Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью
У роботі чисельно-аналітичними методами досліджуються обмежені розв'язки диференціальних рівнянь з 6істійкою нєлінійністю. Розглянуто найпростішу механічну модель кругового маятника з магнітною підвіскою у верхньому положенні рівноваги як бістійку динамічну систему, що моделює надчутливий сейсм...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165519 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью / Л.П. Нижник, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 4. — С. 517–554. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-165519 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1655192020-02-15T01:26:50Z Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью Нижник, Л.П., Самойленко, А.М. Статті У роботі чисельно-аналітичними методами досліджуються обмежені розв'язки диференціальних рівнянь з 6істійкою нєлінійністю. Розглянуто найпростішу механічну модель кругового маятника з магнітною підвіскою у верхньому положенні рівноваги як бістійку динамічну систему, що моделює надчутливий сейсмограф. Розглянуто автономні диференціальні рівняння другого та четвертого порядку з розривною кусково-лінійною та кубічною нелінійностями. Детально досліджено обмежені розв'язки зі скінченним числом нулів: солітоноподібні з двома нулями та кінкоподібні з декількома нулями. Показано, що з точністю до знака i зсуву обмежені розв'язки розглядуваних рівнянь однозначно визначаються цілими числами, що характеризують відстані між сусідніми нулями d, а константа l характеризує інтенсивність нелінійності. Показано наявність обмежених хаотичних розв'язків, знайдено значення просторової ентропії для періодичних розв'язків. We study bounded solutions of differential equations with bistable nonlinearity by numerical and analytic methods. A simple mechanical model of circular pendulum with magnetic suspension in the upper equilibrium position is regarded as a bistable dynamical system simulating a supersensitive seismograph. We consider autonomous differential equations of the second and fourth orders with discontinuous piecewise linear and cubic nonlinearities. Bounded solutions with finitely many zeros, including solitonlike solutions with two zeros and kinklike solutions with several zeros are studied in detail. It is shown that, to within the sign and translation, the bounded solutions of the analyzed equations are uniquely determined by the integer numbers where d is the distance between the roots of these solutions and l is a constant characterizing the intensity of nonlinearity. The existence of bounded chaotic solutions is established and the exact value of space entropy is found for periodic solutions. 2015 Article Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью / Л.П. Нижник, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 4. — С. 517–554. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165519 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Нижник, Л.П., Самойленко, А.М. Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью Український математичний журнал |
| description |
У роботі чисельно-аналітичними методами досліджуються обмежені розв'язки диференціальних рівнянь з 6істійкою нєлінійністю. Розглянуто найпростішу механічну модель кругового маятника з магнітною підвіскою у верхньому положенні рівноваги як бістійку динамічну систему, що моделює надчутливий сейсмограф. Розглянуто автономні диференціальні рівняння другого та четвертого порядку з розривною кусково-лінійною та кубічною нелінійностями. Детально досліджено обмежені розв'язки зі скінченним числом нулів: солітоноподібні з двома нулями та кінкоподібні з декількома нулями. Показано, що з точністю до знака i зсуву обмежені розв'язки розглядуваних рівнянь однозначно визначаються цілими числами, що характеризують відстані між сусідніми нулями d, а константа l характеризує інтенсивність нелінійності. Показано наявність обмежених хаотичних розв'язків, знайдено значення просторової ентропії для періодичних розв'язків. |
| format |
Article |
| author |
Нижник, Л.П., Самойленко, А.М. |
| author_facet |
Нижник, Л.П., Самойленко, А.М. |
| author_sort |
Нижник, Л.П., |
| title |
Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью |
| title_short |
Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью |
| title_full |
Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью |
| title_fullStr |
Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью |
| title_full_unstemmed |
Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью |
| title_sort |
дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165519 |
| citation_txt |
Дифференциальные уравнения с биустойчивой нелинейностью / Л.П. Нижник, А.М. Самойленко // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 4. — С. 517–554. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT nižniklp differencialʹnyeuravneniâsbiustojčivojnelinejnostʹû AT samojlenkoam differencialʹnyeuravneniâsbiustojčivojnelinejnostʹû |
| first_indexed |
2025-07-14T18:49:48Z |
| last_indexed |
2025-07-14T18:49:48Z |
| _version_ |
1837649370792591360 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко, И. Л. Нижник (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
We study bounded solutions of differential equations with bistable nonlinearity by numerical and analytic methods. A
simple mechanical model of circular pendulum with magnetic suspension in the upper equilibrium state is regarded as
a bistable dynamical system simulating a supersensitive seismograph. We study autonomous differential equations of the
second and fourth orders with piecewise discontinuous and cubic nonlinearities. Bounded solutions with finitely many
zeros: solitonlike solutions with two zeros and kinklike solutions with several zeros are investigated in detail. It is shown
that, to within the sign and translation, the bounded solutions of the analyzed equations are uniquely determined by the
integers n =
[
d
l
]
, where d is the distance between the roots of these solutions and l is a constant characterizing the
intensity of nonlinearity. The existence of bounded chaotic solutions is established and the exact value of space entropy is
found for periodic solutions.
У роботi чисельно-аналiтичними методами дослiджуються обмеженi розв’язки диференцiальних рiвнянь з бiстiйкою
нелiнiйнiстю. Розглянуто найпростiшу механiчну модель кругового маятника з магнiтною пiдвiскою у верхньому
положеннi рiвноваги як бiстiйку динамiчну систему, що моделює надчутливий сейсмограф. Розглянуто автономнi
диференцiальнi рiвняння другого та четвертого порядку з розривною кусково-лiнiйною та кубiчною нелiнiйно-
стями. Детально дослiджено обмеженi розв’язки зi скiнченним числом нулiв: солiтоноподiбнi з двома нулями та
кiнкоподiбнi з декiлькома нулями. Показано, що з точнiстю до знака i зсуву обмеженi розв’язки розглядуваних
рiвнянь однозначно визначаються цiлими числами n =
[
d
l
]
, що характеризують вiдстанi мiж сусiднiми нулями d, а
константа l характеризує iнтенсивнiсть нелiнiйностi. Показано наявнiсть обмежених хаотичних розв’язкiв, знайдено
значення просторової ентропiї для перiодичних розв’язкiв.
1. Введение. Нелинейные параболические уравнения играют важную роль в различных разде-
лах физики, химии, биологии [1 – 9]. В частности, к ним принадлежат расширенное уравнение
Фишера – Колмогорова [2, 3]
∂u
∂t
= −γ ∂
4u
∂x4
+
∂2u
∂x2
− f(u),
которое при γ = 0 превращается в классическое уравнение Колмогорова – Петровского – Писку-
нова – Фишера [5], и уравнение Свифта – Гогенберга [8]
∂u
∂t
= −
(
1− ∂2
∂x2
)2
u− f(u),
впервые полученное при изучении конвекции Рэлея – Бенара. При этом в первую очередь рас-
сматриваются биустойчивые нелинейности, когда уравнение
du
dt
= −f(u) имеет два устой-
чивых стационарных решения. При исследовании таких уравнений в частных производных
важную роль играют ограниченные стационарные решения (в том числе и периодические [10 –
14]) — решения обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с кубической
биустойчивой нелинейностью f(y) = ky(y2 − 1) [15 – 20] и с ее кусочно-линейной аппрокси-
мацией [22 – 24]. Для таких уравнений [15 – 20], а также их дискретных аналогов [25 – 27]
достаточно детально исследованы периодические решения и кинки.
c© А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4 517
518 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Следует отметить, что исследование периодических решений для нелинейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений является актуальной тематикой, которой посвящено огром-
ное количество работ (см., например, [10 – 14]).
Наряду с этим особое внимание уделяется изучению уравнений с разрывными правыми
частями в силу их важности в прикладных задачах (см. [28 – 33] и приведенную там библио-
графию).
В пункте 2 исследуются периодические решения однородных дифференциальных уравне-
ний второго порядка с разрывной нелинейностью. Изучаются уравнения, которые имеют ха-
отические решения, и для них находится значение пространственной энтропии относительно
периодических решений.
Рассмотрена простейшая механическая модель кругового маятника с магнитной подвеской
в верхнем положении равновесия как биустойчивая динамическая система, которая моделирует
сверхчувствительный сейсмограф.
В пункте 3 исследуются ограниченные решения на всей оси−∞ < x < +∞ для модельного
дифференциального уравнения четвертого порядка с разрывной нелинейностью
y(4)(x) + 4y(x) = 4 sign y(x).
Подробно изучается конструктивный метод построения решений через их нули. Показано,
что расстояние между нулями таких решений можно характеризовать нечетными числами.
При этом для произвольной последовательности нечетных чисел существует и единственно с
точностью до знака и сдвига ограниченное решение. Явно описаны периодические решения.
Показано существование пространственного хаоса. Найдено точное значение пространствен-
ной энтропии относительно периодических решений.
В четвертом пункте для уравнения y(4) +2y(y2−1) = 0 предложено аналитическое постро-
ение кинкообразных решений (ограниченных на всей оси решений с конечным числом нулей)
в виде быстросходящихся рядов по произведениям экспоненциальных и тригонометрических
функций. Показано, что с точностью до знака и сдвига кинкообразные решения однозначно
характеризуются набором целых чисел n1, . . . , nk — целых частей от деленных на π расстоя-
ний между последовательными нулями этих решений. Положительность пространственной
энтропии указывает на наличие у рассматриваемого уравнения хаотических решений [21].
2. Ограниченные решения уравнения второго порядка с биустойчивой нелинейно-
стью. 2.1. Периодические решения уравнения второго порядка с биустойчивой кусочно-
линейной нелинейностью. Будем исследовать периодические решения уравнения с разрывной
нелинейностью вида [30]
y′′ + y = sign y. (2.1)
Начнем с уточнения понятия решения. Наиболее общее определение решений дифференциаль-
ных уравнений с разрывной нелинейностью связано с интерпретацией такого рода уравнений,
как дифференциальные включения [28]. Отметим, что уравнению (2.1) соответствует диффе-
ренциальное включение, если в правой части уравнения (2.1) полагать sign 0 = [−1, 1]. Однако,
поскольку рассматриваемое уравнение (2.1) однородное (функция, тождественно равная нулю,
является его решением), то в данном случае можно привести эквивалентное, более простое
определение решения, аналогичное введенному в [24, 30].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 519
Рис. 2.1. Решение (2.4) уравнения (2.1) на периоде L = 8.
Определение 2.1. Под решением уравнения (2.1) будем понимать непрерывно дифферен-
цируемую функцию y(x), если вне своих нулей y(x) — классическое решение уравнения (2.1).
Отметим, что если функция y(x) — решение уравнения (2.1), то и функция вида ±y(x+ a),
где a— константа, является решением уравнения (2.1) в силу автономности уравнения. Решения,
отличающиеся сдвигом или знаком, будем называть эквивалентными.
Уравнение (2.1) имеет тривиальные решения 0, ±1. При этом считаем, что sign 0 = 0.
Уравнение (2.1) имеет финитные решения, отличные от нуля на интервале длины 2π:
y(x) = 1− cosx, x ∈ (0, 2π),
y(x) ≡ 0, x /∈ (0, 2π).
(2.2)
Решения, принимающие на всей оси положительные значения, имеют вид y(x) = 1+C cos(x−
− θ), где C, θ — константы, 0 ≤ C < 1. Решения, принимающие на всей оси отрицательные
значения, соответственно имеют вид y(x) = −1 + C cos(x− θ). Решения вида
y(x) = ±1 + C cos(x− θ), 0 < C < 1, (2.3)
являются 2π-периодическими.
Нетривиальные L-периодические решения уравнения (2.1) с простыми нулями существуют
при L = 2l, где произвольное число l ∈ (π, 2π), и имеют вид (рис. 2.1)
y(x) = 1− cos(x− l/2)
cos(l/2)
, 0 ≤ x ≤ l,
y(x) = −y(x+ l), l ≤ x ≤ 2l = L.
(2.4)
Уравнение (2.1) имеет периодические решения с изолированными нулями двух видов: с
простыми нулями вида (2.4) и с двукратными нулями на периоде L = 2Nπ, где N — целое
число, и имеют вид±(1−cosx) на интервалах (2(k−1)π, 2kπ), k = 1, 2, . . . , N, с произвольным
выбором знаков решения на каждом интервале.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
520 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Рис. 2.2. Решение уравнения (2.1) на периоде L = 40.
Нетривиальные периодические решения с неизолированными или двукратными нулями
существуют для любых значений L > 2π и имеют следующую структуру: на интервале длины L
каждый набор непересекающихся подынтервалов Ik длины 2π, на каждом из которых решение
с точностью до знака и сдвига по x имеет вид 1 − cosx и равно нулю вне всех Ik, порождает
L-периодическое решение уравнения (2.1) (рис. 2.2).
Поскольку на интервале периодичности длины L > 4π всегда можно указать континуумом
способов непересекающиеся интервалы длины 2π, из этого следует, что уравнение (2.1) имеет
несчетное число различных неэквивалентных периодических с периодом L > 4π решений с
неизолированными нулями.
Рассмотренные выше решения уравнения (2.1) описывают все решения этого уравнения.
Теорема 2.1. Пусть y(x) — решение уравнения (2.1) на интервале (α, β). Тогда это ре-
шение может быть продолжено на всю ось как решение ỹ(x) уравнения (2.1). При этом если
функция ỹ(x) не имеет нулей или имеет хотя бы один простой нуль, то продолжение ỹ(x)
единственно. В остальных случаях продолжение неединственно.
Доказательство. Пусть y(x) — решение уравнения (2.1) на интервале (α, β). Если y(x) ≡
≡ 0, то продолжение его нулем дает решение на всей оси. Пусть в некоторой точке x0 ∈ (α, β)
решение y(x0) 6= 0. Пусть y′(x0) — значение производной в точке x0. Тогда в окрестности этой
точки решение y(x) удовлетворяет уравнению y′′ + y = sign y(x0), которое имеет вид
y(x) = sign y(x0) + [y(x0)− sign y(x0)] cos(x− x0) + y′(x0) sin(x− x0). (2.5)
Если решение (2.5) не меняет знак, то оно будет решением уравнения (2.1) для всех x, иско-
мым 2π-периодическим продолжением решения на всю ось. Пусть решение (2.5) меняет знак
и x1 > x0 — ближайший к точке x0 нуль решения. Предположим, что y′(x1) 6= 0, т. е. нуль —
простой. Тогда при x ≥ x1 решение уравнения (2.1) будет нечетным продолжением реше-
ния (2.5) относительно точки x1, что приводит к L-периодическому решению вида (2.4). Такое
продолжение единственно. Если же точка x1 — кратный нуль, т. е. y′(x1) = 0, то существует
интервал I1 длины 2π, одним из концов которого является точка x1 и на котором решение (2.5)
эквивалентно функции 1 − cosx. На интервале I1 продолженное из окрестности точки x0 ре-
шение единственно. Если вне интервала I1 исходное решение определено и отлично от нуля,
то, повторяя приведенные рассуждения, получаем интервал I2 длины 2π, на котором продол-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 521
Рис. 2.3. Фазовый портрет динамической системы y′′ + y = sign y.
жение решения эквивалентно функции 1 − cosx. Поскольку интервал (α, β) конечен, то за
конечное число шагов построенные интервалы I1, I2, . . . , Ik покроют подмножество интервала
(α, β), на котором решение y(x) отлично от нуля. Теперь продолжение можно осуществить тож-
дественным нулем вне интервалов I1, I2, . . . , Ik. Отметим, что на продолжении нулем можно
располагать непересекающиеся вставки длиной 2π, на которых решение эквивалентно 1−cosx.
Таким образом, продолжение неединственно.
Теорема 2.1 доказана.
Следствие 2.1. Решения y(x) на всей оси уравнения (2.1), отличные от тривиальных ре-
шений y(x) ≡ 0, ±1, являются 2π-периодическими, если они не имеют нулей и представимы в
виде (2.3). Если решение имеет хотя бы один изолированный простой нуль, то решение явля-
ется периодическим с периодом L = 2l, где l ∈ (0, π) и эквивалентно функции вида (2.4). Если
решение y(x) имеет хотя бы один двукратный нуль, то оно отлично от тождественного нуля
на системе непересекающихся интервалов Ik длины 2π и имеет вид y(x) = ±(1−cos(x−αk)),
где αk — координаты левого конца интервала Ik.
На рис. 2.3 изображен фазовый портрет уравнения (2.1), где на оси абсцисс находятся зна-
чения y, а на оси ординат — значения y′. Точкам (−1, 0), (0, 0), (1, 0) на графике соответствуют
тривиальные решения y ≡ −1, 0, 1. Окружностям с центром в точках (−1, 0), (1, 0) радиуса
C < 1 соответствуют 2π-периодические решения без нулей вида (2.3). Замкнутым линиям вне
окружностей соответствуют L-периодические решения вида (2.4), двум окружностям с центром
в точках (−1, 0), (1, 0) радиуса 1 — все решения с двукратными нулями, например решение,
изображенное на рис. 2.2.
2.2. Хаотические решения. Энтропия. Приведем следующее определение энтропии для
уравнения (2.1) по аналогии с соответствующим определением, данным в работах [23, 24].
Определение 2.2. Пусть S(L) — число всех неэквивалентных периодических решений урав-
нения (2.1) с изолированными нулями с наименьшим периодом L. Число
η = lim
L→∞
1
L
lnS(L) (2.6)
будем называть пространственной энтропией уравнения (2.1) относительно периодических
решений с изолированными нулями.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
522 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Теорема 2.2. Пространственная энтропия уравнения (2.1) относительно периодических
решений с изолированными нулями определяется числом
η =
ln 2
2π
. (2.7)
Доказательство. Пусть y(x) — L-периодическое решение с изолированными нулями. Ес-
ли нули решения простые, то существует одно неэквивалентное решение, задаваемое форму-
лой (2.4). Это решение при вычислении энтропии можно не учитывать. Если же изолированные
нули кратные, то период решения L = 2Nπ, где N — целое число, а решение y(x) имеет вид
±(1 − cosx) на каждом из интервалов (2kπ, 2(k + 1)π), k = 0, 1, . . . , N − 1. Поэтому число
S(L) всех неэквивалентных решений в определении 2.2 имеет оценку
S(L) ≤ 2N .
С другой стороны, изменение знака и сдвиги на 2π приводят к эквивалентным решениям.
Поэтому
S(L) ≥ 1
2N
2N .
Следовательно, энтропия, с одной стороны, имеет оценку
η ≤ lim
N→∞
ln 2N
2Nπ
=
ln 2
2π
,
а с другой —
η ≥ lim
N→∞
ln
(
1
2N
2N
)
2Nπ
=
ln 2
2π
.
Теорема 2.2 доказана.
Положительность пространственной энтропии показывает, что уравнение (2.1) имеет „хао-
тические” решения [23, 24].
По аналогии с определением, данным в работах [23, 24], приведем следующее строгое
определение хаотического решения.
Определение 2.3. Будем говорить, что дифференциальное уравнение имеет хаотические
решения, если существуют число d > 0 и множество I, содержащее не менее двух точек,
такие, что для произвольной последовательности аргументов xk, xk+1− xk ≥ d и произволь-
ной последовательности значений yk ∈ I существует решение дифференциального уравнения
такое, что
y(xk) = yk. (2.8)
Другими словами, существует решение дифференциального уравнения, график которого про-
ходит через наперед заданную последовательность точек Ak(xk, yk), абсциссы которых xk
отличаются не менее, чем на d, а ординаты yk принадлежат множеству I.
Теорема 2.3. Для дифференциального уравнения (2.1) существуют хаотические решения
в смысле определения 2.3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 523
Рис. 2.4. Маятник с магнитной подвеской.
Доказательство. Положим в определении 2.3 d = 4π, а множество I — отрезок [−2, 2].
Пусть заданы точки Ak(xk, yk), где xk+1 − xk ≥ 4π, а yk ∈ [−2, 2]. Построим решения yk(x)
уравнения (2.1) y′′ + y = sign y, которые удоволетворяют начальным условиям yk(xk) = yk,
y′(xk) =
√
1− (|yk| − 1)2. Решения yk(x) имеют вид yk(x) = sign yk[1−cos(x−ak)], где числа
ak определяются из равенства cos(xk−ak) = 1−|yk|. Решения yk(x) однозначно определены на
отрезках Ik длины 2π, которые содержат точки xk, и превращаются в нуль вместе с производной
на концах отрезков Ik. Отрезки Ik не пересекаются, поскольку согласно условию xk+1 − xk ≥
≥ d = 4π. Решение y(x) уравнения (2.1), которое совпадает с yk(x) на отрезках Ik и равно
тождественно нулю вне всех Ik, будет удовлетворять определению 2.3.
Теорема 2.3 доказана.
2.3. Круговой маятник с магнитной подвеской в верхнем неустойчивом положении
равновесия. Пусть угол ϕ(t), который определяет положение маятника (см. рис. 2.4), отсчиты-
вается против часовой стрелки от верхнего положения в момент времени t. Тогда дифферен-
циальное уравнение движения маятника в безразмерных величинах будет иметь вид
ϕ̈ = sinϕ− a sinϕe−k tan
2 ϕ
2 . (2.9)
Здесь константа a > 1 характеризует силу магнитного притяжения, а k — ее локализацию в
окрестности верхнего положения. Это притяжение линейно при малых ϕ и быстро убывает
при удалении от верхнего положения. Равенство нулю правой части (2.9) определяет четыре
положения равновесия:
ϕ1 = 0, ϕ2 = π, ϕ3,4 = ±2 arctan
√
ln a
k
.
Положения ϕ1 и ϕ2 устойчивы, а ϕ3,4 неустойчивы. При малых значениях ϕ − (2k + 1)π для
верхнего положения равновесия (перевернутый маятник) уравнение имеет вид ϕ̈ = (1 − a)ϕ.
При малых значениях ψ = ϕ − 2kπ для нижнего положения равновесия уравнение маятника
имеет вид ψ̈ + ψ = 0.
Если на маятник действует внешняя сила f(t), то функцию f(t) надо добавить в правую
часть уравнения (2.9).
Для учета трения необходимо в правую часть уравнения (2.9) добавить член −bϕ̇, где
величина b характеризует силу трения, пропорциональную скорости ϕ̇ изменения угла ϕ(t)
при движении маятника. Величина b может зависеть от положения маятника. В частности,
важен случай b(ϕ) = γθ(|ϕ(t)−ϕ(t− τ)|−π)e−β tan2 ϕ
2 , где θ — единичная функция Хевисайда,
когда трение сосредоточено в окрестности верхнего положения равновесия и за время от t−τ до
t маятник пересекает нижнее положение равновесия. В противном случае трение отключается.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
524 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Рис. 2.5. Колебательные движения маятника в окрестности верхнего положения рав-
новесия, a = 1,01, k = 1, ϕ̇(0) = 0,01.
Рис. 2.6. Круговые движения маятника, a = 1,01, k = 1, ϕ̇(0) = 0, 03.
Если в начальный момент t = 0 маятник занимает верхнее положение равновесия ϕ(0) = 0
и имеет начальную скорость ϕ̇(0), то при малых ϕ̇(0) движение согласно уравнению (2.9)
является колебательным и описывается функцией
ϕ(t) =
ϕ̇(0)√
a− 1
sin
(√
a− 1t
)
.
Приближенно можно считать, что так будет, если
ϕ̇(0)√
a− 1
� |ϕ3,4|. Учитывая, что |ϕ3,4| =
= 2
√
ln a
k
при малых значениях a − 1, получаем критическое значение начальной скорости
ϕ̇c =
2(a− 1)√
k
. Если ϕ̇(0) � ϕ̇c, то маятник колеблется относительно верхнего положения
равновесия. Если же ϕ̇(0)� ϕ̇c, то маятник осуществляет круговые движения.
На рис. 2.5, 2.6 приведены численные расчеты движения маятника согласно уравнению (2.9)
с a = 1,01, k = 1 при начальных скоростях ϕ̇(0) = 0, 01 (колебательные движения, рис. 2.5),
ϕ̇(0) = 0,03 (круговые движения, рис. 2.6). Отметим, что в этом случае ϕ̇c = 0,02.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 525
Рис. 2.7. Движение маятника: при t = 10 импульс f1 = 0,2; при t = 110 импульс
f2 = −0,4, коэффициенты трения γ = 0,1, β = 15.
При наличии трения колебательные и круговые движения маятника будут затухающими.
Приведенное выше выражение для трения, сосредоточенного в окрестности верхнего положе-
ния равновесия, приводит круговые движения к затухающим в верхнем положении с после-
дующим отключением трения. При этом количество полных оборотов маятника характеризует
величину ϕ̇(0).
Важным случаем внешней силы для сейсмических наблюдений является случай, когда
внешняя сила имеет вид редких толчков. Математически это соответствует функции f(t),
имеющей вид суммы δ-функций Дирака, сосредоточенных в моменты толчков tk с интенсив-
ностью fk:
f(t) =
∑
k
fkδ(t− tk).
В этом случае уравнение движения маятника имеет вид
ϕ̈ = sinϕ− a sinϕe−k tan
2 ϕ
2 − b(ϕ)ϕ̇+ f(t).
Само движение представляет круговые движения после моментов tk (их количество характери-
зуют величины интенсивностей fk) и затухающие колебания в окрестности верхнего положения
равновесия между круговыми движениями.
Приведем численные примеры движения маятника с магнитной подвеской в верхнем неустой-
чивом положении с a = 1,01, k = 1 (рис. 2.7). В момент времени t = 10, получая импульс
f1 = 0,2, маятник делает два круговых оборота и стабилизируется. Далее, в момент времени
t = 110 с импульсом f2 = −0,4 маятник делает 5 оборотов в другую сторону и стабилизируется.
На основании изложенного можно сделать вывод, что рассмотренная математическая мо-
дель кругового маятника с магнитной подвеской в верхнем неустойчивом положении равнове-
сия может служить моделью для сверхчувствительного сейсмографа для фиксации моментов и
интенсивностей редких малых внешних воздействий.
3. Ограниченные решения уравнения четвертого порядка с модельной биустойчивой
нелинейностью. 3.1. Линейное уравнение. Рассмотрим линейное уравнение
y(4)(x) + 4y(x) = h(x) (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
526 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
с известной правой частью h(x) ∈ L∞(R1), где h(x) — измеримая существенно ограничен-
ная функция. Если h(x) — непрерывная функция, то классическим решением уравнения (3.1)
называется четырежды непрерывно дифференцируемая функция, которая удовлетворяет урав-
нению (3.1) для всех x.
В случае произвольных функций h ∈ L∞ под решением уравнения (3.1) будем понимать
трижды непрерывно дифференцируемую функцию y(x), у которой y′′′(x) является абсолютно
непрерывной функцией. Таким образом, почти всюду по x существует y(4)(x), и функция y(x)
удовлетворяет уравнению (3.1) почти всюду по x.
Легко видеть, что однородное уравнение
y(4)(x) + 4y(x) = 0 (3.2)
имеет фундаментальную систему решений
e−x cosx, e−x sinx, ex cosx, ex sinx. (3.3)
Лемма 3.1. Однородное уравнение (3.2) не имеет нетривиальных решений, ограниченных
на всей оси.
Доказательство. Пусть y(x) — ограниченное решение уравнения (3.2). Тогда существуют
постоянные Ck, k = 1, . . . , 4, такие, что
y(x) = C1e
−x cosx+ C2e
−x sinx+ C3e
x cosx+ C4e
x sinx.
Выражения C1 cosx + C2 sinx и C3 cosx + C4 sinx можно представить в виде A cos(x − α)
и B cos(x − β), где A =
√
C2
1 + C2
2 , B =
√
C2
3 + C2
4 . Поэтому y(x) = Ae−x cos(x − α) +
+ Bex cos(x − β). Выберем последовательность аргументов xk = 2kπ + β → ∞ при k → ∞.
Тогда y(xk) = Ae−xk cos(xk − α) +Bexk .
Числа y(xk) будут ограниченными лишь при условии B = 0. Выбирая x̃k = −2kπ + α →
→ −∞, приходим к заключению, что A = 0. Таким образом, ограниченное решение уравне-
ния (3.2) y(x) ≡ 0.
Лемма 3.1 доказана.
Лемма 3.2. Для уравнения (3.1) существует и единственна ограниченная на всей оси функ-
ция Грина G(x), которая имеет вид
G(x) =
1
8
e−|x|(cosx+ sin |x|). (3.4)
Доказательство. Функция G(x) вида (3.4) при x > 0 и x < 0 является ограниченным
решением однородного уравнения (3.2). Непосредственно видно, что
G(+0) = G(−0) =
1
8
, G′(+0) = G′(−0) = 0,
G′′(+0) = G′′(−0) = −1
4
, G′′′(+0) =
1
2
, G′′′(−0) = −1
2
.
Таким образом, G(x) — функция Грина. Если бы для уравнения (3.1) существовала другая
ограниченная функция Грина G1(x), то их разность была бы ограниченным решением на всей
оси однородного уравнения (3.2), и G(x)− G1(x) ≡ 0 в силу леммы 3.1.
Лемма 3.2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 527
Лемма 3.3. Пусть в уравнении (3.1) функция h(x) ∈ L∞(R1). Тогда для этого уравнения
существует и единственно ограниченное на всей оси решение, представимое в виде
y(x) =
+∞∫
−∞
G(x− s)h(s) ds. (3.5)
Доказательство. Покажем, что правая часть в равенстве (3.5) существует. Действительно,
в силу формулы (3.4) и условия h ∈ L∞(R1) интеграл существует и допускает оценку
|y(x)| ≤
∞∫
−∞
|G(s)| ds‖h‖L∞ = K0‖h‖L∞ .
В силу явного вида функции Грина (3.4) интеграл в (3.5) допускает дифференцирование по x
под знаком интеграла до третьего порядка, и имеют место оценки
∣∣y(i)(x)
∣∣ ≤ Ki‖h‖L∞ , где
Ki =
∫ ∞
−∞
∣∣G(i)(s)∣∣ ds, i = 0, 1, 2, 3. Приведем явные значения констант Ki:
K0 =
1
4
∞∫
0
e−s| cos s+ sin s| ds =
1
4
+
√
2
4
e−
3π
4
1− e−π
≈ 0,2852,
K1 =
1
2
∞∫
0
e−s| sin s| ds =
1 + e−π
4(1− e−π)
≈ 0,273,
K2 =
1
2
∞∫
0
e−s| cos s− sin s| ds =
√
2e−
π
4
2(1− e−π)
≈ 0,337,
K3 =
∞∫
0
e−s| cos s| ds =
1
2
+
e−
π
2
1− e−π
≈ 0,717.
(3.6)
Легко видеть, что
y′′′(x) =
+∞∫
−∞
G′′′x (x− s)h(s) ds =
1
2
x∫
−∞
es−x cos(x− s)h(s) ds− 1
2
∞∫
x
ex−s cos(x− s)h(s) ds
является абсолютно непрерывной функцией, а y(4)(x) существует почти всюду по x и y(4)(x) =
= h(x)− 4y(x).
Таким образом, функция y(x), задаваемая формулой (3.5), является ограниченным реше-
нием уравнения (3.2) с h ∈ L∞(R1). Единственность ограниченного решения следует из лем-
мы 3.1.
Лемма 3.3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
528 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
3.2. Решения нелинейного уравнения. Рассмотрим теперь уравнение
y(4)(x) + 4y(x) = 4 sign y(x). (3.7)
Если y(x) — непрерывная функция, множество нулей которой имеет лебегову меру нуль, то
функция sign y(x) определена почти всюду и принадлежит пространству L∞(R1). Поэтому
можно в этом случае определить решения (3.7) как решения (3.1) с h(x) = 4 sign y(x).
В дальнейшем будем пользоваться таким определением решения уравнения (3.7).
Определение 3.1. Трижды непрерывно дифференцируемая функция y(x) называется ре-
шением уравнения (3.7), если вне своих нулей y(x) — классическое решение уравнения (3.7).
Заметим, что для решения y(x) с изолированным множеством нулей определение 3.1 сов-
падает с определением решения уравнения (3.7) через решение уравнения (3.1) с h(x) =
= 4 sign y(x).
Уравнение (3.7) имеет тривиальные решения y = ±1, 0. При этом мы считаем, что sign 0 =
= 0. Заметим, что если y(x) — решение уравнения (3.7), то и ±y(x + a), где a — постоянная,
является решением уравнения (3.7). Такие решения будем называть эквивалентными. Относи-
тельно уравнения (3.7) справедливо такое простое утверждение.
Если на интервале a < x < b решение уравнения (3.7) принимает положительное значение,
т. е. sign y(x) = 1, то
y+(x) = 1 + C+
1 e
−x cosx+ C+
2 e
−x sinx+ C+
3 e
x cosx+ C+
4 e
x sinx, (3.8)
где C+
k = const, k = 1, . . . , 4.
И наоборот, если функция вида (3.8) принимает на некотором интервале положительное
значение, то (3.8) является решением уравнения (3.7). Если на некотором интервале a < x < b
решение уравнения (3.7) принимает отрицательное значение, т. е. sign y(x) = −1, то
y−(x) = −1 + C−1 e
−x cosx+ C−2 e
−x sinx+ C−3 e
x cosx+ C−4 e
x sinx. (3.9)
Доказательство очевидно, поскольку функции (3.3) являются фундаментальной системой
решений однородного уравнения, а y = ±1 является частным решением уравнения (3.7).
Пример 3.1. Найдем ограниченное на всей оси решение уравнения (3.7), которое на поло-
жительной полуоси принимает положительное значение, а на отрицательной — отрицательное
значение. Согласно равенствам (3.8) и (3.9) получаем
y(x) =
1 + C1e
−x cosx+ C2e
−x sinx, x > 0,
−1 + C3e
x cosx+ C4e
x sinx, x < 0.
(3.10)
Условие непрерывности функции y(x) и ее производных до третьего порядка в точке x = 0
дает явные значения констант Ck и явный вид решения
y(x) = signx− Φ(x), (3.11)
где
Φ(x) = signx · e−|x| cosx. (3.12)
Функция Φ(x) необходима нам в дальнейшем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 529
Рис. 3.1. Кинк y(x) = signx(1− e−|x| cosx).
Отметим, что решение (3.11) является ограниченным решением уравнения (3.7), принима-
ющим значение нуль в точке x = 0. Такое решение называется кинком. На рис. 3.1 изображен
график кинка.
3.3. Простейшие симметрические периодические решения. Построим в явном виде пе-
риодическое симметрическое решение уравнения (3.7). Пусть L = 2` > 0 — период решения.
Пусть на интервале 0 < x < ` решение положительно, а на интервале ` < x < 2` = L —
отрицательно. Тогда, согласно формуле (3.8), получаем
y(x) = 1 + C1e
−x cosx+ C2e
−x sinx+ C3e
x cosx+ C4e
x sinx, 0 < x < `. (3.13)
На интервале ` < x < 2` будем считать, что
y(x) = −y(x− `). (3.14)
Условия, что решение y(x) и его производные до третьего порядка непрерывны в точке x = `,
дают следующие граничные условия:
y(i)(`) = −y(i)(0), i = 0, 1, 2, 3. (3.15)
Используя граничные условия (3.15) для решения (3.13), находим явный вид констант Ck. Тогда
решение имеет вид
y(x) = 1− cosh(`− x) cosx+ coshx cos(`− x)
cosh `+ cos `
, 0 < x < `. (3.16)
На интервале ` < x < 2` справедливо соотношение (3.14), и решение получаем путем
сдвига и отзеркаливания.
Непосредственно можно проверить, что функция (3.16) определенная на интервале (0, `) и
периодически продленная на всю ось с условием (3.14), является 2`-периодическим решением
уравнения (3.7). Такая функция имеет нули в точках x = k`, где k ∈ Z. Вне этих нулей функция
y(x) выражается через функцию (3.16) с помощью сдвигов или сдвигов и отзеркаливаний.
Поэтому на этих интервалах она является классическим решением уравнения (3.7).
Такие периодические решения будем называть простейшими периодическими решениями
уравнения (3.7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
530 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
a б
Рис. 3.2. Простейшее периодическое решение с ` = 5 (a) и ` = 20 (б).
На рис. 3.2, а, б представлены периодические решения для периодов 2` = 10, 2` = 40
соответственно.
3.4. Интегральное уравнение для ограниченных решений. Пусть y(x) — ограниченное на
всей оси решение уравнения (3.7) с изолированным множеством нулей. Тогда y(x) удовлетво-
ряет уравнению (3.1) с h(x) = 4 sign y(x) и согласно лемме 3.3 уравнению
y(x) = 4
+∞∫
−∞
G(x− s) sign y(s) ds. (3.17)
Наоборот, если y(x) — непрерывное ограниченное на всей оси решение уравнения (3.17), а
множество его нулей изолировано, то y(x) — решение уравнения (3.7).
Лемма 3.4. Ограниченное решение уравнения (3.7) согласно определению 3.1 является
ограниченным непрерывным решением уравнения (3.17), в котором предполагается, что
sign 0 = 0. Наоборот, ограниченное непрерывное решение интегрального уравнения (3.17),
в котором sign 0 = 0, является ограниченным решением уравнения (3.7) согласно опреде-
лению 3.1.
Доказательство. Пусть y(x) — ограниченное решение уравнения (3.7) согласно опреде-
лению 3.1. Поскольку функция y(x) непрерывна, то X0 — множество нулей этой функции —
является замкнутым. Пусть X1 — множество точек скопления множества X0. Множество X1
также замкнуто, его дополнение X = R\X1 является открытым множеством и, следовательно,
может быть представлено как объединение открытых множеств X =
⋃
k
Ok. Рассмотрим функ-
ции yk(x), которые совпадают с решением y(x) на Ok и равны тождественно нулю вне Ok.
Покажем, что функции yk(x) также являются решениями уравнения (3.7) согласно определению
3.1. Для этого отметим, что поскольку y(x) трижды непрерывно дифференцируемая функция,
то на X1 функция y(x) и ее производные до третьего порядка включительно превращаются в
нуль. Поэтому функции yk(x) трижды непрерывно дифференцируемые на всей оси, а вне своих
нулей они совпадают с y(x) и являются классическими решениями уравнения (3.7). Покажем,
что функция yk(x) является решением уравнения (3.17), в котором положим sign 0 = 0. Дей-
ствительно, yk(x) является решением уравнения (3.1) с правой частью h(x) = 4 sign yk(x) при
x ∈ Ok и h(x) ≡ 0 при x /∈ Ok, т. е. h(x) = 4 sign yk(x) для всех x, если полагать sign 0 = 0.
Поэтому в силу леммы 3.3 yk(x) является решением уравнения (3.17).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 531
Покажем теперь, что если y(x) — решение уравнения (3.17), в котором sign 0 = 0, то
y(x) является решением уравнения (3.7) согласно определению 3.1. Действительно, согласно
лемме 3.3 y(x) является решением уравнения (3.1) с h(x) = 4 sign y(x). Тогда вне нулей
функция y(x) является классическим решением уравнения (3.1), а следовательно, и уравне-
ния (3.7).
Лемма 3.4 доказана.
Обозначая правую часть уравнения (3.17) как действие оператора A на функцию y, можем
сформулировать такое следствие.
Следствие 3.1. Ограниченные на всей оси решения уравнения (3.7) являются неподвижны-
ми точками оператора A, и наоборот, каждая неподвижная точка оператора A, рассмат-
риваемого в пространстве C(R) (непрерывных ограниченных на всей оси функций), является
ограниченным решением уравнения (3.7).
Следствие 3.2. Каждое ограниченное на всей оси решение уравнения (3.7) допускает
оценку
|y(x)| ≤ 1,14. (3.18)
Доказательство. Из интегрального уравнения (3.17), явного вида функции Грина (3.4), а
также оценок (3.6) получаем
|y(x)| ≤ 8
∞∫
0
|G(t)| dt = 4K0 ≈ 1,14.
Лемма 3.5. Пусть ограниченное на всей оси решение y(x) уравнения (3.7) сохраняет знак
на интервале (x0 − l, x0 + l), l > 0. Тогда
|y(x0)− sign y(x0)| ≤
2
√
2
l
. (3.19)
Доказательство. Поскольку y(x) удовлетворяет уравнению (3.17), а 4
∫ ∞
−∞
G(x−s) ds = 1,
то
|y(x0)− sign y(x0)| = 4
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
G(x0 − s)
[
sign y(s)− sign y(x0)
]
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 8
∫
|s−x0|>l
|G(x0 − s)| ds ≤
2
√
2
l
,
где использована оценка |G(x)| ≤
√
2
8
e−|x|, которая следует из (3.4).
Лемма 3.5 доказана.
3.5. Представление ограниченного решения через его нули. Для представления ограни-
ченных на всей оси решений уравнения (3.7) через его нули важно показать, что все изолиро-
ванные нули простые. Для этого необходима следующая лемма.
Лемма 3.6. Пусть x0 — изолированный нуль решения y(x) уравнения (3.7) и y′(x0) = 0.
Тогда существует точка x1, в которой |y(x1)| ≥ 1 + coshπ > 12.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
532 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Доказательство. Пусть точка x0 = 0 — изолированный нуль решения y(x). Тогда сущест-
вует ε > 0 такое, что на интервалах I1 = (0, ε) и I2 = (−ε, 0) у решения y(x) нет нулей, и
поэтому на каждом из этих интервалов решение принимает значения одного знака. Возможны
два случая:
1) решение на интервалах I1 и I2 принимает значения одного знака;
2) решение на интервалах I1 и I2 принимает значения разных знаков.
В первом случае будем считать, что y(x) > 0 при x ∈ I1 и x ∈ I2. Если y(x) < 0, то
рассматриваем решение −y(x).
Поскольку y(0) = 0 и y′(0) = 0, то в этом случае решение y(x) имеет вид
y(x) = 1− coshx cosx+A(coshx sinx− sinhx cosx) +B sinhx sinx, (3.20)
где A и B — постоянные. При x→ 0 из представления (3.20) получаем
y(x) =
x4
6
+
2
3
Ax3 +Bx2 +O(x4),
а в первом случае имеем y(x) ≥ 0, поэтому постояннаяB ≥ 0.Функция ϕ1(x) = 1−coshx cosx
четная и возрастающая при 0 ≤ x ≤ π. Действительно, ϕ′1(x) = − sinhx cosx + coshx sinx,
ϕ′′1(x) = 2 sinhx sinx ≥ 0 при 0 ≤ x ≤ π. Поскольку ϕ′1(0) = 0, то ϕ′1(x) принимает
неотрицательные значения. Функция ϕ1(0) = 0, поэтому ϕ1(x) возрастающая от ϕ1(0) до
ϕ1(π) = 1 + coshπ.
Функция ϕ2 = coshx sinx − sinhx cosx нечетная и возрастающая на интервале (−π, π).
Действительно, ϕ′2 = 2 sinhx sinx ≥ 0. В представлении (3.20) постоянная B ≥ 0. Если
постоянная A ≥ 0, то решение y(x) ≥ 1 − coshx cosx > 0 при 0 < x ≤ π. Поэтому y(π) ≥
≥ 1 + coshπ. Если A ≤ 0, то решение (3.20) на интервале (−π, 0) имеет оценку y(x) ≥
≥ 1− coshx cosx > 0 и y(−π) ≥ 1 + coshπ.
Таким образом, в первом случае показано, что решение y(x) имеет представление (3.20) на
интервалах (−ε, π) при A ≥ 0 или (−π, ε) при A < 0, и в некоторой точке x1 = π при A ≥ 0
или x1 = −π при A < 0 принимает значение y(x1) ≥ 1 + coshπ. Таким образом, для первого
случая лемма доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда решение на интервалах I1 и I2 принимает значения разных
знаков. Будем полагать y(x) > 0, x ∈ I1 и y(x) < 0, x ∈ I2. В противном случае достаточно
рассмотреть функцию −y(x).
В этом случае решение с условиями y(0) = 0, y′(0) = 0 имеет вид
y(x) =
1− coshx cosx+A(coshx sinx− sinhx cosx), x ∈ I1,
−1 + coshx cosx+A(coshx sinx− sinhx cosx), x ∈ I2,
(3.21)
где постоянная A ≥ 0. Условия непрерывности второй и третьей производных y(x) в точке
x = 0 приводят к отсутствию функции sinhx sinx в представлении (3.21) и дают одинаковую
постоянную A на интервалах I1, I2. Поскольку из (3.21) следует y(x) ≥ 1 − coshx > 0 при
0 < x ≤ π, представление (3.21) справедливо на интервале (−ε, π). Однако y(π) ≥ 1 + coshπ
при x = π. Тем самым лемма доказана и для второго случая.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 533
Теорема 3.1. Пусть y(x) — нетривиальное ограниченное на всей оси решение уравне-
ния (3.7), все нули которого образовывают изолированное множество {xk}, k ∈ K (K — мно-
жество индексов, причем K = {0, 1, . . . ,m}, если количество нулей m + 1; K = {0, 1, 2, . . .},
если нулей бесконечное количество, ограниченное слева;K = {. . . ,−2,−1, 0}, если нулей беско-
нечное количество, ограниченное справа, и соответственно K = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, если
нулей бесконечное количество, неограниченное с двух сторон). Тогда все нули этого решения
являются простыми (т. е. y′(xk) 6= 0, если y(xk) = 0, k ∈ K). Решение y(x) с точностью до
знака определяется своими нулями. При этом если y > 0 при x2k ≤ x ≤ x2k+1, то
y(x) = sign y(x) +
∑
k∈K
(−1)k+1Φ(x− xk), (3.22)
где Φ(x) = signxe−|x| cosx.
Доказательство. Пусть x0 = 0 — изолированный нуль ограниченного на всей оси решения
y(x). Если бы y′(0) = 0, то согласно лемме 3.5 в окрестности этой точки функция принимала
бы значения по модулю больше 12, однако это противоречит следствию 3.2, согласно которому
|y(x)| ≤ 1,14. Следовательно, все нули решения y(x) являются простыми, а значит, решение при
переходе через каждый нуль меняет знак. Таким образом, sign y(x) однозначно (с точностью
до знака) определяется нулями решения y:
sign y(x) =
∑
k∈K, |k|≤2j
(−1)k sign(x− xk), x−2j < x < x2j , (3.23)
если y > 0 при x2k ≤ x ≤ x2k+1. Легко видеть, что 4
+∞∫
−∞
G(x− s) sign(s−a) ds = sign(x−a)−
−Φ(x−a), т. е. является кинком в точке x = a. Подставляя (3.23) в правую часть интегрального
уравнения (3.17), получаем (3.22).
Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2. Пусть y(x; {xk}) — ограниченное решение уравнения (3.7) с конечным числом
нулей x0 < x1 < . . . < xn с расстояниями ak = xk − xk−1 между соседними нулями и y > 0
при x0 ≤ x ≤ x1. Тогда
y(x; {xk}) = sign y(x; {xk}) +
n∑
k=0
(−1)k+1Φ(x− xk), (3.24)
где Φ(x) = signxe−|x| cosx.
Для того чтобы функция вида (3.24) была ограниченным решением уравнения (3.7), необхо-
димо и достаточно, чтобы числа ak > 0 удовлетворяли системе трансцендентных уравнений
Φ(ak) =
∑
0≤i<j
i≤k≤j≤n
(−1)i+j+1Φ(ai + . . .+ aj), k = 1, . . . , n. (3.25)
Доказательство. Ограниченное решение с нулями x0 < x1 < . . . < xn имеет вид (3.22).
Условие y(xk) = 0 дает систему уравнений (3.25) для расстояний ak = xk − xk−1 между
соседними нулями. Пусть {ak} — решение системы (3.25). Тогда, полагая x0 = 0, xk = a1 + . . .
. . .+ ak, k = 1, . . . , n, получаем, что функция (3.24) с такими {xk} будет иметь представление
y(x) = 4
∫ +∞
−∞
G(x− s)h(s) ds, где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
534 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
h(x) =
−1, x < x0,
(−1)k, x ∈ [xk, xk+1],
(−1)n, x > xn.
Поскольку {ak} — решение системы (3.25), функция y(x) имеет нули в точках {xk}. Других
нулей функция y(x) не имеет, поэтому h(x) = sign y(x). Таким образом, y(x) является реше-
нием уравнения (3.17), а следовательно, ограниченным решением уравнения (3.7) с нулями в
точках {xk}.
Теорема 3.2 доказана.
3.6. Солитоны. Солитоном называется ограниченное решение уравнения (3.7), имеющее
два нуля. Поскольку решение уравнения (3.7) допускает сдвиги по x, достаточно найти со-
литонные решения ys(x), у которых нули находятся в точках x0 = −a/2 и x1 = a/2 > 0.
Функцию sign ys(x) назовем скелетом решения. В этом случае скелет решения имеет вид
sign ys(x) =
−1, x < −a/2,
1, −a/2 < x < a/2,
−1, a/2 < x.
(3.26)
Из выражения (3.22) имеем
ys(x) = sign ys(x)− Φ(x+ a/2) + Φ(x− a/2), (3.27)
где явное значение функции Φ задается выражением (3.12). Условия ys(−a/2) = 0 и ys(a/2) = 0
дают уравнения Φ(a) = 0 или
cos a = 0. (3.28)
Таким образом, величина a, которая характеризует ширину солитонов и расстояние между его
нулями, может принимать лишь следующие значения:
a = (2m− 1)
π
2
, m = 1, 2, . . . , (3.29)
занумерованные нечетными числами 2m − 1. На рис. 3.3 изображены графики солитонов,
соответствующие значениям m = 1; 5; 10.
3.7. Решения с тремя нулями. Пусть ограниченное решение y(x) уравнения (3.7) имеет
три нуля x0 < x1 < x2. Обозначим расстояния между нулями a1 = x1 − x0 и a2 = x2 − x1. Из
формулы (3.22) получаем явный вид решения, если известны его нули. Условия, что функция
y(x) из представления (3.22) равна нулю при x = x0, x1, x2, дают систему уравнений (3.25)
относительно a1, a2:
Φ(a1) = Φ(a2) = Φ(a1 + a2). (3.30)
Теорема 3.3. Пусть y(x) — ограниченное решение уравнения (3.7) с тремя нулями x0 <
< x1 < x2. Тогда расстояния между нулями a1 = x1− x0 и a2 = x2− x1 превышают величину
1,56:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 535
Рис. 3.3. Солитоны ys(x) при m = 1; 5; 10.
ak ≥ amin = 1,56, k = 1, 2. (3.31)
Справедливы оценки ∣∣∣ak − (2mk − 1)
π
2
∣∣∣ < d = 0,212, (3.32)
где нечетные числа 2mk − 1 можно выразить через ak с помощью равенства
2mk − 1 =
[
2ak
π
]
, (3.33)
[α] — целая часть числа α.
Для любых нечетных чисел 2m1− 1 и 2m2− 1 существует и единственно с точностью до
эквивалентности (т. е. с точностью до знака и сдвига по x) ограниченное решение уравне-
ния (3.7) с тремя нулями, расстояния между которыми удовлетворяют неравенству (3.32).
Доказательство. Функция y(x), которая имеет вид (3.22), тогда и только тогда будет
ограниченным решением с тремя нулями x0 < x1 < x2, когда расстояния a1 = x1 − x0 и
a2 = x2 − x1 удовлетворяют системе уравнений (3.30). В силу их симметрии относительно
a1 и a2 можно считать, что a1 ≤ a2. Если в (3.30) все значения функции отрицательны,
то ak ≥
π
2
и неравенство (3.31) выполняется. Если в (3.30) все значения положительны, то
минимальное значение a1 достигается лишь в случае, изображенном на рис. 3. 4, где абсциссы
точек пересечения прямой линии с графиком функции Φ соответствуют значениям a1, a2,
a1 + a2. В этом случае a1 =
π
2
− x, a2 =
3π
2
+ y, причем x и y удовлетворяют системе
уравнений, которую можно получить из (3.30):
sinx = e−(
3π
2
+y) cos(y − x), sin y = e−(
π
2
−x) cos(y − x), (3.34)
где 0 < y <
π
4
, 0 < x < y. Численное решение системы (3.34) приводит к значениям x =
= 0,0072, y = 0,2067. Таким образом, amin =
π
2
− x = 1,56.
Получим теперь оценки (3.32). Для этого удобно представить систему (3.30) в явном виде
cos a1 = e−a2 cos(a1 + a2), cos a2 = e−a1 cos(a1 + a2). (3.35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
536 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Рис. 3.4. График функции Φ(x) = e−x cosx, на оси абсцисс — значения, кратные
π
2
.
В силу оценки (3.31) из (3.35) имеем
| cos ak| ≤ e−amin = 0,2094. (3.36)
Поэтому справедливы оценки (3.32), (3.33).
Покажем теперь, что для любых нечетных чисел 2m1−1 и 2m2−1 существует и единственно
решение системы (3.35), которое удовлетворяет оценке (3.32). Действительно, полагая
ak = (2mk − 1)
π
2
+ εk, (3.37)
систему (3.35) можно представить в эквивалентной форме
ε1 = arcsin
[
(−1)m2−1e
π
2
−m2π−ε2 cos(ε1 + ε2)
]
,
ε2 = arcsin
[
(−1)m1−1e
π
2
−m1π−ε1 cos(ε1 + ε2)
]
.
(3.38)
Систему (3.38) можно представить в операторном виде ε = A(ε) в пространстве двумерных
векторов с нормой ‖ε‖ = max{|ε1|, |ε2|}. Оператор A переводит замкнутое множество B =
= {(ε1, ε2) : − 0,01 ≤ εk ≤ 0,212, k = 1, 2} в себя и является оператором сжатия на B:
‖A(η)−A(ς)‖ ≤ q‖η − ς‖, q < 0,5. (3.39)
Поэтому существует и единственно решение уравнения ε = A(ε) в B, которое можно получить
с помощью метода последовательных приближений, начиная со значения ε = 0. Для расстояний
ak = (2mk − 1)
π
2
+ εk справедлива оценка (3.32).
Теорема 3.3 доказана.
На рис. 3.5 изображен график ограниченного решения с тремя нулями, расстояния между
которыми характеризуются с помощью нечетных чисел (2m1 − 1, 2m2 − 1) = (5, 7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 537
Рис. 3.5. График решения с тремя нулями, 2m1 − 1 = 5, 2m2 − 1 = 7.
3.8. Решение с конечным числом нулей.
Теорема 3.4. Пусть y(x; {xk}) — ограниченное решение уравнения (3.7) с конечным числом
нулей x0 < x1 < . . . < xn, а расстояния ak = xk − xk−1 между соседними нулями удовле-
творяют условию ak ≥ π. Тогда решение y(x) однозначно (с точностью до знака и сдвига по
x) определяется множеством нечетных чисел 2mk − 1 =
[
2ak
π
]
, k = 1, . . . , n. Произвольная
конечная последовательность нечетных чисел 2mk − 1 ≥ 3, k = 1, . . . , n, однозначно (с точ-
ностью до эквивалентности) определяет ограниченное решение уравнения (3.7), расстояния
между нулями которого удовлетворяют соотношению (3.37) с |εk| < 0,1.
Доказательство. Ограниченное решение с нулями x0 < x1 < . . . < xn имеет вид (3.22).
Условие y(xk) = 0 дает систему уравнений (3.25) для расстояний ak = xk − xk−1 между
соседними нулями. Используя формулу (3.12), которая дает явный вид функции Φ, и оценку
an ≥ π, которая выполняется по условию теоремы, из системы (3.25) получаем
| cos ak| ≤
∑
0≤i<j, i≤k≤j≤n
eπ(i−j) <
∞∑
n=1
(n+ 1)pn = p(2− p)(1− p)−2,
где p = e−π. Из этого следует представление (3.37) для решения системы (3.25) с нечетными
числами 2mk − 1 ≥ 3 и |εk| < 0,1, k = 1, . . . , n.
Покажем, что для произвольных нечетных чисел 2mk−1 ≥ 3 система (3.25) имеет решение,
которое допускает представление (3.37) при |εk| < 0,1 и это решение единственно. Используя
(3.37) и (3.22), систему (3.25) можно трансформировать, аналогично (3.38), в эквивалентную
ε = A(ε) для вектора ε = (ε1, . . . , εn). Уравнение имеет единственное решение, поскольку
оператор A непрерывный, отображает n-мерный куб {ε : |εk| ≤ 0,1} в себя, а также является
отображением сжатия. Неравенство
‖A(ε(2))−A(ε(1))‖ ≤ q‖ε(2) − ε(1)‖
выполняется при ‖ε‖ = max1≤k≤n |εk| для значений констант q, которые являются произведе-
нием константы Липшица функции arcsinx, |x| ≤ 0,1, и суммы модулей частных производных
правых частей системы (3.25) относительно переменных ε1, . . . , εn. Таким образом, имеем
оценку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
538 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Рис. 3.6. Хаотическое решение.
q ≤ 1,01
∞∑
n=1
(2n+ 1)(n+ 1)pn = 1,01p(6− 3p+ p2)(1− p)−3 ≈ 0,2926 < 1,
поскольку p = e−π.
Теорема 3.4 доказана.
3.9. Хаотические решения. Нечетные числа {2m1 − 1, . . . , 2mn − 1}, характеризующие
расстояния между нулями ограниченных решений уравнения (3.7), могут принимать любые зна-
чения, в том числе могут быть набором случайных нечетных чисел. Это приводит к решениям
с „хаотическим” поведением. На рис. 3.6 представлено ограниченное решение уравнения (3.7),
расстояния между нулями у которого характеризует следующая случайная выборка нечетных
чисел
(1, 3, 1, 1, 11, 1, 9, 13, 7, 1, 11, 5, 7, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 11, 13,
1, 7, 7, 13, 3, 7, 5, 3, 9, 3, 13, 1, 11, 9, 3, 11, 3, 5, 9, 1).
Определение 3.2. Будем говорить, что уравнение y(4) + f(y) = 0 с биустойчивой нели-
нейностью f(±1) = 0, f ′(±1) > 0 допускает хаотические решения, если для любого ε > 0
существует d(ε) > 0 такое, что для любой последовательности точек {Ak(xk, σk)}nk=1 с
xk+1 − xk > d(ε) и значением σk, которое принимает одно из двух устойчивых значений для
любого k (σk = ±1), существует ограниченное решение y, график которого проходит через
ε-окрестность всех точек Ak, т. е.
|y(xk)− σk| < ε, k = 1, . . . , n. (3.40)
Теорема 3.5. Уравнение (3.7) допускает хаотические решения в смысле определения 3.2.
Доказательство. Пусть выбрано достаточно малое ε > 0 (ε < 1/2). Положим d(ε) =
8
ε
+
+ 2π. Пусть {Ak(xk, σk)}nk=1 — последовательность из определения 3.2. Рассмотрим середины
yk =
1
2
(xk + xk+1) всех интервалов (xk, xk+1) таких, что σk 6= σk+1. Рассмотрим на оси
Ox новые интервалы Ij длиной 2π, середины которых лежат в точках yj , а следовательно,
отдаленных от точек Ak на расстояние не меньше, чем
4
ε
. Согласно теореме 3.4, существует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 539
ограниченное решение с конечным числом нулей, и только один из нулей лежит в каждом Ij .
Такое решение удовлетворяет условию (3.40). Действительно, в силу того, что решение y не
меняет знак между двумя нулями, а абсциссы точек Ak отдалены от нулей больше, чем на
4
ε
,
согласно лемме 3.5 выполняется неравенство (3.40).
Теорема 3.5 доказана.
3.10. Представление периодических решений через их нули.
Теорема 3.6. Пусть y(x) — L-периодическое решение уравнения (3.7), нулями которого
являются x0 < x1 < . . . < x2n = x0 + L (не нарушая общности, положим x0 = 0), числа
ak = xk − xk−1 — расстояния между соседними нулями. Тогда при 0 < x < a1 решение имеет
вид
y(x) = 1− 1
M
[
e−x cos(x+ θ)− e−(L−x) cos(L− x+ θ)
]
+
+
eθ
M
2n−1∑
k=1
(−1)k
[
Φ(xk − x+ θ)− Φ(L− x2n−k + x+ θ)
]
, (3.41)
где tan θ =
e−L sinL
1− e−L cosL
, M = (1− 2e−L cosL+ e−2L)1/2.
Для того чтобы функция вида (3.41) была периодическим решением уравнения (3.7), необ-
ходимо и достаточно, чтобы числа ak удовлетворяли трансцендентному уравнению
Φ(a1 + θ)− Φ(a1 + a2 + θ) + . . .+ Φ(a1 + . . .+ a2n−1 + θ) =
= Φ(a2n + θ)− Φ(a2n + a2n−1 + θ) + . . .+ Φ(a2n + . . .+ a2 + θ) (3.42)
и всем уравнениям, которые получаются из (3.42) путем циклической перестановки чисел
a1, a2, . . . , a2n.
Фактически теорема 3.6 дает явный вид всех периодических решений уравнения (3.7), если
известны расстояния между нулями этих решений, а для расстояний приводится система транс-
цендентных уравнений. Будем называть эту систему уравнений характеристической системой
для расстояний между нулями.
Таким образом, нелинейная проблема описания всех периодических решений уравне-
ния (3.7) эквивалентна проблеме описания всех решений характеристической системы для
расстояний. Тем самым бесконечномерная нелинейная проблема описания всех периодических
решений уравнения (3.7) с конечным числом нулей сводится к конечномерной нелинейной про-
блеме — характеристической системе для расстояний. Как будет показано далее, все решения
характеристической системы можно полностью описать.
Доказательство. Пусть y(x) — L-периодическое решение уравнения (3.7), нулями кото-
рого являются 0 = x0 < x1 < . . . < x2n = L, лежащие на промежутке [0, L]. Все другие
нули получаются из указанных путем последовательного прибавления или вычитания величин,
кратных L. Таким образом, все нули на положительной оси имеют вид
x2jn+k = xk + jL, k = 1, . . . , 2n, j = 0, 1, . . . .
Нули на отрицательной оси имеют вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
540 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
x−2jn+k = x2n−k − jL.
Подставляя эти значения нулей в формулу (3.22) и учитывая, что
Φ(a) + Φ(a+ L) + . . .+ Φ(a+ jL) + . . . = Re
[
e(i−1)a + e(i−1)(a+L) + . . .
]
=
= Re
[
e(i−1)a
1
1− e(i−1)L
]
=
e−a
M
cos(a+ θ),
где cos θ =
1− e−L cosL
M
, sin θ =
e−L sinL
M
, M =
[
1 − 2e−L cosL + e−2L
]1/2
=
∣∣1 − e(i−1)L∣∣,
из (3.22) получаем (3.41).
Условие y(0) = 0 дает равенство (3.42). Функция y(x − xk) также является периоди-
ческим решением уравнения (3.7). Этой функции соответствуют расстояния между нулями
ak+1, ak+2, . . . , a2n, a1, . . . , ak, которые являются циклической перестановкой исходных рас-
стояний a1, . . . , a2n. Поэтому равенство (3.42) выполняется и при циклической перестановке
a1, . . . , a2n.
Разрешимость характеристической системы (3.42) является необходимым и достаточным
условием того, чтобы точки x0 = 0, x1 = a1, . . . , xk = a1 + a2 + . . . + ak, . . . были нулями
периодического решения (3.41) уравнения (3.7).
Теорема 3.6 доказана.
3.11. Периодические решения с двумя нулями на периоде. В этом случае есть только
расстояния a1, a2, а характеристическая система для расстояний сводится к уравнению
e−a1 cos(a1 + θ) = e−a2 cos(a2 + θ), (3.43)
где tan θ =
e−L sinL
1− e−L cosL
.
Уравнение (3.43) выполняется всегда, если a1 = a2. Этот случай приводит к рассматривае-
мым ранее простейшим периодическим решениям.
Пусть L = Nπ, гдеN — натуральное число. Тогда при a1 6= a2 уравнение (3.43) выполняется
лишь в случае cos a1 = cos a2 = 0, т. е. в случае, когда
a1 = m1
π
2
, a2 = m2
π
2
, m1 +m2 = 2N,
где числа m1 и m2 нечетные и в сумме дают 2N. В этом случае получим новую серию точных
периодических решений уравнения (3.7), занумерованных нечетными числами m1, m2 :
y(x;m1,m2) = 1− 1
M
[
(e−x + (−1)N+1e−(L−x)) cosx+
+(e−(a1−x) + (−1)N+1e−(a2+x))(−1)
(m1−1)
2 sinx
]
, (3.44)
где N =
1
2
(m1 +m2), L = Nπ, M = 1 + (−1)N+1e−L.
На рис. 3.7 представлено решение (3.44) с периодом L = 8π.
Характеристическое уравнение (3.43) также можно записать в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 541
Рис. 3.7. Периодическое решение y(x;m1,m2) с двумя нулями на периоде L = 8π с
m1 = 5, m2 = 11.
Φ(a1 + θ) = Φ(a2 + θ).
Из вида функции Φ (рис. 3.4) следует, что решения a1 6= a2 существуют лишь при ak ≥ 1,56 и
L ≥ Lmin = 4,73.
Таким образом, при L < Lmin существуют лишь простейшие периодические решения. При
увеличении L количество неэквивалентных решений увеличивается, что видно из представле-
ния серии точных решений (3.44).
Полагая a1 = m1
π
2
+ ε1, где m1 — нечетное целое число, характеристическое уравне-
ние (3.43) можно привести к уравнению
ε1 = −θ + arcsin
[
(−1)
m1+1
2 e−(L−m1π−2ε1) cos
(
L−m1
π
2
+ θ − ε1
)]
.
Методом сжатых отображений можно доказать существование и единственность решения ε1
этого уравнения и получить его оценку |ε1| <
π
4
.
3.12. Периодические решения с периодом Nπ.
Теорема 3.7. Пусть L = Nπ, где N — натуральное число. Тогда все решения характе-
ристической системы для расстояний между нулями L-периодических решений имеют вид
ak = mk
π
2
+ εk, где числа mk нечетные, |εk| <
π
4
и m1 +m2 + . . .+m2n = 2N.
Доказательство. Детальное доказательство для случая двух нулей на периоде приведено
выше. Общий случай доказывается применением принципа сжатых отображений для уравнения
относительно {εk} вида ε = A(ε), который получается из характеристической системы (3.42)
для расстояний между нулями периодических решений ak вида (3.37).
Теорема 3.7 доказана.
На рис. 3.8, а, б представлены периодические решения как иллюстрация теоремы 3.7.
3.13. Пространственная энтропия. Пусть S(L) — число всех неэквивалентных перио-
дических решений уравнения (3.7) с наименьшим периодом L. Число S(L) всегда конечное.
Определение 3.3. Число
η = lim
L→∞
1
L
lnS(L) (3.45)
будем называть пространственной энтропией уравнения (3.7) относительно периодических
решений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
542 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
a б
Рис. 3.8. Периодическое решение с mk = {1, 1, 1, 9} и периодом L = 6π (a) и mk =
{1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 5} и периодом L = 9π (б).
Теорема 3.8. Пространственная энтропия уравнения (3.7) относительно периодических
решений определяется числом
η =
2
π
ln
1 +
√
5
2
. (3.46)
Доказательство. Пусть L = Nπ, гдеN — целое число. Обозначим через F (N) количество
разных разбиений числа N на нечетные части. В силу теоремы 3.7 получаем неравенство
S(Nπ) ≤ F (2N). (3.47)
С другой стороны, циклические перестановки a1, . . . , a2n приводят к эквивалентному перио-
дическому решению. Поэтому
S(Nπ) ≥ 1
2N
F (2N). (3.48)
Легко видеть, что F (N) является N -числом Фибоначчи. Эти числа определяются так:
F (1) = 1, F (2) = 1, F (n) = F (n− 1) + F (n− 2). Известно, что
F (N) =
1√
5
(pN − (−p)−N ),
где
p =
1 +
√
5
2
.
Поэтому, из (3.47), (3.48) получаем (3.46).
Теорема 3.8 доказана.
4. Кинкообразные решения дифференциальных уравнений четвертого порядка с ку-
бической биустойчивой нелинейностью. 4.1. Общая схема аналитического построения
кинкообразных решений. В данном пункте на примере уравнения
y(4) + 2y(y2 − 1) = 0 (4.1)
рассматривается численно-аналитический метод построения ограниченных решений в виде
быстросходящихся рядов по гармоникам вида exp(−nx + imx), где n ≥ 0, |m| ≤ n — целые
числа, изложенный в работе [21].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 543
Уравнение (4.1) имеет тривиальные решения y ≡ −1, y ≡ 0, y ≡ 1.
Нетривиальные ограниченные на всей оси решения уравнения (4.1) с конечным числом
нулей будем называть кинкообразными решениями. При этом в случае одного нуля в точке
x = x0 ограниченное решение y(x) уравнения (4.1) будем называть кинком, сосредоточенным
в точке x0, а ограниченное решение с двумя нулями — солитоном уравнения (4.1).
Пусть y(x) — ограниченное решение на всей оси уравнения (4.1). Поскольку уравнение (4.1)
содержит специального вида нелинейность и лишь производную 4-го порядка, но не содержит
явно независимой переменной (уравнение автономно), то и функции y1(x) = −y(x), y2(x) =
= y(−x), y3(x) = y(x + a) при любом вещественном a являются решениями уравнения (4.1).
Решения y(x) и ±y(x+ a) будем называть эквивалентными.
Для уравнения (4.1) будет явно построено двупараметрическое семейство решений y+(x;
a, b), стремящихся к 1 при x → +∞, в виде быстросходящихся на положительной полуоси
рядов по гармоникам вида exp(−nx + imx), где n ≥ 0, |m| ≤ n — целые числа. Ограни-
ченные решения y(x) уравнения (4.1) на всей оси будем строить через „сшивание” реше-
ний, выражающихся через функцию y+(x; a, b) на положительной и отрицательной полуосях.
Так, если limx→+∞ y(x) = 1, а limx→−∞ y(x) = −1, то y(x) = y+(x; a, b) при x ≥ 0 и
y(x) = −y+(−x; c, d) при x ≤ 0. Такая функция y(x) будет решением уравнения (4.1), если
она непрерывна в точке x = 0 вместе со всеми своими производными до третьего порядка.
Эти условия приводят к системе четырех трансцендентных уравнений относительно четырех
действительных параметров a, b, c, d. Таким образом, построение кинкообразных решений
на всей оси сводится к аналитическому построению двупараметрического семейства решений
y+(x; a, b) и к решению трансцендентной системы уравнений. При этом можно получить как
теоремы существования кинкообразных решений, так и простые явные аналитические решения
уравнения (4.1).
Если ограничиться изучением только нечетных (или четных) по x решений уравнения (4.1),
то можно явно построить решения лишь на положительной полуоси y(x) = y+(x; a, b), а для
нахождения двух параметров a и b использовать систему уравнений y+(x; a, b) = y′′+(x; a, b) = 0
для нахождения нечетных решений или y′+(x; a, b) = y′′′+(x; a, b) = 0 для нахождения четных
решений.
4.2. Двупараметрическое семейство решений. Для уравнения (4.1) на положительной
полуоси построим решение, стремящееся к 1 при x→∞, в виде
y = 1 +
∑
n≥1,|m|≤n
ωn,ma
n+m
2 b
n−m
2 exp(−nx+ imx), (4.2)
где n и m — целые числа, i =
√
−1 — мнимая единица, а отличные от нуля комплексные числа
a и b (параметры) заданы.
Подставляя функции y(x) вида (4.2) в уравнение (4.1) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых гармониках exp(−nx + imx), получаем следующие рекуррентные соотношения
для ωn,m при n ≥ 2 и |m| ≤ n:
ωn,m[(−n+ im)4 + 4] = −
∑
n1+n2=n
m1+m2=m
6ωn1,m1ωn2,m2 −
∑
n1+n2+n3=n
m1+m2+m3=m
2ωn1,m1ωn2,m2ωn3,m3
(4.3)
с начальными условиями
ω1,1 = ω1,−1 = 1, ω1,0 = 0. (4.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
544 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Лемма 4.1. Для чисел ωn,m, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям (4.3) с на-
чальными условиями (4.4), справедливы следующие утверждения:
1) ωn,m = 0, если целые числа n и m имеют различную четность;
2) ωn,m = ωn,−m;
3) имеют место равенства
ω1,1 = 1, ω2,2 = 0,1, ω2,0 = −0,6, ω3,3 = 0,01, ω3,1 = 0,
ω4,4 =
13
17000
, ω4,2 =
−9 + 32i
4420
, ω4,0 =
93
6500
;
(4.5)
4) для чисел σn =
∑
|m|≤n
|ωn,m| справедливы оценки
σ1 = 2, σ2 = 0,8, σ3 = 0,02, σn ≤
8
4n
, n ≥ 4. (4.6)
Доказательство. Докажем утверждение 1 индукцией по n. Пусть утверждение 1 выпол-
няется для всех n ≤ N. Покажем, что тогда оно выполняется и для n = N + 1. При n = N + 1
в правой части соотношения (4.3) произведения ωn1,m1ωn2,m2 , n1 +n2 = N + 1, m1 +m2 = m,
а также ωn1,m1ωn2,m2ωn3,m3 с условием n1 +n2 +n3 = N + 1, m1 +m2 +m3 = m равны нулю,
если четность чисел N +1 и m различная. Поскольку по крайней мере у одного из множителей
ωnk,mk четность nk и mk будет различная, то ωnk,mk = 0 по условию индукции. Аналогично
по индукции доказывается и утверждение 2.
Из рекуррентных соотношений (4.3), (4.4) при n = 2 находим значения ω2,0 и ω2,2. Из этих
же соотношений при n = 3 получаем ω3,3 и ω3,1 = 0. Аналогично при n = 4 имеем явные
значения ω4,m:
ω4,4 =
1
(−4 + i4)4 + 4
[
−6(ω3,3ω1,1 + ω2,2ω2,2 + ω1,1ω3,3)− 6ω2,2ω1,1ω1,1
]
=
13
17000
,
ω4,2 =
1
(−4 + i2)4 + 4
[
−12(ω3,3ω1,−1 + ω2,2ω2,0)−
−12ω2,2ω1,1ω1,−1 − 6ω2,0ω1,1ω1,1
]
=
−9 + 32i
4420
,
ω4,0 =
1
44 + 4
[
−6(2ω2,2ω2,−2 + ω2,0ω2,0)−
−6(ω2,2ω1,−1ω1,−1 + 2ω2,0ω1,1ω1,−1 + ω2,−2ω1,1ω1,1)
]
=
93
6500
.
При этом легко получить оценки для ω5,m и ω6,m:
ω5,1 =
1
(−5 + i)4 + 4
[
− 12(ω4,0ω1,1 + ω4,2ω1,−1 + ω3,3ω2,−2)−
−2(3ω3,3ω1,−1ω1,−1 + 6ω2,2ω2,0ω1,−1 + 6ω2,2ω2,−2ω1,1 + 3ω2,0ω2,0ω1,1)
]
= −0,0018− 0,0019i,
|ω5,1| ≤ 0,0026,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 545
ω5,3 =
1
(−5 + i3)4 + 4
[
−12(ω4,4ω1,−1 + ω4,2ω1,1 + ω3,3 ω2,0)−
−2(ω3,3 ω1,1ω1,−1 + 6ω2,2ω2,0 ω1,1 + 3ω2,2ω2,2ω1,−1)
]
=
= −2,3892 · 10−4 + 4,942 · 10−4i, |ω5,3| ≤ 5,4892 · 10−4,
ω5,5 =
1
(−5 + i5)4 + 4
[
−12(ω4,4ω1,1 + ω3,3ω2,2)−
−6(ω3,3ω1,1ω1,1 + ω2,2ω2,2ω1,1)
]
= 5,6561 · 10−5,
|ω5,1| ≤ 0,0026, |ω5,3| ≤ 5,4892 · 10−4, |ω5,5| ≤ 5,6561 · 10−5,
ω6,0 =
1
64 + 4
[
−12(ω5,1ω1,−1 + ω5,−1ω1,1 + ω4,2ω2,−2 + ω4,−2ω2,2 + ω4,0ω2,0 + ω3,3ω3,−3)−
−2(3ω4,2ω1,−1ω1,−1 + 3ω4,−2ω1,1ω1,1 + 6ω4,0ω1,1ω1,−1 + 6ω3,3ω2,−2ω1,−1 + 6ω3,−3ω2,2ω1,1+
+6ω2,2ω2,−2ω2,0 + ω2,0ω2,0ω2,0)
]
= 3,71 · 10−4,
ω6,2 =
1
(−6 + i2)4 + 4
[
−12(ω5,3ω1,−1 + ω5,1ω1,1 + ω4,4ω2,−2 + ω4,2ω2,0 + ω4,0ω2,2)−
−2(3ω4,4ω1,−1ω1,−1 + 6ω4,2ω1,1ω1,−1 + 3ω4,0ω1,1ω1,1 + 3ω3,3ω1,1ω1,1 + 3ω2,2ω2,2ω1,1)
]
=
= −3,06 · 10−5 − 1,436 · 10−4i,
ω6,4 =
1
(−6 + i4)4 + 4
[
−12(ω5,5ω1,−1 + ω5,3ω1,1 + ω4,4ω2,0 + ω4,2ω2,2)−
−2(6ω4,4ω1,1ω1,−1 + 3ω4,2ω1,1ω1,1 + 6ω3,3ω2,0ω1,1 + 6ω3,3ω2,2ω1,−1 + 3ω2,2ω2,2ω2,0)
]
=
= −1,32 · 10−5 + 4,38 · 10−5i,
ω6,6 =
1
(−6 + i6)4 + 4
[
−6(2ω5,5ω1,1 + 2ω4,4ω2,2 + ω3,3ω3,3)−
−2(3ω4,4ω1,1ω1,1 + 6ω3,3ω2,2ω1,1 + ω2,2ω2,2ω2,2)
]
= 4,13 · 10−6,
|ω6,0| ≤ 3,71 · 10−4, |ω6,2| ≤ 1,4682 · 10−4, |ω6,4| ≤ 4,5746 · 10−5, |ω6,6| ≤ 4,13 · 10−6.
Из определения σn и явных значений ωn,m следует, что
σ1 = 2, σ2 = 0,8, σ3 = 0,02, σ4 ≤ 0,031, σ5 ≤ 0,0065, σ6 ≤ 7,67 · 10−4. (4.7)
Поскольку |(−n+ im)4 + 4| ≥ n4 + 4 при n ≥ 2, из рекуррентных соотношений (4.3) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
546 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
σn ≤
1
n4 + 4
[
6
∑
n1+n2=n
σn1σn2 + 2
∑
n1+n2+n3=n
σn1σn2σn3
]
, n ≥ 2. (4.8)
Полагая в (4.8) последовательно n = 8, 9, 10 и используя оценки σk из (4.7), получаем оценки
σ8 ≤ 7,35 · 10−5, σ9 ≤ 1,18 · 10−5, σ10 ≤ 2,47 · 10−6. (4.9)
Докажем теперь методом индукции по n оценку σn ≤ 8/4n при всех n ≥ 4. Из приведенных
выше оценок σn справедливость неравенства σn ≤ 8/4n при n 6= 2, n ≤ 10 очевидна. Пусть
неравенство σn ≤ 8/4n доказано для всех n, 10 ≤ n ≤ N. Докажем, что тогда σN+1 ≤ 8/4N+1.
Действительно, из неравенства (4.8) при n = N + 1 с учетом условий индукции и σ2 < 1
следует, что
σN+1 ≤
1
(N + 1)4 + 4
6
∑
n1+n2=N+1
σn1σn2 + 2
∑
n1+n2+n3=N+1
σn1σn2σn3
≤
≤ 1
(N + 1)4 + 4
[
6
82
4N+1
(N + 2) + 2
83
4N+1
(N + 6)(N − 1)
2
]
=
=
6 · 8(N + 2) + 82(N + 6)(N − 1)
(N + 1)4 + 4
8
4N+1
. (4.10)
Поскольку при N ≥ 10 выполняется неравенство 6 · 8N + 82N(N − 1) < (N + 1)4 + 4, то
из (4.10) получаем, что σN+1 ≤ 8/4N+1.
Лемма 4.1 доказана.
Полагая a = r exp(iϕ), b = r exp(−iϕ), r > 0, из представления (4.2) имеем
y(x; r, ϕ) = 1 +
∞∑
n=1
rn exp(−nx)Tn(x+ ϕ), (4.11)
где
Tn(x) =
∑
|m|≤n
ωn,m exp(imx),
а в силу ωn,m = ωn,−m являются вещественнозначными тригонометрическими полиномами.
Учитывая явные значения ωn,m, из (4.5) имеем
T1(x) = ω1,1e
ix + ω1,−1e
−ix = 2 cosx,
T2(x) = ω2,2e
i2x + ω2,−2e
−i2x + ω2,0 = 0,2 cos 2x− 0,6,
T3(x) = ω3,3e
i3x + ω3,−3e
−i3x = 0,02 cos 3x,
T4(x) = ω4,4e
i4x + ω4,−4e
−i4x + ω4,2e
i2x + ω4,−2e
−i2x + ω4,0 =
= 6500−1(93 + 13 cos 4x)− 2210−1(9 cos 2x+ 32 sin 2x),
(4.12)
T5(x) = ω5,5e
i5x + ω5,−5e
−i5x + ω5,3e
i3x + ω5,−3e
−i3x + ω5,1e
ix + ω5,−1e
−ix =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 547
= 11,32 · 10−5 cos 5x− 4,78 · 10−4 cos 3x−
−9,884 · 10−4 sin 3x− 0,0036 cosx+ 0,0038 sinx,
T6(x) = ω6,6e
i6x + ω6,−6e
−i6x + ω6,4e
i4x + ω6,−4e
−i4x + ω6,2e
i2x + ω6,−2e
−i2x + ω6,0 =
= 8 · 10−6 cos 6x− 2,64 · 10−5 cos 4x− 8,76 · 10−5 sin 4x−
−6,12 · 10−5 cos 2x+ 2,87 · 10−4 sin 2x+ 3,71 · 10−4.
Теорема 4.1. Функция y(x; r, ϕ) вида (4.11) при вещественных значениях параметров ϕ
и r > 0 является вещественным решением уравнения (4.1) на полуоси x ≥ x0 > ln(r/4), а
limx→+∞ y(x; r, ϕ) = 1.
Доказательство. Согласно оценкам (4.6) и |Tn(x)| ≤ σn, ряд (4.11) равномерно сходится
при x ≥ x0 > ln(r/4) и допускает почленное дифференцирование по x произвольное число
раз без нарушения сходимости ряда. Поскольку числа ωn,m удовлетворяют рекуррентным соот-
ношениям (4.3), функция y(x; r, ϕ) вида (4.11) является решением уравнения (4.1). При этом
limx→+∞ y(x; r, ϕ) = 1.
Теорема 4.1 доказана.
4.3. Теорема существования. Для доказательства существования кинков (нечетных огра-
ниченных решений) достаточно установить существование решений y(x) уравнения (4.1) на
полуоси x ≥ 0 с условиями
y(0) = y′′(0) = 0,
lim
x→+∞
y(x) = 1.
(4.13)
В качестве такого решения можно взять решение y(x; r, ϕ) из теоремы 4.1, подобрав парамет-
ры r и ϕ так, чтобы выполнялись граничные условия (4.13) при x = 0. Другими словами,
параметры r и ϕ должны быть решениями системы трансцендентных уравнений
y(0; r, ϕ) = 0, y′′(0; r, ϕ) = 0. (4.14)
Учитывая явный вид (4.11) двупараметрического семейства решений y(x; r, ϕ) уравнения (4.1),
систему (4.14) можно представить в виде
1 + 2r cosϕ+ r2(−0,6 + 0,2 cos 2ϕ) + h1(r, ϕ) = 0,
sinϕ+ r(−0,6 + 0,4 sin 2ϕ) + h2(r, ϕ) = 0,
(4.15)
где
h1(r, ϕ) =
∑
n≥3
rnTn(ϕ), h2(r, ϕ) =
1
4
∑
n≥3
rn−1[n2Tn(ϕ)− 2nT ′n(ϕ) + T ′′n (ϕ)].
Разрешимость системы уравнений (4.15) относительно параметров r и ϕ в области r ≤ 0,55
будет означать, согласно теореме 4.1, существование кинка уравнения (4.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
548 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Теорема 4.2. В области Ω =
{
(r, ϕ) : 0,45 ≤ r ≤ 0,55; π−0,7 ≤ ϕ ≤ π−0,2
}
существует
и единственно решение r0, ϕ0 системы (4.15). Функция
yk(x) =
y(x; r0, ϕ0), x ≥ 0,
−y(−x; r0, ϕ0), x ≤ 0,
(4.16)
является кинком уравнения (4.1). Функция
ỹk(x) = 1 + 2r0 exp(−x) cos(x+ ϕ0) + r20 exp(−2x)(−0,6 + 0,2 cos 2(x+ ϕ0))+
+0,02r30 exp(−3x) cos 3(x+ ϕ0) + 0,0013 exp(−4x) (4.17)
при r0 = 0,48577, ϕ0 = 2,73208 является приближением кинка yk(x) при x ≥ 0 и справедлива
оценка
∣∣yk(x)− ỹk(x)
∣∣ ≤ 10−4 exp(−|x|).
Доказательство. Сначала оценим равномерно по ϕ функции h1(r, ϕ) и h2(r, ϕ), входя-
щие в систему (4.15), при r ≤ 0,55, используя явный вид (4.12) тригонометрических функций
Tn(ϕ), оценки |Tn(ϕ)| ≤ σn, |T ′n(ϕ)| ≤ nσn, |T ′′n (ϕ)| ≤ n2σn и явные значения и оценки для σn
из леммы 4.1:
|h1(r, ϕ)| ≤
∑
n≥3
rnσn ≤
1
50
r3 +
∑
n≥4
rn
8
4n
≤ 0,007,
|h2(r, ϕ)| ≤ 0,09r2 + 0,15r3 +
∑
n≥5
rn−1n2σn ≤ 0,075.
Переходя в системе (4.15) к новым параметрам r, ψ = π − ϕ и решая квадратное уравнение
относительно r, преобразуем систему (4.15) к виду
r =
1 + h1
cosψ +
√
(1 + h1)(0,6− 0,2 cos 2ψ) + cos2 ψ
,
ψ = ψ − sinψ + r(0,6 + 0,4 sin 2ψ)− h2.
(4.18)
Систему (4.18) можно рассматривать как операторное уравнение вида p = A(p), где
p = (r, ψ), а оператор A явно выражается правыми частями равенств (4.18). Можно показать,
что оператор A непрерывен и переводит область Ω̃ =
{
(r, ψ) : 0,45 ≤ r ≤ 0,55; 0,2 ≤ ψ ≤ 0,7
}
двумерного евклидова пространства E2 в себя. Тогда в силу теоремы Брауэра – Шаудера о су-
ществовании неподвижной точки можно утверждать, что система (4.18) имеет решение p0 ∈ Ω̃.
Более детальный анализ показывает, что в области Ω̃ оператор A сжимающий. Поэтому в
области Ω̃ решение системы (4.18) единственно. Тогда и для системы (4.15) существует и
единственно в Ω решение r0, ϕ0. В силу теоремы 4.1 решение (4.16) является кинком уравне-
ния (4.1).
Теорема 4.2 доказана.
Численное решение системы (4.15) дает приведенные значения r0, ϕ0. Если при этих значе-
ниях r0 и ϕ0 в представлении (4.11) опустить все слагаемые, по модулю меньшие 10−4, то полу-
чим приближенное выражение (4.17) для кинка и эффективную оценку точности. Отметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 549
Рис. 4.1. График кинка.
более простое, чем (4.17), выражение ŷk(x) = 1− (0,9 cosx+ 0,4 sinx) exp(−x)−0,1 exp(−2x)
приближает кинк yk(x) с точностью до 0,011.
На рис. 4.1 представлен график кинка уравнения (4.1).
4.4. Численные методы построения кинкообразных решений. Уравнение (4.1) имеет
первый интеграл y′′′y′ − 1
2
(y′′)2 +
1
2
y4 − y2 = const, который для кинкообразных решений
y(x)→ ±1 при x→∞ приводит к соотношению
y′′′y′ − 1
2
(y′′)2 = −1
2
(1− y2)2. (4.19)
Тождество (4.19) полезно при численных построениях кинкообразных решений.
Если y(x) — кинкообразное решение уравнения (4.1) и функция y(x) нечетная, то y(0) = 0,
y′′(0) = 0. Обозначая y′(0) = α, из (4.19) получаем y′′′(0) = −(2α)−1. Таким образом, нечетные
кинкообразные решения y(x) уравнения (4.1) удовлетворяют начальным условиям
y(0) = 0, y′(0) = α, y′′(0) = 0, y′′′(0) = − 1
2α
. (4.20)
Наличие начальных условий (4.20) для уравнения (4.1) позволяет использовать стандартные
численные методы построения решения задачи Коши. При этом параметр α подбираем так,
чтобы решение y(x) было ограниченным на промежутке [0, l], полагая y(l) = 1 и последова-
тельно увеличивая l. При α = 0,781293 получаем кинк, изображенный на рис. 4.1.
На рис. 4.2 при α = −0,790918785 представлено кинкообразное решение с тремя нулями:
x1 = −5,5146, x2 = 0, x3 = −x1 = 5,5146. При этом чем на большем интервале мы строим
решение, тем с большей точностью следует определять начальные данные.
Для численного построения солитонов уравнения (4.1) рассмотрим случай, когда два нуля
решения симметричны относительно x = 0. Тогда солитон y(x) задается четной функцией
y(−x) = y(x) и поэтому y′(0) = y′′′(0) = 0. Учитывая соотношение (4.19) и обозначая y(0) = β
для солитонов, получаем начальные условия
y(0) = β, y′(0) = 0, y′′(0) = ±(1− β2), y′′′(0) = 0. (4.21)
Это позволяет для численного построения солитонов воспользоваться стандартными програм-
мами численного решения задачи Коши (4.1), (4.21). Параметр β подбираем так, чтобы решение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
550 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Рис. 4.2. График кинкообразного решения с тремя нулями.
Рис. 4.3. Графики солитонов.
y(x) было ограниченным на промежутке [0, l], полагая y(l) = −1, с последовательным увели-
чением l.
На рис. 4.3 изображены графики численно построенных солитонов при β = 0,5257958,
1,0845885, 1,017875, 0,996259264 с расстояниями между нулями d = 2,605, 5,5212, 8,6736,
11,0292 соответственно.
4.5. Приближенные аналитические методы построения кинкообразных решений. Дву-
параметрическое семейство решений y(x; r, ϕ) уравнения (4.1) из теоремы 3.1 также можно
использовать для построения солитонов. Для этого параметры r, ϕ необходимо находить из
системы уравнений y′(0; r, ϕ) = 0, y′′′(0; r, ϕ) = 0.
Использовав выражения (4.11), (4.12) и взяв r = 1,872, ϕ = 1,294, можно получить при-
ближение для солитона:
ỹs(x) = −1− 2r exp(−x) cos(x+ ϕ)− r2 exp(−2x)(−0,6 + 0,2 cos 2(x+ ϕ))−
−0,02r3 exp(−3x) cos 3(x+ ϕ)− 0,635 exp(−4x) + 0,389 exp(−5x).
Это аналитическое выражение отличается не более, чем на 2 · 10−3, от численно полученного
солитона с расстоянием между нулями d = 2,605, который изображен на рис. 4.3. Отметим,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 551
что более простое выражение
ỹs(x) = −1 + (−1,1 cosx+ 3,18 sinx) exp(−x) + 3,6 exp(−2x)− 0,97 exp(−3x)
приближает численный солитон с точностью до 0,012.
Анализ численнно построенных солитонов уравнения (4.1) показывает, что при больших
расстояниях между нулями солитон приближенно состоит из сопряжения кинка, сосредото-
ченного в левом нуле, с антикинком, сосредоточенным в правом нуле солитона. (Напом-
ним, что антикинк — ограниченное решение уравнения (4.1) с одним нулем, для которого
limx→∓∞ y(x) = ±1.) Если нулями солитона ys(x) являются точки x = −x0 и x = x0, то
функция
ỹs(x) =
yk(x+ x0), x ≤ 0,
−yk(x− x0), x ≥ 0,
(4.22)
где yk — кинк уравнения (4.1), приближенно аппроксимирует солитон ys(x). При x 6= 0 функция
ỹs(x) (4.22) удовлетворяет уравнению (4.1), а в точке x = 0 непрерывна вместе с ỹs′′. Однако
ỹs
′′′ в точке x = 0 претерпевает скачок 2y′′′k (x0), а ỹs′ — скачок 2y′k(x0), и эти скачки не равны
нулю одновременно. Таким образом, функция ỹs(x) является решением уравнения
ỹ(4)s + 2(ỹ3s − ỹs) = 2y′′′k (x0)δ(x) + 2y′k(x0)δ
′′(x),
где δ — дельта-функция Дирака. Представляя ys = ỹs + z из (4.1), для z получаем уравнение
z(4) + 4z = −2y′′′k (x0)δ(x)− 2y′k(x0)δ
′′(x) + 6(1− ỹ2s)z − 6ỹsz
2 − 2z3. (4.23)
Уравнение (4.23) можно свести к интегральному уравнению, если воспользоваться фунда-
ментальным решением E(x) = 1/8(cosx+sin |x|) exp(−|x|) уравнения E(4)(x)+4E(x) = δ(x):
z(x) = −2y′′′k (x0)E(x)− 2y′k(x0)E
′′(x) +
∫
E(x− s)
[
6(1− ỹ2s)z(s)− 6ỹsz
2(s)− 2z3(s)
]
ds.
Это нелинейное интегральное уравнение можно использовать для доказательства существо-
вания солитонных решений и для нахождения их приближенных выражений. В частности,
если x0 большое, то z(x) ≈ −2y′′′k (x0)E(x)− 2y′k(x0)E
′′(x), и это приводит к приближенному
аналитическому выражению для солитонов:
ys(x;x0) = ỹs(x;x0)− 2y′′′k (x0)E(x)− 2y′k(x0)E
′′(x). (4.24)
Условие ys(−x0) = ys(x0) = 0 приводит к уравнению
y′k(x0)E
′′(x0) + y′′′k (x0)E(x0) = 0, (4.25)
являющемуся характеристическим для определения расстояния 2x0 между нулями солито-
нов. В случае больших x0, когда для кинков можно ограничиться выражением yk(x) = 1 +
+ 2r exp(−x) cos(x + ϕ), уравнение (4.25) сводится к cos(2x0 + ϕ) = 0, что дает дискретную
серию для расстояний между нулями солитонов 2x0 = dn = π/2 − ϕ + nπ, n ∈ N, хорошо
согласующуюся с приведенными выше численными расчетами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
552 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
Данный подход можно распространить и на построение кинкообразных решений с конеч-
ным числом нулей. Пусть x1 < x2 < . . . < xm+1 — все нули кинкообразного решения y(x), а
dnk = xk+1 − xk — расстояния между его последовательными нулями, принимающие значения
dnk = π/2− ϕ+ nkπ, (4.26)
где nk — натуральные числа. Тогда такое кинкообразное решение в окрестности каждого нуля
xk представимо в виде кинка (−1)k+1yk(x − xk). Эта последовательность кинков хорошо
сопрягается в серединах между нулями кинкообразных решений с помощью фундаменталь-
ного решения E(x) и его второй производной, аналогично формуле (4.24). Само кинкообраз-
ное решение y(x) с точностью до эквивалентности однозначно характеризуется целочисленным
вектором (n1, . . . , nm), задающим расстояния между последовательными нулями (4.26).
4.6. Энтропия. Пусть S(L) — число всех неэквивалентных кинкообразных решений урав-
нения (4.1), нули которых лежат на промежутке длины L. Для характеристики числа S(L)
полезно следующее понятие энтропии.
Определение 4.1. Число
η = lim
L→∞
1
L
lnS(L)
называется пространственной энтропией уравнения (4.1) относительно кинкообразных ре-
шений.
Теорема 4.3. Для уравнения (4.1) величина пространственной энтропии η ≥ ln 2/π.
Доказательство. Поскольку расстояние между двумя последовательными нулями у кинко-
образных решений лежит в промежутке [(n − 1)π, nπ] с натуральными n и каждый такой
промежуток реализуется, число S(L) оценивается снизу числом FN всех различных целочис-
ленных векторов (n1, . . . , nm) таких, что
∑m
j=1
nj ≤ N = [L/π]. Так как FN = 2N − 1, это
приводит к необходимой оценке η.
Положительность пространственной энтропии для уравнения (4.1) означает, что уравне-
ние (4.1) имеет хаотические решения. Примером таковых могут служить кинкообразные реше-
ния, у которых расстояния между последовательными нулями характеризуются целочисленным
вектором (n1, . . . , nm) со случайной целочисленной выборкой nj , j = 1, . . . ,m. Отметим, что
в работе [24] дано точное значение энтропии для уравнения y(4)(x) + 4(y(x) − sign y(x)) = 0
относительно периодичеcких решений, приведенное в пункте 3, формула (3.46).
4.7. Выводы. Аналитическое построение двупараметрического семейства ограниченных
решений уравнения (4.1) на полуоси в виде быстросходящихся рядов вида (4.11) не только
позволяет доказывать теоремы существования нетривиальных решений различных краевых
задач, но и дает простые приближенные аналитические решения таких задач. Этот метод можно
применить также для уравнений вида
y(4) + qy′′ + f(y) = 0 (4.27)
с полиномиальной нелинейностью f(y). Если f(1) = 0, а корни характеристического уравнения
k4+qk2+f ′(1) = 0 имеют вид k = ±λ±iµ, где λ > 0, µ > 0, то двупараметрическое семейство
ограниченных на полуоси x > 0 решений уравнения (4.27) можно представить в виде, анало-
гичном (4.2),
y(x; a, b) = 1 +
∑
n≥1,|m|≤n
ω̃n,ma
n+m
2 b
n−m
2 exp(−λnx+ iµmx), (4.28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БИУСТОЙЧИВОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 553
где числовые коэффициенты ω̃n,m не зависят от a и b и удовлетворяют рекуррентным соот-
ношениям, которые получаются подстановкой функции (4.28) в уравнение (4.27) и являются
аналогами соотношений (4.3).
1. Aronson D. G., Weinberger H. Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics // Adv. Math. –
1978. – 30. – P. 33 – 76.
2. Coullet P., Elphick C., Repaux D. Nature of spatial chaos // Phys. Rev. Lett. – 1987. – 58. – P. 431 – 434.
3. Dee G. T., van Saarloos W. Bistable systems with propagating fronts leading to pattern formation // Phys. Rev. Lett. –
1988. – 60. – P. 2641 – 2644.
4. Fife P. C. Mathematical aspects of reacting and diffusing systems // Lect. Notes Biomath. – New York: Springer-Verlag,
1979. – 28. – 185 p.
5. Колмогоров А., Петровский И., Пискунов Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием
вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ. Сер. А. Математика и механика. –
1937. – 1. № 6. – С. 1 – 16. (transl.: Kolmogorov A., Petrovskii I., Piskunov N. Etude de l’équation de la diffusion
avec croissance de la quantité de matière et son application à un problème biologique // Bull. Univ. Moskou. Ser. Int.
Sect. A. – 1937. – 1. – P. 1 – 25).
6. Pomeau Y., Manneville P. Wavelength selection in cellular flows // Phys. Lett. A. – 1980. – 75. – P. 296 – 298.
7. Powell J. A., Newell A., Jones C. K. R. T. Competition between generic and nongeneric fronts in envelope equations
// Phys. Rev. A. – 1991. – 44. – P. 3636 – 3652.
8. Swift J., Hohenberg P. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability // Phys. Rev. A. – 1977. – 15. –
P. 319 – 328.
9. Zimmermann W. Propagating fronts near a Lifschitz point // Phys. Rev. Lett. – 1991. – 66. – P. 1546.
10. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. – М.:
Наука, 1987. – 301 c. (transl.: Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations //
Math. and its Appl. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991. – Vol. 7. – 313 p.).
11. Самойленко А. М., Ронто Н. Й. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. –
Киев: Вища шк., 1976. – 178 c. (transl.: Samoilenko A. M., Ronto N. I. Numerical analytic methods of investigating
periodic solutions. – Moscow: Mir, 1979. – 183 p.).
12. Samoilenko A. M., Petryshyn R. Multifrequency oscillations of nonlinear systems. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad.
Publ., 2004. – 317 p.
13. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. – Київ: Наук. думка,
2004. – 474 c.
14. Samoilenko A. M., Teplinskii Yu. V. Elements of mathematical theory of evolutionary equations in Banach spaces //
World Sci. Ser. Nonlinear Ser. A. – 2013. – 86. – 408 p.
15. Пелетье Л. А., Трой В. К., Ван дер Ворс Р. К. А. М. Стационарные решения нелинейного уравнения диффузии
четвертого порядка // Дифференц. уравнения. – 1995. – 31, № 2. – С. 327 – 337 (перевод: Peletier L. A., Troy W. C.,
van der Vorst R. C. A. M. Stationary solutions of a fourth-order nonlinear diffusion equation // Different. Equat. –
1995. – 31, № 2. – P. 301 – 314).
16. van den Berg G. J. B., Peletier L. A., Troy W. C. Global branches of multi bump periodic solutions of the Swift –
Hohenberg equation // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 2001. – 158. – P. 91 – 153.
17. van den Berg J. B., Lessard J.-P. Chaotic braided solutions via rigorous numerics: chaos in the Swift – Hohenberg
equation // SIAM J. Appl. Dynam. Syst. – 2008. – 7. – P. 988 – 1031.
18. Kalies W. D. Vander Vorst R. Multitransition homoclinic and heteroclinic solutions of extended Fisher – Kolmogorov
equation // J. Different. Equat. – 1996. – 131. – P. 209 – 228.
19. Peletier L. A., Troy W. C. A topological shooting method and the existence of kinks of the extended Fisher –
Kolmogorov equation // Top. Meth. Nonlinear Anal. – 1995. – 6, № 2. – P. 331 – 355.
20. Peletier L. A., Troy W. C. Spatial patterns: higher order model tquations in physics and mechanics. – Boston:
Birkhäuser, 2001. – 343 p.
21. Самойленко A. M., Нижник И. Л. Кинкообразные решения дифференциальных уравнений четвертого порядка
с кубической биустойчивой нелинейностью // Дифференц. уравнения. – 2014. – 50, № 2. – C. 201 – 209.
22. Peletier L. A., Rodríguez J. A. Homoclinic orbits to a saddle-center in a fourth-order differential equation // J.
Different. Equat. – 2004. – 203. – P. 185 – 215.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
554 А. М. САМОЙЛЕНКО, И. Л. НИЖНИК
23. Albeverio S., Nizhnik I. Spatial chaos in a fourth-order nonlinear parabolic equation // Phys. Lett. A. – 2001. – 288. –
P. 299 – 304.
24. Самойленко A. M., Нижник И. Обмеженi розв’язки рiвняння четвертого порядку з модельною бiстiйкою
нелiнiйнiстю // Укр. мат. вiсн. – 2009. – 6, № 3. – С. 400 – 424 (перевод: Samoǐlenko A. M., Nizhnik I. Bounded
solutions of a fourth-order equation with a model bistable nonlinearity // Ukr. Math. Bull. – 2009. – 6, № 3. –
P. 397 – 420).
25. Peletier L. A., Rodríguez J. A. The discrete Swift – Hohenberg equation // Rept Math. Inst. Leiden Univ. – 2004. –
34 p.
26. Nizhnik L., Hasler M., Nizhnik I. Stable stationary solutions in reaction-diffusion systems consisting of a 1-d array of
bistable cells // Int. J. Bifur. Chaos. – 2002. – 2. – P. 261 – 279.
27. Nizhnik I. Stable stationary solutions for a reaction-diffusion equation with a multi-stable nonlinearity // Phys. Lett.
A. – 2006. – 357. – P. 319 – 322.
28. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985. – 224 c.
29. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007. – 427 c.
(transl.: Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik, N. V. Differential equations with impulse effects.
Multivalued right-hand sides with discontinuities // de Gruyter Stud. Math. – 2011. – 40. – 307 p.).
30. Нижник I. Л., Краснєєва А. О. Перiодичнi розв’язки рiвнянь другого порядку з розривною нелiнiйнiстю //
Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 3. – C. 381 – 389.
31. Павленко В. Н., Федяшев М. С. Периодические решения параболического уравнения с однородным граничным
условием Дирихле и разрывной нелинейностью линейного роста // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 8. – C. 1080 –
1088.
32. Потапов Д. К. Бифуркационные задачи с разрывными нелинейностями. – СПб.: Изд-во ИБП, 2012. – 119 c.
33. Kamachkin A., Potapov D., Yevstafyeva V. Solutions to second order differential equations with discontinuous right-
hand side // Electron. J. Different. Equat. – 2014. – № 221. – P. 1 – 6.
Получено 08.10.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 4
|