Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням
Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении с вырождением при производной по времени. Заданы краевые условия Неймана и нелокальное условие переопределения. Исследован случа...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165490 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням / Н.М. Гузик // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 6. — С. 765–779. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165490 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1654902020-02-14T01:28:13Z Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням Гузик, Н.М. Статті Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении с вырождением при производной по времени. Заданы краевые условия Неймана и нелокальное условие переопределения. Исследован случай слабого вырождения. We establish conditions for the existence and uniqueness of a classical solution of the inverse problem of determination of the time-dependent coefficient of the higher-order derivative in a parabolic equation with degeneration in the coefficient of the time derivative. We impose boundary conditions of the second kind and a nonlocal overdetermination condition. The case of weak degeneration is investigated. 2013 Article Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням / Н.М. Гузик // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 6. — С. 765–779. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165490 517.95 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гузик, Н.М. Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням Український математичний журнал |
| description |
Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении с вырождением при производной по времени. Заданы краевые условия Неймана и нелокальное условие переопределения. Исследован случай слабого вырождения. |
| format |
Article |
| author |
Гузик, Н.М. |
| author_facet |
Гузик, Н.М. |
| author_sort |
Гузик, Н.М. |
| title |
Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням |
| title_short |
Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням |
| title_full |
Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням |
| title_fullStr |
Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням |
| title_full_unstemmed |
Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням |
| title_sort |
нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165490 |
| citation_txt |
Нелокальна обернена задача для параболічного рівняння з виродженням / Н.М. Гузик // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 6. — С. 765–779. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT guziknm nelokalʹnaobernenazadačadlâparabolíčnogorívnânnâzvirodžennâm |
| first_indexed |
2025-07-14T18:41:20Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:41:20Z |
| _version_ |
1837648819288801280 |
| fulltext |
УДК 517.95
Н. М. Гузик (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА
ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ
We establish conditions for the existence and uniqueness of a classical solution of the inverse problem of determination of
the time-dependent coefficient of the higher-order derivative in a parabolic equation with degeneration in the coefficient
of the time derivative. Boundary conditions of the second kind and a nonlocal overdetermination condition are given. The
case of weak degeneration is investigated.
Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения за-
висящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении с вырождением при производной по
времени. Заданы краевые условия Неймана и нелокальное условие переопределения. Исследован случай слабого
вырождения.
Вступ. Коефiцiєнтнi оберненi задачi визначення залежного вiд часу коефiцiєнта у параболiчно-
му рiвняннi почали розвиватись вiдносно недавно — на початку 70-х рокiв минулого столiття.
Одним з основних питань при формулюваннi таких задач є вибiр так званих умов перевизна-
чення, якi забезпечують можливiсть однозначного визначення невiдомих параметрiв у процесi
теплопровiдностi. Цi умови можна задавати у виглядi додаткових крайових умов, проте бiльш
вдалим виявився пошук умов перевизначення серед нелокальних умов.
Вважається, що однiєю з перших робiт, присвячених оберненiй задачi з невiдомим кое-
фiцiєнтом, що залежить вiд часу, є праця B. F. Jones [1]. У нiй дослiджується обернена задача
визначення коефiцiєнта температуропровiдностi у напiвобмеженому стержнi iз заданими одно-
рiдною початковою умовою, крайовою умовою Дiрiхле та значенням теплового потоку в якостi
умови перевизначення. На сьогоднi оберненi задачi визначення залежного вiд часу старшого
коефiцiєнта у параболiчних рiвняннях з рiзними наборами крайових умов та умов переви-
значення вивченi достатньо повно (див., наприклад, [2 – 6] та наведену в них бiблiографiю).
Дослiдження коефiцiєнтних обернених задач для параболiчних задач з нелокальними умовами
перевизначення проведено у [7].
Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням дослiдженi мало. Серед вiдомих
роботи [8, 9], у яких розглядались оберненi задачi визначення залежного вiд часу старшого
коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi з довiльним виродженням. У цих працях залежна вiд часу
функцiя, яка спричинює виродження рiвняння, мiститься при другiй похiднiй за просторовою
змiнною невiдомої функцiї параболiчного рiвняння. Дослiджено випадки слабкого та сильного
виродження.
У данiй роботi вивчається обернена задача визначення залежного вiд часу старшого кое-
фiцiєнта у параболiчному рiвняннi з виродженням. На вiдмiну вiд [8, 9] виродження рiвняння
спричинює монотонно зростаюча, залежна вiд часу функцiя, що мiститься при похiднiй за
часом. У роботi задано крайовi умови Неймана та нелокальну умову перевизначення. Дослi-
дження проведено у випадку слабкого виродження, означення якого взято з [10]. Встановлено
умови iснування та єдиностi класичного розв’язку вказаної задачi.
1. Формулювання задачi. В областi QT = {(x, t) : 0 < x < h, 0 < t < T} будемо
розглядати обернену задачу визначення коефiцiєнта a = a(t), a(t) > 0, t ∈ [0, T ] у рiвняннi
c© Н. М. ГУЗИК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6 765
766 Н. М. ГУЗИК
ψ(t)ut = a(t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u+ f(x, t) (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, h], (2)
крайовими умовами Неймана
ux(0, t) = µ1(t), ux(h, t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (3)
та нелокальною умовою перевизначення
γ1(t)u(0, t) + γ2(t)u(h, t) = µ3(t), t ∈ [0, T ]. (4)
Вiдомо, що ψ = ψ(t) — монотонно зростаюча функцiя така, що ψ(t) > 0, t ∈ (0, T ], та ψ(0) = 0.
Означення . Пiд розв’язком задачi (1) – (4) будемо розумiти пару функцiй (a, u) з класу
C[0, T ] × C2,1(QT ) ∩ C2,0(QT ), a(t) > 0, t ∈ [0, T ], що задовольняють рiвняння (1) та умо-
ви (2) – (4).
Дослiджується випадок слабкого виродження, коли limt→+0
∫ t
0
dτ
ψ(τ)
= 0. Зауважимо, що
умова limt→+0
∫ t
0
dτ
ψ(τ)
= 0 виконується тодi i лише тодi, коли функцiя
1
ψ(t)
є iнтегровною на
(0, T ).
2. Iснування розв’язку. Умови iснування розв’язку задачi (1) – (4) мiстяться у такiй теоремi.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) ϕ ∈ C3[0, h], µi, γi ∈ C1[0, T ], i = 1, 2, µ3 ∈ C1(0, T ] ∩ C[0, T ], b, c, f ∈ C1,0(QT );
2) ϕ′(x) > 0, ϕ′′(x) > 0, x ∈ [0, h], γi(t) ≥ 0, i = 1, 2, γ1(t)+γ2(t) > 0, t ∈ [0, T ], iснує
скiнченна додатна границя limt→0 µ
′
3(t)ψ(t) ≡M0 > 0,
µ′3(t)ψ(t)−
µ3(t)
γ1(t) + γ2(t)
(
ψ(t)(γ′1(t) + γ′2(t)) + γ1(t)c(0, t) + γ2(t)c(h, t)
)
−
−γ1(t) (b(0, t)µ1(t) + f(0, t))− γ2(t) (b(h, t)µ2(t) + f(h, t)) > 0,
ψ(t)
(
γ′1(t)γ2(t) + γ′2(t)γ1(t)
)
+ γ1(t)γ2(t) (c(0, t) + c(h, t)) ≥ 0, t ∈ [0, T ];
3) ψ ∈ C[0, T ] — монотонно зростаюча функцiя, ψ(t) > 0, t ∈ (0, T ], ψ(0) = 0,
lim
t→+0
t∫
0
dτ
ψ(τ)
= 0;
4) µ1(0) = ϕ′(0), µ2(0) = ϕ′(h), γ1(0)ϕ(0) + γ2(0)ϕ(h) = µ3(0).
Тодi можна вказати число T0, 0 < T0 ≤ T, яке визначається вихiдними даними, таке, що
iснує розв’язок задачi (1) – (4) при x ∈ [0, h], t ∈ [0, T0].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 767
Доведення. Зведемо задачу (1) – (4) до системи рiвнянь. Припустимо тимчасово, що функцiя
a = a(t) є вiдомою.
У задачi (1) – (4) виконаємо замiну змiнних
u(x, t) = ũ(x, t) + ϕ(x) + x(µ1(t)− µ1(0)) +
x2
2h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)) . (5)
В результатi вiдносно функцiї ũ = ũ(x, t) отримаємо рiвняння
ψ(t)ũt = a(t)ũxx + b(x, t)ũx + c(x, t)ũ+ f(x, t)− ψ(t)
(
xµ′1(t) +
x2
2h
(µ′2(t)− µ′1(t))
)
+
+a(t)
(
ϕ′′(x) +
1
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0))
)
+ b(x, t)
(
ϕ′(x) + µ1(t)− µ1(0)+
+
x
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0))
)
+ c(x, t)
(
ϕ(x) + x(µ1(t)− µ1(0))+
+
x2
2h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0))
)
(6)
та однорiднi початкову i крайовi умови
ũ(x, 0) = 0, x ∈ [0, h], (7)
ũx(0, t) = ũx(h, t) = 0, t ∈ [0, T ]. (8)
Позначимо через Gk = Gk(x, t, ξ, τ), k = 1, 2, функцiї Грiна першої (k = 1) та другої (k = 2)
крайових задач для рiвняння теплопровiдностi
ut =
a(t)
ψ(t)
uxx.
Вони визначається формулою
Gk(x, t, ξ, τ) =
1
2
√
π(θ(t)− θ(τ))
+∞∑
n=−∞
(
exp
(
−(x− ξ + 2nh)2
4(θ(t)− θ(τ))
)
+
+(−1)k exp
(
−(x+ ξ + 2nh)2
4(θ(t)− θ(τ))
))
, k = 1, 2, (9)
де θ(t) =
∫ t
0
a(τ)
ψ(τ)
dτ.
За допомогою функцiї Грiна G2 = G2(x, t, ξ, τ) задачу (6) – (8) замiнимо еквiвалентним
iнтегро-диференцiальним рiвнянням
ũ(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G2(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)ũξ + c(ξ, τ)ũ+ f(ξ, τ)− ψ(τ)
(
ξµ′1(τ)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
768 Н. М. ГУЗИК
+
ξ2
2h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)
(
ϕ′′(ξ) +
1
h
(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
)
+
+b(ξ, τ)
(
ϕ′(ξ) + µ1(τ)− µ1(0) +
ξ
h
(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
)
+
+c(ξ, τ))
(
ϕ(ξ) + ξ(µ1(τ)− µ1(0)) +
ξ2
2h
(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
))
dξ dτ. (10)
Позначимо v(x, t) ≡ ux(x, t), w(x, t) ≡ uxx(x, t). Використовуючи (5), (10), для функцiї
u = u(x, t) отримуємо рiвняння
u(x, t) = ϕ(x) + x(µ1(t)− µ1(0)) +
x2
2h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0))+
+
t∫
0
h∫
0
G2(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)v(ξ, τ) + c(ξ, τ)u(ξ, τ) + f(ξ, τ)− ψ(τ)
(
ξµ′1(τ)+
+
ξ2
2h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)
(
ϕ′′(ξ) +
1
h
(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
))
dξ dτ. (11)
Враховуючи вiдомi властивостi функцiй ГрiнаG2x = −G1ξ, G1
∣∣∣∣
x=0
= G1
∣∣∣∣
x=h
= 0, шляхом дифе-
ренцiювання (11) за просторовою змiнною приходимо до рiвнянь вiдносно функцiй v = v(x, t),
w = w(x, t) :
v(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ)+
+cξ(ξ, τ)u(ξ, τ) + fξ(ξ, τ)− ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ+
+ϕ′(x) + µ1(t)− µ1(0) +
x
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT , (12)
w(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1x(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ)+
+cξ(ξ, τ)u(ξ, τ) + fξ(ξ, τ)− ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ+
+ϕ′′(x) +
1
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT . (13)
Здиференцiюємо рiвнiсть (4) для t ∈ (0, T ]. Домножаючи отриману рiвнiсть на ψ(t), знахо-
димо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 769
γ1(t)ψ(t)ut(0, t) + γ2(t)ψ(t)ut(h, t) =
= µ′3(t)ψ(t)− ψ(t)(γ′1(t)u(0, t) + γ′2(t)u(h, t)), t ∈ (0, T ]. (14)
Згiдно з умовами теореми 1 iснує границя правої частини рiвностi (14) при t→ 0 :
lim
t→0
(
µ′3(t)ψ(t)− ψ(t)(γ′1(t)u(0, t) + γ′2(t)u(h, t))
)
=M0 > 0.
Це означає, що iснує границя
lim
t→0
(γ1(t)ψ(t)ut(0, t) + γ2(t)ψ(t)ut(h, t)) =M0 > 0. (15)
Пiдставимо в (14) замiсть ut(0, t), ut(h, t) вiдповiднi значення, отриманi з рiвняння (1). Врахо-
вуючи (15), (3), (4) та введенi позначення, приходимо до рiвняння вiдносно функцiї a = a(t) :
a(t) =
1
γ1(t)w(0, t) + γ2(t)w(h, t)
(
ψ(t)(µ′3(t)− γ′1(t)u(0, t)− γ′2(t)u(h, t))−
−γ1(t)(b(0, t)µ1(t) + c(0, t)u(0, t) + f(0, t))−
−γ2(t)(b(h, t)µ2(t) + c(h, t)u(h, t) + f(h, t))
)
, t ∈ [0, T ]. (16)
Таким чином, обернену задачу (1) – (4) зведено до еквiвалентної системи рiвнянь (11) – (13),
(16). Еквiвалентнiсть розумiємо в такому сенсi: якщо пара функцiй (a, u) є розв’язком задачi
(1) – (4), то (a, u, v, w), v(x, t) ≡ ux(x, t), w(x, t) ≡ uxx(x, t) є неперервним розв’язком системи
(11) – (13), (16) i, навпаки, якщо (a, u, v, w) ∈ C[0, T ]× (C(QT ))
3 є розв’язком системи рiвнянь
(11) – (13), (16), то (a, u) є розв’язком задачi (1) – (4) у сенсi наведеного вище означення. Перша
частина твердження випливає зi способу отримання системи рiвнянь (11) – (13), (16). Для того
щоб довести зворотне твердження, потрiбно показати, що функцiї (a, u) належать до класу
C[0, T ]× C2,1(QT ) ∩ C2,0(QT ) i задовольняють умови (1) – (4).
Нехай (a, u, v, w) — неперервний розв’язок системи (11) – (13), (16). Припущення теореми
1 дозволяють здиференцiювати (12) по x. В результатi отримаємо
vx(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1x(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ)+
+cξ(ξ, τ)u(ξ, τ) + fξ(ξ, τ)− ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ+
+ϕ′′(x) +
1
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT .
Правi частини цiєї рiвностi та (13) збiгаються, тому w(x, t) ≡ vx(x, t). Далi здиференцiюємо
(11) за просторовою змiнною:
ux(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)vξ(ξ, τ) + bξ(ξ, τ)v(ξ, τ) + c(ξ, τ)uξ(ξ, τ)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
770 Н. М. ГУЗИК
+cξ(ξ, τ)u(ξ, τ) + fξ(ξ, τ)− ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ+
+ϕ′(x) + µ1(t)− µ1(0) +
x
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT . (17)
Вiднiмемо вiдповiдно правi та лiвi частини рiвностей (12) та (17). Враховуючи, що w(x, t) ≡
≡ vx(x, t), знаходимо
v(x, t)− ux(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
c(ξ, τ)(v(ξ, τ)− uξ(ξ, τ)dξdτ. (18)
Оскiльки
G1(x, t, ξ, τ) ≤ G2(x, t, ξ, τ),
h∫
0
G2(x, t, ξ, τ)dξ ≤ 1, (19)
то, беручи до уваги означення слабкого виродження, робимо висновок про те, що ядро однорiд-
ного iнтегрального рiвняння (18) має iнтегровну особливiсть. Це означає, що це рiвняння має
лише тривiальний розв’язок, i, отже, v(x, t) ≡ ux(x, t). Враховуючи це в (11), одержуємо, що
u = u(x, t) має потрiбну гладкiсть та задовольняє рiвняння (1) i умови (2), (3) для довiльної
неперервної на [0, T ] функцiї a = a(t).
Пiдставимо в (16) замiсть w(x, t) функцiю uxx(x, t) та, використавши (3), запишемо її у
виглядi
γ1(t)
(
a(t)uxx(0, t) + b(0, t)ux(0, t) + c(0, t)u(0, t) + f(0, t)
)
+ γ2(t)
(
a(t)uxx(h, t)+
+b(h, t)ux(h, t) + c(h, t)u(h, t) + f(h, t)
)
= ψ(t)(µ′3(t)− γ′1(t)u(0, t)− γ′2(t)u(h, t)).
З огляду на рiвняння (1) отримуємо рiвнiсть(
γ1(t)u(0, t) + γ2(t)u(h, t)
)′
=
(
µ3(t)
)′
.
Iнтегруючи цю рiвнiсть та використовуючи умови теореми 1, приходимо до (4), що й завершує
доведення еквiвалентностi задачi (1) – (4) та системи рiвнянь (11) – (13), (16).
Оскiльки
u(x, t) = u(0, t) +
x∫
0
v(η, t)dη,
u(x, t) = u(h, t)−
h∫
x
v(η, t)dη,
то, враховуючи умову (4), знаходимо
u(x, t) =
1
γ1(t) + γ2(t)
(
µ3(t) + γ1(t)
x∫
0
v(η, t)dη − γ2(t)
h∫
x
v(η, t)dη
)
. (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 771
Рiвнiсть (20) використаємо у (12), (13), (16). В результатi отримаємо систему рiвнянь вiдносно
невiдомих v = v(x, t), w = w(x, t), a = a(t) :
v(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ)+
+
cξ(ξ, τ)
γ1(τ) + γ2(τ)
(
µ3(τ) + γ1(τ)
ξ∫
0
v(η, τ)dη − γ2(τ)
h∫
ξ
v(η, τ)dη
)
+ fξ(ξ, τ)−
−ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ + ϕ′(x)+
+µ1(t)− µ1(0) +
x
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT , (21)
w(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G1x(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ)+
+
cξ(ξ, τ)
γ1(τ) + γ2(τ)
(
µ3(τ) + γ1(τ)
ξ∫
0
v(η, τ)dη − γ2(τ)
h∫
ξ
v(η, τ)dη
)
+ fξ(ξ, τ)−
−ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ + ϕ′′(x)+
+
1
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT , (22)
a(t) =
1
γ1(t)w(0, t) + γ2(t)w(h, t)
(
µ′3(t)ψ(t)−
µ3(t)
γ1(t) + γ2(t)
(
ψ(t)(γ′1(t) + γ′2(t))+
+γ1(t)c(0, t) + γ2(t)c(h, t)
)
+
1
γ1(t) + γ2(t)
(
ψ(t)(γ′1(t)γ2(t) + γ′2(t)γ1(t))+
+γ1(t)γ2(t)(c(0, t) + c(h, t))
) h∫
0
v(η, t)dη − γ1(t)(b(0, t)µ1(t) + f(0, t))−
−γ2(t)(b(h, t)µ2(t) + f(h, t))
)
, t ∈ [0, T ]. (23)
Встановимо апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (21) – (23). Для того щоб оцiнити
функцiю w = w(x, t) знизу, дослiдимо поведiнку при t → 0 iнтегралiв, що входять до правої
частини рiвностi (22). Використовуючи оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
772 Н. М. ГУЗИК
h∫
0
|G1x(x, t, ξ, τ)| dξ ≤
C1√
θ(t)− θ(τ)
, (24)
робимо висновок, що iнтеграл у правiй частинi формули (22) має таку ж поведiнку при t→ 0,
як i вираз
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
+
t∫
0
dτ
ψ(τ)
√
θ(t)− θ(τ)
≡ J1 + J2.
Оскiльки
J1 =
t∫
0
ψ(τ)dθ(τ)
a(τ)
√
θ(t)− θ(τ)
≤ C2ψ(t)
( t∫
0
dσ
ψ(σ)
) 1
2
, (25)
J2 ≤ C3
t∫
0
dθ(τ)√
θ(t)− θ(τ)
≤ C4
( t∫
0
dσ
ψ(σ)
) 1
2
, (26)
то, враховуючи означення слабкого виродження, стверджуємо, що iнтеграли J1, J2 прямують
до нуля при t → 0. Тодi, згiдно з умовами теореми, у правiй частинi формули (22) при t = 0
вiдмiнним вiд нуля є лише другий доданок. Сума двох iнших прямує до нуля при t→ 0. Таким
чином, можна вказати таке число t1, 0 < t1 ≤ T, що буде виконуватися нерiвнiсть
1
2
ϕ′′(x) +
1
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)) +
t∫
0
h∫
0
G1x(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ)+
+(bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ) +
cξ(ξ, τ)
γ1(τ) + γ2(τ)
(
µ3(τ) + γ1(τ)
ξ∫
0
v(η, τ)dη−
−γ2(τ)
h∫
ξ
v(η, τ)dη
)
+ fξ(ξ, τ)− ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+
+a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ ≥ 0, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t1]. (27)
Тодi з (22) отримаємо оцiнку для w = w(x, t) знизу
w(x, t) ≥ 1
2
min
[0,h]
ϕ′′(x) ≡M1 > 0, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t1]. (28)
Аналогiчно, враховуючи (19) та означення слабкого виродження, стверджуємо, що
v(x, t) ≥ 1
2
min
[0,h]
ϕ′(x) ≡M2 > 0, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t2]. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 773
Число t2, 0 < t2 ≤ T, визначається з нерiвностi
1
2
ϕ′(x) + µ1(t)− µ1(0) +
x
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)) + µ1(t)− µ1(0)+
+
t∫
0
h∫
0
G1(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)w(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))v(ξ, τ) +
cξ(ξ, τ)
γ1(τ) + γ2(τ)
×
×
(
µ3(τ) + γ1(τ)
ξ∫
0
v(η, τ)dη − γ2(τ)
h∫
ξ
v(η, τ)dη
)
− ψ(τ)
(
µ′1(τ) +
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+
+fξ(ξ, τ) + a(τ)ϕ′′′(ξ)
)
dξ dτ ≥ 0, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t2].
Оцiнки (28), (29) та умови теореми 1 забезпечують додатнiсть функцiї a = a(t) на вiдрiзку
[0, t3], де t3 = min{t1, t2}.
Позначимо V (t) = maxx∈[0,h] v(x, t), W (t) = maxx∈[0,h]w(x, t). З рiвняння (21) випливає,
що v(0, t) = µ1(t). Тодi для функцiй v = v(x, t), w = w(x, t) правильним є спiввiдношення
v(x, t) = µ1(t) +
x∫
0
w(η, t)dη, (30)
а тому
V (t) ≤ C5 + C6W (t), t ∈ [0, T ]. (31)
З (23), враховуючи (28), (31), одержуємо
a(t) ≤ C7 + C8W (t), t ∈ [0, t1]. (32)
Далi оцiнимо функцiю w(x, t) зверху. Виходячи з рiвняння (22) та використовуючи оцiнки (24),
(31), (32), для функцiї W =W (t) отримуємо нерiвнiсть
W (t) ≤ C9
t∫
0
W (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ(t)− θ(τ)
+ C10
t∫
0
dτ
ψ(τ)
√
θ(t)− θ(τ)
+
+C11
t∫
0
dτ√
θ(t)− θ(τ)
+ C12, t ∈ [0, t1]. (33)
Позначивши W1(t) ≡W (t) + 1, останню нерiвнiсть зведемо до вигляду
W1(t) ≤ C13 + C14
t∫
0
W1(τ)dτ
ψ(τ)
√
θ(t)− θ(τ)
, t ∈ [0, t1]. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
774 Н. М. ГУЗИК
Введемо позначення amin(t) = min0≤τ≤t a(τ), θ0(t) =
∫ t
0
dτ
ψ(τ)
. З рiвняння (23), враховуючи
оцiнку (29), знаходимо
amin(t) ≥
C15
W1(t)
, t ∈ [0, t2]. (35)
Тодi нерiвнiсть (34) можна записати у виглядi
W1(t) ≤ C13 + C14
t∫
0
W1(τ)dτ√
amin(τ)ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
≤
≤ C13 + C16
t∫
0
W 2
1 (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
, t ∈ [0, t3]. (36)
Пiднесемо обидвi частини нерiвностi (36) до квадрату i використаємо нерiвнiсть Кошi:
W 2
1 (t) ≤ 2C2
13 + 2C2
16
( t∫
0
W 2
1 (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
)2
. (37)
До iнтеграла у правiй частинi нерiвностi (37) застосуємо нерiвнiсть Кошi – Буняковського: t∫
0
W 2
1 (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
2
≤
t∫
0
W 4
1 (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
t∫
0
dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
.
Розглянемо iнтеграл
t∫
0
dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
=
t∫
0
dθ0(τ)√
θ0(t)− θ0(τ)
= 2
t∫
0
dσ
ψ(σ)
1
2
≤ C17.
Враховуючи отриманий результат у нерiвностi (37), одержуємо
W 2
1 (t) ≤ C18 + C19
t∫
0
W 4
1 (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ0(t)− θ0(τ)
, t ∈ [0, t3]. (38)
У нерiвностi (38) замiнимо t на σ, домножимо її на
1
ψ(σ)
√
θ0(t)− θ0(σ)
та зiнтегруємо по σ
вiд 0 до t :
t∫
0
W 2
1 (σ)dτ
ψ(σ)
√
θ0(t)− θ0(σ)
≤ C20 + C19
t∫
0
dσ
ψ(σ)
√
θ0(t)− θ0(σ)
σ∫
0
W 4
1 (τ)dτ
ψ(τ)
√
θ0(σ)− θ0(τ)
.
Змiнюючи межi iнтегрування та використовуючи рiвнiсть
t∫
τ
dσ
ψ(σ)
√
(θ0(t)− θ0(σ))(θ0(σ)− θ0(τ))
= π,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 775
приходимо до нерiвностi
t∫
0
W 2
1 (σ)dτ
ψ(σ)
√
θ0(t)− θ0(σ)
≤ C20 + C21
t∫
0
W 4
1 (τ)dτ
ψ(τ)
. (39)
Використовуючи нерiвнiсть (39), нерiвнiсть (36) зводимо до вигляду
W1(t) ≤ C22 + C23
t∫
0
W 4
1 (τ)dτ
ψ(τ)
. (40)
Розв’язуючи (40), як в [11], отримуємо
W1(t) ≤
C22
3
√
1− 3C3
22C23
∫ t4
0
dτ
ψ(τ)
≡M3, t ∈ [0, t4],
де число t4, 0 < t4 ≤ t3, визначається з нерiвностi
1− 3C3
22C23
t4∫
0
dτ
ψ(τ)
> 0.
Повертаючись до введених позначень, одержуємо
|w(x, t)| ≤M3, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t4]. (41)
Оцiнка (41) дозволяє оцiнити функцiї v = v(x, t), a = a(t). Для цього використаємо (31), (32)
та (35):
|v(x, t)| ≤M4, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t4], (42)
0 < A1 ≤ a(t) ≤ A2 < +∞, t ∈ [0, t4]. (43)
Таким чином, апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (21) – (23) встановлено.
Розглянемо систему рiвнянь (21) – (23) як операторне рiвняння
W = PW,
де W = (v, w, a), а оператор P визначається правими частинами рiвностей (21) – (23) вiдпо-
вiдно.
Апрiорнi оцiнки (41) – (43) розв’язкiв системи рiвнянь (21) – (23) використаємо для побудови
множини N такої, щоб виконувались умови теореми Шаудера про нерухому точку цiлком
неперервного оператора. Для цього виберемо число T0, 0 < T0 ≤ t4, так, щоб виконувалась
система нерiвностей
C12 +
C24√
A1
(1 +A2 +M3 +M4)
( t∫
0
dτ
ψ(τ)
) 1
2
≤M3, t ∈ [0, T0], (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
776 Н. М. ГУЗИК
µ1(t) + ϕ′(x)− µ1(0) + (µ2(t)− µ1(0)− µ2(0) + µ1(0))+
+C25(1 +A2 +M3 +M4)
t∫
0
dτ
ψ(τ)
≤M4, (x, t) ∈ [0, h]× [0, T0]. (45)
Зауважимо, що нерiвностi (44), (45) отримано шляхом оцiнювання правих частин рiвностей (22),
(21) вiдповiдно з урахуванням (41) – (43). Те, що стала C12 < M3, випливає з (33). Покладаючи
в рiвностi (30) t = 0, знаходимо
ϕ′(x)− µ1(0) =
x∫
0
ϕ′′(η)dη, x ∈ [0, h].
Тодi нерiвнiсть
max
(x,t)∈[0,h]×[0,T0]
(µ1(t) + ϕ′(x)− µ1(0)) < M4
випливає з означення сталих M3, M4.
У банаховому просторi B = (C(QT0))
2 × C[0, T0] виберемо множину
N = {(v, w, a) ∈ B : M2 ≤ v(x, t) ≤ M4,M1 ≤ w(x, t) ≤ M3, (x, t) ∈ [0, h] × [0, T0], A1 ≤
≤ a(t) ≤ A2, t ∈ [0, T0]}. З побудови множиниN робимо висновок, що вона замкнена й опукла,
а оператор P переводить її в себе. Щоб показати, що оператор P є цiлком неперервним, достат-
ньо довести компактнiсть таких iнтегральних операторiв:
P1 : ω(x, t)→
t∫
0
h∫
0
G1x(x, t, ξ, τ)ω(ξ, τ) dξ dτ,
P2 : ω(x, t)→
t∫
0
h∫
0
G1x(x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
ω(ξ, τ) dξ dτ.
Доведення цього факту у випадку слабкого виродження проводиться за тiєю ж схемою, що й у
невиродженому випадку [7, с. 24]. Таким чином, всi умови теореми Шаудера виконуються, а це
означає, що iснує розв’язок (v, w, a) системи рiвнянь (21) – (23) при x ∈ [0, h], t ∈ [0, T0]. Пiсля
цього функцiю u = u(x, t) знаходимо, виходячи з рiвняння (20). Враховуючи еквiвалентнiсть
задачi (1) – (4) та системи (11) – (13), (16), отримуємо iснування розв’язку задачi (1) – (4) на
звуженому часовому промiжку.
Теорему 1 доведено.
4. Єдинiсть розв’язку. Встановимо умови, при виконаннi яких розв’язок задачi (1) – (4)
буде єдиним.
Теорема 2. Якщо виконуються умови
ϕ′′(x) > 0, x ∈ [0, h], γi(t) ≥ 0, i = 1, 2, γ1(t) + γ2(t) > 0, t ∈ [0, T ],
то розв’язок задачi (1) – (4) єдиний при (x, t) ∈ [0, h] × [0, t1], де число t1 визначається з
нерiвностi (27).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 777
Доведення. Припустимо, що iснують два розв’язки (ai, ui), i = 1, 2, задачi (1) – (4). Рiз-
ницi цих розв’язкiв позначимо через a(t) = a1(t) − a2(t), u(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t). Вони
задовольняють рiвняння
ψ(t)ut = a1(t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u+ a(t)u2xx, (x, t) ∈ QT , (46)
та умови
u(x, 0) = 0, x ∈ [0, h], (47)
ux(0, t) = ux(h, t) = 0, t ∈ [0, T ], (48)
γ1(t)u(0, t) + γ2(t)u(h, t) = 0, t ∈ [0, T ]. (49)
За допомогою функцiї Грiна G∗2(x, t, ξ, τ) другої крайової задачi для рiвняння
ψ(t)ut = a1(t)uxx + b(x, t)ux (50)
задачу (46) – (48) замiнимо еквiвалентним iнтегральним рiвнянням
u(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G∗2(x, t, ξ, τ) (c(ξ, τ)u(ξ, τ) + a(τ)u2ξξ(ξ, τ)) dξ dτ. (51)
Як i при доведеннi iснування розв’язку, для другої похiдної за просторовою змiнною функцiї
u2 = u2(x, t) вiдповiдної задачi (1) – (4) отримуємо рiвняння
u2xx(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G
(2)
1x (x, t, ξ, τ)
ψ(τ)
(
b(ξ, τ)u2ξξ(ξ, τ) + (bξ(ξ, τ) + c(ξ, τ))u2ξ(ξ, τ)+
+cξ(ξ, τ)u2(ξ, τ) + fξ(ξ, τ)− ψ(τ)
(
µ′1(τ)−
ξ
h
(µ′2(τ)− µ′1(τ))
)
+ a2(τ)ϕ
′′′(ξ)
)
dξ dτ+
+ϕ′′(x) +
1
h
(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)), (x, t) ∈ QT , (52)
де через G(2)
1 = G
(2)
1 (x, t, ξ, τ) позначено функцiю Грiна першої крайової задачi для рiвняння
ut =
a2(t)
ψ(t)
uxx.
Тодi iснує число t1, 0 < t1 ≤ T, яке визначається з нерiвностi, аналогiчної до (27), таке, що для
функцiї u2xx = u2xx(x, t) правильною залишатиметься оцiнка (28).
Здиференцiюємо умову (49). Враховуючи (46) – (48), приходимо до рiвняння
a(t) = − 1
γ1(t)u2xx(0, t) + γ2(t)u2xx(h, t)
(
(γ′1(t)ψ(t) + γ1(t)c(0, t))u(0, t)+
+(γ′2(t)ψ(t) + γ2(t)c(h, t))u(h, t)
)
, t ∈ [0, t1]. (53)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
778 Н. М. ГУЗИК
Використовуючи рiвняння (53) у (51), отримуємо
u(x, t) =
t∫
0
h∫
0
G∗2(x, t, ξ, τ)
(
c(ξ, τ)u(ξ, τ)−
u2ξξ(ξ, τ)
γ1(τ)u2ξξ(0, τ) + γ2(τ)u2ξξ(h, τ)
×
×
(
(γ′1(τ)ψ(τ) + γ1(τ)c(0, τ))u(0, τ) + (γ′2(τ)ψ(τ) + γ2(τ)c(h, τ))u(h, τ)
))
dξ dτ,
(x, t) ∈ [0, h]× [0, t1]. (54)
До рiвняння (54) приєднаємо ще два рiвняння вiдносно u(0, t), u(h, t) :
u(0, t) =
t∫
0
h∫
0
G∗2(0, t, ξ, τ)
(
c(ξ, τ)u(ξ, τ)−
u2ξξ(ξ, τ)
γ1(τ)u2ξξ(0, τ) + γ2(τ)u2ξξ(h, τ)
×
×
(
(γ′1(τ)ψ(τ) + γ1(τ)c(0, τ))u(0, τ) + (γ′2(τ)ψ(τ) + γ2(τ)c(h, τ))u(h, τ)
))
dξ dτ,
t ∈ [0, t1], (55)
u(h, t) =
t∫
0
h∫
0
G∗2(h, t, ξ, τ)
(
c(ξ, τ)u(ξ, τ)−
u2ξξ(ξ, τ)
γ1(τ)u2ξξ(0, τ) + γ2(τ)u2ξξ(h, τ)
×
×
(
(γ′1(τ)ψ(τ) + γ1(τ)c(0, τ))u(0, τ) + (γ′2(τ)ψ(τ) + γ2(τ)c(h, τ))u(h, τ)
))
dξ dτ,
t ∈ [0, t1]. (56)
В результатi одержуємо систему однорiдних iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду
вiдносно функцiй u(x, t), u(0, t), u(h, t).
Щоб дослiдити iнтегровнiсть ядер цiєї системи, розглянемо пряму задачу для рiвняння (50)
з початковою умовою
u(x, 0) = 1, x ∈ [0, h], (57)
та крайовими умовами (48). Використовуючи функцiю Грiна G∗2(x, t, ξ, τ), розв’язок цiєї задачi
подамо у виглядi
u(x, t) =
h∫
0
G∗2(x, t, ξ, 0)dξ.
З iншого боку, безпосередньою перевiркою легко переконатись, що розв’язком цiєї задачi є
функцiя
u(x, t) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
НЕЛОКАЛЬНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ З ВИРОДЖЕННЯМ 779
Звiдси робимо висновок, що
h∫
0
G∗2(x, t, ξ, 0)dξ = 1.
На пiдставi останньої рiвностi можемо стверджувати, що ядра системи рiвнянь (54) – (55) мають
iнтегровнi особливостi. Це означає, що ця система має лише тривiальний розв’язок
u(x, t) ≡ 0, (x, t) ∈ [0, h]× [0, t1], u(0, t) ≡ 0, u(h, t) ≡ 0, t ∈ [0, t1].
Пiдставляючи його в рiвняння (53), знаходимо
a(t) ≡ 0, t ∈ [0, t1].
Теорему 2 доведено.
1. Jones B. F. The determination of a coefficient in a parabolic differential equation. I. Existence and uniqueness // J.
Math. and Mech. – 1962. – 11, № 5. – Р. 907 – 918.
2. Cannon J. R., Rundell W. Recovering a time-dependent coefficient in a parabolic differential equation // J. Math. Anal.
and Appl. – 1991. – 160. – P. 572 – 582.
3. Azari H., Li C., Nie Y., Shang S. Determination of an unknown coefficient in a parabolic inverse problem // Dynamics
of Continuos, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A: Math. Analysis. – 2004. – 11. – P. 665 – 674.
4. Березницька I. Б., Дребот А. Й., Iванчов М. I., Макар Ю. М. Обернена задача для рiвняння теплопровiдностi з
iнтегральним перевизначенням // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1997. – Вип. 48. – С. 71 – 79.
5. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми усло-
виями // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 8. – С. 1066 – 1071.
6. Hong-Ming Yin. Recent and new results on detetmination of unknown coefficients in parabolic patial differential
equations with over-spesified conditions // Inverse Problems in Diffusion Processes. – 1995. – P. 181 – 198.
7. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. – Lviv: VNTL Publ., 2003.
8. Салдiна Н. В. Сильно вироджена обернена параболiчна задача з загальною поведiнкою коефiцiєнтiв // Вiсн.
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2006. – Вип. 66. – С. 186 – 202.
9. Saldina N. An inverse problem for a generally degenerate heat equation // Вiсн. нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”.
Фiз.-мат. науки. – 2006. – Вип. 566. – С. 59 – 67.
10. Калашников А. С. О растущих решениях линейных уравнений второго порядка с неотрицательной характерис-
тической формой // Мат. заметки. – 1968. – 3, № 2. – С. 171 – 178.
11. Ivanchov M., Hryntsiv N. Inverse problem for a weakly degenerate parabolic equation in a domain with free boundary
// J. Math. Sci. – 2010. – 167, № 1. – P. 16 – 29.
Одержано 22.05.12,
пiсля доопрацювання — 04.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
|