O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области

Вивчено малі рухи i власні коливання стисливої стратифікованої рідини, досліджено структуру спектра, базисність системи власних векторів, одержано асимптотичні формули для власних значень....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Вронский, Б.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165414
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области / Б.М. Вронский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1326–1334. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165414
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1654142020-02-14T01:28:00Z O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области Вронский, Б.М. Статті Вивчено малі рухи i власні коливання стисливої стратифікованої рідини, досліджено структуру спектра, базисність системи власних векторів, одержано асимптотичні формули для власних значень. We study small motions and free oscillations of a compressible stratified liquid, the structure of the spectrum, and the basis property of a system of eigenvectors and obtain asymptotic relations for eigenvalues. 2006 Article O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области / Б.М. Вронский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1326–1334. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165414 517.9:532 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Вронский, Б.М. O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области Український математичний журнал
description	Вивчено малі рухи i власні коливання стисливої стратифікованої рідини, досліджено структуру спектра, базисність системи власних векторів, одержано асимптотичні формули для власних значень.
format	Article
author	Вронский, Б.М.
author_facet	Вронский, Б.М.
author_sort	Вронский, Б.М.
title	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области
title_short	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области
title_full	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области
title_fullStr	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области
title_full_unstemmed	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области
title_sort	o малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165414
citation_txt	O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области / Б.М. Вронский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1326–1334. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT vronskijbm omalyhdviženiâhsistemyžidkostʹgazvograničennojoblasti
first_indexed	2025-07-14T18:24:59Z
last_indexed	2025-07-14T18:24:59Z
_version_	1837647790220509184
fulltext	UDK 517.9:532 B. M. Vronskyj (Tavryç. nac. un-t, Symferopol\) O MALÁX DVYÛENYQX SYSTEMÁ „ÛYDKOST\|-HAZ” V OHRANYÇENNOJ OBLASTY Small motions and proper oscillations of a compressible stratified fluid are studied. The structure of a spectrum and the base property of a system of eigenvectors are investigated, asymptotic formulas for eigenvalues are obtained. Vyvçeno mali ruxy i vlasni kolyvannq styslyvo] stratyfikovano] ridyny, doslidΩeno strukturu spektra, bazysnist\ systemy vlasnyx vektoriv, oderΩano asymptotyçni formuly dlq vlasnyx znaçen\. 1. Postanovka zadaçy y pryvedenye ee k operatornoj forme. 1.1. Posta- novka naçal\no-kraevoj zadaçy. Pust\ nepodvyΩn¥j sosud celykom zapolnen ydeal\noj sΩymaemoj Ωydkost\g. Ûydkost\ predpolahaetsq stratyfycyro- vannoj, t. e. ee plotnost\ v sostoqnyy pokoq yzmenqetsq vdol\ vertykal\noj osy Oz po zakonu ρ ρ0 0= ( )z . Oblast\, zanqtug Ωydkost\g, oboznaçym çerez Ω, a ee hranycu (tverdug stenku) — çerez S. Sçytaem, çto systema naxodytsq pod dejstvyem syl¥ tqΩesty s uskorenyem � � g gk= − , hde � k — ort osy Oz. Budem rassmatryvat\ sluçaj ustojçyvoj stratyfykacyy, kotoraq ymeet mesto pry v¥polnenyy uslovyq (sm. [1, 2]) 0 < N− 2 ≤ N z2( ) ≤ N+ 2 ≤ ∞ , (1) N z2( ) ≡ N z g c0 2 2 ( ) −    , N z0 2( ) ≡ – g z(ln ( ))ρ0 ′ , hde c — skorost\ zvuka v Ωydkosty. Velyçynu N z2( ) prynqto naz¥vat\ çasto- toj plavuçesty yly çastotoj Vqjsqlq – Brenta. Mal¥e dvyΩenyq system¥ opys¥vagtsq uravnenyqmy (sm. [1, 2]) ∂ ∂ 2 2 � w t = – 1 1 0 0ρ ρ ρ∇ −p g k � ( v Ω ) , (2) ρ ρ ρ+ ′ +w wz 0 0 div � = 0 ( v Ω ) , (3) ρ ρ+ ′wz 0 = c p gwz − −2 0( )ρ ( v Ω ) , (4) kraev¥m uslovyem � � w n⋅ = 0 ( na S ) , (5) v¥raΩagwym uslovye neprotekanyq na tverdoj stenke, y naçal\n¥my uslovyq- my � � w x( , )0 = � � w x0( ), ∂ ∂ � � w x t ( , )0 = � � w x1( ). (6) Zdes\ � � � w w x t= ( , ) — pole smewenyq çastyc Ωydkosty ot sostoqnyq ravnove- syq, p p x t= ( , ) � — otklonenye polq davlenyq ot ravnovesnoho, ρ ρ= ( , ) � x t — otklonenye polq plotnosty ot ravnovesnoho, � n — vneßnqq normal\ k S, x = = ( , , )x x z1 2 — toçka v R 3. 1.2. Metod ortohonal\noho proektyrovanyq. Naçal\no-kraevug zadaçu (2) – (6) pryvedem k dyfferencyal\nomu uravnenyg v nekotorom hyl\bertovom prostranstve. Vvedem v rassmotrenye prostranstvo vektor-funkcyj → L2( )Ω so skalqrn¥m proyzvedenyem © B. M. VRONSKYJ, 2006 1326 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 O MALÁX DVYÛENYQX SYSTEMÁ “ÛYDKOST\|-HAZ” … 1327 ( , ) � � v u L2 = ρ0( )z u d � � v ⋅ ∗∫ Ω Ω . (7) Oboznaçym çerez → J0 0( , )Ω ρ podprostranstvo → L2( )Ω , poluçagweesq zam¥kany- em po norme → L2( )Ω mnoΩestva hladkyx funkcyj → J ( )Ω = � � � � u C u u n S∈ = ⋅ ={ }1 0 0( ) : ,Ω Ωdiv v na . (8) V kaçestve druhoho voz\mem podprostranstvo → G( )Ω = → ∈ = ∇      � � v vL( , ) :Ω Φρ ρ0 0 1 . (9) Skalqrn¥e funkcyy Φ Φ= ( , ) � x t , poroΩdagwye podprostranstvo → G( )Ω , obrazugt prostranstvo, kotoroe budem oboznaçat\ W2 1 0 1( ),Ω ρ− . Skalqrnoe pro- yzvedenye y norma v nem zadagtsq po formulam ( ), ,Φ Ψ Ω1 = ρ0 1− ∗∇ ⋅∇∫ Φ Ψ Ω Ω d , Φ Ω1 2 , = ρ0 1 2− ∇∫ Φ Ω Ω d . (10) Krome πtoho na funkcyy Φ Ω∈ −W z2 1 0 1( ), ( )ρ nalahaetsq normyrugwee uslovye Φ Ω Ω d∫ = 0. Lemma01. Prostranstvo → L2 0( , )Ω ρ dopuskaet ortohonal\noe razloΩenye → L2 0( , )Ω ρ = → J0 0( , )Ω ρ � G( )Ω . (11) Yz (11) sleduet, çto lgboj vektor � w ∈ → L2 0( , )Ω ρ moΩno predstavyt\ v vyde � w = � u z+ ∇−ρ0 1( ) Φ , � u ∈ → J0 0( , )Ω ρ , ρ0 1− ∇( )z Φ ∈ → G( )Ω . (12) V dal\nejßem funkcyy � � w x t( , ), p x t( , ) � pry lgbom t > 0 budem sçytat\ πle- mentamy prostranstva → L2 0( , )Ω ρ . Funkcyg � w budem yskat\ v vyde (12), a ρ0 1− ∇p — sçytat\ πlementom → G( )Ω . Uslovye � � w n⋅ = 0 na S pozvolqet za- klgçyt\, çto ∂ ∂ Φ n = 0 na S. Sproektyruem uravnenye (2) na → J0 0( , )Ω ρ y → G( )Ω . V rezul\tate poluçym d u dt P N z u k P N z z z k P g z kz 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 1 � � � � + + ∂ ∂     + − ∇−( ) ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρΦ Φdiv = 0, d dt z P N z u k N z z z k g z kG z 2 2 0 1 0 2 0 2 0 0 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ− −∇ + + ∂ ∂ − ∇    Φ Φ Φ � � � div + + ρ ρ ρ0 1 0 2 0 1− −∇ + ∂ ∂ − ∇   g u g z c zz Φ Φdiv( )( ) = 0, hde P0 y PG — proektor¥ na podprostranstva → J0 0( , )Ω ρ y → G( )Ω sootvetst- venno. Vvedem v poslednem uravnenyy funkcyy Ψi , i = 1, 2, 3, takye, çto ΨiN∈ ∈ W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− y ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1328 B. M. VRONSKYJ ρ0 1 1 − ∇Φ = P g z kG( ( ) )( )− ∇−div ρ0 1 Φ � , ρ0 1 2 − ∇Φ = P N z z z kG 0 2 0 ( ) ( )ρ ∂ ∂     Φ � , ρ0 1 3 − ∇Φ = P N z u kG z( )( )0 2 � . Zatem proyntehryruem eho po prostranstvenn¥m peremenn¥m. V rezul\tate po- luçym systemu ∂ ∂ + 2 2 0 0 2 � �u t P N z u kz( )( ) + + P N z z z k P g z k0 0 2 0 0 0 1( ) ( ) ( )( ( ) ) ρ ρ∂ ∂     + − ∇−Φ Φ � � div = 0, (13) ∂ ∂ + 2 2 0 Φ t g uzρ + + g z c z ∂ ∂ − ∇ + + +−Φ Φ Ψ Ψ Ψ2 0 1 1 2 3div( )( )ρ = 0. (14) 1.3. Operatornoe uravnenye zadaçy. Dlq perexoda ot system¥ (13), (14) k dyfferencyal\nomu uravnenyg v hyl\bertovom prostranstve vvedem operator¥ Aij y Bij , i, j = 1, 2, sledugwym obrazom: A u11 � = P N z u kz0 0 2( )( ) � , A12Φ = P N z z z k0 0 2 0 ( ) ( )ρ ∂ ∂     Φ � , A u21 � = Ψ3 , A22Φ = Ψ2 , B12Φ = P g z k0 0 1( ( ) )( )− ∇−div ρ Φ � , B u21 � = g uzρ0 , B22Φ = g z ∂ ∂ +Φ Ψ1, B u11 � = 0, B0Φ = – c z2 0 1div( )( )ρ− ∇Φ . Teper\ systemu (13), (14) moΩno zapysat\ v vyde d U dt AU BU 2 2 + + = 0, U( )0 = U0 , ′U ( )0 = U1 , (15) U ≡ ( ), � u TΦ ∈ H ≡ → J0 0( , )Ω ρ � W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− . Skalqrnoe proyzvedenye v prostranstve H zadaetsq po formule ( ),U U H1 2 = ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ), � � � � u u z u u z dL1 2 1 2 1 0 1 2 0 1 1 22 + ⋅ + ∇ ⋅∇∗ − ∗∫Φ Φ Φ Φ ΩΩ Ω ρ ρ . Operator¥ A y B yz (15) ymegt vyd A = A A A A 11 12 21 22     , B = 0 12 21 22 0 B B B B+     . 1.4. Svojstva operatorov. Lemma02. Operator A : H → H qvlqetsq samosoprqΩenn¥m y neotryca- tel\n¥m, pryçem A N z N= ≡max ( )0 2 0 2 . Dokazatel\stvo sostoyt v sostavlenyy bylynejnoj form¥ ( ),AU U H1 2 , hde U1 , U2 ∈ H, y prymenenyy opredelenyj operatorov Aij , i, j = 1, 2, vekto- rov Ui y sootvetstvugwyx skalqrn¥x proyzvedenyj. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 O MALÁX DVYÛENYQX SYSTEMÁ “ÛYDKOST\|-HAZ” … 1329 Krome toho, moΩno pokazat\, çto A N≤ 0 2 . Yspol\zovav to, çto σ ( )A11 = = [ ],0 0 2N [4], poluçym A N= 0 2 . Lemma03. Operator B0 qvlqetsq neohranyçenn¥m, samosoprqΩenn¥m y po- loΩytel\no opredelenn¥m v prostranstve W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− . Dokazatel\stvo. Sostavym bylynejnug formu ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω , hde Φ1 , Φ2N∈ ∈ D ( B0 ) . Ymeem ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω = c z z z d2 0 0 1 1 0 1 2ρ ρ ρ( ) ( ) ( )( ) ( )div div− − ∗∇ ∇∫ Φ Φ Ω Ω = ( ), ,Φ Φ Ω1 0 2 1B . V formule dlq ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω poloΩym Φ1 = Φ2 = ΦN∈ W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− . Tohda ( ), ,B0 1Φ Φ Ω = c z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω . Netrudno ubedyt\sq v tom, çto operator B0 πllyptyçeskyj. Dlq takyx ope- ratorov v¥polnqetsq neravenstvo c W1 2 2 2Φ Ω( ) ≤ B L0 2 2 Φ Ω( ) ≤ c W2 2 2 2Φ Ω( ) , c1 , c2 > 0. V¥raΩenye dlq B L0 2 2 Φ Ω( ) ymeet vyd B L0 2 2 Φ Ω( ) = c z z d4 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω . Sravnyvaq v¥raΩenyq dlq ( ), ,B0 1Φ Φ Ω y B L0 2 2 Φ Ω( ), a takΩe yspol\zuq pryvedennoe neravenstvo, pryxodym k v¥vodu, çto norma v πnerhetyçeskom prostranstve operatora B0 πkvyvalentna odnoj yz norm prostranstva W2 2( )Ω . Otsgda y yz teorem vloΩenyq sleduet, çto, vo-perv¥x, ( ), ,B0 1Φ Φ Ω = Φ B0 2 ≥ ≥ Φ Ω1 2 , , t. e. operator B0 — poloΩytel\no opredelen, y, vo-vtor¥x, lgboe mnoΩestvo, ohranyçennoe v norme πnerhetyçeskoho prostranstva operatora B0 , kompaktno v norme prostranstva W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− . Lemma04. Operator B0 1− prynadleΩyt klassu � p pry p > 3 2/ . Dokazatel\stvo. Kompaktnost\ sleduet yz pred¥duwej lemm¥. Krome toho, yzvestno, çto sobstvenn¥e znaçenyq operatora B0 1− ymegt asymptotyçes- koe povedenye: λn B( )0 1− = c n o B0 1 2 3 1 1− − +/ ( ( )) pry n → ∞ , (16) t. e. operator B0 1− prynadleΩyt klassu � p pry p > 3 2/ . Lemma05. Operator D A B≡ + neotrycatelen. 2. Sobstvenn¥e kolebanyq. Perejdem k yssledovanyg sobstvenn¥x kole- banyj system¥, t. e. k yzuçenyg svojstv reßenyj zadaçy (15), zavysqwyx ot vre- meny po zakonu exp( )i tω . V rezul\tate poluçym spektral\nug zadaçu λU AU BU= + , λ ω= 2 . (17) Otmetym, çto tak kak operator D A B= + neotrycatelen, spektr zadaçy (17) vewestvenn¥j y raspoloΩen na luçe [ 0, + ∞ ) . 2.1. Akustyçeskye kolebanyq. Perepyßem uravnenye (17) v matryçnoj forme y budem sçytat\, çto λ > N0 2 . Ot uravnenyq (17) perejdem k systeme ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1330 B. M. VRONSKYJ ( )I A u− −λ 1 11 � = λ−1 12D Φ , (18) λ Φ = D u D B21 22 0 � + +( )Φ , i, j = 1, 2, yz kotoroj, ysklgçyv � u , poluçym zadaçu na sobstvenn¥e znaçenyq λ Φ = λ λ− + +1 21 12 22 0D R D D B( ) Φ Φ Φ , hde R I A( ) ( )λ λ≡ − − −1 11 1 — analytyçeskaq operator-funkcyq, prynymagwaq znaçenyq na mnoΩestve ohranyçenn¥x samosoprqΩenn¥x operatorov ( )λ > N0 2 . V¥polnym v poslednem ravenstve zamenu Φ = −B0 1 2/ ζ y prymenym k obeym çastqm operator B0 1 2− / . V rezul\tate poluçym zadaçu L( )λ ζ ≡ ( )( )I S B F+ − +− −λ λ λ ζ0 1 1 = 0, (19) hde S ≡ B D B0 1 2 22 0 1 2− −/ / , F( )λ ≡ B D R D B0 1 2 21 12 0 1 2− −/ /( )λ . Lemma06. Operator-funkcyq F( )λ y z (19) pry λ > N0 2 prynymaet zna- çenyq na mnoΩestve lynejn¥x, ohranyçenn¥x y samosoprqΩenn¥x operatorov. Dokazat\ nuΩno tol\ko ohranyçennost\. Dlq πtoho pokaΩem, çto operator¥ Q D B12 12 0 1 2≡ − / y Q B D21 0 1 2 21≡ − / ohranyçen¥. Poskol\ku ony vzaymno soprq- Ωen¥, to dostatoçno dokazat\ ohranyçennost\ Q12 . Ymeem Q A B12 12 0 1 2= − / + + B B12 0 1 2− / . Pervoe slahaemoe ohranyçeno (y daΩe kompaktno) v sylu svojstv operatorov A y B0 1 2− / . PokaΩem, çto y B B12 0 1 2− / takΩe ohranyçen. Dlq πtoho v¥çyslym B B12 0 1 2 2− / ζ : B B12 0 1 2 2− / ζ = ( )/ /,B B B B12 0 1 2 12 0 1 2− −ζ ζ = ( ),B B12 12Φ Φ = = g z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω , ζ 2 = ( ),B0Φ Φ = c z z d2 0 0 1 2 ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω Ω . Otsgda sleduet B B12 0 1 2 2− / = g c2 2/ . Sledovatel\no, operator¥ Q12 y Q21 ohranyçen¥ y dlq yx norm spravedlyv¥ ocenky Q12 = Q21 ≤ λ1 1 2 0 1 0 2/ ( ) /B N g c− + , hde λ1 0 1( )B− — pervoe sobstvennoe znaçenye operatora B0 1− . Takym obrazom, oh- ranyçennost\ operator-funkcyy F( )λ dokazana. Lemma07. Operator S qvlqetsq samosoprqΩenn¥m y kompaktn¥m. Dokazatel\stvo. SamosoprqΩennost\ sleduet yz struktur¥ operatora S y svojstv vxodqwyx v neho operatorov. PokaΩem eho polnug neprer¥vnost\. Dlq πtoho predstavym S v vyde summ¥ S S SA B= + , hde S B B BA ≡ − − 0 1 2 22 0 1 2/ / , S B B BB ≡ − − 0 1 2 22 0 1 2/ / . Operator SA neotrycatelen y, krome, toho, SA p∈� pry ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 O MALÁX DVYÛENYQX SYSTEMÁ “ÛYDKOST\|-HAZ” … 1331 p > 3 2/ . Yzuçym svojstva operatora SB. Dlq πtoho sostavym v¥raΩenye dlq ( ),SBζ ζ : ( ),SBζ ζ = – 2 0 1g z z ddiv( )( )ρ− ∗ ∇ ∂ ∂    ∫ Φ Φ Ω Ω . Yspol\zovav neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, poluçym ( ),SBζ ζ ≤ 2 0 1g Bζ ζ ζ( ),− . V¥berem posledovatel\nost\ { }ζn n= ∞ 1 takug, çto ζn → 0 (slabo), n → ∞ . Dlq nee suwestvuet c > 0 takoe, çto dlq vsex n ∈ N ζn = c z z dn 2 0 0 1 2 1 2 ρ ρ( ) ( )( ) / div − ∇    ∫ Φ Ω Ω < c y v sylu polnoj neprer¥vnosty operatora B0 1− v¥polneno uslovye ( ),B n n0 1− ζ ζ = Ω Φ Ω∫ − ∇ρ0 1 2( ) )z dn → 0 pry n → ∞ . Teper\ v sylu ocenky dlq ( ),SBζ ζ poluçym, çto ( ),SBζ ζ → 0 pry n → ∞ dlq lgboj slabo sxodqwejsq k nulg posledovatel\nosty { }ζn n= ∞ 1. Otsgda sleduet, çto SB p∈� pry p > 3. Krome toho, dokazano neravenstvo SB ≤ 2 2 1 1 2 0 1g c Bλ / ( )− . Lemma dokazana. 2.2. Faktoryzacyq operatornoho puçka. Dlq yssledovanyq operator- funkcyy L( )λ yz (19) vospol\zuemsq teoremoj o faktoryzacyy yz [3, c. 178]. Pered tem kak prymenyt\ πtu teoremu v¥polnym v (19) zamenu λ µ= 1/ spekt- ral\noho parametra. V rezul\tate poluçym operatorn¥j puçok M( )µ = µ µ µ µ µI B S S FA B− + + +− − 0 1 2 1( ), µ ∈ −[ ],0 0 2N . (20) Yspol\zovav ocenky dlq norm operatorov, sostavlqgwyx πtot puçok, y teo- remu o faktoryzacyy yz [3], prydem k sledugwemu utverΩdenyg. Teorema01 (dostatoçnoe uslovye faktoryzacyy). Pry v¥polnenyy uslovyq λ1 0( )B > max ,N g c g c g c0 2 2 4 2 2 2 44+ −             (21) operator-funkcyq M( )µ dopuskaet faktoryzacyg vyda M( )µ = M+( )µ × × ( )µI Z− , hde M+( )µ holomorfna y holomorfno obratyma v nekotoroj ok- restnosty otrezka [ ( ) ],− + −ε ε1 0 2 2 1N , a operator Z takoj, çto σ( )Z ⊂ ⊂ [ ( ) ],− + −ε ε1 0 2 2 1N pry ukazannom v¥ße v¥bore çysel ε1 y ε2 . S pomow\g metoda neopredelenn¥x koπffycyentov lehko proveryt\, çto Z M B I T B= = +− − − 0 1 0 1 0 1( ) , hde T ∈ ∞� , t. e. Z — slabovozmuwenn¥j kompakt- n¥j operator, pryçem Ker Z = { }0 . 2.3. O polnote system¥ mod akustyçeskyx voln. Teorema02. Esly v¥polneno uslovye faktoryzacyy (21), to zadaça (19) pry λ > N0 2 ymeet dyskretn¥j spektr { }λk k= ∞ 1, λ µk k Z= −[ ( )] 1, sostoqwyj yz ko- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1332 B. M. VRONSKYJ neçno kratn¥x sobstvenn¥x znaçenyj s edynstvennoj predel\noj toçkoj λ = = + ∞ . Sootvetstvugwye ym sobstvenn¥e vektor¥ { }ζk k= ∞ 1 obrazugt polnug y mynymal\nug systemu v prostranstve W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− . Dokazatel\stvo sleduet yz teorem¥ M.NV.NKeld¥ßa o slabovozmuwennom operatore. Teorema03. Esly v¥polneno uslovye faktoryzacyy (21), to reßenyqm zada- çy (19) { }λk k= ∞ 1 y { }ζk k= ∞ 1 pry λ > N0 2 sootvetstvugt mod¥ kolebanyj U uk k k T= ( , ) � Φ , k = 1, 2, … , ymegwye xarakter akustyçeskyx voln. A ymenno: pry normyrovke � uk L k2 2 1 2+ Φ Ω, = 1, k = 1, 2, … , ymegt mesto asymptotyçeskye formul¥ � uk L2 → 0, B k k k0 1 1 1− −Φ Φ Ωλ , → 0, k → ∞ . Dokazatel\stvo. PoloΩyv Φ Φ= k y λ λ= k , k = 1, 2, … , zapyßem systemu (18) v vyde � uk = λ λk k kI A D− − −−1 1 11 1 12( ) Φ , λk kΦ = D u D Bk k21 22 0 � + +( )Φ . Zatem, v¥polnyv v nej zamenu Φk kB= − 0 1 2/ ζ , posle nekotor¥x preobrazovanyj poluçym � uk = λ λk k kI A D− − −−1 1 11 1 12( ) Φ , λ ζ ζk k kB0 1− − = Q u Sk k21 � + ζ , posle çeho perejdem k predelu pry k → ∞ . Yz pervoho yz sootnoßenyj ymeem � uk L2 0→ , a yz vtoroho — B k k k0 1 1 1 0− −− →ζ λ ζ ,Ω . Perexodq ot ζk k Φk , poluçaem utverΩdenye teorem¥. 2.4. Dvustoronnye ocenky sobstvenn¥x znaçenyj. Po-preΩnemu, budem sçytat\, çto v¥polneno uslovye (21). V πtom sluçae sobstvenn¥e znaçenyq { }λk k= ∞ 1 zadaçy naxodqtsq na yntervale ( ),N0 2 +∞ , obrazuq tam dyskretn¥j spektr s edynstvennoj predel\noj toçkoj λ = +∞ . Perejdem k puçku s ohra- nyçenn¥my operatoramy. Dlq πtoho v¥polnym zamenu ζ = B0 1 2/ Φ . V rezul\ta- te poluçym λ ζ ζ ζ I B u A Q Q S u I u0 0 0 0 00 1 11 12 21 −         −         −         � � � = 0, yly v kompaktnoj forme (oboznaçenyq qsn¥) L ( )λ ≡ ( )λR A J− − z = 0, z = ( ), � u Tζ . (22) UmnoΩyv skalqrno (22) na z, moΩno sdelat\ v¥vod, çto sobstvenn¥e znaçe- nyq λk naxodqtsq sredy znaçenyj funkcyonala Releq λk z( ) = ( , ) ( , ) ( , ) A J R z z z z z z + , pryçem moΩno sçytat\, çto ( , )R z z = 1. Netrudno vydet\, çto ( ( ) )( ) ,L λ z z z = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 O MALÁX DVYÛENYQX SYSTEMÁ “ÛYDKOST\|-HAZ” … 1333 = 0 y ( ( ) )( ) ,′ >L λ z z z 0. Takym obrazom, para ( ( ) ), ( )L λ λ z obrazuet systemu Releq na yntervale ( ),N0 2 +∞ . Dlq çastot λk N∈ +∞( ),0 2 spravedlyv varyacyonn¥j pryncyp [1] λk = sup inf ( ) M z M k k z ∈ λ , k = 1, 2, … , (23) hde Mk — k-mernoe podprostranstvo. Dalee poluçym dvustoronnye ocenky dlq sobstvenn¥x znaçenyj λk . V sylu svojstv vxodqwyx v v¥raΩenye dlq λ( )z operatorov ( , ) ( , ) J R z z z z ≤ λ( )z ≤ ( , ) ( , ) ( , ) A J R z z z z z z + . Dal\nejßee preobrazovanye pryvodyt k dvojnomu neravenstvu ( , )B0Φ Φ ≤ λ( )z ≤ ( , )DU U , U = ( , ) � u TΦ . Vospol\zovavßys\ lemmojN5, ocenym sverxu v¥raΩenye dlq ( , )DU U : ( , )DU U ≤ Ω Φ Ω∫ + ∇ ⋅−ρ ρ0 0 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )( )z N z u z k d � � + + c z z d2 0 0 1 2 Ω Φ Ω∫ − ∇ρ ρ( ) ( )( )div + + 2 0 0 1 0 1g z u z k z d Ω Φ Φ Ω∫ + ∇ ⋅ ∇− −ρ ρ ρ( ) ( ) ( )( ) ( ) � � div + + Ω Φ Ω∫ + ∇ ⋅−ρ ρ0 0 2 0 1 2 ( ) ( ) ( )( )z N z u z k d � � + + c z z d2 0 0 1 2 Ω Φ Ω∫ − ∇ρ ρ( ) ( )( )div + + 2 1 0 0 2 0 1 2 1 2 gc z N z u z k d− −∫ + ∇ ⋅    Ω Φ Ωρ ρ( ) ( ) ( )( ) / � � × × c z z d2 0 0 1 2 1 2 Ω Φ Ω∫ − ∇     ρ ρ( ) ( )( ) / div ≤ ≤ N B gc B0 2 0 1 0 1 22+ + −( , ) ( , ) /Φ Φ Φ Φ . Prymenyv teper\ varyacyonn¥e pryncyp¥ (23) y Kuranta, poluçym trebuem¥e ocenky dlq sobstvenn¥x znaçenyj λk : λk B( )0 ≤ λk ≤ λ λk kB gc B N( ) ( )/ 0 1 1 2 0 0 22+ +− , otkuda sleduet asymptotyçeskaq formula λk = λk B o( )( ( ))0 1 1+ , k → ∞ . 2.5. Symmetryzator spektral\noj zadaçy. Vvedem v rassmotrenye ope- rator F po formule F = 1 2 1 π µ µ µ i M d t − = ∫ ( ) , λ1 0 1( )B− < t < N0 2− . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1334 B. M. VRONSKYJ Tak Ωe, kak y v pp.N2.1, dokaz¥vagtsq sledugwye utverΩdenyq. Lemma08. Operator F qvlqetsq samosoprqΩenn¥m, ohranyçenn¥m y sym- metryzugwym sprava operator Z, t. e. ( )ZF ZF∗ = . Lemma09. Operator F qvlqetsq poloΩytel\no opredelenn¥m y ymeet strukturu F I F= + 1, hde F p1∈� (pry p > 3). 2.6. Bazysnost\ system¥ mod akustyçeskyx voln. Nalyçye symmetryza- tora F operatora Z pozvolqet, pry v¥polnenyy uslovyq (21), dokazat\ sledu- gwug teoremu. Teorema04. Pry v¥polnenyy uslovyq (21) systema sobstvenn¥x vektorov zadaçy (19) obrazuet p-bazys (pry p > 3) prostranstva W z2 1 0 1( ), ( )Ω ρ− . Dokazatel\stvo povtorqet sootvetstvugwye rassuΩdenyq yz pp.N2.2. 2.7. Voln¥, poroΩdenn¥e stratyfykacyej. Budem sçytat\, çto λ N∈ ∈ [ ],0 0 2N . Perepyßem yssleduemug systemu v vyde λ � u = A u D11 12 � + Φ , ( )λ I D B− −22 0 Φ = D u21 � . Na otrezke [ ],0 0 2N operator λ I D B− −22 0 obratym vsgdu, za ysklgçenyem ko- neçnoho çysla toçek. Dejstvytel\no, λ λI D B B I S B B− − = − − −− − − 22 0 0 1 2 0 1 0 1 2/ /( ) . Sohlasno teoreme M. V. Keld¥ßa [6] operator-funkcyq I S B− − −λ 0 1 obratyma vsgdu, za ysklgçenyem ne bolee çem sçetnoho mnoΩestva yzolyrovann¥x toçek s predel\noj toçkoj λ = ∞ . Na otrezke [ ],0 0 2N πtyx toçek ne bolee koneçnoho çysla, t. e. utverΩdenye ob obratymosty operatora λ I D B− −22 0 dokazano. V tex Ωe toçkax, v kotor¥x operator λ I D B− −22 0 obratym, ymeem spekt- ral\nug zadaçu λ � u = ( ( ))A Q Q P u11 12 21− + λ � , hde operator-funkcyq P ( λ ) prynymaet znaçenyq na mnoΩestve samosoprqΩen- n¥x vpolne neprer¥vn¥x operatorov. Dalee nam snova ponadobytsq rezul\tat rabot¥ [6] o predel\nom spektre operatora A11. Opyraqs\ na neho y rassuΩdenyq, analohyçn¥e sootvetstvug- wym rassuΩdenyqm yz pp.N2.2, moΩno dokazat\, çto spravedlyva sledugwaq te- orema. Teorema05. Predel\n¥j spektr zadaçy (17) sovpadaet s otrezkom [ ],0 0 2N . 1. Brexovskyx L. M., Honçarov V. V. Vvedenye v mexanyku sploßn¥x sred. – M.: Nauka, 1982. – 335 s. 2. Kopaçevskyj N. D., Krejn S. H., Nho Zuj Kan. Operatorn¥e metod¥ v lynejnoj hydrodyna- myke: πvolgcyonn¥e y spektral\n¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1989. – 416 s. 3. Markus A. S. Vvedenye v spektral\nug teoryg polynomyal\n¥x operatorn¥x puçkov. – Kyßynev: Ítyynca, 1986. – 260 s. 4. Kopaçevskyj N. D., Car\kov M. G. K voprosu o spektre operatora plavuçesty // Ûurn. v¥- çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1987. – # 3. – S. 548 – 551. 5. Suslyna T. A. Asymptotyka spektra nekotor¥x zadaç, svqzann¥x s kolebanyqmy Ωydkos- tej. – L., 1985. – 79Ns. – Dep. v VYNYTY, #N8058-V. 6. Keld¥ß M. V. O polnote sobstvenn¥x funkcyj nekotor¥x klassov nesamosoprqΩenn¥x lynejn¥x operatorov // Uspexy mat. nauk. – 1971. – 24, v¥p.N4 (160). – S. 15 – 41. Poluçeno 24.05.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10

O малых движениях системы „жидкость-газ" в ограниченной области

Institution

Ähnliche Einträge