О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции
Для виродженого параболiчного рiвняння з джерелом та неоднорiдною щiльнiстю вигляду розглядається задача Кошi з початковою функцiєю, що повiльно спадає до нуля при |x|→∞. Знайдено умови iснування та неiснування розв’язку задачi Кошi глобально в часi, якi суттєво залежать вiд поведiнки початкової фун...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165403 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев, В.Н. Шраменко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1500-1515. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165403 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654032020-02-14T01:27:39Z О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции Мартыненко, А.В. Тедеев, А.Ф. Шраменко, В.Н. Статті Для виродженого параболiчного рiвняння з джерелом та неоднорiдною щiльнiстю вигляду розглядається задача Кошi з початковою функцiєю, що повiльно спадає до нуля при |x|→∞. Знайдено умови iснування та неiснування розв’язку задачi Кошi глобально в часi, якi суттєво залежать вiд поведiнки початкової функцiї при |x|→∞. У випадку iснування глобального розв’язку отримано його точну оцiнку при великих значеннях часу. We study the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source and inhomogeneous density of the form in the case where the initial function slowly vanishes as |x| → ∞: We establish conditions for the existence and nonexistence of a global (in time) solution. These conditions strongly depend on the behavior of the initial data as |x| → ∞: In the case of global solvability, we establish a sharp estimate of the solution for large times. 2012 Article О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев, В.Н. Шраменко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1500-1515. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165403 517.946 ru Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мартыненко, А.В. Тедеев, А.Ф. Шраменко, В.Н. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции Український математичний журнал |
| description |
Для виродженого параболiчного рiвняння з джерелом та неоднорiдною щiльнiстю вигляду розглядається задача Кошi з початковою функцiєю, що повiльно спадає до нуля при |x|→∞. Знайдено умови iснування та неiснування розв’язку задачi Кошi глобально в часi, якi суттєво залежать вiд поведiнки початкової функцiї при |x|→∞. У випадку iснування глобального розв’язку отримано його точну оцiнку при великих значеннях часу. |
| format |
Article |
| author |
Мартыненко, А.В. Тедеев, А.Ф. Шраменко, В.Н. |
| author_facet |
Мартыненко, А.В. Тедеев, А.Ф. Шраменко, В.Н. |
| author_sort |
Мартыненко, А.В. |
| title |
О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| title_short |
О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| title_full |
О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| title_fullStr |
О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| title_full_unstemmed |
О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| title_sort |
о поведении решений задачи коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165403 |
| citation_txt |
О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев, В.Н. Шраменко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1500-1515. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT martynenkoav opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT tedeevaf opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT šramenkovn opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii |
| first_indexed |
2025-07-14T18:24:20Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:24:20Z |
| _version_ |
1837647749522128896 |
| fulltext |
УДК 517.946
А. В. Мартыненко (Луган. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
А. Ф. Тедеев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк),
В. Н. Шраменко (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев)
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИСТОЧНИКОМ В СЛУЧАЕ
МЕДЛЕННО СТРЕМЯЩЕЙСЯ К НУЛЮ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
We study the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source and inhomogeneous density of the form
ut = div(ρ(x)um−1|Du|λ−1Du) + up
in the case where initial function decreases slowly to zero as |x| → ∞.
We establish conditions for the existence and nonexistence of a global-in-time solution, which substantially depend on
the behavior of the initial data as |x| → ∞. In the case of global solvability, we obtain an exact estimate of a solution for
large times.
Для виродженого параболiчного рiвняння з джерелом та неоднорiдною щiльнiстю вигляду
ut = div(ρ(x)um−1|Du|λ−1Du) + up
розглядається задача Кошi з початковою функцiєю, що повiльно спадає до нуля при |x| → ∞.
Знайдено умови iснування та неiснування розв’язку задачi Кошi глобально в часi, якi суттєво залежать вiд
поведiнки початкової функцiї при |x| → ∞. У випадку iснування глобального розв’язку отримано його точну
оцiнку при великих значеннях часу.
1. Введение. В настоящей работе изучается задача Коши следующего вида:
ut = div(ρ(x)um−1|Du|λ−1Du) + up, (1)
(x, t) ∈ QT = RN × (0, T ), T > 0, N ≥ 1,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN . (2)
В случае ρ(x) ≡ 1, m = 1, λ = 1 задача рассматривалась в работе [1]. Было установле-
но, что при p > p∗ = 1 +
2
N
существуют начальные данные, при которых решение задачи
существует глобально по времени, в то же время при 1 < p < p∗ все ненулевые решения ста-
новятся неограниченными за конечное время („взрываются”). Число p∗ называют критическим
показателем.
В дальнейшем подобные результаты, называемые теоремами типа Фуджиты, переносились
на уравнения более общего вида. В случае однородной плотности (ρ(x) ≡ 1) теоремы типа
Фуджиты для уравнения пористой среды (λ = 1, m > 1) получены в [2 – 4], для уравнения
неньютоновской фильтрации (λ > 1, m = 1) — в [5], а для уравнения с двойной нелинейностью
(λ > 1, m > 1) — в [6, 7]. В работе [7] для задачи (1), (2) при ρ(x) ≡ 1 показатель Фуджиты
имеет вид p∗ = m+ λ− 1 + (λ+ 1)/N, а условие на начальную функцию, дающее при p > p∗
существование глобального решения, заключается в том, что
‖u0‖L1(RN ) + ‖u0‖Lq(RN ) < δ (3)
c© А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО, 2012
1500 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1501
при некотором q > Q = N(p−m− λ+ 1)/(λ+ 1) и достаточно малом δ.
Критический случай p = p∗ впервые был исследован в [8] для уравнения (1) при ρ(x) ≡
≡ 1, λ = 1, m = 1. Как оказалось, в этом случае любое нетривиальное решение становится
неограниченным за конечное время. Для уравнения с двойной нелинейностью такой результат
получен в [6]. Подробное изложение основных результатов для случая ρ(x) ≡ 1 можно найти
в монографии [3] и обзорных статьях [9, 10].
Уравнение (1) можно рассматривать как частный случай более общего уравнения с пере-
менными коэффициентами вида
ρ1(x)ut = div(ρ2(x)um−1|Du|λ−1Du) + ρ3(x)up. (4)
Такие уравнения исследовались многими авторами. Разумеется, поведение решений такого
уравнения существенно зависит от свойств функций ρi(x), i = 1, 2, 3, в частности от их по-
ведения на бесконечности. Наиболее изученным здесь является случай степенного поведения
коэффициентов, т. е. случай ρi(x) ∼ |x|li , i = 1, 2, 3, при |x| → ∞. Ниже изложены неко-
торые основные результаты, касающиеся уравнения (4). При этом отметим, что изменения в
конфигурации параметров li, i = 1, 2, 3, приводят к качественным изменениям свойств реше-
ний и требуют значительной модификации методов и подходов, используемых при изучении
уравнения (4).
Исследованию уравнения (4) с ρ2(x) ≡ 1, ρ3(x) ≡ 0 (уравнение без источника) и вырожда-
ющейся на бесконечности функцией ρ1(x) посвящены работы [11 – 19]. Такое уравнение имеет
ряд интересных свойств, нехарактерных для уравнений с ρ1(x) ≡ 1. Например, если ρ1(x) до-
статочно сильно вырождается на бесконечности, то нарушается стабилизация к нулю решения
при t→∞ и компактный носитель решения разрушается за конечное время.
Уравнение (4) при ρ1(x) ≡ 1, ρ2(x) ≡ 1 и ρ3(x) = |x|l изучалось в работах [20 – 23]. Были
установлены теоремы типа Фуджиты с критическим показателем
p∗(l) = m+ λ− 1 +
λ+ 1 + l
N
.
В работе [23] получены универсальные оценки взрывающегося решения вблизи времени обо-
стрения.
Случай ρ1(x) = |x|−l, l ≥ 0, ρ2(x) ≡ 1, ρ3(x) ≡ 1 рассматривался в [24]. Были найдены
условия несуществования глобальных по времени решений и получена универсальная оценка
решения вблизи времени обострения.
Задача (4), (2) при ρ1(x) ≡ 1, ρ2(x) = |x|l, l ≥ 0, ρ3(x) ≡ 1 и u0(x) ∈ L1(RN ) изучена
в работе [25]. В частности, было установлено, что для l < λ + 1 < N и начальной функции,
удовлетворяющей условию (3) c Q = N(p −m − λ + 1)/(λ + 1 − l), критический показатель
p∗(l) = m+ λ− 1 + (λ+ 1− l)/N . Кроме того, при p > p∗(l) имеют место оценки
‖u(x, τ)‖∞,RN×(t/2,t) ≤ γt
− N
N(m+λ−2)+λ+1−l
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
λ+1−l
N(m+λ−2)+λ+1−l
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1502 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx ≤ γ
∫
RN
u0(x)dx. (5)
Аналогичный результат для задачи (4), (2) в случае ρ1(x) = ρ3(x) = |x|−l, l ≥ 0, ρ2(x) ≡ 1
получен в [26]. Также отметим работу [27], в которой найден критический показатель для
задачи (4), (2) при ρ1(x) = ρ3(x) = |x|−l, ρ2(x) ≡ 1 в случае l < 0, λ = 1.
При исследовании задачи (1), (2) с начальной функцией, неинтегрируемой глобально в RN ,
возникает естественный вопрос: как поведение начальной функции на бесконечности влияет
на условия глобальной разрешимости? Как оказалось, в этом случае критический показатель
p∗ существенно зависит от поведения начальной функции при |x| → ∞. Так, в работе [28]
рассматривалась задача (1), (2) при ρ(x) ≡ 1, λ = 1, p > m > 1 с u0(x) ∼ |x|−α при больших
x, 0 ≤ α < N . Такую начальную функцию называют медленно стремящейся к нулю (медленно
убывающей). В этом случае p∗ = m+ 2/α. Этот результат был обобщен на случай задачи (4),
(2) при ρ1(x) = ρ3(x) = |x|−l, l ≥ 0, ρ2(x) ≡ 1 в [29]. Аналогичный результат получен в [30]
для задачи (4), (2) при ρ1(x) ≡ ρ2(x) ≡ ρ3(x) ≡ 1, m+ λ− 2 < 0 (случай быстрой диффузии).
Основной целью данной работы является нахождение условий существования и несуще-
ствования в целом по времени решений задачи (1), (2) в классе начальных функций, вообще
говоря, не принадлежащих L1(RN ). В случае существования решения в целом по времени мы
получаем оценку решения, которая является точной при больших значениях t.
Для описания медленно убывающих функций w(x) ∈ L1
loc(RN ) нам понадобится следую-
щая норма:
[w]θ = sup
x0∈RN
sup
R>rθ(|x0|)
(R+ |x0|)α
−
∫
BR(x0)
|w(x)|θdx
1/θ
, (6)
где α ∈ (0, N), θ = max
{
1,
lN
α(λ+ 1)
}
, rθ(a) — функция, заданная неявно уравнением
rNθ
(rθ + a)αθ
= 1, (7)
и использованы обозначения −
∫
E
v(x)dx =
∫
E
v(x)dx
/∫
E
dx, BR(x0) = {x ∈ RN : |x − x0| ≤
≤ R}. Сразу отметим, что функция rθ(a) определена и непрерывна при a ≥ 0, кроме того,
rθ(a) строго возрастает и rθ(0) = 1.
Норма (6) характеризует поведение функции при x→∞. Примером функции, для которой
[w]θ <∞, является функция w(x) v |x|−α при больших x, 0 < α < N .
Замечание 1. В работе [29] было показано, что норма [·]θ эквивалентна известной норме
|||w|||θ = sup
x0∈RN
(1 + |x0|)α
−
∫
Bd(|x0|)(x0)
|w(x)|θdx
1/θ
, d(a) = (1 + a)
αθ
N , (8)
которая была введена для описания медленно убывающих начальных функций в [4]. Исполь-
зование в данной работе нормы [·]θ мотивировано тем, что с технической точки зрения она
лучше подходит для задачи (1), (2), чем норма ||| · |||θ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1503
Всюду далее предполагаем, что 1 < λ+ 1 < N, m+ λ− 2 > 0, p > m+ λ− 1, ρ(x) = |x|l,
0 ≤ l < λ+ 1 и u0(x) — неотрицательная измеримая функция из L1
loc(RN ).
Будем говорить, что u(x, t) является обобщенным решением (или просто решением) зада-
чи (1), (2) в QT = RN × (0, T ), если
u ∈ L∞loc(QT ) ∩ C((0, T ), L2
loc(RN )),
ρum−1|Du|λ+1 ∈ L1
loc(QT ), u ∈ Lploc(QT ),
u(x, t)→ u0(x) при t→ 0 в L1
loc(RN )
и выполнено интегральное тождество
T∫
0
∫
RN
{
−uϕt + ρum−1|Du|λ−1DuDϕ
}
dxdt =
T∫
0
∫
RN
upϕdxdt
для произвольной пробной функции ϕ(x, t) ∈ C1
0 (QT ).
Замечание 2. Если не оговорено противное, то всюду далее через γ, γ1, γ2, . . . будем
обозначать положительные постоянные, которые зависят только от параметров задачи l, m, λ,
p, N, α.
Сформулируем основные результаты данной статьи.
Теорема 1. Пусть p > p∗α(l) = m+ λ− 1 + (λ+ 1− l)/α и
[u0]θ + ‖u0‖Lq(RN ) ≤ δ, (9)
где q > Q =
N(p−m− λ+ 1)
λ+ 1− l
> 1 и δ > 0 — достаточно малое число, зависящее только от
параметров задачи (1), (2).
Тогда задача (1), (2) имеет глобальное по времени решение и для любого t ∈ (0;∞) спра-
ведлива оценка
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γ1t
− N
Hl,θ
(
γ2 + (t[u0]
m+λ−2
θ )
N−αθ
Gα
)λ+1−l
Hl,θ
[u0]
(λ+1−l)θ
Hl,θ
θ , (10)
где
Hl,ω = N(m+ λ− 2) + (λ+ 1− l)ω, Gα = α(m+ λ− 2) + λ+ 1− l.
Замечание 3. Очевидно, что при t < C[u0]
−(m+λ−2)
θ оценка (10) имеет вид
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− N
Hl,θ [u0]
(λ+1−l)θ
Hl,θ
θ ,
а при t ≥ C[u0]
−(m+λ−2)
θ —
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− α
Gα [u0]
λ+1−l
Gα
θ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1504 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Теорема 2. Пусть p < p∗α(l), u(x, t) — решение задачи (1), (2) и существует положи-
тельное число Ĉ такое, что начальная функция u0(x) удовлетворяет условию
(R+ |x0|)α(1−θ) −
∫
BR(x0)
u1−θ0 (x)dx ≥ Ĉ (11)
при некотором x0 ∈ RN , θ ∈ (0, 1) и произвольном R > 0.
Тогда u(x, t) „взрывается” за конечное время, т. е. найдутся такие 0 < R1 < ∞ и
0 < T <∞, что ∫
BR1
(x0)
u1−θ(x, t)dx→∞
при t→ T.
Замечание 4. Поскольку при доказательстве основных результатов будут использоваться
локальные энергетические оценки, модельность уравнения (1) не принципиальна.
Замечание 5. При доказательстве основных результатов мы использовали подходы из [4,
18, 23, 26, 31].
2. Доказательство теоремы 1. Пусть Bj = {x ∈ RN : |x| ≤ j}, j ∈ N и {u0j}∞j=1 —
последовательность функций таких, что u0j ∈ C∞0 (Bj), u0j → u0 в L1
loc(RN ) ∩ Lq(RN ) и
[u0j − u0]θ → 0 при n→∞.
Аппроксимируем задачу (1), (2) с помощью начально-краевых задач
∂uj
∂t
= div(ρum−1j |Duj |λ−1Duj) + uj min{j, up−1j }, (12)
uj(x, t) = 0, x ∈ ∂Bj , (13)
uj(x, 0) = u0,j(x). (14)
При любом j задача (12) – (14) глобально разрешима, причем ее решение непрерывно по Гельде-
ру (см. [32 – 34]). Таким образом, чтобы доказать теорему, необходимо получить не зависящую
от j оценку (10) для решения uj . Продолжив uj(x, t) нулем вне Bj × (0,∞), мы тем самым
определим uj(x, t) в RN × (0,∞). Все дальнейшие рассуждения будут проводиться для зада-
чи (12) – (14) при произвольном фиксированном j, поэтому для удобства будем обозначать uj ,
u0j , Bj через u, u0, B соответственно.
Из результатов работы [25] следует справедливость следующей леммы.
Лемма 1. Пусть u(x, t) — решение задачи (12) – (14) и существует такое t1, что для
любых t ∈ [0, t1), x ∈ B2R(x0) выполнено неравенство
|x|l
(2R)λ+1
tum+λ−2(x, t) + tup−1(x, t) ≤ 1. (15)
Тогда для любых t ∈ (0, t1), ω ≥ 1
‖u(x, t)‖∞,BR(x0) ≤ γt
− N
Hl,ω
sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uω(x, τ)dx
λ+1−l
Hl,ω
. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1505
Обозначим через rθ(b, t) функцию, заданную неявно уравнением
rNθ
(rθ + b)αθ
= ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1, (17)
где b ≥ 0, Γ = C∗[u0]
m+λ−2
Gα
θ , C∗ — достаточно большое число, зависящее от параметров задачи,
которое будет выбрано ниже.
Очевидно, что функция rθ(b, t) определена и непрерывна при b ≥ 0, t ≥ 0, кроме того,
rθ(b, 0) совпадает с функцией rθ(b), определяемой уравнением (7). Также легко заметить, что
rθ(b, t) возрастает по каждому из своих аргументов и для любых x0 ∈ RN и R ∈ [0; 2rθ(|x0|, t)]
RN
(R+ |x0|)αθ
≤ γ(ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1). (18)
Введем обозначение
〈u〉θ,t = sup
0<τ<t
sup
x0∈RN
sup
R>rθ(|x0|,τ)
(2R+ |x0|)α
−
∫
BR(x0)
uθ(x, τ)dx
1/θ
,
тогда для любых x0 ∈ RN , R ≥ rθ(|x0|, t)
sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθ(x, τ)dx ≤ γ RN
(R+ |x0|)αθ
〈u〉θθ,t. (19)
Пусть
Ω(t) ≡ sup
0<τ<t
sup
x0∈RN
{
τ(rθ(|x0|, τ) + |x0|)l
rλ+1
θ (|x0|, τ)
‖u(·, τ)‖m+λ−2
∞,RN
}
+ sup
0<τ<t
{
τ‖u(·, τ)‖p−1∞,RN
}
,
T = sup{t : Ω(t) ≤ 1}.
(20)
Из непрерывности решения u(x, t) следует, что T > 0.
Из леммы 1 и неравенства (19) получаем следующую лемму.
Лемма 2. Пусть u(x, t) — решение задачи (12) – (14), тогда для любого t ∈ (0, T ) и q ≥ 1
справедливы оценки
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− N
Hl,θ
(
ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1
)λ+1−l
Hl,θ
〈u〉
(λ+1−l)θ
Hl,θ
θ,t , (21)
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− N
Hl,q
sup
0<τ<t
∫
RN
uq(x, τ)dx
λ+1−l
Hl,q
. (22)
Замечание 6. Напомним, что функция u = uj продолжена нулем вне Bj × (0, T ), поэтому
интеграл в правой части (22) конечен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1506 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Лемма 3. Пусть u(x, τ) — решение задачи (12) – (14) и θ = 1,тогда для любых t ∈ (0, T ),
x0 ∈ RN , R ≥ r1(|x0|, t)
I ≡ 1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λζλ(x)dxdτ ≤ γ (R+ |x0|)
l
λ+1
R
×
× RN
(R+ |x0|)α
t
λ+1−l
(λ+1)Kl
(
ΓN−αt
N−α
Gα + 1
) (m+λ−2)(λ+1−l)
(λ+1)Kl 〈u〉
1+
(λ+1−l)(m+λ−2)
(λ+1)Kl
1,t , (23)
где Kl = Hl,1 и ζ(x) — дифференцируемая функция, такая, что ζ(x) = 1 при x ∈ BR(x0),
ζ(x) = 0 при x 6∈ B2R(x0) и |Dζ| ≤ 1
R
.
Доказательство. Пусть κ =
2−m
λ
и β ∈
(
N(m+ λ− 2)
λKl
;
1
λ
)
, тогда
I =
1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λζλτβ
λ
λ+1 τ
−β λ
λ+1u
κ
λ
λ+1u
−κ λ
λ+1dxdτ.
Применяя неравенство Гельдера с показателями (λ+ 1)/λ и λ+ 1, получаем
I ≤ (R+ |x0|)
l
λ+1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lτβum−1−κ|Du|λ+1ζλ+1dxdτ
λ
λ+1
×
×
t∫
0
∫
B2R(x0)
τ−βλum+κλ−1dxdτ
1
λ+1
=
(R+ |x0|)
l
λ+1
R
I
λ
λ+1
1 I
1
λ+1
2 . (24)
Для того чтобы оценить I1, умножим уравнение (12) на τβu1−κζλ+1 и проинтегрируем по
B2R(x0)× (0, t):
1
2− κ
∫
B2R(x0)
u2−κ(x, t)tβζλ+1(x)dx− β
2− κ
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1ζλ+1dxdτ =
= −(1− κ)I1 − (λ+ 1)
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−κτβ|Du|λ−1DuDζζλdxdτ+
+
t∫
0
∫
B2R(x0)
τβup+1−κζλ+1dxdτ.
Применяя неравенство Юнга с ε ко второму члену правой части, получaeм
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1507
I1 ≤ γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ+
+γ1
(R+ |x0|)l
Rλ+1
t∫
0
∫
B2R(x0)
um+λ−κτβdxdτ + γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
τβup+1−κdxdτ ≤
≤ γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ+
+
(R+ |x0|)l
Rλ+1
sup
0<τ<t
τ‖u‖m+λ−2
∞,B2R
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ+
+ sup
0<τ<t
τ‖u‖p−1∞,B2R
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ
. (25)
Поскольку при t ∈ (0, T ) Ω(t) ≤ 1, то
I1 ≤ 2γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ = 2γ1I3.
Из того, что R ≥ r1(|x0|, t), t ∈ (0, T ), и оценки (21) получаем
I3 ≤
t∫
0
τβ−1‖u(·, τ)‖1−κ∞,B2R(x0)
∫
B2R(x0)
u(x, τ)dxdτ ≤
≤ γ2
t∫
0
τβ−1τ
−N(1−κ)
Kl [ΓN−ατ
N−α
Gα + 1]
(1−κ)(λ+1−l)
Kl dτ〈u〉
(λ+1−l)(1−κ)
Kl
1,t sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
u(x, τ)dx.
Учитывая выбор параметров β, κ и используя (19), приходим к оценкам
I1 ≤ γ3
RN
(R+ |x0|)α
t
β−N(1−κ)
Kl
[
ΓN−αt
N−α
Gα + 1
] (1−κ)(λ+1−l)
Kl
〈u〉
1+
(λ+1−l)(1−κ)
Kl
1,t , (26)
I2 ≤ γ4
t∫
0
τ−βλ
∫
B2R(x0)
udxdτ ≤ t1−βλ RN
(R+ |x0|)α
〈u〉1,t. (27)
Из (24) – (27) следует справедливость леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1508 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Отметим, что для любых x0 ∈ RN , t ≥ 0 из того, что R ≥ rθ(|x0|, t), следует
(R+ |x0|)l
Rλ+1
≤
(
R
R+ |x0|
) (λ+1)αθ−lN
N−αθ
[
ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1
]−λ+1−l
N−αθ
,
а поскольку значение θ выбрано так, чтобы
(λ+ 1)αθ − lN
N − αθ
≥ 0,
то
(R+ |x0|)l
Rλ+1
≤ [ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1]
−λ+1−l
N−αθ . (28)
Лемма 4. Пусть u(x, t) — решение задачи (12) – (14), тогда для любых t ∈ [0, T )
〈u〉θθ,t ≤ C̃[u0]
θ
θ + γC
−κ(θ)Gα(λ+1−l)θ
Hl,θ
∗
[
〈u〉θ,t
[u0]θ
] (m+λ−2)(λ+1−l)θ
Hl,θ
κ(θ)
〈u〉θθ,t+
+γ
t∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ〈u〉
θ
θ,t, (29)
где постоянная C̃ зависит лишь от параметров задачи, а κ(θ) = 1 при θ > 1 и κ(θ) = 1/(λ+1)
при θ = 1.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай θ = 1. ПустьR ≥ r1(|x0|, t) и ζ(x) — функция
из условия леммы 3. Умножим уравнение на ζλ+1(x) и проинтегрируем по B2R(x0)× (0, t) при
t ∈ (0, T ) :∫
BR(x0)
u(x, t)dx ≤
∫
B2R(x0)
u0(x)dx+
γ
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λζλdxdτ +
t∫
0
∫
B2R(x0)
updxdτ.
Умножим полученное неравенство на (2R + |x0|)α/
∫
B2R(x0)
dx и применим (23) ко второму
слагаемому в правой части, тогда
(R+ |x0|)α −
∫
BR(x0)
u(x, t)dx ≤ C̃(2R+ |x0|)α −
∫
B2R(x0)
u0+
+γ
(
(R+ |x0|)l
Rλ+1
) 1
λ+1
t
λ+1−l
(λ+1)Kl
[
ΓN−αt
N−α
Gα + 1
] (m+λ−2)(λ+1−l)
(λ+1)Kl 〈u〉
1+
(λ+1−l)(m+λ−2)
(λ+1)Kl
1,t +
+γ
t∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ sup
0<τ<t
(2R+ |x0|)α −
∫
B2R(x0)
udx.
Используя (28) во втором слагаемом справа, получаем (29) при θ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1509
Теперь рассмотрим случай θ > 1. Пусть R ≥ rθ(|x0|, t). Умножим уравнение (12) на
uθ−1ζλ+1 и проинтегрируем по B2R(x0)× (0, t) при t ∈ (0, T ) :
1
θ
∫
B2R(x0)
uθ(x, t)dx− 1
θ
∫
B2R(x0)
uθ0(x, t)dx ≤
≤ −(θ − 1)
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λ+1uθ−2ζλ+1dxdτ+
+
λ+ 1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum+θ−2|Du|λζλdxdτ+
+
t∫
0
∫
B2R(x0)
upuθ−1ζλ+1dxdτ = −I1 + I2 + I3. (30)
Оценим I2 с помощью неравенства Юнга:
I2 ≤ εI1 +
γ(ε)
Rλ+1
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum+θ+λ−2dxdτ ≤
≤ εI1 + γ(ε)
(R+ |x0|)l
Rλ+1
t∫
0
‖u(·, τ)‖m+λ−2
∞,RN dτ sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθdx. (31)
Используя (28) и (21), из (30) и (31) находим∫
BR(x0)
uθ(x, t)dx ≤
∫
B2R(x0)
uθ0(x)dx+ γt
1−N(m+λ−2)
Hl,θ ×
×
[
ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1
]−λ+1−l
N−αθ +
(λ+1−l)(m+λ−2)
Hl,θ
〈u〉
(λ+1−l)(m+λ−2)θ
Hl,θ
θ,t sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθdx+
+γ
t∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθdx.
Умножая обе части этого неравенства на (2R+ |x0|)α
/∫
B2R(x0)
dx, получаем (29) при θ > 1.
Лемма 4 доказана.
Введем обозначения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1510 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
µ(t) = sup
0<τ<t
∫
RN
uq(x, τ)dx, µ0 =
∫
RN
uq0(x)dx,
Tµ = sup{t : µ(t) ≤ 2µ0}, T〈 〉 = sup{t : 〈u〉θt,θ ≤ 2C̃[u0]
θ
θ},
где C̃ — постоянная из условия леммы 4.
Лемма 5. Пусть q > Q > 1 и выполнено (9) с достаточно малым δ, тогда
min{Tµ, T} > 1.
Доказательство. Рассмотрим два случая:
1) Tµ < T. Предположим, что Tµ ≤ 1, тогда, умножая уравнение (12) на uq−1 и интегрируя
по RN × (0, Tµ), получaeм
µ(Tµ) ≤ µ0 + γµ(Tµ)
Tµ∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ. (32)
Используя оценку (22), приходим к неравенству
Tµ∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤ γ1T
1− (p−1)N
Hl,q
µ µ(Tµ)
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q ≤ γ2T
1− (p−1)N
Hl,q
µ µ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q
0 . (33)
Из (32) и (33), учитывая, что q > Q, при достаточно малом δ получаем
µ(Tµ) ≤ µ0 + γ3δ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q µ(Tµ) ≤ µ0 +
1
3
µ(Tµ). (34)
Таким образом,
µ(Tµ) ≤ 3
2
µ0,
что противоречит определению Tµ. Значит, Tµ > 1.
2) T ≤ Tµ. Используя оценки (22) и (28), получaeм
Ω(t) ≤ γ sup
0<τ<T
{
τ
1− (m+λ−2)N
Hl,q µ(τ)
(λ+1−l)(m+λ−2)
Hl,q
}
+ γ sup
0<τ<T
{
τ
1− (p−1)N
Hl,q µ(τ)
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q
}
.
Поскольку q > Q и T, очевидно, предполагается меньшим 1, при достаточно малом δ приходим
к неравенству
Ω(T ) ≤ γ1µ
(λ+1−l)(m+λ−2)
Hl,q
0 + γ2µ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q
0 <
1
2
,
что противоречит определению T, если T <∞. Значит, T > 1.
Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Пусть q > Q, p > p∗α(l) и выполнено (9) с достаточно малым δ. Тогда T〈 〉 ≥ T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1511
Доказательство. Предположим, что T〈 〉 < T, тогда
〈u〉θθ,T〈 〉
[u0]θθ
≤ 2C̃.
Выбирая C∗ достаточно большим, из (29) получаем
〈u〉θθ,T〈 〉 ≤ C̃[u0]
θ
θ +
1
6
C̃〈u〉θθ,T〈 〉 + γ
T〈 〉∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ〈u〉
θ
θ,T〈 〉
. (35)
Если T〈 〉 ≤ 1, то из условия q > Q, оценки (22) и того, что T > 1, имеем
T〈 〉∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤ γ1
1∫
0
τ
−N(p−1)
Hl,q dτµ(1)
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q ≤ γ2δ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q . (36)
Если T〈 〉 > 1, то
T〈 〉∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ =
1∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ +
T〈 〉∫
1
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤
≤ γ3δ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q +
T〈 〉∫
1
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ. (37)
При p > p∗α(l) из оценки (21) следует
T〈 〉∫
1
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤
≤ γ4
T〈 〉∫
1
τ
−N(p−1)
Hl,θ max
{
Γ
(N−αθ)(λ+1−l)
Hl,θ τ
(N−αθ)(λ+1−l)
GαHl,θ , 1
}p−1
dτ〈u〉
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ
θ,T〈 〉
≤
≤ γ5
T〈 〉∫
1
τ
−α(p−1)Gα dτ max
{
Γ
(N−αθ)(λ+1−l)(p−1)
Hl,θ , 1
}
[u0]
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ
θ ≤
≤ γ6 max
(
C∗δ
m+λ−2
Gα
) (N−αθ)(λ+1−l)(p−1)
Hl,θ
, 1
δ
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ . (38)
Выбирая δ достаточно малым, из (35) – (38) получаем
〈u〉θθ,T〈 〉 ≤ C̃[u0]
θ
θ +
1
6
C̃〈u〉θθ,T〈 〉 +
1
6
C̃〈u〉θθ,T〈 〉 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1512 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
т. е.
〈u〉θθ,T〈 〉 ≤
3
2
C̃[u0]
θ
θ,
что противоречит определению T〈 〉. Значит, T〈 〉 ≥ T.
Лемма 6 доказана.
Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что T = ∞ при p > p∗α(l).
Пусть это не так, тогда, используя (21) и (28) для первого слагаемого Ω(t) и (21), (22) для
второго слагаемого, получаем
Ω(T ) ≤ γ sup
0<τ<T
τ θ(λ+1−l)
Hl,θ
(
ΓN−αθτ
N−αθ
Gα + 1
)− (λ+1−l)θGα
(N−αθ)Hl,θ
[u0]
(λ+1−l)θ(m+λ−2)
Hl,θ
θ +
+γ sup
0<τ<1
{
τ
1−N(p−1)
Hl,q
}
µ
(λ+1−l)(p−1)
Hl,q
0 +
+γ sup
1<τ<T
τ1−N(p−1)
Hl,θ
(
ΓN−αθτ
N−αθ
Gα + 1
) (λ+1−l)(p−1)
Hl,θ
[u0]
(λ+1−l)(p−1)θ
Hl,θ ≤
≤ γ1C
− θ(λ+1−l)Gα
Hl,θ
∗ + γµ
(λ+1−l)(p−1)
Hl,q
0 + γ[ΓN−αθ + 1]
(λ+1−l)(p−1)
Hl,θ [u0]
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ
θ .
Выбирая C∗ достаточно большим, а δ достаточно малым, получаем Ω(T ) ≤ 1
2
, что невозможно
при конечном T.
3. Доказательство теоремы 2. Пусть ζ(x) — гладкая срезающая функция, такая, что ζ(x) =
= 1 при x ∈ BR(x0), ζ(x) = 0 при x /∈ B2R(x0) и |Dζ| < γR−1. Пусть ε, s > 0, тогда, умножая
обе части уравнения (12) на (u+ ε)−θζs и интегрируя в B2R(x0), получаем
d
dt
∫
B2R(x0)
(u(x, t) + ε)1−θζsdx ≥ γ1
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λ+1(u+ ε)−(1+θ)ζsdx−
−γ2
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λ(u+ ε)−θζs−1|Dζ|dx+ γ3
∫
B2R(x0)
up(u+ ε)−θζsdx.
Применяя ко второму слагаемому правой части неравенство Юнга с достаточно малым ν и
переходя к пределу при ε→ 0, имеем
d
dt
∫
B2R(x0)
u1−θζsdx ≥ γ4(ν)
∫
B2R(x0)
|x|lum−θ−2|Du|λ+1ζsdx−
−γ5(ν)
Rλ+1
∫
B2R(x0)
|x|lum+λ−θ−1ζs−λ−1dx+ γ3
∫
B2R(x0)
up−θζsdx = I1 − I2 + I3. (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1513
Снова применяя неравенство Юнга с достаточно малым ν > 0 и выбирая
s >
(λ+ 1)(p− θ)
p−m− λ+ 1
,
находим
I2 ≤ νI3 + γ6(ν)R
N− (λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 .
Обозначим E = E(t) =
∫
B2R(x0)
u1−θ(x, t)dx. Тогда, выбирая достаточно малое ν, из (39)
получаем
d
dt
E ≥ γ8I3 − γ7R
N− (λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 . (40)
Применяя в E неравенство Гельдера, находим
E ≤ γ9I
1−θ
p−θ
3 R
N(p−1)
p−θ ,
следовательно,
I3 ≥ γ10E
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ .
Таким образом, из (40) получаем неравенство для E :
d
dt
E ≥ γ11E
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ − γ7RN−
(λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 . (41)
Покажем, что существует положительное R1 <∞ такое, что для любых t ≥ 0, R ≥ R1
C E
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ ≥ RN−
(λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 , (42)
где C = const > 0 — достаточно малое число.
Действительно, (42) равносильно неравенству
C
Rα(1−θ) − −
∫
B2R(x0)
u1−θ(x, t)dx
p−θ
1−θ
≥
≥ γ12
(
Rα(1−θ)
RN
)p−θ
1−θ
R
N(p−1)
1−θ +N− (λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 =
= γ12
(
R
α− λ+1
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l
p−m−λ+1
)p−θ
,
правая часть которого убывает по R при p < p∗α(l). Значит, в силу условия (11) найдется такое
достаточно большое R1 > 0, что (42) выполнено при t = 0 и R ≥ R1 со сколь угодно малой
C. Но тогда из (41), (42) следует, что E(t) — возрастающая функция и, следовательно, (42)
выполнено при всех t ≥ 0, R ≥ R1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1514 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Таким образом, из (41), (42) следует
d
dt
E(t) ≥ γE
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ .
Интегрируя это неравенство по интервалу (0, t), получаем
E(t) ≥ E(0)[
1− γE(0)
p−1
1−θR
−N(p−1)
1−θ t
]1−θ
p−1
,
откуда следует, что E(t)→∞ при t→ T = 1
/(
γE(0)
p−1
1−θR
−N(p−1)
1−θ
)
.
1. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = ∆u + u1+α // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo.
Sec. I. – 1966. – 13. – P. 109 – 124.
2. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. О неограниченных решениях задачи Коши
для параболического уравнения ut = ∇(uσ∇u)u+ uβ // Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 6. – C. 1362 – 1364.
3. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для
квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука, 1987.
4. Andreucci D., Di Benedetto E. On the Cauchy problem and initial traces for a class of evolution equations with
strongly nonlinear sources equations // Ann. sci. norm. super. Pisa. – 1991. – 18. – P. 363 – 441.
5. Галактионов В. А. Об условиях отсутствия глобальных решений одного класса квазилинейных параболических
уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1982. – 22, № 2. – C. 322 – 338.
6. Galaktionov V. A., Levine H. A. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonlinear Anal. – 1998.
– 34. – P. 1005 – 1027.
7. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with noncompact
boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
8. Hayakawa K. On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic differential equations // Proc. Jap.
Acad. Ser. A. Math. Sci. – 1973. – 49. – P. 503 – 505.
9. Levine H. A. The role of critical exponents in blow up theorems // SIAM Rev. – 1990. – 32. – P. 262 – 288.
10. Deng K., Levine H. A. The role of critical exponents in blow up theorems: The sequel // J. Math. Anal. and Appl. –
2000. – 243. – P. 85 – 126.
11. Kamin S., Rosenau P. Nonlinear diffusion in a finite mass medium // Communs Pure and Appl. Math. – 1982. – 35. –
P. 113 – 127.
12. Kamin S., P. Rosenau P. Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium // Communs Pure and Appl.
Math. – 1981. – 34. – P. 831 – 852.
13. Kamin S., Kersner R. Disappearence of interfaces in finite time // Meccanica. – 1993. – 28. – P. 117 – 120.
14. Guedda M., Hilhorst D., Peletier M. A. Disappearing interfaces in nonlinear diffusion // Adv. Math. Sci. and Appl. –
1997. – 7. – P. 695 – 710.
15. Galaktionov V. A., King J. R. On the behaviour of blow-up interfaces for an inhomogeneous filtration equation // J.
Appl. Math. – 1996. – 57. – P. 53 – 77.
16. Kersner R., G. Reyes G., Tesei A. On a class of nonlinear parabolic equations with variable density and absortion //
Adv. Different. Equat. – 2002. – 7, № 2. – P. 155 – 176.
17. Galaktionov V. A., Kamin S., Kersner R., Vazquez J. L. Intermidiate asymptotics for inhomogeneous nonlinear heat
conduction // J. Math. Sci. – 2004. – 120, № 3. – P. 1277 – 1294.
18. Тедеев А. Ф. Условия существования и несуществования в целом по времени компактного носителя решений
задачи Коши для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45,
№ 1. – C. 189 – 200.
19. Tedeev A. F. The interface blow-up phenomenon and local estimates for doubly degenerate parabolic equations //
Appl. Anal. – 2007. – 86, № 6. – P. 755 – 782.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1515
20. Qi Y. W. The critical exponents of parabolic equations and blow-up in Rn // Proc. Roy. Soc. Edinburg A. – 1998. –
128. – P. 123 – 136.
21. Qi Y. W., Wang M. X. Critical exponents of quasilinear parabolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2002. – 267.
– P. 264 – 280.
22. Liu X., Wang M. The critical exponent of doubly singular parabolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2001. –
257. – P. 170 – 188.
23. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv. Different.
Equat. – 2005. – 10, № 1. – P. 89 – 120.
24. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с источником и
неоднородной плотностью // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2007. – 47, № 2. – C. 245 – 255.
25. Cianci P., Martynenko A. V., Tedeev A. F. The blow-up phenomenon for degenerate parabolic equations with variable
coefficient and nonlinear source // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. – 2010. – 73, № 7. – P. 2310 – 2323.
26. Мартыненко A. В., Тедеев А. Ф. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического
уравнения с неоднородной плотностью и источником // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2008. –
48, № 7. – C. 1214 – 1229.
27. Wang C., Zheng S. Critical Fujita exponents of degenerate and singular parabolic equations coefficient and nonlinear
source // Proc. Roy. Soc. Edinburg A. – 2006. – 136. – P. 415 – 430.
28. Mukai K., Mochuzuki K., Huang Q. Large time behavior and life span for a quasilinear parabolic equation with slow
decay initial values // Nonlinear Anal. – 2000. – 39A, № 1. – P. 33 – 45.
29. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф., Шраменко В. Н. Задача Коши для вырождающегося параболического уравне-
ния с неоднородной плотностью и источником в классе медленно стремящихся к нулю начальных функций //
Изв. РАН. Сер. мат. – 2012. – 76, № 3. – C. 139 – 156.
30. Афанасьева Н. В., Тедеев А. Ф. Теоремы типа Фуджиты для квазилинейных параболических уравнений в
случае медленно стремящихся к нулю начальных данных // Мат. сб. – 2004. – 195, № 4. – C. 3 – 22.
31. Andreucci D. Degenerate parabolic equations with initial data measures // Trans. Amer. Math. Soc. – 1997. – 340,
№ 10. – P. 3911 – 3923 .
32. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains // Math.
Ann. – 1988. – 279. – P. 373 – 394.
33. Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. – 183. – S. 311 – 341.
34. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф. Регулярность решений вырождающихся параболических уравнений с неодно-
родной плотностью // Укр. мат. вестн. – 2008. – 5, № 1. – C. 116 – 145.
Получено 27.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|