Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке
Наведено обґрунтування можливості застосування методу повного усереднення на скінченному проміжку для диференціальних включень із нечіткою правою частиною, які містять малий параметр....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165500 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке / А.В. Плотников // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 366–374. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165500 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655002020-02-14T01:28:05Z Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке Плотников, А.В. Статті Наведено обґрунтування можливості застосування методу повного усереднення на скінченному проміжку для диференціальних включень із нечіткою правою частиною, які містять малий параметр. We justify the applicability of the method of complete averaging on a finite segment for differential inclusions with fuzzy right-hand sides containing a small parameter. 2015 Article Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке / А.В. Плотников // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 366–374. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165500 517.911 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Плотников, А.В. Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке Український математичний журнал |
| description |
Наведено обґрунтування можливості застосування методу повного усереднення на скінченному проміжку для диференціальних включень із нечіткою правою частиною, які містять малий параметр. |
| format |
Article |
| author |
Плотников, А.В. |
| author_facet |
Плотников, А.В. |
| author_sort |
Плотников, А.В. |
| title |
Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| title_short |
Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| title_full |
Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| title_fullStr |
Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| title_full_unstemmed |
Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| title_sort |
схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165500 |
| citation_txt |
Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конечном промежутке / А.В. Плотников // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 366–374. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovav shemapolnogousredneniâdlânečetkihdifferencialʹnyhvklûčenijnakonečnompromežutke |
| first_indexed |
2025-07-14T18:42:11Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:42:11Z |
| _version_ |
1837648873011544064 |
| fulltext |
УДК 517.911
А. В. Плотников (Одес. гос. акад. стр-ва и архитектуры)
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
We justify the applicability of the method of complete averaging on a finite segment for differential inclusions with fuzzy
right-hand sides containing a small parameter.
Наведено обґрунтування можливостi застосування методу повного усереднення на скiнченному промiжку для ди-
ференцiальних включень iз нечiткою правою частиною, якi мiстять малий параметр.
1. Введение. В 1990 г. J.-P. Aubin [1] и В. А. Байдосов [2, 3] ввели в рассмотрение дифферен-
циальные включения с нечеткою правою частью. Их подход основан на сведении последних
к обычным дифференциальным включениям. В 1995 г. E. Hüllermeier [4 – 6] ввел понятие R-
решения аналогично тому, как это было сделано в работе [7]. В дальнейшем в работах [8 – 17]
рассматривались различные свойства решений нечетких дифференциальных включений, а так-
же их приложения при моделировании различных физических процессов.
В работах [18, 19] была доказана возможность применения схем полного и частичного
усреднения для дифференциальных включений с нечеткой правой частью, содержащих малый
параметр. При доказательстве этих теорем использовался метод доказательства, предложенный
В. А. Плотниковым для обоснования схем усреднения обычных дифференциальных включений
[20 – 25]. В данной работе доказывается возможность применения схемы полного усреднения
для нечетких дифференциальных включений без перехода к рассмотрению отдельных решений,
т. е. все оценки проводятся для R-решений соответствующих нечетких систем.
2. Основные определения и обозначения. Пусть conv(Rn) — пространство непустых
выпуклых компактных подмножеств Rn с метрикой Хаусдорфа
h(F,G) = max
{
sup
f∈F
inf
g∈G
||f − g||, sup
g∈G
inf
f∈F
||f − g||
}
,
где под || · || понимается евклидова норма в пространстве Rn.
Введем в рассмотрение пространство En отображений ζ : Rn → [0, 1], удовлетворяющих
следующим условиям:
1) ζ полунепрерывно сверху, т. е. для любых x′ ∈ Rn и ε > 0 существует δ(x′, ε) > 0 такое,
что для всех ‖x− x′‖ < δ выполняется условие ζ(x) < ζ(x′) + ε;
2) ζ нормально, т. е. существует x0 ∈ Rn такое, что ζ(x0) = 1;
3) ζ нечетко выпукло, т. е. для любых x′, x′′ ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется нера-
венство ζ(λx′ + (1− λ)x′′) ≥ min{ζ(x′), ζ(x′′)};
4) замыкание множества {x ∈ Rn : ζ(x) > 0} компактно.
Нулем в пространстве En является отображение 0̂(x) =
{
1, x = 0,
0, x ∈ Rn\0.
Определение 1. α-Срезкой [ζ]α отображения ζ ∈ En при 0 < α ≤ 1 назовем множество
{x ∈ Rn : ζ(x) ≥ α}. Нулевой срезкой отображения ζ ∈ En назовем замыкание множества
{x ∈ Rn : ζ(x) > 0}.
c© А. В. ПЛОТНИКОВ, 2015
366 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 367
Теорема 1 [26]. Если ζ ∈ En, то:
1) [ζ]α ∈ conv(Rn) для всех 0 ≤ α ≤ 1;
2) [ζ]α2 ⊂ [ζ]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] − неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то [ζ]α =
=
⋂
k≥1[ζ]αk .
Наоборот, если {Aα : 0 ≤ α ≤ 1} — семейство подмножеств Rn, удовлетворяющих усло-
виям 1 – 3, то существует отображение ζ ∈ En такое, что [ζ]α = Aα для 0 < α ≤ 1 и
[ζ]0 =
⋃
0<α≤1A
α.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(ζ, ξ) = sup
0≤α≤1
h([ζ]α, [ξ]α).
Из результатов [27] следует, что:
1) (En, D) является полулинейным полным метрическим пространством;
2) D(ζ + χ, ξ + χ) = D(ζ, ξ), D(kζ, kξ) = kD(ζ, ξ) для всех ζ, ξ, χ ∈ En и k ≥ 0.
3. Нечеткое дифференциальное включение. R-решение. Рассмотрим нечеткое диффе-
ренциальное включение
ẋ ∈ F (t, x), x(0) ∈ X0, (1)
где t ∈ [0, T ] ⊂ R+, x ∈ Rn, F : [0, T ]×Rn → En, X0 ∈ En.
Определение 2 [4]. Функция x(·) : [0, T ] → Rn называется α-решением дифференциаль-
ного включения (1), если она абсолютно непрерывна и удовлетворяет дифференциальному
включению
ẋ ∈ [F (t, x)]α, x(0) ∈ [X0]
α
почти всюду на [0, T ].
Множество α-решений дифференциального включения (1) на отрезке [0, T ] обозначим через
Xα, а его сечение в момент времени t ∈ [0, T ] — через Xα(t).
Как известно [5, 6, 9], семейство {Xα(t) : α ∈ [0, 1]} может не удовлетворять условиям тео-
ремы 1, т. е. сечение множества решений системы (1) может не принадлежать пространству En,
так как Xα(t) может быть компактным множеством в пространстве Rn, но не быть выпуклым.
В связи с этим далее будем рассматривать R-решение X(·) : [0, T ] → En дифференциаль-
ного включения (1).
Определение 3. R-решением дифференциального включения (1) назовем полунепрерывное
сверху нечеткое отображение X(·) : [0, T ]→ En, которое удовлетворяет системе
sup
α∈[0,1]
h
[X(t+ σ)]α,
⋃
x∈[X(t)]α
x+
t+σ∫
t
[F (s, x)]αds
= o(σ), X(0) = X0, (2)
где limσ→0+
o(σ)
σ
= 0.
Теорема 2. Пусть F (t, x) удовлетворяет следующим условиям:
1) F (·, x) измеримо по t на [0, T ];
2) F (t, ·) удовлетворяет условию Липшица по x с постоянной λ на Rn, т. е.
D(F (t, x′), F (t, x′′)) ≤ λ‖x′ − x′′‖;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
368 А. В. ПЛОТНИКОВ
3) существует γ > 0 такое, что для почти всех t ∈ R+ и для всех x ∈ Rn
D(F (t, x), 0̂) ≤ γ;
4) для всех β ∈ [0, 1], x′, x′′ ∈ Rn и почти всех t ∈ [0, T ]
F (t, βx′ + (1− β)x′′) ⊃ βF (t, x′) + (1− β)F (t, x′′).
Тогда на некотором отрезке [0, τ ] ⊂ [0, T ] существует единственное R-решение X(t)
дифференциального включения (1).
Доказательство. Рассмотрим шар Sr(X0) = {X ∈ En : D(X,X0) ≤ r}. Пусть τ =
= min{T, r/γ}. Из результатов [5, 6] следует, что сечение множества решений нечеткого диф-
ференциального включения (1) принадлежит пространству En для всех t ∈ [0, τ ].
Разобьем отрезок [0, τ ] точками tpk = kτ2−p на P = 2p частей и определим обобщенные
ломаные Эйлера XP (t) так, что
[XP (t)]α =
⋃
x∈[XP (tPk )]
α
x+
t∫
tPk
[F (s, x)]αds
, (3)
t ∈ [tPk , t
P
k+1], k = 0, 1, . . . , 2p, XP (0) = X0, α ∈ [0, 1].
Поскольку X0 ∈ En и F (t, x) ∈ En для всех (t, x) ∈ [0, τ ]× Sr([X0]
0), то XP (t) ∈ En для
всех t ∈ [0, τ ].
Известно [7, 25], что каждая последовательность {[XP (·)]α}∞p=1 является равностепенно
непрерывной и фундаментальной, а ее предел — единственным R-решением [X(t)]α соответ-
ствующего дифференциального включения
ẋ ∈ [F (t, x)]α, x(0) ∈ [X0]
α,
которое совпадает с множеством решений данного включения, а также удовлетворяет уравне-
нию
h
[X(t+ σ)]α,
⋃
x∈[X(t)]α
x+
t+σ∫
t
[F (s, x)]αds
= o(σ), [X(0)]α = [X0]
α.
Теорема доказана.
Одновременно с системой (1) рассмотрим систему
ẏ ∈ G(t, y), y(0) ∈ Y0, (4)
где t ∈ R1
+, y ∈ Rn, G : R1 ×Rn → En, Y0 ∈ En.
Лемма 1. Пусть F (t, x) и G(t, x) удовлетворяют условиям теоремы 2 и, кроме того, для
почти всех t ∈ [0, T ] и всех x ∈ Rn
D(F (t, x), G(t, x)) ≤ η, D(X0, Y0) ≤ µ. (5)
Тогда для t ∈ [0, T ] справедлива оценка
D(X(t), Y (t)) ≤ µeλt +
η
λ
(
eλt − 1
)
. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 369
Доказательство. Разобьем промежуток [0, T ] на m частей точками tmi = i · ∆, ∆ =
= T/m, i = 1,m− 1.
Тогда для t ∈ [tmk , t
m
k+1) ⊂ [0, T ] имеем
D(X(t), Y (t)) = sup
α∈[0,1]
h([X(t)]α, [Y (t)]α) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
⋃
x∈[X(tk)]α
x+
t∫
tk
[F (s, x)]αds
,
⋃
y∈[Y (tk)]α
y +
t∫
tk
[G(s, y)]αds
+ o(∆) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
[X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [X(tk)]
α)]αds, [Y (tk)]
α +
t∫
tk
[G(s, [Y (tk)]
α)]αds
+ o(∆) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
[X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [X(tk)]
α)]αds, [X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds
+
+ sup
α∈[0,1]
h
[X(tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds, [Y (tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds
+
+ sup
α∈[0,1]
h
[Y (tk)]
α +
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds), [Y (tk)]
α +
t∫
tk
[G(s, [Y (tk)]
α)]αds
+ o(∆) ≤
≤ sup
α∈[0,1]
h
t∫
tk
[F (s, [X(tk)]
α)]αds,
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds
+ sup
α∈[0,1]
h([X(tk)]
α, [Y (tk)]
α)+
+ sup
α∈[0,1]
h
t∫
tk
[F (s, [Y (tk)]
α)]αds),
t∫
tk
[G(s, [Y (tk)]
α)]αds
+ o(∆) ≤
≤
t∫
tk
λD(X(tk), Y (tk))ds+D(X(tk), Y (tk)) +
t∫
tk
D(F (s, Y (tk)), G(s, Y (tk)))ds+ o(∆) ≤
≤
t∫
tk
λD(X(tk), Y (tk))ds+D(X(tk), Y (tk)) +
t∫
tk
ηds+ o(∆) ≤
≤ ((t− tk)λ+ 1)D(X(tk), Y (tk)) + (t− tk)η + o(∆) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
370 А. В. ПЛОТНИКОВ
≤ µeλt +
η
λ
(eλt − 1).
Теорема доказана.
Замечание 1. Если X0 = Y0, то для всех t ∈ [0, T ]
D(X(t), Y (t)) ≤ η
λ
(
eλt − 1
)
. (7)
4. Схема полного усреднения. Рассмотрим нечеткое дифференциальное включение с ма-
лым параметром стандартного вида
ẋ ∈ εF (t, x), x(0) ∈ X0, (8)
где ε > 0 — малый параметр, t ∈ R+ — время, x ∈ Rn — фазовый вектор, F : R+ × Rn → En
— нечеткое отображение, X0 ∈ En.
Системе (8) поставим в соответствие усредненную систему
dx
dt
∈ εF (x), x(0) ∈ X0, (9)
где
F (x) = lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, x)dt. (10)
Теорема 3. Пусть в области Q = {(t, x) : t ≥ 0, x ∈ D ∈ conv(Rn)} выполняются следу-
ющие условия:
1) F (·, x) измеримо по t на R+ для всех x ∈ D;
2) F (t, ·) удовлетворяет условию Липшица по x с постоянной λ для почти всех t ∈ R+,
т. е.
D(F (t, x′), F (t, x′′)) ≤ λ‖x′ − x′′‖;
3) существует γ > 0 такое, что для почти всех t ∈ R+ и для всех x ∈ D
D(F (t, x), 0̂) ≤ γ;
4) для всех β ∈ [0, 1], x′, x′′ ∈ Rn и почти всех t ∈ [0, T ]
F (t, βx′ + (1− β)x′′) ⊃ βF (t, x′) + (1− β)F (t, x′′);
5) равномерно относительно x в области D существует предел (10);
6) для всех X0 таких, что [X0]
0 ⊂ D′ ⊂ D, некоторая ρ-окрестность 0-срезки R-решения
включения (9) лежит в области D.
Тогда для любых 0 < η < ρ и L > 0 можно указать такое ε0(η, L) > 0, что для всех
0 < ε < ε0 на отрезке 0 ≤ t ≤ Lε−1 будет выполняться неравенство
D(X(t), X(t)) < η,
где X(t) и X(t) — соответствующие R-решения включений (8) и (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 371
Доказательство. Из условий 1 – 4 и теоремы 2 следует, что R-решение системы (8)
существует и единственное.
Далее, из условий 1 – 3, 5 следует, что нечеткое отображение F (x) равномерно ограничено
постоянной γ и удовлетворяет условию Липшица с постоянной λ, т. е.
D(F (x), 0̂) ≤ D
F (x),
1
T
T∫
0
F (s, x)ds
+D
1
T
T∫
0
F (s, x)ds, 0̂
≤ δ(T ) + γ,
D(F (x1), F (x2)) ≤ D
F (x1),
1
T
T∫
0
F (s, x1)ds
+D
1
T
T∫
0
F (s, x1)ds,
1
T
T∫
0
F (s, x2)ds
+
+D
1
T
T∫
0
F (s, x2)ds, F (x2)
≤ 2δ(T ) + λ‖x1 − x2‖,
где limT→∞ δ(T ) = 0 согласно предположению 5. Кроме того, легко можно показать, что F (x)
удовлетворяет условию 4, т. е. для всех β ∈ [0, 1], t ∈ R+, x
′, x′′ ∈ D
F (βx′ + (1− β)x′′) = lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, βx′ + (1− β)x′′)dt ⊃
⊃ lim
T→∞
1
T
T∫
0
(βF (t, x′) + (1− β)F (t, x′′))dt =
= β lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, x′)dt+ (1− β) lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (t, x′′)dt = βF (x′) + (1− β)F (x′′).
Следовательно, R-решение для системы (9) также существует и единственное.
Теперь разобьем отрезок [0, Lε−1] на m частей точками tk =
kL
εm
, k = 0, 1, . . . ,m − 1, и
определим нечеткие отображения Xm(t) и X
m
(t) такие, что для всех α ∈ [0, 1], t ∈ [tk, tk+1],
k = 0, 1, . . . ,m− 1
[Xm(t)]α =
⋃
x∈[Xm(tk)]α
x+ ε
t∫
tk
[F (s, x)]αds
, [Xm(0)]α = [X0]
α, (11)
[X
m
(t)]α =
⋃
x∈[Xm
(tk)]α
x+ ε
t∫
tk
[F (x)]αds
, [X
m
(0)]α = [X0]
α. (12)
Тогда
D(Xm(tk), X(tk)) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
372 А. В. ПЛОТНИКОВ
≤ sup
α∈[0,1]
h
⋃
x∈[Xm(tk−1)]α
x+ ε
tk∫
tk−1
[F (s, x)]αds
,
⋃
x∈[X(tk−1)]α
x+ ε
tk∫
tk−1
[F (s, x)]αds
+
+o(tk − tk−1) ≤ (1 + ε(tk − tk−1)λ)D(Xm(tk−1), X(tk−1))+
+o(tk − tk−1) ≤
o(tk − tk−1)
tk − tk−1
(exp(λL)− 1). (13)
Аналогично получаем
D(X
m
(tk), X(tk)) ≤
o(tk − tk−1)
tk − tk−1
(exp(λL)− 1). (14)
Кроме того, для t ∈ [tk, tk+1] имеем
D(Xm(t), Xm(tk)) ≤ sup
α∈[0,1]
h
⋃
x∈[Xm(tk)]α
x+ ε
t∫
tk
[F (s, x)]αds
, [Xm(tk)]
α
≤
≤ εγ(t− tk) ≤
γL
m
, (15)
D(X
m
(t), X
m
(tk)) ≤ εγ(t− tk) ≤
γL
m
. (16)
Из (13) – (16) следует, что для любого η > 0 существует такое m0, что при m ≥ m0 имеем
D(Xm(t), X(t)) ≤ η
4
, (17)
D(X
m
(t), X(t)) ≤ η
4
. (18)
При t = tk+1 в силу леммы 1 для любого ν > 0 существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0]
справедлива оценка
D(Xm(tk+1), X
m
(tk+1)) ≤ (exp(λL)− 1)ν/λ. (19)
Зафиксировав m ≥ max{m0, 8γL/η} и выбрав затем ν <
ηλ
4(exp(λL)− 1)
, из (17) – (19) полу-
чим утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Замечание 2. Если предположить, что F (·, x) непрерывно по t на [0, T ], то вместо урав-
нения (2) можно рассматривать более простое уравнение
sup
α∈[0,1]
h
[X(t+ σ)]α,
⋃
x∈[X(t)]α
{x+ σ[F (t, x)]α}
= o(σ), X(0) = X0,
и аналогично доказать все полученные ранее результаты.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
СХЕМА ПОЛНОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 373
5. Заключение. Полученные результаты дают возможность обосновать возможность при-
менения схемы полного усреднения для систем управления нечеткими R-решениями (нечет-
кими пучками траекторий) [28 – 32], т. е. когда поведение объекта описывается управляемым
дифференциальным включением с нечеткой правой частью, а также для некоторых нечетких
задач управления, например для нечеткой задачи Майера [33 – 35].
1. Aubin J.-P. Fuzzy differential inclusions // Problems of Control and Inform. Theory. – 1990. – 19, № 1. – P. 55 – 67.
2. Байдосов В. А. Дифференциальные включения с нечеткой правой частью // Докл. АН СССР. – 1989. – 309,
№ 4. – С. 781 – 783.
3. Байдосов В. А. Нечеткие дифференциальные включения // Прикл. математика и механика. – 1990. – 54, вып.
1. – С. 12 – 17.
4. Hüllermeier E. Towards modelling of fuzzy functions // EUFIT’95. – 1995. – P. 150 – 154.
5. Hüllermeier E. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical system // Int. J. Uncertain. Fuzziness
Knowl.-Based Syst. – 1997. – 7. – P. 117 – 137.
6. Hüllermeier E. A fuzzy simulation method // First Int. ICSC Symp. on Intelligent Industrial Automation (IIA’96) and
Soft Computing (SOCO’96) March 26 – 28, 1996 (Reading, United Kingdom).
7. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Мат.
заметки. – 1980. – 27, № 3. – С. 429 – 437.
8. Abbasbandy S., Viranloo T. A., Lopez-Pouso O., Nieto J. J. Numerical methods for fuzzy differential inclusions //
Comput. and Math. Appl. – 2004. – 48. – P. 1633 – 1641.
9. Agarwal R. P., O’Regan D., Lakshmikantham V. A stacking theorem approach for fuzzy differential equations //
Nonlinear Anal. – 2003. – 55. – P. 299 – 312.
10. Agarwal R. P., O’Regan D., Lakshmikantham V. Maximal solutions and existence theory for fuzzy differential and
integral equations // J. Appl. Anal. – 2005. – 11, № 2. – P. 171 – 186.
11. Antonelli P. L., Krivan V. Fuzzy differential inclusions as substitutes for stochastic differential equations in population
biology // Open Systems and Inform. Dynamics. – 1992. – 1, № 2. – P. 217 – 232.
12. Colombo G., Krivan V. Fuzzy differential inclusions and nonprobabilistic likelihood // S.I.S.S.A preprint 88/91/M.
13. Guo M., Xue X., Li R. Impulsive functional differential inclusions and fuzzy population models // Fuzzy Sets and
Systems. – 2003. – 138. – P. 601 – 615.
14. Lakshmikantham V. Set differential equations versus fuzzy differential equations // Appl. Math. and Comput. – 2005. –
164. – P. 277 – 294.
15. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric spaces. –
Cambridge Sci. Publ., 2006.
16. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor &
Francis, 2003.
17. Majumdar K. K., Majumder D. D. Fuzzy differential inclusions in atmospheric and medical cybernetics // IEEE
Trans. Syst., Man, and Cybern. B. – 2004. – 34, № 2. – P. 877 – 887.
18. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. The partial averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand
side // J. Adv. Res. Dynam. Control Syst. – 2010. – 2, № 2. – P. 26 – 34.
19. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. On the averaging of differential inclusions with fuzzy right-hand side
when the average of the right-hand side is absent // Iran. J. Optim. – 2010. – 2, № 3. – P. 506 – 517.
20. Klymchuk S., Plotnikov A., Skripnik N. Overview of V.A. Plotnikov’s research on averaging of differential inclusions.
// Physica D: Nonlinear Phenomena. – 2012. – 241, № 22. – P. 1932 – 1947.
21. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007.
22. Плотников В. А. Усреднение дифференциальных включений // Укр. мат. журн. – 1979. – 31, № 5. – С. 573 – 576.
23. Плотников В. А. Частичное усреднение дифференциальных включений // Мат. заметки. – 1980. – 27, № 6. –
С. 947 – 952.
24. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992.
25. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы. – Одесса: АстроПринт, 1999.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
374 А. В. ПЛОТНИКОВ
26. Negoita C. V., Ralescu D. A. Application of fuzzy sets to systems analysis. – New York: Wiley, 1975.
27. Puri M. L., Ralescu D. A. Fuzzy random variables // J. Math. Anal. and Appl. – 1986. – 114. – P. 409 – 422.
28. Diamond P., Kloeden P. E. Metric space of fuzzy sets, theory and applications. – World Sci. Publ., 1994.
29. Молчанюк И. В., Плотников А. В. Линейные системы управления с нечетким параметром // Нелiнiйнi коли-
вання. – 2006. – 9, № 1. – С. 63 – 73.
30. Молчанюк И. В., Плотников А. В. Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах управления
с нечетким параметром // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 384 – 390.
31. Najariyan M., Farahi M. H. A new approach for the optimal fuzzy linear time invariant controlled system with fuzzy
coefficients // J. Comput. and Appl. Math. – 2014. – 259. – P. 682 – 694.
32. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. Linear control differential inclusions with fuzzy right-hand side and
some optimal problems // J. Adv. Res. Dynam. Control Syst. – 2011. – 3, № 2. – P. 34 – 46.
33. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The averaging of control linear fuzzy 2π-periodic differential equations // Dynam.
Contin. Discrete Impulsive Syst. Ser. B: Applications & Algorithms. – 2011. – 18, № 6. – P. 833 – 847.
34. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Molchanyuk I. V. Linear control differential inclusions with fuzzy right-hand side and
some optimal problems // J. Adv. Res. Dynam. Control Syst. – 2011. – 3, № 2. – P. 34 – 46.
35. Плотников А. В. Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминальным крите-
рием качества // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – C. 105 – 110.
Получено 04.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|