Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа
Вивчається проблема стабілізації у вищій K-теорії кілець та покращеної стабілізації. Встановлено тривіальність групи стандартних циклів у випадку кілець арифметичного типу. Наведено деякі застосування результатів до проблеми гомологічної стабілізації....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165400 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа / Б.Р. Зайналов, А.А. Суслин // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1464-1476. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165400 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654002020-02-14T01:28:23Z Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа Зайналов, Б.Р. Суслин, А.А. Статті Вивчається проблема стабілізації у вищій K-теорії кілець та покращеної стабілізації. Встановлено тривіальність групи стандартних циклів у випадку кілець арифметичного типу. Наведено деякі застосування результатів до проблеми гомологічної стабілізації. We study the problem of stabilization in the higher K -theory of rings and improved stabilization. The triviality of the group of standard cycles is established in the case of rings of the arithmetic type. Some applications of the obtained results to the problem of homological stabilization are presented. 2012 Article Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа / Б.Р. Зайналов, А.А. Суслин // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1464-1476. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165400 512.7 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Зайналов, Б.Р. Суслин, А.А. Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа Український математичний журнал |
| description |
Вивчається проблема стабілізації у вищій K-теорії кілець та покращеної стабілізації. Встановлено тривіальність групи стандартних циклів у випадку кілець арифметичного типу. Наведено деякі застосування результатів до проблеми гомологічної стабілізації. |
| format |
Article |
| author |
Зайналов, Б.Р. Суслин, А.А. |
| author_facet |
Зайналов, Б.Р. Суслин, А.А. |
| author_sort |
Зайналов, Б.Р. |
| title |
Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа |
| title_short |
Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа |
| title_full |
Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа |
| title_fullStr |
Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа |
| title_full_unstemmed |
Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа |
| title_sort |
гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165400 |
| citation_txt |
Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа / Б.Р. Зайналов, А.А. Суслин // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1464-1476. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zajnalovbr gomologičeskaâstabilizaciâdlâdedekindovyhkolecarifmetičeskogotipa AT suslinaa gomologičeskaâstabilizaciâdlâdedekindovyhkolecarifmetičeskogotipa |
| first_indexed |
2025-07-14T18:24:11Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:24:11Z |
| _version_ |
1837647739849015296 |
| fulltext |
© Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН, 2012
1464 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
УДК 512.7
Б. Р. Зайналов (Самарканд. гос. ун-т, Узбекистан),
А. А. Суслин (ПОМИ РАН, Россия)
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА
We study the problem of stabilization in the higher K -theory of rings and improved stabilization. The triviality of the
group of standard cycles is established in the case of arithmetic-type rings. Some applications of the obtained results to the
problem of homological stabilization are presented.
Вивчається проблема стабілізації у вищій K -теорії кілець та покращеної стабілізації. Встановлено тривіальність
групи стандартних циклів у випадку кілець арифметичного типу. Наведено деякі застосування результатів до проб-
леми гомологічної стабілізації.
Введение. Проблема стабилизации является одной из классических в алгебраической K -
теории. В основе этого направления лежат теоремы Серра [19] о выщеплении свободных пря-
мых слагаемых в проективных модулях, Басса [20] о сокращении, Басса –Ваcсерштейна [1 – 3]
о стабилизации полной линейной группы. Так, теорема Басса –Ваcсерштейна о стабилизации
полной линейной группы утверждает, что если обозначить через En (A) подгруппу GLn (A) ,
порожденную элементарными матрицами, то En (A) является нормальным делителем GLn (A)
при n ! s.r.A + 1 и естественный гомоморфизм
GLn (A)/En (A)!! !GLn+1(A)/En+1(A)
биективен. Кроме того, гомоморфизм
GLs.r.A (A)!! !GLs.r.A+1(A)/Es.r.A+1(A)
сюръективен. Обозначая s.r.A через r , получаем следующую цепочку:
GLr (A)!!! !GLr+1(A)/Er+1(A)! !! !GLr+2 (A)/Er+2 (A)! !! !... .
Вопрос об описании ядра эпиморфизма
GLr (A)!!! !GLr+1(A)/Er+1(A)
называют проблемой предстабилизации. В рассматриваемой ситуации эта проблема была ре-
шена Вассерштейном. Проблема стабилизации для K2 изучалась в работе Денниса [21], Вас-
серштейна [4], ван дер Каллена [22], Суслина и Туленбаева [5], Колстера [23] .
После появления высшей K -теории начались попытки доказать теоремы о стабилизации
для высших K -функторов. Для постановки подобных проблем надо прежде всего определить
нестабильные K -функторы. Наиболее интересными и распространенными нестабильными
K -функторами являются функторы Квиллена и Володина. Проблема стабилизации в K -тео-
рии Квиллена равносильна проблеме стабилизации для гомологии полных линейных групп.
Эта проблема глубоко изучена и в основном решена в работе ван дер Каллена [24]. Полное
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА 1465
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
решение общей проблемы стабилизации в K -теориях Квиллена и Володина получено в работе
Суслина [25].
В работе Суслина показано, что наиболее подходящей для постановки и изучения пробле-
мы стабилизации является K -теория Володина. В K -теории Квиллена и в проблеме гомо-
логической стабилизации могут возникать патологии в связи с недостаточностью единиц в
базисном кольце. Однако если кольцо имеет очень много единиц, то проблема гомологической
стабилизации имеет удовлетворительное решение [6, 7].
Для колец арифметического типа с бесконечной группой единиц имеются достаточные
основания ожидать, что стабилизация наступает на один шаг раньше, чем это предсказывает
общая теория. Для функтора K1 этот результат доказан Вассерштейном [9], для функтора
K2 — ван дер Калленом [26] и Колстером [27]. Колстер [27] дал также решение проблемы
предстабилизации для K2 .
Данная работа посвящена изучению проблемы стабилизации в высшей K -теории колец и
улучшенной стабилизации в случае колец арифметического типа. Основой для решения проб-
лемы стабилизации является изучение некоторых симплициальных множеств, связанных с
унимодулярными реперами. Наиболее важными и интересными при этом являются симплици-
альные множества, введенные ван дер Калленом [24] и Суслиным [25]. Для доказательства
теоремы о стабилизации необходимо уметь доказывать достаточно сильную ацикличность
симплициального множества унимодулярных реперов. Аналогично, если мы умеем вычислять
первую нетривиальную группу гомологий соответствующего симплициального множества, то
это дает ответ на проблему предстабилизации [6 – 8, 10]. Как симплициальное множество ван
дер Каллена, так и симплициальное множество Суслина технически устроены очень сложно.
Для упрощения технической стороны дела мы вводим в рассмотрение симплициальную схему
[11 – 14] унимодулярных реперов.
В данной работе полученные результаты применяются к проблеме стабилизации над ариф-
метическими кольцами, которая гласит, что первая нетривиальная группа гомологий симпли-
циальной схемы унимодулярных реперов над дедекиндовыми кольцами порождена стандарт-
ными циклами, и в более общей формулировке доказано для колец, не имеющих конечных
полей вычетов [10, 15]. Важная теорема, доказанная в п. 1, показывает правильность группы
стандартных циклов в случае арифметического типа. Отметим, что хотя мы рассматриваем
только нашу схему унимодулярных реперов, доказательство в равной степени применимо и к
стандартным циклам симплициальных множеств ван дер Каллена и Суслина. В пп. 2 и 3 даны
некоторые применения полученных результатов к проблеме гомологической стабилизации.
Здесь полученные результаты, к сожалению, далеки от завершенности, что и не удивительно,
так как для дедекиндовых колец арифметического типа в проблеме гомологической стабили-
зации нет оснований ожидать завершенных решений.
1. Тривиальность
H0 GLn (A),! !Hn!2 (Um(An ))( ) для колец арифметического типа.
Пусть F — глобальное поле [16] (гл. 7), S — непустое конечное множество точек поля F ,
содержащее все бесконечные точки. Через A = As будем обозначать подкольцо F , состоя-
щее из элементов x , не имеющих полюсов вне S (т. е. !(x) " 0 при ! "S ). Известно,
что A — дедекиндово кольцо, поле частных которого совпадает с F . Кольца такого типа на-
зываются арифметическими.
1466 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
Если A — произвольное коммутативное кольцо и I — идеал в A , то через SL2 (I , I ) ,
следуя Вассерштейну [4], будем обозначать подгруппу SL2 (A) , состоящую из матриц вида
a b
c d
!
"
##
$
%
&&
, b, c ! I , a, d " mod I 2 .
Обозначим через E2 (1,!1) подгруппу SL2 (I , I ) , порожденную элементарными матрицами
1 b
0 1
!
"
##
$
%
&&
,
1 0
c 1
!
"
##
$
%
&&
,
где b,!c ! I . Нам потребуется следующий результат Васcерштейна [4].
Теорема 1.1. Пусть A — дедекиндово кольцо арифметического типа с бесконечной
группой единиц (т. е. card S > 1 ). Тогда:
1) E2 (A) = SL2 (A) ;
2) для любого I группа E2 (I , I ) нормальна в SL2 (I , I ) , фактор-группа SL2 (I , I )/E2 (I , I )
является конечной циклической группой порядка r(I ) . Число r(I ) зависит только от по-
казателей !(I ) для точек ! "S , делящих число m корней из единицы в F . В част-
ности,
SL2 (I , I )! = !E2 (I , I ) ,
если I прост с m .
Докажем теперь основной результат этого пункта.
Теорема 1.2. Если A — дедекиндово кольцо арифметического типа с бесконечной
группой единиц, то
H0 GLn (A), Hn!2 (Um(An ))( )! = !0
при всех n .
Замечание 1.1. Действие GLn (A) левыми умножениями на симплициальной схеме
Um(An ) индуцирует действие GLn (A) на гомологиях этой схемы и, в частности, на
!Hn!2 (Um(An )) . Именно это действие подразумевается в формулировке теоремы 1.2.
Доказательство. Утверждение тривиально при n < 2 . Рассмотрим далее случай n = 2 .
Согласно теореме 1 [15], группа
!H0 (Um(A2 )) порождается стандартными циклами [!0,!1] ,
где !i "A2 — унимодулярные столбцы. Будем использовать значок ~ для обозначения того,
что два цикла переводятся один в другой действием GL2 (A) . Найдем ! "GL2 (A) такую, что
!"0 =
1
0
#
$%
&
'(
, и запишем !"1 =
a
b
#
$%
&
'(
. Тогда
[!0,!1] ~
1 a
0 b
!
"#
$
%&
.
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА 1467
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
Циклы последнего типа будем обозначать a, b (здесь aA + bA = A ). Приведем некото-
рые соотношения для этих циклов. Действуя матрицей вида
1 x
0 1
!
"#
$
%&
, видим, что
a, b a + xb, b для любого x !A . (1.1)
Воспользуемся также соотношением
a, b ! = !
1 a
0 b
!
"
#
#
$
%
&
&
! = !
1 0
0 1
!
"
#
#
$
%
&
&
+
0 a
1 b
!
"
#
#
$
%
&
&
.
Первый цикл гомологичен нулю, так как
1
0
!
"#
$
%&
,!
0
1
!
"#
$
%&
'Um(A2 ).
Следовательно,
a, b ! = !
0 a
1 b
!
"
#
#
$
%
&
&
! ! !
1 b
0 a
!
"
#
#
$
%
&
&
! = ! b, a .
Итак,
a, b ~ b, a и, следовательно, a, b ~ a, b + a . (1.2)
Таким образом, цикл a, b заменяется на эквивалентный, если к (a, b) применить эле-
ментарную матрицу. Поскольку E2 (A) = SL2 (A) действует транзитивно на унимодулярных
строках, то
a, b ~ 1,1 = 0.
Таким образом, в данном случае мы доказали более точное утверждение
!H0 (Um(A2 ))! = !0 .
Перейдем к доказательству теоремы в общем случае. Группа
!Hn!2 (Um(An )) порож-
дается стандартными циклами [u1,…, un ] , где u1 , … , !ui , … , un — унимодулярный репер
при любом i . Поскольку группа GLn (A) транзитивно действует на унимодулярных реперах,
в группе
H0 GLn (A), Hn!2 (Um(An ))( )! = !Pn
любая образующая [u1,…, un ] равна некоторой образующей вида
e1,…, en!1,!a1e1 +…+ anen[ ] .
1468 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
Отметим также, что
e1,…, en!1,!a1e1 +…+ anen[ ]
является стандартным циклом в Um(An ) в том и только в том случае, когда aiA + anA = A
при всех i = 1,…, n ! 1 . Будем обозначать образующую e1,…, en!1,!a1e1 +…+ anen[ ] груп-
пы Pn через a1,…, an . Приведем некоторые соотношения для этих образующих. Дейст-
вуя матрицей
1 0 … !1
0 1 … !n
0 0 … 1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
,
непосредственно получаем формулу
a1,…, an = a1 + !1an ,…,!an"1 + !n"1an ,!an . (1.3)
Предположим, что ai попарно комаксимальны. Тогда репер e1,…, en!1 , a1e1 + …
… + anen становится унимодулярным после отбрасывания любых двух векторов, и в
!Hk!2 (Um(An )) имеем формулу
(!1)i e1,…,!êi ,…, en ,!a1e1 +…+ anen[ ]
i=1
n
" + (!1)n+1 e1,…, en[ ]! = !0 .
Последний цикл является границей в Um(An ) . Приводя все слагаемые к каноническому
виду, получаем следующие утверждения:
если ai попарно комаксимальны, то
(!1)i a1,…,!ai!1,!ai+1,…,!an ,!ai
i=1
n
" ! = !0 ; (1.4)
если ai попарно комаксимальны, то
a1,…, an ! = ! a1,…,!an!1an + "a1…an!1 (1.5)
при любом ! "A .
Действительно, используя (1.3) и (1.4), имеем
a1,…,!an!1,!an + "a1…an!1 =
= (!1)i+n!1
i=1
n!1
" a1,…,!ai!1ai+1,…,!an + #a1,…,!an!1,!a i =
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА 1469
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
= (!1)i+n!1 a1,…,!ai!1,!ai+1,…,!an ,!ai
i=1
n!1
" = ! a1,…, an .
Теперь теорема следует из следующего утверждения.
Предложение 1.1. Используя только соотношения (1.3) и (1.5), любую образующую
a1,…, an можно преобразовать в 1,…,1 .
Доказательство проведем индукцией по n . При n = 2 утверждение уже доказано
выше. Пусть a1,…, an aiA + anA = A( ) — некоторая образующая. Обозначим через m
порядок группы корней из единицы в F . Поскольку aiA + anA = A при i = 2, … , n ! 1 ,
прибавив к a2,…, an!1 подходящие кратные an , добьемся, чтобы a2,…, an!1 были комак-
симальны между собой, отличны от нуля и взаимно просты с m . Обозначим через I идеал
a2…an!1A . Согласно теореме 1.1 SL2 (I , I ) = E2 (I , I ) . Прибавив теперь к a1 подходящее
кратное an , добьемся, чтобы a1 = mod I 2 . Соотношение (1.3) позволяет умножать строку
(a1, an ) на матрицу вида
1 0
! 1
"
#$
%
&'
, где ! " I , а соотношение (1.5) на матрицу вида
1 !
0 1
"
#$
%
&'
, где ! " I . Заметим, что при таких преобразованиях a1 не меняется по модулю
I и, в частности, сохраняется попарно комаксимальность ai , необходимая для применения
(1.5). Таким образом, мы можем умножать (a1, an ) на любое произведение матриц ука-
занного вида, т. е. на любую матрицу из SL2 (I , I ) = E2 (I , I ) . Поскольку aiA + anA = A ,
найдутся b,!c !A такие, что det
a1 an
b c
!
"#
$
%&
= 1 . Прибавив ко второй строке некоторое
кратное первой, можно считать дополнительно, что b ! I 2 и, следовательно, c ! 1mod I 2 .
Положим
!! = !
1 "an
0 1
#
$
%%
&
'
((
a1 an
b c
#
$
%%
&
'
((
! = !
a1 " anb an (1" c)
b c
#
$
%%
&
'
((
)SL2 (I , I ) .
При этом (1, an )! = (a1, an ) и, значит, (a1, an )!"1 = (1, an ) . В силу доказанного ранее
a1,…, an = 1, a2,…, an . Теперь достаточно к a2,…, an применить индукционное
предположение.
2. Гомологическая стабилизация над S(!)-расширениями арифметических колец.
Будем называть, следуя [6, 8], коммутативное кольцо A S(!)-кольцом или кольцом с очень
большим числом единиц, если для любого n в A можно найти элементы a1,…, an такие,
что сумма любого подсемейства семейства [a1,…, an} лежит в A!. Важным свойством та-
ких колец является то, что для них гомологии GLn (A) совпадают с гомологиями соответ-
ствующих аффинных групп [6, 7]
1470 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
GLn 0
! 1
"
#
$$
%
&
''
.
Напомним теперь построение спектральных последовательностей гипергомологий для
действия группы на комплекс. Пусть группа G действует (слева) на ограниченном снизу
комплексе K! . Выберем произвольную G -проективную резольвенту P! тривиального G -
модуля Z (например, стандартную резольвенту) и рассмотрим бикомплекс P! "G K! и его
две спектральные последовательности. Для первой спектральной последовательности по опре-
делению имеем I pq1 = H p (P!G Kq ) = H p (G, Kq ) . Для второй спектральной последователь-
ности
II pq1 ! = !Hq (Pp !G K")! = !Pp !G Hq (K")
и
II pq2 ! = !H p (P! "G H q (K!)! = !H p (G, Hq (K!)) .
Эти спектральные последовательности имеют общий предел.
Пусть A — дедекиндово S(!)-кольцо. Рассмотрим комплекс ван дер Каллена
!K!(Um(An )) [15, 22]. Напомним [15], что группа
!Kp (Um(An )) является свободной абелевой,
порожденной унимодулярными (p + 1)-реперами (!1,…,! p ,!! p+1) в An и
!K!1(Um(An )) =
= Z . Для удобства размерности сдвинем на единицу, т. е. будем считать, что Kp =
=
!Kp!1(Um(An )) — свободная абелева группа, порожденная унимодулярными p -реперами в
An . Согласно теореме 2 [15], Hi (K!) = 0 при i ! n " 2 , Hn!1(K") порождается стан-
дартными циклами. Естественное действие GLn (A) на An определяет действие GLn (A) на
комплексе K! . Рассмотрим соответствующие спектральные последовательности гипергомо-
логий. Действие GLn (A) на Kq транзитивно переставляет базисные элементы этого
модуля (т. е. унимодулярные реперы в An ). Стабилизатор репера (en!q+1,…, en ) совпадает с
аффинной группой
Affn!q,q ! = !
GLn!q 0
" 1q
#
$
%
%
&
'
(
(
.
Согласно лемме Шапиро [16] (гл. 4) получаем
I pq1 ! = !H p (GLn (A), Kq )! = !H p (Affn!q,q )! = !H p (GLn!q (A)) .
Можно проверить [6], что дифференциал
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА 1471
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
d1 : I pq ! I p,q"1
равен нулю при четном q и совпадает с естественным гомоморфизмом
H p (GLn!q (A))!" !H p (GLn!q+1(A))
при q нечетном. Следовательно,
I pq2 ! = !co ker H p (GLn!q!1(A))!"!H p (GLn!q (A))( )
при четном q и
I pq2 ! = !ker H p (GLn!q!1(A))" H p (GLn!q+1(A))( )
при q нечетном. Кроме того, все старшие дифференциалы d2,!d 3,!… в этой спектральной
последовательности равны нулю и, значит,
I pq2 ! = !I pq! .
Для второй спектральной последовательности
II pq2 ! = !H p GLn (A), Hq (K!)( )! = !0
при q ! n " 2 . Из этого видно, что общий предел данных спектральных последовательностей
равен нулю в размерностях ! n " 2 , и мы получаем обычную теорему о стабилизации для
дедекиндовых колец:
H p (GLi (A))!! !H p (GLi+1(A))
— эпиморфизм при i ! p + 1 и изоморфизм при i ! p + 2 .
Предположим теперь, что A является прямым пределом арифметических колец. Дослов-
но повторяя аргументы из предыдущего пункта, видим, что
H0 (GLn (A), Hn!1(K"))! = !0 .
Следовательно, общий предел спектральных последовательностей равен нулю и в размер-
ности n ! 1 и справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть A — дедекиндово S(!)-кольцо, являющееся целым расширением
кольца арифметического типа. Тогда
H p (GLi (A))!! !H p (GLi+1(A))
— эпиморфизм при i ! p и изоморфизм при i ! p + 1 .
Замечание 2.1. Теорема 2.1 применима, в частности, к координатному кольцу гладкой
аффинной кривой, определенной над бесконечным расширением конечного поля. В этом слу-
чае теорема доказана в [17].
1472 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
3. Рациональная гомологическая стабилизация над кольцами арифметического типа.
Теорема 3.1. Пусть A — дедекиндово кольцо арифметического типа, причем сущест-
вует натуральное число r > 1 , обратимое в A . Тогда
H p (GLn!1(A),Q)!" !H p (GLn (A),Q)
— эпиморфизм при n ! p + 1 и изоморфизм при n ! p + 2 .
Доказательство. Обозначим через !K" пополненный ориентированный комплекс
!W!(Um(An ))"Z Q
с размерностями, сдвинутыми на единицу. Естественное действие GLn (A) на An левыми
умножениями определяет действие GLn (A) на симплициальной схеме Um(An ) и, следова-
тельно, на !K" . Рассмотрим соответствующие спектральные последовательности гиперго-
мологий
II pq2 ! = !Hh (GLn (A), Hq ( !K")! = !H p GLn (A), !Hq#1(Um(An ))$Z Q( ) .
Согласно теореме ацикличности [11],
!Hq!1(Um(An ))! = !0
при q ! 1 " n ! 3 , т. е. при q ! n " 2 . Среди членов полной степени n ! 1 ненулевым может
быть только
H0 (GLn (A), Hn!1( "K#)! = !H0 GLn (A), !Hn!2 (Um(An ))$Z Q( ) .
Однако эта группа нулевая согласно замечанию 2.1. Таким образом, общий предел рас-
сматриваемых спектральных последовательностей равен нулю в размерностях ! n " 1 .
Рассмотрим теперь первую спектральную последовательность
I pq1 ! = !H p (GLn (A), !Kq ) .
Группа !Kq разлагается в прямую сумму подгрупп, соответствующих неориентированным
(q ! 1) -симплексам Um(An ) , каждая из которых изоморфна Q . Действие группы GLn (A)
транзитивно переставляет подгруппы. Стабилизатором слагаемого Q ! (en"q+1,!…!,!en ) явля-
ется группа
Gq ! = !
GLn!q (A) 0
" q#
$
%
&
&
'
(
)
)
,
где q! — перестановочная группа на q элементах. При этом действие стабилизатора
описывается формулой
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА 1473
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
! 0
" #
$
%
&&
'
(
))
* (en+q+1,…, en )! = !sin g(#) * (en+q+1,…, en ) .
Согласно лемме Шапиро
I pq1 ! = !H p (Gq ,Q) .
Пусть V — некоторый A-модуль. Рассмотрим естественное действие A! на V и со-
ответствующее диагональное действие A! на !Q
j (V "Z Q) .
Лемма 3.1. При j > 0 и всех i справедлива формула
Hi A!, "Q
j (V #Z Q)( )! = !0 .
Доказательство. Известно [18], что для любого a !A" умножение на
a!Q
j (V "Z Q)# !Q
j (V "Z Q)
индуцирует тождественное отображение на гомологиях. Применим это замечание к элементу
r !A" . Диагональное действие r на !Q
j (V "Z Q) совпадает с умножением на r j , и мы
заключаем, что рассматриваемые гомологии аннулируются целым числом r j ! 1. Поскольку
эти гомологии являются векторными Q -пространствами, они равны нулю.
Рассмотрим естественное действие группы GLk (A) на A-модуле V = Ms,k (A) и соот-
ветствующее диагональное действие GLk (A) на !Q
j (V "Z Q) .
Следствие 3.1. Имеет место соотношение
Hi (GLk (A), !Q
j (V "Z Q))! = !0
при j > 0 .
Доказательство. Утверждение непосредственно получается из расcмотрения спектраль-
ной последовательности Хохшильда –Серра [18]
Hl GLk (A)/A!, Hm (A!, "Q
j (V #Z Q))( )!$ !Hl+m (A!, "Q
j (V #Z Q) .
Следствие 3.2. Вложение GLn!q (A)" Affn!q,q индуцирует изоморфизм на гомологиях
с рациональными коэффициентами.
Доказательство. Утверждение следует из спектральной последовательности Хохшиль-
да – Серра
Hl GLn!q (A), H j (Mq,n!q (A),Q)( )!" !Hi+ j (Affn!q,q ,Q)
Hi GLn!q (A), " j (Mq,n!q (A)#Z Q)( ) .
1474 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
Возвращаясь к доказательству теоремы 3.1, рассмотрим спектральную последовательность
Хохшильда – Серра, соответствующую расширению групп
1!! !Affn"q,q !! !Gq !! ! q# !! !1 ,
Eij2 ! = !Hi q , H j (Affn!q,q ,Q)"( )!# !Hi+ j (Gq ,Q) .
Заметим, что действие Affn!q,q на Q тривиально и согласно следствию 3.2 имеем
H j (Affn!q,q ,Q)! = !H j (GLn!q (A),Q) .
Действие q! на GLn!q (A) сопряжениями тривиально и, следовательно, действие q!
на H j (GLn!q (A),!Q) происходит из действия q! на Q , т. е. задается формулой !" =
= sign !" .
Лемма 3.2. Пусть перестановочная группа q! действует на векторном Q -про-
странстве V по формуле !" = sign !" . Тогда
Hi q! ,V( )! = !0
при i > 0 , а если q ! 2 , то и при i = 0, 2 .
Доказательство. Группы Hi q! ,V( ) являются векторными Q -пространствами, а при
i > 0 они, кроме того, аннулируются порядком q! , т. е. числом q ! . Таким образом, эти
группы равны нулю. При q ! 2 q! содержит нечетные подстановки. Для любой такой
подстановки !
! " # $ #! = !$2# .
Следовательно,
H0 q! ,V( )! = !V (" # 1)$/" % q! ,$ %V ! = !V/2V ! = !0 .
Продолжая вычисления, начатые ранее, заключаем, что
H p (Gq ,Q) = H0 q , H p (GLn!q (A),Q)"( ) =
=
H p (GLn!q (A),Q), q = 0,1,
0, q > 1.
"
#
$
%$
Таким образом, данная спектральная последовательность сосредоточена в двух столбцах
q = 0 , q = 1. Легко проверить, что дифференциал
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЕЦ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ТИПА 1475
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
d1 : Ep,11 ! Ep,01
/ / / /
H p (GLn"1(A),Q) H p (GLn (A),Q)
совпадает с естественным гомоморфизмом. Следовательно,
Ep,12 ! = !ker H p (GLn!1(A),Q)" H p (GLn (A),Q)( ) ,
Ep,02 ! = !co ker H p (GLn!1(A),Q)" H p (GLn (A),Q)( ) .
Как было показано в начале доказательства, предел спектральной последовательности ра-
вен нулю в размерности ! n " 1. Значит,
Ep,q2 ! = !Ep,q! ! = !0
при p + q = n + 1.
Теорема 3.1 доказана.
1. Басс Х. Алгебраическая K -теория. – М.: Мир, 1973.
2. Вассерштейн Л. Н. K1 -теория и конгруэнцпроблема // Мат. заметки. – 1968. – 5. – С. 233 – 244.
3. Вассерштейн Л. Н. О стабилизации общей линейной группы над кольцами // Мат. сб. – 1969. – 79, № 3. –
С. 405 – 424.
4. Вассерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функцион. анализ и
его прил. – 1971. – 5, № 2. – С. 17 – 27.
5. Суслин А. А., Туленбаев М. С. Теорема о стабилизации для K2 -функтора Милнора // Зап. науч. сем. ПОМИ. –
1971. – 71. – С. 216 – 250.
6. Нестеренко Ю. П. Гомологии аффинных групп для некоторого класса колец // Кольца и матричные группы. –
Владикавказ, 1984. – С. 90 – 97.
7. Суслин А. А. Гомологии GLn , характеристические классы и K -теория Милнора // Труды Мат. ин-та АН
СССР. – 1984. – 165. – С. 188 – 203.
8. Нестеренко Ю. П., Суслин А. А. Гомологии полной линейной группы над локальным кольцом и K -теория
Милнора // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1989. – 53, № 1. – С. 121 – 146.
9. Вассерштейн Л. Н. О группе SL2 над дедекиндовыми кольцами арифметического типа // Мат. сб. – 1972. –
89, № 2. – С. 313 – 322.
10. Зайналов Б. Р. Предацикличность над некоторыми типами колец // Междунар. конф. по алгебре: Сб. тез. –
Барнаул, 1991. – С. 42.
11. Зайналов Б. Р. Теорема ацикличности для симплициальных схем унимодулярных реперов // Науч.-исслед.
вестн. СамГУ. – 2010. – № 5. – С. 6 – 9.
12. Зайналов Б. Р. Гомологии симплициальных схем // Вопросы алгебры и теории чисел: Сб. научн. трудов. – Са-
марканд: СамГУ, 1999. – С. 46 – 54.
13. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. – М.: Мир, 1976.
14. Зайналов Б. Р. Гомологии симплициальной схемы унимодулярных реперов в случае дедекиндовых колец. –
Самарканд, 1986. – 33 с.
15. Зайналов Б. Р. Тривиальность гомологии симплициальных схем унимодулярных реперов над кольцами ариф-
метического типа // Совр. пробл. математики (Мат. респ. науч. конф.). – Карши, 2011. – С. 112 – 114.
16. Касселс Дж., Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. – М.: Мир, 1969.
17. Зайналов Б. Р. Гомологическая стабилизация для кривых над бесконечным расширением конечного поля //
XVIII Всесоюз. алгебр. конф.: Тез. собщ. – Кишинев, 1985. – Ч. 1. – 197 с.
1476 Б. Р. ЗАЙНАЛОВ, А. А. СУСЛИН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
18. Маклейн С. Гомология. – М.: Мир, 1966. – 543 с.
19. Serre J.-P. Modules projectifs et fibres a fibre vectorielle // Semin. P. Dubreil, Fac. Sci. Paris. – 1957-1958. – 23,
№ 1. – P. 23 – 18.
20. Bass H. K -theory and stable algebra // Publs math. Inst. hautes étud. sci. – 1964. – № 22. – P. 489 – 544.
21. Dennis R. K. Stability for K2 // Lect. Notes Math. – 1973. – 353. – P. 85 – 94.
22. Van der Kellen W. Injective stability for K2 // Lect. Notes Math. – 1976. – 551. – P. 77 – 154.
23. Kolster M. Injective stability for K2 // Lect. Notes Math. – 1982. – 966. – P. 128 – 169.
24. Van der Kellen W. Homology stability for linear groups // Invent. Math. – 1980. – № 3. – P. 269 – 295.
25. Suslin A. A. Stability in algebraic K -theory // Lect. Notes Math. – 1982. – 966. – P. 304 – 334.
26. Van der Kallen W. Stability for K2 of Dedekind rings of arithemic type // Lect. Notes Math. – 1981. – 854. –
P. 217 – 249.
27. Kolster M. Improvement of K2 -stabillity under transitive actions of elementary groups // J. Pure and Appl. Algebra. –
1982. – 24, № 3. – P. 277 – 282.
Получено 19.11.11
|