и правой частях равенства (26) обозна-
чим соответственно через I(z) и J(z). Из (25) следует, что функция I(z) является
аналитической в полуплоскости Re z > −2
{n
2
}
. Функция J(z) является аналити-
ческой всюду, кроме, быть может, точек вида zk = −k, k ∈ Z+. Если n — нечетное,
то J(z) является аналитической и при z = 0. Из теоремы единственности следует,
что равенство (26) достаточно доказать, например, при Re z > n. Если в интегра-
ле (26) выполнить замену переменной t =
1
x
и воспользоваться равенством (11),
то получим равенство
I(z) =
1∫
0
dn
dxn
{
(1− x2)ρ
}
xz−1 dx. (27)
Пусть дополнительно Re z > n. Применяя в (27) n раз формулу интегрирования
по частям, получаем равенство
I(z) =
(−1)n
n∏
p=0
(z − p)
z
1∫
0
(1−x2)ρxz−n−1 dx =
(−1)nΓ(z)
Γ(z − n)
Γ ((z − n)/2) Γ(ρ+ 1)
2 Γ (ρ+ 1 + (z − n)/2)
.
Если в последнем равенстве воспользоваться формулой удвоения
√
πΓ(2x) =
= 22x−1Γ(x)Γ (x+ 1/2) при x = (z − n)/2, то получим равенство (26).
Лемма 6. Пусть n ∈ Z+, ρ ∈ C и Re ρ > n− 1. Тогда при z ∈ C : Re z > −1
справедливо равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1055
+∞∫
1
(
Fn, ρ(t)t−2ρ+n+2{n
2 } −Bρ
n,[n
2 ]
)
t−z dt =
=
(−1)n
√
π
2z−2{n
2 }−1−n
Γ
(
z − 2
{n
2
}
− 1
)
Γ(ρ+ 1)
Γ
(z
2
− n+
[n
2
])
Γ
(
ρ+ 1 +
z − 1
2
− n+
[n
2
]) −
Bρ
n,[n
2 ]
z − 1
. (28)
Доказательство. Выражения в левой и правой частях равенства (28) обозна-
чим соответственно через I(z) и J(z). Из (25) следует, что функция I(z) является
аналитической в полуплоскости Re z > −1. Функция J(z) является аналитической
всюду, кроме, быть может, изолированных точек вида zk = 2
{
n
2
}
+ 1− k, k ∈ Z+
(если число zk является четным или равно 1, то особенность устранимая). Из
(26) следует, что I(z) = J(z) при Re z > 1. Из теоремы единственности вытекает
справедливость равенства (28) и при Re z > −1.
Лемма 7. Пусть Bm(q) := {x ∈ Rm: ‖x‖2 < q} — открытый шар в Rm,
m ∈ N, с центром в нуле и радиусом q > 0, а функция h(t) является четной
на интервале (−q, q). Пусть p ∈ Z+. Тогда h
(
‖ · ‖2
)
∈ Cp(Bm(q)) ⇐⇒ h ∈
∈ Cp(−q, q).
Замечание 4. Утверждение леммы 7 можно считать известным. Можно
показать, что в этом утверждении евклидову норму можно заменить только на
норму, порожденную некоторым скалярным произведением.
Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточность докажем при
дополнительном условии: h(s)(0) = 0 при всех целых s ∈ [0, p]. Пусть ψ(t) :=
:= h(
√
t), t ∈ [0, q2). Тогда согласно лемме 1 при любом целом n ∈ [0, p] справед-
ливо равенство
h(n)(t) =
[n/2]∑
k=0
|αn,k|tn−2kψ(n−k)(t2), t ∈ (−q, q), t 6= 0. (29)
Пусть f(x) := h
(
‖x‖2
)
, x ∈ Bm(q). Легко проверить, что при всех целых n ∈ [0, p]
и αi ∈ {1, . . . ,m} справедливо равенство
∂nf
∂xα1 . . . ∂xαn
(x) =
[n/2]∑
k=0
Pn−2k,α,k(x)ψ(n−k)
(
‖x‖22
)
, x ∈ Bm(q), x 6= 0,
(30)
где Pn−2k,α,k(x) — однородный многочлен степени n − 2k (т. е. Pn−2k,α,k(λx) =
= λn−2kPn−2k,α,k(x) при любых λ ∈ R и x ∈ Rm), который зависит только от
переменных xα1 , . . . , xαn . Из условия следует, что h(n)(t) = o(tp−n), t → 0, при
всех целых n ∈ [0, p]. Умножим равенство (29) на tn при n = 0, . . . , p. Учиты-
вая, что αn,k 6= 0, получаем, что при всех s ∈ [0, p] справедливо соотношение
t2sψ(s)(t2) = o(tp), t → 0. Тогда из (30) следует, что при всех целых n ∈ [0, p] и
αi ∈ {1, . . . ,m} справедливо соотношение
∂nf
∂xα1 . . . ∂xαn
(x) = o(‖x‖p−n
2 ), ‖x‖2 → 0,
и, значит, f ∈ Cp(Bm(q)). Общий случай вытекает из доказанного частного случая,
если ввести вспомогательную функцию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1056 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
H(t) := h(t)−
p∑
k=0
h(k)(0)
k!
tk = h(t)−
[ p
2 ]∑
k=0
h(2k)(0)
(2k)!
t2k.
Лемма доказана.
2. Доказательство теоремы 1.
Предложение 1. 1. Пусть δ, µ, ν ∈ C+, α ∈ C и 0 < q < 1. Тогда:
i) ϕδ,µ,ν,α ∈ C(−q, q) ⇐⇒ ∃ lim
x→+0
ϕδ,µ,ν,α(x) ⇐⇒ α ∈ C+;
ii) ϕδ,µ,ν,α ∈ L∞(−q, q) ⇐⇒ Reα ≥ 0, α 6= 0;
iii) если s > 0, то ϕδ,µ,ν,α(‖ · ‖2) ∈ Ls(Bm(q)) ⇐⇒ sα+m ∈ C+.
2. Пусть δ, µ, ν, α ∈ C+, 0 < q < 1 и r(z) := max{k ∈ Z : k < Re z}. Тогда:
i) если
α
2
−ν+1 6∈ N и p = r(α), то ϕδ,µ,ν,α ∈ Cp(−q, q), ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(−q, q)
и ϕ(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L(−q, q);
ii) если
α
2
− ν + 1 ∈ N,
δ
2
6∈ N, µ 6= 1 и p = r(α + δ), то ϕδ,µ,ν,α ∈ Cp(−q, q),
ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(−q, q) и ϕ(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L(−q, q);
iii) если
α
2
− ν + 1 ∈ N, µ = 1, то ϕδ,µ,ν,α ∈ C∞(−q, q);
iv) Если
α
2
− ν + 1 ∈ N,
δ
2
∈ N, то ϕδ,µ,ν,α ∈ C∞(−q, q).
Доказательство. Очевидно, ϕδ,µ,ν,α ∈ C∞(R\{0,±1}). Из равенств (13) – (15)
следует
ϕδ,µ,ν,α ∈ Cn(−q, q), n ∈ Z+ ⇐⇒ ∃k ∈ Z+ : Hk
δ,µ,ν,α(q, ·) ∈ Cn(−q, q),
ϕδ,µ,ν,α(‖ · ‖2) ∈ Ls(Bm(q)) ⇐⇒ ∃k ∈ Z+ : Hk
δ,µ,ν,α(q, ‖ · ‖2) ∈ Ls(Bm(q)).
Пусть k > n− Re ν. Тогда согласно лемме 2
H(x) :=
dn
dxn
{
Hk
δ,µ,ν,α(q, x)
}
=
q∫
|x|
F (s, x)G(s) ds, 0 < |x| < q,
F (s, x) :=
dn
dxn
{
(s2 − x2)ν+k
}
, G(s) := Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s).
(31)
К функции H применим лемму 4. В данном случае F (tx, x) = x2ν+2k−nFn,ν+k(t),
где функция Fn,ν+k определена равенством (24). Учитывая соотношения (25),
получаем, что условие ii) в лемме 4 выполняется при
β3 = 2ν + 2k − n, β4 = 2ν + 2k − n− 2
{n
2
}
, β5 = 2, B = Bν+k
n,[n
2 ] 6= 0. (32)
Докажем утверждение 1 предложения 1. Если Reα > 0, то интеграл (1)
сходится абсолютно при x = 0 и, значит, ϕδ,µ,ν,α ∈ C(−q, q). В этом случае
ϕδ,µ,ν,α(0) =
1
δ
Γ(µ)Γ (α/δ)
Γ (µ+ α/δ)
.
Рассмотрим случай Reα ≤ 0. В (31) и (32) выберем n = 0. Тогда можно взять
k = 0. Из (20) следует соотношение D1(fδ,µ,ν,α)(s) ∼ (α−2ν)sα−2ν−1, s→ +0, и,
значит, условия i) и ii) в лемме 4 выполняются при (см. утверждение 3 леммы 3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1057
β1 = α− 2ν − 1, β2 = δ, A = α− 2ν 6= 0,
β3 = β4 = 2ν, β5 = 2, B = Bν
0,0 = 1, γ := β1 + β4 = α− 1.
(33)
Если Reα < 0, т. е. Re γ < −1, то согласно лемме 4
H(x) = xα
A +∞∫
1
F0,ν(t)tα−2ν−1 dt+ o(1)
, x→ +0. (34)
По лемме 5 (z = −α, n = 0, ρ = ν) интеграл в (34) равен
√
π Γ(−α)
2−αΓ (ν + 1− α/2)
6= 0.
Поэтому lim
x→+0
|H(x)| = +∞. Поскольку
∫
Bm(q)
|H(‖x‖2)|s dx = cm
q∫
0
tm−1|H(t)|s dt, cm > 0,
то H(‖ · ‖2) ∈ Ls(Bm(q)) только при sReα+m > 0.
Если α = 0, т. е. γ = −1, то согласно лемме 4 H(x) = −AB lnx + O(1),
x→ +0. Поэтому lim
x→+0
|H(x)| = +∞ и H
(
‖ · ‖2
)
∈ L(Bm(q)).
Если Reα = 0 и α 6= 0, т. е. Re γ = −1 и γ 6= −1, то согласно лемме 4
H(x) = Axα
+∞∫
1
(F0,ν(t)t−2ν −Bν
0,0)t
α−1 dt−
Bν
0,0
α
+ C + o(1), x→ +0.
(35)
По лемме 6 (z = 1 − α, n = 0, ρ = ν) выражение в скобках в (35) равно√
π Γ(−α)Γ(ν + 1)
2−αΓ ((1− α)/2) Γ (ν + 1− α/2)
6= 0. Поэтому предел функции H(x) в точке
x = 0 не существует, но H ∈ L∞(−q, q).
Рассмотренные случаи полностью доказывают утверждение 1.
Замечание 5. Из приведенного выше доказательства следует, что при x→ 0
ϕδ,µ,ν,α(x) ∼
(α− 2ν)
√
π Γ(−α)
2−αΓ(ν + 1− α/2)
|x|α, Reα < 0,
2ν ln |x|, α = 0.
Докажем утверждение 2. Пусть Reα > 0. Тогда ϕδ,µ,ν,α ∈ C(−q, q). Как и
раньше, к функции H из (31), где k, n ∈ Z+ и k > n − Re ν, применим лемму 4.
Значения параметров, при которых выполнены условия ii) в лемме 4, выписаны
в (32).
i) Пусть
α
2
− ν 6∈ Z+. В этом случае из (20) следует, что условия i) в лемме 4
выполняются при
β1 = α− 2ν − 2k − 1, β2 = δ, A =
2k+1Γ (α/2− ν + 1)
Γ (α/2− ν − k)
6= 0,
γ := β1 + β4 = α− 1− n− 2
{n
2
}
.
(36)
i1) Если n+ 2
{n
2
}
> Reα, т. е. Re γ < −1, то согласно лемме 4
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1058 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
H(x) = xα−n (AI + o(1)) , x→ +0, I :=
+∞∫
1
Fn,ν+k(t)tα−2ν−2k−1 dt.
По лемме 5 (z = n− α, ρ = ν + k)
I =
(−1)n
√
π
2−α
Γ(n− α) Γ(ν + k + 1)
Γ ((1− α)/2) Γ (ν + k + 1− α/2)
.
Если
α− 1
2
∈ Z+ и α < n, то I = 0. Если
α− 1
2
∈ Z+ и α ≥ n, то α = n и
I =
(−1)n
√
π
2−α
(−1)
n−1
2 Γ ((n+ 1)/2) Γ(ν + k + 1)
2Γ (ν + k + 1− α/2)
6= 0(
здесь мы воспользовались тем, что при всех k ∈ Z+ имеет место соотношение
Γ(x− k) ∼ (−1)k
xΓ(k + 1)
, x→ 0
)
. Если
α− 1
2
6∈ Z+, то α 6= n и I 6= 0.
i2) Если n+ 2
{n
2
}
< Reα, т. е. Re γ > −1, то согласно лемме 4
H(x) = x2{n
2 }
B q∫
0
G(s)sβ4 ds+ o(1)
, x→ +0.
i3) Если n+ 2
{n
2
}
= α, т. е. γ = −1, то согласно лемме 4
H(x) = x2{n
2 }(−AB lnx+O(1)), x→ +0.
i4) Если n+2
{n
2
}
= Reα и Imα 6= 0, т. е. Re γ = −1 и γ 6= −1, то по лемме 4
H(x) =
= x2{n
2 }
AJxγ+1 +
ABqγ+1
γ + 1
+B
q∫
0
sγ(G(s)s−β1 −A) ds+ o(1)
, x→ +0,
J :=
+∞∫
1
(
Fn, ν+k(t)t−2ν−2k+n+2{n
2 } −Bν+k
n,[n
2 ]
)
tγ dt−
Bν+k
n,[n
2 ]
γ + 1
.
По лемме 6 (z = −γ, ρ = ν + k)
J =
(−1)n
√
π
2−γ−2{n
2 }−1−n
×
× Γ (−γ − 2 {n/2} − 1) Γ(ν + k + 1)
Γ (−γ/2− n+ [n/2]) Γ (ν + k + 1− (γ + 1)/2− n+ [n/2])
6= 0.
Далее рассуждаем следующим образом. Если n четное и n < Reα, то из i2)
вытекает существование предела lim
x→+0
H(x). Если n нечетное и n < Reα, то из
i1) – i4) вытекает, что lim
x→+0
H(x) = 0. Отсюда следует, что ϕδ,µ,ν,α ∈ Cp(−q, q),
где p := max{k ∈ Z : k < Reα}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1059
Пусть n := p+ 1. Тогда:
1) если Reα 6∈ Z+, то n > Reα и из i1) вытекает, что lim
x→+0
|H(x)| = +∞ и,
значит, ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(−q, q), но ϕ(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L(−q, q);
2) если n четное и Reα ∈ Z+, то n = Reα и из i3), i4) вытекает, что предел
функции H в точке x = 0 не существует и, значит, ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(−q, q), но
ϕ
(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L∞(−q, q);
3) если n нечетное и Reα ∈ Z+, то n = Reα и из i1) вытекает, что lim
x→+0
|H(x)| 6=
6= 0 и, значит, ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(−q, q), но ϕ(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L∞(−q, q).
Случай i) полностью исследован.
ii) Пусть α/2− ν+1 ∈ N, δ/2 6∈ N, µ 6= 1. Пусть, как и раньше, k > n−Re ν и
дополнительно k ≥ α/2−ν. В этом случае из (20) следует, что условия i) в лемме 4
выполняются при
β1 = α− 2ν − 2k − 1 + δ, β2 = δ,
A =
(1− µ)2k+1Γ (α/2− ν + δ/2 + 1)
Γ (α/2− ν + δ/2− k)
6= 0, (37)
γ := β1 + β4 = α+ δ − 1− n− 2
{n
2
}
.
Далее рассуждения точно такие же, как и в i1) – i4), если α заменить на α+ δ.
iii) Пусть α/2− ν + 1 ∈ N, µ = 1. Согласно лемме 3 Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ≡ 0 при
всех целых k ≥ α/2− ν и, значит, ϕδ,µ,ν,α ∈ C∞(−q, q).
iv) Пусть α/2−ν+1 ∈ N, δ/2 ∈ N. Если µ ∈ N, то по лемме 3Dk+1(fδ,µ,ν,α)(s) ≡
≡ 0 при всех целых k ≥ α/2− ν + δ/2(µ− 1) и, значит, ϕδ,µ,ν,α ∈ C∞(−q, q).
Если µ 6∈ N, то из (20) следует, что при всех k = α/2 − ν + δm/2, m ∈ Z+,
условия i) в лемме 4 выполняются при
β1 = δ − 1, β2 = δ,
A =
(−1)m+1Γ(µ)
Γ(µ−m− 1)
2k+1Γ (α/2− ν + δ(m+ 1)/2 + 1)
Γ (δ/2) (m+ 1)!
6= 0, (38)
γ := β1 + β4 = δ − 1 + 2ν + 2k − n− 2
{n
2
}
.
Далее рассуждаем следующим образом. Выберем произвольное n ∈ Z+ и доста-
точно большоеm ∈ Z+ так, чтобы k = α/2−ν+δm/2 > n−Re ν. Тогда Re γ > −1
и по лемме 4 H(x) = x2{n
2 }
[
B
∫ q
0
G(s)s−β4 ds+ o(1)
]
, x → +0. Отсюда следу-
ет, что существует предел lim
x→+0
H(x), а если n нечетное, то он равен 0. Поэтому
ϕδ,µ,ν,α ∈ C∞(−q, q).
Утверждение 2 предложения 1 полностью доказано.
Предложение 2. 1. Пусть δ, µ, ν ∈ C+, α ∈ C и 0 < q < 1. Тогда:
i) ϕδ,µ,ν,α ∈ C(1− q, 1 + q) ⇐⇒ µ+ ν − 1 ∈ C+;
ii) ϕδ,µ,ν,α ∈ L∞(1− q, 1 + q) ⇐⇒ Re (µ+ ν − 1) ≥ 0;
iii) если s > 0, то ϕδ,µ,ν,α ∈ Ls(1− q, 1 + q) ⇐⇒ s(µ+ ν − 1) + 1 ∈ C+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1060 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
2. Пусть δ, µ, ν, µ+ν−1 ∈ C+, α ∈ C, 0 < q < 1 и p = r(µ+ν−1) := max{k ∈
∈ Z : k < Re (µ + ν − 1)}. Тогда ϕδ,µ,ν,α ∈ Cp(1 − q, 1 + q), ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(1 −
− q, 1 + q) и ϕ(p+1)
δ,µ,ν,α ∈ L(1− q, 1 + q).
Доказательство. Если при x ∈ (0, 1) в интеграле (1) выполнить замену пере-
менной интегрирования s = 1 − (1 − x)t, то получим следующее представление
для ϕδ,µ,ν,α(x):
ϕδ,µ,ν,α(x) = (1− x)µ+ν−1 Φ(x), 0 < x < 1,
где
Φ(x) :=
1∫
0
tµ−1(1− t)ν−1(1− t+ (1 + t)x)ν−1g(1− (1− x)t) dt,
g(s) := sν−1
(
1− sδ
1− s
)µ−1
.
Очевидно, Φ ∈ C∞(1 − q, 1 + q) и Φ(1) = 2ν−1 δµ−1 Γ(µ)Γ(ν)
Γ(µ+ ν)
6= 0. Поэтому если
k ∈ Z+ и 0 < s ≤ ∞, то
ϕδ,µ,ν,α ∈ Ck(1− q, 1 + q) ⇐⇒ (1− x)µ+ν−1
+ ∈ Ck(1− q, 1 + q),
ϕδ,µ,ν,α ∈ Ls(1− q, 1 + q) ⇐⇒ (1− x)µ+ν−1
+ ∈ Ls(1− q, 1 + q).
(39)
Первое утверждение предложения 2 доказано, а второе следует из (39).
Доказательство теоремы 1 непосредственно вытекает из предложений 1, 2 и
леммы 7. Проанализируем только последний случай в формуле (2). Если Re (µ+
+ ν − 1) > Reα и α/2− ν + 1 ∈ N, δ/2 6∈ N, то Reµ > 1. В этом случае ϕδ,µ,ν,α ∈
∈ Cp1(−q, q)∩Cp2(1− q, 1 + q), 0 < q < 1, где p1 = r(α+ δ) и p2 = r(µ+ ν − 1).
Поэтому ϕδ,µ,ν,α ∈ Cp(R), где p := min{p1, p2}. Осталось учесть, что ϕδ,µ,ν,α 6∈
6∈ Cp+1(−q, q), если p1 ≤ p2, и ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(1 − q, 1 + q), если p2 ≤ p1, т. е. в
любом случае ϕδ,µ,ν,α 6∈ Cp+1(R).
3. Доказательства теорем 2 и 3.
Предложение 3. Пусть δ, µ, ν ∈ C+, α ∈ C и ϕδ,µ,ν,αg ∈ L[0, 1]. Тогда
1∫
0
ϕδ,µ,ν,α(u)g(u) du =
1∫
0
1∫
0
(1− xδ)µ−1(1− s2)ν−1xαg(xs) dsdx. (40)
Доказательство. Равенство (40) получаем непосредственно, если в двойном
интеграле выполнить замену s = u/v, x = v, 0 ≤ u ≤ 1, u ≤ v ≤ 1, и воспользо-
ваться представлением (1).
Доказательство теоремы 3. Если в (40) взять g(u) := t1−
m
2 u
m
2 Jm
2 −1(tu),
t > 0, и воспользоваться равенством
∫ 1
0
(1− s2)ν−1s
m
2 Jm
2 −1(su) ds = 2ν−1Γ(ν)×
×u−νJm
2 +ν−1(u), u > 0, m, ν ∈ C+ (см. [34], формула 11.30), то получим
Fm(ϕδ,µ,ν,α)(t) =
= t1−
m
2
1∫
0
1∫
0
(1− xδ)µ−1(1− s2)ν−1x
m
2 +αs
m
2 Jm
2 −1(txs) dsdx =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1061
= 2ν−1Γ(ν)t1−
m
2 −ν
1∫
0
(1− xδ)µ−1x
m
2 +α−νJm
2 +ν−1(tx) dx =
= 2ν−1Γ(ν)Iδ,µ, m−1
2 +ν,m−1+α(t), t > 0.
Первое равенство в теореме 3 доказано, а второе следует из первого.
Доказательство теоремы 2. Докажем утверждение 1. При t ≥ 1 утверждение
очевидно. При 0 < t < 1 применяем предложение 3, в котором g(u) := 0 при
0 < u < t и g(u) := u при t ≤ u ≤ 1. Из предложения 2 вытекает, что ϕδ,µ,ν,αg ∈
∈ L[0, 1]. Подставляя g в (40), получаем равенство
1∫
t
uϕδ,µ,ν,α(u) du =
=
1∫
t
1∫
t
x
(1− xδ)µ−1(1− s2)ν−1xα+1s ds
dx =
1
2ν
ϕδ,µ,ν+1,α+2(t).
Докажем утверждение 2. Из представления Пуассона для функций Бесселя (см. [4],
гл. IV, § 3) следует3
F1
(
(1− u2)λ− 1
2
+
)
(t) =
=
1∫
−1
e−itu(1− u2)λ− 1
2 du = 2λΓ
(
λ+
1
2
)√
πjλ(t), Reλ > −1
2
, t ∈ R.
Если λ ∈ C+, то по формуле обращения (1 − u2)λ− 1
2
+ = (2π)−12λΓ (λ+ 1/2) ×
×
√
πF1(jλ)(u) для почти всех u ∈ R. Применяя последовательно это равенство,
формулу умножения (6) для преобразования Фурье F1, равенство (7) (связь между
преобразованиями F1 и F1), второе равенство в теореме 3 при m = 2k + 1, n = 1
и формулу обращения (8) для F2k+1, получаем, что при почти всех x > 0 левая
часть равенства (3) равна
1∫
0
(1− u2)k−1ϕ
(2k)
δ,µ,ν,α(ux) du =
=
1
2
1
2π
2k− 1
2 Γ(k)
√
π
∫
R
F1(jk− 1
2
)(u)ϕ(2k)
δ,µ,ν,α(ux) du =
=
2k−2Γ(k)√
2π
∫
R
jk− 1
2
(t)F1
(
ϕ
(2k)
δ,µ,ν,α
) (
t
x
)
dt
x
=
=
2k−2Γ(k)√
2π
∫
R
jk− 1
2
(ux)F1(ϕ
(2k)
δ,µ,ν,α)(u) du =
3 Здесь и далее x+ = x, если x > 0, и x+ = 0, если x ≤ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1062 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
=
(−1)k2k−1Γ(k)√
2π
+∞∫
0
jk− 1
2
(ux)u2kF1(ϕδ,µ,ν,α)(u) du =
= (−1)k2k−1Γ(k)
+∞∫
0
jk− 1
2
(ux)u2kF1(ϕδ,µ,ν,α)(u) du =
=
(−1)k22k−1Γ(k)Γ(ν)
Γ(ν − k)
+∞∫
0
jk− 1
2
(ux)u2kF2k+1(ϕδ,µ,ν−k,α−2k)(u) du =
=
(−1)k22k−1Γ(k)Γ(ν)
Γ(ν − k)
F2k+1(F2k+1(ϕδ,µ,ν−k,α−2k))(x) =
=
(−1)k22k−1Γ(k)Γ(ν)
Γ(ν − k)
ϕδ,µ,ν−k,α−2k(x).
Осталось учесть, что в левой и правой частях равенства (3) стоят четные и непре-
рывные на R функции.
4. Доказательства теорем 4 – 6. Гипергеометрическая функция pFq определя-
ется следующим образом [34] (формула 6.47):
pFq(α1, . . . , αp;β1, . . . , βq; z) :=
∞∑
k=0
(α1)k . . . (αp)k
(β1)k . . . (βq)k
zk
k!
, z ∈ C,
где (a)0 := 1, (a)k := a(a + 1) . . . (a + k − 1) = Γ(a+ k)/Γ(a), αi, βi ∈ C и
βi 6∈ Z− := Z \ N.
Предложение 4. 1. Пусть δ, µ, α+ 1 ∈ C+ и ν ∈ C. Тогда при t > 0
Iδ,µ,ν,α(t) =
2
1
2−νΓ(µ)
δ
×
×
∞∑
k=0
Γ ((α+ 2k + 1)/δ)
Γ (ν + 1/2 + k) Γ (µ+ (α+ 2k + 1)/δ)
(
−t2/4
)k
k!
,
I ′δ,µ,ν,α(t) = −tIδ,µ,ν+1,α+2(t).
(41)
2. Если µ, α+ 1 ∈ C+ и ν + 1/2 6∈ Z−, то при t > 0
I1,µ,ν,α(t) =
2
1
2−νΓ(µ)Γ(α+ 1)
Γ (ν + 1/2) Γ(µ+ α+ 1)
×
×2F3
(
α+ 1
2
,
α+ 2
2
;
2ν + 1
2
,
µ+ α+ 1
2
,
µ+ α+ 2
2
;− t
2
4
)
. (42)
3. Если µ, ν ∈ C+, то при t > 0
I1,µ,ν,2ν−1(t) =
2
1
2−νΓ(µ)Γ(2ν)
Γ (ν + 1/2) Γ(µ+ 2ν) 1F2
(
ν;
µ+ 2ν
2
,
µ+ 2ν + 1
2
;− t
2
4
)
. (43)
4. Если µ, α+ 1 ∈ C+ и ν +
1
2
6∈ Z−, то при t > 0
I2,µ,ν,α(t) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1063
=
2−
1
2−νΓ(µ)Γ ((α+ 1)/2)
Γ (ν + 1/2) Γ (µ+ (α+ 1)/2) 1F2
(
α+ 1
2
;
2ν + 1
2
,
2µ+ α+ 1
2
;− t
2
4
)
. (44)
5. Если µ, ν ∈ C+, то при t > 0 и x ∈ R
I2, µ
2 , µ
2 +ν,2ν−1(t) ≡
2
µ
2−1Γ (µ/2)
Γ(µ)
I1,µ,ν,2ν−1(t)
и
ϕ2, µ
2 , µ
2 +ν,2ν−1(x) ≡
2µ−1Γ (µ/2) Γ (µ/2 + ν)
Γ(µ)
ϕ1,µ,ν,2ν−1(x).
6. Если δ, µ, ν + 1/2 ∈ C+, то Iδ,µ+1,ν,2ν(t) ≡ δµIδ,µ,ν+1,2ν+δ(t), t > 0. Если
дополнительно ν ∈ C+, то 2νϕδ,µ+1,ν,2ν(x) ≡ δµϕδ,µ,ν+1,2ν+δ(x), x ∈ R.
Доказательство. Первое равенство в (41) получим из (9), если воспользуемся
представлением (5) для функции Бесселя. Второе равенство в (41) получаем из пер-
вого. Равенство (44) непосредственно получаем из (41), а для вывода (42) следует
еще учесть формулу удвоения:
√
π Γ(2x) = 22x−1Γ(x)Γ (x+ 1/2) . Равенство (43)
следует из (42). Первые тождества в утверждениях 5 и 6 также вытекают из (41),
а для доказательства вторых тождеств можно воспользоваться первым равенством
в теореме 3 при m = 1 и теоремой единственности для преобразования Фурье.
Предложение 5. 1. Пусть δ, µ, α+ 1, δ1, µ1, α1 + 1 ∈ C+ и ν ∈ C. Тогда
1∫
0
(1− uδ1)µ1−1uα1Iδ,µ,ν,α(tu) du =
2
1
2−νΓ(µ)Γ(µ1)
δδ1
×
×
∞∑
k=0
Γ ((α+ 2k + 1)/δ) Γ ((α1 + 2k + 1)/δ1)
Γ (ν + 1/2 + k) Γ (µ+ (α+ 2k + 1)/δ) Γ (µ1 + (α1 + 2k + 1)/δ1)
×
×
(
−t2/4
)k
k!
, t > 0. (45)
2. Пусть δ, µ, α+ 1, τ ∈ C+ и ν ∈ C. Тогда
1∫
0
(1− uδ)τ−1uµδ+αIδ,µ,ν,α(tu) du =
Γ(µ)Γ(τ)
δ Γ(µ+ τ)
Iδ,µ+τ,ν,α(t), t > 0. (46)
3. Пусть δ, µ, ν +
1
2
, α+ 1, τ ∈ C+. Тогда
1∫
0
(1− u2)τ−1u2νIδ,µ,ν,α(tu) du = 2τ−1Γ(τ)Iδ,µ,ν+τ,α(t), t > 0. (47)
4. Пусть δ, µ, ε, α+ 1− δε ∈ C+ и ν ∈ C. Тогда
1∫
0
(1− uδ)ε−1uα−εδIδ,µ,ν,α(tu) du =
Γ(µ)Γ(ε)
δ Γ(µ+ ε)
Iδ,µ+ε,ν,α−δε(t), t > 0. (48)
5. Пусть δ, µ, ε, ν − 2ε, α− 2ε+ 1 ∈ C+. Тогда
+∞∫
t
u(u2 − t2)ε−1Iδ,µ,ν,α(u) du = 2ε−1Γ(ε)Iδ,µ,ν−ε,α−2ε(t), t > 0. (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1064 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
Доказательство. Равенство (45) следует из (41), а равенства (46) – (48) непо-
средственно получаем из (41) и (45). Докажем равенство (49). Пусть t > 0, (u, x) ∈
∈ D := (t,+∞)×(0, 1) и g(u, x) := u(u2−t2)ε−1(1−xδ)µ−1xαjν− 1
2
(ux). Докажем,
что g ∈ L(D). Пусть D1 := (t, t+1)× (0, 1), D2 := (t+1,+∞)× (0, 1), r > t+1 и
Kr := (t+1, r)×(0, 1).Очевидно, g ∈ L(D1)∩L(Kr).Пусть µ0 := Reµ, ν0 := Re ν,
α0 := Reα и ε0 := Re ε. Очевидно, c1(t, ε0) := sup
u>t+1
(
u2 − t2
u2
)ε0−1
< +∞. Из
(5) и асимптотики для функции Бесселя (см. замечание 1) следует, что при любом
ν ∈ C существует константа c2(ν) > 0 такая, что
∣∣jν− 1
2
(x)
∣∣ ≤ c2(ν)
(
1 + |x|
)−Re ν
,
x ∈ R. Тогда ∫∫
Kr
|g(u, x)| dudx ≤
≤ c1(t, ε0)c2(ν)
1∫
0
|1− xδ|µ0−1xα0
+∞∫
0
u2ε0−1
(1 + ux)ν0
du dx =
= c1(t, ε0)c2(ν)
1∫
0
|1− xδ|µ0−1xα0−2ε0 dx
+∞∫
0
s2ε0−1
(1 + s)ν0
ds < +∞.
Из последнего неравенства следует, что g ∈ L(D2) и, значит, g ∈ L(D). Согласно
теореме Фубини существуют следующие повторные интегралы и они равны между
собой:
+∞∫
t
1∫
0
g(u, x)dx
du =
1∫
0
+∞∫
t
g(u, x)du
dx.
С учетом (9) первый повторный интеграл равен интегралу в левой части равен-
ства (49). Второй повторный интеграл равен выражению в правой части равен-
ства (49). Это следует из (9) и следующей формулы (см. [34], формула 11.29):∫ +∞
t
u(u2−t2)ε−1jν− 1
2
(ux) du = 2ε−1Γ(ε)x−2εjν− 1
2−ε(tx), t, x > 0, ε, ν−2ε+1 ∈
∈ C+.
Из работ [35, 36] и равенства (41) непосредственно получаем следующую
асимптотику для Iδ,µ,ν,α(t) при t → +∞ (рассуждения такие же, как и в [31]
для Fm(ϕδ,µ,1,δ)(t), m ∈ N).
Предложение 6. Пусть δ, µ, ν +
1
2
, α+ 1 > 0 и L ∈ Z+. Тогда при t→ +∞
справедливо равенство
Iδ,µ,ν,α(t) =
=
2
1
2−νΓ(µ)
δ
[
2νδµ
√
πtµ+ν
{
cos
(
t− π
2
(µ+ ν)
)
+O
(
1
t
)}
+ I1
δ,µ,ν,α(t)
]
, (50)
где
I1
δ,µ,ν,α(t) :=
L∑
l=0
δ(−1)l
2
Γ ((α+ 1 + δl)/2)
Γ (ν − (α+ δl)/2) Γ(µ− l) Γ(l + 1)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1065
×
(
2
t
)α+1+δl
+ o
(
1
tα+1+δL
)
.
Доказательство теоремы 4. Докажем утверждение I. Утверждения 1 и 2
вытекают из равенств (46) – (48). Утверждения 3 и 4 получаем из следующего
результата Kuttner [30, 37] (см. также [31]):
Пусть функция A(u) ограничена на каждом конечном интервале (0, c), c > 0.
Предположим, что для некоторых δ, µ > 0 и любого t > 0 выполняется неравен-
ство
A(δ, µ, t) :=
t∫
0
(tδ − uδ)µ−1uδ−1A(u) du ≥ 0.
Если для некоторого z > 0 A(δ, µ, t) 6≡ 0 при t ∈ [0, z], то A(ε, µ, z) > 0 при
0 < ε < δ.
Если α + 1 ≥ δ > 0, то теорему Kuttner можно применить при A(u) =
= uα+1−δ+ 1
2−νJν− 1
2
(u). Следует только учесть, что (см. (41)) Iδ,µ,ν,α(z) — целая
функция и I(2k)
δ,µ,ν,α(0) 6= 0, если k ∈ Z+, ν +
1
2
+ k ∈ C+. Поэтому Iδ,µ,ν,α(t) 6≡ 0
на любом отрезке [0, z], z > 0.
Если µ > 1, то из (9) интегрированием по частям получаем
Iδ,µ,ν,α(t) = t−α−1−δ(µ−1)(µ− 1)δ
t∫
0
(tδ − uδ)µ−2uδ−1G(u) du,
G(u) =
u∫
0
sα−ν+ 1
2 Jν− 1
2
(s) ds.
И в этом случае можно применить теорему Kuttner при A(u) = G(u), а затем
вернуться к виду (9).
Утверждение 5 вытекает из утверждения 1, если учесть, что Iδ,1,ν,α(t) не зави-
сит от δ.
Докажем утверждение II. Утверждение 1 вытекает из равенства (49). Дока-
жем утверждение 2 при k = 1. Из асимптотики (50) для Iδ,µ,ν,α и неравенства
Iδ,µ,ν,α(t) ≥ 0 при t > 0 следует, что µ + ν ≥ α + 1. Из асимптотики (50) для
Iδ,µ,ν−1,α−2 и неравенства µ+ (ν − 1) ≥ α > 0 следует, что Iδ,µ,ν−1,α−2(+∞) = 0.
Из второго равенства в (41) вытекает, что I ′δ,µ,ν−1,α−2(t) = −tIδ,µ,ν,α(t) ≤ 0 при
t > 0. Поэтому функция Iδ,µ,ν−1,α−2(t) строго убывает на (0,+∞) (надо учесть,
что эта функция является целой). Поэтому Iδ,µ,ν−1,α−2(t) > 0 при t > 0. Общий
случай легко получается индукцией по k ∈ N.
Доказательство теоремы 5. Утверждения 1, 2 и 3 (i, ii) непосредственно
получаем из асимптотики (50). Из теоремы 4 следует, что утверждения 3 (iii) и 3
(iv) достаточно доказать соответственно для случаев δ = 2 и µ = 1. В этих случаях
также можно применить асимптотику (50).
Докажем утверждение 4. Для m ∈ R положим Hm := L
(
(0, 1), um−1du
)
∩
∩L
(
(1,+∞), u
m−1
2 du
)
, H1
m := L
(
(0,+∞), um−1du
)
, H2
m := L
(
(0,+∞), u
m−1
2 du
)
.
Далее воспользуемся теоремой из [38]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1066 В. П. ЗАСТАВНЫЙ
Теорема A. 1. Пусть m > 0 и f ∈
(
H1
m ∪H2
m
)
∩ Hm. Если при некоторых
δ > 0 и ε ∈ C функция f ограничена на (0, δ) и
∣∣Fm(f)(u)
∣∣− εFm(f)(u) ∈ H1
m, то
Fm(f) ∈ H1
m.
2. Пусть m > 0 и f ∈
(
H1
m ∪H2
m
)
∩Hm. Если Fm(f)(u) сохраняет знак при
u > 0, а f непрерывна в нуле, то Fm(f) ∈ H1
m. Если дополнительно f(0) = 0, то
f(x) = 0 при почти всех x > 0.
Пусть f(x) := 0 при x ≥ 1 и f(x) := (1 − xδ)µ−1xα−2ν при 0 < x < 1. Из
равенства (9) следует, что Iδ,µ,ν,α(t) = F2ν+1(f)(t). Пусть δ, µ, ν +
1
2
, α + 1 > 0,
α > 2ν. Если Iδ,µ,ν,α(t) ≥ 0 при t > 0, то функция f удовлетворяет условиям
теоремы A (m = 2ν + 1, f ∈ H1
m ∩ Hm). Кроме того, f непрерывна в нуле и
f(0) = 0. Поэтому f(x) = 0 при почти всех x > 0. А это, очевидно, не так.
Доказательство теоремы 6. Докажем утверждение 1. Справедливость ука-
занного соотношения в окрестности нуля следует из неравенства Iδ,µ,ν,α(+0) > 0
(см. (9) или (41)), а в окрестности бесконечности — из неравенств 0 <
< lim inf
t→+∞
Iδ,µ,ν,α(t)tα+1 ≤ lim sup
t→+∞
Iδ,µ,ν,α(t)tα+1 < +∞, которые вытекают из
асимптотики (50). Осталось учесть, что Iδ,µ,ν,α(t) > 0 при всех t > 0. Утвержде-
ние 2 доказывается аналогично.
1. Заставный В. П. Положительно определенные функции, зависящие от нормы. Решение про-
блемы Шенберга. – Донецк, 1991. – 35 с. – ( Препринт / АН Украины. Ин-т прикл. мат. и мех.,
09.91).
2. Zastavnyi V. P. On positive definiteness of some functions // J. Multivar. Anal. – 2000. – 73. –
P. 55 – 81.
3. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Boston etc.: Kluwer
Acad. Publ., 2004. – 585 p.
4. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.:
Наука, 1974.
5. Wendland H. Error estimates for interpolation by compactly supported radial basis functions of
minimal degreee // J. Approxim. Theory. – 1998. – 93. – P. 258 – 272.
6. Buhmann M. D. A new class of radial basis functions with compact support // Math. Comput. –
2000. – 70, № 233. – P. 307 – 318.
7. Заставный В. П., Тригуб Р. М. Положительно определенные сплайны специального вида //
Мат. сб. – 2002. – 193, № 12. – С. 41 – 68.
8. Заставный В. П. Положительно определенные радиальные функции и сплайны // Докл. РАН.
– 2002. – 386, № 4. – С. 446 – 449.
9. Wendland H. Piecewise polinomial, positive definite and compactly supported radial functions of
minimal degree // Adv. Comput. Math. – 1995. – 4. – P. 389 – 396.
10. Заставный В. П., Тригуб Р. М. Положительно определeнные сплайны. – Донецк, 1987. – 39 с.
– Деп в УкрНИИНТИ, № 593-Ук.87.
11. Тригуб Р. М. Некоторые свойства преобразования Фурье меры и их применение // Теория
приближения функций: Тр. междунар. конф. по теории приближения функций (Киев, 1983 г.).
– М.: Наука, 1987. – С. 439 – 443.
12. Тригуб Р. М. Критерий характеристической функции и признак типа Пойа для радиальных
функций нескольких переменных // Теория вероятностей и ее применения. – 1989. – 34. –
С. 805 – 810.
13. Тригуб Р. М. Положительно определeнные радиальные функции и сплайны // Междунар. конф.
по конструктивной теории функций (Варна, 25 – 31 мая 1987 г.): Тез. докл. – София, 1987. –
С. 123.
14. Тригуб Р. М. Положительно определeнные функции и сплайны // Теория функций и при-
ближений: Тр. 5-й Саратов. зим. школы (25 янв. – 4 февр. 1990 г.). – Саратов, 1992. – Ч 1. –
С. 68 – 75.
15. Trigub R. M. Some topics in Fourier analysis and approximation theory. – Donetsk, 1995. – 71 p. –
Preprint. – Internet: funct-an/9612008.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ БУМАНА 1067
16. Тригуб Р. М. О положительно определeнных радиальных сплайнах специального вида // Int.
Сonf. OFEA’2001 (Optimization of Finite Element Approximation & Splines and Wavelets): Abstr.
St. Petersburg, 2001. – P. 174.
17. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
18. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях. – Харьков: Вища шк., 1984. – 120 c.
19. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. – М.: Гостехиздат, 1948.
20. Askey R., Pollard H. Some absolutely monotonic and completely monotonic functions // SIAM J.
Math. Anal. – 1974. – 5. – P. 58 – 63.
21. Fields J. L., Ismail M. E. On the positivity of some 1F ,
2s // Ibid. – 1975. – 6. – P. 551 – 559.
22. Askey R., Gasper G. Positive Jacobi polynomial sums, II // Amer. J. Math. – 1976. – 98, № 3. –
P. 709 – 737.
23. Makai E. On a monotonic propertyof certain Sturm – Liouville functions // Acta math. Acad. sci.
hung. – 1952. – 3. – P. 165 – 172.
24. Moak D. S. Completely monotonic functions of the form s−b(s2 + 1)−a // Rocky Mountain J.
Math. – 1987. – 17, № 4. – P. 719 – 725.
25. Steinig J. The sign of Lommel’s function // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. – 163. – P. 123 – 129.
26. Gasper G. Positive integrals of Bessel functions // SIAM J. Math. Anal. – 1975. – 6, № 5. –
P. 868 – 881.
27. Cooke R. G. A monotonic property of Bessel functions // Math. Comput. – 1937. – 12. – P. 180 – 185.
28. Gneiting T., Konis K., Richards D. Experimental approaches to Kuttner’s problem // Exp. Math. –
2001. – 10, № 1. – P. 117 – 124.
29. Пасенченко О. Ю. Достатнi умови характеристичної функцiї для двовимiрного iзотропного
розподiлу // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 1995. – Вип. 53. – С. 138 – 141.
30. Kuttner B. On the Riesz means of a Fourier series // J. London Math. Soc. – 1944. – 19, № 2. –
P. 77 – 84.
31. Golubov B. I. On Abel – Poisson type and Riesz means // Anal. Math. – 1981. – 7. – P. 161 – 184.
32. Misiewicz J. K., Richards D. St. P. Positivity of integrals of Bessel functions // SIAM J. Math. Anal.
– 1994. – 25, № 2. – P. 596 – 601.
33. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1979. – 416 с.
34. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –
М.: Физматгиз, 1974.
35. Wright E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // J. London
Math. Soc. – 1935. – 10. – P. 286 – 293.
36. Wright E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // Proc. London
Math. Soc. – 1940. – 46, № 2. – P. 389 – 408.
37. Kuttner B. On positive Riesz and Abel typical means // Ibid. – 1947. – 49. – P. 328 – 352.
38. Заставный В. П. Достаточные условия интегрируемости преобразования Ханкеля // Тр. Ин-та
прикл. математики и механики НАН Украины. – 2004. – Вып. 9. – С. 68 – 75.
Получено 14.10.2004,
посля доработки — 11.01.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
|