Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165418 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування / О.М. Мулява // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1271–1275. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165418 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654182020-02-14T01:27:22Z Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування Мулява, О.М. Статті 2006 Article Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування / О.М. Мулява // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1271–1275. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165418 517.53 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мулява, О.М. Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Мулява, О.М. |
| author_facet |
Мулява, О.М. |
| author_sort |
Мулява, О.М. |
| title |
Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування |
| title_short |
Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування |
| title_full |
Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування |
| title_fullStr |
Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування |
| title_full_unstemmed |
Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування |
| title_sort |
інтегральний аналог одного узагальнення нерівності гарді та його застосування |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165418 |
| citation_txt |
Інтегральний аналог одного узагальнення нерівності Гарді та його застосування
/ О.М. Мулява // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1271–1275. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT mulâvaom íntegralʹnijanalogodnogouzagalʹnennânerívnostígardítajogozastosuvannâ |
| first_indexed |
2025-07-14T18:25:14Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:25:14Z |
| _version_ |
1837647806745018368 |
| fulltext |
UDK 517.53
O. M. Mulqva (Ky]v. nac. un-t xarç. texnolohij)
INTEHRAL|NYJ ANALOH ODNOHO UZAHAL|NENNQ
NERIVNOSTI HARDI TA JOHO ZASTOSUVANNQ
Under some conditions on continuous functions µ, λ, a, f the inequality
µ λ
λ
λ
µ λ( ) ( )
( ) ( )
( )
≤ ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫ ∫
( )x x f
t a t dt
t dt
dx K x x f a x dx
x
x
y y
0
00 0
, y ≤ ∞,
is proved and its application to the study of the problem of belonging of Laplace integrals to the
convergence class is shown.
Za deqkyx umov na neperervni funkci] µ, λ, a i f dovedeno nerivnist\
µ λ
λ
λ
µ λ( ) ( )
( ) ( )
( )
≤ ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫ ∫
( )x x f
t a t dt
t dt
dx K x x f a x dx
x
x
y y
0
00 0
, y ≤ ∞,
i vkazano na ]] zastosuvannq do vyvçennq naleΩnosti intehraliv Laplasa do klasu zbiΩnosti.
Nahada[mo klasyçnu nerivnist\ Hardi [1, s. 289]: dlq koΩnoho p > 1 i bud\-qko]
poslidovnosti ( an ) nevid’[mnyx çysel
1
111 1n
a
p
p
ak
k
n p
n
p
n
p
n== =
∑∑ ∑
≤
−
ω ω
, ω ≤ ∞.
Dlq doslidΩennq klasiv zbiΩnosti rqdiv Dirixle v [2] cg nerivnist\ uzahal\-
neno. Dovedeno, wo qkwo – ∞ ≤ A < an < B ≤ + ∞, poslidovnist\ ( λn ) [ dodat-
nog, poslidovnist\ ( µn ) — dodatnog i nezrostagçog, a funkciq f — dodatnog
na ( A, B ) i takog, wo f 1
/
p
, p > 1, — opukla na ( A, B ) funkciq, to
µ λ
λ
λ
µ λ
ω ω
n n
k kk
n
kk
n
n
p
n n n
n
f
a p
p
f a=
== =
∑
∑∑ ∑
≤
−
( )1
11 1
1
, ω ≤ ∞. (1)
U danij statti dovedeno nastupnyj intehral\nyj analoh nerivnosti (1) i vka-
zano na joho moΩlyvi zastosuvannq.
Teorema. Nexaj a ( x ), µ ( x ) i λ ( x ) — neperervni na ( 0, + ∞ ) funkci],
pryçomu – ∞ ≤ A < a ( x ) < B ≤ + ∞, λ ( x ) > 0 i µ ( x ) Ü µ ≥ 0 pry x → + ∞, krim
c\oho, dodatna na ( A, B ) funkciq f taka, wo funkciq f 1
/
p
, p > 1, [ opuklog
na ( A, B ). Todi
µ λ
λ
λ
µ λ( ) ( )
( ) ( )
( )
≤
−
( ) ( ) ( )∫
∫
∫ ∫ ( )x x f
t a t dt
t dt
dx
p
p
x x f a x dx
x
x
y p y
0
00 0
1
, y ≤ ∞. (2)
Dovedennq. Poznaçymo Λ ( x ) = λ( )∫ t dt
x
0
i A ( x ) = λ( ) ( )∫ t a t dt
x
0
. Todi dlq do-
vil\noho η > 0
A x
x
A x
x
x
x
A x A x
x x
x x
x
( + )
( + )
= ( )
( )
( )
( + )
+ ( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + )
η
η η
η
η
η
ηΛ Λ
Λ
Λ Λ Λ
Λ Λ
Λ
i
© O. M. MULQVA, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1271
1272 O. M. MULQVA
Λ
Λ
Λ Λ
Λ
( )
( + )
+ ( + ) − ( )
( + )
x
x
x x
xη
η
η
= 1,
a oskil\ky funkciq f 1
/
p
[ opuklog, to
f
A x
x
f
A x
x
x
x
p p1 1/ /( + )
( + )
≤ ( )
( )
( )
( + )
η
η ηΛ Λ
Λ
Λ
+
+ f
A x A x
x x
x x
x
p1/ ( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + )
η
η
η
ηΛ Λ
Λ Λ
Λ
,
tobto
− ( + ) − ( )
( + ) − ( )
≤ ( )
( )
( )
( + ) − ( )
f
A x A x
x x
f
A x
x
x
x x
p p1 1/ /η
η ηΛ Λ Λ
Λ
Λ Λ
–
– f
A x
x
x
x x
p1/ ( + )
( + )
( + )
( + ) − ( )
η
η
η
ηΛ
Λ
Λ Λ
.
Tomu z 1 / q + 1 / p = 1 ma[mo
Q ( x ) : = f
A x
x
x x
( + )
( + )
( + ) − ( )( )η
η
η
Λ
Λ Λ –
– q f
A x A x
x x
f
A x
x
x xp q1 1/ /( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + )
( + )
( + ) − ( )( )η
η
η
η
η
Λ Λ Λ
Λ Λ ≤
≤ f
A x
x
x x q f
A x
x
f
A x
x
xp q( + )
( + )
( + ) − ( ) +
( )
( )
( + )
( + )
( )( )η
η
η η
ηΛ
Λ Λ
Λ Λ
Λ1 1/ / –
– f
A x
x
f
A x
x
xp q1 1/ /( + )
( + )
( + )
( + )
( + )
η
η
η
η
η
Λ Λ
Λ =
= f
A x
x
x x q x
( + )
( + )
( + ) − ( ) − ( + )( )η
η
η η
Λ
Λ Λ Λ +
+ q f
A x
x
f
A x
x
xp q1 1/ /( )
( )
( )
( )
( )
Λ Λ
Λ .
Oskil\ky
1 1
p
a
q
bp q+ ≥ a b dlq vsix a ≥ 0 ta b ≥ 0 [2], to
Q ( x ) ≤ f
A x
x
q x x
( + )
( + )
( − ) ( + ) − ( )( )η
η
η
Λ
Λ Λ1 +
+ q
p
f
A x
x q
f
A x
x
x
1 1( )
( )
+ ( + )
( + )
( )
Λ Λ
Λη
η
=
= f
A x
x
q x
q
p
f
A x
x
x
( + )
( + )
( − ) ( + ) + ( )
( )
( )η
η
η
Λ
Λ
Λ
Λ1 =
=
1
1p
f
A x
x
x f
A x
x
x
−
( )
( )
( ) − ( + )
( + )
( + )
Λ
Λ
Λ
Λη
η
η .
Tomu dlq y > η
( − ) ( ) ( ) ≤ ( ) ( )
( )
( ) − ( + )
( + )
( + )
∫ ∫p x Q x dx x f
A x
x
x f
A x
x
x dx
y y
1
0 0
µ µ η
η
η
Λ
Λ
Λ
Λ ≤
≤ µ µ η η
η
η( ) ( )
( )
( ) − ( + ) ( + )
( + )
( + )∫ ∫x f
A x
x
x dx x f
A x
x
x dx
y y
Λ
Λ
Λ
Λ
0 0
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
INTEHRAL|NYJ ANALOH ODNOHO UZAHAL|NENNQ NERIVNOSTI HARDI … 1273
= µ µ
η
η
( ) ( )
( )
( ) − ( ) ( )
( )
( )∫ ∫
+
x f
A x
x
x dx x f
A x
x
x dx
y y
Λ
Λ
Λ
Λ
0
=
= µ µ
η η
( ) ( )
( )
( ) − ( ) ( )
( )
( )∫ ∫
+
x f
A x
x
x dx x f
A x
x
x dx
y
y
Λ
Λ
Λ
Λ
0
.
Za pravylom Lopitalq
lim lim
η
η
η η
µ
µ
µ η η
η
η
µ η η
η
→ + →
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
=
( ) ( )
( )
( )
( + ) ( + )
( + )
( +
∫
∫0
0
0
x f
A x
x
x dx
x f
A x
x
x dx
f
A
y f
A y
y
y
y
y
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ ηη)
=
=
µ
µ
η
η
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) →
0 0
0
f a
y f A y y y/
lim
Λ Λ
Λ = 0.
Tomu η = η ( y ) moΩna vybraty tak, wob µ( ) ( )∫ x Q x dx
y
0
< 0, i, otΩe, na pidstavi
oznaçennq Q i nerivnosti Hel\dera ma[mo
µ η
η
η( ) ( + )
( + )
( + ) − ( )( )∫ x f
A x
x
x x dx
y
Λ
Λ Λ
0
≤
≤ q x f
A x A x
x x
f
A x
x
x x dxp q
y
µ η
η
η
η
η( ) ( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + )
( + )
( + ) − ( )( )∫ 1 1
0
/ /
Λ Λ Λ
Λ Λ ≤
≤ q x f
A x A x
x x
x x dx
y p
µ η
η
η( ) ( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + ) − ( )
( )∫ Λ Λ
Λ Λ
0
1/
×
× µ η
η
η( ) ( + )
( + )
( + ) − ( )
( )∫ x f
A x
x
x x dx
y q
Λ
Λ Λ
0
1/
,
zvidky
µ η
η
η( ) ( + )
( + )
( + ) − ( )
( )∫ x f
A x
x
x x dx
y p
Λ
Λ Λ
0
1/
≤
≤ q x f
A x A x
x x
x x dx
y p
µ η
η
η( ) ( + ) − ( )
( + ) − ( )
( + ) − ( )
( )∫ Λ Λ
Λ Λ
0
1/
,
tobto
µ
λ
λ
λ
η
η
η
( )
( ) ( )
( )
( )
+
+
+∫
∫
∫ ∫x f
t a t dt
t dt
t dt dx
x
x
y
x
x
0
0
0
≤
≤ q x f
t a t dt
t dt
t dt dxp x
x
x
x
y
x
x
µ
λ
λ
λ
η
η
η
( )
( ) ( )
( )
( )
+
+
+∫
∫
∫ ∫
0
.
Vykorystovugçy teoremu pro seredn[ i sprqmovugçy η do 0, zvidsy otrymu[mo
nerivnist\ (2).
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1274 O. M. MULQVA
Vybyragçy µ ( x ) = λ ( x ) = 1, z teoremy oderΩu[mo takyj naslidok.
Naslidok 1. Nexaj a ( x ) — neperervna na ( 0, + ∞ ) funkciq, – ∞ ≤ A <
< a ( x ) < B ≤ + ∞, a dodatna na ( A, B ) funkciq f taka, wo funkciq f 1
/
p
, p >
> 1, [ opuklog na ( A, B ). Todi
f
x
a t dt dx
p
p
f a x dx
xy p y
1
1
00 0
( )
≤
−
( )∫∫ ∫ ( ) , y ≤ ∞.
Umovy naslidku 1 z p = 2 zadovol\nq[ funkciq f ( x ) = e–
ρ
x
, ρ ∈ ( 0, + ∞ ).
Tomu ma[ misce nastupnyj naslidok.
Naslidok 2. Nexaj κ ( x ) — dodatna, neperervna i zrostagça na ( 0, + ∞ )
funkciq. Todi
exp exp{ }− ( ) ≤ − ( )
∫ ∫∫ρκ ρ κx dx
x
t dt dx
y xy
0 00
≤
≤ 4
0
exp{ }− ( )∫ ρκ x dx
y
, y ≤ ∞.
Prypustymo, wo funkciq ϕ [ dodatnog, neperervno dyferencijovnog na
( 0, + ∞ ) i takog, wo ϕ ( 0 ) = 1 i
1 1
x x
ln
ϕ( )
→ + ∞ pry x → + ∞. Todi
ϕ ( x ) eσ
x = exp ln−
( )
−
≤ −x
x x
e x1 1
ϕ
σ
dlq bud\-qkoho σ ∈ R i vsix x ≥ x0 ( σ ) i, otΩe, intehral Laplasa
F ( σ ) = ϕ σ( )
∞
∫ x e dxx
0
[ zbiΩnym dlq vsix σ ∈ R . Vykorystovugçy teoremu abo ]] naslidky, moΩna
vkazaty umovy na ϕ, za qkyx F naleΩyt\ do c\oho çy inßoho uzahal\nenoho
klasu zbiΩnosti [2]. Tut my zupynymos\ lyße na klasyçnomu klasi zbiΩnosti,
qkyj vyznaça[t\sq umovog
e F d−
∞
( )∫ ρσ σ σln
0
< + ∞, ρ = const > 0. (3)
Poklademo κ ( x ) = – ϕ′ ( x ) / ϕ ( x ) i prypustymo, wo κ ( x ) ↑ + ∞, x → + ∞. Nexaj
µ ( σ ) : = max :{ }( ) ≥ϕ σx e xx 0 . Todi ln µ ( σ ) : = max ln / :{ ( ) }− ( ) + ≥1 0ϕ σx x x , i
oskil\ky
d x
dx
ln /( )( )1 ϕ
= κ ( x ) ↑ + ∞, x → + ∞, to ln µ ( σ ) = ln ϕ ( ν ( σ ) ) + σ ν ( σ ),
de ν ( σ ) — [dyna toçka maksymumu funkci] − ( ) +( )ln /1 ϕ σx x , pryçomu
κ ( ν ( σ ) ) ≡ σ. Lehko pobaçyty, wo ν ( σ ) — nevid’[mna, neperervna i zrostagça
do + ∞ na [ 0, + ∞ ) funkciq.
Dlq δ > 0 ma[mo
F ( σ ) = ϕ µ σ δ µ σ δ
δ
σ δ δ δ( ) ≤ ( + ) = ( + )( + ) −
∞
−
∞
∫ ∫x e e dx e dxx x x
0 0
,
a qkwo ϕ ( x ) Ü 0, x → + ∞, to dlq σ ≥ 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
INTEHRAL|NYJ ANALOH ODNOHO UZAHAL|NENNQ NERIVNOSTI HARDI … 1275
F ( σ ) ≥ ϕ ϕ ν σ µ σσ
ν σ
ν σ
σ ν σ σ( ) ≥ ( ) = ( )
( )−
( )
( ( )− ) −∫ ( )x e dx e ex
1
1
,
tobto ln µ ( σ ) ≤ ln F ( σ ) + σ. Zvidsy vyplyva[, wo umova (3) rivnosyl\na umovi
e d−
∞
∫ ( )ρσ µ σ σ
0
ln < + ∞. (4)
Dali, dlq bud\-qkoho h > 0 ma[mo
ln µ ( σ + h ) = ln ϕ ( ν ( σ + h ) ) + ν ( σ + h ) ( σ + h ) ≤ ln µ ( σ ) + h ν ( σ + h )
i
ln µ ( σ ) = ln ϕ ( ν ( σ ) ) + ν ( σ ) ( σ + h ) – h ν ( σ ) ≤ ln µ ( σ + h ) – h ν ( σ ),
tobto ν ( σ ) ≤ ( ln µ ( σ + h ) – ln µ ( σ ) ) / h ≤ ν ( σ + h ). Taka Ω nerivnist\ vykonu[t\-
sq i u vypadku, koly h < 0. Sprqmovugçy h do 0, zvidsy otrymu[mo rivnist\
d
d
lnµ σ
σ
( )
= ν ( σ ). Vykorystovugçy ce spivvidnoßennq, nevaΩko pokazaty, wo
umova (4) rivnosyl\na umovi
e d−
∞
∫ ( )ρσν σ σ
0
< + ∞. (5)
Ale
e d d e td e
y y
t
y
− − − ( )
( )
( )
∫ ∫ ∫( ) = − ( ) ( ) = − ( )ρσ ρσ ρκ
ν
ν
ν σ σ
ρ
ν σ
ρ
0 0 0
1 1
.
Tomu, intehrugçy çastynamy, nevaΩko pokazaty, wo umova (5) rivnosyl\na umovi
e dxx− ( )
∞
∫ ρκ
0
< + ∞. (6)
Oskil\ky ϕ ( 0 ) = 1, to ln
1
0
ϕ
κ
( )
= ( )∫x
t dt
y
, i za naslidkom 2 umova (6) rivnosyl\-
na umovi
exp ln−
( )
∞
∫ ρ
ϕx x
dx
1
0
< + ∞.
OtΩe, dovedeno nastupnyj naslidok.
Naslidok 3. Nexaj funkciq ϕ [ dodatnog, neperervno dyferencijovnog
na ( 0, + ∞ ) i takog, wo ϕ ( 0 ) = 1, ϕ ( x ) Ü 0,
1 1
x x
ln
ϕ( )
→ + ∞ i – ϕ′ ( x ) / ϕ ( x ) ↑
↑ + ∞ pry x → + ∞. Todi umova (3) rivnosyl\na umovi ϕ ρ( )
∞
∫ x dxx/
0
< + ∞.
1. Xardy H. H., Lytlvud D. D., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948. – 456 s.
2. Mulqva O. M. Pro klasy zbiΩnosti rqdiv Dirixle // Ukr. mat. Ωurn. – 1999. – 51, # 11. –
S.M1485 – 1494.
OderΩano 26.05.2005,
pislq doopracgvannq — 14.02.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
|