О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов
Досліджується гранична поведінка послідовності марковських процесів, розподіл яких ззовні довільного околу певної „сингулярної" точки притягується до певного закону. В околі цієї точки поведінка може бути нерегулярною. Як приклад застосування загального результату досліджено симетричне випадков...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165518 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов / А.Ю. Пилипенко, Ю.Е. Приходько // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 4. — С. 499–516. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165518 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655182020-02-15T01:26:48Z О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов Пилипенко, А.Ю. Приходько, Ю.Е. Статті Досліджується гранична поведінка послідовності марковських процесів, розподіл яких ззовні довільного околу певної „сингулярної" точки притягується до певного закону. В околі цієї точки поведінка може бути нерегулярною. Як приклад застосування загального результату досліджено симетричне випадкове блукання з одиничним кроком, збурене в околі нуля. При стандартному нормуванні часової та просторової змінних встановлено принцип інваріантності, де граничним процесом є косий броунівський рух. We study the limit behavior of a sequence of Markov processes whose distributions outside any neighborhood of a “singular” point are attracted to a certain probability law. In any neighborhood of this point, the limit behavior can be irregular. As an example of application of the general result, we consider a symmetric random walk with unit jumps perturbed in the neighborhood of the origin. The invariance principle is established for the standard time and space scaling. The limit process is a skew Brownian motion. 2015 Article О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов / А.Ю. Пилипенко, Ю.Е. Приходько // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 4. — С. 499–516. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165518 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Пилипенко, А.Ю. Приходько, Ю.Е. О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов Український математичний журнал |
| description |
Досліджується гранична поведінка послідовності марковських процесів, розподіл яких ззовні довільного околу певної „сингулярної" точки притягується до певного закону. В околі цієї точки поведінка може бути нерегулярною. Як приклад застосування загального результату досліджено симетричне випадкове блукання з одиничним кроком, збурене в околі нуля. При стандартному нормуванні часової та просторової змінних встановлено принцип інваріантності, де граничним процесом є косий броунівський рух. |
| format |
Article |
| author |
Пилипенко, А.Ю. Приходько, Ю.Е. |
| author_facet |
Пилипенко, А.Ю. Приходько, Ю.Е. |
| author_sort |
Пилипенко, А.Ю. |
| title |
О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов |
| title_short |
О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов |
| title_full |
О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов |
| title_fullStr |
О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов |
| title_full_unstemmed |
О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов |
| title_sort |
о предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165518 |
| citation_txt |
О предельном поведении возмущений в окрестности сингулярной точки последовательности марковских процессов / А.Ю. Пилипенко, Ю.Е. Приходько // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 4. — С. 499–516. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT pilipenkoaû opredelʹnompovedeniivozmuŝenijvokrestnostisingulârnojtočkiposledovatelʹnostimarkovskihprocessov AT prihodʹkoûe opredelʹnompovedeniivozmuŝenijvokrestnostisingulârnojtočkiposledovatelʹnostimarkovskihprocessov |
| first_indexed |
2025-07-14T18:49:22Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:49:22Z |
| _version_ |
1837649345179025408 |
| fulltext |
УДК 519.21
А. Ю. Пилипенко (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Ю. Е. Приходько (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев)
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
We study the limit behavior of a sequence of Markov processes whose distributions outside any neighborhood of a “singular”
point are attracted to a certain probability law. In any neighborhood of this point, the limit behavior can be irregular. As
an example of application of the general result, we consider a symmetric random walk with unit jumps perturbed in the
neighborhood of the origin. The invariance principle is established for the standard time and space scaling. The limit
process is a skew Brownian motion.
Дослiджується гранична поведiнка послiдовностi марковських процесiв, розподiл яких ззовнi довiльного околу
певної „сингулярної” точки притягується до певного закону. В околi цiєї точки поведiнка може бути нерегуляр-
ною. Як приклад застосування загального результату дослiджено симетричне випадкове блукання з одиничним
кроком, збурене в околi нуля. При стандартному нормуваннi часової та просторової змiнних встановлено принцип
iнварiантностi, де граничним процесом є косий броунiвський рух.
1. Введение. В данной статье исследуется предельное поведение последовательности марков-
ских процессов {Xn}, распределение которых вне любой окрестности некоторой выделенной
„сингулярной” точки притягивается к известному закону. В окрестности же этой точки пове-
дение может быть нерегулярным. Например, пусть Sn = ξ1 + . . . + ξn, n > 0, — стандартное
случайное блуждание с нулевым средним скачка и конечной дисперсией σ2 = Dξk. Известно,
что распределения последовательностей
{
S[nt]
σ
√
n
, n > 1
}
слабо сходятся в D
(
[0;T ]
)
к броунов-
скому движению. Предположим теперь, что цепь Маркова {S̃n} имеет вне множества [−m,m]
такие же переходные вероятности, как и {Sn}, и произвольные переходные вероятности в
этом множестве. Тогда последовательность
{
S̃[nt]
σ
√
n
, n > 1
}
вне произвольной окрестности
нуля ведет себя так же, как
{
S[nt]
σ
√
n
, n > 1
}
(отрезок [−m/
√
n,m/
√
n] стягивается к нулю при
n→∞). В этом случае предел
{
S[nt]
σ
√
n
, n > 1
}
уже может и не быть броуновским движением.
Так, в случае, когда {S̃n} — блуждание на Z с переходными вероятностями p̃i,i±1 = 1/2 при
i 6= 0, и p0,1 = p, p0,−1 = q = 1 − p, Харрисоном и Шеппом [1] было доказано, что предель-
ным процессом является косое броуновское движение, т. е. непрерывный марковский процесс
с переходной плотностью
pt(x, y) = ϕt(x− y) + γ sign(y)ϕt
(
|x|+ |y|
)
, x, y ∈ R,
где ϕt(x) =
1√
2πt
e−x
2/2t — плотность нормального распределенияN(0, t).Параметр проницае-
мости γ в данном случае равен p − q. Случай произвольного m и ограниченной целочислен-
ной величины скачка рассматривался в [2 – 4], где предельным процессом также было косое
броуновское движение. Если же прыжки из [−m,m] не интегрируемы, то в пределе может
c© А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4 499
500 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
получиться разрывный процесс, например броуновское движение с граничными условиями
Вентцеля (см. [5]).
Еще одним примером построения и исследования подобных последовательностей могут
служить диффузии на графах (см. [6, 7]). Их можно получать, например, как предел симмет-
ричных случайных блужданий на ребрах графа с дополнительными условиями в вершинах, или
предельным переходом от более сложных схем, когда в пределе несколько узлов „стягиваются”
в один [8].
Отметим также серию работ, связанную с построением броуновского движения в конусе
с отражением от его границы (см. [9 – 11] и приведенную там библиографию). До момента
попадания в вершину конуса отраженное броуновское движение можно определить как сильное
решение некоторого стохастического дифференциального уравнения. Проблема определения
процесса после попадания в вершину нетривиальна. Один из способов — построить его как
предел при ε → 0+ последовательности броуновских движений, отскакивающих от вершины
конуса на вектор длины ε внутрь конуса в момент достижения вершины (естественно, при этом
требуется доказать существование предела, единственность, охарактеризовать свойства и т. д.).
Еще один пример последовательности процессов с сингулярностью в окрестности фикси-
рованной точки рассмотрен в работах [12, 13], где исследовалась последовательность диффу-
зионных процессов
dξε(t) = b(ξε(t))dt+ εσ(ξε(t))dw(t),
стартующих из нуля. Здесь функция b непрерывна, а точка 0 является ее единственным нулем.
При этом предполагалось, что предельное уравнение
dξ(t) = b(ξ(t))dt (1)
может не иметь свойства единственности решения при старте из нуля. При некоторых условиях
на функции b, σ было доказано, что предельный процесс с некоторой вероятностью p является
максимальным решением уравнения (1) и с вероятностью 1 − p — минимальным решением
уравнения (1).
В данной работе предлагается методика доказательства существования предела для после-
довательности процессов с иррегулярностями в окрестности некоторой фиксированной точки.
При этом, вообще говоря, не предполагается, что исходная последовательность процессов {Xn}
является марковской. Соответствующий общий результат приведен в п. 2. Достаточные условия
в случае, когда {Xn} имеет некоторые моменты обновления, даны в п. 3 (теорема 2). Соот-
ветствующий метод проиллюстрирован в п. 4 для последовательности
{
S̃[nt]
σ
√
n
, n > 1
}
, где
{S̃k, k ≥ 0} — цепь Маркова на Z с переходными вероятностями такими, что
pi,i±1 = 1/2 при |i| > m,∑
j
pij |j| <∞ при |i| 6 m,
т. е. для |i| 6 m математическое ожидание скачка конечно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 501
Пределом будет косое броуновское движение, параметр проницаемости которого будет вы-
числен явно. Отметим, что в отличие от [2 – 4] мы не предполагаем ограниченности скачков
при |i| 6 m. Возможно, данный пример можно было бы исследовать с помощью полугруппо-
вой или резольвентной техники. Наши рассуждения, с одной стороны, имеют более прозрач-
ную вероятностную интерпретацию, а с другой — их можно применять и для возмущенных в
окрестности некоторой точки x∗ последовательностей непрерывных полумарковских процес-
сов (соответствующее определение см. в [14]). Для наших рассуждений важно лишь то, что
моменты входов и выходов из окрестностей сингулярной точки x∗ являются обновляющими.
2. Общая предельная теорема. В этом пункте опишем общий метод исследования пре-
дельного поведения последовательности случайных процессов с иррегулярностями в окрест-
ности фиксированной точки. Для этого будем „удалять” определенные части траектории из
окрестности данной точки и исследовать последовательность с „вырезанным” временем.
Рассмотрим формальные построения.
Пусть (E, ρ) — локально компактное метрическое пространство. Через C
(
[0,∞)
)
= CE
(
[0,
∞)
)
иD
(
[0,∞)
)
= DE
(
[0,∞)
)
обозначим пространства функций со значениями вE, имеющих
непрерывные и, соответственно, càdlàg траектории.
Пусть f ∈ D
(
[0,∞)
)
, σ = {σn} и τ = {τn} — последовательности действительных чисел
таких, что
0 6 τ0 6 σ0 < τ1 < σ1 < τ2 < . . . , (2)
lim
n→∞
τn = +∞, λ
(
∪k [σk, τk+1)
)
= +∞, (3)
где λ — мера Лебега.
Положим
L(t) = Lτ,σ(t) :=
t∫
0
1I∪k[σk,τk+1)(s)ds,
A(t) = Aτ,σ(t) := L−1(t) := inf{s > 0|L(s) > t}.
Определение 1. Будем говорить, что функция
f τ,σ(t) := f(Aτ,σ(t)), t > 0,
получена из f вырезанием времени ∪k[τk, σk).
Замечание 1. Неформально данное преобразование означает, что участки [τk, σk) графика
функции f вырезаются, затем оставшиеся участки сдвигаются вплотную влево.
Через ωf (δ) = ωTf (δ) := sups,t∈[0,T ]
|s−t|6δ
ρ(f(s), f(t)) обозначим модуль непрерывности функции
f на [0, T ].
Лемма 1. Предположим, что
(T + 1)− L(T + 1) =
T+1∫
0
1I∪k[τk,σk)(s)ds 6 δ 6 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
502 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
Тогда
sup
t∈[0,T ]
ρ(f, f τ,σ) 6 ωT+1
f (δ).
Доказательство следует из того, что при сделанных предположениях |A(t)−t| 6 δ, t ∈ [0, T ].
Замечание 2. Далее будем рассматривать только функции или процессы, имеющие либо
непрерывные, либо càdlàg траектории.
Теорема 1. Предположим, что последовательность случайных процессов {Xn, n > 1} для
некоторого T > 0 удовлетворяет условию
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ n0 ∀ n > n0 : P(ωT+1
Xn
(δ) > ε) 6 ε. (4)
Допустим, что для любого α ∈ (0, 1) найдутся последовательности случайных величин
τ (n) = τ (n,α) =
{
τ
(n,α)
k , k > 0
}
, σ(n) = σ(n,α) =
{
σ
(n,α)
k , k > 0
}
,
удовлетворяющие (2), (3) для всех n > 1, и случайный процесс X(α) такой, что
P(T + 1− L(α)
n (T + 1) > α) 6 α, n > n0(T, α), (5)
X(α)
n ⇒ X(α), n→∞, в D([0, T ]), (6)
где
L(α)
n (t) =
t∫
0
1I∪k[σ
(n,α)
k ,τ
(n,α)
k+1 )
(s)ds, A(α)
n (t) = (L(α)
n )−1(t),
X
(α)
n (t) = Xn
(
A
(α)
n (t)
)
получено вырезанием времени из Xn.
Тогда распределения последовательности {Xn, n > 1} слабо сходятся в D
(
[0, T ]
)
при
n→∞. Более того, распределения {X(α)} слабо сходятся в D
(
[0, T ]
)
при α→ 0+ и пределы
для
{
X(α)
}
и {Xn} совпадают по распределению.
Замечание 3. Из условия (4) следует, что предельный процесс имеет непрерывную моди-
фикацию.
Доказательство. По теореме Скорохода [15] для любого α > 0 существуют копии случай-
ных элементов X(α) и X(α)
n , n > 1, заданные на одном вероятностном пространстве (Ω̃, F̃ , P̃),
такие, что
X̃(α)
n
P→ X̃(α), n→∞, в D
(
[0, T ]
)
. (7)
Несложно видеть, что существуют расширение пространства (Ω̃, F̃ , P̃) и случайные эле-
менты {X̃n, τ̃
(n,α)
k , σ̃
(n,α)
k , k > 0} на нем такие, что{
X̃(α)
n , X̃n, τ̃
(n,α)
k , σ̃
(n,α)
k , k > 0
}
d
=
{
X(α)
n , Xn, τ
(n,α)
k , σ
(n,α)
k , k > 0
}
(см. рассуждения из [16], гл. 5).
Заметим, что X(α)
n можно рассматривать как значение некоторой измеримой функции от на-
бора
{
Xn, τ
(n,α)
k , σ
(n,α)
k , k > 0
}
.Поэтому X̃(α)
n является почти наверное значением той же функ-
ции от
{
X̃n, τ̃
(n,α)
k , σ̃
(n,α)
k , k > 0
}
, т. е. X̃(α)
n получено вырезанием времени ∪k[τ̃
(n,α)
k , σ̃
(n,α)
k )
из X̃n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 503
Пусть dT0 обозначает метрику в D([0, T ]) (см., например, [17], §14). Отметим, что dT0 мажо-
рируется равномерной метрикой на [0, T ].
Тогда с учетом леммы 1 имеем оценку
P
(
dT0
(
X̃n, X̃
(α)
)
> 2ε
)
6
6 P
(
dT0
(
X̃n, X̃
(α)
n
)
> ε
)
+ P
(
dT0
(
X̃(α)
n , X̃(α)
)
> ε
)
6
6 P
(
sup
t∈[0,T ]
ρ
(
X̃n, X̃
(α)
n
)
> ε
)
+ P
(
dT0
(
X̃(α)
n , X̃(α)
)
> ε
)
6
6 P
(
T + 1− L̃(α)
n (T + 1) > α
)
+ P
(
ωT+1
X̃n
(α) > ε
)
+ P
(
dT0 (X̃(α)
n , X̃(α)) > ε
)
. (8)
По заданному ε > 0 выберем α ∈ (0, ε) и n0 так, чтобы (см. (4) и (7)) второе и третье
слагаемые не превышали ε при n > n0. Тогда, учитывая (5), убеждаемся, что правая часть (8)
не превышает 3ε.
Следовательно, для всех n,m > n0
P
(
dT0
(
X̃n, X̃m
)
> 4ε
)
6 P
(
dT0
(
X̃n, X̃
(α)
)
> 2ε
)
+ P
(
dT0
(
X̃m, X̃
(α)
)
> 2ε
)
6 6ε.
Отсюда следует, что последовательность распределений случайных процессов {Xn, n > 1}
фундаментальна в метрике Леви – Прохорова (см. [18]) , а значит, сходится.
Сходимость {X(α), α > 0} к тому же пределу при α→ 0+ следует из аналогичных рассуж-
дений и оценки (8).
Теорема 1 доказана.
Замечание 4. Ситуацию применимости данной теоремы можно представить следующим
образом. Пусть {Xn} — последовательность непрерывных однородных строго марковских про-
цессов, τ — момент достижения некоторой фиксированной точки x0. Допустим, что {Xn(·∧τ)}
сходится к {X(· ∧ τ)}, как только начальные распределения процессов сходятся. В качестве
моментов τ (n,α)k , σ
(n,α)
k возьмем моменты последовательных входов и выходов, например, в шар
B(x0, α/2) и, соответственно, из шара B(x0, α). Тогда условие (5) означает, что если α мало,
то „вырезаемое время” мало равномерно по n. Например, это верно, если равномерно по n
среднее время, проведенное в B(x0, α), мало при α→ 0+ :
∀T > 0 : lim
α→0+
sup
n
E
T∫
0
1Iρ(Xn(t),x0)6αdt = 0. (9)
В конкретных случаях проверка (9) может быть достаточно простой (см., например, построение
броуновского движения в конусе [9, 11]).
Условие на модуль непрерывности (4) аналогично условию, гарантирующему относитель-
ную компактность процессов в пространстве непрерывных функций. Несложно проверить, что
если процесс X непрерывен и Xn(· ∧ τ) ⇒ X(· ∧ τ), как только начальные распределения
процессов сходятся, то (4) выполняется, например, если справедливо (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
504 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
3. Условия сходимости процессов, полученных вырезанием времени. В данном пункте
приводятся достаточные условия, гарантирующие сходимость (6). Теорема 2, сформулирован-
ная в конце пункта, является аналогом теоремы 1, полученной с учетом этих условий.
Будем предполагать, что моменты достижения некоторых точек для процессов {Xn} явля-
ются моментами обновления. В этом случае распределение процесса с вырезанным временем
можно получить с помощью построения, описанного далее.
Рассмотрим пространство
M =
{
t = {ti, i > 1} ∈ (0;∞)N :
∑
i
ti = +∞
}
с метрикой покоординатной сходимости ρM (t, s) =
∑
n
2−n(|tn − sn| ∧ 1).
Пусть E — локально компактное метрическое пространство. Через F обозначим отображе-
ние, действующее из CE([0,∞))N ×M в DE([0;∞)) по правилу
(f, t) = (f1, f2, . . . ; t1, t2, . . .)→ F (f, t) =
∑
k
fk
(
·+
k−1∑
i=1
ti
)
1I[∑k−1
i=1 ti,
∑k
i=1 ti
).
На CE
(
[0,∞)
)
рассматривается метрика, соответствующая равномерной сходимости на ком-
пактах, метрика на CE
(
[0,∞)
)N
вводится аналогично ρM .
Несложно видеть, что функция F непрерывна на CE([0,∞))N ×M , поэтому если после-
довательность случайных элементов
{
(ξ
(n)
, τ (n)), n ≥ 0
}
со значениями в CE
(
[0,∞)
)N ×M
такова, что (
ξ
(n)
, τ (n)
)
⇒
(
ξ
(0)
, τ (0)
)
, n→∞,
то
F
(
ξ
(n)
, τ (n)
)
⇒ F
(
ξ
(0)
, τ (0)
)
, n→∞,
в пространстве DE([0;∞)).
Замечание 5. Все вышеприведенное (а также результаты ниже) верно, если τk ∈ (0,∞]
являются расширенными случайными величинами. В соответствующие определения в этом
случае необходимо внести естественные изменения или сделать оговорки. Например, о том,
что определение F (f, t) не содержит слагаемых после номера k, при котором τk = +∞.
Пусть X — непрерывный однородный строго марковский процесс со значениями в E. Через
Qx обозначим распределение X при условии X(0) = x. Пусть 0 = σ0 6 τ1 < σ1 < τ2 < . . .
— последовательность моментов остановки такая, что
∑
k
(τk+1 − σk) = +∞ почти наверное.
Обозначим
ηk =
τk+1 − σk, если τ1 > 0,
τk+2 − σk+1, если τ1 = 0,
ξk(t) =
X((σk + t) ∧ τk+1), если τ1 > 0,
X((σk+1 + t) ∧ τk+2), если τ1 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 505
Пусть X(τ,σ) — процесс, полученный из X вырезанием времени ∪k[τk, σk). Заметим, что
X(τ,σ) = F (ξ, η).
Из строгой марковости процесса X следует, что последовательность случайных элемен-
тов {(ξk, ηk), k ≥ 1} является марковской цепью (пока что неоднородной) со значениями
в CE([0,∞)) × (0,∞). Поэтому для сходимости последовательности процессов, полученных
вырезанием времени из строго марковского процесса, нам понадобятся результаты относитель-
но слабой сходимости цепей Маркова (мы будем исследовать не произвольные, а специально
выбранные последовательности моментов остановки {τk, σk}).
Пусть {Xn}n>1 — последовательность непрерывных однородных строго марковских про-
цессов со значениями в E, Q(n)
x — распределение Xn при условии Xn(0) = x. Предположим,
что существует точка x∗ такая, что для любого n процесс Xn бесконечно часто попадает в
любой шар B(x∗, ε) и бесконечно часто выходит из любого шара B(x∗, ε) с Q(n)
x -вероятностью
1, x ∈ E. Пусть α > 0, α1 ∈ (0, α). Возьмем в качестве {τk, σk}k>1 моменты последовательных
входов в шар B(x∗, α1) и выходов из шара B(x∗, α), соответственно. Положим σn0 := 0,
τnk = τ
(n,α1,α)
k := inf
{
t > σ
(n,α1,α)
k−1 : ρ(Xn(t), x∗) 6 α1
}
, k > 1,
(10)
σnk = σ
(n,α1,α)
k := inf
{
t > τ
(n,α1,α)
k : ρ(Xn(t), x∗) > α
}
, k > 1.
Предположим, что для любого n ≥ 1 и любого начального распределения выполняется условие∑
k
(τnk+1 − σnk ) =∞ п. н. (11)
Построим аналогично предыдущим рассуждениям последовательности
(ξ
n
, ηn) =
{
ξn1 , ξ
n
2 , . . . ; η
n
1 , η
n
2 , . . .
}
=
{
(ξnk , η
n
k ), k ≥ 1
}
.
В данном случае
{
(ξnk , η
n
k ), k ≥ 1
}
является однородной цепью Маркова со значениями в
CE
(
[0,∞)
)
× (0,∞). Отметим, что ее переходная вероятность Pn
(
(f, t), A
)
зависит только от
f(t). В свою очередь,
Pn
(
(f, t), A
)
=
∫
E
Q(n)
u
(
(Xn(· ∧ τn1 ), τn1 ) ∈ A
)
Q
(n)
f(t)
(
Xn(σn1 ) ∈ du
)
. (12)
Модифицировав немного доказательство о слабой сходимости цепей Маркова в [19], из соот-
ношения (12) получаем такое утверждение.
Лемма 2. Предположим, что P̃0(x, Ã), x ∈ E, Ã ∈ B(E) и P̄0(x, Ā), x ∈ E, Ā ∈
∈ B
(
CE([0,∞)
)
× [0,∞)), — стохастические ядра, непрерывные по x (на пространстве мер
рассматривается топология слабой сходимости). Допустим, что начальные распределения
цепей Маркова Xn(0) слабо сходятся к некоторой мере µ0 и для любого x ∈ E и любой
последовательности {xn}, сходящейся к x :
A1) Q
(n)
xn (Xn(σn1 ) ∈ ·)⇒ P̃0(x, ·), n→∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
506 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
A2) Q
(n)
xn ((Xn(· ∧ τn1 ), τn1 ) ∈ ·)⇒ P̄0(x, ·), n→∞.
Тогда последовательность однородных цепей Маркова
{
(ξnk , η
n
k ), k ≥ 1
}
слабо сходится при
n→∞ в пространстве
(
CE([0,∞)
)
× (0,∞))N к однородной цепи Маркова
{
(ξ0k, η
0
k), k ≥ 1
}
с переходным ядром (ср. с (12))
P0
(
(f, t), A
)
=
∫
E
P̄0(u,A)P̃0(f(t), du).
В частности, если X0 — марковский процесс такой, что
µ0
d
= X0(0), Q(0)
x
(
(X0(· ∧ τ01 ), τ01 ) ∈ ·
)
= P̄0(x, ·), (13)
Q(0)
x
(
X0(σ
0
1) ∈ ·
)
= P̃0(x, ·) (14)
и
{
(ξ0k, η
0
k), k ≥ 1
}
построены по нему так же, как
{
(ξnk , η
n
k ), k ≥ 1
}
по процессу Xn, то(
ξ
(n)
, τ (n)
)
⇒
(
ξ
(0)
, τ (0)
)
, n→∞.
Таким образом, имеет место сходимость процессов, полученных вырезанием времени:
X(τn,σn)
n ⇒ X
(τ0,σ0)
0 , n→∞,
в DE
(
[0;∞)
)
.
Объединяя теорему 1 и указанные достаточные условия, получаем следующее общее утвер-
ждение о сходимости случайных процессов.
Теорема 2. Пусть {Xn, n > 0} — последовательность непрерывных однородных строго
марковских процессов в локально компактном метрическом пространстве E. Предположим,
что для любого T > 0 выполняется (4), а также для любого α > 0 найдется α1 ∈ (0, α) такое,
что для последовательностей
{
(τ
(n,α1,α)
k , σ
(n,α1,α)
k ), k > 1
}
, определенных в (10), выполняется:
1) (11);
2) (5) или (9);
3) условия A1, A2 леммы 2.
Тогда распределения {Xn} слабо сходятся при n→∞ в C([0,∞)
)
.
Если дополнительно выполняются (13), (14) и
∞∫
0
1I{X0(t)=x∗}dt = 0 п. н., (15)
то Xn ⇒ X0 при n→∞ в C
(
[0,∞)
)
.
Замечание 6. Единственное, что необходимо упомянуть при доказательстве cходимости
Xn ⇒ X0 в C([0, T ]) в теореме 2, — это следующий факт, вытекающий из (15):
X
(τ (0,α1,α),σ(0,α1,α))
0 ⇒ X0, α→ 0+,
в D
(
[0,∞)
)
. Кроме того, поскольку все процессы {Xn} непрерывны, из слабой сходимости
Xn ⇒ X0 в D
(
[0, T ]
)
следует сходимость и в C
(
[0, T ]
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 507
Замечание 7. Вместо свойства строгой марковости в теореме 2 можно требовать, чтобы
моменты входа или выхода из шара были „обновляющими” для процессов. Например, если
E = R и {Xn} — непрерывные полумарковские процессы. Соответствующие определения см.
в [14].
Замечание 8. Аналогичное утверждение справедливо и для процессов, построенных по
цепям Маркова, с естественными изменениями условий. Например, пусть (X0(t), t > 0) —
непрерывный строго марковский процесс со значениями в Rd, (X(n)(k), k > 0), n > 1, — цепи
Маркова на Rd. Положим Xn
(
k
n
)
:=
1√
n
X(n)(k) и доопределим процесс Xn(t) для всех
t > 0 по линейности или ступенчатым образом. В этом случае справедливы аналоги леммы 2
и теоремы 2 со следующими изменениями.
Последовательности τ (n)k , σ
(n)
k при n ≥ 1 в таком случае надо определять так:
τ
(n)
k = τ
(n,α1,α)
k := inf
{
t ∈ 1
n
Z+, t > σ
(n,α1,α)
k−1 : |Xn(t)− x∗| 6 α1
}
, k > 1,
(16)
σ
(n)
k = σ
(n,α1,α)
k := inf
{
t ∈ 1
n
Z+, t > τ
(n,α1,α)
k : |Xn(t)− x∗| > α
}
, k > 1.
Если, кроме того, цепь Маркова {X(n)(k), k ≥ 1} принимает значения из Zd, а не Rd, то в
лемме 2 необходимо брать не произвольную последовательность {xn}, сходящуюся к x0, а
такую, что xn ∈
1√
n
Zd.
Замечание 9. По всей видимости, условие (4) является избыточным в теореме 2, где рас-
сматриваются непрерывные строго марковские процессы. Однако от этого условия нельзя от-
казываться в случае процессов, порожденных цепями Маркова, так как теоретически Xn может
далеко выскочить из шара B(x∗, α1) за счет одного „большого” скачка.
4. Предельное поведение возмущенного случайного блуждания. Рассмотрим однород-
ную марковскую цепь (X(k), k ∈ Z+) на Z с переходными вероятностями pi,j такими, что для
некоторого m
pi,i+1 = pi,i−1 = 1/2 при |i| > m
и ∑
j∈Z
|j| pi,j <∞ при |i| 6 m. (17)
Мы будем говорить, что X — случайное блуждание со скачками из „мембраны” [−m,m].
Условие (17) означает, что скачки блуждания X из [−m,m] интегрируемы.
Доопределим значения цепи
(
X(k), k ∈ Z+
)
для всех t > 0 с помощью линейной интер-
поляции и положим
Xn(t) :=
1√
n
X(nt), t > 0, n ∈ N.
В данном пункте мы докажем, что распределения последовательности {Xn} слабо сходятся, и
опишем ее предел.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
508 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
Для формулировки основной теоремы введем следующие величины. Обозначим через
τ := inf
{
k > 0 : |X(k)| > m
}
(18)
момент выхода из мембраны. Пусть ξ(±) — случайная величина, имеющая распределение(
X(τ)−m signX(τ)
)
при условии X(0) = ±m.
Другими словами, величины ξ(+) и ξ(−) имеют такое же распределение, как величина
отскока от мембраны в момент выхода из нее, при условии, что блуждание началось из правого
или левого края мембраны соответственно.
Теорема 3. Предположим, что все состояния цепи
(
X(k), k ∈ Z+
)
сообщаются. Тогда
последовательность случайных процессов {Xn} сходится по распределению в C
(
[0, T ]
)
к ко-
сому броуновскому движению Wγ , Wγ(0) = 0, с параметром
γ =
Eξ(+)P(ξ(−) > 0) + Eξ(−)P(ξ(+) < 0)
E|ξ(+)|P(ξ(−) > 0) + E|ξ(−)|P(ξ(+) < 0)
, (19)
т. е. к непрерывному марковскому процессу с переходной плотностью
pt(x, y) = ϕt(x− y) + γ sign(y)ϕt(|x|+ |y|), x, y ∈ R,
где ϕt(x) =
1√
2πt
e−x
2/2t — плотность нормального распределения N(0, t).
Замечание 10. Начальные распределения всех процессов Xn связаны соотношением
Xn(0) = X(0)/
√
n. Можно было бы записать аналогичный результат и в схеме серий. Если
Xn(0) = xn ∈
1√
n
Z и limn→∞ xn = x, то предельное косое броуновское движение стартовало
бы из x.
Замечание 11. Предел будет существовать, даже если опустить условие о том, что все
состояния цепи
(
X(k), k ∈ Z+
)
сообщаются. В таком случае в качестве предела может по-
лучиться другой процесс, например броуновское движение с прилипанием к нулю или смесь
броуновских движений, отражающихся от нуля вверх или вниз. Список всех возможностей
см. в [4]. Доказательство для тех случаев, когда не все состояния исходной цепи сообщаются,
сводится к приведенному здесь с некоторыми очевидными упрощениями.
Доказательство теоремы 3. Для доказательства применим теорему 2, точнее, ее модифи-
кацию для цепей Маркова (см. замечание 8).
Итак, пусть α > 0 и α1 ∈ (0, α) произвольно и фиксировано. Положим σ
(n)
0 := 0,
τ
(n)
k = τ
(n,α1,α)
k := inf
{
t > σ
(n)
k−1, t ∈
1
n
Z+ :
∣∣Xn(t)
∣∣ 6 α1
}
=
= inf
{
t > σ
(n)
k−1, t ∈
1
n
Z+ :
∣∣X(nt)
∣∣ 6 α1
√
n
}
,
(20)
σ
(n)
k = σ
(n,α1,α)
k := inf
{
t > τ
(n)
k , t ∈ 1
n
Z+ :
∣∣Xn(t)
∣∣ > α
}
=
= inf
{
t > τ
(n)
k , t ∈ 1
n
Z+ :
∣∣X(nt)
∣∣ > α
√
n
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 509
Для каждого n > 1 рассмотрим процесс X(α)
n , построенный по процессу Xn с помощью
вырезания времени ∪k[τ
(n,α1,α)
k , σ
(n,α1,α)
k ).
В качестве X0 в теореме 2 будем рассматривать косое броуновское движение Wγ . От-
метим, что до попадания в точку 0 процесс Wγ ведет себя как броуновское движение (см.,
например, [1]). Поэтому истинность условий A2 и (13), переформулированных для цепей Мар-
кова, не вызывает сомнения. Условие (15) также выполняется, так как у косого броуновского
движения существует переходная плотность.
4.1. Распределение в момент выхода из отрезка. Проверим условия A1 и (14) для после-
довательности {Xn}n>0 с процессом Wγ в качестве X0. Для начала найдем условное распре-
деление Wγ(σ
(0)
k ) при условии Wγ(τ
(0)
k ) = α1. Это распределение сосредоточено в точках ±α.
Массы соответствующих атомов равны вероятностям для процессаWγ выйти из отрезка [−α, α]
через правый или левый конец, соответственно, при условии, что Wγ стартует из α1. Затем
аналогичным образом можно найти условное распределение при условии Wγ(τ
(0)
k ) = −α1.
Как известно (см., например, [20]), функция шкалы для косого броуновского движения Wγ
имеет вид
ψ(x) =
x/p, x > 0,
x/q, x < 0,
где p =
1 + γ
2
, q =
1− γ
2
. Поэтому
P
(
Wγ(σ
(0)
k ) = +α / Wγ(τ
(0)
k ) = +α1
)
=
ψ(α1)− ψ(−α)
ψ(α)− ψ(−α)
,
P
(
Wγ(σ
(0)
k ) = +α / Wγ(τ
(0)
k ) = −α1
)
=
ψ(−α1)− ψ(−α)
ψ(α)− ψ(−α)
.
Аналогично,
P
(
Wγ(σ
(0)
k ) = −α / Wγ(τ
(0)
k ) = +α1
)
=
ψ(α)− ψ(α1)
ψ(α)− ψ(−α)
,
P
(
Wγ(σ
(0)
k ) = −α / Wγ(τ
(0)
k ) = −α1
)
=
ψ(α)− ψ(−α1)
ψ(α)− ψ(−α)
.
Рассмотрим теперь распределения Xn(σ
(n)
k ). Обозначим Cn = −[−α
√
n].
Пусть ρ(n)i обозначает вероятность для (X(k)) из точки i ∈ {−Cn, . . . ,+Cn} попасть в точку
+Cn, не попадая до того момента в (−∞, Cn]∪ (Cn,+∞). Данные вероятности удовлетворяют
системе линейных уравнений
ρ
(n)
Cn
= 1,
ρ
(n)
i = ρ
(n)
−Cn = 0, |i| > Cn,
ρ
(n)
i =
1
2
ρ
(n)
i−1 +
1
2
ρ
(n)
i+1, m < |i| < Cn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
510 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
ρ
(n)
±m =
∑
m<|j|6Cn
p±m,jρ
(n)
j ,
где p±m,j = P
(
ξ(±) = j −m sign(j)
)
.
Рассмотрим ρ
(n)
i при m 6 i 6 Cn. Заметим, что точки(
m, ρ(n)m
)
,
(
m+1, ρ
(n)
m+1
)
, . . . ,
(
Cn, ρ
(n)
Cn
)
лежат на одной прямой. Поэтому
ρ
(n)
m+k = ρ(n)m +
k
C ′n
(
1− ρ(n)m
)
= ρ(n)m
(
1− k
C ′n
)
+
k
C ′n
, k = 0, C ′n,
где C ′n = Cn −m.
Аналогично,
ρ
(n)
−m−k = ρ
(n)
−m
(
1− k
C ′n
)
, k = 0, C ′n.
Подставляя эти выражения в уравнения для ρ(n)±m и записывая полученную систему в тер-
минах ξ(+) и ξ(−), получаем
ρ(n)m
(
CnP(ξ̃(+)
n < 0) + E(ξ̃(+)
n ∨ 0)
)
=
= ρ
(n)
−m
(
CnP(ξ̃(+)
n < 0) + E(ξ̃(+)
n ∧ 0)
)
+ E(ξ̃(+)
n ∨ 0),
ρ
(n)
−m
(
CnP(ξ̃(−)n > 0) + E(ξ̃(−)n ∧ 0)
)
=
= ρ(n)m
(
CnP(ξ̃(−)n > 0)− E(ξ̃(−)n ∨ 0)
)
+ E(ξ̃(−)n ∨ 0),
где ξ̃(±)n := ξ(±)1I|ξ(±)|6C′n . Таким образом,
ρ(n)m =
CnP(ξ̃
(+)
n < 0)E(ξ̃
(−)
n ∨ 0) + CnP(ξ̃
(−)
n > 0)E(ξ̃
(+)
n ∨ 0) +An
CnP(ξ̃
(+)
n < 0)E|ξ̃(−)n |+ CnP(ξ̃
(−)
n > 0)E|ξ̃(+)
n |+An
,
где An = E(ξ̃
(+)
n ∧ 0)E(ξ̃
(−)
n ∨ 0)− E(ξ̃
(+)
n ∨ 0)E(ξ̃
(−)
n ∧ 0).
Аналогично,
ρ
(n)
−m =
CnP(ξ̃
(+)
n < 0)E(ξ̃
(−)
n ∨ 0) + CnP(ξ̃
(−)
n > 0)E(ξ̃
(+)
n ∨ 0)
CnP(ξ̃
(+)
n < 0)E|ξ̃(−)n |+ CnP(ξ̃
(−)
n > 0)E|ξ̃(+)
n |+An
.
Несложно убедиться, что для любого α > 0
P
(
ξ̃(±)n 6= ξ(±)
)
6 P
(
|ξ(±)| > Cn]
)
→ 0, n→∞,
и
lim
n→∞
ρ(n)m = lim
n→∞
ρ
(n)
−m =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 511
= p =
P(ξ(+) < 0)E(ξ(−) ∨ 0) + P(ξ(−) > 0)E(ξ(+) ∨ 0)
P(ξ(+) < 0)E|ξ(−)|+ P(ξ(−) > 0)E|ξ(+)|
. (21)
Из приведенных рассуждений следует, что для любого α > 0 имеет место равномерная
сходимость
sup
m6|i|6Cn
∣∣∣∣ρ(n)i −
ψ(i/n)− ψ(−α)
ψ(α)− ψ(−α)
∣∣∣∣→ 0, n→∞.
Аналогичные формулы справедливы и для вероятностей достижения точки −α. В част-
ности, из них видно, что вероятность выйти из отрезка [−α, α] за счет „большого” скачка из
мембраны стремится к нулю при n→∞.
Таким образом, условия A1 и (13) выполняются.
4.2. Модуль непрерывности процессов Xn. Проверим условие (4) для процессов Xn.
Достаточно показать, что
∀ T > 0 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ n0 ∀ n > n0 : P(ωTXn(δ) > ε) 6 ε,
где ωf (δ) = ωTf (δ) — модуль непрерывности функции f на [0, T ].
Сравним распределения модуля непрерывности процесса Xn с распределениями модуля
непрерывности нормированного симметричного случайного блуждания с единичными скачка-
ми. Для этого построим определенным образом копии этих процессов на едином вероятностном
пространстве.
Пусть (S(k)) — независимое от цепи X симметричное случайное блуждание с единичными
скачками.
Пусть ξk — скачки из мембраны процесса X :
ξk = X(τk)−m sign(X(τk)), k > 1,
где τk — последовательные моменты выходов процесса X из отрезка [−m,m].
Введем следующий вспомогательный процесс. Положим
X̃(k) := S(k), k = 0, t1,
где t1 — первый момент попадания процесса X̃ в точку 0.
Следующее приращение для X̃ положим равным ξ1 :
X̃(t1 + 1) := X̃(t1) + ξ1 = 0 + ξ1 = ξ1.
Далее, пусть приращения процесса X̃ такие же, как и у S до момента t2 — момента следующего
попадания X̃ в точку 0:
X̃(k) := X̃(t1 + 1) + S(k − 1), k = t1 + 2, t2.
В точке t2 + 1 добавим ξ2 :
X̃(t2 + 1) := ξ2,
и т. д.
Имеет место представление
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
512 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
X̃(k) = S(k − r(k)) +
r(k)∑
j=1
ξj ,
где r(k) = r
X̃
(k) — количество попаданий последовательности (X̃(l), l = 0, k) в точку 0.
Обозначим
Sn(t) =
1√
n
(
S
(
[nt]
)
+
(
nt− [nt]
)
S
(
[nt] + 1
))
, t > 0,
X̃n(t) =
1√
n
(
X̃
(
[nt]
)
+
(
nt− [nt]
)
X̃
(
[nt] + 1
))
, t > 0.
Несложно заметить равенство распределений следующих случайных процессов:
X̃n(t)
d
= X(τ,τ̃)
n (t)− m√
n
sign(X(τ,τ̃)
n (t)), t > 0, (22)
где X(τ,τ̃)
n — процесс, полученный из Xn вырезанием времени
⋃
k>1[τk, τ̃k), τ̃0 = 0,
τk = τ
(n)
k := inf
{
t > τ̃
(n)
k−1, t ∈
1√
n
N :
∣∣Xn(t)
∣∣ 6 m/
√
n
}
, k > 1,
τ̃k = τ̃
(n)
k := inf
{
t > τ
(n)
k , t ∈ 1√
n
N :
∣∣Xn(t)
∣∣ > (m+ 1)/
√
n
}
, k > 1.
Из построения процесса с вырезанным временем следует, что
ωXn(δ) 6 ω
X
(τ,τ̃)
n
(δ) + 2m/
√
n, δ > 0. (23)
Сравним теперь модуль непрерывности для последовательностей S(k) и X̃(k), а затем и
для процессов Sn(t) и X̃n(t). Рассмотрим разность X̃(l) − X̃(k), где l и k > l — некоторые
целые числа из отрезка [0, nT ], а r(n) = r
X̃
(n) — количество попаданий последовательности
(X̃(i), i = 0, n) в точку 0.
Заметим, что для любых p ∈ N и 0 6 k < l 6 nT
sup
|l−k|6p
∣∣X̃(l)− X̃(k)
∣∣ 6 2 sup
|l−k|6p
∣∣S(l)− S(k)
∣∣+ sup
j6r(nT )
|ξj |.
Действительно, если на каком-то отрезке времени не было заходов цепи Маркова X̃(j), j ∈ [k, l]
в точку 0, то |X̃(l)−X̃(k)| не превышает sup|j−i|6|l−k| |S(j)−S(i)| по построению. В противном
случае пусть k1 := inf{j ≥ k : X̃(j) = 0}, l1 := sup{j ≤ l : X̃(j) = 0}. Тогда∣∣X̃(l)− X̃(k)
∣∣ 6 ∣∣X̃(k1)− X̃(k)
∣∣+
∣∣X̃(l1)− X̃(k1)
∣∣+
∣∣X̃(l1 + 1)− X̃(l1)
∣∣+
+
∣∣X̃(l)− X̃(l1 + 1)
∣∣ =
∣∣X̃(k1)− X̃(k)
∣∣+
∣∣X̃(l1 + 1)− X̃(l1)
∣∣+
∣∣X̃(l)− X̃(l1 + 1)
∣∣ 6
6 2 sup
|j−i|6|l−k|
∣∣S(j)− S(i)
∣∣+ sup
j6r(nT )
|ξj |.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 513
Таким образом, для любого положительного δ имеем
ω
X̃n
(δ) 6 2ωSn(δ) +
1√
n
sup
j6r(nT )
|ξj |. (24)
Тогда для любого α > 0
P(ω
X̃n
(δ) > α) 6 P(ωSn(δ) > α/3) + P
(
1√
n
sup
j6r(nT )
|ξj | > α/3
)
. (25)
Из слабой сходимости в C([0, T ]) последовательности Sn (теорема Донскера) в силу теоре-
мы 8.2 из [17] следует, что
∀ε > 0 ∀α > 0 ∃δ > 0 ∃n1 ∀n > n1 : P(ωSn(δ) > α/3) < ε/2.
Для оценки второго слагаемого в (25) покажем, что для любого положительного δ
P
(
max
j6r(n)
|ξj | > δ
√
n
)
→ 0, n→∞.
Для произвольного x > 0 оценим
P
(
max
j6r(n)
|ξj | > δ
√
n
)
6 P
(
r(n) > x
√
n
)
+ P
(
max
j6x
√
n
|ξj | > δ
√
n
)
. (26)
Для оценки первого слагаемого в правой части (26) рассмотрим блуждание S̃ с единичными
скачками, построенное специальным образом по траекториям процесса X̃, а затем сравним
количество попаданий в точку 0 для S̃ и X (см. ниже). Идея заключается в том, что при
бо́льших скачках из нуля времени на то, чтобы вернуться в точку 0, нужно больше, а количество
возвращений будет, следовательно, меньше.
Формально соответствующее построение можно реализовать следующим образом. Поло-
жим
S̃(k) := X̃(k), k = 0, t̃1,
где t̃1 := inf{k : S̃(k) = 0} — момент первого попадания процесса S̃ в точку 0. Далее, положим
S̃(t̃1 + 1) := sign(X̃(t1 + 1)),
где t1 — момент первого попадания процесса X̃ в точку 0.
Пусть приращения процесса S̃ вплоть до момента t̃2 второго попадания в точку 0 снова
совпадают с соответствующими приращениями X̃ :
S̃(t̃1 + 1 + k) := X̃(t1 + 1 + k)− X̃(t1 + 1), k = 1, t̃2−t̃1−1,
и
S̃(t̃2 + 1) := sign(X̃(t2 + 1)).
Дальнейшие построения проводятся аналогично.
Тогда несложно заметить, что поскольку
∣∣X̃(ti+1)
∣∣ > 1 =
∣∣S̃(t̃i+1)
∣∣ и ∣∣X̃(k+1)−X̃(k)
∣∣ = 1,
k /∈ {ti}, то t̃i+1− t̃i 6 ti+1− ti, i > 1. Отсюда следует, что количество r
X̃
попаданий процесса
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
514 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
X̃ в точку 0 не превышает количества r
S̃
попаданий процесса S̃ в точку 0:
r
X̃
(k) 6 r
S̃
(k), k > 0. (27)
Заметим теперь, что |S̃(k)|, k = 0, n, — модуль симметричного случайного блуждания.
Поэтому количество попаданий в точку 0 для S̃ (или |S̃|) имеет такое же распределение, как и
для обычного симметричного случайного блуждания S с единичными скачками.
Для распределений последнего известна асимптотика (см., например, [21]):
∀x > 0 : lim
n→∞
P
(
r
S̃
(n) 6 x
√
n
)
=
√
2
π
x∫
0
e−z
2/2dz. (28)
Из (27), (28) следует, что
∀ε > 0 ∃x > 0 ∃n0 ∀n > n0 : P
(
r
X̃
(n) > x
√
n
)
6 P
(
r
S̃
(n) > x
√
n
)
< ε.
Оценим
P
(
max
j6x
√
n
|ξj | > δ
√
n
)
= P
⋃
j6x
√
n
{
|ξj | > δ
√
n
} 6
∑
j6x
√
n
P
(
|ξj | > δ
√
n
)
6
6 [x
√
n ]
{
P
(
|ξ(+)| > δ
√
n
)
+ P
(
|ξ(−)| > δ
√
n
)}
→ 0, n→∞,
так как Eξ(±) <∞ по предположению теоремы.
Итак, мы получили (26), откуда с учетом (25) следует, что
∀ε > 0 ∀α > 0 ∃δ > 0 ∃n0 ∀n > n0 : P
(
ω
X̃n
(δ) > α
)
< ε. (29)
Таким образом, поскольку (см. (22))
P
(
ω
X
(τ,τ̃)
n
(δ) > α
)
6 P
(
ω
X̃n
(δ) > α− 2m/
√
n
)
6 P
(
ω
X̃n
(δ) > α/2
)
при n > 16m2/α2, в силу (23) имеем
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ n0 ∀ n > n0 : P(ωXn(δ) > ε) 6 P(ω
X
(τ,τ̃)
n
(δ) > ε/2) 6 ε.
Следовательно, условие (4) выполняется.
4.3. Условие малости времени, проводимого в окрестности нуля. В данном подпункте
установим соотношение
∀T > 0 ∀δ > 0 : lim
α→0+
lim
n→∞
P
T∫
0
1I|Xn(t)|6αdt > δ
= 0, (30)
откуда, в частности, будет следовать, что последовательность процессов {Xn}n>1 удовлетво-
ряет условию (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ . . . 515
Аналогично рассуждениям из пп. 4.2 построим процессы S̃n, X̃n, X
(τ,τ̃)
n . Время, проведен-
ное процессом S̃n(t), t ∈ [0, T ], в отрезке [−α, α], не превышает аналогичного времени для X̃n.
Поэтому для любых T > 0, δ > 0
lim
α→0+
lim
n→∞
P
T∫
0
1I|X̃n(t)|6αdt > δ
6 lim
α→0+
lim
n→∞
P
T∫
0
1I|S̃n(t)|6αdt > δ
. (31)
Поскольку |S̃n(t)|, t ∈ [0, T ], слабо сходится к отраженному броуновскому движению, то правая
часть (31) равна нулю. Следовательно,
lim
α→0+
lim
n→∞
P
T∫
0
1I
|Xn(t)|∈
(
m√
n
,α
]dt > δ
6 lim
α→0+
lim
n→∞
P
T∫
0
1I|X̃n(t)|6αdt > δ
= 0.
Таким образом, для доказательства (30), а следовательно, и теоремы 3 достаточно проверить,
что
∀T > 0 ∀δ > 0 : lim
n→∞
P
T∫
0
1I|Xn(t)|6 m√
n
dt > δ
= 0. (32)
Пусть случайные величины ζ(+), ζ(−) имеют такое же распределение, как время, которое
проводитX в мембране {−m,−m+1, . . . ,m} при входе в нее черезm или−m, соответственно.
Обозначим через rX(k) количество заходов последовательности (X(i), 0 6 i 6 k) в мембрану,
и пусть ζ(+)
j , ζ
(−)
j , j > 0, — независимые копии величин ζ(±), также независимые от S̃. Легко
видеть, что для любых x > 0, k ∈ N
P(rX(k) > x) 6 P(r
S̃
(k) > x),
P
rX(k)∑
i=1
1I|X(i)|6m > x
6 P
r
S̃
(k)∑
i=1
(ζ
(+)
i + ζ
(−)
i ) > x
.
Поэтому
lim
n→∞
P
(∫ T
0
1I|Xn(t)|6 m√
n
dt > δ
)
6 lim
n→∞
P
r
S̃
([nT ]+1)∑
i=1
ζ
(+)
i + ζ
(−)
i
n
> δ
.
Аналогично рассуждениям из пп. 4.2 из последнего неравенства и (28) получаем (32).
Теорема 3 доказана.
1. Harrison J. M., Shepp L. A. On skew Brownian motion // Ann. Probab. – 1981. – 9, № 2. – P. 309 – 313.
2. Минлос Р. А., Жижина Е. А. Предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания
на одномерной решетке // Успехи мат. наук. – 1997. – 52, № 2. – С. 87 – 100.
3. Яроцкий Д. А. Принцип инвариантности для неоднородного случайного блуждания на решетке Z1 // Мат.
заметки. – 1999. – 66, № 3. – С. 459 – 472.
4. Пилипенко А. Ю., Приходько Ю. Є. Про граничну поведiнку симетричних випадкових блукань з мембранами //
Теорiя ймовiрностей i мат. статистика. – 2011. – Вип. 85. – С. 84 – 94.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
516 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, Ю. Е. ПРИХОДЬКО
5. Pilipenko A. Yu., Prykhodko Yu. E. Limit behavior of a simple random walk with non-integrable jump from a barrier //
Theory Stochast. Processes. – 2014. – 19(35), № 1. – P. 52 – 61.
6. Enriquez N., Kifer Y. Markov chains on graphs and Brownian motion // J. Theor. Probab. – 2001. – 14, № 2. –
P. 495 – 510.
7. Freidlin M. I., Wentzel A. D. Diffusion processes on graphs and the averaging principle // Ann. Probab. – 1993. – 21,
№ 4. – P. 2215 – 2245.
8. Kulik A. M. A limit theorem for diffusions on graphs with variable configuration // arXiv:math/0701632
9. Varadhan S. R. S., Williams R. J. Brownian motion in a wedge with oblique reflection // Communs Pure and Appl.
Math. – 1985. – 38. – P. 405 – 443.
10. Kwon Y. The submartingale problem for Brownian motion in a cone with nonconstant oblique reflection // Probab.
Theory Relat. Fields. – 1992. – 92, № 3. – P. 351 – 391.
11. Kwon Y., Williams R. J. Reflected Brownian motion in a cone with radially homogeneous reflection field // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1991. – 327, № 2. – P. 739 – 780.
12. Bafico R., Baldi P. Small random perturbations of Peano phenomena // Stochastics. – 1982. – 6, № 3–4. – P. 279 – 292.
13. Крыкун И. Г., Махно С. Я. Явление Пеано для уравнений Ито // Укр. мат. вiсн. – 2013. – 10, № 1. – С. 87 – 109.
14. Харламов Б. П. Непрерывные полумарковские процессы. – М.: Наука, 2001. – 418 c.
15. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1961. – 216 с.
16. Kallenberg O. Foundations of modern probability. – Springer, 1997. – 523 p.
17. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 351 с.
18. Ethier S., Kurtz T. Markov processes. Characterization and convergence. – John Wiley & Sons, 1986. – 534 p.
19. Karr A. F. Weak convergence of a sequence of Markov chains // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. –
1975/76. – 33, № 1. – P. 41 – 48.
20. Lejay A. On the constructions of the skew Brownian motion // Probab. Surv. – 2006. – 3. – P. 413 – 466.
21. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – Издание второе. – М.: Мир, 1967. – Т. 1. –
487 c.
Получено 27.03.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
|