Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I
Розглядаються неперервні Функції на двовимірних поверхнях, які задовольняють таю умови: множина їх локальних екстремумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число n∈N такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zⁿ в околі нуля. Нехай для кожної функці...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165501 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 375–396. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165501 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655012020-02-14T01:28:20Z Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I Полулях, Е.А. Статті Розглядаються неперервні Функції на двовимірних поверхнях, які задовольняють таю умови: множина їх локальних екстремумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число n∈N такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zⁿ в околі нуля. Нехай для кожної функції f: M²→R ΓK−R(f) — фактор-простір M² по розбиттю, елементами якого є компоненти множин рівня функції f. Відомо, що для компактного M² простір ΓK−R(f) є топологічним графом. У даній роботі введено поняття графа з черенками, яке є узагальненням топологічного графа. Для некомпактного M² наведено три умови, при виконанні яких простір ΓK−R(f) є графом з черенками. We consider continuous functions on two-dimensional surfaces satisfying the following conditions: they have a discrete set of local extrema; if a point is not a local extremum, then there exist its neighborhood and a number n ∈ ℕ such that a function restricted to this neighborhood is topologically conjugate to Re zⁿ in a certain neighborhood of zero. Given f : M² → ℝ, let Γ K−R (f) be a quotient space of M² with respect to its partition formed by the components of the level sets of f. It is known that, for compact M², the space Γ K−R (f) is a topological graph. We introduce the notion of graph with stalks, which generalizes the notion of topological graph. For noncompact M², we establish three conditions sufficient for Γ K−R (f) to be a graph with stalks. 2015 Article Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 375–396. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165501 515.162, 517.51, 517.27 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Полулях, Е.А. Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються неперервні Функції на двовимірних поверхнях, які задовольняють таю умови: множина їх локальних екстремумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число n∈N такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zⁿ в околі нуля. Нехай для кожної функції f: M²→R ΓK−R(f) — фактор-простір M² по розбиттю, елементами якого є компоненти множин рівня функції f. Відомо, що для компактного M² простір ΓK−R(f) є топологічним графом. У даній роботі введено поняття графа з черенками, яке є узагальненням топологічного графа. Для некомпактного M² наведено три умови, при виконанні яких простір ΓK−R(f) є графом з черенками. |
| format |
Article |
| author |
Полулях, Е.А. |
| author_facet |
Полулях, Е.А. |
| author_sort |
Полулях, Е.А. |
| title |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I |
| title_short |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I |
| title_full |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I |
| title_fullStr |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I |
| title_full_unstemmed |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I |
| title_sort |
графы кронрода – риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. i |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165501 |
| citation_txt |
Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 375–396. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT polulâhea grafykronrodaribafunkcijnanekompaktnyhdvumernyhpoverhnostâhi |
| first_indexed |
2025-07-14T18:42:17Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:42:17Z |
| _version_ |
1837648878347747328 |
| fulltext |
УДК 515.162, 517.51, 517.27
Е. А. Полулях (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ
НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I
We consider continuous functions on two-dimensional surfaces satisfying the following conditions: they have a discrete
set of local extrema; if a point is not a local extremum, then there exist its neighborhood and a number n ∈ N such that a
function restricted to this neighborhood is topologically conjugate to Re zn in a certain neighborhood of zero. Given f :
M2 → R, let ΓK−R(f) be a quotient space of M2 with respect to its partition formed by the components of the level sets
of f. It is known that, for compact M2, the space ΓK−R(f) is a topological graph. In the paper, we introduce the notion
of graph with stalks, which generalizes the notion of topological graph. For noncompact M2, we estblish three conditions
sufficient for ΓK−R(f) to be a graph with stalks.
Розглядаються неперервнi функцiї на двовимiрних поверхнях, якi задовольняють такi умови: множина їх локальних
екстремумiв дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то iснують її окiл i число n ∈ N такi, що функцiя в
цьому околi топологiчно спряжена до Re zn в околi нуля. Нехай для кожної функцiї f : M2 → R ΓK−R(f) — фактор-
простiр M2 по розбиттю, елементами якого є компоненти множин рiвня функцiї f. Вiдомо, що для компактного M2
простiр ΓK−R(f) є топологiчним графом. У данiй роботi введено поняття графа з черенками, яке є узагальненням
топологiчного графа. Для некомпактного M2 наведено три умови, при виконаннi яких простiр ΓK−R(f) є графом
з черенками.
1. Определения и формулировки результатов. Пусть f — непрерывная функция на двумерной
поверхности M2, удовлетворяющая следующим свойствам:
(f1) множество локальных экстремумов f дискретно;
(f2) если точка x ∈ M2 не является локальным экстремумом f, то существует ее окрест-
ность Ux, в которой f топологически сопряжена с функцией Re zn в окрестности нуля для
некоторого n ∈ N.
Напомним, что непрерывные функции g1 : V1 → R и g2 : V2 → R называются топологически
сопряженными, если для некоторых гомеоморфизмов h : V1 → V2 и h′ : R → R выполняется
равенство h′ ◦ g1 = g2 ◦ h.
Определение 1. Назовем точки, в окрестности которых f сопряжена с Re z, регуляр-
ными точками f. Точки, для которых f сопряжена с zn, n > 1, назовем точками ветвления
множества уровня. Точки плоскости, которые не являются регулярными, будем называть
сингулярными точками f.
Далее для краткости будем писать „точки ветвления” вместо „точки ветвления множества
уровня f”. Понятно, что все сингулярные точки f изолированы.
Таким образом, функция f порождает на поверхности одномерное слоение с особеннос-
тями. Множество его особенностей совпадает с сингулярными точками f. Регулярные слои
состоят из регулярных точек f и являются максимальными связными подмножествами мно-
жеств уровня этой функции, которые состоят из регулярных точек. Обозначим это слоение
через F0.
Очевидно, регулярные слои F0 являются вложенными в M2 одномерными многообразиями
без края (либо окружностями, либо прямыми линиями).
Рассмотрим еще разбиение F поверхности на компоненты множеств уровня f. Ясно, что
слои F0 являются подмножествами элементов разбиения F.
c© Е. А. ПОЛУЛЯХ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 375
376 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Элементы разбиения F будем называть регулярными, если они не содержат сингулярных
точек f. Элементы разбиения F, которые не являются регулярными, назовем сингулярными.
Фактор-пространство поверхности по разбиению F далее будем обозначать через
ΓK−R(f). Обозначим через πf : M2 → ΓK−R(f) отображение проекции.
Поскольку f отображает элементы разбиения F в точки пространства R, существует (см. [1])
непрерывное фактор-отображение f̂ : ΓK−R(f)→ R такое, что f = f̂ ◦ πf .
Для произвольной непрерывной функции (не обязательно удовлетворяющей условиям (f1)
и (f2)) на квадрате I2 либо на сфере S2 фактор-пространство ΓK−R(f) является дендритом
(см. [2]).
С другой стороны, известно, что для гладкой функции f с изолированными особеннос-
тями, заданной на двумерной компактной поверхности, пространство ΓK−R(f) можно наде-
лить структурой топологического графа (см. [3]), который называется графом Кронрода – Риба
функции f.
Напомним некоторые определения и конструкции.
Будем говорить, что граф конечен, если множества его вершин и ребер конечны. Граф
локально конечен, если каждая его вершина инцидентна конечному числу ребер. Для локаль-
но конечного графа количество ребер, которым инцидентна вершина, называется порядком
вершины. Петлей называется ребро графа, концы которого совпадают. Листьями называются
вершины порядка один.
Пусть G — локально конечный (не обязательно конечный) граф без петель. Рассмотрим G
как одномерный предсимплициальный комплекс, нульмерными симплексами которого являют-
ся вершины, а одномерными симплексами — ребра (см. [4]). Отметим, что если граф не со-
держит кратных ребер, то он является симплициальным комплексом. Рассмотрим абстрактный
полиэдр |G|, соответствующий этому комплексу. Топология на |G| порождается покрытием, со-
стоящим из замкнутых симплексов комплекса G (подмножество A ⊂ |G| является замкнутым,
если и только если его пересечение с любым ребром G замкнуто). Далее, говоря о топологии
на графе G, будем подразумевать топологическое пространство |G|.
Граф G, на котором задана описанная выше структура топологического пространства, на-
зывается топологическим графом. Далее будем рассматривать только такие графы, поэтому
слово „топологический” будем опускать.
Замкнутым ребром G будем называть соответствующий замкнутый одномерный симплекс,
открытым ребром — открытый симплекс (ребро без вершин, являющихся его концами).
Отметим, что только по топологическому пространству |G| нельзя восстановить структуру
графа G. Препятствием являются вершины порядка два.
Напомним (см. [5]), что порядком ordpX топологического пространства X в точке p
называется инфимум таких кардинальных чисел n, что существует сколь угодно малая открытая
окрестность U точки p, для которой мощность множества FrU не превышает n.
Для топологического графа G порядок любой его вершины v совпадает с ordv |G|. Для
любой точки p ∈ |G|, которая не является вершиной, ordp |G| = 2. Таким образом, в топологи-
ческом пространстве |G| вершины графа G порядка 2 ничем не отличаются от точек, которые
не являются вершинами G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 377
Легко видеть, что для того, чтобы восстановить по топологическому пространству |G| граф
G, достаточно знать дополнительно множество вершин V графа G.
В графе Кронрода – Риба вершинам соответствуют компоненты множеств уровня функции,
которые содержат сингулярные точки. Как показывает следующий пример, образы таких ком-
понент в пространстве ΓK−R(f) могут иметь порядок два.
Рассмотрим на плоскости функцию f̂(x, y) = sinπ(x−y) ·sinπ(x+y). Можно показать, что
это функция Морса. Она имеет минимумы в точках с координатами (k,m + 1/2), максимумы
в точках (k + 1/2,m), седла в точках (k,m), (k + 1/2,m + 1/2), k,m ∈ Z. Все остальные ее
точки регулярны. Ее единственное сингулярное множество уровня f̂−1(0) связно.
Легко видеть, что эта функция 1-периодична по каждой координате. Поэтому корректно
определена такая функция f : R2/Z2 → R, что f̂ = f ◦ pr . Здесь R2/Z2 ∼= T 2 — двумерный
тор, который является фактор-пространством плоскости по целочисленной решетке, pr : R2 →
R2/Z2 — отображение проекции.
Непосредственная проверка показывает, что каждое множество уровня функции f связно.
Функция f имеет на торе один максимум pr(1/2, 0), один минимум pr(0, 1/2) и две седловые
точки, pr(0, 0) и pr(1/2, 1/2), которые лежат на множестве уровня f−1(0). Множества уровня
функции f̂(x, y) и фундаментальная область тора R2/Z2 изображены на рисунке.
4
T 2
0 1
1
Рис. 1. Множества уровня функции f̂(x, y) = sin ⇡(x � y) · sin ⇡(x + y).
Определение 2. Пусть K � объединение всех компонент множеств уровня f ,
которые содержат сингулярные точки, V = ⇡f (K). Пара (�K�R(f), V ) называется
графом Кронрода-Риба функции f .
Далее мы будем называть графом Кронрода-Риба пространство �K�R(f), подразу-
мевая при этом, что указано множество его вершин V .
Для функции f на некомпактной поверхности M2 пространство �K�R(f) может
быть устроено намного сложнее, чем в компактном случае. В частности, оно как
правило не компактно и может быть не Хаусдорфово. Например для функции f :
R2 \ {(0, 0)} ! R, f(x, y) = y, образы ⇡f
�
(�1, 0)⇥ {0}
�
и ⇡f
�
(0,1)⇥ {0}
�
компонент
множества уровня f�1(0) не отделимы в пространстве �K�R(f).
Наша цель � выделить условия, при которых пространство �K�R(f) имеет простое
строение.
Рассмотрим следующие условия.
(f.1) Компоненты множества уровня f могут содержать не более конечного коли-
чества сингулярных точек.
(f.2) Пусть K � объединение всех компонент множеств уровня f , которые содер-
жат сингулярные точки. Для любого компакта C ⇢ M2 множество f(C \ K)
конечно.
(f.3) Пусть для a 2 f(M2) точки x1, x2 2 M2 принадлежат разным компонентам
множества уровня f�1(a). Тогда найдутся открытые окрестности U1 3 x1 и
U2 3 x2, такие что для каждого b 2 f(M2) и компоненты Fb множества уровня
f�1(b) выполняется соотношение (Fb \ U1 = ?) _ (Fb \ U2 = ?).
Определение 3. Скажем, что непрерывная функция f : M2 ! R, удовлетворяю-
щая условиям (f.a) и (f.b), является K-R–простой, если она удовлетворяет также
условиям (f.1)–(f.3).
Определение 4. Пусть V0 � подмножество множества листьев Vl графа G (слу-
чай V0 = ? не исключается).
Пусть e ⇢ G � (замкнутое) ребро G, инцидентное некоторому листу из V0.
Множество e \ V0 назовем черенком. Пространство G0 = G \ V0 называется топо-
логическим графом с черенками.
В данной статье нами доказана следующая теорема.
Пространство ΓK−R(f) гомеоморфно отрезку, πf (f−1(0)) является его внутренней точкой.
Если считать вершинами образы πf (f−1(−1)), πf (f−1(0)), πf (f−1(1)) сингулярных компонент
множеств уровня f, то граф Кронрода – Риба функции f является деревом, состоящим из двух
ребер.
Приведенные аргументы являются обоснованием для следующего определения.
Определение 2. Пусть K — объединение всех компонент множеств уровня f, которые
содержат сингулярные точки, V = πf (K). Пара (ΓK−R(f), V ) называется графом Кронро-
да – Риба функции f .
Далее будем называть графом Кронрода – Риба пространство ΓK−R(f), подразумевая при
этом, что указано множество его вершин V.
Для функции f на некомпактной поверхности M2 пространство ΓK−R(f) может быть
намного сложнее, чем в компактном случае. В частности, оно, как правило, не компактно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
378 Е. А. ПОЛУЛЯХ
и может не быть хаусдорфовым. Например, для функции f : R2 \ {(0, 0)} → R, f(x, y) = y,
образы πf
(
(−∞, 0)×{0}
)
и πf
(
(0,∞)×{0}
)
компонент множества уровня f−1(0) не отделимы
в пространстве ΓK−R(f).
Наша цель — выделить условия, при которых пространство ΓK−R(f) имеет простое стро-
ение.
Рассмотрим следующие условия:
(k1) Компоненты множества уровня f могут содержать не более конечного количества
сингулярных точек.
(k2) Пусть K — объединение всех компонент множеств уровня f, которые содержат сингу-
лярные точки. Для любого компакта C ⊂M2 множество f(C ∩K) конечно.
(k3) Пусть для a ∈ f(M2) точки x1, x2 ∈M2 принадлежат разным компонентам множества
уровня f−1(a). Тогда найдутся открытые окрестности U1 3 x1 и U2 3 x2 такие, что для
каждого b ∈ f(M2) и компоненты Fb множества уровня f−1(b) выполняется соотношение
(Fb ∩ U1 = ∅) ∨ (Fb ∩ U2 = ∅).
Определение 3. Скажем, что непрерывная функция f : M2 → R, удовлетворяющая услови-
ям (f1) и (f2), является K-R-простой, если она удовлетворяет также условиям (k1) – (k3).
Определение 4. Пусть V0 — подмножество множества листьев Vl графа G (случай V0 =
= ∅ не исключается).
Пусть e ⊂ G — (замкнутое) ребро G, инцидентное некоторому листу из V0. Множество
e \ V0 назовем черенком. Пространство G0 = G \ V0 называется топологическим графом с
черенками.
В данной статье будет доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть непрерывная функция f, удовлетворяющая условиям (f1) и (f2), является
K-R-простой.
Тогда пространство ΓK−R(f) является графом с черенками.
Множество вершин графа ΓK−R(f) совпадает с образом множества K сингулярных эле-
ментов разбиения F.
Замкнутые ребра ΓK−R(f) являются образами замыканий компонент дополнения M2 \K.
Черенки являются образами замыканий компонент дополнения M2 \K, имеющих связную
границу.
1.1. Случай гладких функций с изолированными особыми точками. Пусть f — гладкая
функция на M2 с изолированными критическими точками.
Если x ∈ M2 — регулярная точка функции f, то по теореме о ранге, которая является
следствием из теоремы о неявной функции (см. [6]), существует диффеоморфизм некоторой
окрестности Ux точки x на окрестность начала координат в R2, который отображает компо-
ненты пересечения множеств уровня f с Ux в множества уровня координатной проекции π1 :
R2 → R, π1 : (x1, x2) 7→ x1.
Известна следующая теорема.
Теорема 2 [7, 8]. Для каждой изолированной критической точки x0 (кроме локальных ми-
нимумов и максимумов) функции f ∈ C3(M2,R) существует окрестность, в которой функция
топологически сопряжена с функцией Re zk для некоторого k ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 379
Согласно этой теореме и теореме о ранге f удовлетворяет условиям (f1) и (f2). Таким
образом, для функции f ∈ C3(M2,R) справедлив аналог теоремы 1.
Замечание 1. Рассмотрим функцию f(x1, x2) = x31 + x1x
2
2 = x1(x
2
1 + x22). В начале коор-
динат она имеет изолированную особую точку, но при этом точка 0 не является ни локальным
экстремумом, ни точкой ветвления. Следовательно, по теореме 2 в особой точке 0 для данной
функции имеем k = 1.
Итак, существуют изолированные особые точки гладких функций, которые не являются
сингулярными в смысле определения 1. В силу теоремы 1, если компонента множества уровня
такой точки не содержит других сингулярных точек, то ее образ в графе Кронрода – Риба,
согласно определению 2, не является вершиной.
Замечание 2. Если изолированная особая точка гладкой функции не является сингулярной
в смысле определения 1, то топологически структура множеств уровня функции в окрестности
этой точки ничем не отличается от аналогичной структуры в окрестности регулярной точки.
Однако, с точки зрения гладкой структуры, такая особая точка не является регулярной.
Возможно, в зависимости от целей исследования для случая гладкой функции правильнее
считать вершинами графа Кронрода – Риба f все ее особые точки (точки, где grad f = 0).
Далее будем обозначать через A и FrA замыкание и границу множества A соответственно.
2. Свойства K-R-простых функций. Пусть f : M2 → R — непрерывная K-R-простая
функция, F0 и F — разбиения плоскости на подмножества линий уровня f, определенные
выше.
Пусть α : R→M2 — простая непрерывная кривая. Обозначим
L′ =
⋂
b′>0
α({t ∈ R | t < −b′}),
L′′ =
⋂
b′′>0
α({t ∈ R | t > b′′}).
Назовем пересечение
L =
⋂
a>0
α(R \ [−a, a]) = L′ ∪ L′′
предельным множеством кривой α. Другими словами, можно сказать, что предельное множест-
во состоит из предельных точек последовательностей вида {α(τi)}i∈N таких, что |τi| → ∞ при
i→∞.
Замечание 3. Каждое множество α([−a, a]), a > 0, является компактом как образ компакта
[−a, a] при непрерывном отображении α в хаусдорфово пространство M2. Поэтому
L ∪ α(R) =
⋂
a>0
(
α(R \ [−a, a]) ∪ α([−a, a])
)
= α(R).
Предложение 1. Пусть любая точка множества L имеет сколь угодно малую окрест-
ность такую, что α(R) пересекается с границей этой окрестности не более чем в конечном
числе точек.
Тогда каждое из множеств L′ и L′′ содержит не более одной точки.
Доказательство. Пусть L′ 6= ∅. Тогда найдется x ∈ L′. Используя то, что пространство
M2 удовлетворяет первой аксиоме счетности, можно выбрать последовательность {Uk}k∈N
окрестностей точки x, удовлетворяющих следующим условиям:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
380 Е. А. ПОЛУЛЯХ
(1) α(R) пересекается с границей Uk не более чем в конечном числе точек для каждого
k ∈ N;
(2) Uk+1 ⊂ Uk, k ∈ N;
(3)
⋂
k∈N Uk = {x}.
Из условий (2) и (3) следует, что
⋂
k∈N Uk = {x}.
Предположим, что FrUk ∩ α(R) 6= ∅. Пусть FrUk ∩ α(R) = {τk1 , . . . , τkn(k)}. Обозначим
tk = min(τk1 , . . . , τ
k
n(k)) и Ak = α({t ∈ R | t < tk}).
Пусть Ak = α(R), если FrUk ∩ α(R) = ∅.
По построению Ak не пусто и Ak ∩FrUk = ∅. Множество Ak является связным, как образ
связного множества под действием непрерывного отображения α. Поэтому либо Ak ⊂ Uk, либо
Ak ∩ Uk = ∅.
Ясно, что L′ ⊂ Ak, следовательно, x ∈ Ak и Ak ∩Uk 6= ∅. Таким образом, Ak ⊂ Uk, k ∈ N.
Итак,
L′ ⊂
⋂
k∈N
Ak ⊂
⋂
k∈N
Uk = {x}.
Для множества L′′ рассуждения аналогичны.
Предложение 1 доказано.
Легко видеть, что определение предельного множества не зависит от выбора параметриза-
ции простой непрерывной кривой. Таким образом, можно говорить о предельном множестве
для множества α(R).
Лемма 1. Регулярные слои F0 являются вложенными в M2 окружностями или открыты-
ми интервалами.
Если слой гомеоморфен интервалу, то каждое из подмножеств L′ и L′′ его предельного
множества либо пусто, либо является точкой ветвления.
Доказательство. В силу определения 1 регулярные слои F0 являются вложенными в M2
одномерными многообразиями без края (либо окружностями, либо интервалами).
Пусть элемент разбиения F ∈ F0, принадлежащий множеству уровня f−1(c), гомеоморфен
интервалу. Зафиксируем вложение α : R→M2, α(R) = F. Пусть L′ и L′′ — те же, что и выше.
Заметим, что L′ ∪ L′′ ⊂ F . Из непрерывности f следует, что L′ ∪ L′′ ⊂ f−1(c).
Пусть x — регулярная точка множества уровня f−1(c). Согласно определению 1 точка x
имеет окрестность U, все точки которой являются регулярными, такую, что множество A =
= U ∩ f−1(c) является гомеоморфным образом интервала (в частности, оно связно). Поэтому
множество A является подмножеством одного из элементов разбиения F0. Пусть A ⊂ F ′,
F ′ ∈ F0.
Если F ′ 6= F, то F ∩ U = ∅. Тогда F ∩ U = ∅ и x /∈ L′ ∪ L′′.
Пусть F ′ = F. Тогда A ⊂ α(R), в частности x = α(t0) для некоторого t0 ∈ R.
Множество α−1(U) — открытая окрестность точки t0 в R. Следовательно, найдутся t1, t2 ∈
∈ R такие, что t1 < t0 < t2 и интервал Q = (t1, t2) содержится в α−1(U). Поскольку отображе-
ние α является вложением, множество α(Q) — открытая окрестность точки x в пространстве
α(R) в индуцированной с M2 топологии. Следовательно, существует открытая окрестность V
точки x в M2, для которой V ∩ α(R) = α(Q). Тогда справедливо равенство
V ∩
(
α({t ∈ R | t < t1}) ∪ α({t ∈ R | t > t2})
)
= ∅.
Из этого непосредственно следует, что x /∈ L′ ∪ L′′.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 381
Итак, мы доказали, что регулярная точка множества уровня f−1(c) не может принадлежать
предельному множеству слоя F ∈ F0.
Пусть x — сингулярная точка множества уровня f−1(c). Тогда x является либо локальным
экстремумом, либо точкой ветвления f.
Согласно условию (f1) множество локальных экстремумов f дискретно. Поэтому любая
точка локального экстремума является изолированной точкой множества уровня f и не может
принадлежать предельному множеству.
Итак, предельное множество слоя F ∈ F0 состоит только из точек ветвления.
Пусть x — точка ветвления. Согласно определению 1 точка x имеет окрестность Ux, в
которой f топологически сопряжена с функцией Re zn в окрестности нуля для некоторого
n > 1. Легко видеть, что существуют сколь угодно малые окрестности точки x такие, что их
граница пересекается с множеством уровня f−1(c) ровно в 2n точках. Следовательно, границы
таких окрестностей пересекаются с F = α(R) ⊂ f−1(c) в конечном числе точек и условия
предложения 1 выполнены.
Лемма 1 доказана.
Следствие 1. Регулярные элементы разбиения F являются либо вложенными вM2 окруж-
ностями, либо интервалами.
Если регулярный элемент разбиения гомеоморфен интервалу, то его предельное множество
пусто.
Следствие 2. Пусть F — регулярный элемент разбиения F0. Предположим, что либо
множество F гомеоморфно окружности, либо F гомеоморфно интервалу и его предельное
множество пусто.
Тогда множество F является регулярным элементом разбиения F.
Предложение 2. Пусть подмножество R регулярного элемента F разбиения F0 гомео-
морфно отрезку.
Существуют открытая окрестностьN множестваR и гомеоморфизмы h : N → [−1, 1]2,
h′ : R→ R такие, что :
(1) 0 ∈ h(R) ⊂ {0} × (−1, 1);
(2) h′ ◦ f = pr1 ◦h, где pr1 : [−1, 1]2 → R, pr1(x1, x2) = x1 — координатная проекция.
Доказательство. Пусть G∗ — поверхность M2 без множества локальных экстремумов f.
Из свойств (f1) и (f2) следует, что G∗ является двумерной поверхностью и все особые слои F0
на G∗ являются точками ветвления.
Поэтому можно применить лемму 3.1 из [9], которая утверждает, что существуют открытая
окрестность N множества R и гомеоморфизм h : N → [−1, 1]2 такие, что 0 ∈ h(R) ⊂ {0} ×
×(−1, 1), и разбиение множества N, элементами которого являются кривые h−1({c}× [−1, 1]),
c ∈ [−1, 1], подчинено разбиению F0 (каждая кривая h−1({c}× [−1, 1]) содержится в некотором
элементе разбиения F0).
Ясно, что каждое множество h−1({c} × [−1, 1]) является подмножеством некоторого мно-
жества уровня f. Поэтому (см. [1]) существует непрерывное фактор-отображение g : [−1, 1]→
→ R, которое замыкает коммутативную диаграмму
[−1, 1]2
h−1
−−−−→ N
pr1
y
yf
[−1, 1] −−−−→
g
R .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
382 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Докажем инъективность отображения g.
Пусть для t1 < t2 выполняется равенство g(t1) = g(t2) = c. Обозначим W = (t1, t2) ×
× (−1, 1) ⊂ [−1, 1]2, V = h−1(W ).
Если мы предположим, что g(t) = c для всех t ∈ (t1, t2), то получим равенство c = f(x),
x ∈ V. Однако согласно свойству (f1) функция f не может быть постоянной на открытом
множестве V. Таким образом, g(t) 6= c для некоторого t ∈ (t1, t2).
Непрерывная функция g на компакте [t1, t2] достигает своих максимального и минимального
значений. Мы уже проверили, что одно из них отличается от c. Без ограничения общности
рассуждений будем считать, что g(t0) = max{g(t) | t ∈ [t1, t2]} 6= c для некоторого t0 ∈ (t1, t2).
Обозначим w0 = (t0, 0) ∈W, x0 = h−1(w0) ∈ V. По построению g◦pr1(w) ≤ g◦pr1(w0) для
всех w ∈W. Следовательно, f(x) ≤ f(x0) для каждого x ∈ V и x0 является точкой локального
максимума f. Однако V ⊂ N ⊂ G∗ и G∗ не содержит локальных экстремумов f.
Полученное противоречие доказывает строгую монотонность g. Без ограничения общности
будем считать g возрастающей функцией. Образ g является компактным подмножеством R.
Пусть g([−1, 1]) = [a1, a2]. Продолжим g на R следующим образом:
ĝ(t) =
a1 + (t+ 1) при t < −1,
g(t) при t ∈ [−1, 1],
a2 + (t− 1) при t > 1.
Легко видеть, что ĝ : R→ R является гомеоморфизмом.
Пусть h′ = ĝ−1 : R → R. Поскольку по построению f(N) = g([−1, 1]) = [a1, a2] и
ĝ−1|[a1,a2] = g−1|[a1,a2], то h′ ◦ f = pr1 ◦h.
Предложение 2 доказано.
Предложение 3. Для любого открытого U ⊂M2 множество
W (U) = {F ∈ F0 | F ∩ U 6= ∅}
открыто в M2.
Доказательство. Пусть x ∈W (U) ∩ F, F ∈ F0. Тогда F ∩ U 6= ∅.
Если F — сингулярный элемент F0, то F = {x} и x ∈ U ⊂ IntW (U).
Пусть F — регулярный элемент F0. Если x ∈ U, то x — внутренняя точка множества W (U).
Предположим, что x /∈ U. Зафиксируем x′ ∈ U ∩ F. Согласно лемме 1 F является вло-
женным в M2 интервалом или окружностью. Тогда существует подмножество R ⊂ F, которое
гомеоморфно отрезку и содержит точки x и x′.
Пусть открытая окрестность N множества R и гомеоморфизмы h и h′ удовлетворяют
предложению 2. Легко видеть, что каждое множество h−1({c} × (−1, 1)), c ∈ (−1, 1), связ-
но, принадлежит некоторому множеству уровня f и состоит из регулярных точек (в частно-
сти, R ⊂ h−1({0} × (−1, 1)) ⊂ F ). Поэтому из включения h−1(w) ∈ N ∩ U следует N ∩
∩ h−1(pr−11 (pr1(w))) ⊂W (U).
Координатная проекция pr1 является открытым отображением, поэтому множество N ∩
∩ ((pr1 ◦h)−11 (pr1 ◦h(N ∩ U))) открыто в M2, содержит R (а вместе с ним и x) и является
подмножеством W (U).
Предложение 3 доказано.
Предложение 4. Пространство ΓK−R хаусдорфово.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 383
Доказательство. Пусть F ′, F ′′ ∈ F, F ′ ⊂ f−1(c′), F ′′ ⊂ f−1(c′′). Предположим, что
c′ 6= c′′. Тогда множества πf (f−1({c | c < (c′ + c′′)/2})) и πf (f−1({c | c > (c′ + c′′)/2}))
являются непересекающимися открытыми окрестностями точек πf (F ′) и πf (F ′′) пространства
ΓK−R.
Пусть F ′ и F ′′ — две разные компоненты множества уровня f−1(c).
Из условия (f1) следует, что локальные экстремумы являются изолированными точками
множества уровня f.
Пусть F ′ — регулярный элемент разбиения F или точка локального экстремума f. Зафик-
сируем любую точку x1 ∈ F ′.
Если F ′ — сингулярный элемент F, не сводящийся к точке локального экстремума, он
содержит хотя бы одну точку ветвления f. Пусть x1, . . . , xm — все точки ветвления f, лежащие
в множестве F ′ (согласно условию (k1) их конечное число).
Аналогичным образом выберем конечный набор точек y1, . . . , yn ∈ F ′′.
Зафиксируем открытое множество Q ⊂ M2 с компактным замыканием такое, что x1, . . .
. . . , xm, y1, . . . , yn ∈ Q. Согласно условию (k2) найдется такое ε > 0, что множество Q ∩
∩ f−1((c − ε, c) ∪ (c, c + ε)) пересекается только с регулярными элементами разбиения F. Из
непрерывности f следует, что f−1((c − ε, c + ε)) является открытой окрестностью множества
уровня f−1(c).
Обозначим Q̂ = Q ∩ f−1((c− ε, c+ ε)). Ясно, что x1, . . . , xm, y1, . . . , yn ∈ Q̂.
Пусть U ′ij и U ′′ij — окрестности точек xi и yj из условия (k3), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.
Уменьшая при необходимости эти окрестности, можно считать, что U ′ij , U
′′
ij ⊂ Q̂. Аналогично,
используя условие (f2), окрестности U ′ij и U ′′ij можно уменьшить так, чтобы выполнялись
соотношения
U ′ij ∩ f−1(c) ⊂ F ′, i = 1, . . . ,m,
U ′′ij ∩ f−1(c) ⊂ F ′′, j = 1, . . . , n.
(1)
Для каждого i = 1, . . . ,m множество V ′i =
⋂n
j=1 U
′
ij является окрестностью точки xi.
Аналогично для каждого j = 1, . . . , n множество V ′′j =
⋂m
i=1 U
′′
ij является окрестностью точки
yj . При этом для всех F ∈ F выполняются соотношения
(F ∩ V ′i = ∅) ∨ (F ∩ V ′′j = ∅), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. (2)
Рассмотрим множества
W ′ =
{
F ∈ F
∣∣∣∣ F ∩
n⋃
i=1
V ′i 6= ∅
}
,
W ′′ =
F ∈ F
∣∣∣∣ F ∩
n⋃
j=1
V ′′j 6= ∅
.
Очевидно, что F ′ ⊂ W ′, F ′′ ⊂ W ′′, π−1f (πf (W ′)) = W ′ и π−1f (πf (W ′′)) = W ′′. Из соотноше-
ний (2) следует, что W ′ ∩W ′′ = ∅. Поэтому πf (W ′) ∩ πf (W ′′) = ∅.
Для завершения доказательства достаточно показать, что множества W ′ и W ′′ открыты в
M2. Тогда по определению фактор-топологии (см. [1]) множества πf (W ′) и πf (W ′′) будут тоже
открытыми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
384 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Рассмотрим множества
W̃ ′ =
{
F0 ∈ F0
∣∣∣∣ F0 ∩
n⋃
i=1
V ′i 6= ∅
}
,
W̃ ′′ =
{
F0 ∈ F0
∣∣∣∣ F0 ∩
n⋃
j=1
V ′′j 6= ∅
}
.
Согласно предложению 3 они открыты в M2. Поскольку U ′ij , U
′′
ij ⊂ Q̂, то W ′,W ′′, W̃ ′, W̃ ′′ ⊂
⊂ f−1((c− ε, c+ ε)), причем множества W ′ ∩ f−1((c− ε, c)∪ (c, c+ ε)) и W ′′ ∩ f−1((c− ε, c)∪
∪ (c, c+ ε)) состоят из регулярных элементов разбиения F (которые, в свою очередь, являются
регулярными элементами разбиения F0).
Из соотношений (1) следует, что
W ′ ∩ f−1(c) = F ′. (3)
Если F ′ — регулярный элемент разбиения F или точка локального экстремума f, то F ′ ⊂ W̃ ′.
Тогда множество W ′ = W̃ ′ открыто в M2.
Пусть F ′ — сингулярный элемент разбиения F, который не сводится к точке локального
экстремума. Тогда все сингулярные элементы разбиения F0, которые содержатся в F ′, являются
точками ветвления. Это точки x1, . . . , xm.
Согласно лемме 1 и следствию 2 все регулярные элементы F0, которые содержатся в F ′,
гомеоморфны интервалу и имеют непустые предельные множества. Если регулярный элемент
F0 ∈ F0 лежит в F ′, то его предельное множество L содержит одну из точек x1, . . . , xm. Из
замечания 3 получим соотношение
F0 ∩
m⋃
i=1
V ′i 6= ∅.
Из этого следует, что F ′ ⊂ W̃ ′ ∩ f−1(c). А так как W̃ ′ ⊂ W ′, то W̃ ′ = W ′ и множество W ′
открыто в M2.
Для множества W ′′ рассуждения аналогичны.
Предложение 4 доказано.
Напомним (см. [1]), что множество A ⊂ M2 называется насыщенным множеством отно-
сительно разбиения F, если для любого F ∈ F из неравенства F ∩ A 6= ∅ следует включение
F ⊂ A. Другими словами, можно сказать, что A — насыщенное множество относительно
разбиения F, если A = π−1f (πf (A)).
При доказательстве предложения 4 мы построили специфическую окрестность компоненты
множества уровня f (см. (3)). Фактически доказано следующее предложение.
Предложение 5. Для любой компоненты F множества уровня f−1(c) существует насы-
щенная относительно разбиения F окрестность W такая, что W ∩ f−1(c) = F.
2.1. Компоненты дополнения M2 \ K и их проекции под действием πf . Напомним,
что K — объединение всех сингулярных элементов разбиения F. Пусть Q — компонента мно-
жества M2 \K.
Предложение 6. Множество Q открыто в M2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 385
Доказательство. Докажем сначала, что множество K замкнуто.
Напомним (см. [10]), что топологическое пространствоX называется компактно порожден-
ным, если подмножество A ⊂ X замкнуто в X в случае, когда для каждого компактного
подпространства C ⊂ X замкнуто пересечение A∩C. Известно [10], что локально компактное
пространство является компактно порожденным. Таким образом,M2 — компактно порожденное
пространство.
Пусть C ⊂ M2 — компактное множество. По условию (k2) множество f(K ∩ C) конечно.
Пусть f(K ∩ C) = {c1, . . . , cm}.
Согласно предложению 5 каждая компонента произвольного множества уровня f является
его открыто-замкнутым подмножеством. Множества уровня непрерывной функции f замкнуты,
поэтому для любого множества уровня объединение произвольного семейства его компонент
является замкнутым множеством. Таким образом, все множества f−1(ci) ∩ K, i = 1, . . . ,m,
замкнуты. Тогда и множество
K ∩ C = K ∩ C ∩
m⋃
i=1
f−1(ci)
замкнуто.
Из произвольности выбора компакта C ⊂M2 следует, что множество K замкнуто в M2.
Пространство M2 локально связно. Поэтому (см. [5]) компонента Q открытого множества
M2 \K сама является открытым множеством.
Предложение 6 доказано.
Предложение 7. Пусть α1, α2 : [0, 1] → Q — непрерывные кривые, имеющие следующие
свойства:
(1) α1(0), α2(0) ∈ F0 для некоторого регулярного элемента F0 ∈ F;
(2) f ◦ α1(1) = f ◦ α2(1);
(3) функции f ◦ α1, f ◦ α2 : [0, 1]→ R строго монотонны;
(4) α1(t), α2(t) ∈ Q для всех t ∈ [0, 1).
Тогда для любых τ1, τ2 ∈ [0, 1] из равенства f ◦ α1(τ1) = f ◦ α2(τ2) следует, что точки
α1(τ1) и α2(τ2) принадлежат одной компоненте множества уровня f.
Доказательство. Обозначим x1 = α1(0), x2 = α2(0), y1 = α1(1), y2 = α2(1), c0 =
= f(x1) = f(x2), c1 = f(y1) = f(y2). Не ограничивая общности рассуждений будем считать,
что c0 < c1.
Изменим для удобства параметризацию кривой α2.
Функции f ◦ α1 и f ◦ α2 строго монотонны и f ◦ α1(k) = f ◦ α2(k), k = 0, 1, поэтому
f ◦ α1([0, 1]) = f ◦ α2([0, 1]) = [c0, c1] и определено непрерывное отображение γ = (f ◦
◦ α2)
−1 ◦ f ◦ α1 : [0, 1] → [0, 1]. При этом γ биективно и γ(0) = 0, γ(1) = 1. Заменив α2 на
α′2 = α2 ◦ γ : [0, 1] → Q, получим пару непрерывных кривых α1 и α′2, которые удовлетворяют
всем условиям предложения, а также следующему условию:
f ◦ α1(t) = f ◦ α′2(t) для всех t ∈ [0, 1].
Далее вместо α′2 будем писать α2, подразумевая, что это условие выполняется.
Из строгой монотонности функций f ◦ α1 и f ◦ α2 заключаем, что f ◦ α1(τ1) 6= f ◦ α2(τ2)
при τ1 6= τ2.
Рассмотрим множество
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
386 Е. А. ПОЛУЛЯХ
T =
{
t ∈ [0, 1] | ∀τ ∈ [0, t] ∃Fτ ∈ F : α1(τ), α2(τ) ∈ Fτ
}
.
Для завершения доказательства достаточно показать, что T = [0, 1].
Очевидно, 0 ∈ T, так как α1(0), α2(0) ∈ F0.
Проверим, что множество T открыто в пространстве [0, 1].
Пусть a ∈ T. Тогда по определению [0, a] ⊂ T. Если a = 1, то T = [0, 1].
Предположим, что a < 1. Тогда α1(a), α2(a) ∈ Fa для некоторого регулярного элемента
Fa ∈ F.
Если α1(a) = α2(a), то вследствие условия (f2) найдется окрестность U точки α1(a) в
M2 такая, что на U функция f топологически сопряжена с функцией Re z в окрестности
(−1, 1) × (−1, 1) начала координат. Легко видеть, что все непустые пересечения множеств
уровня f с U являются связными. Вследствие непрерывности α1 и α2 существует ε > 0 такое,
что α1(τ), α2(τ) ∈ U при всех τ ∈ [a, a + ε). Тогда точки α1(τ) и α2(τ) принадлежат одной
компоненте связности множества уровня f при каждом τ ∈ [a, a+ ε) и [0, a+ ε) ⊂ T.
Пусть α1(a) 6= α2(a). Поскольку элемент Fa ∈ F, содержащий точки α1(a) и α2(a), регу-
лярен, он гомеоморфен либо окружности, либо интервалу (см. следствие 1). В любом случае
найдется подмножество R ∈ Fa, гомеоморфное отрезку, которое содержит точки α1(a) и α2(a).
Выберем окрестность N ⊃ R, N ⊂ Q, которая удовлетворяет предложению 2. Как и выше, все
непустые пересечения множеств уровня f с N являются связными. Так как α1(a), α2(a) ∈ R,
найдется ε > 0 такое, что α1(τ), α2(τ) ∈ N при всех τ ∈ [a, a + ε). Таким образом, и в этом
случае [0, a+ ε) ⊂ T и множество T открыто в [0, 1].
Проверим, что множество T замкнуто.
Пусть b ∈ T . Из a ∈ T следует, что [0, a] ⊂ T. Поэтому [0, b) ⊂ T. Выберем возрастающую
последовательность {tk ∈ [0, 1]}k∈N такую, что tk → b при k →∞. Поскольку tk ∈ T при всех
k ∈ N, для каждого k найдется Fk ∈ F, содержащее точки α1(tk), α2(tk).
Кривые α1 и α2 непрерывны, поэтому для любой пары окрестностей V1 и V2 точек α1(b)
и α2(b) соответственно существует m ∈ N, для которого α1(tm) ∈ V1 и α2(tm) ∈ V2. Тогда
(Fm ∩V1 6= ∅)∧ (Fm ∩V2 6= ∅). По построению f ◦α1(b) = f ◦α2(b). Поэтому из условия (k3)
заключаем, что α1(b), α2(b) ∈ Fb для некоторого Fb ∈ F. Таким образом, b ∈ T и множество T
замкнуто.
Итак, T — непустое открыто-замкнутое подмножество связного пространства [0, 1]. Следо-
вательно, T = [0, 1].
Предложение 7 доказано.
Лемма 2. Пусть точки x, y ∈ Q принадлежат различным множествам уровня f. Тогда x
и y можно соединить в Q простой непрерывной кривой αx,y : [0, 1] → M2 так, что функция
f ◦ αx,y : [0, 1]→ R строго монотонна.
Доказательство. Открытое связное подмножество Q локально линейно связного про-
странства M2 является линейно связным (см. [5]). Поэтому существует простая непрерывная
кривая α : [0, 1]→ Q такая, что α(0) = x, α(1) = y.
Согласно свойству (f2) функции f для каждого t ∈ [0, 1] найдутся окрестность Ut ⊂ Q
точки α(t) и гомеоморфизмы ht : Ut → (−1, 1)× (−1, 1), h′t : R→ R такие, что pr1 ◦ht = h′t ◦f.
Из открытого покрытия {α−1(Ut)}t∈[0,1] отрезка [0, 1] выберем конечное подпокрытие.
Пусть оно состоит из прообразов множеств Uk = Utk , k = 1, . . . ,m. Пусть hk : Uk →
→ (−1, 1)× (−1, 1), h′k : R → R, — соответствующие гомеоморфизмы, для которых pr1 ◦hk =
= h′k ◦ f, k = 1, . . . ,m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 387
Найдем число Лебега d покрытия {α−1(Uk)}mk=1. Зафиксируем натуральное n > 1/d. Набор
точек τr = r/n, r = 0, . . . , n, имеет такое свойство: для каждого r = 1, . . . , n существует
k(r) ∈ {1, . . . ,m} такое, что τr−1, τr ∈ α−1(Uk(r)). Обозначим xr = α(τr). Тогда xr−1, xr ∈
∈ Uk(r), r = 1, . . . , n.
Для каждого r = 1, . . . , n соединим точки hk(r)(xr−1), hk(r)(xr) ∈ (−1, 1)2 прямой линией
µr : [0, 1]→ (−1, 1)2, µr(t) = thk(r)(xr−1) + (1− t)hk(r)(xr), t ∈ [0, 1]. Очевидно, что функция
pr1 ◦µr либо строго монотонна, либо постоянна. А так как отображение h′r : R → R является
гомеоморфизмом, то и функция (h′r)
−1 ◦ pr1 ◦µr имеет это свойство.
Обозначим α1
r = h−1k(r) ◦ µr : [0, 1] → Uk(r). Ясно, что α1
r — простая непрерывная кривая,
соединяющая точки xr−1 и xr. Из равенств
(h′k(r))
−1 ◦ pr1 ◦µr = (h′k(r))
−1 ◦ h′k(r) ◦ f ◦ (h−1k(r) ◦ µr) = f ◦ α1
r
следует, что функция f ◦ α1
r либо постоянна, либо строго монотонна.
Определим α1 : [0, 1]→ Q следующим образом:
α1(t) = α1
r(tn− r + 1), если t ∈ [(r − 1)/n, r/n].
По построению α1
r(1) = α1
r+1(0) = xr, r = 1, . . . , n− 1, поэтому это определение корректно и
кривая α1 непрерывна. Заметим, что α1
r может иметь самопересечения.
Итак, имеется конечное число максимальных неперекрывающихся отрезков, на которых
функция f ◦ α1 строго монотонна, и конечное число отрезков, на которых она постоянна. С
помощью индукции изменим кривую α1 так, чтобы остались отрезки строгой монотонности
только одного типа (либо возрастания, либо убывания f ).
Шаг индукции. Пусть для непрерывной кривой αk : [0, 1] → Q, αk(0) = x, αk(1) = y,
отрезок [0, 1] можно представить в виде суммы конечного числа неперекрывающихся отрезков,
каждый из которых является либо максимальным отрезком строгой монотонности функции
f ◦ αk, либо максимальным отрезком, на котором она постоянна.
Предположим, что найдутся точки 0 ≤ t′1 < t′′1 ≤ t′2 < t′′2 ≤ 1 такие, что при условии t′′1 6= t′2
отрезок [t′′1, t
′
2] является максимальным отрезком постоянства f ◦ αk, а отрезки [t′1, t
′′
1] и [t′2, t
′′
2]
являются максимальными отрезками строгой монотонности разных типов. Не ограничивая
общности будем считать, что на первом из них f ◦ αk возрастает, а на втором убывает. Тогда
f ◦ αk(t′1) < f ◦ αk(t′′1), f ◦ αk(t′′1) = f ◦ αk(t′2) и f ◦ αk(t′2) > f ◦ αk(t′′2).
Пусть f ◦αk(t′1) ≤ f ◦αk(t′′2) (случай f ◦αk(t′1) ≥ f ◦αk(t′′2) рассматривается аналогично). По
теореме о промежуточном значении существует t0 ∈ [t′1, t
′′
1), для которого f◦αk(t0) = f◦αk(t′′2).
По предположению функция f ◦ αk постоянна на отрезке [t′′1, t
′
2], поэтому точки αk(t′′1)
и αk(t′2) принадлежат одной компоненте связности множества уровня функции f и можно
применить предложение 7 к непрерывным кривым
β1(t) = αk((1− t)t′′1 + tt0),
β2(t) = αk((1− t)t′2 + tt′′2), t ∈ [0, 1].
Следовательно, точки β1(1) = αk(t0) и β2(1) = αk(t′′2) принадлежат одной компоненте связно-
сти F множества уровня функции f. Поскольку носитель кривой αk принадлежит Q, элемент
F ∈ F является регулярным и существует непрерывная кривая β : [0, 1] → F, β(0) = αk(t0),
β(1) = αk(t′′2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
388 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Рассмотрим непрерывную кривую αk+1 : [0, 1]→ Q,
αk+1(t) =
β
(
t− t0
t′′2 − t0
)
, если t ∈ [t0, t
′′
2],
αk(t) — в противном случае.
Легко видеть, что отрезок [0, 1] можно представить в виде суммы конечного числа непере-
крывающихся отрезков, каждый из которых является либо максимальным отрезком строгой
монотонности функции f ◦ αk+1, либо максимальным отрезком, на котором она постоянна.
Вместо двух отрезков строгой монотонности [t′1, t
′′
1] и [t′2, t
′′
2] функции f ◦ αk новая функция
f ◦αk+1 имеет один отрезок [t′1, t0] (или ни одного, если t′1 = t0). Все остальные максимальные
отрезки строгой монотонности функций f ◦ αk и f ◦ αk+1 совпадают.
Таким образом, общее количество максимальных отрезков строгой монотонности функции
f ◦ αk+1 меньше, чем функции f ◦ αk. Следовательно, стартуя с непрерывной кривой α1, мы
можем применить шаг индукции лишь конечное число раз.
Итак, существует p ∈ N такое, что к кривой αp шаг индукции уже неприменим. Легко
видеть, что на всех максимальных отрезках строгой монотонности f ◦ αp имеет монотонность
одного типа. Без ограничения общности можно считать, что на каждом из них f ◦αp возрастает.
По построению существует такое разбиение 0 = t0 < t1 < . . . < tl = 1 отрезка [0, 1], что
f ◦ αp либо постоянна, либо строго возрастает на каждом [tr−1, tr], r = 1, . . . , l. При этом для
каждой пары соседних отрезков на одном из них функция постоянна, а на другом возрастает.
Зафиксируем tr такое, что на отрезке [tr−1, tr] функция f ◦αp постоянна. Пусть [tr−1, tr] ⊂
⊂ (f ◦ αp)−1(cr). Будем считать, что tr−1 6= 0 и tr 6= 1. Связное множество αp([tr−1, tr]) ⊂ Q
принадлежит некоторому множеству уровня функции f, поэтому найдется регулярный элемент
Fr ∈ F, который содержит αp([tr−1, tr]).
Согласно лемме 1 Fr является вложенным в M2 интервалом или окружностью. Тогда, если
αp(tr−1) 6= αp(tr), существует подмножество R ⊂ Fr ⊂ Q, которое гомеоморфно отрезку и со-
держит точки αp(tr−1) и αp(tr). Пусть открытая окрестностьN множества R и гомеоморфизмы
h и h′ удовлетворяют предложению 2.
Если αp(tr−1) = αp(tr), то в качестве N можно взять окрестность точки αp(tr), в которой
f топологически сопряжена с Re z на (−1, 1)2.
Не ограничивая общности рассуждений можем считать, что N ⊂ Q.
Используя непрерывность кривой αp, найдем точки t′ ∈ (tr−2, tr−1) и t′′ ∈ (tr, tr+1) такие,
что [t′, t′′] ⊂ (αp)−1(N). Пусть f ◦ αp(t′) = c′, f ◦ αp(t′′) = c′′. В точках t′ и t′′ неубывающая
функция f ◦ αp строго возрастает, поэтому c′ < cr < c′′, [0, c′] = (f ◦ αp)−1({c ∈ R | c ≤ c′}),
[c′′, 1] = (f ◦ αp)−1({c ∈ R | c′′ ≤ c}).
Поскольку h ◦ αp(tr) ∈ {0} × (−1, 1) ⊂ N, то h′(cr) = h′ ◦ f ◦ αp(tr) = pr1 ◦h ◦ αp(tr) = 0.
Из монотонности гомеоморфизма h′ следует, что числа h′(c′) и h′(c′′) имеют разные знаки. Без
ограничения общности можем считать, что h′(c′) < 0 < h′(c′′).
Соединим точки u′ = h ◦ αp(t′), u′′ = h ◦ αp(t′′) в (−1, 1)2 прямой линией µ : [0, 1] →
→ (−1, 1)2, µ(t) = tu′′+ (1− t)u′, t ∈ [0, 1]. Так как pr1 ◦µ(0) = pr1(u
′) = pr1 ◦h ◦αp(t′) = h′ ◦
◦ f ◦ αp(t′) = h′(c′) и pr1 ◦µ(1) = h′(c′′), функция pr1 ◦µ строго монотонна и pr1 ◦µ([0, 1]) =
= [h′(c′), h′(c′′)].
Рассмотрим простую непрерывную кривую βr = h−1 ◦ µ : [0, 1] → N, которая соединяет
точки αp(t′) и αp(t′′). Из строгой монотонности функций h′ и h′◦f ◦βr = h′◦f ◦h−1◦µ = pr1 ◦µ
следует строгая монотонность функции f ◦ βr.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 389
Заменим кривую αp на α̂ : [0, 1]→ Q,
α̂(t) =
βr
(
t− t′
t′′ − t′
)
, если t ∈ (t′, t′′),
αp(t) — в противном случае.
Легко видеть, что функция f ◦ α̂ строго возрастает на отрезке [tr−2, tr+1]. На остальных
отрезках [ts−1, ts] эта функция совпадает с f ◦ αp.
Если на [tr−1, tr] функция f◦αp постоянна, то одновременное выполнение равенств tr−1 = 0
и tr = 1 невозможно, так как по условию леммы f ◦ αp(0) = f(x) 6= f(y) = f ◦ αp(1). В силу
этого найдется по крайней мере один отрезок [ts−1, ts], соседний с [tr−1, tr], на котором функция
f ◦ αp строго возрастает.
Таким образом, для случаев r = 1 и r = l можно очевидным образом изменить предыдущие
рассуждения и построить кривую α̂ такую, что функция f ◦α̂ будет строго монотонна на отрезке
[t0, t2] или [tl−2, tl], а на всех остальных [ts−1, ts] эта функция совпадет с f ◦ αp.
Итак, переходя от αp к α̂, мы уменьшаем на единицу число максимальных отрезков, на
которых композиция α и f постоянна. Повторив эту процедуру конечное число раз, придем к
непрерывной кривой αx,y : [0, 1] → Q, αx,y(0) = x, αx,y(1) = y, для которой функция f ◦ αx,y
строго монотонна на [0, 1].
Поскольку функция f ◦αx,y строго монотонна по построению, кривая αx,y не может иметь
точек самопересечения и является простой непрерывной кривой.
Лемма 2 доказана.
Следствие 3. Если пересечение Q с множеством уровня f не пусто, то оно связно.
Доказательство. Пусть F1 ∪ F2 ⊂ f−1(c) ∩Q для некоторых c ∈ R, F1, F2 ∈ F. Зафикси-
руем x1 ∈ F1, x2 ∈ F2.
Так как F1 — регулярная компонента f−1(c), существует окрестность U ⊂ Q точки x1
такая, что f |U топологически сопряжена с Re z в некоторой окрестности нуля. Следовательно,
существует y ∈ U, для которого f(y) 6= f(x1).
Воспользуемся леммой 2 и соединим точку y с точками x1 и x2 в Q простыми непрерыв-
ными кривыми α1 и α2 соответственно, такими, что функции f ◦α1 и f ◦α2 строго монотонны.
По построению α1(0) = α2(0) = y. Поскольку f(x1) = f ◦ α1(1) = f ◦ α2(1) = f(x2), из
предложения 7 следует, что F1 = F2.
Следствие 3 доказано.
2.2. Замыкания компонент дополненияM2\K и их проекции под действием πf . Пусть,
как и ранее, Q — компонента множества M2 \K.
Лемма 3. Пусть точки x, y ∈ Q принадлежат различным множествам уровня f.
Тогда x и y можно соединить в Q простой непрерывной кривой αx,y : [0, 1] → M2 так,
что αx,y(t) ∈ Q для каждого t ∈ (0, 1) и функция f ◦ αx,y : [0, 1]→ R строго монотонна.
Доказательство. Если x, y ∈ Q, то доказательство сводится к применению леммы 2.
Предположим, что по крайней мере одна из точек x, y лежит в FrQ. Разобьем доказательство
на несколько шагов.
Шаг 1. Пусть x ∈ FrQ, c = f(x). Докажем, что существует непрерывная кривая β :
[0, 1]→ Q такая, что β(0) = x, β(t) ∈ Q для всех t ∈ (0, 1] и функция f ◦ β строго монотонна.
FrQ ⊂ K согласно определению Q, поэтому точка x принадлежит некоторой сингулярной
компоненте F ∈ F.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
390 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Пусть x является точкой локального экстремума f. Без ограничения общности будем счи-
тать, что f имеет в x локальный максимум. Тогда согласно условию (f1) существует открытая
окрестность U 3 x такая, что f(x′) < f(x) для каждого x′ ∈ U \ {x}.
Воспользуемся непрерывностью f, свойством (k2) этой функции и выберем U настоль-
ко малой, что U \ {x} ⊂ M2 \ K. Мы можем выбрать U связной. Тогда, как легко видеть,
U \ {x} ⊂ Q.
Выберем счетную базу вложенных окрестностей точки x так, чтобы выполнялись следую-
щие условия:
все W k ⊂ U гомеоморфны замкнутым дискам, ограниченным окружностями Sk = Fr(Wk);
W k+1 ⊂Wk, k ∈ N.
Пусть vk ∈ Sk ⊂ U, f(vk) = max{f(v) | v ∈ Sk}. Ясно, что vk → x при k → ∞. Поэтому
f(vk) → f(x). Поскольку f(vk) < f(x) при всех k ∈ N, из последовательности {vk} можно
выбрать подпоследовательность, на элементах которой значения f монотонно возрастают. Не
ограничивая общности будем считать, что f(vk) < f(vk+1), k ∈ N.
Воспользуемся леммой 2 и для каждого k ∈ N соединим точки vk и vk+1 непрерывной
кривой βk : [0, 1]→ Q, βk(0) = vk, βk(1) = vk+1, так, что функция f ◦βk строго возрастающая.
Так как f ◦ βk(t) > f(vk) при t > 0 и βk(1) = vk+1 ∈ Sk+1 ⊂ Wk, то βk(t) ∈ Wk для всех
t ∈ (0, 1]. Отсюда непосредственно следует, что βm(t) ∈Wk при любых m > k и t ∈ [0, 1].
Рассмотрим отображение β : [0, 1]→ U,
β(t) =
x при t = 0,
βk(2− 2kt) при t ∈
[
1/2k, 1/2k−1
]
.
Поскольку βk+1(0) = βk(1), k ∈ N, это определение корректно и кривая β непрерывна при
t > 0. По построению β(t) ∈Wk при t ∈ [0, 1/2k−1], k ∈ N. Так как {Wk} — база окрестностей
точки x, β непрерывна и при t = 0.
На каждом отрезке [1/2k, 1/2k−1], k ∈ N, функция f ◦β монотонно убывает, следовательно,
она монотонно убывает на [0, 1]. Осталось заметить, что β(t) ∈ U \ {x} ⊂ Q при t > 0.
Пусть теперь x ∈ FrQ не является точкой локального экстремума f. Согласно свойству (f2)
функции f существуют n ∈ N, окрестность U 3 x и гомеоморфизмы h : U → W, h′ : R → R
такие, что h(x) = 0 и h′ ◦ f = gn ◦ h. Здесь W = {z ∈ C | |z| < 1}, gn : C→ R, gn(z) = Re zn.
Воспользуемся непрерывностью f и свойством (k2) и выберем U настолько малой, что
U \ f−1(c) ⊂M2 \K. Множество f−1(c)∩U = h−1(g−1n (0)∩W ) связное и содержит точку из
K, следовательно, U ∩K = U ∩ f−1(c).
Пусть u ∈ U ∩ Q, v = h(u) ∈ W. Рассмотрим кривую β̂ : [0, 1] → W, β̂(t) = tv, t ∈ [0, 1],
которая соединяет точки 0 = h(x) и v в W. Так как f(u) 6= f(x), то gn(v) = Re vn 6= 0 и
функция gn ◦ β̂(t) = tngn(v) строго монотонна на [0, 1].
Рассмотрим непрерывную кривую β = h−1 ◦ β̂ : [0, 1] → U, соединяющую точки x и u.
Поскольку gn ◦ β̂ = gn ◦ h ◦ β = h′ ◦ f ◦ β и функция h′ : R → R строго монотонна, функция
f ◦ β также строго монотонна в области своего определения.
f ◦β(t) 6= f(x) = c при t 6= 0. Следовательно, β(t) ∈M2 \K при t ∈ (0, 1] согласно выбору
окрестности U. А так как u = β(1) ∈ Q, то β(t) ∈ Q для всех t ∈ (0, 1].
Шаг 2. Пусть x ∈ FrQ, y ∈ Q. Докажем, что существует простая непрерывная кривая
αx,y, соединяющая точки x и y и удовлетворяющая требованиям леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 391
Пусть u ∈ Q — точка, которую можно соединить с x с помощью непрерывной кривой β :
[0, 1] → Q, β(0) = x, β(1) = u, удовлетворяющей требованиям шага 1. Не ограничивая
общности рассуждений будем считать, что f(x) < f(u) = f ◦ β(1).
Покажем, что для любого v ∈ Q выполняется неравенство f(x) < f(v).
Предположим, что f(x) ≥ f(v) для некоторого v ∈ Q. Согласно лемме 2 точки u и v можно
соединить непрерывной кривой γ : [0, 1] → Q, γ(0) = u, γ(1) = v, так, что функция f ◦ γ
строго монотонна. По теореме о промежуточном значении существует t0 ∈ (0, 1] такое, что
f ◦ γ(t0) = f(x).
Рассмотрим непрерывные кривые µ1, µ2 : [0, 1]→ Q,
µ1(t) = β(1− t), µ2(t) = γ(tt0), t ∈ [0, 1].
Очевидно, что функции f ◦ µ1 и f ◦ µ2 строго монотонны, а также µ1(t), µ2(t) ∈ Q при
t < 1. Поскольку µ1(0) = µ2(0) = u и f ◦ µ1(1) = f ◦ µ2(1) = f(x), кривые µ1 и µ2
удовлетворяют предложению 7. Следовательно, существует F ∈ F такое, что µ1(1), µ2(1) ∈ F.
А это невозможно, так как µ2(1) ∈ Q, µ1(1) = x ∈ K.
Полученное противоречие доказывает, что f(x) < f(v). В частности, если x ∈ FrQ, то
f−1(f(x)) ∩Q = ∅.
Итак, f(x) < f(y). Если f(y) ≤ f(u), по теореме о промежуточном значении существует
t0 ∈ (0, 1], для которого f ◦ β(t0) < f(y). Если f(y) > f(u), возьмем t0 = 1. Воспользуемся
леммой 2 и соединим точки β(t0) и y простой непрерывной кривой β̂ : [0, 1] → Q так, что
функция f ◦ β̂ монотонно возрастает.
Рассмотрим непрерывную кривую αx,y : [0, 1]→ Q,
αx,y(t) =
β(2tt0) при t ∈ [0, 1/2],
β̂(2t− 1) при t ∈ [1/2, 1].
Функция f ◦ αx,y возрастает на каждом из промежутков [0, 1/2] и [1/2, 1], следовательно,
она возрастает на [0, 1]. Из этого следует, что кривая αx,y не имеет самопересечений. По
построению также αx,y(t) ∈ Q при t ∈ (0, 1].
Шаг 3. Пусть x, y ∈ FrQ. Докажем существование кривой αx,y, которая удовлетворяет
лемме.
По условию леммы f(x) 6= f(y). Не ограничивая общности будем считать, что f(x) < f(y).
Зафиксируем точку v ∈ Q. Выше было доказано, что f(v) 6= f(x) и f(v) 6= f(y). Пусть
βx, βy : [0, 1]→ Q — непрерывные кривые, удовлетворяющие требованиям шага 2 и такие, что
βx(0) = x, βy(0) = y, βx(1) = βy(1) = v.
Проверим, что f(v) ∈ (f(x), f(y)).
Предположим, что f(v) < f(x) (случай f(v) > f(y) рассматривается аналогично). По
теореме о промежуточном значении существует t0 ∈ (0, 1), для которого f ◦ βy(t0) = f(x).
Тогда точки βy(t0) ∈ Q и x ∈ FrQ принадлежат одному множеству уровня f, а это, как было
доказано выше, невозможно.
Итак, f(x) < f(v) < f(y). Рассмотрим непрерывную кривую αx,y : [0, 1]→ Q,
αx,y(t) =
βx(2t) при t ∈ [0, 1/2],
βy(2− 2t) при t ∈ [1/2, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
392 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Непосредственной проверкой убеждаемся, что эта кривая удовлетворяет всем требованиям
леммы.
Лемма 3 доказана.
Следствие 4. Пусть пересечение FrQ с множеством уровня f−1(c) не пусто.
Тогда FrQ ∩ f−1(c) содержится в сингулярном элементе разбиения F и выполняется со-
отношение (
f(Q) ⊂ {t ∈ R | t < c}
)
∨
(
f(Q) ⊂ {t ∈ R | t > c}
)
. (4)
Доказательство. При доказательстве леммы 3 мы проверили выполнение соотношения (4).
Из него следует, что FrQ ∩ f−1(c) содержится в объединении сингулярных элементов F.
Пусть FrQ∩F1 6= ∅, FrQ∩F2 6= ∅ для некоторых F1, F2 ∈ F, F1, F2 ⊂ f−1(c). Зафиксиру-
ем x1 ∈ FrQ ∩ F1, x2 ∈ FrQ ∩ F2.
Поскольку Q непусто, из соотношения (4) следует, что найдется точка y ∈ Q, для которой
f(y) 6= c. Повторяя рассуждения из доказательств следствия 3, леммы 3 и предложения 7,
получаем равенство F1 = F2.
Следствие 4 доказано.
Обозначим I = [0, 1], ∂I = {0, 1}.
Теорема 3. Для любой компоненты Q ⊂ M2 \K существуют J ∈ {(0, 1), (0, 1], [0, 1), I}
и инъективное непрерывное отображение αQ : J → Q такие, что:
(1) функция f ◦ αQ : J → R строго возрастает на J ;
(2) f ◦ αQ(J \ ∂J) = f(Q), f ◦ αQ(∂J) = f(FrQ);
(3) отображение α̂Q = πf ◦ αQ : J → ΓK−R(f) является гомеоморфизмом на свой образ
πf (Q) = πf (Q).
Прежде чем доказывать теорему, убедимся в справедливости одного вспомогательного
утверждения.
Предложение 8. Пусть χ1 : X1 → Y, χ2 : X2 → Y, ϕ : X1 → X2 — непрерывные отобра-
жения топологических пространств X1, X2, Y такие, что χ1 = χ2 ◦ ϕ.
Предположим, что χ1 — вложение, а множество ϕ(X1) замкнуто в X2.
Тогда ϕ — замкнутое отображение.
Доказательство. Пусть множество R ⊂ X1 замкнуто.
Поскольку χ1 — вложение, множество χ1(R) замкнуто в χ1(X1) в индуцированной с Y то-
пологии. Следовательно, χ1(R) = χ1(R)∩χ1(X1) и χ−12 (χ1(R)) = χ−12 (χ1(R))∩χ−12 (χ1(X1)).
С другой стороны, ϕ(R) = χ−12 (χ1(R))∩ϕ(X1) = χ−12 (χ1(R))∩
(
χ−12 (χ1(X1))∩ϕ(X1)
)
=
= χ−12 (χ1(R)) ∩ ϕ(X1).
Множество ϕ(X1) замкнуто по условию, а χ−12 (χ1(R)) замкнуто как прообраз замкнутого
множества при непрерывном отображении. Следовательно, и пересечение ϕ(R) этих множеств
замкнуто в X2.
Из произвола в выборе замкнутого множестваR ⊂ X1 следует, что отображение ϕ замкнуто.
Предложение 8 доказано.
Доказательство теоремы 3. Заметим, что множество f(Q) открыто. Действительно,Q со-
стоит из регулярных точек и является открытым множеством согласно предложению 6. Поэтому
для каждого x ∈ Q существует окрестность Ux ⊂ Q, на которой f топологически сопряжена с
Re z. Следовательно, найдется ε = ε(Ux) > 0 такое, что f(Ux) ⊃ (f(x)− ε, f(x) + ε).
По определению множество Q связное. Следовательно, связными являются также мно-
жества Q, f(Q) и f(Q).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 393
Ясно, что открытое связное множество f(Q) ∈ R гомеоморфно интервалу (0, 1). Поэтому
f(Q) гомеоморфно с сохранением ориентации одному из множеств (0, 1), [0, 1), (0, 1], [0, 1].
Пусть f(Q) ∼= J, J ∈ {(0, 1), [0, 1), (0, 1], [0, 1]}.
Построим непрерывную кривую αQ : J → Q, для которой функция f ◦ αQ : J → R будет
строго возрастающей, такую, что f ◦ αQ(J) = f(Q).
Зафиксируем точку y ∈ Q, для которой выполняются неравенства
inf
x∈Q
f(x) < f(y) < sup
x∈Q
f(x).
Пусть 0 ∈ J. Тогда a0 = infx∈Q f(x) ∈ f(Q). Выберем x0 ∈ Q ∩ f−1(a0). Согласно изло-
женному x0 ∈ FrQ и f(x0) < f(y). Воспользуемся леммой 3 и найдем простую непрерывную
кривую α0 : [0, 1/2] → Q такую, что α0(0) = x0, α0(1/2) = y и функция f ◦ α0 строго воз-
растает.
Пусть теперь 0 /∈ J. Положим y1 = y и выберем yk ∈ Q, k ≥ 2, так, что последовательность
{f(yk)} монотонно убывает и стремится к a0. Воспользуемся леммой 2 и для каждого k ∈ N
найдем простую непрерывную кривую βk : [0, 1] → Q такую, что βk(0) = yk+1, βk(1) = yk и
функция f ◦ βk строго возрастает.
Рассмотрим кривую α0 : (0, 1/2]→ Q,
α0(t) = βk(2
k+1t− 1), если t ∈ [2−(k+1), 2−k], k ∈ N.
Поскольку βk+1(1) = βk(0), k ∈ N, эта кривая корректно определена и непрерывна. Легко
видеть, что функция f ◦ α0 строго возрастает на (0, 1/2]. Вследствие этого α0 — простая
непрерывная кривая.
Аналогично строится и кривая α1 : J ∩ [1/2, 1]→ Q такая, что α1(1/2) = y, функция f ◦α1
монотонно возрастает и α1(t) ∈ Q при t < 1.
Положим
αQ(t) =
α0(t), если t ≤ 1/2,
α1(t), если t ≥ 1/2.
Получим непрерывную кривую αQ : J → Q, которая удовлетворяет условиям (1) и (2) тео-
ремы 3.
Рассмотрим отображение α̂Q = πf ◦ αQ : J → ΓK−R(f). Вследствие монотонности f ◦ αQ
отображение α̂Q инъективно.
Применяя следствия 3 и 4, из доказанного соотношения f ◦αQ(J) = f(Q) получаем равен-
ство α̂Q(J) = πf (Q).
Множество π−1f (πf (Q)) является объединением тех элементов разбиения F, которые пере-
секаются с Q. Множество Q совпадает с π−1f (πf (Q)) по своему определению. Из следствия 4
и свойств кривой αQ получим следующее соотношение:
π−1f
(
πf (FrQ)
)
=
⋃
τ∈J∩∂I
Fτ .
Здесь Fτ — единственная компонента множества уровня f−1(f ◦αQ(τ)), которая пересекается с
FrQ. Множества уровня функции f замкнуты, следовательно, их компоненты также замкнуты.
Поскольку множество J ∩ ∂I содержит не более двух элементов, π−1f (πf (FrQ)) замкнуто.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
394 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Итак, множество π−1f
(
πf (Q)
)
= Q ∪ FrQ ∪ π−1f (πf (FrQ)) = Q ∪ π−1f (πf (FrQ)) замкнуто.
Вследствие этого множество πf (Q) замкнуто в ΓK−R(f) по определению фактор-топологии.
Из включений πf (Q) ⊂ πf (Q) ⊂ πf (Q) и замкнутости πf (Q) следуют равенства α̂Q(J) =
= πf (Q) = πf (Q).
Рассмотрим тройку непрерывных отображений f ◦ αQ : J → R, f̂ : ΓK−R(f) → R и α̂Q :
J → ΓK−R(f).
По построению J связно и f ◦ αQ строго возрастает на J. Из этого легко следует, что
f ◦ αQ — вложение. Кроме того, множество α̂Q(J) замкнуто. Итак, условия предложения 8
выполнены и отображение α̂Q является замкнутым. А так как оно непрерывно и инъективно,
то α̂Q является гомеоморфизмом на свой образ πf (Q).
Теорема 3 доказана.
Обозначим через Q разбиение множества M2 \K на компоненты связности.
Предложение 9. Пусть F ∈ F, F ⊂ K. Тогда существуют насыщенная относительно
разбиения F окрестность W множества F и конечный набор компонент Q1, . . . , Qm ∈ Q,
m = m(F ), имеющие следующие свойства:
Qs ∩ F 6= ∅ при s = 1, . . . ,m;
Q ∩W = ∅ для всех Q ∈ Q \ {Q1, . . . , Qm}.
Доказательство. Если F содержит локальный экстремум f, то согласно свойству (f1) F
является изолированной точкой множества уровня f и предложение справедливо.
Пусть F не содержит локальных экстремумов f. Из свойства (k1) функции f следует, что
все точки F являются регулярными, кроме конечного числа x1, . . . , xk сингулярных точек f.
Пусть Ui — открытая окрестность точки xi, i ∈ {1, . . . , k}, такая, что ограничение f на Ui
топологически сопряжено с Re zr при некотором r = r(i) > 1 в окрестности начала координат.
Воспользуемся свойством (k2) функции f и выберем Ui настолько малой, что K ∩ Ui ⊂ F.
Тогда существуют Qij ∈ Q, j = 1, . . . , 2r(i), такие, что F ∩Qij 6= ∅, j = 1, . . . , 2r(i), и
Ui ⊂ F ∪
2r(i)⋃
j=1
Qij .
Изменим нумерацию множеств Qij : пусть
{Qs}ms=1 = {Qij}i=1,...,k
j=1,...,2r(i)
.
Тогда Q ∩ Ui = ∅, i = 1, . . . , k, если Q ∈ Q \ {Qs}ms=1.
Рассмотрим множество
W =
{
F̂ ∈ F
∣∣∣∣ F̂ ∩
k⋃
i=1
Ui 6= ∅
}
.
Так же, как при доказательстве предложения 4, доказывается, что это множество открыто.
W является насыщением множества F ∪ ⋃k
i=1 Ui, следовательно, W ⊂ F ∪ ⋃m
s=1Qs и
W ∩ Q = ∅ для любого Q ∈ Q \ {Qs}ms=1. А так как W открыто, то и W ∩ Q = ∅ при
Q ∈ Q \ {Qs}ms=1.
Предложение 9 доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
ГРАФЫ КРОНРОДА – РИБА ФУНКЦИЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ. I 395
2.3. Доказательство теоремы 1. Построим по функции f топологический граф G.
Согласно теореме 3 для каждой компоненты Q множества M2 \ K существуют JQ ∈
∈ {(0, 1), [0, 1), (0, 1], I} и вложение α̂Q : JQ → ΓK−R(f). Пусть JQ ⊂ IQ = [0, 1].
Рассмотрим множество Ṽ =
⋃
Q∈Q ∂IQ всех концов отрезков IQ и введем на нем следующее
отношение. Предположим, что w1 ∈ ∂IQ1 , w2 ∈ ∂IQ2 . Пусть w1 ∼ w2 тогда и только тогда,
когда w1 ∈ JQ1 , w2 ∈ JQ2 и α̂Q1(w1) = α̂Q2(w2).
Ясно, что ∼ является отношением эквивалентности. Следовательно, оно порождает разби-
ение h множества Ṽ , элементами которого являются классы эквивалентности.
Очевидно, разбиение h является измельчением разбиения
Ṽ =
(
Ṽ ∩
⋃
Q∈Q
JQ
)
t
(
Ṽ \
⋃
Q∈Q
JQ
)
.
Отметим два свойства разбиения h:
Пусть A ∈ h и A ⊂ Ṽ \⋃Q∈Q JQ. Тогда ]A = 1.
Если A ∈ h и A ⊂ Ṽ ∩⋃Q∈Q JQ, то ]A <∞.
Первое свойство следует из определения отношения эквивалентности.
Проверим выполнение второго свойства.
Предположим, что A ∈ h и A ⊂ Ṽ ∩ ⋃Q∈Q JQ. Пусть w1 ∈ ∂IQ1 ∩ A, w2 ∈ ∂IQ2 ∩ A и
w1 6= w2. Согласно следствию 4 и теореме 3 это равносильно тому, что Q1 6= Q2 и αQ1(w1),
αQ2(w2) ∈ F для некоторого F ∈ F такого, что F ⊂ K, F ∩Q1 6= ∅ и F ∩Q2 6= ∅.
Таким образом, множеству A можно сопоставить сингулярный элемент F разбиения F,
а каждому элементу w ∈ A — компоненту Q ∈ Q такую, что F ∩ Q 6= ∅. При этом если
w1, w2 ∈ A, w1 6= w2, то для соответствующих компонентQ1, Q2 ∈ Q выполняется неравенство
Q1 6= Q2.
Из предложения 9 следует, что существует конечное семейство Q1, . . . , Qm ∈ Q такое, что
F ∩Qs 6= ∅, s = 1, . . . ,m, и F ∩Q = ∅ для любого Q ∈ Q \ {Qs}ms=1. Следовательно, ]A = m
и второе свойство разбиения h справедливо.
Итак, существует инъективное соответствие между элементами разбиения h, которые со-
держатся в Ṽ ∩⋃Q∈Q JQ, и сингулярными элементами разбиения F. Заметим, что для любого
F ∈ F, F ⊂ K, существует Q ∈ Q такое, что F ∩ Q 6= ∅, поэтому в силу теоремы 3
F ∩ αQ(JQ ∩ ∂IQ) 6= ∅ и данное соответствие биективно.
Рассмотрим фактор-множество V = Ṽ /h, элементами которого являются элементы разби-
ения h. Обозначим через pr : Ṽ → V отображение проекции.
Рассмотрим предсимплициальный комплексG, 0-мерными симплексами которого являются
элементы V, а одномерными симплексами — пары 〈v1, v2〉 такие, что ∂IQ ∩ pr−1(v1) 6= ∅ и
∂IQ ∩ pr−1(v2) 6= ∅ для некоторого Q ∈ Q, зависящего от 〈v1, v2〉.
Очевидно, что для каждого v ∈ V количество одномерных симплексов, 0-гранью которых
является v, совпадает с мощностью множества pr−1(v). Известно, что ] pr−1(v) < ∞, v ∈ V,
поэтому комплекс G локально конечный, т. е. G является (абстрактным) графом.
Обозначим V0 = {v ∈ V | pr−1(v)∩⋃Q∈Q JQ = ∅}. Тогда ] pr−1(v) = 1 для каждого v ∈ V0
и V0 ⊂ Vl, где Vl — множество листьев G.
Рассмотрим абстрактный полиэдр |G|, соответствующий комплексу G. Можно считать 1-
симплексами |G| отрезки IQ, Q ∈ Q. Пусть {w1, w2} = ∂IQ. Тогда IQ = |〈v1, v2〉|, если w1 ∈
∈ pr−1(v1), w2 ∈ pr−1(v2). Будем отождествлять концы отрезков с их образами под действием
отображения проекции.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
396 Е. А. ПОЛУЛЯХ
Согласно теореме 3 для каждого Q ∈ Q определено вложение α̂−1Q : πf (Q)→ JQ ⊂ IQ. Так
как
⋃
Q∈QQ = M2, то
⋃
Q∈Q πf (Q) =
⋃
Q∈Q πf (Q) = ΓK−R(f). По определению множества
V для каждого x ∈ πf (Q1) ∩ πf (Q2) справедливо равенство α̂−1Q1
(x) = α̂−1Q2
(x) ∈ |G|, поэтому
определено отображение ϕ : ΓK−R(f)→ |G|,
ϕ(x) = α̂−1Q (x), если x ∈ πf (Q) = πf (Q). (5)
Заметим, что по определению все множества πf (Q), Q ∈ Q, открыты и попарно не пересе-
каются. Тогда и πf (Q1) ∩ πf (Q2) = ∅, если Q1 6= Q2, Q1, Q2 ∈ Q.
Пусть F ∈ F, F ⊂ K. Согласно предложению 9 существуют конечное семейство {Q1(F ), . . .
. . . , Qm(F )} ⊂ Q и насыщенная окрестность W множества F такие, что Q ∩ W = ∅ при
Q ∈ Q \ {Q1(F ), . . . , Qm(F )}. Тогда и πf (Q)∩ πf (W ) = ∅ при Q ∈ Q \ {Q1(F ), . . . , Qm(F )}.
Из изложенного следует, что покрытие {πf (Q)}Q∈Q пространства ΓK−R(f) является ло-
кально конечным.
Как известно (см. [1]), замкнутое локально конечное покрытие топологического простран-
ства является фундаментальным. Отображение, ограничение которого на каждый элемент та-
кого покрытия непрерывно, само является непрерывным.
Таким образом, отображение ϕ непрерывно.
Ясно, что ϕ(ΓK−R(f)) =
⋃
Q∈Q JQ. Покрытие {IQ}Q∈Q пространства |G| является фунда-
ментальным по определению топологии на |G|. Следовательно, покрытие {JQ}Q∈Q простран-
ства
⋃
Q∈Q JQ с индуцированной с |G| топологией также является фундаментальным.
Легко видеть, что корректно определено отображение ψ :
⋃
Q∈Q JQ → ΓK−R(f),
ψ(u) = α̂Q(u), если u ∈ JQ. (6)
Его ограничение на каждое из множеств JQ, Q ∈ Q, непрерывно, поэтому ψ является непре-
рывным отображением.
Простая непосредственная проверка показывает, что ψ = ϕ−1. Следовательно, ϕ является
гомеоморфизмом пространства ΓK−R(f) на свой образ
⋃
Q∈Q JQ.
По построению G0 = |G| \ V0 =
⋃
Q∈Q JQ = ϕ(ΓK−R(f)). Поэтому G0 является топологи-
ческим графом с черенками.
Остальные утверждения теоремы получаются непосредственно из формул (5), (6) и те-
оремы 3.
1. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977. – 488 с.
2. Кронрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи мат. наук. – 1950. – 5, № 1. – С. 24 – 134.
3. Reeb G. Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique //
Comptes Rend. Hebdomadaires Séances de l’Académie Sci. – 1946. – 222. – P. 847 – 849.
4. Hilton P. J., Wylie S. Homology theory. An introduction to algebraic topology. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1960. – xv+484 p.
5. Kuratowski K. Topology. – New York; London: Acad. Press, 1968. – xiv+608 p.
6. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 т. – М.: МЦНМО, 2002. – Т. 1. – xvi+664 с.
7. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a closed surface //
Topology and Appl. – 2002. – 119, № 3. – P. 257 – 267.
8. Church P. T., Timourian J. G. Differentiable open maps of (p+ 1)-manifold to p-manifold // Pacif. J. Math. – 1973. –
48, № 1. – P. 35 – 45.
9. Jenkins J., Morse M. Topological methods on Riemann surfaces // Ann. Math. Stud. – 1953. – № 30. – P. 111 – 139.
10. Munkres J. R. Topology. – 2nd Ed. – Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., 2000. – xvi+537 p.
Получено 21.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|