Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації
Проведен асимптотический анализ проблемы больших уклонений для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации. Большие уклонения для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации определяются экспоненциальным генератором для скачкообразного процесса с независимыми приращениями....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165405 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації / І.В. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1526-1535. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165405 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654052020-02-14T01:27:33Z Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації Самойленко, І.В. Статті Проведен асимптотический анализ проблемы больших уклонений для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации. Большие уклонения для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации определяются экспоненциальным генератором для скачкообразного процесса с независимыми приращениями. We perform the asymptotic analysis of the problem of large deviations for impulsive processes in the scheme of Poisson approximation. Large deviations for impulsive processes in the scheme of Poisson approximation are determined by the exponential generator of a jump process with independent increments. 2012 Article Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації / І.В. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1526-1535. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165405 519.21 uk Український математичний журнал Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Самойленко, І.В. Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації Український математичний журнал |
| description |
Проведен асимптотический анализ проблемы больших уклонений для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации. Большие уклонения для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации определяются экспоненциальным генератором для скачкообразного процесса с независимыми приращениями. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, І.В. |
| author_facet |
Самойленко, І.В. |
| author_sort |
Самойленко, І.В. |
| title |
Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації |
| title_short |
Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації |
| title_full |
Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації |
| title_fullStr |
Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації |
| title_full_unstemmed |
Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації |
| title_sort |
великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165405 |
| citation_txt |
Великі відхилення для імпульсних процесів у схемі пуассонової апроксимації / І.В. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1526-1535. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoív velikívídhilennâdlâímpulʹsnihprocesívushemípuassonovoíaproksimacíí |
| first_indexed |
2025-07-14T18:24:28Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:24:28Z |
| _version_ |
1837647758539882496 |
| fulltext |
УДК 519.21
I. В. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ВЕЛИКI ВIДХИЛЕННЯ ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ПРОЦЕСIВ
У СХЕМI ПУАССОНОВОЇ АПРОКСИМАЦIЇ
Asymptotic analysis of the large deviation problem for impulsive processes in the scheme of Poisson approximation is
performed. Large deviations for impulsive processes in the scheme of Poisson approximation are defined by an exponential
generator for a jump process with independent increments.
Проведен асимптотический анализ проблемы больших уклонений для импульсных процессов в схеме пуассо-
новской аппроксимации. Большие уклонения для импульсных процессов в схеме пуассоновской аппроксимации
определяются экспоненциальным генератором для скачкообразного процесса с независимыми приращениями.
1. Вступ. У цiй статтi проведено асимптотичний аналiз проблеми великих вiдхилень для
iмпульсних процесiв у схемi пуассонової апроксимацiї (див. [5], гл. 7).
Асимптотичний аналiз iмпульсних процесiв у схемi пуассонової апроксимацiї проведено в
роботах [6, 10].
У монографiї [2] для дослiдження проблеми великих вiдхилень розвинуто ефективний
метод, що базується на теорiї збiжностi експоненцiальних (нелiнiйних) операторiв. У роботах
[7, 8] експоненцiальний оператор у схемi серiй з малим параметром серiї ε → 0 (ε > 0) має
вигляд
Hεϕ(x) := e−ϕ(x)/εεLεeϕ(x)/ε,
де Lε, ε > 0, — оператори, що визначають марковськi процеси xε(t), t ≥ 0, ε > 0, у схемi серiй.
Iмпульснi процеси (див. [5], гл. 2) задаються спiввiдношенням
ξ(t) = ξ0 +
ν(t)∑
k=1
αk(xk−1), t ≥ 0, ξ0 ∈ R. (1)
Тут випадковi величини αk(x), k ≥ 1, x ∈ E, є незалежними та однаково розподiленими з
функцiєю розподiлу
Gx(dv) = P (αk(x) ∈ dv).
Перемикаючим процесом x(t), t ≥ 0, є марковський процес стрибкiв на стандартному
фазовому просторi станiв (E , E). Нехай цей процес визначається генератором
Qϕ(x) = q(x)
∫
E
[ϕ(y)− ϕ(x)]P (x, dy), x ∈ E. (2)
Напiвмарковське ядро
Q(x,B, t) = P (x,B)(1− e−q(x)t), x ∈ E, B ∈ E , t ≥ 0,
визначає асоцiйований марковський процес вiдновлення (xk, τk), k ≥ 0, де xk, k ≥ 0, —
вкладений ланцюг Маркова, заданий стохастичним ядром
c© I. В. САМОЙЛЕНКО, 2012
1526 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ВЕЛИКI ВIДХИЛЕННЯ ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ПРОЦЕСIВ У СХЕМI ПУАССОНОВОЇ АПРОКСИМАЦIЇ 1527
P (x,B) = P (xk+1 ∈ B | xk = x),
а τk, k ≥ 0, — точковий процес моментiв стрибкiв, який визначається функцiєю розподiлу часу
перебування θk+1 = τk+1 − τk, k ≥ 0,
P (θk+1 ≤ t|xk = x) = 1− e−q(x)t.
Нарештi лiчильний процес стрибкiв ν(t) = max {k : τk ≤ t}.
Основним припущенням щодо перемикаючого марковського процесу є умова
C1) марковський процес x(t), t ≥ 0, рiвномiрно ергодичний зi стацiонарним розподiлом
π(A), A ∈ E .
Зауваження 1. Якщо x(t), t ≥ 0, має стацiонарний розподiл π(x), то xn, n ≥ 1, також
має стацiонарний розподiл ρ(x) i мають мiсце спiввiдношення
π(dx)q(x) = qρ(dx), q :=
∫
E
π(dx)q(x).
Позначимо через Π проектор на пiдпростiр нулiв зведено-оборотного оператора Q, означе-
ного в (2):
Πϕ(x) =
∫
E
π(dx)ϕ(x).
Виконується спiввiдношення
QΠ = ΠQ = 0.
Потенцiал R0 має властивiсть [5] (гл. 1)
QR0 = R0Q = Π− I.
Зауваження 2. З останнього спiввiдношення випливає, що за умови розв’язностi
Πψ = 0
рiвняння Пуассона
Qϕ = ψ
має єдиний розв’язок
ψ = R0ϕ
при Πϕ = 0.
Iмпульсний процес (1) характеризується генератором двокомпонентного марковського про-
цесу ξ(t), x(t), t ≥ 0 (див. [5], гл. 2)
Lϕ(u, x) = q(x)
∫
E
P (x, dy)
∫
R
Gy(dv)[ϕ(u+ v, y)− ϕ(u, x)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1528 I. В. САМОЙЛЕНКО
Зауваження 3. Генератор L можна записати у виглядi
Lϕ(u, x) = [Q+Q0Gx]ϕ(u, x),
де
Q0ϕ(x) := q(x)
∫
E
P (x, dy)ϕ(y),
Gxϕ(u) :=
∫
R
Gx(dv)[ϕ(u+ v)− ϕ(u)].
Зауваження 4. Дослiдження граничних властивостей марковських процесiв базується на
мартингальнiй характеризацiї таких процесiв, а саме, розглядаються мартингали (див., напри-
клад, [1])
µt = ϕ(x(t))− ϕ(x(0))−
t∫
0
Lϕ(x(s))ds, (3)
де L — генератор, що визначає марковський процес x(t), t ≥ 0, на стандартному фазовому
просторi (E, E), має щiльну область визначення D(L) ⊆ BE , яка мiстить неперервнi разом зi
своїми похiдними функцiї. Тут BE — банахiв простiр дiйснозначних обмежених тест-функцiй
ϕ(x) ∈ E з нормою ‖ϕ‖ := supx∈E |ϕ(x)|.
Теорiя великих вiдхилень базується на використаннi експоненцiальної мартингальної харак-
теризацiї (див. [2], гл. 1):
µ̃t = exp
ϕ(x(t))− ϕ(x(0))−
t∫
0
Hϕ(x(s))ds
(4)
є мартингалом. Тут експоненцiальний нелiнiйний оператор
Hϕ(x) := e−ϕ(x)Leϕ(x), ϕ(x) ∈ BE .
Еквiвалентнiсть спiввiдношень (3) та (4) випливає з наступного твердження.
Твердження 1 [(див. [1, с. 66])].
µ(t) = x(t)−
t∫
0
y(s)ds
є мартингалом тодi i тiльки тодi, коли
µ̃(t) = x(t) exp
−
t∫
0
y(s)
x(s)
ds
— мартингал.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ВЕЛИКI ВIДХИЛЕННЯ ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ПРОЦЕСIВ У СХЕМI ПУАССОНОВОЇ АПРОКСИМАЦIЇ 1529
Зауваження 5. Проблема великих вiдхилень, як правило, реалiзується в 4 етапи [2] (гл. 2):
1) обчислення граничного експоненцiального (нелiнiйного) оператора, що визначає великi
вiдхилення;
2) визначення експоненцiальної компактностi;
3) визначення принципу порiвняння для граничного оператора;
4) конструкцiя варiацiйного зображення функцiонала дiї, що визначає великi вiдхилення.
Етапи 2 – 4 для експоненцiального генератора, що вiдповiдає рiзним типам випадкових
блукань, реалiзовано в монографiї [2].
Класичним пiдходом до розв’язання проблеми великих вiдхилень є використання кумулянти
процесу [3]. Зв’язок мiж кумулянтою та експоненцiальним генератором випливає з наступного.
Генератор марковського процесу можна подати у виглядi
Lϕ(x) =
∫
R
eλxa(λ)ϕ(λ)dλ,
де a(λ) — кумулянта процесу, ϕ(λ) =
∫
R
eλxϕ(x)dx.
Зворотне перетворення дає ∫
R
e−λxLϕ(x)dx = a(λ)ϕ(λ).
Запишемо ∫
R
e−λxLϕ(x)dx =
∫
R
e−λxa(λ)ϕ(x)dx
та за допомогою замiни
e−λxϕ(x) = ϕ̃(x)
отримаємо ∫
R
e−λxLeλxϕ̃(x)dx =
∫
R
a(λ)ϕ̃(x)dx.
Таким чином,
e−λxLeλx = a(λ),
або через експоненцiальний генератор
Hϕ0(x) = a(λ), де ϕ0(x) = λx.
Зауваження 6. У роботах [7, 8] В. С. Королюк запропонував метод розв’язання проблеми
сингулярного збурення при дослiдженнi великих вiдхилень для випадкових еволюцiй з незалеж-
ними приростами в схемi асимптотично малої дифузiї.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1530 I. В. САМОЙЛЕНКО
У класичних роботах асимптотичний аналiз проблеми великих вiдхилень виконується, як
правило, з використанням великого параметра серiї n → ∞, а iнодi навiть кiлькох рiзних
параметрiв (див., наприклад, [9]).
Нормування iмпульсного процесу (1) малим параметром серiї для розв’язання проблеми
великих вiдхилень у схемi пуассонової апроксимацiї реалiзується з використанням двох малих
параметрiв ε, δ → 0 таких, що ε−1δ → 1:
ξε,δ(t) = ξε,δ0 + ε
ν(t/ε2)∑
k=1
αδk(xk−1), t ≥ 0,
Lε,δϕ(u, x) = ε−2q(x)
∫
E
P (x, dy)
∫
R
Gδy(dv)[ϕ(u+ εv, y)− ϕ(u, x)],
де ядро Gδx(v) задовольняє умови пуассонової апроксимацiї.
2. Основнi умови пуассонової апроксимацiї. Сформулюємо наступнi умови:
C2) пуассонова апроксимацiя: сiм’я процесiв αδk(x), k ≥ 1, x ∈ E, t ≥ 0 задовольняє
наступнi умови пуассонової апроксимацiї:
PA1) апроксимацiя середнiх:
aδ(x) =
∫
R
vGδx(dv) = δ[a(x) + θδa(x)]
та
cδ(x) =
∫
R
v2Gδx(dv) = δ[c(x) + θδc(x)],
де
sup
x∈E
|a(x)| ≤ a < +∞, sup
x∈E
|c(x)| ≤ c < +∞;
PA2) для ядра iнтенсивностей має мiсце асимптотичне зображення
Gδg,x =
∫
R
g(v)Gδx(dv) = δ[Gg,x + θδg(x)]
для всiх g ∈ C3(R) (C3(R) — клас функцiй, що визначає мiру (див. [4], гл. 7), Gg,x — обмежене
ядро
|Gg,x| ≤ Gg (стала, що залежить вiд g),
ядро G0
x(dv) задано на класi функцiй, що визначає мiру C3(R) спiввiдношенням
Gg,x =
∫
R
g(v)G0
x(dv), g ∈ C3(R);
знехтувально малi доданки θδa, θ
δ
c , θ
δ
g задовольняють умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ВЕЛИКI ВIДХИЛЕННЯ ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ПРОЦЕСIВ У СХЕМI ПУАССОНОВОЇ АПРОКСИМАЦIЇ 1531
sup
x∈E
|θδ· (x)| → 0, δ → 0;
PA3) має мiсце спiввiдношення
c(x) :=
∫
R
v2G0
x(dv),
що зумовлює вiдсутнiсть дифузiйної складової в експоненцiальному генераторi, який визначає
розв’язання проблеми великих вiдхилень;
C3) рiвномiрна квадратична iнтегровнiсть:
lim
c→∞
sup
x∈E
∫
|v|>c
v2G0
x(dv) = 0;
C4) експоненцiальна обмеженiсть:∫
R
ep|v|Gδx(dv) <∞ ∀p ∈ R.
3. Основний результат.
Теорема 1. Розв’язок проблеми великих вiдхилень для iмпульсного процесу
ξε,δ(t) = ξε,δ0 + ε
ν(t/ε2)∑
k=1
αδk(xk−1), t ≥ 0,
що задається генератором двокомпонентного марковського процесу ξε,δ(t), x(t/ε2), t ≥ 0
Lε,δϕ(u, x) = ε−2q(x)
∫
E
P (x, dy)
∫
R
Gδy(dv)[ϕ(u+ εv, y)− ϕ(u, x)], (5)
або
Lε,δϕ(u, x) =
[
ε−2Q+Q0G
ε,δ
x
]
ϕ(u, x), (6)
де
Gε,δx ϕ(u) := ε−2
∫
R
Gδx(dv)[ϕ(u+ εv)− ϕ(u)],
визначається експоненцiальним генератором
H0ϕ(u) = ãϕ′(u) +
∫
R
[
evϕ
′(u) − 1− vϕ′(u)
]
G̃0(dv) = (ã− ã0)ϕ′(u) +
∫
R
[
evϕ
′(u) − 1
]
G̃0(dv),
(7)
де
G̃0(dv) := q
∫
E
ρ(dx)G0
x(dv), ã0 :=
∫
R
vϕ′(u)G̃0(dv),
ã := q
∫
E
ρ(dx)a(x)
— параметр, що визначає детермiнований зсув.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1532 I. В. САМОЙЛЕНКО
Усереднення проводиться по стацiонарнiй мiрi вкладеного ланцюга Маркова перемикаючого
марковського процесу.
Зауваження 7. Великi вiдхилення для iмпульсних процесiв у схемi пуассонової апрокси-
мацiї визначаються експоненцiальним генератором для стрибкового процесу з незалежними
приростами. Вичерпне дослiдження проблеми випадкових вiдхилень для стрибкового процесу
з незалежними приростами викладено у монографiї [3].
Зауваження 8. Граничний генератор в евклiдовому просторi Rd, d > 1, має вигляд
H0ϕ(u) =
d∑
k=1
(
ãk − ã0
k
)
ϕ′k +
∫
Rd
[
evϕ
′(u) − 1
]
G̃0(dv),
ϕ′k := ∂ϕ(u)/∂uk, 1 ≤ k ≤ d.
Бiльш того, останнiй експоненцiaльний генератор можна розширити на простiр абсолютно
неперервних функцiй (див. [2])
C1
b (Rd) =
{
ϕ : ∃ lim
|u|→∞
ϕ(u) = ϕ(∞), lim
|u|→∞
ϕ′(u) = 0
}
.
Для доведення теореми нам знадобиться наступна лема.
Лема 1. Експоненцiальний генератор у схемi серiй
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = e−ϕ/εεQ0G
ε,δ
x eϕ/ε (8)
має асимптотичне зображення
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = HG(x)ϕ(u) + θε,δG (x),
де supx∈E |θ
ε,δ
G (x)| → 0, ε, δ → 0,
HG(x)ϕ(u) = Q0HG(x)ϕ(u) := Q0
a(x)ϕ′(u) +
∫
R
[
evϕ
′(u) − 1− vϕ′(u)
]
G0
x(dv)
. (9)
Доведення. Врахувавши вигляд генератора (5), (6), запишемо (8) так:
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = ε−1Q0
∫
R
[
e∆εϕ(u) − 1
]
Gδx(dv),
де
∆εϕ(u) := ε−1[ϕ(u+ εv)− ϕ(u)].
Вираз для генератора запишемо таким чином:
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = ε−1Q0
∫
R
[
e∆εϕ(u) − 1−∆εϕ(u)− 1
2
(∆εϕ(u))2
]
Gδx(dv)+
+ε−1Q0
∫
R
[
∆εϕ(u) +
1
2
(∆εϕ(u))2
]
Gδx(dv).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ВЕЛИКI ВIДХИЛЕННЯ ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ПРОЦЕСIВ У СХЕМI ПУАССОНОВОЇ АПРОКСИМАЦIЇ 1533
Легко бачити, що функцiя ψεu(v) = e∆εϕ(u) − 1 − ∆εϕ(u) − 1
2
(∆εϕ(u))2 належить класу
C3(R). Дiйсно,
ψεu(v)/v2 → 0, v → 0.
Крiм того, ця функцiя неперервна i обмежена для кожного ε за умови обмеженостi функцiї
ϕ(u). Бiльш того, обмеженiсть функцiї ψεu(v) є рiвномiрною по u за умов C3, C4 та обмеженостi
похiдної ϕ′(u) .
Таким чином,
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = ε−1δQ0
∫
R
[
e∆εϕ(u) − 1−∆εϕ(u)− 1
2
(∆εϕ(u))2
]
G0
x(dv)+
+ε−1Q0
∫
R
[
∆εϕ(u)− vϕ′(u)− εv
2
2
ϕ′′(u)
]
Gδx(dv) + ε−1δQ0a(x)ϕ′(u) + δQ0c(x)ϕ′′(u)+
+ε−1Q0
∫
R
[
1
2
(∆εϕ(u))2 − v2
2
(ϕ′(u))2
]
Gδx(dv) + ε−1δ
1
2
Q0c(x)(ϕ′(u))2.
Застосовуючи формулу Тейлора до тест-функцiй ϕ(u) ∈ C3(R) та умову PA2, отримуємо
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = ε−1δQ0
∫
R
[
evϕ
′(u) − 1− vϕ′(u)− v2
2
(ϕ′(u))2
]
G0
x(dv)+
+ε−1δQ0
∫
R
(
evϕ
′(u)ε
v2
2
ϕ′′(ũ)− εv
2
2
ϕ′′(ũ)− ε2 v
4
8
(ϕ′′(ũ))2
)
G0
x(dv)+
+ε−1δQ0
∫
R
ε2 v
3
3!
ϕ′′′(ũ)G0
x(dv) + ε−1δQ0a(x)ϕ′(u) + δQ0c(x)ϕ′′(u)+
+ε−1δQ0
∫
R
ε2 v
4
4
(ϕ′′(ũ))2G0
x(dv) + ε−1δ
1
2
Q0c(x)(ϕ′(u))2.
Враховуючи умову PA3 та граничну умову ε−1δ → 1, остаточно маємо
Hε,δ
G (x)ϕ(u) = HG(x)ϕ(u) + θε,δG (x),
де supx∈E |θ
ε,δ
G (x)| → 0, ε, δ → 0.
Лему 1 доведено.
Доведення теореми. Граничний перехiд в експоненцiальному нелiнiйному генераторi ви-
падкової еволюцiї реалiзується на збурених тест-функцiях
ϕε,δ(u, x) = ϕ(u) + ε ln [1 + δϕ1(u, x)].
Таким чином, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1534 I. В. САМОЙЛЕНКО
Hε,δϕε,δ = e−ϕ
ε/εεLε,δeϕ
ε/ε = e−ϕ/ε[1 + δϕ1]−1εLε,δeϕ/ε[1 + δϕ1].
Обчислення асимптотичної поведiнки останнього експоненцiального генератора дає наступний
результат.
Лема 2. Має мiсце асимптотичне зображення
Hε,δϕε,δ = Qϕ1 +Hε,δ
G (x)ϕ(u) + θε,δ(x),
де supx∈E |θε,δ(x)| → 0, ε, δ → 0.
Доведення. Враховуючи (6), маємо
Hε,δϕε,δ = e−ϕ/ε
[
1− δϕ1 +
δ2ϕ2
1
1 + δϕ1
]{
ε−1Q+ εQ0G
ε,δ
x
}
eϕ/ε[1 + δϕ1] =
= e−ϕ/ε
[
1− δϕ1 +
δ2ϕ2
1
1 + δϕ1
]{
ε−1δeϕ/εQϕ1 + εQ0G
ε,δ
x eϕ/ε + εδQ0G
ε,δ
x eϕ/εϕ1
}
=
= Qϕ1 +Hε,δ
G (x)ϕ(u) + θε,δ(x),
де
θε,δ(x) = δ
[
ε
1 + δϕ1
e−ϕ/εQ0G
ε,δ
x eϕ/εϕ1 −
ε−1δϕ1
1 + δϕ1
Qϕ1 −
δϕ1
1 + δϕ1
e−ϕ/εQ0G
ε,δ
x eϕ/ε
]
.
Лему 2 доведено.
З огляду на лему 1 маємо
Hε,δϕε,δ = Qϕ1 +HG(x)ϕ(u) + hε,δ(x),
де hε,δ(x) = θε,δ(x) + θε,δG (x).
Тепер використовуємо розв’язок задачi сингулярного збурення для зведено-оборотного опе-
ратора Q (див. [5], гл. 1). З умови розв’язностi маємо
Qϕ1 +HG(x)ϕ(u) = H0ϕ(u),
де
H0ϕ(u) = ΠQΠϕ1 + ΠHG(x)Πϕ(u).
Враховуючи спiввiдношення (9) та зауваження 1, можемо записати
H0ϕ(u) =
∫
E
π(dx)q(x)
∫
E
P (x, dy)HG(y)ϕ(u) = q
∫
E
ρ(dx)HG(x)ϕ(u).
Отже, остаточно отримуємо (7):
H0ϕ(u) = ãϕ′(u) +
∫
R
[
evϕ
′(u) − 1− vϕ′(u)
]
Γ̃0(dv).
Залишковий член hε,δ(x) можна обчислити в явному виглядi, використовуючи розв’язок
рiвняння Пуассона (див. зауваження 3, а також [5])
ϕ1(u, x) = R0H̃(x)ϕ(u), H̃(x) := HG(x)−H0.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ВЕЛИКI ВIДХИЛЕННЯ ДЛЯ IМПУЛЬСНИХ ПРОЦЕСIВ У СХЕМI ПУАССОНОВОЇ АПРОКСИМАЦIЇ 1535
1. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes: characterization and convergence. – New York: J. Wiley & Sons, 1986.
2. Feng J., Kurtz T. G. Large deviation for stochastic processes. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006.
3. Freidlin M. J., Wentzel A. D. Random perturbation of dynamical systems. – Berlin: Springer, 1998.
4. Jacod J., Shiryaev A. N. Limit theorems for stochastic processes. – Berlin: Springer, 1987.
5. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – WSP, 2005.
6. Koroliuk V. S., Limnios N., Samoilenko I. V. Poisson approximation of impulsive recurrent process with semi-Markov
switching // Stochast. Anal. and Appl. – 2011. – 29, Issue 5. – P. 769 – 778.
7. Королюк В. С. Марковские случайные эволюции с независимыми приращениями в схеме асимптотически
малой диффузии // Доп. НАН України. – 2010. – № 6. – С. 22 – 26.
8. Королюк В. С. Проблема великих вiдхилень для марковських випадкових еволюцiй з незалежними приростами
у схемi асимптотично малої дифузiї // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 643 – 650.
9. Mogulskii A. A. Large deviation for processes with independent increments // Ann. Probab. – 1993. – 21. – P. 202 – 215.
10. Самойленко I. В. Збiжнiсть iмпульсного процесу накопичення зi стрибковими перемиканнями // Укр. мат.
журн. – 2008. – 60, № 9. – С. 1283 – 1286.
Отримано 10.07.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|