Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням

Описано множину тих γ∈R, при яких існують четвірки проекторів Pi для фіксованого набору чисел αi∈R+,i=1,4, такі, що α₁P₁+α₂P₂+α₃P₃+α₄P₄=γI.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Юсенко, К.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165427
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням / К.А. Юсенко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1289–1295. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-165427
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1654272020-02-14T01:27:36Z Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням Юсенко, К.А. Короткі повідомлення Описано множину тих γ∈R, при яких існують четвірки проекторів Pi для фіксованого набору чисел αi∈R+,i=1,4, такі, що α₁P₁+α₂P₂+α₃P₃+α₄P₄=γI. We describe the set of γ ∈ ℝ for which there exist quadruples of projectors P i for a fixed collection of numbers αi∈R+,i=1,4, такі, що α₁P₁+α₂P₂+α₃P₃+α₄P₄=γI. 2006 Article Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням / К.А. Юсенко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1289–1295. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165427 517.98 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Юсенко, К.А. Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням Український математичний журнал
description	Описано множину тих γ∈R, при яких існують четвірки проекторів Pi для фіксованого набору чисел αi∈R+,i=1,4, такі, що α₁P₁+α₂P₂+α₃P₃+α₄P₄=γI.
format	Article
author	Юсенко, К.А.
author_facet	Юсенко, К.А.
author_sort	Юсенко, К.А.
title	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням
title_short	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням
title_full	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням
title_fullStr	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням
title_full_unstemmed	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням
title_sort	про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Короткі повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165427
citation_txt	Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням / К.А. Юсенко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1289–1295. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT ûsenkoka pročetvírkiproektorívpovâzanihlíníjnimspívvídnošennâm
first_indexed	2025-07-14T18:29:50Z
last_indexed	2025-07-14T18:29:50Z
_version_	1837648106600005632
fulltext	UDK 517.98 K. A. Gsenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM ∗∗∗∗ We describe the set of values γ ∈R for which there exist quadruples of projectors Pi , for a fixed collection of numbers αi ∈ +R , i = 1 4, , such that α α α α γ1 1 2 2 3 3 4 4P P P P I+ + + = . Opysano mnoΩynu tyx γ ∈R , pry qkyx isnugt\ çetvirky proektoriv Pi dlq fiksovanoho naboru çysel αi ∈ +R , i = 1 4, , taki, wo α α α α γ1 1 2 2 3 3 4 4P P P P I+ + + = . Vstup. Nexaj Mi = { }( ) ( ) ( )0 0 1= < < … <α α αi i m i i , i = 1, n , — zadani mnoΩyny v R+ . Nabory samosprqΩenyx operatoriv A Ai i= ∗ zi spektramy σ( )Ai ⊂ Mi ta sumog, kratnog skalqrnomu operatorovi, vyvçalysq v bahat\ox robotax (dyv., napryklad, bibliohrafig v [1]). Rozhlqdagçy taki operatory qk zobraΩennq tvirnyx involgtyvno] alhebry, otrymu[mo ekvivalentnu zadaçu opysu nezvidnyx ∗ -zobraΩen\ alhebry A M M Mn1 2, , , ;… γ = C a a a a R a a a a en i i i i n1 1 20… = = + + … + =∗, ( ) , γ , de Ri — anulggçyj polinom vidpovidno] tvirno] ai . Taka alhebra izomorfna alhebri, porodΩenij naborom proektoriv P M M Mn1 2, , , ;… γ = C p p p p p p pm n m n i k i k i k n1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,… … … = = ∗ i n k m k i k i j i k i i p e p p = = ∑ ∑ = = 1 1 0α γ( ) ( ) ( ) ( ), . Z koΩnog takog alhebrog moΩna pov’qzaty hraf Γ, qkyx ma[ n hilok, wo sxodqt\sq v odnij verßyni (korin\ hrafa). KoΩna i -ta hilka hrafa mistyt\ mi verßyn, vidmiçenyx çyslamy αi k( ), k = 1, mi . Koreng hrafa stavyt\sq u vidpo- vidnist\ çyslo γ (bil\ß detal\no pro zv’qzok zadaçi iz zobraΩennqmy hrafiv dyv. [2]). Vektor χ = ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ; ; , ,α α α α1 1 1 1 1 … … …m n m n n budemo nazyvaty xarak- terom alhebry P M M Mn1 2, , , ;… γ . Alhebra P M M Mn1 2, , , ;… γ odnoznaçno zada[t\sq svo]m hrafom, xarakterom χ ta çyslom γ . Dali budemo poznaçaty ]] PΓ, ,χ γ . U roboti [3] pokazano, wo nezaleΩno vid χ ta γ alhebra PΓ, ,χ γ : 1) skinçennovy- mirna, qkwo Γ — diahrama Dynkina typu Dn , E6 , E7 , E8 ; 2) neskinçennovymir- na, polinomial\noho rostu, qkwo Γ — rozßyrena diahrama Dynkina D̃4 , Ẽ6 , Ẽ7 , Ẽ8; 3) dlq vsix inßyx hrafiv mistyt\ vil\nu alhebru z dvoma samosprqΩe- nymy tvirnymy. Pry vyvçenni ∗ -zobraΩen\ takyx alhebr pryrodno vynykagt\ zadaçi: 1a) opysaty mnoΩynu par ( χ ; γ ) , dlq qkyx alhebra PΓ, ,χ γ ma[ ∗ -zobra- Ωennq; taku mnoΩynu poznaçymo ΣΓ ; ∗∗∗∗ Çastkovo pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (hrant #01.07/071). © K. A. GSENKO, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1289 1290 K. A. GSENKO 1b) dlq koΩnoho xaraktera χ opysaty mnoΩynu tyx γ, dlq qkyx alhebra PΓ, ,χ γ ma[ ∗ -zobraΩennq; taku mnoΩynu poznaçymo ΣΓ,χ ; 2) dlq koΩno] pary ( χ ; γ ) ∈ ΣΓ opysaty vsi nezvidni, z toçnistg do unitarno] ekvivalentnosti, ∗ -zobraΩennq alhebry PΓ, ,χ γ . Struktura mnoΩyn ΣΓ , ΣΓ,χ ta ∗ -zobraΩen\ PΓ, ,χ γ sutt[vo zaleΩyt\ vid hrafa Γ. Robotu [4] prysvqçeno zadaçam 1 ta 2 dlq zvyçajnyx diahram Dynki- na. U vypadku, koly Γ — rozßyrena diahrama Dynkina, rqdom avtoriv bulo opy- sano mnoΩyny ΣΓ,χ dlq special\nyx xarakteriv (dyv. bibliohrafig v [1]). Povnyj opys mnoΩyny Σ D̃4 navedeno u roboti [5]. Ale, nezvaΩagçy na te wo mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ [ pidmnoΩynog Σ D̃4 , vyqvylosq, wo otrymaty ]] opys iz re- zul\tativ roboty [5] nelehko. U danij roboti navedeno bezposerednij opys mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ . DoslidΩeno, v qkyx vypadkax taka mnoΩyna [ neskinçennog (navedeno neobxidnu ta dostatng umovu: vsi komponenty xarakteru χ = ( ; ; ; )α α α α1 2 3 4 zadovol\nqgt\ nerivnist\ αi < ( ) /α α α α1 2 3 4 2+ + + (p.E3)), wo dozvolylo, podibno do [5], doslidyty, u qkyx vypadkax alhebra P ˜ , ,D4 χ γ ma[ zobraΩennq na hiperplowyni γ = (α1 + + α α α2 3 4 2+ + ) / (p.E3). Opysano strukturu mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ dlq special\noho xarakteru χδ = ( , , , )1 1 δ δ (p.E5). 1. DopomiΩni tverdΩennq. Nahada[mo, wo mnoΩyna moΩlyvyx znaçen\ γ , dlq qkyx isnugt\ trijky proektoriv P1 , P2 , P3 taki, wo α α α1 1 2 2 3 3P P P+ + = = γ I, dlq fiksovanoho vporqdkovanoho za zrostannqm naboru αi ∈ R , i = 1, 2, 3, opysu[t\sq formulog (dyv. [4]) ΣD4 1 2 3,( , , )α α α = { } , { , , } ( ){ / }0 1 2 3 21 2 3∪ ∪α α α αi i J J ∈ ∑ ⊂         + + . (1) Budemo vvaΩaty, wo α3 < α1 + α2 , inakße mnoΩyna ne mistyt\ toçku (α1 + + α α2 3 2+ ) / . TverdΩennq+1. Qkwo nabir proektoriv P P Pn1 2, , ,… zadovol\nq[ rivnist\ α α α1 1 2 2 1 1P P P Pn n n+ + … + +− − = I, to proektor Pn komutu[ z usima inßymy, tobto [ , ]P Pn i = 0, i = 1 1, n − . Dovedennq. Rozhlqnemo operator Q I Pn= − . DomnoΩyvßy rivnist\ α1 1P + + α α2 2 1 1P Pn n+ … + − − = Q na Pn sprava i zliva ta vraxuvavßy, wo Q Pn = Pn Q = = 0, otryma[mo α α α1 1 2 2 3 1P P P P P P P P Pn n n n n n n+ + … + − = 0. Oskil\ky vsi operatory P P Pn i n nevid’[mni, to P P Pn i n = 0, i = 1 1, n − . MoΩna pereviryty, wo P PQP Pn i i n = 0, tomu P PQn i = QP Pi n = 0. Vnaslidok toho, wo P PQn i = P P I Pn i n( )− = P Pn i , ma[mo P Pn i = 0. Analohiçno moΩna po- kazaty, wo P Pi n = 0. A ce oznaça[, wo [ , ]P Pn i = 0, i = 1 1, n − . Naslidok+1. Isnu[ nabir proektoriv Pi , i = 1 4, , takyx, wo α 1 P1 + α2 P2 + + α3 P3 + α4 P4 = α4 I . 2. Çetvirky proektoriv ta funktory Kokstera. Nexaj zadano nabir çysel αi ∈ R , i = 1 4, . Naßa meta — opysaty mnoΩyny tyx γ , dlq qkyx isnugt\ çet- virky proektoriv Pi , i = 1 4, , taki, wo α1 P1 + α2 P2 + α3 P3 + α4 P4 = γ I . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 1291 Z takymy çetvirkamy proektoriv moΩna pov’qzaty asociatyvnu C -alhebru P ˜ , ,D4 χ γ , porodΩenu tvirnymy { }pi i=1 4 ta spivvidnoßennqmy p p pi i i= = ∗2 , α α α α γ1 1 2 2 3 3 4 4p p p p e+ + + = , de çerez χ = ( α1 , α2 , α3 , α4 ) poznaçeno xarakter alhebry ( budemo vvaΩaty, wo α α α α1 2 3 4≤ ≤ ≤ ) . Todi zadaçu moΩna pereformulgvaty tak: dlq koΩnoho xa- rakteru opysaty mnoΩynu Σ ˜ ,D4 χ tyx γ , dlq qkyx alhebra P ˜ , ,D4 χ γ ma[ ∗ -zobra- Ωennq. Poznaçymo çerez χi i -tu komponentu xarakteru χ , α = α1 + α2 + α3 + + α4 . MnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ ma[ taki vlastyvosti (dyv. [6]): 1) Σ ˜ , [ , ] D4 0 χ α⊂ ; 2) Σ ˜ ,D ii J4 χ α� ∈∑ , J ⊂ { , , , , }0 1 2 3 4 ; 3) τ α τ χ χ ∈ ⇔ − ∈Σ Σ˜ , ˜ ,D D4 4 . Oskil\ky mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ symetryçna vidnosno α / 2 (vlastyvist\E3), to bu- demo vyvçaty mnoΩynu Σ ˜ , [ ; )/D4 0 2 χ α∩ . Dlq doslidΩennq mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ vykorysta[mo texniku funktoriv Koks- tera (vvedenyx u [6]), wo vstanovlggt\ ekvivalentnist\ miΩ katehoriqmy ∗ -zob- raΩen\ Rep P ˜ , ,D4 χ γ pry riznyx znaçennqx parametriv χ , γ . U roboti [6] pobu- dovano linijnyj T ta hiperboliçnyj S funktory. Diq cyx funktoriv miΩ katehoriqmy porodΩu[ dig na pari ( χ ; γ ) : S : ( ; ) ( , , , ; )χ γ γ α γ α γ α γ α γ� − − − −1 2 3 4 , T : ( ; ) ( , , , ; )χ γ α α α α α γ� 1 2 3 4 − . Nexaj ( )( ) ( ); ( ) ( ; )χ γ χ γn n nST= , λ α γ= −/ 2 . Todi ma[ misce take tver- dΩennq. TverdΩennq+2. Komponenty xarakteru χ( )n ta çyslo γ ( )n vyznaçagt\- sq za formulamy χ α α λi n i n( ) ( )2 1 2 2 1− = − − − , χ α λi n i n( )2 2= − , i = 1 4, , (2) γ α λ( ) ( )n n= − + 2 2 1 , n ∈N . (3) Dlq dovedennq tverdΩennq slid zapysaty dig funktora ST na pari ( χ ; γ ) ta zastosuvaty metod matematyçno] indukci]. Naslidok+2. Dlq bud\-qkoho γ α∈[ , )/0 2 isnu[ n ∈N take, wo abo odyn z komponentiv xarakteru χ( )n , abo çyslo γ ( )n [ menßym abo dorivng[ nulg. Dovedennq. Oskil\ky dlq bud\-qkoho γ α∈[ , )/0 2 çyslo λ > 0, to z for- mul (2) ta (3) vyplyva[, wo vsi try poslidovnosti { }( )χi n n 2 1= ∞ , { }( )χi n n 2 1 1 − = ∞ ta { }( )γ i n n= ∞ 1 neobmeΩeno spadagt\, a otΩe, isnu[ take n, dlq qkoho tverdΩennq vykonu[t\sq. Teorema+1. Çyslo γ α∈[ , )/0 2 naleΩyt\ mnoΩyni Σ ˜ ,D4 χ todi i til\ky todi, koly isnugt\ n ∈ +Z i j ∈{ , , , }1 2 3 4 taki, wo vykonugt\sq dvi umovy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1292 K. A. GSENKO χ j n( ) ≤ 0, χi k( ) > 0 , γ ( )k ≥ 0 ∀ <k n, (4) γ χ ( ) , n D − ∈ ∗ 1 4 Σ . (5) Tut xarakter χ∗ zada[t\sq trijkog koefici[ntiv χi n( )−1 , i = 1 4, , i j≠ . Dovedennq vyplyva[ z naslidkuE2 ta funktorial\nosti vidobraΩennq ( ST ) , za qkym budugt\sq vidpovidni poslidovnosti. 3. Neskinçennist\ mnoΩyny ΣΣ χχD̃4 , ta zobraΩennq na hiperplowyni. Teorema+2. MnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ mistyt\ neskinçennu pidmnoΩynu Σ∞ z hra- nyçnog toçkog α / 2 todi i til\ky todi, koly α αi < / 2, i = 1 4, . Qkwo pry c\omu taka umova vykonu[t\sq, to: 1) Σ∞ = − ∈{ }α α 2 2 1 n n N , qkwo α α α α2 3 1 4+ > + ; 2) Σ∞ = − − − ∈      α α α 2 2 2 2 1 4 ( )n n N , qkwo α α α α2 3 1 4+ < + ; 3) Σ∞ = − ∈{ }α α 2 1 n n N , qkwo α α α α2 3 1 4+ = + . Dovedennq. Neobxidnist\. Qkwo odyn iz koefici[ntiv α αi ≥ / 2 , to vid- povidnyj proektor Pi komutu[ z inßymy, a otΩe, dorivng[ abo 0, abo I u nezvidnomu zobraΩenni. Todi zadaça zvedet\sq do trijky (çy vidpovidno menßoho çysla) proektoriv. Tomu zhidno z teoremogE1 mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ [ skinçennog. Dostatnist\. Nexaj, napryklad, α α α α2 3 1 4+ > + . PokaΩemo, wo dlq koΩnoho γ α α= −/ / ( )2 21 n , n ∈N , isnu[ zobraΩennq alhebry P ˜ , ,D4 χ γ . Pry takomu γ χ1 2 0( )n = , χi n( )2 1 0− > , i = 1 4, , i χ γ1 2 1 2 1( ) ( )n n− −= ( χ1 2 1( )n− dorivng[ nulg na nastupnomu kroci). Zhidno z naslidkomE1 taka alhebra ma[ zobraΩennq, a otΩe, ma[ zobraΩennq i poçatkova alhebra. Vypadok α α α α2 3 1 4+ < + dovo- dyt\sq analohiçno. Qkwo Ω α α α α2 3 1 4+ = + , to dvi taki mnoΩyny [ neskinçennymy, i, vraxovugçy rivnosti α α α 2 2 2 2 1 4− − −( )n = α α α α 2 2 2 2 2 2 1 1 4 4− + − −( )n = α α 2 2 1 1− −n , otrymu[mo Σ∞ = α α 2 1− ∈{ }n n N . ZauvaΩennq+1. Analohiçno moΩna pokazaty, wo (pry vykonanni umovy α αi < / 2, i = 1 4, ) porqd z neskinçennog mnoΩynog Σ∞ v Σ ˜ ,D4 χ mistyt\sq takoΩ skinçenna mnoΩyna Σ0 , qka vyznaça[t\sq za pravylom: 1) Σ0 4 1 2 3 1 42 2 2 2 1 = − − − < + − − ∈      α α α α α α α α( ) , n n n N , qkwo α α2 3+ > > α α1 4+ ; ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 1293 2) Σ0 1 1 1 4 2 32 2 = − < + − − ∈      α α α α α α αn n n, N , qkwo α α α α2 3 1 4+ < + ; 3) Σ0 = ∅, qkwo α α α α2 3 1 4+ = + . Teorema+3. Nexaj çysla αi ∈R , i = 1 4, , taki, wo vykonugt\sq nerivnosti α αi < / 2. Todi isnu[ nabir proektoriv P1, P2 , P3, P4 takyx, wo α1 1P + + α α α α2 2 3 3 4 4 2P P P I+ + = / . Dovedennq. Neobxidno pokazaty, wo mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ mistyt\ toçku α / 2. Zhidno z teoremog Íul\mana [7] mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ [ zamknenog. Oskil\ky dlq xarakteru χ = ( α1 , α2 , α3 , α4 ) vykonu[t\sq umova teoremyE2, to mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ mistyt\ neskinçennu pidmnoΩynu Σ∞ , a otΩe, vnaslidok zamknenosti, hranyçnu toçku seri] α / 2. ZauvaΩymo, wo taku teoremu v dewo inßomu formulgvanni navedeno u robo- ti A. A. Kyryçenka (dyv., napryklad, [5]). 4. PidmnoΩyny v mnoΩyni ΣΣ χχD̃4 , . Qk bulo pokazano pry dovedenni teore- myE2, zadaça zvodyt\sq do menßoho çysla proektoriv, koly xoça b odyn z kompo- nentiv xarakteru χ αi ≥ / 2, tomu, bez obmeΩennq zahal\nosti, dali vvaΩatyme- mo, wo χ αi < / 2, i = 1 4, . Dlq opysu inßyx mnoΩyn vykorysta[mo teoremuE1. Nexaj γ χ ∈Σ D̃4 , i k take, wo umova (4) vykonu[t\sq. MoΩlyvi dva vypadky: k = 2n ta k = 2n – 1. 1. Vypadok k = 2n. Umovu (4), vykorystovugçy formuly (2) ta (3), moΩna zapysaty u vyhlqdi systemy nerivnostej λ > α1 2n , λ < α α− − 2 2 2 1 4 ( )n , (6) λ < α1 2 1( )n − , λ ≤ α 2 4 1( )n − . Tut, qk i raniße, λ α γ= −/ 2 . Umovu (5) na pidstavi teoremyE1 moΩna zapysaty tak: 0 2 4 1= − −α λ( )n , α α λ α λ 2 2 1 2 4 1− − − = − −i n n( ) ( ) , α α λ α α λ α λ 2 2 1 2 2 1 2 4 1− − − + − − − = − −i jn n n( ) ( ) ( ) , i, j = 2, 3, 4, i ≠ j, (7) i i n n = ∑ − − −    = − − 2 4 2 2 1 2 4 1α α λ α λ( ) ( ) , i i n n = ∑ − − −    = − −    2 4 2 2 1 2 2 4 1α α λ α λ( ) ( ) . Rozv’qzugçy systemu nerivnostej (6) dlq koΩnoho λ takoho, wo zadovol\nq[ odne z rivnqn\ (7), v Σ ˜ ,D4 χ otrymu[mo taki pidmnoΩyny: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1294 K. A. GSENKO Σ1 4 4 1 12 2 4 1 4 4 = − − < − < − − ∈      α α α α α α α α α( ) , , n n n n N , Σ2 4 12 2 2 2 4 i i i i i i i in n n n n= − < + − < − < − ∈      α α α α α α α α α α α α , , , N , Σ3 1 1 1 2 3 4 12 2 2 2 1 4 2 4= − − + < − − < + − − < ∈      α α α α α α α α α α α α α α ( ) , ( ) , ( ) , n n n n ni i N , i = 2, 3, 4. 2. Vypadok k = 2n + 1. Mirkugçy, qk i v poperedn\omu vypadku, oderΩu[mo systemu nerivnostej λ > α α− + 2 2 2 1 4 ( )n , λ < α1 2n , (8) λ < α α− − 2 2 2 1 4 ( )n , λ ≤ α 2 4 1( )n + ta rivnqnnq 0 2 4 1= − +α λ( )n , α λ α λi n n− = − +2 2 4 1( ) , α λ α λ α λi jn n n− + − = − +2 2 2 4 1( ) , (9) i i n n = ∑ − = − + 1 3 2 2 4 1α λ α λ( ) , i i n n = ∑ − = − +    1 3 2 2 2 4 1α λ α λ( ) , i, j = 1, 2, 3, i ≠ j. Rozv’qzugçy systemu nerivnostej (8) dlq koΩnoho λ , wo zadovol\nq[ odne z rivnqn\ (9), v Σ ˜ ,D4 χ otrymu[mo taki pidmnoΩyny : Σ4 = α α α α α α α α α2 2 4 1 4 4 04 4 1 1 − + < − − < − ∈     ( ) , , { } n n n n N ∪ , Σ5 i = α α α α α α α α α α α α α α α2 2 2 2 1 2 2 4 2 01 1 4 4 − − + < − − < − < − − − ∈      i i i i i in n n n n ( ) , , ( ) , { }N∪ , i = 1, 2, 3. Takym çynom, strukturu mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ povnistg opysu[ nastupna teorema. Teorema+4. MnoΩyna tyx γ , dlq qkyx alhebra P ˜ , ,D4 χ γ ma[ zobraΩennq, opysu[t\sq formulog Σ ˜ , [ ; )/D4 0 2 χ α∩ = Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ∞ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪0 1 2 3 4 5 i j , i = 2, 3, 4, j = 1, 2, 3. Vsg mnoΩynu Σ ˜ ,D4 χ otrymu[mo symetryçnym vidobraΩennqm vidnosno α / 2 ta pry[dnannqm toçky α / 2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 1295 5. MnoΩyna ΣΣ χχD̃4 , dlq xarakteru χχχχδδδδ = (((( 1, 1, δδδδ , δδδδ )))) . Struktura mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ znaçno sprowu[t\sq, koly χ = χ1 = ( 1, 1, 1, 1 ) abo χδ = ( 1, 1, δ , δ ) (dyv. [5, 8]). PokaΩemo, qk, vykorystovugçy teoremyE2,E4, moΩna pobuduvaty mnoΩynu Σ ˜ ,D4 χ dlq xarakteru χδ = ( 1, 1, δ , δ ) . Na pidstavi tverdΩennqE2 otrymu[mo Σ∞ = + − ∈{ }1 1 2 δ n n N , Σ0 = ∅ . MnoΩyny Σ2 i , Σ5 j , i = 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, ta Σ3 ne isnugt\, a mnoΩyny Σ1 , Σ4 naberut\ vyhlqdu Σ1 = 1 1 4 1 2 1 + − + − < − ∈      δ δ δ δn n n ( ) , N , Σ4 = 1 1 4 1 1 2 1 0+ − + + < − ∈      δ δ δn n n ( ) , { }N ∪ . Takym çynom, Σ ˜ ,( , , , ) [ ; )/D4 1 1 0 2 δ δ α∩ = 1 1 2 + − ∈{ }δ n n N ∪ ∪ 1 1 4 1 2 1 + − + − < − ∈      δ δ δ δn n n ( ) , N ∪ ∪ 1 1 4 1 2 1 0+ − + + < − ∈      δ δ δ δn n n ( ) , { }N ∪ . Avtor wyro vdqçnyj V.EL.EOstrovs\komu za postanovku zadaçi, G.ES.ESamoj- lenku ta G. P. Moskal\ovij za korysni zauvaΩennq wodo zmistu statti. 1. Zavodovs\kyj M. V., Samojlenko G. S. Teoriq operatoriv ta involgtyvni zobraΩennq al- hebr // Ukr. mat. visn. – 2004. – 1, # 4. – S. 532 – 547. 2. Kruhlqk S. A., Rojter A. V. Lokal\no-skalqrn¥e predstavlenyq hrafov v katehoryy hyl\- bertov¥x prostranstv // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 2005. – 39, # 2. – S. 13 – 30. 3. Vlasenko M. A., Mellyt A. S., Samojlenko G. S. Ob alhebrax, poroΩdenn¥x lynejno svq- zann¥my obrazugwymy s zadann¥m spektrom // Tam Ωe. – # 3. – S. 14 – 27. 4. Kruglyak S. A., Popovich S. V., Samoilenko Yu. S. ∗ -Representation of algebras associated with Dynkin graphs and Horn’s problem // Uçen. zap. Tavryç. nac. un-ta. Ser. Matematyka. Mexany- ka. Ynformatyka y kybernetyka. – 2003. – 16(55), # 2. – S.E132 – 139. 5. Kyryçenko A. A. Pro linijni kombinaci] ortoproektoriv // Tam Ωe. – 2002. – # 2. – S.E31 – 39. 6. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. ana- lyz y eho pryl. – 2002. – 36, # 3. – S. 20 – 35. 7. Shulman V. S. On representations of limit relations // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2001. – # 4. – P. 85 – 86. 8. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗ - algebras. 1. Representations by bounded operators // Revs Math. and Math. Phys. – 1999. – 11, pt 1. – 261 p. OderΩano 30.05.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9

Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням

Репозитарії

Схожі ресурси