Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами
Завдяки опуклим донизу Функціям описано клас псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами, який містить у со6і параболiчнi за С. Д. Ейдельманом системи диференціальних Рівнянь з частинними похідними з неперервними, залежними від часу коефiцiєнтами. Доведено теорему про коректну розв&...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165417 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами / В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1211–1233. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165417 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654172020-02-15T01:27:02Z Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами Літовченко, В.А. Статті Завдяки опуклим донизу Функціям описано клас псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами, який містить у со6і параболiчнi за С. Д. Ейдельманом системи диференціальних Рівнянь з частинними похідними з неперервними, залежними від часу коефiцiєнтами. Доведено теорему про коректну розв'язність задачі Коші для таких систем у випадку, коли початкові дані є узагальненими функціями, а також встановлено принцип локалізації розв'язку цієї задачі. Using functions convex downward, we describe a class of pseudodifferential systems with entire analytic symbols that contains Éidel’man parabolic systems of partial differential equations with continuous time-dependent coefficients. We prove a theorem on the correct solvability of the Cauchy problem for these systems in the case where initial data are generalized functions. We also establish the principle of localization of a solution of this problem. 2006 Article Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами / В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1211–1233. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165417 517.982 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Літовченко, В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами Український математичний журнал |
| description |
Завдяки опуклим донизу Функціям описано клас псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами, який містить у со6і параболiчнi за С. Д. Ейдельманом системи диференціальних Рівнянь з частинними похідними з неперервними, залежними від часу коефiцiєнтами. Доведено теорему про коректну розв'язність задачі Коші для таких систем у випадку, коли початкові дані є узагальненими функціями, а також встановлено принцип локалізації розв'язку цієї задачі. |
| format |
Article |
| author |
Літовченко, В.А. |
| author_facet |
Літовченко, В.А. |
| author_sort |
Літовченко, В.А. |
| title |
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами |
| title_short |
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами |
| title_full |
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами |
| title_fullStr |
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами |
| title_full_unstemmed |
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами |
| title_sort |
задача коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165417 |
| citation_txt |
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами / В.А. Літовченко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1211–1233. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT lítovčenkova zadačakošídlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihsistemzcílimianalítičnimisimvolami |
| first_indexed |
2025-07-14T18:25:10Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:25:10Z |
| _version_ |
1837647802497236992 |
| fulltext |
УДК 517.982
В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т)
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ
ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ
З ЦIЛИМИ АНАЛIТИЧНИМИ СИМВОЛАМИ
By using functions convex downwards, we describe a class of pseudodifferential systems with integer
analytic symbols, which contains Eidelman-parabolic systems of partial differential equations with contin-
uous time-dependent coefficients. We prove a theorem on the correct solvability of the Cauchy problem
for such systems in the case where initial data are generalized functions. We also establish the principle
of localization of a solution of this problem.
Завдяки опуклим донизу функцiям описано клас псевдодиференцiальних систем з цiлими аналiтич-
ними символами, який мiстить у собi параболiчнi за С. Д. Ейдельманом системи диференцiальних
рiвнянь з частинними похiдними з неперервними, залежними вiд часу коефiцiєнтами. Доведено
теорему про коректну розв’язнiсть задачi Кошi для таких систем у випадку, коли початковi данi є
узагальненими функцiями, а також встановлено принцип локалiзацiї розв’язку цiєї задачi.
1. Вступ. Поява псевдодиференцiальних операторiв (ПДО) (як результат уза-
гальнення звичайних диференцiальних операторiв) спонукає до розширення класу
систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними псевдодиференцiаль-
ними системами. Таке розширення, у свою чергу, дозволяє доповнити множину
параболiчних систем диференцiальних рiвнянь тими псевдодиференцiальними сис-
темами, для яких дiйснi частини характеристичних коренiв є вiд’ємними (в областi
задання) i обмеженi, взагалi кажучи, не обов’язково параболiчними функцiями (пiд
характеристичними коренями псевдодиференцiальної системи розумiтимемо влас-
нi значення вiдповiдної матрицi, складеної з символiв ПДО цiєї системи). Отже,
виникає новий клас систем, при вивченнi задачi Кошi для яких природно скориста-
тися розвиненою на сьогоднi методикою дослiдження задачi Кошi для параболiчних
систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними (див., наприклад, [1 – 8]).
У данiй роботi, завдяки опуклим донизу функцiям, описується клас систем псев-
додиференцiальних рiвнянь iз залежними вiд часу аналiтичними символами, який
мiстить у собi 2~b-параболiчнi (а отже, й параболiчнi за Петровським) системи з не-
перервними залежними вiд часу коефiцiєнтами. Дiйснi частини характеристичних
коренiв цих систем пiдпорядковано спецiальнiй умовi, що накладає обмеження на
їх поведiнку в комплексному просторi (фактично ця умова є класичною умовою
параболiчностi для диференцiальних систем з частинними похiдними).
Для таких систем вивчаються властивостi фундаментальної матрицi розв’язкiв
(ф. м. р.) та дослiджується коректна розв’язнiсть задачi Кошi у випадку, коли почат-
ковi данi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв Жевре. Для окремого
випадку систем знайдено сукупнiсть усiх початкових узагальнених функцiй, при
яких розв’язок вiдповiдної задачi Кошi за просторовою змiнною має такi ж влас-
тивостi гладкостi i поведiнку в околi нескiнченно вiддалених точок, що i ф. м. р.
Цей результат одержано завдяки критерiю мультиплiкатора у просторах Б. Л. Гу-
ревича (вiдомих як простори типу W [9]), сформульованого тут з використанням
матрицанта системи в образах Фур’є.
c© В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1211
1212 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Для встановлення принципу локалiзацiї розв’язку задачi Кошi шляхом розши-
рення простору типу W (якому належать елементи ф. м. р.) будується допомiжний
простiр основних функцiй так, щоб серед його елементiв були вже фiнiтнi функцiї
(наявнiсть таких функцiй потребує класичне означення рiвностi двох узагальнених
функцiй, що є важливим для встановлення цього принципу). Доводиться теорема
про локальне пiдсилення збiжностi розв’язку задачi Кошi при прямуваннi часо-
вої змiнної до нуля у випадку, коли узагальнена початкова функцiя має достатню
(локальну) гладкiсть.
1. Необхiднi вiдомостi. Постановка задачi. Нехай T0 — довiльне фiксо-
ване число з (0;+∞), C — множина комплексних чисел; Rn — n-вимiрний ев-
клiдiв простiр, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) — його елементи (вектори),
(x, y) =
∑n
j=1
xjyj — скалярний добуток у Rn, ‖x‖2 = (x, x), C∞(L) — простiр
усiх нескiнченно диференцiйовних функцiй, визначених на множинi L; S — прос-
тiр Л. Шварца [10], а ωj(·) — зростаючi неперервнi функцiї на [0;+∞), причому
ωj(0) = 0 i lim
t→+∞
ωj(t) = +∞, j = 1, n. Для t ≥ 0 покладемо Ωj(t) =
∫ t
0
ωj(ξ)dξ,
j = 1, n. При кожному j ∈ {1, . . . , n} функцiя Ωj(·) має такi властивостi (див. [1]
та лему 1 з [11]): 1) вона диференцiйовна, зростаюча на [0;+∞); 2) Ωj(0) = 0,
lim
t→+∞
Ωj(t) = +∞; 3) Ωj(·) — опукла (донизу) функцiя, тобто: а) ∀{t1; t2} ⊂
⊂ [0;+∞): Ωj(t1)+Ωj(t2) ≤ Ωj(t1 + t2); б) ∀δ ≥ 1 ∀t ∈ [0;+∞): Ωj(δt) ≥ δΩj(t);
в) ∀δ ∈ (0; 1) ∀t ∈ [0;+∞): Ωj(δt) ≤ δΩj(t). Довизначимо Ωj(·), j = 1, n, на
(−∞; 0) парним чином i покладемо Ω(x)
df=
{
Ω1(x1), . . . ,Ωn(xn)
}
, x ∈ Rn.
Поряд з Ω, подiбним чином, за функцiями µj(·) з такими ж властивостями, що
й ωj(·), j = 1, n, визначимо вектор-функцiю M(x)
df=
{
M1(x1), . . . ,Mn(xn)
}
, x ∈
∈ Rn, i розглянемо простiр WM
Ω , тобто сукупнiсть усiх цiлих аналiтичних функцiй
ϕ на Cn = C× . . .×C таких, що∣∣ϕ(x+ iy)
∣∣ ≤ c exp
{
Q−(δ1, δ2;x, y)
}
, (x+ iy) ∈ Cn,
де c, δ1, δ2 — додатнi сталi, залежнi лише вiд ϕ, а
Q±(δ1, δ2;x, y)
df=
n∑
j=1
(
±Ωj(δ1xj) + Mj(δ2yj)
)
.
Як зазначено в [1], WM
Ω — об’єднання повних, досконалих, злiченно-нормованих
просторiв, причому послiдовнiсть {ϕv, v ≥ 1} ⊂ WM
Ω збiгається у цьому прос-
торi до функцiї ϕ з WM
Ω (позначатимемо ϕv
WM
Ω−−−−−→
v→+∞
ϕ тодi i тiльки тодi, ко-
ли: 1) ϕv(z) −−−−−→
v→+∞
ϕ(z) рiвномiрно по z на кожному компактi K з Cn;
2) ∃{c, δ1, δ2} ⊂ (0;+∞) ∀v ≥ 1 ∀z = x + iy ∈ Cn :
∣∣ϕv(z)
∣∣ ≤
≤ c exp
{
Q−(δ1, δ2;x, y)
}
.
Далi вважатимемо, що компоненти вектор-функцiї Ω окрiм зазначених власти-
востей мають ще i таку:
Ωj(δt) ≥ g1(δ)Ωj(t) + g2(δ), δ ∈ (0; 1), t ∈ R,
де g1(·), g2(·) — деякi обмеженi на (0; 1) функцiї, не залежнi вiд j = 1, n, причому
перша з них додатна; а Ω′, M′ — вектор-функцiї, з якими Ω та M взаємо двоїстi за
Юнгом [1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1213
Нехай Φ — простiр основних функцiй. Позначимо через Φ′ простiр, топологiчно
спряжений до Φ; Φm, (Φ′)m — декартовi степенi (з натуральним показником m)
просторiв Φ i Φ′ з покомпонентною збiжнiстю вiдповiдно у Φ та Φ′; PΦm —
множина всiх квадратних матриць порядку m, стовпцями яких є елементи з Φm
(також з поелементною збiжнiстю у просторi Φ), i ΛM
Ω ([0;T0]) — сукупнiсть усiх
функцiй a : [0;T0]×Cn → C таких, що:
1) a(t, ·) ∈ C∞(Cn) (∀t ∈ [0;T0]);
2) ∃{δ; c} ⊂ [0;+∞) (∀t ∈ [0;T0]) 0 < ε << 1 ∃v(ε) > 0, v(ε) −−−−→
ε→+0
−−−−→
ε→+0
0, ∀∆t ∈ [0; ε] ∀z = x + iy ∈ Cn:
∣∣a(t + ∆t, z) − a(t, z)
∣∣ ≤ v(ε)
(
Q+(1, δ;
x, y) + c
)
;
3) ∃{δ1; δ2; c} ⊂ [0;+∞) ∀z = x+iy ∈ Cn: sup
t∈[0;T0]
|a(t, z)| ≤ Q+(δ1, δ2;x, y)+c.
Будемо говорити, що вектор-функцiя ψ(·) =
{
ψ1(·), . . . , ψm(·)
}
— мультиплiка-
тор у просторi Φm, якщо: 1) ∀P ∈ PΦm: PψT ∈ ΦmT
; 2) ∀{P ;Pv, v ≥ 1} ⊂ PΦm,
Pv
PΦm
−−−−−→
v→+∞
P : Pvψ
T ΦmT
−−−−−→
v→+∞
PψT , де iндекс T позначає операцiю транспонування,
причому пiд транспонуванням векторного простору розумiтимемо транспонування
всiх елементiв цього простору.
Вектор f з (Φ′)m назвемо згортувачем у просторi Φm, якщо:
1) (P ∗ f)(·) =
(∑m
j=1
〈
fj(ξ), pij(· − ξ)
〉)m
i=1
∈ ΦmT
(∀P ∈ PΦm);
2) ∀{P ;Pv, v ≥ 1} ⊂ PΦm, Pv
PΦm
−−−−−→
v→+∞
P : Pv ∗ fT → ΦmT
−−−−−→
v→+∞
P ∗ fT (тут
кутовими дужками 〈·, ·〉 позначено дiю функцiонала, а ∗ — операцiя згортки).
Через AAt
= (Aaij
)m
i,j=1 позначимо матричний псевдодиференцiальний опе-
ратор у просторi (WΩ′
M′)mT
з параметром t ∈ [0;T0], побудований за матрицею-
символом At(·) =
(
aij(t, ·)
)m
i,j=1
, кожен елемент якої належить класу ΛM
Ω ([0;T0]),
тобто оператор, дiя якого на елементах ϕ з (WΩ′
M′)mT
при кожному фiксованому t з
[0;T0] задається таким чином:
(AAt
ϕ)(t, ·) =
m∑
j=1
(Aa1j
ϕj)(t, ·), . . . ,
m∑
j=1
(Aamj
ϕj)(t, ·)
T
,
де (Aaij
ϕj)(t, ·) = F−1
[
aij(t, ξ)F [ϕj ](ξ)
]
(t, ·), а F, F−1 — вiдповiдно пряме та
обернене перетворення Фур’є [12].
Оскiльки F [WM
Ω ] = WΩ′
M′ , причому оператор F вiдображає WM
Ω у WΩ′
M′ взаємно
однозначно i неперервно [1], а елементи з класу ΛM
Ω ([0;T0]) є мультиплiкаторами
у просторi WM
Ω при кожному фiксованому t з [0;T0], то оператор AAt
, t ∈ [0;T0],
неперервно переводить простiр
(
WΩ′
M′
)mT
у себе.
Розглянемо систему
∂tU(t, x) = (AAt
U)(t, x), (t, x) ∈ (0;T0]×Rn, (1)
де U = {u1, . . . , um}T . Припустимо, що для (1) виконується аналог рiвномiрної по
t умови параболiчностi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1214 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
∃{δ∗1 ; δ∗2} ⊂ (0;+∞) ∃c∗ ∈ R ∀t ∈ (0;T0] ∀ξ = ζ + iη ∈ Cn :
max
j=1,m
Reλj(t, ξ) ≤ Q−(δ∗1 , δ
∗
2 ; ζ, η) + c∗, (2)
де λj , j = 1,m, — власнi значення матрицi At — символу оператора AAt
.
Наведемо приклади системи (1), для якої виконується умова (2).
1◦. Параболiчнi за С. Д. Ейдельманом (тобто 2~b-параболiчнi) системи дифе-
ренцiальних рiвнянь з частинними похiдними з неперервними коефiцiєнтами, за-
лежними лише вiд часу. У цьому випадку
Ω(x) =
{
(x1)2b1 , . . . , (xn)2bn
}
, M(y) =
{
(y1)2b1 , . . . , (yn)2bn
}
, {x; y} ⊂ Rn,
де bj , j = 1, n, — натуральнi компоненти вектора ~b; а елементами класу ΛM
Ω ([0;T0])
є вирази вигляду
∑
kj≤2bj , j=1,n
pk(t)(−iξ)k з неперервними функцiями pk(·) на
[0;T0]
(
тут ξk =
∏n
j=1
ξ
kj
j , ξ ∈ Rn, k ∈ Zn
)
.
2◦. Нехай Bϕ — оператор диференцiювання нескiнченного порядку в просторi
WΩ′
M′ , побудований за функцiєю ϕ(ξ) =
∑∞
|k|=0
ckξ
k, ξ ∈ Cn, з класу PM
Ω —
сукупностi цiлих однозначних функцiй ϕ : Cn → C, якi є мультиплiкаторами в
WM
Ω i такi, що eϕ ∈WM
Ω [13, 14]:
(Bϕf)(x) =
∞∑
|k|=0
ck(−i)|k|∂k
xf(x), x ∈ Rn, f ∈WΩ′
M′ .
Розглянемо систему
∂tU1(t, x) = a(BϕU1)(t, x) + t2U2(t, x),
∂tU2(t, x) = −U1(t, x) + a(BϕU2)(t, x), (t, x) ∈ (0;T0]×Rn, a ∈ R.
Якщо розв’язок цiєї системи шукати лише серед елементiв класу
(
WΩ′
M′
)2T
, то
At(ξ) =
(
aϕ(ξ) t2
−1 aϕ(ξ)
)
, ξ ∈ Cn
(тут враховано те, що Bϕf = F−1
[
ϕF [f ]
]
, f ∈WΩ′
M′ (див. [13])). Звiдси одержуємо
λ1,2(t, ξ) = aϕ(ξ)± it, ξ ∈ Cn, t ∈ (0;T0].
Отже, Reλ1 = Reλ2 = aReϕ.
З iншого боку, оскiльки ϕ ∈ PM
Ω , то eϕ ∈WM
Ω , тобто
∃{c; δ1; δ2} ⊂ (0;+∞) ∀t ∈ (0;T0] ∀ξ = ζ + iη ∈ Cn :
|eϕ(ξ)| = eRe ϕ(ξ) ≤ c exp
{
Q−(δ1, δ2; ζ, η)
}
,
або, що те ж саме,
Reϕ(ξ) ≤ Q−(δ1, δ2; ζ, η) + c1, c1 = max{1; c}.
Таким чином, дана система рiвнянь з оператором диференцiювання нескiнчен-
ного порядку є системою (1), для якої виконується умова (2), лише при a > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1215
Далi, якщо для системи (1) задати початкову умову
U(t, ·
)
|t=0= f, f ∈
(
(WM′
Ω′ )m
)′T
, (3)
то пiд розв’язком задачi Кошi (1), (3) розумiтимемо таку вектор-функцiю U, яка є
диференцiйовною по t, при кожному фiксованому t ∈ (0;T0] належить простору(
WM′
Ω′
)mT
i задовольняє систему (1) у звичайному розумiннi, а початкову умову (3)
— у сенсi слабкої збiжностi у просторi
(
(WM′
Ω′ )m
)′T
.
2. Розв’язування задачi Кошi. Подiємо формально на систему (1) перетво-
ренням Фур’є вiдносно x, а вiдтак поширимо результат за просторовою змiнною
ξ на увесь комплексний простiр Cn. Одержимо лiнiйну систему звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь з параметром ξ
∂tV (t, ξ) = (AtV )(t, ξ), (t, ξ) ∈ (0;T0]×Cn, (4)
де V = {v1, . . . , vm}T .
Нехай Θ(t; ξ, τ) =
(
θij(t; ξ, τ)
)m
i,j=1
для всiх τ ∈ [0;T0), t ∈ (τ ;T0] i ξ ∈ Cn є
розв’язком системи (4), що задовольняє початкову умову
Θ(t; ξ, τ) |t=τ= E (5)
у звичайному розумiннi (тут E — одинична матриця). Такий розв’язок далi назива-
тимемо матрицею Грiна, або ж матрицантом системи (4).
Зазначимо, що зробленi припущення на елементи матрицi At забезпечують
iснування такого матрицанта, причому будь-який iнший розв’язок системи (4) має
вигляд
V = ΘC,
де C — довiльна матриця-стовпець з елементами, залежними лише вiд ξ (див.,
наприклад, [15]).
Наступнi допомiжнi твердження характеризують властивостi Θ.
Лема 1. Для кожного τ ∈ [0;T0) iснує 0 < ε << 1 таке, що для всiх t ∈
∈ (τ ; τ + ε] i ξ = ζ + iη ∈ Cn
∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣ ≤ c exp
{ t− τ
4
(
Q−(δ∗1 , δ
∗
2 ; ζ, η) + g∗
)}
,
де c, δ02 , g∗ — додатнi сталi, не залежнi вiд τ, t, ε i ξ, а
∣∣(bij)m
i,j=1
∣∣ = max
i,j=1,m
|bij |.
Доведення. Подамо (4) у виглядi
∂tΘ = At∗(ξ)Θ + q(t, ξ), (6)
де q(t, ξ) =
(
At(ξ) − At∗(ξ)
)
Θ(t; ξ, τ), а t∗ — довiльна фiксована точка з [τ ;T0].
Розв’язавши задачу Кошi (6), (5), прийдемо до того, що матрицант системи (4)
можна зобразити так:
Θ(t; ξ, τ) = e(t−τ)At∗ (ξ) +
t∫
τ
e(t−σ)At∗ (ξ)q(σ, ξ) dσ,
де e(t−τ)At∗ = E +
(
(t− τ)At∗
)j/
j ! .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1216 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Згiдно з твердженням вiдповiдної леми з [1, с. 78],
‖e(t−τ)At∗ (ξ)‖ ≤ e
(t−τ) max
j=1,m
Re λj(t
∗,ξ)
×
×
1 +
m−1∑
j=1
(
2(t− τ)
∥∥At∗(ξ)
∥∥)j (
∀t ∈ [τ ;T0]
)
(тут ‖A‖ — норма матрицi A = (aij)m
i,j=1, тобто норма вiдповiдного оператора у m-
вимiрному просторi). Звiдси, зважаючи на умову (2) та властивостi вектор-функцiї
Ω й елементiв матрицi At∗ , використовуючи при цьому оцiнку [16]
max
j=1,m
m∑
i=1
|aij |2 ≤ ‖A‖2 ≤
m∑
i=1
m∑
j=1
|aij |2
i покладаючи δk
df= max
i,j=1,m
(mδij
k ), k = 1, 2; c0
df= max
i,j=1,m
(mcij), де δij
k , c
ij — константи
з оцiнок елементiв aij матрицi At (див. умову 3) з означення класу ΛM
Ω ([0;T0])),
одержуємо
|e(t−τ)At∗ (ξ)| ≤ 22(m−1)
1 +
m−1∑
j=1
sup
z>0
{zje−z}
×
× exp
{
t− τ
2
[
Q−(δ∗1 , 2δ
∗
2 + δ2; ζ, η) + (2c∗ + c0)
]}
при δ∗1 ≥ δ1 i
∣∣e(t−τ)At∗ (ξ)
∣∣ ≤ ( 4
ğ1
)m−1
1 +
m−1∑
j=1
sup
z>0
{zje−z}
×
× exp
{
t− τ
2
[
Q−(δ∗1 , 2δ
∗
2 + _
g 1; ζ, η) + 2c∗ + _
g 1c
0 − _
g 2
]}
,
^
g 1 = min
{
1; g1(y∗)
}
,
_
g 1 = max
{
1; g1(y∗)
}
,
_
g 2 =
{
0, g2(y∗) ≥ 0,
g2(y∗), g2(y∗) < 0,
y∗ =
δ∗1
δ1
,
при δ∗1 < δ1.
Таким чином, iснують додатнi сталi c > 0, δ0 > 0, не залежнi вiд t∗, t, τ i ξ
такi, що
∣∣e(t−τ)At∗ (ξ)
∣∣ ≤ c exp
{
t− τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)}
(7)
для всiх τ ∈ [0;T0), {t∗; t} ⊂ [τ, T0] i ξ ∈ Cn, де g = 2c∗ + _
g 1c
0 − _
g 2.
Використовуючи нерiвнiсть (7), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1217
∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣ ≤ c exp
{
t− τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)}
+
+ cm
t∫
τ
exp
{
t− σ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)} ∣∣q(σ; ξ)
∣∣ dσ. (8)
Оскiльки
∣∣q(t, ξ)∣∣ ≤ m
∣∣At(ξ)−At∗(ξ)
∣∣ ∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣, то, зважаючи на властивостi
елементiв матрицi At за змiнною t i покладаючи t∗ = τ, для всiх t з (τ ; τ + ε] i
ξ ∈ Cn одержуємо∣∣q(t, ξ)∣∣ ≤ mv(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣,
де δ0
df= max
i,j=1,m
{δij}, c01
df= max
i,j=1,m
{cij}, а δij i cij — вiдповiднi сталi з властивостi 2
елемента aij матрицi At (див. опис класу ΛM
Ω ([0;T0]).
Звiдси, а також з нерiвностi (8) дiстаємо∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣ exp
{
− t− τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)}
≤
≤ c+ cm2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)
×
×
t∫
τ
exp
{
−σ − τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)} ∣∣Θ(σ; ξ, τ)
∣∣dσ,
t ∈ (τ ; τ + ε], τ ∈ [0;T0), ξ ∈ Cn.
Тепер, покладаючи
ϕ(t) =
∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣ exp
{
− t− τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)}
,
φ(t) = c, χ(t) = cm2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)
i враховуючи твердження леми 2 з [6, с. 300], маємо∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣ exp
{
− t− τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ0; ζ, η) + g
)}
≤
≤ c+ (cm)2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)
×
×
t∫
τ
exp
{
(t− σ)cm2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)}
dσ ≤
≤ c
(
1 + =(t; ξ, τ)
)
,
де
=(t; ξ, τ) = exp
{
2cm2v(ε)(t− τ)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)}
.
Далi, при δ∗1 ≥ 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1218 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
=(t; ξ, τ) ≤ exp
{
t− τ
4
(
8cm2v(ε)
)(
Q+(δ∗1 , δ
0; ζ, η) + c01
)}
,
якщо ж 0 < δ∗1 < 1, то
=(t; ξ, τ) ≤ exp
{
t− τ
4
(
8cm2v(ε)(g′1)
−1
)(
Q+(δ∗1 , g
′′
1 δ
0; ζ, η) + g′′1 c
0
1 − g′′2
)}
,
де
g′1 = min
{
1; g1(δ∗1)
}
, g′′1 = max
{
1; g1(δ∗1)
}
,
а
g′′2 =
0, g2(δ∗1) ≥ 0,
g2(δ∗1), g2(δ∗1) < 0,
оскiльки
Ωj(ζj) ≤
Ωj(δ∗1ζj)− g2(δ∗1)
g1(δ∗1)
, ζj ∈ R, j = 1,m.
Зафiксуємо тепер ε > 0 так, щоб 8cm2v(ε) ≤ g′1. Тодi, врахувавши, що
exp
{
t− τ
2
(
Q−(δ∗1 , δ
0; ζ, η) + g
)}
≤
≤ exp
τ − t
4
n∑
j=1
Ωj(δ∗1ζj)
exp
{
t− τ
4
(
Q−(δ∗1 , 2δ
0; ζ, η) + 2g
)}
,
для τ ∈ [0;T0), t ∈ (τ ; τ + ε] i ξ ∈ Cn дiстанемо таку оцiнку матрицанта Θ
системи (4): ∣∣Θ(t; ξ, τ)
∣∣ ≤ c exp
{
t− τ
4
(
Q−(δ∗1 , δ
0
2 ; ζ, η) + g∗
)}
, (9)
де c, δ02 — додатнi сталi, не залежнi вiд τ, t, ξ i ε, а g∗
df=2g + g′′1 c
0
1 − g′′2 .
Лему доведено.
Лема 2. Iснують додатнi сталi c, δ∗1 , δ
0
2 i g∗ такi, що для всiх t ∈ (0;T0],
ξ ∈ Cn
∣∣Θ(t; ξ, 0)
∣∣ ≤ c exp
{
t
4
(
Q−(δ∗1 , δ
0
2 ; ζ, η) + g∗
)}
. (10)
Дане твердження стає очевидним, якщо зважити на те, що згiдно з лемою 1 iснує
таке розбиття {tj}k
j=1 промiжку (0; t], t ∈ (0;T0], на кожному елементi (tj ; tj+1]
якого для матрицанта Θ виконується нерiвнiсть (9) з оцiнюючими сталими, не за-
лежними вiд t, tj , tj+1 i ξ, а також на одну з вiдомих властивостей матрицанта [15]:
Θ(t; ·, t0) = Θ(t; ·, t1)Θ(t1; ·, t0)
(
∀{t0; t1; t} ⊂ (0;T0]
)
.
Наслiдок 1. При кожному фiксованому t з (0;T0] Θ(t; ·, 0) належить до
P (WM
Ω )m.
Лема 3. Кожен елемент матрицанта Θ(t; ·, 0) диференцiйовний по t ∈ (0;T0]
у розумiннi топологiї простору WM
Ω .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1219
Доведення. Достатньо переконатися у тому, що граничне спiввiдношення
Ψ∆t(t, ·)
df=
(
Θ(t+ ∆t; ·, 0)−Θ(t; ·, 0)
)
/∆t −−−−→
∆t→0
At(·)Θ(t; ·, 0)
виконується у сенсi збiжностi у класi P (WM
Ω )m.
Зазначимо, що матрицант Θ диференцiйовний по t ∈ (0;T0] у звичайному
розумiннi [15], тому, згiдно з теоремою про скiнченнi прирости,
Ψ∆t(t, ·) = ∂tΘ(t+ ε∆t; ·, 0), {t; t+ ε∆t} ⊂ (0;T0], ε ∈ (0; 1),
тобто
Ψ∆t(t, ·) = A(t+ε∆t)(·)Θ(t+ ε∆t; ·, 0),
оскiльки Θ(τ∗; ·, 0) — звичайний розв’язок системи (4) для всiх τ∗ з (0;T0].
Розглянемо спочатку випадок, коли ∆t ≥ 0. Тодi
Θ(t+ ε∆t; ·, 0) = Θ(t+ ε∆t; ·, t)Θ(t; ·, 0).
Отже,
A(t+ε∆t)Θ(t+ ε∆t; ·, 0)−AtΘ(t; ·, 0) =
(
A(t+ε∆t)Θ(t+ ε∆t; ·, t)−At
)
Θ(t; ·, 0).
Зваживши на властивостi елементiв матрицi At, а також на структуру матри-
цанта Θ [15]
Θ(t; ξ, τ) = E +
t∫
τ
At1(ξ)dt1+
+
t∫
τ
At1(ξ)
t1∫
τ
At2(ξ)dt2 dt1 + . . . , t ∈ [τ ;T0], ξ ∈ Cn, (11)
прийдемо до того, що A(t+ε∆t)(ξ) −−−−→
∆t→0
At(ξ) i Θ(t+ε∆t; ξ, t) −−−−→
∆t→0
E рiвномiр-
но по ξ на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ Cn, а вiдтак i до рiвномiрної збiжностi
по ξ ∈ K матрицi Ψ∆t(t, ξ) до At(ξ)Θ(t; ξ, 0) при ∆t→ +0 для всiх t ∈ (0;T0].
Далi, нехай ∆t < 0, |∆t| ≤ t/2, тодi
A(t+ε∆t)Θ(t+ ε∆t; ·, 0)−AtΘ(t; ·, 0) =
=
(
A(t+ε∆t)Θ
(
t+ ε∆t; ·, t
2
))
−AtΘ
(
t; ·, t
2
)
Θ
(
t
2
; ·, 0
)
.
Звiдси, за аналогiєю до попереднього випадку, одержуємо, що
Ψ∆t(t, ξ) −−−−−→
∆t→−0
At(ξ)Θ(t; ξ, 0), t ∈ (0;T0],
рiвномiрно по ξ на кожному компактi K з Cn.
Доведемо тепер, що кожен елемент матрицi Ψ∆t рiвномiрно обмежений у про-
сторi WM
Ω по ∆t (для достатньо малих |∆t|).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1220 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Дiйсно, ∣∣Ψ∆t(t, ·)
∣∣ ≤ m
∣∣A(t+ε∆t)(ξ)
∣∣ ∣∣Θ(t+ ε∆t; ξ, 0)
∣∣ ≤
≤ mc
(
Q+
(
δ1, δ1; ζ, η
)
+ c0
)
exp
{
t+ ε∆t
4
(
Q−
(
δ∗1 , δ
0
2 ; ζ, η
)
+ g∗
)}
≤
≤ c1 exp
{
Q−
(
δ∗1 , δ
0
2 ; ζ, η
)
+ g′
}
,
c1 6= c1(∆t), δi 6= δi(∆t), i = 1, 2, g′ 6= g′(∆t)(
тут враховано властивостi матрицi At, лему 2, а також те, що (t+ ε∆t) ∈
[
t
2
;
3
2
t
]
при |∆t| < t
2
)
.
Лему доведено.
Зважаючи на те, що обернений оператор Фур’є F−1 є неперервним у просторi
WM
Ω , з твердження леми 3 дiстаємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. F−1
[
∂tΘ(t; ·, 0)
]
= ∂tF
−1
[
Θ(t; ·, 0)
]
(∀t ∈ (0;T0]).
Лема 4. Θ(t; ·, 0)φ
(WM
Ω )mT
−−−−−−→
t→+0
φ
(
∀φ ∈ (WM
Ω )mT )
.
Доведення. Достатньо встановити виконання наступних умов:
1) Θ(t; ξ, 0) −−−−→
t→+0
E рiвномiрно по ξ на кожному компактi K ⊂ Cn;
2) ∀φ ∈ (WM
Ω )mT ∃{c; δ1; δ2} ⊂ (0;+∞) 0 < t << 1 ∀ξ ∈ Cn:
∣∣Θ(t; ξ, 0) ×
× φ(ξ)
∣∣ ≤ c exp
{
Q−(δ1, δ2; ζ, η)
}
.
Зазначимо, що умова 2 стає очевидною, якщо врахувати оцiнку (10) матрицанта
Θ, а також те, що компоненти вектора φ належать простору WM
Ω .
Переконаємося у виконаннi умови 1. Для цього скористаємося структурою (11)
матрицанта Θ(t; ·, 0). Вiдомо [15], що матричний ряд (11) збiгається абсолютно
i рiвномiрно по (t; ξ) на кожнiй множинi виду [a; b] × K, де [a; b] ⊂ (0;T0], а
K — компакт з Cn. Звiдси вже, зважаючи на вигляд кожного доданка ряду (11)
(починаючи з другого) та на властивостi елементiв матрицi At, дiстаємо виконання
умови 1.
Лему доведено.
Одержанi властивостi матрицанта Θ системи (4) дозволяють сформулювати
таке твердження про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (1), (3).
Теорема 1. Нехай f з
((
WΩ′
M′
)m)′T
такий, що F [f ] є мультиплiкатором у
просторi
(
WM
Ω
)mT
. Тодi для задачi Кошi (1), (3) iснує єдиний розв’язок U, який
неперервно залежить вiд початкових даних i такий, що для всiх t з (0;T0] :
1) U(t, ·) ∈
(
WΩ′
M′
)mT
; 2) F
[
∂tU(t, ·)
]
= ∂tF
[
U(t, ·)
]
; 3) U(t, ·) = Gt(·) ∗ f, де
Gt(·) = F−1
[
Θ(t; ξ, 0)
]
(t; ·).
Доведення. Оскiльки нас цiкавлять розв’язки системи (1), якi при кожному фiк-
сованому t з (0;T0] є елементами простору
(
WΩ′
M′
)mT
i по t задовольняють умову 2
даної теореми, то, зважаючи на те, що вiдображення F (F−1) :
(
WM
Ω
)m →
(
WΩ′
M′
)m
є взаємно однозначним i неперервним [1], одержуємо рiвносильнiсть системи (1) з
системою
∂tV (t, ξ) = (AtV )(t, ξ), (t, ξ) ∈ (0;T0]×Rn. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1221
При цьому початкова умова (3) виконується тодi i тiльки тодi, коли
V (t, ·)
((WΩ
M)m)
′T
−−−−−−−−→
t→+0
F [f ] (13)
(див. означення перетворення Фур’є узагальненої функцiї [17]).
Отже, питання про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (1), (3) у просторi((
WΩ′
M′
)m)′
рiвносильне питанню про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (12), (13)
у просторi
((
WM
Ω
)m)′
.
Як уже зазначалось, система (12) є лiнiйною системою звичайних диференцi-
альних рiвнянь з параметром, загальний розв’язок якої має вигляд
V (t, ζ) = Θ(t; ζ, 0)C(ζ), (t, ζ) ∈ (0;T0]×Rn. (14)
З початкової умови (13), зважаючи на (14) та на лему 4, одержуємо
〈
vj(t, ·), ϕj
〉
=
m∑
k=1
〈
ck, θjk(t; ·, 0)ϕj
〉
−−−−→
t→+0
〈cj , ϕj〉 =
〈
F [fj ], ϕj
〉
,
j = 1,m, ϕ ∈ (WM
Ω )m
(тут (·) позначає комплексну спряженiсть).
Отже, V (t, ·) = Θ(t; ·, 0)F [f ], t ∈ (0;T0], — розв’язок задачi Кошi (12), (13).
Оскiльки F [f ] — мультиплiкатор у (WM
Ω )mT
, а матрицант Θ(t; ·, 0) при кожному t
з (0;T0] належить до P (WM
Ω )m (див. наслiдок 1), то V (t, ·) ∈ (WM
Ω )mT
, t ∈ (0;T0].
Доведемо тепер, що знайдений розв’язок єдиний у просторi (WM
Ω )mT
. Для
цього припустимо, що у цьому просторi iснує ще один розв’язок V1 задачi Ко-
шi (12), (13). З огляду на структуру загального розв’язку (14) системи (12)
V1(t, ·) = Θ(t; ·, 0)C1(·), t ∈ (0;T0]. Оскiльки V1(t, ·) ∈ (WM
Ω )mT
, t ∈ (0;T0],
то компоненти вектора C1(·) — цiлi аналiтичнi функцiї на Cn.
Розглянемо вектор-функцiю V2(t, ·) = V1(t, ·) − V (t, ·), t ∈ (0;T0], яка також є
розв’язком системи (12) i, як неважко переконатися, задовольняє нульову початкову
умову: V2(t, ·)
((W M
Ω )m)′T
−−−−−−−→
t→+0
0. З цiєї умови дiстаємо
〈(
C1 − F [f ]
)
, ϕ
〉
= 〈0, ϕ〉
(
∀ϕ ∈ (WM
Ω )mT
)
. (15)
Зваживши на те, що θjj(t; ξ, 0) −−−−→
t→+0
1 рiвномiрно по ξ на кожному компак-
тi K ⊂ Cn (див. доведення леми 4), прийдемо до iснування такого (достатньо
малого) t0 > 0, що θjj(t0; ξ, 0) 6= 0, ξ ∈ Cn, j = 1,m. Поклавши тепер ϕj =
= (c1j − F [fj ])θ2jj(t0; ·, 0), з (15) отримаємо такi рiвностi:∫
Cn
(c1j − F [fj ])
2
θ2jj(t0; ξ, 0)dξ = 0, j = 1,m.
Звiдси, врахувавши гладкiсть C1(·) i F [f ](·), одержимо рiвнiсть цих вектор-функцiй
на Cn. Таким чином, V1(t, ξ) = V (t, ξ), (t, ξ) ∈ (0;T0]×Cn, що i доводить єдинiсть
розв’язку задачi Кошi (12), (13) у просторi (WM
Ω )mT
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1222 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Щодо умови 2 цiєї теореми, то виконання її стає очевидним, якщо взяти до
уваги наслiдок 2.
Нарештi, зваживши на те, що
U(t, ·) = F−1[V ](t, ·) = F−1
[
Θ(t; ξ, 0)F [f ]
]
(t, ·), t ∈ (0;T0],
а також на теорему 1 з [18], прийдемо до висновку, що U(t, ·) = Gt(·)∗f, t ∈ (0;T0],
де Gt(·) = F−1
[
Θ(t; ξ, 0)
]
(t, ·).
Розв’язок U задачi Кошi (1), (3) неперервно залежить вiд початкових даних
задачi, оскiльки вiдповiдний розв’язок V має таку властивiсть, а F−1 є неперервним
оператором з (WM
Ω )m у
(
WΩ′
M′
)m
.
Теорему доведено.
3. Окремий випадок системи (1). Нехай для (1) окрiм умови (2) виконується
ще i така:
∃{δ−1 ; δ−2 } ⊂ (0;+∞] ∃ c− ∈ R ∀t ∈ (0;T0] ∀ξ = ζ + iη ∈ Cn :
min
j=1,m
Reλj(t, ξ) ≥ −
(
Q+(δ−1 , δ
−
2 ; ζ, η) + c−
)
. (16)
Прикладом такої системи знову можуть бути 2~b-параболiчнi системи диферен-
цiальних рiвнянь з частинними похiдними.
Виявляється, що у цьому випадку умови коректної розв’язностi задачi Кошi (1),
(3), сформульованi у теоремi 1, є не лише достатнiми, але i необхiдними. Для
доведення цього факту нам знадобляться наступнi допомiжнi твердження.
Лема 5. Нехай Θ−1(t; ·, τ) — обернена матриця до матрицанта Θ(t; ·, τ)
системи (4) при τ ∈ [0;T0) i t ∈ (τ, T0]. Тодi iснують додатнi сталi c, δ1, δ2 i g
такi, що для всiх τ ∈ (0;T0], ξ ∈ Cn
∣∣Θ−1(t; ξ, 0)
∣∣ ≤ c exp
{
t
(
Q+(δ1, δ2; ζ, η) + g
)}
.
Доведення. Насамперед зазначимо, що Θ−1(t; ·, τ) = Θ(τ ; ·, t), t ∈ (τ, T0], τ ∈
∈ [0;T0). Дiйсно, згiдно з вiдповiдними властивостями матрицанта [15],
E = Θ(τ ; ·, τ) = Θ(τ ; ·, t)Θ(t; ·, τ)
(
∀t ∈ (τ ;T0]
)
.
Отже, Θ−1(t; ·, τ) — нормований розв’язок такої задачi Кошi:
∂τΘ−1(t; ξ, τ) = Aτ (ξ)Θ−1(t; ξ, τ), (τ, ξ) ∈ [0; t)×Cn,
(17)
Θ−1(t; ·, τ) |τ=t= E.
Далi дiятимемо, як i при доведеннi леми 1. Зафiксуємо довiльне τ∗ з [0; t] i
подамо систему (17) у виглядi
∂τΘ−1 = Aτ∗(ξ)Θ−1 + q(τ, ξ),
де q(τ, ·) =
(
Aτ (·)−Aτ∗(·)
)
Θ−1(t; ·, τ). Тодi
Θ−1(t; ·, τ) = e(τ−t)Aτ∗ (·) +
τ∫
t
e(τ−σ)Aτ∗ (·)q(σ, ·) dσ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1223
причому виконуються такi нерiвностi:
∣∣e(τ−t)Aτ∗ (ξ)
∣∣ ≤ e
(τ−t) min
j=1,m
Reλj(τ
∗,ξ)
1 +
m−1∑
j=1
(
2(t− τ)
∥∥Aτ∗(ξ)
∥∥)j ≤
≤
1 + 2m−1
m−1∑
j=1
(
(t− τ)
(
Q+
(
δ1, δ2; ζ, η
)
+ c0
))j
×
× exp
{
(t− τ)
[
Q+
(
δ−1 , δ
−
2 ; ζ, η
)
+ c−
]}
≤
≤ 2mm! exp
{
(t− τ)
[
Q+
(
δ−1 + δ1, δ
−
2 + δ2; ζ, η
)
+ c− + c0
]} (
∀τ ∈ [0; t)
)
.
Звiдси вже, зваживши на те, що при τ∗ = t для всiх τ з [t − ε; t), 0 < ε << 1, i
ξ ∈ Cn ∣∣q(τ, ξ)∣∣ ≤ mv(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ; η) + c01
)∣∣Θ−1(t; ξ, τ)
∣∣,
дiстанемо ∣∣Θ−1(t; ξ, τ)
∣∣ exp
{
(τ − t)
(
Q+(δ1, δ2; ζ, η) + c+
)}
≤
≤ c+ cm2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)
×
×
t∫
τ
exp
{
(σ − t)
(
Q+(δ1, δ2; ζ, η) + c+
)} ∣∣Θ−1(t; ξ, σ)
∣∣dσ,
де c, δ1, δ2 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, τ, ξ i ε.
Тепер, використавши аналог леми 2 з [6, с. 300], отримаємо∣∣Θ−1(t; ξ, τ)
∣∣ exp
{
(τ − t)
(
Q+(δ1, δ2; ζ, η) + c+
)}
≤
≤ c+ (cm)2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)
(t− τ)×
× exp
{
(t− τ)cm2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)}
≤
≤ c
(
1 + exp
{
(t− τ)2cm2v(ε)
(
Q+(1, δ0; ζ, η) + c01
)})
,
або, що те ж саме,∣∣Θ−1(t; ξ, τ)
∣∣ ≤ c exp
{
(t− τ)
(
1
2
+ 3cm2v(ε)
)(
Q+(δ3, δ4; ζ, η) + c2
)}
,
де δ3 = max{1; 2δ1}, δ4 = max{δ2; 2δ0}, c2 = max{c01; 2c+}, ξ ∈ Cn, τ ∈ [t− ε; t),
t ∈ (0;T0].
Зафiксуємо тепер ε > 0 так, щоб t−ε ≥ 0 i виконувалась нерiвнiсть 3cm2v(ε) ≤
≤ 1
2
. Тодi для всiх t ∈ (0;T0], τ ∈ [t− ε; t) i ξ ∈ Cn∣∣Θ−1(t; ξ, τ)
∣∣ ≤ c exp
{
(t− τ)
(
Q+(δ3, δ4; ζ, η) + c2
)}
, (18)
де c, δ3, δ4 i c2 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, τ, ξ i ε.
На завершення зазначимо, що мiркуючи, як i при доведеннi леми 2, i зважаючи
при цьому на рiвнiсть Θ−1(t; ·, τ) = Θ(τ, ·, t), оцiнку (18) можемо легко поширити
по змiннiй τ на увесь промiжок [0; t) для кожного фiксованого t з (0;T0].
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1224 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Лема 6. Для кожного елемента P (·) з P (WM
Ω )m iснує t0 ∈ (0; 1) таке, що
для всiх t ∈ (0; t0) добуток P (·)Θ−1(t; ·, 0) належить класу P (WM
Ω )m.
Доведення. Оскiльки матриця P належить P (WM
Ω )m, то
∃{c1, δ3, δ4} ⊂ (0;+∞) ∀ξ ∈ Cn :
∣∣P (ξ)
∣∣ ≤ c1 exp
{
Q−(δ3, δ4; ζ, η)
}
.
Звiдси з огляду на лему 5 та властивостi Ω(·) й M(·), одержуємо∣∣P (ξ)Θ−1(t; ξ, 0)
∣∣ ≤
≤ m2cc1e
t·g exp
m∑
j=1
(
tΩj(δ1ζj)− Ωj(δ3ζj) + Mj
(
(δ2 + δ4)ηj
)) ≤
≤ m2cc1e
g−g2(δ
+) exp
m∑
j=1
((
t− g1(δ+)
)
Ωj(δ1ζj) + Mj
(
(δ2 + δ4)ηj
)) ,
δ+ = min
{
1
2
;
δ3
δ1
}
, 0 < t << 1, ξ ∈ Cn.
Отже, для всiх t < g1(δ+) з iнтервалу (0;T0] i ξ ∈ Cn добуток P (ξ)Θ−1(t; ξ, 0)
належить P (WM
Ω )m.
Лему доведено.
Теорема 2 (критерiй мультиплiкатора). Для того щоб вектор ψ(·) =
{
ψ1(·), . . .
. . . , ψm(·)
}
був мультиплiкатором у (WM
Ω )m, необхiдно i достатньо, щоб для кож-
ного 0 < t << 1 добуток Θ(t; ·, 0)ψT належав простору (WM
Ω )mT
.
Доведення. Необхiднiсть очевидна, оскiльки матрицант Θ(t; ·, 0) належить
P (WM
Ω )m для всiх t ∈ (0;T0] (див. наслiдок 1).
Доведемо достатнiсть. Для цього зафiксуємо довiльну матрицю P (·) з
P (WM
Ω )m i розглянемо P (·)ψT , який подамо у такому виглядi:
P (·)ψT (·) =
(
P (·)Θ−1(t; ·, 0)
)(
Θ(t; ·, 0)ψT (·)
)
, 0 < t << 1. (19)
На пiдставi леми 6 P (·)ψT (·) ∈ (WM
Ω )mT
. Таким чином, умова 1 з означення
мультиплiкатора у (WM
Ω )m виконується.
Переконаємося тепер у виконаннi умови 2 з цього означення. Нехай послiдов-
нiсть {P ;Pv, v ≥ 1} ⊂ P (WM
Ω )m така, що Pv
P (W M
Ω )m−−−−−−→
v→+∞
P. Тодi достатньо показати,
що Pvψ
T (W M
Ω )m
T
−−−−−→
v→+∞
PψT , тобто: а) (Pv(ξ)− P (ξ))ψT (ξ) −−−−−→
v→+∞
0 рiвномiрно по
ξ на кожному компактi K ⊂ Cn; б) ∃{c1, δ1, δ2} ⊂ (0;+∞) ∀v ≥ 1 ∀ξ ∈ Cn:∣∣Pv(ξ)ψT (ξ)
∣∣ ≤ c1 exp
{
Q−(δ1, δ2; ζ, η)
}
.
Зазначимо, що умова а) одержується безпосередньо зi збiжностi {Pv, v ≥ 1} до
P у класi P (WM
Ω )m та з обмеженостi ψ на кожному компактi K ⊂ Cn. Умова б)
також стає очевидною, якщо зважити на рiвнiсть (19), лему 6 та на збiжнiсть
послiдовностi {Pv, v ≥ 1} у P (WM
Ω )m.
Теорему доведено.
Основний результат цього пункту сформулюємо у виглядi наступного тверд-
ження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1225
Теорема 3. Якщо для системи (1) окрiм зазначених у п. 1 умов виконується
умова (16), то для того щоб задача Кошi (1), (3) була коректно розв’язною i:
1) її розв’язок U(t, ·) при кожному фiксованому t ∈ (0;T0] належав простору(
WΩ′
M′
)mT
; 2) ∂tF [U ] = F [∂tU ], t ∈ (0;T0], необхiдно i достатньо, щоб F [f ]
був мультиплiкатором у (WM
Ω )mT
. При цьому завжди виконуватиметься рiвнiсть
U(t, x) = Gt(x) ∗ f, (t, x) ∈ (0;T0]×Rn.
Доведення. Достатнiсть одержуємо з теореми 1. Доведемо необхiднiсть. Як
зазначалось при доведеннi теореми 1, питання про коректну розв’язнiсть задачi Ко-
шi (1), (3) у просторi
((
WΩ′
M′
)m)′
рiвносильне питанню про коректну розв’язнiсть
задачi Кошi (12), (13) у просторi
(
(WM
Ω )m
)′
. Тому достатньо показати, що якщо
задача Кошi (12), (13) коректно розв’язна, то F [f ] — мультиплiкатор у (WM
Ω )mT
.
Оскiльки V (t, ·) = Θ(t; ·, 0)C(·) ∈ (WM
Ω )mT
при кожному фiксованому t з (0;T0]
(див. (14)), то, згiдно з теоремою 2, функцiя C(·) — мультиплiкатор у (WM
Ω )mT
.
Зважаючи на лему 4, з умови (13) одержуємо〈
C(·), ϕ(·)
〉
=
〈
F [f ](·), ϕ(·)
〉 (
∀ϕ ∈ (WM
Ω )mT
)
.
Звiдси на пiдставi єдиностi розв’язку задачi Кошi (12), (13) приходимо до того, що
F [f ] — регулярний функцiонал, породжений мультиплiкатором у (WM
Ω )mT
.
Теорему доведено.
4. Принцип локалiзацiї. Зазначимо, що розв’язок задачi Кошi (1), (3) при
t → +0 прямує до узагальненої вектор-функцiї f у слабкому розумiннi збiжностi.
Однак може трапитися, що f збiгається на деякiй частинi Rn з гладкою функцiєю.
Виникає запитання: чи буде у цьому випадку вiдбуватися локальне пiдсилення
збiжностi вказаного розв’язку при t→ +0?
Вiдповiдь на це питання спробуємо з’ясувати, попередньо зробивши такi при-
пущення. Говоритимемо, що для Ω i M виконується умова А), якщо для компонент
цих вектор-функцiй окрiм зазначених у п. 1 властивостей виконуються ще i такi:
1) ∃d1 ∈ R 0 < t << 1 ∃ĝj(t) > 0, ĝj(t) −−−−→
t→+0
0, ∀ζ ∈ R: tΩj(ζ) ≥
≥ Ωj
(
ĝj(t)ζ
)
+ d1;
2) ∃d2 ∈ R 0 < t << 1 ∃ğj(t) > 0, ğj(t) −−−−→
t→+0
0, ∀η ∈ R: tMj(η) ≤
≤ Mj
(
ğj(t)η
)
+ d2;
3) ∃{c,B, αj} ⊂ (0;+∞) ∀q ∈ Z+: sup
y>0
{
yq exp{−Ωj(y)}
}
≤ cBqqαjq;
4) ∃{c,B, δ, βj} ⊂ (0;+∞) ∀q ∈ Z+ ∀η ∈ R: |η|q ≤ cBqqβjq exp
{
Mj(δη)
}
;
5) ∃γj ≥ 0 ∀δ ∈ (0; 1) ∃{c,B} ⊂ (0;+∞) ∀q ∈ Z+:
sup
0<y<<1
{
exp
{
−M′
j
(
δ
(
ğj(y)
)−1)}(
χj(y)
)−q(
ĝj(y)
)−2
}
≤ cBqqγjq,
χj(·)
df=min
{
ĝj(·), ğj(·)
}
.
Вектор-функцiї Ω i M (що означенi у п. 1) задовольняють умову A′), якщо для
їх компонент виконуються властивостi 1 – 4 з умови А) i: а) lim
t→+0
ğj(t)
ĝj(t)
< +∞;
б) ∃γj ≥ 0 ∃{c,B} ⊂ (0;+∞) ∀q ∈ Z+: sup
y>0
{
yq exp{−M′
j(y)}
}
≤ CBqqγjq.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1226 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
Зазначимо, що зробленi припущення на вектор-функцiї Ω та M, за винятком
другого та п’ятого, завжди виконуються для довiльних Ω й M. У цьому неважко
переконатися, виходячи безпосередньо з означень цих функцiй. Дiйсно, згiдно з
властивiстю в) компоненти Ωj (див. п. 1), одержимо, що припущення 1 справджу-
ється при ĝj(t) = t i d1 = 0.
Якщо зважити на нерiвнiсть
|τ |Ωj(1) ≤ Ωj(τ), |τ | ≥ 1, (20)
тодi дiстанемо, що для всiх q ∈ Z+
|τ |q exp
{
−Ωj(τ)
}
≤
(
Ωj(1)
)−q sup
|τ |≥1
{(
Ωj(τ)
)q exp
{
−Ωj(τ)
}}
≤
≤
(
Ωj(1)
)−q sup
y>0
{yqe−y} ≤
(
Ωj(1)
)−q
q!
при |τ | ≥ 1 i
|τ |q exp
{
−Ωj(τ)
}
≤ 1
при |τ | < 1. Отже, припущення 3 завжди виконується при αj = 1.
Оскiльки для компонент вектор-функцiї M також виконується аналог нерiвнос-
тi (20), то
|η|q = qq
∣∣∣∣ηq
∣∣∣∣q ≤ qq
(
e|η|/q
)q ≤ qq exp
{
Mj(η)
Mj(1)
}
, |η| ≥ 1, q ∈ Z+.
Для решти значень η |η|q < 1, q ∈ Z+. Таким чином, виконується й припущення 4.
Щодо спiввiдношень А) i А′), то умова А′) є достатньою для виконання А).
Справдi, досить переконатися, що властивостi а), б) умови А′) забезпечують вико-
нання припущення 5 з А). Зваживши на умови а) i б), для достатньо малих y > 0
одержимо
exp
{
−M′
j
(
δ
(
^
g j(y)
)−1
)}(
(ĝj(y))
2
χj(y)q
)−1
≤
≤
(
δ−1^
g j(y)
)q+2 (
(ĝj(y))
2
χj(y)q
)−1
×
× sup
0<y<<1
{(
δ
(
^
g j(y)
)−1
)q+2
exp
{
−M′
j
(
δ
(
^
g j(y)
)−1
)}}
≤
≤ c1
(
B1δ
−1
)q+2
sup
y>0
{
yq+2 exp {−M′
j(y)}
}
, δ > 0, q ∈ Z+,
де c1 6= c1(y, q), B1 6= B1(y, q).
Зрозумiло, що для конкретних вектор-функцiй Ω, M зазначенi умови можуть
допускати деталiзацiю (у виглядi зроблених припущень). Наприклад, для 2~b-
параболiчної системи з неперервними коефiцiєнтами, залежними вiд часу, данi умо-
ви виконуються з функцiями ĝj(t) = ^
g j(t) = t1/(2bj), d1 = d2 = 0, αj = βj =
1
2bj
.
При цьому твердження з б) набуває вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1227
sup
y>0
{
yq/(2bj) exp
{
−
(
y1/(2bj)
)2bj/(2bj−1)
}}
=
= sup
y>0
{
yq/(2bj) exp
{
−y1/(2bj−1)
}}
≤ cBqq(1−1/(2bj))q,
де c, B — додатнi сталi, не залежнi вiд q.
Далi, хоча й вiдомо, що фундаментальна матриця розв’язкiв Gt(·) системи (1)
належить простору P (WΩ′
M′)m при кожному фiксованому t з (0;T0], для встанов-
лення принципу локалiзацiї розв’язку задачi Кошi (1), (3) важливою є iнформацiя
про залежнiсть оцiнюючих сталих похiдних ф. м. р. вiд часової змiнної. Тому
доведемо спочатку таке допомiжне твердження.
Лема 7. Нехай виконується умова А), α̂
df=
{
max{αj , βj},j = 1, n
}
(де αj ,
βj — величини з припущень 3, 4 цiєї умови), а Zk
q (t)
df=
∏n
j=1
((
ĝj
(
t
4
))k
×
×
(
χj
(
t
4
))qj
)−1
, q ∈ Zn, k ∈ Z, 0 < t << 1. Тодi
∃{c,B, δ} ⊂ (0;+∞) ∀q ∈ Z+ ∀x ∈ Rn 0 < t << 1:
∣∣Dq
xGt(x)
∣∣ ≤ cB|q|qα̂qZ1
q (t) exp
−
n∑
j=1
M′
j
(
xj
δğj(t/4)
)(
тут qαq =
∏n
j=1
q
αjqj
j
)
.
Доведення. Оскiльки Gt ∈ P
(
WΩ′
M′
)m
, t ∈ (0;T0], то
Dq
xGt(x) = (2π)−n
∫
Rn
(
i(ζ + iη)
)q
ei((ζ+iη),x)Θ(t; ζ + iη, 0)dζ,
q ∈ Zn
+, x ∈ Rn, t ∈ (0;T0],
причому Dq
xGt не залежить вiд η ∈ Rn. Звiдси, згiдно з оцiнкою (10), одержуємо∣∣Dq
xGt(x)
∣∣ ≤ c1B
|q|
1 exp
{
t
4
(
Q−(δ∗1 , δ
0
2 ; 0, η) + g∗
)
− (η, x)
}
×
×
∫
Rn
(
n∏
j=1
|ζj |qj +
n∏
j=1
|ηj |qj
)
exp
{
t
4
Q−(δ∗1 , δ
0
2 ; ζ, 0)
}
dζ.
Враховуючи вiдповiднi припущення з умови А) та виконуючи у попередньому
iнтегралi замiну змiнних iнтегрування згiдно з правилом δ∗1 ĝj
(
t
4
)
ζj = τj , j = 1, n,
отримуємо таку оцiнку:
∣∣Dq
xGt(x)
∣∣ ≤ c2B
|q|
2 qα̂qZ1
q (t) exp
n∑
j=1
Mj
(
δ3ğj
(
t
4
)
ηj
)
− (η, x)
×
×
(qαq)−1
∫
Rn
n∏
j=1
sup
y>0
{
yqje−Ωj(y)
} ×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1228 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
× exp
−
n∑
j=1
Ωj
(
1
2
τj
) dτ +
∫
Rn
exp
−
n∑
j=1
Ωj(τj)
dτ
≤
≤ c3B
|q|
3 qα̂qZ1
q (t) exp
n∑
j=1
Mj
(
δ3ğj
(
t
4
)
ηj
)
− (η, x)
,
де 0 < t << 1, x ∈ Rn, q ∈ Zn
+, а c3, B3, δ3 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, x i q.
Далi, скористаємося нерiвнiстю Юнга [1]
ηjxj ≤ Mj(ηj) + M′
j(xj), xj ≥ 0, ηj ≥ 0, j = 1, n, (21)
та довiльнiстю величини η. Виберемо цю величину так, щоб (x, η) =
n∑
j=1
|xj | |ηj |, а
нерiвнiсть (21), у якiй ηj замiнимо на δ3ğj
(
t
4
)
|ηj |, а xj — на |xj |
(
δ3ğj
(
t
4
))−1
,
перетворилася б у рiвнiсть
|ηj | |xj | = Mj
(
δ3ğj
(
t
4
)
ηj
)
+ M′
j
(
xj
(
δ3ğj
(
t
4
))−1
)
, j = 1, n.
Тодi одержимо таку оцiнку:
∣∣Dq
xGt(x)
∣∣ ≤ c4B
|q|
4 qα̂qZ1
q (t) exp
−
n∑
j=1
M′
j
(
xj
(
δ3ğj
(
t
4
))−1
) ,
0 < t << 1, x ∈ Rn, q ∈ Zn
+,
де c4, B4, δ3 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, x i q.
Лему доведено.
Властивостi ф. м. р. Gt, сформульованi у попереднiй лемi, покладемо в основу
означення простору W v
M. Нехай M(·) — вектор-функцiя, визначена у п. 1, а v =
=
{
vj , j = 1, n
}
⊂ (0;+∞), тодi через W v
M позначимо сукупнiсть усiх функцiй
φ ∈ C∞(Rn) таких, що
∣∣Dq
xϕ(x)
∣∣ ≤ cB
|q|
1 qvq exp
{
−
n∑
j=1
Mj(b1xj)
}
, x ∈ Rn, q ∈ Zn
+, (22)
де c, B1, b1 — додатнi сталi, залежнi вiд ϕ i не залежнi вiд q та x. Поруч з
W v
M розглянемо простiр W v,B
M,b , який складається з функцiй ϕ ∈ W v
M, для яких
нерiвнiсть (22) виконується зi сталими B ≥ B1 i b1 ≥ b > 0. Якщо для ϕ ∈ W v,B
M,b
покласти
‖ϕ‖δρ = sup
x∈Rn
q∈Zn
+
∣∣Dq
xϕ(x)
∣∣
(B + δ)|q|qvq exp
{
−
∑n
j=1
Mj
(
b(1− ρ)xj
)}
,
{δ; ρ} ⊂
{
1
n
, n ≥ 2
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1229
то, мiркуючи, як i у випадку просторiв типу S та W [1, 15], неважко переконатися,
що з цими нормами простiр W v,B
M,b є повним, досконалим, злiченно-нормованим,
з нескiнченно диференцiйовною операцiєю зсуву, а W v
M =
⋃
B,b>0
W v,B
M,b , причому
ϕv
W v
M−−−−−→
v→+∞
ϕ тодi i тiльки тодi, коли: 1) Dq
xϕv(x) −−−−−→
v→+∞
Dq
xϕ(x) рiвномiрно по
x на кожному компактi K з Rn (∀q ∈ Zn
+); 2) ∃{c,B, δ} ⊂ (0;+∞) ∀q ∈ Zn
+
∀v ≥ 1 ∀x ∈ Rn:
∣∣Dq
xϕv(x)
∣∣ ≤ cB|q|qvq exp
{
−
∑n
j=1
Mj(δxj)
}
. Бiльш того, для
всiх {v1, v2} ⊂ Rn таких, що v1 ≥ v2 > 0 (так далi позначатимемо те, що всi
компоненти v2 є додатними i не перевищують вiдповiднi компоненти вектора v1),
W v2
M ⊂W v1
M , причому мають мiсце такi неперервнi i компактнi вкладення:
WΩ′
M′ ⊂W α̂
M′ ⊂W v
M′ ⊂ S ⊂
(
W v
M′
)′
⊂ (W α̂
M′
)′
⊂ (WΩ′
M′
)′
, α̂ ≤ v.
Зазначимо також, що, згiдно з вiдомим критерiєм Карлемана – Островського
[19], при 0 < v ≤ 1 усi елементи простору W v
M є квазiаналiтичними функцiями.
Фiнiтнi ж функцiї мiстяться серед елементiв W v
M лише у випадку v > 1.
Отже, у просторi
(
W v
M
)′
при v > 1 коректним є таке означення [7]: узагальненi
функцiї {f1, f2} ⊂
(
W v
M
)′
називатимемо рiвними в областi Q ⊂ Rn, якщо 〈f1 −
−f2, ϕ〉 = 0 для кожної основної функцiї ϕ з носiєм у Q.
Далi, нехай Rf (t, ·) df=
(∑m
j=1
〈
fj(ξ), , G
ij
t (· − ξ)
〉)m
i=1
, t ∈ (0;T0, ], де f ∈
∈
((
WΩ′
M′
)m)′
а Gij
t — елементи ф. м. р. Gt (при f такому, що F [f ] — мульти-
плiкатор у просторi (WM
Ω )m, вектор-функцiя Rf (t, ·) є розв’язком задачi Кошi (1),
(3)). Оскiльки у WΩ′
M′ визначена i не лише неперервна, а й нескiнченно диферен-
цiйовна (у сенсi топологiї цього простору) операцiя зсуву [1], то, зваживши на те,
що Gt ∈ P
(
WΩ′
M′
)m
, t ∈ (0;T0], приходимо до висновку, що Rf (t, ·) є звичайною
нескiнченно диференцiйовною на Rn вектор-функцiєю при кожному t з (0;T0] й
fT ∈
((
WΩ′
M′
)m)′
.
Теорема 4. Нехай для Ω(·), M(·) виконується умова А) i v∗ ≥ α̂ + γ, якщо
α̂ + γ > 1, iнакше −v∗ > 1 (тут γ — параметр з властивостi 5 умови А)).
Тодi якщо узагальнена вектор-функцiя fT ∈
((
W v∗
M′
)m)′
дорiвнює нулевi в областi
Q ⊂ Rn, то Rf (t, x) −−−−→
t→+0
0 рiвномiрно по x на кожному компактi K ⊂ Q.
Доведення. Нехай K ⊂ K1 ⊂ Q, де K1 — деяка компактна множина в Rn така,
що
∃a0 > 0 ∀(x1, . . . , xn) ∈ K ∀(ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn\K1 : (23)
|xj − ξj | ≥ a0, j = 1, n.
Побудуємо функцiю ϕ ∈ W v∗
M′ з носiєм в Q так, щоб ϕ = 1 на K1. Оскiльки{
ϕGij
t (x − ·); (1 − ϕ)Gij
t (x − ·)
}
⊂ W v∗
M′ при кожному t ∈ (0;T0], x ∈ Rn й
{i; j} ⊂ {1, . . . ,m}, то
Rf (t, x) =
m∑
j=1
[〈
fj , ϕG
ij
t (x− ·)
〉
+
〈
fj , ηG
ij
t (x− ·)
〉]m
i=1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1230 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
t ∈ (0;T0], x ∈ Rn, η
df=1− ϕ.
Зваживши на те, що узагальнена вектор-функцiя f дорiвнює нулевi в областi
Q, а supp
(
ϕGij
t (x− ·)
)
⊂ Q, i, j = 1,m, з останньої рiвностi дiстанемо
Rf (t, x) = _
g (t)
m∑
j=1
〈
fj ,
(
_
g (t)
)−1
ηGij
t (x− ·)
〉m
i=1
,
_
g (·) df=
n∏
j=1
ĝj
(
(·)/4
)
.
Для доведення теореми достатньо встановити, що сукупнiсть функцiй ωij
t,x(·) =
=
(
_
g (t)
)−1
ηGij
t (x−·), i, j = 1,m, обмежена у просторi W v∗
M ′ рiвномiрно по t (для
достатньо малих значень t), x ∈ K та ξ ∈ Rn, тобто
∣∣Dq
ξω
ij
t,x(ξ)
∣∣ ≤ cB|q|qv∗q exp
{
−
n∑
j=1
M′
j(δξj)
}
, q ∈ Zn
+, (24)
де сталi c, B, δ не залежать вiд t, x i ξ. Але оскiльки ωij
t,x(ξ) = 0 для ξ ∈ K1, то
оцiнку (24) досить встановити лише для ξ ∈ Rn\K1.
Згiдно з формулою Лейбнiца диференцiювання добутку двох функцiй,
∣∣∣Dq
ξω
ij
t,x(ξ)
∣∣∣ = (_
g (t)
)−1
∣∣∣∣∣∣
|q|∑
|l|=0
Cl
qD
l
ξη(ξ)D
q−l
ξ Gij
t (x− ξ)
∣∣∣∣∣∣ 6 _
Φij
t,x(ξ) +
^
Φij
t,x(ξ),
де
_
Φij
t,x(ξ) =
(
_
g (t)
)−1
|q|∑
|l|=0
Cl
q
∣∣Dl
ξϕ(ξ)
∣∣ ∣∣∣Dq−l
ξ Gij
t (x− ξ)
∣∣∣ ,
^
Φij
t,x(ξ) =
(
_
g (t)
)−1 ∣∣∣Dq
ξG
ij
t (x− ξ)
∣∣∣ .
Звiдси, зважаючи на те, що ϕ ∈ W v∗
M , а також на лему 7 та припущення 5 (з
умови А)), дiстаємо
_
Φij
t,x(ξ) ≤ c1B
|q|
1 exp
−
n∑
j=1
M′
j(δ1ξj)
|q|∑
|l|=0
lv∗l(q − l)α̂(q−l)Z2
q−l(t)×
× exp
−
n∑
j=1
M′
j
(
(xj − ξj)
(
δ
^
g j
(
t
4
))−1
) ≤
≤ c1B
|q|
1 exp
−
n∑
j=1
M′
j(δ1ξj)
|q|∑
|l|=0
lv∗l(q − l)α̂(q−l)×
×
n∏
j=1
sup
0<y<<1
{
(ĝj(y))
−2 (χj(y))
lj−qj exp
{
−M′
j
(
a0
(
δ
^
g j(y)
)−1
)}} ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1231
≤ c2B
|q|
2 qv∗q exp
−
n∑
j=1
M′
j(δ1ξj)
,
ξ ∈ Rn\K1, x ∈ K, q ∈ Zn
+, 0 < t << 1,
де сталi c2, B2, δ1 не залежать вiд t, x, ξ i q.
Оцiнимо тепер Φ̆ij
t,x. Оскiльки виконується (23), то iснує H > 0 таке, що
|ξj | ≤ H|xj − ξj | для всiх (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn\K1 i (x1, . . . , xn) ∈ K. Тодi, зно-
ву скориставшись лемою 7 та припущенням 5, знайдемо
^
Φij
t,x(ξ) 6 cB|q|qα̂qZ2
q (t) exp
−
n∑
j=1
M′
j
(
(xj − ξj)
(
δ
^
g j
(
t
4
))−1
) ≤
≤ cB|q|qα̂q
n∏
j=1
sup
0<y<<1
{
(ĝj(y))
−2 (χj(y))
−qj
}
×
× exp
{
−M′
j
(
a0
(
2δ^
g j(y)
)−1
)}
exp
−
n∑
j=1
M′
j
(
(xj − ξj)
(
2δ^
g j
(
t
4
))−1
) ≤
≤ c1B
|q|
1 qv∗q exp
−
n∑
j=1
M′
j
(
ξj
2Hδpj
) ,
де ξ ∈ Rn\K1, x ∈ K, q ∈ Zn
+, 0 < t << 1; pj = sup
0<y<<1
(
^
g j(y)
)
, а сталi c1, B1, δ
не залежать вiд t, x, ξ i q.
Отже, оцiнка (24) справджується.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Проаналiзувавши доведення попередньої теореми i зважив-
ши на те, що Dk
xRf (t, x) =
(∑m
j=1
〈
fj , D
k
xG
ij
t (x − ·)
〉)m
i=1
, k ∈ Zn
+, прийдемо
до такого висновку: якщо узагальнена вектор-функцiя fT з
((
W v∗
M′
)m)′
збiгається
з нулем в областi Q ⊂ Rn, то Dk
xRf (t, x) −−−−→
t→+0
0 рiвномiрно по x на кожному
компактi K ⊂ Q.
Теорема 5. Якщо для вектор-функцiй Ω(·), M(·) виконується умова А′), а
узагальнена вектор-функцiя fT ∈
((
W v∗
M′
)m)′
збiгається в областi Q ⊂ Rn з
k разiв неперервно диференцiйовною у цiй областi вектор-функцiєю rT (·), то
Dl
xRf (t, x) −−−−→
t→+0
Dl
xr(x) рiвномiрно по x на кожному компактi K ⊂ Q для
всiх l ∈ Zn
+, |l| ≤ |k|.
Доведення. Для спрощення викладу доведення проведемо у випадку, коли
n = 2 (решта випадкiв n реалiзується аналогiчно).
Нехай K, K1, ϕ, η — величини, означенi при доведеннi попередньої теореми.
На пiдставi зауваження 1, а також того, що Dl
xRf (t, x) =
(∑m
j=1
〈
fj , D
l
xG
ij
t (x−
− ·)
〉)m
i=1
, Dl
xG
ij
t (x − ξ) = (−1)|l|Dl
ξG
ij
t (x − ξ), Dl
ξf = Dl
ξr в Q та ηDl
ξf = 0 на
K1, доведення даної теореми зводиться до доведення того, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1232 В. А. ЛIТОВЧЕНКО
J l
t(x)
df=
∫
Rn
Gt(x− ξ) φ(ξ) dξ −−−−→
t→+0
φ(x)
рiвномiрно по x ∈ K ⊂ Q, де φ(y) = ϕ(y)Dl
ξr(y), l ∈ Zn
+, |l| ≤ |k|.
Оскiльки згiдно з властивiстю оборотностi перетворень Фур’є
∫
Rn
Gt(x− ξ) dξ =
= E +O(t), де O(t) =
∫ t
0
At1(0) dt1 +
∫ t
0
At1(0)
∫ t1
0
At2(0) dt2dt1 + . . . , то
∣∣J l
t(x)− φ(x)
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
Gt(x− ξ) (φ(ξ)− φ(x)) dξ +O(t)φ(x)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ m
∫
Rn
∣∣Gt(ζ)
∣∣∣∣φ(x− ζ)− φ(x)
∣∣dζ +m
∣∣O(t)
∣∣∣∣φ(x)
∣∣, t ∈ (0, T0], x ∈ Rn.
(25)
Вектор-функцiя φ є фiнiтною (з носiєм в Q) i неперервною, тому: I) sup
x∈K
∣∣φ(x)
∣∣ =
= N1 < +∞; II) sup
x∈K
ζ∈Rn
∣∣φ(x−ζ)−φ(x)
∣∣ = N2 < +∞; III) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀{x1, x2} ∈
∈ K ∀{ζ1, ζ2} ∈ R2, |xj − ζj − xj | = |ζj | < δ, j = 1, 2:
∣∣φ(x− ζ)− φ(x)
∣∣ < ε.
Звiдси, скориставшись лемою 7 та властивостями а) i б) з умови А′), одержимо,
що для всiх x ∈ K i достатньо малих t > 0∫
|ζ1|<δ
∫
|ζ2|<δ
∣∣Gt(ζ)
∣∣∣∣φ(x− ζ)− φ(x)
∣∣dξ ≤
≤ εc
(
2∏
j=1
ğj(t)
ĝj(t)
∫
R
e−M′
j(τj)dτj
)
≤ εc1, c1 6= c1(t),
∫
|ζ1|≥δ
∫
|ζ2|≥δ
∣∣Gt(ζ)
∣∣∣∣φ(x− ζ)− φ(x)
∣∣dξ ≤
≤ cN2
(
2∏
j=1
(
ĝj(t)
)−1
∫
|ζj |≥δ
exp
{
−M′
j
(
ζj
(
δğj
(
t
4
))−1)}
dζj
)
≤
≤ c1N2δ
−2
2∏
j=1
(ğj(t))2
ĝj(t)
(
sup
y>0
{
y2e−M′
j(y)
})∫
R
e−M ′
j(δ2ζj)dζj ≤
≤ c2N2δ
−2
2∏
j=1
ğj(t), c2 6= c2(t), (26)
∫
|ζ1|<δ
∫
|ζ2|≥δ
∣∣Gt(ζ)
∣∣∣∣φ(x− ζ)− φ(x)
∣∣dξ ≤
≤ c2N2δ
−1ğ2(t)
(
sup
y>0
{
y2e−M′
2(y)
})∫
R
e−M ′
1(τ1)dτ1
∫
R
e−M ′
2(δ2ζ2)dζ2 ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ ... 1233
≤ c3N2δ
−1ğ2(t), c3 6= c3(t),∫
|ζ1|≥δ
∫
|ζ2|<δ
∣∣Gt(ζ)
∣∣∣∣φ(x− ζ)− φ(x)
∣∣dξ ≤ c4N2δ
−1ğ1(t), c4 6= c4(t).
Тепер нехай b(t) = max
j=1,n
{
ğj(t)
}
. Тодi, поклавши
√
b(t0) < δ, з (25) i (26)
дiстанемо
∀ε > 0 ∃t0 ∈ (0; ε) ∀t < t0, t ∈ (0; 1) :
sup
x∈K
∣∣J l
t(x)− φ(x)
∣∣ < c1ε+N2
(
c2b(ε) + (c3 + c4)
√
b(ε)
)
+N1O1(ε),
O1(ε) −−−−→
ε→+0
0.
Теорему доведено.
1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.:
Физматгиз, 1958. – 274 с.
2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961.
– 382 с.
3. Эйдельман С. Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133,
№ 1. – С. 40 – 43.
4. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
5. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. 2~b-Параболические системы // Тр. сем. по функц. анализу. –
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. – Вып. 1. – С. 3 – 175, 271 – 273.
6. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. –
427 с.
7. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Тригонометрические ряды и обобщенные периодические
функции // Докл. АН СССР. – 1981. – 257, № 4. – С. 799 – 804.
8. Городецкий В. В. Принцип локализации для решений задачи Коши для параболических по
Петровскому систем в классах обобщенных функций // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1984. –
№ 10. – С. 5 – 7.
9. Гуревич Б. Л. Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши
для конечноразностных систем // Докл. АН СССР. – 1954. – 99, № 6. – С. 893 – 896.
10. Schwartz L. Theorie des distributions // Acta Sci. Industry. – Paris: Hermann, 1950. – 1, № 1091.
11. Лiтовченко В. А. Коректна розв’язнiсть задачi Кошi для одного iнтегрального вигляду // Укр.
мат. журн. – 2004. – 56, № 2. – С. 185 – 197.
12. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и
некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
13. Городецький В. В., Ленюк О. М. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з оператором диферен-
цiювання нескiнченного порядку // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. – 2000. – Вип. № 4.
– С. 65 – 70.
14. Городецький В. В., Мартинюк О. В. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з операторами
диференцiювання та Бесселя нескiнченного порядку // Допов. НАН України. – 2003. – № 9. –
С. 18 – 23.
15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – 4-е изд. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
16. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. – 2-е изд. – М.: Гостехиздат, 1956. –
249 с.
17. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физмат-
гиз, 1958. – 307 с.
18. Борок В. М. Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных
производных // Докл. АН СССР. – 1954. – 97, № 6. – С. 949 – 952.
19. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. – М.: Гостехиздат, 1937. – 174 с.
Одержано 15.09.2005,
пiсля доопрацювання — 06.03.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
|