Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций
Отримано узагальнення теореми Карамати про асимптотичну поведiнку iнтегралiв зi змiнними границями для класу регулярно log-перiодичних функцiй.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165399 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций / В.В. Булдыгин, В.В. Павленков // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1443-1463. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165399 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1653992020-02-14T01:25:52Z Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций Булдыгин, В.В. Павленков, В.В. Статті Отримано узагальнення теореми Карамати про асимптотичну поведiнку iнтегралiв зi змiнними границями для класу регулярно log-перiодичних функцiй. We generalize the Karamata theorem on the asymptotic behavior of integrals with variable limits to a class of regularly log-periodic functions. 2012 Article Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций / В.В. Булдыгин, В.В. Павленков // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1443-1463. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165399 517.18 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Булдыгин, В.В. Павленков, В.В. Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций Український математичний журнал |
| description |
Отримано узагальнення теореми Карамати про асимптотичну поведiнку iнтегралiв зi змiнними границями для класу регулярно log-перiодичних функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Булдыгин, В.В. Павленков, В.В. |
| author_facet |
Булдыгин, В.В. Павленков, В.В. |
| author_sort |
Булдыгин, В.В. |
| title |
Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций |
| title_short |
Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций |
| title_full |
Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций |
| title_fullStr |
Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций |
| title_full_unstemmed |
Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций |
| title_sort |
теорема караматы для регулярно log-периодических функций |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165399 |
| citation_txt |
Теорема Караматы для регулярно log-периодических функций / В.В. Булдыгин, В.В. Павленков // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1443-1463. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT buldyginvv teoremakaramatydlâregulârnologperiodičeskihfunkcij AT pavlenkovvv teoremakaramatydlâregulârnologperiodičeskihfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-14T18:24:06Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:24:06Z |
| _version_ |
1837647734397468672 |
| fulltext |
УДК 517.18
В. В. Булдыгин , В. В. Павленков (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев)
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО
LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
We generalize the Karamata theorem on the asymptotic behavior of integrals with variable limits to the class of regularly
log-periodic functions.
Отримано узагальнення теореми Карамати про асимптотичну поведiнку iнтегралiв зi змiнними границями для класу
регулярно log-перiодичних функцiй.
1. Введение. В статьях [1, 2] Й. Карамата ввел понятие правильно меняющейся функции и
доказал ряд фундаментальных теорем относительно этих функций. В частности, была установ-
лена теорема об асимптотическом поведении интегралов от правильно меняющихся функций
(см. также [3 – 5]). Эта теорема широко применяется в анализе и теории вероятностей [3, 4].
Ниже рассматривается обобщение теоремы Караматы на класс регулярно log-периодических
функций.
Пусть R — множество действительных чисел, R+ — множество неотрицательных чисел,
Z — множество целых чисел и N — множество натуральных чисел. Для A > 0 рассмотрим
семейство FM+(A) положительных и измеримых (по Лебегу) функций f = (f(x), x ≥ A) .
Измеримую действительную функцию ϕ(x), x ≥ A, называют локально интегрируемой, если
она интегрируема (по Лебегу) на любом отрезке [a, b] ⊂ [A,∞) .
Выражения ϕ(x) ∼
x→∞
ψ(x), ϕ(x) ∼ ψ(x), x→∞, ϕ ∼ ψ означают, что
lim
x→∞
ϕ(x)/ψ(x) = 1.
В этом случае говорят, что функции ϕ и ψ асимптотически эквивалентны.
Напомним, что функцию f ∈ FM+(A) называют правильно меняющейся (RV) (на бесконеч-
ности), если предел
κf (λ) = lim
x→∞
f(λx)
f(x)
существует и является положительным и конечным для всех λ > 0 (см. [1, 2] и [3, с. 1, 17]).
Правильно меняющуюся функцию f называют медленно меняющейся (SV), если κf (λ) = 1
для всех λ > 0. Если f — RV-функция, то найдется ρ ∈ R такое, что κf (λ) = λρ, λ > 0.
Число ρ называют индексом функции f. Индекс ρ = 0 имеют SV-функции и только они. Любая
RV-функция f с индексом ρ имеет вид
f(x) = xρ`(x), x ≥ A,
где ` — SV-функция.
Теорема Караматы содержит две части (прямую и обратную) для непрерывных RV-функций
[1, 2] и для локально интегрируемых RV-функций [3, 4].
c© В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11 1443
1444 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
Теорема Караматы (прямая часть). Пусть f — локально интегрируемая RV-функция с
индексом ρ 6= −1. Тогда:
1) если ρ > −1, то
xf(x)∫ x
A
f(t)dt
→ ρ+ 1, x→∞; (1)
2) если ρ < −1, то
xf(x)∫ ∞
x
f(t)dt
→ |ρ+ 1|, x→∞; (2)
3) если ρ = −1 и If (∞) =∞, где
If (∞) =
∞∫
A
f(t)dt, (3)
то
xf(x)∫ x
A
f(t)dt
→ 0, x→∞; (4)
4) если ρ = −1 и If (∞) <∞, то
xf(x)∫ ∞
x
f(t)dt
→ 0, x→∞. (5)
Теорема Караматы (oбратная часть). Пусть f — локально интегрируемая функция из
класса FM+(A). Тогда:
1) если найдется число γ ∈ (0,∞) такое, что
xf(x)∫ x
A
f(t)dt
→ γ, x→∞, (6)
то f — RV-функция с индексом ρ = γ − 1;
2) если If (∞) <∞ и найдется число γ ∈ (0,∞) такое, что
xf(x)∫ ∞
x
f(t)dt
→ γ, x→∞, (7)
то f — RV-функция с индексом ρ = −γ − 1.
Регулярно log-периодические функции. Целью статьи является обобщение теоремы Ка-
раматы на регулярно log-периодические (RLP) функции, т. е. функции f ∈ FM+(A) вида
f(x) = xρ`(x)H(lnx), x ≥ A, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1445
где ρ ∈ R, ` = (`(x), x ≥ A) — SV-функция и H = (H(u), u ∈ R) — положительная непрерыв-
ная периодическая функция.
Регулярно log-периодические функции являются функциями с невырожденными группами
регулярных точек, которые рассматривались в [6]. Обобщение теоремы Караматы на различные
классы функций приведено в [7], обобщение теоремы Караматы на класс RLP при ρ > −1
— в [8]. Ниже рассматривается общий случай ρ ∈ R и тем самым дополняются результаты
работ [7, 8].
Статья построена следующим образом. Пункт 2 содержит необходимые определения и
предварительные сведения. В пункте 3 формулируются прямая и обратная части обобщения
теоремы Караматы на класс регулярно log-периодических функций. Доказательства, в ходе
которых используются и развиваются соответствующие методы работ [1, 2] и [3 – 5], приведены
в пунктах 4 – 6.
2. Определения и предварительные сведения. Функции f из класса RLP являются по-
ложительными и измеримыми, поскольку таковыми являются все сомножители в (8). Функ-
цию r(x) = xρ`(x) будем называть регулярной (RV) компонентой функции f, а ее индекс
ρ — индексом функции f. Функцию ` будем называть медленной (SV) компонентой функ-
ции f. Периодическую функцию H будем называть периодической компонентой, а функцию
H ◦ ln = (H(lnx), x > 0) — log-периодической компонентой функции f. Функция H явля-
ется постоянной, т. е. существует такое c > 0, что H(x) ≡ c тогда и только тогда, когда f
является RV-функцией. В этом случае функция H ◦ ln также является постоянной и ее можно
присоединить в качестве сомножителя к `.
В дальнейшем будем предполагать, если не оговорено противное, что
H(0) = 1. (9)
Условие (9) не суживает класс RLP, так как f из RLP можно представить в виде f(x) =
= xρ`0(x)H0(lnx), где H0(u) = H(u)/H(0) и `0(x) = H(0)`(x). Ясно, что H0(0) = 1 и `0 —
SV-функция. Представление (8) будем называть каноническим, если периодическая компонента
в нем является канонической, т. е. выполнено условие (9).
Если U = (U(x), x ∈ R) — периодическая функция, то через Sp(U) обозначим множество
периодов функции U, а через S+
p (U) — множество положительных периодов функции U. Ве-
личину T (u) = inf S+
p (U) будем называть осцилляционной характеристикой функции U. Если
функция U непрерывная и периодическая, то либо T (U) = 0 и в этом случае функция U явля-
ется постоянной, либо T (U) > 0 и в этом случае T (U) является наименьшим положительным
периодом функции U и Sp(U) = {nT (U), n ∈ Z} .
Осцилляционную характеристику T (H) периодической компоненты функции f будем также
называть осцилляционной характеристикой функции f. Класс функций f ∈ RLP с положи-
тельной осцилляционной характеристикой обозначим RLP+ и заметим, что функции из класса
RLP+ не являются RV-функциями, а являются функциями с невырожденной группой регуляр-
ных точек (см. [6]). Именно функциям из класса RLP+ полностью соответствует название
„регулярно log-периодические функции”. Класс функций RLP0 = RLP\RLP+ состоит из
функций (8), для которых функции H являются постоянными. Таким образом, класс RLP0
совпадает с классом RV-функций.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1446 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
Если функция f принадлежит классу RLP и имеет индекс ρ > −1, то
∞∫
A
f(x)dx =∞; (10)
если же ρ < −1, то
∞∫
A
f(x)dx <∞. (11)
Действительно, если ρ > −1, то
∞∫
A
f(x)dx =
∞∫
A
xρ`(x)H(lnx)dx ≥ κ
∞∫
A
xρ`(x)dx =∞,
где κ = infx∈RH(x) > 0. Аналогично доказывается соотношение (11).
При анализе свойств регулярно log-периодических функций будем использовать следую-
щую лемму, доказательство которой непосредственно вытекает из теоремы Кронекера (см.,
например, [9, c. 376] или [10, c. 58]).
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — две положительные непрерывные периодические функции.
Если P1 ∼ P2, то P1 = P2.
3. Обобщение теоремы Караматы об асимптотическом поведении интегралов на класс
регулярно log-периодических функций. Ниже приводятся формулировки двух частей (прямой
и обратной) теоремы, обобщающей теорему Караматы на функции из класса RLP. Доказатель-
ствам посвящены следующие пункты статьи. Начнем с формулировки прямой части теоремы
при ρ 6= −1.
Теорема 1 (прямая часть). Пусть локально интегрируемая функция f из класса RLP
имеет индекс ρ 6= −1, периодическую компоненту H и осцилляционную характеристику
T (H) = T. Тогда найдется такая положительная непрерывная периодическая функция D =
= (D(x), x ∈ R), зависящая от ρ и H, что
x∫
A
f(t)dt ∼
x→∞
xD(lnx)f(x), (12)
если ρ > −1, и
∞∫
x
f(t)dt ∼
x→∞
xD(lnx)f(x), (13)
если ρ < −1. При этом справедливы следующие утверждения:
1) если f является RV-функцией (т. е. T = 0, H(x) ≡ 1), то
D(x) = DH,ρ(x) ≡ 1
|ρ+ 1|
; (14)
2) если f ∈ RLP+ (т. е. T > 0) и ρ > −1, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1447
D(x) = DH, ρ(x) =
∫ T{x/T}
0
e(ρ+1)yH(y)dy + C
H(x) exp (T (ρ+ 1){x/T})
, x ≥ 0, (15)
где {x/T} — дробная часть числа x/T и
C = C(H, ρ) =
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
eT (ρ+1) − 1
;
3) если f ∈ RLP+ (т. е. T > 0) и ρ < −1, то
D(x) = DH, ρ(x) =
∫ T
T{x/T}
e(ρ+1)yH(y)dy + C
H(x) exp (T (ρ+ 1){x/T})
, x ≥ 0, (16)
где
C = C(H, ρ) =
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
eT |ρ+1| − 1
;
4) имеют место равенства
T (DH) = T (D) = T (H),
где T (DH) — осцилляционная характеристика положительной непрерывной периодической
функции DH = (D(x)H(x), x ∈ R).
Прямая часть, случай ρ = −1. Расширение теоремы 1 на функции из класса RLP, име-
ющие индекс ρ = −1, вытекает из следующего утверждения, в котором рассматривается класс
функций, более широкий чем RLP.
Пусть RLB — класс регулярно log-ограниченных функций вида
f(x) = xρ`(x)V (lnx), x ≥ A, (17)
где ρ ∈ R, ` = (`(x), x ≥ A) — SV-функция и V = (V (x), x ∈ R) — положительная измеримая
функция, удовлетворяющая условию
k = inf
x∈R
V (x) > 0 и K = sup
x∈R
V (x) <∞. (18)
Ясно, что RLP ⊂ RLB и RLB\RLP 6= ∅.
Утверждение 1. Пусть локально интегрируемая функция f из класса RLB имеет индекс
ρ = −1. Тогда:
1) если If (∞) =∞ (см. (3)), то
lim
x→∞
xf(x)∫ x
A
f(t)dt
= 0; (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1448 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
2) если If (∞) <∞, то
lim
x→∞
xf(x)∫ ∞
x
f(t)dt
= 0. (20)
Доказательство. Прежде всего переформулируем соответствующую часть теоремы Кара-
маты для RV-функций в удобном для нас виде. Напомним, что любая RV-функция с индексом
ρ = −1 имеет вид `(t)/t, t ≥ A, где ` — SV-функция. Поэтому если ` — локально интегрируемая
SV-функция, то по теореме Караматы (см. (4), (5))
lim
x→∞
`(x)∫ x
A
(`(t)/t)dt
= 0 (21)
при
∫ ∞
A
(`(t)/t)dt =∞ и
lim
x→∞
`(x)∫ ∞
x
(`(t)/t)dt
= 0 (22)
при
∫ ∞
A
(`(t)/t)dt <∞.
Поскольку f принадлежит классу RLB и имеет индекс ρ = −1, учитывая (17), видим, что
f(x) = `(x)V (lnx)/x, x ≥ A, где V — положительная измеримая функция, удовлетворяющяя
условию (18). Следовательно,
k
∞∫
A
(`(t)/t)dt ≤
∞∫
A
f(t)dt ≤ K
∞∫
A
(`(t)/t)dt
и для любого x > A
0 ≤ xf(x)∫ x
A
f(t)dt
≤ K`(x)
k
∫ x
A
(`(t)/t)dt
,
а также
xf(x)∫ ∞
x
f(t)dt
≤ K`(x)
k
∫ ∞
x
(`(t)/t)dt
.
Теперь ясно, что утверждения 1 и 2 вытекают из соотношений (21) и (22).
Перейдем к обобщению обратной части теоремы Караматы (см. (6), (7)) на функции из
класса RLP. Будем рассматривать только случай ρ 6= −1, так как утверждение 1 показывает,
что при ρ = −1 соотношения (19) и (20) имеют место для класса функций RLB, более
широкого чем RLP.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1449
Теорема 2 (oбратная часть). Пусть для локально интегрируемой функции f ∈ FM+(A)
найдется положительная непрерывная периодическая функция (B(x), x ∈ R) такая, что либо
x∫
A
f(t)dt ∼
x→∞
xB(lnx)f(x), (23)
либо
∞∫
A
f(t)dt <∞ и
∞∫
x
f(t)dt ∼
x→∞
xB(lnx)f(x). (24)
Тогда f является функцией из класса RLP с периодической компонентойH и индексом ρ > −1,
если имеет место (23), и ρ < −1, если имеет место (24). При этом справедливы следующие
утверждения:
1) если T (B) = 0, т. е. B(x) ≡ β > 0, то
|ρ+ 1| = 1
β
(25)
и H(x) ≡ 1, т. е. f является RV-функцией с индексом ρ;
2) если T (B) > 0, то f принадлежит классу RLP+,
|ρ+ 1| =
(
1
B
)
av
(26)
и
H(x) =
B(0)
B(x)
exp
± x∫
0
(
1
B(t)
−
(
1
B
)
av
)
dt
, x ≥ 0, (27)
где (
1
B
)
av
=
1
T (B)
T (B)∫
0
du
B(u)
(28)
и в (27) стоит знак +, если ρ+ 1 > 0, и знак −, если ρ+ 1 < 0;
3) имеют место равенства
T (BH) = T (H) = T (B),
где T (BH) — осцилляционная характеристика положительной непрерывной периодической
функции BH = (B(x)H(x), x ∈ R).
Замечание 1. Из условия (23) вытекает неравенство lim infx→∞ xf(x) > 0, в силу кото-
рого
∫ ∞
A
f(t)dt =∞. Поэтому последнее равенство опущено в условии (23).
Замечание 2. Соотношения (12), (13) и (23), (24) однозначно определяют функции D и
B соответственно. Например, если (12) выполняется для двух положительных непрерывных
периодических функцийD1 иD2, тоD1 ∼ D2, откуда, согласно лемме 1, следует, чтоD1 = D2.
Таким образом, в теоремах 1 и 2 D = B и вместе с этим все соотношения, установленные для
функции B, выполняются для функции D, и наоборот.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1450 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
Замечание 3. Если в (15) и (16) устремить число T к 0, а функциюH поточечно устремить
к функции, тождественно равной 1, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
DH,ρ(x)→ 1
ρ+ 1
,
т. е. (14) „согласовано” с (15) и (16). Аналогично „согласованы” (25) и (26).
Замечание 4. Если f — локально интегрируемая регулярно log-периодическая функция(
f(x) = xρ`(x)H(lnx)
)
и ρ > −1, то согласно теореме 1
x∫
A
f(t)dt = xD(lnx)f(x)`1(x) = xρ+1`(x)`1(x)D(lnx)H(lnx) = xρ+1`2(x)DH(lnx),
где `1 и `2 = ``1 — SV-функции, DH — положительная непрерывная периодическая функция
и T (DH) = T (H). Ясно, что функция
∫ x
A
f(t)dt, x ≥ A, является непрерывной. Следова-
тельно, отображение f(·) 7→
∫ (·)
A
f(t)dt переводит локально интегрируемую регулярно log-
периодическую функцию с индексом ρ > −1 в непрерывную регулярно log-периодическую
функцию, при этом осцилляционная характеристика не изменяется. Теорема 1 показывает так-
же, что аналогичные свойства присущи регулярно log-периодическим функциям с индексом
ρ < −1, если рассматривать отображение f(·) 7→
∫ ∞
(·)
f(t)dt.
4. Лемма об асимптотическом поведении интегралов от регулярно log-периодических
функций. Изучение асимптотического поведения интегралов с переменными пределами инте-
грирования начнем с утверждения (см. лемму 2), которое показывает, что при интегрировании
регулярно log-периодической функции с индексом ρ 6= −1 ее медленную компоненту можно
выносить „в асимптотическом смысле” из-под знака интеграла. Схема доказательства этого
утверждения подобна схеме доказательства прямой части теоремы Караматы для RV-функций
(см. [3, c. 26]). Для сокращения записи положим Hl(x) = H(lnx).
Лемма 2. Пусть f ∈ RLP — локально интегрируемая функция с индексом ρ 6= −1,
SV-компонентой ` и периодической компонентой H. Тогда если ρ > −1, то
x∫
A
f(t)dt ∼
x→∞
`(x)
x∫
A
tρHl(t)dt, (29)
а если ρ < −1, то
∞∫
x
f(t)dt ∼
x→∞
`(x)
∞∫
x
tρHl(t)dt. (30)
Доказательство. Предположим, что ρ > −1, и докажем (29).
Положим
J(x) =
1∫
A/x
yρ
(
`(xy)
`(x)
− 1
)
Hl(xy)dy, x ≥ A,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1451
и для ε ∈ (0, 1)
Jε(x) =
1∫
ε
yρ
(
`(xy)
`(x)
− 1
)
Hl(xy)dy, x ≥ (A/ε).
Поскольку
K =
supx∈RH(x)
ρ+ 1
<∞
и ρ > −1, из теоремы о равномерной сходимости для SV-функций (см., например, [3, c. 22])
следует, что для любого ε ∈ (0, 1)
lim
x→∞
Jε(x) = 0. (31)
В результате простых вычислений получаем, что для любых ε ∈ (0, 1) и x ≥ (A/ε)
|J(x)− Jε(x)| ≤
ε∫
A/x
yρ
∣∣∣∣`(xy)
`(x)
− 1
∣∣∣∣Hl(xy)dy ≤ K
ερ+1 + (ρ+ 1)
ε∫
A/x
yρ
`(xy)
`(x)
dy
.
Если выбрать δ ∈ (0, ρ+1), то по теореме Поттера (см., например, [3, c. 25]) найдется такое
x(δ) > 0, что при x ≥ max {x(δ), (A/ε)}
ε∫
A/x
yρ
`(xy)
`(x)
dy ≤ 2
ε∫
A/x
yρ−δdy ≤ 2ερ+1−δ
ρ+ 1− δ
.
Таким образом, для любого ε ∈ (0, 1)
lim sup
x→∞
|J(x)− Jε(x)| ≤ K
(
ερ+1 +
2(ρ+ 1)ερ+1−δ
ρ+ 1− δ
)
.
Поскольку ρ+ 1− δ > 0, отсюда следует, что
lim sup
ε→0
lim sup
x→∞
|J(x)− Jε(x)| = 0. (32)
Соотношения (31) и (32) показывают, что
lim
x→∞
J(x) = 0.
Кроме того,
lim inf
x→∞
1∫
A/x
yρHl(xy)dy > 0.
Поэтому
1∫
A/x
yρ`(xy)Hl(xy)dy ∼
x→∞
`(x)
1∫
A/x
yρHl(xy)dy. (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1452 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
Поскольку при x ≥ A
x∫
A
f(t)dt =
x∫
A
tρ`(t)Hl(t)dt = xρ+1
1∫
A/x
yρ`(xy)Hl(xy)dy
и
xρ+1`(x)
1∫
A/x
yρHl(xy)dy = `(x)
x∫
A
tρHl(t)dt,
из (33) следует (29).
Теперь предположим, что ρ < −1, и докажем (30). Поскольку ρ < −1, интегралы в (30)
являются сходящимися (см. (11)).
Для a ∈ [1,∞) положим
Ja,∞(x) =
∞∫
a
yρ
(
`(xy)
`(x)
− 1
)
Hl(xy)dy, x ≥ A,
и
J1,a(x) =
a∫
1
yρ
(
`(xy)
`(x)
− 1
)
Hl(xy)dy, x ≥ A.
Из теоремы о равномерной сходимости для SV-функций (см., например, [3, c. 22]) следует, что
для любого a ∈ [1,∞)
lim
x→∞
J1,a(x) = 0. (34)
Кроме того, поскольку ρ < −1, из теореми Поттера (см., например, [3, c. 25]) вытекает, что
lim sup
a→∞
lim sup
x→∞
|Ja,∞(x)| = 0. (35)
Из соотношений (34) и (35) следует, что
lim
x→∞
J1,∞(x) = 0.
Кроме того,
lim inf
x→∞
∞∫
1
yρHl(xy)dy > 0.
Поэтому
∞∫
1
yρ`(xy)Hl(xy)dy ∼
x→∞
`(x)
∞∫
1
yρHl(xy)dy. (36)
Поскольку при x ≥ A
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1453
∞∫
x
f(t)dt =
∞∫
x
tρ`(t)Hl(t)dt = xρ+1
∞∫
1
yρ`(xy)Hl(xy)dy
и
xρ+1`(x)
∞∫
1
yρHl(xy)dy = `(x)
∞∫
x
tρHl(t)dt,
из (36) следует (30).
Лемма 2 доказана.
Замечание 5. Соотношение (29) имеет место при условии ρ > −1, согласно которому∫ ∞
A
f(t)dt =∞ (см. (10)). Поэтому соотношение (29) равносильно тому, что
x∫
x1
f(t)dt ∼
x→∞
`(x)
x∫
x2
tρHl(t)dt
для каких-нибудь (для всех) x1 ≥ A и x2 > 0.
Замечание 6. Из леммы 2 при H(u) ≡ 1 (см. (9)) следует прямая теорема Караматы для
RV-функций с индексом ρ 6= −1.
Замечание 7. Лемма 2 остается в силе, если в качестве функций f рассматривать регу-
лярно log-ограниченные функции (см. (17)).
5. Начало доказательства теоремы 1. При доказательстве теоремы 1 для функций из
класса RLP прежде всего нужно доказать эту теорему для функций из класса RLP+. Следу-
ющая лемма является первым шагом доказательства теоремы 1 (полное доказательство см. в
пункте 6).
Лемма 3. Пусть f ∈ RLP+ — локально интегрируемая функция с индексом ρ 6= −1,
периодической компонентойH и осцилляционной характеристикой T (H) = T. Тогда найдется
такая положительная непрерывная периодическая функция D = (D(x), x ∈ R), зависящая
от ρ и H, что справедливы следующие утверждения:
1) если ρ > −1, то
x∫
A
f(t)dt ∼
x→∞
xD(lnx)f(x), (37)
где
D(x) = DH, ρ(x) =
∫ T{x/T}
0
e(ρ+1)yH(y)dy + C
H(x) exp (T (ρ+ 1){x/T})
, x ≥ 0,
C = C(H, ρ) =
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
eT (ρ+1) − 1
и {x/T} — дробная часть числа x/T ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1454 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
2) если ρ < −1, то
∞∫
x
f(t)dt ∼
x→∞
xD(lnx)f(x), (38)
где
D(x) = DH, ρ(x) =
∫ T
T{x/T}
e(ρ+1)yH(y)dy + C
H(x) exp (T (ρ+ 1){x/T})
, x ≥ 0,
C = C(H, ρ) =
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
eT |ρ+1| − 1
;
3) выполняется неравенство
T (D) ≤ T (H), (39)
где T (D)— осцилляционная характеристика функции D.
Доказательство. Пусть ρ > −1. Докажем соотношение (37). Из соотношения (29) следует,
что
x∫
A
f(t)dt ∼
x→∞
`(x)U1(x), (40)
где ` — SV-компонента функции f (см. (8)) и
U1(x) =
x∫
1
tρH(ln t)dt, x ≥ 1.
Ясно, что
U1(x) =
lnx∫
0
e(ρ+1)uH(u)du = V (lnx),
где
V (x) =
x∫
0
e(ρ+1)uH(u)du =
[x/T ]−1∑
k=0
(k+1)T∫
kT
e(ρ+1)uH(u)du+R(x),
R(x) =
x∫
T [x/T ]
e(ρ+1)uH(u)du
и [x/T ] — целая часть числа x/T. Поскольку H — периодическая функция с периодом T, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1455
(k+1)T∫
kT
e(ρ+1)uH(u)du =
T∫
0
e(ρ+1)(y+kT )H(y)dy = ekT (ρ+1)
T∫
0
e(ρ+1)yH(y)dy
для любого k ∈ N. Поэтому
V (x) = C
(
eT (ρ+1)[x/T ] − 1
)
+R(x),
где
C =
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
eT (ρ+1) − 1
> 0.
Кроме того,
R(x) =
x∫
T [x/T ])
e(ρ+1)uH(u)du = eT (ρ+1)[x/T ]
T{x/T}∫
0
e(ρ+1)uH(u)du.
После простых преобразований получаем равенство
U1(x) = xρ+1Θ(lnx)− C, x ≥ 1, (41)
где
Θ(x) =
∫ T{x/T}
0
e(ρ+1)yH(y)dy + C
exp (T (ρ+ 1){x/T})
, x ≥ 0.
При x ≥ 0 функция Θ является положительной и периодической с периодом T. Непосред-
ственно проверяется, что эта функция непрерывна. Через Θ̃ =
(
Θ̃(x), x ∈ R
)
обозначим
непрерывное периодическое продолжение функции Θ на R.
Поскольку ρ > −1, из (41) вытекает, что limx→∞ U1(x) =∞, и поэтому
U1(x) ∼
x→∞
xρ+1Θ̃(lnx).
Теперь, учитывая (40), видим, что выполняется (37), если положить
D(x) =
Θ̃(x)
H(x)
.
Остается заметить, что функция (D(x), x ∈ R) является положительной непрерывной перио-
дической функцией с периодом T, откуда вытекает неравенство (39). Таким образом, первое
утверждение и часть третьего утверждения леммы доказаны.
Пусть теперь ρ > −1. Докажем соотношение (38). Из соотношения (30) следует, что
∞∫
x
f(t)dt ∼
x→∞
`(x)U(x), (42)
где ` — SV-компонента функции f (см. (8)) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1456 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
U(x) =
∞∫
x
tρH(ln t)dt, x ≥ A.
Ясно, что
U(x) = V (lnx),
где
V (x) =
∞∫
x
e(ρ+1)uH(u)du =
∞∑
k=1+[x/T ]
(k+1)T∫
kT
e(ρ+1)uH(u)du+R(x)
и
R(x) =
T (1+[x/T ])∫
x
e(ρ+1)uH(u)du.
Поскольку H — периодическая функция с периодом T, то
(k+1)T∫
kT
e(ρ+1)uH(u)du =
T∫
0
e(ρ+1)(y+kT )H(y)dy = ekT (ρ+1)
T∫
0
e(ρ+1)yH(y)dy
для любого k ∈ N. Поэтому
V (x) = CeT (ρ+1)[x/T ] +R(x),
где
C =
eT (ρ+1)
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
1− eT (ρ+1)
=
∫ T
0
e(ρ+1)yH(y)dy
eT |ρ+1| − 1
> 0.
После простых преобразований получаем равенство
U(x) = xρ+1Θ(lnx), x ≥ 1, (43)
где
Θ(x) =
∫ T
T{x/T}
e(ρ+1)yH(y)dy + C
exp (T (ρ+ 1){x/T})
, x ≥ 0.
При x ≥ 0 функция Θ является положительной и периодической с периодом T. Непосредствен-
но проверяется, что эта функция непрерывна. Через Θ̃ =
(
Θ̃(x), x ∈ R
)
обозначим непрерыв-
ное периодическое продолжение функции Θ на R. Теперь, учитывая (42) и (43), видим, что
выполняется (38), если положить
D(x) =
Θ̃(x)
H(x)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1457
Остается заметить, что функция (D(x), x ∈ R) является положительной непрерывной перио-
дической функцией с периодом T, откуда следует неравенство (39).
Таким образом, второе и третье утверждения леммы доказаны.
6. Доказательства теорем 2 и 1. В этом пункте доказывается теорема 3, из которой сле-
дует теорема 2. В ходе доказательства теоремы 3 используется лемма 3, являющаяся предва-
рительным вариантом теоремы 1. Полное доказательство теоремы 1 опирается на теорему 2 и
завершает этот пункт.
Теорема 3. Пусть для локально интегрируемой функции f ∈ FM+(A) найдутся число
γ ∈ (0,∞) и положительная непрерывная периодическая функция (Γ(x), x ∈ R) , Γ(0) = 1, с
осцилляционной характеристикой T (Γ) = T такие, что
x∫
A
f(t)dt ∼
x→∞
xΓ(lnx)f(x)
γ
, (44)
или
∞∫
A
f(t)dt <∞ и
∞∫
x
f(t)dt ∼
x→∞
xΓ(lnx)f(x)
γ
. (45)
Тогда f является функцией из класса RLP с периодической компонентойH, причем ρ > −1,
если выполняется (44), и ρ < −1, если выполняется (45). При этом имеют место следующие
утверждения:
1)
T (ΓH) = T (H) = T (Γ) = T, (46)
где T (H) — осцилляционная характеристика функции H и T (ΓH) — осцилляционная характе-
ристика функции ΓH = (Γ(x)H(x), x ∈ R) ;
2) T = 0 тогда и только тогда, когда H(x) ≡ 1 и
|ρ+ 1| = γ,
т. е. когда f является RV-функцией с индексом ρ;
3) T > 0 тогда и только тогда, когда f ∈ RLP+; в этом случае
|ρ+ 1| = γ(Γ−1)av
и
H(x) =
1
Γ(x)
exp
±γ x∫
0
(
1
Γ(t)
− (Γ−1)av
)
dt
, x ≥ 0, (47)
где
(Γ−1)av =
1
T
T∫
0
du
Γ(u)
и в (47) стоит знак +, если ρ+ 1 > 0, и знак −, если ρ+ 1 < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1458 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
Доказательство разобьем на две части в соответствии с тем какое из соотношений (44)
или (45) предполагается выполненным.
Пусть выполняется соотношение (44). Положим
b(x) =
xf(x)Γ(lnx)∫ x
A
f(t)dt
, x > A, (48)
и заметим, что согласно (44)
lim
x→∞
b(x) = γ. (49)
Из (48) следует равенство
b(x)
xΓ(lnx)
=
f(x)∫ x
A
f(t)dt
,
интегрируя обе части которого, видим, что
x∫
A+1
b(t)dt
tΓ(ln t)
= ln
x∫
A
f(t)dt
− ln
A+1∫
A
f(t)dt
для всех x ≥ A+ 1. Следовательно,
x∫
A
f(t)dt = a exp
x∫
A+1
b(t)dt
tΓ(ln t)
, x ≥ A+ 1,
где a =
∫ A+1
A
f(t)dt. Отсюда и из (48) вытекает равенство
f(x) =
ab(x)
xΓ(lnx)
exp
x∫
A+1
b(t)dt
tΓ(ln t)
,
которое позволяет при x ≥ A+ 1 представить функцию f в виде
f(x) =
ab(x)c(x)
xΓ(lnx)
exp
γ x∫
A+1
dt
tΓ(ln t)
,
где
c(x) = exp
x∫
A+1
b(t)− γ
tΓ(ln t)
dt
.
Заметим, что в силу (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1459
lim
t→∞
b(t)− γ
Γ(ln t)
= 0.
Отсюда, согласно теореме об интегральном представлении SV-функций (см., например, [3, c. 12]
или [5, c. 10]), следует, что функция (c(x), x ≥ A+ 1) является SV-функцией. Функция `1(x) =
= ab(x)c(x) также является SV-функцией, как произведение SV-функций. Кроме того, при
x ≥ A+ 1
x∫
A+1
dt
tΓ(ln t)
=
lnx∫
x0
du
Γ(u)
=
lnx∫
0
du
Γ(u)
−
x0∫
0
du
Γ(u)
,
где x0 = ln (A+ 1). Поэтому
f(x) =
`(x)
xΓ(lnx)
M(lnx), x ≥ A+ 1, (50)
где
M(x) = exp
γ x∫
0
dt
Γ(t)
, x ≥ 0,
и ` — SV-функция такая, что
`(x) = `1(x) exp
−γ x0∫
0
dt
Γ(t)
, x ≥ A+ 1.
Теперь определим число (Γ−1)av и положительную непрерывную периодическую функцию
h̃ =
(
h̃(x), x ∈ R
)
. Пусть
(Γ−1)av =
1
Γ(0)
= 1, (51)
если T = 0, т. е. если функция Γ является постоянной, и
(Γ−1)av =
1
T
T∫
0
dt
Γ(t)
, (52)
если T > 0. Кроме того, пусть h̃(x) ≡ 0, если T = 0, и
h̃(x) =
x∫
0
(
1
Γ(t)
− (Γ−1)av
)
dt, x ≥ 0,
если T > 0. Заметим, что число T является периодом функции h̃. Используя введенные вели-
чины, видим, что
x∫
0
dt
Γ(t)
= x(Γ−1)av +
x∫
0
(
1
Γ(t)
− (Γ−1)av
)
dt = x(Γ−1)av + h̃(x), x ≥ 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1460 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
откуда
M(x) = exp
(
xγ(Γ−1)av + γh̃(x)
)
, x ≥ 0.
Это равенство и (50) показывают, что функцию f можно представить в виде
f(x) = xρ`(x)H(lnx), x ≥ A+ 1, (53)
где
ρ = γ(Γ−1)av − 1, H(x) = exp(h(x)), x ∈ R,
и
h(x) = γh̃(x)− ln Γ(x), x ∈ R. (54)
Поскольку H является положительной непрерывной периодической функцией с периодом T и
H(0) = 1, равенство (53) позволяет заключить, что f ∈ RLP и имеет индекс
ρ = γ(Γ−1)av − 1 > −1. (55)
Если T = 0, то Γ(x) ≡ 1. Отсюда следует, что H(x) ≡ 1, т. е. f является RV-функцией с
индексом ρ = γ − 1. Теперь предположим, что H(x) ≡ 1. Тогда из (54) вытекает, что поло-
жительная непрерывная периодическая функция Γ является непрерывно дифференцируемым
решением дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами
dΓ(x)
dx
= γ(Γ−1)avΓ(x)− γ, x ∈ R,
и начальным условием Γ(0) = 1. Это возможно тогда и только тогда, когда Γ(x) ≡ 1, т. е.
T = 0. Таким образом, показано, что равенство T = 0 возможно тогда и только тогда, когда
f является RV-функцией с индексом ρ = γ − 1. Этим самым доказано второе утверждение
теоремы 3.
Соответственно, неравенство T > 0 возможно лишь в случае, когда функция H является
положительной непрерывной периодической функцией с периодом T. Поэтому
0 < T (H) ≤ T. (56)
Отсюда и из соотношений (53) – (55) вытекает третье утверждение теоремы 3.
Для завершения первой части доказательства осталось доказать соотношение (46). Пусть
f является RV-функцией. Тогда H(x) = Γ(x) = Γ(x)H(x) ≡ 1, откуда следует, что T (ΓH) =
= T (H) = T (Γ) = 0. Пусть теперь f ∈ RLP+. Поскольку H — периодическая компонента
функции f, согласно неравенству (55) и лемме 3 найдется положительная непрерывная перио-
дическая функция D, для которой выполняются соотношение (37) и неравенство
T (D) ≤ T (H). (57)
Согласно (44) для функции D1 = γ−1Γ также выполняется соотношение (37). Отсюда следует,
что положительные непрерывные периодические функцииD иD1 асимптотически эквивалент-
ны. Согласно лемме 1 они совпадают, поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1461
T (D) = T (D1) = T.
Отсюда, учитывая (56) и (57), получаем равенство
T (H) = T. (58)
Теперь рассмотрим функцию ΓH =
(
Γ(x)H(x), x ∈ R
)
. Из (54) вытекает, что
Γ(x)H(x) = exp
γ x∫
0
(
1
Γ(t)
− (Γ−1)av
)
dt
, x ≥ 0.
Поскольку правая часть этого равенства является периодической функцией с периодом T > 0,
функция ΓH имеет период, равный T. Покажем, что меньшего положительного периода у
функции ΓH нет. Для этого достаточно показать, что нет меньшего положительного периода у
функции
Ψ(x) = ln(Γ(x)H(x)) =
x∫
0
(
1
Γ(t)
− (Γ−1)av
)
dt, x ≥ 0.
Допустим противное, т. е. пусть существует число τ ∈ (0, T ) такое, что
Ψ(x+ τ) = Ψ(x)
для всех x > 0. Функция Γ является положительной и непрерывной, поэтому из последнего
равенства следует, что
Γ(x+ τ) =
(
dΨ(x+ τ)
dx
)−1
=
(
dΨ(x)
dx
)−1
= Γ(x)
для всех x > 0. В результате получили противоречие с тем, что T является наименьшим
положительным периодом функции Γ. Следовательно, T (ΓH) = T, что вместе с (58) доказы-
вает (46).
Таким образом, теорема 3 доказана при выполнении соотношения (44). Переходя ко второй
части доказательства теоремы 3, предполагаем, что выполняется соотношение (45). Положим
b(x) =
xf(x)Γ(lnx)∫ ∞
x
f(t)dt
, x ≥ A, (59)
и заметим, что согласно соотношению (45)
lim
x→∞
b(x) = γ. (60)
Из (59) вытекает равенство
b(x)
xΓ(lnx)
=
f(x)∫ ∞
x
f(t)dt
,
интегрируя обе части которого, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1462 В. В. БУЛДЫГИН , В. В. ПАВЛЕНКОВ
x∫
A
b(t)dt
tΓ(ln t)
= − ln
∞∫
x
f(t)dt
+ ln (If (∞)) , x ≥ A.
Следовательно,
∞∫
x
f(t)dt = If (∞) exp
− x∫
A
b(t)dt
tΓ(ln t)
, x ≥ A.
Это равенство и (59) позволяют представить функцию f в виде
f(x) =
If (∞)b(x)
xΓ(lnx)
exp
x∫
A
γ − b(t)
tΓ(ln t)
dt
exp
−γ x∫
A
dt
tΓ(ln t)
.
При x ≥ A положим `1(x) = If (∞)b(x)c(x), где
c(x) = exp
x∫
A
γ − b(t)
tΓ(ln t)
dt
.
В силу (60)
lim
t→∞
γ − b(t)
Γ(ln t)
= 0
и по теореме об интегральном представлении SV-функций (см., например, [3, c. 12] или [5,
c. 10]) функция (c(x), x > A+ 1) является SV-функцией. Функция `1 также является SV-
функцией, как произведение SV-функций. Поэтому
f(x) =
`(x)
xΓ(lnx)
M(lnx), x ≥ A, (61)
где
M(x) = exp
−γ x∫
0
dt
Γ(t)
, x ≥ 0,
и ` — SV-функция такая, что
`(x) = `1(x) exp
γ lnA∫
0
dt
Γ(t)
, x ≥ A.
Из равенства (61) следует, что функцию f можно представить в виде
f(x) = xρ`(x)H(lnx), x ≥ A, (62)
где
ρ = −γ(Γ−1)av − 1, H(x) = exp(h(x)), x ∈ R,
h(x) = −γh̃(x)− ln Γ(x), x ∈ R,
(63)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ТЕОРЕМА КАРАМАТЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРНО LOG-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1463
и величина (Γ−1)av определена в соотношениях (51) и (52). Поскольку H является положи-
тельной непрерывной периодической функцией с периодом T и H(0) = 1, равенство (62)
показывает, что f ∈ RLP и имеет индекс ρ = −γ(Γ−1)av − 1 < −1.
Сравнивая (62), (63) и (53), (54), заключаем, что далее вторая часть доказательства теоремы 3
дословно повторяет соответствующие фрагменты первой части доказательства теоремы 3.
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 2. Теорема 2 вытекает из теоремы 3, если положить
Γ(x) =
B(x)
B(0)
и γ =
1
B(0)
.
Доказательство теоремы 1. Теперь мы можем завершить начатое в пункте 5 доказатель-
ство теоремы 1.
Второе утверждение теоремы 1 вытекает из леммы 2, третье — из леммы 3, а первое — из
первого утверждения теоремы 2.
1. Karamata J. Sur un mode de croissance reguliere // Mathematica (Cluj). – 1930. – 4. – P. 38 – 53.
2. Karamata J. Sur un mode de croissance régulière. Théoremès fondamentaux // Bull. Soc. Math. France. – 1933. –
61. – P. 55 – 62.
3. Bingham N. M., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. – 508 p.
4. de Haan L. On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes. – Amsterdam:
Math. Centrum, 1975. – 124 p.
5. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
6. Buldygin V. V., Klesov O. I., Steinebach J. G. On factorization representation for Avakumovic – Karamata functions
with nondegenerate groups of regular points // Anal. Math. – 2004. – 30. – P. 161 – 192.
7. Cline D. B. H. Intermediate regular and Π variation // Proc. London Math. Soc. – 1994. – 68. – P. 594 – 616.
8. Булдигiн В. В., Павленков В. В. Узагальнення теореми Карамати про асимптотичну поведiнку iнтегралiв //
Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2009. – № 81. – C. 13 – 24.
9. Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers. – Oxford: Oxford Univ. Press, 1975. – 420 p.
10. Ядренко М. Й. Принцип Дiрiхле та його застосування. – Київ: Вища шк., 1985. – 80 с.
Получено 14.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|