Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165431 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді / В.М. Дільний // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1257–1263. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165431 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654312020-02-14T01:27:27Z Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді Дільний, В.М. Короткі повідомлення 2006 Article Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді / В.М. Дільний // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1257–1263. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165431 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Дільний, В.М. Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Дільний, В.М. |
| author_facet |
Дільний, В.М. |
| author_sort |
Дільний, В.М. |
| title |
Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді |
| title_short |
Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді |
| title_full |
Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді |
| title_fullStr |
Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді |
| title_full_unstemmed |
Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді |
| title_sort |
про еквівалентність деяких умов для вагових просторів гарді |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165431 |
| citation_txt |
Про еквівалентність деяких умов для вагових просторів Гарді
/ В.М. Дільний // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1257–1263. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT dílʹnijvm proekvívalentnístʹdeâkihumovdlâvagovihprostorívgardí |
| first_indexed |
2025-07-14T18:30:55Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:30:55Z |
| _version_ |
1837648167064043520 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
B. M. Дiльний (Дрогобиц. пед. ун-т)
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ УМОВ
ДЛЯ ВАГОВИХ ПРОСТОРIВ ГАРДI
Let G ∈ Hp
σ(C+), where Hp
σ(C+) is a space of functions analytic in the half-plane C+ = {z : Re z >
> 0}, for which
sup
|ϕ|< π
2
+∞∫
0
|G(reiϕ)|pe−pσr| sin ϕ|dr
< +∞.
In the case where a singular boundary function of G is identically constant and G(z) 6= 0 for all z ∈ C+,
conditions equivalent to the condition G(z) exp
{
2σ
π
z ln z − cz
}
6∈ Hp(C+), where Hp(C+) is the
Hardy space, are found in terms of the behavior of G on the real semiaxis and the imaginary axis.
Нехай G ∈ Hp
σ(C+), де Hp
σ(C+) — клас функцiй, аналiтичних у правiй пiвплощинiC+ = {z : Re z >
> 0}, для яких
sup
|ϕ|< π
2
+∞∫
0
|G(reiϕ)|pe−pσr| sin ϕ|dr
< +∞.
У випадку, коли сингулярна гранична функцiя функцiї G є тотожно сталою i G(z) 6= 0 для всiх
z ∈ C+, знайдено еквiвалентнi умови до G(z) exp
{
2σ
π
z ln z − cz
}
6∈ Hp(C+), де Hp(C+) —
простiр Гардi, у термiнах поведiнки G на дiйснiй пiвосi та на уявнiй осi.
Нехай Hp
σ(C+), 1 6 p < +∞, σ > 0, — клас функцiй, аналiтичних у правiй
пiвплощинi C+ = {z : Rez > 0}, для яких
∥∥G∥∥ := sup
|ϕ|< π
2
+∞∫
0
∣∣f(reiϕ)
∣∣pe−pσr| sin ϕ|dr
1
p
< +∞.
Цей клас є узагальненням простору Гардi Hp(C+) у пiвплощинi. Останнiй
[1] одержуємо, коли σ = 0. З iншого боку, простiр Hp
σ(C+) мiстить [2, с. 26]
клас Пелi – Вiнера цiлих функцiй експоненцiального типу ≤ σ, що належать Lp
на дiйснiй осi. Класи Hp
σ(C+) вивчалися в [3, 4]. Там, зокрема, встановлено,
що функцiї G ∈ Hp
σ(C+) мають майже скрiзь (м. с.) на ∂C+ кутовi граничнi
значення, якi теж позначаємо через G(iy), i G(iy)e−σ|y| ∈ Lp(R). Для функцiй з
розглядуваного простору iснує [5, 6] сингулярна гранична функцiя, що з точнiстю
до адитивної сталої i значень у точках неперервностi визначається рiвнiстю
h(t2)− h(t1) = lim
x→0+
t2∫
t1
ln
∣∣G(x + iy)
∣∣dy −
t2∫
t1
ln
∣∣G(iy)
∣∣dy.
c© B. M. ДIЛЬНИЙ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1257
1258 B. M. ДIЛЬНИЙ
Б. В. Винницький [7, 8] поставив задачу одержання кiлькiсних умов, за яких у
просторi H2
σ(C+) повною за вказаною вище нормою є система{
G(z)eτz, τ ≤ 0
}
,
де G ∈ H2
σ(C+). Ця задача залишається вiдкритою, проте в [8, 9] показано, що
коли система є повною, то G не має нулiв у C+, її сингулярна гранична функцiя є
тотожно сталою i виконується умова
lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln |G(it)|dt− 2σ ln r
= −∞. (1)
У зв’язку з цим виникла задача про зв’язок умови (1) з поведiнкою функцiї G на
R+. Її розв’язує наступне твердження.
Teopeмa. Нехай G ∈ Hp
σ(C+), 1 6 p < +∞, σ > 0, i f(z) 6= 0 для всiх z ∈ C+,
a також h(t) ≡ const. Тодi умова (1) еквiвалентна кожнiй з наступних умов:
G(z) exp
{
2σ
π
z ln z − cz
}
6∈ Hp(C+) для кожного c ∈ R, (2)
lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln
∣∣G(it)
∣∣dt− 2σ ln r
= −∞, (3)
lim
x→+∞
(
ln
∣∣G(x)
∣∣
x
+
2σ
π
lnx
)
= +∞. (4)
Доведення теореми випливає з лем 2 – 5. Зауважимо, що теорема залишається
справедливою i для випадку σ = 0 в тому розумiннi, що кожна з умов (1) – (4)
визначає порожню множину у просторi Hp
0 (C+) ≡ Hp(C+). Нам невiдомi подiбнi
результати для iнших вагових просторiв Гардi. Щодо класу Hp(C+), то одержати
умови, якi пов’язували б „малiсть” модуля функцiї на ∂C+ з „великiстю” ї ї модуля
на R+, неможливо. Справдi, коли G ∈ Hp(C+) не має нулiв C+ i її сингулярна
гранична функцiя є тотожною сталою, то [10, с. 149]
∣∣G(x)
∣∣ = exp
1
π
+∞∫
−∞
x
t2 + x2
ln
∣∣G(it)
∣∣ dt + cx
,
тобто коли
∣∣G1(it)
∣∣ ≤ ∣∣G2(it)
∣∣ для всiх t ∈ R+ i c = 0, то
∣∣G1(x)
∣∣ ≤ ∣∣G2(x)
∣∣ для
всiх x > 0.
Сформулюємо допомiжне твердження, що мiститься, фактично, в [5].
Лема 1. Якщо G ∈ Hp
σ(C+), 1 6 p < +∞, σ > 0, h(t) ≡ const i f(z) 6= 0 для
всiх z ∈ C+, то
G(z) = exp
ia0 + a1z +
1
π
+∞∫
−∞
Q(t, z) ln
∣∣G(it)
∣∣ dt
, a0 ∈ R, a1 ∈ R,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ УМОВ ДЛЯ ВАГОВИХ ПРОСТОРIВ ГАРДI 1259
де
Q(t, z) =
(tz + i)2
i(t2 + 1)2(t + iz)
,
i виконуються умови
lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln
∣∣G(it)
∣∣ dt > −∞, ln
∣∣G(it)
∣∣ ∈ L1[−1; 1].
Лема 2. Якщо G ∈ Hp
σ(C+) i виконується умова (1), то виконується й умо-
ва (3).
Доведення. Оскiльки G(it)e−σ|t| ∈ Lp(R), то
ϕ1(r) :=
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt 6
6
1
p
∫
1<|t|6r
1
t2
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣pdt 6
6
1
p
∫
1<|t|6r
∣∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣∣p dt < c1 < +∞.
Функцiя
ϕ2(r) :=
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt,
очевидно, є монотонно зростаючою. Оскiльки
ln
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣ = ln+
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣− ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣ ,
то якби функцiя ϕ2 була обмеженою зверху, то
lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt > −∞,
що суперечить умовi. Отже,
lim
r→+∞
ϕ2(r) = lim
r→+∞
ϕ2(r) = +∞.
Тому
lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt =
= lim
r→+∞
(
ϕ1(r)− ϕ2(r)
)
6 lim
r→+∞
(
c1 − ϕ2(r)
)
= −∞,
a отже, виконується умова (3).
Лема 3. Якщо G ∈ Hp
σ(C+), h(t) ≡ const, f(z) 6= 0 для всiх z ∈ C+, a також
виконується умова (3), то виконується й умова (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1260 B. M. ДIЛЬНИЙ
Доведення. Застосовуючи лему 1 до функцiй G та e−
2σ
π z ln z i покладаючи
z = x > 0, маємо
ln
∣∣∣G(x)e
2σ
π x ln x
∣∣∣ = cx + Re
1
π
+∞∫
−∞
Q(t, x) ln
∣∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣∣ dt
.
Ocкiльки
Re
{
1
π
Q(t;x)
}
=
−t2x3 + x + 2t2x
π(1 + t2)2(t2 + x2)
,
то
ln
∣∣G(x)e
2σ
π x ln x
∣∣
x
= c +
+∞∫
−∞
−t2x2 + 1 + 2t2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt =
= c−
+∞∫
−∞
t2x2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt +
+
+∞∫
−∞
1 + 2t2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt +
+
+∞∫
−∞
t2x2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt −
−
+∞∫
−∞
1 + 2t2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt =
= c− I1 + I2 + I3 − I4.
Оцiнимо вiдповiднi iнтеграли:
I1 =
1
p
+∞∫
−∞
t2x2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln+
(∣∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣∣p) dt 6
6
1
pπ
+∞∫
−∞
t2x2
(1 + t2)2(t2 + x2)
∣∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣∣p dt 6
6
1
pπ
+∞∫
−∞
∣∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣∣p dt < +∞;
вважаючи, що x > 1, маємо
I4 6
2
π
+∞∫
−∞
1
(1 + t2)2
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt 6
6
2
π
+∞∫
−∞
1
(1 + t2)2
(
ln+ 1∣∣G(it)
∣∣ + σ|t|
)
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ УМОВ ДЛЯ ВАГОВИХ ПРОСТОРIВ ГАРДI 1261
= c2 +
2
π
+∞∫
−∞
1
(1 + t2)2
ln+ 1∣∣G(it)
∣∣dt =
= c3 +
2
π
∫
|t|>1
1
(1 + t2)2
ln+ 1
|G(it)|
dt.
Останнє отримуємо з того, що за лемою 1 ln
∣∣G(it)
∣∣ ∈ L1[−1; 1]. Далi
+∞∫
1
1
(1 + t2)2
ln+ 1∣∣G(it)
∣∣dt 6
+∞∫
1
1
t2
dt
t∫
1
1
s2
ln+ 1∣∣G(is)
∣∣ds =
=
1
t2
t∫
1
1
s2
ln+ 1
|G(is)|
ds
∣∣∣∣∣∣
+∞
1
+
+∞∫
1
t∫
1
1
s2
ln+ 1∣∣G(is)
∣∣ds
2
t3
dt 6
6 c4 + c5
ln t
t2
∣∣∣∣+∞
1
+ c5
+∞∫
1
ln t
t3
dt < c6.
Це одержуємо з того, що
t∫
1
1
s2
ln+ 1∣∣G(is)
∣∣ds 6
4
3
2t∫
1
(
1
s2
− 1
(2t)2
)
ln+ 1∣∣G(is)
∣∣ds 6 c7 ln t + c7,
тому що за лемою 1
1
2π
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+ 1∣∣G(it)
∣∣dt =
=
1
2π
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+
∣∣G(it)
∣∣dt + c8 6 c9 + c10 ln t.
Аналогiчно
−1∫
−∞
1
(1 + t2)2
ln+ 1∣∣G(it)
∣∣dt 6 c11,
тому I4 6 c12. Далi
I3 >
∫
1<|t|≤x
t2x2
π(1 + t2)2(t2 + x2)
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt ≥
≥ 1
2π
∫
1<|t|≤x
t2
(1 + t2)2
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt >
>
1
8π
∫
1<|t|≤x
1
t2
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt >
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1262 B. M. ДIЛЬНИЙ
> − 1
8π
∫
1<|t|≤x
(
1
t2
− 1
x2
)
ln
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt.
Тому за умовою леми lim
x→+∞
I3 = +∞. Ocкiльки I2 > 0, то
lim
x→+∞
ln
∣∣G(x)e
2σ
π x ln x
∣∣
x
= +∞.
Лема 4. Якщо G ∈ Hp
σ(C+) i виконується умова (4), то виконується й умо-
ва (2).
Доведення. Припустимо, що умова (2) не виконується, тобто
(∃c ∈ R) : G(z) exp
{
2σ
π
z ln z − cz
}
∈ Hp(C+). (5)
Тодi [10, с. 139] ∣∣∣∣G(z) exp
{
2σ
π
z ln z
}∣∣∣∣ 6 ecx
p
√
x
.
Тому ln |G(x)|+ 2σ
π
x lnx 6 cx, якщо x ≥ 1, що суперечить умовi (4).
Лема 5. Якщо G ∈ Hp
σ(C+), h(t) ≡ const, f(z) 6= 0 для всiх z ∈ C+ i
виконується умова (2), то виконується й умова (1).
Доведення. Нехай умова (1) не виконується. Тодi
(∃c ∈ R) (∀r > 1) :
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt > c. (6)
Ocкiльки G(it)e−σ|t| ∈ Lp(R), то∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣dt =
=
1
p
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣pdt 6
6
1
p
∫
1<|t|6r
∣∣G(it)e−σ|t|∣∣pdt < +∞, (7)
a тому з (6) маємо ∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
1
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt < c1.
Враховуючи, що за лемою 1 ln
∣∣G(it)
∣∣ ∈ L1[−1; 1], оскiльки G ∈ Hp
σ(C+), отриму-
ємо
+∞∫
−∞
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣
1 + t2
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ УМОВ ДЛЯ ВАГОВИХ ПРОСТОРIВ ГАРДI 1263
=
1∫
−1
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣
1 + t2
dt + lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣
1 + t2
dt =
= c + lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣
1 + t2
dt 6
6 c +
4
3
lim
r→+∞
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
(2r)2
)
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt 6
6 c +
4
3
lim
2r→+∞
∫
1<|t|62r
(
1
t2
− 1
(2r)2
)
ln+ 1∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣dt < +∞.
Аналогiчно з (7) отримуємо
+∞∫
−∞
ln+
∣∣G(it)e−σ|t|
∣∣
1 + t2
dt < +∞,
тому
+∞∫
−∞
∣∣ln |G(it)e−σ|t||
∣∣
1 + t2
dt < +∞.
Тодi з [11 с. 189, 190], оскiльки функцiя G(z)e
2σ
π z ln z не має нулiв у C+ i її
сингулярна гранична функцiя є тотожною сталою, отримуємо, що виконується (5),
а це суперечить умовi (2).
Лему доведено.
1. Седлецкий А. М. Эквивалентное определение пространств Hp в полуплоскости и некоторые
приложения // Мат. сб. – 1975. – 96, № 1. – С. 75 – 82.
2. Винер Н., Пели Р. Преобразование Фурье в комплексной области. – М.: Наука, 1963. – 256 с.
3. Винницкий Б. В. O нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспо-
нент // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 5. – C. 484 – 500.
4. Винницький Б. В. Про нулi деяких класiв функцiй, аналiтичних в пiвплощинi // Мат. студ. –
1996. – 6, № 1. – C. 67 – 72.
5. Винницький Б. В., Дiльний В. М. Про необхiднi умови iснування розв’язкiв одного рiвняння
типу згортки // Там же. – 2001. – 16, № 1. – C. 61 – 70.
6. Fedorov M. A., Grishin A. F. Some questions of the Nevanlinna theory for the complex half-plane //
Math. Phys., Anal. and Geom. – 1998. – 1. – P. 223 – 271.
7. Винницький Б. В. Рiвняння згортки i кутовi граничнi значення аналiтичних функцiй // Допов.
НАН України. Сер. А. – 1995. – № 10. – C. 13 – 17.
8. Винницький Б. В. Про розв’язки однорiдного рiвняння згортки в одному класi функцiй,
аналiтичних в пiвсмузi // Мат. студ. – 1997. – 8, № 1. – C. 41 – 52.
9. Дiльний В. М. Деякi властивостi функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, та їх застосування:
Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Львiв, 2002. – 16 с.
10. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Наука, 1984. – 368 с.
11. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
– 306 с.
Одержано 30.05.2005,
пiсля доопрацювання — 04.11.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
|