Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто
Досліджується питання асимптотичної еквiвалентностi стохастичних систем лінійних звичайних та стохастичних рівнянь у сєнсі середнього квадратичного та з імовірністю одиниця....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165420 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто / А.П. Креневич // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1368–1384. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165420 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654202020-02-14T01:28:06Z Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто Креневич, А.П. Статті Досліджується питання асимптотичної еквiвалентностi стохастичних систем лінійних звичайних та стохастичних рівнянь у сєнсі середнього квадратичного та з імовірністю одиниця. We investigate the problem of the asymptotic equivalence of stochastic systems of linear ordinary equations and stochastic equations in the sense of mean square and with probability one. 2006 Article Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто / А.П. Креневич // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1368–1384. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165420 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Креневич, А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто Український математичний журнал |
| description |
Досліджується питання асимптотичної еквiвалентностi стохастичних систем лінійних звичайних та стохастичних рівнянь у сєнсі середнього квадратичного та з імовірністю одиниця. |
| format |
Article |
| author |
Креневич, А.П. |
| author_facet |
Креневич, А.П. |
| author_sort |
Креневич, А.П. |
| title |
Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто |
| title_short |
Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто |
| title_full |
Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто |
| title_fullStr |
Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто |
| title_full_unstemmed |
Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто |
| title_sort |
асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем іто |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165420 |
| citation_txt |
Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто / А.П. Креневич // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — С. 1368–1384. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT krenevičap asimptotičnaekvívalentnístʹrozvâzkívlíníjnihstohastičnihsistemíto |
| first_indexed |
2025-07-14T18:28:39Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:28:39Z |
| _version_ |
1837648020449001472 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. П. Креневич (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ
ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ IТО
We investigate the problem of the asymptotic equivalence of stochastic systems of linear ordinary equations
and stochastic equations in the sense of mean square and with probability one.
Дослiджується питання асимптотичної еквiвалентностi стохастичних систем лiнiйних звичайних та
стохастичних рiвнянь у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю одиниця.
1. Вступ. Якiсна теорiя систем лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь
займає значне мiсце у загальних питаннях дослiдження стохастичних рiвнянь.
Одним iз найбiльш важливих серед них є вивчення стiйкостi розв’язкiв стохас-
тичних систем у рiзних iмовiрнiсних сенсах, наприклад стiйкiсть у середньому
квадратичному, стiйкiсть з iмовiрнiстю одиниця, стiйкiсть за ймовiрнiстю. Даним
питанням присвячено низку робiт (див., наприклад, [1, 2]). Досить широко данi
питання висвiтлено в монографiях [3 – 5].
У данiй роботi використано iнший пiдхiд до вивчення асимптотичної поведiн-
ки розв’язкiв лiнiйних стохастичних систем, а саме вiдшукання системи звичай-
них диференцiальних рiвнянь, асимптотична поведiнка розв’язкiв якої є подiбною
до поведiнки розв’язкiв стохастичної системи. Таким чином, питання стiйкостi
стохастичної системи зводиться до питання стiйкостi системи звичайних диферен-
цiальних рiвнянь, що значно спрощує дослiдження початкової системи. Стоха-
стичнi системи, асимптотична поведiнка розв’язкiв яких є подiбною, аналогiчно
до звичайних диференцiальних рiвнянь (див. [6]) будемо називати асимптотично
еквiвалентними. Природно, що при дослiдженнi стохастичних систем виникають
поняття асимптотичної еквiвалентностi в рiзних iмовiрнiсних сенсах.
У данiй роботi отримано достатнi умови асимптотичної еквiвалентностi стохас-
тичних диференцiальних рiвнянь Iто та систем звичайних диференцiальних рiвнянь
у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю одиниця.
2. Постановка задачi. Будемо розглядати систему звичайних диференцiальних
рiвнянь
dx = f(t, x)dt (1)
з початковою умовою x(t0) = x0, t ≥ t0 ≥ 0, x ∈ Rn, f(t, x) ∈ C(R+, Rn) —
n-вимiрна функцiя.
Поряд iз системою (1) на ймовiрнiсному просторi (Ω, F,P) [7] розглядаємо
систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
dy = g(t, y)dt + σ(t, y)dWt, (2)
де g(t, x), σ(t, y) — неперервнi за сукупнiстю аргументiв n-вимiрнi функцiї; Wt
— стандартний скалярний вiнерiв процес, визначений для t ≥ 0, на ймовiрнiсно-
му просторi (Ω, F,P); {Ft, t ≥ 0} — потiк σ-алгебр, вiдносно якого узгоджено
процес Wt. Тодi, як вiдомо (див., наприклад, [3, с. 230]), система стохастичних
диференцiальних рiвнянь (2) має єдиний сильний розв’язок y(t) ≡ y(t, ω) ∈ Rn за
початковою умовою y(t0) = y0.
c© А. П. КРЕНЕВИЧ, 2006
1368 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1369
Означення 1. Якщо кожному сильному розв’язку y(t) системи (2) можна
поставити у вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (1) такий, що
lim
t→∞
E
∣∣x(t)− y(t)
∣∣2 = 0,
то систему (2) будемо називати асимптотично еквiвалентною системi (1) у се-
редньому квадратичному.
Означення 2. Якщо кожному сильному розв’язку y(t) системи (2) можна
поставити у вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (1) такий, що
P
{
lim
t→∞
∣∣x(t)− y(t)
∣∣ = 0
}
= 1,
то систему (2) називатимемо асимптотично еквiвалентною системi (1) з iмовiр-
нiстю одиниця.
У данiй роботi вивчаються питання асимптотичної еквiвалентностi систем лi-
нiйних звичайних та стохастичних диференцiальних рiвнянь.
3. Основнi результати. Розглянемо систему звичайних лiнiйних диференцi-
альних рiвнянь
dx = Axdt (3)
з початковою умовою x(t0) = x0, t ≥ t0 ≥ 0, x ∈ Rn, A — детермiнована стала
матриця.
Поряд iз системою (3) розглянемо систему стохастичних диференцiальних рiв-
нянь
dy =
(
A + B(t)
)
ydt + D(t)ydWt (4)
з початковою умовою y(t0) = y0, де B(t), D(t) — неперервнi детермiнованi матрицi.
Наступна теорема є узагальненням теореми Левiнсона (див., наприклад, [6,
с. 159]) про асимптотичну еквiвалентнiсть систем звичайних диференцiальних рiв-
нянь на випадок стохастичних систем диференцiальних рiвнянь.
Теорема 1. Нехай розв’язки системи (3) обмеженi на [0,∞). Тодi якщо
∞∫
0
∥∥B(t)
∥∥dt ≤ k < ∞,
∞∫
0
∥∥D(t)
∥∥2
dt ≤ k < ∞ (5)
для деякого k > 0, то система (4) асимптотично еквiвалентна в середньому
квадратичному системi (3).
Доведення. I. Оскiльки розв’язки системи (3) обмеженi, то характеристичнi
коренi λ(A) матрицi A задовольняють нерiвнiсть Re λ(A) ≤ 0, причому характерис-
тичнi коренi з нульовими дiйсними частинами мають простi елементарнi дiльни-
ки [6, с. 86].
Без втрати загальностi будемо вважати, що матриця А має квазiдiагональний
вигляд
A = diag(A1, A2),
де A1 i A2 — вiдповiдно (p× p)- та (q × q)-матрицi (p + q = n) такi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1370 А. П. КРЕНЕВИЧ
Re λ(A1) ≤ −α < 0, Re λ(A2) = 0. (6)
Справдi, у випадку необхiдностi цього можна досягти з допомогою неособливого
перетворення
ξ = Sx,
де S — стала невироджена (n× n)-матриця.
Нехай
X(t) = diag
(
etA1 , etA2
)
— фундаментальна матриця системи (3), нормована в нулi: X(0) = E, i
I1 = diag
(
Ep, 0
)
, I2 = diag
(
0, Eq
)
.
Тут Ep i Eq — одиничнi матрицi вiдповiдно порядкiв p i q, при цьому очевидно, що
I1 + I2 = En. Покладемо
X(t) = X1(t) + X2(t),
де
X1(t) = X(t)I1 = diag(etA1 , 0)
i
X2(t) = X(t)I2 = diag(0, etA2).
Звiдси матрицю Кошi
X̃(t, τ) = X(t)X−1(τ) = X(t− τ)
можна подати у виглядi
X̃(t, τ) = X1(t− τ) + X2(t− τ),
причому на основi оцiнок (6) маємо
‖X1(t)‖ =
∥∥etA1
∥∥ ≤ ae−αt, t ≥ t0 ≥ 0,
i
‖X2(t)‖ =
∥∥etA2
∥∥ ≤ b, t ≥ t0 ≥ 0,
де a, b, α — деякi додатнi сталi.
Запишемо розв’язок задачi (4) за допомогою матрицi Кошi системи детермiно-
ваних диференцiальних рiвнянь (3) [3, с. 33, 34, 263 – 266]:
y(t) = X(t− t0)y(t0) +
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ+
+
t∫
t0
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1371
+
t∫
t0
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ , (7)
де t ≥ t0 ≥ 0.
Враховуючи еволюцiйну властивiсть матрицанта
X2(t− τ) = X(t− τ)I2 = X(t− t0)X(t0 − τ)I2 = X(t− t0)X2(t0 − τ),
записуємо спiввiдношення (7) у виглядi
y(t) = X(t− t0)
y(t0) +
∞∫
t0
X2(t0 − τ)B(τ)y(τ)dτ+
+
∞∫
t0
X2(t0 − τ)D(τ)y(τ)dWτ
+
+
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ−
−
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ −
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ . (8)
Кожному розв’язку y(t) ≡ y(t, ω) системи (4), як випадковому процесу, за початко-
вою умовою y(t0) = y0 з iмовiрнiстю одиниця поставимо у вiдповiднiсть розв’язок
x(t) системи (3) за початковою умовою
x(t0) = y(t0) +
∞∫
t0
X2(t0 − τ)B(τ)y(τ)dτ +
∞∫
t0
X2(t0 − τ)D(τ)y(τ)dWτ . (9)
Оскiльки розв’язок x(t) лiнiйної сиcтеми (3) i сильний розв’язок y(t) ≡ y(t, ω) сис-
теми стохастичних диференцiальних рiвнянь (4) визначаються початковими умова-
ми, то формула (9) визначає однозначну вiдповiднiсть з точнiстю до стохастичної
еквiвалентностi (див. [7]) мiж множиною розв’язкiв
{
y(t) ≡ y(t, ω)
}
системи (4)
та множиною розв’язкiв
{
x(t)
}
системи (3). Зауважимо, що спiввiдношення (9)
неперервне вiдносно початкової умови y(t0) = y0 (див. [5, 7]).
II. Доведемо, що всi розв’язки системи (4) за умови (5) будуть обмеженими в
середньому квадратичному. Вiдомо [3, с. 263 – 266], що
y(t) = X(t− t0)y(t0) +
t∫
t0
X(t− τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ . (10)
Тодi з (10), враховуючи властивiсть стохастичного iнтеграла [7, с. 16], оцiнюємо
математичне сподiвання квадрата |y(t)|:
E|y(t)|2 ≤ 3
∥∥X(t− t0)
∥∥2E|y(t0)|2+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1372 А. П. КРЕНЕВИЧ
+3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+ 3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 3 max(a2, b2)E|y(t0)|2+
+3E
t∫
t0
√
‖X(t− τ)‖
√
‖X(t− τ)‖
√
‖B(τ)‖
√
‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
+
+3
t∫
t0
E |X(t− τ)D(τ)y(τ)|2dτ ≤
≤ 3 max(a2, b2)E|y(t0)|2+
+3
t∫
t0
‖X(t− τ)‖‖B(τ)‖E|y(τ)|2dτ
t∫
t0
‖X(t− τ)‖‖B(τ)‖dτ+
+3
t∫
t0
‖X(t− τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 3 max(a2, b2)
E|y(t0)|2 +
∞∫
0
‖B(τ)‖dτ
t∫
t0
‖B(τ)‖E|y(τ)|2dτ+
+
t∫
t0
‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ
.
З нерiвностi Гронуолла – Беллмана отримуємо
E|y(t)|2 ≤ 3 max(a2, b2)E|y(t0)|2e3 max(a2,b2)
∫ t
t0
(k‖B(τ)‖+‖D(τ)‖2)dτ ≤
≤ 3 max(a2, b2)E|y(t0)|2e3 max(a2,b2)
∫∞
0 (k‖B(τ)‖+‖D(τ)‖2)dτ ≤
≤ K̃E|y(t0)|2, (11)
де K̃ = 3 max(a2, b2)e3 max(a2,b2)
∫∞
0 (k‖B(τ)‖+‖D(τ)‖2)dτ .
З (11) випливає, що iнтеграли
∞∫
t0
X2(t0 − τ)B(τ)y(τ)dτ,
∞∫
t0
X2(t0 − τ)D(τ)y(τ)dWτ
збiжнi в сенсi середнього квадратичного.
III. Для вiдповiдних розв’язкiв x(t) та y(t) оцiнимо математичне сподiвання
норми рiзницi. Очевидно, що
x(t) = X(t− t0)x(t0),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1373
де x(t0) визначається формулою (9). Тодi з формули (8) маємо
E|x(t)− y(t)|2 =
= E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ−
−
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ −
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 4E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+ 4E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
+
+ 4E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+ 4E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
. (12)
Оцiнимо кожен iз доданкiв правої частини нерiвностi (12), врахувавши оцiнку (11):
4E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤ 4E
t∫
t0
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
=
= 4E
t∫
t0
√
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖
√
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖ |y(τ)|dτ
2
≤
≤ 4E
t∫
t0
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖dτ
t∫
t0
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖ |y(τ)|2dτ
≤
≤ 4K̃E|y(t0)|2
t∫
t0
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖dτ
2
≤
≤ 4K̃E|y(t0)|2
t∫
t0
ae−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ
2
.
Оскiльки матриця B(t) абсолютно iнтегровна на t ≥ 2t0, то легко отримати оцiнку
t∫
t0
e−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ =
=
t/2∫
t0
e−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ +
t∫
t/2
e−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1374 А. П. КРЕНЕВИЧ
≤ e−
αt
2
t/2∫
t0
‖B(τ)‖dτ +
t∫
t/2
‖B(τ)‖dτ ≤
≤ e−
αt
2
∞∫
0
‖B(τ)‖dτ +
t∫
t/2
‖B(τ)‖dτ .
Таким чином, останнiй вираз прямує до нуля при t →∞, а отже, i перший доданок
спiввiдношення (12).
Враховуючи властивiсть стохастичного iнтеграла Вiнера – Iто, отримуємо спо-
чатку оцiнку для другого доданка (12):
4E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤ 4
t∫
t0
E|X1(t− τ)D(τ)y(τ)|2dτ ≤
≤ 4
t∫
t0
‖X1(t− τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 4K̃E|y(t0)|2
t∫
t0
a2e−2α(t−τ)‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ .
Далi, враховуючи iнтегровнiсть квадрата норми матрицi D(t), аналогiчно наведенiй
вище оцiнцi першого доданка (12) можна переконатися, що останнiй вираз прямує
до нуля при t →∞.
Для третього та четвертого доданкiв спiввiдношення (12) очевидними є такi
оцiнки:
4E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤ 4E
∞∫
t
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
≤
≤ 4
∞∫
t
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖E|y(τ)|2dτ
∞∫
t
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖dτ ≤
≤ 4K̃E|y(t0)|2
∞∫
t
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖dτ
2
≤
≤ 4K̃E|y(t0)|2b2
∞∫
t
‖B(τ)‖dτ
2
,
4E
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1375
≤ 4E
∞∫
t
‖X2(t− τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 4K̃E|y(t0)|2b2
∞∫
t
‖D(τ)‖2dτ .
Тодi два останнiх доданки в (12) прямують до нуля при t →∞, як залишки збiжних
iнтегралiв. Таким чином,
lim
t→∞
E|x(t)− y(t)|2 = 0.
Теорему 1 доведено.
У наступнiй теоремi наведено достатнi умови асимптотичної еквiвалентностi
з iмовiрнiстю одиниця системи лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь
системi лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь.
Теорема 2. Нехай розв’язки системи (3) обмеженi на [0,∞). Тодi якщо для
деякої додатної послiдовностi εN , що монотонно прямує до нуля i для якої ряд∑∞
N=1
1
ε2
N
e−
αN
2 є збiжним для деякого α > 0, виконуються спiввiдношення
∞∑
N=1
∫ ∞
N/2
∥∥B(t)
∥∥dt
εN
< ∞, (13)
∞∑
N=1
∫ ∞
N/2
∥∥D(t)
∥∥2
dt
ε2
N
< ∞, (14)
то система (4) асимптотично еквiвалентна системi (3) з iмовiрнiстю одиниця.
Доведення. Початок доведення даної теореми повнiстю повторює пункти I, II
доведення теореми 1.
III. Подальше доведення базується на оцiнках, отриманих з використанням влас-
тивостей стохастичних iнтегралiв.
Оскiльки, очевидно,
x(t) = X(t− t0)x(t0),
де x(t0) визначається формулою (9), то з формули (8) для вiдповiдних розв’язкiв
x(t) та y(t) для деякої додатної εN > 0 отримуємо
P
{
sup
t≥N
|x(t)− y(t)| ≥ εN
}
=
= P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ−
−
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ −
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1376 А. П. КРЕНЕВИЧ
≤ P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
+
+P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
+
+P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
+
+P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
. (15)
Далi оцiнимо кожен iз доданкiв останньої нерiвностi. Використовуючи нерiвнiсть
Чебишова для додатної випадкової величини [8, с. 84, 85; 9], маємо
P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
≤
≤ 4
εN
E sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 4
εN
E sup
t≥N
t∫
t0
‖X1(t− τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ ≤
≤
4
√
K̃E|y(t0)|2
εN
sup
t≥N
t∫
t0
ae−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ =
=
4a
√
K̃E|y(t0)|2
εN
sup
t≥N
t/2∫
t0
e−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ +
t∫
t/2
e−α(t−τ)‖B(τ)‖dτ
≤
≤
4a
√
K̃E|y(t0)|2
εN
e−
αN
2
∞∫
t0
‖B(τ)‖dτ +
∞∫
N/2
‖B(τ)‖dτ
=: I
(1)
N .
Далi, використовуючи нерiвнiсть Кошi – Буняковського, знаходимо( ∞∑
N=1
e−αN/2
εN
)2
=
( ∞∑
N=1
e−αN/4e−αN/4
εN
)2
≤
∞∑
N=1
e−αN/2
ε2
N
∞∑
N=1
e−αN/2.
Отже, на пiдставi умови (13) I
(1)
N є N -м членом вiдповiдного збiжного ряду.
Оцiнимо другий доданок нерiвностi (15). Очевидно, що для довiльних додатних
цiлих N < N ′
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1377
sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
N∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣+ sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
t∫
N
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ .
Таким чином, маємо
P
sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
≤
≤ P
sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
N∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
8
+
+P
sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
t∫
N
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
8
. (16)
Оцiнимо перший доданок правої частини нерiвностi (16), використовуючи нерiв-
нiсть Чебишова для дисперсiї та властивiсть математичного сподiвання вiд квадрата
iнтеграла Вiнера – Iто [7]:
P
sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
N∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
8
≤
≤ 64
ε2
N
sup
N≤t≤N ′
N∫
t0
E|X1(t− τ)D(τ)y(τ)|2dτ ≤
≤ 64
ε2
N
sup
N≤t≤N ′
N∫
t0
‖X1(t− τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 64K̃E|y(t0)|2
ε2
N
e−2αN
N∫
t0
e2ατ‖D(τ)‖2dτ ≤
≤ 64K̃E|y(t0)|2
ε2
N
e−αN
N/2∫
t0
‖D(τ)‖2dτ +
N∫
N/2
‖D(τ)‖2dτ
≤
≤ 64K̃E|y(t0)|2
ε2
N
e−αN
∞∫
t0
‖D(τ)‖2dτ +
∞∫
N/2
‖D(τ)‖2dτ
=: I
(2)
N .
Отже, на пiдставi умов теореми 2 легко бачити, що I
(2)
N є N -м членом вiдповiдного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1378 А. П. КРЕНЕВИЧ
збiжного ряду. Оцiнимо другий доданок правої частини нерiвностi (16), як це
зроблено для першого доданка:
P
sup
N≤t≤N ′
∣∣∣∣∣∣
t∫
N
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
8
≤
≤ 64
ε2
N
sup
N≤t≤N ′
N ′∫
N
‖X1(t− τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 64K̃E|y(t0)|2
ε2
N
e−2αN
N ′∫
N
e2ατ‖D(τ)‖2dτ ≤
≤ 64K̃E|y(t0)|2
ε2
N
∞∫
N
‖D(τ)‖2dτ =: I
(3)
N .
Оскiльки
∫ ∞
N
‖D(τ)‖2dτ ≤
∫ ∞
N/2
‖D(τ)‖2dτ , то згiдно з умовами теореми I
(3)
N
є N -м членом вiдповiдного збiжного ряду. Спрямовуючи N ′ до нескiнченностi,
маємо
P
sup
N≤t
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X1(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
≤ I
(2)
N + I
(3)
N .
Оцiнимо третiй доданок у правiй частинi нерiвностi (15):
P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
≤
≤ P
sup
t≥N
∞∫
t
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ ≥ εN
4
≤
≤ P
sup
t≥N
∞∫
N
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ ≥ εN
4
≤
≤ 4
εN
E sup
t≥N
∞∫
N
‖X2(t− τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ ≤
≤
4b
√
K̃E|y(t0)|2
εN
∞∫
N
‖B(τ)‖dτ =: I
(4)
N .
За умови (13) I
(4)
N є N -м членом вiдповiдного збiжного ряду.
Нарештi оцiнимо останнiй доданок правої частини нерiвностi (15):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1379
P
sup
t≥N
∣∣∣∣∣∣
∞∫
t
X2(t− τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εN
4
≤
≤ 16b2
ε2
N
∞∫
N
‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤ 16b2K̃E|y(t0)|2
ε2
N
∞∫
N
‖D(τ)‖2dτ =: I
(5)
N .
Отже, маємо
P
{
sup
t≥N
|x(t)− y(t)| ≥ εN
}
≤
5∑
k=1
I
(k)
N = IN .
Легко бачити, що IN є N -м членом вiдповiдного збiжного ряду. З леми Бореллi –
Кантеллi випливає, що iснує додатна цiла випадкова величина M = M(ω) така,
що для будь-якого N ≥ M(ω) виконується
sup
t≥N
|x(t)− y(t)| < εN (17)
з iмовiрнiстю одиниця.
Позначимо через [T ] цiлу частину T . Для кожного ω виберемо T > M(ω). Тодi
для t ≥ T iз (17) отримуємо∣∣x(t)− y(t)
∣∣ ≤ sup
t≥T
∣∣x(t)− y(t)
∣∣ ≤ sup
t≥[T ]
∣∣x(t)− y(t)
∣∣ ≤ ε[T ].
Звiдси й випливає твердження теореми.
Наведемо приклад, що демонструє застосування теорем 1 i 2.
Приклад 1. Розглянемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь
dx1 = −x1dt,
dx2 = (x1 − x2)dt.
(18)
Легко переконатися, що всi розв’язки даної системи обмеженi на додатнiй пiвосi.
Поряд iз системою (18) розглянемо систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
вигляду
dy1 =
(
−1 +
√
2
(t + 1)3
)
y1dt +
1
(t + 1)2
y2dWt,
dy2 =
(
y1 +
(
−1 +
√
2
(t + 1)3
)
y2
)
dt +
1
(t + 1)2
y1dWt.
(19)
Застосуємо теореми 1 та 2 до дослiдження асимптотичної поведiнки розв’язкiв
системи (19). Очевидно, що
A =
(
−1 0
1 −1
)
, B(t) =
√
2
(t + 1)3
0
0
√
2
(t + 1)3
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1380 А. П. КРЕНЕВИЧ
D(t) =
0
1
(t + 1)2
1
(t + 1)2
0
.
Обчислимо ‖B(t)‖ та ‖D(t)‖2:∥∥B(t)
∥∥ =
2
(t + 1)3
,
∥∥D(t)
∥∥2 =
2
(t + 1)4
.
Тодi
∞∫
0
‖B(t)‖dt = 1,
∞∫
0
‖D(t)‖2dt =
2
3
.
Отже, з теореми 1 випливає, що система (19) асимптотично еквiвалентна системi
(18) у середньому квадратичному.
Для дослiдження асимптотичної поведiнки розв’язкiв системи (19) з iмовiр-
нiстю одиниця використаємо теорему 2. Виберемо допомiжну послiдовнiсть εN
вигляду
εN =
1
(N + 2)
1
2
.
Очевидно, що ряд
∑∞
N=1
1
ε2
N
e−
αN
2 є збiжним для довiльного α > 0. Тодi, очевид-
но, що ряди
∞∑
N=1
∫ ∞
N/2
‖B(t)‖dt
εN
=
∞∑
N=1
4
(N + 2)
3
2
,
∞∑
N=1
∫ ∞
N/2
‖D(t)‖2dt
ε2
N
=
∞∑
N=1
16/3
(N + 2)2
є збiжними, а отже, з теореми 2 випливає, що система (19) асимптотично еквiва-
лентна системi (18) з iмовiрнiстю одиниця.
У попереднiх теоремах фiгурувала система зi сталими коефiцiєнтами. Далi
дослiдимо випадок системи лiнiйних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами.
Розглянемо системи рiвнянь
dx = A(t)xdt, (20)
dy = (A(t) + B(t))ydt + D(t)ydWt, (21)
де A(t), B(t), D(t) — неперервнi детермiнованi матрицi.
Теорема 3. Нехай X(t, τ) — матрицант системи (20). Припустимо, що iснує
функцiя ϕ(t, τ) ≥ 0 з такими властивостями:
1) ϕ(t, τ) монотонно спадна по t та монотонно зростаюча по τ ;
2) ϕ(t, t) ≤ C ∀t ≥ 0;
3) ϕ(t, t/2)) → 0, t →∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1381
Тодi якщо виконуються умови∥∥X(t, τ)
∥∥ ≤ ϕ(t, τ), (22)
∞∫
0
‖B(t)‖dt < ∞,
∞∫
0
‖D(t)‖2dt < ∞, (23)
то система (21) асимптотично еквiвалентна в середньому квадратичному систе-
мi (20).
Доведення. Нехай X(t, τ) — матрицант системи (20). Використовуючи запис
розв’язку системи стохастичних диференцiальних рiвнянь (21) через матрицю Кошi
системи диференцiальних рiвнянь (20), отримуємо, що розв’язок y(t) системи (21)
задовольняє спiввiдношення
y(t) = X(t, t0)y(t0) +
t∫
t0
X(t, τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X(t, τ)D(τ)y(τ)dWτ . (24)
Оскiльки розв’язки x(t), y(t) вiдповiдно систем (20) та (21) повнiстю визнача-
ються своїми початковими даними, то вiдповiднiсть мiж розв’язками встанови-
мо через вiдповiднiсть мiж початковими даними. Кожному розв’язку y(t) систе-
ми (21) поставимо у вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (20) з початковою умовою
x(t0) = y(t0).
Доведемо, що всi розв’язки системи (21) за умов (22), (23) будуть обмеженими
в середньому квадратичному.
Iз спiввiдношення (24) отримуємо нерiвнiсть
E|y(t)|2 ≤ 3‖X(t, t0)‖2E|y(t0)|2 + 3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t, τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+
+3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t, τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 3ϕ2(t, t0)E|y(t0)|2 + 3E
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
+
+3
t∫
t0
‖X(t, τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 3ϕ2(t, t0)E|y(t0)|2 + 3
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖dτ
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖E|y(τ)|2dτ+
+3
t∫
t0
‖X(t, τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1382 А. П. КРЕНЕВИЧ
≤ 3ϕ2(0, t0)E|y(t0)|2 + 3ϕ2(0, t0)
t∫
t0
‖B(τ)‖dτ
t∫
t0
‖B(τ)‖E|y(τ)|2dτ+
+3ϕ2(0, t0)
t∫
t0
‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ.
Далi, враховуючи умови (22), (23), з нерiвностi Гронуолла – Беллмана маємо
E|y(t)|2 ≤ 3ϕ2(0, t0)E|y(t0)|2e3ϕ2(0,t0)
(( ∫∞
0 ‖B(τ)‖dτ
)2
+
∫∞
0 ‖D(τ)‖2dτ
)
≤
≤ K̃E|y(t0)|2.
Для вiдповiдних розв’язкiв x(t) та y(t) оцiнимо математичне сподiвання норми
рiзницi. Оскiльки, очевидно, що
x(t) = X(t, t0)x(t0),
де x(t0) = y(t0), то з формули (24) знаходимо
E|x(t)− y(t)|2 = E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t, τ)B(τ)y(τ)dτ +
t∫
t0
X(t, τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 2E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t, τ)B(τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+ 2E
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
X(t, τ)D(τ)y(τ)dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 2E
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
+ 2
t∫
t0
‖X(t, τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ.
Оцiнимо кожен iз двох доданкiв останної нерiвностi. Маємо
2E
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
=
= 2E
t∫
t0
√
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖
√
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖|y(τ)|dτ
2
≤
≤ 2
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖dτ
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 2K̃E|y(t0)|2
t∫
t0
‖X(t, τ)‖‖B(τ)‖dτ
2
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ... 1383
≤ 2K̃E|y(t0)|2
t∫
t0
ϕ(t, τ)‖B(τ)‖dτ
2
=
= 2K̃E|y(t0)|2
t/2∫
t0
ϕ(t, τ)‖B(τ)‖dτ +
t∫
t/2
ϕ(t, τ)‖B(τ)‖dτ
2
≤
≤ 2K̃E|y(t0)|2
t/2∫
t0
ϕ(t, t/2)‖B(τ)‖dτ +
t∫
t/2
ϕ(t, t)‖B(τ)‖dτ
2
.
З умов теореми 3 випливає, що останнiй вираз прямує до нуля при t →∞. Далi,
2
t∫
t0
‖X(t, τ)‖2‖D(τ)‖2E|y(τ)|2dτ ≤
≤ 2K̃E|y(t0)|2
t∫
t0
ϕ2(t, τ)‖D(τ)‖2dτ ≤
≤ 2K̃E|y(t0)|2
t/2∫
t0
ϕ2(t, τ)‖D(τ)‖2dτ +
t∫
t/2
ϕ2(t, τ)‖D(τ)‖2dτ
≤
≤ 2K̃E|y(t0)|2
ϕ2(t, t/2)
t/2∫
t0
‖D(τ)‖2dτ + C
t∫
t/2
‖D(τ)‖2dτ
.
На пiдставi умов теореми 3 отримуємо, що останнiй вираз прямує до нуля при
t →∞, що й доводить теорему 3.
Приклад 2. Розглянемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь
d
(
x1
x2
)
=
(
−2t 0
0 −2t
)(
x1
x2
)
dt. (25)
Легко переконатися, що матриця
X(t, τ) =
(
e−t2+τ2
0
0 e−t2+τ2
)
є матрицантом системи (25), нормованим у точцi t = τ .
Далi розглянемо систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
d
(
y1
y2
)
=
((
−2t 0
0 −2t
)
+ B(t)
)(
y1
y2
)
dt + D(t)
(
y1
y2
)
dWt, (26)
де матрицi B(t) i D(t) такi, як у прикладi 1. Умови теореми 3 для систем (25) та (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1384 А. П. КРЕНЕВИЧ
перевiряються очевидним чином. Отже, система (26) асимптотично еквiвалентна
системi (25) у середньому квадратичному.
1. Arnold L. Anticipative problems in the theory of random dynamical system in stochastic analysis /
Eds M. Cranston, M. Pinsky // Proc. Symp. Pure Math. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.
– 57. – P. 529 – 541.
2. Arnold L., Oeljeklaus O., Pardoux E. Almost sure and moments stability for linear Ito equations
Lyapunov exponents // Lect. Notes Math. / Eds L. Arnold, V. Wihstuts. – Berlin: Springer, 1986. –
1186. – P. 129 – 159.
3. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения функционально-дифференциальных уравнений. – Рига:
Зинатне, 1989. – 421 с.
4. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воз-
мущениях их параметров. – М.: Наука, 1969. – 368 с.
5. Ясинский В. К. Стохастические дифференциально-функциональные уравнения со всей пре-
дысторией. – Киев: ТВiМС, 2003. – 254 с.
6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
7. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.
– Киев: Наук. думка, 1968. – 354 с.
8. Боровков А. А. Курс теории вероятности. – М.: Наука, 1972. – 287 с.
9. Королюк В. С., Ясинський В. К. Курс теорiї ймовiрностей, випадкових процесiв та математичної
статистики. – Чернiвцi: Золотi литаври, 2005. – 525 с.
Одержано 07.06.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
|