X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп
Вивчаються скінченш групи, у яких максимальні підгрупи силовських підгруп є переставними з максимальними пiдгрупами.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165412 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп / Го Вэньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1299–1309. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165412 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654122020-02-14T01:27:51Z X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп Го Вэньбинь Шам, К.П. Скиба, А.Н. Статті Вивчаються скінченш групи, у яких максимальні підгрупи силовських підгруп є переставними з максимальними пiдгрупами. We study finite groups whose maximal subgroups of Sylow subgroups are permutable with maximal subgroups. 2006 Article X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп / Го Вэньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1299–1309. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165412 512.542 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Го Вэньбинь Шам, К.П. Скиба, А.Н. X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються скінченш групи, у яких максимальні підгрупи силовських підгруп є переставними з максимальними пiдгрупами. |
| format |
Article |
| author |
Го Вэньбинь Шам, К.П. Скиба, А.Н. |
| author_facet |
Го Вэньбинь Шам, К.П. Скиба, А.Н. |
| author_sort |
Го Вэньбинь |
| title |
X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп |
| title_short |
X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп |
| title_full |
X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп |
| title_fullStr |
X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп |
| title_full_unstemmed |
X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп |
| title_sort |
x-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165412 |
| citation_txt |
X-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп / Го Вэньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1299–1309. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT govénʹbinʹ xperestanovočnyemaksimalʹnyepodgruppysilovskihpodgruppkonečnyhgrupp AT šamkp xperestanovočnyemaksimalʹnyepodgruppysilovskihpodgruppkonečnyhgrupp AT skibaan xperestanovočnyemaksimalʹnyepodgruppysilovskihpodgruppkonečnyhgrupp |
| first_indexed |
2025-07-14T18:24:52Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:24:52Z |
| _version_ |
1837647783308296192 |
| fulltext |
УДК 512.542
Вэньбинь Го (Cюйчжов. пед. ун-т, Китай),
К. П. Шам (Китай. ун-т Гонконга, Шатин, Китай),
А. Н. Скиба (Гомел. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
X-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП КОНЕЧНЫХ ГРУПП
We study finite groups whose maximal subgroups of Sylow subgroups are permutable with maximal
subgroups.
Вивчаються скiнченнi групи, у яких максимальнi пiдгрупи силовських пiдгруп є переставними з
максимальними пiдгрупами.
1. Введение. Все рассматриваемые в работе группы конечны.
Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на макси-
мальные подгруппы силовских подгрупп самой группы или силовских подгрупп
некоторых выделенных подгрупп этой группы. Впервые это было замечено в рабо-
те Хупперта [1], где, в частности, было доказано, что разрешимая группа G является
сверхразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из
G перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы G. Не-
сколько позднее Сринивазан [2] доказал, что группа G является сверхразрешимой
при условии, что в G имеется такая нормальная подгруппа N со сверхразрешимой
фактор-группой G/N, что все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп
из N нормальны в G. Этих два результата получили развитие во многих иссле-
дованиях. В частности, в работе [3] был получен аналог отмеченного результата
работы [2] для c-нормальных подгрупп (см. также работы [4, 5]). Асаад и Хелиел
[6] доказали, что группа G является сверхразрешимой, если G имеет такой набор
силовских подгрупп Σ (содержащий в точности одну силовскую p-подгруппу для
каждого простого делителя p ее порядка |G|), что все максимальные подгруппы лю-
бой силовской подгруппы из Σ перестановочны со всеми членами Σ. Сверхразре-
шимость группы G, в которой все максимальные подгруппы любой силовской под-
группы из G дополняемы в G, была доказана Болестером-Болинчес и Го Шуином
[7]. Отметим, что в работе [8] (см. также [9]) была доказана сверхразрешимость
группы G при условии, что G разрешима и имеет такую нормальную подгруппу со
сверхразрешимой фактор-группой G/N, что все ненормальные в G максимальные
подгруппы cиловских подгрупп из F (N) имеют сверхразрешимые добавления в G.
Целью данной работы является дальнейший анализ некоторых результатов данного
направления на основе вводимого ниже понятия X-перестановочной подгруппы.
2. X-перестановочные подгруппы. Напомним, что подгруппы A и B на-
зываются перестановочными, если AB = BA. Подгруппа группы G называется
перестановочной [10] или квазинормальной [11], если она перестановочна со все-
ми подгруппами из G. Часто встречается ситуация, когда подгруппы A и B группы
G не являются перестановочными, но в G имеется такой элемент x, для которого
имеет место ABx = BxA.
Рассмотрим несколько типичных ситуаций такого рода:
c© ВЭНЬБИНЬ ГО, К. П. ШАМ, А. Н. СКИБА, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10 1299
1300 ВЭНЬБИНЬ ГО, К. П. ШАМ, А. Н. СКИБА
1. Если G = AB — группа, Ap и Bp — силовские p-подгруппы в A и B
соответственно, то в общем случае ApBp 6= BpAp, но G имеет такой элемент
x, что ApB
x
p = Bx
pAp (см. [13], лемма 11.6).
2. Если P и Q — силовские подгруппы разрешимой группы G, то для некото-
рого x ∈ G имеем PQx = QxP (см. [13], теорема 2.4).
3. Если M — максимальная подгруппа в G = PSL(2, 7), то для каждой силов-
ской подгруппы P из G в G имеется такой элемент x, что MP x = P xM. Понятно
также, что в общем случае подгруппа M не является перестановочной с P.
4. Если A и B — нормально погруженные подгруппы разрешимой группы G
(см. [10], определение (7.1)), то согласно теореме (17.10) из [10] A перестановочна
с некоторым Bx.
При анализе ситуаций подобного рода удобно пользоваться следующим естест-
венным определением [14, 15].
Определение 1. Пусть A, B — подгруппы группы G и ∅ 6= X ⊆ G. Будем
говорить, что A X-перестановочна с B, если в X имеется такой элемент x,
что ABx = BxA.
Заметим, что 1-перестановочные подгруппы — это в точности перестановочные
подгруппы. В другом предельном случае мы имеем дело с G-перестановочными
подгруппами. Такие подгруппы были впервые рассмотрены в работе авторов [15]
(см. также [16]) и нашли ряд интересных приложений [9, 16 – 18].
Рассмотрим следующий элементарный пример, демонстрирующий отличие X-
перестановочных подгрупп от перестановочных подгрупп.
Пример 1. Пусть p — нечетное простое число и A = 〈x, y | xp2
= yp = 1,
xy = x1+p〉. Рассмотрим L = 〈y〉. Пусть g — инволюция в AutL, B = [L]〈g〉,
α : B → Sym(p) — транзитивное подстановочное представление группы B степени
p, G = A oα B = [K]B — сплетение групп A и B относительно α, где K — база
A oα B, R = L\ (мы используем здесь терминологию из [10]) и N = NG(R).
Понятно, что B ⊆ N и N ∩ K = (NA(L))\. Поскольку |A| = p3 и NA(L) 6= A,
NA(L) — абелева группа, и поэтому N ∩ K также является абелевой группой.
Ясно, что R G-перестановочна со всеми силовскими подгруппами группы G и
R субнормальна в G. Допустим, что R перестановочна со всеми силовскими 2-
подгруппами из G. Тогда для каждого x ∈ G имеем 〈g〉x ⊆ N. Следовательно,
для нормального замыкания 〈g〉G подгруппы 〈g〉 в G L ⊆ 〈g〉G ⊆ N и поэтому
BG ⊆ N. Пусть теперь M =
{
(a1, . . . , ap) | ai ∈ A и a1 . . . ap ∈ A′}. Тогда согласно
теореме (18.4) [10] BG = MB. Следовательно, M ⊆ N. Но если a1 = . . . = ap,
то ap
1 ⊆ A′, и поэтому M содержит подгруппу, изоморфную A. Это означает, что
N ∩K не является абелевой группой. Полученное противоречие показывает, что
R не перестановочна с некоторой силовской 2-подгруппой группы G.
Используя понятие X-перестановочности, можно охарактеризовать многие важ-
ные классы групп по наличию в них тех или иных X-перестановочных подгрупп
для подходящих H. Например, используя это понятие, можно дать следующую ин-
терпретацию классической теоремы Холла о разрешимых группах (см., например,
[13], теорема 2.4): группа G разрешима тогда и только тогда, когда любые ее
две силовские подгруппы G-перестановочны. Согласно теореме 3.8 из [15], группа
G является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные
подгруппы G-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
X-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП ... 1301
характеризации в терминах X-перестановочных подгрупп для класов разрешимых,
сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах [9, 14 – 18].
Наш первый результат в рассматриваемом во введении направлении дает новое
описание сверхразрешимых групп на основе понятия X-перестановочных под-
групп.
Теорема 1. Пусть G — группа и X = F (G) — ее подгруппа Фиттинга. Тогда
G является сверхразрешимой в том и только в том случае, когда G = AB, где
A и B — такие субнормальные в G подгруппы (по крайней мере, одна из которых
нильпотентна), что все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из A и
B X-перестановочны со всеми максимальными подгруппами из G.
Отметим следующий частный случай теоремы 1.
Теорема 2. Пусть G — группа и X = F (G) — ее подгруппа Фиттинга.
Тогда G является сверхразрешимой в том и только в том случае, когда все мак-
симальные подгруппы всех силовских подгрупп из G X-перестановочны со всеми
максимальными подгруппами из G.
В работе [12] дано описание групп, в которых все максимальные подгруппы
всех силовских подгрупп нормальны. В связи с этим результатом естественно
исследовать строение групп, в которых максимальные подгруппы силовских под-
групп X-перестановочны со всеми силовскими подгруппами.
Теорема 3. Пусть G — группа и X = F (G) — ее подгруппа Фиттинга. Тогда
следующие условия эквивалентны:
1) все максимальные подгруппы все силовских подгрупп из G X-перестановочны
со всеми силовскими подгруппами из G;
2) G = [D]M — сверхразрешимая группа, где D и M — нильпотентные хол-
ловские подгруппы в G и каждая максимальная подгруппа из D нормальна в G.
3. Доказательство теоремы 1. Следующая лемма является очевидной.
Лемма 1. Пусть A,B и X — подгруппы группы G и K E G. Тогда справед-
ливы следующие утверждения:
1) если A X-перестановочна с B, то B X-перестановочна с A;
2) если A X-перестановочна с B, то Ax Hx-перестановочна с Bx при всех
x ∈ G;
3) если A X-перестановочна с B, то AK/K XK/K-перестановочна с BK/K
в G/K;
4) пусть K ≤ A; тогда A/K XK/K-перестановочна с BK/K в G/K, если и
только если A X-перестановочна с B в G.
Лемма 2. Пусть G — разрешимая группа, X = F (G) и M — максимальная в
G подгруппа. Предположим, что M имеет в G простой индекс. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) подгруппа M G-перестановочна со всеми подгруппами из G;
2) если группа G сверхразрешима, то M X-перестановочна со всеми подгруп-
пами из G.
Доказательство. 1. Пусть T — произвольная подгруппа в G, |G : M | = p.
Если {M1, . . . ,Mt} — некоторая силовская система в M и {T1, . . . , Tl} — некоторая
силовская система T, то согласно [19] группа G имеет такие силовские системы
Σ = {P1, . . . , Pn} и Σ1 = {Q1, . . . , Qn}, что Mi = Pi ∩ M для всех i = 1, . . . , t
и Ti = Qi ∩ T для всех i = 1, . . . , l. Более того, системы Σ и Σ1 сопряжены,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1302 ВЭНЬБИНЬ ГО, К. П. ШАМ, А. Н. СКИБА
т. e. G имеет элемент x такой, что Qx
i = Pi для всех i = 1, . . . , n. Не теряя
общности можем предполагать, что P1 — силовская p-подгруппа в G. Тогда M2 =
= P2, . . . ,Mt = Pt.
Предположим, что T x
1 ⊆ M1. Тогда имеем
T x ⊆ M1P2 . . . Pt = M,
и поэтому T xM = M = MT x.
С другой стороны, если T x
1 6⊆ M1, то поскольку |G : M | = p, имеем |P1 : M1| =
= p и, следовательно, P1 = T x
1 M1. Таким образом, T xM = T x
2 . . . T x
l T x
1 M1M2 . . .
. . .Mt = T x
2 . . . T x
l P1P2 . . . Pt = G = MT x.
2. Пусть N = NG(Σ1). Тогда согласно [19] N покрывает все центральные
главные факторы группы G. Но группа G сверхразрешима, и поэтому согласно
[20] имеем G′ ⊆ X = F (G). Таким образом, G = XN, и поэтому x = an, где
a ∈ X и n ∈ N. Следовательно, MT a = T aM.
Лемма 3. Пусть A — субнормальная подгруппа группы G. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) Φ(A) ⊆ Φ(G);
2) для любой минимальной нормальной в G подгруппы H имеет место H ⊆
⊆ NG(A);
3) если A является π-группой, то A ⊆ Oπ(G).
Доказательство. 1. Предположим, что A 6= G и t — такое наименьшее
натуральное число, что G имеет ряд подгрупп A = G0 E G1 E . . . E Gt = G.
Согласно [20] Φ(A) ⊆ Φ(G1). В свою очередь, используя индукцию по t, видим,
что Φ(G1) ⊆ Φ(G). Утверждения 2 и 3 хорошо известны. Доказательство первого
из них можно найти, например, в книге [10, с. 47]. Утверждение 3 доказано в
книге [19, с. 71].
Доказательство теоремы 1. Если G — сверхразрешимая группа, то G = XG,
и в силу леммы 2 все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из X и
G X-перестановочны со всеми максимальными подгруппами группы G.
Предположим теперь, что G = AB, где A и B — субнормальные в G подгруп-
пы, причем одна из этих подгрупп нильпотентна и все максимальные подгруппы
всех силовских подгрупп из A и B X-перестановочны со всеми максимальными
подгруппами группы G. Покажем, что группа G сверхразрешима. Предположим,
что это не так, и пусть G — контрпример минимального порядка. Тогда
1. Фактор-группа G/H сверхразрешима для любой минимальной нормальной
подгруппы H из G.
Пусть H 6= G. Тогда, поскольку |G/H| < |G|, необходимо лишь проверить,
что условие верно для G/H. Прежде всего заметим, что G/H = (AH/H)(BH/H)
— произведение субнормальных в G/H подгрупп AH/H и BH/H, и одна из
этих подгрупп нильпотентна. Понятно также, что одна из групп AH/H, BH/H
нетривиальна. Пусть, например, AH/H 6= 1. Пусть p — произвольный прос-
той делитель порядка группы AH/H, P/H — силовская p-подгруппа в AH/H и
P1/H — произвольная максимальная в P/H подгруппа. Покажем, что подгруппа
P1/H F (G/H)-перестановочна с любой максимальной подгруппой M/H из G/H.
Если P0 — силовская p-подгруппа в P, то P = HP0 и P0 является силовской p-
подгруппой в AH. Значит, найдутся такая силовская p-подгруппа Ap в A и такая си-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
X-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП ... 1303
ловская p-подгруппа Hp в H, что P0 = ApHp, и поэтому P/H = ApH/H. Покажем,
что P1 ∩Ap — максимальная в Ap подгруппа. Прежде заметим, что P1 ∩Ap 6= Ap.
Действительно, в противном случае Ap ⊆ P1 и, значит, P1/H = ApH/H = /H, что
противоречит выбору подгруппы P1/H. Допустим, что в группе G имеется такая
подгруппа T, что P1∩Ap ⊂ T ⊂ Ap. Тогда P1 = H(1∩Ap) ⊆ TH ⊆ HAp = P. Но
P1 — максимальная в P подгруппа, и поэтому либо P1 = TH, либо TH = HAp.
Если P1 = TH, то T ⊆ P1∩Ap ⊂ T, что невозможно. Итак, TH = HAp, и поэтому
Ap = Ap ∩ TH = T (Ap ∩ H) ⊆ (P1 ∩ Ap) = T. Вновь полученное противоречие
показывает, что P1 ∩ Ap — максимальная в Ap подгруппа. Согласно условию
подгруппа P1 ∩ Ap X-перестановочна с M в G. Значит, по лемме 1 подгруппа
(P1 ∩ Ap)H/H XH/X-перестановочна с M/H в G/H. Но XH/H ⊆ F (G/H),
и поэтому можно заключить, что все максимальные подгруппы любой силовской
подгруппы из AH/H F (G/H)-перестановочны со всеми максимальными подгруп-
пами из G/H. Это завершает доказательство утверждения 1.
2. В группе G имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа (это не-
посредственно следует из того известного факта, что класс всех сверхразрешимых
групп замкнут относительно образования подпрямых произведений).
3. Минимальная нормальная подгруппа H группы G является абелевой p-группой
для некоторого простого числа p.
Предположим, что группа H не является абелевой и p — наименьший простой
делитель ее порядка |H|. Тогда в силу утверждения 2 X = 1. Пусть H = H1 × . . .
. . . × Ht, где H1, . . . ,Ht — простые компоненты группы H. Понятно, что Hi не
имеет нормального p-дополнения и поэтому силовская p-подгруппа Pi из Hi не
является циклической. Это, в частности, означает, что |Pi| 6= p. Поскольку под-
группа H является неабелевой и ее централизатор C = CG(H) — нормальной в
G подгруппой, в силу утверждения 2 C ⊆ H. Значит, в силу леммы 3 и фак-
торизации G = AB имеем либо H ∩ A 6= 1, либо H ∩ B 6= 1. Не уменьшая
общность можем считать, что имеет место первый случай. Поскольку, очевид-
но, пересечение D = H ∩ A является субнормальной в H подгруппой, то для
некоторого i имеем Hi ⊆ A. Пусть Pi ⊆ Ap, где Ap — силовская p-подгруппа
в A. Выберем в H силовскую p-подгруппу Hp, которая содержит Pi, и пусть
N = NG(Hp). Тогда согласно лемме Фраттини G = HN. Поскольку, очевидно,
N 6= G, можно выбрать в G максимальную подгруппу M со свойством N ⊆
⊆ M. Пусть P — такая силовская p-подгруппа в G, которая содержит Hp. Тогда,
поскольку P ∩ H = Hp, P ⊆ N, и поэтому p не делит |G : M |. Пусть теперь L
— произвольная максимальная подгруппа в Ap. Тогда на основании изложенного
выше L 6= 1. Согласно условию для всех x ∈ G имеет место LMx = MxL.
Это, в свою очередь, влечет равенство LMx = Mx. Таким образом, L ⊆ MG. Но
поскольку G = HN и H — единственная минимальная нормальная подгруппа в G,
то MG = 1 и, следовательно, L = 1. Полученное противоречие показывает, что H
— абелева p-группа.
4. G = [H]M, где M — сверхразрешимая максимальная в G подгруппа и H =
= Op(G) = CG(H) = X .
Пусть C = CG(H). В силу утверждения 1 для некоторой максимальной в G
подгруппы M имеет место G = HM. Понятно, что H ∩ M = 1. Кроме того,
в силу утверждения 1 подгруппа M сверхразрешима. Согласно утверждению 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1304 ВЭНЬБИНЬ ГО, К. П. ШАМ, А. Н. СКИБА
MG = 1 и поэтому C ∩M = 1. Следовательно, C = C ∩HM = H(C ∩M) = H.
Теперь утверждение 4 вытекает из того известного факта, что подгруппа Фиттинга
содержится в централизаторе любого главного фактора группы.
5. F (A) = Op(A) = H ∩A и F (B) = Op(B) = H ∩B.
Предположим, что F (A) 6= Op(A). Тогда для некоторого простого делителя q 6=
6= p порядка группы A имеет место Oq(A) 6= 1. Но поскольку Oq(A) — нормальная в
A подгруппа, Oq(A) 6= 1 cубнормальна в G, и поэтому согласно лемме 3 Oq(G) 6= 1,
что невозможно в силу утверждений 2 и 3. Итак, F (A) = Op(A). Снова применяя
лемму 3 и учитывая утверждение 4, видим, что Op(A) ⊆ Op(G) = H. Это влечет
Op(A) = H ∩A. Аналогично устанавливаем, что F (B) = Op(B) = H ∩B.
6. Op(A) = CA(Op(A)) и Op(B) = CB(Op(B)) — группы простого порядка.
Покажем, например, что Op(A) = CA(Op(A)) — группа порядка p. Но прежде
установим, что |Op(A)| = p. Предположим, что это не так, и пусть Ap — си-
ловская p-подгруппа в A. Тогда Op(A) ⊆ Ap. Если Op(A) ⊆ Φ(Ap), то согласно
[20] Op(A) ⊆ Φ(A). Применяя теперь лемму 3, видим, что Op(A) ⊆ Φ(G). Но в
силу утверждения 5 Op(A) = H ∩ A, что влечет H ∩ Φ(G) 6= 1. Следовательно,
H ⊆ Φ(G), что противоречит утверждению 4. Значит, подгруппа Op(A) не со-
держится в Φ(Ap). Пусть P1 — произвольная максимальная в Ap подгруппа, не
содержащая Op(A). Cогласно условию в подгруппе X найдется такой элемент x,
для которого произведение MxP1 является подгруппой в G. Поскольку согласно
нашему предположению |Op(A)| > p, то L = P1 ∩Op(A) 6= 1. Но согласно утвер-
ждению 5 Op(A) = H ∩A, и поэтому H ∩P1 6= 1. Так как, очевидно, Mx ∩H = 1,
то это влечет MxP1 6= Mx. Значит, MxP1 = G, и поэтому согласно лемме 1.19
из [13] MP1 = MAp = G. Пусть D = M ∩ Ap и P2 — такая максимальная в
Ap подгруппа, которая содержит подгруппу D. Согласно условию MxP2 = P2M
x
для некоторого элемента x ∈ X. Если MxP2 = G, то согласно лемме 1.19 из [13]
MP2 = G, и тогда |G| = (|M ||Ap|)/|D| = (|M ||P2|)/|M ∩ P2| = (|M ||P2|)/|D|,
что влечет Ap = P2. Полученное противоречие показывает, что MxP2 6= G, и
поэтому P2 ⊆ Mx. При этом поскольку MAp = G, то MxAp = G. Вместе с
предыдущим замечанием это показывает, что |G : M | = p. Но из утверждения 4
следует, что |G : M | = |H|, и поэтому H — циклическая группа простого поряд-
ка. Значит, согласно утверждению 4 G/H = G/CG(H) — циклическая группа,
поскольку G/CG(H) вкладывается в группу автоморфизмов группы H. Значит,
группа G cверхразрешима. Полученное противоречие показывает, что Op(A) —
группа порядка p.
Теперь покажем, что Op(A) = CA(Op(A)). Прежде всего заметим, что соглас-
но утверждениям 1 и 3 A — разрешимая группа и поэтому любая минимальная
нормальная подгруппа группы A содержится в F (A). Но согласно утверждению 4
F (A) = Op(A), и на основании доказанного выше Op(A) — группа порядка p.
Значит, Op(A) — единственная минимальная нормальная подгруппа группы A.
Так как при этом, согласно лемме 3, подгруппа Op(A) не содержится в Φ(A),
используя рассуждения, примененные при доказательстве утверждения 4, получаем
требуемое равенство Op(A) = CA(Op(A)).
Заключительное противоречие.
Согласно условию одна из подгрупп A, B нильпотентна. Не уменьшая общ-
ность можно считать, что A — нильпотентная группа. Тогда в силу утверждения 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
X-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП ... 1305
|A| = p, что вместе с утверждением 5 влечет A ⊆ H. Но тогда G = AB = HB, и
поэтому согласно утверждению 5 подгруппа Op(B) = H∩B является нормальной в
G. Применяя теперь утверждение 6 и учитывая, что H — минимальная нормальная
подгруппа в G, видим, что |H| = p, но это невозможно.
Теорема доказана.
4. Доказательство теоремы 3.
Лемма 4. Пусть Σ = {P1, P2, . . . , Pt} — набор силовских подгрупп группы
G (по одной для каждого простого делителя порядка G), где Pi — pi-группа и
p = p1 — наименьший простой делитель |G|. Пусть X = F (G). Тогда справедливы
следующие утверждения:
I. Если все максимальные подгруппы из P1 X-перестановочны со всеми под-
группами из Σ, то группа G p-нильпотентна.
II. Если все максимальные подгруппы любой группы из Σ X-перестановочны
со всеми подгруппами из Σ, то G сверхразрешима.
Доказательство. I. Предположим, что это утверждение не верно, и пусть G
— контрпример минимального порядка. Тогда
1. Фактор-группа G/H является p-нильпотентной для любой минимальной
нормальной подгруппы H из G.
Мы можем предполагать, что p делит |G/H|. Для любой силовской подгруппы
P/H из G/H можно подобрать такие элемент x ∈ G и индекс i, что PiH/H =
= (P/H)x. При этом p — наименьший простой делитель порядка фактор-группы
G/H. Cледовательно, применяя лемму 1 и используя соответствующие рассужде-
ния из доказательства теоремы 1, видим, что условие леммы наследуется фактор-
группой G/H. Но |G/H| < |G|, и поэтому в силу выбора группы G имеем утверж-
дение 1.
2. В группе G имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа H и
H * Φ(G).
Это непосредственно следует из утверждения 1 и того известного факта (см.,
например, [19, с. 34]), что класс всех p-нильпотентных групп замкнут относитель-
но образования подпрямых произведений и всегда из p-нильпотентности фактор-
группы G/Φ(G) следует p-нильпотентность самой группы G.
3. Подгруппа P1 не является циклической (поскольку p — наименьший простой
делитель порядка группы G, это непосредственно следует из [20]).
4. Подгруппа H является p-группой.
Предположим, что это не так и L — минимальная нормальная в H подгруппа.
Если L — абелева группа, то p не делит H, что в силу утверждения 1 влечет
p-нильпотентность группы G. Значит, L — простая неабелева группа. Применяя
теперь утверждение 2, видим, что X = 1. Поскольку L является субнормальной
подгруппой в G, Pi∩L — силовская pi-подгруппа в L. Предположим, что P1∩L 6=
6= P1 и M — максимальная в P1 подгруппа, содержащая P1 ∩L. Cогласно условию
PiM = MPi, и поэтому PiM ∩ L = (P1 ∩ L)(Pi ∩ L). Это означает, что в L
имеются холловские {p, pi}-подгруппы для всех pi, делящих порядок группы L.
Последнее противоречит [21]. Таким образом, P1 ⊆ L, и поэтому условие леммы
переносится на L. В силу выбора группы G мы должны заключить, что L = G.
Это вновь приводит нас к противоречию с [21].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1306 ВЭНЬБИНЬ ГО, К. П. ШАМ, А. Н. СКИБА
5. G = [H]M, где M — p-нильпотентная максимальная в G подгруппа и
H = Op(G) = CG(H) = X (см. доказательство теоремы 1).
6. Заключительное противоречие.
Пусть i 6= 1 и T = P1Pi. Понятно, что X = H ⊆ P1, и поэтому согласно
условию в силу утверждения 3 P1Pi = P1Pi. Таким образом, T является подгруп-
пой в G. Понятно также, что условие леммы выполняется и в T. Предположим,
что T 6= G. Тогда в силу выбора G T — p-нильпотентная группа, и поэтому Pi
— нормальная в T подгруппа, что влечет Pi ⊆ CG(H) = H. Это противоречие
показывает, что T = G и G = P1P2. Пусть Mp — силовская p-подгруппа в M,
L — такая максимальная подгруппа в P1, которая содержит Mp, и D — силовская
p2-подгруппа в M. Тогда D — силовская подгруппа в G, и поэтому согласно усло-
вию и в силу леммы 1 LD = DL. Но, очевидно, M ⊆ LD, и поэтому в силу
максимальности M имеет место M = LD. Но тогда |G : M | = p, и поэтому
|H| = |G : M | = p. Таким образом, в силу утверждения 5 G/H вкладывается
в группу автоморфизмов циклической группы порядка p, и поэтому |G/H| делит
p − 1, что невозможно, поскольку p — наименьший простой делитель |G|. Это
противоречие завершает доказательство первого утверждения данной леммы.
II. Предположим, что это утверждение не верно, и пусть G — контрпример
минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. В группе G имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа H,
причем для некоторого простого делителя q порядка группы G имеет место G =
= [H]M, где M — сверхразрешимая максимальная в G подгруппа и H = Oq(G) =
= CG(H) = F (см. доказательство теоремы 1).
2. Группа G дисперсивна по Оре.
В силу утверждения 1 леммы группа G имеет такую нормальную подгруппу
N, которая является холловской p′-подгруппой в G. Понятно, что N 6= 1, и по-
этому H ⊆ N. Таким образом, H ⊆ F (N). С другой стороны, поскольку F (N)
является характеристической подгруппой в N, F (N) — нильпотентная нормальная
подгруппа в G, и поэтому F (N) ⊆ H. Значит, F (N) = H = F (G). Понятно также,
что P2, . . . , Pt — набор силовских подгрупп в N (по одной для каждого просто-
го делителя порядка группы N ). Таким образом, условие выполняется в N, что
влечет сверхразрешимость подгруппы N. Но тогда, очевидно, группа G является
дисперсивной по Оре.
3. q Является наибольшим простым делителем порядка группы G.
Действительно, согласно утверждению 2 в группе G нормальной является си-
ловская r-подгруппа, где r — наибольший простой делитель |G|. Теперь применяем
утверждение 1.
4. H является силовской подгруппой в G.
Пусть Gq — силовская q-подгруппа в G. Тогда в силу утверждений 2 и 3 Gq
нормальна в G, и поэтому Gq ⊆ H.
5. Заключительное противоречие.
Пусть H1 — максимальная в H подгруппа, i 6= 1. Тогда в силу утверждения 4
и условия T = H1Pi = PiH1. При этом H1 = H ∩ T является нормальной в T
подгруппой. Таким образом, все подгруппы P2, . . . , Pt содержатся в NG(H1), и
поэтому H1 нормальна в G. В силу минимальности H это влечет H1 = 1 и, следова-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
X-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП ... 1307
тельно, |H| = q. В силу утверждения 1 из последнего следует сверхразрешимость
группы G, что противоречит ее выбору.
Теорема доказана.
Мы будем использовать символ N(G) для обозначения наименьшей нормаль-
ной в G подгруппы N с нильпотентной фактор-группой G/N. Следующая лемма
хорошо известна (см., например, лемму 1.2 из [19]).
Лемма 5. Пусть N — нормальная в G подгруппа. Тогда N(G/N) = N(G)/N.
Доказательство теоремы 3. 1) ⇒ 2). Предположим, что это не верно и G —
контрпример минимального порядка, D = N(G). Тогда справедливы следующие
утверждения:
1. Группа G сверхразрешима (это вытекает из леммы 4).
2. D является холловской подгруппой в G.
Понятно, что D 6= 1 и D ⊆ G′. Но поскольку группа G сверхразрешима, то
G′ ⊆ F (G), и поэтому D ⊆ X = F (G).
Предположим, что G имеет две такие минимальные нормальные подгруппы H
и R, что H — p-группа и R — q-группа с p 6= q. Не уменьшая общность можно
предположить, что H ⊆ D. Легко видеть, что условие 1 переносится на любую
фактор-группу группы G, и поэтому в силу выбора G утверждение 2 относительно
группы G/R верно.
Согласно лемме 5 N(G/R) = N(G)R/R = DR/R. Следовательно, DR/R —
холловская подгруппа в G/R. Пусть Dp является силовской p-подгруппой D. Тогда
RDp/R — силовская p-подгруппа DR/R, и поэтому RDp/R является силовской p-
подгруппой G/R. Следовательно, Dp — силовская p-подгруппа в G. Предположим,
что Dp 6= D и Dr — силовская r-подгруппа в D, где r 6= p. Теперь, рассматривая
фактор-группу G/H, заключаем, как и выше, что Dr — силовская p-подгруппа в
G. Таким образом, в рассматриваемом случае D является холловской подгруппой
в G.
Предположим, что все минимальные нормальные подгруппы группы G явля-
ются p-группами. В этом случае в силу сверхразрешимости группы G F (G) =
= Op(G) — силовская p-подгруппа в G и D ⊆ Op(G). Если H 6= D, то D —
силовская p-подгруппа в G. Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда
H = D. Покажем, что Φ = Φ(Op(G)) = 1. Предположим, что Φ 6= 1. Тогда
ΦD/Φ = ΦN(G)/Φ = N(G/Φ) является холловской подгруппой в G/Φ. Если
H ⊆ Φ, то G/Φ — нильпотентная группа. Но Op(G) E G, и поэтому Φ ⊆ Φ(G).
Следовательно, группа G нильпотентна, что ведет к случаю H = N(G) = 1, кото-
рый противоречит нашему выбору группы G. Значит, H * Φ, и поэтому HΦ/Φ —
неединичная p-группа. Это показывает, что HΦ = Op(G). Но это также невозмож-
но, поскольку Φ = Φ(Op(G)) и H 6= Op(G). Следовательно, Φ(Op(G)) = 1.
Пусть M — произвольная максимальная в Op(G) подгруппа. Поскольку Op(G)
является силовской подгруппой в G, согласно условию M X-перестановочна в G
со всеми ее силовскими подгруппами. Пусть Q является силовской q-подгруппой
в G, где q 6= p. Тогда, поскольку X = Op(G), QM = MQ. Значит, M = Op(G) ∩
∩QM E QM, и поэтому q - |G : NG(M)|. Поскольку q выбиралось произвольно,
имеем |G : NG(M)| = pα для некоторых α ∈ N. Но M E Op(G), следовательно,
M E G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1308 ВЭНЬБИНЬ ГО, К. П. ШАМ, А. Н. СКИБА
Теперь покажем, что каждая собственная немаксимальная подгруппа L из Op(G)
является пересечением некоторых максимальных подгрупп из Op(G). Действи-
тельно, если L = 1, то поскольку Φ(Op(G)) = 1, видим, что L — пересечение
всех максимальных подгрупп группы Op(G). Предположим, что L 6= 1. Тогда
|Op(G)/L| < |Op(G)|, и поэтому по индукции L — пересечение всех тех макси-
мальных подгрупп T группы Op(G), для которых имеет место L ⊆ T. Таким
образом, каждая подгруппа группы Op(G) нормальна в G.
В силу теоремы Машке для подгруппы Op(G) имеет место разложение Op(G) =
= 〈a〉 × 〈a2〉 × . . . × 〈at〉, где каждый сомножитель 〈ai〉 является минимальной
нормальной подгруппой в G и 〈a〉 = H. Пусть a1 = aa2 . . . at. Тогда, поскольку
〈a1〉 ∩ 〈a2〉 . . . 〈at〉 = 1, имеем Op(G) = 〈a1〉 × 〈a2〉 × . . . × 〈at〉. Поскольку G не
является нильпотентной группой, Op(G) * Z(G). Следовательно, найдется индекс
i такой, что ai /∈ Z(G). Ясно, что G имеет элемент g такой, что
(
|g|, p
)
= 1 и
g /∈ CG(ai). Пусть y =
[
[ai, y1], . . . , yn
]
, где y1 = . . . = yn = g и n = |G|. Тогда
y ∈ H = D. Но, с другой стороны, в силу изложенного в предыдущем абзаце
y ∈ 〈ai〉 и y 6= 1, так как g /∈ CG(ai). Следовательно, 〈ai〉 = H, что невозможно.
Это завершает доказательство того, что D — холловская подгруппа в G.
3. G = [D]M, где D и M — нильпотентные холловские подгруппы в G (это сле-
дует из теоремы Шура – Цассенхауза, утверждения 2 и определения подгруппы D).
4. Заключительное противоречие.
Пусть M — произвольная максимальная подгруппа в D и p = |D : M |. Обозна-
чим через Mp силовскую p-подгруппу из M. Тогда имеем M = MpMp′ , где Mp′ —
холловская p′-подгруппа в M. Ясно, что Mp′ является холловской p′-подгруппой в
D. Поскольку Mp′ char D E G, имеем Mp′ E G. Таким образом, чтобы доказать,
что подгруппа M является нормальной в G, необходимо показать, что подгруппа
Mp нормальна в G. Понятно, что Mp является максимальной подгруппой в силов-
ской p-подгруппе группы D. Поэтому в силу нильпотентности подгруппы D, Mp
нормальна в D. Кроме того, если Q — силовская подгруппа из G, не входящая в D,
то для некоторого x ∈ X имеет место MpQ
x = QxMp, что влечет Qx ⊆ NG(Mp).
Следовательно, Mp E G, и поэтому каждая максимальная подгруппа из D нор-
мальна в G. Следовательно, относительно группы G выполняется утверждение 2,
что невозможно в силу выбора группы G. Этим доказательство импликации 1) ⇒
⇒ 2) завершено.
2) ⇒ 1). Пусть P1 — произвольная максимальная подгруппа силовской p-
подгруппы P группы G и Q — произвольная силовская q-подгруппа группы G.
Покажем, что P1 является X-перестановочной с Q. Если p = q, то в силу теоремы
Силова P = Qx для некоторого x ∈ G, и поэтому P1Q
x = QxP1 = Qx. Более того,
используя рассуждения из доказательства леммы 2, можно показать, что равенство
P1Q
x = QxP1 = Qx выполняется для некоторого x ∈ X.
Пусть p 6= q, π1 = π(D) и π2 = π(M). Предположим, что p, q ∈ π2. Посколь-
ку в разрешимой группе G любые ее две силовские подгруппы G-перестановочны,
найдется элемент x ∈ G такой, что D1 = PQx = QxP. Так как при этом M ' G/D
— нильпотентная группа и D ∩ D1 = 1, видим, что подгруппа D1 является ниль-
потентной. Следовательно, [P1, Q
x] =, и поэтому P1Q
x = QxP1. Если p, q ∈ π1,
приходим к тому же самому заключению. Пусть Q ⊆ My. Тогда вследствие факто-
ризации G = DM согласно лемме 1.19 из [13] имеем факторизацию G = DMy.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
X-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП ... 1309
Значит, x = dm для некоторых d ∈ D и m ∈ My. Но группа My нильпотентна,
и поэтому Q нормальна в My. Следовательно, Qx = Qd. Итак, P1Q
x = P1Q
d —
подгруппа в G и d ∈ D ⊆ X. Таким образом, подгруппа P1 X-перестановочна с
Q. Рассмотрим теперь случай, когда p ∈ π1, q ∈ π2. В этом случае P — силовская
p-подгруппа в D, и поэтому P E G. Пусть Dp′ — холловская p′-подгруппа в D.
Тогда Dp′ E G. Пусть M1 = P1Dp′ . Тогда имеем |D : M1| = |PDp′ : P1Dp′ | = p
и, следовательно, M1 — максимальная подгруппа в D. В соответствии с гипотезой
M1 E G. Значит, P ∩ P1Dp′ = P1(P ∩ Dp′) = P1 E G, и поэтому P1Q = QP1.
Аналогично, если q ∈ π1, p ∈ π2, можно показать, что Q E G, что вновь влечет
P1Q = QP1. Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Пусть G — группа и X = F (G) — ее подгруппа Фиттинга. Если
все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из G X-перестановочны со
всеми силовскими подгруппами из G, то G — сверхразрешимая группа.
1. Huppert B. Zur Sylowstruktur auflosbarer Gruppen // Arch. Math. – 1961. – 12. – S. 161 – 169.
2. Srinivasan S. Two sufficient conditions for supersolubility of finite groups // Isr. J. Math. – 1980. –
35, № 3. – P. 210 – 214.
3. Wang Y. c-Normality of groups and its properties // J. Algebra. – 1996. – 180. – P. 954 – 965.
4. Wei H. On c-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups //
Communs Algebra. – 2001. – 29, № 5. – P. 2193 – 2200.
5. Wei H., Yanming W., Yangming Li. On c-normal maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups
of finite groups // Ibid. – 2003. – 31, № 10. – P. 4807 – 4816.
6. Asaad M., Heliel A. A. On permutable subgroups of finite groups // Arch. Math. – 2002. – 80. –
S. 113 – 118.
7. Ballester-Bolinches A., Guo X. On complemented subgroups of finite groups // Ibid. – 1999. – № 72.
– P. 161 – 166.
8. Guo W., Shum K. P., Skiba A. G-covering subgroup systems for the classes of supersoluble and
nilpotent groups // Isr. J. Math. – 2003. – 138. – P. 125 – 138.
9. Веньбинь Го, Шам К. П., Скиба А. Н. G-накрывающие системы подгрупп для классов p-
сверхразрешимых и p-нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45, № 3. –
С. 75 – 92.
10. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 889 p.
11. Ore O. Contributions in the theory of groups of finite order // Duke Math. J. – 1939. – 5. –
P. 431 – 460.
12. Wall G. Groups with maximal subgroups of Sylow subgroups normal // Isr. J. Math. – 1982. – 43. –
P. 166 – 168.
13. Черников Н. С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев:
Наук. думка, 1987. – 208 c.
14. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. X-semipermutable subgroups. – Gomel, 2004. – 16 p. – (Preprint
/ GGU im. F. Skoriny, № 10).
15. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. Conditionally permutable subgroups and supersolubility of finite
groups // SEAMS Bull. Math. – 2005. – 29, № 2. – P. 240 – 255.
16. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. X-permutable subgroups. – Gomel, 2002. – (Preprint / GGU
im. F. Skoriny, № 61).
17. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. Criterions of supersolubility for products of supersoluble groups //
Math. Debreceen. – 2006. – 68, № 3-4. – P. 433 – 449.
18. Al-Sheikahmad A. Finite groups with given c-permutable subgroups // Algebra Discrete Math. –
2004. – № 3. – P. 12 – 19.
19. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука,1978. – 272 с.
20. Huppert B. Endliche Gruppen I. – Heidelberg; New York: Springer, 1967. – 793 S.
21. Тютянов В. Н. К гипотезе Холла. – Гомель, 2001. – 14 с. – (Препринт / Гомел. ун-т им. Ф. Ско-
рины, № 111).
Получено 22.03.2005,
после доработки — 04.07.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
|